3 章末高效整合

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．斜率为4的直线经过点A (3,5)，B (a,7)，C (－1，b )三点，则a ，b 的值为( )A ．a ＝72，b ＝0 B ．a ＝－72，b ＝－11 C ．a ＝72，b ＝－11 D ．a ＝－72，b ＝11 解析： 由7－5a －3＝4得a ＝72，由b －5－1－3＝4得b ＝－11. 答案： C2．过点P (－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．2x ＋y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0解析： 设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0(m ≠3)，将x ＝－1，y ＝3代入得－1－2×3＋m ＝0，解得m ＝7，故所求直线方程为x －2y ＋7＝0.答案： D3．无论m ，n 取何实数，直线(3m －n )x ＋(m ＋2n )y －n ＝0都过一定点P ，则P 点坐标为( )A ．(－1,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，35 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，37 解析： 方程可化为m (3x ＋y )＋n (－x ＋2y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝0，－x ＋2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－17，y ＝37.故P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，37. 答案： D4．已知两点A (－2,0)，B (0,4)，则线段AB 的垂直平分线的方程为( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y ＋4＝0C ．x ＋2y －3＝0D ．x －2y ＋5＝0解析： k AB ＝4－00－－＝2，AB 的中点为(－1,2)，∴所求直线方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0. 答案： C5．过点P (4，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析： 截距为0时，直线方程为3x ＋4y ＝0；截距不为0时，直线方程为x ＋y －1＝0， 答案： B6．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是( )A ．1B ．－3C ．1或53D ．－3或173解析： 由点到直线的距离公式得，4＝|10－12k ＋6|52＋122＝|16－12k |13，解得k ＝173或k ＝－3.答案： D7．等腰Rt △ABC 的直角顶点为C (3,3)，若点A 的坐标为(0,4)，则点B 的坐标可能是( )A ．(2,0)或(4,6)B ．(2,0)或(6,4)C ．(4,6)D ．(0,2)解析： 设B 点坐标为(x ，y )，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ k AC ·k BC ＝－1，|BC |＝|AC |，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－43－0·y －3x －3＝－1，x －2＋y －2＝－2＋－2， 整理可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝6，故B (2,0)或B (4,6)．答案： A8．已知直线mx ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋n ＝0互相垂直，垂足为(1，p )，则m ＋n －p 等于( )A ．0B ．4C ．20D ．24解析： 由两直线垂直得－m 4·25＝－1， 解得m ＝10.直线为10x ＋4y －2＝0.又∵垂足为(1，p )，∴10＋4p －2＝0，∴p ＝－2，∴2＋10＋n ＝0，∴n ＝－12.∴m ＋n －p ＝10－12＋2＝0.答案： A9．如图，在同一直角坐标系中表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a ，正确的是( )解析： 假定y ＝ax 与y ＝x ＋a 中的一条直线的图象正确，验证另一条是否合适． 答案： C10．若两平行直线2x ＋y －4＝0与y ＝－2x －k －2的距离不大于5，则k 的取值范围是( )A ．[－11，－1]B ．[－11,0]C ．[－11，－6)∪(－6，－1]D ．[－1，＋∞)解析： y ＝－2x －k －2可化为2x ＋y ＋k ＋2＝0， 由题意，得|k ＋2＋4|22＋12＝|k ＋6|5≤5， 且k ＋2≠－4即k ≠－6，得－5≤k ＋6≤5，即－11≤k ≤－1，且k ≠－6.选C.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)11．在直线y ＝－2上有一点P ，它到点A (－3,1)和点B (5，－1)的距离之和最小，则点P 的坐标是________．解析： 点B (5，－1)关于直线y ＝－2的对称点为C (5，－3)，直线AC 的方程为x ＋2y ＋1＝0，直线AC 与直线y ＝－2的交点为(3，－2)，即为所求点P 的坐标．答案： (3，－2)12．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l 的方程为________．解析： 设直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，在x ，y 轴上的截距分别为－6b ，b ，故12|－6b |·|b |＝3，解得b ＝±1，于是直线l 的方程为x －6y ＋6＝0，或x －6y －6＝0.答案： x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝013．直线x ＋y －1＝0关于直线x －2＝0对称的直线方程为________．解析： 设P (x ，y )是所求直线上任意一点，则P 关于直线x －2＝0的对称点为P ′(4－x ，y )，代入已知直线方程可得．答案： x －y －3＝014．若直线m 被两条平行线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y ＋3＝0所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是：①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案序号)．解析： 两条平行线间的距离为d ＝|3－1|2＝2，所以直线m 与l 1的夹角为30°，又l 1的倾斜角为45°，所以直线m 的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.答案： ①⑤三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求经过直线l 1：2x ＋3y －5＝0，l 2：3x －2y －3＝0的交点且平行于直线2x ＋y －3＝0的直线方程．解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －5＝0，3x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1913，y ＝913，由平行于2x ＋y －3＝0可得直线的斜率为－2，∴直线方程为y －913＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1913， 即26x ＋13y －47＝0.16．(本小题满分12分)(1)已知直线方程为(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0，求证：不论m 为何实数，此直线必过定点；(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线的方程． 解析： (1)证明：直线方程可写为m (x －2y －3)＋2x ＋y ＋4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －3＝02x ＋y ＋4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1y ＝－1，∴点(－1，－2)适合方程(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0，因此，直线(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0过定点(－1，－2)．(2)设过点(－1，－2)所引的直线与x 轴、y 轴分别交于A (a,0)，B (0，b )点， ∵(－1，－2)是线段AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋02＝－1，0＋b 2＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2b ＝－4， ∴所求直线方程为x －2＋y －4＝1，即2x ＋y ＋4＝0. 17．(本小题满分12分)已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)；(2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解析： (1)由条件知m 2－8＋n ＝0，且2m －m －1＝0，∴m ＝1，n ＝7.(2)由m ·m －8×2＝0，得m ＝±4.由8×(－1)－n ·m ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4n ≠－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－4n ≠2.即m ＝4，n ≠－2时，或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2.(3)当且仅当m ·2＋8·m ＝0，即m ＝0时，l 1⊥l 2，又－n 8＝－1，∴n ＝8. 即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2且l 1在y 轴上的截距为－1.18．(本小题满分14分)已知△ABC 的三个顶点A (4，－6)，B (－4，0)，C (－1,4)． 求：(1)AC 边上的高BD 所在直线方程；(2)BC 边的垂直平分线EF 所在直线方程；(3)AB 边的中线的方程．解析： (1)直线AC 的斜率k AC ＝－6－44－－＝－2， ∴直线BD 的斜率k BD ＝12， ∴直线BD 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x －2y ＋4＝0. (2)∵直线BC 的斜率k BC ＝4－0－1－－＝43，∴EF 的斜率k EF ＝－34. 又线段BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，2， ∴EF 的方程为y －2＝－34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋52， 即6x ＋8y －1＝0.(3)AB 的中点M (0，－3)，∴直线CM 的方程为y ＋34＋3＝x －1， 即7x ＋y ＋3＝0(－1≤x ≤0)．。