2007年河南专升本高等数学真题+真题解析

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2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-全国1

2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)kkn kn n P k C p p n n -=-= ，，，，一、选择题（1）设{}210S x x =+>，{}350T x x =-<，则S T = （）Ａ．∅Ｂ．12x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭Ｃ．53x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭Ｄ．1523x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭（2）α是第四象限角，12cos 13α=，sin α=（）Ａ．513Ｂ．513-Ｃ．512Ｄ．512-（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （）Ａ．垂直Ｂ．不垂直也不平行Ｃ．平行且同向Ｄ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（）Ａ．221412xy-= Ｂ．221124xy-= Ｃ．221106xy-= Ｄ．221610xy-=（5）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）Ａ．36种Ｂ．48种Ｃ．96种Ｄ．192种（6）下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（）Ａ．(02)，Ｂ．(20)-，Ｃ．(02)-，Ｄ．(20)，（7）如图，正四棱柱1111ABC D A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（）Ａ．15Ｂ．25Ｃ．35Ｄ．45（8）设1a >，函数()lo g a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（）Ａ．Ｂ．2Ｃ．Ｄ．4（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（）Ａ．充要条件Ｂ．充分而不必要的条件Ｃ．必要而不充分的条件Ｄ．既不充分也不必要的条件（10）函数22cos y x =的一个单调增区间是（）Ａ．ππ44⎛⎫-⎪⎝⎭，Ｂ．π02⎛⎫⎪⎝⎭，Ｃ．π3π44⎛⎫⎪⎝⎭，Ｄ．ππ2⎛⎫⎪⎝⎭，（11）曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）Ａ．19Ｂ．29Ｃ．13Ｄ．23（12）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则A K F △的面积是（）Ａ．4Ｂ．Ｃ．Ｄ．81A1D1C 1BD BCA第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g ～501.5g 之间的概率约为_____．（14）函数()y f x =的图像与函数3lo g (0)y xx =>的图像关于直线y x =对称，则()f x =____________．（15）正四棱锥S A B C D -，点S ，A ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的体积为_________．（16）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a =5c =，求b ．（18）（本小题满分12分）某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．（19）（本小题满分12分）四棱锥S A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SB C ⊥底面ABCD ，已知45A B C ∠=︒，2A B =，BC =SA SB == （Ⅰ）证明：SA B C ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SBC 所成角的大小．SCDB（20）（本小题满分12分）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围．（21）（本小题满分12分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．（22）（本小题满分12分）已知椭圆22132xy+=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且A C B D ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（必修＋选修1）参考答案一、选择题1．Ｄ 2．Ｂ 3．Ａ 4．Ａ 5．Ｃ 6．Ｃ 7．Ｄ 8．Ｄ 9．Ｂ 10．Ｄ 11．Ａ 12．Ｃ二、填空题13．0.25 14．3()x x ∈R 15．4π316．13三、解答题 17．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由A B C △为锐角三角形得π6B =．（Ⅱ）根据余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-272545=+-7=．所以，b =．18．解：（Ⅰ）记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A 表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．2()(10.6)0.064P A =-=，()1()10.0640.936P A P A =-=-=．（Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，1213()0.60.40.432P B C =⨯⨯=．01()()P B P B B =+ 01()()P B P B =+ 0.2160.432=+ 0.648=．19．解法一：（1）作S O B C ⊥，垂足为O ，连结A O ，由侧面SB C ⊥底面A B C D ，得SO ⊥底面A B C D ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故A O B △为等腰直角三角形，A O B O ⊥，由三垂线定理，得SA B C ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA B C ⊥，依题设A D B C ∥，故SA A D ⊥，由AD BC ==SA =SD ==又sin 45AO AB ==D E B C ⊥，垂足为E ，则D E ⊥平面S B C ，连结SE ．E SD ∠为直线S D 与平面S B C 所成的角．sin 11E D A O E SD SDSD====∠所以，直线S D 与平面S B C所成的角为arcsin 11．解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结A O ，由侧面SB C ⊥底面A B C D ，得SO ⊥平面A B C D ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC = ∠，AO B △为等腰直角三角形，A O O B ⊥．如图，以O 为坐标原点，O A 为x 轴正向，建立直角坐标系O xyz -，因为2AO BO AB ===1SO ==，又BC =0)A ，，(0B，(0C -，．(001)S ，，，1)SA =-，(0C B =，0SA CB = ，所以SA B C ⊥．（Ⅱ）1)SD SA AD SA C B =+=-=--，0)O A =，. O A 与SD 的夹角记为α，S D 与平面ABC 所成的角记为β，因为O A为平面S B C 的法向量，所以α与β互余．DBCASO Ecos 11O A SD O A SDα==，sin 11β=，所以，直线S D 与平面S B C所成的角为arcsin 11．20．解：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>；当(12)x ∈，时，()0f x '<；当(23)x ∈，时，()0f x '>．所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+．则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+．因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，所以 298c c +<，解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞ ，，． 21．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q--==．（Ⅱ）1212n n n a n b --=．122135232112222n n n n n S ----=+++++ ，① 3252321223222n n n n n S ----=+++++，②②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++- ，221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭1111212221212n n n ----=+⨯--12362n n -+=-．22．证明（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200001132222x y x y ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当B D 的斜率k 存在且0k ≠时，B D 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132xy+=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632kx x k +=-+，21223632k x x k -=+，1232BD x x k =-==+ ；因为A C 与B C 相交于点p ，且A C 的斜率为1k-．所以，221112332k AC k k⎫+⎪⎝⎭==+⨯+．四边形A B C D 的面积 222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥．当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当B D 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形A B C D 的面积4S =．综上，四边形A B C D 的面积的最小值为9625．。

河南专升本高等数学试题(含答案)

高数试题练习一、函数、极限连续 1．函数)(x f y =的定义域是（）A ．变量x 的取值范围B ．使函数)(x f y =的表达式有意义的变量x 的取值范围C ．全体实数D ．以上三种情况都不是 2．以下说法不正确的是（）A ．两个奇函数之和为奇函数B ．两个奇函数之积为偶函数C ．奇函数与偶函数之积为偶函数D ．两个偶函数之和为偶函数 3．两函数相同则（）A ．两函数表达式相同B ．两函数定义域相同C ．两函数表达式相同且定义域相同D ．两函数值域相同 4．函数y =的定义域为（）A ．(2,4)B ．[2,4]C ．(2,4]D ．[2,4) 5．函数3()23sin f x x x =-的奇偶性为（）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶D ．无法判断6．设,121)1(-+=-x xx f 则)(x f 等于( )A ．12-x xB ．x x 212--C ．121-+x xD ．xx212--7．分段函数是( )A ．几个函数B ．可导函数C ．连续函数D ．几个分析式和起来表示的一个函数 8．下列函数中为偶函数的是( ) A ．x e y -= B ．)ln(x y -= C ．x x y cos 3= D ．x y ln =9．以下各对函数是相同函数的有( ) A ．x x g x x f -==)()(与 B ．xx g x x f cos )(sin 1)(2=-=与C ．1)()(==x g x xx f 与 D ．⎩⎨⎧<->-=-=2222)(2)(x xx x x g x x f 与10．下列函数中为奇函数的是( )A ．)3cos(π+=x y B ．x x y sin = C ．2xx e e y --=D ．23x x y +=11．设函数)(x f y =的定义域是[0,1],则)1(+x f 的定义域是( )A ．]1,2[--B ．]0,1[- C ．[0,1] D ． [1,2]12．函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<+=<<-+=20200022)(2x x x x x x f 的定义域是( )A ．)2,2(-B ．]0,2(-C ．]2,2(-D ． (0,2]13．若=---+-=)1(,23321)(f xx x x x f 则( )A ．3-B ．3C ．1-D ．1 14．若)(x f 在),(+∞-∞内是偶函数,则)(x f -在),(+∞-∞内是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．0)(≡x f15．设)(x f 为定义在),(+∞-∞内的任意不恒等于零的函数,则)()()(x f x f x F -+=必是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．0)(≡x F16．设⎪⎩⎪⎨⎧<<≤<-≤<--=42,021,1211,1)(2x x x x x x f 则)2(πf 等于 ( ) A ．12-π B ．182-π C ． 0 D ．无意义17．函数x x y sin 2=的图形（）A ．关于ox 轴对称B ．关于oy 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x y =对称18．下列函数中,图形关于y 轴对称的有( )A ．x x y cos = B ．13++=x x yC ．2xx e e y -+=D ．2xx e e y --=19.函数)(x f 与其反函数)(1x f -的图形对称于直线( )A ．0=y B ．0=x C ．x y = D ．x y -= 20. 曲线)1,0(log ≠>==a a x y a y a x 与在同一直角坐标系中,它们的图形( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线x y =轴对称D ．关于原点对称21．对于极限)(limx f x →，下列说法正确的是（） A ．若极限)(lim 0x f x →存在，则此极限是唯一的 B ．若极限)(lim 0x f x →存在，则此极限并不唯一C ．极限)(limx f x →一定存在D ．以上三种情况都不正确 22．若极限A )(lim=→x f x 存在，下列说法正确的是（）A ．左极限)(lim 0x f x -→不存在 B ．右极限)(lim 0x f x +→不存在C ．左极限)(lim 0x f x -→和右极限)(lim 0x f x +→存在，但不相等D ．A )(lim )(lim )(lim 00===→→→-+x f x f x f x x x23．极限ln 1limx e x x e→--的值是( )A ．1B ．1eC ．0D ．e24．极限ln cot lim ln x xx→＋０的值是( )．A ． 0B ． 1C ．∞D ． 1-25．已知2sin lim20=+→xx bax x ，则（） A ．0,2==b aB ．1,1==b aC ．1,2==b aD ．0,2=-=b a26．设b a<<0，则数列极限l i m n n n n a b →+∞+是A ．aB ．bC ．1D ．b a + 27．极限xx 1321lim+→的结果是A ．0B ．21C ．51D ．不存在28．∞→x lim xx 21sin 为( )A ．2B ．21C ．1D ．无穷大量29． n m nxmxx ,(sin sin lim 0→为正整数）等于（）A ．nm B ．mn C ．n m nm --)1( D ．mn m n --)1( 30．已知1tan lim230=+→xx bax x ，则（） A ．0,2==b aB ．0,1==b aC ．0,6==b aD ．1,1==b a31．极限xx xx x cos cos lim+-∞→( )A ．等于1B ．等于0C ．为无穷大D ．不存在32．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=010001sin )(x e x x x x f x 则=→)(limx f x ( )A ．1B ．0C ．1-D ．不存在 33．下列计算结果正确的是( )A ．e x x x =+→10)41(lim B ．410)41(lim e xx x =+→ C ．410)41(lim --→=+e x x x D ．4110)41(lim e x x x =+→34．极限x x xtan 0)1(lim +→等于( ) A ． 1 B ．∞ C ．0 D ．21 35．极限⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x sin 11sinlim 0的结果是 A ．1- B ．1 C ．0 D ．不存在36．()01sinlim≠∞→k kxx x 为 ( )A ．kB ．k1C ．1D ．无穷大量37．极限xx sin lim 2π-→=( )A ．0B ．1C ．1-D ．2π-38．当∞→x时,函数x x)11(+的极限是( )A ．eB ．e -C ．1D ．1-39．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=01cos 001sin )(x x x x x x f ，则=→)(lim 0x f xA ．1B ．0C ．1-D ．不存在40．已知a xax x x 则,516lim21=-++→的值是( ) A ．7 B ．7- C ． 2 D ．341．设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=020tan )(x x x xaxx f ,且)(limx f x →存在,则a 的值是( )A ．1B ．1-C ．2D ．2- 42．无穷小量就是（）A ．比任何数都小的数B ．零C ．以零为极限的函数D ．以上三种情况都不是 43．当0→x 时，)2sin(3x x +与x 比较是( )A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小 44．当0→x 时，与x 等价的无穷小是（） A ．xx sin B ．)1ln(x + C ．)11(2x x -++ D ．)1(2+x x45．当0→x 时，)3tan(3x x +与x 比较是（）A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小 46．设,1)(,)1(21)(x x g x xx f -=+-=则当1→x 时（）A ．)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小B ．)(x f 是比)(x g 低阶的无穷小C ．)(x f 与)(x g 为同阶的无穷小 D ．)(x f 与)(x g 为等价无穷小 47．当+→0x 时, 11)(-+=a x x f 是比x 高阶的无穷小,则( )A ．1>aB ．0>aC ．a 为任一实常数D ．1≥a48．当0→x 时，x 2tan 与2x 比较是（）A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小 49．“当0x x→，A x f -)(为无穷小”是“A x f x x =→)(lim 0”的（）A ．必要条件，但非充分条件B ．充分条件，但非必要条件C ．充分且必要条件D ．既不是充分也不是必要条件 50．下列变量中是无穷小量的有( ) A ．)1ln(1lim0+→x x B ．)1)(2()1)(1(lim 1-+-+→x x x x xC ．x x x 1cos 1lim ∞→D ．x x x 1sin cos lim 0→ 51．设时则当0,232)(→-+=x x f x x ( )A ．)(x f 与x 是等价无穷小量B ．)(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量C ．)(x f 是比x 较高阶的无穷小量 D ．)(x f 是比x 较低阶的无穷小量 52．当+→0x时,下列函数为无穷小的是( )A ．x x 1sinB ．x e 1C ．x lnD ．x xsin 153．当0→x 时,与2sin x 等价的无穷小量是 ( ) A ．)1ln(x + B ．x tan C ．()x cos 12- D ．1-x e54．函数,1sin )(xx x f y ==当∞→x 时)(x f ( )A ．有界变量B ．无界变量C ．无穷小量D ．无穷大量55．当0→x 时,下列变量是无穷小量的有( )A ．xx 3B ．xx cos C ．x ln D ．xe -56．当0→x 时,函数xxy sec 1sin +=是( )A ．不存在极限的B ．存在极限的C ．无穷小量D ．无意义的量 57．若0x x→时, )(x f 与)(x g 都趋于零,且为同阶无穷小,则( )A ．0)()(lim=→x g x f x x B ．∞=→)()(lim 0x g x f x xC ．)1,0()()(lim≠=→c c x g x f x x D ．)()(lim 0x g x f x x →不存在58．当0→x 时,将下列函数与x 进行比较,与x 是等价无穷小的为( )A ．x 3tan B ．112-+x C ．x x cot csc - D ．xx x 1sin2+ 59．函数)(x f 在点0x 有定义是)(x f 在点0x 连续的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．即非充分又非必要条件 60．若点0x 为函数的间断点，则下列说法不正确的是（）A ．若极限A )(lim 0=→x f x x 存在，但)(x f 在0x 处无定义，或者虽然)(x f 在0x 处有定义，但)(A 0x f ≠，则0x 称为)(x f 的可去间断点B ．若极限)(lim 0x f x x +→与极限)(lim 0x f x x -→都存在但不相等，则0x 称为)(x f 的跳跃间断点C ．跳跃间断点与可去间断点合称为第二类的间断点D ．跳跃间断点与可去间断点合称为第一类的间断点 61．下列函数中,在其定义域内连续的为( )A ．x x x f sin ln )(+= B ．⎩⎨⎧>≤=00sin )(x ex xx f xC ．⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=01011)(x x x x x x f D ．⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001)(x x xx f62．下列函数在其定义域内连续的有( ) A ．x x f 1)(=B ．⎩⎨⎧>≤=0cos 0sin )(x xx x x fC ．⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+=01001)(x x x x x x f D ．⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001)(x x xx f63．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≠=021arctan )(x x x x f π 则)(x f 在点0=x 处( )A ．连续B ．左连续C ．右连续D ．既非左连续,也非右连续64．下列函数在0=x 处不连续的有( )A ．⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-00)(2x x e x f xB ．⎪⎩⎪⎨⎧=≠=010sin )(21x x xx x f C ．⎩⎨⎧≥<-=00)(2x xx xx f D ．⎩⎨⎧≤->+=00)1ln()(2x xx x x f65．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=12111)(2x x x x x f , 则在点)(1x f x 处函数=( ) A ．不连续 B ．连续但不可导 C ．可导,但导数不连续 D ．可导,且导数连续 66．设分段函数⎩⎨⎧<+≥+=011)(2x x x x x f ,则)(x f 在0=x 点( )A ．不连续B ．连续且可导C ．不可导D ．极限不存在 67．设函数)(x f y =,当自变量x 由0x 变到y x x ∆∆+相应函数的改变量时,0=( )A ．)(0x x f ∆+ B ．x x f ∆)('0 C ．)()(00x f x x f -∆+ D ．x x f ∆)(068．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=012000)(x x x x e x f x ，则函数)(x f ( )A ．当0→x 时,极限不存在B ．当0→x 时,极限存在C ．在0=x 处连续D ．在0=x 处可导69．函数)1ln(1-=x y 的连续区间是( )A ．),2[]2,1[+∞⋃B ．),2()2,1(+∞⋃C ．),1(+∞D ．),1[+∞ 70．设nxnxx f x -=∞→13lim )(,则它的连续区间是( )A ．),(+∞-∞B ．处为正整数)(1n nx ≠C ．)0()0,(∞+⋃-∞D ．处及n x x 10≠≠71．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-+=031011)(x x x x x f ，则函数在0=x 处( )A ．不连续B ．连续不可导C ．连续有一阶导数D ．连续有二阶导数72．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=00x x xx y ，则)(x f 在点0=x 处( )A ．连续B ．极限存在C ．左右极限存在但极限不存在D ．左右极限不存在73．设11cot)(2-+=x arc x x f ，则1=x 是)(x f 的（）A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．无穷间断点D ．振荡间断点74．函数2x y e x z y-+=的间断点是( )A ．)1,1(),1,1(),0,1(--B ．是曲线y e y -=上的任意点C ．)1,1(),1,1(),0,0(-D ．曲线2x y =上的任意点75．设2)1(42-+=x x y ,则曲线( ) A ．只有水平渐近线2-=y B ．只有垂直渐近线0=x C ．既有水平渐近线2-=y ,又有垂直渐近线0=x D ．无水平,垂直渐近线76．当0>x时, xx y 1sin=( ) A ．有且仅有水平渐近线 B ．有且仅有铅直渐近线C ．既有水平渐近线,也有铅直渐近线D ．既无水平渐近线,也无铅直渐近线二、一元函数微分学 77．设函数)(x f 在点0x 处可导，则下列选项中不正确的是（）A ．x yx f x ∆∆=→∆00lim)(' B ．xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )('0000C ．00)()(lim)('0x x x f x f x f x x --=→ D ．hx f h x f x f h )()21(lim)('0000--=→ 78．若e cos x y x =，则'(0)y =( )A ．0B ．1C ．1-D ．2 79．设x x g e x f x sin )(,)(==，则=)]('[x g f ( )A ．xe sin B ．xecos - C ．xecos D ．xesin -80．设函数)(x f 在点0x 处可导,且2)('0=x f ,则h x f h x f h )()21(lim 000--→等于( )A ．1-B ．2C ．1D ．21-81．设)(x f 在a x =处可导,则xx a f x a f x )()(lim 0--+→=( )A ．)('a fB ．)('2a fC ．0D ．)2('a f 82．设)(x f 在2=x 处可导，且2)2('=f ，则=--+→hh f h f h )2()2(lim（）A ．4B ．0C ．2D ．383．设函数)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则)0('f 等于（）A ．0B ．6-C ．1D ．3 84．设)(x f 在0=x 处可导，且1)0('=f ，则=--→hh f h f h )()(lim（）A ．1B ．0C ．2D ．385．设函数)(x f 在0x 处可导,则0lim→h hx f f )()h - x (00-( )A ．与0x ,h 都有关B ．仅与0x 有关，而与h 无关C ．仅与h 有关,而与0x 无关D ．与0x ,h 都无关 86．设)(x f 在1=x 处可导，且21)1()21(lim0=--→h f h f h ，则=)1('f （）A ．21B ． 21-C ． 41D ．41-87．设==-)0('')(2f e x f x 则( )A ．1-B ．1C ．2-D ．2 88．导数)'(log x a等于( )A ．a x ln 1B ．a x ln 1 C ．x x a log 1 D ．x 1 89．若),1()2(249102+-++=x x x x y 则)29(y =( )A ．30B ．29!C ．0D ．30×20×10 90．设',)(',)()(y x f e e f y x f x 则存在且==( )A ．)()()()('x f x x f x e e f e e f +B ．)(')(')(x f e e f x f x ⋅C ．)(')()(')()(x f e e f e e f x f x x f x x ⋅++D ．)()('x f x e e f91．设=---=)0('),100()2)(1()(f x x x x x f 则 ( )A ．100B ．100!C ．！100-D ．100- 92．若==',y x y x 则( )A ．1-⋅x x x B ．x xxln C ．不可导 D ．)ln 1(x x x +93．处的导数是在点22)(=-=x x x f ( )A ．1B ．0C ．1-D ．不存在 94．设==-',)2(y x y x 则( )A ．)1()2(x x x +--B ．2ln )2(x x -C ．)2ln 21()2(x x x+- D ．)2ln 1()2(x x x +--95．设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,且,0)()(<b f a f 则 ( )A ．)(x f 在),(b a 内必有最大值或最小值B ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的0)(,=ξξf 使C ．)(x f 在),(b a 内至少存在一个0)(,=ξξf 使D ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的0)(',=ξξf 使96．设,)()(x g x f y =则=dx dy ( ) A ．])()(')()('[2x g x g x f x f y - B ．])(1)(1[2x g x f y - C ．)()('21x g x f y ⋅ D ．)()('2x g x f y ⋅97．若函数)(x f 在区间)b a,(内可导，则下列选项中不正确的是（）A ．若在)b a,(内0)('>x f ，则)(x f 在)b a,(内单调增加B ．若在)b a,(内0)('<x f ，则)(x f 在)b a,(内单调减少C ．若在)b a,(内0)('≥x f ，则)(x f 在)b a,(内单调增加D ．)(x f 在区间)b a,(内每一点处的导数都存在98．若)(y x f =在点0x 处导数存在，则函数曲线在点))(,(00x f x 处的切线的斜率为（）A ．)('0x f B ．)(0x f C ．0 D ．199．设函数)(yx f =为可导函数，其曲线的切线方程的斜率为1k ，法线方程的斜率为2k ，则1k 与2k 的关系为（） A ．211k k =B ．121-=⋅k k C ．121=⋅k k D ．021=⋅k k100．设0x 为函数)(x f 在区间()b a ,上的一个极小值点，则对于区间()b a ,上的任何点x ，下列说法正确的是（）A ．)()(0x f x f >B ．)()(0x f x f <C ．)()(0x f x f -> D ．)()(0x f x f -<101．设函数)(x f 在点0x 的一个邻域内可导且0)('0=x f （或)('0x f 不存在），下列说法不正确的是（）A ．若0x x <时, 0)('>x f ；而0x x >时, 0)('<x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极大值B ．若0x x <时, 0)('<x f ；而0x x >时, 0)('>x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极小值C ．若0x x<时, 0)('<x f ；而0x x >时, 0)('>x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极大值D ．如果当x 在0x 左右两侧邻近取值时, )('x f 不改变符号,那么函数)(x f 在0x 处没有极值102．0)('0=x f ,0)(''0≠x f ，若0)(''0>x f ，则函数)(x f 在0x 处取得（）A ．极大值B ．极小值C ．极值点D ．驻点 103．b x a <<时，恒有0)(>''x f ，则曲线)(x f y =在()b a ,内（）A ．单调增加B ．单调减少C ．上凹D ．下凹 104．数()e x f x x =-的单调区间是( ) ．A ．在),(+∞-∞上单增B ．在),(+∞-∞上单减C ．在(,0)-∞上单增，在(0,)+∞上单减D ．在(,0)-∞上单减，在(0,)+∞上单增 105．数43()2f x x x =-的极值为（）．A ．有极小值为(3)fB ．有极小值为(0)fC ．有极大值为(1)fD ．有极大值为(1)f -106．x e y =在点(0,1)处的切线方程为( )A ．x y +=1 B ．x y +-=1 C ．x y -=1 D ．x y --=1107．函数x x x x x f 处的切线与的图形在点)1,0(162131)(23+++=轴交点的坐标是( ) A ．)0,61(- B ．)0,1(- C ．)0,61( D ．)0,1(108．抛物线xy =在横坐标4=x的切线方程为 ( )A ．044=+-y xB ．044=++y xC ．0184=+-y xD ．0184=-+y x109．线)0,1()1(2在-=x y 点处的切线方程是( )A ．1+-=x y B ．1--=x y C ．1+=x y D ．1-=x y 110．曲线)(x f y =在点x 处的切线斜率为,21)('x x f -=且过点(1,1),则该曲线的方程是( ) A ．12++-=x x y B ．12-+-=x x y C ．12++=x x y D ．12-+=x x y111．线22)121(++=x e y x 上的横坐标的点0=x 处的切线与法线方程( )A ．063023=-+=+-y x y x 与B ．063023=--=++-y x y x 与C ．063023=++=--y x y x 与D ．063023=+-=++y x y x 与112．函数处在点则0)(,)(3==x x f x x f ( )A ．可微B ．不连续C ．有切线,但该切线的斜率为无穷D ．无切线113．以下结论正确的是( )A ．导数不存在的点一定不是极值点B ．驻点肯定是极值点C ．导数不存在的点处切线一定不存在D ．0)('0=x f 是可微函数)(x f 在0x 点处取得极值的必要条件114．若函数)(x f 在0=x 处的导数,0)0('=f 则0=x 称为)(x f 的( )A ．极大值点B ．极小值点C ．极值点D ．驻点 115．曲线)1ln()(2+=x x f 的拐点是( )A ．)1ln ,1(与)1ln ,1(-B ．)2ln ,1(与)2ln ,1(-C ．)1,2(ln 与)1,2(ln -D ．)2ln ,1(-与)2ln ,1(-- 116．线弧向上凹与向下凹的分界点是曲线的( )A ．驻点B ．极值点C ．切线不存在的点D ．拐点 117．数)(x f y =在区间[a,b]上连续,则该函数在区间[a,b]上( )A ．一定有最大值无最小值B ．一定有最小值无最大值C ．没有最大值也无最小值D ．既有最大值也有最小值 118．下列结论正确的有( )A ．0x 是)(x f 的驻点,则一定是)(x f 的极值点B ．0x 是)(x f 的极值点,则一定是)(x f 的驻点C ．)(x f 在0x 处可导,则一定在0x 处连续D ．)(x f 在0x 处连续,则一定在0x 处可导119．由方程y x e xy+=确定的隐函数)(x y y ==dxdy( ) A ．)1()1(x y y x -- B ．)1()1(y x x y -- C ．)1()1(-+y x x y D ．)1()1(-+x y y x120．=+=x y y xe y ',1则( )A ．yy xe e -1 B ．1-yy xe e C ．yyxe e -+11 D ．y e x )1(+121．设x x g e x f x sin )(,)(==，则=)]('[x g f （）A ．xe sin B ．xecos - C ．xecos D ．xesin -122．设x x g e x f x cos )(,)(-==，则=)]('[x g fA ．xe sin B ．xecos - C ．xecos D ．xesin -123．设)(),(x t t f y φ==都可微，则=dyA ．dt t f )(' B ．)('x φdx C ．)('t f )('x φdt D ．)('t f dx124．设,2sin xey =则=dy （）A ．x d e x 2sinB ．x d e x 2sin sin 2C ．xxd e x sin 2sin 2sin D ．x d e x sin 2sin125．若函数)(x f y =有dy x x x x f 处的微分该函数在时则当00,0,21)('=→∆=是( ) A ．与x ∆等价的无穷小量 B ．与x ∆同阶的无穷小量 C ．比x ∆低阶的无穷小量 D ．比x ∆高阶的无穷小量126．给微分式21xxdx -,下面凑微分正确的是( )A ．221)1(xx d ---B ．221)1(xx d -- C ．2212)1(xx d ---D ．2212)1(xx d --127．下面等式正确的有( ) A ．)(sin sin x x x xe d e dx e e= B ．)(1x d dx x=-C ．)(222x d e dx xe x x -=-- D ．)(cos sin cos cos x d e xdx e x x =128．设)(sin x f y =,则=dy ( )A ．dx x f )(sin ' B ．x x f cos )(sin ' C ．xdx x f cos )(sin ' D ．xdx x f cos )(sin '-129．设,2sin x e y =则=dyA ．xd e x 2sin B ．x d ex2sinsin 2C ．x xd e xsin 2sin 2sinD ．x d e x sin 2sin三、一元函数积分学130．可导函数)(F x 为连续函数)(x f 的原函数，则( )A ．0)('=x f B ．)()(F'x f x = C ．0)(F'=x D ．0)(=x f131．若函数)(F x 和函数)(x Φ都是函数)(x f 在区间I 上的原函数，则有( )A ．I x x x ∈∀=Φ),(F )('B ．I x x x ∈∀Φ=),()(FC ．I x x x ∈∀Φ=),()(F' D ．I x C x x ∈∀=Φ-,)()(F132．有理函数不定积分2d 1x x x⎰+等于（）．A ．2ln 12x x x C ++++B ．2ln 12x x x C --++ C ．2ln 12x x x C -+++ D ．2ln 122x xx C -+++ 133．不定积分x 等于（）．A ．2arcsin x C +B ．2arccos xC + C ．2arctan x C +D ．2cot arc x C +134．不定积分2e e (1)d xxx x-⎰-等于（）．A ．1exC x -++ B ．1e x C x -+ C ．1e x C x ++ D ．1e xC x--+135．函数x e x f 2)(=的原函数是( )A ．4212+x eB ．x e 22C ．3312+x eD ．x e 231 136．⎰xdx 2sin 等于( )A ．c x +2sin 21 B ．c x +2sin C ．c x +-2cos2 D ．c x +2cos 21137．若⎰⎰-=xdx x x dx x xf sin sin )(,则)(x f 等于（）A ．x sinB ．x x sin C ．x cos D ．xxcos 138．设x e -是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x xf )('（）A ．c x e x+--)1( B ．c x e x ++--)1( C ．c x e x +--)1( D ． c x e x ++-)1(139．设,)(x e x f -= 则⎰=dx xx f )(ln ' ( ) A ．c x +-1 B ．c x+1C ．c x +-lnD ．c x +ln140．设)(x f 是可导函数，则()')(⎰dx x f 为（）A ．)(x f B ．c x f +)( C ．)('x f D ．c x f +)('141．以下各题计算结果正确的是( )A ．⎰=+x x dxarctan 12B ．c xdx x +=⎰21 C ．⎰+-=c x xdx cos sin D ．⎰+=c x xdx 2sec tan142．在积分曲线族⎰dx x x中,过点(0,1)的积分曲线方程为( )A ．12+x B ．1)(525+x C ．x 2 D ．1)(255+x143．⎰dx x 31=( )A ．c x +--43 B ．c x+-221 C ． c x +-221 D ． c x +-221 144．设)(x f 有原函数x x ln ,则⎰dx x xf )(=( )A ．c x x++)ln 4121(2B ．c x x ++)ln 2141(2C ．c x x +-)ln 2141(2D ．c x x +-)ln 4121(2 145．⎰=xdx x cos sin ( )A ．c x +-2cos 41 B ．c x +2cos 41 C ．c x +-2sin 21 D ．c x +2cos 21146．积分=+⎰dx x ]'11[2( ) A ．211x + B ．c x++211 C ．x tan arg D ．c x +arctan 147．下列等式计算正确的是( )A ．⎰+-=c x xdx cos sinB ．c x dx x +=---⎰43)4( C ．c x dx x +=⎰32 D ．c dx x x +=⎰22 148．极限⎰⎰→xxx xdxtdt000sin lim的值为（）A ．1-B ．0C ．2D ．1149．极限⎰⎰→x xx dx x tdt 0202sin lim的值为（）A ．1-B ．0C ．2D ．1150．极限4030sin limx dt t xx ⎰→=( )A ．41 B ．31 C ．21D ．1 151．=⎰+2ln 01x t dt e dxd（）A ．)1(2+xe B ．ex C ．ex 2 D ．12+xe152．若⎰=xtdt dx d x f 0sin )(，则（）A ．x x f sin )(=B ．x x f cos 1)(+-=C ．c x x f +=sin )( D ．x x f sin 1)(-=153．函数()⎰+-=xdt t t tx 0213φ在区间]10[，上的最小值为（）A ．21 B ．31C ．41D ．0 154．若()⎰+==xtxc dt t e x f e x x g 02122213)(,)(，且23)(')('lim=+∞→x g x f x 则必有（）A ．0=cB ．1=cC ．1-=cD ．2=c 155．⎰=+xdt t dx d14)1(( )A ．21x + B ．41x + C ．2121x x+ D ．x x+121 156．=⎰]sin [02dt t dx d x( ) A ．2cos x B ．2cos 2x x C ．2sin x D ．2cos t157．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠=⎰00sin )(20x ax x tdt x f x在0=x 点处连续,则a 等于（）A ．2B ．21C ．1D ．2- 158．设)(x f 在区间],[b a 连续, ),()()(b x a dt t f x F xa≤≤=⎰则)(x F 是)(x f 的( )A ．不定积分B ．一个原函数C ．全体原函数D ．在],[b a 上的定积分159．设则为连续函数其中,)(,)()(2x f dt t f ax x x F xa ⎰-=)(lim x F a x →=( ) A ．2a B ．)(2a f a C ． 0 D ．不存在160．函数x2sin 1的原函数是( )A ．c x +tanB ．c x +cotC ．c x +-cotD ． xsin 1-161．函数)(x f 在[a,b]上连续, ⎰=xadt t f x )()(ϕ,则( )A ．)(x ϕ是)(x f 在[a,b]上的一个原函数B ．)(x f 是)(x ϕ的一个原函数C ．)(x ϕ是)(x f 在[a,b]上唯一的原函数 D ． )(x f 是)(x ϕ在[a,b]上唯一的原函数162．广义积分=⎰+∞-0dx e x ( )A ．0B ．2C ．1D ．发散 163．=+⎰dx x π2cos 1( )A ．0B ． 2C ．22D ．2164．设)(x f 为偶函数且连续,又有等于则)(,)()(0x F dt t f x F x -=⎰( )A ．)(x FB ．)(x F -C ． 0D ． 2)(x F165．下列广义积分收敛的是（）A ．⎰+∞1xdx B ．⎰+∞1xxdx C ．dx x ⎰+∞1D ．⎰+∞132xdx166．下列广义积分收敛的是（）A ．⎰+∞13x dx B ．⎰+∞1cos xdx C ．dx x ⎰+∞1ln D ．⎰+∞1dx e x167．⎰+∞->apxp dx e )0(等于( ) A ．pae- B ．pae a-1 C ．pa e p -1 D ．)1(1pa e p --168．=⎰∞+ex x dx2)(ln ( )A ．1B ．e1C ．eD ．∞+(发散) 169．积分dx e kx-+∞⎰收敛的条件为（）A ．0>kB ．0<kC ．0≥kD ．0≤k170．下列无穷限积分中,积分收敛的有( ) A ．⎰∞-0dx e x B ．⎰+∞1xdxC ．⎰∞--0dx e xD ．⎰∞-0cos xdx171．广义积分⎰∞+edx xxln 为( ) A ．1 B ．发散 C ．21D ．2 172．下列广义积分为收敛的是( ) A ．⎰+∞edx x xln B ．⎰+∞e xx dx lnC ．⎰∞+edx x x 2)(ln 1D ．⎰+∞edx x x 21)(ln 1173．下列积分中不是广义积分的是( ) A ．⎰+∞+0)1ln(dx x B ．⎰-42211dx x C ．⎰11-21dx x D ．⎰+03-11dx x174．函数()f x 在闭区间[a,b]上连续是定积分⎰badx x f )(在区间[a,b]上可积的（）． A ．必要条件 B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又飞必要条件 175．定积分121sin 1xdx x -+⎰等于（）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．1- 176．定积分⎰-122d ||x x x 等于（）． A ．0 B ． 1 C ．174 D ．174- 177．定积分x x x d e )15(405⎰+等于（）． A ．0 B ．5e C ．5-e D ．52e178．设)(x f 连续函数，则=⎰22)(dx x xf （）A ．⎰40)(21dx x f B ．⎰2)(21dx x f C ．⎰40)(2dx x f D ．⎰4)(dx x f179．积分⎰--=-11sin 2xdx x e e xx （）A ．0B ．1C ．2D ．3 180．设)(x f 是以T 为周期的连续函数,则定积分⎰+=Tl ldx x f I )(的值( )A ．与l 有关B ．与T 有关C ．与l ,T 均有关D ．与l ,T 均无关 181．设)(x f 连续函数，则=⎰2)(dx xx f （） A ．⎰+210)(21dx x f B ．⎰+210)(2dx x f C ．⎰2)(dx x f D ．⎰2)(2dx x f182．设)(x f 为连续函数,则⎰1)2('dx x f 等于（）A ．)0()2(f f - B ．[])0()1(21f f - C ．[])0()2(21f f - D ．)0()1(f f - 183．C 数)(x f 在区间[a,b]上连续,且没有零点,则定积分⎰b adx x f )(的值必定( )A ．大于零B ．大于等于零C ．小于零D ．不等于零 184．下列定积分中,积分结果正确的有( ) A ．c x f dx x f ba+=⎰)()(' B ．)()()('a f b f dx x f ba+=⎰C ．)]2()2([21)2('a f b f dx x f ba-=⎰D ．)2()2()2('a f b f dx x f b a -=⎰185．以下定积分结果正确的是( ) A ．2111=⎰-dx x B ．21112=⎰-dx x C ．211=⎰-dx D ．211=⎰-xdx 186．⎰=adx x 0)'(arccos ( )A ．211x-- B ．c x+--211 C ．c a +-2arccos πD ．0arccos arccos -a187．下列等式成立的有( ) A ．0sin 11=⎰-xdx x B ．011=⎰-dx e xC ．a b xdx abtan tan ]'tan [-=⎰D ．xdx xdx d xsin sin 0=⎰188．比较两个定积分的大小( ) A ．⎰⎰<213212dx x dx x B ．⎰⎰≤213212dx x dx xC ．⎰⎰>213212dx x dx x D ．⎰⎰≥213212dx x dx x189．定积分⎰-+22221sin dx x xx 等于( ) A ．1 B ．-1 C ．2 D ．0 190．⎰=11-x dx ( )A ．2B ．2-C ．1D ．1- 191．下列定积分中,其值为零的是( ) A ．⎰22-sin xdx x B ．⎰2cos xdx xC ．⎰+22-)(dx x e x D ．⎰+22-)sin (dx x x192．积分⎰-=21dx x ( )A ．0B ．21 C ．23 D ．25 193．下列积分中,值最大的是( ) A ．⎰12dx x B ．⎰13dx x C ．⎰14dx x D ．⎰15dx x194．曲线x y -=42与y 轴所围部分的面积为（）A ．[]⎰--2224dy y B ．[]⎰-224dy y C ．⎰-44dx x D ．⎰--444dx x195．曲线x e y =与该曲线过原点的切线及y 轴所围形的为面积（）A ．()⎰-exxdx xe e1 B ．()⎰-1ln ln dy y y yC ．()⎰-1dx ex exD ．()⎰-edy y y y 1ln ln196．曲线2x y x y ==与所围成平面图形的面积( )A ．31B ．31- C ．1 D ．-1四、常微分方程 197．函数y c x =-（其中c 为任意常数）是微分方程1x y y '+-=的（）． A ．通解 B ．特解 C ．是解，但不是通解，也不是特解 D ．不是解 198．函数23x y e =是微分方程40y y ''-=的（）．A ．通解B ．特解C ．是解，但不是通解，也不是特解D ．不是解 199．2()sin y y x y x '''++=是（）．A ．四阶非线性微分方程B ．二阶非线性微分方程C ．二阶线性微分方程D ．四阶线性微分方程 200．下列函数中是方程0y y '''+=的通解的是（）． A ．12sin cos y C x C x =+ B ．x y Ce -=C ．y C =D ．12x y C e C -=+专升本高等数学综合练习题参考答案1．B 2．C 3．C4．B 在偶次根式中，被开方式必须大于等于零，所以有40x -≥且20x -≥，解得24x ≤≤，即定义域为[2,4]．5．A 由奇偶性定义，因为33()2()3sin()23sin ()f x x x x x f x -=---=-+=-，所以3()23sin f x x x =-是奇函数．6．解：令t x-=1，则t t t t t f 21212211)(--=---+=，所以xxx f 212)(--= ，故选D7．解：选D 8．解：选D 9．解：选B 10．解：选C 11．解：110≤+≤x ，所以01≤≤-x ，故选B 12．解：选C 13．解：选B 14．解：选B 15．解：选B 16．解：)(x f 的定义域为)4,1[-，选D17．解：根据奇函数的定义知选C 18．解：选C 19. 解：选C 20．解：因为函数)1,0(log ≠>==a a x y a y a x 与互为反函数，故它们的图形关于直线x y =轴对称，选C 21．A 22．D23．解：这是00型未定式ln 1l 1limlim x e x e x x e x e →→-==-,故选B ． 24．解：这是∞∞型未定式22csc ln cot sin cot lim lim lim lim 11ln sin cos sin cos x x x x xx x x x x x x x x xx→→→→-==-⋅=-=-＋＋＋＋００００故选D ．25．解：因为2sin lim20=+→x x b ax x 所以0)(lim 2=+→b ax x ，得0=b ，2sin lim 20=→x x ax x 所以2=a ，故选A 26．解：b b b b b a b b n n n n n n n nn ==+≤+≤=2选B27．解：选D28．解：因为∞→x lim2121lim 21sin==∞→x x x x x ,故选B29．解：nmnx mx nx mx x x ==→→00lim sin sin lim 故选A30．解：因为1tan lim230=+→x x b ax x 所以0)(lim 2=+→b ax x ，得0=b ，1tan lim 230=→x x ax x ,所以1=a ，故选B 31．解：1cos 1cos 1lim cos cos lim=+-=+-∞→∞→xxx x x x x x x x ，选A32．解：因为01lim )(lim 0=-=++→→）（xx x e x f ，11sin lim )(lim 00=+=--→→）（x x f x x 所以)(limx f x →不存在，故选D33．解：41414010])41(lim [)41(lim e xx x x x x =+=+→→,选D34．解：极限0sin lim cotx lnx - lim )1(lim 200tan 0===+++→→→xxx x x x x ，选C 35．解：110sin 11sinlim 0-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x x ，选A 36．解：kkx x kx x x x 11lim 1sinlim ==∞→∞→选B 37．解：1sin lim 2=-→x x π，选B 38．解：选A 39．解：选D40．解：06lim21=++→ax x x ,7-=a ,选B41．解：2),2(lim tan lim 00=+=-+→→a x xaxx x ，选C 42．解：根据无穷小量的定义知：以零为极限的函数是无穷小量，故选C43．解：因为22lim )2sin(lim2020=+=+→→xx x x x x x x ，故选C 44．解：因为11ln(lim0=+→xx x ），故选B45．解：因为33lim )3tan(lim2020=+=+→→xx x x x x x x ，故选C 46．解：因为21)1(21lim1)1(21lim11=++=-+-→→x x xx xx x ，故选C47．解：因为021lim 11lim 00==-+++→→xxx x ax ax ，所以1>a ，故选A48．解：因为02tan lim 20=→x xx ，故选D49．解：由书中定理知选C 50．解：因为01cos 1lim=∞→xx x ，故选C51．解：因为6ln 13ln 32ln 2lim 232lim00=+=-+→→x x x x x x x ，选B 52．解：选A 53．解：1sin )cos 1(2lim20=-→xx x ，选C54．解：因为1)(lim =+∞→x f x ，选A55．解：选A 56．解：0sec 1sin lim0=+→xxx ，选C57．解：选C58．解：,11sinlim20=+→xx x x x 选D59．解：根据连续的定义知选B 60．C 61．解：选A 62．解：选A 63．解：)0(2)(lim 0f x f x ≠=+→π, )0(2)(lim 0f x f x =-=-→π,选B64．解：选A65．解：因为21)1)(1(lim 11lim 21=-+-=--++→→x x x x x x x ，21)1)(1(lim 11lim 21-=-+--=----→→x x x x x x x ，选A66．解：因为)0(1)(lim 0f x f x ==+→，又)0(1)(lim 0f x f x ==-→，所以)(x f 在0=x 点连续，但111lim )0()(lim )0('00=-+=-=--→→-xx x f x f f x x ，011lim )0()(lim )0('200=-+=-=++→→+xx x f x f f x x 所以)(x f 在0=x 点不可导，选C67．解：选C68．解：因为)0(1)(lim 0f x f x ≠=+→，又)0(1)(lim 0f x f x ≠=-→，所以)(x f 在0=x 点不连续，从而在0=x 处不可导，但当0→x 时,极限存在，选B69．解：选B 70．解：313lim)(-=-=∞→nxnxx f x ，选A71．解：)0(2111limf x x x ≠=-+→，选A72．解：选C 73．解：因为0)11cot(lim )(lim211=-+=++→→x arc x x f x x ， π=-+=--→→)11cot(lim )(lim 211x arc x x f x x 故选B74．解：选D 75．解：因为2lim ,lim-=∞=∞→→y y x x ，曲线既有水平渐近线2-=y ,又有垂直渐近线0=x ，选C76．解：因为11sinlim =+∞→xx x ，所以有水平渐近线1=y ，但无铅直渐近线，选A 77．D 78．C 解：e cos e sin x x y x x '=-，(0)101y '=-=．选C ．79．C 解：x x g cos )('=，所以x e x g f cos )]('[=，故选C ．80．解：=--→h x f h x f h )()21(lim 000 1)('21)21(21)()21(lim0000-=-=----→x f h x f h x f h ，选C 81．解：)('2])()()()([lim )()(lim 00a f xa f x a f x a f x a f x x a f x a f x x =---+-+=--+→→，选B82．解：因为=--+→h h f h f h )2()2(lim 0 +-+→h f h f h )2()2([lim 0 ])2()2(hf h f ---=)2('2f ，故选A83．解：)0('f 6)3)(2)(1(lim )0()(lim 00-=---=-=→→x x x x x x f x f x x ，故选B84．解：因为=--→h h f h f h )()(lim 0 +-→h f h f h )0()([lim 0 ])0()(hf h f ---=)0('2f ，故选C85．解：因为0lim→h )(')()h - x (000x f hx f f -=-,故选B86．解：因为=--→h f h f h )1()21(lim 021)1('222)1()21(lim 0=-=----→f h f h f h ）（，故选D87．解：222242)('',2)('xx x e x e x f xe x f ---+-=-=，2)0(''-=f 选C88．解：选B 89．解：01282829.....a x a x a x y ++++=，所以!29)29(=y ，选B90．解：)(')()('')()(x f e e f e e f y x f x x f x x ⋅+=+，选C91．解：!100)100()2)(1(lim )0()(lim)0('00=---=-=→→xx x x x x f x f f x x ，选B 92．解：)'('ln x x e y =)ln 1(x x x +=，选D。

2007年河南省专升本考试高等数学试卷及答案

2007年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷一. 单项选择题（每题2分，共计50分）在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分.1.集合}5,4,3{的所有子集共有（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解：子集个数D n⇒==8223。

2.函数x x x f -+-=3)1arcsin()(的定义域为（） A. ]3,0[ B. ]2,0[ C. ]3,2[ D. ]3,1[解： B x x x ⇒≤≤⇒⎩⎨⎧≥-≤-≤-2003111。

3. 当0→x 时，与x 不等价的无穷小量是 ( )A.x 2B.x sinC.1-xe D.)1ln(x + 解：根据常用等价关系知，只有x 2与x 比较不是等价的。

应选A 。

4.当0=x 是函数xx f 1arctan )(= 的（）A.连续点B. 可去间断点C.跳跃间断点D. 第二类间断点解：21arctan lim 0π=+→x x ；C x x ⇒π-=-→21arctan lim 0。

5. 设)(x f 在1=x 处可导，且1)1(='f ，则h h f h f h )1()21(lim 0+--→的值为（）A.-1B. -2C. -3D.-4解：C f h f h f h h f h f h h ⇒-='-=+'--'-=+--→→3)1(3)1()21(2[lim )1()21(lim 00 。

6.若函数)(x f 在区间),(b a 内有0)(,0)(<''>'x f x f ，则在区间),(b a 内，)(x f 图形（）A ．单调递减且为凸的B ．单调递增且为凸的C ．单调递减且为凹的D ．单调递增且为凹的解：⇒>'0)(x f 单调增加；⇒<''0)(x f 凸的。

2007年河南省专升本(高等数学)真题试卷(题后含答案及解析)

2007年河南省专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 判断题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．集合{3，4，5}的子集个数为( )A．5B．6C．7D．8正确答案：D解析：集合{3，4，5)的子集有：空集φ、{3｝、{4｝、{5｝、{3，4｝、{3，5｝、{4，5｝、{3，4，5｝，共8个．2．函数f(x)=aresin(x-1)+的定义域是( )A．[0，1]B．[0，2]C．[0，3]D．[1，3]正确答案：B解析：解不等式组，得0≤x≤2，B为正确选项．3．当x→0时，与x不等价的无穷小量是( )A．2xB．sinxC．ex-1D．ln(1+x)正确答案：A解析：因=2≠1，所以A为正确选项．4．x=0是函数f(x)=arctan的( )A．连续点B．可去间断点C．跳跃问断点D．第二类间断点正确答案：C解析：，左右极限均存在但不相等，故选C.5．f(x)在x=1处可导，且f’(1)=1，则= ( ) A．-1B．-2C．-3D．-4正确答案：C解析：6．f(x)在区间(a，b)内有f’(x)>0，f’(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内( )A．单调减少且凹B．单调增加且凸C．单调减少且凸D．单调增加且凹正确答案：B解析：在区间(a,b)内有f’(x)>0表示单调增加f’’(x)<0表示f(x)为凸的．7．曲线y=1+x3的拐点是( )A．(0，1)B．(1，0)C．(0，0)D．(1，1)正确答案：A解析：y=1+x3，则y’’=3x2，从而y’’=6x，当x>0时，y’’＞0；当x的水平渐近线是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：因，所以水平渐近线为y=9．= ( )A．0B．C．1D．2正确答案：B解析：10．f(x)是g(x)的原函数，则下列正确的是( )A．∫f(x)dx=g(x)+CB．∫g(x)dx=f(x)+CC．∫g’(x)dx=f(x)+CD．∫f’(x)dx=g(x)+C正确答案：B解析：由原函数的性质知B为正确选项．11．∫cos(1-3x)dx= ( )A．sin(1-3x)+CB．sin(1-3x)+CC．-sin(1-3x)+CD．3sin(1-3x)+C正确答案：A解析：∫coss(1-3x)dx=cos(1-3x)d(1-3x)=∫cosdt=sint+C=sin(1-3x)+C12．设y=(t-1)(t-3)dt，则y’(0)= ( )A．-3B．-1C．1D．3正确答案：D解析：y=(t-1)(t-3)dt，则y’=(x-1)(x-3)，所以y’(0)=(-1)×(-3)=3．13．下列广义积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：因广义积分(a>0)当k>1时收敛，当k≤1时发散，故选C.14．计算不定积分，下列结果错误的是( )A．tanx-cotx+CB．tanx-+CC．cotx-tanx+CD．-cot2x+C正确答案：C解析：对各选项直接求导，可发现c选项的导数为-csc2x-sec2x=，根据原函数的概念知C为正确选项．15．函数y=x2在区间[1，3]上的平均值为( )A．B．C．8D．4正确答案：B解析：根据函数y=f(x)在区问[a，b]上的平均值为的定义，知函数y=x2在区间[1，3]上的平均值为16．过Oz轴，且经过点(3，-2，4)的平面方程为( )A．3x+2y=0B．2y+z=0C．2x+3y=0D．2x+z=0正确答案：C解析：平面的一般式方程为Ax+By+Cz+D=0，当平面过Oz轴时，则系数C=D=0，故该平面方程可设为Ax+By=0，又因该平面过点(3，-2，4)，代入平面方程可得A=，再代入方程即得平面方程为2x+3y=0．17．双曲线绕z轴旋转所得的曲面方程为( )A．B．C．D．正确答案：A解析：根据曲线，绕z轴旋转所得曲面方程为f(，x)=0，可得双曲线绕z轴旋转所得的曲面方程为18．= ( )A．B．C．0D．极限不存在正确答案：B解析：19．若z=xy，则( )A．B．1C．eD．0正确答案：C解析：因为f(e，y)=ey，则20．由方程z2y-xz3=1所确定的隐函数为z=f(x，y)，则=( )A．B．C．D．正确答案：A解析：令F(x，y，z)=z2y-xz2-1，得21．设L为抛物线y=x2上从点(0，0)到(1，1)的一段弧，则∫L2xydx+x2dy= ( )A．-1B．0C．1D．2正确答案：C解析：P(x，y)=2xy，Q(x，y)=x2，，则表明曲线积分与路径无关，取从A(0，0)到B(1，1)的直线段y=x(0≤x≤1)，则∫L2xydx+X2dy=x2dx=1．22．下列正项级数收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：对于选项A，可判定其通项与同阶无穷小，具有相同的敛散性，而是发散的，故发散；对于选项B和C，需要利用积分收敛法才可进行判断，可判断C为正确选项；对于选项D，因为也具有相同的敛散性，而为发散的，故选项D的级数也为发散的．23．幂级数(x+1)n的收敛区间为( )A．(-1，1)B．(-3，3)C．(-2，4)D．(-4，2)正确答案：D解析：令t=x+1，则级数可化为，由等比级数的敛散性可得级数的收敛区间为-1＜＜1，即-3(x+1)n的收敛区间为-3，得到f’’(x0)=＞0，故由极值存在的第二充分条件知A正确．填空题26．设f(x)=2x+5，则f[f(x)-1]=_______正确答案：4x+13解析：由f(x)=2x+5，知f(x)-1=2x+4，则f’[f(x)-1]=f(t)=2t+5=2[f(x)-1]+5=2[2x+4]+5=4x+13．27．=________正确答案：0解析：构造级数=0＜1，由比值收敛法知该级数收敛，再由收敛级数的必要条件知=028．函数f(x)=在x=0处连续，则a=________正确答案：6解析：由连续函数的充分必要条件知limf(x)=，要使f(x)在x=0处连续，则f(0+)=f(0-)=f(0)，从而可得=3，即a=6．29．曲线y=x2-2在点M处的切线平行于直线y=5x-1，则点M的坐标为________正确答案：(2，4)解析：直线y=5x-1的斜率为k=5，曲线y=x2+x-2在点M处的切线斜率为y’=2x+1，要使过点M的切线平行于直线y=5x-1，必有2x+1=5，得x=2，将x=2代入曲线方程y=x2+x-2，得y=4，则点M的坐标为(2，4)．30．已知f(x)=e2x-1，则f(2007)(0)=_______正确答案：解析：因为对于f(x)=e2x-1，有f(n)(x)=2ne2x-1，则f(2007)(0)=31．曲线=_________正确答案：1解析：因32．若函数f(x)=ax2+bx在x=1处取得极值2，则a=______，b=________正确答案：-2 4解析：f(x)=ax2+bx，则f’(x)=2ax+b，因为函数在x=1处取得极值2，且该函数在x=1处可导，所以必有f’(1)=2a+b=0，且f(1)=a+b=2，由2a+b=0，a+b=2，得a=-2，b=4．33．=_______正确答案：ln｜f(x)｜+C解析：=ln｜t｜+C=ln｜f(x)｜+C34．=________正确答案：解析：根据定积分的几何意义，知表示圆心在坐标原点，半径为1的圆落在第一象限内的面积，故有35．平面x+2y-5z+7=0与平面4x+3y+mz+13=0垂直，则m=________正确答案：2解析：两平面的法向量分别为={1，2，-5}，={4，3，m}，因为两平面垂直，故=0，即1×4+2×3+(-5)×m=0，解得m=2．36．向量3i+4j-k的模等于_______正确答案：解析：向量3i+4j-k的模等于37．函数f(x+y，xy)=x2+y2，则f(x，y)=_______正确答案：x2-2y解析：函数f(x+y，xy)=x2+y2=(x+y)2-2xy，令u=x+y，v=xy，f(u，v)=u2-2v，则f(x，y)=x2-2y．38．二重积分f(x，y)dx，交换积分次序后为_______正确答案：解析：二重积分的积分区域为D=｛(x,y)｜0≤y≤，y≤x ≤｝，该区域又可表示为D={(x，y)｜0≤x≤，0≤y≤x｝∪{(x，y)｜≤x≤1，0≤y≤，所以交换积分次序后得39．若级数收敛，则级数的和为_______正确答案：解析：级数的前n项和为Sn=因为级数收敛，故有=0，从而=0，故S=40．微分方程y’’-2y’+y=0的通解为______正确答案：y=(C1+C2x)ex解析：微分方程y’’-2y’+y=0对应的特征方程为r2-2r+1=0，得特征根为r1=r2=1，所以原方程的通解为y=(C1+C2x)ex判断题41．若数列{xn}单调，则数列{xn}收敛．( )A．正确B．错误正确答案：B解析：收敛数列未必单调，单调数列也未必收敛；如自然数列{n}，单调增加但不收敛．42．若f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)≠f(b)，则一定不存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=0．( )A．正确B．错误正确答案：B解析：反例如f(x)=x2在区间[-1，2]内连续，在(-1，2)内可导，且f(-1)≠f(2)，但显然在(-1，2)内存在ξ=0∈(-1，2)，使得f’(0)=0．43．( )A．正确B．错误正确答案：B解析：当x→∞时，显然(1+cosx)与(1-cosx)并不存在，故不符合洛必达法则的使用条件．44．( )A．正确B．错误正确答案：A解析：令f(x)=，则f’(x)=＞0，x∈(0，ln2)，所以当x∈(0，ln2)时，f(x)单调递增，从而有f(0)≤f(x)≤f(ln2)，即0≤，所以由定积分的性质可得45．f(x，y)在点P(x，y)处可微是f(x，y)在点P(x，y)处连续的充分条件．( )A．正确B．错误正确答案：A解析：f(x，y)在点p(x，y)处可微可得f(x，y)在点p(x，y)处连续，反之不成立．解答题解答时应写出推理、演算步骤。

2007年河南专升本高等数学真题+真题解析

2007河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学试卷一、选择题（每小题2 分，共50 分） 1．集合{}3,4,5的子集个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】n 元素集合的子集个数为2n 个，故已知集合的子集个数为328=．2．函数()arcsin(1)f x x =-+ ）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,3D ．[]1,3【答案】B【解析】要使arcsin(1)x -有意义，须使11x -≤，解得02x ≤≤有意义，须使30x -≥，解得3x ≤；综上，函数的定义域为[]0,2．3．当0x →时，与x 不等价的无穷小量是（）A ．2xB ．sin xC ．1x e -D ．ln(1)x +【答案】A【解析】显然2x 与x 在0x →时不等价．4．0x =是函数1()arctan f x x=的（）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．第二类间断点【答案】C【解析】因函数1()arctan f x x=在0x =处无定义，所以0x =为()f x 的间断点．又01lim ()lim arctan 2x x f x x π++→→==，001lim ()lim arctan 2x x f x x π--→→==-，故点0x =为()f x 的跳跃间断点．5．设()f x 在1x =处可导，且(1)1f '=，则0(12)(1)limh f h f h h→--+=（）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-【答案】C 【解析】00(12)(1)(12)(1)(1)(1)limlim (2)3(1)32h h f h f h f h f f h f f h h h →→--+--+-⎡⎤'=-⋅-=-=-⎢⎥-⎣⎦．故选C ．6．设()f x 在区间(,)a b 内有()0f x '>，()0f x ''<，则()f x 在区间(,)a b 内（） A ．单调减少且凹的 B ．单调增加且凸的C ．单调减少且凸的D ．单调增加且凹的【答案】B【解析】由()0f x '>可知()f x 在区间(,)a b 上单调增加，由()0f x ''<可知函数是凸的，故选B ．7．曲线31y x =+的拐点为（）A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(0,0)D ．(1,1)【答案】A【解析】6y x ''=，令0y ''=得0x =，当0x <时，0y ''<，当0x >时，0y ''>，故点(0,1)是曲线的拐点．8．曲线2223x y x -=的水平渐近线为（） A ．23y = B ．23y =-C ．13y =D ．13y =-【答案】C【解析】2221lim 33x x x →∞-=，13y =为曲线的水平渐近线，故选C ．9．24tan limx x xdx x →=⎰（）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】2220433000tan 2tan 21limlim lim 442x x x x xdx x x x x x x x →→→⋅===⎰．10．()f x 是()g x 的原函数，则下列正确的是（） A ．()()f x dx g x C =+⎰ B ．()()g x dx f x C =+⎰C ．()()g x dx f x C '=+⎰D ．()()f x dx g x C '=+⎰【答案】B【解析】根据不定积分与原函数的关系可知()()g x dx f x C =+⎰．11．cos(13)x dx -=⎰（） A ．1sin(13)3x C --+B ．1sin(13)3x C -+C ．sin(13)x C --+D ．3sin(13)x C -+【答案】A【解析】11cos(13)cos(13)(13)sin(13)33x dx x d x x C -=---=--+⎰⎰．12．设0(1)(3)xy t t dt =--⎰，则(0)y '=（）A ．3-B ．1-C ．1D ．3【答案】D【解析】(1)(3)(0)3y x x y ''=--⇒=，故选D ．13．下列广义积分收敛的是（） A．1+∞⎰B ．11dx x+∞⎰C．1+∞⎰D．1⎰【答案】C【解析】由p积分的敛散性可知1+∞⎰收敛．14．关于不定积分221sin cos dx x x⎰，下列结果错误的是（）A ．tan cot x x C -+B ．1tan tan x C x-+C ．cot tan x x C -+D ．cot 2x C -+【答案】C【解析】C 选项中，()2222111cot tan sin cos sin cos x x C x x x x'-+=--=-，故选C ．15．函数2y x =在区间[]1,3的平均值为（）A ．263B ．133C ．8D ．4【答案】B【解析】3323111113()263b a x f x dx x dx b a ===-⎰⎰，故选B ．16．经过Oz 轴，且经过点(3,2,4)-的平面方程为（）A ．320x y +=B ．20y z +=C ．230x y +=D ．20x z +=【答案】C【解析】经过Oz 轴的平面可设为0Ax By +=，把点(3,2,4)-代入得230x y +=．17．双曲线221340x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转得曲面方程为（） A ．222134x y z +-=B ．222134x y z +-=C ．22()134x y z +-=D ．22()134x y z +-=【答案】A【解析】把22134x z -=中2x 换成22x y +得222134x y z +-=，故选A ．18．00x y →→ ）A ．16B ．16-C ．0D ．极限不存在【答案】B【解析】00016x x x y y y →→→→→→==-=-．19．设y z x =，则(,1)e zy∂=∂（）A ．1eB ．1C ．eD ．0【答案】C 【解析】(,1)(,1)ln ln y e e z x xe e e y∂===∂，故选C ．20．方程231z y xz -=所确定的隐函数(,)z f x y =，则zx∂=∂（）A ．223z y xz -B ．232z xz y-C ．23zy xz-D ．32zxz y-【答案】A【解析】令23(,,)1F x y z z y xz =--，则3x F z =-，223z F yz xz =-，故223x z F z z x F y xz∂=-=∂-．21．设C 为抛物线上从点(0,0)到点(1,1)之间的一段弧，则22Cxydx x dy +=⎰（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】C ：2x x y x=⎧⎨=⎩，x 从0变到1，1230241C xydx x dy x dx +==⎰⎰，故选C ．22．下列正项级数收敛的是（）A ．2131n n ∞=+∑B ．21ln n n n ∞=∑C ．221(ln )n n n ∞=∑ D．n ∞=【答案】C 【解析】21ln dx x x+∞⎰发散，221(ln )dx x x +∞⎰收敛，由积分判别法知B 发散，C 收敛；其余几个级数均与级数具有相同的发散性．故选C ．23．幂级数101(1)3n n n x ∞+=+∑的收敛区间为（）A ．(1,1)-B ．(3,3)-C ．(2,4)-D ．(4,2)-【答案】D【解析】令1x t +=，级数化为10011333nn n n n t t ∞∞+==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑，级数收敛区间为(3,3)-，即1(3,3)x +∈-，故(4,2)x ∈-，选D ．24．微分方程32cos x y y y e x -'''++=利用待定系数求特解时，设*y =（） A ．cos x Ce xB ．12(cos sin )x eC x C x -+C ．12(cos sin )x xe C x C x -+D ．212(cos sin )x x e C x C x -+【答案】B【解析】特征方程为2320r r ++=，特征根为11r =-，22r =-，而1i -+不是特征方程的特征根，特解应设为*12(cos sin )x y e C x C x -=+．25．函数()y f x =满足微分方程2x y y e '''+=，且0()0f x '=，则()f x 在0x 处（）A ．有极小值B ．有极大值C ．无极值D ．有最大值【答案】A【解析】0022000()()()0x x f x f x e f x e '''''+=⇒=>，故选A ．二、填空题（每小题 2分，共 30分）26．设()25f x x =+，则[]()1f f x -=________．【答案】413x +【解析】[][]()12()152()32(25)3413f f x f x f x x x -=-+=+=++=+．27．2lim !nn n →∞=________．【答案】0【解析】构造级数02!nn n ∞=∑，利用比值判别法知它是收敛的，根据收敛级数的必要条件可得2lim 0!nn n →∞=．28．设函数43,0()2,02x e x f x ax x ⎧<⎪=⎨+≥⎪⎩在0x =处连续，则a =________．【答案】6【解析】0lim ()3x f x -→=，0lim ()2x a f x +→=，由题意可知32a=，故6a =．29．曲线22y x x =+-在点M 处的切线平行于直线51y x =-，则点M 的坐标为 ________．【答案】(2,4)【解析】215y x '=+=，从而2x =，4y =，故点M 坐标为(2,4)．30．已知21()x f x e -=，则(2007)(0)f =________．【答案】200712e -【解析】()21()2n n x f x e -=，故(2007)20071(0)2f e -=．31．曲线23121x t y t t =+⎧⎨=-+⎩，则1|t dydx ==________．【答案】1【解析】114113||t t dy t dx ==-==．32．若函数2()f x ax bx =+在1x =处取得极值2，则a =________，b =________．【答案】2-，4【解析】(1)2f a b =+=，(1)20f a b '=+=，联立解得2a =-，4b =． 33.()()f x dx f x '=⎰________．【答案】ln ()f x C + 【解析】()()ln ()()()f x df x dx f x C f x f x '==+⎰⎰．34．=⎰________．【答案】4π【解析】21144ππ=⋅=⎰．35．向量34+-i j k 的模=a ________．【解析】a36．平面1:2570x y z π+-+=与平面2:43130x y mz π+++=垂直，则m =________．【答案】2【解析】1(1,2,5)=-n ，2(4,3,)m =n ，1246502m m ⊥⇒+-=⇒=n n ．37．函数22(,)f x y xy x y +=+，则(,)f x y =________．【答案】22x y -【解析】2222(,)()2(,)2f x y xy x y x y xy f x y x y +=+=+-⇒=-．38．二次积分0(,)yI f x y dx =交换积分次序后为________．【答案】1(,)(,)xf x y dy f x y dy +⎰【解析】(,)02D x y y y x ⎧⎪=≤≤≤≤⎨⎪⎩(,)0(,)1,0x y x y x x y x y ⎧⎫⎧⎪⎪⎪=≤≤≤≤+≤≤≤⎨⎬⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩，故积分次序交换后为1(,)(,)x f x y dy f x y dy +⎰．39．若级数11n nu ∞=∑收敛，则级数1111n n n u u ∞=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑的和为________．【答案】11u 【解析】122311*********n nn n S u u u u u u u u ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而11lim 0n n u →∞+=，故11lim n n S S u →∞==．40．微分方程20y y y '''-+=的通解为________．【答案】12x x y C e C xe =+（12,C C 为任意常数）【解析】特征方程为2210r r -+=，特征根为121r r ==，故通解为12x x y C e C xe =+（12,C C 为任意常数）．四、计算题（每小题5 分，共40 分） 46．计算sin 0lim x x x +→．【答案】1【解析】0000ln lim1lim sin ln lim ln lim sin sin ln 00lim lim 1x x x x xx xx xxxx xxx x x e eeeee +→+++→→→++-→→=======．47．已知y x =dydx．【答案】2113(1)3(1)x x x x ⎤+-⎢⎥-+⎦【解析】两边取自然对数得()1ln 2ln ln 1ln 13y x x x =+--+，两边对x 求导得2111311y y x x x '-⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，故2113(1)3(1)dy x dx x x x ⎤=+-⎢⎥-+⎦．48．求 2ln(1)x e x dx ⎡⎤++⎣⎦⎰．【答案】21(1)ln(1)2x e x x x C +++-+【解析】22211ln(1)(2)ln(1)ln(1)221xx x xe x dx e d x x dx e x x dx x ⎡⎤++=++=++-⎣⎦+⎰⎰⎰⎰ 22111ln(1)1(1)ln(1)212x x e x x dx e x x x C x ⎛⎫=++--=+++-+ ⎪+⎝⎭⎰．49．计算0⎰．【答案】4【解析】2022cos 2cos 2cos x dx xdx xdx πππππ===-⎰⎰⎰⎰⎰222sin 2sin 4xxπππ=-=．50．设2(sin ,3)x z f e y x y =，且(,)f u v 是可微函数，求dz ．【答案】21212(sin 6)(cos 3)x x e yf xyf dx e yf x f dy ''''+++【解析】1212sin 6sin 6x x zf e y f xy e yf xyf x∂''''=⋅+⋅=+∂，221212cos 3cos 3x x zf e y f x e yf x f y∂''''=⋅+⋅=+∂，故21212(sin 6)(cos 3)x x z zdz dx dy e yf xyf dx e yf x f dy x y∂∂''''=+=+++∂∂．51．计算2Dx dxdy ⎰⎰，其中D ：2214x y ≤+≤．【答案】154π【解析】积分区域D 在极坐标系下为{}(,)02,12r r θθπ≤≤≤≤，故222222220100151515115cos cos (1cos2)sin 248824I d r rdr d d πππππθθθθθθθθ⎛⎫=⋅==+=+=⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰．52．将函数22()4xf x x =-展开成x 的幂级数，并写出其收敛区间．【答案】1201(1)()2n n n n f x x ∞++=⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦∑，(2,2)x ∈-．【解析】22114222414122x x x x x x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪--+⎛⎫⎛⎫⎝⎭-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又01,(1,1)1nn x x x ∞==∈--∑，从而01212n n x x ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭-∑，01212nn x x ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭+∑，(2,2)x ∈-，故120001(1)()42422n nn n n n n n x x x x f x x ∞∞∞++===⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫=+-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑，(2,2)x ∈-．53．求微分方程22(2)0x dy y xy x dx +--=的通解．【答案】122xy Cx e x =+ 【解析】方程可化为2121x y y x -'+=，这是一阶线性非齐次微分方程，212()xP x x -=，()1Q x =，代入公式得通解为 11111()()222221()P x dxP x dx x x x x x y e Q x e dx C x e e dx C x e e C Cx e x x --⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎰⎰=+=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎰⎰．五、应用题（每小题7 分，共 14 分）54．某工厂建一排污无盖的长方体，其体积V ，底面每平米造价为a （元），侧面每平米造价为b （元）．为使其造价最低，其长、宽、高各应为多少米？【答案】【解析】设长方体的长、宽分别为x ，y ，则高为Vxy，又设造价为z ，由题意可得 222()V bV bV z axy b x y axy xy y x =++=++，而22z bVay x x∂=-∂，22z bV ax y y ∂=-∂，令0zx∂=∂，0z y ∂=∂，得唯一驻点x y ==由题意可知造价一定在内部存在最小值，故x y ==最低．55．平面图形D 是由曲线x y e =，直线y e =及y 轴所围成的，求：（1）平面图形D 的面积；（2）平面图形D 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积．【答案】（1）1 （2）(2)e π-【解析】（1）平面图形D 的面积为1100()()1x x S e e dx ex e =-=-=⎰．（2）平面图形D 绕y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积为2211111(ln )(ln )2ln 2ln 2(2)eeee e y V y dy y y ydy e y y dy e πππππππ==-=-+=-⎰⎰⎰．五、证明题（6 分）56．设()f x '在[],a b 上连续，存在m ，M 两个常数，且满足12a x x b ≤<≤，证明： 212121()()()()m x x f x f x M x x -≤-≤-．【解析】()f x '在[],a b 上连续，根据闭区间上连续函数的最值定理可知，()f x '在[],a b 上既有最大值又有最小值，即(,)x a b ∈时有()m f x M '≤≤．又因()f x '在[]12,x x 上有意义，从而()f x 在[]12,x x 上连续且可导，即()f x 在[]12,x x 上，满足拉格朗日中值定理，即存在12(,)x x ξ∈使得2121()()()f x f x f x x ξ-'=-，而()m f M ξ'≤≤，故恒有212121()()()()m x x f x f x M x x -≤-≤-．。

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国卷Ⅱ.理)含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)理科数学（必修+选修Ⅱ）注意事项：1．本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．3．选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚 5．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6．考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n kn n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题1．sin 210=（）AB．-C ．12D ．12-2．函数sin y x =的一个单调增区间是（） A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭，3．设复数z 满足12ii z+=，则z =（） A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i +4．下列四个数中最大的是（） A ．2(ln 2) B ．ln(ln 2) C．D ．ln 25．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（） A ．23 B ．13 C ．13- D ．23-6．不等式2104x x ->-的解集是（） A ．(21)-，B ．(2)+∞，C ．(21)(2)-+∞ ，， D ．(2)(1)-∞-+∞ ，， 7．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于（） A．4B．4C．2D．28．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．129．把函数e x y =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（） A ．3e2x -+ B ．3e2x +- C ．2e3x -+ D ．2e3x +-10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种11．设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=且123AF AF =，则双曲线的离心率为（）ABCD12．设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=（）A ．9B ．6C ．4D ．3第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．821(12)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为．（用数字作答）14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．已知数列的通项52n a n =-+，其前n 项和为n S ，则2lim nn S n ∞=→ ．全国卷Ⅱ理科数学（必修+选修Ⅱ）二．请把填空题答案写在下面相应位置处：13. 14 15． 16.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ．（1）求函数()yf x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．18．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．（1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小． 20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x =相切．（1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB的取值范围．AEBCFSD21．（本小题满分12分）设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==，，，，，，…．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n b a =1n n b b +<，其中n 为正整数．22．（本小题满分12分）已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C 7．A 8．A 9．C 10．B 11．B 12．B二、填空题13．42- 14．0.815．2+16．52-三、解答题17．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3， 2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭．因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<< ⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin cos sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪2⎝⎭5s i n 3x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值18．解：（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则01A A ，互斥，且01A A A =+，故 01()()P A P A A =+012122()()(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=- 于是20.961p =-．解得120.20.2p p ==-，（舍去）．（2）ξ的可能取值为012，，．若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220⨯=件，故2802100C 316(0)C 495P ξ===． 1180202100C C 160(1)C 495P ξ===． 2202100C 19(2)C 495P ξ===．所以ξ的分布列为19（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．连结12AG FG CD∥，，又CD AB∥，故FG AE AEFG∥，为平行四边形． EF AG ∥，又AG ⊂平面SAD EF ⊄，平面SAD ．所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设2DC =，则42SD DG ADG ==，，△为等腰直角三角形．取AG 中点H ，连结DH ，则DH AG ⊥．又AB ⊥平面SAD，所以AB DH ⊥，而AB AG A = ，所以DH ⊥面AEF ．取EF 中点M ，连结MH ，则HM EF ⊥．连结DM ，则DM EF ⊥．故DMH ∠为二面角A EF D --的平面角tan 1DH DMH HM ∠=== 所以二面角A EF D --的大小为．解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系xyz ．设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，， 00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．取SD 的中点002b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则02b AG a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，．EF AG EF AG AG =⊂，∥，平面SAD EF ⊄，平面SAD ，所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设(100)A ，，，则11(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，．EF 中点AEBCFSD H G M111111(101)0222222M MD EF MD EF MD EF ⎛⎫⎛⎫=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，⊥ 又1002EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，，0EA EF EA EF =，⊥，所以向量MD 和EA 的夹角等于二面角A EF D --的平面角．cos MD EA MD EA MD EA <>==，．所以二面角A EF D --的大小为20．解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O到直线4x =的距离，即2r ==．得圆O 的方程为224x y +=．（2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，．由24x =即得(20)(20)A B -，，，．设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得22x y =+，即 222x y -=． (2)(2)PA PB x y x y =----- ，，22242(1).x y y =-+=-由于点P 在圆O 内，故222242.x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩，由此得21y <．所以PA PB 的取值范围为[20)-，． 21．解：（1）由132342n n a a n --==，，，，…，整理得 111(1)2n n a a --=--．又110a -≠，所以{1}n a -是首项为11a -，公比为12-的等比数列，得1111(1)2n n a a -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭（2）方法一：由（1）可知302n a <<，故0n b >．那么，221n nb b +- 2211222(32)(32)3332(32)229(1).4n n n n n n n n n n a a a a a a a a aa ++=-----⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-又由（1）知0n a >且1n a ≠，故2210n n b b +->，因此1n n b b n +<，为正整数．方法二：由（1）可知3012n n a a <<≠，，因为132n n a a +-=，所以1n n b a ++==．由1n a ≠可得33(32)2n n n a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即 223(32)2n n n n a a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭两边开平方得32na a - 即 1n nb b n +<，为正整数．22．解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-．曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为： ()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使 23(31)2b t a t =--．于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记 32()23g t t at a b =-++，则 2()66g t t at '=- 6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2at t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即 ()a b f a -<<．。

2007年河南高考数学

2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I ）数学（理科）试卷（河北河南山西广西）第Ⅰ卷本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率)2,1,0()1()(1n k p p C k P k n kn ，⋯=-=-球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径球的体积公式 334R V π= 其中R 表示球的半径一、选择题1．a 是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α= A ．51 B ．51-C ．135 D ．135-2．设a 是实数，且211ii a +++是实数，则a ＝ A ．21B ．1C ．23 D ．23．已知向量a ＝（－5，6），b ＝（6，5），则a 与b A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向4．已知双曲线的离心率为2，焦点是（－4，0），（4，0），则双曲线方程为A ．112422=-y xB ．141222=-y x C ．161022=-y xD ．110622=-y x 5．设R ,∈b a ，集合{}=-⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+a b b a b a b a 则,,,0,,1 A ．1B ．－1C ． 2D ．－26．下面给出的四个点中，到直线x －y+1=0的距离为22，且位于x y 10,x y 10+-<⎧⎨-+>⎩表示的平面区域内的点是A ．（1，1）B ．（－1，1）C ．（－1，－1）D ．（1，－1）7．如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为A ．51B ．52 C ．53 D ．54 8．设a>1，函数x x f log,)(=在区间[a ，2a]上的最大值与最小值之差为21，则a= A ．2B ．2C ．22D ．49．)(),(x g x f 是定义在R 上的函数，)()()(x g x f x h +=，则“)(),(x g x f 均为偶函数”是“)(x h 为偶函数”的A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件10．2n1(x )x-的展开式中，常数项为15，则n ＝ A ．3B ．4C ．5D ．611．抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，,l AK ⊥垂足为K ，且△AKF 的面积是A ．4B ．33C ．43D ．812．函数2cos2cos )(22xx x f -=的一个单调增区间是 A ．（π2π,33） B ．（2,6ππ） C ．（π0,3） D ．（－ππ,66）第Ⅱ卷（非选择题共95分）注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国卷Ⅰ.理)含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n kn n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（） A ．15B ．15-C ．513D ．513-（2）设a 是实数，且1i 1i 2a +++是实数，则a =（） A ．12 B ．1 C ．32D ．2（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （） A ．垂直 B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．221106x y -=D ．221610x y -=（5）设a b ∈R ，，集合{}10b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（） A ．1B ．1-C ．2D ．2-（6）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（）A ．(11)， B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，（7）如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（）A ．15B ．25C ．35D ．45（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（） AB ．2C．D ．4A B1B1A1D1C C D（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（） A ．充要条件 B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件（10）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（）A ．3B ．4C ．5D ．6（11）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过Fx 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（） A ．4B．C．D ．8（12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）（14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．（15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为．（16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为．数学试卷（理科）2007-7-25二．请把填空题答案写在下面相应位置处：13. 14 15． 16. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin ab A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．（18）（本小题满分12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ；（Ⅱ）求η的分布列及期望E η．（19）（本小题满分12分）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，BC =SA SB ==（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．（20）（本小题满分12分）设函数()e e xxf x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．DBCS（21）（本小题满分12分）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<；（Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．（22）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，43n n b a -<≤，123n =，，，…．2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题：（1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B（10）D （11）C （12）A二、填空题：（13）36（14）3()x x ∈R（15）13（16）三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由2s i n a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =，由ABC △为锐角三角形得π6B =．（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =+3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=．2336A πππ<+<，所以1sin 23A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭3A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭ 所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，．（18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元． (200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=． η的分布列为2000.4E η=⨯+240=（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SO B C ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设ADBC ∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==，SA =AO =1SO =，SD =．SAB △的面积112S AB ==连结DB ，得DAB △的面积21sin1352S AB AD ==设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得 121133h S SO S = ，解得h = 设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin 11h SD α===．所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为arcsin11．解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥．如图，以O 为坐标原点，OA 为x 轴正向，建立直角坐标系O xyz -，0)A ，，(0B ，(0C ，(001)S ，，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛ ⎝，，1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，(AB =0SE OG = ，0AB OG = ，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =． cos 11OG DS OG DSα==，sin 11β=A所以，直线SD 与平面SAB所成的角为arcsin 11．（20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e xxf x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥．（当且仅当0x =时，等号成立）．（Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x x g x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln2a x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾．综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，．（21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤．（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=．设11()B x y ，，22()D x y ，，则 2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+12BD x x =-== ；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，2222111)12332k k AC k k⎫+⎪+⎝⎭==+⨯+．四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥．当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625．（22）解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a +=．所以，数列{n a是首项为21的等比数列，1)n n a =，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…．（Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =2<，112b a ==，所以11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -<≤，也即430k k b a -<1n k =+时，13423k k k b b b ++=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+12)k k b +2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+43n n b a -<≤，123n =，，，…．。

2007河南专升本高数试卷

2007年河南省专升本高数一. 单项选择题（每题2分，共计50分）1.集合}5,4,3{的所有子集共有 A. 5 B. 6 C. 7 D. 82.函数x x x f -+-=3)1arcsin()(的定义域为 A. ]3,0[ B. ]2,0[ C. ]3,2[ D. ]3,1[3. 当0→x时，与x 不等价的无穷小量是A.x 2B.x sinC.1-x eD.)1ln(x +4.当0=x是函数xx f 1arctan)(= 的 A.连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点 5. 设)(x f 在1=x 处可导，且1)1(='f ，则hh f h f h )1()21(lim+--→的值为A.-1B. -2C. -3D.-4 6.若函数)(x f 在区间),(b a 内有0)(,0)(<''>'x f x f ，则在区间),(b a 内，)(x f 图形A ．单调递减且为凸的B ．单调递增且为凸的C ．单调递减且为凹的D ．单调递增且为凹的 7.曲线31x y +=的拐点是 A. )1,0( B. )0,1( C. )0,0( D. )1,1(8.曲线2232)(x x x f -=的水平渐近线是 A.32=y B 32-=y C. 31=y D. 31-=y 9. =⎰→42tan limx tdt x xA. 0B. 21C.2D. 110.若函数)(x f 是)(x g 的原函数，则下列等式正确的是A.⎰+=C x g dx x f )()( B.⎰+=C x f dx x g )()( C.⎰+='C x f dx x g )()( D.⎰+='C x g dx x f )()(11.⎰=-dx x )31cos(A.C x +--)31sin(31 B. C x +-)31sin(31C. C x +--)31sin(D. C x +-)31sin(3 12. 设⎰--=x dt t t y 0)3)(1(，则=')0(y A.-3 B.-1 C.1 D.313. 下列广义积分收敛的是 A.⎰+∞1xdx B.⎰+∞1xdxC.⎰+∞1xx dx D.⎰1xx dx14. 对不定积分⎰dx x x 22cos sin 1，下列计算结果错误是A.C x x +-cot tanB. C xx +-tan 1tan C.C x x +-tan cot D.C x +-2cot 15. 函数2x y =在区间]3,1[的平均值为 A.326 B.313C. 8D. 4 16. 过Oz 轴及点)4,2,3(-的平面方程为 A. 023=+yx B. 02=+z y C. 032=+y x D. 02=+z x17. 双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-014322y z x 绕z 轴旋转所成的曲面方程为 A.143222=-+z y x B.143222=+-z y x C.143)(22=-+z y x D.14)(322=+-z y x 18.=+-→→xy xy y x 93limA.61 B. 61-C.0D. 极限不存在 19.若y x z=，则=∂∂)1,(e yz A.e1B. 1C. eD. 0 20. 方程 132=-xz y z所确定的隐函数为),(y x f z =，则=∂∂xzA.xzy z 322- B.yxz z 232- C.xzy z 32- D.yxz z 23-21. 设C 为抛物线2x y =上从)0,0(到)1,1( 的一段弧，则⎰=+Cdy x xydx 22A.-1B.0C.1D.2 22.下列正项级数收敛的是A. ∑∞=+2131n n B. ∑∞=2ln 1n n n C. ∑∞=22)(ln 1n n n D.∑∞=21n nnn23.幂级数∑∞=++01)1(31n nn x 的收敛区间为A.)1,1(-B.)3,3(-C. )4,2(-D.)2,4(-24. 微分x e y y y x cos 23-=+'+''特解形式应设为=*y （）A. x Ce xcos B. )sin cos (21x C x C e x +-C. )sin cos (21x C x C xex+- D. )sin cos (212x C x C e x x +-25.设函数)(x f y =是微分方程x e y y 2='+''的解，且0)(0='x f ，则)(x f 在0x 处（）A.取极小值B. 取极大值C.不取极值D. 取最大值二、填空题（每题2分，共30分） 26.设52)(+=x x f ，则=-]1)([x f f _________.27.=∞→!2lim n nn ____________. 28.若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=02203)(4x ax x e x f x ，，在0=x 处连续，则=a ____________. 29.已知曲线22-+=x x y 上点M处的切线平行于直线15-=x y ，则点M的坐标为 ________30.设12)(-=x e x f ，则 =)0()2007(f _________31.设⎩⎨⎧+-=+=12132t t y t x ，则==1t dx dy__________32. 若函数bx ax x f +=2)(在1=x 处取得极值2，则=a ______，=b _____33.='⎰dx x f x f )()( _________ 34．⎰=-121dx x _________ 35.向量k j i a-+=43的模=||a ________36. 已知平面1π：0752=+-+z y x 与平面2π：01334=+++mz y x 垂直，则=m ______37.设22),(y x xy y x f +=+，则=),(y x f ________38.已知=I⎰⎰-21220),(y ydx y x f dy ，交换积分次序后，则=I _______39.若级数∑∞=11n nu 收敛，则级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1111n n nu u 的和为 _______ 40.微分方程02=+'-''y y y 的通解为________三、判断题（每小题2分，共10分）你认为正确的在题后括号内划“√”，反之划“×”.41.若数列{}n x 单调，则{}n x 必收敛.42.若函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f ≠，则一定不存在),(b a ∈ξ，使0)(=ξ'f .43.1sin sin lim cos 1cos 1lim sin sin lim-=-=+-======+-∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x 由洛比达法则 44.2ln 23102ln 02≤-≤⎰-dx e x .45.函数),(y x f 在点),(y x P 处可微是),(y x f 在),(y x P 处连续的充分条件.( )四、计算题（每小题5分，共40分） 46．求xx x sin 0lim +→.47.求函数3211xxx y +-⋅=的导数dxdy .48.求不定积分⎰++dx x ex)]1ln([2.49.计算定积分dx x ⎰π+02cos 22 .50.设)3,sin (2y x y e f z x =，且),(v u f 为可微函数，求dz .51．计算⎰⎰Ddxdy x 2，其中D 为圆环区域：4122≤+≤y x . 52．将242x x -展开为x 的幂级数，并写出收敛区间.53．求微分方程0)2(22=--+dx x xy y dy x 的通解五、应用题（每题7分，共计14分）54. 某工厂欲建造一个无盖的长方题污水处理池，设计该池容积为V 立方米，底面造价每平方米a 元，侧面造价每平方米b 元,问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低？xy图07-155. 设平面图形D 由曲线x e y =,直线e y =及y 轴所围成.求：（1）平面图形D 的面积; (2) 平面图形D 绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.六、证明题（6分 56.若)(x f '在],[b a 上连续，则存在两个常数m 与M ，对于满足b x x a≤<≤21的任意两点21,x x ，证明恒有)()()()(121212x x M x f x f x x m -≤-≤-答案一. 单项选择题（每题2分，共计50分） 1.子集个数D n⇒==8223。

2001-2013年河南专升本高数真题及答案

2005年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试一、单项选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分.1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为为（）A. 1>xB.5<xC.51<<xD. 51≤<x解：C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.下列函数中,图形关于y 轴对称的是（）A ．x x y cos = B. 13++=x x yC. 222x x y --= D. 222x x y -+=解：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D.3. 当0→x 时，与12-x e 等价的无穷小量是（）A. xB.2xC. x 2D. 22x 解： ⇒-x e x ~12~12x e x -,应选B.4.=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→121lim n n n （） A. e B. 2e C. 3e D. 4e解：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n n n n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续，则常数=a （） A. 1 B. -1 C. 21 D. 21-解：21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且21)1()21(lim0=--→h f h f h ,则=')1(f （）A. 1B. 21-C. 41D. 41-解：41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应选D.7.由方程yx e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dydx为（）A.)1()1(x y y x --B.)1()1(y x x y --C.)1()1(-+y x x yD.)1()1(-+x y y x解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++,即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-,所以dy dx )1()1(x y y x --=,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （） A. 1)]([+n x f n B. 1)]([!+n x f n C. 1)]()[1(++n x f n D. 1)]([)!1(++n x f n 解：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！='⋅='''⇒='='', ⇒ΛΛ=)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是（） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x fC.]1,1[,11)(2--=xx f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A.10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,21(内,)(x f 单调 ( )A.增加,曲线)(x f y =为凹的B.减少,曲线)(x f y =为凹的C.增加,曲线)(x f y =为凸的D.减少,曲线)(x f y =为凸的解: 在)1,21(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数)(x f 在)1,21(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B.11.曲线xe y 1-=（）A. 只有垂直渐近线B. 只有水平渐近线C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线，D. 无水平、垂直渐近线解：0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x ，应选C.12.设参数方程为⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos ,则二阶导数=22dx yd （）A.t a b 2sinB.t a b 32sin - C.t a b 2cos D.tt a b22cos sin -解：dxdt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22 ta bt a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=,应选B. 13.若⎰+=C e dx e x f xx 11)(，则=)(x f （）A. x 1-B. 21x- C. x 1 D. 21x解：两边对x 求导 22111)()1()(xx f x e e x f x x -=⇒-⨯=,应选B.14. 若⎰+=C x F dx x f )()( ，则⎰=dx x xf )(sin cos （）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C x F +)(cosD.C x F +-)(cos 解:⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A.15.下列广义积分发散的是（）A.⎰+∞+0211dx x B.⎰-10211dx x C.⎰+∞e dx x x ln D.⎰+∞-0dx e x解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x ;2arcsin 1110102π==-⎰x dx x; ∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln ;10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e ,应选C.16.=⎰-11||dx x x （）A.0B.32 C.34 D.32- 解：被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A. 17.设)(x f 在],[a a -上连续,则定积分⎰-=-aa dx x f )( （）A.0B.⎰a dx x f 0)(2 C.⎰--a a dx x f )( D.⎰-aadx x f )(解：⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaaaa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.18.设)(x f 的一个原函数是x sin ,则='⎰xdx x f sin )( （）A.C x x +-2sin 2121B.C x x ++-2sin 4121 C.x 2sin 21 D.C x +-2sin 21解: x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒='C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(2,应选B.19.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则不正确的是（）A.⎰ba dx x f )(是)(x f 的一个原函数 B.⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数C.⎰axdt t f )(是)(x f -的一个原函数 D.)(x f 在],[b a 上可积解: ⎰b adx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即⎰badx x f )(不是)(x f 的原函数 ,应选A.20.直线22113+=-=-z y x 与平面01=+--z y x 的关系是（） A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行解：n s n s ρρρρ⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D..21.函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数x z ∂∂和yz∂∂存在是它在该点处可微的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件解：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.22.设yxz 2ln = ，则=)2,1(dz （）A.dx x y 2B.dy dx 2121- C.dy dx 21- D.dy dx 21+解：dy ydx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln -=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒,应选C.23.函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极小值点是（） A.)1,1(- B.)1,1(- C. )1,1(-- D. )1,1(解：)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x xz,应选B.24.二次积分⎰⎰202),(x dy y x f dx 写成另一种次序的积分是（）A. ⎰⎰402),(ydx y x f dy B. ⎰⎰400),(ydx y x f dy C. ⎰⎰4022),(xdx y x f dy D. ⎰⎰402),(ydx y x f dy解：积分区域}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D ,应选A.25.设D 是由上半圆周22x ax y -=和x 轴所围成的闭区域,则⎰⎰=σDd y x f ),(（）A.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (a rdr r r f d B.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (adr r r f d C.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d D.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a dr r r f d解：积分区域在极坐标下可表示为：}θcos 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=，从而⎰⎰=σDd y x f ),(⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d ，应选C.26.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧，=+⎰Ldy x xydx 22（）A. -1B.1C. 2D. -1解：L ：,2⎩⎨⎧==xy xx x 从0变到1 , 142221041031332===+=+⎰⎰⎰x dx x dx x dx x dy x xydx L,应选B.27.下列级数中，条件收敛的是（）A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-1321)1(n n nC ．∑∞=-121)1(n nn D ．∑∞=+-1)1()1(n n n n解：∑∞=+-11)1(n n n n 发散, ∑∞=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛，∑∞=-1321)1(n n n是收敛的，但∑∞=1321n n 是32=p 的级数发散的，从而级数∑∞=-1321)1(n n n条件收敛，应选B.28. 下列命题正确的是（） A ．若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛B ．若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数)(212n n n v u +∑∞=收敛C ．若正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛D ．若级数∑∞=1n n n v u 收敛，则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都收敛解：正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛⇒ ∑∞=12n nu 与∑∞=12n n v 收敛，而)(2)(222n nn n v u v u +≤+，所以级数21)(n n n v u +∑∞=收敛，应选C 。

河南专升本高等数学试题（含答案）

高数试题练习一、函数、极限连续1．函数)(x f y 的定义域是（）A ．变量x 的取值范围B ．使函数)(x f y 的表达式有意义的变量x 的取值范围C ．全体实数D ．以上三种情况都不是2．以下说法不正确的是（）A ．两个奇函数之和为奇函数B ．两个奇函数之积为偶函数C ．奇函数与偶函数之积为偶函数D ．两个偶函数之和为偶函数3．两函数相同则（）A ．两函数表达式相同B ．两函数定义域相同C ．两函数表达式相同且定义域相同D ．两函数值域相同4．函数42y x x 的定义域为（）A ．(2,4)B ．[2,4]C ．(2,4]D ．[2,4)5．函数3()23sin f x x x 的奇偶性为（）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶D ．无法判断6．设,121)1(x xx f 则)(x f 等于( )A ．12x xB ．xx212C ．121x xD ．xx2127．分段函数是()A ．几个函数B ．可导函数C ．连续函数D ．几个分析式和起来表示的一个函数8．下列函数中为偶函数的是()A ．xey B ．)ln(x yC ．xx y cos 3D ．xy ln 9．以下各对函数是相同函数的有()A ．xx g x x f )()(与B ．x x g x x f cos )(sin 1)(2与C ．1)()(x g x x x f 与D ．2222)(2)(xxx xx g xx f 与10．下列函数中为奇函数的是()A ．)3cos(x y B ．xx y sin C ．2xxe eyD ．23xxy 11．设函数)(x f y的定义域是[0,1],则)1(x f 的定义域是( )A ．]1,2[B ．]0,1[ C ．[0,1]D ．[1,2]12．函数20200022)(2xxx x xx f 的定义域是( )A ．)2,2(B ．]0,2(C ．]2,2(D ．(0,2]13．若)1(,23321)(f xxx xx f 则( )A ．3B ．3C ．1D ．114．若)(x f 在),(内是偶函数,则)(x f 在),(内是()A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．0)(x f 15．设)(x f 为定义在),(内的任意不恒等于零的函数,则)()()(x f x f x F 必是()A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．)(x F 16．设42,021,1211,1)(2xx x x x x f 则)2(f 等于( )A ．12B ．182C ．D ．无意义17．函数x x ysin 2的图形（）A ．关于ox 轴对称B ．关于oy 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线x y 对称18．下列函数中,图形关于y 轴对称的有()A ．xx ycos B ．13xx y C ．2xxe eyD ．2xxe ey19.函数)(x f 与其反函数)(1x f的图形对称于直线( )A ．y B ．x C ．xy D ．xy 20. 曲线)1,0(log aax y a y a x与在同一直角坐标系中,它们的图形()A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线x y 轴对称D ．关于原点对称21．对于极限)(lim 0x f x ，下列说法正确的是（）A ．若极限)(lim 0x f x存在，则此极限是唯一的B ．若极限)(lim 0x f x 存在，则此极限并不唯一C ．极限)(lim 0x f x 一定存在D ．以上三种情况都不正确22．若极限A )(lim 0x f x存在，下列说法正确的是（）A ．左极限)(lim 0x f x不存在B ．右极限)(lim 0x f x不存在C ．左极限)(lim 0x f x和右极限)(lim 0x f x存在，但不相等D ．A)(lim )(lim )(lim 0x f x f x f x xx23．极限ln 1limxex xe的值是()A ．1B ．1eC ．0D ．e24．极限ln cot lim ln x x x＋０的值是()．A ．0B ． 1C ．D ．125．已知2sin lim2xx bax x，则（）A ．,2ba B ．1,1ba C ．1,2b a D ．,2b a 26．设b a，则数列极限limn nnnab是A ．aB ．bC ．1D ．ba 27．极限x x1321lim的结果是A ．0B ．21C ．51D ．不存在28．xlim xx 21sin为()A ．2B ．21C ．1 D ．无穷大量29．nm nxmxx ,(sin sin lim 0为正整数）等于（）A ．n mB ．m n C ．nm nm )1(D ．mn mn )1(30．已知1tan lim23xx bax x，则（）A ．0,2b a B ．,1b aC ．,6b a D ．1,1b a 31．极限xxx x xcos cos lim()A ．等于 1B ．等于0C ．为无穷大D ．不存在32．设函数10001sin )(xexx x x f x则)(lim 0x f x( )A ．1B ．0C ．1D ．不存在33．下列计算结果正确的是()A ．ex xx1)41(lim B ．41)41(lim ex xxC ．41)41(lim ex xxD ．4110)41(lim e x x x34．极限xx xtan 0)1(lim 等于()A ． 1B ．C ．0D ．2135．极限xxxx xsin 11sinlim 0的结果是A ．1B ．1C ．0D ．不存在36．1sinlim k kxx x为()A ．kB ．k1C ．1 D ．无穷大量37．极限xxsin lim 2=()A ．0B ．1C ．1D ．238．当x 时,函数xx)11(的极限是( )A ．eB ．eC ．1D ．139．设函数1cos 0001sin )(xx x x x x f ，则)(lim 0x f xA ．1B ．0C ．1D ．不存在40．已知a xax xx 则,516lim 21的值是()A ．7B ．7C ． 2D ．341．设20tan )(xxx xaxx f ,且)(lim 0x f x 存在,则a 的值是( )A ．1B ．1C ．2D ．242．无穷小量就是（）A ．比任何数都小的数B ．零C ．以零为极限的函数D ．以上三种情况都不是43．当0x 时，)2sin(3x x与x 比较是()A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小44．当0x时，与x 等价的无穷小是（）A ．xxsin B ．)1ln(x C ．)11(2x x D ．)1(2x x45．当0x 时，)3tan(3x x 与x 比较是（）A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小46．设,1)(,)1(21)(x x g x x x f 则当1x 时（）A ．)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小B ．)(x f 是比)(x g 低阶的无穷小C ．)(x f 与)(x g 为同阶的无穷小D ．)(x f 与)(x g 为等价无穷小47．当x时,11)(ax x f 是比x 高阶的无穷小,则( )A ．1aB ．aC ．a 为任一实常数D ．1a 48．当0x时，x 2tan 与2x比较是（）A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．同阶无穷小，但不是等价无穷小D ．低阶无穷小49．“当0x x，A x f )(为无穷小”是“A x f x x)(lim”的（）A ．必要条件，但非充分条件B ．充分条件，但非必要条件C ．充分且必要条件D ．既不是充分也不是必要条件50．下列变量中是无穷小量的有()A ．)1ln(1limx xB ．)1)(2()1)(1(lim1x xx x xC ．x x x1cos 1limD ．xx x1sincos lim51．设时则当0,232)(x x f xx()A ．)(x f 与x 是等价无穷小量B ．)(x f 与x 是同阶但非等价无穷小量C ．)(x f 是比x 较高阶的无穷小量D ．)(x f 是比x 较低阶的无穷小量52．当0x时,下列函数为无穷小的是( )A ．xx 1sinB ．xe1C ．xln D ．xxsin 153．当0x时,与2sin x等价的无穷小量是( )A ．)1ln(x B ．xtan C ．xcos 12D ．1xe54．函数,1sin)(xx x f y当x时)(x f ( )A ．有界变量B ．无界变量C ．无穷小量D ．无穷大量55．当0x时,下列变量是无穷小量的有( )A ．xx3B ．xx cos C ．x ln D ．xe56．当0x 时,函数xx ysec 1sin 是( )A ．不存在极限的B ．存在极限的C ．无穷小量D ．无意义的量57．若0x x 时, )(x f 与)(x g 都趋于零,且为同阶无穷小,则()A ．)()(limx g x f x xB ．)()(limx g x f x xC ．)1,0()()(limc c x g x f x xD ．)()(limx g x f x x不存在58．当0x时,将下列函数与x 进行比较,与x 是等价无穷小的为( ) A ．x 3tan B ．112xC ．xx cot csc D ．xx x 1sin259．函数)(x f 在点0x 有定义是)(x f 在点0x 连续的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．即非充分又非必要条件60．若点0x 为函数的间断点，则下列说法不正确的是（）A ．若极限A )(lim 0x f xx 存在，但)(x f 在0x 处无定义，或者虽然)(x f 在0x 处有定义，但)(A0x f ，则0x 称为)(x f 的可去间断点B ．若极限)(lim 0x f x x与极限)(lim 0x f x x都存在但不相等，则0x 称为)(x f 的跳跃间断点C ．跳跃间断点与可去间断点合称为第二类的间断点D ．跳跃间断点与可去间断点合称为第一类的间断点61．下列函数中,在其定义域内连续的为()A ．xx x f sin ln )(B ．00sin )(x ex x x f xC ．10101)(xx x x x x f D ．01)(xx x x f 62．下列函数在其定义域内连续的有()A ．x x f 1)(B ．0cos 0sin )(x x x x x f C ．10001)(xx x x xx f D ．01)(xx x x f 63．设函数21ar c t an)(xx x x f 则)(x f 在点0x 处()A ．连续B ．左连续C ．右连续D ．既非左连续,也非右连续64．下列函数在0x处不连续的有( )A ．0)(2xx e x f x B ．1sin )(21xx x x x f C ．0)(2x xx x x f D ．0)1ln()(2xxx x x f 65．设函数12111)(2xx x xx f , 则在点)(1x f x 处函数()A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导,但导数不连续D ．可导,且导数连续66．设分段函数101)(2xx x xx f ,则)(x f 在0x 点()A ．不连续B ．连续且可导C ．不可导D ．极限不存在67．设函数)(x f y,当自变量x 由0x 变到y x x 相应函数的改变量时,0=()A ．)(0x x f B ．xx f )('0C ．)()(00x f x x f D ．xx f )(068．已知函数12000)(xxxx ex f x，则函数)(x f ( )A ．当0x 时,极限不存在B ．当0x 时,极限存在C ．在0x处连续D ．在0x 处可导69．函数)1ln(1x y的连续区间是( )A ．),2[]2,1[B ．),2()2,1(C ．),1(D ．),1[70．设nxnx x f x13lim)(,则它的连续区间是()A ．),(B ．处为正整数)(1n nx C ．)()0,(D ．处及n xx1071．设函数31011)(xx xx x f ，则函数在0x 处()A ．不连续B ．连续不可导C ．连续有一阶导数D ．连续有二阶导数72．设函数0xx x xy，则)(x f 在点0x 处()A ．连续B ．极限存在C ．左右极限存在但极限不存在D ．左右极限不存在73．设11cot)(2x arc xx f ，则1x 是)(x f 的（）A ．可去间断点B ．跳跃间断点C ．无穷间断点D ．振荡间断点74．函数2xy e x zy的间断点是( )A ．)1,1(),1,1(),0,1(B ．是曲线yey 上的任意点C ．)1,1(),1,1(),0,0(D ．曲线2xy上的任意点75．设2)1(42xx y,则曲线( )A ．只有水平渐近线2y B ．只有垂直渐近线x C ．既有水平渐近线2y ,又有垂直渐近线0x D ．无水平,垂直渐近线76．当0x 时, xx y1sin()A ．有且仅有水平渐近线B ．有且仅有铅直渐近线C ．既有水平渐近线,也有铅直渐近线D ．既无水平渐近线,也无铅直渐近线二、一元函数微分学77．设函数)(x f 在点0x 处可导，则下列选项中不正确的是（）A ．xy x f x 00lim )('B ．xx f x x f x f x)()(lim)('000C ．00)()(lim)('0x xx f x f x f x xD ．hx f h x f x f h )()21(lim )('00078．若e cos xy x ，则'(0)y ( )A ．0B ．1C ．1D ．279．设x x g e x f xsin )(,)(，则)]('[x g f ()A ．xesin B ．xecos C ．xecos D ．xesin 80．设函数)(x f 在点0x 处可导,且2)('0x f ,则hx f h x f h)()21(lim00等于()A ．1B ．2C ．1D ．2181．设)(x f 在a x处可导,则xx af x a f x)()(lim=()A ．)('a f B ．)('2a f C ．0D ．)2('a f 82．设)(x f 在2x 处可导，且2)2('f ，则hh f h f h)2()2(lim（）A ．4B ．0C ．2D ．383．设函数)3)(2)(1()(xx x x x f ，则)0('f 等于（）A ．0B ．6C ．1D ．384．设)(x f 在0x 处可导，且1)0('f ，则hh f h f h )()(lim 0（）A ．1B ．0C ．2D ．385．设函数)(x f 在0x 处可导,则0limhhx f f )()h - x (00( )A ．与0x ,h 都有关B ．仅与0x 有关，而与h 无关C ．仅与h 有关,而与0x 无关D ．与0x ,h 都无关86．设)(x f 在1x处可导，且21)1()21(lim 0h f h f h ，则)1('f （）A ．21B ．21C ．41D ．4187．设)0('')(2f ex f x则( ) A ．1B ．1C ．2D ．288．导数)'(log x a 等于( )A ．a x ln 1B ．a x ln 1C ．xxa log 1D ．x189．若),1()2(249102x xx xy则)29(y=()A ．30B ．29!C ．0D ．30×20×1090．设',)(',)()(y x f ee f y x f x 则存在且=( )A ．)()()()('x f xx f xee f e e f B ．)(')(')(x f ee f x f xC ．)(')()(')()(x f ee f ee f x f x x f x xD ．)()('x f xee f 91．设)0('),100()2)(1()(f x xx x x f 则()A ．100B ．100!C ．！100D ．10092．若',y x yx则( )A ．1x xx B ．xx xln C ．不可导D ．)ln 1(x x x93．处的导数是在点22)(xx x f ( ) A ．1 B ．0C ．1D ．不存在94．设',)2(y x yx则()A ．)1()2(x x x B ．2ln )2(xx C ．)2ln 21()2(x x xD ．)2ln 1()2(x x x95．设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,且,0)()(b f a f 则( )A ．)(x f 在),(b a 内必有最大值或最小值B ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的0)(,f 使C ．)(x f 在),(b a 内至少存在一个0)(,f 使D ．)(x f 在),(b a 内存在唯一的)(',f 使96．设,)()(x g x f y则dx dy ( )A ．])()(')()('[2x g x g x f x f y B ．])(1)(1[2x g x f yC ．)()('21x g x f yD ．)()('2x g x f y 97．若函数)(x f 在区间)b a,(内可导，则下列选项中不正确的是（）A ．若在)b a,(内0)('x f ，则)(x f 在)b a,(内单调增加B ．若在)b a,(内0)('x f ，则)(x f 在)b a,(内单调减少C ．若在)b a,(内0)('x f ，则)(x f 在)b a,(内单调增加D ．)(x f 在区间)b a,(内每一点处的导数都存在98．若)(yx f 在点0x 处导数存在，则函数曲线在点))(,(00x f x 处的切线的斜率为（）A ．)('0x f B ．)(0x f C ．0 D ．199．设函数)(y x f 为可导函数，其曲线的切线方程的斜率为1k ，法线方程的斜率为2k ，则1k 与2k 的关系为（）A ．211k k B ．121k k C ．121k k D ．21k k 100．设0x 为函数)(x f 在区间b a,上的一个极小值点，则对于区间ba,上的任何点x ，下列说法正确的是（）A ．)()(0x f x fB ．)()(0x f x f C ．)()(0x f x f D ．)()(0x f x f 101．设函数)(x f 在点0x 的一个邻域内可导且0)('0x f （或)('0x f 不存在），下列说法不正确的是（）A ．若0x x 时, 0)('x f ；而0x x 时, 0)('x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极大值B ．若0x x 时, 0)('x f ；而0x x 时, 0)('x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极小值C ．若0x x时, 0)('x f ；而0x x时, 0)('x f ,那么函数)(x f 在0x 处取得极大值D ．如果当x 在0x 左右两侧邻近取值时,)('x f 不改变符号,那么函数)(x f 在0x 处没有极值102．0)('0x f ,0)(''0x f ，若0)(''0x f ，则函数)(x f 在0x 处取得（）A ．极大值B ．极小值C ．极值点D ．驻点103．b x a时，恒有0)(x f ，则曲线)(x f y在ba,内（）A ．单调增加B ．单调减少C ．上凹D ．下凹104．数()exf x x 的单调区间是() ．A ．在),(上单增B ．在),(上单减C ．在(,0)上单增，在(0,)上单减D ．在(,0)上单减，在(0,)上单增105．数43()2f x xx的极值为（）．A ．有极小值为(3)f B ．有极小值为(0)f C ．有极大值为(1)f D ．有极大值为(1)f 106．xey 在点(0,1)处的切线方程为()A ．x y1B ．xy 1C ．xy 1D ．xy 1107．函数x xxxx f 处的切线与的图形在点)1,0(162131)(23轴交点的坐标是()A ．)0,61(B ．)0,1(C ．)0,61(D ．)0,1(108．抛物线x y 在横坐标4x 的切线方程为()A ．44yx B ．44yxC ．184y x D ．184y x 109．线)0,1()1(2在x y 点处的切线方程是()A ．1x yB ．1x y C ．1x y D ．1x y 110．曲线)(x f y在点x 处的切线斜率为,21)('x x f 且过点(1,1),则该曲线的方程是( )A ．12x xy B ．12x x y C ．12x xy D ．12xxy111．线22)121(x ey x上的横坐标的点0x处的切线与法线方程()A ．063023y x y x 与B ．63023y x y x 与C ．063023yxy x与D ．063023yxy x与112．函数处在点则0)(,)(3xx f x x f ( )A ．可微B ．不连续C ．有切线,但该切线的斜率为无穷D ．无切线113．以下结论正确的是( )A ．导数不存在的点一定不是极值点B ．驻点肯定是极值点C ．导数不存在的点处切线一定不存在D ．0)('0x f 是可微函数)(x f 在0x 点处取得极值的必要条件114．若函数)(x f 在0x 处的导数,0)0('f 则0x称为)(x f 的()A ．极大值点B ．极小值点C ．极值点D ．驻点115．曲线)1ln()(2xx f 的拐点是()A ．)1ln ,1(与)1ln ,1(B ．)2ln,1(与)2ln ,1(C ．)1,2(ln 与)1,2(ln D ．)2ln ,1(与)2ln ,1(116．线弧向上凹与向下凹的分界点是曲线的()A ．驻点B ．极值点C ．切线不存在的点D ．拐点117．数)(x f y 在区间[a,b]上连续,则该函数在区间[a,b]上()A ．一定有最大值无最小值B ．一定有最小值无最大值C ．没有最大值也无最小值D ．既有最大值也有最小值118．下列结论正确的有()A ．0x 是)(x f 的驻点,则一定是)(x f 的极值点B ．0x 是)(x f 的极值点,则一定是)(x f 的驻点C ．)(x f 在0x 处可导,则一定在0x 处连续D ．)(x f 在0x 处连续,则一定在0x 处可导119．由方程yx exy确定的隐函数)(x y y dxdy ( )A ．)1()1(x y y x B ．)1()1(y x x y C ．)1()1(y x x y D ．)1()1(x y y x 120．xyy xe y',1则()A ．yyxee 1B ．1yyxee C ．yy xee 11D ．yex)1(121．设x x g e x f xsin )(,)(，则)]('[x g f （）A ．xesin B ．xecos C ．xecos D ．xesin 122．设x x g e x f xcos )(,)(，则)]('[x g f A ．xesin B ．xecos C ．xecos D ．xesin 123．设)(),(x t t f y 都可微，则dyA ．dtt f )('B ．)('x dxC ．)('t f )('x dtD ．)('t f dx124．设,2sin xey则dy（）A ．xd e x2sin B ．xd ex2sinsin 2C ．xxd exsin 2sin 2sin D ．xd exsin 2sin 125．若函数)(x f y 有dy x xxx f 处的微分该函数在时则当00,0,21)('是()A ．与x 等价的无穷小量B ．与x 同阶的无穷小量C ．比x 低阶的无穷小量D ．比x 高阶的无穷小量126．给微分式21xxdx ,下面凑微分正确的是( )A ．221)1(xx d B ．221)1(xx d C ．2212)1(xx d D ．2212)1(xx d 127．下面等式正确的有( )A ．)(sin sin xxxx e d e dxe e B ．)(1x d dx xC ．)(222x d e dx xex x D ．)(cos sin cos cos x d exdx exx128．设)(sin x f y,则dy()A ．dx x f )(sin 'B ．xx f cos )(sin 'C ．xdxx f cos )(sin 'D ．xdxx f cos )(sin '129．设,2sin xey则dyA ．xd e x2sinB ．x d ex2sinsin2C ．xxd exsin 2sin 2sin D ．xd exsin 2sin 三、一元函数积分学130．可导函数)(F x 为连续函数)(x f 的原函数，则( )A ．)('x f B ．)()(F'x f x C ．)(F'x D ．)(x f 131．若函数)(F x 和函数)(x 都是函数)(x f 在区间I 上的原函数，则有()A ．I x x x ),(F )('B ．I x x x ),()(F C ．Ix x x ),()(F'D ．IxC x x ,)()(F 132．有理函数不定积分2d 1x x x等于（）．A ．2ln 12xx x CB ．2ln 12xx x CC ．2ln 12xx x CD ．2ln 122xx x C133．不定积分22d 1x x等于（）．A ．2arcsin x CB ．2arccosx C C ．2arctan x CD ．2cot arc x C134．不定积分2e e (1)d x xx x等于（）．A ．1e xC xB ．1e xC x C ．1exC xD ．1exCx135．函数xe xf 2)(的原函数是( )A ．4212xeB ．xe22C ．3312xeD ．xe231136．xdx 2sin 等于()A ．cx2sin 21B ．cx 2sin C ．cx2cos 2D ．cx 2cos 21137．若xdx x x dx x xf sin sin )(,则)(x f 等于（）A ．xsin B ．xx sin C ．xcos D ．xx cos 138．设xe是)(x f 的一个原函数，则dxx xf )('（）A ．cx e x)1(B ．cx e x)1(C ．cx e x)1(D ．cx e x)1(139．设,)(xe xf 则dxx x f )(ln '()A ．cx1B ．cx1C ．cx ln D ．cx ln 140．设)(x f 是可导函数，则')(dxx f 为（）A ．)(x f B ．cx f )(C ．)('x f D ．cx f )('141．以下各题计算结果正确的是( )A ．xxdx arctan 12B ．cxdxx 21C ．cx xdx cos sin D ．cx xdx 2sec tan142．在积分曲线族dx x x 中,过点(0,1)的积分曲线方程为( )A ．12x B ．1)(525x C ．x2D ．1)(255x 143．dx x31=()A ．cx 43B ．cx221C ．cx221D ．cx221144．设)(x f 有原函数x xln ,则dx x xf )(=()A ．cx x )ln 4121(2B ．cx x )ln 2141(2C ．cx x )ln 2141(2D ．cx x )ln 4121(2145．xdxxcos sin ()A ．c x 2cos 41B ．cx 2cos 41C ．cx2sin 21D ．cx2cos 21146．积分dxx]'11[2()A ．211xB ．cx211C ．xtan arg D ．cx arctan 147．下列等式计算正确的是()A ．cx xdx cos sin B ．cx dx x 43)4(C ．cxdxx 32D ．cdxxx22148．极限xx xxdxtdt00sin lim的值为（）A ．1B ．0C ．2D ．1149．极限xxxdxx tdt202sin lim的值为（）A ．1B ．0C ．2D ．1150．极限403sin limxdtt xx=( )A ．41B ．31C ．21D ．1151．2ln 01x t dte dxd （）A ．)1(2xe B ．exC ．ex2D ．12xe152．若xtdt dx dx f 0sin )(，则（）A ．x x f sin )(B ．x x f cos 1)(C ．cx x f sin )(D ．xx f sin 1)(153．函数xdt t t tx213在区间]10[，上的最小值为（）A ．21B ．31C ．41D ．0154．若xtxc dt te xf e x xg 02122213)(,)(，且23)(')('lim x g x f x则必有（）A ．0cB ．1cC ．1cD ．2c155．x dt t dxd 14)1(()A ．21xB ．41xC ．2121xxD ．xx121156．]sin [2dt t dxd x ( )A ．2cos xB ．2cos 2xx C ．2sin xD ．2cost157．设函数0sin )(2xa x x tdtx f x在0x 点处连续,则a 等于（）A ．2B ．21C ．1D ．2158．设)(x f 在区间],[b a 连续, ),()()(b xadt t f x F x a则)(x F 是)(x f 的( )A ．不定积分B ．一个原函数C ．全体原函数D ．在],[b a 上的定积分159．设则为连续函数其中,)(,)()(2x f dt t f axx x F xa)(lim x F ax=()A ．2a B ．)(2a f a C ．0 D ．不存在160．函数x2sin 1的原函数是()A ．cx tan B ．cxcot C ．cxcot D ．xsin 1161．函数)(x f 在[a,b]上连续, x adt t f x )()(,则()A ．)(x 是)(x f 在[a,b]上的一个原函数B ．)(x f 是)(x 的一个原函数C ．)(x 是)(x f 在[a,b]上唯一的原函数D ．)(x f 是)(x 在[a,b]上唯一的原函数162．广义积分dxe x( ) A ．0 B ．2C ．1D ．发散163．dxx 02cos 1( )A ．0B ．2C ．22D ．2164．设)(x f 为偶函数且连续,又有等于则)(,)()(0x F dt t f x F x( )A ．)(x F B ．)(x F C ．0D ．2)(x F 165．下列广义积分收敛的是（）A ．1xdx B ．1xx dx C ．dxx 1D ．132xdx166．下列广义积分收敛的是（）A ．13xdx B ．1cosxdxC ．dxx 1ln D ．1dxe x167．apxp dx e)0(等于()A ．paeB ．paea1C ．paep1D ．)1(1paep168．ex x dx2)(ln ( )A ．1B ．e1C ．eD ．(发散)169．积分dx e kx收敛的条件为（）A ．kB ．0k C ．0k D ．k 170．下列无穷限积分中,积分收敛的有()A ．dxe xB ．1x dxC ．dxe xD ．cos xdx171．广义积分edx xxln 为()A ．1B ．发散C ．21D ．2172．下列广义积分为收敛的是( )A ．edxxxln B ．exx dxlnC ．edxx x 2)(ln 1D ．edxx x 21)(ln 1173．下列积分中不是广义积分的是()A ．0)1ln(dxx B ．42211dxx C ．11-21dxxD ．3-11dxx174．函数()f x 在闭区间[a,b]上连续是定积分badx x f )(在区间[a,b]上可积的（）．A ．必要条件B ．充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又飞必要条件175．定积分121sin 1x dx x等于（）．A ．0B ．1C ．2D ．1176．定积分122d ||xx x 等于（）．A ．0B ． 1C ．174D ．174177．定积分x x xd e )15(45等于（）．A ．0B ．5eC ．5-eD ．52e178．设)(x f 连续函数，则22)(dxx xf （）A ．4)(21dx x f B ．20)(21dxx f C ．40)(2dxx f D ．4)(dxx f 179．积分11sin 2xdxx e exx（）A ．0B ．1C ．2D ．3180．设)(x f 是以T 为周期的连续函数,则定积分Tl ldx x f I)(的值()A ．与l有关B ．与T 有关C ．与l ,T 均有关D ．与l ,T 均无关181．设)(x f 连续函数，则2)(dxxx f （）A ．21)(21dxx f B ．210)(2dxx f C ．20)(dxx f D ．2)(2dxx f 182．设)(x f 为连续函数,则1)2('dx x f 等于（）A ．)0()2(f f B ．)0()1(21f f C ．)0()2(21f f D ．)0()1(f f 183．C 数)(x f 在区间[a,b]上连续,且没有零点,则定积分b adx x f )(的值必定()A ．大于零B ．大于等于零C ．小于零D ．不等于零184．下列定积分中,积分结果正确的有()A ．cx f dx x f ba )()('B ．)()()('a f b f dxx f baC ．)]2()2([21)2('a f b f dxx f baD ．)2()2()2('a f b f dx x f ba185．以下定积分结果正确的是()A ．2111dx xB ．21112dx xC ．211dx D ．211xdx 186．adxx 0)'(arccos ()A ．211xB ．cx211C ．ca2arccos D ．arccos arccosa 187．下列等式成立的有( )A ．0sin 11xdx x B ．11dxe xC ．abxdx abtan tan ]'tan [D ．xdxxdxdxsin sin 0188．比较两个定积分的大小()A ．213212dx x dx x B ．213212dx x dx x C ．213212dxx dxx D ．213212dxx dxx 189．定积分22221sin dx xx x 等于()A ．1B ．-1C ．2D ．0190．11-x dx( )A ．2B ．2C ．1D ．1191．下列定积分中,其值为零的是()A ．22-sin xdx x B ．20cos xdx x C ．22-)(dx x e xD ．22-)sin (dxx x192．积分21dxx ()A ．0B ．21C ．23D ．25193．下列积分中,值最大的是()A ．12dx x B ．13dxx C ．14dxx D ．15dxx 194．曲线x y42与y 轴所围部分的面积为（）A ．2224dyy B ．224dyy C ．44dxx D ．444dxx 195．曲线xey 与该曲线过原点的切线及y 轴所围形的为面积（）A ．e xxdxxe e1B ．10ln ln dyy y y C ．1dxex exD ．edyy y y 1ln ln 196．曲线2xyx y 与所围成平面图形的面积( )A ．31B ．31C ．1 D ．-1四、常微分方程197．函数y c x （其中c 为任意常数）是微分方程1x y y 的（）．A ．通解B ．特解C ．是解，但不是通解，也不是特解D ．不是解198．函数23xy e是微分方程40y y 的（）．A ．通解B ．特解C ．是解，但不是通解，也不是特解D ．不是解199．2()sin y y x y x 是（）．A ．四阶非线性微分方程B ．二阶非线性微分方程C ．二阶线性微分方程D ．四阶线性微分方程200．下列函数中是方程0y y 的通解的是（）．A ．12sin cos y C x C xB ．xy Ce C ．yCD ．12xyC eC 专升本高等数学综合练习题参考答案1．B2．C3．C4．B 在偶次根式中，被开方式必须大于等于零，所以有40x 且20x ，解得24x ，即定义域为[2,4]．5．A 由奇偶性定义，因为33()2()3sin()23sin ()f x x x xx f x ，所以3()23sin f x xx 是奇函数．6．解：令t x 1，则tt tt t f 21212211)(，所以xx x f 212)(，故选 D 7．解：选D8．解：选D 9．解：选B 10．解：选C11．解：110x ，所以01x ，故选 B 12．解：选C13．解：选 B14．解：选 B15．解：选 B16．解：)(x f 的定义域为)4,1[，选D17．解：根据奇函数的定义知选 C18．解：选 C19. 解：选 C20．解：因为函数)1,0(log a ax ya ya x与互为反函数，故它们的图形关于直线x y 轴对称，选 C 21．A 22．D23．解：这是00型未定式ln 1l 1limlimx exex x exe,故选B ．24．解：这是型未定式。

河南省专升本高等数学真题(带答案详细讲解)

2009年省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项：答题前，考生务必将自己的、座位号、考生号涂写在答题卡上。

本试卷的试卷答案在答题卡上，答试卷上无效。

一、选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，有铅笔把答题卡上对应的题目的标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.1.下列函数相等的是（）A.2x y x=，y x = B. y =y x =C.x y =，2y = D. y x =，y =【答案】D.解：注意函数的定义围、解读式，应选D.2.下列函数中为奇函数的是（）A.e e ()2x xf x -+= B. ()tan f x x x =C. ()ln(f x x =D. ()1x f x x=- 【答案】C.解:()ln(f x x -=-，()()ln(ln(ln10f x f x x x +-=-+==()()f x f x -=-，选C.3．极限11lim1x x x →--的值是( ) A.1B.1-C.0 D.不存在【答案】D. 解：11lim 11x x x +→-=-，11lim 11x x x -→-=--，应选D.4.当0x →时，下列无穷小量中与x 等价是（）A.22x x - C. ln(1)x + D.2sin x【答案】C.解:由等价无穷小量公式，应选C.5.设e 1()x f x x-=，则0=x 是()f x 的（）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点【答案】B.解:00e 1lim ()lim1x x x f x x→→-==⇒0=x 是)(x f 的可去间断点,应选B. 6. 已知函数()f x 可导，且0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则(1)f '= （）A. 2B. -1C.1D.-2 【答案】D. 解：0(1)(1)1lim(1)1(1)222x f f x f f x →--''==-⇒=-，应选D.7.设()f x 具有四阶导数且()f x ''=(4)()f x = （）AB ．1 D ．3214x --【答案】D. 解：1(3)21()2fx x -=，(4)()f x =3214x --，应选D.8.曲线sin 2cos y t x t=⎧⎨=⎩在π4t =对应点处的法线方程（）A.2x =B.1y =C.1y x =+D.1y x =- 【答案】A.解：0d 2cos 20d sin y t k x x x t =⇒=⇒==切，应选A. 9.已知d e ()e d x xf x x -⎡⎤=⎣⎦，且(0)0f =，则()f x =（）A ．2e e x x + B. 2e e x x - C. 2e e x x -+ D. 2e e x x -- 【答案】B.解:由d e ()e d x x f x x -⎡⎤=⎣⎦得2d e ()d(e )e ()e ()e e x x x x x xf x f x C f x C --⎡⎤=⇒=+⇒=+⎣⎦，把(0)0f =代入得1C =-,所以2()e e x x f x =-,应选B. 10.函数在某点处连续是其在该点处可导的（）A. 必要条件B. 充分条件C. 充分必要条件D. 无关条件【答案】A.解:根据可导与连续的关系知，应选A.11.曲线42246y x x x =-+的凸区间为（） A.(2,2)- B.(,0)-∞ C.(0,)+∞ D. (,)-∞+∞ 【答案】A.解:34486y x x '=-+，212480(2,2)y x x ''=-<⇒∈-，应选A.12.设e xy x=（）A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线【答案】B.解:e lim0x x x →-∞=，0e lim xx x→=∞，应选B. 13.下列说确的是（） A. 函数的极值点一定是函数的驻点 B. 函数的驻点一定是函数的极值点C. 二阶导数非零的驻点一定是极值点D. 以上说法都不对【答案】D.解:根据极值点与驻点的关系和第二充分条件，应选D.14. 设函数()f x 在[,]a b 连续，且不是常数函数,若()()f a f b =，则在(,)a b （）A. 必有最大值或最小值B.既有最大值又有最小值C.既有极大值又有极小值D.至少存在一点ξ，使()0f ξ'= 【答案】A.解:根据连续函数在闭区间上的性质及()()f a f b =的条件,在对应的开区间至少有一个最值,应选A.15.若()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（）A.1x B.21x- C.ln x D.ln x x 【答案】B.解:()1()ln f x x x '==⇒21()f x x'=-,应选B.16.若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（） A. 222(1)x C --+ B. 222(1)x C -+C. 221(1)2x C --+D. 221(1)2x C -+【答案】C. 解:2221(1)(1)(1)2xf x dx f x d x -=---⎰⎰=221(1)2x C --+,应选C. 17.下列不等式不成立的是（）A. 22211ln (ln )xdx x dx >⎰⎰ B.220sin xdx xdx ππ<⎰⎰C.22ln(1)x dx xdx +<⎰⎰ D.22(1)x e dx x dx <+⎰⎰【答案】D.解:根据定积分的保序性定理，应有22(1)x e dx x dx ≥+⎰⎰，应选D.18.1ln eex dx ⎰= （）A.111ln ln e exdx xdx +⎰⎰ B.111ln ln eexdx xdx -⎰⎰C. 111ln ln e exdx xdx -+⎰⎰ D.111ln ln eexdx xdx --⎰⎰【答案】C.解:因1ln ,1|ln |ln ,1x x x ex x e⎧-≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩,考察积分的可加性有 1111ln ln ln eeeexdx xdx xdx =-+⎰⎰⎰，应选C.19．下列广义积分收敛的是（）A.lnex dx x +∞⎰B.1ln e dx x x+∞⎰ C.21(ln )e dx x x +∞⎰ D.e +∞⎰ 【答案】C.解:由广义积分性质和结论可知:21(ln )edx x x +∞⎰是2p =的积分,收敛的,应选C.20.方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表示的曲面是（） A.球面 B.圆锥面C. 旋转抛物面D.圆柱面【答案】C.解:根据方程的特点是抛物面,又因两个平方项的系数相等,从而方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表示的曲面是旋转抛物面,应选C.21. 设{}1,1,2a =-r ，{}2,0,1b =r，则a r 与b r 的夹角为（）A ．0B ．6πC ．4πD ．2π 【答案】D.解:0(,)2a b a b a b π=⇒⊥⇒=r r r r r r g ,应选D.22.直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的位置关系是 ( ) A.平行但直线不在平面 B.直线在平面 C. 垂直 D.相交但不垂直【答案】A.解:因{}2,7,3s =--r ,{}4,2,20n s n s n =--⇒⋅=⇒⊥⇒r r r r直线在平面或平行但直线不在平面.又直线上点(3,4,0)--不在平面.故直线与平面的位置关系是平行但直线不在平面,应选A.23.设(,)f x y 在点(,)a b 处有偏导数，则0(,)(,)limh f a h b f a h b h→+--=（ )A.0B.2(,)x f a b 'C.(,)x f a b 'D.(,)y f a b ' 【答案】B. 解:原式00(,)(,)(,)(,)limlimh h f a h b f a b f a h b f a b h h→→+---=- 00(,)(,)(,)(,)limlim 2(,)x h h f a h b f a b f a h b f a b f a b h h→-→+---'=+=- 应选B. 24．函数x yz x y+=-的全微dz =（） A ．22()()xdx ydy x y -- B ．22()()ydy xdx x y -- C ．22()()ydx xdy x y --D ．22()()xdy ydx x y --【答案】D 解：22()()()()2()()()x y x y d x y x y d x y xdy ydx z dz x y x y x y +-+-+--=⇒==---，应选D25．0(,)ady f x y dx ⎰化为极坐标形式为（）A ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰B ．2cos 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰C ．sin 20(cos ,sin )a d f r r rdr πθθθθ⎰⎰D ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰【答案】D.解:积分区域{(,)|0,0(,)|0,02x y y a x r r a πθθ⎧⎫≤≤≤≤=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭有(,)ady f x y dx ⎰2(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ=⎰⎰,应选D.26.设L 是以A(-1,0),B(-3,2),C(3,0)为顶点的三角形区域的边界，方向为ABCA,则(3)(2)Lx y dx x y dy -+-=⎰ÑA.-8B.0 C 8 D.20【答案】A.解:由格林公式知,(3)(2)228LDx y dx x y dy d S σ∆-+-=-=-=-⎰⎰⎰Ñ，应选A.27.下列微分方程中，可分离变量的是（） A ．tan dy y ydx x x=+ B ．22()20x y dx xydy +-= C ．220x y x dx e dy y ++=D ． 2x dy y e dx+= 【答案】C.解:根据可分离变量微分的特点,220x y xdx e dy y++=可化为 22y x ye dy xe dx -=-知,应选C.28.若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数收敛的是（）A ．110nn u ∞=∑ B ．1(10)n n u ∞=+∑C ．110n nu ∞=∑D ．1(10)nn u∞=-∑【答案】A.解:由级数收敛的性质知,110nn u ∞=∑收敛,其他三个一定发散,应选A. 29.函数()ln(1)f x x =-的幂级数展开为（）A ．23,1123x x x x +++-<≤LB ．23,1123x x x x -+--<≤LC ．23,1123x x x x -----≤<LD ． 23,1123x x x x -+-+-≤<L【答案】C.解:根据23ln(1),1123x x x x x +=-+--<≤L 可知,23ln(1),1123x x x x x -=-----≤<L ,应选C.30.级数1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．无法确定【答案】B.解:令1x t -=,级数1(1)nn n a x ∞=-∑化为1n n n a t ∞=∑,问题转化为:2t =-处收敛,确定1t =处是否收敛.由阿贝尔定理知是绝对收敛的,故应选B.二、填空题（每小题2分，共30分）31.已知()1xf x x=-，则[()]______f f x =. 解：()1[()](1,)1()122f x x f f x x x f x x ==≠≠--.32.当0x →时，()f x 与1cos x -等价，则0()lim_______sin x f x x x→=. 解：2211cos ()1cos 2220sin 00()1cos 12lim lim lim sin 2x x f x x x x x x x x f x x x x x x --→→→-==============:::. 33.若2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则_______a =. 解：因2223()221lim 12lim lim 1lim 1x xa axa x a x x a x x a a x a a x a e x x e x a e a a x x ⋅→∞-→∞→∞⋅--→∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭==== ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭，所以有 38a e =ln 2a ⇒=.34.设函数sin ,0(),0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞处处连续，则_______a =.解：函数在(,)-∞+∞处处连续，当然在0x =处一定连续，又因为0sin lim ()lim1;(0)x x x f x f a x→→===，所以0lim ()(0)1x f x f a →=⇒=.35.曲线31xy x=+在（2，2）点处的切线方程为___________. 解：因2231340(1)3x y k y x y x =''=⇒==⇒-+=+. 36.函数2()2f x x x =--在区间[0，2]上使用拉格朗日中值定理结论中____ξ=. 解：(2)(0)()2121120f f f x x ξξ-'=-⇒-=⇒=-.37.函数()f x x =-的单调减少区间是 _________.解：1()100,4f x x ⎛⎫'=<⇒∈ ⎪⎝⎭,应填10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦或10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭或10,4⎛⎤⎥⎝⎦. 38.已知(0)2,(2)3,(2)4,f f f '===则20()______xf x dx ''=⎰. 解：222200()()()()2(2)(2)(0)7xf x dx xdf x xf x f x dx f f f ''''''==-=-+=⎰⎰⎰.39.设向量b r 与}{1,2,3a =-r共线，且56a b ⋅=r r ,则b =r _________. 解：因向量b r 与a r共线,b r 可设为{},2,3k k k -，5649564a b k k k k ⋅=⇒++=⇒=rr ,所以{}4,8,12b =-r . 40.设22x y z e +=，则22zx∂=∂_______.解：22222222222(12)x y x y x y z z z exe x e x x+++∂∂=⇒=⇒=+∂∂. 41．函数22(,)22f x y x xy y =+-的驻点为________.解：40(,)(0,0)40fx y xx y f x y y∂⎧=+=⎪∂⎪⇒=⎨∂⎪=-=∂⎪⎩.42．区域D 为229x y +≤，则2______Dx yd σ=⎰⎰.解：利用对称性知其值为0或232420cos sin 0Dx yd d r dr πσθθθ==⎰⎰⎰⎰.43.交换积分次序后,10(,)_____________xdx f x y dy =⎰.解：积分区域{{}2(,)|01,(,)|01,D x y x x y x y y y x y =≤≤≤≤=≤≤≤≤,则有21100(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰.44.14x y xe -=-是23x y y y e -'''--=的特解，则该方程的通解为_________.解：230y y y '''--=的通解为312x x y C e C e -=+，根据方程解的结构,原方程的通解为31214x x x y C e C e xe --=+-.45.已知级数1n n u ∞=∑的部分和3n S n =，则当2n ≥时，_______n u =.解：当2n ≥时,3321(1)331n n n u S S n n n n -=-=--=-+.三、计算题（每小题5分，共40分）46．求011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭.解：20001111lim lim lim 1(1)x x x x x x x e x e x x e x e x →→→----⎛⎫-== ⎪--⎝⎭0011lim lim 222x x x e x x x →→-===. 47.设()y y x =是由方程ln sin 2xy e y x x +=确定的隐函数，求dxdy . 解：方程两边对x 求导得()ln 2cos 2xy ye xy y x x x''++= 即()ln 2cos 2xy e x y xy y y x x x x ''+++=2(ln )2cos 2xy xy x e x x y x x e xy y '+=--所以dydx=22cos 2ln xy xy x x e xy y y x e x x --'=+.48.已知2()x xf x dx e C -=+⎰，求1()dx f x ⎰. 解：方程2()x xf x dx e C -=+⎰两边对x 求导得2()2xxf x e-=-，即22()xe f x x--=，所以211()2x xe f x =-. 故22111()24x x dx xe dx xde f x =-=-⎰⎰⎰ 222211114448x x x x xe e dx xe e C =-+=-++⎰.49.求定积分44|(1)|x x dx --⎰.解：4014441|(1)||(1)||(1)||(1)|x x dx x x dx x x dx x x dx ---=-+-+-⎰⎰⎰⎰01441(1)(1)(1)x x dx x x dx x x dx -=-+-+-⎰⎰⎰14322332401322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 641164118843323332=++-+--+=. 50.已知22x xy y z e +-= 求全微分dz .解：因222222()(2)x xy y x xy y x ze x xy y e x y x+-+-∂'=+-=+∂, 222222()(2)x xy y x xy y y ze x xy y e x y y+-+-∂'=+-=-∂, 且它们在定义域都连续，从而函数22xxy y z e +-=可微，并有z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂22[(2)(2)]x xy y e x y dx x y dy +-=++-. 51.求(2)Dx y d σ+⎰⎰，其中区域D 由直线,2,2y x y x y ===围成.x x y =→=2yx =2解：积分区域D 如图所示：把D 看作Y 型区域，且有(,)|02,2y D x y y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故有22(2)(2)yy Dx y d dy x y dx σ+=+⎰⎰⎰⎰2222025()4yy x xy dy y dy =+=⎰⎰230510123y ==. 52.求微分方程22x y xy xe -'-=的通解. 解：这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次微分方程20y xy '-=的通解为2x y Ce =，设原方程的解为2()x y C x e =代入方程得22()x x C x e xe -'=, 即有22()x C x xe -'=，所以222222211()(2)44x x x C x xe dx e d x e C ---==--=-+⎰⎰, 故原方程的通解为2214x x y e Ce -=-+.53.求幂级数212nn n n x ∞=∑的收敛区间（考虑区间端点）. 解：这是规缺项的幂级数，考察正项级数212nn n n x ∞=∑，因221112limlim 22n n n n n nu n x l x u n ++→∞→∞+==⨯=, 当212x l =<，即||x <212n n n nx ∞=∑是绝对收敛的；当212x l =>，即||x >212n n n nx ∞=∑是发散的；当212x l ==，即x =212nn n n x ∞=∑化为1n n ∞=∑，显然是发散的。

2007年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国卷Ⅱ.文)含答案

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——培根2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)文科数学（必修+选修Ⅰ）第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题 1．cos330=（）A ．12 B ．12- CD．2．设集合{1234}{12}{24}U A B ===，，，，，，，，则()U A B =ð（）A ．{2}B ．{3}C ．{124}，，D ．{14}， 3．函数sin y x =的一个单调增区间是（）A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭， C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭， D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭， 4．下列四个数中最大的是（）A ．2(ln 2)B ．ln(ln 2)C．lnD ．ln 25．不等式203x x ->+的解集是（） A ．(32)-， B ．(2)+∞， C ．(3)(2)-∞-+∞，， D ．(2)(3)-∞-+∞，， 6．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（） A ．23 B ．13 C ．13- D ．23-7．已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（）ABC．2D8．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A ．1B ．2C ．3D ．49．把函数e xy =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（） A ．e 2x+ B ．e 2x- C ．2e x - D ．2e x +10．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（）A ．10种B ．20种C ．25种D ．32种 11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）A ．13BC ．12D12．设12F F ，分别是双曲线2219y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF +=（）AB．CD．第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为．14．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ． 15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．821(12)1x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为．（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）设等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项和为n S ．已知34225a S S ==，，求{}n a 的通项公式．18．（本小题满分12分）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．19．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．（1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小．21．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x =相切．（1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB 的取值范围．22．（本小题满分12分）已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<．（1）证明0a >；（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。

2007年河南管理学专升本试题及答案

2007年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试管理学试卷2分，共40分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内。

不选、错选或多选者，该题无分。

１．管理人员一般需要具备多种技能、关于高层管理人员的技能，按其重要性程度从低到高排序，正确的是【】Ａ．人际技能、概念技能、技术技能Ｂ．技术技能、人际技能、概念技能Ｃ．概念技能、人际技能，技术技能Ｄ．概念技能、技术技能、人际技能２．保证在组织中“事事有人做”属于管理的【】Ａ．计划职能Ｂ．组织职能Ｃ．领导职能Ｄ．控制职能３．1990年，彼得·圣吉教授出版了一本享誉世界之作，这就是【】Ａ．《企业再造工程》Ｂ．《管理的革命》Ｃ．《第五项修炼》Ｄ．《管理的实践》４．梅奥在西方电气公司进行的霍桑试验，在哪个阶段试验得出了企业中存在非正式组织的结论【】Ａ．工场照明试验Ｂ．继电器装配室试验Ｃ．大规模访谈Ｄ．接线板接线工作室试验５．激励理论中的双因素理论，关于保健因素说法正确的是【】Ａ．保健因素能预防和减少员工的不满，但不能使其对工作非常满意Ｂ．保健因素最大的作用是确保员工的生理与心理健康Ｃ．保健因素的满足，能使员工对工作非常满意Ｄ．保健因素的满足，有助于员工潜力的发挥６．“士为知己者死”这一古训反映了有效的领导始于【】Ａ．上下级之间的友情Ｂ．为下属设定崇高的目标Ｃ．为了下属的利益不惜牺牲自己Ｄ．了解下属的欲望和需要７．某企业生产某种产品，固定成本为16万元，单位变动成本为1万元，每台售价12000元，该产品的盈亏平衡点是【】Ａ．60台Ｂ．70台Ｃ．80台Ｄ．90台８．根据领导生命周期理论，推销型领导方式适用于【】Ａ．高任务、高关系Ｂ．高任务、低关系Ｃ．低任务、高关系Ｄ．低任务、低关系９．美国管理学家孔茨认为，管理的职能包括【】Ａ．计划、组织、指挥、协调、控制Ｂ．计划、决策、组织、领导、控制Ｃ．计划、组织、人员配备、指导、控制Ｄ．计划、组织、人事、指挥、协调１０．为了提高劳动生产率，必须为工作挑选第一流的工人，依据的是泰罗科学管理的什么原理 &nbs, , p; 【】Ａ．差别计件工资制Ｂ．标准化Ｃ．能力与工作相适应 &nb, , sp; Ｄ．工作定额１１．企业获得分销商或零售商的所有权或加强对他们的控制，这种战略类型属于【】Ａ．前向一体化Ｂ．后向一体化Ｃ．混合一体化Ｄ．横向一体化１２．管理学中有一原则叫“跳起来，摘桃子”，这一原则可用来描述目标的【】Ａ．可接受性Ｂ．挑战性Ｃ．可实现性Ｄ．可考核性１３．市场占有率低、业务增长率高的经营单位是【】Ａ．金牛Ｂ．瘦狗Ｃ．明星Ｄ．幼童１４．下列哪种正强化方式更有利于组织目标的实现【】Ａ．连续的、固定的正强化Ｂ．连续的、不固定的正强化Ｃ．间断的、不固定的正强化Ｄ．间断的、固定的正强化１５．某企业到了2月底，发现甲产品一季度计划才完成50％，便采取日夜轮班生产来平衡实际与计划之间的偏差；发现乙新产品供大于求，价格下降，这时决定立即减少或停止这种新产品的生产，这些措施【】Ａ．均属于前馈控制Ｂ．均属于反馈控制Ｃ．前者属前馈控制，后者属反馈控制Ｄ．前者属反馈控制，后者属前馈控制16．美国心理学家马斯洛认为人类的需要可分为五个层次，其由低到高的顺序为【】Ａ．生理需要、安全需要、社交需要、尊重需要、自我实现需要Ｂ．安全需要、生理需要、社交需要、尊重需要、自我实现需要Ｃ．尊重需要、生理需要、安全需要、社交需要、自我实现需要Ｄ．生理需要、安全需要、尊重需要、社交需要、自我实现需要１７．从期望理论中，我们得到的最重要的启示是【】Ａ．效价高低是激励是否有效的关键Ｂ．期望值高低是激励是否有效的关键Ｃ．由于存在着负效价，应引起领导者注意Ｄ．应把效价和期望值进行优化组合１８．组织成员士气高昂，具有比较一致的满意度，沟通渠道不多。

河南省专升本高等数学真题(带答案详细讲解)

2009年省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题号一二三四五总分分值60 30 40 14 6150注意事项：答题前，考生务必将自己的、座位号、考生号涂写在答题卡上。

本试卷的试卷答案在答题卡上，答试卷上无效。

一、选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，有铅笔把答题卡上对应的题目的标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.1.下列函数相等的是（）A.2xy x，y x B. 2yx ，y x C.x y，2()yx D. yx ，2yx【答案】D.解：注意函数的定义围、解读式，应选 D.2.下列函数中为奇函数的是（）A.ee ()2xxf x B. ()tan f x x xC. 2()ln(1)f x x xD. ()1x f x x【答案】C.解:2()ln(1)f x x x，22()()ln(1)ln(1)ln10f x f x x xx x()()f x f x ，选C. 3．极限11lim1xx x 的值是( ) A.1B.1C.0 D.不存在【答案】D. 解：11lim11x x x ，11lim11xx x ，应选D. 4.当0x 时，下列无穷小量中与x 等价是（）A.22xx B.3xC. ln(1)xD.2sin x【答案】C.解:由等价无穷小量公式，应选 C.5.设e1()xf x x，则0x 是()f x 的（）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点【答案】B. 解:0e1lim ()lim 1xx x f x x0x 是)(x f 的可去间断点,应选B.6. 已知函数()f x 可导，且0(1)(1)lim12xf f x x，则(1)f （）A.2B. -1C.1D.-2【答案】D. 解：0(1)(1)1lim(1)1(1)222x f f x f f x，应选D. 7.设()f x 具有四阶导数且()f x x ，则(4)()f x （）A ．12xB ．xC ．1D ．3214x【答案】D. 解：1(3)21()2fx x，(4)()fx 3214x，应选 D.8.曲线sin 2cos y t xt在π4t对应点处的法线方程（）A.22xB.1yC.1y xD.1y x 【答案】A. 解：d 2cos 220d sin 2y t k xx xt切，应选A.9.已知d e ()e d xxf x x ，且(0)0f ，则()f x （）A ．2ee xxB. 2ee xx C. 2eexxD. 2eexx【答案】B. 解:由d e ()e d x x f x x 得2d e ()d(e )e ()e()ee xxxxxxf x f x Cf x C ，把(0)0f 代入得1C ,所以2()ee xxf x ,应选B.10.函数在某点处连续是其在该点处可导的（）A. 必要条件B. 充分条件C. 充分必要条件D. 无关条件【答案】A.解:根据可导与连续的关系知，应选 A.11.曲线42246yxxx 的凸区间为（）A.(2,2)B.(,0)C.(0,)D. (,)【答案】A.解:34486y x x，212480(2,2)y x x，应选A.12.设e xyx（）A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线【答案】B.解:elim0xx x，elimxx x，应选B.13.下列说确的是（）A. 函数的极值点一定是函数的驻点B. 函数的驻点一定是函数的极值点C. 二阶导数非零的驻点一定是极值点D. 以上说法都不对【答案】D.解:根据极值点与驻点的关系和第二充分条件，应选 D.14. 设函数()f x在[,]a b连续，且不是常数函数,若()()f a f b，则在(,)a b（）A. 必有最大值或最小值B.既有最大值又有最小值C.既有极大值又有极小值D.至少存在一点，使()0f【答案】A.解:根据连续函数在闭区间上的性质及()()f a f b的条件,在对应的开区间至少有一个最值,应选A.15.若()f x的一个原函数为ln x，则()f x（）A.1xB.21xC.ln xD.ln x x【答案】B. 解:1()ln f x xx21()f x x,应选B.16.若2()f x dxxC ，则2(1)xf x dx（）A. 222(1)x C B. 222(1)x C C.221(1)2x CD.221(1)2x C【答案】C. 解:2221(1)(1)(1)2xf x dxf x d x =221(1)2x C ,应选C.17.下列不等式不成立的是（）A. 22211ln (ln )xdx x dx B.220sin xdxxdxC.220ln(1)x dx xdxD.220(1)xe dxx dx【答案】D.解:根据定积分的保序性定理，应有220(1)xe dxx dx ，应选D.18.1ln e ex dx = （）A.111ln ln eexdxxdx B.111ln ln e exdxxdxC.111ln ln eexdxxdx D.111ln ln eexdxxdx【答案】C.解:因1ln ,1|ln |ln ,1x x x e x xe,考察积分的可加性有1111ln ln ln e eeexdxxdxxdx ，应选C.19．下列广义积分收敛的是（）A.ln exdxxB.1ln edx x xC.21(ln )edxx x D.31ln edxxx【答案】C.解:由广义积分性质和结论可知:21(ln )edx x x 是2p 的积分,收敛的,应选C.20.方程220xy z 在空间直角坐标系中表示的曲面是（）A.球面B.圆锥面C. 旋转抛物面D.圆柱面【答案】C.解:根据方程的特点是抛物面,又因两个平方项的系数相等,从而方程22xyz 在空间直角坐标系中表示的曲面是旋转抛物面,应选C.21. 设1,1,2a r ，2,0,1b r，则a r 与b r 的夹角为（）A ．0B ．6C ．4D ．2【答案】D.解:0(,)2a ba b a b r r r r r r g ,应选D.22.直线34273x y z 与平面4223x y z的位置关系是( )A.平行但直线不在平面B.直线在平面C. 垂直D.相交但不垂直【答案】A. 解:因2,7,3sr ,4,2,2ns nsnr r r r 直线在平面或平行但直线不在平面.又直线上点(3,4,0)不在平面.故直线与平面的位置关系是平行但直线不在平面,应选A.23.设(,)f x y 在点(,)a b 处有偏导数，则0(,)(,)limh f a h b f a h b h（)A.0B.2(,)x f a b C.(,)x f a b D.(,)y f a b 【答案】B. 解:原式(,)(,)(,)(,)limlimhhf a h b f a b f a h b f a b hh(,)(,)(,)(,)lim lim 2(,)x h h f a h b f a b f a h b f a b f a b hh应选B. 24．函数x y zxy的全微dz （）A ．22()()xdx ydy x y B ．22()()ydy xdx xy C ．22()()ydx xdy xy D ．22()()xdy ydx xy 【答案】D 解：22()()()()2()()()x y x y d x y x y d x y xdy ydx zdzxyxy xy ，应选D25．22(,)a a y dyf x y dx 化为极坐标形式为（）A ．20(cos ,sin )a df r r rdr B ．2cos(cos ,sin )df r r rdrC ．sin 20(cos ,sin )a df r r rdr D ．20(cos ,sin )a d f r r rdr【答案】D. 解:积分区域22(,)|0,0(,)|0,02x y y a x ayr r a有22(,)a a y dy f x y dx20(cos ,sin )a df r r rdr ,应选D.26.设L 是以A(-1,0),B(-3,2),C(3,0)为顶点的三角形区域的边界，方向为ABCA,则(3)(2)Lx y dx xy dyA.-8B.0C 8D.20【答案】A. 解:由格林公式知,(3)(2)228LDx y dx x y dyd S，应选A.27.下列微分方程中，可分离变量的是（）A ．tandy y y dx x xB ．22()20xy dx xydyC ．220xyx dxedy y D ．2xdy y edx【答案】C.解:根据可分离变量微分的特点,220xyx dx edyy可化为22y x ye dy xe dx 知,应选C.28.若级数1n n u 收敛，则下列级数收敛的是（）A ．110n n u B ．1(10)n n u C ．110n nu D ．1(10)n n u 【答案】A.解:由级数收敛的性质知,110n n u 收敛,其他三个一定发散,应选A.29.函数()ln(1)f x x 的幂级数展开为（）A ．23,1123xxxx L B ．23,1123xxxx L C ．23,1123xxxx L D ．23,1123xxxx L 【答案】C.解:根据23ln(1),1123xxx xx L 可知,23ln(1),1123xxx xx L ,应选C.30.级数1(1)nn n a x 在1x处收敛，则此级数在2x处（）A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．无法确定【答案】B. 解:令1x t ,级数1(1)nn n a x 化为1nn n a t ,问题转化为:2t处收敛,确定1t 处是否收敛.由阿贝尔定理知是绝对收敛的,故应选B.二、填空题（每小题2分，共30分）31.已知()1x f x x，则[()]______f f x .解：()1[()](1,)1()122f x x f f x x xf x x.32.当0x时，()f x 与1cosx 等价，则0()lim_______sin x f x x x.解：2211cos ()1cos 222sin 0()1cos 12limlim lim sin 2x x f x x x x x x x x f x x x xxx:::. 33.若2lim8xxx ax a，则_______a .解：因2223()221lim 12limlim1lim 1x xa axa xaxxaxxa axa a x a ex x e xaea a xx，所以有38aeln 2a .34.设函数sin ,0(),0xx f x xa x 在(,)处处连续，则_______a .解：函数在(,)处处连续，当然在0x 处一定连续，又因为sin lim ()lim1;(0)xxx f x f a x ，所以0lim ()(0)1xf x f a .35.曲线31xy x 在（2，2）点处的切线方程为___________.解：因2231340(1)3x yk yx y x .36.函数2()2f x xx 在区间[0，2]上使用拉格朗日中值定理结论中____.解：(2)(0)()2121120f f f x x .37.函数()f x x x 的单调减少区间是_________.解：11()10,42f x xx,应填10,4或10,4或10,4或10,4.38.已知(0)2,(2)3,(2)4,f f f 则20()______xf x dx . 解：22220()()()()2(2)(2)(0)7xf x dxxdf x xf x f x dxf f f .39.设向量b r 与1,2,3a r共线，且56a b rr ,则br_________.解：因向量b r 与a r共线,b r 可设为,2,3k k k ，5649564a bkkkkr r ,所以4,8,12br.40.设22xyze，则22zx_______.解：22222222222(12)x yxyx y z zzexe x exx.41．函数22(,)22f x y xxy y 的驻点为________.解：40(,)(0,0)40f xyx x y f x yy.42．区域D 为229x y，则2______Dx yd.解：利用对称性知其值为0或23242cos sin 0Dx yd d r dr.43.交换积分次序后,10(,)_____________xxdxf x y dy . 解：积分区域2(,)|01,(,)|01,D x y xx yxx y yyx y ,则有2110(,)(,)x y xy dxf x y dydyf x y dx .44.14xy xe 是23xy y ye 的特解，则该方程的通解为_________. 解：230yy y 的通解为312x xyC eC e ，根据方程解的结构,原方程的通解为31214xxxyC eC exe.45.已知级数1n n u 的部分和3nS n ，则当2n 时，_______nu .解：当2n 时,3321(1)331nnnu S S nn nn .三、计算题（每小题5分，共40分）46．求011lim1xx xe .解：21111limlimlim1(1)xxxxx xxe xe xxex e x11limlim222xxxex xx.47.设()y y x 是由方程ln sin 2xye y x x 确定的隐函数，求dxdy .解：方程两边对x 求导得()ln 2cos 2xyy e xy y x xx即()ln 2cos 2xye x yxy yy x x x x 2(ln )2cos 2xyxyx ex x y x xe xyy所以dy dx22cos 2ln xyxyx x e xyyyx ex x.48.已知2()x xf x dx eC ，求1()dx f x .解：方程2()xxf x dxeC 两边对x 求导得2()2xxf x e ，即22()xe f x x，所以211()2xxe f x .故22111()24xxdx xe dxxde f x 222211114448xxxxxee dxxeeC .49.求定积分44|(1)|x x dx .解：414441|(1)||(1)||(1)||(1)|x x dx x x dx x x dx x x dx014401(1)(1)(1)x x dxx x dxx x dx1432233241322332xxxxxx641164118843323332.50.已知22xxy yz e求全微分dz.解：因222222()(2)xxy yxxy yxz exxy y exy x ,222222()(2)x xy y x xy y yz exxyy exy y,且它们在定义域都连续，从而函数22x xy yze可微，并有z z dzdxdyx y 22[(2)(2)]xxy yex y dx x y dy .51.求(2)Dx y d ，其中区域D 由直线,2,2yx yx y围成. y x x y22y yxxy2解：积分区域D 如图所示：把D 看作Y 型区域，且有(,)|02,2y Dx y yx y故有22(2)(2)yy Dx y ddyx y dx222225()4y y xxy dyy dy230510123y.52.求微分方程22x yxy xe 的通解.解：这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次微分方程20y xy 的通解为2x yCe ，设原方程的解为2()xy C x e 代入方程得22()xxC x e xe,即有22()x C x xe，所以222222211()(2)44x x x C x xedxe d x eC ,故原方程的通解为2214x x y eCe .53.求幂级数212nnn n x 的收敛区间（考虑区间端点）.解：这是规缺项的幂级数，考察正项级数212nnn n x，因221112lim lim 22nn n nnnu n xlx u n, 当212xl，即||2x 时，级数212nnn nx 是绝对收敛的；当212xl，即||2x 时，级数212nn n n x是发散的；当212xl，即2x 时，级数212nnn n x 化为1n n ，显然是发散的。

[专升本(地方)考试密押题库与答案解析]河南省专升本考试高等数学真题2007年

取ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为积分变量，且x∈[0，1]，
(1)平面图形D的面积为
(2)平面图形D绕y轴旋转一周所生成旋转体的体积为
六、证明题
(6分)
问题:1. 若f'(x)在[a，b]上连续，则存在两个常数m，M，对于满足a≤x1＜x2≤b的任意两，点x1，x2，证明恒有
m(x2-x1)≤f(x2)-f(x1)≤M(x2-x1)．
A.2x
B.sinx
C.ex-1
D.ln(1+x)
答案:A[解析] 根据常用的等价关系知：x→0时，x～sinx，x～ex-1，x～ln(x+1)，故2x与x在x→0时不等价．
问题:4. x=0是函数的______
A.连续点
B.可去间断点
C.跳跃间断点
D.第二类间断点
答案:C[解析] 首先，因x=0时，函数无定义，所以x=0为f(x)的一个间断点，不是连续点．
由题可知造价一定在内部存在最小值，故就是使造价最小的取值，此时高为
所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为时，工程造价最低．
问题:2. 设平面图形D由曲线y=ex，直线y=e及y轴所围成的，求：
(1)平面图形D的面积；
(2)平面图形D绕Y轴旋转一周所成的旋转体的体积．
答案:[解析] 平面图形D如图所示：
答案:6[解析]
问题:4. 已知曲线y=x2+x-2上点M处的切线平行于直线y=5x-1，则点M的坐标为______.
答案:(2，4)[解析]
问题:5. 设f(x)=e2x-1，则f(2007)(0)=______．
答案:22007e-1[解析]
问题:6.
答案:1[解析]
问题:7. 若函数f(x)=ax2+bx在x=1处取得极值2，则a=______，b=______．

2001-2013年河南专升本高数真题及答案

不选、错选或多选者，该题无分.1.函数xx y --=5)1ln(的定义域为为（）A. 1>xB.5<xC.51<<xD. 51≤<x解：C x x x ⇒<<⇒⎩⎨⎧>->-510501.2.下列函数中,图形关于y 轴对称的是（） A ．x x y cos = B. 13++=x x yC. 222x x y --=D. 222xx y -+=解：图形关于y 轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数222xx y -+=为偶函数,应选D.3. 当0→x 时，与12-x e 等价的无穷小量是（）A. xB.2xC. x 2D. 22x 解： ⇒-x e x ~12~12x e x -,应选B.4.=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→121lim n n n （） A. e B. 2e C. 3e D. 4e解：2)1(2lim2)1(22121lim 21lim 21lim e n n n n n n n nn n n n n n =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+⋅∞→+∞→∞→,应选B.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0,0,11)(x a x xxx f 在0=x 处连续，则常数=a （） A. 1 B. -1 C. 21 D. 21-解：21)11(1lim )11(lim 11lim)(lim 0000=-+=-+=--=→→→→x x x x x x x f x x x x ,应选C. 6.设函数)(x f 在点1=x 处可导,且21)1()21(lim 0=--→h f h f h ,则=')1(f （）A. 1B. 21-C. 41D. 41-解：41)1(21)1(22)1()21(lim 2)1()21(lim 020-='⇒='-=----=--→-→f f h f h f h f h f h h ,应选D.7.由方程yx e xy +=确定的隐函数)(y x 的导数dydx为（）A.)1()1(x y y x --B.)1()1(y x x y --C.)1()1(-+y x x yD.)1()1(-+x y y x 解：对方程y x e xy +=两边微分得)(dy dx e ydx xdy y x +=++,即dy x e dx e y y x y x )()(-=-++, dy x xy dx xy y )()(-=-,所以dy dx )1()1(x y y x --=,应选A. 8.设函数)(x f 具有任意阶导数,且2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n （） A. 1)]([+n x f n B. 1)]([!+n x f n C. 1)]()[1(++n x f n D. 1)]([)!1(++n x f n解：423)]([3)()(32)()]([2)()(2)(x f x f x f x f x f x f x f x f ！='⋅='''⇒='='', ⇒ =)()(x f n 1)]([!+n x f n ,应选B.9.下列函数在给定的区间上满足罗尔定理的条件是（） A.]1,1[,1)(2--=x x f B.]1,1[,)(-=-x xe x fC.]1,1[,11)(2--=xx f D ．]1,1[|,|)(-=x x f 解：由罗尔中值定理条件：连续、可导及端点的函数值相等来确定,只有]1,1[,1)(2--=x x f 满足,应选A.10.设),(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f ,则在)1,21(内,)(x f 单调 ( )A.增加,曲线)(x f y =为凹的B.减少,曲线)(x f y =为凹的C.增加,曲线)(x f y =为凸的D.减少,曲线)(x f y =为凸的解: 在)1,21(内,显然有0)12)(1()(<+-='x x x f ,而014)(>-=''x x f ,故函数)(x f 在)1,21(内单调减少,且曲线)(x f y =为凹的,应选B.11.曲线xe y 1-=（）A. 只有垂直渐近线B. 只有水平渐近线C. 既有垂直渐近线，又有水平渐近线，D. 无水平、垂直渐近线解：0lim ;11lim 0=⇒∞==⇒=-→±∞→x y y y x x ，应选C.12.设参数方程为⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos ,则二阶导数=22dx yd （）A.t a b 2sinB.t a b32sin - C.t a b 2cos D.tt a b22cos sin -解：dxdt t a t b t a t b dx y d t a t b x y dx dy t x t t ⨯'⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⇒-=''=sin cos sin cos sin cos 22t a bt a t a b 322sin sin 1sin -=-⨯=,应选B. 13.若⎰+=C e dx e x f xx11)(，则=)(x f （）A. x 1-B. 21x -C. x 1D. 21x解：两边对x 求导 22111)()1()(xx f x e e x f x x -=⇒-⨯=,应选B.14. 若⎰+=C x F dx x f )()( ，则⎰=dx x xf )(sin cos （）A.C x F +)(sinB.C x F +-)(sinC.C x F +)(cosD.C x F +-)(cos 解:⎰⎰+==C x F x d x f dx x xf )(sin )(sin )(sin )(sin cos ,应选A.15.下列广义积分发散的是（）A.⎰+∞+0211dx x B.⎰-10211dx x C.⎰+∞e dx x x ln D.⎰+∞-0dx e x解：2arctan 11002π==+∞++∞⎰x dx x ;2arcsin 1110102π==-⎰x dx x; ∞==+∞∞+⎰eex dx x x 2)(ln 21ln ;10=-=+∞-+∞-⎰xx e dx e ,应选C.16.=⎰-11||dx x x （）A.0B.32 C.34 D.32- 解：被积函数||x x 在积分区间[-1,1]上是奇函数,应选A. 17.设)(x f 在],[a a -上连续,则定积分⎰-=-aa dx x f )( （）A.0B.⎰a dx x f 0)(2 C.⎰--a adx x f )( D.⎰-aadx x f )(解：⎰⎰⎰⎰-----===-===-aaaaa aaaut dx x f du u f u d u f dx x f )()()()()(,应选D.18.设)(x f 的一个原函数是x sin ,则='⎰xdx x f sin )( （）A.C x x +-2sin 2121B.C x x ++-2sin 4121 C.x 2sin 21 D.C x +-2sin 21解: x x f x x f x f x sin )(cos )()()(sin -='⇒=⇒='C x x dx x xdx xdx x f ++-=--=-='⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin sin )(2,应选B. 19.设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则不正确的是（）A.⎰ba dx x f )(是)(x f 的一个原函数 B.⎰xadt t f )(是)(x f 的一个原函数C.⎰axdt t f )(是)(x f -的一个原函数 D.)(x f 在],[b a 上可积解: ⎰badx x f )(是常数,它的导数为零,而不是)(x f ,即⎰badx x f )(不是)(x f 的原函数 ,应选A.20.直线22113+=-=-z y x 与平面01=+--z y x 的关系是（） A. 垂直 B.相交但不垂直 C. 直线在平面上 D. 平行解：n s n s ⊥⇒--=-=)1,1,1{},2,1,1{ ,另一方面点)2,0,3(-不在平面内,所以应为平行关系,应选D..21.函数),(y x f z =在点),(00y x 处的两个偏导数xz∂∂和y z ∂∂存在是它在该点处可微的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无关条件解：两个偏导数存在,不一定可微,但可微一定有偏导数存在,因此为必要条件,应选B.22.设yxz 2ln = ，则=)2,1(dz （）A.dx x y 2B.dy dx 2121-C.dy dx 21-D.dy dx 21+ 解：dy y dx x dz y x y x z 11ln 2ln 2ln -=⇒-==dy dx dz 21)2,1(-=⇒,应选C. 23.函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 的极小值点是（） A.)1,1(- B.)1,1(- C. )1,1(-- D. )1,1(解：)1,1(),(012012-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=++=∂∂y x y x yz y x xz,应选B.24.二次积分⎰⎰202),(x dy y x f dx 写成另一种次序的积分是（）A. ⎰⎰402),(y dx y x f dy B. ⎰⎰400),(ydx y x f dy C. ⎰⎰4022),(xdx y x f dy D. ⎰⎰42),(ydx y x f dy解：积分区域}2,40|),{(}0,20|),{(2≤≤≤≤=≤≤≤≤=x y y y x x y x y x D ,应选A.25.设D 是由上半圆周22x ax y -=和x 轴所围成的闭区域,则⎰⎰=σDd y x f ),(（）A.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (a rdr r r f d B.⎰⎰πθθθ2020)sin ,cos (adr r r f dC.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d D.⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a dr r r f d 解：积分区域在极坐标下可表示为：}θcos 20,2πθ0|)θ,{(a r r D ≤≤≤≤=，从而⎰⎰=σDd y x f ),(⎰⎰πθθθθ20cos 20)sin ,cos (a rdr r r f d ，应选C.26.设L 为抛物线2x y =上从)0,0(O 到)1,1(B 的一段弧，=+⎰Ldy x xydx 22（）A. -1B.1C. 2D. -1解：L ：,2⎩⎨⎧==xy xx x 从0变到1 , 142221041031332===+=+⎰⎰⎰x dx x dx x dx x dy x xydx L,应选B.27.下列级数中，条件收敛的是（）A ．∑∞=+-11)1(n nn n B ．∑∞=-1321)1(n n nC ．∑∞=-121)1(n nn D ．∑∞=+-1)1()1(n n n n解：∑∞=+-11)1(n nn n 发散, ∑∞=-121)1(n n n 和∑∞=+-1)1()1(n n n n 绝对收敛，∑∞=-1321)1(n n n是收敛的，但∑∞=1321n n 是32=p 的级数发散的，从而级数∑∞=-1321)1(n n n条件收敛，应选B.28. 下列命题正确的是（） A ．若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛B ．若级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数)(212n n nv u +∑∞=收敛 C ．若正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛，则级数21)(n n n v u +∑∞=收敛D ．若级数∑∞=1n n n v u 收敛，则级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 都收敛解：正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 收敛⇒ ∑∞=12n nu 与∑∞=12n n v 收敛，而)(2)(222nnn n v u v u +≤+，所以级数21)(n n n v u +∑∞=收敛，应选C 。

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