九年级上数学《21.1.1 二次根式的概念》
华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》教学设计2
华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》教学设计2一. 教材分析华东师范大学版数学九年级上册《21.1 二次根式》是学生在初中阶段学习二次根式的起点，也是为高中阶段进一步学习函数、不等式等知识做铺垫。
本节课主要让学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法，并能够解决一些实际问题。
教材通过引入二次根式，让学生感受数学与现实生活的联系，提高学生学习数学的兴趣。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
但学生对二次根式这一概念较为陌生，对其性质和运算方法的认识需要通过实例和练习逐步建立。
此外，学生对于将实际问题转化为二次根式问题的能力有待提高。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。
2.能够将实际问题转化为二次根式问题，并运用二次根式解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力，提高学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.二次根式的概念及其性质。
2.二次根式的运算方法。
3.将实际问题转化为二次根式问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次根式的概念、性质和运算方法。
2.利用实例和练习，让学生在实际操作中掌握二次根式的应用。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.运用多媒体辅助教学，提高课堂趣味性和教学效果。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。
2.设计具有代表性的练习题和实际问题。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如测量物体高度、计算物体体积等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。
然后引入二次根式的概念，让学生初步了解二次根式在实际问题中的应用。
2.呈现（15分钟）讲解二次根式的定义，引导学生通过实例理解二次根式的概念。
同时，介绍二次根式的性质，如：二次根式具有非负性、单调性等。
让学生通过实际问题，运用二次根式的性质解决问题。
卓越九年级上册数学21-1二次根式的基本概念
1、二次根式的定义形如)0(≥a a 的代数式叫二次根式 （1）式子中含有二次根号“”；（2）a 可以表示数也可以表示代数式（3）二次根式)0(≥a a 表示非负数a 的算术平方根，0≥a ，即二次根式的两个非负性2、二次根式的两个非负性：)0(≥a a ；0≥a ，具有非负性的还有02≥a ；0≥a ；几个非负数的和等于零，那么这几个非负数均为零。
3、二次根式的主要性质 （1）())0(2≥=a a a（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a（3）)0,0(≥≥•=b a b a ab（4）)0,0(≥>=b a ab a b例1、使12--x x在实数范围内有意义的x 的取值范围是______________ 解析：代数式12--x x含有分式，分子中含有根式，分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数可得⎩⎨⎧≥-≠-0201x x ，解得⎩⎨⎧≤≠21x x 所以x 的取值范围是2≤x 且1≠x例2、222++a a 是不是二次根式？___________（填“是”或“否”）解析：要判断222++a a 是不是二次根式只需判断被开方的式子222++a a 是否为非负数即可。
222++a a =()=+++1122a a 1)1(2++a 1≥，故无论a 取何值，222++a a 都是二次根式。
例3、若12≤≤-a ，化简22)2()1(++-a a解析：根据a a =2可知22)2()1(++-a a =21++-a a ，因为12≤≤-a ，所以01≤-a ，02≥+a ，故22)2()1(++-a a =21++-a a =2)1(++--a a 3=例1、下列式子中二次根式的个数有（ ） （1）31（2）3-（3）12+-x （4）38（5）2)31(-（6）)1(1>-x x A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【变式练习】1、下列各式中，一定是二次根式的有______________________________ ①a ；②z y +；③6a ；④32+x ；⑤962++x x ；⑥12-x例2、（2012.德阳）使代数式12-x x有意义的x 的取值范围是（ ） A.0≥x B.21≠x C.210≠≥x x 且 D.一切实数 【变式练习】1、函数1213-+-=x x y 的自变量x 的取值范围是_______________ 2、（2011.广州）当实数x 的取值使得2-x 有意义时，函数14+=x y 中y 的取值范围是 （ ） A. 7-≥y B.9≥y C.9>y D.9≤y3、（2012.杭州）已知0)3(<-a a ，若a b -=2，则b 的取值范围是___________4、若2)(11y x x x +=---，则______=-y x例3、当31<<-x 时，化简_________12)3(22=+++-x x x【变式练习】1、实数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，化简_______2442222=--++++-b a b ab a b ab a2、化简)10(21<<-+x xx x第五部分：思维误区误区一：不能准确的求出二次根式中字母的取值 误区二：用公式a a =2化简时，忽略了a 的取值范围 例：已知119-=a ，则=+-1682a a （ ）A.4-aB.519-C.419-D.195- 错误答案：A 或B错因分析：没有注意到4<a 正确答案：D分析过程：41193,5194<-<∴<<Θ195)119(444)4(16822-=--=-=-=-=+-a a a a a第六部分：方法规律1、根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件解决求代数式的值或取值范围：对于这一类型的题目，一般从以下两个方面考虑：（1）二次根式有意义，被开方数为非负数 （2）分式有意义，则分母不为零。
21.1二次根式定义,取值范围,性质
检测：指出下列哪些是二次根式？
1 5 2 3 4 b b 0 5 a 2a 2
3
3
21
6 7
3
a b ab 2 2 8 x 1 5m
检测：2 要使下列式子有意义，x需要满 足什么条件？
(1) 3 x
1 (3) 2x 5
0有一个平方根就是0； 负数没有平方根。
1、16的平方根是什么? 算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
正数和0都有算术平方根；
负数没有算术平方根。
创设情境
50米
?米
20米
塔座所形成的这个直角三角形的斜边 长为______________米。 2900
2 2
2 2
10 (3) ( 3 ) 10 27 17
探究
2 2
2
0.1 0.1
2
2 2 3 3
2
0 0
2
一般地，根据算术平方根的意义，
a a
2
a (a≥0)
-a (a≤0)
例题讲解
化简：
(1) 8
解： (1)
( 2 ) ( 5)
1 p (2 p) p 1 2 p 1
1.若１＜Ｘ＜４，则化简
( x 4) 2 ( x 1) 2 的结果是＿＿＿＿＿ 3
2.设a,b,c为△ ABC的三边，化简
(a b c) (a b c) (b a c) (c b a) 2a+2b+2c
2
a≥0
a2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
人教版数学九年级上册21.1.2《二次根式的概念》说课稿
人教版数学九年级上册21.1.2《二次根式的概念》说课稿一. 教材分析人教版数学九年级上册21.1.2《二次根式的概念》这一节，是在学生已经掌握了实数、有理数、无理数等相关知识的基础上进行讲解的。
二次根式是数学中的重要概念，对于学生来说是一个新的知识点，也是后续学习数学的基础。
本节课的主要内容是让学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于实数、有理数、无理数等概念已经有了一定的了解。
但是，二次根式作为一个新的概念，对于学生来说还是有一定的抽象性。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生通过实际例子来理解和掌握二次根式的概念和性质。
三. 说教学目标1.让学生理解二次根式的概念，能够正确识别二次根式。
2.让学生掌握二次根式的性质，能够运用性质进行简单的运算。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生解决问题的能力。
四. 说教学重难点1.二次根式的概念的理解和识别。
2.二次根式的性质的掌握和运用。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法、引导法、实践法等多种教学方法。
同时，利用多媒体教学手段，如PPT、网络资源等，以丰富教学内容，提高学生的学习兴趣。
六. 说教学过程1.导入：通过复习实数、有理数、无理数等概念，为学生引入二次根式的概念。
2.讲解：详细讲解二次根式的概念，通过实际例子让学生理解和掌握。
3.练习：让学生进行一些相关的练习题，巩固对二次根式的理解和掌握。
4.总结：对本节课的内容进行总结，强调二次根式的性质和运算方法。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够清晰地展示二次根式的概念和性质。
可以设计一些图示、列表等，帮助学生理解和记忆。
八. 说教学评价教学评价可以通过学生的课堂表现、作业完成情况、练习题的正确率等方面进行。
同时，还可以通过学生的反馈意见，了解学生对教学内容的掌握程度，以便进行教学反思和改进。
九. 说教学反思在教学结束后，我将会对自己的教学进行反思，看看是否达到了教学目标，学生是否掌握了二次根式的概念和性质。
华师大版九年级数学上册21.1.1 二次根式定义
x 1 ； x2 3x 4 4 3x
3 x 3 ； 4
3 解： 1 x ； 4
2 x 1且x 2；
4 3 全体实数； 4 x 3 .
课堂小结
二次 根式
形如 a （a ≥ 0）的式子叫做 概念 二次根式.
（1）有二次根号； 识别 （2）被开方数是非负数.
第21章 二次根式
21.1.1 二次根式的定义
学习目标：
1. 理解二次根式的定义
2.会求二次根式被开方数中字母的取值范围
3.能利用二次根式的非负性解题
学习重点用二次根式的非负性解决具体问题
新课导入
问题
1. 要做一个两直角边长分别为7cm和4cm的 65 三角尺，斜边的边长应该是_____cm ；
二次根式有意义的条件
达标检测
1．下列式子中，是二次根式的是（
A．
）
7
B．
3
7
C．
x
D．x ）
2．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（
A．5
B．
C.
时，
D．以上皆不对
3．当x是多少
2 x 3 在实数范围内有意义？ x
有意义，则
4．若
3 x
+
x 3
x 2
的值是多少？
x 1有意义.
所以，当 x ≥ 1 时，二次根式
随堂演练1
x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？
（1） x 3
（2） 2 x 3
3 x 2
1 （3） x
5 （4） 1 x
被开方数 x + 3 ≥ 0， 即 x ≥ -3.
x>0
华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》教学设计3
华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》教学设计3一. 教材分析华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》是学生在学习了实数、有理数、无理数等知识后，进一步深入研究根式的特性。
这一章节主要介绍了二次根式的概念、性质和运算。
通过学习，学生能够掌握二次根式的基本知识，为后续学习二次根式的应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对实数、有理数、无理数等概念有一定的了解。
但二次根式作为新的知识，对学生来说还是有一定难度。
因此，在教学过程中，需要从学生的实际出发，循序渐进，引导学生逐步掌握二次根式的知识。
三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。
2.学会二次根式的运算，能进行二次根式的化简、求值等。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法采用讲授法、引导法、合作学习法等，通过讲解、讨论、练习等形式，引导学生主动探究，合作交流，提高学生分析问题、解决问题的能力。
六. 教学准备1.PPT课件七. 教学过程1. 导入（5分钟）教师通过复习实数、有理数、无理数等知识，引导学生回顾已学过的根式知识，为新课的学习做好铺垫。
2. 呈现（10分钟）教师通过PPT展示二次根式的定义，引导学生观察、思考，从而理解二次根式的概念。
同时，解释二次根式的性质，让学生初步感知二次根式的特点。
3. 操练（10分钟）教师引导学生进行二次根式的化简、求值等练习，让学生在实际操作中掌握二次根式的运算方法。
4. 巩固（10分钟）教师通过PPT展示一些典型例题，引导学生运用所学知识解决问题，巩固二次根式的知识。
5. 拓展（10分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生思考、讨论，提高学生解决问题的能力。
例如：探讨二次根式在实际生活中的应用等。
6. 小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学内容，巩固知识点。
7. 家庭作业（5分钟）教师布置适量作业，让学生课后巩固所学知识。
九年级上册数学《二次根式》知识点整理
九年级上册数学《二次根式》知识点整理二次根式本节研究指导：在研究二次根式时，我们不仅要研究它的概念，还要巩固平方根的知识。
这样有助于我们系统性研究，把零散的知识整合起来。
在本节中，我们需要掌握二次根式的有意义条件。
知识要点：1、二次根式的概念：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式。
需要注意的是，被开方数可以是数、单项式、多项式、分式等代数式。
但是，a≥0是二次根式的前提条件。
例如，5、x2+1都是二次根式，而-5、-x2都不是二次根式。
2、取值范围：1）二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时，a有意义，是二次根式。
因此，只要被开方数大于或等于零，就可以使二次根式有意义。
2）二次根式无意义的条件：由于负数没有算术平方根，所以当a<0时，a没有意义。
3、二次根式a（a≥0）的非负性：a（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，即a≥0.由于正数的算术平方根是正数，负数的算术平方根是不存在的，因此非负数的算术平方根也是非负数。
这个性质类似于绝对值、偶次方的性质，在解答题目时应用较多。
例如，如果a+b=0，则a=0，b=0；如果a-b=0，则a=0，b=0；如果a×b=0，则a=0，b=0.4、二次根式（a）的性质：a）=a（a≥0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
需要注意的是，这个性质公式（a）=a（a≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：如果a≥0，则a=（a）。
例如，2=（2），1=（1）。
5、二次根式的性质：a（a≥0）a2=a=___（a<0）描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
需要注意的是：1）化简a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数。
如果是正数或0，则等于a本身，即a2=a=a（a≥0）；如果a是负数，则等于a的相反数-a，即2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，7≈2.646.2）a2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，a2一定有意义。
九年级数学上人教版《二次根式》课堂笔记
《二次根式》课堂笔记
一、二次根式的定义
1.二次根式的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根
或二次方根。
其中，平方过程中等于0的平方根叫做零的平方根，也叫做二次方根。
2.二次根式的表示方法：一般地，任何一个正数和零的平方根有两个，它们
互为相反数。
而负数没有平方根。
二、二次根式的性质
1.基本性质：a2=a（a≥0）；a<0时，a2=−a。
2.重要性质：ab=a⋅b（a≥0,b≥0）
三、二次根式的化简
1.直接开平方法：形如ax2=b或(ax)2=b（a=0）的方程，可用直接开平方法
解方程，得到x=±ab。
2.配方法：用配方法解方程，先把方程的右边化为0，然后方程左边也进行
配方，最后对方程左边进行开方运算。
3.公式法：利用平方差公式把一个数分解为两数乘积的形式，然后用直接开
方法求出这个数的平方根。
四、二次根式的应用
二次根式在实际生活中被广泛应用于计算物体的面积、体积等方面。
比如在计算圆的面积时，我们需要使用圆的半径的平方作为底数进行计算。
在计算矩形、正方形等规则图形的面积时，也可以利用二次根式进行计算。
五、注意事项
1.在进行二次根式的运算时，要注意运算顺序和符号问题。
2.在化简二次根式时，要注意化简后的结果一定是最简二次根式。
3.在应用二次根式解决实际问题时，要注意单位的统一和转换。
最新人教版初中九年级数学上册知识点笔记总结(内部资料打印版)
最新人教版初中九年级数学上册知识点笔记总结(内部资料打印版)21.1 二次根式知识点一二次根式的概念(1)一般地,我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式。
二次根式a的实质是一个非负数a的算术平方根。
其中“”叫做二次根号。
(2)正确理解二次根式的概念，要把握以下几点：①二次根式是在形式上定义的，必须含有二次根号“”。
如4是二次根式，虽然4=2，但2不是二次根式。
②被开方数a必须是非负数，即a≥0.如3-就不是二次根式，但式子)3(-2是二次根式。
③“”的根指数为2，即“2”，一般省略根指数2，写作“”，注意，不可误认为根指数是“1”或“0”。
提示：判断是不是二次根式，一看形式，二看数值，即形式上要有二次根号，被开方数要是非负数。
知识点二二次根式的性质(1)a(a≥0)既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即a≥(a≥0)，我们把这个性质叫做二次根式的非负性。
(2)(a)2 = a (a≥0)，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时常用于二次根式的化简和计算，可以去掉根号；逆用时可以把一个非负数写成完整平方数的形式，常用于多项式的因式分解。
(3)a2 = a (a≥0)，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时用于二次根式的化简，即当被开方数能化为完全平方数(式)时，就可以利用该性质去掉根号；逆用时可以把一个非负数化为一个二次根式。
知识点三代数式定义：用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。
21.2 二次根式的乘除知识点一 二次根式的乘法法则 一般地，对二次根式的乘法规定：a ·b =ab (a ≥0,b ≥0)，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
知识点二 积的算术平方根的性质ab =a ·b (a ≥0，b ≥0)，积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积。
知识点三 二次根式的除法法则 一般地，对二次根式的除法规定：b a =b a (a ≥0，b ＞0)，即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
21.1 二次根式的定义
练一练
1. 如果x2 144，那么 x = ±__1_2___ 。
±12 是144 的平方根，12 是144 的算术平方根。
2. 如果x2 18 ，那么 x = __3___2_ 。
3 2 是 18 的平方根，3 2 是 18 的算术平方根。
3. 如果x2 a，那么 x = ____a__ 。
a 是 a 的平方根， a 是 a 的算术平方根。
学习目标
1、了解二次根式的定义，会求二次根式被开方数字母 的取值范围，会利用二次根式的非负性解题。 2、经历观察、比较、总结二次根式的定义，培养学生 的归纳能力。 3、经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数 学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提 高应用意识。
学习重点
二次根式的概念
学习难点
利用二次根式的非负性解决具体问题。
1. 电视塔塔座形成的 直角三角形的斜边长为
___m_2____9_0_0__米。
提示 根据勾股定理求解。
30米 ?
m米
2. 面积为 S 的正方形
边长为_____S___。
提示
根据正方形面积公式 S = a2求解。
举一反三
面积为 b－5 的正方
形边长为___b___5__。
► 二次根式的定义
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，“ 次根号。a叫被开方数
a（ a≥0）
”称为二
它必须具备如下特点
二次根式
被开方数a≥0非负数； 根指数为2.
二次根式 a 的特点
在形式上含有二次根号 ，表示 a 的算术平方根。 被开方数 a≥0，即必须是非负数。 a 可以是数，也可以是式。 既可表示开方运算，也可表示运算的结果。
人教版九年级数学上第二十一章21.1二次根式
《二次根式》复习知识点1：二次根式的概念形如 的式子叫做二次根式 知识点2：二次根式的非负性知识点3：二次根式的性质知识点4：二次根式的乘除法1、二次根式的乘法法则2、二次根式的除法法则知识点5：最简二根式：1.根号内不能是分式2.分母不能带根号3.根号内的数或式子不能再被开方知识点6：二次根式的加减:第一步:将二次根式化成最简二次根式第二步:将被开方数相同的二次根式进行合并。
用字母表示为： 知识点7：二次根式的混合运算可能用到的数学公式:≥a a a =2).(1⎩⎨⎧-==a a a a 2.2)0,0(.3≥≥⋅=b a b a ab )0,0(.4>≥=b a b a b a )0,0(≥≥=⋅b a ab b a )0,0(>≥=b a b a b a ()cb ac b c a ±=±)0(≥aa知识点1：二次根式的概念1、下列式子中，哪些是二次根式？2、若代数式 是二次根式，则m 的取值范围是 。
3、x 取什么实数时，下列式子有意义？4、xy y x =⋅，则x ，y 应该满足的条件是（ ） A.x ，y 同号 B. x ，y 异号 C. D.5、如果x ，y 是实数，且2)1(2-+--=x x y ，求22y x +的值6、若33-+-x x 有意义，求 的值.7、已知a ，b 为实数，且421025+=-+-b a a ，求a ，b 的值知识点2：二次根式的非负性：2、若011=-++b a ，求20102011b a +的值知识点3：二次根式的性质1、计算2、计算3、式子 成立的条件是（ ）()91()142+x ()a 2()533()()226-()25-()21-x ()344-+x x ()132+x ()x -2()==-++ab b a 、则若,02112？？x ，x 、最小值是多少的值最小为何值时当3123+-2)32)(1(2)621)(2(2)32)(3(-2)3)(4(x 324)5(()()231-()()2322-()()214.33π-1.<a A 1.≠a B 1.≤a C 1.≥a D 1)1(2-=-a a ()961,31422+-+-≤≤x x x x 、化简已知0,0≥≥y x 0,0>>y xm -3()25x -2-x5、若数轴上表示a 的点在原点的左边，则化简22a a +的结果是（ ）A ．a - B. a 3- C. a D. a 36、若072=-+-y x ，则y x +的平方根是知识点4：二次根的乘除1、计算（1）520⨯ （2）a a821⨯ （3）322⨯ （4）1625⨯ （5）45 （6）312a2、计算（1）x x39 （2） （3）m n n 223÷ （4）3、计算（1）3222153235419⨯÷ （2）22314xy y x ⋅4、观察并分析下列数据，寻找规律：0，3，6，3，32，15，23，…，那么第10个数据应是5、若直角三角形的两条直角边的长分别为15cm ，12cm ，那么此直角三角形的斜边长是多少？6、一个正方形的面积与一个长方形的面积相等，长方形的长为cm 250，宽为cm 240，求正方形的边长。
九年级数学二次根式知识点
九年级数学二次根式知识点一、二次根式1. 定义：二次根式是形如√a的表达式，其中a是非负实数。
2. 运算规则：(1) 乘法规则：√a * √b = √(a * b)(2) 除法规则：√a / √b = √(a / b)，其中b不能为0(3) 幂运算规则：(√a)^n = (√a)^(n / 2)，其中n为偶数，a为非负实数3. 合并同类项：(1) 如果二次根式的底数相同，则可以合并为一个根号，即√a ±√a = ±2√a(2) 如果二次根式的根次相同，则可以合并为同一个根次的根号，即√a^n ±√a^n = ±2√a^n(3) 如果二次根式的底数和根次都相同，则可以合并为同一个根号，即√a^n * √a^n = a^n，(√a^n) / (√a^n) = 1二、二次根式的化简1. 因式分解法：将二次根式的底数a分解为素数的乘积，然后利用乘法规则、除法规则和合并同类项的规则将二次根式化简为最简形式。
2. 有理化分母法：利用有理化分母公式将二次根式的分母有理化。
(1) a + √b有理化分母：a + √b = (a + √b) * (a - √b) / (a - √b)(2) a - √b有理化分母：a - √b = (a - √b) * (a + √b) / (a + √b)(3) 1 / (a + √b)有理化分母：1 / (a + √b) = (a - √b) / (a^2 - b)(4) 1 / (a - √b)有理化分母：1 / (a - √b) = (a + √b) / (a^2 - b)三、二次根式的运算1. 加减运算：将二次根式化为最简形式，然后合并同类项。
2. 乘法运算：将二次根式的底数和根次分别相乘。
3. 除法运算：将二次根式的底数和根次分别相除。
4. 化简运算：利用因式分解法或有理化分母法将二次根式化简为最简形式。
四、二次根式的应用二次根式在实际问题中具有广泛的应用，例如计算物体的体积、面积等。
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（2）
≥0， ≥0）。
（3）等式
（ ≥0， ≥0）可以推广为
（ ≥0， ≥0）；
（ ≥0， ≥0）也可以倒过来使用，即
≥0， ≥0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次 根式进行化简。
2. 二次根式的除法
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即
说明：（1）法则中 、 可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围， ≥0， 在分母中，因此 ＞0；
第二十二章 一元二次方程
22.1 一元二次方程
在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高 次数是 2 次的整式方程 叫 做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点 ：(1)只含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
21.1 二次根式(1)二次根式的意义(备课件) 九年级数学上册同步备课系列(华东师大版)
课后练习
知识点 1：二次根式的概念
1．在下列各式中，一定是二次根式的是(
3
A． 2
C． a2＋1
B． －10
D． a
C
)
2．下列式子：
1
3
2
，
－1000
，
27
，
8
，
（－201）
，其中
2
二次根式的个数有( C
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．若
m－3
)
15
3m 是二次根式，则这个二次根式是__________.
新课导入
•问题
•1.要做一个两直角边长分别为7cm和4cm的三角尺，
斜边的边长应该是_____cm；
•2. 面积为S的正方体边长为_____。
❖ 思考
❖
通过对上述问题的探究，可以得到形如
的式子，这些式子有什么特点？
65, S 之类
课前小测
1. 16的平方根是 ±4;
2. 9的算术平方根是 3 ;
一般地，我们把形如 a（a≥0）的式子叫做二次根式. 其中
“
”称为二次根号.
二次根号
根号a
被开方数
可以是非负的数或单项
式、多项式、分式等
实为“
”，
通常将根指
数2省略不写
（1）被开方数 a 既可以是一个数，也可以是一个含有
字母的式子，但前提是 a 必须大于或等于 0.
（2） a （a≥0）实际上就是非负数 a 的算术平方根，
a的平方根是 a .
问题2 什么是一个数的算术平方根？如何表示？
正数的正的平方根叫做它的算术平方根.
二次根式的概念与性质
二次根式的概念与性质二次根式是我们在数学学习过程中常常遇到的一种特殊形式的根式。
在本文中，我们将探讨二次根式的概念以及其重要的性质。
一、二次根式的概念二次根式是指具有“根号下一次方的数”的形式。
具体而言，若a为非负实数，则√a表示其非负平方根，而√(-a)表示其虚数平方根。
因此，二次根式包括了实数根式和虚数根式两种情况。
实数根式的概念是我们初中就已经学习过的，它表示的是可以找到一个非负实数，将其平方得到原始数。
例如，√4=2，√9=3，这些都是实数根式的例子。
虚数根式则是更加复杂一些。
它指的是无法找到一个非负实数来满足平方后得到原始数的情况。
例如，√(-4)=2i，其中i表示虚数单位。
虚数根式在进一步的数学学习中有着重要的应用。
二、二次根式的性质1. 二次根式的有理化：有理化是将含有根号的式子转化成不含根号的形式。
对于二次根式，我们常常利用有理化的方法将其转化为一个更加简洁的形式。
例如，对于√2，我们可以乘以√2/√2得到2/√2，这样就进行了有理化。
2. 二次根式的运算：二次根式在进行运算时有一些特殊的性质。
首先，根号下的数相同的二次根式可以进行加减运算。
例如，√2+√2=2√2，√3-√3=0。
其次，二次根式可以与有理数进行乘法运算。
例如，2√2*3=6√2，√3*4=4√3。
然而，二次根式的乘法运算并不满足交换律。
即，a√b*b√a不一定等于ab。
3. 二次根式的简化：对于二次根式，我们可以将其进行简化，使其表达更加方便。
例如，对于√8，我们可以简化成2√2。
4. 二次根式的大小比较：在进行大小比较时，二次根式也有一些规律。
如果a和b都是非负实数，则当a<b时，√a<√b；当a>b时，√a>√b；当a=b时，√a=√b。
这些规律在解决不等式问题时有着重要的应用。
结语：通过本文的学习，我们了解了二次根式的概念与性质。
二次根式的概念涵盖了实数根式和虚数根式两种情况，而其性质包括有理化、运算、简化以及大小比较等方面。
数学人教版九年级上册知识点重难点总结
第二十一章 二次根式21.1二次根式1、二次根式的概念 形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式 二次根式必需满意：含有二次根号“”；被开方数a 必需是非负数。
★常考点：求被开方数a 的取值范围2、二次根式的性质（1）)0(≥a a ≥0（2）)0()(2≥=a a a（3）==a a 2★常考点：1、2的区分2、例题：=---x x 11（x+y ）2， 求x 、y 的值21.2二次根式的乘除1、二次根式乘除运算法则：（1） 二次根式乘法法则b a ab •==b a ab •=(0,0)a b ≥≥（2） 积的算术平方根的性质)0,0(≥≥•=b a b a ab（3）二次根式除法法则)0,0(≥≥=b a ba b a ，（4） （a ≥0，b>0）2、最简二次根式若二次根式满意：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法与步骤：（1）假如被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进展化简。
（2）假如被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、二次根式的加减（1）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，假如被开方数一样，这几个二次根式叫做同类二次根式。
（2）二次根式加减法步骤：a.先将二次根式化成最简二次根式b.找出同类二次根式c.合并同类二次根式（3）二次根式混合运算法则：二次根式的混合运算与实数中的运算依次一样，先乘方，再乘除，最终加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
常考题型：1那么x 取值范围是________2、实数p 在数轴上的位置如图所示： 化简：22)2()1(p p -+-= p-1+2-p=1 二十二章 一元二次方程22.1一元二次方程0 1 2 p · · · ·1、一元二次方程概念含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。