概率论基础讲义
概率论基础 PPT课件
正概率点为至多可列个
连续型 其他
任何随机变量X都是从负无穷到正无穷
离散型随机变量特点：正概率点为有限个或者可列个
0，1：正概率点 P(1)=1/2
P(0)=1/2
非离散型
连续型 其他
三.随机变量(random variable)的分布
4.1 概率的数学（公理化）定义 概率就是广义的函数
数学定义：设E是一个随机试验，Ω为它的样本空间，以E中所有的随机事件 组成的集合（事件体）为定义域，定义一个函数P(A)（其中A为任一随机事件），
且P(A)满足以下三个公理，则称函数P(A)为事件A的概率。
公理1（非负性） 0≤P(A)≤1 公理2（规范性） P(Ω)=1 公理3（可列可加性） 若A1,A2, …,An,…两两相斥，则
第一章 概率论基础
§1.1 概率简述
1. 随机现象及其统计规律性
在一组不变的条件下，具有多种可能发生的结果的现象称为随机现象， 这类现象的一个共同点是： 事先不能预言多种可能结果中究竟出现哪一种。
2. 随机试验与随机事件 我们把对随机现象进行的一次观测或者一次实验统称为一个试验， 如果这个试验满足下面的三个条件： （1）在相同的条件下，试验可以重复地进行；（可重复） （2）试验的结果不止一种，而且事先可以确知试验的所有结果； （3）在进行试验前不能确定出现哪一个结果。（不可预测） 那么我们就称它是一个随机试验，简称试验。一般用字母E表示。
数值p为事件A在条件S下发生的概率(probability) ，记作P(A)=p。
例2：捕鱼问题
× f
n
A
n
P
A
池塘中有鱼若干（不妨假设为n条），先捞上1000条作记号，放回后再
《概率》 讲义
《概率》讲义一、什么是概率在我们的日常生活中，经常会听到“可能”“也许”“大概”这样的词汇，这些词所表达的不确定性，在数学中就可以用概率来描述。
概率，简单来说，就是衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
比如抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上的可能性各占一半，我们就说抛硬币正面朝上的概率是 05 。
概率的取值范围在 0 到 1 之间。
如果一个事件完全不可能发生，那么它的概率就是0 ；如果一个事件肯定会发生，那么它的概率就是1 。
而大部分事件发生的概率则介于 0 和 1 之间。
二、概率的计算方法计算概率有多种方法，其中最基本的就是古典概型和几何概型。
古典概型适用于试验结果有限且等可能的情况。
例如，一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。
因为总共有 8 个球，取出每个球的可能性相等，而红球有 5 个，所以取出红球的概率就是 5÷8 ＝ 0625 。
几何概型则适用于试验结果是无限的情况。
比如在一个单位圆中随机取一点，求这个点落在圆的某个扇形区域内的概率，这时就需要通过计算扇形区域的面积与整个圆的面积之比来得到概率。
除了这两种基本的概型，还有一些更复杂的概率计算方法，比如条件概率和全概率公式。
条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
例如，已知今天下雨，明天也下雨的概率就是一个条件概率。
全概率公式则是将一个复杂的事件分解为多个简单的互斥事件，然后通过这些简单事件的概率来计算复杂事件的概率。
三、概率在生活中的应用概率在我们的生活中有着广泛的应用，从简单的游戏到复杂的决策都离不开它。
在彩票中，虽然中奖的概率极低，但仍然吸引着很多人购买，这是因为人们总是抱着一丝侥幸心理，希望自己成为那个幸运儿。
但从概率的角度来看，购买彩票中大奖更多的是一种娱乐，而不是可靠的致富方式。
在保险行业，保险公司通过对各种风险发生的概率进行计算和评估，来确定保险的费率和赔偿金额。
《概率》 讲义
《概率》讲义一、什么是概率在我们的日常生活中，经常会听到“可能”“也许”“大概”这样的词汇，而这些词所表达的不确定性，在数学中可以用“概率”来进行量化和研究。
概率，简单来说，就是用来衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
这个数值在 0 到 1 之间。
如果一个事件发生的概率是 0，那就意味着这个事件几乎不可能发生；如果概率是 1，那就表示这个事件肯定会发生；而如果概率在 0 和 1 之间，比如 05，那就说明这个事件有一半的可能性会发生。
举个例子，抛一枚均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是 05。
因为硬币只有正反两面，而且在理想情况下，硬币正反面出现的机会是均等的。
再比如，从一个装有 5 个红球和 5 个白球的袋子中随机摸出一个球是红球的概率，就是 05。
二、概率的计算方法1、古典概型古典概型是一种最简单的概率模型。
在古典概型中，如果一个试验有 n 个等可能的结果，事件 A 包含其中的 m 个结果，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
例如，一个盒子里有 3 个红球和 2 个白球，从中随机取出一个球是红球的概率，总共有 5 个球，其中红球有 3 个，所以取出红球的概率就是 3/5 。
2、几何概型几何概型是另一种常见的概率模型。
当试验的结果是无限个，且每个结果出现的可能性相等时，我们常常使用几何概型来计算概率。
比如说，在一个时间段内等待公交车，假设公交车在这段时间内任何时刻到达的可能性相等，那么我们计算在某一特定时间段内等到公交车的概率时，就可以使用几何概型。
3、条件概率条件概率是指在某个条件下，某个事件发生的概率。
假设事件 A 和事件 B，在事件 B 已经发生的条件下，事件 A 发生的概率，记作 P(A|B) 。
例如，已知一个家庭有两个孩子，其中一个是女孩，那么另一个孩子也是女孩的概率就是一个条件概率。
三、概率在实际生活中的应用1、保险行业保险公司在制定保险政策和计算保费时，会大量使用概率知识。
概率论通识讲义
概率论通识讲义概率论是现代科学的重要分支之一，它研究的是随机事件的规律性和概率分布，是科学研究、决策分析、风险管理等领域不可或缺的工具。
本文旨在为读者提供概率论的基础知识，包括概率的定义、性质、概率分布、随机变量等内容。
一、概率的定义和性质概率是描述随机事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的实数表示。
概率的定义有三种形式：古典概型、几何概型和统计概型。
其中，古典概型适用于事件的样本空间有限的情况，几何概型适用于事件的样本空间为几何形状的情况，统计概型适用于事件的样本空间无限的情况。
概率具有以下几个性质：1. 非负性：对于任何事件A，其概率P(A)必须大于等于0。
2. 规范性：对于样本空间Ω中的所有事件A，它们的概率之和等于1，即P(Ω)=1。
3. 可列可加性：对于任意的可列个事件A1、A2、…，它们的并集的概率等于它们概率之和，即P(A1∪A2∪…) = P(A1) + P(A2) + …。
4. 互斥事件的加法规则：对于互斥事件A和B，它们的并集的概率等于它们概率之和，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
二、概率分布概率分布是用来描述随机变量的概率分布规律的函数。
随机变量是指取值不确定的变量，可以是离散的或连续的。
离散型随机变量取有限或可数个值，其概率分布函数称为概率质量函数。
连续型随机变量可以取任意实数值，其概率分布函数称为概率密度函数。
离散型随机变量的概率质量函数可以用下列公式表示：P(X=x) = f(x)，其中x为随机变量的取值，f(x)为概率质量函数。
连续型随机变量的概率密度函数可以用下列公式表示：P(a≤X≤b) = ∫ab f(x)dx，其中a和b为随机变量的取值范围，f(x)为概率密度函数。
三、随机变量随机变量是指取值不确定的变量，可以是离散的或连续的。
随机变量的期望、方差和协方差是概率论中重要的概念。
其中，期望是随机变量的平均值，方差是随机变量偏离其期望的平方的平均值，协方差是两个随机变量之间的相关性度量。
曹显兵.概率论讲义(打印版)
第一讲 随机事件与概率考试要求1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算.2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式.3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型1．试验，样本空间与事件.2．古典概型：设样本空间Ω为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 基本事件总数中有利事件数A A P =)(3．几何概型：设Ω为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）A的度量（长度、面积=)(A P【例1】 一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率. （1） 一次取3个；（2） 一次取1 个, 取后不放回； （3） 一次取1个, 取后放回.【例2 】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率： （1） 两数之和小于1.2； （2） 两数之和小于1且其积小于163. 一、 事件的关系与概率的性质1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有： （1） A 与B 互斥（互不相容） ⇔ Φ=AB （2） A 与B 互逆（对立事件） ⇔ Φ=AB ,Ω=B A（3） A 与B 相互独立⇔ P （AB ）=P （A ）P （B ）.⇔ P （B|A ）=P （B ） （P （A ）>0）. ⇔(|)(|)1P B A P B A += （0<P （A ）<1）.⇔P （B|A ） =P （B|A ） （ 0 < P （A ） < 1 ）注: 若（0<P （B ）<1）,则,A B 独立⇔ P （A|B ）=P （A ） （P （B ）>0）⇔ 1)|()|(=+B A P B A P （0<P （B ）<1）. ⇔ P （A |B ）=P （A |B ） （0<P （B ）<1） ⇔ P （A |B ）=P （A |B ） （0<P （B ）<1）（4） A, B, C 两两独立 ⇔ P （AB ）=P （A ）P （B ）;P （BC ）=P （B ）P （C ）; P （AC ）=P （A ）P （C ）.（5） A, B, C 相互独立 ⇔ P （AB ）=P （A ）P （B ）;P （BC ）=P （B ）P （C ）; P （AC ）=P （A ）P （C ）;P （ABC ）=P （A ）P （B ）P （C ）.2. 重要公式 （1） )(1)(A P A P -=（2）)()()(AB P A P B A P -=-（3） )()()()(AB P B P A P B A P -+=)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=（4） 若A 1, A 2,…,A n 两两互斥, 则∑===ni i ni iA P AP 11)()(.（5） 若A 21,A , …, A n 相互独立, 则 )(1)(11in i n i iA P A P ∏==-= )](1[11ini A P ∏=--=.∏===ni i n i i A P A P 11)()( .（6） 条件概率公式: )()()|(A P AB P A B P =（P （A ）>0）【例3】 已知（A ＋B ）（B A +）＋B A B A +++＝C, 且P （ C ）＝31, 试求P （B ）. 【例4】 设两两相互独立的三事件A, B, C 满足条件: ABC ＝Φ, P （A ）＝P （B ）＝P （C ）<21,且已知9()16P A B C =, 则P （A ）＝ .【例5】 设三个事件A 、B 、C 满足P （AB ）＝P （ABC ）, 且0<P （C ）<1, 则 【 】（A ）P （A B|C ）＝P （A|C ）+ P （B|C ）. （B ）P （A B|C ）＝P （AB ）.（C ）P （AB|C ）＝P （A|C ）+ P （B|C ）. （D ）P （AB|C ）＝P （AB ）.【例6】 设事件A, B, C 满足条件: P （AB ）＝P （AC ）＝P （BC ）18=, P （ABC ）＝116, 则事件A, B, C 中至多一个发生的概率为 .【例7】 设事件A, B 满足 P （B| A ）＝1则【 】（A ） A 为必然事件. （B ） P （B|A ）=0.（C ） A B ⊃. （D ） A B ⊂.【例8】 设A, B, C 为三个相互独立的事件, 且0<P （C ）<1, 则不独立的事件为 【 】 （A ）B A +与C . （B ） AC 与C（C ）B A -与C （D ） AB 与C【例9】 设A ，B 为任意两个事件，试证P （A ）P （B ）－P （AB ） ≤ P （A －B ） P （B －A ） ≤41. 三、乘法公式，全概率公式，Bayes 公式与二项概率公式 1． 乘法公式：).|()|()|()()().|()()|()()(1212131212121212121-===n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P A A P A P A A P A P A A P2． 全概率公式：11()(|)(),,,.i i i j i i i P B P B A P A A A i j A ∞∞====Φ≠=Ω∑ 3．Bayes 公式：11(|)()(|),,,.(|)()j j j i j i i iii P B A P A P A B A i j A P B A P A ∞∞====Φ≠=Ω∑ A 4．二项概率公式:()(1),0,1,2,,.k kn k n n P k C P P k n -=-= ,【例10】 10件产品中有4件次品, 6件正品, 现从中任取2件, 若已知其中有一件为次品,试求另一件也为次品的概率.【例11】设10件产品中有3件次品, 7件正品, 现每次从中任取一件, 取后不放回.试求下列事件的概率. （1） 第三次取得次品; （2） 第三次才取得次品;（3） 已知前两次没有取得次品, 第三次取得次品; （4） 不超过三次取到次品;【例12】 甲, 乙两人对同一目标进行射击,命中率分别为0.6和0.5, 试在下列两种情形下, 分别求事件“已知目标被命中,它是甲射中”的概率.（1）在甲, 乙两人中随机地挑选一人, 由他射击一次; （ 2）甲, 乙两人独立地各射击一次.【例13】设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份,7份和5份. 随机地取一个地区的报名表,从中先后任意抽出两份. (1) 求先抽到的一份是女生表的概率p;(2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q .第二讲 随机变量及其分布考试要求1. 理解随机变量及其概率分布的概念.理解分布函数（()()F x P X x =≤） 的概念及性质.会计算与随机变量有关的事件的概率.2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson ）分布及其应用.3. 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布.4. 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布2(,)N μσ、指数分布及其应用，其中参数为(0)λλ>的指数分布的概率密度为,0,()0,0.x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩5. 会求随机变量函数的分布. 一、分布函数1．随机变量：定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量. 2．分布函数：∞+-∞=＜＜),≤ ()(x x X P x FF （x ）为分布函数 ⇔（1） 0≤F （x ） ≤1（2） F （x ）单调不减 （3） 右连续F （x+0）=F （x ） （4）1)(,0)(=+∞=-∞F F3．离散型随机变量与连续型随机变量（1） 离散型随机变量∑∞=====1i 10,≥,,,2,1,)(i i i i p p n i p x X P分布函数为阶梯跳跃函数.（2） 连续型随机变量⎰∞-=xtt f x F d )( )(f （x ）为概率密度 ⇔ （1） f （x ）≥0, （2） ⎰+∞∞- f （x ）1d =x⎰=≤≤=<<bax f b X a P b X a P )()()(4．几点注意【 例1 】 设随机变量X 的分布函数为0,1,57(),11,16161, 1.x F x x x x <-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩则2(1)P X== .【 例2 】 设随机变量X 的密度函数为 f （x ）, 且 f （－x ） = f （x ）, 记()X F x 和()X F x -分别是X 和X -的分布函数, 则对任意实数x 有 【 】 （A ）()()X X F x F x -=. （B ）()()X X F x F x -=-.（C ）()1()X X F x F x -=-.（D ）()2()1X X F x F x -=-.【 例3 】 设 随机变量X 服从参数为0λ>的指数分布, 试求随机变量 Y= min { X, 2 } 的分布函数【 例4 】设某个系统由 6 个相同的元件经两两串联再并联而成, 且各元件工作状态相互独立 每个元件正常工作时间服从参数为 0λ>的指数分布, 试求系统正常工作的时间 T 的概率分布.【 例5】设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<-=.,0,1|||,|1)(其他x x x f 试求（1）X 的分布函数)(x F ; （2）概率)412(<<-X P .二、 常见的一维分布（1） 0-1分布：1,0,)1()(1 =-==-k p p k XP k k .（2） 二项分布n k p p C k X P p n B k n k k n ,,1,0,)1()(:),( =-==- .（3） Poisson 分布)(λP ： ,2,1,0,0＞,e !)(===-k k k XP k λλλ.（4） 均匀分布⎪⎩⎪⎨⎧-=.,＜＜1)(:),(其他０，， b x a a b x f b a U（5） 正态分布N （μ，σ2）：0,,eπ21)(222)(+∞<<∞->=--μσσσμ x x f（6） 指数分布⎩⎨⎧=-. ,0 ＞0,,e )(:)(其他x x f E x λλλ ＞0λ.（7） 几何分布.2110,)1()(:)(1 ,,k ,＜p＜p p k XP p G k =-==- （8） 超几何分布H （N,M,n ）: },min{,,1,0,)(M n k C C C k X P nNkn M N k M ===-- . 【例6】某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p （0<p<1）, 则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为【 】 （A ） 2)1(3p p -.（B ） 2)1(6p p -.（C ） 22)1(3p p-. （D ） 22)1(6p p-.【例7】 设X ～Ｎ （μ, σ2）, 则 P （ X ≤1＋μ） 【 】 （A ） 随μ的增大而增大 . （B ） 随μ的增大而减小. （C ） 随σ的增大而不变 . （D ） 随σ的增大而减小. 【例8】 设X ～Ｎ （μ, σ2）, ()F x 为其分布函数，0μ<，则对于任意实数a ，有 【 】（A ） ()() 1.F a F a -+> （B ） ()() 1.F a F a -+= （C ） ()() 1.F a F a -+< （D ） 1()().2F a F a μμ-++=【例9】 甲袋中有1个黑球，2个白球，乙袋中有3个白球，每次从两袋中各任取一球交换放入另一袋中，试求交换n 次后，黑球仍在甲袋中的概率.三、 随机变量函数的分布： 1. 离散的情形2. 连续的情形3. 一般的情形【例10】 设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤<<-=.,0,20,41,01,21)(其他x x x f X令),(,2y x F X Y=为二维随机变量（X, Y ）的分布函数.（Ⅰ） 求Y 的概率密度)(y f Y ;（Ⅱ） )4,21(-F . 第三讲 多维随机变量及其分布考试要求1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事件的概率.2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 .4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布. 一、 各种分布与随机变量的独立性 1. 各种分布（1）一般二维随机变量 F （x, y ）=P{ X ≤ x, Y ≤ y }, x ∈ （−∞, +∞）, y ∈ （−∞, +∞）的性质F （x, y ）为联合分布函数 ⇔ 1） 0 ≤F （x, y ）≤1 , ∀x ∈ （−∞, +∞）,, y ∈ （−∞, +∞）;2） F （−∞, y ）= F （x, −∞）=0, F （+∞,+∞）=1;3） F （x, y ）关于x, y 均为单调不减函数； 4） F （x, y ）关于x, y 均分别右连续.（2）二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布联合概率分布律 P{X = x i , Y = y j } = p i j , i, j =1, 2 ,⋅⋅⋅ , p i j ≥ 0,1=∑∑ijji p.边缘分布律 p i • = P{X = x i }=∑jji p, i =1, 2 ,⋅⋅⋅ ,p • j = P{ Y = y j }=∑iji p, j =1, 2 ,⋅⋅⋅ ,条件分布律 P{X = x i |Y = y j } =jj i p p •, P{ Y = y j | X = x i } =•i j i p p .二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度f （x, y ）为联合概率密度 ⇔ 1︒ f （x, y ）≥0,2︒1=⎰⎰∞+∞-∞+∞- ),(dxdy y x f .设（ X, Y ）~ f （x, y ）则分布函数: ⎰⎰∞-∞-=xydxdy y x f y x F ),(),(;边缘概率密度:⎰∞+∞-= ),()(dy y x f x f X , ⎰∞+∞-= ),()(dx y x f x f Y .条件概率密度:)(),()|(|y f y x f y x f Y Y X =, )(),()|(|x f y x f x y f X X Y =.⎰⎰=∈Ddxdy y x f D Y X P ),(}),{(.),(),(yx y x F y x f ∂∂∂=22. 随机变量的独立性和相关性X 和Y 相互独立 ⇔ F （x, y ）= F X （x ）F Y （y ）;⇔ p i j = p i • ⨯ p • j （离散型）⇔ f （x, y ）= f X （x ）f Y （y ） （连续型）【注】1︒ X 与Y 独立, f （x ）, g （x ）为连续函数 ⇒ f （X ）与g （Y ）也独立. 2︒ 若X 1, ⋅⋅⋅⋅, X m , Y 1, ⋅⋅⋅⋅, Y n 相互独立, f , g 分别为m 元与 n 元连续函数 ⇒ f （X 1, ⋅⋅⋅⋅, X m ）与g （Y 1, ⋅⋅⋅⋅, Y n ）也独立. 3︒ 常数与任何随机变量独立.3. 常见的二维分布（1）二维均匀分布 （X, Y ）~ U （D ）, D 为一平面区域. 联合概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈=.,.),(,)(),(其他01D y x D S y x f （2）二维正态分布 （X, Y ）~ N （μ1 , μ2, σ12,σ22, ρ ）, −∞ <μ1, μ2 < +∞, σ1>0, σ2 > 0, | ρ | <1. 联合概率密度为221121ρσπσϕ-=),(y x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------22222121212122121σμσσμμρσμρ)())(()()(y y x x e性质:（ a ） X ~ N （μ1, σ12 ）, Y ~ N （μ2, σ22） （ b ） X 与Y 相互独立 ⇔ ρX Y =0 , 即 X 与Y 不相关.（ c ） C 1X+C 2Y ~ N （C 1 μ1+ C 2 μ2, C 12σ12+ C 22σ22+2C 1C 2 ρ σ1σ2 ）. （ d ） X 关于Y=y 的条件分布为正态分布: )](),([22122111ρσμσσρμ--+y N 【 例1 】 设A ，B 为事件，且P （A ）＝41, P （B|A ）＝21, P （A|B ）＝12令 X ＝⎩⎨⎧否则发生若,0,1A , Y ＝⎩⎨⎧否则发生若,0B ,1（1） 试求（X, Y ）的联合分布律； （2）计算Cov （ X, Y ）； （3） 计算 22(2,43)Cov XY +.【 例2 】设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X, Y ）联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处.【 例3 】设随机变量X 与Y 独立同分布, 且X 的概率分布为313221PX 记{}{}Y X V Y X U,m in ,,m ax ==.（I ）求（U, V ）的概率分布;（II ）求（U, V ）的协方差Cov （U, V ）.【详解】（I ）易知U, V 的可能取值均为: 1, 2. 且{}{}})1,m in ,1,(m ax )1,1(=====Y X Y X P V U P)1,1(===Y X P 94)1()1(====Y P X P , {}{}0})2,m in ,1,(m ax )2,1(======Y X Y X P V U P , {}{}})1,m in ,2,(m ax )1,2(=====Y X Y X P V U P)2,1()1,2(==+===Y X P Y X P)2()1()1()2(==+===Y P XP Y P X P 94=, {}{}})2,m in ,2,(m ax )2,2(=====Y X Y X P V U P)2()2()2,2(======Y P X P Y X P 91=, 故（U, V ）的概率分布为:（II ） 9122941209411)(⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=UV E 916=, 而 914952941)(=⨯+⨯=U E , 910912981)(=⨯+⨯=V E . 故 814910914916)()()(),(=⨯-=-=V E U E UV E V U Cov . 【 例4】 设随机变量X 在区间（0, 1）上服从均匀分布, 在)10(<<=x x X 的条件下,随机变量Y 在区间),0(x 上服从均匀分布, 求（Ⅰ）随机变量X 和Y 的联合概率密度;（Ⅱ）Y 的概率密度; （Ⅲ）概率}1{>+Y XP .二、 二维（或两个）随机变量函数的分布 1．分布的可加性（1）若X~B （m, p ）, Y~B （n, p ）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ B （m+n, p ）. （2）若X~P （λ1）, Y~P （λ2）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ P （λ1+λ2）.（3）若X~N （211,μσ）, Y~P （222,μσ）, 且X 与Y 相互独立，则 X+Y ~ N （221212,μμσσ++）.一般地，若X i ~N （2,i i μσ）, i =1, 2, …, n, 且X 1，X 2，…，X n 相互独立，则Y=C 1X 1+C 2X 2+…+C n X n +C 仍服从正态分布，且此正态分布为2211(,),n ni i i i i i N C C Cμσ==+∑∑ 其中C 1，…，C n 为不全为零的常数.2. 两个随机变量函数的分布. 【例5】 设X 与Y 相互独立, 且~(1),~(2),X P Y P 则{max(,)0}______;P X Y ≠={min(,)0}__________.P X Y ≠=【 例6】 设X 与Y 相互独立, 其密度函数分别为:1,01,()X x f x <<⎧=⎨⎩0,其他. ,0,()y Y e y f x -⎧>=⎨⎩0,其他.求Z ＝2X ＋Y 的概率密度.【 例7】设二维随机变量（X, Y ）的概率密度为2,01,01,(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其它.（I ）求{}Y X P 2>；（II ）求Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z .【详解】（I ）{}Y X P 2>⎰⎰>=yx dxdy y x f 2),(⎰⎰--=12210)2(ydx y x dy 247=. （II ）方法一： 先求Z 的分布函数: ⎰⎰≤+=≤+=zy x Z dxdy y x f Z Y X P z F ),()()(当z<0时, 0)(=z F Z ; 当10<≤z 时, ⎰⎰=1),()(D Z dxdy y x f z F ⎰⎰---=yz zdx y x dy 00)2(3231z z -=；当21<≤z 时, ⎰⎰-=2),(1)(D Z dxdy y x f z F ⎰⎰-----=111)2(1yz z dx y x dy3)2(311z --=； 当2≥z时, 1)(=z F Z .故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z =)(z F Z '⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z方法二：⎰∞+∞--=dx x z x f z f Z ),()(，⎩⎨⎧<-<<<---=-.,0,10,10),(2),(其他x z x x z x x z x f ⎩⎨⎧+<<<<-=.,0,1,10,2其他x z x x z 当z ≤0 或z ≥ 2时, 0)(=z f Z ;当01z <<时,⎰-=z Z dx z z f 0)2()()2(z z -=；当21<≤z 时, ⎰--=11)2()(z Z dx z z f 2)2(z -=；故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z ⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-=.,0,21,)2(,10,222其他z z z z z【例8】 设随机变量X 与Y 相互独立, X 有密度函数f （x ）, Y 的分布律为 ()i i P Y a p ==, i =1,2. 试求Z ＝X ＋Y 的概率分布.第四讲 数字特征与极限定理考试要求1．理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念, 会运用数字特征的基本性质, 并掌握常用分布的数字特征.2．会根据随机变量X 的概率分布求其函数)(X g 的数学期望)(X Eg ；会根据随机变量X 和Y 的联合概率分布求其函数),(Y X g 的数学期望),(Y X Eg .3．了解切比雪夫不等式.4．了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大数定律）5．了解棣莫弗—拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维—林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）；（经济类还要求）会用相关定理近似计算有关随机事件的概率 一、 数学期望与方差（标准差） 1. 定义（计算公式）离散型{}i i p x X P ==, ∑=iii px X E )(连续型)(~x f X , xx xf X E d )()(⎰+∞∞-=方差：[]222)()())(()(X E X E X E X E X D -=-=标准差：)(X D ,2. 期望的性质：1° )())((,)(X E X E E C C E == 2° )()()(2121Y E C X E C Y C X C E +=+ 3° )()()(Y E X E XY E ，Y X =则独立与若4° [])()(≤)(222Y E X E XY E3. 方差的性质：1° 0))((,0))((,0)(===X D D X E D C D 2°)()()(Y D X D Y X D Y X +=±相互独立，则与3° )()(2121X D C C X C D =+ 4° 一般有 ),Cov(2)()()(Y X Y D X D Y XD ±+=±)()(2)()(Y D X D Y D X D ρ±+=5°2()()C D X E X <-, )(X E C ≠【例1】设试验成功的概率为43, 失败的概率为41, 独立重复试验直到成功两次为止. 试求试验次数的数学期望. 【例2】 n 片钥匙中只有一片能打开房门, 现从中任取一片去试开房门, 直到打开为止. 试在下列两种情况下分别求试开次数的数学期望与方差: （1）试开过的钥匙即被除去; （2）试开过的钥匙重新放回.【例3】 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0,0,2cos 21)(其他πx x x f 对X 独立地重复观察4次, 用Y 表示观察值大于3π的次数, 求2Y 的数学期望.【例4】 设有20人在某11层楼的底层乘电梯上楼, 电梯在中途只下不上, 每个乘客在哪一层（2-11层）下是等可能的, 且乘客之间相互独立, 试求电梯须停次数的数学期望. 二、随机变量函数的期望（或方差） 1、一维的情形 )(X g Y =离散型：{}i i P Xx p == ， ∑=ii ipx g Y E )()(连续型：~()X f x x x f x g Y E d )()()(⎰+∞∞-=2、二维的情形 ),(Y X g Z =离散型{}iji i p y Y x X P Y X ===,~),(,∑∑=jij jiipy x g Z E ),()(连续型),(~),(y x f Y X , y x y x f y x g Z E d d ),(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-=【例5】 设X 与Y 独立且均服从N （0，1），求Z ＝22Y X + 的数学期望与方差.【例6】设两个随机变量X 与Y 相互独立且均服从N （0，21）, 试求Z ＝｜X －Y ｜的数学期望与方差. 三 、协方差，相关系数与随机变量的矩 1、重要公式与概念：协方差 []))()((()Cov(Y E Y X E X E X,Y --=相关系数 )()()Cov(Y D X D X,Y XY =ρ)(k X E k 阶原点矩[]kX E X E k ))((- 阶中心矩2、性质：1°),(Cov ),(Cov X Y Y X =2° ),(Cov ),(Cov Y X ab bY aX = 3° ),(Cov ),(Cov ),(Cov 2121Y X Y X Y X X +=+4° |(,)|1X Y ρ≤5° 1)(1),(=+=⇔=b aX Y P Y X ρ )＞0(a 1)(1),(=+=⇔-=b aX Y P Y X ρ )＜0(a 3、下面5个条件互为充要条件：（1）0),(=Y X ρ（2）0)Cov(=X,Y （3）)()()(Y E X E XY E = （4）)()()(Y D X D Y X D +=+ （5）)()()(Y D X D Y X D +=- 【例7】设)2(,,,21>n X X X n 为独立同分布的随机变量, 且均服从)1,0(N , 记∑==ni iX n X 11,.,,2,1,n i X X Y i i =-= 求:（I ） i Y 的方差n iY D i ,,2,1),( =；（II ） 1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ; （III ） }.0{1≤+n Y Y P四、极限定理1. 切比雪夫不等式{}{}()()|()|,|()|<1-22D X D X P XE X P X E X εεεε-≥≤-≥或2. 大数定律3. Poisson 定理4. 中心极限定理列维—林德伯格定理: 设随机变量X 1，X 2，…，X n ，…相互独立同分布, 且2(),(),i i E X D X μσ== 1,2,,,i n =， 则对任意正数x ，有2-2lim d n t i x n X n P x t μ-∞→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑⎰ 棣莫弗—拉普拉斯定理: 设~(,),nB n p η（即X 1，X 2，…，X n，…相互独立, 同服从0一1分布） 则有22lim d t x n P x t --∞→∞⎧⎫⎪≤=⎬⎪⎭⎰. 【例8】 银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔现金，已知这批债券共发放了500张，每张须付本息1000元，设持券人（1人1券）到期到银行领取本息的概率为0.4.问银行于该日应准备多少现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.【分析】 若X 为该日到银行领取本息的总人数，则所需现金为1000X ，设银行该日应准备现金x 元.为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，则 P （1000X ≤x ）≥0.999.【详解】 设X 为该日到银行领取本息的总人数，则X~B （500，0.4）所需支付现金为1000X ，为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，设银行该日应准备现金x 元，则 P （1000 X ≤x ）≥0.999.由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理知：(1000)()1000x P X x P X ≤=≤5000.4x P ⎛⎫-⨯ ⎪=≤=≤0.999(3.1).ΦΦ≈≥=即3.1,≥得 x ≥ 233958.798.因此银行于该日应准备234000元现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换.第五讲 数理统计考试要求1. 理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念.其中样本方差定义为.)(11212X X n S i ni --=∑=2. 了解2χ分布、t 分布和F 分布的概念及性质，了解分位数的概念并会查表计算. 3. 了解正态总体的常用抽样分布.4. 理解经验分布函数的概念和性质, 会根据样本值求经验分布函数.5. 理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.6. 掌握矩估计法（一阶、二阶矩）和最大似然的估计法.7. 了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性.8. 理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间. 9. 理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的 两类错误.10. 了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验 一、样本与抽样分布1. 总体、个体与简单随机样本:2. 常用统计量:1° 样本均值 i ni X nX ∑==112° 样本方差 212)(11X X n S i ni --=∑=3° 样本标准差: S =4° 样本k 阶原点矩 11,1,2,n kk i i A X k n ===∑5° 样本k 阶中心矩 11(),1,2,n kk i i B X X k n ==-=∑3．分位数 4. 重要抽样分布（1）分布2χ （2） t 分布 （3） F 分布5. 正态总体的常用抽样分布:22,,,(,),n X X X N μσ1设为来自正态总体的样本11nii X X n ==∑,2211()1ni i S X X n ==--∑, 则 （1）2~,~(0,1).X N N n σμ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）222221(1)1()~(1).ni i n S X X n χσσ=-=--∑（3）22211()~().ni i X n μχσ=-∑（4） ~(1).X t n - （5）X 与2S 相互独立, 且 μ=)(X E , 22)(σ=S E , nX D 2)(σ=.【例1】 设总体2~(,),XN μσ设12,,,n X X X 是来自总体X 的一个样本, 且22111,()nni nii i X X S XX n====-∑∑，求21()n E X S .【例2】 设总体2~(,),X N μσ 设12,,,nX X X 是取自总体X 的一个样本, 且221111,()1nni i i i X X S X X nn ====--∑∑，则 2()_________D S=.【例3】设随机变量~()(1),X t n n >, 则 21~________Y X =【例4】 设总体X 服从正态分布)2,0(2N , 而1521,,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本, 求随机变量)(221521121021X X X X Y ++++= 的分布. 【例5】 设总体2~(,),X N μσ 设121,,,,n n X X X X +是来自总体X 的一个样本, 且*221111,()()nni ii i X X S XX nn====-∑∑，试求统计量的分布. 二、参数估计1. 矩估计2. 最大似然估计3. 区间估计4. 估计量的评选标准 【例6】设总体12~(,)XU θθ，n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本，试求12,θθ的矩估计和最大似然估计.【例7】设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<=.,0,21,1,10,),(其他x x x f θθθ其中θ是未知参数)10(<<θ, n X X X ,,2,1 为来自总体X 的简单随机样本, 记N 为样本值n x x x ,,2,1 中小于1的个数, 求：（1）θ的矩估计；（2） θ的最大似然估计.【例8】设总体X 的概率密度为36(),0,()0,xx x f x θθθ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他. n X X X ,,,21 为来自X 的简单随机样本，（1） 求θ的矩估计量ˆθ； （2） 判断θ的无偏性; （3） 判断θ的一致性. 三、假设检验1. 假设检验的基本思想：对总体分布中的未知参数作出某种假设，根据样本在假设为真的前提下构造一个小概率事件，基于“小概率事件”在一次试验中几乎不可能发生而对假设作出拒绝或接受.2. 单个正态总体均值和方差的假设检验.3. 假设检验两类错误：第一类错误：原假设0H 为真，但拒绝了0H .第二类错误；原假设0H 为假，但接受到了0H .。
(完整版)《概率论与数理统计》讲义
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
《概率论讲义》课件
线性回归
介绍线性回归模型的基本原理和应用案例。
多元非线性回归
探讨多元非线性回归分析的方法和实际应用。
蒙特卡罗方法
1
简介和基本概念
介绍蒙特卡罗方法的基本思想和使用领域。
2
模拟方法
说明蒙特卡罗方法的模拟过程和实际应用。
3
抽样方法
讨论蒙特卡罗方法中的抽样技术和抽样步骤。
应用案例
金融风险管理
探讨概率论在金融风险管理中的应用和重要性。
2
弱大数定律
探讨具体的弱大数定律和其适用性。
3
中心极限定理
详细解释中心极限定理及其在概率论中的重要性。
统计推断
1 点估计
介绍点估计的概念和方法，以及其在概率论中的应用。
2 区间估计
说明区间估计的原理和步骤，并讨论其实际应用。
3 假设检验
讲解假设检验的基本思想和步骤，以及其在统计学中的作用。
回归分析
《概率论讲义》PPT课件
概率论讲义PPT课件大纲
简介
介绍概率论的基本概念和应 用领域，初步了解概率论的 历史和发展。
随机变量
定义随机变量，离散型和连 续型随机变量及其概率分布。
概率分布
二项分布，泊松分布和正态 分布。
大数定律与中心极限定理
1
定义大数定律和中心极限定理
深入了解大数定律和中心极限定理的概念和应用。
人口统计学
展示概率论如何应用于人口统计学数据的分析和预测。
物理学和天文学
介绍概率论在物理学和天文学研究中的关键作用。
结论
总结所学内容，展望概率论的未来发展和应用前景。
参考文献
推荐阅读经典著作和相关文献
提供经典著作和相关文献，供学习和研究参考。
《概率论基础》课件
本课程将为您介绍概率论的基础知识，包括概率的基本概念、性质，常见的 概率模型，概率计算方法以及在实际问题中的应用。
课程介绍
欢迎参加《概率论基础》课程！它将帮助您理解概率论的重要性以及其在实 际生活中的应用。
在本课程中，您将学习概率的基本概念、概率的性质，以及如何使用概率模 型解决实际问题。
天气预报
探索概率在天气预报中的应 用。
医学研究
学习如何使用概率在医学研 究中进行数据分析。
总结和回顾
感谢您参加《概率论基础》课程！在本课程中，我们深入学习了概率的基本概念、性质，常见的 概率模型，概率计算方法以及概率在实际问题中的应用。 希望您通过本课程的学习，加深对概率论的理解，并能将其应用于实际生活和工作中。
连续概率分布
了解连续概率分布，如 正态分布和指数分布。
混合概率模型
探索混合概率模型和它 们的应用。
概率计算方法
1
排列组合
学习如何使用排列和组合计算概率。
条件概率树
2
掌握使用条件概率树解决复杂问题
的方法。
3
贝叶斯定理
了解贝叶斯定理在概率计算中的重 要性。
概率在实际问题中的应用
股票市场
了解如何使用概率计算股票 行情和投资决策。
概率的基本概念
1 随机事件
了解随机事件的定义和特征。
3 事件的概率
学习如何计算事件的概率。
2 样本空间
掌握样本空间的概念和表示方法。Βιβλιοθήκη 概率的性质互斥事件
研究互斥事件的特性和计算 方法。
独立事件
条件概率
探讨独立事件的概念和性质。
学习如何计算条件概率和应 用。
常见的概率模型
概率论基础优秀课件
• 样本空间()：一个随机试验的所有可能结 果的集合
• 样本点()：试验的每一个可能结果
例1.2 随机现象的样本空间
• 试列出例1.1中随机现象的样本空间
– 掷一颗骰子的样本空间：Ω1={ω1,ω2,…,ω6}，其 中ωi表示出现i点，i=1,2,…,6。也即掷一颗骰子 的样本空间为：Ω1={1,2,…,6}
件A，则事件A包含的样
本点数为C51C31 ，故取到 两个不同颜色球的概率为
P(A)
C51C
1 3
15
C82
28
– 将“白球”、“黑球” 替换为“正品”、“次 品”，就可以用来求解 产品质量抽样检查问题
– 向口袋中加入其他颜色 的球，可以描述具有更 多等级的产品抽样问题， 如将产品分为一等品、 二等品、三等品、等外 品的产品抽样检查问题
＋FN(B)
(2)概率的古典定义
• 古典概型：具有以下两个基本特点的概率模型
– 试验具有有限个可能出现的结果 – 试验的每个基本事件出现的可能性都是相等的
• 古典概型中基本事件ω的概率（假定样本空间
={ω1，ω2，…，ωn}
P(1 ) P(2
）
)
P(n
)
1 n
• 古典概型中随机事件A的概率
P(A)
概率论基础
1 概率论基础
1.1 事件与概率 1.2 概率的基本性质 1.3 条件概率与事件独立性 1.4 随机变量及其分布
1.1 事件与概率
• 自然界和人类社会生产实践中的两类现象
– 确定性现象：具有确定结果的现象 – 不确定性现象/随机现象：在基本条件不变的情
况下，一系列试验或观察会得到不同的结果， 并且在每次试验或观察之前不能预知会出现哪 种结果
第一章_概率论基础
注2
随机变量概念的理解
1） 对于ω∈Ω，有唯一X(ω)与之对应, 随机变量 X可理解为 从样本空间 Ω到实数集 Rx的一个映 射.
A
B
易知 A+= A+=A
n个事件A1,A2,…,An中至少有一个发生 是一个事件, 称为事件的和, 记作： A1+A2+…+An 或 A1A2…An
可列个事件的和表示可列个事件中至少有一个事件发生, 记作
A
i 1
i
或
A
i 1
i
事件的交(积)
两个事件A与B同时发生, 即"A且B", 是一 个事件, 称为事件A与B的交. 它是由既属于A 又属于B的所有公共样本点构成的集合. 记作 AB 或 AB
事件间的关系及其运算
为了直观, 经常使用图示来表示事件, 一般地, 用一个平面上某个方(或矩)形区表示必然事件 或者整个样本空间, 其中的一个子区域表示 一具体的事件.
A
事件的包含
如果事件A发生必然导致事件B发生， 即属 于A的每一个样本点都属于B，则称事件B包含事 件A或称事件A含于事件B，记作： BA或AB
A
B
易知 A=A A=
对立事件
事件"非A"称为A的对立事件(或逆事件). 它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成 的集合. 记作 A
显然
AA , A A , AA
A
A
事件的差
事件A发生而事件B不发生, 是一个事件, 称为事件A与B的差. 它是由属于A但不属于B 的那些样本点构成的集合. 记作 AB
概率论基础讲义全
概率论基础知识第一章随机事件及其概率随机事件§几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验|;（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
例如：曰：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为A，B, C例如，在E i中，A表示掷出2点”，B表示掷出偶数点”均为随机事件3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Q。
每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为①。
例如，在E i中，掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而掷出大于6点”的事件便是不可能事件，以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如，在曰中，掷出1点”，掷出2点”，……，掷'出6点”均为此试验的基本事件由基本事件构成的事件称为复,例如，在E i中掷出偶数点”便是复合事件5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.例如，在E i中，用数字1, 2,......,6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}, {2}, (6)便是E i中的基本事件。
在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H , H),( H , T),( T, H ),( T, T),其基本事件便是{ ( H, H) }, { ( H , T) }, { (T, H ) }, { (T, T) }显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如，在E i中掷出偶数点”的事件便可表为{2, 4, 6}。
试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。
记为Qo例如，在E i 中，Q={1 , 2, 3, 4, 5, 6}在E2 中，Q={ ( H , H),( H , T),( T, H),( T, T) }在E s 中，Q={0 , 1, 2,……}例1, 一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种此试验样本空间所有样本点的个数为N Q=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为10）=452（组合）例2 .随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。
概率论基础
均匀分布
对任意实数 x [a, b] ，若 a x x x b ，那么随机变量 X 位于区 间 [ x, x x] 内的概率为
P ( x X x x ) x x 1 x ． dx x ba ba
例 盒中有 2 个白球 3 个黑球，从中随机取 3 个球， 求取得白球数的概 率分布．
二点分布
定义 若随机变量 X 的分布为
P( X 1) p ， P( X 0) 1 p ，
则称 X 服从以 p 为参数的二点分布，或 0-1 分布．
二项分布
定义 若随机变量 X 的概率分布为
全概率公式
定义 对于集合 S ， 集合 S 的一列非空子集 A1 , A2 ,, An 称为
S 的划分，如果这一列子集满足
（1） Ai Aj ， i j ， i, j 1, 2,, n ； （2） A 1 A2 An S ．
定理（全概率公式） 设样本空间为 ， A1 , A2 ,, An 是 的 一个划分，且 P( Ai ) 0 ， i 1, 2,, n ，则事件 B 发生的概 率为
概率密度
定义 概率为 若存在非负函数 f ( x ) ，随机变量 X 在任意区间上的 ( a, b)
P(a X b) f ( x)dx ，
a
b
则称随机变量 X 为连续型随机变量， f ( x ) 称为 X 的概率密度函 数，简称密度函数或概率密度．
概率密度
例 设连续型随机变量 X 的概率密度为
2. 相互对立的事件概率之和为 1．即对任意的事件 A ，
P( A) P( A) 1 ．
《概率论讲义》PPT课件
(3) 可加性：对互斥事件A, B，有 Fn (A B) Fn (A) Fn (B)
推广 有限可加性： 若A1，A2，, Ak 两两 互不相容, 则
k
F n( Ai ) Fn ( A1) Fn ( A2 ) Fn ( Ak ). i 1
E2:将一枚硬币抛三次,观察正反面出现的情况. 2={HHH, THH，
HTH, HHT,HTT,THT,TTH,TTT }
E3:掷一颗骰子,观察点数.则 3={1,2,3,4,5,6}
1=1 2=2 6=6
E4:电话交换台一分钟内接到的呼唤次数.
4={0，1，2， }
1=0, 2=1, 3=2
0.5069
皮尔逊 12000
6019
0.5016
皮尔逊 24000
12012
0.5005
(二) 概 率
1 统计定义： 频率的稳定值P(A)反映了事件A在一次试 验中发生的可能性大小，称P(A)为事件A 的概率。
2 公理化定义：设为样本空间，A为事件， 对每一事件A赋予一实数P(A)，如果P(A)满 足如下三条公理：
故有
P(i )
1 n
(n 1,2,, n)
若A {i1,i2 ,,ik }, 则有
P( A)
P(i1 )
P(i2 )
P(ik
)
k n
于是，P
( A)
k n
A包含的样本点数 样本点总数
例１. 设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只,
现从中任取3只,试求:
n1
且Ai Aj . 由概率的可列可加性得
2024年余丙森概率论辅导讲义
2024年余丙森概率论辅导讲义第一节：概率论基础1.1 概率论的起源和发展概率论是研究随机现象的数学分支，起源于古代赌博和游戏。
随着时间的推移，概率论逐渐发展成为一门独立的学科，并在各个领域中得到广泛应用。
1.2 概率的定义和性质概率是描述某个事件发生可能性的数值，通常用0到1之间的一个实数表示。
概率具有可加性、非负性、规范性等基本性质。
1.3 随机变量与概率分布随机变量是概率论中的重要概念，它是对随机现象的数学建模。
概率分布描述了随机变量的取值及其对应的概率。
1.4 条件概率与独立性条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
独立性是指两个事件的发生与否互不影响。
1.5 期望与方差期望是随机变量取值的加权平均值，反映了随机变量的平均水平。
方差是随机变量偏离其期望值的程度的度量。
第二节：概率分布2.1 离散型随机变量与概率分布离散型随机变量只能取有限或可数个数值，其概率分布由概率质量函数表示，例如伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
2.2 连续型随机变量与概率密度函数连续型随机变量可以取任意实数值，其概率分布由概率密度函数表示，例如均匀分布、正态分布、指数分布等。
2.3 两个重要的分布：正态分布和泊松分布正态分布是概率论中最重要的分布之一，具有对称性和稳定性，广泛应用于自然科学和社会科学领域。
泊松分布用于描述单位时间或单位面积内随机事件发生的次数。
第三节：随机变量的特征函数和大数定律3.1 随机变量的特征函数特征函数是随机变量的一个重要特征，通过特征函数可以唯一确定随机变量的分布。
3.2 大数定律大数定律是概率论中的重要定理，描述了随机事件重复进行时，频率逐渐趋近于概率的现象。
第四节：中心极限定理与统计推断4.1 中心极限定理中心极限定理是概率论中的核心定理之一，描述了大量独立随机变量的和的分布近似于正态分布的现象。
4.2 统计推断统计推断是利用样本信息对总体进行推断和决策的方法，包括参数估计和假设检验两个方面。
概率及概率初步讲义(教师版基础)
第一章 (2)1.3 (2)第3节条件概率.................................................................................................. 错误!未定义书签。
第一章 随机事件与概率1.3 条件概率（一）条件概率和乘法公式符号叫在事件B 已经发生的条件下，事件A 发生的概率，叫条件概率需要指出的是 条件概率仍是事件A 的概率，但是它有条件，条件是以B已经发生为前提，或者是以B 已经发生为条件。
例1，某厂有200名职工，男、女各占一半，男职工中有10人是优秀职工，女职工中有20人是优秀职工，从中任选一名职工。
用A 表示所选职工优秀，B 表示所选职工是男职工。
求（1）P （A ）； （2）P （B ）； （3）P （AB ）； （4）；解：（1）（2）（3）AB表示所选职工既是优秀职工又是男职工（4）表示已知所选职工是男职工。
在已知所选职工是男职工的条件下，该职工是优秀职工，这时n=100,r=10由本例可以看出事件A与事件不是同一事件,所以它们的概率不同,即由本例还可看出,事件AB与事件也不相同，事件AB表示所选职工既是男职工又是优秀职工，这时基本事件总数n1=200，r=10。
而事件则表示已知所选职工是男职工，所以基本事件总数n2=100，r=10，所以虽然P（AB）与不相同，但它们有关系，由本例可以看出本例的结果具有普遍性。
下面我们不加证明地给出下面的乘法公式：显然有：若P（A）>0则有将上面的结果改写为整式有∴公式叫概率的乘法公式。
例2，在10件产品中，有7件正品，3件次品，从中每次取出一件（不放回），A表示第一次取出正品，B表示第二次取出正品，求：（1）P（A）；（2）；（3）P（AB）解（1）（2）∴（3）=例3，若P（AB）=0.3，P（B）=0.5，求解：例4，若P（A）=0.8，P（B）=0.4，，求。
概率论初步专业知识讲座
求：(1) 串联支路正常工作的概率； (2) 并联支路正常工作的概率； (3) 整个混联线路正常工作的概率； (4) 已知整个线路各项工作正常，
a
b
c
d
元件 a，b，c，d 正常工作的概率.
图 20-3 混联线路
解 设事件 A，B，C，D 分别表示元件 a，b，c，d 正常工作，
并设事件 E 表示整个混联线路正常工作.
故
P( A1)
m n
720 103
0.72.
(2) 事件 A2 所包含的基本事件总数 m 83，
故
P( A2 )
m n
83 103
0.512.
(3) 3 次抽取中 1 出现 2 次，因此有 C32 种可能，剩下
1 次是从其余 9 个数字中任取一个，则事件 A3 所包含的基
本事件总数 m C32C91 27，
解 每部电话工作是相互独立的，故可将这个问题看作同一 部电话独立工作了 N 次的试验，则： (1) 恰好有 K 部电话占线的概率为 CNK PK (1 P)N K ； (2) 至少有 1 部电话占线的概率为 1 CN0 P0 (1 P)N 0 1 (1 P)N；
(3) 至多有 m 部电话占线的概率为
由于每次都是从 8 件产品中抽取，故样本空间 所包
含的基本事件总数 n C81C81 64
① 因为第一次有 6 件正品供抽取，第二次也有 6 件正品
供抽取，所以“2 件全为正品”的事件 A 所包含的基本事件
总数 m C61C61 36,
因此
P( A) m 36 0.563. n 64
P(E) P( AB C D) P( AB) P(C) P(D) P( ABC) P( ABD) P(CD) P( ABCD) P( A)P(B) P(C) P(D) P( A)P(B)P(C) P( A)P(B)P(D)
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概率论基础知识第一章随机事件及其概率一随机事件§1几个概念1、随机实验:（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
例如：E1：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。
2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为A，B，C……例如，在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。
3、例如，在E1中，6点”的事件便是不可能事件,4、基本事件：例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。
E1中“掷出偶数点”便是复合事件。
5、样本空间： e.例如，在E1中，用数字1，2，……，6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}，{2}，…{6}便是E1中的基本事件。
在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有（H，H），（H，T），（T，H），（T，T），其基本事件便是{（H，H）}，{（H，T）}，{（T，H）}，{（T，T）}显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如，在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为{2，4，6}。
试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。
记为Ω。
例如，在E1中，Ω={1，2，3，4，5，6}在E2中，Ω={（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）}在E3中，Ω={0，1，2，……}例1，一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种。
此试验样本空间所有样本点的个数为NΩ=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为(组合)例2．随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。
此试验的样本空间所有样本点的个数为第一种方法用组合+乘法原理；第二种方法用排列§2事件间的关系与运算1、包含:“若事件A的发生必导致事件B发生，则称事件B包含事件A，记为AB或BA。
例如，在E1中，令A表示“掷出2点”的事件，即A={2}B表示“掷出偶数”的事件，即B={2，4，6}则2、相等：若A B且BA，则称事件A等于事件B，记为A=B例如，从一付52张的扑克牌中任取4张，令A表示“取得到少有3张红桃”的事件；B表示“取得至多有一张不是红桃”的事件。
显然A=B3、和：称事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件简称为和，记为AB，或A+B例如，甲，乙两人向目标射击，令A表示“甲击中目标”的事件，B表示“乙击中目标”的事件，则AUB表示“目标被击中”的事件。
推广：有限个无穷可列个4、积：称事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件，简称为积，记为AB或AB。
例如，在E3中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令A={接到偶数次呼唤}，B={接到奇数次呼唤}，则A B={接到6的倍数次呼唤}推广：任意有限个无穷可列个5、差：称事件A发生但事件B不发生的事件为A减B的差事件简称为差，记为A-B。
例如，测量晶体管的β参数值，令A={测得β值不超过50}，B=｛测得β值不超过100｝，则，A-B=φ，B-A=｛测得β值为50﹤β≤100｝6、互不相容：若事件A与事件B不能同时发生，即AB=φ，则称A与B是互不相容的。
例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若A={红灯亮}，B={绿灯亮}，则A与B便是互不相容的。
7、对立：称事件A不发生的事件为A的对立事件，记为显然，A∩=φ例如，从有3个次品，7个正品的10个产品中任取3个，若令A={取得的3个产品中至少有一个次品}，则={取得的3个产品均为正品}。
§3事件的运算规律1、交换律A∪B=B∪A；A∩B=B∩A2、结合律（A∪B）∪C=A∪（B∪C）；（A∩B）∩C=A∩（B∩C）3、分配律A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A ∪C）4、对偶律此外，还有一些常用性质，如A∪ B A，A∪BB（越求和越大）；A∩BA，A∩BB（越求积越小）。
若A B，则A∪B=B, A∩B=A A-B=A-AB=A等等。
例3，从一批产品中每次取一件进行检验，令A i={第i次取得合格品},i=1,2,3,试用事件的运算符号表示下列事件。
A={三次都取得合格品}Ｂ＝｛三次中至少有一次取得合格品｝Ｃ＝｛三次中恰有两次取得合格品｝Ｄ＝｛三次中最多有一次取得合格品｝解：Ａ＝Ａ１Ａ２Ａ３表示方法常常不唯一，如事件Ｂ又可表为或例4，一名射手连续向某一目标射击三次，令Ａi={第i次射击击中目标} , i=1,2,3，试用文字叙述下列事件：解：A1A2A3={三次射击都击中目标} A3-A2={第三次击中目标但第二次未击中目标}例5，下图所示的电路中，以A表示“信号灯亮”这一事件，以B,C,D分别表示继电器接点，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，闭合，试写出事件A,B,C,D之间的关系。
解，不难看出有如下一些关系：二事件的概率§1概率的定义所谓事件A的概率是指事件A发生可能性程度的数值度量，记为P（A）。
规定P(A)≥0，P （Ω）=1。
1、古典概型中概率的定义例如：掷一匀称的骰子，令A={掷出2点}={2}，B={掷出偶数总}={2，4，6}。
此试验样本空间为Ω={1，2，3，4，5，6}，于是，应有1=P（Ω）=6P（A），即P（A）=。
而P（B）=3P（A）=定义1：在古典概型中，设其样本空间Ω所含的样本点总数，即试验的基本事件总数为NΩ而事件A所含的样本数，即有利于事件A发生的基本事件数为N A，则事件A的概率便定义为：例1，将一枚质地均匀的硬币一抛三次，求恰有一次正面向上的概率。
解：用H表示正面，T表示反面，则该试验的样本空间Ω={（H，H，H）（H，H，T）（H，T，H）（T，H，H）（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）（T，T，T）}。
可见NΩ=8 令A={恰有一次出现正面}，则A={（H，T，T）（T，H，T）（T，T，H）}可见，令N A=3 故例2，（取球问题）袋中有5个白球，3个黑球，分别按下列三种取法在袋中取球。
（1）有放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后放回袋中，再取下一个球；（2）无放回地取球：从袋中取三次球，每次取一个，看后不再放回袋中，再取下一个球；（3）一次取球：从袋中任取3个球。
在以上三种取法中均求A={恰好取得2个白球}的概率。
解：（1）有放回取球NΩ=8×8×8=83=512 (袋中八个球，不论什么颜色，取到每个球的概率相等)（先从三个球里取两个白球，第一次取白球有五种情况，第二次取白球还有五种情况<注意是有放回>，第三次取黑球只有三种情况）（2）无放回取球故（3）一次取球故属于取球问题的一个实例：设有100件产品，其中有5%的次品，今从中随机抽取15件，则其中恰有2件次品的概率便为（属于一次取球模型）例3（分球问题）将n个球放入N个盒子中去，试求恰有n个盒子各有一球的概率（n≤N）。
解：令A={恰有n个盒子各有一球}，先考虑基本事件的总数先从N个盒子里选n个盒子，然后在n个盒子里n个球全排列故属于分球问题的一个实例：全班有40名同学，向他们的生日皆不相同的概率为多少？令A={40个同学生日皆不相同}，则有故(可以认为有365个盒子，40个球)例4（取数问题）从0，1，……,9共十个数字中随机的不放回的接连取四个数字，并按其出现的先后排成一列，求下列事件的概率：（1）四个数排成一个偶数；（2）四个数排成一个四位数；（3）四个数排成一个四位偶数；解：令A={四个数排成一个偶数}，B={四个数排成一个四位数}，C={四个数排成一个四位偶数}，，例5（分组问题）将一幅52张的朴克牌平均地分给四个人，分别求有人手里分得13张黑桃及有人手里有4张A牌的概率各为多少？解：令A={有人手里有13张黑桃}，B={有人手里有4张A牌}于是，故不难证明，古典概型中所定义的概率有以下三条基本性质：1°P（A）≥02°P（Ω）=13°若A1，A2，……，A n两两互不相容，则2、概率的统计定义频率：在n次重复试验中，设事件A出现了n A次，则称：为事件A的频率。
频率具有一定的稳定性。
示例见下例表定义2：在相同条件下，将试验重复n次，如果随着重复试验次数n的增大，事件A的频率f n(A)越来越稳定地在某一常数p附近摆动，则称常数p为事件A的概率，即P（A）=p不难证明频率有以下基本性质：1°2°3°若A1，A2，……，两两互不相容，则3、概率的公理化定义（数学定义）定义3：设某试验的样本空间为Ω，对其中每个事件A定义一个实数P（A），如果它满足下列三条公理：1°P（A）≥0（非负性）2°P（Ω）=1（规范性）3°若A1，A2，……，A n……两两互不相容，则（可列可加性，简称可加性）则称P（A）为A的概率4、几何定义定义4：假设Ω是Rn(n=1,2,3)中任何一个可度量的区域，从Ω中随机地选择一点，即Ω中任何一点都有同样的机会被选到，则相应随机试验的样本空间就是Ω，假设事件A是Ω中任何一个可度量的子集，则P(A)==ū(A)/ū(Ω)§2概率的性质性质1：若A B, 则P(B-A)=P(B)-P(A)——差的概率等于概率之差证：因为：AB所以：B=A∪(B-A)且A∩(B-A)=φ,由概率可加性得P（B）=P[A∪（B-A）]=P（A）+P（B-A）即P（B-A）=P（B）-P（A）性质2：若A B，则P（A）≤P（B）——概率的单调性证：由性质1及概率的非负性得0≤P（B-A）=P（B）-P（A），即P（A）≤P（B）性质3：P（A）≤1 证明：由于AΩ，由性质2及概率的规范性可得P（A）≤1性质4：对任意事件A，P（）=1-P（A）证明：在性质1中令B=Ω便有P（）=P（Ω-A）=P（Ω）-P（A）=1-P（A）性质5：P（φ）=0 证：在性质4中，令A=Ω，便有P（φ）=P（）=1-P（Ω）=1-1=0性质6 （加法公式）对任意事件A，B，有P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）证：由于A∪B=A∪（B-AB）且A∩（B-AB）=φ（见图）由概率的可加性及性质1便得P（A∪B）=P[A∪（B-AB）]=P（A）+P（B-AB）=P（A）+P（B）-P（AB）推广: P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC）例6 设10个产品中有3个是次品，今从中任取3个，试求取出产品中至少有一个是次品的概率。