(2009-2013高考题库)第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件 理 新人教A版

2009~2013年高考真题备选题库第1章 集合与常用逻辑用语第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件考点一 命题及其关系1．（2013陕西，5分）设z 是复数， 则下列命题中的假命题是( )A ．若z 2≥0，则z 是实数B ．若z 2＜0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z 2≥0D ．若z 是纯虚数，则z 2＜0解析：本题主要考查复数的分类，复数代数形式的运算及命题真假的判断．实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由z 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2－b 2≥0，则b ＝0，故选项A 为真，同理选项B 为真；而选项C 为假，选项D 为真． 答案：C2．（2013天津，5分）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12， 则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等， 则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切． 其中真命题的序号为( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③解析：本题考查命题真假的判断，意在考查考生的逻辑推理能力．若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18，所以①是真命题；因为标准差除了与平均数有关，还与各数据有关，所以②是假命题；因为圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离等于12，等于圆的半径，所以③是真命题．故真命题的序号是①③.答案：C3．（2013四川，5分）设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点．在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段 AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点．现有下列命题：①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：本题主要考查求函数最值，两点间的距离公式，建立坐标系，以及不等式的放缩等基础知识和基本技能，意在考查综合运用知识分析和解决问题的能力，推理论证和运算求解能力．对于①，不妨假设A ，C ，B 三点在平面直角坐标系xOy 中的x 轴上由左至右排列，A (0,0)，C (c,0)，B (b,0)，0＜c ＜b ，对于平面内任意一点M (x ，y )，|MA |＋|MB |＋|MC |＝x 2＋y 2＋(x －b )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2≥|x |＋|x －b |＋|x －c |.因为0＜c ＜b ，所以当x ＝c 时，(|MA |＋|MB |＋|MC |)min ＝b ，此时M (c,0)，也就是M 点与C 点重合，故①正确；对于②，设△ABC 中∠C 为直角，以C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系xOy ，并设点A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0，M (x ，y )为平面内任意一点，AB 中点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，则|MA |＋|MB |＋|MC |＝ (x －a )2＋y 2＋x 2＋(y －b )2＋ x 2＋y 2，当x ＝a 2，y ＝b 2时，|MA |＋|MB |＋|MC |＝32 a 2＋b 2，而当x ＝0，y ＝0时，|MA |＋|MB |＋|MC |＝a ＋b ，因为94(a 2＋b 2)－(a ＋b )2＝5a 2＋5b 2－8ab 4≥12ab ＞0，所以斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点，故②错误；对于③，不妨假设A ，B ，C ，D 四点在平面直角坐标系xOy 中的x 轴上由左至右排列，A (0,0)，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)，0＜b ＜c ＜d ，对于平面内任意一点M (x ，y )，|MA |＋|MB |＋|MC |＋|MD |＝x 2＋y 2＋(x －b )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋(x －d )2＋y 2≥|x |＋|x －b |＋|x －c |＋|x －d |，因为0＜b ＜c ＜d ，所以当x ∈[b ，c ]时，|MA |＋|MB |＋|MC |＋|MD |取得最小值，此时M (x,0)，x ∈[b ，c ]，不唯一，故③错误；对于④，由①可知A ，C 的中位点为线段AC 之间的任意一点，B ，D 的中位点为线段BD 之间的任意一点，所以A ，B ，C ，D 的中位点为线段AC 与线段BD 的交点，也就是梯形对角线的交点，故④正确．答案为①④.答案：①④4．（2012湖南，5分）命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”． 答案：C5．（2012江西，5分）下列命题中，假命题为( )A ．存在四边相等的四边形不是正方形B ．z 1，z 2∈C ，z 1＋z 2为实数的充分必要条件是z 1，z 2互为共轭复数C ．若x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 至少有一个大于1D ．对于任意n ∈N ＋，C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n 都是偶数解析：空间四边形可能四边相等，但不是正方形，故A 为真命题；令z 1＝1＋b i ，z 2＝3－b i(b ∈R )，显然z 1＋z 2＝4∈R ，但z 1，z 2不互为共轭复数，B 为假命题；假设x ，y 都不大于1，则x ＋y >2不成立，故与题设条件“x ＋y >2”矛盾，假设不成立，故C 为真命题；C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n 为偶数，故D 为真命题．排除A ，C ，D ，选B.答案：B6．（2011新课标全国，5分）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈[0，2π3) p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈(2π3，π] p 3：|a －b |>1⇔θ∈[0，π3) p 4：|a －b |>1⇔θ∈(π3，π] 其中的真命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 1，p 3C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：由|a ＋b |>1可得：a 2＋2a ·b ＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b >－12.故θ∈[0，2π3)．当θ∈[0，2π3)时，a ·b >－12，|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2>1，即|a ＋b |>1；由|a －b |>1可得：a 2－2a ·b ＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b <12.故θ∈(π3，π]，反之也成立． 答案：A7．（2011陕西，5分）设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a|＝|b|”的逆命题是( )A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b|B ．若a ＝－b ，则|a|≠|b|C ．若|a|≠|b|，则a ≠－bD ．若|a|＝|b |，则a ＝－b解析：只需将原命题的结论变为新命题的条件，同时将原命题的条件变成新命题的结论即可，即“若|a|＝|b|，则a ＝－b .”答案：D8．（2010天津，5分）命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数解析：否命题是既否定题设又否定结论．因此否命题应为“若函数f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数”．答案：B考点二 充分条件与必要条件1．（2013山东，5分）给定两个命题p ，q .若綈 p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈 q的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题考查命题、逻辑联结词及充分、必要条件等基础知识，考查等价转化的数学思想，考查分析问题和解决问题的能力．q ⇒綈p 等价于p ⇒綈q ，綈p ⇒/ q 等价于綈q ⇒/ p ，故p 是綈q 的充分而不必要条件．答案： A2．（2013安徽，5分）“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题考查二次函数图象性质以及图象变换，意在考查转化与化归思想．根据二次函数的图象可知f (x )在(0，＋∞)内单调递增等价于f (x )＝0在区间(0，＋∞)内无实根，本题不难求解．f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增等价于f (x )＝0在区间(0，＋∞)内无实根，即a ＝0或1a<0，也就是a ≤0，故“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增”的充要条件，故选C.答案： C3．（2013福建，5分）已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题考查集合与充分必要条件等基础知识，意在考查考生转化和化归能力、逻辑推理能力和运算求解能力．因为A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以A ⊆B ⇒/ a ＝3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．答案： A4．（2013浙江，5分）已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题考查对必要条件、充分条件与充要条件的理解，考查三角函数的诱导公式、三角函数的奇偶性等，意在考查考生的推理能力以及三角函数性质的掌握等．若f (x )是奇函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )，且当φ＝π2时，f (x )为奇函数． 答案： B5．（2013北京，5分）“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题考查三角函数的诱导公式、三角函数的性质、充要条件的判断等基础知识和基本方法，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．答案： A6．（2012陕西，5分）设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b i为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：复数a ＋b i＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0；而ab ＝0表示a ＝0或者b ＝0，故“ab ＝0”是“复数a ＋b i为纯虚数”的必要不充分条件． 答案：B7．（2011福建，5分）若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：若“a ＝2”，则“(a －1)(a －2)＝0”，即a ＝2⇒(a －1)·(a －2)＝0.若“(a －1)(a －2)＝0”，则“a ＝2或a ＝1”；故(a －1)(a －2)＝0不一定能推出a ＝2.答案：A8．（2011湖南，5分）设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：显然a ＝1时一定有N ⊆M ，反之则不一定成立，如a ＝－1.故是充分不必要条件． 答案：A9．（2010辽宁，5分）已知a >0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是( )A ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0 B ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0 C ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0 D ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0 解析：设函数f (x )＝12ax 2－bx ， ∴f ′(x )＝ax －b ，由已知可得f ′(x 0)＝ax 0－b ＝0，又因为a >0，所以可知x 0是函数f (x )的极小值点，也是最小值点．由最小值定义可知选项C 正确．答案：C10．（2010陕西，5分）对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为a n ＋1>|a n |⇒a n ＋1>a n ⇒{a n }为递增数列，但{a n }为递增数列⇒a n ＋1>a n 推不出a n ＋1>|a n |，故“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．答案：B11．(2009·安徽，5分)下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．p ：a ＋c >b ＋d ， q ：a >b 且c >dB ．p ：a >1，b >1，q ：f (x )＝a x －b (a >0，且a ≠1)的图象不过第二象限C ．p ：x ＝1, q ：x 2＝xD ．p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数解析： ⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d (不等式的性质)，反之不成立，例如：8＋2>6＋3，a ＝8，b ＝2，c ＝6，d ＝3.a >b 但c <d ，∴p 是q 的必要不充分条件．答案：A12．(2009·浙江，5分)已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：a>0，b>0时显然有a＋b>0且ab>0，充分性成立；反之，若a＋b>0且ab>0，则a，b同号且同正，即a>0，b>0.必要性成立．答案：C13．（2011陕西，5分）设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n ＝________.解析：由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1、3；当n＝4时，方程有正整数解2.答案：3或4。