31静电场的保守性和环路定理
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理
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关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理静电场的高斯定理和静电场的环路定理是库仑定律的推论,所以称之为定理。
由于库仑定律是静电场的基本规律,适用于静电场,所以库仑定律的推论也适用于静电场。
电场有许多种:静电场(由静止电荷激发)、恒定电场(由运动然而空间分布不随时间改变的电荷体系激发的电场)、位电场(可以在其中建立电位函数的电场,位电场的电场强度等于电位的负梯度,分为恒定的与时变的,静电场和恒定电场就属于恒定的位电场)、涡旋电场。
静电场的高斯定理的文字表述是:静电场中,电场强度穿出闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围的总电量除以真空电容率。
静电场的高斯定理的数学表述式是:in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 。
英国著名物理学家麦克斯韦首先假设静电场的高斯定理的数学表示式in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 适用于一切电场,也就是说,实际的电场强度(即总电场强度)穿出闭合曲面的通量等于闭合曲面内的总电量除以真空电容率。
这个假设后来被实验证实了。
正因为这个原因,数学表示式in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 也叫做高斯定律。
由于德国数学家高斯根据库仑定律推出的这个静电场规律的数学表示式是普遍适用的,这让高斯在电磁学中享有很高的声誉。
in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 有好几个称谓:高斯定理、高斯通量定理、电场的高斯定理、电场的高斯通量定理、高斯定律、高斯通量定律、电场的高斯定律、电场的高斯通量定律。
对于静电场,这个规律叫做静电场的高斯定理,或者静电场的高斯通量定理。
高斯在数学方面有一项重要成就,叫做高斯公式(也可以叫做高斯通量公式或者高斯散度公式)。
高斯公式的数学表示式是d d S Vf S f V ⋅=∇⋅⎰⎰ 。
其含义是:矢量场穿出闭合曲面的通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的空间区域内的体积分。
高斯定理是电(磁)学规律,高斯公式是纯粹数学规律,两者截然不同。
但是把两者结合起来,就可以推出0E ρε∇⋅= 。
静电场的环路定理 电势
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静电场的环路定理 电势
式中,Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差,也称为电压.式( 8-22)表明,静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q,其周围的电场分布为
(8- 21)
式(8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中,也常选地球为电势零点.
电势是标量,在国际单位制中,电势的单位为伏特(V).
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念,由式(8-19) 和式(8-20)可以看出,电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关,还与试验电荷q0有关,因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是,人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关,仅与a点电场的性质有关.因此,用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式(8-18),定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中,θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出,元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr,则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关,那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论:在任意带电体的电场中,电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关,而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成,根据场强叠加原理,任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和,即
静电场的环路定理
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例3、求均匀带电球面电场中电势的分布,已知 ,q 、求均匀带电球面电场中电势的分布,已知R 微元法) 微元法 解: 方法一 叠加法 (微元法
dq = σdS = σ 2πR2 sinθdθ π 任一圆环 dS = 2 RsinθRdθ
dq 1 σ 2πR sinθdθ du = = 4πε0l 4πε0 l
B A
1 1 dr = ( − ) 2 4πε0r 4πε0 RA RB RA
q
q
2.如图已知 、-q、R 如图已知+q 如图已知 、 移至c ①求单位正电荷沿odc 移至 ,电场力所作的功 求单位正电荷沿
d q −q A = uo − uc = 0−( ) + oc 4πε0 3R 4πε0R a b c q 0 +q −q = 6 0R πε R R R
方法二
定义法
∞ P
q 4 0r2 πε
由高斯定理求出场强分布 E =
r>R r<R
r r 由定义 u = ∫ E • dl
r<R R r r ∞r r u = ∫ E • dl + ∫ E • dl
r R
0
r>R
R
dθ
O∞θຫໍສະໝຸດ lP= 0+ ∫
∞
q
4 0r πε R q = 4 0R πε
dr 2
u= ∫
r r uP = ∫ E • dl
P
∞
♠由点电荷电势公式,利用电势叠加原理计算 由点电荷电势公式,
求电偶极子电场中任一点P的电势 例1 、求电偶极子电场中任一点 的电势
Y
由叠加原理
q(r2 − r1) uP = u1 + u2 = − = 4πε0r1 4πε0r2 4πε0r1r2 q q
静电场的环路定理
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q
j
V V V 1 2 k q q q 1 2 n 4 r r 4 r 0 1 4 0 2 0 n
q i
电势叠加原理
V V P i r 0 i i i 4
任意带电体场中的电势
VP q
4 0r
dq
a b
即:a、b两点的电势差 = A/q0
将单位正电荷 从ab电场力作的功 与路径无关
6
例: 已知真空中两金属圆筒电极间电压为U ,半径分别为 R1、 R2 。 求:负极上静止电子到正极时的速度? 解:由电势差的定义可得
A q ( V V )
( e)( U )
R
R
2
1
F
c
dl
q0
dr
b
r +dr
r
a
rb
+
积分
1 1 q q q q 0 0 A d r 2 a4 r 4 r 0 0 a r b
b
ra
q
——点电荷的电场力作功 只与被移动电荷距离场源电荷的距离相关 与路径无关
2
2.在点电荷系的电场中(或连续带电体的电场)
结论
b b b A q E d l q E d l q E d l 0 1 0 2 0 n a a a
电场强度的线积分与路径无关
电场力是保守力,静电场是保守力场。
3
二、环路定理
在任意电场中, 将q0从a
b L2 经L1
经L2
b电场力作功:
A q E d l 0 L
静电场的环路定理 电场的电势(势函数):静电场的保守性意味着,对静电场来说,存在着一个由电场中各点位
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9-6 电势
物理学教程 (第二版)
三 电势的叠加原理
点电荷系 E Ei
i
VA E dl Ei dl
A
iA
q1
q2 q3
r1 r2 r3
E3
E2
A
E1
VA
VAi
i
i
qi
4π 0ri
电荷连续分布
VP
dq
4π 0r
dqqdrqP
dV
dE
第九章 静电场
9-6 电势
第九章 静电场
9-6 电势
物理学教程 (第二版)
此标量函数(电势)在 A、B 两点的数值之差等 于从A到B移动单位正电荷时静电场力所做的功.
E dl
( EpB
EpA )
AB
q0 q0
q0
E dl AB
(VB
VA )
A
B E
B 点电势
VB
EpB
q0
A 点电势
VA
EpA q0
VA AB E dl VB ( VB为参考电势,值任选)
由
V外 (r)
Q
4π 0r
可得
V (R)
Q
4π 0R
V内
或
V内(r)
R r
E1
dr
R
E2
dr
Q
4π 0R
Q
V外 (r) 4π 0r
Q
V内(r) 4π 0R
V
Q
4 π 0R
oR
Q
4π 0r物理中能量单位 1eV 1.602 1019 J
第九章 静电场
9-6 电势
物理学教程 (第二版)
二 点电荷的电势
静电场的环路定理
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已知q的电场分布 E
根据定义, P点的电势为
4
q
0r
2
er
VP
P
E dl
r
q
40r
2Pdr4q04r2qe0rrP dl
q > 0时, VP为正, r V, r处V= 0 min q < 0时, VP为负, r V, r处V = 0 max
2.电场强度与电势梯度的关系
根据电势差的定义, 把单位正电荷从P1移到P2 电场力所作的功为:
dA E dn V (V dV )
r E
dn
n
P1
P2
V V dV
E dn dV
E
dV dn
grad V
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dV dn
n
r E grad V
r 即:电场中某点的场强 E 等于该点电势梯度的负值
无意义
VP
P
E
dr
rP
2 0r
dr
2 0
ln
rP
r
P
P'
令某处 r = r0(有限值) V=0,则
VP
P0
P
E
dl
P
P
E dl
P0
P
E dl
r0 P0
P
P
2
0r
dr
2 0
ln
r0 r
可见:当电荷分布到无穷远时,
22
归纳 电场强度与电势的关系
积分关系:
静电场环路定理
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方法二 定义法 先由高斯定理求出场强分布
q
再由定义 u E dl
rR
P
E
4 0 r 2
rR
0
rR
rR
u E dl E dl
R r R
R
O
r< R
P
r> R
0
q
2
4 0 r q 4 0 R
R
dr
u
2 2
方法二 定义法 已知轴线上的场强分布函数
E qx
2
4 0
R x
u Edx
4 0 ( x R ) qxdx
2
3
2
q
xp
xp
4 0 ( x R )
2 2
3
2
4 0 r
例4、求均匀带电球面电场中电势的分布,已知R,q 解: 方法一 叠加法 (微元法) 球面上任取一圆环
q
r1 r2 r
2
r2
l cos u 2 4 0 r
其中
q
O
r r 1
q
X
r x y
2 2
2
l
u 1 4 0
2
cos
x x y
2 2
px (x y )
3 2 2
课堂练习: 已知正方形顶点有四个等量的电点荷 q1 q 4.0 10 9 C r=5cm
静电场环路定理得
对任意大小面积S都成立。环路定理的微分形式。
( E ) dS 0
s
E 0; 或者rotE 0
旋度处处为零的矢量场,称为无旋场。静电场是无旋场。 高斯定理的微分形式。
2章电势
![2章电势](https://img.taocdn.com/s3/m/80e72e2ced630b1c59eeb508.png)
λ
R
答案: 答案:
λl E0 = 指向缝隙 2 4 πε 0 R λ ( 2 πR − l ) λ 2 πR U0 = ≈ 4 πε 0 R 4 πε 0 R
o
l
λ
l
±λl
由对称性
提示
R >> l 缝隙电荷视为点电荷
叠加原理
λ
l
22
2 在半径为 1 ,体电荷密度为ρ 的均匀带电球体内, 在半径为R 的均匀带电球体内, 的小球体。 挖去一个半径为 R2 的小球体。空腔中心 O2 与 带电球体中心 O1之间的距离为 a,且R1>a>R2, , 如图所示。 如图所示。求:空腔内任一点的场强 分析: 分析: 若无空腔,则有球对称性; 若无空腔,则有球对称性; 思路:恢复球对称 思路: 补偿:想象在空腔内有密度 补偿: 相同的正电荷和负电荷
0
v v E r2
o2
均匀场
24
0
3 如图所示在真空中有两块相距为 d,面积均为 S, , , 平行板。 带电量 分别为 +q 和 -q 的 平行板。 两板的线度 远大于 d,因此可忽略边缘效应。 ,因此可忽略边缘效应。
+q
求: 两板间的作用力 你选择下列哪个答案? 你选择下列哪个答案?
-q
q2 (A) f = 2 4πε 0 d
由电势叠加原理 球面上电荷在球心的总电势
思考: 思考: •电量分布 电量分布 均匀? 均匀? •圆环? 圆环? 圆环 •圆弧? 圆弧? 圆弧 13
dq Q ϕ = ∫ dϕ = ∫ = 4πε0R (Q ) (Q ) 4πε 0 R
§4 等势面 电势梯度 一.等势面 等势面 由电势相等的点组成的面叫等势面 满足方程
静电场的环路定理
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➢ 本节的研究目的
研究ห้องสมุดไป่ตู้电场的旋度特性
➢ 本节的研究内容
一、静电场环路定理的微分形式 二、静电场环路定理的积分形式
一、静电场环路定理的微分形式
E ()
0
E 0
静电场是无旋场; 静电场的电力线不可能是闭合曲线;
二、静电场环路定理的积分形式
根据斯托克斯定理
L E dL S E dS L E dL 0
分析:对闭合曲线应用环路定理
a
E dL E dL E dL 0
acbda
acb
bda
c d
E dL E dL E dL
acb
bda
adb
b
说明:两点之间的电位差与积分路径无关
二、静电场环路定理的积分形式
根据斯托克斯定理
L E dL S E dS L E dL 0
静电场的环量为零; 静电场是保守力场,位场; 静电场中电场力作功与路径无关;
本节要点
➢ 本节的研究目的 研究静电场的旋度特性;
E 0
L E dL 0
静电场的环路定理
华南师范大学电磁学第一章 静电学的基本规律(电势与静电能)
![华南师范大学电磁学第一章 静电学的基本规律(电势与静电能)](https://img.taocdn.com/s3/m/7a84dbcb5fbfc77da269b173.png)
因为各 E i q 0 dr 与路径无关,所以A与路径无关.
b a
a
a
a
结论:静电场力(库 仑力)是保守力!
2
2.静电场的环路定理
静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒 等于零.
E dr 0
L
证明: 将一点电荷q在静电场中沿任意闭合路径走一圈 静电场力是保守力
f dr qE dr 0
dq 4 0 r
d
Q
Q
dφ •P r
2)叠加 式中的 i 和d的物 理意义是 什么?
9
点电荷系的场
连续带电体的场
4. 电势的计算
(1)点电荷场电势公式
P E dr
P
Q
Q 4π 0 r
r
P dr E
dr
E dr
上式表明:当 p 与 E 方向相同时,电势能最小;当 p 与E 方向相反时,电势能最大.由于系统势能最小时的平衡 是稳定平衡,而势能最大时的平衡是不稳定平衡 ,所以 在外电场中,电偶极子总力求转到 p 与 E 方向相同30 .
W pE
五、电荷系的静电能 状态a时的静电能是什么? 定义1:把系统从状态 a 无限 分散到彼此相距无限远的状态 中静电场力作的功 叫作系统 在状态a时的静电势能简称静 电能.也称为相互作用能(互能). 或:把这些带电体从无限远离 的状态聚合到状态a的过程中 外力克服静电力作的功
点电荷的电场线与等势面
+
19
电偶极子的电场线与等势面
+
20
平行板电容器的电场线与等势面
电势讲解课件
![电势讲解课件](https://img.taocdn.com/s3/m/9d65179209a1284ac850ad02de80d4d8d05a0159.png)
Q , rR 4 0r
等势体
与电量集中在球心的点 电荷的电势分布相同
(2) 图示
0R
r
例3 计算电量为 Q 的带电球面球心的电势
目的:由电势叠加原理求电势的方法
解:在球面上任取一电荷元 dq
Q
则电荷元在球心的电势为
dq R
d dq
o
4 0R
由电势叠加原理:球面上电荷在球心的总电势
3.1 静电场的保守性
一.静电场力所做的功
1. 点电荷的电场
dA
q0E dl
qq0
4 0r3
r dl
B dr dl E
rB
r
r dl rdl cos rdr
dA
qq0
4 0r 2
dr
q
rA
q0
A
A q0
E dl qq0
L
4 0
rB dr r rA 2
qq0 ( 1 1 )
4 0 rA rB
A1B
B2A
1
B
A
2E
q0
E dl
l
0
E dl 0 静电场的环路定理
l
结论:静电场是保守场 (1)电场强度的线积分只于始末位置有关; (2)电场强度的环流恒等于零。
小结 高斯定律 环路定理
E dS 1
S
0
qi
i
l E dl 0
有源场 保守场
讨论题1:
试用环路定理证明:静电场电场线永不闭合。
E2
Q1
4 0r 2
er
R1 r R2
E3
Q1 Q2
4 0r 2
er
r R2
环路定理的公式
![环路定理的公式](https://img.taocdn.com/s3/m/0ecda49809a1284ac850ad02de80d4d8d15a0128.png)
环路定理的公式
1. 静电场环路定理。
- 公式:∮_L→E· d→l = 0。
- 含义:
- 在静电场中,电场强度→E沿任意闭合路径L的线积分等于零。
这表明静电场是保守场,电场力做功与路径无关,只与始末位置有关。
2. 安培环路定理(真空中稳恒磁场)
- 公式:∮_L→B· d→l=μ_0∑_i = 1^nI_i。
- 含义:
- 对于稳恒磁场,磁感应强度→B沿任意闭合路径L的线积分等于真空磁导率μ_0乘以穿过以该闭合路径为边界的任意曲面的电流的代数和∑_i = 1^nI_i。
这里电流的正负由右手螺旋定则确定,当电流方向与闭合路径的绕行方向符合右手螺旋关系时,电流取正,反之取负。
3.3 静电场环路定理
![3.3 静电场环路定理](https://img.taocdn.com/s3/m/7c520a90551810a6f52486d3.png)
3.3.1 静电场力的功
1.
移动
q
电荷静电场力的功
0
b
rb
O
q
r
dr
q0
E
ra
a L dr
先考虑在点电荷q 的电场中移动一个检验电 荷q0 时,静电场力的功:
ห้องสมุดไป่ตู้
A
b a
q0q
40r 2
r
0
dr
b a
q0q
40r 2
dr
q0q
4π 0
利用做功与路无关的数学表示:
F dr q0 E dr 0
(L)
(L)
E dr 0
(L)
上式叫静电场环路定理。环路定理反映了 静电场力做功与路无关的性质,即静电场力 是保守力。
1 ra
1 rb
结果与路无关。
再考虑在点电荷系的电场中移动一个检验
电荷时,静电场力的功:
A
i
b a
q0qi
4 0 ri 2
dri
q0
4π 0
i
qi
1 ria
1 rib
由于求和号下的每一项都是与路无关的, 所以最终的结果与路无关。
在连续带电体的电场中移动检验电荷时, 可将连续带电体无限分割,直到每一部分都 能看成点电荷为止,于是最后的积分结果显 然与路无关。
2. 移动任意电荷静电场力的功 将任意电荷无限分割,直到每一部分都成为
检验电荷为止。由于移动每一部分静电场力做 功都与路无关,所以最后结果与路无关。
二、静电场的保守性——环路定理
![二、静电场的保守性——环路定理](https://img.taocdn.com/s3/m/b12fba20e2bd960590c677d4.png)
3.电势迭加原理 由场强叠加原理和电势的定义,可得电势叠加原理。 一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个 表述: 带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。 表达式:U ( p)
p
p
E dl p ( E1 E2 ) dl
U ( p)
U2
14
r
1 E2 dl r E2dr r
rR
q q dr 2 4 0r 4 0 r
I区:球面内
r R, E1 0
1
U1
q 4 0 R
q q II区:球面外 r R, E2 U2 2 4 0 r 4 0 r
dl
dAMN
E dl Edl cos 0 E dl
E
M
19
3.由于规定了两个相邻等势面的电势差相等,所以等 势面较密集的地方,场强较大。等势面较稀疏的地方 ,场强较小。
4.电力线的方向指向电势降低的方向。等势面 证明:假设电荷q0由2移到1,
因沿电力线方向移动正电荷场力做正 功,电势能减少。
dA q0
1
从 r到r
dr ,电场做的功:
b rb
q0 ra
r dr
dl r
a
cdr F
E
4 0 r
2
dr
dA q0
q 4 0 r
2
dr
rb
b
r dr
在 q 的电场中将检验电荷 q0 从 a 点移动到 b 点,电场 力作功为:
4 q q UO i 1 4 0 ri 4 0 r 0 r
静电场的保守性和环路定理
![静电场的保守性和环路定理](https://img.taocdn.com/s3/m/cfb8ad00eff9aef8941e0690.png)
QU P −UQ =
v v = E ⋅ ∆n = En∆n = −∆U
∆U ∂U ∴ E n = − lim | |= − ∆n → 0 ∆ n ∂n
U + ∆U
∫
Q
P
v v Edl
v E
P
U
v ∆n
Q
v n
电场强度沿等势面法线方向做负功。 电场强度沿等势面法线方向做负功。
∆U ∂U ∴ E n = − lim | |= − ∆n → 0 ∆ n ∂n
Q dA MN
v v = E ⋅ d l = Edl cos θ = 0
∴θ = π / 2
M
电力线的方向指向电势降落的方向。 电力线的方向指向电势降落的方向。
因沿电力线方向移动正电荷场力做正功,电势能减少。 因沿电力线方向移动正电荷场力做正功,
规定两个相邻等势面的电势差相等, 规定两个相邻等势面的电势差相等,所以等势面较密 两个相邻等势面的电势差相等
等势面的性质: 等势面的性质: 除电场强度为零处外,电力线与等势面正交。 除电场强度为零处外,电力线与等势面正交。 N v 证明:因为将单位正电荷从等势面上M点移到 点移到N点 证明:因为将单位正电荷从等势面上 点移到 点, dl v 电场力做功为零, 电场力做功为零,而路径不为零 dl ≠ 0 E
例三、 例三、求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布
λ E 已知场强为: 方向垂直于带电直线。 已知场强为: = 方向垂直于带电直线。 2πε 0 r 电荷线密度
若仍然选取无穷远为电势零点, 若仍然选取无穷远为电势零点,则由积分可知各点电势将为 无限大而失去意义。此时, 无限大而失去意义。此时,我们可以选取某一距带电直导线 点为电势零点, 点的电势: 为 r0的 p0 点为电势零点,则距带电直线为 r 的 点的电势:
3.3 静电场的环路定理 大学物理
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R
+
o + + +
4 0 r (3)确定电势分布;
2
E
er
(r R)
主讲:张国才
U P E dl E dr + r+ r r + + 1 q q r p + + 2 dr R R 4 + + 4 o R 0 r o + + (2)当r>R时 + + + + U P E dl E dr + + "P" r
主讲:张国才
3.3 静电场的环路定理
基础物理学
4
试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径 L运动一周时,电场力对q0做的功W=?
L
W q0 E dl 0
E dl 0
L
主讲:张国才
3.3 静电场的环路定理 静电场的 Nhomakorabea路定理基础物理学
5
在静电场中,场强沿任意闭合路径的线积 分(称为场强的环流)恒为零。
2 2
0
主讲:张国才
q 4 0 R x
2 2
基础物理学 3.3 静电场的环路定理 二、从电荷分布求场强,从场强分布求电势。 例2 计算均匀带电球面的电场中的电势分布。球面半 径为R,总带电量为q。
13
解:
q
+
+ + + +
+ +
+
(1)取无穷远处为电势零点; + (2)由高斯定律可知电场分布为; + E 0 (r R) + + 1 q
物理静电学3
![物理静电学3](https://img.taocdn.com/s3/m/f92d978764ce0508763231126edb6f1aff0071d5.png)
r dr dr E
1 .点电荷的场中电场力做的功: q q
r
q0
b
dW q0E dr q0Edr q0 40r2 dr
W
b
dW
a
b a
q0q
4 0 r
2
dr
q
q0q ( 1 1 )
rb
ra
a
q0
dr
4 0 ra rb
做功与路径无关
2. 任意静电场中电场力做的功:
b
b
Wab a q0E dl q0 a (E1 E2 En ) dl
2、利用电势定义
电势零点
V
E dl
任一位置
3、利用电场力做功(电势差)
U ab
Wab q0
例:已知某空间的电势函数V=x2+2xy,求(1)电场强度 函数;(2)坐标(2,2,3)点的电势及其与原点的电势差。
Ex
V x
2(x y)
Ey
V y
2x
E Exi Ey j 2(x y)i 2xj
若仍然选取无穷远为电势零点,则由积分可知各点电势将为 无限大而失去意义。此时,我们可以选取某一距带电直导线
p 为 r0的 p0 点为电势零点,则距带电直线为r 的 点的电势:
p'
p0
p0
V E dl E dl 0
dr
p
p'
p' 20r
rp
20 ln r 20 ln r0 20 ln r C
即 V (x, y, z) C的空间曲面称为等势面。
等势面的性质:
除电场强度为零处外,电场线与等势面正交。
证明: dWMN E dl Edl cos 0
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∫
L
η e dl 4πε 0 r
10
例四、 例四、计算电偶极子场中任一点 p 的电势 q q U p = ∑ U i ( p) = − 4πε 0 r+ 4πε 0 r− i v 可做如下近似: 当 r >> l 可做如下近似: r− l r + = r − cos θ 2 −q l r− = r + cos θ
3
(Circuital theorem 二、静电场的环路定理 of electrostatic field) 静电场的保守性还可表述为: 静电场的保守性还可表述为: v v 在静电场中, 在静电场中,场强沿任意闭 E ⋅ dl = 0 合路径的线积分等于零 线积分等于零。 合路径的线积分等于零。称 L 为静电场的环路定理或环流 运动电荷的场不是保守场, 运动电荷的场不是保守场,而是 定理。 定理。 非保守场,将在磁场部分讨论。 非保守场,将在磁场部分讨论。 3.2 电势差和电势
点电荷 q0 从 P到Q点, 到 点 电场力所做的功为: 电场力所做的功为: 电场做的功: 从 r 到 r + dr,电场做的功: 电场做的功
v rQ
q0
q
v rP
2
P
dr
4πε 0 r
A=∫
Q
P
q0 q dA = ∫ dr 2 P 4πε r 0
Q
v v r + dr
q
v dr
q0
2
v E
v r
A=∫
12
等势面的性质: 等势面的性质: 除电场强度为零处外,电力线与等势面正交。 除电场强度为零处外,电力线与等势面正交。 N v 证明:因为将单位正电荷从等势面上M点移到 点移到N点 证明:因为将单位正电荷从等势面上 点移到 点, dl v 电场力做功为零, 电场力做功为零,而路径不为零 dl ≠ 0 E
例五、 的电势。 例五、试计算均匀带电圆环轴线上任一点 p 的电势。 dq 设已知带电量为 q Q dU = Z 4 πε 0 r
∫
dU
=
∫
L
dq 4 πε
0r
=
∫
q
2
2π 0
η e Rd θ
4 πε
0 ( z 2
p
+ R )
2
1
2
r
R
∴ U (z) =
4 πε 0 ( z + R )
2
1
2
dq
(电场的图示法) 等势面、 四、等势面、电势梯度 电场的图示法) 1 等势面:将电场中电势相等的点连接起来组成的 等势面: 面叫做等势面.即 面叫做等势面 即 U ( x, y, z ) = C 的空间曲面称为等 势面。等势面上的任一曲线叫做等势线或等位线。 势面。等势面上的任一曲线叫做等势线或等位线。
P
举例: 二、举例: 例一、 例一、求点电荷产生的电场中的电势分布 用场强分布和电势的定义直接积分。 用场强分布和电势的定义直接积分。 v v q r ˆ E = r 2 q 4 πε 0 r v ∞ v ∞ q q U p = U p − U ∞ = ∫ E ⋅ dl = ∫ dr = p p 4πε r 2 4πε 0 r p 0
∫
电势能、电势差、 一、电势能、电势差、电势 静电力将电荷 q0 从电场中P 点 点静电场力做正功时, 移到 Q 点静电场力做正功时, 静电场的电势能减少。 静电场的电势能减少。
v rQ
q
v rP
Q
q0
P
4
定义: 定义:移动单位正电荷从电场中 P 点移到 Q 点, 所做的功, 两点的电势差: 静电力所做的功 为静电场中两点的电势差 静电力所做的功,为静电场中两点的电势差 v Q v U PQ = U P − U Q = ∫ E ⋅ d l
p v E
6
U
p
=
q 4πε 0 r p
正点电荷周围的场电势为正 离电荷越远,电势越低。 离电荷越远,电势越低。 负点电荷周围的场电势为负 离电荷越远,电势越高。 离电荷越远,电势越高。
例二、求均匀带电球面的电场中的电势分布。 例二、求均匀带电球面的电场中的电势分布。 设球面半径为R,总带电量为Q 设球面半径为 ,总带电量为 ∞ Q Q U (r ) = ∫ dr = r≥ R r 4πε r 2 4πε 0 r 0 R ∞ Q Q U ( r ) = ∫ Edr + ∫ dr = r≤ R r R 4πε r 4πε 0 R 0 带电球壳是个等势体。 带电球壳是个等势体。 在球面处场强不连续,而电势是连续的。 在球面处场强不连续,而电势是连续的。
ro
p po
'
8
三、电势的叠加原理 由场强叠加原理和电势的定义, 由场强叠加原理和电势的定义,直接得出电势叠加原理 一个电荷系的电场中,任一点的电势等于每一个 一个电荷系的电场中 任一点的电势等于每一个 表述: 表述: 带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。 带电体单独存在时在该点所产生电势的代数和。 表达式: 表达式:U ( p ) = ∫p
P P
=∫
Q
P
v v v Qv v Qv E1 ⋅ dl + ∫ E2 ⋅ dl + L∫ En ⋅ dl = A( P, Q)
Байду номын сангаасP P
P
任何静电场,电场强度的线积分只取决于起始和终了 任何静电场, 的位置,而与路径无关。这一特性叫做静电场的保守性 静电场的保守性。 的位置,而与路径无关。这一特性叫做静电场的保守性。
U P = U P∞ = U P − U ∞ = ∫
∞ P
v v E ⋅ dl
在实际问题中, 在实际问题中,也常常 选地球的电势为零电势 电势差与电势的零点选 取无关。 取无关。
5
电势差和电势的单位相同,在国际单位制中, 电势差和电势的单位相同,在国际单位制中, 电势的单位为:焦耳/库仑 记作J/C), 库仑( ),也称 电势的单位为:焦耳 库仑(记作 ),也称 为伏特( ),即 = 为伏特(Volt,V),即1V=1J/C ), 因此,当已知电势分布时, 因此,当已知电势分布时,可用电势差求出 点电荷在电场中移动时电场力所做的功: 点电荷在电场中移动时电场力所做的功: v Q v A PQ = q 0 ∫ E ⋅ d l = q 0 ( U P − U Q )
集的地方,场强较大。等势面较稀疏的地方,场强较小。 集的地方,场强较大。等势面较稀疏的地方,场强较小。
+q
−q
13
2 电势梯度 的邻近等势面, 电势分别为 U 和 U + ∆U的邻近等势面,其电力线 与二等势面分别相交于P 与二等势面分别相交于 、Q,两点间的垂直距离 , 又等势面法向指向电势升高的方向。 为 P Q = ∆n ,又等势面法向指向电势升高的方向。
考虑任一 矢量。 等势面之间有 ∆l 矢量。 v v ∆l ∆n方向之 间
v E
考 方 向 虑 任 一
U
v 方向, l 方向,在两个 v
P
v ∆l
U + ∆U
v ∆n
Q
θ。
v n
∴ ∆n = ∆l cosθ v 势在 l 方向
∆U ∆U ∆n = ∆l ∆n ∆l
∂U ∂U cos θ = − E n cos θ = − E l ∴ = ∂l ∂n
Q
P
q0 q dA = ∫ dr 2 P 4πε r 0
Q
做功与路径无关
q0q 1 1 ( ) = − 4 πε 0 rP rQ
* 对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带
电体,可看成是由无数电荷元组成, 电体,可看成是由无数电荷元组成,由场强叠加原理 可得到电场强度的线积分(移动单位电荷的功) 可得到电场强度的线积分(移动单位电荷的功)为: v v Qv v Qv v Q v v ∫ E ⋅ dr = ∫ E ⋅ dl = ∫ ( E1 + E2 + L + En )dl
Q dA MN
v v = E ⋅ d l = Edl cos θ = 0
∴θ = π / 2
M
电力线的方向指向电势降落的方向。 电力线的方向指向电势降落的方向。
因沿电力线方向移动正电荷场力做正功,电势能减少。 因沿电力线方向移动正电荷场力做正功,
规定两个相邻等势面的电势差相等, 规定两个相邻等势面的电势差相等,所以等势面较密 两个相邻等势面的电势差相等
p
U =
∫
p' p
v v E ⋅ dl +
∫
p0 p'
v v E ⋅ dl = 0 +
∫
p0 p'
λ dr 2πε 0 r
r p
λ −λ −λ ln r + ln r0 = ln r + C = 2πε 0 2πε 0 2πε 0
由此例看出, 由此例看出,当电荷分布扩展到无穷 远时,电势零点不能再选在无穷远处。 远时,电势零点不能再选在无穷远处。
QK
7
λ 已知场强为 E 场强为: 方向垂直于带电直线。 已知场强为: = 方向垂直于带电直线。 2πε 0 r 电荷线密度
例三、 例三、求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布
若仍然选取无穷远为电势零点, 若仍然选取无穷远为电势零点,则由积分可知各点电势将为 无限大而失去意义。此时, 无限大而失去意义。此时,我们可以选取某一距带电直导线 点为电势零点, 为 r0的 p0 点为电势零点,则距带电直线为 r 的 点的电势
2
p
v v r+ r θ +q v l
r− − r+ q Up = ( )= 4πε 0 r+ r− 4πε 0 q