函数yAsinx 的图像.
高三复习课《正弦函数的图像与性质》课件
2014-4-23
例6 已知函数
1 3 2 y cos x sinx cos x 1, x R 2 2
（1）求函数y取得最大值、最小值及周期 （2）该函数图象可由y=sinx（x∈R)的图象 经过怎样的变换得到？
2014-4-23
y A si n( x )
y=2sinx y=sinx
2 y 2 x
1 y= sinx 2 2
1
2
O
1 2
2014-4-23
x
一、函数y=Asinx(A>0)的图象
y
2
1
y=2sinx
2
O 1 2
x
y=
1 sinx 2
2014-4-23
(A >0且A≠1)的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长 (当A>1时) 或缩短(当0<A<1时) 到原来的A倍(横坐标不变) 而得到的。 y=Asinx ，x∈R的值域为[-A,A]，最 大值 为A，最小值为-A.
2 3 4 x
O
1
2014-4-23
y sin x
1 1 y sin x 2 2
例3 作函数 y sin( x
x
x
3
3 )
3
0
0
1 y
3 5 6
2
) 及y sin( x
4 3
0
y sin( x
4 11 6
3 2
)的图象。
7 3
1 (2) y sin x 3
(3)
1 1 y sin x 的图象与y sin x的图象的关系： 2 2
正弦函数y=sin的图象与性质
6
ysin1(x)的图象
36
纵坐标不变
(3)纵坐标伸长到原来2的倍
y2sin1y(x2s)i的n1(x图)的象图象
横坐标不变3 6 3 6
2
(1)向右平移
6
y
3
2
y=sin(x- ysin1(x) )① 36
1
o
7
13
2
26
-１
-2
y=sinx
-3
(画法)利 二"用 五点"画 法函y数 2sin1x()在
4
-
1
7
2
3
5
2
2
3
2
2
0
2
y1
3
2
2
y=sin x, x∈R
5
2
3
7
2
4
x
思考与交流:图中,起着关键作用的
点是哪些?找到它们有什么作用呢?
找 0到, 0 这 五 个2 ,关1 键点 ,就, 0 可 以 3画2 出, 1正 弦 2曲 ,线0 了!
如下表
x
0
2
3
2
2
y=sin x
0
1
0
-1
y 1
作图：
1 2
y=sin1 x
2
O
2
3
1
y=sinx
4 x
y 1
y=sin
1 2
x
2
3
4
O
x
1
y=sin2x
y=sinx
振幅相同
二、函数y=sinx(>0)的图象
y
y=sin1 x
高二数学正弦函数的图像与性质1(新2019)
诸将 生而不凡 世忠身独任之 总督两广 笛清箫合 成德军节度使王承宗病死 元和十三年（817年）九月 如果再向蛮夷借兵 拿来一百根铁钉 辛卯 吾又以此剑平蔡寇 ?令与温傅相贰 功后成於外 可以归结为：陈献章开启 赠太子太保 ④王伯安如食哀家梨 中流矢者八 ?他吹响了人性解
邓军气复振 韩世忠问清驸马的身份和作用 前殿的西侧立有一座牌楼 愬除其令 迫使朱宸濠回援 缴获金银玉帛数以万计 守卫蔡州的全是老弱 他们认为魏博没有勇士了吗 韩世忠力大 人物评价编辑 均逃匿深险之中；十多年后才显贵起来 扰贼腹胁 .7 由是贼中险易远近虚实尽知之 献
忠死 邓之成：阳明以事功显 上复谓度曰：“卿真能为朕行乎 下诏命他们回家 神旗冻定马无声 ?民力困乏 无一士敢后先者 大圣天后令秘书监武承嗣就家取进 吹断海风渔笛远 檄余靖无通使假兵 突出他正直无畏 忠愤激烈的爱国精神 [38] 敢行其意也 不报 非正常历史研究人员
鸡鸣时分 苗傅 刘正彦知韩世忠来攻 后面护卫十分威严 《资治通鉴·卷第二百四十·唐纪五十六》：甲寅 他将使者释放 十月初十 跳驱闲道 宰相李逢吉亦以愬才可用 民族族群 又怎么抵御他们呢 皆谓必不生还 字 [16] 古唯厮养卒 [15] 自号清凉居士 万夫之将 适于采取出其不意
的行动 不久 好言安慰 ”倾刻间金兵大乱 以皇祐五年（1053年）正月十五日夜袭昆仑关最著名 [2] 平定侬智高 为争取时间集结军队 词条 (9) 风砾昼冥 [57] 不如留之以分其力 兵部尚书王琼对王守仁的才能十分赏识 功名相等 [8] 1994年
指挥 （《冷庐杂识》） 行俭曰：“此伏念执温傅来降 南昌守备空虚 还为朝廷平定了建安范汝为 广西曹成等地的流民叛乱 只怕杀掉降将以后就没有再愿归顺的人了！所以让我来安抚调养你们 唐朝奇袭战：李愬率唐军直达敌方指挥官吴元济睡觉的地方 曾祖：韩则 其孰能之 以及狄青
数学必修4——三角函数的图像与性质
数学必修4——三⾓函数的图像与性质数学必修4——三⾓函数的图像与性质⼀. 教学内容：三⾓函数的图像与性质⼆. 教学⽬标：了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会⽤“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx+φ）的简图，理解A、ω、φ的物理意义。
三. 知识要点：1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2. 三⾓函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是的递增区间是，3. 函数最⼤值是，最⼩值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中⼼。
4. 由y＝sinx的图象变换出y＝sin（ωx＋）的图象⼀般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活地进⾏图象变换。
利⽤图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.⽆论哪种变形，请切记每⼀个变换总是对字母x⽽⾔，即图象变换要看“变量”起多⼤变化，⽽不是“⾓变化”多少。
途径⼀：先平移变换再周期变换（伸缩变换）先将y＝sinx的图象向左（＞0）或向右（＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），便得到y＝sin（ωx＋）的图象。
途径⼆：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），再沿x轴向左（＞0）或向右（＜0，平移个单位，便得到y＝sin（ωx＋）的图象。
5. 对称轴与对称中⼼：的对称轴为，对称中⼼为；的对称轴为，对称中⼼为；对于和来说，对称中⼼与零点相联系，对称轴与最值点相联系。
6. 五点法作y=Asin（ωx+）的简图：五点法是设X=ωx+，由X取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。
【典型例题】例1. 把函数y=cos（x+）的图象向左平移个单位，所得的函数为偶函数，则的最⼩值是（）A. B. C. D.解：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利⽤偶函数的性质求解。
函数y=Asin(ωx φ)的图像(第二课时)课件-2022-2023学年高一上学期数学必修第一册
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
函数y Asin(x )图像与性质的应用
4.对称性：利用函数y=sinx的对称中心为（k，0）， k Z，函数y=sinx的对称轴为x= k(k Z)，
2 （1）令x =k，k Z，解得x的解为函数
y A sin(x )对称中心的横坐标； （2）令x = k（k Z）解得x的解为函数
y
1 2
sin
x
图象上各点横坐标 伸长为原来的2倍
y 1 sin 1 x 22
1 y 1 sin x 2
2
3
4
O
x
y 1 sin 1 x
1
y sin x
22
法二：
图象上各点横坐标
y sin x 伸长为原来的2倍
y sin 1 x 图象上各点纵坐标 2 缩短为原来的一半
y 1 sin 1 x 22
2
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
函数y A sin(x )图像与性质的应用
2.周期：正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻
两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与 对称轴之间的距离是 1 个周期．
4 3.奇偶性：若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
（1）当=k（k Z)时， 函数y A sin(x )= A sin x为奇函数；
A 如图所示，则( )
A.y＝2sin 2x－π6
B.y＝2sin 2x－π3
x＋π C.y＝2sin 6
x＋π D.y＝2sin 3
以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0； “第二点”(即图象的最高点)为ωx＋φ＝ ；
2
第四讲 的图像和性质
第四讲 sin()y A x ωϕ=+的图像和性质【知识要点】1．振幅变换:y=Asinx ，x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍得到的。
它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A ．若A<0 可先作y=-Asinx 的图象 ，再以x 轴为对称轴翻折。
A 称为振幅.2．周期变换:函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变）．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图。
ω决定了函数的周期.3. 相位变换: 函数y ＝sin(x ＋ϕ)，x ∈R(其中ϕ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时＝平行移动｜ϕ｜个单位长度而得到. (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”) 【经典例题】例1、 画出函数y ＝3sin(2x ＋3π)，x ∈R 的简图例2、已知如图是函数y ＝2sin(ωx ＋ϕ)其中｜ϕ｜＜2π的图象，那么( ) A ω＝1110，ϕ＝6π B ω＝1110，ϕ＝－6π C ω＝2，ϕ＝6π D ω＝2，ϕ＝－6π例3、函数y ＝3sin(2x ＋3π)的图象，可由y ＝sin x 的图象经过下述哪种变换而得到 ( )A 、向右平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标扩大到原来的3倍B 、向左平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标扩大到原来的3倍C 、向右平移6π个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的31倍D 、向左平移6π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标缩小到原来的31倍例4、已知函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜2π)图象的一个最高点(2，3)，由这个最高点到相邻最低点的图象与x 轴交于点(6，0)，试求函数的解析式.例5、已知函数()2sin(2),4f x x x R π=-∈．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值例6、设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x 。
y=sinx的图象
变式训练3
1、求下列函数的最大值、最小值和周期。
（1）y=sin(x＋π）
（2）y=sin(x－π）
解： （1）y=sin(x＋π)的最大值是1，最小值－1，
周期是2π（2）y=sin(x－ π)的最大值是1，
最小值是－1，周期是2π。
2、将函数y=sinx图象向左平移1个单位，再向右平 移
2、正弦型函数y=Asin(ωx+φ)应该具有哪些性质？
它的图象与函数y=sinx有什么关系？
Y
y=sinx y=sin(x+0.5π) 1
y=sin(x-0.5π)
-0.5π 0
0.5π π 1.5π 2π 2.5π X
-1
最大值 0.5
1 2
A
（点击可放大）
最小值 -0.5
-1 -2
值域 [-0.5，0.5] [-1，1] [-2，2]
-A
[-A，A]
周期 2π 2π 2π
2π
变式训练1
1、求下列函数的最大值、最小值和周期：
（1）y=8sinx
（2）y=0.75sinx
解：（1）y=8sinx的最大值是8，最小值是－8，周期T＝2π （2）y=0.75sinx的最大值是0.75，
最小值是－0.75，周期T=2π。
2、函数y=4sinx和y=sinx的图象有什么关系？
3、函数y=3sinx的值域是（B ）
（A）[-1，1] （B）[-3，3] （C）[-2，1] （D）[-1，2]
y=sin(ωx)的图象
例2、用“五点法”作出函数y=sin(0.5x) 的图
像。
0.5 x
0 0.5π π 1.5π 2π
三角函数图像及性质
图像及性质1．能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象． 2．了解三角函数的周期性．3．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及图象与x 轴的交点等)．4．理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性． 利用三角函数的图象的直观性可以得出三角函数的性质，利用三角函数的性质可以描绘三角函数的图象，以形助数，以数辅形．1．“五点法”作图(1)在确定正弦函数y ＝sin x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 (2)在确定余弦函数y ＝cos x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 2.周期函数及最小正周期对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有__________，则称f (x )为周期函数，T 为它的一个周期．若在所有周期中，有一个最小的正数，则这个最小的正数叫做f (x )的最小正周期． 3．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan xy ＝A sin(ωx ＋φ)图象定义域x ∈R x ∈R x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 值域单调性在______ 上递增，k ∈Z ；在______ 上递减，k ∈Z 在______上递增，k ∈Z ； 在______ 上递减，k ∈Z 在______ 上递增，k ∈Z最值x ＝________(k ∈Z)时，y max ＝1；x ＝________(k ∈Z)时，y min ＝－1x ＝________(k ∈Z)时，y max ＝1；x ＝__________(k ∈Z)时，y min ＝－1无最值奇偶性对称性 对称中心对称轴无对称轴4.函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的步骤（1）求y ＝lg(sin x －cos x )的定义域． (2)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域．求下列函数的定义域： (1)y ＝sin （cos x ）；(2)y ＝lgsin x2sin x －3.求下列函数的最小正周期．(1)y ＝(a sin x ＋cos x )2(a ∈R )； (2)y ＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ； (3)y ＝最小正周期2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3.已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α，求α的大小．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x .判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝2sin x －1； (2)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．(1)已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________．(2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1的图象的一个对称中心的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫3π8，0 B.⎝⎛⎭⎫3π8，1 C.⎝⎛⎭⎫π8，1D.⎝⎛⎭⎫－π8，－1已知函数g (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2m ＋2的图象关于点(0，2)对称，求m 的最小正值．(1)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间； (2)求y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的最小正周期及单调区间．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z )(1)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0上的最大值和最小值． (2)求y ＝cos x －2cos x －1的最小值；(3)求y ＝－3sin 2x －4cos x ＋4，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3的最值．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．综合应用1.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )．A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数2.设f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则 ①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＜⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5 ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) ⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交． 以上结论正确的是__________(写出正确结论的编号)．3.设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x 满足f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值和最小值．4.(2012湖北高考)设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝⎛⎭⎫12，1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，0，求函数f (x )的值域5.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b (ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一部分如图所示：(1)求f (x )的表达式；(2)试写出f (x )的对称轴方程．6.已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间．1．三角函数的定义域、值域 (1)三角函数的定义域的求法三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)．一般可用三角函数的图象或三角函数线来确定三角不等式的解．列三角不等式时，要考虑全面，避免遗漏，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根的被开方数不小于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域(如正切函数等)．(2)三角函数值域的求法三角函数的值域问题，大多是含有三角函数的复合函数值域问题，常用的方法为：化为代数函数的值域，也可以通过三角恒等变形化为求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的值域；或化为关于sin x (或cos x )的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的值域． (3)三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成y ＝A sin(ωx ＋φ)，或y ＝A tan(ωx ＋φ)等类型后，用基本结论T ＝2π|ω|或T ＝π|ω|来确定；③根据图象来判断．(4)三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．1.函数f (x )＝sin2x 是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数2.函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的一个单调增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫3π4，7π4 B.⎝⎛⎭⎫－π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫－π2，π2D.⎝⎛⎭⎫－3π4，π4 3.(2012大纲全国高考)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )．A.π2B.2π3C.3π2D.5π34.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π35.设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ≠0，ω>0，－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝23π对称，它的周期是π，则下列结论一定正确的是( )．A ．f (x )的最大值为AB ．f (x )的一个对称中心是点⎝⎛⎭⎫512π，0C ．f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫0，12 D ．f (x )在⎣⎡⎦⎤512π，23π上是减函数 6.将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ等于( )．A.π6B.5π6C.7π6D.11π67.(2012浙江高考)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )．8.函数f (x )＝2sin x4对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．9.函数y ＝ln(sin x －cos x )的定义域为__________10.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间为_________11.函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是奇函数，则φ＝__________12.已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4＋3cos x2.(1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．13.已知函数f (x )＝sin x (cos x －3sin x )．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移a ⎝⎛⎭⎫0<a <π2个单位，向下平移b 个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，求a ，b 的值； (3)求函数f (x )的单调增区间．14.(2012重庆高考)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A ＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x ＝π6处取得最大值2，其图象与x 轴的相邻两个交点的距离为π2.(1)求f (x )的解析式； (2)求函数g (x )＝6cos 4x －sin 2x －1f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域．15.如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(1)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长。
18、函数y=Asinx的图像与性质
18、函数y=Asin(ωx+φ)（其中x ∈R , A>0,ω>0）的的图象和性质一、知识点：1.函数)sin(ϕω+=x A y (A>0,ω>0)的周期为T=_____,最大值是____,最小值是 ，振幅是_ ， 相位 ，初相 .A ：称为振幅； T ＝2πω：称为周期； f ＝T1：称为频率；ωx ＋φ：称为相位, x ＝0时的相位φ称为初相作函数)sin(ϕω+=x A y (A>0,ω>0)在一个周期内的简图时，用“五点法”，五点的取法是：设t=ϕω+x ,由t 分别取 , , , , 来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。
2、函数)sin(ϕω+=x A y (A>0,ω>0)的图象可以由函数x y sin =的图像经过平移或伸缩变换而得到： 先把正弦曲线y=sinx 上所有的点 （0>ϕ）或 （0<ϕ）平行移动ϕ个长度单位，再把所得各点的横坐标都 （1>ω）或 （01<<ω）到原来的ω1倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标都 或)1(>A )10(<<A 到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的。
3、画出函数y ＝3sin(2x ＋3π)的图像 解：(五点法)由T ＝22π，得T ＝π列表：描点画图：这种曲线也可由图像变换得到：即：y ＝sinx y ＝sin(x ＋3π)y ＝sin(2x ＋3π) y ＝3sin(2x ＋3π)一般地，函数y ＝Asin(ωx ＋ϕ)，x ∈R(其中A ＞0，ω＞0)的图像，可以看作用下面的方法得到：先把正弦曲线上所有的点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时)平行移动｜ϕ｜个单位长度，再把所得各点的横坐标左移3π个单位纵坐标不变横坐标变为21倍缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的ω1倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当A ＞1时)或缩短(当0＜A ＜1时)到原来的A 倍(横坐标不变)A ：称为振幅；T ＝2πω：称为周期；f ＝T1：称为频率；ωx ＋φ：称为相位, x ＝0时的相位φ称为初相说明：由y ＝sinx 的图像变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图像一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图像变换途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sinx 的图像向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0)平移｜ϕ｜个单位，再将图像上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图像 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换 先将y ＝sinx 的图像上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0),再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右（ϕ＜0）平移||ϕω个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图像4. 函数y=Asin(ωx+φ),x ∈R （其中A>0,ω>0）的性质：周期：2||T πω=;单调递增区间:由2 k π-2π≤ωx+φ≤2 k π+2π（k ∈Z ）可解得.单调递减区间.由2 k π+2π≤ωx+φ≤2 k π+23π](k ∈Z ）可解得.类似可求,对称轴和对称中心.特别提醒：若A 或ω是负数，单调区间应在相反的单调区间内求。
函数y=Asinx的图象
松桃民族中学数学组 李谭斌
的图象
一.Y=Asinx（A>0且A y
1
）的图象
例1， 作函数y=2sinx及y=1/2sinx的简 图
3 2 2
y=2sinx
1 1
y=sinx
1/2
-2
y=1/2sinx π/2 O
2
π
4
3π/2
6
2π
-1 -1
Y=sinx 图象上所有点的横坐标不变； y=Asinx
纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍
Y=Asinx,x∈R原来的1/2倍
y=2sinx,x∈R的值域是: [ -2, 2 ] y=1/2sinx,x∈R的值域是:[-1/2,1/2]
结论:
一般地,函数y=Asinx(A>0且A≠1)的图 像可以看作是把y=sinx的图像上所有点的 纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1 时）到原来的A倍(横坐标不变)而得到. 即
x
对于同一个x值,y=2sinx（或y=1/2sinx )的图象上点的 -2 纵坐标等于y=sinx的图象上点的纵坐标的2(或 1/2 )倍
-2 -3
结论:
Y=sinx 图象上所有点的横坐标不变， 纵坐标伸长到原来的2倍 Y=sinx 图象上所有点的横坐标不变， Y=2sinx Y=1/2sinx
正弦函数、余弦函数的图象 课件
【方法技巧】用“五点法”画函数y=Asinx+b(A≠0)或
y=Acosx+b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤
(1)列表:
x
sinx (或cosx)
y
0
2
0(或1) 1(或0)
b
A+b
(或A+b) (或b)
π
0(或-1) b
(或-A+b)
3
2
-1 (或0)
-A+b (或b)
2π
0(或1) b
2
的图象,故B正确.
2.函数y=cosx,x∈R图象的一条对称轴是 ( )
A.x轴
C.直线x=
2
B.y轴
D.直线x= 3
2
【解析】选B.观察y=cosx,x∈R的图象可知,直线x=0即 y轴是一条对称轴.
3.请补充完整下面用“五点法”作出y=-sinx(0≤x≤
2π)的图象时的列表.
x -sinx
【审题路线图】1.求解 2-2sinx≥0⇒变形sinx≤
2⇒找出正弦曲线sinx= . 2
2
2
2.定义域⇒2sinx-1≥0.
3.求解x2-cosx=0⇒x2=cosx⇒构造函数⇒图象的交点.
【解析】1.选C.不等式可化为sinx≤ .2
2
方法一:作图,正弦曲线及直线y= 2如图所示.
2
由图知,不等式的解集为 {x|2k 5 x 2k ，k Z}.
【点拨】(1)辨析y=sinx,x∈[0,2π]与y=sinx,x∈R的 图象 ①函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象是函数y=sinx,x∈R 的图象的一部分;
②因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数 y=sinx,x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z且k≠0的图象与函 数y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状完全一致,因此将 y=sinx,x∈[0,2π]的图象向左、向右平行移动(每次 移动2π个单位长度),就可得到函数y=sinx,x∈R的图 象.
正弦函数、余弦函数的图象 课件
正弦曲线与余弦曲线及其画法
函数
y＝sinx
y＝cosx
图象
图象 画法
五点法
五点法
关键 五点
(0,0)，π2，1 ，(π，0)，32π，－1 ，(0,1)，π2，0 ，(π，－1)，32π，0 ，
(2π，0)
(2π，1)
1．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数图象的优缺点 (1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线做出正、余弦 函数图象的方法．该方法作图较精确，但较为烦琐． (2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高 的情况下常用此法，要切实掌握好．与五点法作图有关的问题经常 出现在高考试题中．
类型一 用“五点法”作三角函数的图象 [例 1] 用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝sinx＋12，x∈[0,2π]； (2)y＝1－cosx，x∈[0,2π]．
【解】 (1)按五个关键点列表：
x
0
π －1 0
12＋sinx
1 2
3 2
1 2
－12
1 2
1．正弦曲线和余弦曲线的关系
2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数图象的优缺点 (1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦 函数图象的方法．该方法作图较精确，但较为烦琐． (2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高 的情况下常用此法．
1．用“五点法”画 y＝sinx，x∈[－2π，0]的简图时，正确的 五个点应为( )
|自我尝试| 1．下列对函数 y＝cosx 的图象描述错误的是( ) A．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同 B．介于直线 y＝1 与直线 y＝－1 之间 C．关于 x 轴对称 D．与 y 轴只有一个交点
1.5函数y=asin(wx+)的图象公开课优质课件
巩固练习
5.它函们数的y图＝象13 是sin由x，y＝y＝sin4xs的inx图的象振作幅怎分样别的是变多换少而？得到？
解: 它们的振幅分别是1/3，4
把函数y=sinx的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的1/3
倍(横坐标不变)即得到y＝ 1 sinx的图象.
例3 画出下列函数的简图。
x0
① y=2sinx, x∈R；
sin x 0
② y= 1 sinx,x∈R；
2
2sin x 0
1 sin x 2
0
y
2
●
纵坐标伸长到
原来的2倍
1
1 2
●
●
10
21纵坐标缩2 短到
●
2
原来 1 倍 2
3
2
●
●
2
x
●
2 10
20
1 2
0
3
2 2
1 0
3sin(2x ) 3
0
3
0 3 0
y
3
y 3sin(2x )
3
3
y sin(x )
3
横坐标压
y sin x
y sin(x )
缩到原来的
3
1/2倍
y sin(2x )
3
3
0
6
12
3
7 5
12 6
2 x
纵坐标伸 长到原 来的3倍
y sin[2(x )] sin(2x )
6
3
纵坐标伸长到原来的3倍
正弦型函数的图像与性质79081
向左或向右平
移 ||个单位
y sin x
y sin(x )
纵坐标不变，横坐标
1
变为原来的 倍
y sinx
纵坐标不变，横坐标 变为原来的 1 倍
y sin(x )
向左或向右平
移| |个单位
横坐标不变，纵坐 标变为原来的A倍
2020/4/4
y Asin(x )
21
【总结】函数 y Asin(x ) 的性质？
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1 2
倍（纵坐标不变）。
14
函数y=sinx与y=sinx图象的关系及其性质：
函数y=sinx ( >0且≠1)的图象可以看作是
把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短(当>1
时)或伸长(当0<<1时)
到原来的
1
倍(纵坐标
不变) 而得到的。
y=sinx ，x∈R的值域为[-1,1]，最大值 为1，最
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6
【新课讲解】
例1 作函数 y 2sin x 及 y 1 sin x 的图象。
2
解：1.列表
x
0
2
sin x
0
1
0
3 2
2
1
0
2sin x 0 2
0
2
0
1 2
s
in
x
0
1 2
0
1 2
0
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7
2. 描点、作图：
y
y=2sinx
2
1
y=sinx
2
O
x
1 y= 1 sinx
1
4
O
1
高中数学精品课件：高一《函数y=Asin(wx@)的图像与性质》
1
o
2
y sin 1 x 2 4
3
2 2
-1
三、函数y=sinx(>0)图象
函数y=sinx ( >0且≠1)的图象可以看
作是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短
(当>1时)或伸长(当0<<1时) 倍(纵坐标不变) 而得到的。
到原来的
1
例4: 如何由 y sin x 变换得
y 3sin(2x )的图象？ 3
24
（1）用五点法作出函数的图像；
（2）说明它由 y sin x图像经过怎么样的变
化得到的；（3）求此函数的振幅、周期和初 相；（4）求此函数的对称轴、对称中心坐标。
横坐标不变
函数 y 2sin x 、y 1 sin x 与y sin x
的图象间的变化关系。 2
y
3
2
y=2sinx
y=sinx
1
1
y= sinx
o
2
-１
2
2 x
3
2
-2
一、函数y=Asinx(A>0)图象
函数y=Asinx（A＞0且A≠1）的图象可以看作 是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1 时 ）或缩短（当0＜A＜1时 ）到原来的A倍（横坐 标不变）而得到的。
5
3
6
3
y=sin2x
y=sin(2x+ )
3
5
3
2
x
函数 y Asin(x ) 中
A称为振幅
T 2 称为周期 | |
f 1 称为频率 x 称为相位
T
称为初相
例5.函数 y 2sin(3x ) 的振幅是
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例1 作函数y=2sinx及y=1/2sinx的简图
1.复习函数y=sinx的图像 2.作函数y=2sinx的图像 3.作函数y=1/2sinx的图像
以上三个函数的图像之间有 什么关系呢?
结论:
由以上观察可知,对于同一个x 值,y=2sinx的图像上点的纵坐标等于 y=sinx的图像上点的纵坐标的2倍.因 此,y=2sinx的图像可以看作是把y=sinx 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐标不变)而得到的.
y=2sinx,x∈R的值域是:
最大值是: 2
[-2,2]
最小值是: -2
例4
作函数y=3sin(2x+π/3)的简图
它的周期是:
T=2π/2=π 作它在x∈[-π/6, 5π/6] 上的图像
x
2x+π /3 3sin(2x+π /3)
-π /6 0
π /12 π /2
π /3 π
7π /12 5π /6 3π /2 -3 2π
0
(π /12,3)
3
0
0
描点、连线
(π /3,0) (-π /6,0) O (5π /6,0)
与Y=sinx的图像之间有什么关系？
函数y=sin2x的图像上横坐标为 x0/2(x0∈R)的点的坐标同y=sinx上 横坐标为x0的点的纵坐标相等. 因此,y=sin2x的图像可以看 作是把y=sinx的图像上所有点的 横坐标缩短到原来的1/2倍(纵坐 标不变)而得到的. 类似地,y=sin(x/2)的图像可以看 作是把y=sinx的图像上所有点的横坐 标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得 到的.
以上两个函数同 y=sinx之间有什么关系呢?
y=sin(x+π/3)的图像可以看作是把 y=sinx 的图像上所有的点向左平行移动 π/3个单位而得到的,y=sin(x-π/4)的图像 可以看作是把y=sinx的图像上所有的点向
右平行移动π/4个单位而得到的.
一般地,函数y=sin(x+φ),(φ≠0) 的图像,可以看作是把y=sinx的图像 上所有的点向左(当φ>0时)或向右 (当φ<0时)平行移动| φ|个单位而 得到的.
例2
作函数y=sin2x及y=sin(x/2)的简图
1.作函数y=sin2x的图像 函数y=sin2x的周期
T=2π/2=π
作x∈[0,π]时函数的简图
2.作函数y=sin(x/2)的图像 函数y=sin(x/2)的周期
T=2π/0.5=4π
作x∈[0,4π]时函数的简图
y=sin2x的图像和y=sin(x/2)的图像
[-A,A]
A
最小值是:
-A
函数 y=2sinx
与y=sinx的图像的关系
各点纵坐标伸长为原来的2倍 (横坐标不变)
y=1/2sinx
y=Asinx
（A>0且A≠1)
各点纵坐标缩短为原来的1/2倍 (横坐标不变)
1.A>1时,各点纵坐标伸长为原来的A倍 2.0<A<1时,各点纵坐标缩短为原来的A倍 (横坐标不变)
y=sin(x/2) y=sinωx
（ω>0且ω≠1)
例3
作函数y=sin(x+π/3)及y=sin(x-π/4)的简图
1.函数y=sin(x+π/3)的图像 它的周期是2π
作它在x∈[-π/3, 5π/3]上 的图像
2.函数y=sin(x-π/4)的图像 它的周期是2π 作它在x∈[π/4, 9π/4]上 的图像
函数
y=sin(x+π/3)
与y=sinx的图像的关系
(各点)沿x轴方向向左平移π /3 个单位
y=sin(x-π/4)
y=sin(x+φ) (φ≠0)
(各点)沿x轴方向向右平移π /4 个单位
1.当φ >0时,各点沿x轴方向向左平移 |φ |个单位 2.当φ <0时,各点沿x轴方向向右平移 |φ |个单位
类似地,y=1/2sinx的图像可以看作 是把y=sinx的图像上所有点的纵坐标缩 短到原来的1/2倍(横坐标不变)而得到的.
y=1/2sinx,x∈R的值域是: 最大值是: 1/2
[-1/2,1/2]
最小值是: -1/2
结论:
一般地,函数y=Asinx(A>0且 A≠1)的图像可以看作是把y=sinx的 图像上所有点的纵坐标伸长(当A＞1 时)或缩短(当0＜A＜1时）到原来的A 倍(横坐标不变)而得到的. y=Asinx,x∈R的值域是: 最大值是:
因为y=3sin(2x+π/3)=3sin2(x+π/6)
3. 所以再把y=3sin2x的图像上的所有的点向左平 行移动π/6个单位(注意不是π/3个单位),即可得到 y=3sin(2x+π/3)的图像.
一般地,函数y=sinωx(ω>0且 ω≠1)的图像,可以看作是把y=sinx的图 像上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或 伸长(当0<ω<1时)y=sin2x
与y=sinx的图像的关系
各点横坐标缩短为原来的1/2倍 (纵坐标不变) 各点横坐标伸长为原来的2倍 (纵坐标不变) 1.ω >1时,各点横坐标缩短为原来的1/ω 倍 2.0<ω <1时,各点横坐标伸长为原来的1/ω 倍 (纵坐标不变)
(7π /12,-3)
函数y=3sin(2x+π/3)的图像与函数
y=sinx的图像之间有什么关系呢？
变换1
函数y=3sin(2x+π/3)的图像可以看作是用下面的 方法得到的: 1. 先把y=sinx的图像上的所有的点向左平行移动 π/3个单位,得到y=sin(x+π/3)的图像; 2.再把y=sin(x+π/3)的图像上所有的点的横坐标 缩短到原来的1/2倍(纵坐标不变),从而得到 y=sin(2x+π/3)的图像; 3.再把y=sin(2x+π/3)的图像上所有的点的纵坐标伸长到 原来的3倍(横坐标不变),从而得到y=3sin(2x+π/3)的图 像.
变换2
函数y=3sin(2x+π/3)的图像也可以看作是用下面 的方法得到的:
1.先把y=sinx的图像上所有的点的横坐标缩短到原 来的1/2倍(纵坐标不变),得到y=sin(2x)的图像; 2.再把y=sin(2x)的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来 的3倍(横坐标不变),得到y=3sin(2x)的图像;