第六讲 一元函数微分学
大学数学基础教程：一元函数微积分
大学数学基础教程：一元函数微积分一、函数微积分的主要课题在于研究变量的变化形态。
这个说法很抽象。
说的直白一点，就是研究一个量的变化过程。
这个量可以是速度，可以是加速度，可以是生产率等等。
这些是变化的，我们称之为变量。
中学时，已经学过，描述变量的数学模型是函数。
因此从函数开始说起。
函数是中学数学的主要内容，概念这里就不重复了。
对函数概念的的理解需要重点把握定义域和对应法则，有了定义域和对应法则就确定一个函数，换句话说，确定两个函数是否相同，定义域和对应法则缺一不可。
这里有一些考题，容易因为忽视了定义域而出现错误。
函数的表示形式有多种，运用数形结合的思想，在坐标系中画函数图像，可以探索函数的性质（如单调性、周期性、奇偶性）。
研究函数的性质，有时可以在积分运算过程中简化运算。
掌握了研究方法后，复合函数、反函数和初等函数都可以自己来研究。
二、无穷小量极限方法的本质就是无穷小量的分析。
因此首先学习无穷小量。
定义设有数列{εn},如果对于任意给定的正数η>0，都能取到正整数N，使得当n>N时成立|εn|<η,则称n→∞时，{εn}是无穷小量，记作εn=ο（1）,n→∞.由定义可以看出，无穷小量的本质是可以任意小的变量。
这个需要好好理解。
掌握了该定义后，无穷小量的运算和无穷大量的定义都可以自己给出。
无穷小量之间的关系有高阶、低阶、同阶、等价。
这些概念要熟记。
三、极限极限是刻画变量变化趋势的重要工具。
好多教材中数列的极限、函数的极限、单侧极限的概念是分别给出的。
对比这些概念，给出的方法都相同，即ε-δ（N）语言。
通用模型是这样的：对于任意ε，存在δ，使得当****时成立，|f（x）-A|<ε,则称f（x）在x→**时以A为极限，记作或称f（x）收敛于A。
数列是定义域为整数集的特殊函数，函数极限的概念也可以用数列极限的形式来表述。
这里有许多题型，主要题型是：证明这类题目的一般解法是解不等式，用ε表示δ。
一元函数微分学
一元函数微分学微积分是数学中一个非常重要的分支，它研究连续与变化。
微分学是微积分中的一部分，它研究一元函数的变化率和切线问题。
在工科、理工科及金融等领域，微分学都是必修的一门学科。
一、导数一个函数的导函数即为该函数的导数。
导数表示函数在某点处的变化率，也可以理解为以该点处斜率为切线的直线方程。
导数的定义如下：$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$其中，f(x)表示函数在x点处的取值，h表示x的变化量。
导数是对变化量和量的一个测量，它也可以被解释为函数的瞬时变化率。
在求导数时，我们需要注意函数是否连续，导数是否存在，同时还需考虑到函数在自变量为非自然数时的导数。
二、微分微分是在导数的基础上增加了一些附加的概念，它是由函数在一个点处的导数以及该点处的自变量与函数值所组成的。
微分的定义不是很直接，但是我们可以从定义出发进行理解：设函数y=f(x)，在x点的微分dy=dx*f'(x)。
其中，dx表示x的增量，dy表示y的增量，f'(x)表示在x处的导数。
可以看出，微分有一个重要的作用，就是可以得到函数在某个点处的极小增量。
即在当前的点位置，函数的变化量以及对应的变量量。
微分还可以解决一些求和问题和变量替换问题的计算。
三、函数图像的切线函数图像的切线是函数图像在某个点的斜率。
在此前提下，我们可以通过导数求出函数图像在任意一个点上的斜率。
通过直线方程就可以求出函数图像在该点的切线。
求解函数图像的切线需要确定该点的横坐标和纵坐标，然后求出导数，最后代入方程即可。
四、一元函数微分学应用微分学的应用非常广泛。
在物理学中，微分学可以用于描述物体的运动，地球的形变和能源泄露等问题。
在金融学中，微分学可以用于计算股市的波动和证券价格的变化等问题。
在自然科学中，微分学可以用于解决生物学的遗传学和数学物理学中的加速和速度问题等。
总之，一元函数微分学是微积分中最基础的内容。
(优选)一元函数微分学ppt讲解
x0 x
1
(二)导数的运算 • 基本初等函数的导数公式
导数的四则运算法则
设u=u(x),v=v(x)都可导，则
反函数的求导法则
复合函数的求导法则
隐函数求导法则
设y=f(x)由方程F(x,y)=0确定，求y′,只需直接由方 程F(x,y)=0关于x求导，将y当做中间变量，依复 合函数链式法则求之。
★ f (x)在开区间(a,b)内的导函数为f '(x)
f '(a ) lim f '(x) xa
f '(b ) lim f '(x) xb
称为导函数的右极限 称为导函数的左极限
★ 设f (x)在闭区间[a,b]连续， 开区间(a,b)内的可导，记导函数为f '(x) 若f '(a 0)存在，则f (x)在a点右可导， 若f '(b 0)存在，则f (x)在b点左可导
记为y
，dy xx0 dx
或 df (x)
x x0
Hale Waihona Puke dxx x0关于导数的说明：
★ 导数是因变量在点x0处的变化率，它反映了 因变量随自变量的变化而变化的快慢程度. ★ 如果函数 y f (x)在开区间I内的每点
处都可导，就称函数f (x)在开区间I内可导.
★ 对于任一x I ,都对应着f (x)的一个确定的
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0 0
f (x) x
f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
★ 函数 f ( x)在点 x0处可导 左导数 f( x0 )和右导数 f( x0 )都存在且相等.
一元函数微分学的基本原理与应用
一元函数微分学的基本原理与应用微分学是数学中的一个分支，主要研究函数的变化率、极值和曲线的切线等问题。
在微分学中，一元函数是指只有一个自变量的函数。
本文将介绍一元函数微分学的基本原理和其应用。
一、微分的定义和基本原理微分学的基本概念之一是微分的定义。
对于一元函数 f(x)，在某一点 x0 处的微分表示为 df(x0) 或简写为 dy，可以定义为 dx 的一个无穷小变化量，即：dy = f'(x0)dx其中，f'(x0) 表示在 x0 处的导数，表示函数在该点的斜率或变化率，dx 表示自变量 x 的无穷小变化量。
微分学的基本原理包括导数和微分的性质。
导数的定义如下：f'(x) = lim [f(x+Δx) - f(x)] / Δx (当Δx 趋近于 0 时)导数可以用来描述函数的斜率，即切线的倾斜程度。
在微分学中，常用的导数表示方式有函数的导函数、差商和极限等形式。
微分的基本性质包括线性性质、乘积法则、商法则和链式法则等。
根据这些性质，可以对各种类型的函数进行微分运算，进而得到函数的导数和微分。
二、应用举例：极值问题和曲线的切线微分学的应用非常广泛，以下是两个常见的应用例子：极值问题和曲线的切线。
1. 极值问题：求解一个函数的最大值和最小值。
通过对函数的微分，可以得到导数为零的点或导数不存在的点，并进行求解。
对于一元函数 f(x)，当导数 f'(x) 的值为零或不存在时，函数在该点可能取得极值。
举例来说，若给定函数 f(x) = x^2 - 4x + 3，我们可以求解 f'(x) = 2x - 4，令导数等于零得到 2x - 4 = 0，解得 x = 2。
然后，通过二阶导数的符号判断该点是否是极值点。
若 f''(x) > 0，则 x = 2 是函数的极小值点；若 f''(x) < 0，则 x = 2 是函数的极大值点。
一元函数微分学
一元函数微分学一元函数微分学教案引言：微分学是高等数学的重要分支，它研究的是函数的变化规律和局部性质。
一元函数微分学是微分学的基础，是学习微分学的第一步。
本教案将从函数的极限、导数的定义和性质、微分中值定理以及应用等方面进行论述，帮助学生全面理解一元函数微分学的基本概念和方法。
一、函数的极限1. 函数的极限的概念函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数的取值趋近于某个常数。
通过引入极限的概念，可以研究函数在某一点的趋势和变化规律。
2. 函数极限的性质函数极限具有唯一性、局部性和保号性等性质。
唯一性指函数极限只有一个确定的值；局部性指函数在某一点的极限与该点附近的函数值有关；保号性指函数在某一点的左右极限可以确定函数在该点的取值范围。
二、导数的定义和性质1. 导数的定义导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点处的切线斜率。
导数的定义是极限的一种特殊形式，通过求函数在某一点的极限可以得到函数在该点的导数。
2. 导数的性质导数具有线性性、乘积法则、商法则和复合函数法则等性质。
线性性指导数具有加法和乘法的线性性质；乘积法则指导数的乘积等于函数的导数与函数的乘积之和；商法则指导数的商等于函数的导数与函数的商之差；复合函数法则指导数的复合函数等于函数的导数与外函数的导数的乘积。
三、微分中值定理1. 罗尔定理罗尔定理是微分中值定理的一种特殊形式，它表明如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，并且在两个端点处的函数值相等，那么在开区间上至少存在一个点，使得该点处的导数等于零。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的一般形式，它表明如果一个函数在闭区间上连续，在开区间上可导，那么在开区间上至少存在一个点，使得该点处的导数等于函数在两个端点处的斜率。
四、应用1. 函数的单调性和极值通过导数的正负可以判断函数的单调性和极值。
当导数大于零时，函数单调递增；当导数小于零时，函数单调递减；当导数等于零时，函数可能存在极值。
高等数学讲义-- 一元函数微分学
第二章 一元函数微分学§2.1 导数与微分（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。
如果极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0x x y ='，x x dxdy=，)(x x dxx df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。
如果上面的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-我们也引进单侧导数概念。
右导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数：0000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---→∆→-+∆-'==-∆ 则有)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
切线方程：000()()()y f x f x x x '-=- 法线方程：00001()()(()0)()y f x x x f x f x '-=--≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。
一元函数微分学1.3 初等函数(三角函数)
25
由于 x 是第四象限的角， 因此sin x cos x 0 ，
所以sin x cos x 7. 5
余切函数是奇函数.
余切函数是无界函数.
（5）正割函数
称余弦函数 y cos x的倒数叫正割函数， 记为 y sec x .
即sec x 1 . cos x
y
sec
x
的定义域为
x
x
k
,k
2
Z ，
值域为 y R.
y sec x 是周期函数，其周期为T 2 .
y sec x 是偶函数. y sec x 是无界函数.
2
2
正弦函数是奇函数，
正弦函数的最大值为 1，最小值为 1，正弦函数是有界函数.
（2）余弦函数
余弦函数 y cos x的定义域为(,)，值域为[1,1]
y cos x是周期函数，其周期T 2 .
y cos x的图像如下：
3
22
0
2
余弦函数在(2k 1) ,2k 上递增，在2k ,(2k 1) 上递减（其中k Z ）.
正切函数是无界函数.
（4）余切函数
称正切函数 y tan x的倒数叫余切函数， 记为 y cot x.
即cot x 1 . tan x
y cot x 的定义域为x x k , k Z，值域为(,) .
y cot x是周期函数，其周期为T .
y cot x的图像如下：
2
o
2
余切函数在k , (k 1) 内递减（其中 k Z ）.
例 1 设 x 是第二象限的角， cos x 4 ，求 x 的其它三角函数值. 5
一元函数微分学内容概要总结
一元函数微分学内容概要总结
一元函数微分学是微积分的重要内容之一，主要研究函数的变化率、斜率、极值、凹凸性等性质。
以下是一元函数微分学的内容概要总结：
1. 导数与微分，导数是函数在某一点的变化率，表示函数曲线在该点的切线斜率，常用符号表示为f'(x)或者dy/dx。
微分是函数在某一点附近的线性近似，常用符号表示为dy。
2. 函数的求导，通过求导可以得到函数在某一点的导数，可以通过极限的定义或者导数的运算法则进行求导。
3. 导数的应用，导数可以用来求函数的极值，判断函数的增减性和凹凸性，求曲线的渐近线，解决最优化问题等。
4. 微分方程，微分方程是关于未知函数及其导数的方程，是自然科学和工程技术中描述变化规律的重要数学工具。
5. 泰勒公式，泰勒公式是函数在某点附近的多项式逼近公式，可以用来近似计算函数的值。
6. 函数的高阶导数，除了一阶导数外，函数还可以有二阶导数、三阶导数等高阶导数，可以描述函数的曲率、加速度等性质。
7. 微分学与积分学的关系，微分学和积分学是微积分的两大分支，它们之间通过微积分基本定理建立了联系，即导数与原函数的
关系。
以上是一元函数微分学的内容概要总结，涵盖了导数与微分、
函数的求导、导数的应用、微分方程、泰勒公式、高阶导数以及微
分学与积分学的关系等内容。
希望能对你有所帮助。
一元函数积分学
一元函数积分学
一元函数积分学是高等数学中的一个重要分支，它研究了一个实
数变量的函数的积分。
在我们日常生活中，积分被广泛应用于各个领域，如经济学、物理学、工程学等等。
在微积分中，积分是求解面积、体积、概率、质量等量的重要工具之一。
一元函数积分学的主要内容包括定积分、不定积分、变限积分、
换元积分、分部积分等。
其中，定积分是一种重要的积分，它求解的
是在一定区间内的函数曲线下方的面积。
不定积分则不限制求解的区间，可以得到一个函数的原函数。
变限积分和换元积分是定积分的推
广和扩展，能够更加灵活地求解积分问题。
分部积分则是一种将积分
转化为乘积的方法，对于某些复杂的积分问题可以起到关键作用。
在学习一元函数积分学时，我们需要掌握函数积分的基本性质、
定理和方法，并能够熟练地运用它们求解各种积分问题。
此外，我们
还需要了解积分的应用，以便将它们运用到实际问题中解决实际问题。
总的来说，一元函数积分学是高等数学学习中非常重要的一个分支，它具有广泛的应用价值，是我们学习数学的必备知识点之一。
一元函数微分学
第二章一元函数微分学一．先回顾导数的定义：设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为：或；或简记为．注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义：1．=；2．；要特别关注处的导数有特殊形式：（更特别地，要知道两个重要的结论：1.可导必连续；2。
函数在处可导的充要条件是对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、右导出发.例1．已知=A，试求下列极限的值（1）（2）。
例2．研究函数在处的可导性.解：因为同理，可求得.由于，所以在处不可导。
（记住这个结论）练习：设在处可导，求的值.解：（一）因为在处可导，从而在处也连续.所以，即（二）由得.例3．已知，试求在处的导数.解：因为，所以，由此例可见，在导数存在的情况下，求导问题就归结为求一个型的极限.故求导就是求极限，不必多举例，今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值.如把函数在一点处可导的概念推广到一个区间，则可得到导函数的概念.大家要牢记基本导数表（共十五、六条）。
这里的每一条都是根据导数的定义推出来的，请大家在下面自己试着也推推.如：，求.二．导数的几何意义关于导数的几何意义，主要考察的题型有两种。
一种题型是选择题或判断题。
比如：若函数在处可导，则曲线在处必有切线；（√）；反之，若曲线在处有切线，则在处必可导，则（×）.另一种题型是根据几何意义找切线.例4．求曲线与直线垂直的切线.解：设切点.切线斜率由题意，即故切线方程为下面举一个复杂点的，把前面的知识点窜起来.例5．设为连续函数，且求曲线在点处的切线方程。
（08年研究生考试题）解：由于，且故（前面已讲过理由）而，所以，切线方程为三．导数的四则运算四则求导法则非常简单，但不注意的话，容易犯错误。
下面举几个小例子.例6．求的导数.注意：部分同学可能会犯下面的错误：.例7．设求此题应先化简再求导：注意：个别同学容易把幂函数求导与指数函数求导的公式搞混.例8．求的导数.解：.四．反函数求导法则若函数，其反函数为.若在的某邻域内连续、严格单调且，则在点可导，且.例9．求的导数.解：设原函数，则其反函数为.根据反函数求导法则.有.五．复合求导法则大家可能还有印象，复合函数的导数是.（与直接套用基本导数表相比，这个2从何而来？）如果记，则，故此题恰好满足等式：（*）这是否是巧合的？我们说不是.事实上，（*）式正揭示出了复合函数的求导法则.定理:若函数在可导，而函数在对应的处也可导，则复合函数在处也可导，且或（或.注意：复合函数的链式求导法则可推广至复合两次以上的情形，如：对函数，如记，则各变量间的关系是：有上式可通过连续使用两次链式法则得到。
一元函数微分学知识点
一元函数微分学知识点一元函数微分学是微积分中的重要内容，它主要研究函数的变化率和极值问题。
微分学中的主要概念包括导数、微分以及一些常见函数的微分法则。
下面将依次介绍这些知识点。
一、导数导数是描述函数变化率的重要工具。
给定一个函数f(x)，在某一点x 处的导数表示函数在该点的变化速率。
导数可以用极限来定义，即导数等于函数在该点处的极限值。
导数的记号常用f'(x)或者dy/dx 表示。
导数有几个重要的性质，包括线性性、乘积法则、商法则和链式法则。
线性性表示导数运算具有线性性质，即对于任意常数a和b，有(a*f(x) + b*g(x))' = a*f'(x) + b*g'(x)。
乘积法则描述了两个函数相乘的导数计算方法，即(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)。
商法则是用来计算两个函数相除的导数，即(f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/g(x)^2。
链式法则适用于复合函数，即若有一个函数h(x) = f(g(x))，则h'(x) = f'(g(x))*g'(x)。
二、微分微分是导数的一种应用，它可以用来近似计算函数在某一点的值。
微分的记号常用dx表示，它表示函数在某一点的微小变化。
微分的计算公式是dy = f'(x)*dx，其中dy表示函数在x处的微小变化，dx表示自变量的微小变化。
微分和导数之间有一个重要的关系，即导数是微分的极限形式。
当自变量的微小变化趋于0时，微分就变成了导数。
因此，导数可以用微分来近似计算。
三、常见函数的微分法则在微分学中，有一些常见函数的微分法则被广泛应用。
这些函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数。
对于常数函数f(x) = C，其中C为常数，它的导数为f'(x) = 0。
一元函数微分学公式
一元函数微分学公式微分学是数学中的一个重要分支，研究函数的微小变化。
在微分学中，一元函数的微分公式是非常基础且重要的知识点。
本文将介绍一元函数微分学公式的相关内容，帮助读者更好地理解和应用微分学知识。
一元函数微分学公式主要包括导数的定义、常见函数的导数公式、导数运算法则以及高阶导数等内容。
下面我们逐一介绍这些内容。
1. 导数的定义导数是一元函数微分学的核心概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
设函数f(x)在点x=a处可导，则导数f'(a)的定义为：f'(a) = lim┬(x→a)〖(f(x)-f(a))/(x-a)〗其中lim表示极限，x→a表示x趋近于a的过程，(f(x)-f(a))/(x-a)表示函数的增量与自变量增量的比值。
导数可以理解为函数在该点上的瞬时变化率。
2. 常见函数的导数公式对于一些常见的函数，我们可以通过求导公式来快速计算它们的导数。
以下是一些常见函数的导数公式：- 幂函数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为常数；- 指数函数：(a^x)' = a^x * ln(a)，其中a为常数；- 对数函数：(logₐx)' = 1/(x * ln(a))，其中a为底数；- 三角函数：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec^2(x)，其中x为弧度；- 反三角函数：(arcsinx)' = 1/√(1-x^2)，(arccosx)' = -1/√(1-x^2)，(arctanx)' = 1/(1+x^2)，其中x在定义域内。
通过这些导数公式，我们可以快速求解常见函数的导数，为后续的微分计算提供便利。
3. 导数运算法则在微分学中，导数具有一些基本的运算法则，可以帮助我们简化复杂函数的导数计算。
- 常数倍法则：(cu)' = cu'，其中c为常数；- 和差法则：(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)；- 积法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；- 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2，其中g(x)≠0。
一元函数微积分学在物理学上的应用(1)
一元函数微积分学在物理学上的应用(1)
一元函数微积分学是数学中重要的一类方法，在自然科学研究中也发挥着重要作用。
在物理学中，一元函数微积分学可以用于研究运动物体的位置、速度、加速度等以及物体
的力、能量等问题。
首先，在运动的物体的位置、速度、加速度等问题中，一元函数微积分学可以提供对
该问题方面更多的解释。
比如，在利用微积分学研究动力学时，是把动力学研究成微分方
程的形式。
在考虑了力学运动模型中的惯性、阻力、重力等因素的影响后，可以从一元微
分方程的解获得动力学运动的位置、速度和加速度的时变关系，从而对物体的不同状态有
更深入的分析。
其次，一元函数微积分学也可以用于研究物体的力以及物体的能量的变化情况。
比如，在电磁学中，一元微积分可以用来描述电磁场中物体的受力情况。
有了物体受力的情况，
就可以运用动量定理、动能定理以及动量守恒定律来分析物体在受到力的作用下物体的动
能是如何变化的，从而深入研究物体的运动特征。
一元函数微积分学
一元函数微积分学一元函数微积分学是现代数学中非常重要的一个分支领域。
它主要研究函数的变化规律，探究函数图像的几何特征，以及函数在一定区间内的积分和微分运算。
本文将分步骤阐述一元函数微积分学的重要内容。
第一步，了解导数的定义和性质。
在微积分学中，导数是非常重要的概念。
一个函数在某一点的导数，表示该点处函数变化的速率。
导数的定义为：$$f^\prime(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$导数的几何意义是函数在该点处的切线斜率。
导数的性质包括可导函数必然连续，函数求导的和差积商法则，以及反函数求导法则等。
第二步，学习积分的定义和性质。
积分是导数的逆运算，它表示函数在一定区间内的累积变化量。
积分的定义为：$$\int_a^bf(x)\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i^*)\Delta x_i$$积分的几何意义是函数和坐标轴所围成的面积。
同时，积分运算具有可线性性、积分中值定理、牛顿—莱布尼茨公式等性质。
第三步，掌握微积分的应用。
微积分学在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
例如，通过微积分可以求出曲线下的面积、物体的体积、速度与加速度等变化规律，还可以求解各种极值问题。
第四步，学习一些典型函数的导数和积分。
如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数不仅在微积分学中经常出现，而且在物理学、化学等学科中也非常常见。
第五步，掌握微积分的推广。
微积分学不仅涉及到一元函数，同时还有二元函数、多元函数、偏导数、重积分等更深入的内容。
学习和掌握这些推广内容，可以更深层次地理解微积分学的本质。
总之，一元函数微积分学是一门重要的数学基础课程，它为我们了解函数变化规律、探究现实问题提供了强有力的工具。
要学好本课程，需要打好基础、掌握重点、多动手实践，以及培养对数学的兴趣和热情。
一元函数微分学知识点
第一章 函数与极限1. 函数 会求函数的定义域，对应法则；几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）；函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性）2. 极限（1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质；无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断（2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件）极限的四则运算法则利用无穷小与无穷大互为倒数的关系；利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质；消去零因子法；无穷小因子分出法；根式转移法；利用左右极限求分段函数极限；利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）；利用连续函数的性质；洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）；∞∞或00型，)()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=ϕϕ→ϕx x x e x x x =+→10)1(lim ，e xx x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =ϕx ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψϕψ=ϕ+3 函数的连续连续性的判断、间断点及其分类第二章 导数与微分1 导数（1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。
导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率（2）导数的计算：基本初等函数求导公式；导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则）复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层）隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'==第三章 导数的应用洛必达法则（函数极限的计算）函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法。
一元函数微分学
一元函数微分学微分学的发展历史表明，它是一门具有重要实际应用价值的理论学科。
它可以在力学、热学、电磁学、光学和生物学等各种学科中被广泛地应用，因此研究如何将微分法应用于这些问题是十分必要的。
根据解决问题的不同目的和要求，我们可以对微分法进行分类。
为了叙述方便，我们可以按照求解区间上的函数值来分类，即按导数所处的区间来分类。
一元函数导数的主要应用包括： 1.求函数极值及其区间； 2.求导数的最大值及其区间； 3.求导数的最小值及其区间； 4.求导数的零点； 5.求函数曲线的切线； 6.求函数图形的拐点等。
5.1分类讨论一：定义微分法5.4分类讨论一：分类定义微分法（续）一类变量的导数是另一类变量的函数，从而得到新变量在原变量的增量与自变量之间的另一函数关系。
一元函数微分法的基本思想：假设两个变量之间存在某种函数关系，通过对变量取极限或微分，就可以定义出一个新的变量（ x，h），从而揭示出这种函数关系。
求导公式： y>x（ a,b）或y<x （ a,b）。
求导法则：①初等函数的导数②高阶导数。
其中，可微的求导公式： y>x（ a,b）或y<x（ a,b）。
把x看作“常数”，而y当作“变量”，导数仍然是原变量y对自变量x的偏导数。
如： f(x) =1/x+1/x^2+4/x^4+…+f(x)^+=0；又如：f'(x) =f(x)-2x+4；又如： g'(x) =-2x-8。
2.对比（求导）性质一个变量x对另一个变量y求导，对这两个变量来说，都有相同的微分和积分，且等于原变量对新变量的导数，故称为对比（求导）性质。
3.比较法与无穷小量的关系如果用微分的观点去认识，那么微分法则成为整个数学的一个完整体系，而对比法则成为微分法的一个特殊的分支。
4.边界条件把x看作“常数”，而y当作“变量”，导数仍然是原变量y对自变量x的偏导数。
如： f(x) =1/x+1/x^2+4/x^4+…+f(x)^+=0；又如：f'(x) =f(x)-2x+4；又如： g'(x) =2*x-8。
一元函数微分学的应用最全版
第四章 一元函数微分学的应用第一节 柯西(Cauchy )中值定理与洛必达(Hospital L ')法则思考题 ：1. 用洛必达法则求极限时应注意什么？答：应注意洛必达法则的三个条件必须同时满足.2. 把柯西中值定理中的“()x f 与()x F 在闭间区[]b a ,上连续”换成“()x f 与()x F 在开区间()b a ,内连续”后，柯西中值定理的结论是否还成立？试举例（只需画出函数图象）说明.答：不成立.图像如下：习作题：1. 用洛必达法则求下列极限：（1）11lim 21--→x x x ， （2）xxx sin lim 1→，（3）()πππ--→x x x sin lim ， （4）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim .解：(1)11lim 21--→x x x =)1(lim 1+→x x =2,(2)xxx sin lim0→=x x cos lim 0→=1,(3)()ππsin lim π--→x x x =()1πcos lim π-→x x =1,(4)x x x x x x x --+-→4240sin 23lim =14cos 264lim 330--+-→x x x x x = 1012--=1-. 2. 用洛必达法则求下列极限：（1）xx x +→0lim , （2）()xx x 11lim +→.解 ：(1)x x x +→0lim =xxx ln 0elim +→=xx x10ln lime+→ =xx -+→0lim e=1,(2)()xx x 101lim +→=xx x 1)1ln(0elim +→ =xx x )1ln(lime+→=11lim0e+→x x =e .3. 设()x x x f -=2，直接用柯西中值定理求极限()xx f x sin lim 0→. 解：()00=f , 00sin =,()xx f x sin lim 0→∴ =()()0sin sin 0lim 0--→x f x f x =()()ξξn si lim0''→f x (ξ在0与 x 之间) =ξξξcos 12lim-→=1-.第二节 拉格朗日)Lagrange (中值定理及函数的单调性思考题：1.将拉格朗日中值定理中条件()x f “在闭区间[]b a ,上连续”换为“在开区间()b a ,内连续”后，定理是否还成立？试举例（只需画图）说明.答：不成立.如下图：2. 罗尔中值定理是微分中值定理中一个最基本的定理，仔细阅读下面给出的罗尔中值定理的条件与结论，并回答下列问题.罗尔中值定理：若()x f 满足如下3条： （1）在闭区间[]b a ,上连续；（2）在开区间()b a ,上可导；（3）在区间[]b a ,端点处的函数值相等，即)()(b f a f =，则在开区间()b a ,内至少存在一点ξ，使得()0='ξf .需回答的问题：（1）罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的联系与区别？答：罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况.反之，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广.（2）罗尔中值定理中条件（1）换为“在开区间()b a ,内连续”，定理的结论还成立吗？画图说明.答：不成立.如下图：（3）不求()()()()()4321----=x x x x x f 的导数，说明方程()0='x f 有几个实根,并指出它们所在的区间.答：方程()0='x f 有3个实根, 分别在区间（1, 2）、（2, 3）、（3, 4）内. 原因： 0)4()3()2()1(====f f f f , 据罗尔定理即可得出结果.3. 举例说明罗尔中值定理与拉格朗日中值定理的条件是充分的而非必要的（可采用画图方式说明）.答：如下图所示.)(x f 在],[b a 内不连续)(x f 在0=x 处不可导习作题：讨论函数2e x y -=的单调性.解：函数2e x y -=的定义域为),(+∞-∞,2e 2x x y --=', 令0='y , 得0=x ,用0=x 把),(+∞-∞ 分成两部分)0(),0,(∞+-∞,当)0,(-∞∈x 时0)(>'x f , 当),0(+∞∈x 时0)(<'x f , 因此2e x y -=在)0,(-∞上单调递增, 在),0(+∞上单调递减.第三节 函数的极值与最值思考题：1. 画图说明闭区间上连续函数)(x f 的极大值与最值之间的关系. 答：图像如下由图可知, 函数)(x f 的极值与最值的关系为：)(x f 的极值为可能为最值，最值在极值点及边界点上的函数值中取得.2. 可能极值点有哪几种？如何判定可能极值点是否为极值点？答：对连续函数来说，可能极值点有驻点及函数一阶导数不存在的点（尖点）两种. 利用极值的第一充分条件或第二充分条件判定.习作题：1. 求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值，最大值与最小值.解：x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4，极小值为0)0(=f .∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知：)(x f 最大值为200， 最小值为50-.2. 求函数x x y -+=1在]1,5[-上的最大值. 解：xy --='1211, 令0='y , 得43=x . ∵45)43(=y , ()565-=-y , ()11=y , 比较可知 x x y -+=1在]1,5[-上最大值为45=y .第四节 曲率思考题：1. 对圆来说，其半径与其曲率半径相等吗？为什么？ 答：相等.因为：曲率半径r r s R s s =∆⋅∆=∆∆=→∆→∆ααα00lim 1lim 1. 2. 是否存在负曲率，为什么？答：不存在.因为曲率定义为：sk s ∆∆=→∆α0lim ，故可知曲率为非负的值.习作题：1. 求立方抛物线()03>=a ax y 上各点处的曲率, 并求a x =处的曲率半径.解：23ax y =', ax y 6='', 于是曲率 ()2321y y k '+''==()2342916x a ax+,当 a x =时曲率 ()2362916a a k +=,故曲率半径()26691123a a k R +==.2. 曲线()03≥=x x y 上哪一点处曲率最大，求出该点的曲率. 解：23x y =', x y 6='', 故曲率 ()())0(916916232344≥+=+=x x xx xk ,对k 关于x 求导, 得()23444916)91541(d d x x x x k ++-=, 令0d d =xk且0≥x 得4451=x . <≤x 04451时, 0d d >xk ; 4451>x 时, 0d d <xk , ∴曲线()03≥=x x y 上，)45,45(4341--处曲率最大 , 最大曲率为44535⋅=k .第五节 函数图形的描绘思考题：1. 若))(,(00x f x 为连续曲线弧()x f y =的拐点，问： （1）()0x f 有无可能是()x f 的极值，为什么？ 答：可能.如：()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=,0,,0,2x x x x x y)0,0(为()x y 的拐点且()0y 为)(x y 的极值.（2）()0x f '是否一定存在？为什么？画图说明答：不一定. 如31x y = 图像如右：()0,0点为曲线31x y =的拐点，但d d =x xy2. 根据下列条件，画曲线：(1) 画出一条曲线，使得它的一阶和二阶导数处处为正.解：如下图.(2) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为负，但一阶导数处处为正.解：如下图.(3) 画出一条曲线，使得它的二阶导数处处为正，但一阶导数处处为负.解：如下图.（4）画出一条曲线，使得它的一阶、二阶导数处处为负.解：如下图.习作题：1. 设水以常速s /m 3a （0>a ）注入图4—19所示的容器中，请作出水上升的高度关于时间t 的函数()t f y =的图像，阐明凹向，并指出拐点.在区间[]1,0t 上函数()t f y =的图像上凹, 在区间[]21,t t 上函数()t f y =的图像下凹, 点()()11,t f t 为函数图像的拐点.2. （1）()x f '的图像如图4—20所示，试根据该图像指出函数)(xf 本身拐点横坐标x 的值.答：拐点横坐标为3x x =与4x x =. （2）在图4—21的二阶导数()x f ''的图像中，指出函数()x f 本身拐点横坐标x 的值. 答：拐点横坐标为1x x =和2x x =. 3. 求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=', x y 2010+='',图4—19令0=''y , 得21-=x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞，),21(+∞-两部分. 当∈x )21,(--∞时，0<''y , 当∈x ),21(+∞-时，0>''y , ∴曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-.4.求曲线()()213--+=x x x y 的渐近线.解：()()∞=--+→213lim1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线,()()∞=--+→213lim2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线,()()2133lim lim 0121211x x x x x x x x x →∞→∞++==--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 故0=y 为曲线的水平渐近线,∴ 曲线的渐近线为：2,1,0===x x y .第六节 一元函数微分学在经济上的应用思考题:1. 回答下列问题：(1) 为什么说需求价格弹性一般为负值？答：因为需求价格弹性()p Q p Q p Ep EQ d d ⋅=中，pQd d 是需求量关于价格的导数, 而一般情况下，需求函数()p Q Q =是价格p 的单凋递减函数，即一般地0d d <pQ, 所以说需求价格弹性一般为负值.(2)设生产x 个单位产品时，总成本为()x C ，问这时每单位产品的平均成本是多少？答：平均成本()xxCxC=)(.(3)用数学语言解释“某项经济指标的增长速度正在逐步加快”或“某项经济指标的增长速度正在逐步变慢”，并画图说明.答：设u 表示某项经济指标，t 表示时间，)(t u u =二阶可导，则“经济指标的增长速度正在逐步加快”，即指t u d d 是递增函数，所以0d d 22>t u ，也即)(t u u =的图像上升且上凹（如下图1）；相反“经济指标的增长速度正在逐步变慢”，即指0d d ,0d d 22<>tut u ，也即)(t u u =的图像上升且下凹（如下图2）.2. 一般情况下，对商品的需求量Q是消费者收入x 的函数，即)(x Q Q =，试写出需求Q 对收入x 的弹性——需求收入弹性数学公式，并分析其经济意义.答：需求收入弹性()xQx Q x Ex EQ d d ⋅=. 因为一般情形下，需求Q 是收入x 的增函数， 故0d d >x Q 从而Ex EQ >0. 若ExEQ=1，则表明需求的变动幅度与收入的变动幅度是同步的，若>Ex EQ1，则表明需求变动的百分比高于收入变动的百分比.若0<ExEQ <1，则表明需求变动的百分比低于收入变动的百分比.习作题：1. 某厂商提供的总成本和总收入函数如右图，试画出下列对于产品数量q 的函数图象.（1）总利润；（2）边际成本；（3）边际收入解：（1）总利润L=)()(q C q R -，图像如下图（1）,tu（2）边际成本c M =)('q C , 图像如下图（2）, （3）边际收入R M =)('q R , 图像如下图（3）.2. 求解下列各题：（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为x x C 23)(+=， 15)(+=x xx R , 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解：边际成本C M =x x C 1)('=边际收入R M =2)1(5)('+=x x R边际利润xx M M q L C R 1)1(5)('2-+=-=.(2)（2）设p 为某产品的价格，x 为产品的需求量，且有801.0=+x p , 问p 为何值时，需求弹性大或需求弹性小.解：由801.0=+x p 得10d d -=px, 所以需求价格弹性80)10(1.080-=-⨯-=p p p p Ep Ex , 故当80-p p < 1-, 即40<p <80时, 需求弹性大; 当1-<80-p p<0, 即0<p <40时，需求弹性小.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
一元函数微分学复习ppt
乘法法则与商的导数
乘法法则
如果y=f(u)，u=g(x)，则 y'=f'(u)g'(x)+f'(u)g'(x)
VS
商的导数
如果y=f(u)，u=g(x)，则y'=f'(u)g'(x)f'(u)g'(x)/g(x)^2
减法法则
f'(x) = df(x)/dx = d(-f(x)) / dx = -f'(x)
除法法则
$f'(x) = df(cx) / dx = c \times d(f(x)) / dx = c \times f'(x)$
链式法则
概念
如果y=f(u)，u=g(x)，则y'=f'(u)g'(x)
应用
定理的现代形式
如果f(x)和g(x)在[a,b]上可导，且对于任意的x∈[a,b], f'(x)g(x)-f(x)g'(x)≠0，则存在至少一个ξ使得 f''(ξ)g'(ξ)-f'(ξ)g''(ξ)=0。
05
不定积分与定积分
不定积分的概念与性质
总结词
原函数、反导数、可导函数、可积函数、微分学基本定理
导数的定义与性质
导数的定义
函数在某一点的导数表示函数在该点的变化率，即函数 因变量相对于自变量变化的快慢程度。
导数的性质
包括运算法则、导数与函数单调性的关系、导数在曲线 中的应用等。
微分的定义与性质
一元函数微积分学在物理学上的应用
一元函数微积分学在物理学上的应用速度、加速度、功、引力、压力、形心、质心[][]1.(),()().3.00(),t t t t T t x m m x θθωθ='='=用导数描述某些物理量速度是路程对时间的导数.加速度是速度对时间的导数。
2.设物体绕定轴旋转，在时间间隔0，t 内转过的角度则物体在时刻的角速度当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度与时间的函数关系为T=T(t),则物体在时刻t 的冷却速度为T (t).3.一根杆从一端点算起，，段干的质量为则杆在点x 处的线密[][](),().5.T C(T)=q (T).6. (),().Q Q t Q t T w w t t w t ρ'='''=度是(x)=m (x).4.一根导线在0,t 这段时间内通过导线横截面的电量为则导线在时刻t 的电流强度I(t)=某单位质量的物体从某确定的温度升高到温度时所需的热量为q(T),则物体在温度时的比热某力在0,t 时间内作的功则时刻的功率为例1 .2212,5360,(),2M 55,12,360,(),()522cm AB AM M A x g m x x x m k m x x m x xρρ='=====2设有长为的非均匀杆部分的质量与动点到端点的距离的平方成正比，杆的全部质量为则杆的质量的表达式杆在任一点处的线密度(x)=5x解：m(x)=kx 令得所以(x)=变力作功：变力()F x 沿直线运动从a 到b 所作的功()baw F x dx =⎰51.53[05][05][,]29.83,8828828m m x x x x dx dx x m dx kN dw dx xw x dx πππ+⋅⋅=⋅⋅∴=⋅=⎰例2(1)（功）一圆柱形的注水桶高为，底圆半径为，桶内盛满了水，试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解：作轴如图所示取深度为积分变量，它的变化区间为，相应于，上任一小区间的一薄层水的高度为，因此如的单位为，这薄层水的重力为把这层水吸出桶外需作的功近似为所求的功为25823462()2kJ π⋅⋅≈2.21,2[,1][2,2]R l Rx R x x R xR x dx xx dx ρρ>=+++++例2(2)（功）设有一半径为，长度为的圆柱体平放在深度为的水池中，（圆柱体的侧面与水面相切，设圆柱体的比重为（））现将圆柱体从水中移出水面，问需作多少功？解：分析：依题意就是把圆柱体的中心轴移至处，计算位于上的体积微元移至时所作的微元功。
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第六讲 一元函数微分学１．导数与微分的定义――可导与可微等价（１）导数的定义例１设(),0f x x x → ，(),()f x g x 在0x =连续，证明：()()f x g x 在0x =处可导，且导数为(0)g 。
证明； 因为(),0f x x x → ，即()(),0f x x o x x =+→，于是由(),()f x g x 在0x =连续有(0)0f =以及000()()(0)(0)()()()l i ml i m l i m l i m ()(0)0x x x x f x g x f g fx g x f x g x g x x x→→→→-==⋅=-。
□（２）左、右导数与可导例２设函数()f x 在0x =可导，且当x δ<时()||f x x ≥。
证明：(0)0f >。
证明：显然(0)0f ≥。
若不然，(0)0f =。
由()||f x x ≥有()(0)()10f x f f x x x -=>-， 当0x >；()(0)()10f x f f x x x-=<--， 当0x <。
在以上不等式中分别令00x →+和00x →-，则有'(0)1f +≥，'(0)1f -≤-，这矛盾于()f x 在0x =可导。
因此必然有(0)0f >。
□ （３）可导与可微例３设()f x 在0x x =可微，0n n x αβ<<，n ∀。
若0lim lim n n n n x αβ→∞→∞==，证明：0()()lim'()n n n n nf f f x βαβα→∞-=-。
证明：由假设有0000()()'()()()f x f x f x x x o x x =+-+-， 0x x →。
因此0,0εδ∀>∃>，当0x x δ-<时有00000()()'()()x x f x f x f x x x x x εε--<---<-。
（１） 由0lim lim n n n n x αβ→∞→∞==，存在N ∈N ，当n N >时000n n x x δαβδ-<-<<-<。
因此把,n n αβ代替（１）中x 得到 ()()00000()()'()()n n n n x f f x f x x x εαααεα-<---<-， n N >，()()00000()()'()()n n n n x f f x f x x x εβββεβ-<---<-。
n N >，两式相减得()()()0()()'()n n n n n n n n f f f x εβαβαβαεβα--<---<-，n N >， 即0()()'()n n n nf f f x βαεβα--<-， n N >。
因此0()()lim'()n n n n nf f f x βαβα→∞-=-。
□ ２．求导法则——四则运算、复合函数求导及反函数求导例４设函数()f t 二阶可导，''()0f t ≠。
证明：由参数方程 '()x f t =，'()()y tf t f t =-可确定一个二阶可导的函数()y y x =，并求其二阶导数。
证明：由''()0f t ≠和反函数存在定理，由'()x f t =可确定反函数()t t x =，从而代入'()()y tf t f t =-得到函数()()'(())(())y y x t x f t x f t x ==-。
由参数方程定义函数的求导法则有 d '()"()'()'()'()d '()"()y y t tf t f t f t y x t x x t f t +-====。
用'()y x t =代替参数方程中的第二个式子，重复前面的讨论容易知道，'()y x 仍为x 的可微函数，且有d'()d 1d "()'()d d "()d y x t y x y x x x f t t===。
□注意：不能套公式3'()"()"()'()"()['()]x t y t x t y t y x x t -=， 因"(),"()x t y t 都可能不存在。
例5设()y y x =二阶可导且'()0y x ≠，证明：若()y x 满足方程[]3"()'()0y x y x +=，则反函数()x x y =满足"()1x y =。
进一步，若()y y x =在[0,)+∞上连续，在(0,)+∞内二阶可导，(0)1,(2)2y y ==，求()y x 。
证明：由假设和反函数存在定理，反函数()x x y =存在，且有1'()'(())x y y x y =。
因此利用复合函数求导法则有 [][]23d 1''()''()"()'()1d '(())'()'()y x y x x y x y y y x y y x y x ⎛⎫==-⋅=-= ⎪⎝⎭。
由"()1x y =知21121'()2x y y C x y C y C =+⇒=++，其中12,C C 是待定常数。
由(0)1,(2)2y y ==得120C C ==。
因此22y x y =⇒=(2)0y >，舍去负解）。
□ ３．高阶导数与高阶微分，Leibniz 公式（1）直接利用公式(),()0,k n k n k n A x k n x k n -⎧≤=⎨>⎩， ()()()ln n n x x a a a =，()1(1)(1)!log ln n n a nn x a x ---=⋅， ()()(sin )sin ,(cos )cos 22n n n n x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，等等。
（2）分拆法例6 求下列函数的n 阶导数 （1）2212x y x x +=--， （2）sin sin 2y x x =。
（3）归纳法 例7 设sin(ln ||),0,()0,0.n x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩2n ≥。
证明：当1k n ≤-时， []()sin(ln ||)cos(ln ||),0,()0,0,n k k k k x a x b x x fx x -⎧+≠=⎨=⎩其中,k k a b 为常数；()f x 除了0x =外存在n 阶导数。
证明：采用归纳法。
1）当0x ≠时[]111'()sin(ln ||)cos(ln ||)sin(ln ||)cos(ln ||)n n n f x nx x x x x n x x x--=+⋅=+， 而100()(0)'(0)limlim sin(ln ||)00n x x f x f f x x x -→→-===-。
因此1k =时结论成立，且11,1a n b ==。
2）设2k l n =≤-时结论成立，即[]()sin(ln ||)cos(ln ||),0,()0,0,n k l l l x a x b x x f x x -⎧+≠=⎨=⎩则当0x ≠时有 [](1)1()()sin(ln ||)cos(ln ||)l n l l l fx n l x a x b x +--=-+[]1cos(ln ||)sin(ln ||)n ll l x a x b x x-+-⋅[]111sin(ln ||)cos(ln ||)n l l l xa xb x --++=+，其中11(),()l l l l l l a n l a b b a n l b ++=--=+-。
又由2l n ≤-， ()()(1)0()(0)(0)lim 0l l l x f x f fx +→-=-1lim [sin(ln ||)cos(ln ||)]0n l l l x xa xb x --→=+=。
即结论对1k l =+也成立。
因此结论对11k n ≤≤-成立。
当0x ≠时，()f x 有n 阶导数。
但极限[](1)(1)1100()(0)limlim sin(ln ||)cos(ln ||)0n n n n x x f x f a x b x x ----→→-=+- 不存在，因此()(0)n f不存在。
□（4）利用递推关系证明高阶导数的关系例8 设()2arcsin y x =，证明2(2)(1)2()(1)(21)0n n n x y n xy n y ++--+-=。
并由此求()(0)n y 。
证明：因为 22'(1)'4y x y y =⇒-=，再求导有2(1)'''20x y xy ---=。
上式求n 阶导数就得到2(2)(1)2()(1)(21)0n n n x y n xy n y ++--+-=。
令0x =，则有(2)2()(0)(0)n n y n y +=。
由于(0)'(0)0,"(0)1y y y ===，利用归纳法可得(2)212(21)(0)2((1)!),(0)0k k k y k y --=-=，1,2,k = 。
□ ４．微分中值定理及其应用——L’Hospital 法则等。
在证明中值定理题目时注意微分方程的应用，主要是用于构造辅助函数。
（1）Rolle 中值定理与零点问题——通常可用Fermat 引理来证明例9 设()f x 在(,)a b 内可微，,a b 为有限数或无穷；又0lim ()lim ()x a x b f x f x A →+→-==为有限数或±∞。
证明：(,)a b ξ∃∈，使得'()0f ξ=。
证明：若()f x A ≡，则'()0f x ≡，结论显然。
若()f x 不是常函数，则0(,)x a b ∃∈，使得0()f x A ≠，不妨设0()f x A >。
设sup{():(,)}B f x x a b =∈，则0()B f x A ≥>。
令02B Aε-=>。
由00lim ()lim ()x a x b f x f x A →+→-==，分别存在,a b 的半邻域12(,),(,)a x x b ，使得12x x <且对任意12(,)(,)x a x x b ∈ ，有 ()()2A Bf x A f x A εε+-<⇒<+=。