第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计

先设计一个合适的模拟滤波器，然后变换成满足给定指 标的数字滤波器。

很方便，这是因为模拟滤波器的设计方法已经很成熟， 它不仅有完整的设计公式，还有完善的图、表供查阅。


直接在频域或者时域中进行设计
在频域或者时域中直接进行设计， 这是一种最优化设计法。 由于要解联立方程，因此需要计算机辅助进行设计。
12
理想模拟滤波器幅频特性
13
一、模拟滤波器的技术指标

幅度平方函数
* H a ( j ) H a ( j ) H a ( j ) H a ( s ) H a ( s ) s j 2

模拟低通滤波器的技术指标 通带截止频率 p

通带最大衰减 p 阻带截止频率 s 阻带最小衰减 s 3dB截止频率
k 0，，N－ 1， 1
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Ha(p)的求得
1
k 0
N=?
k 0，，N－ 1， 1
现成表格
1 H a ( p ) N 1 2 N （ p pk） b0 b1 p b2 p p
pk e
1 2 k 1 j 2 2N
只要确定N，即可确定pk ，及Ha(p) 。 Ha(p)可查表求得：
• 分母多项式形式
• 极点形式 • 分母因式形式
见书P157 表6.2.1
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Ha(s)的求得
对Ha(p)去归一化即可得到Ha(s)
H a ( s ) H a ( p) |
s p c
ΩC=?
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滤波器阶数N的确定

N取大于或等于N 的最小整数
H a ( j)
2
技术指标： p p
2.
s
N、Ω c
由阶数N，按所要求的形式，查表6.2.1,得到 Ha(p)。 阶数N Ha(p)
3.
由Ha(p)去归一化得到Ha(s)。
H a ( s ) H a ( p) |
p
s c
29
例6.2.1
已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减α p=2dB，
阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减α s=30dB，
21
求得Ha(s)
2
|Ha(jΩ )|2 → Ha(s)
1 | H a ( j) | H a ( s) H a ( s) |s j 1 ( s jc ) 2 N

在S平面总共有2N个极点，为了保证所设计的滤波器 是稳定的，将s平面左半平面的N个极点分配给Ha(s)，
而将右半平面的N个极点分配给Ha(-s)，得：

对于选频滤波器，一般对通带和阻带内的幅 频响应曲线形状没有具体要求，只要求其波 纹幅度小于某个常数，通常将这种要求称为 “片段常数特性”。
所谓片段，是指“通带”和“阻带”，常数 是指“通带波纹幅度δ 1”和“阻带波纹幅度 δ 2”。
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三、IIR数字滤波器的两类设计方法 学习内容


借助于模拟滤波器的设计方法
H a (s)
sk c e
N Ωc
（ S Sk）
k 0
N 1
1 2 k 1 j 2 2N
k 0,1, 2,, N 1
22
对频率以Ωc归一化
H a (s)
N Ωc
（ S Sk）
k 0
N 1
s H a ( ) N 1 S1 S c （ c kc ）
按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。 解: (1) 确定阶数N。
10 1 ksp 41.3223 0.1as 10 1 2 f s sp 2.4 2 f p
0.1a p
注意要取大于或 等于N的整数
lg 0.0242 N 4.25, lg 2.4
N 5
30
（2）求Ha(p) 直接查表，由N=5，得到：
s s
2
根据技术指标求出滤波器阶数N：
H a ( j p )
2
1 1 ( c ) 2 N
由 p 10lg H a ( j p ) 得： 1 p c
2N
1 p 1 c
N
2N
10
0.1 p
同理：
s 1 c
极点：-0.3090±j0.9511,-.8090±j0.5878;
-1.0000 或： 得到Ha(p)
直接查表,由N＝5，得到：
b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,
b4=3.2361
1 H a ( p) 5 p b4 p 4 b3 p 3 b2 p 2 b1 p b0
j
j ( )
选频滤波器：对相位的要求不严格，只要求满
IIR
足一定幅度特性的滤波器。
线性相位滤波器：对相位有严格线性要求的滤
波器，用FIR容易实现。
对相位要求严格的信号处理：语音信号处理、图 像信号处理、波形传输等。
6
数字低通滤波器技术指标
ωp：通带截止频率 ωs：阻带截止频率 ωc：3dB截止频率
31
(3) 将Ha(p)去归一化，得到Ha(s) A、先求3dB截止频率Ω c。
1 2N
c p (10
0.1a p
1)

2 5.2755krad / s
fs=12kHz有富裕量
将Ω c代入得到：
s ' c (100.1as 1)
1 2N
2 10.525krad / s
2N
100.1 s
0.1 p p 10 1 s 100.1 s 1
令
s sp p
10 1 ksp 0.1 s 10 1
0.1 p
则：N
lg ksp lg sp
27
滤波器Ωc的确定
其中技术指标 c 给出或由下式求出：
k 0
s p c
归一化系统函数
1 H a ( p ) N 1 N p bN 1 p N 1 b1 p b0 （ p pk）
1
k 0
sk e c
pk e
1 2 k 1 j 2 2N
归一化系统极点
1 2 k 1 j 2 2N
H (e ) H ( z )

j
数字滤波器的设计实际上就是确定其系统 函数并实现的过程。
3
一、 数字滤波器设计的步骤
1.根据任务，确定滤波器的性能指标。 2.设计因果稳定的线性时不变系统函数H(z) 。 3.用有限精度算法实现这个系统函数。 4.用适当的软、硬件技术实现。（包括采用：通用计 算机软件、数字滤波器硬件、或者二者结合。）
δ 1：通带波纹幅度
δ 2：阻带波纹幅度

通带
阻带 过渡带
0 p
(1 1 ) H (e j ) 1

s
p s
H (e j ) 2
7

数字低通滤波器技术指标

通带内允许的最大衰减
a 201 g p H (e ) H (e
1 不管N的取值是多少，都经过 2

点。
18
1 H a ( j) 1 ( c ) 2 N
2
现成的曲线
19
幅度平方函数的极点分布
1 1 | H a ( j) | H a ( s ) H a ( s ) |s j 2N 2N 1 ( c ) 1 ( s j c )
4
二、 数字滤波器的技术指标

频响函数
H ( e j ) H ( e j ) e j ( )

幅频特性 H (e j ) 表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况 相频特性 ( ) 反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况

5
说明
H (e ) H (e ) e
j
2

幅度平方函数有2N个极点
sk c e
1 2 k 1 j 2 2N
k 0,1, 2,, 2 N 1


这2N个极点等间隔分布在半径为Ωc的 圆上（该圆称为巴特沃斯圆），间隔是 /Nrad。 这些极点以虚轴为对称轴，而且不会落 在虚轴上。
20
Butterworth圆
第六章 无限长单位脉冲响应(IIR) 数字滤波器的设计方法
本章目录

数字滤波器的技术指标与设计方法 模拟滤波器的设计
IIR数字滤波器的设计

脉冲响应不变法 双线性变换法

IIR数字滤波器的Matlab仿真实现
2
6.1 引言

数字滤波器的设计就是设计一个因果稳定 的离散线性移不变系统H(z)去逼近所需的 频响性能,是一个系统综合的问题。
c
通带 阻带 过渡带
14
其中：
p 10 lg s 10 lg
H a ( j 0)
2 2
H a ( j p ) H a ( j 0)
2
20
H a ( j 0) H a ( j p ) H a ( j 0) H a ( j s )
H a ( j s )
2
20 lg
以|H(j0)|=1归一化
c p 10

0.1 p
1

1 2N
阻带指标有富裕量
或
c s 10

0.1 s
1

1 2N
通带指标有富裕量
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