弧、弦与圆心角关系定理

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圆心角与弦、弧之间的关系

证弦等（Ｂ＝Ｄ）可证弧等，ＡＣ，即
：
辫如图，￣ＡＣＩＢＤ的顶点Ａ为圆心，Ｂ为半径作圆，）２Ａ交
ＡＢＤ，Ｃ于Ｅ，延长Ｆ，
证明
。．
面．而．都搪七即可．
交ｏ于Ｇ求证：＝．廓
连接
‘
在同圆或等圆中，圆心角、和弦三者之问有下列关系：弧
１定理．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．所
对的弦也相等．几何表达式
注意
下罔．
应刚定理时，在同圆 “
如图，ＱＯ中，・ＡＯ：ＣＤ０．Ｂ面，：Ｄ．在・．ＢＯＡ：ＡＢＣ — ２推论．在同圆或等圆中，等的两条弧、条弦、个圆心相两两
在同心圆００巾．４Ｏ＝Ｂ
ＣＯＤ．但 ≠ＣＡＢ≠Ｃ — Ｄ．Ｄ．
Ｏ＝ＣＤ．ＢＯ
此定理是证明弧等、等、角弦等的另一个基本方法．
３圆心角的度数等于圆心角所对弧的度数．．
倒１如图，Ａ＝Ｃ求证：ＢＣ已知ＤＢ，Ａ＝Ｄ
日＝４Ｆ－．Ｂ＝１．．Ｌ．
・
．
‘
ＤＣｌ／２ＬＢ３ ∥Ｂ．＝，＝．
２３：．．：・．威
即
１５
浑浑噩噩的人生是不值得过的人 ห้องสมุดไป่ตู้ 。— — 苏格拉底

圆公共弦定理证明

圆公共弦定理证明圆的十八个定理1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等4、切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。

5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。

6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。

如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。

7、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。

8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。

9、割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心11、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦13、定理：把圆分成n（n≥3）：（1）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形14、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆15、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆16、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

弧、弦与圆心角关系定理(2)

创新探究
5、如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是OA，OB的中
点，CM⊥AB，DN⊥AB。求证： AC=BD
6、如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，且AB＝4，AC＝CD＝1，求BD的长。
创新探究
7、如图，AB是⊙O的直径，弦PQ交AB于
1 点M，且PM＝OM，求证：AP= BQ 3
3、如图，等边△ABC的三个顶点A、B、C都在⊙O上，连接OA、 OB、OC，延长AO分别交弧BC于点P，交BC于点D，连接BD、CD。（1）判断四边形BDCO的形状，并说明理由；（2）若⊙O的半径为r，求△ABC的边长。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
复习:
1.在同圆(或等圆) 中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等、所对的弦相等
以上三句话如没 2.在同圆(或等圆) 中，如果弧相等 ,那么有在同圆或等圆中，这个结论还相等相等、所对的弦所对的圆心角_____ __ __. 会成立吗？
3.在同圆(或等圆) 中，如果弦相等,那么相等所对的圆心角_____ 相等、所对的弧_____.
OA2 AD2 OD 2 , 即R 2 3.62 ( R 2.4) 2 .
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON 2 HN 2 , 即OH 3.9 2 1.52 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
4、若一个圆的一条弦长恰好等于这个圆的半径的长，则此弦所对的圆心角的度数为。 5、如图所示，AB和DE是⊙O的直径，弦 AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE= 。
创新探究
1、如图，在⊙O中，弦AB=CD，AB的延长线与CD的延长线相交于点P，直线OP交⊙O于点E、F。求证：∠APE＝∠CPE。

九年级数学圆弧、弦、圆心角间的关系圆周角定理及其推论精选例题和练习..

圆周角定理及其推论一、知识点总结1．圆心角：顶点在圆心的角．注意：圆心角的底数等于它所对弧的度数．2．在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距中，只要有一组量相等，那么另外三组量也分别相等考点一：圆心角，弧，弦的位置关系二、弧、弦、圆心角、弦心距间的关系举例例1 如图，AB 为⊙O 的弦，点C 、D 为弦AB 上两点，且OC=OD ，延长OC 、OD 分别交⊙O 于点E 、F ，试证明弧AE=弧BF ．分析：“弧AE=弧BF”←“∠______=∠______” 把证弧相等转化为证________________．证明：例2 如图，点O 是∠BPD 的平分线上的一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于点A 、B 和C 、D ．求证：AB=CD ．分析：把证明弦相等转化为证明_弦心距_相等．例3如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，连接AC 、 OC 、BC ．(1)求证：∠ACO=∠BCD ．(2)若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径．分析： (1)∠ACO=∠______，而∠______=∠______． (2)在Rt ⊿______中，利用勾股定理列方程求例4 已知，如图，在⊿ABC 中，AD ，BD 分别平分∠BAC 和∠ABC ，延长AD 交⊿ABC 的外接圆于E ，连接BE ．求证：BE=DE ．分析：把证BE=DE 转化为证∠____=∠____． CDBF E ONMDCB AOEAO DC DA1.如图1，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（）2.如图2，BE是半径为6的圆D的14圆周，C点是BE上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）2、已知AB^、CD^是同圆的两段弧，且AB^=2CD^，则弦AB与2CD之间的关系为（）A、AB=2CDB、AB＜2CDC、AB＞2CDD、不能确定4、下列语句中正确的是（）A、相等的圆心角所对的弧相等B、平分弦的直径垂直于弦C、长度相等的两条弧是等弧D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴5、在一扇形统计图中，有一扇形的圆心角为60°，则此扇形占整个圆的（）6、有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（）7、如图3，AB是⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出下列五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣孤DE的2倍；⑤AE=BC．其中正确结论的序号是（）图1图2图38.如图所示，⊙O半径为2，弦，A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，则四边形ABCD的面积为9.如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD．（1）P是CAD^上一点（不与C、D重合），求证：∠CPD=∠COB；（2）点P′在劣弧CD上（不与C、D重合）时，∠CP′D与∠COB有什么数量关系？请证明你的结论．3．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半．1.如图1，∠A 是⊙O 的圆周角，且∠A ＝35°,则∠OBC=_____.2.如图2，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB= ．3：如图3，AB 是⊙O 的直径，点C D E ，，都在⊙O 上，若C D E ==∠∠∠，则A B +=∠∠ º． 4：如图4，⊙O 的直径CD 过弦EF 的中点G ，40EOD ∠=，则DCF ∠= ．图2 图14．圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注：有直径时，常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．考点2：圆周角定理1、如图，△ABC 中，∠A=60°，BC 为定长，以BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ．连接DE ，已知DE=EC ．下列结论：①BC=2DE ；②BD+CE=2DE ．其中一定正确的有（）2.一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100m ，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD 为（）3.如图AB 是⊙O 的直径， AC^所对的圆心角为60°， BE^所对的圆心角为20°，且∠AFC=∠BFD ，∠AGD=∠BGE ，则∠FDG 的度数为（）4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，若∠C=40°，则∠ABD 的度数为（）1题图 2题 3题4题5：已知：如图，AD•是⊙O•的直径，∠ABC=•30•°，则∠CAD=_______．CBO A O AB C 图3 B C D E O EF C DG O 图46：已知⊙O 中，30C ∠=，2cm AB =，则⊙O 的半径为cm ．7.已知：如图等边ABC △内接于⊙O ，点P 是劣弧BC ⋂上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP =，连结CD ．（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PDC △是什么三角形？并说明理由．（2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形？为什么？8.如图AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，若AC=8㎝，AB=10㎝，OD ⊥BC 于点D ，求BD 的长9.如图，在⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P ，∠CAB=40°，∠APD=65°．（1）求∠B 的大小；（2）已知圆心0到BD 的距离为3，求AD 的长．_D_B _A_O OAA O C PB 图① AOC PB 图②10.11.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD、BD，已知AD=BD=4，PC=6，那么CD的长是12.如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OC⊥BD 于点M，CF⊥AB于点F交BD于点E，BD=8，CM=2．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE=BE．13.5.圆内接多边形：一个多边形的顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆6.圆内接四边形：圆内接四边形的对角互补如图所示，A、B、C三点在圆O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A. 140°B. 110°C. 120°D. 130°7.确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图5所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块 C．第③块D．第④块8.三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．这个三角形叫做圆的内接三角形。

(三)圆心角定理

数学学习系列之圆（三）：弧、弦、角的关系基本内容：一、圆心角定理1、如果两条弧相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

2、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

3、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

在理解时要注意：⑴前提：在同圆或等圆中；⑵条件与结论：在①弧等；②弦等；③圆心角相等中，只要有一个成立，则有另外两个成立。

基本概念理解：1．在同圆或等圆中，若的长度＝的长度，则下列说法正确的个数是（）①的度数等于；②所对的圆心角等于所对的圆心角；③和是等弧；④所对的弦心距等于所对的弦心距。

A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，在两半径不同的同心圆中，︒=''∠=∠60B O A AOB ，则（）A ．B ．C ．的度数=的度数D ．的长度=的长度3．下列语句中，正确的有（）（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧；（4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个4．已知弦AB 把圆周分成1:5的两部分，这弦AB 所对应的圆心角的度数为． 5．在⊙O 中，的度数240°，则的长是圆周的份．概念的延伸及其基本应用：1．在同圆或等圆中，如果圆心角BOA ∠等于另一圆心角COD ∠的2倍，则下列式子中能成立的是（）2．在同圆或等圆中，如果，则AB 与CD 的关系是（）A ．CD AB 2> B ．CD AB 2=C ．CD AB 2< D ．CD AB =3．在⊙O 中，圆心角︒=∠90AOB ，点O 到弦AB 的距离为4，则⊙O 的直径的长为（）（2题图）4．在⊙O 中，两弦CD AB <，OM ，ON 分别为这两条弦的弦心距，则OM ，ON 的关系是（） A ．ON OM > B ．ON OM = C ．ON OM < D ．无法确定 5．已知⊙O 的半径为4cm ，弦AB 所对的劣弧为圆的31，则弦AB 的长为 cm ，弦心距为 cm ．6．如图，在⊙O 中，AB ∥CD ，的度数为45°，则∠COD 的度数为．典型例题精析：例题1、如图，已知：在⊙O 中，OA ⊥OB ，∠A=35°，求和的度数.说明：通过求圆心角来求弧度是基本题目，目的是巩固基础知识.例题2、如图，在⊙O 中，=2，试判断∠AOB 与∠COD ，AB 与2CD 之间的关系，并说明理由.说明：①证明线段的不等关系，常把线段放到一个三角形中。

(完整版)圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理知识点及练习,推荐文档

CD 的弦心距 OF＝_______cm，弦 CD 的长为________cm。
7、已知⊙O 的半径为 5cm，过⊙O 内一已知点 P 的最短的弦长为 8cm，则 OP＝_______。
8‘已知 A、B、C 为⊙O 上三点，若 AB 、 BC 、 CA 度数之比为 1：2：3，则
∠AOB＝_______，∠BOC＝________，∠COA＝________。
（I）连过弧中点的半径；（II）连等弧对的弦；（III）作等弧所对的圆心角。
例：如图，CD为⊙O的弦， AC BD ，OA、OB交CD于F、E。
求证：OE＝OF
证法一：连结 OC、OD
OC OD， C D
AC BD ， COA BOD（等弧所对的圆心角相等） COF DOE OE OF
∠BOC 的度数。
3、如图 3，C 是⊙O 直径 AB 上一点，过点 C 作弦 DE，使 CD＝CO，使 AD 的度数 40°，
AOB 100 , OBC 55 ， OEC =
度.
2、如图 4，已知 AB 是⊙ O 的直径，C、D 是⊙ O 上的两点， D 130 ，则 BAC 的度数是
.
3、如图 5，AB 是半圆 O 的直径，E 是 BC 的中点，OE 交弦 BC 于点 D，已知 BC=8cm,DE=2cm，则
AD 的长为
A． 40 B． 50 C． 70 D． 80
8、如图 3，AB 为⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点， BAC 20 ， AD CD ，则
∠DAC 的度数是（）
A. 70° D
B. 45° C
C. 35°
D. 30°
A
O
B
如图 3 二、填空题

弧、弦、圆心角的关系

圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D．（1）求证：AB=CD；（2）若角的顶点P在圆上或在圆内，（1）的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．
M
N
今天作业课本第94页 3，10
·
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N' N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，
N'
N
O
把圆O的半径ON绕圆心O旋转任意一个角度，由此可以看出，点N'仍落在圆上。
N' N
O
定理：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合( 圆的旋转不变性）。
Ａ求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC
证明: ∵ A⌒B=A⌒C
∴ AB=AC, △ABC是等腰
Ｏ
三角形.
又 ∠ACB=60° ,
Ｂ
Ｃ
∴ △ABC是等边三角形,
∴ AB=BC=CA.
∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
例如图，AC与BD为⊙O的两条
互相垂直的直径
求证：A⌒B=B⌒C=C⌒D=D⌒A;
反馈练习
1、在⊙O中，AB⌒=AC⌒，∠AOB=70°，E
则∠AOC =
70°
D C
2、如图，AB是⊙O 的直径，
A
·
O
B
，∠COD=35°，
则∠AOE 的度数是 75°
3、在⊙O中，弦AB所对的劣弧
为圆的1/3，圆的半径为2㎝，那么
AB =
㎝

圆心角定理推论

圆心角，圆周角，弧和弦•圆的定义:在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

这个定点叫做圆的圆心。

图形一周的长度，就是圆的周长。

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

优弧：大于半圆的弧（多用三个字母表示）；劣弧：小于半圆的弧（多用两个字母表示）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。

•圆心角特征识别:①顶点是圆心；②两条边都与圆周相交。

计算公式:①L(弧长)=n/180Xπr（n为圆心角度数，以下同）；②S(扇形面积) = n/360Xπr2；③扇形圆心角n=（180L）/（πr）（度）。

④K=2Rsin(n/2) K=弦长；n=弦所对的圆心角，以度计。

圆心角定理:圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

理解：(定义）（1）等弧对等圆心角（2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．（3）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．（4）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．推论：在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等与圆周角关系:在同圆或等圆中,同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角。

定理证明：分三种情况讨论，始终做直径COD，利用等腰三角形等腰底角相等，外角等于两内角之和来证明。

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系(二)

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（二）1. 弧在前文中我们已经介绍了圆心角和弧之间的关系。

在这篇文章中，我们将进一步探讨弦和弦心距与圆心角、弧之间的关系。

首先，我们先来了解一下什么是弧。

在一个圆上，两个点之间的曲线部分叫做弧。

弧的长度可以通过圆心角来计算，即弧长等于圆心角的大小乘以半径。

假设圆的半径为r，圆心角为θ，那么弧长L可以表示为：L = r * θ2. 弦接下来，我们来介绍一下弦。

弦是连接圆上的两个点的线段。

弦的长度可以通过圆心角来计算，通过以下公式计算：S = 2 * r * sin(θ/2)其中S表示弦的长度。

3. 弦心距弦心距是指从圆的中心点到弦的距离。

弦心距可以通过以下公式计算：D = 2 * r * cos(θ/2)其中D表示弦心距。

4. 圆心角与弦、弦心距的关系圆心角与弦和弦心距之间有一定的关系。

当圆心角的大小固定时，弦和弦心距的大小也是固定的。

具体可以通过以下公式进行计算：•弦长S与圆心角θ之间的关系：S = 2 * r * sin(θ/2)•弦心距D与圆心角θ之间的关系：D = 2 * r * cos(θ/2)可以看出，当圆心角θ固定时，弦长和弦心距都与半径r成正比。

也就是说，如果增加半径r的大小，弦长和弦心距也会增加；减小半径r的大小，弦长和弦心距也会减小。

另外，当圆心角θ固定时，弦长和弦心距之间也有一定的关系。

根据三角函数的性质，可以得到以下关系：S^2 + D^2 = (2r)^2该关系也被称为勾股定理。

5. 总结综上所述，圆心角、弧、弦和弦心距之间存在一定的关系。

圆心角决定了弧的长度，可以通过半径和圆心角的关系进行计算；弦的长度和弦心距都与圆心角成正比，可以通过圆心角和半径的关系进行计算。

另外，弦和弦心距之间也满足勾股定理。

通过理解和掌握这些关系，我们可以在解决相关问题时更加灵活和准确。

实际应用中，这些关系经常用于计算圆中的各个要素，对于解决与圆相关的问题非常有帮助。

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

B
o
C
D
18
A
把扇形COD绕点O旋转，使OC与
B
OA重合，因∠AOB=∠COD,所以
OD与OB重合，而圆O的半径相等，因此点C与点A重合，点D 与点B重合，这样AB 与⌒CD就一⌒
o
C
定重合
D
能够重合的两条弧称为等弧或者说这两条弧相等
半径长相等的两个圆一定能够重合，我们把半径长相等的两个圆称为等圆
2
3
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
4
下面我们一起来观察一下：在⊙O中有哪些圆心角？
如果： ∠AOB=∠
A
COD
B
o C
D 5
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图： ∠AOB=∠
A
COD
B
o C
D 6
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦也相等。
19
ＡB=CD吗？
弧AB与弧CD呢？
ＡＢ
ＣＤ
O
20
圆心角定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相，等所对的弦的弦心距也相等
弦AB和弦ＣＤ对应的弦心距什么关系？
A Ｅ B
o
C Ｆ D
21
22
23
B
o
C
D 10
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧有什么关系？
如图：
A
AOB= COD
B
o
C
D 11

弧弦圆心角之间的关系

弧弦圆心角之间的关系
圆心角、弧、弦之间的关系如下：
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（圆周角与圆心角在弦的同侧）。

连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord），在同一个圆内最长的弦是直径。

顶点在圆心上的角叫做圆心角。

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc），以“⌒”表示。

相关计算公式：（R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，L是扇形对应的弧长）
扇形弧长L=圆心角（弧度制）×R= nπR/180（θ为圆心角）（R 为扇形半径）
扇形面积S=nπ R²/360=LR/2（L为扇形的弧长）
圆锥底面半径 r=nR/360（r为底面半径）（n为圆心角）。

弧弦圆心角关系定律

弧弦圆心角关系定律稿子一嗨，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊弧弦圆心角关系定律，这可是个超有趣的数学知识哟！你知道吗，当圆心角变大的时候，对应的弧也会变长，弦也会跟着变长。

就好像圆心角是个大老板，它一发话，弧和弦都得乖乖听话跟着变。

比如说，在一个圆里，如果圆心角是个小小的锐角，那对应的弧就像个胆小的孩子，不敢伸太长；弦呢，也像个害羞的小姑娘，不敢太张扬。

可要是圆心角突然变成个大大的钝角，哇，那对应的弧就像吃了大力菠菜，一下子变得长长的；弦也变得勇敢起来，变得更长更有气势！这三者之间的关系呀，紧密得就像一家人。

圆心角是家长，弧和弦就是听话的孩子。

家长一变，孩子们也跟着变。

而且哦，不管圆的大小怎么变，这个定律都一直存在呢。

是不是很神奇？就好像是一个永恒的魔法，一直守护着圆的世界。

所以呀，下次看到圆里的弧和弦，咱们就可以想想圆心角在背后捣的鬼，是不是很有意思呢？好啦，今天关于弧弦圆心角关系定律就聊到这儿，小伙伴们，拜拜啦！稿子二嘿，朋友们！今天咱们来好好唠唠弧弦圆心角关系定律。

咱们先想象一下，一个圆就像一个大舞台，圆心角就是舞台上的主角，弧和弦就是配角。

当圆心角这个主角开始表演，它的动作幅度大小可就决定了弧和弦这两个配角的表现。

如果圆心角轻轻摆动，那弧就像小步慢跑，不长不短；弦呢，也只是微微伸展。

可要是圆心角来个大幅度的旋转跳跃，那弧就像是飞奔起来，长得不得了；弦更是像被施了魔法，一下子拉长好多。

而且哟，这三者之间的关系是相互影响的。

弧变长了，圆心角肯定也变大了，弦自然也就跟着长啦。

比如说，我们画一个超级大的圆和一个小小的圆，就算它们大小不一样，但是只要圆心角相同，对应的弧和弦的比例关系也是一样的呢。

这就好像不管是在大城市还是小乡村，一家人之间的爱和关系都是不变的。

怎么样，是不是觉得这个弧弦圆心角关系定律还挺好玩的？数学世界里的这些小秘密，就等着我们去发现和探索呢！好啦，今天就聊到这儿，咱们下次见哟！。

弧弦圆心角三个定理

弧弦圆心角三个定理
弧弦圆心角三个定理是三个基本的几何定理，用于理解和应用圆中的几何关系，主要包括以下几个方面：
1. 圆心角定理：在同一个圆中，如果两个圆心角相等，则它们所对应的弧相等。

同时，这也意味着同弧所对的圆心角相等。

2. 弧长定理：在同一个圆中，弧长等于圆心角所对应的弧度的大小乘以半径的长度。

3. 弦长定理：在同一个圆中，弦长等于圆心角所对应的弧度的大小乘以弦心距的长度。

弦的大小与弦心距的大小有关，弦心距越小，弦越大。

这些定理在数学上有很多应用，例如勾股定理的应用。

在解题过程中，我们通常需要根据题目中的条件，灵活运用这些定理来推导出正确的结论。

需要注意的是，这三个定理在同圆或等圆中成立，如果两个角或两个弧不是在同一个圆中，那么它们所对应的弧和弦就不一定相等。

此外，当有弦的中点时，我们常连接弦心距，证两弦相等时也常作弦心距。

中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题(含答案)

中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题（含答案）知识点总结1.圆心角、弦以及弧之间的关系：①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。

2.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

3.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

4.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

5.圆的内接四边形：①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。

②性质：I：圆内接四边形的对角互补。

II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。

练习题1、（2022•襄阳）已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为2，那么弦AC所对的圆周角的度数等于．【分析】首先利用勾股定理逆定理得∠AOC＝90°，再根据一条弦对着两种圆周角可得答案．【解答】解：如图，∵OA＝OC＝1，AC＝，∴OA2+OC2＝AC2，∴∠AOC＝90°，∴∠ADC＝45°，∴∠AD'C＝135°，故答案为：45°或135°．2、（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为．【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC 即可．【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），所以圆形镜面的半径为cm，故答案为：cm．3、（2022•永州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝度．【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求出∠AOC的度数，根据平角的定义即可得到∠BOC＝180°﹣∠AOC的度数．【解答】解：∵∠ADC是所对的圆周角，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120．4、（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝°．【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，∴∠D＝∠ABC＝62°，故答案为：62．5、（2022•湖州）如图，已知AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝120°，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC 的延长线交⊙O 于点D ．若∠APD 是AB ⌒所对的圆周角，则∠APD 的度数是．【分析】由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD ＝∠BOD ，进而得出∠AOD ＝60°，由圆周角定理得出∠APD ＝∠AOD ＝30°，得出答案．【解答】解：∵OC ⊥AB ，∴，∴∠AOD ＝∠BOD ，∵∠AOB ＝120°，∴∠AOD ＝∠BOD ＝∠AOB ＝60°，∴∠APD ＝∠AOD ＝×60°＝30°，故答案为：30°．6、（2022•徐州）如图，A 、B 、C 点在圆O 上，若∠ACB ＝36°，则∠AOB ＝．【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB ＝∠AOB ，∠ACB ＝36°，∴∠AOB ＝2×∠ACB ＝72°．故答案为：72°．7、（2022•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为．【分析】利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．8、（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为．【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵∠DCE＝72°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，故答案为：144°．9、（2022•甘肃）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝°．【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70．。

弧弦与圆心角关系定理课件

弧弦与圆心角的关系定理
定理
在同圆或等圆中，弧弦与所对应的圆心角相等。
证明思路
利用圆的基本性质，通过作图和角度测量进行证明。
02
定理的证明过程
证明方法一：解析法
01
02
03
定义变量ห้องสมุดไป่ตู้
设圆心角为α，弧长为l，半径为r。
建立数学方程
根据弧长公式，可建立以下方程：l = αr / 180°
解析证明
对后续学习的建议与展望
加强基础知识的掌握
弧弦与圆心角关系定理是圆的基本性质之一，后续的学习需要建立在扎实的基础知识之上，因此建议加强基础知识的掌握。
深入探究圆的性质
圆是几何学中的重要内容之一，后续的学习可以进一步深入探究圆的性质和相关定理，如圆周角定理、相交弦定理等。
加强应用能力的培养
学习数学的目的在于解决实际问题，建议加强应用能力的培养，提高解决实际问题的能力。
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结合解析法和几何法
将解析法和几何法相结合，综合两种方法的证明过程。
推导公式
通过综合法推导出弧长和圆心角的公式，并证明其正确性。
证明关系
结合解析法和几何法的证明结果，进一步证明弧长和圆心角之间的关系。
03
定理的应用举例
弧长计算问题
总结词
利用弧弦与圆心角关系定理，可以根据圆心角的大小来计算弧线的长度。
详细描述
在圆中，弧线与弦的长度和所对应的圆心角的大小有着密切的关系。对于同一个圆，圆心角越大，对应的弧线就越长。通过弧弦与圆心角关系定理，我们可以根据圆心角的大小来计算弧线的长度。
圆心角计算问题
总结词

圆心角、弦、弧、圆周角之间的推导

圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系是几何学中常见的概念。

在此文档中，我们将推导这些概念之间的关系，并解释它们在圆的几何中的重要性。

首先，让我们定义这些概念：•圆心角：圆心角指的是以圆心为顶点的角。

•弦：弦是连接圆上两点的线段。

•弧：弧是圆上两点之间的曲线部分。

•圆周角：圆周角是以圆上两条弧为两边的角。

接下来，我们将探讨这些概念之间的关系。

1.弧和圆心角的关系：当我们考虑一个圆上的弧时，圆心角是与该弧相对应的角度，两者是一一对应关系。

换句话说，一个弧唯一对应一个圆心角，一个圆心角也唯一对应一个弧。

例如，如果给定一个半径为r的圆，圆心角为θ度，那么对应的弧长可以通过以下公式计算：弧长= (θ/360) × 2πr。

2.弦、弧和圆心角的关系：在圆上，如果一个弦和圆心角相等，那么它所对应的弧的长度也是相等的。

这表明弦、弧和圆心角之间存在着等量关系。

换句话说，如果两个弦所对应的圆心角相等，那么它们所对应的弧的长度也是相等的。

这个关系可以通过圆心角的定义进行证明。

由于圆心角是以圆心为顶点的角，所以它们的两条边与圆上的两条弦相等，因此对应的弧长也相等。

3.圆周角和圆心角的关系：圆周角是以圆上两条弧为两边的角。

当一个圆周角的两个角点分别在圆上的两条弧的端点时，这两条弧所对应的圆心角恰好等于圆周角的大小。

这个关系可以通过对圆心角和圆周角的定义进行证明。

圆周角的两个角点分别位于圆上的两条弧的端点，因此对应的圆周角的大小就等于这两个圆心角之和。

通过上述推导，我们可以看出圆心角、弦、弧和圆周角之间的关系密切相关。

它们在圆的几何中起到重要的作用，帮助我们研究和解决各种与圆相关的问题。

这些概念的理解不仅对于数学学习具有重要意义，而且在实际应用中也有广泛的应用，例如建筑、工程和物理学等领域。

总结起来，圆心角、弦、弧和圆周角之间的关系可以通过定义和几何推导来解释。

这些概念在圆的几何中相互关联，为我们理解和研究圆提供了重要的工具和观点。

-圆心角定理

3.已知AB是⊙O的直径，M、N是AO、BO的中点。CM⊥AB,DN⊥AB,分别与圆交于C、D点。求证：⌒ ⌒ Ｄ AC=BD
ＡＭ o
●
ＮＣ
Ｂ
例1 如图在⊙O中，AB=AC ，∠ACB=60°，
⌒ ⌒
求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
证明：∵AB=AC
⌒ ⌒
AB=AC, △ABC 等腰三角形．
B
M O A
图1
一般的，n。的圆心角对着n。的弧，n。的弧对着n。的圆心角，即圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
1、判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
①
②
③
④
2、下列图中弦心距做对了的是（
）
┐
①
②
┐
③
④
探究
如图，若∠AOB＝∠A′OB′将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到 ∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ A′ A′ D′ B B D′ B′ B′ D D O
⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD OE=OF AB=CD _____________,________,____________。
⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD AB=CD AB=CD _____________,________,____________。 ⌒ ⌒ （3）如果AB=CD 那么
∠ AOB=∠COD AB=CD OE=OF ______________,__________,____________ 。
⌒
⌒
┏ A′ D′ B′
③AB=A′B′ ④ OD=O′D′
弧所对的圆心角相等在同圆或等圆中如果弧相等那么弧所对的弦相等弧所对的弦的弦心距相等

弦,圆心角,弧,弦心距关系定理及内接四边形

四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）例1．如图所示，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD．ABE OOPO 1O 2O例2、已知：如图，EF 为⊙O 的直径，过EF 上一点P 作弦AB 、CD ，且∠APF=∠CPF 。

求证：PA=PC 。

例3．如图所示，在ABC ∆中，∠A=︒72，⊙O 截ABC ∆的三条边长所得的三条弦等长，求∠BOC.例4．如图，⊙O 的弦CB 、ED 的延长线交于点A ，且BC=DE ．求证：AC=AE ．·OAB CO ·CAEBD例5．如图所示，已知在⊙O 中，弦AB=CB ，∠ABC=︒120，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥BC 于E ．求证：ODE ∆是等边三角形．综合练习一、选择题1．下列说法中正确的是（）A 、相等的圆心角所对的弧相等B 、相等的弧所对的圆心角相等C 、相等的弦所对的弦心距相等D 、弦心距相等，则弦相等2．如图，在⊙O 中，AB 的度数是︒50，∠OBC=︒40，那么∠OAC 等于（） A 、︒15 B 、︒20 C 、︒25 D 、︒303．P 为⊙O 内一点，已知OP=1cm ，⊙O 的半径r=2cm ，则过P 点弦中，最短的弦长为（） A 、1cm B 、3cm C 、32cm D 、4cm4．在⊙O 中，AB 与CD 为两平行弦，AB >CD ，AB 、CD 所对圆心角分别为︒︒60,120，若⊙O 的半径为6，则AB 、CD 两弦相距（）A 、3B 、6C 、13+D 、333± 5.如图所示，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E 。