数学异构异模复习第六章数列6.3.1等比数列的概念及
等比数列的定义和性质等差数列和等比数列的区别和联系
等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
1、定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。
2、性质：在等比数列｛a n｝中，有（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a m a n=a p a q；当m+n=2p时，a m a n=a p2；（2）若m，n∈N*，则a m=a n q mn；（3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列；（4）下标成等差数列的项构成等比数列；（5）1）若a1＞0，q＞1，则｛a n｝为递增数列；2）a1＜0，q＞1，则｛a n｝为递减数列；3）a1＞0，0＜q＜1，则｛a n｝为递减数列；4）a1＜0，0＜q＜1，则｛a n｝为递增数列；5）q＜0，则｛a n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a n｝为常数列。
3、证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或a n2=a n1a n+1）。
等比数列的性质：在等比数列｛a n｝中，有（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则a m a n=a p a q；当m+n=2p时，a m a n=a p2；（2）若m，n∈N*，则a m=a n q mn；（3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列；（4）下标成等差数列的项构成等比数列；（5）1）若a1＞0，q＞1，则｛a n｝为递增数列；2）a1＜0，q＞1，则｛a n｝为递减数列；3）a1＞0，0＜q＜1，则｛a n｝为递减数列；4）a1＜0，0＜q＜1，则｛a n｝为递增数列；5）q＜0，则｛a n｝为摆动数列；若q＝1，则｛a n｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：如何证明一个数列是等比数列：证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或a n2=a n1a n+1）。
(精品等比数列知识点总结
(精品等比数列知识点总结等比数列是数学中的一个重要概念，它在代数、几何等学科中都有广泛的应用。
下面是精品等比数列的知识点总结：一、等比数列的定义等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比相等的数列。
通常用a1，a2，a3，…，an表示一个等比数列，其中a1是首项，r是公比。
例如，1，2，4，8，16，32，64，...就是一个等比数列，其中首项a1=1，公比r=2二、等比数列的通项公式等比数列的通项公式是指通过首项和公比可以求得数列中任意一项的公式。
通项公式为：an=a1 * r^(n-1)其中，an表示数列中的第n项，a1表示首项，r表示公比。
例如，对于数列1，2，4，8，16，32，64，...，我们可以通过n来求得数列中的任意一项。
其中，首项a1=1，公比r=2，假设要求第6项，代入公式中得到a6=1*2^(6-1)=32三、等比数列的性质1.公比为零或负数时，数列不存在。
当公比r为0时，根据通项公式，数列中的所有项都为0，而等比数列至少要有一个非零项；当公比r为负数时，根据通项公式，数列中的项会在正负之间来回变换，不满足等比数列的定义。
2.公比大于1或小于-1时，数列的项会随着n的增大趋于无穷大或无穷小。
当公比r大于1时，数列中的项会随着n的增大趋于无穷大；当公比r小于-1时，数列中的项会随着n的增大趋于无穷小。
3.公比介于-1和1之间时，数列的项会趋于0。
当公比r介于-1和1之间时，数列中的项会随着n的增大趋于0。
4.等比数列的和等比数列的所有项的和称为等比数列的和，记作Sn。
当公比r为1时，等比数列变为等差数列，求和公式为：Sn=n*(a1+an)/2当公比r不为1时，等比数列的和公式为：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中n为项数。
四、等比数列的常见应用1.等比数列在财务和投资领域的应用等比数列的通项公式可以用于计算利息复利，投资收益率等问题，帮助分析和预测资金的增长趋势。
等比数列的概念
等比数列的概念等比数列是数学中常见的一种数列形式，也是数列研究中的基础概念之一。
它具有一定的规律性和特殊的增长方式，其中的每一项都是前一项与公比的乘积。
本文将围绕等比数列的概念展开，探讨其定义、性质以及应用。
一、定义等比数列是指数列中每一项等于其前一项与公比的乘积。
通常用a，ar，ar^2，ar^3，……表示其中的项。
其中，a为首项，r为公比，n为项数。
二、性质1. 比值性质：等比数列中任意两项的比值都相等，即对于任意的正整数i，j，有an/aj = a(i-j)2. 通项公式：对于等比数列中的第n项an，可以利用首项和公比的值来求解通项公式。
通项公式为an = ar^(n-1)3. 等比数列的和：等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式求解：Sn = a(1 - r^n)/(1 - r)4. 当公比r在区间(-1,1)之间时，等比数列的项数趋于无穷大时，其和会收敛到一个有限值。
而当公比r大于1或小于-1时，等比数列的和则会趋向于正无穷或负无穷。
这一性质在数学和实际问题中都有重要的应用。
三、应用1. 财务问题：在一些财务问题中，等比数列可以用来描述投资的复利增长情况。
例如，银行中的定期存款，每年的利息都是本金的一定比例。
2. 自然科学：在自然科学中，一些循环性或增长性的现象也可以通过等比数列来描述。
例如，生物中的菌落扩张、细胞分裂等。
3. 几何问题：等比数列在几何问题中也有重要的应用。
例如，在一些几何图形的构造中，通过等比数列可以得到一些特殊的比例关系。
另外，用等比数列可以计算球体的体积、三角形的面积等。
4. 理财规划：在个人理财规划中，等比数列也有一定的应用。
例如，通过等比数列可以计算每年的收入增长情况，以制定更为合理的财务计划。
总结：等比数列是数学中一种常见的数列形式，它具有一定的规律性和特殊的增长方式。
通过等比数列的定义、性质以及应用的讨论，我们可以更加全面地理解和应用等比数列。
无论是在数学学习中还是实践中，掌握好等比数列的概念对于解决问题具有重要的意义。
等比数列概念
等比数列是数学中常见的数列类型之一。
在等比数列中，每个项都是前一项与一个常数的乘积得到的。
这个常数被称为公比，通常用字母"r" 表示。
等比数列的概念对于解决许多数学问题都非常重要。
在本文中，我们将深入探讨等比数列的概念，并提供一些实例来帮助你更好地理解它。
等比数列的一般形式可以表示为a，ar，ar^2，ar^3，...，其中a 是首项，r 是公比。
首项是数列中的第一个数，而公比表示相邻两项的比值。
例如，考虑以下等比数列：2，4，8，16，32，...，其中首项a = 2，公比r = 2。
我们可以使用公式an = a * r^(n-1) 来找到数列中的任意一项，其中n 表示项数。
使用这个公式，我们可以计算出数列中的第五项：a5 = 2 * 2^(5-1) = 2 * 2^4 = 2 * 16 = 32因此，数列中的第五项是32。
现在让我们通过一个实际的例子来解释等比数列的应用。
假设你存款了1000 元到银行，并且银行以5% 的年利率计算复利。
你想知道在未来几年中你的存款会如何增长。
我们可以使用等比数列来表示每年的存款金额。
首先，我们知道首项a = 1000，公比r = 1 + 5% = 1.05。
现在让我们计算前五年的存款金额：第一年：a1 = 1000第二年：a2 = a1 * r = 1000 * 1.05 = 1050第三年：a3 = a2 * r = 1050 * 1.05 = 1102.5第四年：a4 = a3 * r = 1102.5 * 1.05 = 1157.63第五年：a5 = a4 * r = 1157.63 * 1.05 = 1215.51因此，在未来的五年中，你的存款金额将从1000 元增长到1215.51 元。
总结一下，等比数列是一种常见的数列类型，其中每个项都是前一项与一个常数的乘积得到的。
了解等比数列的概念和应用可以帮助我们解决各种数学问题，从计算数列中的特定项到解决复利问题。
等比数列知识点总结
等比数列知识点总结等比数列是数学中常见的数列之一，它的特点是每个数都是前一个数乘以同一个常数，这个常数被称为公比。
接下来我们来总结一下与等比数列相关的一些重要知识点。
1. 等比数列的定义等比数列是指数列中的每一项与它的前一项的比都相等的数列。
换句话说，对于等比数列 {a1, a2, a3, ...}，对于任意项 ai，都有 ai+1/ai=d，其中 d 是公比。
2. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式用来表示数列中的任意一项。
对于等比数列{a1, a2, a3, ...}，通项公式为 an = a1 * r^(n-1)，其中 a1 是首项，r 是公比，n 是项数。
3. 等比数列前 n 项和的公式等比数列的前 n 项和常用的公式是 Sn = a1 * (1 - r^n)/(1 - r)，其中Sn 是前 n 项的和。
4. 公比的取值范围公比的取值范围决定了等比数列的性质。
当公比 r 大于 1 时，数列递增；当公比 0<r<1 时，数列递减。
当 r 等于 1 时，数列退化成一个等差数列。
5. 等比中项的求解等比中项指的是等比数列中位于首项和末项之间的项。
通过等比数列的通项公式和前 n 项和的公式，我们可以求解等比数列中的中项。
6. 连续等比数列的求和连续等比数列是指等比数列中取任意项相邻的若干项组成的子数列。
对于连续等比数列，我们可以利用等比数列的前 n 项和的公式，将整个数列的和拆分成若干个连续子数列的和，从而求解整个数列的和。
7. 应用举例等比数列在实际问题中有广泛的应用。
例如，经济增长、人口增长、利润增长等都可以使用等比数列来进行建模和分析。
通过等比数列的性质和公式，我们可以更好地理解这些现象，并进行预测和决策。
总结：等比数列作为数学中常见的数列之一，具有重要的概念和公式。
深入理解等比数列的性质和应用对于解决和理解各种实际问题非常有帮助。
希望以上对于等比数列知识点的总结能够对你的学习和理解有所帮助。
高考数学异构异模复习第六章数列6.1.1数列的概念及表示方法课件文
2 数列的表示方法
列表法 图象法
列表格表达 n 与 an 的对应关系 把点 (n，an) 画在平面直角坐标系中
通项公式
把数列的通项用 公式 表达的方法
公式法
递推公式 使用初始值 a1 和 an＋1＝f(an)或 a1，a2 和 an＋1＝f(an，an－1)等表达数列的方法
3 数列的分类
分类原则 按项数分类
一、“超前思考，比较听课”
什么叫“超前思考，比较听课”？简单地说，就是同学们在上课的时候不仅要跟着老师的思路走，还要力争走在老师思路的前面，用自己的思路和老师的思路进行对 比，从而发现不同之处，优化思维。
比如在讲《林冲棒打洪教头》一文，老师会提出一些问题，如林冲当时为什么要戴着枷锁？林冲、洪教头是什么关系？林冲为什么要棒打洪教头？••••••
(2)①各项减去 1 后为正偶数，所以 an＝2n＋1. ②将数列改写为1×2 2，2×2 3，3×2 4，4×2 5，5×2 6，…因而有 an＝nn＋2 1，也可逐差法 a2－a1＝2，a3 －a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，各式累加得 an＝nn＋ 2 1. ③奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4，…； 而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3， 即奇数项为 2－1，偶数项为 2＋1， 所以 an＝(－1)n·2＋n－1n.
②作商比较法：当 an>0 时，则aan＋n 1>1⇔数列{an}是单调递增数列；aan＋n1<1⇔数列{an}是单调递减数列； aan＋n 1＝1⇔数列{an}是常数列．
当 an<0 时，则aan＋n 1>1⇔数列{an}是单调递减数列；aan＋n1<1⇔数列{an}是单调递增数列；aan＋n 1＝1⇔数列{an} 是常数列．
等比数列中知识点总结
等比数列中知识点总结一、等比数列的概念等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
具体而言，如果一个数列满足an=ar^(n-1)，其中a是首项，r是公比，n是项数，那么这个数列就是等比数列。
公比r是等比数列中相邻两项的比值，它代表着数列中每一项与前一项的比例关系。
二、等比数列的通项公式对于等比数列an=a1*r^(n-1)，我们可以通过求出前n项和来求解其通项公式。
等比数列的前n项和Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。
通过这两个公式，我们可以方便地求解等比数列的通项公式，从而推导出数列中任意一项的值。
三、等比数列的性质1. 等比数列的前n项和公式在等比数列中，前n项和Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中a1是首项，r是公比，n是项数。
这个公式可以帮助我们快速计算出数列的前n项和，从而对数列进行更深入的分析和应用。
2. 等比数列的性质等比数列具有许多重要的性质，例如任意一项与它的前一项的比值都是相等的，序列中相邻两项的比值等于公比r等。
这些性质使得等比数列可以在实际问题中被广泛地应用，例如在金融、生物、工程等领域中。
3. 等比数列的图像等比数列的图像是一条直线，其斜率等于公比r。
通过绘制等比数列的图像，我们可以更直观地理解数列中项与项之间的比例关系，从而更深入地理解等比数列的性质和应用。
四、等比数列的应用等比数列在实际问题中有许多重要的应用，下面我们就来介绍一些常见的应用领域。
1. 财务投资在财务投资中，等比数列可以用来描述利息的增长规律。
例如，如果某个投资方案的收益率是一个固定的百分比，那么这个投资方案的收益可以用等比数列来描述。
通过等比数列的通项公式，我们可以轻松地计算出不同时间段内的收益总额。
2. 生物学在生物学研究中，等比数列可以用来描述生物种群的增长规律。
例如，如果某种动植物的数量每一代都以相同的比例增长，那么这个生物种群的数量可以用等比数列来描述。
通过等比数列的通项公式，我们可以预测未来某一时刻该种群的数量。
2019高考数学异构异模复习 第六章 数列 课时撬分练6.1 数列的概念及其表示 理.doc
2019高考数学异构异模复习 第六章 数列 课时撬分练6.1 数列的概念及其表示 理1.[2016·衡水二中月考]数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大值是( )A ．310B ．19 C.119D.1060答案 C 解析 因为a n ＝1n ＋90n ，运用基本不等式得，1n ＋90n≤1290，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或10时，a n ＝119最大，故选C.2．[2016·枣强中学模拟]数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝n 2C ．a n ＝n ＋12n 2D ．a n ＝n 2n －12答案 D解析 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2n －12.3．[2016·衡水二中期末]已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10等于( )A ．1B ．9C ．10D ．55答案 A解析 ∵S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝1，∴S 1＝1. 可令m ＝1，得S n ＋1＝S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝1. 即当n ≥1时，a n ＋1＝1，∴a 10＝1.4．[2016·武邑中学猜题]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1(n ∈N *)，则a 5等于( )A ．－16B ．16C ．31D ．32答案 B解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， ∴a n ＝2a n －2a n －1， ∴a n ＝2a n －1.∴{a n }是等比数列且a 1＝1，q ＝2，故a 5＝a 1×q 4＝24＝16.5．[2016·冀州中学仿真]已知数列{a n }满足a 0＝1，a n ＝a 0＋a 1＋…＋a n －1(n ≥1)，则当n ≥1时，a n 等于( )A ．2nB.12n (n ＋1) C ．2n －1D ．2n－1答案 C解析 由题设可知a 1＝a 0＝1，a 2＝a 0＋a 1＝2. 代入四个选项检验可知a n ＝2n －1.故选C.6.[2016·武邑中学预测]已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫78n，则当a n 取得最大值时，n 等于( )A ．5B ．6C ．5或6D ．7答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫78n －1，n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ≥n ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫78n ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5.∴n ＝5或6.7．[2016·衡水二中模拟]在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n ＋1，则数列的通项a n ＝________.答案 n 2解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n ＋1.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝n 2(n ≥2)．当n ＝1时，也适用a n ＝n 2.8．[2016·枣强中学期末]已知数列{a n }的首项a 1＝2，其前n 项和为S n .若S n ＋1＝2S n ＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3·2n －2，n ≥2解析 由S n ＋1＝2S n ＋1，则有S n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1＝2a n ，又S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋1，a 2＝3，所以数列{a n }从第二项开始成等比数列，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3·2n －2，n ≥2.9．[2016·衡水二中仿真]已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n >1，n ∈N *，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，则S 10＝________.答案 91解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＋S n －1＝2S n ＋2，S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋2，两式相减得a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1(n ≥2)，∴数列{a n }从第二项开始为等差数列，当n ＝2时，S 3＋S 1＝2S 2＋2，∴a 3＝a 2＋2＝4，∴S 10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋92＋182＝91.10.[2016·枣强中学期中]如图所示的图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是________．答案n n ＋12解析 由已知，有a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10， ∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n ， 各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ， 即a n ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋12，故第n 个图形中小正方形的个数是n n ＋12.11．[2016·衡水二中热身]已知数列{a n }满足：a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1(n ∈N *，n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)这个数列从第几项开始及以后各项均小于11000？解 (1)n ≥2时，a n a n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1， 故a n ＝a n a n －1·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2＋…＋(n －1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1n2，当n ＝1时，a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，即n ＝1时也成立．∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1n2.(2)∵y ＝(n －1)n 在[1，＋∞)上单调递增，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1n2在[1，＋∞)上单调递减．当n ≥5时，n －1n2≥10，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1n2≤11024. ∴从第5项开始及以后各项均小于11000. 12．[2016·武邑中学仿真]设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)依题有⎩⎪⎨⎪⎧S 1＝a 1＝2a 2－3－4，S 2＝a 1＋a 2＝4a 3－12－8，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝15，解得a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7. (2)∵S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，①∴当n ≥2时，S n －1＝2(n －1)a n －3(n －1)2－4(n －1)．② ①－②并整理得a n ＋1＝2n －1a n ＋6n ＋12n.由(1)猜想a n ＝2n ＋1，下面用数学归纳法证明． 当n ＝1时，a 1＝2＋1＝3，命题成立； 假设当n ＝k 时，a k ＝2k ＋1命题成立． 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2k －1a k ＋6k ＋12k＝2k －12k ＋1＋6k ＋12k＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋1， 即当n ＝k ＋1时，结论成立． 综上，∀n ∈N *，a n ＝2n ＋1.能力组13.[2016·衡水二中预测]已知数列{a n }满足条件12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n ＋1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14n ＝12n ＋1n ≥2C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n ＋2答案 B解析 由题意可知，数列{a n }满足条件12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5，则12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n －1a n －1 ＝2(n －1)＋5，n >1，两式相减可得：a n2n ＝2n ＋5－2(n －1)－5＝2，∴a n ＝2n ＋1，n >1，n ∈N *.当n ＝1时，a 12＝7，∴a 1＝14，综上可知，数列{a n }的通项公式为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14n ＝1，2n ＋1n ≥2.故选B.14．[2016·枣强中学月考]在如图所示的数阵中，第9行的第2个数为________．答案 66解析 每行的第二个数构成一个数列{a n }，由题意知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝11，a 5＝18，则a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…，a n －a n －1＝2(n －1)－1＝2n －3，各式两边同时相加，得a n －a 2＝2n －3＋3×n －22＝n 2－2n ，即a n ＝n 2－2n ＋a 2＝n 2－2n ＋3(n ≥2)，故a 9＝92－2×9＋3＝66.15．[2016·衡水二中猜题]已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n . (1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)． ∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧23n ＝11nn ≥2.(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－12n ＋32n ＋2<0，∴{c n }是递减数列．16．[2016·枣强中学预测]设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式；(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 解 (1)a 2＝2，a 3＝2＋1.再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0公差为1的等差数列，故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)设f (x )＝x －12＋1－1，则a n ＋1＝f (a n )．令c ＝f (c )，即c ＝c －12＋1－1，解得c ＝14.下用数学归纳法证明加强命题a 2n <c <a 2n ＋1<1. 当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (0)＝2－1， 所以a 2<14<a 3<1，结论成立．假设n ＝k 时结论成立，即a 2k <c <a 2k ＋1<1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数， 从而c ＝f (c )>f (a 2k ＋1)>f (1)＝a 2，即1>c >a 2k ＋2>a 2.再由f (x )在(－∞，1]上为减函数得c ＝f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1. 故c <a 2k ＋3<1，因此a 2(k ＋1)<c <a 2(k ＋1)＋1<1. 这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．综上，符合条件的c 存在，其中一个值为c ＝14.。
等比数列的概念与计算
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适用范围：适用于等比数列的前n 项和公式的推导
注意事项：在应用错位相减法时活中的应用
储蓄和投资：等比数列可以用于计算复利，评估投资回报。 贷款和债务：利用等比数列理解利率如何增长，以及如何制定还款计划。 计算机科学：在数据压缩、加密和网络流量分析中，等比数列有重要应用。 物理学：在量子力学和统计学中，等比数列用于描述粒子的能级和分布。
适用范围：适用于已知首项、公比或项数的等比数列
计算步骤：a. 确定首项、公比或项数 b. 选择适当的公式进行计算 c. 得出结果
注意事项：a. 计算时要注意各项的正负号 b. 当公比为1时，等比数列变为常数列 c. 当n为 奇数时，等比数列的和等于中间项的n倍
公式法
等比数列的通项公式：an=a1*q^(n-1) 等比数列的求和公式：Sn=a1/(1-q) 等比数列的公比计算公式：q=an/a(n-1) 等比数列的项数计算公式：n=log(an/a1)/log(q)
等比数列的表示方法
用符号表示：a_n=a_1*q^(n-1)， 其中a_1是首项，q是公比，n是项 数。
举例说明：如果数列3、6、12、24、 48……就是等比数列，因为从第二项 起，每一项与它的前一项的比都是2。
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用文字表示：一个数列，从第二项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个 常数，这个数列就叫做等比数列。
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什么是等比数列
等比数列的定义：一个数列，从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数。 等比数列的特点：每一项与它的前一项的比值都相等，且这个比值是一个常数。 等比数列的表示方法：通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比。 等比数列的应用：在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，如组合数学、概率论、统计学等。
等比数列的概念及性质
一、知识梳理1、等比数列的概念：2、等比中项：3、等比数列的判定方法：①定义法：对于数列，若，则数列是等比数列；②等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列；③通项公式法：对于数列，若，则数列是等比数列。
4、等比数列的通项公式：5、等比数列的前n项和公式：【小秘书】（1）当公比不确定时，必须分情况进行讨论；（2）当时，前n项和必须具备形式。
6、等比数列的性质：（1）若是等比数列，则；（）（2）若是等比数列，，当时，特别地，当时，（3）若是等比数列，则下标成等差数列的子数列构成等比数列；（4）若数列是等比数列，是其前n项的和，，一般地，，，也成等比数列。
如下图所示：（5）两个等比数列与的积、商、倒数构成的数列、、仍为等比数列。
二、典型例题分析等比数列基础知识与性质应用【例1】已知为等比数列，，则。
【例2】已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数。
【例3】已知数列的首项，，…．证明：数列是等比数列。
【例4】已知等比数列中，公比，且，那么= 。
【例5】各项均为正数的等比数列的前项和为为，若，，则= 。
练兵场：1、已知等比数列的前项和( 是非零常数),则数列是( )等差数列等比数列等差数列或等比数列非等差数列2、若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”。
甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列。
则下列说法正确的是（）甲是乙的充分非必要条件甲是乙的必要非充分条件甲是乙的充要条件甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件3、如果是与的等差中项，是与的等比中项，且都是正数，则（）4、(02上海)若数列中，（n是正整数），则数列的通项。
5、若实数数列是等比数列，则。
6、数列中，是公比为的等比数列，满足，则公比的取值范围是。
7、已知为等比数列前项和，，，公比，则项数。
8、等比数列中，，，则= 。
9、已知等比数列中，，则。
10、已知为等比数列前项和，，，则。
11、在等比数列中，已知，，则该数列前项的和。
高三数学等比数列知识点
高三数学等比数列知识点数学在高中阶段是一个重要的学科，其中等比数列也是其中的一个重要知识点。
等比数列是数学中常见的数列类型之一，它的每一项与前一项的比值都相等。
在高三数学中，学生需要掌握等比数列的基本概念、性质和应用。
本文将分为以下几个部分介绍高三数学等比数列的相关知识。
一、等比数列的基本概念等比数列是指一个数列中的每一项与其前一项的比值相等。
具体而言，对于一个等比数列a₁, a₂, a₃, ...，相邻的两项之间满足如下关系：a₂ / a₁ = a₃ / a₂ = a₄ / a₃ = ...这个比值称为等比数列的公比，通常用字母q表示。
此外，等比数列的第一项a₁和公比q也是等比数列的两个重要要素。
二、等比数列的性质1. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以通过观察数列的规律得到。
对于一个等比数列a₁, a₂, a₃, ...，其中a₁为首项，q为公比，数列的通项公式为：aₙ = a₁ * q^(n-1)其中，aₙ表示数列的第n项。
这个公式可以方便地计算数列中任意一项的值。
2. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和是指数列中前n项的和值。
对于一个等比数列a₁, a₂, a₃, ...，其前n项和Sₙ的计算公式为：Sₙ = a₁ * (1 - q^n) / (1 - q)这个公式是通过数列的首项、公比和项数来计算前n项和的值。
3. 等比数列的性质等比数列具有一些重要的性质，包括：（1）等比数列中，任意两项的比值都是相等的。
（2）等比数列当公比q大于1时，数列会呈现出递增的规律；当公比q小于1且大于0时，数列会呈现出递减的规律。
（3）等比数列中，如果首项a₁大于0且公比q大于1，数列会趋向无穷大；如果首项a₁大于0且公比q小于1且大于0，数列会趋向0。
（4）等比数列中，相邻两项之间的比值等于公比的平方。
三、等比数列的应用1. 等比数列在实际生活中的应用等比数列在现实生活中有许多应用。
例如，财务领域中的利息计算、人口增长的模型、物理领域的衰减和增长模型等都可以用等比数列来进行建模和计算。
统考版2022届高考数学一轮复习第六章6.3等比数列及其前n项和学案理含解析 (1)
第三节等比数列及其前n项和【知识重温】一、必记6个知识点1．等比数列及其相关概念若等比数列{a n}的首项是a1，公比是q，则其通项公式为⑥________________(n∈N*)．3．等比数列的前n项和公式(1)当公比q＝1时，S n＝⑦________.(2)当公比q≠1时，S n＝⑧____________＝⑨________.4．项的性质(1)a n＝a m q n－m.(2)a m－k a m＋k＝a2m(m>k，m，k∈N*)．(3)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则a m·a n＝⑩____________＝a2k.(4)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，{|a n |}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n (λ≠0)仍然是等比数列．(5)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，则a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k ，…为等比数列，公比为q k .5．和的性质 (1)S m ＋n ＝S n ＋q n S m .(2)若等比数列{a n }共2k (k ∈N *)项，则S 偶S 奇＝q .(3)公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，⑪____________仍成等比数列，其公比为q n ，当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，⑫____________不一定构成等比数列．6．等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }是⑬________数列．(2)满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是⑭________数列．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }为⑮________数列．(4)当q <0时，{a n }为摆动数列． 二、必明2个易误点1．在等比数列中易忽视每项与公比都不为0.2．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( ) 二、教材改编2．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝54，a 2＋a 4＝52，则q ＝( )A.12 B ．4 C ．2 D.143．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11三、易错易混4．[2021·某某模拟]等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝18，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或－125．[2021·东北三省联合模拟]等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列{a n }的前9项和是( )A ．9B ．10C ．81D ．90四、走进高考6．[2020·全国卷Ⅱ]记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n＝( )A ．2n －1B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n －1考点一等比数列的基本运算[自主练透型]1．[2019·全国卷Ⅲ]已知各项均为正数的等比数列 {a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝ ( )A ．16B ．8C ．4D ．22．[2021·武昌区高三调研]已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝1，a 3＝2a 2＋3，则a n ＝( )A ．3n －2B ．3n －1C ．2n －1D ．2n －23．[2021·某某市高三调研考试试题]等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比为q ，若S 6＝9S 3，S 5＝62，则a 1＝( )A.2 B ．2 C.5 D ．34．[2021·某某九校联考]已知正项等比数列{a n }满足a 3＝1，a 5与32a 4的等差中项为12，则a 1的值为________．悟·技法等比数列的基本运算方法(1)等比数列可以由首项a 1和公比q 确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a 1和q 进行．(2)对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程(组)求出a 1，q .如果再给出这三个条件就可以完成a n ，a 1，q ，n ，S n 的“知三求二”问题．[注意] 等比数列求和要讨论q ＝1和q ≠1两种情况. 考点二 等比数列的判定与证明[互动讲练型][例1] [2019·全国卷Ⅱ]已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式． 悟·技法等比数列的4种常用判定方法[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.[变式练]——(着眼于举一反三)1．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，S n＋1＝4a n＋2.(1)设b n＝a n＋1－2a n，证明：数列{b n}是等比数列；(2)求数列{a n}的通项公式．考点三等比数列的性质及应用[分层深化型]考向一：等比数列通项的性质[例2] (1)[2021·某某揭阳模拟]已知等比数列{a n}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为( )A．4 B．6 C．8 D．－9(2)在等比数列{a n }中，a n ＞0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2…a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 考向二：等比数列前n 项和的性质[例3] (1)[2020·全国卷Ⅰ]设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8＝( )A ．12B ．24C ．30D ．32(2)[2021·某某荆州模拟]已知等比数列{a n }的公比不为－1，设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 12＝7S 4，则S 8S 4＝________.悟·技法1.掌握运用等比数列性质解题的2个技巧(1)在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a 1，q 满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和隐含的条件．(2)利用性质可以得到一些新数列仍为等比数列或为等差数列，例如：①若{a n }是等比数列，且a n >0，则{log a a n }(a >0且a ≠1)是以log a a 1为首项，log a q 为公差的等差数列．②若公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .2．牢记与等比数列前n 项和S n 相关的几个结论 (1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . ①若共有2n 项，则S 偶：S 奇＝q ；②若共有2n ＋1项，则S 奇－S 偶＝a 1＋a 2n ＋1q1＋q(q ≠1且q ≠－1)，S 奇－a 1S 偶＝q .(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m ⇔q n ＝S n ＋m －S nS m(q 为公比).[变式练]——(着眼于举一反三)2．[2021·某某市高三学情调研测试试题]已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝________.3．一个项数为偶数的等比数列{a n }，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则a 1＝( )A ．11B ．12C ．13D ．144．[2021·某某模拟]已知等比数列{a n }满足a 4＋a 6a 1＋a 3＝18，a 5＝4，记等比数列{a n }的前n 项积为T n ，则当T n 取最大值时，n ＝( )A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．7或8第三节 等比数列及其前n 项和【知识重温】①前一项 ②同一个常数 ③常数 ④a n ＋1a n＝q ⑤G 2＝ab ⑥a n ＝a 1q n －1⑦na 1⑧a 1(1－q n )1－q⑨a 1－a n q1－q⑩a p ·a q ⑪S 3n －S 2n ⑫S 3n －S 2n ⑬递增 ⑭递减 ⑮常【小题热身】1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 2．解析：∵a 1＋a 3＝54，a 2＋a 4＝52∴q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝2.答案：C3．解析：由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9，∴m ＝10. 答案：C4．解析：∵S 3＝18，a 3＝6，∴a 1＋a 2＝a 3q 2(1＋q )＝12，故2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.答案：C5．解析：设等差数列的公差为d ，由题意可得a 22＝a 1a 5，即(1＋d )2＝1×(1＋4d )，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，所以数列{a n }的前9项和S 9＝9a 1＋9×82d ＝9×1＋4×9×2＝81，故选C.答案：C6．解析：通解 设等比数列{a n }的公比为q ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12，a 6－a 4＝a 1q 5－a 1q 3＝24解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n －1，a n ＝a 1q n －1＝2n －1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n ，故选B.优解 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 6－a 4a 5－a 3＝a 4(1－q 2)a 3(1－q 2)＝a 4a 3＝2412＝2，所以q ＝2，所以S n a n＝a 1(1－q n )1－qa 1q n －1＝2n －12n －1＝2－21－n ，故选B. 答案：B课堂考点突破考点一1．解析：设等比数列的公比为q ， 由a 5＝3a 3＋4a 1得a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1， ∴q 2＝4，又∵a n >0，∴q ＝2，由S 4＝a 1(1－24)1－2＝15，解得a 1＝1.∴a 3＝a 1·q 2＝4，故选C. 答案：C2．解析：设数列{a n }的公比为q ，由已知得q 2＝2q ＋3，解得 q ＝3或q ＝－1，因为a n ＞0，所以q ＝3，所以a n ＝3n －1，故选B.答案：B3．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 6)1－q ＝9×a 1(1－q 3)1－qa 1(1－q 5)1－q ＝62，即⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝8a 1(1－q 5)1－q ＝62，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2a 1＝2，选B.答案：B4．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 5与32a 4的等差中项为12，所以a 5＋32a 4＝1，所以a 3q 2＋32a 3q ＝1，又a 3＝1，所以2q 2＋3q －2＝0.又数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝12，所以a 1＝a 3q2＝4. 答案：4 考点二例1 解析：(1)由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.变式练1．解析：(1)证明：由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)， ②①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)， 故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14， 故a n ＝(3n －1)·2n －2(n ∈N *)． 考点三例2 解析：(1)由题意可得a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝(－2)2＝4.故选A.(2)由分数的性质得到1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝a 8＋a 1a 8a 1＋a 7＋a 2a 7a 2＋…＋a 4＋a 5a 4a 5.因为a 8a 1＝a 7a 2＝a 3a 6＝a 4a 5，所以原式＝a 1＋a 2＋…＋a 8a 4a 5＝4a 4a 5，又a 1a 2…a 8＝16＝(a 4a 5)4，a n ＞0，∴a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝2.故选A.答案：（1）A （2）A例3 解析：(1)解法一 设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 2＋a 3＋a 4a 1＋a 2＋a 3＝(a 1＋a 2＋a 3)q a 1＋a 2＋a 3＝q ＝2，由a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a 1＝17，所以a 6＋a 7＋a 8＝a 1(q 5＋q 6＋q 7)＝17×(25＋26＋27)＝17×25×(1＋2＋22)＝32，故选D. 解法二 令b n ＝a n ＋a n ＋1＋a n ＋2(n ∈N *)，则b n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3.设数列{a n }的公比为q ，则b n ＋1b n＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝(a n ＋a n ＋1＋a n ＋2)q a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝q ，所以数列{b n }为等比数列，由题意知b 1＝1，b 2＝2，所以等比数列{b n }的公比q ＝2，所以b n ＝2n －1，所以b 6＝a 6＋a 7＋a 8＝25＝32，故选D.(2)由题意可知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，则(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)，又S 12＝7S 4，∴(S 8－S 4)2＝S4·(7S 4－S 8)，可得S 28－6S 24－S 8S 4＝0，两边都除以S 24，得⎝ ⎛⎭⎪⎫S 8S 42－S 8S 4－6＝0，解得S 8S 4＝3或－2，又S 8S 4＝1＋q 4(q 为{a n }的公比)，∴S 8S 4＞1，∴S 8S 4＝3.答案：(1)D (2)3 变式练2．解析：各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝a 32＝5，a 7a 8a 9＝a 38＝10，则a 4a 5a 6＝a 35＝a 32a 38＝52. 答案：5 23．解析：设数列{a n }的公比为q ，全部奇数项、偶数项之和分别记为S 奇、S 偶，由题意知，S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶．因为数列{a n }的项数为偶数，所以q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1·(a 1q )(a 1q 2)＝64.所以a 31q 3＝64，故a 1＝12. 答案：B4．解析：解法一 设数列{a n }的公比为q ，由a 4＋a 6a 1＋a 3＝18，得q 3＝18，则q ＝12，则a n ＝a 5·q n －5＝27－n ，从而可得T n ＝a 1·a 2·…·a n ＝26＋5＋4＋…＋(7－n )＝2n (6＋7－n )2＝212(－n 2＋13n )，所以当12(－n 2＋13n )取最大值时，T n 取得最大值，此时n ＝6或7，故选C.解法二 设数列{a n }的公比为q ，由a 4＋a 6a 1＋a 3＝18，得q 3＝18，则q ＝12，则a n ＝a 5·q n －5＝27－n ，令a n ＝1，则n ＝7，又当n <7时，a n >1，当n >7时，a n <1，T n ＝a 1·a 2·…·a n ，且a n >0，所以当n ＝6或7时，T n 取最大值，故选C.答案：C。
等比数列知识点总结及题型归纳
等比数列知识点总结及题型归纳一、等比数列的定义和性质等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
当这个比值大于1时，称为增长等比数列；当比值在0和1之间时，称为衰减等比数列。
1. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a₁，公比为r，则等比数列的第n项为：an = a₁ * r^(n-1)。
2. 等比数列的前n项和公式设等比数列的首项为a₁，公比为r，前n项和为Sn，则有：Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)。
3. 等比数列的性质（1）两项间的比值永远相等，即 an / a(n-1) = r。
（2）等比数列从第二项开始，每一项都是前一项与公比的乘积。
（3）等比数列的前n项和与公比无关，只与首项和项数有关。
二、等比数列的题型归纳1. 求等比数列的第n项已知等比数列的首项a₁和公比r，求等比数列的第n项an。
解法：根据通项公式an = a₁ * r^(n-1)进行计算。
2. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，求等比数列的前n 项和Sn。
解法：根据前n项和公式Sn = a₁ * (1 - r^n) / (1 - r)计算。
3. 求等比数列的首项或公比已知等比数列的前两项a₁和a₂，或其中一个项an和其前一项a(n-1)，求等比数列的首项a₁或公比r。
解法：通过已知项之间的比值an / a(n-1) = r，或者利用前n项和公式解方程进行计算。
4. 求等比数列的项数已知等比数列的首项a₁、公比r和第n项an，求等比数列的项数n。
解法：利用通项公式an = a₁ * r^(n-1)解方程求解n的值。
5. 求等比数列的部分项已知等比数列的首项a₁、公比r和项数n，求等比数列的部分项（例如第m项）am。
解法：利用通项公式an = a₁ * r^(n-1)计算am的值。
6. 求等比数列中的缺项已知等比数列的部分连续项，求等比数列中的缺项。
解法：通过项与项之间的比值an / a(n-1) = r进行推导，找出缺项并进行计算。
2019-2020年高考数学异构异模复习第六章数列6.3.2等比数列的性质及应用课件理
2019/7/20
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第六章 数列
第3讲 等比数列及前n项和
考点二 等比数列的性质及应用
撬点·基础点 重难点
等比数列及其前 n 项和的性质 设数列{an}是等比数列，Sn 是其前 n 项和． (1)若 m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq ，其中 m，n，p，q∈N*. 特别地，若 2s＝p＋r，则 apar＝ as2 ，其中 p，s，r∈N*. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即 ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为 qm (k，m ∈N*)．
[正解] 设连续四项为 a，aq，aq2，aq3，则由题意可知aa4qq＋6＝aq126＝，5，
解之得 q＝4 或 q＝41或 q＝－33±85
41 .
[心得体会]
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
(7)若数列{an}的项数为 2n，S 偶与 S 奇分别为偶数项与奇数项的和，则SS偶 奇＝ q ；若项数为 2n＋1，则S奇S－偶a1 ＝q.
注意点 使用性质解题时的注意事项 (1)在使用等比数列及其前 n 项和的性质时，要注意字母间的上标、下标的对应关系． (2)在等比数列中，若 am·an＝ap·aq(m，n，p，q∈N*)，则不一定有 m＋n＝p＋q 成立．如{an}是非零常 数列时，此结论就不成立.
1．思维辨析 (1)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( × ) (2)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( × ) (3)若{an}为等比数列，则 S4，S8－S4，S12－S8 成等比数列．( √ ) (4)三个数 a，b，c 成等比数列的充要条件是 b2＝ac.( × )