最新-江苏南化一中高三数学二轮复习 7 直线与圆学案

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高中数学高考二轮复习复习直线与圆教案

突破点13 直线与圆(1)圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.(2)圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F ＞0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆.(1)(2)两个公式：点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2，弦长公式|AB |＝2r 2－d 2(弦心距d ).(1)圆外一点P 到圆上的点距离的最大值为|PC |＋r ，最小值为|PC |－r ，其中r 为圆的半径．(2)圆上的点到直线的最大距离是d ＋r ，最小距离是d －r ，其中d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径．(3)过圆内一点，直径是最长的弦，与此直径垂直的弦是最短的弦．回访1 圆的方程1．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，4－m 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.]2．(2014·山东高考)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为______________________．(x －2)2＋(y －1)2＝4 设圆C 的圆心为(a ，b )(b >0)，由题意得a ＝2b >0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.] 回访2 直线与圆的相关问题3．(2016·全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3D ．2A 由圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.]4．(2016·全国乙卷)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．4π 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.].(1)(2016·黄山一模)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为________．(2)(2016·郑州二模)已知⊙M 的圆心在第一象限，过原点O 被x 轴截得的弦长为6，且与直线3x ＋y ＝0相切，则圆M 的标准方程为________．(1)x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43 (2)(x －3)2＋(y －1)2＝10 (1)因为圆C 关于y 轴对称，所以圆C 的圆心C 在y 轴上，可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋－b 2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33.所以圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43. (2)法一：设⊙M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(a ＞0，b ＞0，r ＞0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋9＝r 2，|3a ＋b |32＋12＝r ，a 2＋b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，r 2＝10，故⊙M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.法二：因为圆M 过原点，故可设方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0，又被x 轴截得的弦长为6且圆心在第一象限，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 22＝32，故D ＝－6，与3x ＋y ＝0相切，则－E2－D 2＝13，即E ＝13D ＝－2，因此所求方程为x 2＋y 2－6x －2y ＝0.故⊙M 的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.]求圆的方程的两种方法1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．变式训练1] (1)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝4 B ．(x ＋1)2＋y 2＝4 C ．x 2＋(y －1)2＝4D ．x 2＋(y ＋1)2＝4(2)(2016·长春一模)抛物线y 2＝4x 与过其焦点且垂直于x 轴的直线相交于A ，B 两点，其准线与x 轴的交点为M ，则过M ，A ，B 三点的圆的标准方程为________．(1)B (2)(x －1)2＋y 2＝4 (1)由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a ＞－2，半径为r ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2 2＋ 3 2＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，解得满足条件的一组解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝2，所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.故选B. (2)由题意知，A (1,2)，B (1，－2)，M (－1,0)，△AMB 是以点M 为直角顶点的直角三角形，则线段AB 是所求圆的直径，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.]法和代数法.(1)(2016·全国丙卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.4 由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23得⎝⎛⎭⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12，解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33，所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos α＝23×23＝4.] (2)(2016·开封一模)如图131，已知圆G ：(x －2)2＋y 2＝r 2是椭圆x 216＋y 2＝1的内接△ABC的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点．(1)求圆G 的半径r ；(2)过点M (0,1)作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，证明：直线EF 与圆G 相切．图131解] (1)设B (2＋r ，y 0)，过圆心G 作GD ⊥AB 于D ，BC 交长轴于H . 由GD AD ＝HB AH 得r 36－r 2＝y 06＋r，即y 0＝r 6＋r6－r， ①2分而B (2＋r ，y 0)在椭圆上，y 2＝1－ 2＋r 216＝12－4r －r 216＝－ r －2 r ＋616， ②3分由①②式得15r 2＋8r －12＝0，解得r ＝23或r ＝－65(舍去).5分(2)证明：设过点M (0,1)与圆(x －2)2＋y 2＝49相切的直线方程为y ＝kx ＋1，③则23＝|2k ＋1|1＋k 2，即32k 2＋36k ＋5＝0，④ 解得k 1＝－9＋4116，k 2＝－9－4116.将③代入x 216＋y 2＝1得(16k 2＋1)x 2＋32kx ＝0，则异于零的解为x ＝－32k 16k 2＋1.8分设F (x 1，k 1x 1＋1)，E (x 2，k 2x 2＋1)，则x 1＝－32k 116k 21＋1，x 2＝－32k 216k 22＋1，9分则直线FE 的斜率为k EF ＝k 2x 2－k 1x 1x 2－x 1＝k 1＋k 21－16k 1k 2＝34，于是直线FE 的方程为y ＋32k 2116k 21＋1－1＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32k 116k 21＋1.即y ＝34x －73，则圆心(2,0)到直线FE 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－731＋916＝23，故结论成立.12分。

苏教版高中数学必修二学案精品第课时直线与圆复习课

第１８课时直线与圆复习课（1）【学习导航】知识网络一、知识结构学习要求1．掌握直线的几种形式与应用；直线直线方程的一般式两直线位置关系 1l ：11y k x b =+2l ：22y k x b =+ 平行于坐标轴的直线方程平行于x 轴y b =平行于y 轴x a =直线方程的几种形式点斜式斜截式两点式截距式垂直 k 1k 2= -1平行 k 1=k 2相交 k 1≠k 2求交点点到直线的距离公式听课随笔圆的方程标准方程：222()()x a y b r -+-=一般方程：220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系相交、相切、相离相离、相交、外切、内切、内含空间直角坐标系空间直角坐标系中点的坐标表示空间两点间的距离公式听课随笔2．掌握圆以及直线与圆的位置关系．自学评价１.使圆x2+y2=r2与x2+y2+2x－4y+4=0有公共点则( )A.r<5+1B.r>5+1C.|r－5|<1D.|r－5|≤1２x2+y2－2x+4y－20=0截直线5x－12y+c=0所得的弦长为8，则c的值是【精典范例】例题１.过点(2，1)并与两坐标轴都相切的圆的方程是例2：..若动圆C与圆(x-2)2+y2=1外切，且和直线x+1=0相切.求动圆圆心C的轨迹E的方程【解】例3：已知圆C：x2+y2－2x+4y－4=0,是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点.若存在，求出直线l的方程;若不存在，说明理由【解】【选修延伸】例4：设圆满足(1)y轴截圆所得弦长为2.(2)被x轴分成两段弧，其弧长之比为3∶1，在满足(1)、(2)的所有圆中，求圆心到直线l:x－2y=0的距离最小的圆的方程．【解】思维点拔：在解决直线与圆的位置关系的问题时，我们通常采用“几何法”．例如，求与圆相切的直线方程时，先用待定系数法设出直线方程，然后根据d r =即可求得．这种数形结合的思想贯穿了整个章节．追踪训练1、如果实数y x ,满足等式22(2)3x y -+=，那么y x 的最大值是（） A 、12B 、33C 、32D 、3 1、曲线0), (=y x f 关于直线02=--y x 对称的直线方程为（）A 、0), 2(=+x y fB 、0), 2(=-y x fC 、)2, 2(-+x y fD 、0)2, 2(=+-x y f3、设圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点为)1,3(P ，则直线AB 的方程是4、过A （－3，0），B （3，0）两点的所有圆中面积最小的圆方程是______________．5、已知x 、y 满足2501230x y x x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩，则y x 的最大值。

高三数学高考一轮复习系列教案第七章直线和圆的方程

城东蜊市阳光实验学校第七章直线和圆的方程1．23．4．5．7．1直线的方程1．倾斜角:对于一条与x 轴相交的直线,把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角α叫做直线的倾斜角．当直线和x 轴平行或者者重合时，规定直线的倾斜角为0°．倾斜角的范围为_________．斜率:当直线的倾斜角α≠90°时，该直线的斜率即k ＝tanα；当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在．2．过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式．假设x1＝x2，那么直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°．3．直线方程的五种形式【例1】直线(2m2＋m －3)x ＋(m2－m)y ＝4m －1．①当m ＝时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝时，直线在x 轴上的截距为1．③当m ＝时，直线在y 轴上的截距为－23．④当m ＝时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝时，直线过原点．【例2】假设直线l 过点M(a ，3)，N(1，2)，(1)求直线l 的斜率和倾斜角；(2)]13,133[++-∈a ，求直线l 的倾斜角α的范围．【例3】△ABC 的顶点分别为A(－3，0)，B(9，5)，C(3，9)，直线l 过点C 且把三角形的面积分成1︰2的两部分，求l 的方程．【例4】定点P(6,4)与直线l1:y ＝4x ，过点P 的直线l 与l1交于第一象限的Q 点，与x 轴正半轴交于点M ．求使△OQM 面积最小的直线l 的方程．1．直线方程是表述直线上任意一点M的坐标x与y之间的关系式，由斜率公式可导出直线方程的五种形式．这五种形式各有特点又互相联络，解题时详细选取哪一种形式，要根据直线的特点而定．2．待定系数法是解析几何中常用的思想方法之一，用此方法求直线方程，要注意所设方程的适用范围．如：点斜式、斜截式中首先要存在斜率，截距式中横纵截距存在且不为0，两点式的横纵坐标不能一样等〔变形后除处〕．3．在解析几何中,设点而不求,往往是简化计算量的一个重要方法.4．在运用待定数法设出直线的斜率时，就是一种默认斜率存在，假设有不存在的情况时，就会出现解题破绽，此时就要补救：较好的方法是看图，数形结合来找差距.一、选择题1．在同一坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的〔〕A BCD2．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝0，那么a、b满足〔〕A．a＋b＝1 B．a－b＝1C．a＋b＝0 D．a－b＝03．直线Ax＋By＋C＝0，通过第二、三、四象限，那么系数A、B、C需满足的条件〔〕A．A、B、C同号B．AC<0，BC<0C．C＝0，AB<0 D．A＝0，BC<04．设2π<α<π，那么直线y＝xcosα＋m的倾斜角的取值范围是〔〕A．(2π，π)B．(2π，43π)C．(4π，43π) D．(43π，π)5．A(－2，3)，B(3，0)，直线l过O(0，0)且与线段AB相交，那么直线l的斜率的取值范围是〔〕A．－23≤k＜0 B．k≤－23或者者k≥0C．k≤0或者者k≥23D．0≤k≤236．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，假设直线PA的方程为x－y＋1＝0，那么直线PB的方程为〔〕A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0二、填空题7．直线y＝mx＋2m＋1恒过一定点，那么此点的坐标为．8．假设三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)，一一共x线那么ba 11+的值等于． 9．C 是以A(2，3)、B(－1，－2)为端点的线段AB 外一点，且AC ＝2BC ，那么过C 垂直于AB 的直线方程为．10．实数x 、y 满足3x －2y －5＝0(1≤x≤3)，那么xy的最大值、最小值分别是．三、解答题11．两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，求直线l 的斜率．12．如图，在△ABC 中，点B(－1，0)，C(1，0)，2=ACAB ，AB 边上的高1=CD ，求直线AC的斜率．13．直线l 过点M(2，1)，且分别交x 轴y 轴的正半轴于点A 、B ，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的面积最小时，求直线l 的方程； (2)当MB MA ⋅取最小值时，求直线l 的方程．14．直线l ：(a ＋2)x ＋(1－2a)y ＋4－3a ＝0．(1)求证直线l 经过第三象限；(2)假设直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围．15．过原点O 的一条直线与函数y ＝log8x 的图象交于A 、B 两点，分别过A 、B 作y 轴的平行线与函数y ＝log2x 的图象交于C 、D 两点． (1)证明：C 、D 和原点O 在同一直线上．(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标．7．2直线与直线的位置关系〔一〕平面内两条直线的位置关系有三种________． 1．当直线不平行坐标轴时，直线与直线的位置关系可根据下表断定2．当直线平行于坐标轴时，可结合图形断定其位置关系．〔二〕点到直线的间隔、直线与直线的间隔 1．P(x0，y0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的间隔为______________．2．直线l1∥l2，且其方程分别为：l1：Ax ＋By ＋C1＝0 l2：Ax ＋By ＋C2＝0，那么l1与l2的间隔为．〔三〕两条直线的交角公式假设直线l1的斜率为k1，l2的斜率为k2，那么 1．直线l1到l2的角θ满足．2．直线l1与l2所成的角(简称夹角)θ满足．〔四〕两条直线的交点：两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数．〔五〕五种常用的直线系方程.①过两直线l1和l2交点的直线系方程为A1x ＋B1y ＋C1＋λ(A2x ＋B2y ＋C2)＝0(不含l2).②与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m(m≠b).③过定点(x0,y0)的直线系方程为y －y0＝k(x －x0)及x ＝x0.④与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程设为Ax ＋By ＋m ＝0(m≠C).⑤与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程设为Bx －Ay ＋C1＝0(AB≠0).【例1】两直线l1：mx ＋8y ＋n ＝0和l2：2x ＋my －1＝0，试确定m 、n 的值，使：(1)l1与l2相交于点p(m ，－1)； (2)l1‖l2；(3)l1⊥l2且l1在y 轴上的截距为－1．【例2】直线l 经过两条直线l1：x ＋2y ＝0与l2：3x －4y －10＝0的交点，且与直线l3：5x －2y ＋3＝0的夹角为4π，求直线l 的方程．【例3】直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，假设A、B坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求点C的坐标并判断△ABC的形状．【例4】设点A(－3，5)和B(2，15)，在直线l：3x －4y＋4＝0上找一点p，使PBPA+为最小，并求出这个最小值．1．处理两直线位置关系的有关问题时，要注意其满足的条件．如两直线垂直时，有两直线斜率都存在和斜率为O与斜率不存在的两种直线垂直．2．注意数形结合，根据条件画出图形，充分利用平面图形的性质和图形的直观性，有助于问题的解决．3．利用直线系方程可少走弯路，使一些问题得到简捷的解法．4．解决对称问题中，假设是成中心点对称的，关键是运用中点公式，而对于轴对称问题，一般是转化为求对称点，其关键抓住两点：一是对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中点在对称轴上，如例4．一、选择题1．点M(a、b)，假设点N与M关于x轴对称，点P与N关于y轴对称，点P与点Q关于直线x＋y＝0对称，那么点Q的坐标为〔〕A．(a、b) B．(b、a)C．(－a、－b) D．(－b、－a)2．过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，那么m的值是〔〕A．0 B．－8C．2 D．103．设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对的边长，那么直线l1：与sin=++⋅cayxA yBbxl⋅-sin:2sin=+C的位置关系是〔〕A．平行B．垂直C．重合D．相交但不垂直4．假设0≤θ≤2π，当点(1，cosθ)到直线xsinθ＋ycosθ－1＝0的间隔是41时，这条直线的斜率为〔〕A．1 B．－1C ．23 D ．－33 5．直线l1的方向向量为a ＝〔1，3〕，直线l2的方向向量为b ＝〔－1，k 〕，假设直线l2经过点〔0，5〕，且l1⊥l2，那么直线l2的方程为〔〕A ．x ＋3y －5＝0B ．x ＋3y －15＝0C ．x －3y ＋5＝0D ．x －3y ＋15＝06．两直线l1：y ＝x ，l2：ax －y ＝0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角在(0，12π)内变动时，a 的取值范围为〔〕A ．(0，1)B ．(33，3) C ．(33，1)∪(1，3) D ．(1，3)二、填空题7．点P 〔4cosθ，3sinθ〕到直线x ＋y －6＝0的间隔的最小值等于．8．曲线c:y ＝x2，那么它关于x －y －2＝0对称的曲线方程是．9．点O 为坐标原点，点A 的坐标为(4，2)，P 是线段OA 的垂直平分线上一点，假设∠OPA 为锐角，那么P 的横坐标的取值范围是．10．两条平行直线分别过点A(6，2)和点B(－3，－1)，各自绕A 、B 旋转至这两条平行线间隔取最大值时两直线的方程分别为和．三、解答题11．P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转角α(0<α<2π)，所得直线方程为l1：3x －y －4＝0，假设继续绕P 点逆时针方向转2π－α，那么得直线l2的方程为x ＋2y ＋1＝0，求直线l 的方程．12．一光线从点A(3，2)出发经直线x －y ＋1＝0反射后经过点B(－1，－1)．试求反射光线所在的直线方程．13．过点A 〔1，1〕且斜率为－m(m>0)的直线l 与x 、y轴分别交于P 、Q 两点，过P 、Q 作直线2x ＋y ＝0的垂线，垂足分别为R 、S ，求四边形PRSQ 的面积的最小值．14．过点P(6，8)作两互相垂直的直线PA 、PB 分别交x轴正半轴于A ，y 轴正半轴于B ． (1)求线段AB 中点轨迹的方程．(2)假设S △AOB ＝S △APB ，求PA 与PB 所在直线的方程．15．〔05年〕，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB 、AD 边分别在x 轴，y 轴的正半轴上，A使A 点落在线段DC 为k7．3线性规划1．二元一次不等式表示的平面区域．⑴一般地，二元一次不等式Ax ＋By ＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界限，不等式Ax ＋By ＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界限．⑵对于直线Ax ＋By ＋C ＝0同一侧的所有点(x 、y)使得Ax ＋By ＋C 的值符号一样．因此，假设直线Ax ＋By ＋C ＝0一侧的点使Ax ＋By ＋C>0，另一侧的点就使Ax ＋By ＋C<0，所以断定不等式Ax ＋By ＋C>0(或者者Ax ＋By ＋C<0)所表示的平面区域时，只要在直线Ax ＋By ＋C ＝0的一侧任意取一点(x0，y0)，将它的坐标代入不等式，假设该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；假设不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域．⑶由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公一一共部分．2．线性规划 ⑴根本概念⑵用图解法解决线性规划问题的一般步骤： ①设出所求的未知数；②列出约束条件(即不等式组)；③建立目的函数；④作出可行域和目的函数的等值线；⑤运用图解法即平行挪动目的函数等值线，求出最优解．〔有些实际问题应注意其整解性〕【例1】假设△ABC 的三个顶点为A(3，－1)，B(－1，1)，C(1，3)，写出△ABC 区域〔含边界〕表示的二元一次不等式组．【例2】x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≤--0104011702357y x y x y x 分别求： ⑴z ＝2x ＋y ⑵z ＝4x －3y⑶z ＝x2－y2的最大值、最小值？【例3】某木器厂消费圆桌子和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种72立方米，第二种有56立方米，假设消费每种产品都需要用两种木料，消费一张圆桌需用第一种木料0.18立方米，第二种木料0.08立方米，可获利润6元，消费一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，第二种0.28立方米，可获利10元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各消费多少才能使所获利润最多？【例4】预算用2000元购置单价为50元桌子和20元的椅子，希望桌子的总数尽可能的多，但椅子的总数不能少于桌子的总数，但不多于桌子数的倍，问桌椅各买多少才适宜？1．二元一次不等式或者者不等式组表示的平面区域：①直线确定边界；②特殊点确定区域．2．线性规划实际上是“数形结合〞的数学思想的表达，是一种求最值的方法．3．把实际问题抽象转化为数学问题是本节的重难点，求解关键是根据实际问题中的条件，找出约束条件和目的函数，利用图解法求得最优解．而在考虑约束条件时，除数学概念的条件约束外，还要深化其境、考虑实际意义的约束．4．解线性规划问题的关键步骤是在图上完成的，所以作图尽可能准确，图上操作尽可能标准。

江苏省南化一中高三数学一轮复习 7.2直线的相互关系学案(二)

§7.2直线的相互关系（二）【复习目标】1．能综合利用两直线的位置关系解决平面上的问题；2．系统总结直线中的对称问题，能使用直线方程的方法解决相关问题。

【课前预习】1. 过点M （1，2）且与原点距离最大的直线的方程为（）A.x+2y －5=0B.2x+y －4=0C.x+3y －7=0D.3x+y －5=02. 如果直线ax+2y+2=0与3x －y －2=0平行，那么系数a 等于（）A.－3B.－6C.23-D.32 3. 设直线2x －y －3=0与y 轴的交点为P ，点P 把圆(x+1)2+y 2=25的直径分为两段，则其长度之比为（） A. 37或73 B. 47或74 C.57或75 D.67或76 4. 过原点的直线与圆x 2+y 2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（） A.x y 3= B.x y 3-= C.x y 33= D. x y 33-= 5. 点A(x,y)关于直线x+y+c=0的对称点的坐标为；关于直线x －y+c=0的对称点的坐标为；曲线(,)0f x y =关于直线x+y+c=0的对称曲线的方程为；曲线(,)0f x y =关于直线x－y+c=0的对称曲线的方程为。

【典型例题】例1 已知a ∈（0，2），直线l 1：2240ax y a --+=和直线l 2：222220x a y a y +---=与坐标轴围成一个四边形，要使此四边形的面积最小，求a 的值.例2 两条互相平行的直线分别过A （6，2）、B （-3，-1），并且各自绕着点A 和点B 旋转，但始终保持平行，记两条平行线间的距离为d.（1）求d 的变化范围；（2）求当d 取得最大值时的两条直线方程.例3 已知⊿ABC 的顶点A （1，4），若点B 在y 轴上，点C 在直线y=x 上，求⊿ABC 的最小周长。

例4 设有点P （x ，y ）、'''(,)P x y ，其坐标满足''32143x x y y x y ⎧=++⎪⎨=+-⎪⎩ 试问：是否存在这样的直线：使得P 、'P 两点同时在此直线上运动？若存在，试求之；若不存在，请说明理由.【本课小结】【课后作业】（第1、2两题不要抄题，但请详写解题过程）1． P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）不在直线l ：Ax+By+C=0上，且l 交直线P 1P 2于点P ，则点P分有向线段21P P 的比为（）A ．C By Ax C By Ax ++++2211B ．—C By Ax C By Ax ++++2211 C ．C By Ax C By Ax ++++1122D ．—CBy Ax C By Ax ++++1122 2． (2003高考·新课程)已知长方形的四个顶点A （0，0）、B （2，0）、C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次发射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.若P 4的坐标为（x 4，0）.若1<x 4<2，则tan θ的取值范围是（）A ．（31，1）B ．（31，32）C ．（21,52）D ．（32,52） 3．若曲线y=a x 与直线y=x+a （a ＞0）有两个公共点，则a 的取值范围是。

江苏南化一中高三数学一轮教案直线与圆的位置关系(一)

§7.5直线与圆的位置关系（一）【复习目标】1．会判断直线与圆的位置关系，会求圆的切线方程，公共弦方程及弦长等；2．通过数形结合的思想，充分利用圆的几何性质（如垂径定理），简化运算，利用圆心到直线的距离讨论直线和圆的位置关系，利用过切点的半径解决有关切线问题，利用由半径、弦心距及半弦构成的直角三角形去解决与弦长有关的问题.【课前预习】1. 设直线l ：Ax+By+C=0和圆C ：(x －a)2+(y －b)2=r 2，圆心C 到直线l 的距离为d .（1）l 与C 相交⇔直线与圆的方程组成的方程组有个解，△ 0或d r ；（2）l 与C 相切⇔直线与圆的方程组成的方程组有个解，△ 0或d r ；（3）l 与C 相离⇔直线与圆的方程组成的方程组有个解，△ 0或d r.2. 已知⊙O 1：222r y x =+ ，⊙O 2：222)()(R b y a x =-+- ，则以⊙O 1上点M(x 0,y 0)为切点的⊙O 1的切线方程为；以⊙O 2上点M(x 0,y 0)为切点的⊙O 2的切线方程为。

3. 直线x －y －1 = 0被圆x 2 + y 2= 4所截得的弦长为。

4. 两圆x 2+y 2=4与062422=---+y x y x 交于M 、N 两点，则公共弦MN 所在直线方程为。

5. 平行于直线2x －y+1=0，且与圆x 2 + y 2 = 5相切的直线方程是。

6. 直线0234=--y x 与圆01242222=-++-+a y ax y x 总有两个交点，则a 应满足A ．73<<-aB ．46<<-aC ．37<<-aD ．1921<<-a （）【典型例题】例1 直线x=－1绕M(－1,0)顺时针转多少角度，就能与圆032422=+--+y x y x 相切?例2 设圆上的点A （2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x －y+1=0相交的弦长为22, 求圆的方程。

高三数学第二轮专题复习必备精品系列教案习题(7)--_直线与圆的方程注：【高三数学第二轮专题复习必备精

高三数学第二轮专题复习系列(7)直线与圆的方程注：【高三数学第二轮专题复习必备精品系列教案习题共10讲全部免费欢迎下载】一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。

三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。

但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。

四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。

2022江苏高考数学二轮复习教学案(祥解)--直线与圆的方程及应用

2022江苏高考数学二轮复习教学案（祥解）--直线与圆的方程及应用解析几何是江苏高考必考题之一，它包含两个C级考点，正常情形下，考一小(填空)一大(解答)．小题常涉及直线方程及应用，圆锥曲线方程及其性质，有一定的运算量；大题往往与圆有关，涉及到方程，位置关系、定点、定值、定线等．圆与圆锥曲线的综合考查，对数学思想方法要求比较高，能灵活使用待定系数法、定义法等求方程，能用配方法、换元法等，结合图形将问题进行转化，通过函数、方程、不等式等思想来解决问题．1. 明白得直线的斜率和倾斜角的概念；把握过两点的直线斜率的运算公式；了解直线的倾斜角的范畴；明白得直线的斜率和倾斜角之间的关系，能依照直线的倾斜角求出直线的斜率．2. 把握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一样式)的特点与适用范畴；能依照问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系．3. 能依照斜率判定两条直线平行或垂直．4. 了解二元一次方程组的解与两直线的交点坐标之间的关系，体会数形结合思想；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．5. 把握两点间的距离公式和点到直线的距离公式及其简单应用；会求两条平行直线间的距离．6. 把握圆的标准方程与一样方程，能依照问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；明白得圆的标准方程与一样方程之间的关系，会进行互化．7. 能依照直线与圆的方程判定其位置关系(相交、相切、相离)；能依照圆的方程判定圆与圆的位置关系(外离、外切、相交、内切、内含)．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．1. 与直线x＋3y－1＝0垂直的直线的倾斜角为________．2.过点(2,1)且在两坐标轴截距相等的直线方程是________________．3.直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝________.4.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c ＝0的距离为1，则实数c的取值范畴是________．【例1】已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，求过圆心且与直线l 垂直的直线的方程．【例2】如图，平面直角坐标系xOy 中，△AOB 和△COD 为两等腰直角三角形，A(－2,0)，C(a,0)(a>0)．△AOB 和△COD 的外接圆圆心分别为M ，N.(1) 若⊙M 与直线CD 相切，求直线CD 的方程；(2) 若直线AB 截⊙N 所得弦长为4，求⊙N 的标准方程；(3) 是否存在如此的⊙N ，使得⊙N 上有且只有三个点到直线AB 的距离为2，若存在，求现在⊙N 的标准方程；若不存在，说明理由．【例3】已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，一动直线l 过点A(－1,0)与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于点N.(1) 求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ；(2) 当PQ ＝23时，求直线l 的方程；(3) 探究AM →·AN →的值是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，要求出其值；若有关，请说明理由．【例4】已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点P(2，2)，设椭圆E 的右准线l 与x 轴的交点为A ，椭圆的上顶点为B ，直线AB 被以原点为圆心的圆O 所截得的弦长为455.(1) 求椭圆E 的方程及圆O 的方程；(2) 若M 是准线l 上纵坐标为t 的点，求证：存在一个异于M 的点Q ，关于圆O 上的任意一点N ，有MNNQ 为定值；且当M 在直线l 上运动时，点Q 在一个定圆上．1. (2011·安徽)若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为________．2.(2011·重庆)在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．3.(2011·湖北)过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．4.(2010·江西)直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN|≥23，则实数k 的取值范畴是________．5.(2011·福建理) 已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .(1) 若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2) 若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．6.(2011·陕西)如图，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，点D 是P 在x 轴上投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|.(1) 当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； (2) 求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的长度．(2011·南京三模)(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A(－4,0)、B(4,0)，动点P 与A 、B 两点连线的斜率之积为－14.(1) 求点P 的轨迹方程；(2) 设点P 的轨迹与y 轴负半轴交于点C.半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AC 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y 轴截得的弦长为3r.① 求⊙M 的方程；② 当r 变化时，是否存在定直线l 与动圆M 均相切？假如存在，求出定直线l 的方程；假如不存在，说明理由．解：(1) 设P(x ，y)，则直线PA 、PB 的斜率分别为k 1＝y x ＋4、k 2＝yx －4.(2分)由题意知y x ＋4·y x －4＝－14，即x 216＋y 24＝1(x ≠±4)．因此动点P 的轨迹方程是x 216＋y 24＝1(x ≠±4)．(4分) (说明：没有范畴扣1分)(2) ①由题意知C(0，－2)，A(－4,0)，因此线段AC 的垂直平分线方程为y ＝2x ＋3.(6分)设M(a,2a ＋3)(a ＞0)，则⊙M 的方程为(x －a)2＋(y －2a －3)2＝r 2. 圆心M 到y 轴的距离d ＝a ，由r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫3r 22，得a ＝r 2.因此⊙M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －r 22＋(y －r －3)2＝r 2.(10分)② 假设存在定直线l 与动圆M 均相切．当定直线的斜率不存在时，不合题意．当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋b ，则⎪⎪⎪⎪k ×r 2－r －3＋b 1＋k 2＝r 对任意r ＞0恒成立．(12分)由⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫k 2－1r ＋(b －3)＝r 1＋k 2，得⎝⎛⎭⎫k 2－12r 2＋(k －2)(b －3)r ＋(b －3)2＝(1＋k 2)r 2.因此⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫k 2－12＝1＋k 2，(k －2)(b －3)＝0，(b －3)2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝3.因此存在两条直线y ＝3和4x ＋3y －9＝0与动圆M 均相切．(16分)第12讲直线与圆的方程及应用1. 已知实数x ，y 满足2x ＋y ＋5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为________．【答案】 52. 圆x 2＋y 2＝1与直线kx ＋y －k ＝0(k ∈R 为常数)的位置关系是________．【答案】相交3. 若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范畴是________．【答案】 [1－22，3] 解析：本题考查数形结合思想. 曲线方程可化简为(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)，即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y ＝x ＋b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y ＝x ＋b 距离等于2，解得b ＝1＋22或1－22，因为是下半圆故可得b ≠1＋22，当直线过(0,3)时，解得b ＝3，故1－22≤b ≤3.4. 已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．(1) 假如|AB|＝423，求直线MQ 的方程； (2) 求动弦|AB|的最小值．解： (1)设Q(q,0)，因为M(0,2)，因此|MQ|＝q 2＋22＝q 2＋4，而|MA|＝r ＝1，从而在Rt △AMQ 中，|AQ|＝|MQ|2－|MA|2＝q 2＋4－1＝q 2＋3. 又由题意和对称性可得，Rt △AMQ 斜边MQ 边上的高为h ＝12|AB|＝223. 由等面积法得223·q 2＋4＝q 2＋3，解得q ＝±5，因此Q(±5，0)，将M ，Q 的坐标代入直线的两点式方程整理得到直线MQ 的方程为2x±5y 25＝0.(2) 由(1)知，利用等面积法得12|AB|·q 2＋4＝q 2＋312|AB|＝q 2＋3q 2＋4＝1－1q 2＋4，从而当q ＝0时，动弦|AB|取到最小值 3.5. (2011·盐城二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成，两相接点M 、N 均在直线x ＝5上．圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为13；圆弧C 2过点A(29,0)．(1) 求圆弧C 2的方程； (2) 曲线C 上是否存在点P ，满足PA ＝30PO ？若存在，指出有几个如此的点；若不存在，请说明理由；(3) 已知直线l ：x －my －14＝0与曲线C 交于E 、F 两点，当EF ＝33时，求坐标原点O 到直线l 的距离．解：(1) 圆弧C 1所在圆的方程为x 2＋y 2＝169，令x ＝5，解得M(5,12)，N(5，－12)．则线段AM 中垂线的方程为y －6＝2(x －17)，令y ＝0，得圆弧C 2所在圆的圆心为O 2(14,0)．又圆弧C 2所在圆的半径为r 2＝29－14＝15，因此圆弧C 2的方程为(x －14)2＋y 2＝225(x ≥5)．(2) 假设存在如此的点P(x ，y)，则由PA ＝30PO ，得x 2＋y 2＋2x －29＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x 2＋y 2＝169(－13≤x ≤5)，解得x ＝－70(舍)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，(x －14)2＋y 2＝225(5≤x ≤29)，解得x ＝0(舍)，综上知，如此的点P 不存在．(3) 因为EF ＞r 2，EF ＞r 1，因此E 、F 两点分别在两个圆弧上．设点O 到直线l 的距离为d ，因为直线l 恒过圆弧C 2所在圆的圆心(14,0)，因此EF ＝15＋132－d 2＋142－d 2，即132－d 2＋142－d 2＝18，解得d 2＝1 61516，因此点O 到直线l 的距离为 1 6154.基础训练1. π3 2. x －2y ＝0或x ＋y －3＝0 3. 3或－3 34. (－13,13) 解析：圆的半径为2，圆心(0,0)到直线12x －5y ＋c ＝0的距离小于1，即|c|13＜1，c 的取值范畴是(－13,13)．例题选讲例1 解：由题意可设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，因此a ＝3，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，因此有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.例2 点拨：直线与圆相交的问题，要利用图形转化为圆心到直线的距离问题．解： (1) 圆心M(－1.1)．∴ 圆M 方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2， ∴ 直线CD 方程为x ＋y －a ＝0. ∵ ⊙M 与直线CD 相切，∴ 圆心M 到直线CD 的距离d ＝|－a|2＝2，化简得：a ＝±2(舍去负值)． ∴ 直线CD 的方程为x ＋y －2＝0.(2) 直线AB 方程为：x －y ＋2＝0，圆心N ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2.∴ 圆心N 到直线AB 距离为⎪⎪⎪⎪a 2－a 2＋22＝ 2.∵ 直线AB 截⊙N 所得弦长为4，∴ 22＋(2)2＝a 22.∴ a ＝±23(舍去负值)． ∴ ⊙N 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝6.(3) 存在．由(2)知，圆心N 到直线AB 距离为2(定值)，且AB ⊥CD 始终成立，∴ 当且仅当圆N 半径a2＝22，即a ＝4时，⊙N 上有且只有三个点到直线AB 的距离为 2.现在，⊙N 的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.变式训练已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0. (1) 求直线l 斜率的取值范畴；(2) 直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？什么缘故？点拨：直线与圆相交，用圆心到直线距离. 已知直线将圆分割弧长的比值，转化为所对的圆心角的比值，过圆心作弦的垂线，则垂线段长可求，用圆心到直线的距离即可．解： (1) 直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4mm 2＋1，直线l 的斜率k ＝mm 2＋1， ∵ |m|≤12(m 2＋1)，∴ |k|＝|m|m 2＋1≤12，当且仅当|m|＝1时等号成立．∴ 斜率k 的取值范畴是⎣⎡⎦⎤－12，12.(2) 不能．由(1)知l 的方程为y ＝k(x －4)，其中|k|≤12.圆C 的圆心C(4，－2)，半径r ＝2.圆心C 到直线l 的距离d ＝21＋k 2.由|k|≤12，得d ≥45＞1，即d ＞r2.从而若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3.因此l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧．例3 (1) 证明：因为l 与m 垂直，且k m ＝－13，则k l ＝3，故直线l ：y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0.明显圆心(0,3)在直线l 上，即当l 与m 垂直时，l 必过圆心C.(2) 解：①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意． ② 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，因为PQ＝23，因此CM ＝4－3＝1，则由CM ＝|－3＋k|k 2＋1＝1，得k ＝43.因此直线l 的方程为4x －3y ＋4＝0.从而所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.(3) 解：∵ CM ⊥MN, ∴ AM →·AN →＝(AC →＋CM →)·AN →＝AC →·AN →＋CM →·AN →＝AC →·AN →. ① 当l 与x 轴垂直时有N ⎝⎛⎭⎫－1，－53，∴ AN →＝⎝⎛⎭⎫0，－53，又AC →＝(1,3), ∴ AM →·AN →＝AC →·AN →＝－5. ② 当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x ＋1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x ＋3y ＋6＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ＋61＋3k ，－5k 1＋3k ，则AN →＝⎝⎛⎭⎫－51＋3k，－5k 1＋3k . 因此AM →·AN →＝AC →·AN →＝－5.综上，可知AM →·AN →的值与直线l 的斜率无关，因此与倾斜角也无关，且AM →·AN →＝－5. 变式训练已知直线m 的方程为x ＋y －1＝0，⊙C 的方程为x 2－2x ＋y 2－2y －3＝0，⊙C 关于直线m 的对称的⊙D 与直线l 相交于A 、B 两点，若在⊙D 上存在点P 使得OP →＝OA →＋OB →＝λa ，又知a ＝(－1,2)．(1) 求⊙D 的方程； (2) 求点P 的坐标； (3)求直线l 的方程．解： (1) ⊙C 方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5，设D(a ，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＋b ＋12－1＝0，b －1a －1＝1，∴ a ＝0，b ＝0，∴ ⊙D 方程为x 2＋y 2＝5.(2) 由题意可知P(－λ，2λ)，∵ P 在圆D 上， ∴ λ2＋4λ2＝5，∴ λ＝±1. ∴ P(－1,2)或P(1，－2)．(3) ∵ OP →＝OA →＋OB →，P 、A 、B 均在圆上，∴ OP ⊥AB ，∠AOB ＝120°， ∴ 圆心D 到直线AB 的距离是52.当P 的坐标为(－1,2)时，k l ＝12，设直线l 的方程是x －2y ＋c ＝0，d ＝|c|5＝52， ∴ c ＝±52，由图形位置可知c ＝52，现在直线l 的方程是2x －4y ＋5＝0. 同理可知，当P 坐标为(1，－2)时，直线l 的方程是2x －4y －5＝0.例4 (1) 解：⎩⎨⎧c a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，a 2＝b 2＋c2⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4，故椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1， ∵ A(4,0)，B(0,2)，∴直线AB 方程为x ＋2y －4＝0，则O 到AB 距离为45， ∴ 圆O 的半径r ＝⎝⎛⎭⎫452＋⎝⎛⎭⎫12×252＝2，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2) 证明：l 的方程为x ＝4，∴ M 点坐标为M(4，t)．在圆O 上任取一点N(x 0，y 0)，定点Q(x ，y)． ∵ NM 与NQ 的比值为常数且Q 不同于M ， ∴ NQ 2＝λNM 2，λ>0且λ≠1，λ为常数，即(x 0－x)2＋(y 0－y)2＝λ[(x 0－4)2＋(y 0－t)2]，∴ x 02＋y 02－2xx 0－2yy 0＋x 2＋y 2＝λ(x 02＋y 02－8x 0－2y 0t ＋16＋t 2)，将x 02＋y 02＝4代入上式，则－2xx 0－2yy 0＋x 2＋y 2＋4＝－8λx 0－2λy 0t ＋(20＋t 2)λ，由于N 是圆O 上任意一点，因此⎩⎪⎨⎪⎧x －4λ，①y ＝4λ，②x 2＋y 2＋4＝(20＋t 2)λ，③将①②代入③得(16＋t 2)λ2－(20＋t 2)λ＋4＝0∴ (λ－1)[(16＋t 2)λ－4]＝0，∵ λ≠1，∴ λ＝416＋t 2，即存在一个定点Q(不同于点M)，使得关于圆O 上的任意一点N ，均有MN NQ 为定值，又16＋t 2＝4λ代入③得x 2＋y 2＝4λ，因此有x 2＋y 2＝x ，即⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14，故点Q 在圆心为⎝⎛⎭⎫12，0，半径为12的定圆上．高考回忆1. 1 解析：本题考查直线与圆的位置关系，属容易题．2. 102 解析：由题意AC 为径，设圆心为F ，则FE ⊥BD ，圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，故F(1,3)，由此易得：AC ＝210，又k EF ＝2，因此BD 的方程为y ＝－12x＋1，F 到BD 的距离为|－12＋1－3|52＝5，由此得BD ＝25，因此四边形ABCD 的面积为12AC·BD ＝12×25×210＝10 2.3. 1或1774. ⎣⎡⎦⎤－33，33 解析：因为直线过定点(0,3)且该点在圆上，设此点为M ，圆心(2,3)到此直线距离为d ，因此由4－d 2≥(3)2d ≤1，又d ＝|2k －3＋3|1＋k 2≤1，∴ k 2≤13，∴ －33≤k ≤33.5. 点拨：本小题要紧考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．解：(解法1)(1) 依题意，点P 的坐标为(0，m)，因为MP ⊥l ，因此0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)，从而圆的半径r ＝|MP|＝(2－0)2＋(0－2)2＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.(2) 因为直线l 的方程为y ＝x ＋m 因此直线l ′的方程为y ＝－x －m.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y ，得x 2＋4x ＋4m ＝0，Δ＝42－4×4m ＝16(1－m)． ① 当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切． ② 当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切．(解法2)(1) 设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2，依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P(0，m)，则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m|2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2) 同解法1.6. 点拨： (1)动点M 通过点P 与已知圆相联系，因此把点P 的坐标用点M 的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；(2)直线方程和椭圆方程组成方程组，能够求解，也能够利用根与系数关系；结合两点的距离公式运算．解： (1) 设点M 的坐标是(x ，y)，P 的坐标是(x p ，x p )，∵ 点D 是P 在x 轴上投影，M 为PD 上一点，且|MD|＝45|PD|， ∴ x p ＝x ，且y p ＝54y ，∵ P 在圆x 2＋y 2＝25上，∴ x 2＋⎝⎛⎭⎫54y 2＝25，整理得x 225＋y 216＝1，即C 的方程是x 225＋y 216＝1.(2) 过点(3,0)且斜率为45的直线方程是y ＝45(x －3)，设此直线与C 的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程x 225＋y 216＝1得：x 225＋(x －3)225＝1，化简得x 2－3x －8＝0，∴ x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴ |AB|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝⎝⎛⎭⎫1＋1625(x 1－x 2)2＝4125×41＝415，即所截线段的长度是415.。

高中数学直线和圆教案

高中数学直线和圆教案
课题：直线和圆
一、教学目标：
1. 知识与技能：掌握直线和圆的基本概念、性质和公式；能够运用直线和圆的知识解决相关问题。

2. 过程与方法：通过例题分析、思维导向和讨论等方式，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

3. 情感态度与价值观：鼓励学生积极思考、勇于探索，培养他们对数学的兴趣和自信心。

二、教学内容：
1. 直线的概念及斜率、方向角的相关性质；
2. 圆的概念及圆心、半径、弦、弧、切线等基本概念；
3. 直线和圆的位置关系及相关公式。

三、教学过程：
1. 引入：通过给出一道直线和圆的问题，让学生思考直线和圆之间的关系，并引出本节课的主题。

2. 学习直线的知识点：讲解直线的概念、斜率、方向角等基本知识，并通过例题演示如何计算直线的斜率和方向角。

3. 学习圆的知识点：讲解圆的概念、圆心、半径、弦、弧、切线等基本知识，并通过例题演示如何计算圆的相关参数。

4. 直线和圆的位置关系：讲解直线和圆的位置关系及相关公式，并通过例题演示如何判断直线和圆的位置关系。

5. 练习与巩固：布置练习题，让学生独立解题，并对答案进行核对和讲解。

6. 总结与拓展：总结本节课的重点知识，拓展相关知识，激发学生兴趣和探索欲望。

四、课堂评价：
考核学生对直线和圆的基本概念、性质以及相关公式的掌握情况，包括思维能力、解题能力等方面的评价。

五、课后作业：
1. 完成课后练习题；
2. 总结笔记，复习本节课所学知识。

（完整版）《高三数学一轮复习课-直线与圆的位置关系优质课比赛教学设计》

（完整版）《高三数学一轮复习课-直线与圆的位置关系优质课比赛教学设计》直线与圆的位置关系(1)课型：高三数学一轮复习课课题：直线与圆的位置关系课时：第一课时教材：苏教版对教材内容的理解分析：１、本节内容在全书及章节的地位：直线与圆的位置关系是高中数学新教材“圆的方程”的综合课．２、本节课的复习内容：本节课的主要内容是直线与圆的位置关系及判定方法，它是高考中的热点内容之一．３、教材的地位与作用：本节课是平面解析几何学的基础知识，它既复习了前面刚学过的直线与圆的方程，又为今后学习直线与圆锥曲线的位置关系奠定基础．它虽然是解析几何中较为简单的内容，但有着广泛的应用，也具有较强的综合性，有利于培养学生分析问题和解决问题的能力．教学反思：1、通过小组合作学习，组织学生对问题进行讨论，激发学生的求知欲望，使大部分学生在学习过程中始终处于积极思考、探索的状态，真正成为主动学习的主体．2、利用计算机辅助教学，显示了事物从静态到动态的运动过程，培养学生用运动变化这一辩证唯物主义观点分析问题、解决问题的能力．用几何画板可以很好地体现数形结合的思想，使较为复杂的问题明了化．教案的简介：直线与圆的位置关系(1)，高三数学一轮复习课、扬州市优秀公开课，并获一等奖．关键字：位置关系、广义几何法、狭义几何法、代数法．参赛者简介：扬州市特级教师，扬州市学科带头人，扬州市优秀班主任，高邮市中青年专家，高邮市劳动模范等．[教学目标]知识目标:了解代数法和几何法解决直线与圆位置关系的差异，明确几何法在直线与圆的位置关系的判定中的地位，并能应用几何法解决问题．能力目标:让学生在解决问题的过程中体会到数形结合、转化、化归等数学思想，注重培养学生的分析、计算、总结归纳等能力．情感态度价值观目标:培养学生合作交流,善于思考的良好品质,激发学生学习数学的积极性．[重点难点]重点:几何法在直线与圆的位置关系的判定中的应用．难点: 通过对圆上的点到直线的距离变化的分析诠释数形结合的魅力．[教学方法] 启发式、自主探究相结合．[教具资料]三角板、圆规、多媒体课件导入语:大家知道数学来源于生活,又服务于生活.下面有一道生活问题,你能用学过哪方面的知识求解? 问题情境:在一个特定的时间内,以O 为中心的5米范围内(不包括边界)被设为危险区域,某人在O 点的南偏西θ(其中135sin =θ)的方向上,且距O 点13米的A 地,若他向东北方向直行,会进入危险区域吗? （8分钟）一分钟后,提问学生:A,你谈谈思路?(生说时教师写出点坐标,圆方程,直线方程) 你能用数学化的语言刻化一下,如何判定此人是否会进入危险区域?问题数学化：直线07=--y x 与圆C: 2522=+y x 的位置关系为________．直线07=--y x 上是否存在点P 在圆C: 2522=+y x 内? （即OP 〈5有解？也就是OP min 〈5?其本质就是OP min =d ）两种思路都可以解释为 d 与 r 的大小比较问题两类方法：几何法（利用平几直接求解或用d 与r 的关系）、代数法（判别式法、定义法）引出课题:直线与圆的位置关系(1) 提问学生B ：回顾直线与圆的位置关系的定义、判定方法你能选择恰当的方法解决下面问题吗？问题一:（8分钟）已知圆C:(x-1)2+(y+1)2=1,直线l 过点P(-2,-2)，求l 与圆C 有公共点时斜率k 的范围提问学生C ：如何求斜率k 的范围？答：写出圆心和半径、设出直线方程、利用点与直线的距离公式将d 用k 表示、利用d 与r 关系列出关于k 的不等式、求斜率k 的范围注意事项：“有公共点”的含义,“与斜率k 有关的问题求解”,不必考虑斜率不存在之情. (提问学生D)师:(学生思考时)画图(学生回答时)板演法一：平几性质加三角公式求解．（广义几何法）法二：利用d 与r 关系列出关于k 的不等式．（狭义几何法）法三：投影，比较各方法的优劣．（代数法）解题回顾:处理解析几何问题时，若能结合平面几何图形的性质，可使解答简捷明快，本题用“圆心到直线距离与半径比较”来探讨直线和圆的位置关系便是典型体现. 方法总结: (提问学生E) 一、解题步骤：（1）设直线方程并化为一般式（2）求圆心到直线距离（3）比较弦心距与半径的大小二、解题体会：1、几何法比代数法运算量少，简便．代数法比几何法通用，主要用于直线与圆锥曲线位置关系问题，具有运用的广泛性．2、在解决有关圆的问题时,一般不用代数法而用几何法（8分钟）变式1：过点P(-2,-2)作圆C:(x-1)2+(y+1)2=1的切线l ,则切线l 的方程为_____________ 分析：本题是问题一的临界状态，斜率已求，切线易得．02=+y 和0243=--y x (提问学生F)变式2：已知x,y 满足条件 (x-1)2+(y+1)2=1，则代数式22++x y 的取值范围___________430≤≤k 分析：本题是问题一的不同形式的表示，既可以理解为斜率，直接数形结合又可以转化为直线方程的一般式（少一点），从而化归为问题一，当然也可以化为三角函数求解． (提问学生G) 解题回顾:直线与圆的位置关系问题一般有下列几种题型（1）给定两者方程判定位置关系（如问题情境）（2）给定两者位置关系，求解参数范围或切线方程（如问题一及变式一）（3）给定圆的方程，求圆上点表示的目标函数范围（如问题一及变式二）方法总结:完整直线与圆位置关系方面的题目常用d 与r 关系求解直线与圆局部图形位置关系方面的题目常用数形结合求解问题二: （5分钟）求证:直线021)1()2(:=---++m y m x m l 与圆C: 4)2()1(22=++-y x 有两个不同的公共点． (提问学生H)分析：法一 0)12()2(:=-++--y x m y x l 过定点P(1,-1),且定点P 在圆内法二 C(1,-2), r=2 , 22)1()2(|1|m m m d -++-=与2比较大小解题回顾:如果直线过定点,只要先确定定点与圆的位置关系,就能得知直线与圆相应的位置关系.就不必用利用d 与r 关系来判定了.方法总结:观察直线是否过定点,优先考虑直线与圆的可能关系,优化解题过程. (提问学生I) （5分钟）变式1：已知}02|),{(22=-+=y y x y x A ,}1|),{(+-==k kx y y x B , 则B A I 中的元素个数是________1学生思考时,教师画图,并对学生的回答加以说明 (提问学生J)变式2：已知}02|),{(22=-+=y y x y x A ,}11|),{(k x y y x B =--=, 则B A I 中的元素个数是________2 师:你能注意到它们之间的差异吗? 课堂练习：（8分钟）1.过点)4,4(P 作圆0422=-+x y x 的切线,求圆的切线方程. 板演(学生K) 3x －4y ＋4＝0或x ＝4对策:首先考虑斜率不存在之情或先定解的个数,解不足时补上斜率不存在之情变式:圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程是______________(提问学生L) 023=+-y x解题回顾：求过定点的圆的切线方程，一定要判定点的位置，若在圆上，可简化过程．若在圆外，一般有两条切线，容易遗漏斜率不存在的那一条.2.(教材P106 e2)如果直线ax ＋by ＝4与圆有两个不同的交点, 则P(a,b)与圆的位置关系是 ____________(填上以下正确结论的序号)(1)P 在圆外 (2)P 在圆上 (3)P 在圆内 (4)不确定 (提问学生M)师同时板演过程改变2中两个不同的交点的条件,同学们能提出类似的结论吗？(提问学生N) 下面这个问题结论是什么?若点P(a,b) 在圆x 2+y 2=1外，则直线ax ＋by ＝1 与 x 2+y 2=1的位置关系是_______(相交) 本节课回顾总结: （3分钟）（1）本节课我们复习了哪些内容你能用流程图表示出来吗? (提问学生O 、P) （2）直线与圆的位置关系的判定方法有哪些？它们各自有什么优点？(提问学生姜杰)答：两类方法：几何法（广义——利用平几直接求解或狭义——用d 与r 的关系）、代数法直接——判别式法或间接的定义法几何法比代数法简洁，代数法比几何法通用（3）今天我们所遇到的情形各自用哪种方法更简便？为什么？各自又有什么注意事项？ (提问学生Q)（4）本节课主要用到了哪些数学思想？用得最多的是哪个？最少的是哪个？（5）点与圆的位置关系与过此点的直线与圆的位置关系有何联系？思考:已知圆M:1)sin ()cos (22=-++θθy x ,直线kx y l =:,下面四个命题 (1)对任意实数k 与θ,直线l 和圆M 相切 (2)对任意实数k 与θ,直线l 和圆M 有公共点(3)对任意实数θ,必存在实数k ,使得直线l 和圆M 相切 (4) 对任意实数k ,必存在实数θ,使得直线l 和圆M 相切所有真命题的序号是_____________板书设计课题注：从右向左书写注：先中间再右边最后左边。

高中数学直线与圆教案

高中数学直线与圆教案
教学目标：
1. 理解直线与圆的性质及相关定理
2. 掌握直线与圆的交点求解方法
3. 能够应用所学知识解决相关问题
教学重点：
1. 直线与圆的公共部分
2. 直线与圆的交点求解
教学难点：
1. 利用直线与圆的性质解决较复杂问题
2. 应用所学知识综合思考
教学准备：
1. 教材：高中数学教材
2. 教具：黑板、粉笔、几何工具
教学步骤：
一、导入（5分钟）
引入直线与圆的概念，让学生了解它们之间的关系，并激发学生学习兴趣。

二、讲解直线与圆的性质（15分钟）
1. 直线与圆的位置关系
2. 直线与圆的交点情况
3. 直线与圆相交时的性质
三、示范求解例题（15分钟）
通过实际例题，演示如何求解直线和圆的交点，让学生掌握方法和技巧。

四、学生练习（20分钟）
布置练习题，让学生独立思考并解答，引导他们灵活运用所学知识。

五、总结归纳（5分钟）
总结本节课的重点内容，强化学生对直线与圆的理解和掌握。

教学延伸：
1. 探究直线与圆的其他性质和定理
2. 进一步应用所学知识解决实际问题
教学反思：
本节课主要围绕直线与圆的性质展开，通过讲解、示范和练习让学生逐步理解和掌握相关
知识。

在教学过程中，要尽可能提供多样化的例题，引导学生灵活运用所学知识解决问题。

同时，要注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，让他们在实践中不断提高。

江苏南化一中高三数学二轮复习 7.1直线的基本量与方程学案

§7.1直线的基本量与方程【复习目标】理解直线的倾斜角、斜率和截距的概念，掌握过两点的直线的斜率公式；掌握由一点和斜率导出直线方程的方法；掌握直线方程的点斜式、两点式和一般式直线方程，确定一条直线需要两个独立的条件，并能根据条件熟练地求出直线的方程或用待定系数法求出直线方程中的未知量；掌握运用解析法证明几何问题的一般方法，渗透“数形转化”的数学思想。

【重点难点】斜率与倾斜角范围的互化；截距的正确使用。

【课前预习】若直线l 向上的方向与y 轴正方向成30°角，则l 的斜率为_________.若直线的方向向量是(3,1)a =，则该直线的斜率为，倾斜角为，过点（10，-4）且倾斜角的正弦为135的直线方程是______________________ ____. 经过点（2，1），且方向向量是v (1,3)=-的直线的点斜式方程是。

过点（3，1），且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是_____________________ ____. 不论m 为何值，直线(m-1)x-y+2m+1=0恒过定点。

【典型例题】例1 直线l ：y=ax+2和A(1，4)、B （3，1）两点，当直线l 与线段AB 相交时，求实数a 的取值范围是__________________.〖变题〗若将本题条件改为A （-1，4）、B （3，1），结论又将如何？例2 直线l 过点M （2，1）且分别与x 、y 正半轴交于A 、B 两点，O 为原点. 当∆AOB 面积最小时，求直线l 的方程；当|MA|·|MB|取最小值时，求直线l 的方程.例3 如图，∆ABC 为正三角形，边BC ，AC 上各一点D 、E ， 13BD BC =，13CE CA =，AD 、BE 交于P.求证：AP ⊥CP.【巩固练习】直线bx+ay=ab(a<0,b<0)的倾斜角是（） A ．arctan(－a b ) B ．arctan(－b a ) C ．a b arctan -π D ．baarctan -π A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且PA PB =，若直线PA 的方程为x －y+1=0,则直线PB 的方程为（）A ．2x －y+1=0B ．x+y －5=0C ．2x+y －7=0D ．2y －x －4=0 函数y=2cos sin -θθ([]πθ,0∈)的值域是。

江苏省南京市高三数学二轮复习直线与圆学案

专题10：直线与圆（两课时）班级姓名一、课前测试1．已知过定点P(1，2)的直线l交圆O：x2＋y2＝9于A，B两点，若AB＝42，则直线l的方程为；当P为线段AB的中点时，则直线l的方程为．2．过点P(－2，－3)作圆C： (x－4)2＋(y－2)2＝9的两条切线，切点分别为A、B，则切线方程为；切线长PA为；直线AB的方程为．3．若存在2个点，使直线y＝3x－2上的点到圆C：x2＋(y－2)2＝R2(R＞0)的距离为1，则R的取值范围为．4．经过三点A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)的圆的方程为．5．已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若两圆相交，实数m的取值范围为．6．已知圆O1：x2＋y2－4x－2y－4＝0，圆O2：x2＋y2－6x＋2y＋6＝0，则两圆的公共弦长度为．7．经过点A(4，－1)，且与圆：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点B(1，2)的圆的方程为．二、方法联想1．2．3．4．5．6．7．补充：三、例题分析例1 如图，已知圆心坐标为M (3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 均相切，切点分别为A ，B ，另一圆N与圆M 、x 轴及直线y ＝3x 均相切，切点分别为C ，D ．(1)求圆M 和圆N 的方程；(2)过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N例2 如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1的长轴为AB ，O 为坐标原点，过B 的直线l 与x 轴垂直．P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，PH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得HP ＝PQ ，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点．(1)求证：Q 点在以AB 为直径的圆上； (2)试判断直线QN 与以AB 为直径的圆位置关系．例3 已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，设点B，C是直线l：x－2y＝0上的两点，它们的横坐标分别是t，t＋4，点P在线段BC上，过P作圆M的切线PA，切点为A．(1)若t＝0，MP＝5，求直线PA的方程；(2)经过A，P，M三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值L（t）．略。

高三数学二轮复习直线及圆PPT学习教案

(4)掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式 (点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
(5)能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．
(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离第4页公/共52式页，会求两条平行直线间的距离．
2．圆与方程
(1)掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．
高三数学二轮复习直线及圆
会计学
1
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1．直线与方程
(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．
(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平第3页行/共52或页垂直．
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在方程y－2＝k(x－3)中，令y＝0，得点R的坐标为3k－k 2，0， ∴△QOR的面积S＝12·3k－k 2·6kk－－24＝3k2k－－22k2，变形得(S－9)k2＋(12－2S)k－4＝0，
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因为S≠9，所以判别式Δ≥0，
即(12－2S)2＋16(S－9)≥0，
第29页/共52页
[例2] 过点A(4,1)的圆C与直线 x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为 ________________．
[分析] 因题中涉及圆心及切线，故可设标准形式较简单(只需求出圆心和半径)．
[答案] (x－第330)页2/＋共52页y2＝2
[解析] 法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝ r2，由题意知：
②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r第21(6或页/共502页)作比较，大于r2(或0)时，点在圆外；等于

江苏南化一中高三数学二轮复习 7 直线与圆学案

§7直线与圆一、直线的基本量1．两点间距离公式：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-= 特别地：x //AB 轴，则=AB ；y //AB 轴，则=AB .2．直线l ：y kx b =+与圆锥曲线C ：(,)0f x y =相交的弦AB 长公式消去y 得02=++c bx ax （务必注意0∆>），设A ),(),,(2211y x B y x 则：2222212112(1)()(1)[()4]AB k x x k x x x x =+-=++-3．直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角[0,)απ∈；当2πα≠时，直线的斜率tan k α=.（2）常见问题：倾斜角范围与斜率范围的互化——右图4．直线在x 轴和y 轴上的截距（1）截距非距离；（2）“截距相等”的含义.5．直线的方向向量（1）若直线的斜率为k ，则直线的方向向量是（1，k ）；（2）若直线的方程为0=++C By Ax ，则直线的方向向量是（B ，－A ）.二、直线的方程1．五种形式：点斜式)(οοx x k y y -=-、斜截式y=kx+b 、两点式121121x x x x y y y y --=--、截距式1=+by a x 、一般式0=++C By Ax . 2．一般不用“两点式”；注意每一种形式的适用条件；注意两种形式之间的转换.三、两条直线的位置关系1．判断方法：系数判断法、斜率判断法、方向向量判断法.2．有用的结论两条直线1110A x B y C ++=、2220A x B y C ++=垂直⇔12120A A B B +=.四、到角与夹角（前提是1l 与2l 相交）1．1l 到2l 的角，指从1l 按逆时针方向旋转到2l 所成的角，范围),0(π，若直线1l 的斜率为k 1，直线2l 的斜率为k 2，则21121tan k k k k +-=α. 2．1l 与2l 的夹角，指1l 、2l 相交所成的锐角或直角，范围是(0,]2π，若1l 与2l 的夹角为θ，则=θtan 21211k k k k +-，适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1. 3．注意：1l ⊥2l 时，夹角=到角=2π；当1l 与2l 中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角.五、点到直线的距离1．点00(,)P x y 到直线0=++C By Ax 的距离： 22B A CBy Ax d +++=οο2．平行线间距离：若10Ax By C ++=、20Ax By C ++=，则2221B A C C d +-=.注意点：x ，y 对应项系数应相等.六、圆1．确定圆需三个独立的条件（1）标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中圆心为(,)a b ，半径为r .（2）一般方程：022=++++F Ey Dx y x （)0422>-+F E D 其中圆心为(,)22D E --，半径为2422F E D r -+=. （3）圆的参数方程：cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r .2．直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系（1）位置关系判断方法：半径比较法（首选）、判别式法.（2）求圆的弦长方法：垂径定理.（3）求圆的切线：“d r =”.（2）一个结论：过圆222x y r +=上的点P 00(,)x y 的切线的方程为200xx yy r +=.3．两圆的位置关系：当两圆相交时，公共弦所在的直线方程为…。

高三数学直线与圆综合复习学案文苏教版

一、课前准备：【自我检测】1．过点(2,)M m ，(,4)N m 的直线的斜率等于1，则m 的值为．2．过点(1,3)且垂直于直线230x y 的直线方程为．3．直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是．4．点(2,2)A 过于直线10x y 的对称点是．5．直线3x +y －23=0截圆x 2＋y 2＝4得的劣弧所对的圆心角为3π ．6．已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k 得值是．二、课堂活动：【例1】填空题：（1）直线20x y 上一点P ，使P 到(1,3),(2,6)A B 距离之和最小，则点P 的坐标是．（2）点(2,0)P 到过点(1,2)A 的直线l 的距离等于1，则直线l 的方程是．（3）若直线(1)y k x 与曲线22y xx 有公共点，则k 的取值范围是．（4）圆2244100x y x y 上至少有三个不同的点到直线y kx 的距离为，则k ．【例2】已知直线l ：3)1(=+-y m x m . （Ⅰ）求直线l 斜率的取值范围；（Ⅱ）若直线l 被圆C ：08-222=-+y y x 截得的弦长为4，求直线l 的方程.【例3】已知圆O 的方程为x 2 ＋y 2＝1, 直线l 1过点A(3 , 0), 且与圆O 相切. （Ⅰ）求直线l 1的方程；（Ⅱ）设圆O 与x 轴交与P, Q 两点，M 是圆O 上异于P, Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P′，直线QM 交直线l 2于点Q′. 求证：以P′Q′为直径的圆C 总过定点，并求出定点坐标.课堂小结三、课后作业1．直线cos 10x y θ+-=的倾斜角的范围是．2．直线10x y ++=与圆()2122=+-y x 的位置关系是．3．以点（2，1-）为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是．4．过原点且倾斜角为60︒的直线被圆学2240x y y +-=所截得的弦长为．5．设直线1l 的方程为022=-+y x ，将直线1l 绕原点按逆时针方向旋转90得到直线2l ，则2l 的方程是．6．若直线260ax y ++=和直线2(1)(1)0x a a y a +++-=垂直,则a 的值为．7．过点(1,2)P 且到点(2,3),(0,5)A B 的距离相等的直线方程是 _____．8．由直线10x y 上的点P 向圆22(3)(2)1x y引切线，则切线长的最小值是．9．已知：以点C (t , 2t )(t ∈R , t ≠ 0)为圆心的圆与x 轴交于点O , A ，与y 轴交于点O , B ，其中O 为原点．（1）求证：△OAB 的面积为定值；（2）设直线y = –2x +4与圆C 交于点M , N ，若OM = ON ，求圆C 的方程．10．已知圆C ：4)4()3(22=-+-y x ，直线l 1过定点A (1，0).（Ⅰ）若l 1与圆C 相切，求l 1的方程；（Ⅱ）若l 1的倾斜角为45°，l 1与圆C 相交于P ，Q 两点，求线段PQ 的中点M 的坐标；（Ⅲ）若l 1与圆C 相交于P ，Q 两点，求三角形CPQ 的面积的最大值，并求此时直线l 1的方程.四、纠错分析参考答案：一、课前准备：【自我检测】1．1．2．210x y +-=．3． 1)．4．(3,1)．5．3π．6．3或5．二、课堂活动：【例1】（1）1856(,)1515．（2）341101x y x +-==或．（3）⎡⎢⎣⎦．（4）2⎡+⎣．【例2】（Ⅰ）斜率1+=m mk ，当0=m 时，0=k ；当0>m 时，一方面0>k ，另一方面2121=≤+=m m m m k ，当且仅当1=m 时取“＝”，综上，k 的取值范围为]21,0[．（Ⅱ）圆的标准方程为9)1(22=-+y x . 由题意，圆心 (0, 1)到直线l 的距离5292=-=d ，由5)1(|31|2=++---m m m 及0≥m 解得1=m ，∴直线l 的方程为：032=--y x【例3】（Ⅰ）∵直线l 1过点(3,0)A ，且与圆C ：221x y +=相切，设直线l 1的方程为(3)y k x =-，即30kx y k --=，则圆心(0,0)O 到直线l 1的距离为1d ==，解得42±=k ， ∴直线l 1的方程为3)y x =-，即3)y x =-．（Ⅱ）对于圆方程122=+y x ,令0y =，得1x =±,即(1,0),(1,0)P Q -．又直线l 2过点A 且与x 轴垂直， ∴直线l 2方程为3x =，设(,)M s t ，则直线PM 方程为).1(1++=x s ty 解方程组3,(1)1x ty x s =⎧⎪⎨=+⎪+⎩, 得).14,3('+s t P 同理可得,).12,3('-s t Q ∴ 以P Q ''为直径的圆C '的方程为0)12)(14()3)(3(=--+-+--s ty s t y x x ，又 122=+t s ， ∴ 整理得2262(61)0s x y x y t，若圆C′ 经过定点，只需令0y，从而有2610x x ，解得3x=± ∴ 圆C′ 总经过定点的坐标为(3±.课堂小结三、课后作业 1． 30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭．2．相切．3．2225(2)(1)2x y -++=．4． 5．220x y +-=． 6．302或-．7．1420x x y =--=或．8．9．（1）O C 过原点圆，2224t t OC +=∴．设圆C 的方程是 22224)2()(tt t y t x +=-+-令0=x ，得ty y 4,021==；令0=y ，得t x x 2,021==4|2||4|2121=⨯⨯=⨯=∴∆t tOB OA S OAB ，即：OAB ∆的面积为定值．（2）,,CN CM ON OM == OC ∴垂直平分线段MN ． 21,2=∴-=oc MN k k ，∴直线OC 的方程是x y 21=． t t 212=∴，解得：22-==t t 或当2=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(，5=OC ，此时C 到直线42+-=x y 的距离559<=d ，圆C 与直线42+-=x y 相交于两点．当2-=t 时，圆心C 的坐标为)1,2(--，5=OC ，此时C 到直线42+-=x y 的距离559>=d圆C 与直线42+-=x y 不相交，2-=∴t 不符合题意舍去．∴圆C 的方程为5)1()2(22=-+-y x ．10． (Ⅰ) ①若直线l 1的斜率不存在，则直线l 1：x ＝1，符合题意.②若直线l 1斜率存在，设直线l 1的方程为(1)y k x =-，即0kx y k --=．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l 1的距离等于半径2，即：2=，解之得34k =. 所求直线l 1的方程是1x =或3430x y --=. (Ⅱ) 直线l 1方程为y ＝x －1. ∵PQ⊥CM, ∴ CM 方程为y －4＝－(x －3), 即x ＋y －7＝0.∵1,70,y x x y =-⎧⎨+-=⎩ ∴4,3.x y =⎧⎨=⎩∴ M 点的坐标为(4, 3).(Ⅲ) 直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 设直线方程为0kx y k --=，则圆心到直线l 1的距离 2142kk d +-=又∵△CPQ 的面积 2244221d d d d S -=-⨯= ＝4)2(42242+--=-d d d∴ 当dS 取得最大值2. ∴2142k k d +-=＝2 ∴ k ＝1 或k ＝7所求直线l 1方程为 x －y －1＝0或7x －y －7＝0 .。

高三数学二轮复习直线与圆学案

高三数学二轮复习 ——直线、圆及其交汇问题一、高考定位：本问题是整个解析几何的基础，在解析几何的知识体系中占有重要位置，但解析几何的主要内容是圆锥曲线与方程，故在该部分高考考查的分值不多，在高考试卷中一般就是一个选择或填空题考查直线与方程、圆与方程的基本问题，偏向于考查直线与圆的综合，试题难度不大，对直线方程、圆的方程的深入考查则与圆锥曲线结合进行．二、必备知识1. 两直线平行、垂直的判定(1)①l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②若两直线的斜率都不存在，并且两直线不重合，则两直线平行；③若两直线中一条直线的斜率为0，另一条直线斜率不存在，则两直线垂直． (2)l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0，通常写成111222A B C A B C =≠（分母不为0）便于记忆。

l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2.圆的方程：(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r . (2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F2；（3）直线被圆所截得的弦长等于三、必备方法1．由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况．2．处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化．3．直线与圆中常见的最值问题(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值．(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值． (3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值．(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题． (5)两圆相离，两圆上点的距离的最值．4．两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程．四、典型例题解析：【例1】►待定系数法求圆的方程已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0外切，并与直线x＋3y＝0相切于点Q(3，－3)，求圆C方程．[审题] 先确定采用标准方程还是一般方程，然后求出相应的参数，即采用待定系数法．解：设圆C的圆心为(a，b)，半径为r，由题设得13rrba⎧==+⎪=-⎪⎪⎩解得：42abr=⎧⎪=⎨⎪=⎩或6abr=⎧⎪=-⎨⎪=⎩.所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.【考题演练】（2010山东文数）已知圆C过点（1,0）且圆心在x轴的正半轴上，直线l：x－yC的标准方程为_____________________.解析：【例题2】►如图所示，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程。