2009年河南省专升本高等数学真题(及答案)

2009年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考生号涂写在答题卡上。

本试卷的试题答案在答题卡上，答试卷上无效。

一、选择题（每小题2分，共计60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，有铅笔把答题卡上对应的题目的标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.1.下列函数相等的是 （ ）A.2x y x=，y x = B. y =，y x =C.x y =，2y =D. y x =，y 2.下列函数中为奇函数的是 （ ）A.e e ()2x xf x -+= B. ()tan f x x x =C. ()ln(f x x =D. ()1xf x x=- 3．极限11lim1x x x →--的值是 ( ) A.1 B.1- C.0 D.不存在 4.当0x →时，下列无穷小量中与x 等价是 （ ）A.22x x - C. ln(1)x + D. 2sin x5.设e 1()x f x x-=，则0=x 是()f x 的 （ ）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点 6. 已知函数()f x 可导，且0(1)(1)lim12x f f x x→--=-，则(1)f '= （ ）A. 2B. -1C.1D. -27.设()f x 具有四阶导数且()f x ''=(4)()f x = （ ）AB C ．1 D ．3214x --8.曲线sin 2cos y t x t=⎧⎨=⎩在π4t =对应点处的法线方程 （ ）A. x =1y = C. 1y x =+ D. 1y x =- 9.已知d e ()e d x xf x x -⎡⎤=⎣⎦，且(0)0f =，则()f x = （ ） A ．2e e x x + B. 2e e x x - C. 2e e x x -+ D. 2e e x x --10.函数在某点处连续是其在该点处可导的 （ ） A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充分必要条件 D. 无关条件 11.曲线42246y x x x =-+的凸区间为 （ ） A.(2,2)- B. (,0)-∞ C.(0,)+∞ D. (,)-∞+∞12. 设e xy x= （ ）A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D.既无水平又无垂直渐近线 13.下列说法正确的是 （ ） A. 函数的极值点一定是函数的驻点 B. 函数的驻点一定是函数的极值点C. 二阶导数非零的驻点一定是极值点D. 以上说法都不对14. 设函数()f x 在[,]a b 连续，且不是常数函数,若()()f a f b =，则在(,)a b 内 （ ）A. 必有最大值或最小值B.既有最大值又有最小值C. 既有极大值又有极小值D. 至少存在一点ξ，使()0f ξ'= 15.若()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '= （ ）A. 1xB.21x- C. ln x D. ln x x16.若2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰ （ ） A. 222(1)x C --+ B. 222(1)x C -+C. 221(1)2x C --+D. 221(1)2x C -+17.下列不等式不成立的是（ ）A. 22211ln (ln )xdx x dx >⎰⎰ B. 220sin xdx xdx ππ<⎰⎰C. 220ln(1)x dx xdx +<⎰⎰ D. 22(1)x e dx x dx <+⎰⎰18.1ln eex dx ⎰= （ ）A. 111ln ln e exdx xdx +⎰⎰ B. 111ln ln eexdx xdx -⎰⎰C. 111ln ln e exdx xdx -+⎰⎰ D. 111ln ln eexdx xdx --⎰⎰19．下列广义积分收敛的是 （ ）A.lnex dx x +∞⎰ B. 1ln e dx x x +∞⎰ C. 21(ln )e dx x x +∞⎰ D. e +∞⎰20.方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表示的曲面是 （ ） A.球面 B.圆锥面 C. 旋转抛物面 D.圆柱面 21. 设{}1,1,2a =-，{}2,0,1b =，则a 与b 的夹角为 （ ） A ．0 B ．6π C ．4π D ．2π22.直线34273x y z++==--与平面4223x y z --=的位置关系是 ( ) A. 平行但直线不在平面内 B. 直线在平面内 C. 垂直 D. 相交但不垂直23.设(,)f x y 在点(,)a b 处有偏导数，则0(,)(,)limh f a h b f a h b h→+--=（ )A.0B.2(,)x f a b 'C. (,)x f a b 'D. (,)y f a b ' 24．函数x yz x y+=-的全微dz = （ ） A ．22()()xdx ydy x y -- B ．22()()ydy xdx x y --C ．22()()ydx xdy x y -- D ．22()()xdy ydx x y -- 25．0(,)ady f x y dx ⎰化为极坐标形式为 （ ）A ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰ B ．2cos 0(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰C ．sin 20(cos ,sin )a d f r r rdr πθθθθ⎰⎰D ．20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ⎰⎰26.设L 是以A(-1,0),B(-3,2),C(3,0)为顶点的三角形区域的边界，方向为ABCA,则(3)(2)Lx y dx x y dy -+-=⎰A.-8B.0 C 8 D.2027.下列微分方程中，可分离变量的是 （ ） A ．tan dy y ydx x x=+ B ．22()20x y dx xydy +-= C ．220x y x dx e dy y ++= D ． 2x dyy e dx+= 28.若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数收敛的是 （ ）A ．110nn u ∞=∑ B ．1(10)n n u ∞=+∑C ．110n n u ∞=∑ D ． 1(10)n n u ∞=-∑29.函数()ln(1)f x x =-的幂级数展开为 （ ）A ．23,1123x x x x +++-<≤ B ．23,1123x x x x -+--<≤ C ．23,1123x x x x -----≤< D ． 23,1123x x x x -+-+-≤<30.级数1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处 （ ）A ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ．无法确定二、填空题（每小题2分，共30分）31.已知()1xf x x=-，则[()]______f f x =. 32.当0x →时，()f x 与1cos x -等价，则0()lim_______sin x f x x x→=. 33.若2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则_______a =.34.设函数sin ,0(),0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞内处处连续，则_______a =.35.曲线31xy x=+在（2，2）点处的切线方程为___________. 36.函数2()2f x x x =--在区间[0，2]上使用拉格朗日中值定理结论中____ξ=.37.函数()f x x =-的单调减少区间是 _________. 38.已知(0)2,(2)3,(2)4,f f f '===则20()______xf x dx ''=⎰.39.设向量b 与}{1,2,3a =-共线，且56a b ⋅=,则b =_________. 40.设22x y z e+=，则22zx∂=∂_______.41．函数22(,)22f x y x xy y =+-的驻点为________.42．区域D 为229x y +≤，则2______Dx yd σ=⎰⎰.43.交换积分次序后,10(,)_____________xdx f x y dy =⎰.44.14x y xe -=-是23x y y y e -'''--=的特解，则该方程的通解为_________.45.已知级数1n n u ∞=∑的部分和3n S n =，则当2n ≥时，_______n u =.三、计算题（每小题5分，共40分）46．求011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭.47.设()y y x =是由方程ln sin 2xy e y x x +=确定的隐函数，求dxdy.48.已知2()x xf x dx e C -=+⎰，求1()dx f x ⎰.49.求定积分44|(1)|x x dx --⎰.50.已知22xxy y z e +-= 求全微分dz .51.求(2)Dx y d σ+⎰⎰，其中区域D 由直线,2,2y x y x y ===围成. 52.求微分方程22x y xy xe -'-=的通解. 53.求幂级数212nnn n x ∞=∑的收敛区间（考虑区间端点）. 四、应用题（每小题7分，共14分）54.靠一楮充分长的墙边，增加三面墙围成一个矩形场地,在限定场地面积为642m 的条件下.问增加的三面墙的各为多少时，其总长最小.55.设D 由曲线()y f x =与直线0,3y y ==围成的，其中2,026,2x x y x x ⎧≤≤=⎨->⎩， 求D 绕y 轴旋转形成的旋转体的体积.五、证明题（6分）56.设1()()()xx a bF x f t dt dt f t =+⎰⎰，其中函数()f x 在闭区间[],a b 上连续且()0f x >，证明在开区间(,)a b 内,方程()0F x =有唯一实根.2009年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试（答案）一 1-5【答案】D.解：注意函数的定义范围、解析式，应选D. 【答案】C.解: ()ln(f x x -=-，()()ln(ln(ln10f x f x x x +-=-+==()()f x f x -=-，选C.【答案】D. 解：11lim 11x x x +→-=-，11lim 11x x x -→-=--，应选D.【答案】C.解: 由等价无穷小量公式，应选C. 【答案】B.解: 00e 1lim ()lim1x x x f x x→→-==⇒0=x 是)(x f 的可去间断点,应选B. 6-10 【答案】D. 解：0(1)(1)1lim(1)1(1)222x f f x f f x →--''==-⇒=-，应选D.【答案】D. 解：1(3)21()2fx x -=，(4)()f x =3214x --，应选D.【答案】A.解：0d 2cos 20d sin y t k x x x t =⇒=⇒==切，应选A. 【答案】B.解:由d e ()e d x xf x x -⎡⎤=⎣⎦得 2d e ()d(e )e ()e ()e e x x x x x xf x f x C f x C --⎡⎤=⇒=+⇒=+⎣⎦，把(0)0f =代入得1C =-,所以2()e e x x f x =-,应选B. 【答案】A.解:根据可导与连续的关系知，应选A. 11-15 【答案】A.解: 34486y x x '=-+，212480(2,2)y x x ''=-<⇒∈-，应选A. 【答案】B.解: e lim0x x x →-∞=，0e lim xx x→=∞，应选B. 【 答案】D.解: 根据极值点与驻点的关系和第二充分条件，应选D.【答案】A.解:根据连续函数在闭区间上的性质及()()f a f b =的条件,在对应的开区间内至少有一个最值,应选A.【答案】B.解: ()1()ln f x x x '==⇒ 21()f x x'=-,应选B.16-20【答案】C.解: 2221(1)(1)(1)2xf x dx f x d x -=---⎰⎰=221(1)2x C --+,应选C. 【答案】D.解: 根据定积分的保序性定理，应有22(1)x e dx x dx ≥+⎰⎰，应选D.【答案】C.解:因1ln ,1|ln |ln ,1x x x ex x e⎧-≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩,考察积分的可加性有 1111ln ln ln eeeexdx xdx xdx =-+⎰⎰⎰，应选C.【答案】C.解:由广义积分性质和结论可知:21(ln )edx x x +∞⎰是2p =的积分,收敛的,应选C.【答案】C.解:根据方程的特点是抛物面,又因两个平方项的系数相等,从而方程220x y z +-=在空间直角坐标系中表示的曲面是旋转抛物面,应选C. 21-25 【答案】D.解:0(,)2a b a b a b π=⇒⊥⇒=,应选D.【答案】A.解:因{}2,7,3s =--,{}4,2,20n s n s n =--⇒⋅=⇒⊥⇒直线在平面内或平行但直线不在平面内.又直线上点(3,4,0)--不在平面内.故直线与平面的位置关系是平行但直线不在平面内,应选A. 【答案】B.解:原式00(,)(,)(,)(,)limlimh h f a h b f a b f a h b f a b h h→→+---=- 00(,)(,)(,)(,)limlim 2(,)x h h f a h b f a b f a h b f a b f a b h h→-→+---'=+=- 应选B. 【答案】D 解：22()()()()2()()()x y x y d x y x y d x y xdy ydx z dz x y x y x y +-+-+--=⇒==---，应选D 【答案】D.解:积分区域{(,)|0,0(,)|0,02x y y a x r r a πθθ⎧⎫≤≤≤≤=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭有(,)ady f x y dx ⎰20(cos ,sin )ad f r r rdr πθθθ=⎰⎰,应选D.26—30 【答案】A.解: 由格林公式知, (3)(2)228LDx y dx x y dy d S σ∆-+-=-=-=-⎰⎰⎰，应选A. 【答案】C.解: 根据可分离变量微分的特点,220x y xdx e dy y++=可化为 22y x ye dy xe dx -=-知,应选C. 【答案】A.解: 由级数收敛的性质知,110nn u ∞=∑收敛,其他三个一定发散,应选A. 【答案】C.解: 根据23ln(1),1123x x x x x +=-+--<≤可知,23ln(1),1123x x x x x -=-----≤<,应选C.【答案】B.解: 令1x t -=,级数1(1)nn n a x ∞=-∑化为1n n n a t ∞=∑,问题转化为:2t =-处收敛,确定1t =处是否收敛.由阿贝尔定理知是绝对收敛的,故应选B. 二 31—35 解：()1[()](1,)1()122f x x f f x x x f x x ==≠≠--.解：2211cos ()1cos 2220sin 00()1cos 12lim lim lim sin 2x x f x x x x x x x x f x x x x x x --→→→-==============. 解：因2223()221lim 12lim lim 1lim 1x xa axa x a x x a x x a a x a a x a e x x e x a e a a x x ⋅→∞-→∞→∞⋅--→∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭==== ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以有 38a e =ln 2a ⇒=.解：函数在(,)-∞+∞内处处连续，当然在0x =处一定连续，又因为0sin lim ()lim1;(0)x x xf x f a x→→===，所以0lim ()(0)1x f x f a →=⇒=.解：因2231340(1)3x y k y x y x=''=⇒==⇒-+=+. 36—40解：(2)(0)()2121120f f f x x ξξ-'=-⇒-=⇒=-.解：1()100,4f x x ⎛⎫'=<⇒∈ ⎪⎝⎭,应填10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦或10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭或10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦. 解：222200()()()()2(2)(2)(0)7xf x dx xdf x xf x f x dx f f f ''''''==-=-+=⎰⎰⎰.解：因向量b 与a 共线,b 可设为{},2,3k k k -，5649564a b k k k k ⋅=⇒++=⇒=,所以{}4,8,12b =-. 解：22222222222(12)x y x y x y z z z e xe x e x x+++∂∂=⇒=⇒=+∂∂. 41—45解：40(,)(0,0)40fx y xx y f x y y∂⎧=+=⎪∂⎪⇒=⎨∂⎪=-=∂⎪⎩. 解：利用对称性知其值为0或232420cos sin 0Dx yd d r dr πσθθθ==⎰⎰⎰⎰.解：积分区域{{}2(,)|01,(,)|01,D x y x x y x y y y x y =≤≤≤≤=≤≤≤≤,则有21100(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰.解：230y y y '''--=的通解为312x x y C e C e -=+，根据方程解的结构,原方程的通解为31214x x x y C e C e xe --=+-.解：当2n ≥时,3321(1)331n n n u S S n n n n -=-=--=-+. 三 46—50解：20001111lim lim lim 1(1)x x x x x x x e x e x x e x e x →→→----⎛⎫-== ⎪--⎝⎭ 0011limlim 222x x x e x x x →→-===.解：方程两边对x 求导得()ln 2cos 2xy ye xy y x x x''++= 即 ()ln 2cos 2xy e x y xy y y x x x x ''+++= 2(ln )2cos 2xy xy x e x x y x x e xy y '+=--所以 dydx=22cos 2ln xy xyx x e xy y y x e x x --'=+. 解：方程2()x xf x dx e C -=+⎰两边对x 求导得 2()2xxf x e-=-，即22()x e f x x--=，所以211()2x xe f x =-. 故22111()24x x dx xe dx xde f x =-=-⎰⎰⎰ 222211114448x x x x xe e dx xe e C =-+=-++⎰.解：40144401|(1)||(1)||(1)||(1)|x x dx x x dx x x dx x x dx ---=-+-+-⎰⎰⎰⎰1441(1)(1)(1)x x dx x x dx x x dx -=-+-+-⎰⎰⎰014322332401322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭641164118843323332=++-+--+=. 解：因222222()(2)x xy y x xy y x ze x xy y e x y x+-+-∂'=+-=+∂,222222()(2)x xy y x xy y y ze x xy y e x y y+-+-∂'=+-=-∂, 且它们在定义域都连续，从而函数22xxy y z e +-=可微，并有z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂22[(2)(2)]x xy y e x y dx x y dy +-=++-. 51—53解：积分区域D 如图所示： 把D 看作Y 型区域，且有(,)|02,2y D x y y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭故有22(2)(2)yy Dx y d dy x y dx σ+=+⎰⎰⎰⎰222225()4yy x xy dy y dy =+=⎰⎰230510123y ==. 解：这是一阶线性非齐次微分方程，它对应的齐次微分方程20y xy '-=的通解为2x y Ce =，x y =设原方程的解为2()x y C x e =代入方程得22()x x C x e xe -'=, 即有 22()x C x xe -'=， 所以 222222211()(2)44x x x C x xe dx e d x e C ---==--=-+⎰⎰, 故原方程的通解为2214x x y e Ce -=-+.解：这是标准缺项的幂级数，考察正项级数212nnn n x ∞=∑， 因221112limlim 22n n n n n nu n x l x u n ++→∞→∞+==⨯=, 当212x l =<，即||x <212n n n nx ∞=∑是绝对收敛的； 当212x l =>，即||x >212n n n nx ∞=∑是发散的； 当212x l ==，即x =212nn n n x ∞=∑化为1n n ∞=∑，显然是发散的。