广东省广州市华南师大附中2018_2019学年高二数学下学期期中试题理(含解析)

合集下载

广东省华南师范大学附属中学2019届高三综合测试理数试题 Word版含解析 (1)

广东省华南师范大学附属中学2018-2019学年高三综合测试（一）（第一次月考）理数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设全集{}|2U x N x =∈≥，集合{}2|5A x N x =∈≥，则U C A =（）A ．∅B ．{}2C ．{}5D ．{}2,5【答案】B考点：1、二次不等式；2、集合的基本运算.2.“()0,10x x x ∀>->”的否定是（）A ．()0,10x x x ∀>-≤B ．0,01x x ∀<≤≤C ．()0,10x x x ∃>-≤D ．0,01x x ∃>≤≤【答案】D【解析】试题分析：原的否定为0,01x x ∃>≤≤，故选D.考点：的否定.3.设248log 3,log 6,log 9a b c ===，则下列关系中正确的是（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】A【解析】试题分析：248lg3lg 2lg32lg3log 3,log 6,log 9lg 22lg 23lg 2a b c +======⇒ 2lg3lg3lg3lg 2lg32lg 22lg 22lg 2a b ++==>=⇒3lg 23lg 3lg 33lg 34lg 36lg 26lg 26lg 2b c ++=>==⇒a b c >>,故选A.考点：1、对数的大小比较；2、对数的基本运算.4.设x R ∈，则“12x >”是“2210x x +->”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：2121012x x x +->⇔<-或x>,故“12x >”是“2210x x +->”的充分不必要条件，故选A.考点：充要条件.KS5U 5.已知()()1,41,42x f x x f x x ⎧+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩，则()2log 3f =（）A ．112B ．124C ．14D ．12【答案】B考点：分段函数.6.由曲线y =2y x =-+及x 轴所围成图形的面积是（） A ．103 B ．4 C ．76 D ．6【答案】C【解析】试题分析：32122201121237(2)|(2)|(2)32326x dx x x x +-+=+-+=+-=⎰⎰，故选C. 考点：定积分公式.7.已知函数()()20.5log 3f x x ax a =-+在[)2,+∞单调递减，则a 的取值范围是（） A ．(],4-∞ B ．[)4,+∞ C ．[]4,4-D ．(]4,4-【答案】C考点：复合函数的单调性.【方法点晴】本题主要考查复合函数的单调性，其中涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化化归能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将转化为函数23t x ax a =-+在[)2,+∞单调递增，然后结合二次函数的图象可得2223022a a a ⎧-+≥⎪⎨≤⎪⎩，从而解得44a -≤≤．数形结合思想和转化化归思想是本题的解题关键，可以化繁为简.8.函数()21log f x x =+与()12x g x -=在同一直角坐标系下的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：由(0)2g =排除B,D ，由(1)1f =排除A,故选C.考点：函数的图象.9.已知()1f x +在偶函数，且()f x 在[)1,+∞单调递减，若()20f =，则()0f x >的解集为（）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()1,2D ．()0,2【答案】D【解析】试题分析：取特殊函数2()2f x x x =-⇒()0f x >的解集为()0,2，故选D. 考点：函数的性质.10.已知函数()sin f x x x =g ，则()1113f f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、、的大小关系为（） A ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()1113f f f ππ⎛⎫⎛⎫>->-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】A考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性.【方法点晴】本题主要考查数的奇偶性、函数的单调性.，其中涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化化归能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用转化化归思想将转化即: ()1f -=(1),(),33f f f ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，然后作图，观察图像并结合单调性可得()1311f f f ππ⎛⎫⎛⎫->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．善于应用数形结合思想和转化化归思想是，方能轻松解题.KS5U 11.下列中是假的是（）A ．m R ∃∈，使()()2431m m f x m x -+=-g 是幂函数，且在()0,+∞上递减B ．函数()()21lg 14f x x a x a ⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦的值域为R ，则60a a ≤-≥或 C ．关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负根的弃要条件是1a ≤D ．函数()y f a x =+与函数()y f a x =-的图像关于直线x a =对称【答案】D【解析】试题分析：选项A 中12()m f x x -=⇒=在()0,+∞上递减成立，故为真；选项B 中函数()()21lg 14f x x a x a ⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦的值域为21(1)4R t x a x a ⇒=++-+ 与x 至少有一个交点221(1)4()604a a a a ⇒∆=+--+=+≥⇒60a a ≤-≥或，故为真；①当0a =时，显然成立．②当0a ≠时，显然方程无零根．若方程有一正一负根，则440010a a a∆=->⎧⎪⇒<⎨<⎪⎩；若方程有两负根，则440100120a a aa⎧⎪∆=-≥⎪⎪>⇒<≤⎨⎪⎪-<⎪⎩．综上，若方程至少有一个负根，则1a ≤．反之，若1a ≤，则方程至少有一个负根，因此为真．排除A 、B 、C ，故选D.考点：的真假.12.已知函数()f x 是定义在R 上的以4为周期的函数，当(]1,3x ∈-时，()(]()(]1,112,1,3x f x t x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩g，其中0t >．若函数()15f x y x =-的零点个数是5，则t 的取值范围为（）A ．2,15⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．26,55⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．61,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,+∞【答案】B考点：1、函数的周期性；2、分段函数；3、函数的零点；4、函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查函数的周期性、分段函数、函数的零点和函数的图象与性质，其中涉及数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化化归能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用数形结合思想和转化化归思想将转化为函数()f x 的图象与直线15y x =有5个交点，然后作图，观察图象可得2655x <<．数形结合思想和转化化归思想是本题的解题关键，可以四两拨千斤.KS5U第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.函数()2log 1y x =-的定义域为____________．【答案】()2,+∞【解析】试题分析：由已知可得(1)2390102log 0x x x x -⎧-≥⎪->⇒>⎨⎪≠⎩，故定义域为()2,+∞.考点：函数的定义域.14.已知集合{}{}|10,1,1A x ax B =+==-，若A B A =I ，则实数a 的所有可能取值的集合为____________．【答案】{}1,0,1-考点：集合基本运算.【方法点晴】本题主要考查集合基本运算，其中涉及分类讨论思想和转化化归思想，考查逻辑推理能力、转化化归能力，综合性较强，属于中等难题. 首先将A B A =I 转化为A B ⊆，然后对0a =与0a ≠进行分类讨论，从而求得实数a 的所有可能取值的集合为{}1,0,1-.分类讨论思想和转化化归思想是本题的解题关键.15.若25a b m ==，且112a b+=，则m =__________．【解析】试题分析：2525log ,log a b m a m b m ==⇒==⇒211log 2log 5log 10210m m m m a b+=+==⇒=m ⇒=．考点：指数式与对数式的综合运算.16.过函数()32325f x x x x =-++图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是 __________．【答案】30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U 考点：1、函数的导数；2、切线的斜率与倾斜角.【方法点晴】本题主要考查函数的导数、切线的斜率与倾斜角，其中涉及数形结合思想和转化化归思想，综合性较强，属于较难题型. 首先函数()f x 图象上一个动点的切线斜率转化为函数的导数，并求出()'1,f x ≥-再结合直线斜率图象，逆推出切线倾斜角的范围是30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U ，数形结合思想和转化化归思想是本题的解题关键. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知集合{}{}2|3327,|log 1x A x B x x =≤≤=>．（1）分别求(),R A B C B A I U ；（2）已知集合{}|1C x x a =<<，若C A ⊆，求实数a 的取值集合．【答案】（1）{}|23A B x x =<≤I ，{}|3R C B A x x =≤U ．（2）3a ≤．【解析】试题分析：（1）由3327x ≤≤ ⇒13x ≤≤⇒{}|13A x x =≤≤，再2log 1x >⇒2x >⇒{}|2B x x =>⇒{}{}|23;|2R A B x x C B x x =<≤=≤I ⇒{}|3R C B A x x =≤U ；（2）由（1）知{}|13A x x =≤≤，再分情况讨论 C 为空集与非空集合，从而求出3a ≤．试题解析：（1）∵3327x ≤≤，即13333x ≤≤，∴13x ≤≤，∴{}|13A x x =≤≤，．．．．．．．．．．．2分 ∵2log 1x >，即22log log 2x >，∴2x >，∴{}|2B x x =>，．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ∴{}{}|23;|2R A B x x C B x x =<≤=≤I ，∴{}|3R C B A x x =≤U ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）知{}|13A x x =≤≤，当C 为空集时，1a ≤，当C 为非集合时，可得13a <≤，综上所述3a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考点：1、不等式；2、集合的基本运算.KS5U18.（本小题满分12分）已知:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0;:a q >实数x 满足23x <≤．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()2,3；（2）(]1,2．试题解析：（1）对:p 由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<，因为0a >，所以3a x a <<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2分当1a =时，解得13x <<，即p 为真时，实数x 的取值范围是13x <<．又q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分若p q ∧为真，则p 真且q 零点，所以实数x 的取值范围是()2,3．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6分（2）p 是q 的必要不充分条件，即q p ⇒，且p q ≠，设(){}(){}|,|A x p x B x q x ==，则B A ≠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分又(]()2,3,,3B A a a ==；所以有233a a≤⎧⎨≤⎩解得12a ≤≤，所以实数a 的取值范围是(]1,2．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：简易逻辑.19.（本小题满分12分）函数()()01x x f x ka a a a -=->≠且是定义在实数集R 上的奇函数．（1）若()10f >，试求不等式()()2240f x x f x ++->的解集；（2）若()312f =且()()222x xg x a a m f x -=+-g 在[)1,+∞上的最小值为-2，求m 的值．【答案】（1）{}|14x x x ><-或；（2）2m =．试题解析：（1）∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()00f =，∴10k -=，∴1k =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分∵()10f >，∴10a a->，又0a >且1a ≠，∴1a >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分易知()f x 在R 上单调递增，原不等式化为：()()224f x x f x +>-， ∴1x >或4x <-，∴不等式的解集为{}|14x x x ><-或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分考点：函数的性质.20.（本小题满分12分）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为12l l 、，山区边界曲线为C ．计划修建的公路为l ，如图所示，,M N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l 、的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l 、的距离分别为20千米和千米，以12l l 、所在直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．假设曲线C 符合函数2a y x b=+（其中,a b 为常数）模型．（1）求,a b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ．①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．【答案】（1）10000a b =⎧⎨=⎩；（2）①()[]5,20f t t =∈；②当t =路l的长度最短，最短长度为【解析】试题分析：（1）由题意得,M N 分别为 ()()5,40,20,2.5⇒2a y x b =+⇒4025 2.5400a b a b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩⇒ 10000a b =⎧⎨=⎩；（2）①由（1）知()21000520y x x =≤≤⇒P 21000,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求导得32000y x '=-⇒ l ；()2310002000y x t t t -=--⇒233000,0,0,2t A B t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒()[]5,20f t t =∈；②设()624410g t t t ⨯=+⇒()6516102g t t t ⨯'=-，令()0g t '=⇒t =可得：当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =，此时()min f t =（2）①由（1）知，()21000520y x x =≤≤，则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设在点P 处的切线l 交,x y 轴分别交于,A B 点，32000y x '=-，则l 的方程为()2310002000y x t t t -=--，由此得233000,0,0,2t A B t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故()[]5,20f t t ==∈．．．．．．．．．．．．．．．8分②设()624410g t t t ⨯=+，则()6516102g t t t ⨯'=-，令()0g t '=，解得t =当(t ∈时，()0g t '<，()g t 是减函数；当()t ∈时，()()0,g t g t '>是增函数．从而，当t =()g t 有极小值，也是最小值，所以()min 300g t =，此时()min f t =答：当t =l 的长度最短，最短长度为．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：导数及其应用.KS5U21.（本小题满分12分）已知定义为R 的函数()f x 满足下列条件：①对任意的实数,x y 都有：()()()1f x y f x f y +=+-；②当0x >时，()1f x >．（1）求()0f ；（2）求证：()f x 在R 上为增函数；（3）若()67,3f a =≤-，关于x 的不等式()()223f ax f x x -+-<对任意[)1,x ∈-+∞恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()01f =；（2）证明见解析；（3）(]5,3--．（3）由已知条件有：()()()22221f ax f x x f ax x x -+-=-+-+⇒()2213f ax x x -+-+<⇒()2122f x a x ⎡⎤-++-<⎣⎦，又()()()11f n nf n =--⇒()12f =⇒()()2121f x a x f ⎡⎤-++-<⎣⎦⇒()2130x a x -++>在[)1,x ∈-+∞上恒成立，令()()213g x x a x =-++，即()min 0g x >成立即可．然后对12a +取值进行分类讨论可得：实数a 的取值范围是(]5,3--．（3）由已知条件有：()()()22221f ax f x xf ax x x -+-=-+-+，故原不等式可化为：()2213f ax x x -+-+<，即()2122f x a x ⎡⎤-++-<⎣⎦，而当*n N ∈时，()()()()()()()()()1112212331311f n f n f f n f f n f nf n =-+-=-+-=-+-==--L ，所以()()6615f f =-，所以()12f =，故不等式可化为()()2121f x a x f ⎡⎤-++-<⎣⎦，由（2）可知()f x 在R 上为增函数，所以()2121x a x -++-<，即()2130x a x -++>在[)1,x ∈-+∞上恒成立，令()()213g x x a x =-++，即()min 0g x >成立即可． ①当112a +<-，即3a <-时，()g x 在[)1,x ∈-+∞上单调递增，则()()()min 11130g x g a =-=+++>解得5a >-，所以53a -<<-， ②当112a +≥-即3a ≥-时，有()()2min 111130222a a a g x g a +++⎛⎫⎛⎫==-++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g解得11a -<<，而13-<-，所以31a -≤<，综上，实数a 的取值范围是(]5,3--．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：导数及其应用．【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.22.（本小题满分12分）已知函数()ln x m f x e x +=-．（1）设1x =是函数()f x 的极值点，求m 并讨论()f x 的单调性；（2）设0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求m 的取值范围（其中常数a 满足ln 1a a =）．【答案】（1）1m =-，()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增；（2）[)ln ,a a --+∞．试题解析：（1）()()1,0x mf x e x x+'=->，因为1x =是函数()f x 的极值点，所以()1110m f e +'=-=，所以1m =-，所以()11x f x e x-'=-．．．．．．．．．．．．．．．．．2分当01x <<时，1101,1x e x-<<-<-，所以()0f x '<，当1x >时，111,10x e x ->-<-<，所以()0f x '>，所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）()()1,0x m f x e x x +'=->，设()1x m g x e x +=-，则()210x m g x e x+'=+>，所以()g x 在()0,+∞单调递增，即()f x '在()0,+∞单调递增．由于0x x =是函数()f x 的极值点，所以0x x =是()0f x '=在()0,+∞的唯一零点，所以00001,ln x m e x m x x +=+=-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分由于00x x <<时，()()00f x f x ''<=；当0x x >时，()()00f x f x ''>=，所以函数()f x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分且函数()f x 在0x x =处取得最小值，所以()()000001ln x m f x f x e x x m x +≥=-=++，因为()0f x ≥恒成立，所以0010x m x ++≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴00001ln x m x x x +≥-=+，即001ln x x ≥．又因为ln 1a a =，故可解得0x a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分所以00,ln ln x a x a -≥--≥-，所以00ln ln m x x a a =--≥--，即m 的取值范围是[)ln ,a a --+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：导数及其应用．KS5U【方法点晴】本题考查导数与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决.。

2018-2019学年广东省执信中学高二下期中测试数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年广东省执信中学高二下期中测试数学（理）试题一、单选题1．已知集合,则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先化简集合，再和集合求交集，即可得出结果.【详解】因为，又，所以.故选C【点睛】本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.2．下列复数是纯虚数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据复数的运算，将选项中的复数全部化简，即可得出结果.【详解】因为；；；，因此，纯虚数只有.故选D【点睛】本题主要考查复合的运算，以及复数的分类，熟记运算法则和概念即可，属于常考题型. 3．若双曲线的焦距为8，则的离心率为（）A．B．C．2 D．【答案】A【解析】先由双曲线的焦距为8，求出，进而可求出结果.【详解】因为双曲线的焦距为8，所以，解得；因此的离心率为.故选A【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.4．已知向量，且，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】利用已知条件求出t，然后可得结果．【详解】因为，所以，2t＝2，t＝1，（2,0）－（1,1）＝（1，－1），故选B【点睛】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，是基础题目．5．3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法。

所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数，求出圆周率的方法。

若在单位圆内随机取一点，则此点取至圆内接正八边形的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先设圆的半径为，得到圆的面积，再得到正八边形的面积，进而可求出结果. 【详解】设圆的半径为，则；故圆内接正八边形可分成八个全等的小三角形，且三角形为等腰三角形，腰长为，顶角为；所以，圆内接正八边形的面积为，因此，此点取至圆内接正八边形的概率是.故选B【点睛】本题主要考查与面积有关的几何概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.6．函数的图像大致为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，可得函数为偶函数，图象关于y轴对称，根据且，，排除C、D，进而利用函数的导数和函数的极小值点，得到答案.【详解】由题意，函数，满足，所以函数为偶函数，图象关于y轴对称，且，，排除C、D，又由当时，，则，则，即，所以函数在之间有一个极小值点，故选A.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题其中解答中熟练应用函数的奇偶性和单调性，以及利用导数研究函数的极值点，进而识别函数的图象上解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.7．设实数，满足，则的最大值为（）A．14 B．C．D．【答案】D【解析】先由约束条件作出可行域，再利用基本不等式进行求解，即可得出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下：由图像可得，则，当且仅当，时，取等号；经检验，在可行域内，所以的最大值为.故选D【点睛】本题主要考查简单的线性规划，熟记基本不等式即可求解，属于常考题型.8．已知数列为等差数列，满足，则数列前21项的和等于（）A．B．21 C．42 D．84【答案】B【解析】先由，根据等差数列的性质，求出，再由等差数列求和公式，即可得出结果.【详解】因为数列为等差数列，满足，所以，即；所以数列前21项的和等于.故选B【点睛】本题主要考查等差数列的前项和，熟记等差数列的性质、以及等差数列的求和公式即可，属于常考题型.9．已知函数，则下列结论中错误的是（）A．函数和的值域相同B．若函数关于对称，则函数关于中心对称C．函数和都在区间上单调递增D．把函数向右平移个单位，就可以得到函数的图像【答案】C【解析】先整理，根据三角函数的性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为，故；由得，所以不是的增区间，故C错；又，所以，故函数和的值域相同；A正确；由得，即函数的对称中心为；由得，即函数的对称轴为，所以B正确；因为把函数向右平移个单位，得到，故D正确；故选C【点睛】本题主要考查三角函数的性质，以及三角函数图像变换问题，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.10．一个体积为正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的左视图的面积为A．B．8 C．D．12【答案】A【解析】试题分析：依题意可得三棱柱的底面是边长为4正三角形.又由体积为.所以可得三棱柱的高为3.所以侧面积为.故选A.【考点】1.三视图的知识.2.棱柱的体积公式.3.空间想象力.11．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的动点，点，则的最小值为（）A．2 B．C．D．【答案】C【解析】先记点到抛物线准线的距离为，根据抛物线的定义，将化为，再设直线的方程为，因此求的最小值，即是求的最小值，由此可得，直线与抛物相切时，最小，联立直线与抛物线方程，结合判别式，即可求出结果.【详解】记点到抛物线准线的距离为，由抛物线定义可得，因此求的最小值，即是求的最小值，设直线的方程为，倾斜角为易知，，因此当取最小值时，最小；当直线与抛物线相切时，最小；由可得，由得，即，所以，即.因此，的最小值为.故选C【点睛】本题主要考查抛物线定义、以及直线与抛物线位置关系，熟记定义以及抛物线的简单性质即可，属于常考题型.12．设为常数，函数，给出以下结论：（1）若，则存在唯一零点（2）若，则（3）若有两个极值点，则其中正确结论的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】（1）先根据函数存在零点，得到方程有实根，再令，将问题转为函数图像与直线有交点即可，用导数的方法研究函数单调性和最值，即可得出结论成立；（2）根据（1）的结果，可判断当时，在上恒成立，从而可得在上恒成立，即可得出结论成立；（3）先对函数求导，根据题意得到，再将函数有两极值点，转化为方程有两不等式实根来处理，用导数的方法研究其单调性，和值域，进而可得出结论成立.【详解】（1）若函数存在零点，只需方程有实根，即方程有实根，令，则只需函数图像与直线有交点即可.又，由可得；由可得；所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，因此，当时，直线与图像仅有一个交点，即原函数只有一个零点，所以（1）正确；（2）由（1）可知，当时，在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立；故（2）正确；（3）因为，所以，若有两个极值点，则，所以，又由有两个极值点，可得方程有两不等实根，即方程有两不等式实根，令，则，由得；由得；所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又当时，；当时，；所以方程有两不等式实根，只需直线与函数的图像有两不同交点，故；所以，即（3）正确.故选A【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性、最值等，属于常考题型.二、填空题13．已知为各项都是正数的等比数列，若，则__．【答案】8.【解析】由等比数列的性质可得a6=2，而a5•a6•a7=a63，代值计算可得．【详解】∵{a n}为各项都是正数的等比数列且a4•a8=4，∴由等比数列的性质可得a62=a4•a8=4，∴a6=2，再由等比数列的性质可得a5•a6•a7=a63=8，故答案为：8．【点睛】本题考查等比数列的性质，属基础题．14．由曲线与直线及所围成的图形的面积为（_______）【答案】【解析】先由题意作出简图，求出直线与曲线交点的横坐标，再由微积分基本定理求解，即可得出结果.【详解】由题意，作出曲线与直线及所围成的图形如下（阴影部分）：由解得，或（舍）所以阴影部分面积为.故答案为【点睛】本题主要考查定积分的应用，熟记微积分基本定理即可，属于常考题型.15．已知某校一间办公室有四位老师甲、乙、丙、丁，在某天的某个时刻，他们每人各做一项工作，一人在查资料，一人在写教案，一人在批改作业，另一人在打印资料（1）甲不在查资料，也不在写教案（2）乙不在打印资料，也不在查资料（3）丙不在批改作业，也不在打印资料（4）丁不在写教案，也不在查资料此外还可确定，如果甲不在打印资料，那么丙不在查资料。

广东省广州市华南师大附中2018-2019学年高二下期中考试理科数学试题

华南师大附中2018-2019学年度第二学期期中考试高二数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分，考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号等填写在答题卡上,并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂；2.回答第Ⅰ卷时,选岀每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答寀标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号；3.回答第Ⅱ卷时,必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答卷各题目指定区域内,不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,满分36分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}{}，＜＜，42|32|2x x Q x x x P =≥-=则=Q P A.()21，- B.(]31，- C.(]32， D.[)43， 2.下列函数中既是偶函数,又在区间()10，上单调递增的是 A.x y cos = B.x y = C.xy 2= D.x y lg = 3.函数()()()x x x x x f cos sin cos sin -+=的最小正周期是 A.2π B.π C.23π D.π2 4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若，，825435=+=a a S 则{}n a 的公差为A.-2B.-1C.1D.25.设命题甲:0122＞++ax ax 的解集是实数集R ；命题乙:，＜＜10a 则命题甲是命题乙成立的 A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.已知复数z 满足()，i z i +=+31其中i 是虚数单位，则=zA.i -1B.i +1C.i 2121- D.i 2121+7.已知两个非零向量b a 、=则下列结论正确的是A.∥B.⊥= D.-=+8.已知双曲线12222=-y a x 的一条渐近线的倾斜角为，π6则双曲线的离心率为 A.332 B.362 C.3 D.2 9.圆034222=-+++y x y x 上到直线01=++y x 的距离是2的点共有几个A.1B.2C.3D.410.如图所示的茎叶图(图一)为高三某班50名学生的化学考试成绩，图(二)的算法框图中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的n m 、分别是A.1238==n m ，B.1226==n m ，C.1212==n m ，D.1024==n m ，1l.在区间[]10，上随机取两个数，、y x 记1p 为事件“21≥+y x ”的概率，2p 为事件 “21≤-y x ”的概率，3p 为事件“21≤xy ”的概率，则 A.321p p p ＜＜ B.132p p p ＜＜ C.213p p p ＜＜ D.123p p p ＜＜12.已知，，R b a ∈直线2π++=b ax y 与函数()x x f tan =的图像在4π-=x 处相切，设 ()，a bx e x g x ++=2若在区间[]21，上，不等式()22-≤≤m x g m 恒成立，则实数m A.有最小值e - B.有最小值e C.有最大值e D.有最大值1+e第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分)13.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 项的系数是-70,则=a _______. 14.=︒︒-︒︒15sin 150cos 15cos 30sin _______.15.如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知21A A K 、、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为_________.16.已知从点P 出发的三条射线PA 、PB 、PC 两两成60°角，且分别与球O 相切于A 、B 、C 三点，若球O 的体积为36π，则O 、P 两点间的距离是________.三、解答题(本大题共6小题,满分48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(本小题满分6分)已知数列{}n a 中，()，，，，*112122321N n n a a a a a n n n ∈≥-===-+设.1n n n a a b -=+ (1)证明:数列{}n b 是等比数列；(2)设()，n n n n b c 2142-=求数列{}n c 的前n 项的和.n S18.(本小题满分6分)如图，在平面四边形ABCD 中，AC 与BD 为其对角线，已知BC=1，且.53cos -=∠BCD(1)若AC 平分∠BCD,且AB=2,求AC 的长；(2)若∠CBD=45°,求CD 的长.为了解当代中学生喜欢文科、理科的情况，某中学一课外活动小组在学校高一进行文、理分科时进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位:分)进行统计,将数据按照[)[)[)，，，，，，60404020200[)8060，， []10080，分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示,若将不低于60分的称为“文科意向”学生，低于60分的称为“理科意向”学生。

华南师大附中高二数学期末试题

20. (满分 12 分)已知椭圆
x2 y2 1 两焦点分别为 F1、F2，P 是椭圆在第一象限 2 4
y A F1 B O F2 x P
弧上一点，并满足 PF1 PF2 1 ，过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点. （1）求 P 点坐标；（2）求证直线 AB 的斜率为定值；（3）求△ PAB 面积的最大值.
华南师大附中 2010—2011 学年第一学期期末教学检查
高二年级数学（理）试题
本试卷共 4 页，共 20 题，满分 100 分，考试时间 120 分钟．注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案 ; 不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4. 考试过程中不得使用计算器. 5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答卷和答题卡一并交回．
已知的期望 E 8.9 ，则 y 的值为 * * * *
1 1 11.已知 A( , 0) ，B 是圆 F : ( x ) 2 y 2 4（ F 为圆心）上一动点，线段 AB 的 2 2 垂直平分线交 BF 与点 P ，则点 P 的轨迹方程为_ * * * * .
12.若方程 y x lg a a 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 a 的取值范围是_* * * *.
D． (2, 4)
试卷二

【精品】广东第二师范学院番禺附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

D
D
B
B
C
C
D
解析 : 5. 法一：因函数 f ( x) 在 [0, ) 单调递减，且为偶函数，则函数 f ( x) 在 ( ,0) 单调递增，由 f (2) f ( 2) 1，则 2 x 3 2 1 x 5 .故选 A.
法二：由 f (x 3)
x30
1 得 f ( x 3) f (2) 或 f (x 3) f ( 2) ，即
18( 本小题满分 12 分 ) 设数列｛ an ｝的前 n 项和为 sn ，已知 3sn 4an 4 ， n N * ．
（ 1) 求数列｛ an ｝的通项公式；
(2 ）令 bn
1 ，求数列｛ bn ｝的前 n 项和 Tn.
log 2 an log 2 an 1
19.( 本小题满分 12 分 )
如图，三棱台 ABC EFG 的底面是正三角形，平面 ABC 平
（ 1）求椭圆 C 的方程；
（ 2）斜率为定值 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点，且满足 | OA |2 | OB |2 的值为常
数，（其中 O 为坐标原点）
（ i）求 k 的值以及这个常数；
（ ii ）写出一般性结论（不用证明）：斜率为定值 k 的直线 l 与椭圆
3x5x32Fra bibliotekx30或
1 x 3 ，综合得 1 x 5 .
x3 2
7. 由三视图知该几何体为一长方体与一直三棱柱的组合体，其体积为
42
1 3
4 1 4 .5 6
2
8. 第一步：将两节数学捆在一起与语文先进行排列有

广东省广州市华南师大附中2018_2019学年高二数学下学期期中试题理(含解析)

精品文档，欢迎下载！广东省广州市华南师大附中2018-2019学年高二数学下学期期中试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合{}2|23x x x P =-≥，{}Q |24x x =<<，则Q P ⋂=（）A. [)3,4B. (]2,3C. ()1,2-D. (]1,3- 【答案】A 【解析】由题意得，{}|31P x x x =≥≤或，所以[3,4)P Q ⋂=，故选A. 考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的交集运算.2.下列函数中，既是偶函数又在（0，1）上单调递增的是（）A. cos y x =B. y =C. 2xy =D.lg y x =【答案】C 【解析】因为满足()()f x f x -=函数只有cos ,2x y x y ==，但是单调递增的函数只有||2x y =，所以应选答案C 。

3.函数()()sin cos sin cos y x x x x =+-的最小正周期是（） A.2π B. πC. 2πD. 4π【答案】B 【解析】【分析】利用二倍角公式化简可得cos 2y x =-，再利用公式求最小正周期．【详解】22sin cos cos 2y x x x =-=-，故最小正周期为22T ππ==，选B ．【点睛】本题考查三角函数最小正周期的求法，是基础题．4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若525S =，348a a +=，则{}n a 的公差为（） A. 2- B. 1-C. 1D. 2【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和公式和题设条件，求得345,3a a ==，进而求解数列的公差，得到答案。

【详解】依题意，可得()15355522522a a a S +⨯===，解得35a =，又348a a +=，所以43a =，所以公差43352d a a =-=-=-，故选A 。

2018_2019学年高二化学下学期期末调研考试试题(含解析)

2018-2019学年高二下学期期末调研考试理科综合化学试题1.化学与人类的生产、生活、科技、航天等方面密切相关。

下列说法正确的是A. 汝窑瓷器的天青色来自氧化铁B. “傍檐红女绩丝麻”所描述的丝、麻主要成分是蛋白质C. 中国歼—20上用到的氮化镓材料是作为金属合金材料使用D. 诗句“煮豆燃豆萁”中涉及的能量变化主要是化学能转化为热能和光能【答案】D【解析】【详解】A.氧化铁是红棕色的，所以汝窑瓷器的天青色来自氧化铁说法是错误的，故A错误；B.丝指蛋白质，麻指纤维素，故B错误；C.氮化镓是化合物，不属于合金，故C错误；D.煮豆燃豆萁，豆萁燃烧发光放热，由化学能转化为热能和光能，故D选项正确；所以本题答案：D。

2.设N A为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是A. 1LpH=6的纯水中含有OH－的数目为10－8N AB. 当氢氧酸性燃料电池中转移2mol电子时被氧化的分子数为N AC. 0.5mol雄黄(As4S4，结构如图)，含有N A个S—S键D. 一定条件下向密闭容器中充入1molH2和2molH2(g)充分反应，生成HI分子数最多等于2N A 【答案】B【解析】【详解】A．纯水中氢离子和氢氧根离子浓度相等，所以pH=6的纯水中，氢氧根离子浓度为l×10-6mol/L，1L纯水中含有的OH-数目为l×10-6N A，故A错误；B. 氢氧燃料电池在酸性条件下,负极的电极反应式为：H2-2e-=2H+，正极的电极反应式为：4H++O2+4e-=2H2O，当转移2mol电子时，被氧化的分子数为N A，故B正确；C. 由雄黄的结构简式：可知，结构中不存在S—S ，所以C错误；D. 因为H2+I22HI为可逆反应，所以一定条件下向密闭容器中充入1molH2和2molI2(g)充分反应，生成HI分子数小于2N A，故D错误；所以本题答案：B。

3.某课外小组在实验室模拟工业上从浓缩海水中提取溴的工艺流程，设计以下装置进行实验(所有橡胶制品均已被保护，夹持装置已略去)。

广东省广州市华南师大附中2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析

2018-2019学年广东省广州市华南师大附中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合{}2|23x x x P =-≥，{}Q |24x x =<<，则Q P ⋂=（）A. [)3,4B. (]2,3C. ()1,2-D. (]1,3- 【答案】A 【解析】由题意得，{}|31P x x x =≥≤或，所以[3,4)P Q ⋂=，故选A. 考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的交集运算.2.下列函数中，既是偶函数又在（0，1）上单调递增的是（）A. cos y x =B. y =C. 2xy =D.lg y x =【答案】C 【解析】因为满足()()f x f x -=函数只有cos ,2x y x y ==，但是单调递增的函数只有||2x y =，所以应选答案C 。

【详解】依题意，可得()15355522522a a a S +⨯===，解得35a =，又348a a +=，所以43a =，所以公差43352d a a =-=-=-，故选A 。

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。

2018-2019学年度华南师范大学附属中学 2019届高三理科数学月考2(答案)

2018-2019学年度华南师大附中高三年级月考（二）理科数学答案二、填空题 13.14. 43- 15. 16.三、解答题17. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b的公比为q ， ∵13a =，11b =，2210b S +=，5232a b a -=，∴331034232q d d q d+++=⎧⎨+-=+⎩，·····3分∴2d =，2q =，∴21n a n =+，12n n b -=．·····6分（2）由（1）知，()()32122n n n S n n ++==+，·····7分·····9分 12分18. 【解析】（1）依题意：()1123456747x =++++++=，·········1分 ()158810141517117y =++++++=，·········2分 721140ii x ==∑，71364i i i x y ==∑，71722177ˆi i i i i x y x ybx x==-∑=-∑36474112140716-⨯⨯==-⨯，·········3分 11243ˆˆa y bx =-=-⨯=，·········4分则y 关于x 的线性回归方程为ˆ23y x =+．·········5分（2）二人所获购物券总金额X 的可能取值有0、300、600、900、1200元，它们所对应的概率分别为：·········6分()1110224P X ==⨯=，()12111300233P X C ==⨯⨯=， ()1211115600332618P X C ==⨯+⨯⨯=， ()12111900369P X C ==⨯⨯=，()11112006636P X ==⨯=．·········9分所以，总金额的分布列如下表：·········11分总金额X 的数学期望为()11511030060090012004004318936E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元．·········12分 19.【解析】（1）依题意，在等腰梯形ABCD 中，AC =4AB =， ∵2BC =，∴222AC BC AB +=，即BC AC ⊥，·········1分 ∵平面ACEF ⊥平面，∴BC ⊥平面ACEF ，·········2分而AE ⊂平面ACEF ，∴AE BC ⊥．·········3分连接CF ，∵四边形ACEF 是菱形，∴AE FC ⊥，·········4分又∵BCFCC =，∴AE ⊥平面BCF ，∵BF ⊂平面BCF ，∴BF AE ⊥．·········6分（2）取EF 的中点M ，连接MC ，因为四边形是菱形，且60CAF ∠=︒．所以由平面几何易知MC AC ⊥，∵平面ACEF⊥平面ABCD ，∴MC ⊥平面．故此可以CA 、CB 、CM 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，各点的坐标依次为：()000C ，，，()0A ，，()020B ，，，)10D-，，()3E ，，)3F，．······7分设平面BEF 和平面DEF 的法向量分别为()1111,,a b c =n ，()2222,,a b c =n ，ABCD ACEF ABCD∵()323BF =-，，，()EF=．∴由111111·0230·00BF b c EF ⎧⎪⎨=-+=⇒==⎪⎪⎩⎩n n 2⎧⇒⎨⎩令13b =，则()1032=，，n ，··9分同理，求得()2031=-，，n ．·········10分∴121212cos 130,===⋅⋅n n n n n n ，故二面角B EF D --．··12分 20. 【解析】（1）因为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为12，所以122c e a c a ==⇒=，··········1分 ∵222a b c =+，∴b =．故可设椭圆的方程为：2222143x y c c+=，因为点312P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上，所以将其代入椭圆的方程得2229141143c c c+=⇒=．·······3分∴椭圆的方程为22143x y +=．·········4分（2）依题意，直线l 不可能与x 轴垂直，故可设直线l 的方程为：()11y k x -=-，·······5分即1y kx k =-+，()11Ax y ，，()22B x y ，为l 与椭圆的两个交点．将1y kx k =-+代入方程2234120x y +-=化简得：()()22224384880kx k k x k k +--+--=．所以21228843k k x x k -+=+，212248843k k x x k --=+．·········7分 E E E E E()()121212121212331111111222221111211y y k x k x k k k x x x x x x ------⎛⎫∴+=+=+=-+ ⎪------⎝⎭()()()()2212222121288243211632221254888843k k k x x k k k x x x x k k k k k --++--=-⋅=-⋅=-++----++．···10分又由()1 34112034120y kx k x kx k x y ⎧⎨=-+⇒+-+-=+-=⎩，解得4843k x k +=+，9343k y k +=+，即C 点的坐标为48934343k k C k k ++⎛⎫ ⎪++⎝⎭，，所以3933634324810143k k k k k k +--+==+-+．因此，12k k +与3k 的关系为：1232k k k +=．·········12分21.【解析】（1）由题意可知，定义域为(0,)+∞，()22211a x x af x x x x-+-'=--=，·······1分方程20x x a -+-=对应的14a ∆=-， 1˚当140a ∆=-≤，即14a ≥时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， ∴()f x 在()0,+∞上单调递减；·······2分 2˚当140a ∆=->，即14a <时， ①当104a <<时，方程20x x a -+-=，且0<<此时，()f x在⎝⎭上()0f x '>，函数()f x 单调递增，在10,2⎛- ⎝⎭，12⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上()0f x '<，函数()f x 单调递减；·····4分 ②当0a ≤0≤0>，此时当x ⎛∈ ⎝⎭，()0f x '>，()f x 单调递增，当12x ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；综上：当0a ≤时，x ⎛∈ ⎝⎭，()f x的单调增区间为⎛ ⎝⎭，单调减区间为⎫+∞⎪⎪⎝⎭；当104a <<时，()f x的单调增区间为⎝⎭，单调减区间为⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭；当14a ≥时，()f x 的单调减区间为()0,+∞。

2019-2020学年广州市华南师大附中高二下学期期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年广州市华南师大附中高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1}，B={(x,y)|y=−x}，则A∩B中元素的个数为()A. 3B. 2C. 1D. 02.下列函数既是奇函数又在(−1,1)上是减函数的是()A. y=tanxB. y=x−1C. y=log133+x3−xD. y=13(3x−3−x)3.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是()A. 函数f(x)的最小正周期为2πB. 函数f(x)的图象关于点(−5π12,0)对称C. 将函数f(x)的图象向左平移π6个单位得到的函数图象关于y轴对称D. 函数f(x)的单调递增区间是[kx+7π12,kπ+13π12]，(k∈Z)4.等差数列，的前项和分别为，，若，则()A. B. C. D.5.设集合A={x|x>0}，B={x|x−2>0}，C={x|x(x−2)>0}，则“x∈A∩B“是“x∈C“的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.在复平面内，满足条件z⋅(1+i)=2的复数z对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7.若向量a⃗=(x+3,2x)和向量b⃗ =(−1,1)平行，则|a⃗+b⃗ |()A. √10B. √102C. √2D. √228. 已知双曲线4x 2−3y 2=12，则双曲线的离心率为( )A. 73B. √213C. √77 D. √729. 直线l 过圆x 2+y 2−2x +4y −4=0的圆心，且在y 轴上的截距等于圆的半径，则直线l 的方程为( )A. 5x +y −3=0B. 5x −y −3=0C. 4x +y −3=0D. 3x +2y −6=010. 如图，是某算法流程图的一部分，其算法的逻辑结构为( )A. 顺序结构B. 判断结构C. 条件结构D. 循环结构11. 折扇由扇骨和扇面组成，初名腰扇，滥觞于汉末，曾是王公大人的宠物．到了明清时期，在折扇面上题诗赋词作画，则成为当时的一种时尚，并一直流行至今．现有一位折扇爱好者准备在下图的扇面上作画，由于突然停电，不慎将一滴墨汁落入折扇所在区域，则墨汁恰好落入扇面的概率约为( )A. 34B. 13C. 59D. 8912. 设函数f(x)=x 2−6x ，则f(x)在x =0处的切线斜率为( )A. 0B. −1C. 3D. −6二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）13. 设A =37+C 7235+C 7433+C 763，B =C 7136+C 7334+C 7532+1，则A −B = ______ ．14. 已知cos2α=13，则cos 2(π2+α)−2cos 2(π−α)的值为______．15.已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间．若用0.618法安排试验，则第一次试点的加入量可以是__________g．16.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=2√3，AC=2√6，AB⊥AC，AA1=8，则球的表面积为______．三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）17.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=2，S7=28，(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式(Ⅱ)令c n=3a n(n∈N∗)抽去数列{c n}的第3项、第6项、第9项、…、第3n项、…，余下的项的顺序不变，构成一个新的数列{t n}，求数列{t n}的前2n项和T2n．.求：18.在△ABC中，a+b=11，c=7，cosA=−17(Ⅰ)a的值；(Ⅱ)sinC和△ABC的面积．19.2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位：分)统计结果用茎叶图记录如图：(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值．(结论不要求证明)20. 如图，已知四棱锥P −ABCD 的底面是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ，OA =4，OB =3，OP =4，OP ⊥底面ABCD ，设点M 满足PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值； (2)求点P 到平面BDM 的距离．21.(本小题满分12分)已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆上．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过椭圆右焦点斜率为k的直线l交椭圆于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点O，求直线l的方程22.函数(1)当−2<a<0时，求f(x)在(0,1)上的极值点；(2)当m≥1时，不等式f(2m−1)≥2f(m)−f(1)恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：在同一个坐标下，画出圆x2+y2=1和直线y=−x的图象如下所示：圆x2+y2=1和直线y=−x有两个交点，∴A∩B中元素的个数为：2．故选：B．可画出圆x2+y2=1和直线y=−x的图象，观察图象交点的个数，然后即可得出A∩B中的元素个数．本题考查通过图象解决集合问题的方法，交集及其运算，考查推理能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=tanx，是奇函数，但在区间(−1,1)上为增函数，不符合题意；对于B，y=x−1=1x，是奇函数，其定义域为{x|x≠0}，在区间(−1,1)上不具有单调性，不符合题意；对于C，y=log133+x3−x=log33−x3+x，既是奇函数又在(−1,1)上是减函数，符合题意；对于D，y=13(3x−3−x)，为奇函数，但在区间(−1,1)上为增函数，不符合题意；故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3.答案：D解析：本题考查y=Asin(ωx+φ)的图象和性质，以及判断命题真假的应用问题，是综合性题目．由函数f(x)的部分图象求出f(x)的解析式，根据解析式判断题目中的选项是否正确即可．解：由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象知，A=2，函数的最小正周期为T=4(π3−π12)=π，∴A错误；由周期公式可得：ω=2ππ=2，由点(π12,2)在函数图象上，可得：2sin(2×π12+φ)=2，可得：φ=2kπ+π3，k∈Z；∵|φ|<π2，∴φ=π3；∴f(x)=2sin(2x+π3)，∵x=−5π12时，f(−5π12)=−2≠0，∴函数f(x)的图象不关于点(−5π12,0)对称，B错误；把函数f(x)的图象向左平移π6个单位，得到y=2sin[2(x+π6)+π3]=2sin(2x+2π3)的图象，且图象不关于y轴对称，C错误；令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z解得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，即kπ+7π12≤x≤kπ+13π12，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间是[kx+7π12,kπ+13π12]，(k∈Z)，D正确；故选：D．4.答案：B解析：试题分析：，选B．考点：1.等差数列的性质；2.等差数列的前项和公式．5.答案：A解析：解：∵集合A={x|x>0}，B={x|x−2>0}，∴A∩B=(2,+∞)，∵C={x|x(x−2)>0}=(−∞,0)∪(2,+∞)，∴A∩B⫋C，∴“x∈A∩B“是“x∈C“的充分而不必要条件故选：A．先解出集合，再求出交并补．本题考查集合求解，求交并补，属于基础题．6.答案：D解析：解：∵z⋅(1+i)=2，∴z⋅(1+i)(1−i)=2(1−i)．∴z=1−i，复数z对应的点为(1,−1)．故选：D．化简复数z为a+bi的形式，得到复数对应的点，即可判断选项．本题考查复数代数形式的混合运算，复数与复平面对应点的关系，基本知识的考查．7.答案：C解析：解：∵向量a⃗=(x+3,2x)和向量b⃗ =(−1,1)平行，∴(x+3)⋅1−2x⋅(−1)=0，解得x=−1，故a⃗+b⃗ =(2,−2)+(−1,1)=(1,−1)，故|a⃗+b⃗ |=√12+(−1)2=√2故选C由向量平行可得(x+3)⋅1−2x⋅(−1)=0，解之可得x值，进而可得向量的坐标，由模长公式可得答案．本题考查平面向量的数量积的坐标表示和向量的模长，属基础题．8.答案：B解析：解：双曲线4x2−3y2=12可化为x23−y24=1，所以a=√3，b=2，c=√7，所以离心率e=ca =√213．故选：B．双曲线方程化为标准方程，可得a=5，b=3，c=4，从而可求双曲线的离心率．本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，确定双曲线的几何量是关键属于基础题．9.答案：A解析：解：由已知得圆的方程为(x−1)2+(y+2)2=9，所以圆心为(1,−2)，半径为3，由两点式可得直线方程为：y−3x =−2−31−0，化简得5x+y−3=0．故选A．首先将圆的方程化为标准方程，明确圆心即半径，利用两点式求出直线方程．本题考查了直线与圆的位置关系以及两点式求直线方程，属于基础题目．10.答案：C解析：解：此结构中含有一个判断框，算法执行到此判断给定的条件r=0是否成立，选择不同的执行框(A框、B框).无论r=0条件是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能既执行A框又执行B 框，也不可能A框、B框都不执行．故该结构是条件结构故选C．根据条件结构形式(如下图)，进行判定即可．本题主要考查了选择结构的定义，算法是新课标中新增的内容，在高考中常以小题出现，江苏高考都以填空的形式出现，值得重视．11.答案：D解析：解：由几何概型的特点，扇面面积为S1=12×2π3×182−12×2π3×62=96π，扇形面积为S2=12×2π3×182=108π，则墨汁恰好落入扇面的概率P=96π108π=89．故选：D．由题意知概率为面积之比．本题考查了几何概型属于简单题．12.答案：D解析：本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．欲求切线斜率，只须先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解：由已知得f(x)在x=0处的切线斜率为f′(0)=(2x−6)|x=0=−6．故选D．13.答案：128解析：解：∵A=37+C7235+C7433+C763，B=C7136+C7334+C7532+1，∴A−B=37−C7136+C7235−C7334+C7433−C7532+C763−1=(3−1)7=128．故答案为：128．作差，利用二项式定理，即可得出结论．本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．14.答案：−1解析：解：由cos2α=13，得2cos 2α−1=13，即cos 2α=23；所以cos 2(π2+α)−2cos 2(π−α)=sin 2α−2cos 2α=1−3cos 2α =1−3×23=−1．故答案为：−1．由cos2α=13求得cos 2α的值，再化简并计算所求三角函数值．本题考查了二倍角的三角函数计算问题，是基础题．15.答案：171.8或148.2解析：110+0.618×100=171.8，210−0.618×100=148.2．16.答案：100π解析：解：由题意画出几何体的图形如图，题意得知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，则三棱柱为球O 的内接直三棱柱(如图所示)；由勾股定理可知 BC =√(2√3)2+(2√6)2=6，可得球O 的半径R =OB =12√62+82=5，由公式S =4mR 2有球的表面积S =4π×52=100π．故答案为：100π．由题意知三棱柱为球O 的内接直三棱柱，利用勾股定理求BC 、BC 1可求得球的半径，然后求出球的表面积即可．本题考查空间几何体的结构特征，球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.答案：解：(Ⅰ)在等差数列中，a 2=2，S 7=28，∴{a 1+d =27a 1+7×62d =28，解得a 1=1，d =1，即数列{a n }的通项公式a n =1+n −1=n ．(Ⅱ)∵c n =3a n =3n ，(n ∈N ∗)，则数列{c n }的第3项、第6项、第9项、…、第3n 项构成等比数列公比q =a6a 3=33=27，∴T 2n =t 1+t 2+t 3+⋯t 2n =(c 1+c 2)+(c 4+c 5)+(c 7+c 8)+⋯+=S 3n −3(3−27n )1−27=3(1−33n )1−3−3(3−27n )1−27=12(33n+1−3)+326(3−27n ).解析：(Ⅰ)根据等差数列的通项公式建立方程关系，即可求数列{a n }的通项公式． (Ⅱ)求出数列{c n }的通项公式，利用分组求和法即可得到结论．本题主要考查等差数列的通项公式以及等比数列的求和公式的应用，综合性较强，难度较大． 18.答案：解：(Ⅰ)由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即a 2−b 2=49−14b ×(−17)=49+2b ， ∴(a +b)(a −b)=49+2b ， ∵a +b =11，∴11a −11b =49+2b ，即11a −13b =49，联立{ a +b =1111a −13b =49，解得a =8，b =3，故a =8．(Ⅱ)在△ABC 中，sinA >0， ∴sinA =√1−cos 2A =4√37，由正弦定理可得asinA =csinC ，可得sinC =c⋅sinA a =7×4√378=√32，∴S △ABC =12absinC =12×8×3×√32=6√3．解析：(Ⅰ)由余弦定理求出(a +b)(a −b)=49+2b ，再结合a +b =11，即可求出a 的值， (Ⅱ)由正弦定理可得sin C ，再根据三角形的面积公式即可求出，本题考查了同角的三角函数的关系，两角和的正弦公式，正余弦定理，三角形的面积公式等知识，考查了运算能力求解能力及转化与化归能力，属于中档题．19.答案：解：(I)由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为220=0.1，在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数约为50×0.1=5万人； (II)由图表得，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，则X =0，1，2，则P(X =0)=C 52C 82=514，P(X =1)=C 51C 31C 82=1528，P(X =2)=C 32C 82=328，X 的分布列如下：故 E (X)=0×514+1×1528+2×328=34，(III)m 的最小值为4(样本中志愿者成绩在70分以上的频率为12，由题意得1−12m >0.9,m ∈N ∗，求解即可)．解析：本题考查了茎叶图，考查了离散型随机变量求分布列和数学期望，考查运算能力和实际应用能力，中档题．(I)由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为220=0.1，再求出结论即可； (II)根据题意，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，X =0，1，2，求出分布列和数学期望； (III)根据题意，求出即可．20.答案：解：(1)∵平面ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，又OP ⊥底面ABCD ，所以OP ⊥AC ，OP ⊥BD ，所以AC ，BD ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OP 为坐标轴建立空间直角坐标系O −ABP 如图所示：则A(4,0，0)，B(0,3，0)，C(−4,0，0)，D(0,−3,0)，P(0,0，4)， ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0，−4)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,6，0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,0，−4)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−3,4)． ∵PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−43,0，−43)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−43,−3,83). 设平面BDM 的法向量n⃗ =(x,y ，z)，则{6y =0−43x −3y +83z =0，令x =2，则z =1，∴平面BDM 的一个法向量n ⃗ =(2,0，1)， ∴cos <PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=4√2×√5=√1010， ∴直线PA 与平面BDM 所成角的正弦值为√1010．( 2)OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，4)，∴cos <OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ |OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=4×√5=√55， ∴OP 与平面BDM 所成角的正弦值为√55，∴P 到平面BDM 的距离d =|OP|×√55=4√55．解析：本题考查了线面角与线面距离的计算，空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，(1)以O为坐标原点，以OA，OB，OP为坐标轴建立坐标系，求出平面BDM的法向量n⃗和PA⃗⃗⃗⃗⃗ ,n⃗>|；则直线PA与平面BDM所成角的正弦值为|cos<PA⃗⃗⃗⃗⃗ ,n⃗>|，则点P到平面BDM的距离为|OP||cos< (2)求出OP与平面BDM所成角的正弦值|cos<OP⃗⃗⃗⃗⃗ ,n⃗>|．OP21.答案：解：(Ⅰ)根据题意有：，解得，所以椭圆的标准方程为；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知椭圆右焦点，所以由消去y，整理可得：依题意有解得故所求的直线为x−y−2=0或x+y−2=0．解析：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程及直线于椭圆位置关系的应用，常见的解题思想是联立直线方程与曲线方程，通过方程的根与系数的关系进行求解．(I)由已知可求，a=2，由点在该椭圆上，代入可求b，从而可求椭圆的方程(II)AB为直径的圆过原点得到x1x2+y1y2=0，从而考虑设直线方程，联立直线于椭圆方程进行求解即可．22.答案：解：(1)∵f′(x)=x+1+ax(x>0)，令g(x)=x2+x+a，∵−2<a<0，∴g(x)的判别式△=1−4a>0，令f′(x)=0，得x=−1+√1−4a2．当−2<a<0时，0<−1+√1−4a2<1，所以f(x)在(0,−1+√1−4a2)上单调递减，在(−1+√1−4a2,1)上单调递增，即f(x)在(0,1)上有1个极值点x0=−1+√1−4a2．(2)不等式f(2m−1)≥2f(m)−f(1)⇔−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+2alnm，即−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2，令g(x)=−x+alnx．∵m2≥2m−1≥1，∴要使不等式−(2m−1)+aln(2m−1)≥−m2+alnm2恒成立，只需g(x)=−x+alnx在[1,+∞)上单调递减，g′(x)=−1+ax，令g′(x)≤0，即a≤x在[1,+∞)上恒成立，可得实数a的取值范围是(−∞,1]．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道中档题．(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值点即可；(2)令g(x)=−x+alnx，根据m2≥2m−1≥1，问题转化为g(x)=−x+alnx在[1,+∞)上单调递减，根据函数的单调性求出a的范围即可．。

2018-2019学年广东省广州市华南师大附高一(下)期中数学试卷(含答案解析)

2018-2019学年广东省广州市华南师大附高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.在等差数列中，，，则A. 9B. 11C. 13D. 152.在等比数列中，，且，，则的值为A. 15B. 27C. 36D. 813.在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，，则A. 1B.C. 3D.4.在中，，，，则A. 5B. 8C.D.5.设，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.6.数列满足，，则此数列的第3项是A. 13B. 10C. 7D. 47.数列中，对所有，都有：，则A. B. C. D.8.在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则下列条件下有唯一解的是A. ，，B. ，，C. ，D. ，，9.在中，，则一定是A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形10.在R上定义运算：，则满足的实数x的取值范围为A. B.C. D.11.某地为了保持水土资源实行退耕还林，如果2018年退耕a万亩，以后每年比上一年增加，那么到2025年一共退耕A. B. C. D.12.在中，E，F分别为AB，AC的中点，P为EF上的任一点，实数x，y满足，设，，，的面积分别为S ，，，，记，则取到最大值时，的值为A. B. 1 C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.函数的定义域是______．14.在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为______．15.已知，，若，则的最小值为______．16.已知函数满足，，且对任何m，，都有：，，给出以下三个结论：；；，其中正确的个数是______个．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.求不等式的解集．18.在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且．求的大小：若的面积为，求cos A的值．19.已知数列中，，求证：是等比数列，并求数列的通项公式；已知数列满足，求数列的前n项和；20.已知关于x的不等式．若此不等式的解集为，求a、b的值：若，解关于x的不等式．21.已知数列满足，Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ数列满足，数列的前n项和，设，证明：．22.已知二次函数b，，，满足：在R上的最小值为0；对任意，成立．求函数的解析式：求最大的，使得存在，只要，就有．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：在等差数列中，，，公差，则．故选：C．利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：D解析：解：在等比数列中，，，由等比数列的性质得，，也成等比数列，．故选：D．由等比数列的性质得，，也成等比数列，由此能求出的值．本题考查等比数列中两项和的求法，考查等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.答案：C解析：解：由正弦定理可得，，．故选：C．由已知结合正弦定理即可求解．本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于基础试题．4.答案：B解析：解：由余弦定理可得，所以，故选：B．直接由余弦定理求出BC的边．本题考查三角形的余弦定理公式，属于基础题．5.答案：D解析：解：，．，，．，．即．综上可得：．故选：D．利用有理化因式和不等式的性质即可得出．本题考查了有理化因式和不等式的性质，属于基础题．6.答案：A解析：解：数列满足，，，．此数列的第3项是13．故选：A．由数列满足，，利用递推思想先求出，由此能求出此数列的第3项．本题考查数列的第三项的求法，考查递推思想等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：D解析：解：，，，，，，，故选：D．由数列的递推式依次求出，，，，，即可．本题主要考查了数列的递推式，是中档题．8.答案：C解析：解：A：由正弦定理可得，，所以，因为，所以，故B或，两解；B ：，，此时与三角形的，两边之和大于第三边矛盾，无解；C：，可知，，一解；D：，，则，与三角形的内角和矛盾，无解．结合正弦定理，及大边对大角可判断A；结合三角形的两边之和大于第三边可判断B；结合等腰三角形的性质可判断C；结合大边对大角及三角形的内角和定理可判断D．本题主要考查了三角形解的判断，解题的关键是正弦定理，三角形的两边之和大于第三边及大边对大角等知识的应用．9.答案：D解析：【分析】利用正弦定理与二倍角的正弦即可判断三角形的形状．本题考查三角形的形状判断，突出考查正弦定理与二倍角的正弦，考查转化与运算能力，属于中档题．【解答】解：在中，，又由正弦定理得：，，，或，或．故是等腰三角形或直角三角形．故选D．10.答案：B解析：解：，化简得即，得到且或且，解出得；解出得且无解．．故选B根据规定的新定义运算法则先把不等式化简，然后利用一元二次不等式求解集的方法求出x的范围即可．此题是一道基础题，要求学生会根据已知的新定义化简求值，会求一元二次不等式的解集．11.答案：A解析：解：根据题意，2018年退耕a万亩，记为，以后每年比上一年增加，则每年的退耕还林亩数组成等比数列，求，那么到2025年一共退耕故选：A．记为，以后每年比上一年增加，每年的退耕还林亩数组成等比数列，且，则由等比数列求和公式，可得2025年退耕多少公顷．本题考查了指数函数的实际应用，利用等比数列的求和公式是解决本题的关键．解析：解：由题意，可得是的中位线，到BC的距离等于的BC边上高的一半，可得由此可得当且仅当时，即P为EF的中点时，等号成立．由向量的加法的四边形法则可得，，两式相加，得由已知得根据平面向量基本定理，得，从而得到综上所述，可得当取到最大值时，的值为故选：D根据三角形中位线的性质，可得P到BC的距离等于的BC边上高的一半，从而得到由此结合基本不等式求最值，得到当取最大值时点P在EF的中点．再由向量的加法的四边形法则，算出，结合已知条件的等式，可求出x、y的值，从而算出的值．本题给出三角形中的向量等式，在已知面积比、的积达到最大值的情况下求参数x、y的值，着重考查了运用基本不等式求最值、平面向量的加法法则和平面向量基本定理等知识，属于中档题．13.答案：解析：解：要使函数有意义，，解得或．故函数的定义域为：．故答案为：．由函数的解析式，二次根式的被开方数大于或等于0，求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，解题时应根据使得函数有意义的条件求解定义域，属于基础题14.答案：解析：解：由余弦定理可得，，所以，故答案为：．由余弦定理求出其中一个角的余弦值，进而求出正弦值，由面积公式求出面积．本题考查余弦定理及面积公式，属于基础题．解析：解：，，且，，等号成立的条件为，所以的最小值为9．故答案为：9．把看成的形式，把“1”换成，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决本题的关键是“1”的代换．16.答案：3解析：解：，，，则正确；又，正确；由可得正确，故答案为：3．由已知条件可得，，，进而判断已知中三个结论，即可得到答案．本题考查了抽象函数的应用，其中根据已知条件推断出：，，，是解答本题的关键．17.答案：解：，或．故原不等式的解集为．解析：根据，可得其等价于，然后求出解集．本题考查了分式不等式的解法，考查了转化思想，属基础题．18.答案：解：在中，由正弦定理可得：，所以：，又，所以．因为的面积为，，由余弦定理，，所以．所以．解析：由已知结合正弦定理可求cos B，进而可求B；由已知结合三角形的面积公式可得a，c的关系，然后结合余弦定理可得a，b的关系，进而可求cos A．本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．19.答案：解：由已知可得：，而，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，所以；由得，，，两式相减，得：，．解析：由已知可得：，而，所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式即可求出数列的通项公式；由得，再利用错位相减法即可求出数列的前n项和；本题主要考查了等比数列的性质，以及错位相减法求数列的前n项的和，是中档题．20.答案：解：方程的两根为和2，，，．，原不等式可化为，，当时，原不等式等价于；当时，原不等式等价于，解集为；当时，原不等式等价于．综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．解析：由不等式的解集为，利用韦达定理建立关于a和b的方程，然后求出a和b即可；将代入不等式中，然后得到，再分，和三种情况求出不等式的解集．本题考查了一元二次不等式的解法，考查了方程思想和分类讨论思想，属基础题．21.答案：解：Ⅰ数列满足，则：，得：，整理得：，所以：．当时，首项符合通项，故：．证明：Ⅱ数列满足，则：，数列的前n项和，，，则：，所以：．解析：Ⅰ直接利用递推关系式求出数列的通项公式．Ⅱ利用Ⅰ的通项公式，进一步求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．22.答案：解：由已知得，即为函数的最小值，所以且函数的对称轴方程为，即，另一方面，，所以，解得，，所以，取，有，即得．取，有即，化简得：对于固定的成立，则，从而，当时，对任意的恒有：，满足题意，因此满足条件的m的最大值为9．解析：结合二次函数满足在R上的最小值为0；对任意，成立，可令，，从而可求，，结合二次函数的性质a，b，c；由，就有，可分别令，，代入结合函数的性质可求．本题主要考查了二次函数性质在求解函数解析式中的应用，解答本题的关键是由已知对x进行合理的赋值．第11页，共11页。

2018-2019高二下学期物理期中考试试卷(含答案)

2018-2019学年第二学期高二年级期中考试卷物理试卷（考试时间：100分钟，满分：100分）注意事项：1.本卷满分100分，时间100分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、班级填写在答题卡相应的位置。

2.作答时，将答案都写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

卷I（选择题共60分）一、选择题（本题共计 15小题，第1～10题单选题，每题4分。

第11～15题多选题，每题4分，多选题少选得2分，多选、错选都不得分。

共计60分。

）1．下面关于冲量的说法中正确的是( )A．物体受到很大的冲力时，其冲量一定很大B．当力与位移垂直时，该力的冲量为零C．不管物体做什么运动，在相同时间内重力的冲量相同D．只要力的大小恒定，其相同时间内的冲量就恒定2. 质量为m ,速度为v的A球与质量为 3 m 的静止B球发生正碰。

碰撞可能是弹性的，也可能是非弹性的，因此，碰撞后B球的速度可能有不同的值。

碰撞后B球的速度大小可能是( )A．0.6 v B．0.4 v C．0.2 v D．v3.下列四幅图涉及到不同的物理知识，其中说法正确的是( )A．甲图中，卢瑟福通过分析α粒子散射实验结果，发现了质子和中子B．乙图中，在光颜色保持不变的情况下，入射光越强，饱和光电流越大C．丙图中，射线甲由电子组成，射线乙为电磁波，射线丙由α粒子组成D．丁图中，链式反应属于轻核裂变4.以下说法正确的是（）A.汤姆孙发现电子并提出了原子核式结构模型B.光表现出波动性时，就不具有粒子性了；光表现出粒子性时，就不再具有波动性了C.康普顿提出的能量量子化理论能正确解释黑体辐射实验规律D.密立根通过著名的“油滴实验”精确测定了电子电荷5. 23592U经过 m 次α衰变和 n 次β衰变成20782Pb，则( )A.m=7，n=3B.m=7，n=4C.m=14，n=9D.m=14，n=18 6. 关于三种射线，下列说法正确的是( )A．α射线是原子核自发放射出的氦核，它的穿透能力最强B．β射线是原子核外电子电离形成的电子流，它具有中等的穿透能力C．γ射线一般伴随着α或β射线产生，它的穿透能力最强D．γ射线是电磁波，它的穿透能力最弱7．下面列出的是一些核反应方程：3015P →3014Si＋X，94Be＋ 21H →105B＋Y，42He＋42He →73Li＋Z.其中 ( )A．X是质子，Y是中子，Z是正电子 B．X是正电子，Y是质子，Z是中子C．X是中子，Y是正电子，Z是质子 D．X是正电子，Y是中子，Z是质子8．为纪念爱因斯坦对物理学的巨大贡献，联合国将2005年定为“国际物理年”．对于爱因斯坦提出的质能方程E ＝ mc2，下列说法中不正确的是( )A． E ＝ mc2 表明物体具有的能量与其质量成正比B．根据ΔE＝Δmc2 可以计算核反应中释放的核能C．一个中子和一个质子结合成氘核时，释放出核能，表明此过程中出现了质量亏损D．在核反应中，能量与质量都不守恒9.A、B两球沿一直线运动并发生正碰，如图为两球碰撞前后的位移图象，a、b分别为A、B两球碰前的位移图象，c为碰撞后两球共同运动的位移图象.若A球质量是 m = 2 kg，则由图判断下列结论不正确的是（）A.A、B碰撞前的总动量为 3 kg·m/sB.碰撞时A对B所施冲量为 -4 N·sC.碰撞前后A的动量变化为 4 kg·m/sD.碰撞中A、B两球组成的系统损失的动能为 10 J10.如图所示，用细线挂一质量为M的木块，有一质量为m的子弹自左向右水平射穿此木块，穿透前后子弹的速度分别为 v0 和 v （设子弹穿过木块的时间和空气阻力不计），木块的速度大小为( )A. B. C. D.11．如图为光电管的工作原理图．当用绿光照射光电管阴极K时，可以发生光电效应，电路中有光电流．则以下说法中正确的是( )A．增大绿光照射强度，光电子最大初动能增大B．增大绿光照射强度，电路中的光电流可能会增大C．改用比绿光波长大的光照射光电管阴极K时，电路中一定有光电流D．改用比绿光频率大的光照射光电管阴极K时，电路中一定有光电流12.关于核衰变和核反应的类型，下列表述正确的有 ( )A.23892U→23490Th＋42He 是α衰变 B.147N＋42He→178O＋11H 是β衰变C.21H＋31H→42He＋1n 是轻核聚变 D.8234Se→8236Kr＋2 0-1e 是重核裂变13.某光电管的阴极由金属钾制成，钾的逸出功为2.25 eV .氢原子的能级如下图所示，一群氢原子处于量子数n＝4能级状态，则( )A.从n＝4向n＝3跃迁产生的光子不能使光电管产生光电子B.从n＝3向n＝1跃迁产生的光子不能使光电管产生光电子C.这群氢原子的光谱共有6条谱线D.有3种频率的辐射光子能使光电管的阴极金属甲发生光电效应14. 用质子轰击锂核（73Li）生成两个α粒子，以此进行有名的验证爱因斯坦质能方程的实验．已知质子的初动能是0.6MeV，质子、α粒子和锂核的质量分别是1.0073u、4.0015u和7.0160u．已知1u相当于931.5MeV，则下列叙述中正确的是（）A．此反应过程质量减少0.0103uB．若生成的两个α粒子的动能之和是18.3MeV，与实验相符C．核反应中释放的能量是18.9MeV，与实验相符D．若生成的两个α粒子的动能之和是19.5MeV，与实验相符15.如图，质量分别为 m1 = 1.0 kg和 m2 = 2.0 kg的弹性小球a、b，用轻绳紧紧的把它们捆在一起，使它们发生微小的形变．该系统以速度v0 = 0.10 m/s沿光滑水平面向右做直线运动．某时刻轻绳突然自动断开，断开后两球仍沿原直线运动．经过时间t = 5.0 s后，测得两球相距s = 4.5 m，则下列说法正确的是（）A.刚分离时，a 球的速度大小为 0.7 m/sB.刚分离时，b 球的速度大小为 0.2 m/sC.刚分离时，a、b 两球的速度方向相同D.两球分开过程中释放的弹性势能为0.27 J卷II（非选择题共40分）二、解答题（本题共计 4小题，共计40分。

广东省广州市中大附中2018-2019学年高二下期中考试理科数学试题

中大附中2018-2019学年度第二学期期中考试高二数学(理科)试卷第Ⅰ卷选择题(60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.请将正确选项前的字母代号涂在答题卡上)1.设()()，i i z 211-+=则z 的虚部为 A.1- B.i C.1 D.i -2.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据:根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为，35.07.0+=∧x y 那么表中t 的值为A.4.5B.3.15C.3D.3.5 3.42⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中的常数项为 A.24 B.12 C.8 D.64.5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有A.24种B.120种C.96种D.48种5.若函数()，xx x f 12+=则()=-'1fA.0B.-3C.1D.36.如图所示，正方体1111D C B A ABCD -的棱AB 、11D A 的中点分别为E 、F ，则直线EF 与平面D D AA 11所成角的正弦值为A.55B.66C.630D.552 7.已知某8个数的平均数为3，方差为2，现加入一个新数据3，此时这9个数的平均数为x ，方差为2s ，则 A.232＞，＞s x B.232＞，s x = C.232＜，＞s x D.232＜，s x =8.某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的数学期望()，9.8=ξE 则y 的值为A.0.8B.0.6C.0.4D.0.29.在00＞，＞b a 0的条件下,五个结论:；；②①b a ab b a ab b a +≥+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222b a a b b a b a b a +≤++≤+222222；④③；⑤设c b a 、、都是正数，则三个数cc b b a a 111+++、、至少有一个不小于2，其中正确的个数是 A.5 B.4 C.3 D.210.已知随机变量ξ的分布列如下，则()ξE 的最大值是A.6415-B.85-C.41-D.6419- 11.我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题:今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归，问：三女何日相会？”意思是：一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家，三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”。

广东第二师范学院番禺附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试题(含答案)

2018学年第二学期广东二师附中中段测试高二级试题数学（理）本试卷共4页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2．作答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

写在本试卷上无效。

3．第Ⅱ卷必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将答题卡一并交回，试卷自己保管好。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合{}04A x x =<<，{}42B x x =-<≤，则A B =A.()0 4，B.(]4 2-，C.(]0 2，D.()4 4-，2.若复数z 满足1i 1iz -=-，则z =A.1B.C.2D.3．已知向量(1,2),(2,1),(1,)a b c λ==-=，若()a b c +⊥，则λ的值为A ．3-B ．13-C ．13D ．34．若3sin(2)25πα-= ，则44sin cos αα-的值为 A ．45 B ．35 C ．45-D ．35-5. 函数()f x 在[0,)+∞单调递减，且为偶函数．若(12)f =-，则满足3()1x f -≥-的x 的取值范围是A ．[1,5]B ．[1,3]C ．[3,5]D ．[2,2]-B6．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如右茎叶图：则下列结论中表述不正确．．．的是 A. 第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80分钟 B. 第二种生产方式比第一种生产方式效率更高 C. 这40名工人完成任务所需时间的中位数为80D. 无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80分钟.7. 如图，网格纸上虚线小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．643B ．52C ．1533D ．568．某班星期五上午安排5节课，若数学2节，语文、物理、化学各1节，且物理、化学不相邻，2节数学相邻，则星期五上午不同课程安排种数为 A ．6 B ．12 C ．24 D ．489. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>两焦点且与x 轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为 A1BC ．32D ．210. 右图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC 为直角三角形，四边形DEFC 为它的内接正方形，记正方形为区域Ⅰ，图中阴影部分为区域Ⅱ，在△ABC 上任取一点，此点取自区域Ⅰ、Ⅱ的概率分别记为1p 、2p ，则A ．12p p =B ．12p p <C ．12p p ≤D ．12p p ≥11．已知△ABC 中，AB=AC=3，sin 2sin ABC A ∠= ，延长AB 到D 使得BD=AB ，连结CD ，则CD 的长为A ．BCD．12.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点(0，1)，(0，3)，且与x 轴正半轴相切，若圆C 上存在点M ，使得直线OM 与直线y kx =(0k >)关于y 轴对称，则k 的最小值为A.C.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“对2[1,1],310x x x ∀∈-+->”的否定是 _______；14.已知变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-003302y y x y x ，则y x z +=的最小值为；15．在曲线()sin cos f x x x =-，(,)22x ππ∈-的所有切线中，斜率为1的切线方程为；16．已知圆锥的顶点为S ，底面圆周上的两点A 、B 满足SAB ∆为等边三角形，且面积为轴截面的面积为8，则圆锥的表面积为 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17(本小题满分12分) 在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，.已知sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求角C 的值；(Ⅱ)若4a c ==，，求ABC ∆的面积.18(本小题满分12分) 设数列｛n a ｝的前n 项和为n s ，已知344n n s a =-，*n N ∈．（1)求数列｛n a ｝的通项公式； (2）令2211log log n n n b a a +=，求数列｛n b ｝的前n 项和Tn.19.(本小题满分12分)面BCGF ，如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平2CB GF =，BF CF =.(Ⅰ)求证：AB CG ⊥；(Ⅱ)若BC CF =，求直线AE 与平面BEG 所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知点P 在椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>上，椭圆C 的焦距为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）斜率为定值k 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且满足22||||OA OB +的值为常数，（其中O 为坐标原点）（i ）求k 的值以及这个常数；（ii ）写出一般性结论（不用证明）：斜率为定值k 的直线l 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于A 、B 两点，且满足22||||OA OB +的值为常数，则k 的值以及这个常数是多少？21.（本小题满分12分）设函数1()ln f x ax x b x=-++()a b R ∈、，（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点1x 、2x ，求证：121222x x ax x ++>．22（本小题满分10分)已知()32f x x =+.(Ⅰ)求()1f x ≤的解集；(Ⅱ)若()2f x a x ≥恒成立，求实数a 的最大值.2018学年第二学期广东二师附中中段测试高二级试题数学（理）参考答案一、选择题解析: 5. 法一：因函数()f x 在[0,)+∞单调递减，且为偶函数，则函数()f x 在(,0)-∞单调递增，由()(22)1f f =-=-，则23215x x -≤-≤⇒≤≤.故选A.法二：由3()1x f -≥-得()2)3(f x f ≥-或3()(2)x f f ≥--，即303532x x x -≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩或301332x x x -<⎧⇒≤<⎨-≥-⎩，综合得15x ≤≤. 7.由三视图知该几何体为一长方体与一直三棱柱的组合体，其体积为2143414562⨯+⨯⨯⨯=. 8. 第一步：将两节数学捆在一起与语文先进行排列有22A 种排法，第二步：将物理、化学在第一步排后的3个空隙中选两个插进去有23A 种方法，根据乘法原理得不同课程安排种数为222312=A A .9.将x c =代入双曲线得4222b b y y a a =⇒=±，则222b c ac c a a =⇒=-11e e⇒-=，解得e =.10. 法一：设△ABC 两直角边的长分别为,a b ，其内接正方形的边长为x ，由x b x a b -=得abx a b=+，则122()ab p a b =+，222122211()()ab a b p p a b a b +=-=-=++22()aba b ≥+（当且仅当a b =时取等号）．法二（特殊法）：设1,2,BC AC ==CD x =，则23x =，故12445,1999p p ==-=，从而排除A 、D ，当△ABC 为等腰直角三角形时12p p =，排除B ，故选C ． 11. 由sin 2sin ABC A ∠=结合正弦定理得1322BC AC ==，在等腰三角形ABC 中，311c o s 434ABC ∠=⨯=，从而1co s 4D B C ∠=-，由余弦定理得：2222cos CD BD BC BD BC DBC =+-⋅⋅∠272=，故2CD =.12.（略）二、填空题解析：15.设切点为00(,)x y ，则由000'()cos sin 1f x x x =+=且0(,)22x ∈-，得00x =，01y =-，故所求的切线方程为10x y --=（或1y x =-）.16. 设圆锥母线长为l ,由SAB ∆为等边三角形，且面积为24l =⇒=，又设圆锥底面半径为r ，高为h ，则由轴截面的面积为8得8rh =，又2216r h +=，解得r =（或设轴截面顶角为S ，则由21sin 82l S =得90S =︒，可得圆锥底面直径2r =，）故 2=1)S rl r πππ+=表.三、解答题17.(本小题满分12分) 解: (Ⅰ)∵sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴1sin sin sin sin 022B C C C B ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭，∴1sin 02C C +=，∴sin 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∵()0C π∈，，∴23C π=. …………………………6分(Ⅱ)∵2222cos ca b ab C =+-，∴24120b b +-=，∵0b >，∴2b =，∴11sin 2422S ab C ==⨯⨯=. …………………………12分18(本小题满分12分)．解：（1）∵344n n s a =-， ①∴ 当n ≥2时，11344n n S a --=-．② ………………………………………2分由①-②得1344n n n a a a -=-，即14n n a a -=(n ≥2)． ………………………3分当n =1时，得11344a a =-，即14a =．∴ 数列{a n }是首项为4，公比为4的等比数列．……………………………5分 ∴ 数列{a n }的通项公式为4n n a =． …………………………………………6分（2）∵ 2211log log n n n b a a +=⋅=1221log 4log 4n n +⋅=1111()2(22)41n n n n =-⋅++． …………………………………8分∴ 数列{b n }的前n 项和123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+11111111[(1)()()()]4223341n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-+ 11(1)414(1)n n n =-=++． ………………………12分19.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)取BC 的中点为D ，连结DF .由ABC EFG -是三棱台得，平面ABC ∥平面EFG ，从而//BC FG . ∵2CB GF =，∴//CD GF =， ∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点， ∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ， ∴CG ⊥平面ABC ，而AB ⊂平面ABC ，∴CG AB ⊥. ………………………5分 (Ⅱ)连结AD .由ABC ∆是正三角形，且D 为中点得，AD BC ⊥. 由(Ⅰ)知，CG ⊥平面ABC ，//CG DF ，∴DF AD DF BC ⊥⊥，，∴DB DF DA ，，两两垂直.以DB DF DA ，，分别为x y z ，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -. 设2BC =，则A(0 0 ，，E(12-)，B (1，0，0)，G (-1，0)，∴12AE ⎛=- ⎝⎭，()2 0BG =-，32BE ⎛=- ⎝⎭. 设平面BEG 的一个法向量为()n x y z =，，.由00BG n BE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得，20 302x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，.令x =21y z ==-，，∴()3 2 1n =-，，.设AE 与平面BEG 所成角为θ，则6sin cos AE n AE n AE nθ⋅=<>==⋅，.………12分 20. (本小题满分12分) 解：（1）由点P 在椭圆上得223112a b +=，2c =2，-----------------------------1分 2222322b a a b ∴+=，c =1，又222a b c =+， 222232(1)2(1)b b b b ∴++=+，422320b b ∴--=，解得22b =，得23a =，∴椭圆C 的方程为22132x y +=；----------------------------------------------4分（2）（i ）设直线l 的方程为y kx t =+，联立22132x y +=，得222(32)6360k x ktx t +++-=，∴2121222636(1)(2)3232ktt x x x x k k -+=-=++----------------------5分又22112(1)3x y =-，22222(1)3x y =-， 2222221122||||()()OA OB x y x y +=+++22121()43x x =++212121[()2]43x x x x =+-+ 22221636[()2]433232kt t k k -=-⨯+++ 222221(1812)362443(32)k t k k -++=⨯++--------------------------------8分要使22||||OA OB +为常数，只需218120k -=，得223k =，---------------9分∴22||||OA OB +212424453(22)+=⨯+=+，∴k ==，这个常数为5；-------------------------------10分（ii ）b k a=±，这个常数为22a b +．----------------------------------------12分 21. 解：(本小题满分12分)（1）222111'()(0)ax x f x a x x x x --=--=>，----------------------------------1分设2()1(0)g x ax x x =-->，①当0a ≤时，()0g x <，'()0f x <；----------------------------------------------2分 ②当0a >时，由()0g x =得12x a +=或102x a-=<，记12x a+=0x =则20()1()(0)g x ax x a x x x x =--=->，∵0x >∴当0(0,)x x ∈时，()0g x <，'()0f x <，当0(,)x x ∈+∞时，()0g x >，'()0f x >，--------------------------------------4分 ∴当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x在1(0,2a+上单调递减，在1(,)2a ++∞上单调递增．-----5分（2）不妨设12x x <，由已知得1()0f x =，2()0f x =，即1111ln ax x b x =--，2221ln ax x b x =--，---------------------------------------6分两式相减得21212111()ln ln ()a x x x x x x -=---， ∴212121ln ln 1x x a x x x x -=+-，----------------------------------------------7分要证121222x x ax x ++>，即要证2112122121ln ln 122()x x x x x x x x x x -++>+-，只需证21121221ln ln 2x x x x x x x x -+>⋅⋅-，只需证222121212ln x x xx x x ->，即要证2121212ln x x x x x x ->，---------------------------9分设21x t x =，则1t >，只需证12ln t t t->，-------------------------------------------10分设1()2ln (1)h t t t t t=-->，只需证()0h t >，222221221(1)'()10t t t h t t t t t -+-=+-==>， ()h t ∴在(1,)+∞上单调递增，()(1)0h t h ∴>=，得证．---------------12分22. (本小题满分10分)解：(Ⅰ)由()1f x ≤得，|32|1x +≤，所以，1321x -≤+≤，解得113x -≤≤-，所以，()1f x ≤的解集为113⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，. …………………………5分 (Ⅱ)()2f x a x ≥恒成立，即232+≥x a x 恒成立.当0x =时，a R ∈；当0x ≠时，23223+≤=+x a x x x.因为23x x +≥(当且仅当23x x =，即x =)，所以a ≤a的最大值是…………………………10分。

2018-2019学年广东省华南师大附中高一下学期期中数学试题(解析版)

2018-2019学年广东省华南师大附中高一下学期期中数学试题一、单选题1．在等差数列{}n a 中，11a =，25a =，则4a =（） A ．9 B ．11 C ．13 D ．15【答案】C【解析】先求出公差，再根据通项公式求得4a . 【详解】因为，11a =，25a =，所以公差21514d a a =-=-=，所以41313413a a d =+=+⨯=，故选：C 【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，属于基础题.2．在等比数列{}n a 中，0n a >，且121a a +=，349a a +=，则56a a +的值为（） A ．16 B ．27 C ．36 D ．81【答案】D【解析】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >,根据通项公式将已知等式化为首项和公比，联立解出首项和公比，再利用通项公式可求出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >,则1(1)1a q +=，23119a q a q +=，联立以上两式解得113,4q a ==，所以45456111(1)81a a a q a q a q q +=+=+=.故选：D 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，属于基础题.3．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，3A π=，3sin B =.2b =，则a =（） A ．1 B ．3C ．3D ．43【答案】C【解析】直接根据正弦定理可得结果. 【详解】因为3A π=，3sin B =.2b =，所以由正弦定理可得sin sin a bA B=，可得33=，所以3a =. 故选：C 【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，属于基础题. 4．在ABC ∆中，7AB =，6AC =，1cos 4A =，则BC =（） A ．5B ．8C ．106D ．41【答案】B【解析】直接根据余弦定理可得结果. 【详解】因为7AB =，6AC =，1cos 4A =，所以由余弦定理得22212cos 4936276644BC AB AC AB AC A =+-⨯⨯⨯=+-⨯⨯⨯=，所以8BC =. 故选：B 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，属于基础题. 5．设，则间的大小关系是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】∵，，，， ∴，故选D.6．数列{}n a 满足131n n a a +=+，11a =，则此数列的第3项是（） A ．13 B ．10 C ．7 D ．4【答案】A【解析】在递推关系式中令1n =和2n =即可求得结果. 【详解】因为131n n a a +=+，11a =，所以21313114a a =+=⨯+=，所以323134113a a =+=⨯+=. 故选：A 【点睛】本题考查了数列的概念，考查了求数列中的项，属于基础题.7．数列{}n a 中，对所有*n N ∈，都有：2123n a a a a n ⋅⋅⋅=，则6a =（）A ．56B ．65C ．2536D ．3625【答案】D【解析】利用两式相除可得n a ，再令6n =即可求出结果. 【详解】因为2123n a a a a n ⋅⋅⋅=，所以21231(1)n a a a a n -=-L (2)n ≥，所以2n ≥时，22(1)n n a n =-，所以63625a =. 故选：D 【点睛】本题考查了数列的概念，利用已知等式恒成立推出另一个等式，再两式相除求出n a 是解题关键，属于基础题.8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则下列条件下有唯一解的是（） A ．1a =，b =30A =︒B ．1a =，2b =，3c =C ．1b c ==，45B =︒D ．1a =，2b =，100A =︒【答案】C【解析】通过对四个选项中的条件逐个分析可得答案. 【详解】对于选项A ，因为A 为锐角，且sin a b A >，所以三角形有两解；对于选项B ，因为a b c +=，故三角形不存在，所以三角形无解；对于选项C ，因为b c =，所以45A B ==o ，所以90C =o ，故三角形有唯一解；对于选项D ，因为1a =，2b =，100A =︒，所以100B A >=o ，故三角形无解. 故选：C 【点睛】本题考查了求三角形的解的个数，属于基础题. 9．ABC ∆中，若cos cos a bB A=，则该三角形一定是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】利用余弦定理角化边后，经过因式分解变形化简可得结论. 【详解】因为cos cos a bB A=，所以22222222a ba cb bc a ac bc=+-+-，所以22222222()()a b c a b a c b +-=+-，所以224224a c a b c b -=-，所以22244()c a b a b -=-，所以22222()()0a b c a b ---=，所以220a b -=或222c a b =+，所以a b =或222+=a b c ，所以三角形是等腰三角形或直角三角形. 故选：D 【点睛】本题考查了利用余弦定理角化边，考查了利用余弦定理判断三角形的形状，属于基础题. 10．在R 上定义运算，*2a b ab a b =++，则满足()*20x x -<的实数x 的取值范围为（） A ．()0,2 B ．()2,1-C ．()()8,21,8--+UD ．()1,2-【答案】B【解析】利用新定义进行运算，将不等式化为一元二次不等式可解得结果. 【详解】由定义可得(2)220x x x x -++-<，所以220x x +-<，解得21x -<<. 故选：B 【点睛】本题考查了对新定义的理解和应用的能力，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. 11．某地为了保持水土资源实行退耕还林，如果2018年退耕a 万亩，以后每年比上一年增加10%，那么到2025年一共退耕（） A ．()810 1.11a - B ．()81.11a -C ．()710 1.11a -D ．()71.11a -【答案】A【解析】建立等比数列模型后，利用等比数列的前n 项和的公式即可得到结论. 【详解】记2018年为第一年，第n 年退耕{}n a 亩，则{}n a 为等比数列，且1a a =，公比(110%)q =+, 则问题转化为求数列{}n a 的前8项和，所以数列{}n a的前8项和为：888 1(1)(11.1)10(1.11)11 1.1a q aaq--==---.所以到2025年一共退耕()810 1.11a-亩.故选：A【点睛】本题考查了数列的应用，考查了数学建模能力，考查了等比数列的前n项和公式，属于基础题.12．在ABC∆中，E，F分别为AB，AC的中点，P为EF上的任一点，实数x，y满足0PA xPB yPC++=u u u r u u u r u u u r r，设ABC∆、PBC∆、PCA∆、PAB∆的面积分别为S、1S、2S、3S，记iiSSλ=（1,2,3i=），则23λλ⋅取到最大值时，2x y+的值为（）A．－1 B．1 C．32-D．32【答案】D【解析】根据三角形中位线的性质，可得P到BC的距离等于△ABC的BC边上高的一半，从而得到12312S S S S==+，由此结合基本不等式求最值，得到当23λλ⋅取到最大值时，P为EF的中点，再由平行四边形法则得出1122PA PB PC++=u u u r u u u r u u u r r，根据平面向量基本定理可求得12x y==，从而可求得结果.【详解】如图所示：因为EF是△ABC的中位线，所以P到BC的距离等于△ABC的BC边上高的一半，所以12312S S S S==+，由此可得22232322322()1216S SS S SSS S S Sλλ+=⨯=≤=，当且仅当23S S=时，即P为EF的中点时，等号成立，所以0PE PF+=u u u r u u u r r，由平行四边形法则可得2PA PB PE +=u u u r u u u r u u u r ，2PA PC PF +=u uu r u u u r u u u r ，将以上两式相加可得22()0PA PB PC PE PF ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r，所以11022PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r，又已知0PA xPB yPC ++=u u u r u u u r u u u r r ，根据平面向量基本定理可得12x y ==，从而132122x y +=+=. 故选：D 【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.二、填空题13．函数y =______.【答案】(][),23,-∞-+∞U【解析】根据偶次根式有意义的条件是被开方大于等于0，列不等式可解得. 【详解】由260x x --≥，解得3x ≥或2x -≤，所以定义域为(][),23,-∞-+∞U . 故答案为：(][),23,-∞-+∞U 【点睛】本题考查了利用偶次根式的被开方大于等于0求函数的定义域，属于基础题.14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知5a =，8b =，7c =，则ABC ∆的面积为______.【答案】【解析】根据余弦定理求出cos A ，再根据同角公式求出sin A ，然后根据三角形的面积公式即可求出结果. 【详解】因为5a =，8b =，7c =，所以由余弦定理可得22264492511cos 228714b c a A bc +-+-===⨯⨯，所以sin A ===所以ABC ∆的面积为11sin 8722bc A =⨯⨯=故答案为：【点睛】本题考查了余弦定理，考查了同角公式，考查了三角形的面积公式，属于基础题. 15．已知a ，b R +∈，且1a b +=，则41a b+的最小值为_______. 【答案】9【解析】根据题意得到41a b + ()4145b a a b a b a b ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭再由均值不等式求解即可. 【详解】已知a ，b R +∈，且1a b +=,41a b + ()414559.b a a b a b a b ⎛⎫=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当4b aa b=时有最小值9. 故答案为9. 【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.16．已知函数()f x 满足()1,11f =，()*,N f m n ∈（*,N m n ∈），且对任何*,N m n ∈，都有：①()(),1,2f m n f m n +=+，②()()1,12,1f m f m +=，给出以下三个结论：（1）()1,59f =；（2）()5,116f =；（3）()6,642f =，其中正确的个数是______个. 【答案】3【解析】由①可知{(,)}f m n 为等差数列，可以求出(,)(,1)22f m n f m n =+-，由②可知{(,1)}f m 是等比数列，可以求出1(,1)(1,1)2m f m f -=⨯，由此可得1(,)222m f m n n -=+-，从而可求出(1,5)f ，(5,1)f 和(6,6)f 的值，进而可得答案.【详解】由①()(),1,2f m n f m n +=+可知{(,)}f m n 是首项为(,1)f m ，公差为2的等差数列，所以(,)(,1)(1)2(,1)22f m n f m n f m n =+-⨯=+-，由②()()1,12,1f m f m +=可知{(,1)}f m 是首项为(1,1)f ，公比为2的等比数列，所以1(,1)(1,1)2m f m f -=⨯12m -=，所以1(,)(,1)22222m f m n f m n n -=+-=+-，所以11(1,5)22529f -=+⨯-=，故（1）正确；51(5,1)221216f -=+⨯-=，故（2）正确； 61(6,6)226242f -=+⨯-=，故（3）正确.所以正确的个数为3. 故答案为：3 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的通项公式，属于基础题.三、解答题 17．求不等式3121x <-的解集. 【答案】()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U【解析】通过移项通分将分式不等式化为标准形式，再去分母转化为一元二次不等式即可解得结果. 【详解】因为331102121x x <⇔-<--()421020212x x x x -⎛⎫⇔<⇔--> ⎪-⎝⎭∴12x <或2x >故原不等式的解集为()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U .【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. 18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c，且sin cos sin A B a C ⋅=⋅.（1）求B Ð的大小；（2）若ABC ∆的面积为2a ，求cos A 的值. 【答案】（1）4π；（2【解析】（1）根据正弦定理可得cos B =，再根据角B 的范围可得结果；（2）根据面积公式可得c =，根据余弦定理可得b =，再根据余弦定理可得cos A 的值.【详解】（1）在ABC ∆中，由正弦定理可得：sin sin c A a C =，所以：cos 2B ==，又0B π<<，所以4B π=. （2）因为ABC ∆的面积为21sin 24S ac B ac a ===，∴c =，由余弦定理，22222cos 5b a c ac B a =+-=，所以b =.所以222cos 10A ==. 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，属于基础题. 19．已知数列{}n a 中，112a =，123nn n a a a +=+()*n N ∈. （1）求证：11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 满足()312n nn nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）131n n a =- 证明见解析；（2）222nn +- 【解析】（1）将123n n n a a a +=+两边倒过来，加上1，变形可证：11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，根据等比数列的通项公式可求得结果；（2）根据已知求出2n nnb =后，利用错位相减法可求得结果. 【详解】（1）由已知可得：123111131n n n n a a a a +⎛⎫++=+=+ ⎪⎝⎭，而11130a +=≠所以数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以3为首项，3为公比的等比数列，所以113n na += 所以131n na =-. （2）由（1）得2n nn b =， 231232222n n n T =++⋅⋅⋅+， 231112122222n n n n n T +-=++⋅⋅⋅++ 两式相减，得：23111111222222n n n n T +=+++⋅⋅⋅+-111211222n n n n n +++=--=-∴222n n n T +=-【点睛】本题考查了用定义证明等比数列，考查了由递推关系式求通项公式，考查了错位相减法求和，属于中档题.20．已知关于x 的不等式220x ax x b --+< （1）若此不等式的解集为()1,2-，求a 、b 的值；（2）若2b a =，解关于x 的不等式220x ax x b --+<.【答案】（1）1a =-，2b =-；（2）当2a <时，解集为(),2a ；当2a =时，解集为空集；当2a >时，解集为()2,a ；【解析】（1）根据一元二次不等式的解与一元二方程根的关系，列式可解得结果；（2）当2b a =时，不等式可化为()()20x a x --<，然后分类讨论a 即可得到结果. 【详解】（1）由不等式的解集为()1,2-，可知方程220x ax x b --+=的两根为－1和2，得21212a b +=-+⎧⎨=-⨯⎩.解得1a =-，2b =-. （2）由题，2b a =，原不等式可化为()2220x a x a -++>；因此，()()20x a x --<①当2a <时，原不等式等价于2a x <<；②当2a =时，原不等式等价于()220x -<，解集为空集； ③当2a >时，原不等式等价于2x a <<.综上所述：当2a <时，原不等式的解集为(),2a ；当2a =时，原不等式的解集为空集；当2a >时，原不等式的解集为()2,a ；【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数，考查了含参数的一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于中档题.21．已知数列{}n a 满足()()()1123212326*n n a a n a n n N +++⋯+-=-⋅+∈，(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)数列{}n b 满足2n nn b a a =-，数列{}n b 的前n 项和n S ，设2nn nT S =，证明：12332n T T T T +++⋯+<．【答案】（1）2nn a =；（2）见解析【解析】(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(2)利用(1)的通项公式，进一步求出数列{}n b 的通项公式，最后利用裂项相消法求出数列的和．【详解】解：(1)数列{}n a 满足()()n 112n a 3a 2n 1a 2n 326+++⋯+-=-⋅+①，则：()()n12n 1a 3a 2n 3a 2n 526-++⋯+-=-⋅+②，-①②得：()()()n nn 2n 1a 4n 622n 52-=---，整理得：()()nn 2n 1a 2n 12-=-⋅，所以：nn a 2=．当n 1=时，首项符合通项，故：nn a 2=．证明：(2)数列{}n b 满足2n n n b a a =-，则：n nn b 42=-，数列{}n b 的前n 项和()()12n12n n S 444222=++⋯+-++⋯+，()()n n4412214121--=---，()()nn 1221213+=--，则：n n n n 1n 2311T S 22121+⎛⎫==- ⎪--⎝⎭，所以：123n 223n n 13111111T T T T 212121212121+⎛⎫+++⋯+=-+-+⋯+- ⎪-----⎝⎭n 131312212+⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭．【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型，第二问关键是()()nn 1n 2S 21213+=--的变形.22．已知二次函数()2f x ax bx c =++（,,a b c ∈R ，0a ≠），满足：()f x 在R 上的最小值为0；且对任意x ∈R ，()212x x f x +⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭成立.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求最大的m （1m >），使得存在t R ∈，只要[]1,x m ∈，就有()f x t x +≤.【答案】（1）()2111424f x x x =++；（2）9 【解析】（1）根据最小值为0，以及211(1)()02f -+-≤=，可得(1)0f a b c -=-+=，根据对称轴的函数值最小可得12ba-=-，在()212x x f x +⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭中令1x =可得()11f a b c =++=，联立三个式子可解得12b =，14a c ==，从而可得()2111424f x x x =++；（2）取1x =，可得40t -≤≤，取x m =，可得11t m t -≤≤-+而()1149m t ≤-≤--+=. 【详解】（1）由已知及最小值为0，得()211012f -⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，所以()10f a b c -=-+=①，且函数()f x 的对称轴方程为1x =-，即12ba-=-，② 另一方面，()211112f +⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，所以()11f a b c =++=③ 联立①②③解得12b =，14a c == 所以()2111424f x x x =++ （2）取1x =，有()11f t +≤，即()()2111111424t t ++++≤ 得40t -≤≤.取x m =，有()f t m m +≤即()()2111424t m t m m ++++≤，化简得：()()2221210m t m t t --+++≤对于固定的[]4,0t ∈-成立，则11t m t -≤≤-从而()1149m t ≤-≤--=. 当4t =-时，对任意的[]1,9x ∈恒有：()()()()211410919044f x x x x x x --=-+=--≤，满足题意，因此满足条件的m 的最大值为9. 【点睛】本题考查了利用二次函数的性质求二次函数的解析式，考查了一元二次不等式的解法，考查了利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题.。