弧、弦与圆心角关系定理

N
30 M P A Q
例2、如图, AB、CD是⊙O的两条直径。 (1)顺次连结点A、C、B、D，所得的四边形是什么特 殊四边形？为什么？
(2)四边形ACBD有可能为正方形吗？若有可能,当AB、CD 有何位置关系时，四边形ACBD为正方形？为什么？
(3)如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成 一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可 能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？
∵ OA﹦OC ∴ OE﹦OF ∴ RT△AOE≌RT △COF
C
O
·
F
D
例题
例1 如图，在⊙O中， AB=AC ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC 证明：
A
⌒
⌒
∵ AB =
AC
B
O
∴ AB=AC．⊿ABC是等腰三角形 又∠ACB=60°， ∴ ⊿ABC是等边三角形 , AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
（1）
探究二
在同圆中，
（2）、如果 那么∠AOB＝∠A′OB′， ︵ ︵ AB A ' B '. AB A ' B '. 成立吗 ?
（ 2）
小结
弧、弦与圆心角的关系定理
1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 也相等． 相等 ， 所对的 2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_____ 相等 ； 弦________ 相等 ，所对 3、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角______ 相等 ． 的弧_________ 在同圆或等圆中，两个 圆心角、两条弧、两条 弦中有一组量相等，它 们所对应的其余各组量 也相等．
2 2
B
1、三个元素：
圆心角、弦、弧、
α
Oα A1 B1
A
2、三个相等关系：
(1) 圆心角相等 (2) 弧相等
(3) 弦相等
知 一 得 二
弦心距、 知一推三
作业
1、教材87－88页
第2、11题 2.课时练
O D
N
F
变式练习：
P点在圆上，PB=PD吗？
P点在圆内，AB=CD吗？
M B
E
C P
B
E
P
N
.
O
M
N
.
O
D
A F
D
F
3．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且 ∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m，假 设拖拉机行驶时，周围100m内会受到噪音的影响， 那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校 是否会受到噪音影响？试说明理由，如果受影响， 已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的 时间为多少秒？
解:如图,用 AB 表示桥拱, AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 AB的中点,CD就是拱高. 由题设得 1
AB 7.2, CD 2.4, HN MN 1.5. 2 1 1 AD AB 7.2 3.6, 2 2 OD OC DC R 2.4.
探究一
思考：如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠A′O ′ B′， 你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
A
B
A′
B′
O
·
O′
·
由∠AOB＝∠A′O ′ B′可得 ︵ ︵ 到：
AB A ' B '.
AB A ' B '.
小结
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
B
A
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
O
D
C
4.已知：如图，∠AOB=90°，D、C将 AB三 等分，弦AB与半径OD、OC交于点F、E 求证：AE=DC=BF．
⌒
4、如图7所示，CD为⊙O的弦，在CD上取
CE=DF，连结OE、OF，并延长交⊙O于点A、
B.
（1）试判断△OEF的形状，并说明理由；
（2）求证：AC=BD
知识回顾
圆的对称性：
1、圆是轴对称图形
垂径定理及其推论
2、圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它 ? 都能与自身重合。（圆的旋转不变性）
概念
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. A O· B
A O
D
B
练一练：找出右上图
中的圆心角。
圆心角有：
∠AOD,∠BOD,∠AOB
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说
AB=CD ． AB = CD ，_________ （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________
E
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？ 答 ：OE﹦OF 证明：∵ OE⊥AB OF ⊥CD
A
B
在圆心角、弧、弦、弦心距 这四组量中，有一组量相等， ∵ AB﹦CD ∴ AE﹦CF 其余各组也相等。
Ｏ
Ｐ Ｄ
Ｃ
⑷若⊙O的半径为r,求等边三角形ABC的边长？ ⑸若等边三角形ABC的边长a,求⊙O的半径为多少？ 当a = 2 3 时求圆的半径?
做一做
如图，已知点O是∠EPF 的平分线上一点，P点在圆
外，以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B
和C、D。 求证：AB=CD
B E
A P C
M
.
OA2 AD2 OD2 , 即R2 3.62 ( R 2.4)2 .
2 2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON HN , 即OH 3.9 1.5 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
等对等定理
弧 相等
圆心角 相等
弦 相等
等对等定理整体理解：
(1) 圆心角
(2) 弧 (3) 弦 B
α
知 一 得 二
Oα
A B1
A1
思考 如图，∠AOB=2∠COD，则
AB=2CD吗？
C
⌒ ⌒ AB=2CD吗？
A
O
D
E
B
小试身手 1.判断下列说法是否正确： （1）相等的圆心角所对的弧相等。（×）
(4)如果这根原木长15m，问锯出地木材的体积为 多少立方米（树皮等损耗略去不计）？
Ｄ
Ｏ Ｃ
Ａ
Ｂ
想一想：点A是半圆上的三等分点,B是弧NA的中
点,P是直径MN上一动点.⊙O的半径为1,问P在直线 MN上什么位置时,AP+BP的值最小?并求出AP+BP 的最小值.
A
B
M O P N
船能过拱桥吗
练习
3、如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，
弦BE∥OA,求证：AC=AE
C
⌒ ⌒
A
O
E
B
3、已知:如图,A,B,C,D是⊙O上的点， ∠1=∠2。求证：AC=BD
4.如图，已知OA、OB是⊙O的半径，点C为 AB的中点，M、N分别为OA、OB的中点， 求证：MC=NC
提示：证 MOC 和 NOC全等
明理由。
①
②
③
④
任意给圆心角，对应出现三个量：
A
圆心角
弧
O·
弦
B
疑问：这三个量之间会有什么关系呢？
如图，在⊙O中，将圆心角∠AOB绕圆心O旋 转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？ A′ 为什么？ B
B′ O
探究一
·
A
可得到：
显然∠AOB＝∠A′OB′ ︵ ︵
AB A ' B '.
AB A ' B '.
·60°
C
练习
1、如图，AB是⊙O 的直径， BC = ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
E
CD
= DE
解：
D C
∵
BC = CD
= DE

A
O
·
BOC=COD=DOE=35
B
AOE 180 3 35


75

练习
2、如图，AD=BC, 比较AB和CD
⌒ ⌒
AB与CD的长度，并证明你的结论。
O M A C N B
⌒
3.如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半 径，弦BE∥OA, 求证：AC=AE
C O
⌒
⌒
A
E
B
知识延伸
如图，AC与BD为⊙O的两条互 相垂直的直径. 求证：AB=BC=CD=DA; AB=BC=CD=DA.
证明: ∵AC与BD为⊙O的两条互相垂直的直径, ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90º ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AB=BC=CD=DA AB=BC=CD=DA(圆心角定理)
（2）相等的弧所对的弦相等。（√ ）
（3）相等的弦所对的弧相等。（×）
2、练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
AOB COD ． AB = CD ，_________________ （1）如果AB=CD，那么___________
（2）如果
AB = CD
AOB COD ． AB=CD ， ，那么____________ _____________
圆心角 相等
弧 相等
弦 相等
思考
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？
温馨提示： 由弦相等推出弧相等时， 这里弧一般要求 都是优弧或劣弧