16.1.1二次根式全章导学案

1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。 【学习重点】二次根式有意义的条件． 【学习过程】

【活动一】知识（5分钟）

这些知识你还记得吗？（先独立完成1分钟，后同桌互查1分钟。）

1、如果对于任意数x ,有x 2

= a ，那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 是x 的______;所以a 一定是_______数。

2、如果对于一个正数x ,有x 2

= a ，那么x 叫a 的________, 记为______,其中 a 仍是x 的______;所以a 一定是_______数。

3、正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；

式子)0(0≥≥a a 的意义是 。4的算术平方根为2，用式子表

示为 =__________； 【活动二】自主交流 探究新知（

25分钟） 1、二次根式定义的学习：（12分钟）

完成

P2—思考中的容，阅读例1以上的容，尝试完成下面的问题： 1） 思考：如何判定一个式子是否是二次根式？

2

3，16-，34，12+x 3）已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是 。 4）下列各式一定是二次根式的是（ ）

A 、12+x

B 、12-x

C 、1--x

D 、x

总结：二次根式应满足的条件： 。

2、 二次根式有意义的条件的学习：（13分钟）

自学课本P--2页例1后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： 1）x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x ③x

--21

（2）若在实数围有意义，则x 为（ ）。

B.负数

C.非负数

D.非正数

总结：二次根式有意义的条件是： 【活动三】课小结 (学生归纳总结) （3分钟）

1．非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式.

二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值围有限制：被开方数a 必须是非负数。 20

a ≥??≥。

【活动四】拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟） 1、在式子

x

x

+-121中，x 的取值围是____________.

2、已知42

-x +y x +2＝0，则x-y ＝ _____________.

3、已知y ＝x -3+23--x ,则x

y = _____________。

【活动五】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组互查2分钟。） 1、下列式子中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？

2，33，

x

1

，x （x ＞0），0，42，y x +1，y x +（x ≥0,y ≥0）

2、当x 是怎样的实数时，13-x 在实数围有意义？

3、若20a -+=，则 2

a b -= 。 【补充练习】1、式子

1

1

2-+x x 有意义的x 的取值围是 。 2、已知：y

x

x x y 求,522+-+-=的值。

4

0)a ≥

§16.1 《二次根式的性质》导学案

【学习目标】

1、理解二次根式的性质，能运用二次根式的性质进行二次根式的运算和化简； 2

2

=a （a ≥0）的过程，培养分类的数学思想。 【活动一】知识（1＇理解记忆，1＇组交流）

1、当a ≥0

二次根式，又是非负数a 的算术平方根，

具

≥0（a ≥0） 2、a

取何值时下列各式有意义，

;

【活动二】自主交流 探究新知（3＇自主完成，2＇组交流，2＇大组展示） 1、探究二次根式性质

根据算术平方根的意义填空

⑴

=

；

=________ ；

=_______

⑵

2=

；2=_______

；2=________

；2

=_______

=

；=___________

=_________

根据（2）算式其结果与根号被开方数的关系，归纳得到：

2

=_______（其中，a 的取值围是___________）

根据（3）算式其结果与根号幂的底数关系，归纳得到： （其中，a 的取值围是___________）

2、代数式：

阅读教材4页练习上面的容，理解代数式定义 代数式：

【活动三】自主应用

巩固新知（3＇自主完成，2＇组间互查）

1、化简：

（1）2 （

2）2 （3）2

（4）2

(

-

2、求下列各式的值。

（12

2 ⑶2)2

1

(-

【活动四】拓展提升（3＇自主完成，2＇组交流，2＇大组展示）

例1实数a 、b 在数轴上的位置如图： 化简

2、若代数式

22)4()2(-+-a a 的值是一个常数2，则a 的取值围

是 。

3、已知10361216822=+-+++x x x x ，化简：|6|2)82(2-++x x 。

【活动五】当堂检测（5＇自主完成,2＇组互批）

1、2

(-=_____2=_____2

=_____=_________ 2、如果2)2(2-=-x x ，那么x 的取值围是 。 3、若1

. . . 0 a b _____________________??

???(0)

a <(0)

a >(0)a =

§16.2.1《二次根式的乘除（1）》导学案

【学习目标】

1、掌握二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

2、熟练进行二次根式的乘法运算及化简。

【学习重点】掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。 【学习过程】

【活动一】知识（5分钟）

（先独立完成1分钟，后同桌互查1分钟。）

2=_______

。

计算：

2(-=_____

2=_____

2=_____

=________

【活动二】自主交流 探究新知（25分钟） 一、探究二次根式的乘法法则：（12分钟） 1、计算：

（1）4×9=______ 94?=_______ （2）16 ×25 =_______ 2516?=_______ （3）100 ×36 =_______ 36100?=_______ 2、根据上题计算结果，用“>”、“<”或“=”填空：

（1）4×9_____94? （2）16×25____2516? （3） 100×36__36100?

总结：用符号表示二次根式的乘法法则： 。 二、二次根式的乘法法则的应用：（13分钟） 1、自学P6--例1后，依照例题进行计算：

（1

（2）25×32

（3）a 5

（4）5·a 3·b 3

1 2、自学P7—例2、例3后，完成下列问题：

（1）用式子表示积的算术平方根的性质：

ab = · （其中b a ,的取值围是：a ；b 。）

（2）化简：①4925?=

②2212b a （其中a ＞0，b ＞0）= ③64100?= ④1560?=

（3）思考：对于9×27的运算中不必把它变成243后再进行计算，你有什么好办法？

【活动三】课堂小结 (学生归纳总结) （3分钟）

1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。

2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数进行因数或因式分解。

（2）分解后把能开尽方的开出来。

【活动四】拓展延伸（独立完成3分钟，班级展示2分钟） 1、判断下列各式是否正确并说明理由。

（1）)9()4(-?-＝94-?- （2）323b a =ab b 3 （3）

×（

）=68)2(6?-?=4812-

（4）161694

? =1616

94??＝34?＝12 2、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号。

(1) -33

2 (2) a

a

212- 【活动五】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组互查2分钟。） 1、化简：（1）360= ；（2）432x = 2、计算：（1）3018?= ；（2）

75

2

3?

= 。

16.2《二次根式的乘除（2）》导学案

【学习目标】

1、理解二次根式的除法法则，二次根式的除法运算和二次根式的化简，理解最简二次根式的概念。

2、通过二次根式的计算和化简，培养学生对根式的运算兴趣，并掌握运算的技巧 【活动一】知识（1＇理解记忆，1＇组交流）

问题1：二次根式乘法法则是什么？完成下列填空：

=-?-)25.0()09.0( ；=?2332 。

问题2：已知一个三角形的面积为

2152

1

cm ，一条边长为5cm ，求这条边上的高？

【活动二】自主交流 探究新知 1、 二次根式的除法法则：（3＇自主完成，2＇组交流，1＇大组展示） 要求：自学课本8页容，完成下列问题：

（1）二次根式的除法法则_____________________ 思考：①你能用文字语言叙述这一法则吗？

②二次根式的乘法与除法法则中b 的取值围不同，你知道为什么吗？ （2）商的算术平方根的运算法则_________________________ 思考：该法则与二次根式的除法法则有什么关系？

跟踪演练：模仿例4、例5的解答过程完成练习 ：（3＇自主完成，2＇组间互查） 计算（1

（2

（3

（4

化简：（1

（2

a>0，b ≥0 ） （3

2、 最简二次根式（5＇自主完成，2＇组交流，3＇大组展示）

要求：自学课本9页容，完成下列问题： （1）、最简二次根式必须满足：①_____________ ②__________________________ （2）、判断下列二次根式，哪些是最简二次根式？为什么？

①8；②a 1；③5.2；④22y x +；⑤22b a -；⑥342；⑦2

3

跟踪演练：模仿例6的解答过程完成（3＇自主完成，2＇组间互查）

计算 ①

②

③

④

总结：化最简二次根式的方法：

【活动三】自主应用，拓展提升（3＇自主完成，2＇组交流，2＇大组展示） 1．等式2

121++=++a a a a 成立的条件是( )

A ．a ＞-1

B ．a ＞-2

C ．a ≥-1

D ．a ≥-2

2、=324___；=232a ___（a>0）

；=2

20x y _____(x<0) 活动四：快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组互查2分钟。）

1．下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A ．5

1 B ．5.0 C ．5 D ．50

2、计算与化简 （1）

a

a 62 （2）

a

28 （3）

27

24 （4）

8

18

16.3二次根式的加减（1）

【学习目标】

1、能进行二次根式的加减运算，掌握其运算步骤。

2、通过实际实际问题理解并掌握二次根式的加减法法则，通过与整式的加减法进

行比较及动手练习掌握二次根式的加减法的运算技巧。

【活动一】知识（1＇理解记忆，1＇组交流）

问题1:计算下列各式．

（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3

问题2：有一个三角形，它的两边长分别为cm

20和cm

80，如果该三角形的

周长为cm

5

9，你能求出第三边长吗？

【活动二】自主交流探究新知

1、二次根式的加减运算：（3＇自主完成，2＇组交流，1＇大组展示）

要求：自学课本12页容，完成下列问题：

归纳：二次根式的加减运算步骤：

跟踪演练：（5＇自主完成，2＇组交流，2＇大组展示）

1、下列运算错在哪里？如何改正？

（1）3

2

5=

-⑵3

2

2

3=

-⑶5

3

5

3=

+

（4）3

9

6

3=

=

+⑸6

5

3

3

3

2=

+

2、计算下列各式．

（1）=___________ （2）

（3 =_________ （4）=__________

3、把下列二次根式化简，根据化简结果说明哪些二次根式可以合并。

【活动三】自主应用巩固新知（2＇自主完成，2＇组间互查）

要求：自学课本13页例1后，模仿例题的解答过程完成

1、计算：

（1）75

12+（2（3）+

a

9a

25（4

2、跟踪演练：（1）（2））+

【活动四】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组互查2分钟。）

计算

（1）

2

⑵

（3）-⑷)

8

1

3

1

2(

)

75

.0

32

(+

-

+

1

1

50

(4)

18

(3)

48

(2)

12

)1(

16.3二次根式的加减（2）

【学习目标】

会进行二次根式的加减、乘混合运算。 【学习重点】

重点：二次根式的加减乘混合运算。 难点：运算法则的综合运用。 关键：掌握混合运算顺序和步骤。 【学习过程】

【活动一】知识（先独立完成1分钟，后同桌互查1分钟。） 1、当a ≥0，b ≥0时，________=?b a ；

________=b

a

。

2、________)(=++c b a m ；________))((=++d c b a 。

【活动二】自主交流 探究新知（25分钟） 自学P14--例3、例4，然后完成下列问题： 1、通过对例题的学习，你会发现在二次根式的运算中，整式乘法中的所有运算律、运算法则运算公式仍然适用，如乘法分配律、多项式乘法法则等。 2、 依照例题进行计算： （1）6)35278(?-； （2）27)64

1

48(÷+；

（3）)2332)(2332(-+； （4）2)534(+； （5）

2)336(-.

【活动三】自主应用 巩固新知（2分钟自主完成，2分钟组间互查）

计算：（1）182712?÷； （2）14)842

3

282

1

(

?-

；

（3）32)274483(÷-； （4）)26)(26(+-

【活动四】拓展提升（3分钟自主完成，2分钟组交流，2分钟大组展示）

化简求值：当23y ,23x -=+=时，求3

3x y y x +的值

【活动五】快乐达标（学生先独立完成5分钟，后组互查2分钟。） P14—练习1、2

《二次根式》小结与复习（2课时）

【学习目标】 1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 【活动一】知识

知识点一、二次根式的意义（1＇理解记忆，1＇同桌互考）

a ≥0）?的式子叫做二次根式，“

”称为二次根号．

二次根式应满足两个条件：1、形式上必须是a 的形式；2、被开方数必须是非负数。 练习一：（3分钟自主完成，2分钟组交流，2分钟大组展示） 1、

式子

11

)23

a x >，2

1a --中，是二次根式的是 。 2、当a 时，1-a 是二次根式。

3、若式子

2

1

-+x x 有意义，则x 的取值围是 。 4、使式子a 23-有意义且取得最小值的a 的取值是 ，a 23-的最小值是 。

知识点二、二次根式的性质（２＇理解记忆，１＇同桌互考）

⑴)0()(2≥=a a a

⑵||2a a =

⑶

ab ＝a

×b ( a ≥0 ，

b ≥0)

（a ≥0，b >0） 练习二：（3分钟自主完成，2分钟组交流，2分钟大组展示）

1、化简：2)2(-= 2)32(-= 2)16.0(=

2、若12)1(22+-++-=x x x y ，则xy = 。

3、在实数围分解因式：⑴x 2

-3=

⑵2x 3

-10x=

4、化简：

2

3

)

1(--x x

= 知识点三、最简二次根式（1＇理解记忆，1＇同桌互考）

满足下列条件的二次根式，称为最简二次根式：⑴被开方数不含分母；⑵被开方

数中不含能开得尽方的因数或因式。 练习三：（3分钟自主完成，2分钟组交流，2分钟大组展示） 1、在根式

8

,122,2,

30,125,52x

a x a 中，最简二次根式是 。

2、若n m b a 5为最简二次根式，则m = ，n = 。

3、化简：⑴34= ，⑵12243

+n n b a = ，⑶2

31+= ， ４、1

1

)

1(---a a = 。 知识点四、二次根式的乘除法（1＇理解记忆，1＇同桌互考）

1、二次根式的乘法：a ×b ＝ab (

a ≥0 ，

b ≥0) 2

a ≥0，

b >0）

练习四 ：（2分钟自主完成，2分钟组交流，2分钟组间互查）

计算 1、

63

2

?= 2、212

3432

?= 3、xy y x x 422÷=

3、3

2223212

459?÷= 知识点五、二次根式的加减

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并． 练习五：（5分钟自主完成，2分钟组交流，2分钟组间互查） 1、下列二次根式中，能与2合并的是【 】 A 、8

B 、12

C 、24

D 、40

2、若x +y =3+22，x -y =3-22，则22y x -的值为 。

3、 计算： ⑴1833

1

6

122+-

⑵2)252(+ （3）3)12276485(÷+-

【活动二】快乐达标（15分钟独立完成，后组互查2分钟。）

1、要使二次根式62-x 有意义，x 应满足的条件是 。

2、下列二次根式中属于最简二次根式的是【 】

A 、12+a

B 、

2

1 C 、8 D 、27

3、下列计算正确的是【 】

A 、562432=+

B 、248=

C 、3327=÷

D 、3)3(2-=-

4、估计202

1

32+?的运算结果应在【 】 A 、6到7之间 B 、7到8之间 C 、8到9之间 D 、9到10之间 5、已知二次根式42-a 与2可以合并，则a 的值可以是【 】 A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 6、方程x x 2)1(3=+的解是 。

7、把3

1

a a -

根号外的因式移入根号，得 。 8、已知2

9

= ，a b a 2283÷= 。 10、23-的绝对值是 ，倒数是 。 11、观察下列各式：312311=+

，413412=+，5

14513=+，…，请你

将发现的规律用含自然数n 的等式表示出来是 。 12、计算：

⑴20102009)154()154(-+ ⑵2)2332()56)(56(-++-

13、观察下列等式：

121

+=

)

12)(12(1

2-+-=12-；

2

31+=

)

23)(23(2

3-+-=23-

341

+=

)34)(34(3

4-+-=34-

解答下列问题：

⑴利用你观察到的规律化简：

11

321

+

⑵计算：（121++231++341++…+2008

20091

+）（)12009+）