考研数学知识体系总结

考研数学知识体系总结： 一 函数极限及连续 1函数概念如何判断两个函数相等：定义域 对应法则都相同 2函数的几何性质：奇偶性 f （-x ）=f （x ）为偶函数，f （-x ）=-f （x ）为奇函数。

周期性f （x+t ）=f （x ）为以t 为周期的周期函数。

有界性 y= f （x ）在数集X 上有定义即 x 属于X ，有| f （x ）|＜ m ，则有上界。

3常见初等函数 幂指对三反4隐函数 分段函数 反函数 5 极限的性质唯一性 保号性 有界性 6 极限存在的判别法则夹逼定理 g(x)≤f(x)≤h(x) 且g(x)， h(x)极限等于A 则f （x ）极限等于A 。

单调有界数列必有极限 （归纳法） 7计算极限的方法 等价无穷小：当x→0，且x≠0，则x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx; x~ln(1+x)~(e^x-1); (1-cosx)~x*x/2; [(1+x)^n-1]~nx; loga(1+x)~x/lna; a 的x 次方~xlna;(1+x)的1/n 次方~1/nx(n 为正整数）； 注：^ 是乘方 洛必达法则 泰勒公式两个重要极限： 多项式： 8连续闭区间上左极限等于右极限等于函数值 9间断点（1）第一类间断点：左右界限存在不相等，跳跃；左右极限存在且相等，可去 （2）第二类间断点：无穷间断地；震荡间断点 10无穷大无穷小的比较11闭区间上连续函数的性质 最大值最小值 零点定理 介值定理 二导数与微分1导数定义式：题中已知在某点处导数，用定义式做 2求导法则()/xμ=1x μμ- ()/x a =ln x a a ()/x e =x e()/log a x =1ln x a ()/ln x =1x()/sin x =cos x()/cos x =sin x - ()/tan x =2sec x ()/cot x =2csc x -()/sec x =sec tan x x ()/csc x =csc cot x x - ()/arcsin x=()/arccos x= ()/arctan x =211x + ()/arccot x =211x-+ ()/uv =//u v uv + /u v ⎛⎫= ⎪⎝⎭//2u v uv v - 3复合函数 隐函数求导4高阶导数：莱布尼兹公式：)()(0)(k k n nk knv u Cv u -=∑=⋅)0(ln )()1()(>⋅=a a a a n x n x )2sin()(sin )2()(π⋅+=n kx k kx n n)2cos()(cos )3()(π⋅+=n kx k kx n n n n x n x -+--=ααααα)1()1()()4()(nn n x n x )!1()1()(ln )5(1)(--=- 5函数的微分公式：1d()d x x x μμμ-= d(sin )cos d x x x = d(cos )sin d x x x =- 2d(tan )sec d x x x = 2d(cot )csc d x x x =- d(sec )sec tan d x x x x =d(csc )csc cot d x x x x =- d()ln d x x a a a x = d(e )e d x x x =1d(log )d ln a x x x a = 1d(ln )d x x x =d(arcsin )x x =d(arccos )x x=21d(arctan )d 1x x x =+ 21d(arccot )d 1x x x =-+三微分中值定理（1）罗尔定理罗尔（Rolle ）定理 如果函数f （x ）在 闭区间[a,b]上连续, 在开区间(a,b)内可导, 且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b),那末在(a,b)内至少有一点§(a ＜§＜b),使得函数f （x ）在该点的导数等于零， 即f ’（§）=0（2）拉格朗日拉格朗日（Lagrange ）中值定理 如果函数f(x)在闭区间],[b a 上连续, 在开区间(a,b)内可导,那末在(a,b)内至少有一点)(b a <<ξξ，使等式))(()()('a b f a f b f -=-ξ 成立.（3）柯西中值柯西（Cauchy ）中值定理 如果函数)(x f 及)(x F在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 内可导,且)('x F 在),(b a 内每一点处均不为零，那末在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ,使等式)()()()()()(''ξξF f a F b F a f b f =--成立.（4）洛必达法则 基本型 0/0 ∞/∞ 型（5）泰勒公式: Taylor 中值定理：如果函数)(x f 在0x 的某区间),(b a 内具有直到)1(+n 阶的导数，则当),(b a x ∈时，)(x f 可表示为)(0x x -的一个多项式)(x P n 和一个余项)(x R n 之和：)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+=6函数的单调性与极值 f （x ）一阶导数＞0 函数单调增加 f （x ）一阶导数＜0 函数单调减少 左增右减的点是极大值点 左减右增的点是极小值点7函数图像的凹凸性及拐点：f （x ）二阶导数=0 是驻点，f （x ）二阶导数＞0 图像为凹 极小值 f （x ）二阶导数＜0 图像为凸极大值 只有当驻点左右凹凸性改变了 才是拐点 8函数的渐近线斜渐近线： k =()limx f x x→∞水平 垂直 b =()lim x f x kx →∞-⎡⎤⎣⎦ 9图像描述10 最大值最小值极值点与端点值比较 最大的为最大值 最小的为最小值 四不定积分 1不定积分公式kdx =⎰kx x dx μ=⎰11x μμ++ dxx=⎰ln x21dxx =+⎰arctan x =arcsin x cos xdx =⎰sin x sin xdx =⎰cos x - 2sec xdx =⎰tan x 2c cs xdx =⎰cot x -sec tan x xdx =⎰sec x csc cot x xdx =⎰csc x - x e dx =⎰xexa dx =⎰ ln xa a tan xdx =⎰ln cos x - cot xdx =⎰ln sin xsec xdx =⎰ln sec tan x x + csc xdx =⎰ln csc cot x x - 221dx x a =+⎰1arctan xa a221dx x a =-⎰1ln 2x a a x a -+ =ln xdx =arcsinxa2积分方法:（1）第一类换元定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则C x F C u F du u f dx x x f +ϕ=+==ϕ'ϕ⎰⎰)]([)()()()]([第一换元法是复合函数求导法则的逆运算，)]([)(x d dx x ϕϕ='也是微分运算的逆运算，目的是将dx x )(ϕ'凑成中间变量u 的微分，转化成对中间变量的积分。

（2）第二类换元 第二换元法中的三角代换及根式代换1：被积函数中含有22x a -（0>a ）,可令t a x sin =（并约定]2,2[ππ-∈t ）则t a x a cos 22=-；tdx a dx cos =可将原积分化作三角有理函数的积分分部积分2被积函数中含有)0(22>+a x a 可令 t a x t a n = 并约定)2,2(ππ-∈t ，则t a x a s e c 22=+；tdt a dx 2sec = ；可将原积分化为三角有理函数的积分，3不定积分的性质1 ⎰⎰=dx x f k dx x kf )()( 2 ⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([3 被积分函数中含有22a x - )0(>a ，当a x ≥时，可令t a x sec =，并约定)2,0(π∈t ，则t a a x tan 22=-，t t a dx tan sec =，当a x -≤时，可令x u -=，则a u ≥，可将原积分化为三角有理函数的积分。

（3）分部积分法是另一个基本的不定积分法，它是由乘积的微分公式得 ⎰⎰-=vdu uv udv此公式就是分部积分公式。

若求udv 较难，而求vdu 较易，可用分部积分公式。

使用分部积分法的关键是正确选择u 和v 。

五定积分1定积分性质：性质 1 函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)，性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外面，性质3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，性质4 如果在区间[a ，b]上 f (x)≡1，则性质5 如果在区间[a ，b]上，f (x)≥0，则性质6 设M 及m 分别是函数f(x)在外[a ，b]上的最大值及最 小值，则性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续， 则在积分区间[a, b]上至少存在一个点x ， 使下式成立： f (x)dx = f (x )(b -a)2反常积分（1）无穷限的反常积分()()()()()()()lim lim b a baabbaccf x dx f x dxf x dx f x dxf x dx f x dx f x dx→+∞→-∞+∞∞+∞+∞-∞∞===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--（2）无界函数的反常积分（瑕积分）()()()()()()()()()000lim lim lim lim bb a a bba a bcbacc bac x b x a x c f x dx f x dx f x dx f x dxf x dx f x dx f x dxf x dx f x dxεεεηεεεη++++→→→→-+-+======+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰a是无穷间断点： 是无穷间断点：是无穷间断点：3变上限积分求导：当x 在],[b a 上变动时，对应于每一个x 值，积分⎰xat t f d )(就有一个确定的值，⎰xat t f d )(因此是变上限的一个函数，记作baf (x ) dx =⎰caf (x ) dx + ⎰bcf (x ) dx ．⎰baf (x ) dx =⎰c a f (x ) dx +bcf (x ) dx ．bak f (x ) dx =k ⎰b a f (x ) dx ．⎰b ak f (x ) dx =k ba f (x ) dx ．ba[f (x ) ± g (x )]dx =⎰baf (x ) dx ± ⎰bag (x ) dx ．⎰ba[f (x ) ± g (x )]dx =⎰b a f (x ) dx ± bag (x ) dx ． m (b -a ) ≤⎰baf (x )dx ≤ M (b -a ) (a <b )．⎰baf (x ) dx ≥0 (a < b )．⎰ba 1 dx =⎰badx = b -a ．⎰ba⎰≤≤=xab x a t t f x )( d )()(Φ，称函数)(x Φ为变上限的定积分． 4奇偶函数的积分性质 5周期函数的积分性质6 牛顿莱布尼茨公式：设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，如果)(x F 是)(x f 的任意一个原函数，则)()()(d )(a F b F x F x x f baba -==⎰，以上公式称为微积分基本定理，又称牛顿–莱布尼茨公式． 六多元函数微分法及应用 （一）偏导和全微分 1二元连续函数性质（1） 二元连续函数和差积仍为连续函数 （2） 二元连续函数复合函数也是连续函数（3） 在闭区间d 上的连续函数，在区域d 是必有最大值最小值（4） 在闭区间d 上的连续函数，在区域d 上必取得介于最大值最小值间的任何值2偏导数：函数 z = f ( x , y ) 的两个偏导数3全微分：如果二元函数 z = f (x , y ) 在点 (x 0 , y 0) 处的两个偏导数存在且连续，称为函数z = f (x , y ) 在点 (x 0 , y 0)的全微分，4多元复合函数的导数：设函数),(v u f z =，),(y x u u =，),(y x v v =则xvv z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 这个公式称为求复合函数偏导的链式法则。