高考数学文一轮复习考案7.1 直线方程与两直线的位置关系
2022届高考数学(文)大一轮复习检测：第八章第2讲两直线的位置关系 Word版含答案
第2讲两直线的位置关系, [同学用书P145])1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行k1＝k2k1与k2都不存在垂直k1k2＝－1k1与k2一个为零、另一个不存在2．两条直线的交点3．三种距离点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2点线距点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2线线距两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B21．辨明三个易误点(1)在推断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可依据相应公式或性质推断，若直线无斜率，要单独考虑．(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式．(3)在运用两平行直线间的距离公式d＝|C1－C2|A2＋B2时，肯定要留意将两方程中x，y的系数化为相同的形式．2．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；(2)平行：Ax＋By＋n＝0(n∈R，且n≠C)．1.教材习题改编已知A(2，3)，B(－4，0)，P(－3，1)，Q(－m，m＋1)，若直线AB∥PQ，则m的值为()A．－1B．0C．1 D．2C[解析] 由于AB∥PQ，所以k AB＝k PQ，即0－3－4－2＝m＋1－1－m－（－3），解得m＝1，故选C.2.教材习题改编已知A(5，－1)，B(m，m)，C(2，3)，若△ABC为直角三角形且AC边最长，则整数m 的值为()A．4 B．3C．2 D．1D[解析] 由题意得B＝90°，即AB⊥BC，k AB·k BC＝－1，所以m＋1m－5·3－m2－m＝－1.解得m＝1或m＝72，故整数m的值为1，故选D.3．直线2x－y＝－10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一点，则实数a的值为________．[答案]234.教材习题改编两平行直线x－2y－1＝0与x－2y＋m＝0的距离为5，则m＝________．[解析] 由平行线间的距离公式得|－1－m|12＋（－2）2＝5，即|m＋1|＝5，所以m＝4或m＝－6.[答案] 4或－65.教材习题改编已知三点O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，则△OAB的面积为________．[解析] 由于|AB|＝（1－3）2＋（3－1）2＝2 2.AB所在的直线方程为y－31－3＝x－13－1，即x＋y－4＝0.所以O 到AB 的距离d ＝|－4|2＝2 2.所以S △OAB ＝12|AB |·d ＝12×22×22＝4.[答案] 4两条直线平行与垂直[同学用书P146][典例引领](1)(2021·邢台摸底考试)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．【解析】 (1)依题意，留意到直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧－a 3＝－1a －2，1a －2≠1，解得a ＝－1，故选C.(2)法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0，2)．由于l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.法二：由于直线l 过直线l 1和l 2的交点，所以可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. 由于l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0， 所以λ＝11，所以直线l 的方程为12x ＋9y －18＝0， 即4x ＋3y －6＝0.【答案】 (1)C (2)4x ＋3y －6＝0将本例(2)中条件“与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直”改为“与直线l 3：3x －4y ＋5＝0平行”，求此时直线l 的方程．[解] 法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0，2)． 由于l ∥l 3，所以直线l 的斜率k ＝34，所以直线l 的方程为y －2＝34x ，即3x －4y ＋8＝0.法二：由于直线l 过直线l 1和l 2的交点，所以可设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0， 即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0. 由于l 与l 3平行，所以3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)，所以λ＝27，所以直线l 的方程为3x －4y ＋8＝0.两直线平行或垂直的判定方法 (1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1. (2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x 轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合． (3)已知两直线的一般方程设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.该方法可避开对斜率是否存在进行争辩．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)由于l 1⊥l 2， 所以a (a －1)－b ＝0.又由于直线l 1过点(－3，－1)， 所以－3a ＋b ＋4＝0.故a ＝2，b ＝2.(2)由于直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2， 所以直线l 1的斜率存在． 所以ab＝1－a .①又由于坐标原点到这两条直线的距离相等， 所以l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b ＝b .②联立①②可得a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.距离公式(高频考点)[同学用书P147]距离公式包括两点间的距离公式、点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式．在高考中经常消灭，多为简洁题或中档题．高考中对距离公式的考查主要有以下三个命题角度： (1)求距离；(2)已知距离求参数值； (3)已知距离求点的坐标． [典例引领](1)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A ．95B ．185C ．2910D ．295(2)已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，若在坐标平面内存在一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到直线l 的距离为2，则P 点坐标为________．【解析】 (1)由于36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.(2)设点P 的坐标为(a ，b )． 由于A (4，－3)，B (2，－1)，所以线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)．而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.由于点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， 所以a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， 所以|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎨⎧a ＝277，b ＝－87.所以所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. 【答案】 (1)C (2)(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87[题点通关]角度一 求距离 1．(2021·洛阳模拟)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2的值为( )A ．102B ．10C ．5D ．10D [解析] 由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，由于过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以M 位于以PQ 为直径的圆上，由于|PQ |＝9＋1＝10，所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝10，故选D. 角度二 已知距离求参数值2．若直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 A [解析] 由于直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与直线l 2：x ＋ny －3＝0之间的距离为5，所以⎩⎨⎧n ＝－2，|m ＋3|5＝5，所以n ＝－2，m ＝2(负值舍去)． 所以m ＋n ＝0.角度三 已知距离求点的坐标3．已知定点A (1，0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫12，12 B ．⎝⎛⎭⎫22，22 C ．⎝⎛⎭⎫32，32 D ．⎝⎛⎭⎫52，52 A [解析] 由于定点A (1，0)，点B 在直线x －y ＝0上运动，所以当线段AB 最短时，直线AB 和直线x －y ＝0垂直，AB 的方程为y ＋x －1＝0，它与x －y ＝0联立解得x ＝12，y ＝12，所以B 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，12.对称问题[同学用书P148][典例引领]已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程． 【解】 (1)设A ′(x ，y )，由已知⎩⎨⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413. 所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2，0)，则M (2，0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎨⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4，3)．又由于m ′经过点N (4，3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，由于P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.[通关练习]1．直线x ＋2y －3＝0与直线ax ＋4y ＋b ＝0关于点A (1，0)对称，则b ＝________． [解析] 法一：由题知，点A 不在直线x ＋2y －3＝0上， 所以两直线平行， 所以－12＝－a4，所以a ＝2.又点A 到两直线距离相等， 所以|1－3|5＝|2＋b |25，所以|b ＋2|＝4， 所以b ＝－6或b ＝2.由于点A 不在直线x ＋2y －3＝0上，所以两直线不能重合， 所以b ＝2.法二：在直线x ＋2y －3＝0上取两点P 1(1，1)、P 2(3，0)， 则P 1、P 2关于点A 的对称点P ′1、P ′2都在直线ax ＋4y ＋b ＝0上． 由于易知P ′1(1，－1)、P ′2(－1，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝0，－a ＋b ＝0，所以b ＝2.[答案] 22．已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________．[解析] 设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎨⎧b －4a －（－3）·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2，6)， 所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. [答案] 6x －y －6＝0,[同学用书P148])——忽视直线斜率的不存在性致误已知直线l 过点A (1，2)，且原点到直线l 的距离为1，求直线l 的方程．【解】 当直线l 过点A (1，2)且斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，原点到直线l 的距离为1，满足题意．当直线l 过点A (1，2)且斜率存在时，由题意设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0. 由于原点到直线l 的距离为1，所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以所求直线l 的方程为y －2＝34(x －1)，即3x －4y ＋5＝0.综上所述，所求直线l 的方程为x ＝1或3x －4y ＋5＝0.(1)解决本题易忽视直线的斜率不存在的状况，从而只求得一条直线．(2)在解决与直线方程或直线位置关系有关问题时，若题目中没有明确直线的斜率是否存在，要留意对斜率的存在性进行分类争辩．已知经过点A (－2，0)和点B (1，3a )的直线l 1与经过点P (0，－1)和点Q (a ，－2a )的直线l 2相互垂直，则实数a 的值为________．[解析] l 1的斜率k 1＝3a －01－（－2）＝a .当a ≠0时，l 2的斜率k 2＝－2a －（－1）a －0＝1－2aa .由于l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝－1，即a ·1－2aa ＝－1，解得a ＝1.当a ＝0时，P (0，－1)，Q (0，0)，这时直线l 2为y 轴， A (－2，0)，B (1，0)，直线l 1为x 轴，明显l 1⊥l 2.综上可知，实数a 的值为1或0. [答案] 1或0,[同学用书P339(独立成册)])1．若直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0相互平行，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 C [解析] 由于直线l 1：mx －y －2＝0与直线l 2：(2－m )x －y ＋1＝0相互平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋（2－m ）＝0，m ＋2（2－m ）≠0，解得m ＝1.故选C. 2．已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0，l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( ) A ．2或12B ．13或－1C ．13D ．－1B [解析] 由于直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0， l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，l 1⊥l 2， 所以2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0， 解得a ＝13或a ＝－1.故选B.3．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限B [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得⎩⎨⎧x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1.又由于0<k <12，所以x ＝kk －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在其次象限．4．(2021·石家庄模拟)已知点P (3，2)与点Q (1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x ＋y ＝0A [解析] 由题意知直线l 与直线PQ 垂直，直线PQ 的斜率k PQ ＝－1，所以直线l 的斜率k ＝－1k PQ＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2，3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.5．已知点A (3，2)和B (－1，4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．－6或12B ．－12或1C ．－12或12D ．0或12A [解析] |3m ＋2＋3|m 2＋12＝|－m ＋4＋3|m 2＋12，即|3m ＋5|＝|7－m |，解得m ＝－6或12.6．若动点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)分别在直线l 1：x －y －5＝0，l 2：x －y －15＝0上移动，则线段P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )A ．522B ．5 2C ．1522D ．15 2B [解析] 由题意得，线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程是x －y －10＝0，由于原点到直线x －y －10＝0的距离为d ＝102＝52，所以线段P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值为5 2.7．已知A ，B 两点分别在两条相互垂直的直线2x －y ＝0和x ＋ay ＝0上，且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎫0，10a ，则线段AB 的长为________．[解析] 依题意，a ＝2，P (0，5)，设A (x ，2x )，B (－2y ，y )，故⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝10，则 A (4，8)，B (－4，2)，所以|AB |＝（4＋4）2＋（8－2）2＝10.[答案] 108．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝－x 对称，则直线l 2的斜率为________．[解析] 由于l 1，l 2关于直线y ＝－x 对称，所以l 2的方程为－x ＝－2y ＋3，即y ＝12x ＋32，即直线l 2的斜率为12. [答案] 129．已知l 1，l 2是分别经过A (1，1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，则直线l 1的方程是________．[解析] 当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2间的距离最大．由于A (1，1)，B (0，－1)，所以k AB ＝－1－10－1＝2，所以两平行直线的斜率为k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.[答案] x ＋2y －3＝010. 如图，已知A (－2，0)，B (2，0)，C (0，2)，E (－1，0)，F (1，0)，一束光线从F 点动身射到BC 上的D 点，经BC 反射后，再经AC 反射，落到线段AE 上(不含端点)，则直线FD 的斜率的取值范围为________．[解析] 从特殊位置考虑．如图，由于点A (－2，0)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为A 1(2，4)，所以kA 1F ＝4.又点E (－1，0)关于直线AC ：y ＝x ＋2的对称点为E 1(－2，1)，点E 1(－2，1)关于直线BC ：x ＋y ＝2的对称点为E 2(1，4)，此时直线E 2F 的斜率不存在，所以k FD >kA 1F ，即k FD ∈(4，＋∞)．[答案] (4，＋∞)11．正方形的中心为点C (－1，0)，一条边所在的直线方程是x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线的方程． [解] 点C 到直线x ＋3y －5＝0的距离d ＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x ＋3y －5＝0平行的一边所在直线的方程是x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－5)， 则点C 到直线x ＋3y ＋m ＝0的距离 d ＝|－1＋m |1＋9＝3105，解得m ＝－5(舍去)或m ＝7，所以与x ＋3y －5＝0平行的边所在直线的方程是x ＋3y ＋7＝0. 设与x ＋3y －5＝0垂直的边所在直线的方程是3x －y ＋n ＝0， 则点C 到直线3x －y ＋n ＝0的距离d ＝|－3＋n |1＋9＝3105，解得n ＝－3或n ＝9，所以与x ＋3y －5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x －y －3＝0和3x －y ＋9＝0.12．(2021·洛阳统考)已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线D [解析] 由于点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ，排解A 、B ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C＝0平行，排解C ，故选D.13．已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． [解] (1)过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，明显，过P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2. 若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图． 由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1， 所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.(3)由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．14．A ，B 两个工厂距一条河分别为400 m 和100 m ，A ，B 两工厂之间距离500 m ，把小河看作一条直线，今在小河边上建一座供水站，供A ，B 两工厂用水，要使供水站到A ，B 两工厂铺设的水管长度之和最短，问供水站应建在什么地方？[解] 如图，以小河所在直线为x 轴，过点A 的垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点A (0，400)，点B (a ，100)． 过点B 作BC ⊥AO 于点C .在△ABC 中，AB ＝500，AC ＝400－100＝300， 由勾股定理得BC ＝400， 所以B (400，100)．点A (0，400)关于x 轴的对称点A ′(0，－400)， 由两点式得直线A ′B 的方程为y ＝54x －400.令y ＝0，得x ＝320， 即点P (320，0)．故供水站(点P )在距O 点320 m 处时，到A ，B 两厂铺设的水管长度之和最短．。
两条直线的位置关系9题型分类-备战2025年高考数学一轮专题复习全套考点突破和专题检测(原卷版)
专题39两条直线的位置关系9题型分类1．两条直线的位置关系直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 3：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 4：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(其中l 1与l 3是同一条直线，l 2与l 4是同一条直线)的位置关系如下表：位置关系l 1，l 2满足的条件l 3，l 4满足的条件平行k 1＝k 2且b 1≠b 2A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0垂直k 1·k 2＝－1A 1A 2＋B 1B 2＝0相交k 1≠k 2A 1B 2－A 2B 1≠02.三种距离公式(1)两点间的距离公式①条件：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．②结论：|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.③特例：点P (x ，y )到原点O (0,0)的距离|OP |＝x 2＋y 2.(2)点到直线的距离点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行直线间的距离两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2| A2＋B2.常用结论1．直线系方程(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.2．五种常用对称关系(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．（一）判断两条直线位置关系的注意点(1)斜率不存在的特殊情况．(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．（二）利用距离公式应注意的点(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．y （三）对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．求直线l 关于直线0l 对称的直线'l 若直线0//l l ，则//'l l ，且对称轴0l 与直线l 及'l 之间的距离相等．此时0,,'l l l 分别为00,0,++=++=Ax By C Ax By C 22'0(0)++=+≠Ax By C A B ，由002222|||'|--=++C C C C A B A B ，求得'C ，从而得'l ．若直线l 与0l 不平行，则0= l l Q ．在直线l 上取异于Q 的一点11(,)P x y ，然后求得11(,)P x y 关于直线0l 对称的点22'(,)P x y ，再由,'Q P 两点确定直线'l （其中0'= l l l Q ）．题型6：点线对称6-1．（2024高二上·全国·课后作业）若直线定点（）2,0A．35B．6-3．（2024高二上·四川遂宁-A．(1,4)--C．(3,4)题型7：线点对称7-1．（2024高二·全国·单元测试）直线7-2．（2024高三上·辽宁营口时，点M到直线2l的距离为7-3．（2024高二上·江苏苏州的直线方程为．7-4．（2024高二上·全国·课后作业）直线题型8：线线对称8-1．（2024高三·全国·专题练习）已知直线直线为2l，则直线2l的方程为8-2．（2024高二上·湖北黄石的距离是25，则直线1l关于直线（四）一、单选题1．（2024高二上·浙江·期中）已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a 等于（）A B ．2C 1D 12．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知两条直线1:3460l x y -+=，2:3440l x y --=，则这两条直线之间的距离为（）A ．2B ．3C ．5D ．103．（2024高二·全国·课后作业）求直线x ＋2y －1＝0关于直线x ＋2y ＋1＝0对称的直线方程（）A ．x ＋2y －3＝0B ．x ＋2y ＋3＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．x ＋2y ＋2＝04．（2024高二·全国·课后作业）直线0ax by c ++=关于直线0x y -=对称的直线为（）A ．0ax by c -+=B ．0bx ay c -+=C ．0bx ay c ++=D ．0bx ay c +-=5．（2024·浙江温州·三模）已知直线12:0,:10l x y l ax by +=++=，若12l l ⊥，则a b +=（）A ．1-B ．0C ．1D ．26．（2024·安徽蚌埠·三模）已知直线1l ：210ax y ++=，2l ：()30a x y a --+=，则条件“1a =”是“12l l ⊥”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不必要也不充分条件7．（2024高二上·全国·课后作业）直线220x y ++=与420ax y +-=互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（）A ．()1,4-B ．()0,2-C ．()1,0-D ．0,12⎛⎫⎪⎝⎭8．（2024高二下·四川广元·期中）若直线2mx ny +=过点()2,2A ，其中m ，n 是正实数，则12m n+的最小值是（）A ．3B ．3+C ．92D ．59．（2024高二上·全国·课后作业）若直线230x y --=与420x y a -+=，则a 的值为（）A ．4B6C ．4或16-D ．8或16-10．（2024高二上·全国·课后作业）抛物线214y x =的焦点关于直线10x y --=的对称点的坐标是（）A ．(2,1)-B ．(1,1)-C ．11,44⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,1616⎛⎫- ⎪⎝⎭11．（2024·四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是A ．B ．C ．D ．12．（2024·全国）点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（）A ．1B CD ．213．（2024·北京东城·二模）已知三条直线1:220l x y -+=，2:20l x -=，3:0+=l x ky 将平面分为六个部分，则满足条件的k 的值共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个14．（2024高二上·辽宁沈阳·阶段练习）两直线方程为1:3260l x y --=，22:0x y l --=，则1l 关于2l 对称的直线方程为（）A ．3240x y --=B ．2360x y +-=C ．2340x y --=D ．3260x y --=15．（2024高一下·海南·期末）设,,a b c 分别是ABC V 中,,A B C ∠∠∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅++=与sin sin 0bx B y C -⋅+=的位置关系是（）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直16．（2024高三下·江西·开学考试）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则(,)F x y =的最小值为（）A ．4B ．2+C ．3+D ．4+17．（2024·贵州毕节·模拟预测）直线()()1:11l x a y a a R ++=-∈，直线21:2l y x =-，下列说法正确的是（）A ．R a ∃∈，使得12l l ∥B ．R a ∃∈，使得12l l ⊥C ．R a ∀∈，1l 与2l 都相交D ．R a ∃∈，使得原点到1l 的距离为318．（2024·全国）如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么（）A ．1,63a b ==B ．1,63a b ==-C ．3,2a b ==-D ．3,6a b ==19．（2024高一·全国·课后作业）已知ΔA 的顶点()2,1B ，()6,3C -，其垂心为()3,2H -，则其顶点A 的坐标为A ．()19,62--B ．()19,62-C ．()19,62-D ．()19,6220．（2024高三·全国·课后作业）若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为()A ．B ．C ．D ．21．（2024高二上·湖北·阶段练习）在等腰直角三角形ABC 中，3AB AC ==，点P 是边AB 上异于A B ､的一点，光线从点P 出发，经BC CA ､反射后又回到点P ，如图，若光线QR 经过ABC V 的重心，则AP =（）A ．32B ．34C ．1D ．222．（2024高一上·湖南长沙·开学考试）如下图，一次函数4y x =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，点(2,0)C -是x 轴上一点，点E ，F 分别为直线4y x =+和y 轴上的两个动点，当CEF △周长最小时，点E ，F 的坐标分别为（）A ．53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(0,2)F B ．(2,2)E -，(0,2)F C ．53,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，20,3F ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(2,2)E -，20,3F ⎛⎫⎪⎝⎭23．（2024高二上·广东深圳·期中）过定点A 的动直线0x ky +=和过定点B 的动直线210kx y k --+=交于点M ，则MA MB +的最大值是（）A ．B ．3C D24．（2024高二下·陕西西安·期末）设m ∈R ，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（）AB C ．5D ．1025．（河北省张家口市2023-2024学年高二上学期期末数学试题）已知0x y +=，则）AB ．CD ．26．（2024·贵州·模拟预测）已知,x y +∈R ，满足22x y +=，则x 的最小值为（）A ．45B ．85C ．1D ．1327．（2024·上海静安·二模）设直线1:220l x y --=与2l 关于直线:240l x y --=对称，则直线2l 的方程是（）A ．112220x y +-=B ．11220x y ++=C ．5110x y +-=D ．10220x y +-=28．（2024高三·北京·+的最小值所属区间为（）A ．[10,11]B ．(11,12]C ．(12,13]D ．前三个答案都不对29．（2024·北京）在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题30．（2024高二下·江苏南京·期末）已知动点,A B 分别在直线1:3460l x y -+=与2:34100l x y -+=上移动，则线段AB 的中点P 到坐标原点O ）A B ．75C D 31．（24-25高二上·全国·单元测试）已知两条直线1l ，2l 的方程分别为34120x y ++=与8110ax y +-=，下列结论正确的是（）A ．若12//l l ，则6a =B ．若12//l l ，则两条平行直线之间的距离为74C ．若12l l ⊥，则323a =D ．若6a ≠，则直线1l ，2l 一定相交32．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l 10y -+=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 的一个法向量为)B ．若直线m ：10x +=，则l m ⊥C ．点)到直线l 的距离是2D ．过()2与直线l 40y --=33．（2024高二下·江西南昌·阶段练习）已知曲线e 2xy =和直线:240l x y --=，则（）A ．曲线上与直线l 平行的切线的切点为e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．曲线上与直线l 平行的切线的切点为10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．曲线上的点到直线lD ．曲线上的点到直线l 的最短距离为(3e 5+34．（福建省莆田第三中学，励志学校2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷）以下四个命题叙述正确的是（）A ．直线210x y -+=在x 轴上的截距是1B ．直线0x ky +=和2380x y ++=的交点为P ，且P 在直线10x y --=上，则k 的值是12-C ．设点(,)M x y 是直线20x y +-=上的动点，O 为原点，则OM 的最小值是2D ．直线()12:310:2110L ax y L x a y ++=+++=，，若12//L L ，则3a =-或2三、填空题35．（2024高二·全国·课后作业）已知(),6A a ，()2,B b -，点()2,3P 是线段AB 的中点，则a b +=.36．（2024高二·江苏·假期作业）已知点(),4M x -与点()2,3N 间的距离为x =．37．（2024高三上·河北廊坊·阶段练习）与直线:2310l x y -+=关于点()4,5对称的直线的方程为.38．（2024高一·全国·课后作业）已知直线l 与直线1:1l y =及直线2:70l x y +-=分别交于点P ，Q ．若PQ 的中点为点()1,1M -，则直线l 的斜率为．39．（2024高二上·辽宁大连·阶段练习）设点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，AB 的中点是1(2)P -，，则AB 等于40．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·期中）点()0,1-到直线()2y k x =+的距离的最大值是．41．（2024高二上·江苏南通·期中）已知点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标为()2,1-，则线段AB 的长度为.42．（2024高二·全国·课堂例题）已知点()2,1A ，()3,4B ，()2,1C --，则ABC V 的面积为．43．（2024·云南保山·一模）已知坐标原点为O ，过点()P 2,6作直线()2mx 4m n y 2n 0(m,-++=n 不同时为零)的垂线，垂足为M ，则OM 的取值范围是．44．（2024高二上·全国·课后作业）已知点(),2P a 、()2,3A --、()1,1B ，且PA PB =，则a =.45．（2024高二上·安徽六安·期中）已知两直线1110a x b y +-=和2210a x b y +-=的交点为(1,2)P ，则过111(,),Q a b 222(,)Q a b 两点的直线方程为.46．（2024高三上·上海青浦·阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，若动点(,)P a b 到两直线1:l y x =和2:2l y x =-+，则22a b +的最大值为.47．（2024·四川）在平面直角坐标系内，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是．48．（2024高三·陕西·阶段练习）若直线m 被两平行线1:10l x y -+=与2:30l x y -+=所截得的线段的长为m 的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是(写出所有正确答案的序号)．49．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位长度，沿y 轴正方向平移5个单位长度，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位长度，沿y 轴负方向平移2个单位长度，又与直线l 重合.若直线l 与直线l 1关于点（2，3）对称，则直线l 的方程是.50．（2024高三·全国·专题练习）点()0,0，()3,4到直线l 的距离分别为1和4，写出一个满足条件的直线l 的方程：.51．（2024高一·全国·课后作业）经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为.52．（2024高二上·全国·课后作业）经过点(1,0)P 和两直线1:220l x y +-=；2:3220l x y -+=交点的直线方程为.53．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知实数1212,,,x x y y ，满足22114x y +=，22229x y +=，12120x x y y +=，则112299x y x y +-++-的最小值是．四、解答题54．（2024高二上·广东东莞·期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC V 的三个顶点(,),(2,1),(2,3)A m n B C -.(1)求BC 边所在直线的方程;(2)若ABC V 的面积等于7，且点A 的坐标满足2360-+=m n ，求点A 的坐标.55．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l 经过点()2,1P -，且平行于向量()1,1.(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行且点P 到直线mm 的方程.56．（2024高二上·天津河西·阶段练习）已知直线()():12360m a x a y a -++-+=，:230n x y -+=.(1)若坐标原点O 到直线m ，求a 的值；(2)当0a =时，直线l 过m 与n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l 的方程.57．（2024高二·全国·课后作业）已知点()()1,3,5,2A B -，点P 在x 轴上使AP BP -最大，求点P 的坐标．。
2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第8章 两条直线的位置关系
√A.6x－4y－3＝0
C.2x＋3y－2＝0
B.3x－2y－3＝0 D.2x＋3y－1＝0
解析 因为抛物线 y2＝2x 的焦点坐标为12，0， 直线 3x－2y＋5＝0 的斜率为32， 所以所求直线 l 的方程为 y＝32x－21，
化为一般式，得6x－4y－3＝0.
4.已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三 角形，则实数m的取值集合为
解析 由题意得，点 P 到直线的距离为|4×4－35×a－1|＝|15－5 3a|. 又|15－5 3a|≤3，即|15－3a|≤15，解得 0≤a≤10，
所以a的取值范围是[0,10].
4.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则
29
|PQ|的最小值为__1_0___.
题型二 两直线的交点与距离问题
自主演练
1.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－
1 2
x＋2的交点位于第一象限，则实
数k的取值范围是__－__16，__12__.
解析
y＝kx＋2k＋1， 由方程组y＝－12x＋2，
x＝22－k＋41k， 解得y＝62kk＋＋11.
(若 2k＋1＝0，即 k＝－12，则两直线平行)
知识梳理
一、两条直线的平行与垂直 1.两条直线平行 (1)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ k1＝k2 . (2)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2. 2.两条直线垂直 (1)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔ k1·k2＝－1 . (2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
高考数学一轮复习 第九章 解析几何 第二节 两条直线的位置关系教案 理(含解析)苏教版-苏教版高三全
第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点之间的距离|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2[小题体验]1．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则实数m 的值为________．解析：由k AB ＝4－mm ＋2＝－2，得m ＝－8.答案：－82．已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝________. 解析：由题意知|a －2＋3|2＝1，所以|a ＋1|＝2，又a ＞0，所以a ＝2－1. 答案：2－13．若直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为________．解析：直线ax ＋2y －1＝0的斜率k 1＝－a 2，直线2x －3y －1＝0的斜率k 2＝23，因为两直线垂直，所以－a 2×23＝－1，即a ＝3.答案：31．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．解析：①若l 1的斜率不存在，此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－25，显然l 1⊥l 2，符合条件；若l 2的斜率不存在，此时t ＝－32，易知l 1与l 2不垂直．②当l 1，l 2的斜率都存在时，直线l 1的斜率k 1＝－t ＋21－t ，直线l 2的斜率k 2＝－t －12t ＋3，因为l 1⊥l 2，所以k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－t －12t ＋3＝－1，所以t ＝－1.综上可知t ＝－1或t ＝1. 答案：－1或12．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________． 解析：因为63＝m 4≠14－3，所以m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2. 答案：2考点一 两条直线的位置关系 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·沭阳月考)若直线y ＝mx ＋1与直线y ＝4x －8垂直，则m ＝________. 解析：由直线y ＝mx ＋1与直线y ＝4x －8垂直， 得m ×4＝－1，解得m ＝－14.答案：－142．(2018·某某模拟)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是________． 解析：依题意，设所求的直线方程为x －2y ＋a ＝0，由于点(1,0)在所求直线上，则1＋a ＝0，即a ＝－1，则所求的直线方程为x －2y －1＝0.答案：x －2y －1＝03．(2019·启东调研)已知直线l 1：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，l 2：ax ＋by －4＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且l 1过点(1,1)；(2)l 1∥l 2，且l 2在第一象限内与两坐标轴围成的三角形的面积为2. 解：(1)因为l 1⊥l 2，所以a (a －1)＋b ＝0.① 又l 1过点(1,1)，所以a ＋b ＝0.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.当a ＝0，b ＝0时不合题意，舍去． 所以a ＝2，b ＝－2.(2)因为l 1∥l 2，所以a －b (a －1)＝0，③由题意，知a ＞0，b ＞0，直线l 2与两坐标轴的交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫4a，0，⎝⎛⎭⎪⎫0，4b .则12×4a ×4b＝2，得ab ＝4，④ 由③④，得a ＝2，b ＝2.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)l 1与l 2垂直的充要条件 A 1A 2＋B 1B 2＝0 l 1与l 2平行的充分条件 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) l 1与l 2相交的充分条件 A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0) l 1与l 2重合的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) [提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答填空题时，建议多用比例式来解答．考点二 距离问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，在坐标平面内求一点P ，使PA ＝PB ，且点P 到直线l 的距离为2.解：设点P 的坐标为(a ，b )． 因为A (4，－3)，B (2，－1)，所以线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. 因为点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， 所以a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， 所以|4a ＋3b －2|5＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②由①②联立可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.所以所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝⎛⎭⎪⎫277，－87.[由题悟法]距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等．(2)解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．(3)求两条平行线间的距离．要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．[即时应用]1．(2019·阜宁中学检测)在坐标轴上，与点A (1,5)，B (2,4)等距离的点的坐标是________．解析：线段AB 的垂直平分线方程为y －92＝－1－25－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，令x ＝0，可得y ＝3；令y＝0，可得x ＝－3，∴在坐标轴上，与点A (1,5)，B (2,4)等距离的点的坐标是(0,3)或(－3,0)． 答案：(0,3)或(－3,0)2．(2018·某某中学测试)已知点M 是直线x ＋3y ＝2上的一个动点，且点P (3，－1)，则PM 的最小值为________．解析：PM 的最小值即为点P (3，－1)到直线x ＋3y ＝2的距离， 又d ＝|3－3－2|1＋3＝1，故PM 的最小值为1.答案：13．已知直线l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行，且l 1与l 2的距离是2，则直线l 1的方程为______________________．解析：因为l 1与l 2：x ＋y －1＝0平行， 所以可设l 1的方程为x ＋y ＋b ＝0(b ≠－1)．又因为l 1与l 2的距离是2， 所以|b ＋1|12＋12＝2，解得b ＝1或b ＝－3，即l 1的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0考点三 对称问题题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型． 常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称；(3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．(2019·丹阳高级中学检测)点A (2,3)关于点P (0,5)对称的点的坐标为________． 解析：设A (2,3)关于点P (0,5)对称的点的坐标为(x 0，y 0)，由中点坐标公式，得2＋x 02＝0，3＋y 02＝5，则x 0＝－2，y 0＝7.∴点A (2,3)关于点P (0,5)对称的点的坐标为(－2,7)．答案：(－2,7)角度二：点关于线对称2．(2018·某某模拟)已知△ABC 的两个顶点A (－1，5)和B (0，－1)，若∠C 的平分线所在的直线方程为2x －3y ＋6＝0，则BC 边所在的直线方程为______________．解析：设点A 关于直线2x －3y ＋6＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧2×x ′－12－3×y ′＋52＋6＝0，y ′－5x ′＋1＝－32，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ′－3y ′－5＝0，3x ′＋2y ′－7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3113，y ′＝－113，即A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3113，－113，由题意知，点A ′在直线BC 上．所以直线BC 的方程为y ＝－113－－13113－0x －1，整理得12x －31y －31＝0. 答案：12x －31y －31＝0 角度三：线关于线对称3．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________．解析：设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， 所以2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0. 答案：x －2y ＋3＝0[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．(2019·沭阳期中)已知点A (1，－2)关于直线x ＋ay －2＝0的对称点为B (m,2)，则实数a 的值为________．解析：由对称的特点可知，AB 的中点在对称轴上，直线AB 垂直于对称轴，则1＋m 2＋－2＋22a －2＝0，2－－2m －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1，解得m ＝3，a ＝2.答案：22．(2018·启东期末)已知直线l 1：2x －y －2＝0和直线l 2：x ＋2y －1＝0关于直线l 对称，则直线l 的斜率为________．解析：设P (a ，b )是直线l 上任意一点，则点P 到直线l 1：2x －y －2＝0和直线l 2：x ＋2y －1＝0的距离相等， 即|2a －b －2|5＝|a ＋2b －1|5，整理得a －3b －1＝0或3a ＋b －3＝0， ∴直线l 的斜率为13或－3.答案：13或－33．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )， 则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·某某调研)已知点A (1,3)关于直线l 的对称点为B (－5，1)，则直线l 的方程为________．解析：∵已知点A (1,3)关于直线l 的对称点为B (－5,1)，故直线l 为线段AB 的中垂线．求得AB 的中点为(－2,2)，AB 的斜率为1－3－5－1＝13，故直线l 的斜率为－3，故直线l 的方程为 y －2＝－3(x ＋2)，即3x ＋y ＋4＝0.答案：3x ＋y ＋4＝02．(2018·宿迁模拟)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是________． 解析：因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率ky －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.答案：2x ＋y －2＝03．直线y ＝3x ＋3关于直线l ：x －y －2＝0对称的直线方程为________． 解析：取直线y ＝3x ＋3上一点A (0,3)，设A 关于直线l ：x －y －2＝0对称的点为A ′(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b －3a －0·1＝－1，a ＋02－b ＋32－2＝0，解得a ＝5，b ＝－2.∴A ′(5，－2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋3，x －y －2＝0，解得x ＝－52，y ＝－92.令M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－92，∵直线y ＝3x ＋3关于直线l 对称的直线过A ′，M 两点，∴所求直线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－92－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－525－⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，即x －3y －11＝0.答案：x －3y －11＝04．(2018·启东中学测试)已知直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则点P 的坐标为________．解析：因为l 1∥l 2，且l 1的斜率为2，则直线l 2l 2过点(－1,1)，所以直线l 2的方程为y －1＝2(x ＋1)，整理得y ＝2xx ＝0，得y ＝3，所以点P 的坐标为(0,3)．答案：(0,3)5．若直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，所以直线2x －y ＝－10与y ＝x ＋1的交点坐标为(－9，－8)， 代入y ＝ax －2，得－8＝a ·(－9)－2， 所以a ＝23.答案：236．(2019·某某检测)已知直线l 1：mx ＋2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋(m ＋1)y －2＝0平行，则l 1与l 2间的距离为________．解析：∵直线l 1：mx ＋2y ＋4＝0与直线l 2：x ＋(m ＋1)y －2＝0平行，当m ＝－1时，显然不合题意；当m ≠－1时，有m 1＝2m ＋1≠4－2，解得m ＝1，∴l 1与l 2间的距离d ＝|－2－4|1＋4＝655.答案：655二保高考，全练题型做到高考达标1．已知直线l 1：(m ＋1)x ＋2y ＋2m －2＝0，l 2：2x ＋(m －2)y ＋2＝0，若直线l 1∥l 2，则m ＝________.解析：由题意知，当m ＝2时，l 1：3x ＋2y ＋2＝0，l 2：x ＋1＝0，不合题意；当m ≠2时，若直线l 1∥l 2，则m ＋12＝2m －2≠2m －22，解得m ＝－2或m ＝3(舍去)． 答案：－22．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2之间的距离为________．解析：因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a ，解得a ＝－1， 所以l 1与l 2的方程分别为l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0， 所以l 1与l 2的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.答案：823 3．(2019·X 家港模拟)过点P (1,2)作一直线l ，使直线l 与点M (2,3)和点N (4，－5)的距离相等，则直线l 的方程为________________．解析：易知直线l 的斜率存在，∵直线l 过点P (1,2)，∴设l 的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.又直线l 与点M (2,3)和点N (4，－5)的距离相等， ∴|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|4k ＋5－k ＋2|k 2＋1， 解得k ＝－4或k ＝－32， ∴l 的方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0.答案：4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝04．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点________． 解析：由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，所以直线l 2恒过定点(0,2)．答案：(0,2)5．已知点P (0，－1)，点Q 在直线x －y ＋1＝0上，若直线P Q 垂直于直线x ＋2y －5＝0，则点Q 的坐标是________．解析：设Q(x 0，y 0)，因为点Q 在直线x －y ＋1＝0上，所以x 0－y 0＋1＝0.①又直线x ＋2y －5＝0的斜率k ＝－12，直线P Q 的斜率k P Q ＝y 0＋1x 0， 所以由直线P Q 垂直于直线x ＋2y －5＝0，得y 0＋1x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.② 由①②解得x 0＝2，y 0＝3，即点Q 的坐标是(2,3)．答案：(2,3)6．(2019·某某一模)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且坐标原点O 到直线l 的距离为3，则△AOB 的面积S 的最小值为________．解析：由坐标原点O 到直线l 的距离为3，可得|－1|m 2＋n 2＝3，化简得m 2＋n 2＝13. 对直线l ：mx ＋ny －1＝0，令x ＝0，可得y ＝1n ；令y ＝0，可得x ＝1m， 故△AOB 的面积S ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m ·1n ＝12|mn |≥1m 2＋n2＝3， 当且仅当|m |＝|n |＝66时，取等号． 故△AOB 的面积S 的最小值为3.答案：37．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则PA ·PB 的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以PA 2＋PB 2＝AB 2＝10，所以PA ·PB ≤PA 2＋PB 22＝5(当且仅当PA ＝PB ＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，PA ·PB＝0，故PA ·PB 的最大值是5.答案：58．将一X 画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A (0,2)与点B (4,0)重合．若此时点C (7,3)与点D (m ，n )也重合，则m ＋n 的值是________．解析：由题意知，折痕既是A ，B 的对称轴，也是 C ，D 的对称轴．因为AB 的斜率k AB ＝0－24－0＝－12，AB 的中点为(2,1)， 所以图纸的折痕所在的直线方程为y －1＝2(x －2)，所以k CD ＝n －3m －7＝－12， ① 因为CD 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫m ＋72，n ＋32， 所以n ＋32－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋72－2. ② 由①②解得m ＝35，n ＝315，所以m ＋n ＝345. 答案：3459．已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)当l 1∥l 2时，求a 的值；(2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解：(1)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0， l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)， 由l 1∥l 2可得⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＝11－a，－3≠－a ＋1，解得a ＝－1. 综上可知，a ＝－1.法二：由l 1∥l 2知⎩⎪⎨⎪⎧ A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a a －1－1×2＝0，a a 2－1－1×6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a －2＝0，a a 2－1≠6⇒a ＝－1.(2)法一：当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不符合；当a ≠1时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－ax －(a ＋1)，由l 1⊥l 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2·11－a＝－1⇒a ＝23. 法二：因为l 1⊥l 2，所以A 1A 2＋B 1B 2＝0，即a ＋2(a －1)＝0，得a ＝23. 10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)，所以l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12， 代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，所以k BC ＝65， 所以直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)， 即6x －5y －9＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·江阴检测)直线l 经过点P (2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为S ，如果符合条件的直线l 能作且只能作三条，则S ＝________.解析：由已知可得直线l 的斜率一定存在且不为零，设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，则直线l 与坐标轴的交点为(0,1－2k )，⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0， 则S ＝12|1－2k |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－1k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12k －2k . 如果符合条件的直线l 能作且只能作三条，则关于k 的方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－12k －2k ＝S 只有三个解，即4k 2＋2(S －2)k ＋1＝0与4k 2－2(S ＋2)k ＋1＝0，一个有一解，一个有两解，解得S ＝4.答案：42．(2018·锡山高级中学检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是________．解析：在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b sin B ·sin A ax sin A ＋ay ＋c ＝0的斜率k 1＝－sin A a ，bx －y sin B ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，因此k 1·k 2＝b sin B ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin A a ＝－1，所以两条直线垂直．答案：垂直3．已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点．(1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程；(2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值，并求此时l 的方程．解：(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，因为点A (5,0)到l 的距离为3，所以|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，所以λ＝2或λ＝12， 所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)如图，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l的距离，则d ≤PA (当l ⊥PA 时等号成立)．所以d max ＝PA ＝5－22＋0－12＝10.因为k PA ＝－13，l ⊥PA ，所以k l ＝3， 所以直线l 的方程为y －1＝3(x －2)，即3x －y －5＝0.。
高考一轮复习教案数学(理)新课标 第九篇 解析几何 2 两条直线的位置关系
第2讲 两条直线的位置关系【2013年高考会这样考】1．考查两直线的平行与垂直．2．考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式．【复习指导】1．对两条直线的位置关系，求解时要注意斜率不存在的情况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系．2．熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离．基础梳理1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行．(2)两条直线垂直①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.②如果l 1、l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直．2．两直线相交交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应． 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．3．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. 特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.一条规律与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0.两个防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑． (2)在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中的x ，y 系数化为分别相等．三种对称(1)点关于点的对称点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)．(2)点关于直线的对称设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x 02＋b ，可求出x ′，y ′.(3)直线关于直线的对称①若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称的点P 2，那么经过交点及点P 2的直线就是l 2；②若已知直线l 1与对称轴l 平行，则与l 1对称的直线和l 1分别到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l 1的对称直线．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a的值为( )．A ．－3B ．－43C ．2D ．3解析 由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2×23＝－1，得：a ＝3. 答案 D2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( )．A ．1 B. 3 C ．2 D. 5解析 d ＝|－5|1＋22＝ 5. 答案 D3．(2012·银川月考)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )．A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0 解析 ∵所求直线与直线x －2y －2＝0平行，∴所求直线斜率k ＝12，排除C 、D.又直线过点(1,0)，排除B ，故选A.答案 A4．点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是( )．A ．(－a －1，－b －1)B ．(－b －1，－a －1)C ．(－a ，－b )D ．(－b ，－a )解析 设对称点为(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y ′－b x ′－a ×(－1)＝－1，x ′＋a 2＋y ′＋b 2＋1＝0，解得：x ′＝－b －1，y ′＝－a －1.答案 B5．平行线l 1：3x －2y －5＝0与l 2：6x －4y ＋3＝0之间的距离为________．解析 直线l 2变为：3x －2y ＋32＝0，由平行线间的距离公式得：d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5－3232＋22＝132.答案13 2考向一两条直线平行与垂直的判定及应用【例1】►(1)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则实数a＝________.(2)“ab＝4”是直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的()．A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[审题视点] (1)利用k1·k2＝－1解题．(2)抓住ab＝4能否得到两直线平行，反之两直线平行能否一定得ab＝4.解析(1)由题意知(a＋2)a＝－1，所以a2＋2a＋1＝0，则a＝－1.(2)直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的充要条件是－2a＝－b2且－1a≠－1，即ab＝4且a≠1，则“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的必要而不充分条件．答案(1)－1(2)C(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．(2)①若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.②设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则：l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.(3)注意转化与化归思想的应用．【训练1】已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得：(1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1，l2重合．解(1)由已知1×3≠m(m－2)，即m2－2m－3≠0，解得m≠－1且m≠3.故当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交．(2)当1·(m －2)＋m ·3＝0，即m ＝12时，l 1⊥l 2.(3)当1×3＝m (m －2)且1×2m ≠6×(m －2)或m ×2m ≠3×6，即m ＝－1时，l 1∥l 2.(4)当1×3＝m (m －2)且1×2m ＝6×(m －2)，即m ＝3时，l 1与l 2重合．考向二 两直线的交点【例2】►求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．[审题视点] 可先求出l 1与l 2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．解 法一 先解方程组⎩⎨⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0， 得l 1、l 2的交点坐标为(－1,2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.法二 由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1，故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.法三 由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0.其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15， 代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是：Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.【训练2】 直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l 的方程．解 法一 设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，由已知条件，得直线l 与l 2的交点为B (－2－x 0,4－y 0)，并且满足⎩⎨⎧ 4x 0＋y 0＋3＝0，3(－2－x 0)－5(4－y 0)－5＝0， 即⎩⎨⎧ 4x 0＋y 0＋3＝0，3x 0－5y 0＋31＝0，解得⎩⎨⎧ x 0＝－2，y 0＝5，因此直线l 的方程为y －25－2＝x －(－1)－2－(－1)，即3x ＋y ＋1＝0. 法二 设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由⎩⎨⎧ kx －y ＋k ＋2＝0，4x ＋y ＋3＝0，得x ＝－k －5k ＋4. 由⎩⎨⎧kx －y ＋k ＋2＝0，3x －5y －5＝0，得x ＝－5k －155k －3. 则－k －5k ＋4＋－5k －155k －3＝－2，解得k ＝－3. 因此所求直线方程为y －2＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋1＝0.法三 两直线l 1和l 2的方程为(4x ＋y ＋3)(3x －5y －5)＝0，①将上述方程中(x ，y )换成(－2－x,4－y )，整理可得l 1与l 2关于(－1,2)对称图形的方程：(4x ＋y ＋1)(3x －5y ＋31)＝0.②①－②整理得3x ＋y ＋1＝0.考向三 距离公式的应用【例3】►(2011·北京东城模拟)若O (0,0)，A (4，－1)两点到直线ax ＋a 2y ＋6＝0的距离相等，则实数a ＝________.[审题视点] 由点到直线的距离公式列出等式求a .解析 由题意，得6a 2＋a 4＝|4a －a 2＋6|a 2＋a4，即4a －a 2＋6＝±6，解之得a ＝0或－2或4或6.检验得a ＝0不合题意，所以a ＝－2或4或6.答案 －2或4或6用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式，还要注意公式中分子含有绝对值的符号，分母含有根式的符号．而求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离．【训练3】 已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为 5，求直线l 1的方程． 解 ∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n －1，∴⎩⎨⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2. (1)当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0.∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18. 所以，所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.(2)当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为2x －4y －1＝0，∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22. 所以，所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.考向四 对称问题【例4】►光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．[审题视点] 设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则直线A ′D ′经过点B 与C .解 作出草图，如图所示．设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.解决这类对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．【训练4】 已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )．A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析 l 1与l 2关于l 对称，则l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设其关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1.即(1,0)、(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2方程为x －2y －1＝0. 答案 B难点突破19——两直线平行与垂直问题的求解策略从近两年新课标高考试题可看出高考主要以选择题、填空题的形式考查两直线的平行和垂直问题，往往是直线方程中一般带有参数，问题的难点就是确定这些参数值，方法是根据两直线平行、垂直时所满足的条件列关于参数的方程(组)，通过解方程(组)求出参数值，但要使参数符合题目本身的要求，解题时注意直线方程本身的限制．【示例1】►(2011·浙江)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.【示例2】►(2010·上海)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是()．A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2。
2021高考一轮复习 第二十七讲 两条直线的位置关系
2021高考一轮复习第二十七讲两条直线的位置关系一、单选题(共10题；共20分)1．（2分）设不同直线l1:x−my+1=0，l2:(m−1)x−2y−2=0，则“ m=2”是“ l1//l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（2分）若a，b为正实数，直线2x+(2a−3)y+2=0与直线bx+2y−1=0互相垂直，则ab的最大值为（）A．32B．98C．94D．3√243．（2分）两平行直线kx+6y+2=0与4x−3y+4=0之间的距离为（）A．15B．25C．1D．654．（2分）已知直线l经过点（1，﹣2）且与直线2x+3y＝1垂直，则l的方程为（）A．2x+3y+4＝0B．2x+3y﹣8＝0C．3x﹣2y﹣7＝0D．3x﹣2y﹣1＝05．（2分）已知m为实数，直线l1:mx+y−1=0，l2：(3m−2)x+my−2=0，若l1//l2，则实数m的值()A．2B．1C．1或2D．0或136．（2分）已知M(−2，3)，N(6，2)，点P在x轴上，且使得PM+PN取最小值，则点P的坐标为（）A．(−2，0)B．(125，0)C．(145，0)D．(6，0)7．（2分）点P(2,3)到直线：ax+(a−1)y+3=0的距离d最大时，d与a的值依次为() A．3，－3B．5，2C．5，1D．7，18．（2分）直线l1:5x+12y+3=0与l2:10x+24y−7=0的距离为（）A．14B．12C．113D．2139．（2分）已知直线l1:(m−4)x+4y+1=0和l2:(m+4)x+(m+1)y−1=0，若l1⊥l2，则实数m的值为（）A．1或−3B．12或−13C．2或−6D．−12或2310．（2分）已知m,n,a,b∈R，且满足3m+4n=6,3a+4b=1，则√(m−a)2+(n−b)2的最小值为（）A．√3B．√2C．1D．12二、多选题(共2题；共6分)11．（3分）若两条平行直线l1：x−2y+m=0与l2：2x+ny−6=0之间的距离是2√5，则m+n的可能值为（）A．3B．-17C．-3D．1712．（3分）两直线(m+2)x−y+m=0，x+y=0与x轴相交且能构成三角形，则m不能取到的值有（）A．−3B．−2C．−1D．0三、填空题(共8题；共10分)13．（2分）设直线l的方程为(a+1)x+y+2−a=0，则直线l经过定点；若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为.14．（1分）已知直线l1:4x+2y−7=0和l2:2x+y−1=0，直线m分别与l1,l2交于A，B两点，则线段AB长度的最小值为.15．（1分）直线l1:x−1=0和直线l2:√3x−y=0的夹角大小是16．（1分）已知点A(2,1)，点B(5,−1)，则|AB|=．17．（1分）不论m取什么实数，直线(2m−1)x+(m+3)y−(m−11)=0都经过一个定点，则这个定点为．18．（1分）点P(−3,2,1)关于点Q(1,2,−3)的对称点M的坐标为．19．（1分）如果平面直角坐标系中的两点A(a−1,a+1) ,B(a,a)关于直线L对称，那么直线L 的方程为．20．（2分）已知直线l1:x−y+1=0与l2:x+ay+3=0平行，则a=，l1与l2之间的距离为四、解答题(共2题；共20分)21．（10分）已知直线l：kx−y+1+2k=0(k∈R)（1）（5分）证明：直线l 过定点；（2）（5分）若直线l交x轴负半轴于点A ，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB 的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．22．（10分）已知两条直线L1:ax−by+4=0和L2:(a−1)x+y−√2=0，求分别满足下列条件的实数a,b的值.（1）（5分）L1⊥L2，且L1过点(−3,−1)；（2）（5分）L1//L2，且坐标原点到直线L2的距离为1.答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】当 m =2 时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立 l 1//l 2 时，显然 m ≠0 ，从而有 −2+m(m −1)=0 ，解得 m =2 或 m =−1 ， 但当 m =−1 时，两直线重合，不合要求，故必要性成立． 故答案为：C【分析】根据两条直线平行的条件，求得m 的值，就可以判断是“ m =2 ”是“ l 1//l 2 ”的什么条件．2．【答案】B【解析】【解答】解：由直线 2x +(2a −3)y +2=0 与直线 bx +2y −1=0 互相垂直所以 2b +2(2a −3)=0 即 2a +b =3又a 、b 为正实数，所以 2a +b ≥2√2ab即 2ab ≤(2a+b 2)2=94，当且仅当a =34 ，b =32 时取“＝”；所以 ab 的最大值为 98 ．故答案为：B【分析】由两直线垂直求出 2a +b =3 ，再利用基本不等式求出 ab 的最大值．3．【答案】C【解析】【解答】解：因为直线 kx +6y +2=0 与 4x −3y +4=0 平行，所以 k =−8 ，将 4x −3y +4=0 化为 −8x +6y −8=0 ， ∴两条平行线之间的距离d ＝ |2+8|√8+6 ＝ 1 ，故答案为：C.【分析】根据两条直线平行，计算k 的值，然后将直线化相等的系数，再利用两条平行线之间的距离公式即可得出．4．【答案】C【解析】【解答】由直线 l 与直线 2x +3y =1 垂直，则 k l ⋅(−23)=−1所以 k l =32，所以直线l的方程为：y−(−2)=32(x−1)，整理可得3x−2y−7=0，故答案为：C【分析】根据两条直线垂直，斜率之积等于-1求出直线l的斜率，再由点斜式方程即可求解. 5．【答案】B【解析】【解答】解：当m=0时，两直线方程分别为y−1=0和−2x−2=0，不满足条件．当m≠0时，则l1//l2，∴3m−2m=m1≠−2−1，由3m−2m=m1得m2−3m+2=0得m=1或m=2，由m1≠−2−1得m≠2，则m=1，故答案为：B【分析】根据直线平行的等价条件，求出m的值；6．【答案】C【解析】【解答】如图，M关于x轴对称点是M′(−2，−3)，M’和N在x轴两侧，则当M’N成一直线，此时，M’N与x轴交于P点，有PM+PN取最小值，此时，PM+PN=M′N，而直线M’N的方程为y−2−3−2=x−6−2−6，化简得，5x−8y−14=0，则直线M’N交x轴于P点，所以，P点坐标为(145，0)答案选：C【分析】作图，找到M关于x轴对称点是M′(−2，−3)，连结M’N，求出M’N的方程，则M’N 与x轴交于P点，此时，PM+PN取最小值，且PM+PN=M′N，此时根据直线方程求出P点即可7．【答案】C【解析】【解答】 ∵ 直线 ax +(a −1)y +3=0 ，即 a(x +y)+(3−y)=0 ，∴ 直线 ax +(a −1)y +3=0 是过直线 x +y =0 和 3−y =0 交点的直线系方程， 由 {x +y =03−y =0，得 {x =−3y =3 ， 可得直线 ax +(a −1)y +3=0 经过定点 Q(−3,3) ， ∴ 当直线 ax +(a −1)y +3=0 与 PQ 垂直时， 点 P(2,3) 到直线 ax +(a −1)y +3=0 的距离最大， ∴d 的最大值为 |PQ|=√(2+3)2+(3−3)2=5 ， 此时 PQ//x 轴，可得直线 ax +(a −1)y +3=0 斜率不存在，即 a =1 . 故答案为：C.【分析】将直线方程整理为 a(x +y)+(3−y)=0 ，可得直线 ax +(a −1)y +3=0 经过定点 Q(−3,3) ，由此可得当直线 ax +(a −1)y +3=0 与 PQ 垂直时 PQ 的长，并且此时点 P 到直线的距离达到最大值，从而可得结果.8．【答案】B【解析】【解答】因为直线 l 1:5x +12y +3=0 即 10x +24y +6=0 ，直线 l 2:10x +24y −7=所以由两条平行线间的距离公式可得： d =|6−(−7)|√10+24=1326=12故答案为：B【分析】将直线 l 1 的方程化为 10x +24y +6=0 ，然后用两条平行线间的距离公式求解即可.9．【答案】C【解析】【解答】∵直线 l 1:(m −4)x +4y +1=0 和 l 2:(m +4)x +(m +1)y −1=0 ，若 l 1⊥l 2 ，∴(m −4)(m +4)+4(m +1)=0 ，得 m 2+4m −12=0 ，解得 m =2 或 m =−6 ， ∴实数 m 的值为 2 或 −6 ． 故答案为：C ．【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．10．【答案】C【解析】【解答】点(m,n)为直线3x+4y=6上的动点，点(a,b)为直线3x+4y=1上的动点，√(m−a)2+(n−b)2的最小值可理解为两动点间距离的最小值，显然最小值即两平行线间的距离：d=9+16=1。
全国版高考数学一轮复习第9章直线和圆的方程第1讲直线方程与两直线的位置关系课件理
考法1 求直线的方程
思维拓展
常见的直线系方程
(1)过定点P(x0,y0)的直线系方程:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B2≠0),还可以表示 为y-y0=k(x-x0)或x=x0. (2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Ax+By+λ=0(λ≠C).
(3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程:Bx-Ay+λ=0.
a是直线的横截距. b是直线的纵截距.
不过原点且与两坐标轴均不 垂直的直线.
一般式 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)
所有直线.
考点2 两直线的位置关系
1.两条直线的位置关系
斜截式
方程
相交 垂直
y=k1x+b1, y=k2x+b2.
k1≠k2. k1k2=-1.
平行
k1=k2且b1≠b2.
一般式
第九章 直线和圆的方程
第一讲 直线方程与两直线的 位置关系
考点帮·必备知识通关 考点1 直线的方程直 考点2 两直线的位置关系
考法帮·解题能力提升 考法1 求直线的方程 考法2 两直线的位置关系 考法3 两直线的交点与距离问题 考法4 对称问题
高分帮 ·“双一流”名校冲刺 明易错· 误区警示
易错 忽略斜率不存在致误
考法3 两直线的交点与距离问题
思维导引
考法3 两直线的交点与距离问题
解析 (1)易知点A到直线x-2y=0的距离不等于3,可设经过两已知直线交 点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0. (设出
高考数学第一轮知识点总复习 第二节 直线的位置关系
举一反三
4. 已知A(7,-4)关于直线 的l 对称点为B（-5，6），则直线 的l方程是 ( )
A. 5x+6y-11=0
B. 6x-5y-1=0
C. 6x+5y-11=0
D. 5x-6y+1=0
解析 ∵AB的中点（1，1）在直线 上l ,
又
k AB
,即5 所求直线的斜率k=
6
,6
5
∴所求直线 的l 方程为y-1= 6(x-1),即6x-5y-1=0.
x0 x 3
又PP′的中点
Q
x
x0 2
,在y 2上y0 ，
l
∴ 3 x x0 2 y,… y…0 … 7……0 ………………………6′
2
2
由
y0
x0
3 x
y 2 x3
x0
2
, y
y0
7
0
x0
y0
5x 12 y 42 13
12x 5y 28 13
……………………………………………………………………..9′
l1 l2 k1k2 1
一般地，若直线 l1 : A1x B1y( C1不 全0 为A10,)B，1
直线 l2 : A2x B2 y( C2不 全0 为A20, B)，2 则
A1C2 A2C1 0(或B1C2 B2C1 0)
l1 / /l2且 A1B2 A2B1 0
l1 l2 A1A2 B1B2 0
17 13
,… 1…332… ……………………...10′
反射光线过M(-1,2)和P′
17 13
,
32 13
根据直线的两点式方程,可得
反射光线所在的方程为29x-2y+33=0…………………………….12
高考数学一轮总复习课件：两直线的位置关系
例1 (1)(2021·江西八校联考)已知直线l1：kx＋y＋3＝0， l2：x＋ky＋3＝0，且l1∥l2，则k的值为__－__1____．
【思路】 根据两直线平行列关于k的方程，解出k的值，然后 代入两直线方程进行验证是否满足l1∥l2，即可得出实数k的值．
【解析】 ∵直线l1：kx＋y＋3＝0，l2：x＋ky＋3＝0，且l1 ∥l2，
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
＝0.若2．l1∥(课l2本，习则题a的改值编为)已_－_知_12_直__线__l，1：若axl1＋⊥yl＋2，5则＝a0的，值l2：为x－2y＋7 _____2___．
3．直线y＝kx－k－2恒过定点__(_1，__－__2)_．
解析 y＝kx－k－2＝k(x－1)－2.当x＝1，y＝－2时恒成立， ∴直线恒过定点(1，－2)．
【解析】 要使点P到直线x－y－4＝0有最小距离， 只需点P为曲线与直线x－y－4＝0平行的切线的切点， 即点P为曲线上斜率为1的切线的切点，设P(x0，y0)，x0>0， y＝x2－lnx，y′|x＝x0＝2x0－x10＝1，解得x0＝1或x0＝－12(舍去)， 点P(1，1)到直线x－y－4＝0的距离为|1－12－4|＝2 2， 所以曲线y＝x2－lnx上任一点到直线x－y－4＝0的距离的最小 值为2 2.
【思路】 结合图形，根据点到直线的距离公式求解．
【解析】 (1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐 标为(2，－1)，显然，过点P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条 件，
此时l的斜率不存在，其方程为x＝2. 若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)， 即kx－y－2k－1＝0. 由已知得|－k22k＋－11|＝2，解得k＝34. 此时l的方程为3x－4y－10＝0.
高考数学(人教a版,理科)题库：直线方程和两直线的位置关系(含答案)
第九章 解析几何第1讲 直线方程和两直线的位置关系一、选择题1．已知直线l 的倾斜角α满足条件sin α＋cos α＝15，则l 的斜率为( )A.43B.34 C ．－43 D ．－34 解析 α必为钝角，且sin α的绝对值大，故选C. 答案 C2．经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( )． A ．－1 B ．－3 C ．0 D ．2 解析 由2y ＋1－－4－2＝2y ＋42＝y ＋2， 得：y ＋2＝tan 3π4＝－1.∴y ＝－3. 答案 B3．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )．A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 解析 如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k P A ＝33，则直线P A 的倾斜角为π6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2.答案 B4．过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )． A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝0解析 由题意可设所求直线方程为：x －2y ＋m ＝0，将A (2,3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0. 答案 A5．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( )． A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4解析 (直接法或筛选法)当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2； 当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ.∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． ∴tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.综上知，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4.答案 C6．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝( )．A ．4B ．6C.345D.365解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315.故m ＋n ＝345.答案 C 二、填空题7．若A (－2,3)，B (3，－2)，C (12，m )三点共线，则m 的值为________．解析 由k AB ＝k BC ，即－2－33＋2＝m ＋212－3，得m ＝12.答案 128．直线过点(2，－3)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是________．解析 设直线方程为为x a －ya ＝1或y ＝kx 的形式后，代入点的坐标求得a ＝5和k ＝－32.答案 y ＝－32x 或x 5－y5＝19．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.解析 由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝35. 答案 3510．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为________．解析 由题意得，36＝－2a ≠－1c ，∴a ＝－4且c ≠－2， 则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0， 由两平行线间的距离，得21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋113，解得c ＝2或c ＝－6，所以c ＋2a ＝±1. 答案 ±1 三、解答题11．已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，O 为原点，是否存在使△ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出；若不存在，请说明理由．解 存在．理由如下．设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )，△ AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝⎛⎭⎪⎫2－1k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋－4k＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ≥12(4＋4)＝4. 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立，故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.12．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3.解得λ＝2或λ＝12. ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离， 则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)． ∴d max ＝|P A |＝10.13．已知直线l 过点P (2,3)，且被两条平行直线l 1：3x ＋4y －7＝0，l 2：3x ＋4y ＋8＝0截得的线段长为d . (1)求d 的最小值；(2)当直线l 与x 轴平行，试求d 的值．解 (1)因为3×2＋4×3－7>0,3×2＋4×3＋8>0，所以点P 在两条平行直线l 1，l 2外．过P 点作直线l ，使l ⊥l 1，则l ⊥l 2，设垂足分别为G ，H ，则|GH |就是所求的d 的最小值．由两平行线间的距离公式，得d 的最小值为|GH |＝|8－(－7)|32＋42＝3.(2)当直线l 与x 轴平行时，l 的方程为y ＝3，设直线l 与直线l 1，l 2分别交于点A (x 1,3)，B (x 2,3)，则3x 1＋12－7＝0,3x 2＋12＋8＝0，所以3(x 1－x 2)＝15，即x 1－x 2＝5，所以d ＝|AB |＝|x 1－x 2|＝5.14．已知直线l 1：x －y ＋3＝0，直线l ：x －y －1＝0.若直线l 1关于直线l 的对称直线为l 2，求直线l 2的方程． 解 法一 因为l 1∥l ，所以l 2∥l ， 设直线l 2：x －y ＋m ＝0(m ≠3，m ≠－1)． 直线l 1，l 2关于直线l 对称， 所以l 1与l ，l 2与l 间的距离相等． 由两平行直线间的距离公式得|3－(－1)|2＝|m －(－1)|2， 解得m ＝－5或m ＝3(舍去)． 所以直线l 2的方程为x －y －5＝0.法二 由题意知l 1∥l 2，设直线l 2：x －y ＋m ＝0(m ≠3，m ≠－1)． 在直线l 1上取点M (0,3)，设点M 关于直线l 的对称点为M ′(a ，b )， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧b －3a ×1＝－1，a ＋02－b ＋32－1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－1，即M ′(4，－1)．把点M ′(4，－1)代入l 2的方程，得m ＝－5， 所以直线l 2的方程为x －y －5＝0.高考资源网（ ） 您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！（上海，甘肃，内蒙，新疆，陕西，山东，湖北）七地区试卷投稿QQ 2355394501。
高考数学一轮复习专题训练—两直线的位置关系
两直线的位置关系考纲要求1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2平行． (2)两条直线垂直如果两条直线l 1，l 2斜率都存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 2．两直线相交直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应． 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 3．距离公式 (1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2. (2)点到直线的距离公式平面上任意一点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.4．对称问题(1)点P (x 0，y 0)关于点A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)．(2)设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点为P ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ′－y0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x2＋b ，可求出x ′，y ′.1．两直线平行的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行的充要条件是A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． 2．两直线垂直的充要条件直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0. 3．点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 (1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( ) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( )(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 解析 (1)两直线l 1，l 2有可能重合．(2)如果l 1⊥l 2，若l 1的斜率k 1＝0，则l 2的斜率不存在．2．两条平行直线3x ＋4y －12＝0与ax ＋8y ＋11＝0之间的距离为( ) A.235 B ．2310C ．7D ．72答案 D解析 由题意知a ＝6，直线3x ＋4y －12＝0可化为6x ＋8y －24＝0，所以两平行直线之间的距离为|11＋24|36＋64＝72. 3．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________． 答案 －9解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴点(1,2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9.4．(2021·银川联考)若直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c ＝( ) A ．－2 B ．－4 C ．－6 D ．－8答案 B解析 ∵直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，∴－a 4×25＝－1，∴a ＝10，∴直线ax ＋4y －2＝0的方程即为5x ＋2y －1＝0. 将点(1，c )的坐标代入上式可得5＋2c －1＝0， 解得c ＝－2.将点(1，－2)的坐标代入方程2x －5y ＋b ＝0得2－5×(－2)＋b ＝0，解得b ＝－12. ∴a ＋b ＋c ＝10－12－2＝－4.故选B.5．(2020·淮南二模)设λ∈R ，则“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件答案 A解析 当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x ＋4y ＋1＝0,3x ＋2y －2＝0，此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx ＋(λ－1)y ＝1与直线6x ＋(1－λ)y ＝4平行”的充分不必要条件，故选A.6．(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的一个动点，则点P到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________． 答案 4解析 法一 由题意可设P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋4x 0(x 0>0)， 则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02＝⎪⎪⎪⎪2x 0＋4x 02≥22x 0·4x 02＝4，当且仅当2x 0＝4x 0，即x 0＝2时取等号． 故所求最小值是4.法二 设P ⎝⎛⎭⎫x 0，4x 0＋x 0(x 0>0)，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x 20.令1－4x 20＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，∴P (2，32)，曲线y ＝x ＋4x (x >0)上的点P 到直线x ＋y ＝0的最短距离即为此时点P 到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|2＝4.考点一 两直线的平行与垂直【例1】 已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0. (1)试判断l 1与l 2是否平行； (2)当l 1⊥l 2时，求a 的值．解 (1)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2； 当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2； 当a ≠1且a ≠0时，两直线方程可化为l 1：y ＝－a2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＝11－a ，－3≠－a ＋1，解得a ＝－1，综上可知，当a ＝－1时，l 1∥l 2. 法二 由A 1B 2－A 2B 1＝0，得a (a －1)－1×2＝0，由A 1C 2－A 2C 1≠0，得a (a 2－1)－1×6≠0，∴l 1∥l 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧aa －1－1×2＝0，a a 2－1－1×6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a a 2－1≠6，可得a ＝－1， 故当a ＝－1时，l 1∥l 2.(2)法一 当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0， l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2，故a ＝0不成立； 当a ≠1且a ≠0时，l 1：y ＝－a 2x －3，l 2：y ＝11－a x －(a ＋1)，由⎝⎛⎭⎫－a 2·11－a ＝－1，得a ＝23.法二 由A 1A 2＋B 1B 2＝0，得a ＋2(a －1)＝0，可得a ＝23.感悟升华 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件．2．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 【训练1】 (1)(2020·宁波期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A ．6x －4y －3＝0 B ．3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)已知P (－2，m )，Q (m,4)，且直线PQ 垂直于直线x ＋y ＋1＝0，则m ＝________. 答案 (1)A (2)1解析 (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32，所以所求直线l 的方程为y ＝32⎝⎛⎭⎫x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0. (2)由题意知 m －4－2－m＝1，所以m －4＝－2－m ，所以m ＝1.考点二 两直线的交点与距离问题【例2】 (1)(2020·淮南模拟)已知直线kx －y ＋2k ＋1＝0与直线2x ＋y －2＝0的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－32，－1 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪(－1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－13，12(2)(2021·广州模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．答案 (1)D (2)[0,10]解析 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋2k ＋1＝0，2x ＋y －2＝0，解得x ＝1－2k 2＋k ，y ＝2＋6k2＋k(k ≠－2)．∵直线kx －y ＋2k ＋1＝0与直线2x ＋y －2＝0的交点在第一象限， ∴1－2k 2＋k >0，且2＋6k2＋k >0. 解得－13<k <12.故选D.(2)由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解之得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．感悟升华 1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．2．利用距离公式应注意：(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x ，y 的系数分别化为对应相等．【训练2】 (1)(2021·贵阳诊断)与直线2x ＋y －1＝0的距离等于55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0(2)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程为________________． 答案 (1)C (2)5x ＋3y －1＝0解析 (1)设与直线2x ＋y －1＝0的距离等于55的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0(m ≠－1)， ∴|－1－m |22＋12＝55，解得m ＝0或m ＝－2. ∴与直线2x ＋y －1＝0的距离等于55的直线方程为2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0. (2)先解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1，l 2的交点坐标为(－1,2)， 再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ： y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.考点三 对称问题角度1 点关于点对称【例3】 过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________． 答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0.感悟升华 1.点关于点的对称：点P (x ，y )关于M (a ，b )对称的点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .2．直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解．角度2 点关于线对称【例4】 一束光线经过点P (2,3)射在直线l ：x ＋y ＋1＝0上，反射后经过点Q (1,1)，则入射光线所在直线的方程为________． 答案 5x －4y ＋2＝0解析 设点Q (1,1)关于直线l 的对称点为Q ′(x ′，y ′)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ′－1x ′－1＝1，x ′＋12＋y ′＋12＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2，y ′＝－2， 即Q ′(－2，－2)，由光学知识可知，点Q ′在入射光线所在的直线上，又k PQ ′＝3－－22－－2＝54， ∴入射光线所在直线的方程为y －3＝54(x －2)，即5x －4y ＋2＝0.感悟升华 1.若点A (a ，b )与点B (m ，n )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)对称，则直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直平分线段AB ，即有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n2＋C ＝0.2．几个常用结论(1)点(x ，y )关于x 轴的对称点为(x ，－y )，关于y 轴的对称点为(－x ，y )．(2)点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． (3)点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x,2b －y )． 角度3 线关于线对称【例5】 (1)(2021·成都诊断)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( ) A ．3x －4y ＋5＝0 B ．3x －4y －5＝0 C ．3x ＋4y －5＝0D ．3x ＋4y ＋5＝0(2)直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是________________．答案 (1)D (2)x －2y ＋3＝0解析 (1)设所求直线上点的坐标(x ，y )，则关于x 轴的对称点(x ，－y )在已知的直线3x －4y ＋5＝0上，所以所求对称直线方程为3x ＋4y ＋5＝0，故选D. (2)设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－y －y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.感悟升华 求直线l 1关于直线l 对称的直线l 2有两种处理方法：(1)在直线l 1上取两点(一般取特殊点)，利用点关于直线的对称的方法求出这两点关于直线l 的对称点，再用两点式写出直线l 2的方程．(2)设点P (x ，y )是直线l 2上任意一点，其关于直线l 的对称点为P 1(x 1，y 1)(P 1在直线l 1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x ，y 表示出x 1，y 1，再代入直线l 1的方程，即得直线l 2的方程．【训练3】 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 对称的直线l ′的方程． 解 (1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，即A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2×⎝⎛⎭⎫a ＋22－3×⎝⎛⎭⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎨⎧ a ＝613，b ＝3013，即M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0， 得N (4,3)．又m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.(3)法一 在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1,1)，N (4,3)，则P ，N 关于点A 的对称点P ′，N ′均在直线l ′上．易知P ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二 设Q (x ，y )为l ′上任意一点，则Q (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为Q ′(－2－x ，－4－y )，∵Q ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0.活用直线系方程具有某些共同特点的所有直线的全体称为直线系，直线系方程问题是高中数学中的一类重要问题，在解题中有着重要的应用．在直线方程求解中，可以由特定条件设出直线系方程，再结合题目中其他条件求出具体直线，这个解题思路在解决许多问题时，往往能起到化繁为简，化难为易的作用．一、相交直线系方程【例1】 已知两条直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点为P ，求过点P 且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解 法一 解l 1与l 2组成的方程组得到交点P (0,2)，因为k 3＝34，所以直线l 的斜率k ＝－43，方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0. 法二 设所求直线l 的方程为4x ＋3y ＋c ＝0，由法一可知P (0，2)，将其代入方程，得c ＝－6，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.法三 设所求直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，即(1＋λ)x ＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0，因为直线l 与l 3垂直，所以3(1＋λ)－4(λ－2)＝0，所以λ＝11，所以直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0.二、平行直线系方程【例2】 已知直线l 1与直线l 2：x －3y ＋6＝0平行，l 1与x 轴、y 轴围成面积为8的三角形，请求出直线l 1的方程．解 设直线l 1的方程为x －3y ＋c ＝0(c ≠6)，令y ＝0，得x ＝－c ；令x ＝0，得y ＝c 3，依照题意有12×|－c |×⎪⎪⎪⎪c 3＝8，c ＝±4 3.所以l 1的方程是x －3y ±43＝0. 【例3】 已知直线方程3x －4y ＋7＝0，求与之平行且在x 轴、y 轴上的截距和是1的直线l 的方程．解 法一 设存在直线l ：x a ＋y b ＝1，则a ＋b ＝1和－b a ＝34组成的方程组的解为a ＝4， b ＝－3.故l 的方程为x 4－y 3＝1，即3x －4y －12＝0. 法二 根据平行直线系方程可设直线l 为3x －4y ＋c ＝0(c ≠7)，则直线l 在两坐标轴上截距分别对应的是－c 3，c 4，由－c 3＋c 4＝1，知c ＝－12.故直线l 的方程为3x －4y －12＝0. 三、垂直直线系方程【例4】 求经过A (2,1)，且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．解 因为所求直线与直线2x ＋y －10＝0垂直，所以设该直线方程为x －2y ＋c ＝0，又直线过点A (2,1)，所以有2－2×1＋c ＝0，解得c ＝0，即所求直线方程为x －2y ＝0.思维升华 直线系方程的常见类型1．过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)；2．平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C )；3．垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；4．过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R ，但不包括l 2).A 级 基础巩固一、选择题1．已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A. 2B ．2－ 2 C.2－1D ．2＋1答案 C解析 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1. 解得a ＝－1＋2或a ＝－1－ 2.∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.2．(2021·郑州调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3 答案 C解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.3．已知直线l 过点(0,7)，且与直线y ＝－4x ＋2平行，则直线l 的方程为( )A ．y ＝－4x －7B ．y ＝4x －7C ．y ＝4x ＋7D ．y ＝－4x ＋7 答案 D解析 过点(0,7)且与直线y ＝－4x ＋2平行的直线方程为y －7＝－4x ，即直线l 的方程为y ＝－4x ＋7，故选D.4．已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0垂直，则ab 的最小值为() A ．1 B ．2 C ．2 2 D ．2 3 答案 B解析 由已知两直线垂直可得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1，又b >0，所以ab ＝b ＋1b .由基本不等式得b ＋1b ≥2b ·1b ＝2，当且仅当b ＝1时等号成立，所以(ab )min ＝2.故选B.5．坐标原点(0,0)关于直线x －2y ＋2＝0对称的点的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－45，85 B ．⎝⎛⎭⎫－45，－85C.⎝⎛⎭⎫45，－85 D ．⎝⎛⎭⎫45，85答案 A解析 设对称点的坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 02－2×y 02＋2＝0，y 0＝－2x 0，解得⎩⎨⎧ x 0＝－45，y 0＝85，即所求点的坐标是⎝⎛⎭⎫－45，85.6．(2020·上海浦东新区期末)直线x －2y ＋2＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x ＋y －3＝0D ．2x ＋y －4＝0答案 A解析 设P (x ，y )为所求直线上的点，该点关于直线x ＝1的对称点为(2－x ，y )，且该对称点在直线x －2y ＋2＝0上，代入可得x ＋2y －4＝0.故选A.7．(2021·豫西五校联考)过点P (1,2)作直线l ，若点A (2,3)，B (4，－5)到它的距离相等，则直线l 的方程为( )A ．4x ＋y －6＝0或x ＝1B ．3x ＋2y －7＝0C ．4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0D ．3x ＋2y －7＝0或x ＝1答案 C解析 若A ，B 位于直线l 的同侧，则直线l ∥AB .k AB ＝3＋52－4＝－4，∴直线l 的方程为y －2＝－4(x －1)，即4x ＋y －6＝0；若A ，B 位于直线l 的两侧，则直线l 必经过线段AB 的中点(3，－1)，∴k l ＝2－－11－3＝－32， ∴直线l 的方程为y －2＝－32(x －1)，即3x ＋2y －7＝0. 综上，直线l 的方程为4x ＋y －6＝0或3x ＋2y －7＝0，故选C.8．(2020·宝鸡模拟)光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有( )A ．a ＝13，b ＝6 B ．a ＝－3，b ＝16 C ．a ＝3，b ＝－16D ．a ＝－13，b ＝－6 答案 D解析 由题意，直线y ＝－3x ＋b 与直线y ＝ax ＋2关于直线y ＝－x 对称，所以直线y ＝ax ＋2上的点(0,2)关于直线y ＝－x 的对称点(－2,0)在直线y ＝－3x ＋b 上， 所以(－3)×(－2)＋b ＝0，所以b ＝－6，所以直线y ＝－3x －6上的点(0，－6)关于直线y ＝－x 的对称点(6,0)在直线y ＝ax ＋2上，所以6a ＋2＝0，所以a ＝－13. 二、填空题 9．(2021·南昌联考)已知直线l 1：y ＝2x ，则过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心且与直线l 1垂直的直线l 2的方程为________．答案 x ＋2y －3＝0解析 由题意可知圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，所以圆的圆心坐标为(－1,2)，由已知得直线l 2的斜率k ＝－12，所以直线l 2的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0. 10．直线x －2y －3＝0关于定点M (－2,1)对称的直线方程是________．答案 x －2y ＋11＝0解析 设所求直线上任一点(x ，y )，则关于M (－2,1)的对称点(－4－x,2－y )在已知直线上，∴所求直线方程为(－4－x )－2(2－y )－3＝0，即x －2y ＋11＝0.11．若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则PQ 的最小值为________．答案 2910解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行， 将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910. 12．以点A (4,1)，B (1,5)，C (－3,2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________． 答案 25解析 因为k AB ＝5－11－4＝－43，k DC ＝2－－2－3－0＝－43.k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34. 则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．又k AD ·k AB ＝－1，即AD ⊥AB ，故四边形ABCD 为矩形．故S 四边形ABCD ＝|AB |·|AD |＝1－42＋5－12×0－42＋－2－12＝25.B 级 能力提升13．设△ABC 的一个顶点是A (3，－1)，∠B ，∠C 的平分线的方程分别是x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程是( )A ．y ＝3x ＋5B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝2x ＋5D ．y ＝－x 2＋52 答案 C解析 A 关于直线x ＝0的对称点是A ′(－3，－1)，关于直线y ＝x 的对称点是A ″(－1,3)，由角平分线的性质可知，点A ′，A ″均在直线BC 上，所以直线BC 的方程为y ＝2x ＋5.故选C.14．已知点P (－2,0)和直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0(λ∈R)，则点P 到直线l 的距离d 的最大值为( )A ．2 3B ．10C ．14D ．215 答案 B解析 由(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y －(2＋5λ)＝0，得(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，此方程是过直线x ＋y －2＝0和3x ＋2y －5＝0交点的直线系方程．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，可知两直线的交点为Q (1,1)，故直线l 恒过定点Q (1,1)，如图所示，可知d ＝|PH |≤|PQ |＝10，即d 的最大值为10.故选B.15．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点，若点A (5,0)到直线l 的距离为3，则l 的方程为________．答案 x ＝2或4x －3y －5＝0解析 法一 两直线交点为(2,1)，当斜率不存在时，所求直线方程为x －2＝0， 此时A 到直线l 的距离为3，符合题意；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋(1－2k )＝0. 由点到线的距离公式得d ＝|5k ＋1－2k |k 2＋1＝3，解得k ＝43，故所求直线方程为4x －3y －5＝0. 综上知，所求直线方程为x －2＝0或4x －3y －5＝0.法二 经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，所以|10＋5λ－5|2＋λ2＋1－2λ2＝3，解得λ＝2或λ＝12. 所以l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.16．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________． 答案 2解析 因为点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，所以当点P 处的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小．因为直线y ＝x －2的斜率等于1，函数y ＝x 2－ln x 的导数y ′＝2x －1x (x >0)，令y ′＝1，可得x ＝1或x ＝－12(舍去)，所以在曲线y ＝x 2－ln x 上与直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2.。
高考数学一轮复习第8章解析几何第2讲两条直线的位置关系
第二讲 两条直线的位置关系知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1,l 2：y ＝k 2x ＋b 2,l 1∥l 2⇔k 1＝k 2,且b 1≠b 2． 对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0, l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0,且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1,l 2：y ＝k 2x ＋b 2,l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0__． 知识点二 两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．相交⇔方程组有__唯一解__； 平行⇔方程组__无解__； 重合⇔方程组有__无数个解__． 知识点三 三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22．特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|＝x 2＋y 2． (2)点P(x 0,y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2． (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2． 重要结论1．求解距离问题的规律运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式；运用两平行线间的距离公式时,需先把两平行线方程中x,y 的系数化为相同的形式．2．对称问题的求解规律(1)中心对称：转化为中点问题处理．(2)轴对称：转化为垂直平分线问题处理．特殊地：点P(a,b)关于直线x ＋y ＋m ＝0对称的点坐标为(－b －m,－a －m),点P(a,b)关于直线x －y ＋m ＝0对称的点坐标为(b －m,a ＋m)．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两直线的斜率相等,则两直线平行,反之,亦然．( × )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直,那么它们的斜率之积一定等于－1．( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1,B 1,C 1,A 2,B 2,C 2为常数),若直线l 1⊥l 2,则A 1A 2＋B 1B 2＝0．( √ )(4)点P(x 0,y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b|1＋k2．( × ) (5)若点A,B 关于直线l ：y ＝kx ＋b(k≠0)对称,则直线AB 的斜率等于－1k ,且线段AB 的中点在直线l上．( √ )题组二 走进教材2．(课本习题改编)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．(必修2P 110B 组T2)已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1,则a 等于( C ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1[解析] 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1．解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2． ∵a ＞0,∴a ＝－1＋2． 题组三 走向高考4．(2020·高考全国Ⅲ)点(0,－1)到直线y ＝k(x ＋1)距离的最大值为( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2 [解析] 解法一：由y ＝k(x ＋1)可知直线过定点P(－1,0),设A(0,－1),当直线y ＝k(x ＋1)与AP 垂直时,点A 到直线y ＝k(x ＋1)距离最大,即为|AP|＝2,故选B ．解法二：因为点(0,－1)到直线y ＝k(x ＋1)距离d ＝|1＋k|k 2＋1＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2kk 2＋1；∵要求距离的最大值,故需k ＞0；可得d ＝1＋2k ＋1k≤2,当且仅当k ＝1时取等号,故选B ．5．(2018·全国)坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为__(6,－6)__． [解析] 设坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(a,b),则⎩⎪⎨⎪⎧b a ×1＝－1a 2－b2－6＝0,解得a ＝6,b ＝－6,∴坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(6,－6)．考点突破·互动探究考点一 两条直线平行、垂直的关系——自主练透例1 (1)(2021·高安期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( A )A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)“m＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2021·青岛调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行,则m ＝( C ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－3(4)(多选题)等腰直角三角形斜边的中点是M(4,2),一条直角边所在直线的方程为y ＝2x,则另外两边所在直线的方程为( CD )A ．3x ＋y －14＝0B ．x ＋2y －2＝0C ．x －3y ＋2＝0D ．x ＋2y －14＝0[解析] (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32,所以所求直线l的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,化为一般式,得6x －4y －3＝0．(2)由l 1⊥l 2,得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0,∴m ＝3或m ＝－2,∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m m ＋1＝6，4m≠－4，解得m ＝2或－3．故选C ．(4)设斜边所在直线的斜率为k,由题意知tan π4＝2－k 1＋2k ＝1,∴k ＝13,∴斜边所在直线方程为y －2＝13(x －4),即x －3y ＋2＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x x －3y ＋2＝0可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45,∴A 关于M 的对称点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫385，165,∴另一条直角边的方程为y －165＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －385,即x ＋2y －14＝0,故选C 、D ．名师点拨(1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 〔变式训练1〕(1)(2021·吉林长春模拟)曲线f(x)＝2sin x 在x ＝π3处的切线与直线ax ＋y －1＝0垂直,则a ＝__1__．(2)(2012·浙江)设a ∈R,则“a＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由题得f′(x)＝2cos x,∴k ＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1．所以1×(－a)＝－1,∴a ＝1． (2)l 1∥l 2⇔a 2＋a －2＝0⇔a ＝1或－2,∴a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．故选A ． 考点二 两直线的交点、距离问题——师生共研例2 (1)两条垂直直线l 1：2x ＋y ＋1＝0与l 2：ax ＋4y －6＝0的交点到原点的距离为__2__．(2)已知点P(2,－1)．①求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少？③是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在,求出方程；若不存在,请说明理由． (3)(2020·上海)已知直线l 1：x ＋ay ＝1,l 2：ax ＋y ＝1,若l 1∥l 2,则l 1与l 2的距离为__2__． [解析] (1)kl 1＝－2,kl 2＝－a 4,由l 1⊥l 2知－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＝－1,∴a ＝－2,∴l 2：x －2y ＋3＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0x －2y ＋3＝0得交点A(－1,1),∴|AO|＝2．(2)①过点P 的直线l 与原点的距离为2,而点P 的坐标为(2,－1),显然,过点P(2,－1)且垂直于x 轴的直线满足条件,此时l 的斜率不存在,其方程为x ＝2． 若斜率存在,设l 的方程为y ＋1＝k(x －2), 即kx －y －2k －1＝0．由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2,解得k ＝34． 此时l 的方程为3x －4y －10＝0．综上,可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0．②作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线,如图． 由l ⊥OP,得k l k OP ＝－1, 所以k l ＝－1k OP＝2．由直线方程的点斜式,得y ＋1＝2(x －2),即2x －y －5＝0．所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线,最大距离为|－5|5＝5．③由②可知,过点P 不存在到原点的距离超过5的直线,因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．(3)直线l 1：x ＋ay ＝1,l 2：ax ＋y ＝1, 当l 1∥l 2时,a 2－1＝0,解得a ＝±1；当a ＝1时l 1与l 2重合,不满足题意； 当a ＝－1时l 1∥l 2,此时l 1：x －y －1＝0,l 2：x －y ＋1＝0； 则l 1与l 2的距离为d ＝|－1－1|12＋－12＝2．名师点拨距离的求法(1)点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离：①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； ②利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时,应把直线方程化为一般形式,且使x 、y 的系数分别相等． 〔变式训练2〕(1)(2021·西南名校联盟联考)设直线l 1：3x －y －1＝0与直线l 2：x ＋2y －5＝0的交点为A,则A 到直线l ：x ＋by ＋2＋b ＝0的距离的最大值为( C )A ．4B ．10C ．3 2D ．11(2)(多选题)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0距离相等,则m 的值可以为( AC ) A ．－6 B ．－12C ．12D ．1(3)(2021·绵阳模拟)若P,Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点,则|PQ|的最小值为( C )A ．95B ．185C ．2910D ．295[解析] (1)解法一：显然l 1与l 2的交点A(1,2),又直线l 过点B(－2,－1),∴所求最大距离为|AB|＝32,故选C ．解法二：显然l 1与l 2的交点为A(1,2),则A 到直线l 的距离d ＝|1＋2b ＋2＋b|1＋b2＝31＋b 2＋2b1＋b2＝31＋2b 1＋b2≤32(当且仅当b ＝1时取等号),故选C ． (2)直线mx ＋y ＋3＝0与直线AB 平行或过AB 中点,∴－m ＝4－2－1－3＝－12,即m ＝12；AB 中点(1,3),∴m＋3＋3＝0即m ＝－6,故选A 、C ．(3)因为36＝48≠－125,所以两直线平行,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即|－24－5|62＋82＝2910,所以|PQ|的最小值为2910． 考点三 对称问题——多维探究 角度1 线关于点的对称例3 (2021·河北五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M,则直线2x ＋3y －6＝0关于M点对称的直线方程为( D )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0[解析] 由ax ＋y ＋3a －1＝0,可得y －1＝－a(x ＋3),所以M(－3,1),M 不在直线2x ＋3y －6＝0上,设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c≠－6),则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c|4＋9,解得c ＝12或c ＝－6(舍去),所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0,故选D ．另解：在直线2x ＋3y －6＝0上取点A(0,2)、B(3,0),则A 、B 关于M 的对称点分别为A′(－6,0),B′(－9,2),又k A′B′＝2－0－9－－6＝－23,故所求直线方程为y ＝－23(x ＋6),即2x ＋3y ＋12＝0．故选D ．角度2 点关于线的对称例4 (2021·长沙一模)已知入射光线经过点M(－3,4),被直线l ：x －y ＋3＝0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为__6x －y －6＝0__．[解析] 设点M(－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M′(a ,b),则反射光线所在直线过点M′,所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1,b ＝0．又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1,即6x －y －6＝0． (代入法)当x ＝－3时,由x －y ＋3＝0得y ＝0, 当y ＝4时,由x －y ＋3＝0得x ＝1．∴M(－3,4)关于直线l 的对称点为M′(1,0)．又k NM′＝6－02－1＝6,∴所求直线方程为y ＝6(x －1),即6x －y －6＝0．[引申]本例中入射光线所在直线的方程为__x －6y ＋27＝0__．[解析] N(2,6)关于直线l 的对称点N′(3,5),又k MN′＝5－43－－3＝16,∴所求直线方程为y －4＝16(x＋3),即x －6y ＋27＝0．角度3 线关于线的对称例5 (2021·合肥模拟)已知直线l ：x －y －1＝0,l 1：2x －y －2＝0．若直线l 2与l 1关于l 对称,则l 2的方程是( B )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0[解析] 解法一：因为l 1与l 2关于l 对称,所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上,故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0,－2)为l 1上一点,设它关于l 的对称点为(x,y),则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0),(－1,－1)为l 2上两点,可得l 2的方程为x －2y －1＝0．解法二：在l 1上取两点A(0,－2),B(1,0),则A 、B 关于l 的对称点分别为A′(－1,－1),B′(1,0),∴k A′B′＝0－－11－－1＝12．∴l 2的方程为y －0＝12(x －1),即x －2y －1＝0．故选B ．解法三：设P(x,y)是直线l 2上任一点,则P 关于直线l 的对称点为P′(y＋1,x －1),又P′∈l 1,∴2(y ＋1)－(x －1)－2＝0,即直线l 2的方程为x －2y －1＝0．故选B ．名师点拨对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题,都可以转化为对称问题,关于对称问题,一般常见的有： (1)中心对称①点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y′＝2b －y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称 ①点A(a,b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点A′(m ,n),则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×－AB＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．特别地,当对称轴的斜率为±1时,可类比关于y ＝x 的对称问题采用代入法,如(1,3)关于y ＝x ＋1的对称点为(3－1,1＋1),即(2,2)．〔变式训练3〕已知直线l ：2x －3y ＋1＝0,点A(－1,－2)．求： (1)(角度2)点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；(2)(角度3)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； (3)(角度1)直线l 关于点A(－1,－2)对称的直线l′的方程． [解析] (1)设A′(x ,y),由已知条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413．(2)在直线m 上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l 的对称点M′必在直线m′上． 设对称点M′(a ,b),则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013．设直线m 与直线l 的交点为N,则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3),∴由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0． (3)设P(x,y)在l′上任意一点,则P(x,y)关于点A(－1,－2)的对称点为P′(－2－x,－4－y), ∵点P′在直线l 上,∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0, 即2x －3y －9＝0．名师讲坛·素养提升 巧用直线系求直线方程例6 (1)求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R)恒过定点,并求出定点坐标；(2)求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P,且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．[解析] (1)证明：解法一：令m ＝0,则直线方程为 3x ＋y ＋1＝0．再令m ＝1时,直线方程为6x ＋y ＋4＝0．①和②联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.将点A(－1,2)的坐标代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中,(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0, 故动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A ．解法二：将动直线方程按m 降幂排列整理,得m 2(x －y ＋3)＋m(2x ＋y)＋3x ＋y ＋1＝0,① 不论m 为何实数,①式恒为零, ∴有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故动直线恒过点A(－1,2)．(2)解法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P(0,2)．因为l 3的斜率为34,且l ⊥l 3,所以直线l 的斜率为－43,由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2,即4x ＋3y －6＝0．解法二：设所求直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0,将解法一中求得的交点P(0,2)代入上式可得m ＝－6, 故所求直线方程为4x ＋3y －6＝0．解法三：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x＋y －2)＝0, 即(1＋λ)x＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0．又∵l ⊥l 3,∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0,解得λ＝11．∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0．[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”,则直线l 的方程为__3x －4y ＋8＝0__．名师点拨1．确定方程含参数的直线所过定点的方法：(1)将直线方程写成点斜式y －y 0＝f(λ)(x－x 0),从而确定定点(x 0,y 0)．(2)将直线方程整理成关于参数的方程,由方程中各项系数及常数项为0确定定点．(3)给参数取两个不同值,再解直线方程构成的方程组,从而确定定点坐标．2．直线系的主要应用(1)共点直线系方程：经过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0,其中A 1B 2－A 2B 1≠0,待定系数λ∈R ．在这个方程中,无论λ取什么实数,都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,因此它不能表示直线l 2．(2)过定点(x 0,y 0)的直线系方程为y －y 0＝k(x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．(3)平行直线系方程：与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m(m 为参数且m≠b)；与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C ,λ是参数)．(4)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ为参数)．如果在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,那么可选用直线系方程来求解． 〔变式训练4〕(1)(2021·启东模拟)不论m 为何值时,直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( D )A ．⎝⎛⎭⎪⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3) D ．(9,－4)(2)与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线的方程是__5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0__．[解析] (1)解法一：由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5,得(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得定点坐标为(9,－4),故选D ．解法二：令m ＝1,则y ＝－4；令m ＝12,则－12x ＝－92,即x ＝9,∴直线过定点(9,－4),故选D ． 解法三：将直线方程化为(2m －1)(y ＋a)＝(1－m)(x ＋b),则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－52a ＋b ＝－1,即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－9,∴y ＋4＝1－m 2m －1(x －9),故直线过点(9,－4),故选D ．(2)设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0,则|c－6|52＋122＝2,解得c＝32或－20,故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．。
【精品含答案】高考一轮复习7.2两条直线的位置关系、对称问题基础训练题(理科)
2009届高考一轮复习7.2 两条直线的位置关系、对称问题基础训练题（理科）注意：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分100分，考试时间45分钟。
第I 卷（选择题部分 共36分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知两条直线2ax y -=和()1x 2a y ++=互相垂直，则a 等于（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）–12. 已知直线1l ：06y 2ax =++与2l ：()01a y 1a x 2=-+-+平行，则实数a 的取值是（ ）（A ）–1或2 （B ）–1 （C ）0或1 （D ）23. 若三条直线08y 3x 2=++，01y x =--和021k ky x =+++相交于一点，则=k （ ） （A ）2- （B ）21-（C ）2 （D ）21 4. 设a ，b ，c 分别是△ABC 中A ，B ，C 所对边的边长，则直线A sin 0c ay x =++⋅与0C sin y B sin bx =+⋅-的位置关系是（ ） （A ）平行 （B ）垂直（C ）重合 （D ）相交但不垂直5. 已知直线1l ：3x 2y +=，直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为（ ）（A ）21 （B ）21- （C ）2 （D ）–2 6. 设两条直线的方程分别为0a y x =++、0b y x =++，已知b a 、是关于x 的方程0c x x 2=++的两个实数根，且81c 0≤≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为（ ）（A ）21,42 （B ）22,2 （C ）21,2 （D ）21,22第II 卷（非选择题部分 共64分）二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。
把答案填在题中横线上）7. 已知过点A （-2，m ）和B （m ，4）的直线与直线01y x 2=++平行，则m 的值为________。
2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)两直线的位置关系(含解析)2014届
两直线的位置关系[知识能否忆起]一、两条直线的位置关系 斜截式 一般式方 程 y ＝k 1x ＋b 1 y ＝k 2x ＋b 2 A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0) A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)相 交 k 1≠k 2 A 1B 2－A 2B 1≠0⎝⎛⎭⎫当A 2B 2≠0时，记为A 1A 2≠B 1B 2垂 直k 1＝－1k 2或k 1k 2＝－1A 1A 2＋B 1B 2＝0⎝⎛⎭⎫当B 1B 2≠0时，记为A 1B 1·A 2B 2＝－1平 行k 1＝k 2 且b 1≠b 2{ A 1B 2－A 2B 1＝0，B 2C 1－B 1C 2≠0或{ A 1B 2－A 2B 1＝0，A 1C 2－A 2C 1≠0⎝⎛⎭⎫当A 2B 2C 2≠0时，记为A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2 重 合 k 1＝k 2 且b 1＝b 2A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)⎝⎛⎭⎫当A 2B 2C 2≠0时，记为A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2二、两条直线的交点设两条直线的方程是l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组{ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．三、几种距离 1．两点间的距离平面上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式：d (A ，B )＝|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.2．点到直线的距离点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 1＋By 1＋C |A 2＋B 2.3．两条平行线间的距离两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.(4)[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知l 1的倾斜角为45°，l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，m )．若l 1⊥l 2，则实数m 为( )A ．6 B ．－6 C ．5D ．－5解析：选B 由已知得k 1＝1，k 2＝m ＋15.暑期报名海外游学的人数增长达到∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1， ∴1×m ＋15＝－1，即m ＝－6.2．(教材习题改编)点(0，－1)到直线x ＋2y ＝3的距离为( )A.55B.5教案目的是用更严格的监管、更严厉的处罚、更严肃的问责化学教案切实保障“舌尖上的安全C ．5D.15解析：选B d ＝|0＋2×(－1)－3|5＝ 5.3．点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是( ) A ．(－a －1，－b －1)B ．(－b －1，－a －1)C ．(－a ，－b )D ．(－b ，－a )解析：选B 设对称点为(x ′，y ′)，则⎩⎨⎧y ′－b x ′－a×(－1)＝－1，x ′＋a 2＋y ′＋b2＋1＝0，解得x ′＝－b －1，y ′＝－a －1.4．l 1：x －y ＝0与l 2：2x －3y ＋1＝0的交点在直线mx ＋3y ＋5＝0上，则m 的值为( )A ．3B ．5C ．－5D ．－8解析：选D 由{x －y ＝0，2x －3y ＋1＝0，得l 1与l 2的交点坐标为(1,1)．所以m＋3＋5＝0，m＝－8.5．与直线4x＋3y－5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是______________________．|m＋5|，得m＝10或－20.解析：设所求直线方程为4x＋3y＋m＝0，由3＝42＋32答案：4x＋3y＋10＝0或4x＋3y－20＝01.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．2．在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax ＋By＋C＝0的形式，否则会出错．两直线的平行与垂直典题导入[例1](2012·浙江高考)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x ＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[自主解答]由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2.[答案] A在本例中若l1⊥l2，试求a.解：∵l1⊥l2，∴a×1＋2×(a＋1)＝0，∴a＝－23.由题悟法1．充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．2．(1)若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则直线l 1⊥l 2的充要条件是k 1·k 2＝－1.(2)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.则l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.以题试法1．(2012·大同模拟)设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行 B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：选C 由已知得a ≠0，sin B ≠0，所以两直线的斜率分别为k 1＝－sin A a ，k 2＝bsin B ，由正弦定理得k 1·k 2＝－sin A a ·bsin B＝－1，所以两条直线垂直．两直线的交点与距离问题典题导入[例2] (2012·浙江高考)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________.[自主解答] 因曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离为0－(－4)2－2＝22－2＝2，所以曲线C 1与直线l 不能相交，故x 2＋a ＞x ，即x 2＋a －x ＞0.设C 1：y ＝x 2＋a上一点为(x 0，y 0)，则点(x 0，y 0)到直线l 的距离d ＝|x 0－y 0|2＝－x 0＋x 20＋a2＝⎝⎛⎭⎫x 0－122＋a －142≥4a －142＝2，所以a ＝94.”化学教案结合全文化学教案概述作者这样认为的依据试卷试题[答案] 94由题悟法1．点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解．也可用如下方法去求解：(1)点P (x 0，y 0)到与y 轴垂直的直线y ＝a 的距离d ＝|y 0－a |.(2)点P (x 0，y 0)到与x 轴垂直的直线x ＝b 的距离d ＝|x 0－b |.以题试法2．(2012·通化模拟)若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c的值是________．解析：由题意得63＝a －2≠c－1，得a ＝－4，c ≠－2，则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，则⎪⎪⎪⎪c 2＋113＝21313，解得c ＝2或－6.答案：2或－6对 称 问 题典题导入[例3] (2012·成都模拟)在直角坐标系中，A (4,0)，B (0，4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( )A ．210 B ．6C ．3 3D ．25②________试卷试题它们使用着同样的文字化学教案③__________________化学[自主解答] 如图，设点P 关于直线AB ，y 轴的对称点分别为D ，C ，易求得D (4,2)，C (－2,0)，由对称性知，D ，M ，N ，C 共线，则△PMN 的周长＝|PM |＋|MN |＋|PN |＝|DM |＋|MN |＋|NC |＝|CD |＝40＝210即为光线所经过的路程．[答案] A由题悟法对称问题主要包括中心对称和轴对称 (1)中心对称①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足{ x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，则有⎩⎨⎧n －b m －a ×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．以题试法3．(2012·南京调研)与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( )A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0 D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程是3x －4(－y )＋5＝0，即3x ＋4y ＋5＝0.1．(2012·海淀区期末)已知直线l 1：k 1x ＋y ＋1＝0与直线l 2：k 2x ＋y －1＝0，那么“k 1＝k 2”是“l 1∥l 2”的( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由k 1＝k 2,1≠－1，得l 1∥l 2；由l 1∥l 2知k 1×1－k 2×1＝0，所以k 1＝k 2.故“k 1＝k 2”是“l 1∥l 2”的充要条件．2．当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 解方程组{ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0＜k ＜12，所以k k －1＜0，2k －1k －1＞0，故交点在第二象限．3．(2012·长沙检测)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为( )A.85B.32（C ．4D ．8解析：选B ∵直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，即为3x ＋4y ＋12＝0，∴直线l 1与直线l 2的距离为⎪⎪⎪⎪12＋732＋42＝32.4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( )A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)解析：选B 由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)．又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2恒过定点(0,2)．5．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，若直线l 2与l 1关于直线x ＋y ＝0对称，又直线l 3⊥l 2，则l 3的斜率为( )A ．－2 B ．－12C.12D ．2解析：选A 依题意得，直线l 2的方程是－x ＝2(－y )＋3，即y ＝12x ＋32，其斜率是12，由l 3⊥l 2，得l 3的斜率等于－2.6．(2012·岳阳模拟)直线l 经过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且过点(5,1)．则l 的方程是( )A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0 C ．x ＋3y －8＝0D ．x －3y －4＝0解析：选C 设l 的方程为7x ＋5y －24＋λ(x －y )＝0，即(7＋λ)x ＋(5－λ)y －24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4.l 的方程为x ＋3y －8＝0.7．(2012·郑州模拟)若直线l 1：ax ＋2y ＝0和直线l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．解析：由2a ＋2(a ＋1)＝0得a ＝－12.答案：－128．已知平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k ＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k ＝1，故实数k 的所有取值为0,1,2.答案：0,1,29．(2013·临沂模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，点到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得，0≤a ≤10，所以a ∈[0,10]．答案：[0,10]10．(2013·舟山模拟)已知1a ＋1b ＝1(a ＞0，b ＞0)，求点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值．解：点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝a ＋2b 5＝15(a ＋2b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝15⎝⎛⎭⎫3＋2b a ＋a b ≥15(3＋22)＝35＋2105，当且仅当a 2＝2b 2，a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b ＝2＋22时取等号．所以点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为35＋2105.11．(2012·荆州二检)过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB |＝2，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，由{y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4；由{y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，解得B ⎝⎛⎭⎪⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4.∵|AB |＝2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 3k ＋42＝2，整理，得7k 2－48k －7＝0， 解得k 1＝7或k 2＝－17.因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0.12．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x ×3＝－1.①又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上，∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95， ③ y ′＝3x ＋4y ＋35. ④ (1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0.1．点P 到点A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线y ＝x 的距离为22，这样的点P 的个数是( )A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C ∵点P 到点A 和定直线距离相等， ∴P 点轨迹为抛物线，方程为y 2＝4x . 设P (t 2,2t )，则22＝|t 2－2t |2，解得t 1＝1，t 2＝1＋2，t 3＝1－2，故P 点有三个．2．(2012·福建模拟)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：选C 设原点到点(m ，n )的距离为d ，所以d 2＝m 2＋n 2，又因为(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y －10＝0的距离为d 的最小值，此时d ＝|－10|42＋32＝2，所以m 2＋n 2的最小值为4.3．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A (4,1)和B (0，4)的距离之差最大．解：如图所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，连接AB ′并延长交l 于P ，此时的P 满足|P A |－|PB |的值最大．设B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1，即3·b －4a ＝－1. 则a ＋3b －12＝0.①又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b ＋42，且在直线l 上，则3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②解①②，得a ＝3，b ＝3，即B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.解{ 3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得{ x ＝2，y ＝5，即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)．1．点(1，cos θ)(其中0≤θ≤π)到直线x sin θ＋y cos θ－1＝0的距离是14，那么θ等于( )A.5π6B.π6或5π6mLC.π6D.π6或7π6图①可判断可逆反应“A2(g)+3B2(g)2AB3(g)”的解析：选B 由已知得|sin θ＋cos 2θ－1|sin 2θ＋cos 2θ＝14，即|sin θ－sin 2θ|＝14， ∴4sin 2θ－4sin θ－1＝0或4sin 2θ－4sin θ＋1＝0，∴sin θ＝1±22或sin θ＝12.∵0≤θ≤π，∴0≤sin θ≤1，∴sin θ＝12，即θ＝π6或5π6.2．已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选B l 1与l 2关于l 对称，则l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设其关于l 的对称点(x ，y )，则⎩⎨⎧ x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，得{ x ＝－1，y ＝－1.即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2方程为x －2y －1＝0.3．光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．解：法一：由{ x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得{ x ＝－1，y ＝2.即反射点M 的坐标为(－1,2)．又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5,0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.充其量只算得小河沟罢了试卷试题然而毕竟有水化学教案便是理直气壮的河了试卷试题有水化而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，Q 点在l 上，即3·x 0－52－2·y 02＋7＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ y 0x 0＋5＝－23，32(x 0－5)－y 0＋7＝0.得⎩⎨⎧ x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0.法二：设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x ＝－23，又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，即3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎨⎧ y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x 02－(y ＋y 0)＋7＝0.可得P 点的坐标为x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0， 故所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.。
高考数学一轮复习 7.2 两直线的位置关系教案
7.2 两直线的位置关系●知识梳理 1.平行与垂直若直线l 1和l 2有斜截式方程l 1：y =k 1x +b 1，l 2：y =k 2x +b 2，则 （1）直线l 1∥l 2的充要条件是k 1=k 2且b 1≠b 2. （2）直线l 1⊥l 2的充要条件是k 1·k 2=－1. 若l 1和l 2都没有斜率，则l 1与l 2平行或重合.若l 1和l 2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l 1⊥l 2. 2.相交（1）两条直线l 1：y =k 1x +b 1和l 2：y =k 2x +b 2相交得到两类角：“到角”和“夹角”.①到角：直线l 1到l 2的角是指l 1按逆时针方向旋转到与l 2重合时所转的角.设l 1到l 2的角为θ1，l 2到l 1的角为θ2，则有θ1∈（0，π），θ2∈（0，π），且θ1+θ2=π.当k 1k 2≠－1时，有公式tan θ1=21121k k k k +-.当k 1k 2=－1时，l 1⊥l 2，θ1=θ2=2π.②夹角：l 1到l 2的角θ1和l 2到l 1的角θ2中不大于90°的角叫l 1和l 2的夹角.设为α，则有α∈（0，2π］，当α≠2π时，有公式tan α=|21121k k k k +-|.如果直线l 1和l 2中有一条斜率不存在，“到角”和“夹角”都可借助于图形，通过直线的倾斜角求出.（2）交点：直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0和l 2：A 2x +B 2y +C 2=0的公共点的坐标与方程组A 1x +B 1y +C 1=0A 2x +B 2y +C 2=0相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解. 重合⇔方程组有无数解.3.点P （x 0，y 0）到直线l ：Ax +By +C =0的距离d =2200||BA C By Ax +++.两平行线l 1：Ax +By +C 1=0和l 2：Ax +By +C 2=0之间的距离d =2212||BA C C +-.●点击双基1.点（0，5）到直线y =2x 的距离为 A.25 B.5C.23D.25 解析：a =22)1(2|50|-+-=5.答案：B2.三直线ax +2y +8=0，4x +3y =10，2x －y =10相交于一点，则a 的值是A.－2B.－1C.0D.14x +3y =10，的解一一对应.解析：解方程组2x －y =10，得交点坐标为（4，－2），代入ax +2y +8=0，得a =－1. 答案：B3.直线x +y －1=0到直线x sin α+y cos α－1=0（4π＜α＜2π)的角是A.α－4πB. 4π－αC.α－4π3 D. 4π5－α解析：由tan θ=)1()tan (11tan -⋅-++-αα=ααtan 1tan 1+-=tan （4π－α）=tan （4π5－α），∵4π＜α＜2π，－4π＜4π－α＜0，4π3＜4π5－α＜π，∴θ=4π5－α.答案：D4.已知点P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转角α（0°<α<90°），所得直线方程是x －y －2=0，若将它继续旋转90°－α角，所得直线方程是2x +y －1=0，则直线l 的方程是____________.解析：∵直线l 经过直线x －y －2=0和2x +y －1=0的交点（1，－1），且又与直线2x + y －1=0垂直，∴l 的方程为y +1=21（x －1），即x －2y －3=0.答案：x －2y －3=05.若直线l 1：ax +2y +6=0与直线l 2：x +（a －1）y +（a 2－1）=0平行且不重合，则a 的值是____________.解析：利用两直线平行的条件. 答案：－1 ●典例剖析【例1】 等腰三角形一腰所在直线l 1的方程是x －2y －2=0，底边所在直线l 2的方程是x +y －1=0，点（－2，0）在另一腰上，求该腰所在直线l 3的方程.剖析：依到角公式求出l 3的斜率，再用点斜式可求l 3的方程. 解：设l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 3的角是θ2，则k 1=21，k 2=－1，tan θ1=21121k k k k +-=21)1(1211⨯-+--=－3.∵l 1、l 2、l 3所围成的三角形是等腰三角形，∴θ1=θ2，tanθ1=tan θ2=－3，即23231k k k k +-=－3，3311k k -+=－3，解得k 3=2.又∵直线l 3经过点（－2，0），∴直线l 3的方程为y =2（x +2），即2x －y +4=0.评述：本题根据条件作出合理的假设θ1=θ2，而后利用直线到直线所成角的公式，最后利用点斜式，求出l 3的方程.思考讨论用夹角公式会产生什么问题，怎样去掉增解?【例2】 已知两直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：（m －2）x ＋3my＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2（1）相交；（2）平行；（3）重合?剖析：依据两直线位置关系判断方法便可解决. 解：当m =0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2.当m =2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0，∴l 1与l 2相交. 当m ≠0且m ≠2时，由21-m ＝mm 32得m =－1或m =3，由21-m ＝m26得m ＝3.故（1）当m ≠－1，m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交； （2）当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2； （3）当m ＝3时，l 1与l 2重合.评述：对这类问题要从有斜率、没斜率两方面进行考虑.深化拓展不讨论有斜率、没斜率能直接求解吗? 【例3】 已知点P （2，－1），求：（1）过P 点与原点距离为2的直线l 的方程；（2）过P 点与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少?（3）是否存在过P 点与原点距离为6的直线?若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.剖析：已知直线过定点求方程，首先想到的是求斜率或设方程的斜截式，但不要忘记考察斜率不存在的直线是否满足题意.若满足，可先把它求出，然后再考虑斜率存在的一般情况.图形中量的最值问题往往可由几何原理作依据求得解决.解：（1）过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为（2，1），可见，过P （2，1）垂直于x 轴的直线满足条件.此时l 的斜率不存在，其方程为x =2.若斜率存在，设l 的方程为y +1=k （x －2），即kx －y －2k －1=0.由已知，得1|12|2+--k k =2，解之得k =43.此时l 的方程为3x －4y －10=0.综上，可得直线l 的方程为x =2或3x －4y －10=0.（2）作图可证过P 点与原点O 距离最大的直线是过P 点且与PO 垂直的直线，由l ⊥OP ，得k l ·k OP =－1，所以k l =－OPk 1=2.由直线方程的点斜式得y +1=2（x －2），即2x －y －5=0，即直线2x －y －5=0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为5|5|-=5.（3）由（2）可知，过P 点不存在到原点距离超过5的直线，因此不存在过P 点且到原点距离为6的直线.评述：第（3）问是判断存在性问题，通常的解决方法是先假设判断对象存在，令其满足应符合的条件，若有解，则存在，并求得；若无解，则不存在，判断无解的过程就是结论的理由.如（3）解法二：由于斜率不存在且过P 点的直线到原点距离不是6，因此，设过P 点到原点距离为6的直线的斜率存在且方程为y +1=k （x －2），即kx －y －2k －1=0.原点O 到它的距离d =1|12|2+--k k =6，即32k 2－4k +35=0.因Δ=16－4×32×35<0，故方程无解.所以不存在这样的直线.●闯关训练 夯实基础1.（2004年全国卷Ⅳ，3）过点（－1，3）且垂直于直线x －2y +3=0的直线方程为A.2x +y －1=0B.2x +y －5=0C.x +2y －5=0D.x －2y +7=0 解析：由已知直线的斜率为21，知所求直线的斜率为－2.由点斜式得所求直线方程为2x +y －1=0. 答案：A2.若直线y =|x |与y =kx +1有两个交点，则k 的取值范围是____________.解析：y =|x |是第一、二象限角的平分线，直线y =kx +1是过定点（0，1）的直线系方程.由图象易知－1<k <1. 答案：－1<k <13.△ABC 中，a 、b 、c 是内角A 、B 、C 的对边，且lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，则下列两条直线l 1：（sin 2A ）x +（sin A ）y －a =0，l 2：（sin 2B ）x +（sin C ）y －c =0的位置关系是____________.解析：由已知2lgsin B =lgsin A +lgsin C ，得lg （sin B ）2=lg（sin A ·sin C ）.∴sin 2B =sin A ·sinC .设l 1：a 1x +b 1y +c 1=0，l 2：a 2x +b 2y +c 2=0．∵21a a =B A 22sin sin =CA A sin sin sin 2=CA sin sin ，21b b=CA sin sin ，21c c =ca --=CR A R sin 2sin 2--=CA sin sin ，∴21a a =21b b =21c c ，l 1与l 2重合．答案：重合4.求过点P （5，－2），且与直线x －y +5=0相交成45°角的直线l 的方程.解：（1）若直线l 的斜率存在，设为k ，由题意，tan45°=|kk +-11|，得k =0，所求l 的直线方程为y =－2.（2）若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x =5，且与直线x －y +5=0相交成45°角.综合（1）（2），直线l 的方程为x =5或y =－2.5.已知△ABC 的两条高线所在直线的方程为2x －3y +1=0和x +y =0，顶点A （1，2），求：（1）BC 边所在直线的方程； （2）△ABC 的面积.解：（1）A 点不在两条高线上，从而AB 、AC 边所在直线方程为3x +2y －7=0，x －y +1=0.∴C （－2，－1）、B （7，－7）. ∴边BC 所在直线方程是2x +3y +7=0.（2）∵｜BC ｜＝117，点A 到边BC 的高为h ＝1315，从而△ABC的面积是21×313×1315＝245．培养能力6.光线从A （－3，4）点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点D （－1，6），求BC 所在直线的方程.解法一：如下图所示，依题意，B 点在原点O 左侧，设坐标为（a ，0），由入射角等于反射角得∠1=∠2，∠3=∠4，∴k AB =－k BC .又k AB =a ---304=－a +34（a ≠－3），∴k BC =a+34.∴BC 的方程为y －0=a+34（x －a ），即4x －（3+a ）y －4a =0.令x =0，解得C 点坐标为（0，a a +-34），则k DC =01346--+--a a =－a a ++31018.∵∠3=∠4，∴010⋅+-BC BC k k =DCDCk k ⋅+-010.∴a +34=aa ++31018.解得a =－57，代入BC 方程得5x －2y +7=0.解法二：点A 关于x 轴的对称点为A ′（－3，－4），点D 关于y 轴的对称点为D ′（1，6），由入射角等于反射角及对顶角相等可知A ′、D ′都在直线BC 上，∴BC 的方程为5x －2y +7=0.7.在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴（原点除外）上给定两点A （0，a ）、B （0，b ）（a ＞b ＞0）.试在x 轴的正半轴（原点除外）上求点C ，使∠ACB 取得最大值，并求出这个最大值.解：由题意作下图，设C （x ，0），其中x ＞0．又A （0，a ），B （0，b ）（a ＞b ＞0），则k AC ＝xa --00＝－xa ，k BC ＝xb --00＝－xb .∴tan ∠ACB ＝ACBC ACBC k k k k ⋅+-1 ＝21xab xb x a +-=][xab ab x ab b a +-≤abb a 2-．此时x ＝ab 时取等号.故所求点C （ab ，0），最大值为arctanabb a 2-．8.（理）已知过点A （1，1）且斜率为－m （m ＞0）的直线l 与x 轴、y 轴分别交于P 、Q ，过P 、Q 作直线2x +y =0的垂线，垂足为R 、S ，求四边形PRSQ 面积的最小值.解：设l 的方程为y －1=－m （x －1），则P （1+m1，0），Q （0，1+m ）.从而可得直线PR 和QS 的方程分别为x －2y －mm 1+=0和x －2y +2（m +1）=0.又PR ∥QS ，∴｜RS ｜=5|1122|m m +++=5123mm ++.又｜PR ｜=522m +， ｜QS ｜=51+m ，四边形PRSQ 为梯形，S 四边形PRSQ =21［522m ++51+m ］·5123m m ++=51（m +m 1+49）2－801≥51（2+49）2－801=3.6. ∴四边形PRSQ 的面积的最小值为3.6.（文）在△ABC 中，已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y +1=0，∠A 的平分线所在直线的方程为y =0.若点B 的坐标为（1，2），求点C 的坐标.解：点A 为y =0与x －2y +1=0两直线的交点，∴点A 的坐标为（－1，0）.∴k AB =)1(102---=1.又∵∠A 的平分线所在直线的方程是y =0，∴k AC =－1.∴直线AC 的方程是y =－x －1.而BC 与x －2y +1=0垂直，∴k BC =－2.∴直线BC 的方程是y －2=－2（x －1）.y =－x －1，y =－2x +4，解得C （5，－6）. 探究创新9.已知三条直线l 1：2x －y +a =0（a ＞0），直线l 2：－4x +2y +1=0和直线l 3：x +y －1=0，且l 1与l 2的距离是1075.（1）求a 的值；（2）求l 3到l 1的角θ；（3）能否找到一点P ，使得P 点同时满足下列三个条件：①P 是第一象限的点；②P 点到l 1的距离是P 点到l 2的距离的21；③P点到l 1的距离与P 点到l 3的距离之比是2∶5？若能，求P 点坐标；若不能，请说明理由.解：（1）l 2即2x －y －21=0，∴l 1与l 2的距离d =22)1(2|)21(|-+--a =1057.由∴5|21|+a =1057.∴|a +21|=27.∵a ＞0，∴a =3.（2）由（1），l 1即2x －y +3=0，∴k 1=2.而l 3的斜率k 3=－1， ∴tan θ=31311k k k k ⋅+-=)1(21)1(2-+--=－3.∵0≤θ＜π，∴θ=π－arctan3.（3）设点P （x 0，y 0），若P 点满足条件②，则P 点在与l 1、l 2平行的直线l ′：2x －y +C =0上，且5|3|-C =215|21|+C ，即C =213或C =611，∴2x 0－y 0+213=0或2x 0－y 0+611=0；若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式，有53200+-y x =522|1|00-+y x ，即|2x 0－y 0+3|=|x 0+y 0－1|， ∴x 0－2y 0+4=0或3x 0+2=0.由P 在第一象限，∴3x 0+2=0不可能.联立方程2x 0－y 0+213=0和x 0－2y 0+4=0，x 0=－3， y 0=21，2x 0－y 0+611=0，x 0－2y 0+4=0， x 0=91，y 0=1837.解得应舍去.由解得∴P （91，1837）即为同时满足三个条件的点.●思悟小结1.要认清直线平行、垂直的充要条件，应特别注意对x 、y 的系数中一个为零的情况的讨论.2.在运用一条直线到另一条直线的角的公式时要注意无斜率的情况及两条直线垂直的情况.3.点到直线的距离公式是一个基本公式，它涉及绝对值、直线垂直、最小值等内容.●教师下载中心 教学点睛1.两条直线的位置关系的有关内容是本章学习的重点，在整个解析几何的学习中占有重要地位.这部分内容是用代数方法研究几何图形的具体应用.2.在判断两直线的位置关系时，也可利用直线方程的一般式，由系数间的关系直接作出结论，设l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0.（1）l 1∥l 2⇐21A A =21B B ≠21C C A 1B 2=A 2B 1，A 1C 2≠A 2C 1.（2）l 1与l 2相交⇐21A A ≠21B B ⇔A 1B 2≠A 2B 1. （3）l 1与l 2重合⇐21A A =21B B =21C C⇔A 1B 2=A 2B 1， A 1C 2=A 2C 1.（4）l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0. 拓展题例【例1】 当0<a <2时，直线l 1：ax －2y =2a －4，直线l 2：2x +a 2y =2a 2+4与坐标轴围成一个四边形，求使该四边形面积最小时a 的值.解：直线l 1交y 轴于A （0，2－a ），直线l 2交x 轴于C （a 2+2，0），l 1与l 2交于点B （2，2）.则四边形AOCB 的面积为S =S △AOB +S △OCB =21·（2－a ）·2+21（a 2+2）·2=a 2－a +4=（a －21）2+415，当a =21时，S 最小.因此使四边形面积最小时a 的值为21.【例2】 已知n 条直线l 1：x －y +C 1=0，C 1=2，l 2：x －y +C 2=0，l 3：x －y +C 3=0，…，l n ：x －y +C n =0（其中C 1＜C 2＜C 3＜…＜C n ），这n 条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n .（1）求C n ；（2）求x －y +C n =0与x 轴、y 轴围成的图形的面积；（3）求x －y +C n －1=0与x －y +C n =0及x 轴、y 轴围成图形的面积.⇔解：（1）原点O 到l 1的距离为1，原点O 到l 2的距离为1+2，……原点O 到l n 的距离d n 为1+2+…+n =2)1(+n n .∵C n =2d n ，∴C n =2)1(2+n n . （2）设直线l n ：x －y +C n =0交x 轴于M ，交y 轴于N ，则△OMN 面积S △O MN =21|OM |·|ON |=21C n 2=4)1(22+n n .（3）所围成的图形是等腰梯形，由（2）知S n =4)1(22+n n ，则有S n －1=4)1(22n n ⋅-.∴S n －S n －1=4)1(22+n n －4)1(22n n ⋅-=n 3.∴所求面积为n 3.。
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y b
念的理解及运算能力,可以预测2013年高考仍将以两条直线的平行
与垂直,点到直线的距离,两点间的距离为主要考点,重点考查运算能 力与分析问题、解决问题的能力,考查分类讨论、数形结合等思想
方法的灵活运用.
一、直线的倾斜角和斜率 1.直线方程的概念:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的 点,反过来,这条直线上的点的坐标都是这个方程的解,这时,这个方 程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线. 2.直线的倾斜角与斜率:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的 直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的 最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角. 当直线和x轴平行或重 合时,我们规定直线的倾斜角为0°.
3.倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 倾斜角不是90°的直线,它 的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,常用k表示. 4.斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式:k= ≠x1).源自y2 y1 x2 x1
(x2
二、直线方程的几种形式
已知条件 点斜式 斜截式 两点式 P1(x1,y1),k k,b P1(x1,y1), 直线方程 y-y1=k(x-x1) y=kx+b 适用范围 k存在 k存在
A x B y C 0,
1 1 1
A2 x B2 y C2 0
是否有唯一解.
四、距离公式
1.点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离为:d=
| Ax0 By0 C | A2 B 2
.
2.已知两条平行直线l1和l2的一般式方程为l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+
m2
)
(C)1或3.
(D)1或4.
4m 【解析】由于k= =1,∴4-m=m+2,∴m=1.
【答案】A
2.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)可能是
(
) (B)(3,-1). (D)(-1,3).
y 2 x, x y 3,
(A)(1,-3). (C)(-3,1).
P2(x2,y2) 截距式 a,b
x a
y y1 x x1 y2 y1 = x 2 x1
x1≠x2,y1≠y2
+ =1
y b
a≠0且b≠0
一般式
A、B、C ∈R
Ax+By+C=0
A2+B2≠0
三、两直线平行与垂直
1.特殊情况下的两直线平行与垂直.
当两条直线中有一条没有斜率时:(1)当另一条的斜率也不存在时,两
y y0 x x0 A B C 0, 2 2 y y B 0 . x x0 A
3.直线关于点对称和直线关于直线对称,可以转化为点关于点对称 和点关于直线对称来求解.
1.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为 ( (A)1. (B)4.
与一次函数的关系. 4 5 两条直线的交点 距离公式 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求 两条平行直线间的距离.
从近几年高考试题来看,直线方程的考查主要与平行、垂直的
条件以及直线与圆的位置关系相结合进行,两条直线的平行与垂直,
点到直线的距离、两点间的距离等是高考的热点,题型主要是选择 题、填空题,难度为中、低档,突出“小而巧”的特点,主要考查对概
C2=0,则l1与l2的距离为d= A2 B 2 .
| C1 C2 |
五、对称问题 1.点P(x0,y0)关于定点A(a,b)的对称点为(2a-x0,2b-y0);曲线C:f(x,y)=0关 于点A(a,b)的对称曲线方程为f(2a-x,2b-y)=0. 2.若求点P0(x0,y0)关于直线l:Ax+By+C=0的对称点P(x,y),可应用方程 组
§7.1 直线方程与两直线的位置关系
考 1
点
考纲解读
直线的倾斜角和斜率 理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线 斜率的计算公式.
2 3
两条直线平行或垂直 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 直线方程的几种形式 掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种
形式(点斜式、两点式、截距式及一般式),了解斜截式
【解析】由
得
x 1, y 2,
由题意知m+2n+5=0,∴点(m,n)可能是(1,-3). 【答案】A
3.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于 (
(A) 2 . (B)2- 2 .
2 -1. (C) 2 +1. (D)
)
| a 2 3| 【解析】由题意知 2
.
A1 A = 2
B1 B2 ≠
C1 C2
(2)两条直线垂直的情形:如果两条直线的斜率分别是k1和k2,则这两
条直线垂直的充要条件是k1k2=-1.
若直线l1和l2的一般式方程为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2 ⇔A1A2+B1B2=0. 3.两条直线是否相交的判断 两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组:
直线互相平行;(2)当另一条直线的斜率为0时,两直线互相垂直. 2.斜率存在时两直线的平行与垂直: (1)两条直线有斜率且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等; 反之,如果它们的斜率相等,则它们平行,即l1∥l2⇔k1=k2且b1≠b2. 若直线l1、l2的方程为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2 C2≠0),则l1∥l2⇔
=1,解之得a=- 2 -1(舍去)或a= 2 -1.故应
选C.
【答案】C
4.若ab>0,且A(a,0)、B(0,b)、C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为 . 【解析】由题意根据A(a,0)、B(0,b)确定直线的方程为 + =1,又
2 2 C(-2,-2)在该直线上,故 + =1,所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0. a b