八年级数学下册16二次根式161二次根式2导学案新人教版

16．1 《 二次根式(2)》课型: 新授课 上课时间： 课时： 2 学习内容：1．a （a ≥0）是一个非负数； 2．（a ）2=a （a ≥0）．学习目标：1、理解a （a ≥0）是一个非负数和（a ）2=a （a ≥0），并利用它进行计算和化简．2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a （a ≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a ）2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．教学过程 一、自主学习 （一）复习引入1．什么叫二次根式？2．当a ≥0时，a 叫什么？当a<0时，a 有意义吗？ （二）学生学习课本知识 （三）、探究新知1、a （a ≥0）是一个 数。

（正数、负数、零）因为 。

2、重点：a （a ≥0）是一个非负数． 3、根据算术平方根的意义填空：（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______；同理可得：（2）2=2， （9）2=9， （3）2=3， （13）2=13， （0）2=0，所以 （a ）2=a （a ≥0）(4) 例1 计算 1322 = 2、（52= 3562 = 4、（72）2= (5)注意：1a a ≥0a 2=a （a ≥0）及其运用．2a a ≥0）是一个非负数；•a 2=a （a ≥0）．二、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展例2 计算 11x +2（x ≥0） 22a 2 3221a a ++ 2例3 在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3 三、巩固练习（一）计算下列各式的值：182=23）2= （94）2= 0）2= （78）2 = 22(35)(53)- （二） 课本P7、1四、课堂检测（一）、选择题1153a 21b -22a b +220m +144- ）．A ．4B ．3C ．2D ．1 （二）、填空题1．（3）2=________． 21x +_______数．（三）、综合提高题 1．计算（192 （2）--3）2（3）（232 (4) (2332)(2332)= = = = = = = = 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5= （2）3.4= （3）16（4）x （x ≥0）= 31x y -+3x -，求x y 的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-52019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．已知一次函数32y x =+上有两点()11,M x y ，()22,N x y ，若12x x >，则1y 、2y 的关系是（ ） A ．12y y > B ．12y y =C ．12y y <D ．无法判断2．计算：5b 220ba ÷=（ ）（a ＞0，b ＞0） A ．10ba B ．10abC ．2aD ．2a 23．如果不等式组841x x x m+<-⎧⎨>⎩的解集是3x >，那么m 的取值范围是（ ）A ．3m ≥B ．3m ≤C ．3m =D ．3m <4．如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连接DE 并延长，交AB 的延长线于点F ，AB BF =．添加一个条件使四边形ABCD 是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（ ）A ．AD BC =B ．CD BF =C ．A C ∠=∠D ．F CDF ∠=∠5．如图，ABC ∆中，90,ACB CD ︒∠=是斜边AB 上的高， 9, 4AD BD ==，那么CD 等于（ ）A ．62B ．313C ．6D ．636．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，且∠ADC ＝60°，AB ＝12BC ，连接OE ，下列结论：①∠CAD ＝30°；②S ABCD ＝AB•AC ；③OB ＝AB ：④OE ＝14BC ．其中成立的有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④7．在有理数221,,,3152a x ab x y x -++中，分式有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．为迎接端午促销活动，某服装店从6月份开始对春装进行“折上折“(两次打折数相同)优惠活动，已知一件原价500元的春装，优惠后实际仅需320元，设该店春装原本打x 折，则有 A ．500(12)320x -=B ．2500(1)320x -=C ．250032010x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．2500132010x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭9．某中学制作了108件艺术品，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，已知每个B 型包装箱比A 型包装箱多装5件艺术品，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用2个．设B 型包装箱每个可以装x 件艺术品，根据题意列方程为（ ）A ．10810825x x =+- B ．10810825x x =-- C ．10810825xx =-+ D ．10810825x x =++ 10．下列几个二次根式 5，13，0.3a ，22x y +，3m 中是最简二次根式的有（ ） A ．2个 B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题 11．在函数13y x =-中，自变量x 的取值范围是________． 12．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=120°，CF ⊥AD 于点E ，且BC=CF ，连接BF 交对角线AC 于点M ，则∠FMC=___．13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC 43=，对角线AC 、BD 相交于点O ，现将一个直角三角板OEF 的直角顶点与O 重合，再绕着O 点转动三角板，并过点D 作DH ⊥OF 于点H ，连接AH .在转动的过程中，AH 的最小值为_________．14．若二次根式5x-有意义，则x的取值范围是________.15．菱形ABCD的周长为24，∠ABC=60°，以AB为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE，连结AC，CE，则△ACE的面积为___________.16．已知反比例函数4yx=的图象与一次函数y＝k（x﹣3）+2（k＞0）的图象在第一象限交于点P，则点P的横坐标a的取值范围为___．17．某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元，该商店计划一次性购进两种型号的电脑共100台，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元，则y关于x的函数解析式是____________.三、解答题18．已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．（1）求证：△BGF≌△FHC；（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．19．（6分）某地区2015年投入教育经费2900万元，2017年投入教育经费3509万元．（1）求2015年至2017年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四，结合该地区国民生产总值的情况，该地区到2019年需投入教育经费4250万元．如果按（1）中教育经费投入的增长率，到2019年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元？请说明理由．20．（6分）在Rt△ABC中，∠B=900，AC=100cm, ∠A=600,点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤25）过点D作DF⊥BC于点F，连结DE、EF。

（1）四边形AEFD 能够成为菱形吗？若能，求相应的t 值，若不能，请说明理由。

（2）当t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由。

21．（6分）已知，如图//AD BE ，12∠=∠，求证：A E ∠=∠.证明：∵12∠=∠∴________________（ ） ∴________________（ ） 又∵//AD BE∴________________（ ） ∴A E ∠=∠（ ） 22．（8分）如图，反比例函数y=mx的图象与一次函数y=kx+b 的图象交于A ，B 两点，点A 的坐标为（2，6），点B 的坐标为（n ，1）．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）点E 为y 轴上一个动点，若S △AEB =10，求点E 的坐标． （3）结合图像写出不等式0mkx b x-+>的解集；23．（8分）如图,在ABC 中，A B ∠>∠，（1）作边AB 的垂直平分线DE ，与AB 、BC 分别相交于点D E 、(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；（2）在（1）的条件下,连结AE ，若48B ∠=︒，求AEC ∠的度数． 24．（10分）解分式方程： (1)416x x=+ (2)311(1)(2)x x x x -=--+ 25．（10分）如图，在平行四边形ABCD 中，AC 是它的一条对角线，BE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，求证：四边形BEDF 是平行四边形．参考答案一、选择题（每题只有一个答案正确） 1．A 【解析】 【分析】由一次函数32y x =+可知，30k =>，y 随x 的增大而增大，由此选择答案即可. 【详解】由一次函数32y x =+可知，30k =>，y 随x 的增大而增大；12x x >12y y ∴>故选A 【点睛】本题考查一次函数增减性问题，确定k 的符号，进而确定函数增减趋势，是解答本题的关键. 2．C【解析】【分析】根据二次根式的除法法则计算可得．【详解】解：原式2a====，故选C．【点睛】本题主要考查二次根式的乘除法，解题的关键是掌握二次根式的除法运算法则．3．B【解析】【分析】先用含有m的代数式把原不等式组的解集表示出来，由题意不等式的解集为x＞1，再根据求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）来求出m的范围．【详解】解：在841 x xx m+<-⎧⎨>⎩中由（1）得，x＞1由（2）得，x＞m根据已知条件，不等式组解集是x＞1根据“同大取大”原则m≤1．故选B．【点睛】本题考查一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求m的范围．4．D【解析】【分析】把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为正确选项．添加D选项，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC＝BF＝AB，且DC∥AB．【详解】添加A、AD BC=，无法得到AD∥BC或CD=BA，故错误；添加B 、CD BF =，无法得到CD ∥BA 或AD BC =，故错误； 添加C 、A C ∠=∠，无法得到ABC CDA ∠=∠，故错误； 添加D 、F CDF ∠=∠∵F CDF ∠=∠，CED BEF ∠=∠，EC BE =， ∴CDE BFE ∆∆≌，CD AF ，∴CD BF =，∵BF AB =，∴CD AB =，∴四边形ABCD 是平行四边形． 故选D ． 【点睛】本题是一道探索性的试题，考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 5．C 【解析】 【分析】根据同角的余角相等证明∠DCB=∠CAD ，利用两角对应相等证明△ADC ∽△CDB ，列比例式可得结论． 【详解】解：∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠DCB=90°， ∵CD 是高，∴∠ADC=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠CAD=90°， ∴∠DCB=∠CAD ， ∴△ADC ∽△CDB ，DC ADBD DC∴= ∴CD 2=AD •BD ， ∵AD=9，BD=4， ∴CD=6 故选：C ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键． 6．B 【解析】【分析】由▱ABCD 中，∠ADC=60°，易得△ABE 是等边三角形，又由AB ＝12BC ，，证得①∠CAD=30°；继而证得AC ⊥AB ，得②S ▱ABCD =AB•AC ；可得OE 是三角形的中位线，证得④OE ＝14BC ．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°， ∵AE 平分∠BAD ， ∴∠BAE=∠EAD=60° ∴△ABE 是等边三角形， ∴AE=AB=BE ，∵AB ＝12BC ， 12∴=AE BC ，∴∠BAC=90°，∴∠CAD=30°，故①正确； ∵AC ⊥AB ，∴S ▱ABCD =AB•AC ，故②正确，11,22==AB BC OB BD ， ∵BD ＞BC ，∴AB≠OB ，故③错误；∵∠CAD=30°，∠AEB=60°，AD ∥BC ， ∴∠EAC=∠ACE=30°， ∴AE=CE ， ∴BE=CE ， ∵OA=OC ，1124∴==OE AB BC ，故④正确． 故选B ． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE 是等边三角形，OE 是△ABC 的中位线是关键． 7．A【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】3a 分母中不含字母，不是分式； 1x x +分母中含字母，是分式； 15x y +分母中不含字母，不是分式； 222a b -分母中不含字母，不是分式； 故选A.【点睛】本题考查了分式的概念，熟练掌握分式的判断依据是解题的关键.8．C【解析】【分析】设该店春装原本打x 折，根据原价及经过两次打折后的价格，可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设该店春装原本打x 折，依题意，得：500（10x ）2＝1． 故选：C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9．B【解析】【分析】关键描述语：每个B 型包装箱比A 型包装箱多装5件艺术品，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用2个；可列等量关系为：所用B 型包装箱的数量=所用A 型包装箱的数量-2，由此可得到所求的方程.【详解】 解：根据题意可列方程：10810825x x =--故选：B.本题考查分式方程的问题，关键是根据所用B型包装箱的数量=所用A型包装箱的数量-2的等量关系解答. 10．A【解析】【分析】利用最简二次根式定义判断即可．【详解】310===则最简二次根式的有2个，故选：A．【点睛】此题考查了最简二次根式，以及二次根式的定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．二、填空题11．x≠1【解析】【分析】根据分式有意义的条件，即可求解．【详解】∵在函数13yx=-中，x-1≠0，∴x≠1．故答案是：x≠1．【点睛】本题主要考查函数的自变量的取值范围，掌握分式的分母不等于零，是解题的关键．12．1°【解析】【分析】利用菱形的性质得出∠BCA=60°，∠ACE=∠DCE=30°，∠CBD=∠ABD=30°，AC⊥BD，再利用等腰三角形的性质以及三角形外角的性质得出答案．【详解】∵菱形ABCD中，∠BAD=120°，CF⊥AD于点E，∴∠BCA=60°，∠ACE=∠DCE=30°，∠CBD=∠ABD=30°，AC⊥BD，∴∠BCF=90°，∵BC=CF，∴∠CBF=∠BFC=45°，∴∠FBD=45°-30°=15°，∴∠FMC=90°+15°=1°．故答案为：1．【点睛】此题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，得出∠CBF=∠BFC=45°是解题关键．13．17﹣1【解析】【分析】取OD的中点G，过G作GP⊥AD于P，连接HG，AG，依据∠ADB=30°，可得PG12=DG=1，依据∠DHO=90°，可得点H在以OD为直径的⊙G上，再根据AH+HG≥AG，即可得到当点A，H，G三点共线，且点H在线段AG上时，AH最短，根据勾股定理求得AG的长，即可得出AH的最小值．【详解】如图，取OD的中点G，过G作GP⊥AD于P，连接HG，AG．∵AB=4，BC=43=AD，∴BD22AB AD=+=8，∴BD=1AB，DO=4，HG=1，∴∠ADB=30°，∴PG12=DG=1，∴PD3=，AP=33．∵DH⊥OF，∴∠DHO=90°，∴点H在以OD为直径的⊙G上．∵AH+HG≥AG，∴当点A，H，G三点共线，且点H在线段AG上时，AH最短，此时，Rt△APG中，AG2227AP PG=+=，∴AH=AG﹣HG=17-1，即AH的最小值为17-1．故答案为17-1．【点睛】本题考查了圆和矩形的性质，勾股定理的综合运用，解决问题的关键是根据∠DHO=90°，得出点H在以OD为直径的⊙G上．14．5x≥【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，列不等式即可.【详解】根据二次根式有意义的条件：50x-≥解得：5x≥故答案为5x≥【点睛】此题考查的是二次根式有意义的条件，解决此题的关键是根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，列不等式.15．9或1)．【解析】【分析】分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可．【详解】解：①如图1，延长EA交DC于点F，∵菱形ABCD的周长为24，∴AB=BC=6，∵∠ABC=60°，∴三角形ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，当EA⊥BA时，△ABE是等腰直角三角形，∴AE=AB=AC=6，∠EAC=90°+60°=150°，∴∠FAC=30°，∵∠ACD=60°，∴∠AFC=90°，∴CF=12AC=3，则△ACE的面积为：12AE×CF=12×6×3=9；②如图2，过点A作AF⊥EC于点F，由①可知：∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+60°=150°，∵AB=BE=BC=6，∴∠BEC=∠BCE=15°，∴∠AEF=45°-15°=30°，∠ACE=60°-15°=45°，∴AF=12AE，2AC=32∵AB=BE=6，∴AE=2∴2236AE AF-=∴EC=EF+FC=3632则△ACE的面积为：12EC×AF=1(3632)329(31)2⨯⨯=．故答案为：9或31)．【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．16．2＜a＜1．【解析】【分析】先确定一次函数图象必过点(1，2)，根据k＞0得出直线必过一、三象限，继而结合图象利用数形结合思想即可得出答案.【详解】当x＝1时，y＝k(1﹣1)+2＝2，即一次函数过点(1，2)，∵k ＞0，∴一次函数的图象必过一、三象限，把y=2代入y ＝4x ，得x=2， 观察图象可知一次函数的图象和反比例函数y ＝4x 图象的交点的横坐标大于2且小于1， ∴2＜a ＜1，故答案为：2＜a ＜1．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关知识并正确运用数形结合思想是解题的关键. 17．10050000y x =-+【解析】【分析】根据“总利润=A 型电脑每台利润×A 电脑数量+B 型电脑每台利润×B 电脑数量”可得函数解析式.【详解】解：根据题意，y=400x+500（100-x ）=-100x+50000；故答案为10050000y x =-+【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据总利润与销售数量的数量关系列出关系式．三、解答题18．见解析（2）212a 【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．【详解】（1）连接EF ，∵点F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点，∴FH ∥BE ，FH=12BE ，FH=BG ， ∴∠CFH=∠CBG ，∵BF=CF ， ∴△BGF ≌△FHC ，（2）当四边形EGFH 是正方形时，连接GH ，可得：EF ⊥GH 且EF=GH ，∵在△BEC 中，点G ，H 分别是BE ，CE 的中点，∴111,222GH BC AD a === 且GH ∥BC ， ∴EF ⊥BC ，∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB=EF=GH=12a ， ∴矩形ABCD 的面积=211.22AB AD a a a ⋅=⋅= 【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和正方形的性质解答．19． (1)10%（2）不能.【解析】【分析】（1）增长前量⨯（1+增长率）=增长后量，2015年2900万元为增长前量，2017年3509万元为增长后量，即可列出方程求解；(2)根据（1）中求得的增长率求出2019年该地区投入的教育经费.【详解】（1）设增长率为x ，由题意得229001)3509x +=（，解得120.110%, 2.1x x ===-（不合题意，舍去）答：2015年至2017年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.(2)2019年该地区投入的教育经费是23509(110%)4245.89⨯+=(万元)，4245.894250<答：按（1）中教育经费投入的增长率，到2019年该地区投入的教育经费不能达到4250万元.【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，此类是增长率问题的一元二次方程，可以根据“增长前量⨯（1+增长率）=增长后量”列得方程.20．（1）能，10；（2）152 或12,理由见解析. 【解析】【分析】（1）首先根据题意计算AB 的长，再证明四边形AEFD 是平行四边形，要成菱形则AD=AE ，因此可得t 的值.（2）要使△DEF 为直角三角形，则有两种情况：①∠EDF =90°；②∠DEF =90°，分别计算即可.【详解】解：（1）能，∵在Rt △ABC 中，∠C=90°﹣∠A=30°，∴AB=12AC =12×60=30cm 。