张量算符
角动量理论
角动量理论角动量是一个十分重要的物理量，因为在许多情况下，它是守恒量，从而可以作为态的标志之一。
通过它的数值和变化，可以研究微观体系的一些性质和变化规律。
在原子、分子、原子核理论中都会碰到这类问题。
角动量概念最早是从经典力学中提出来的，它的定义是L r p =⨯式中 L 为角动量， r为矢径（它们都是对某定点o 来说的），p 为质点运动的动量。
在量子力学中，我们可以用相同的关系来定义角动量，只是式中各量都以相应的算符来代替，可以用这样一种对易关系来作为角动量的一般定义，即：凡是满足对易关系ˆˆˆQQ i Q ⨯= 的算符 ˆQ都叫做动量算符。
课本第五章讲到轨道角动量。
轨道角动量的引入分为俩种途径：其一是同经典角动量进行类比而引入轨道角动量;其二是在讨论空间转动对称性时引入轨道角动量。
而自旋角动量的引入则是靠假定它与轨道角动量有相同的对易关系以及2z S =±的事实。
对于空间转动，远较平移和反演复杂，课本中则是研究有限转动算符的具体表示、空间转动群及其表示，以及与角动量算符的关系。
在三维位形空间中，取三个单位矢量 123,,e e e ,则矢量r 可写成31i i i r e r ==∑转动后成为31i i i r e r =''=∑现在对r实行转动Q,Q 只作用于矢量,所以由(22.3)式得()i ii i iir Qr Qe r e r ''===∑∑ 先看基矢的转动,利用三维位形空间的完全性关系: 1i iiee =∑有()i i j j i j ji jje Qe e e Qe e Q '===∑∑ij Q 是在基矢 123,,e e e 下的转动矩阵 ()Q =111213212223313233Q Q Q Q Q Q QQ Q ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭再看在同一基矢下新老两个矢量的分量i r '与i r 之间的关系,有：i i j ji i j jiijjr e r e Q r e r '''===∑∑∑ j ji i ir Q r '=∑这是坐标轴不动时矢量在转动变换Q 作用下其分量的改变。
张量kronecker符号
Kronecker张量符号是矩阵计算和张量计算中常用的符号，主要用于表示张量积的一种特殊形式。
具体来说，给定任意矩阵A和B，矩阵A和矩阵B的Kronecker积表示为A⊗B，其中符号⊗表示Kronecker积。
Kronecker积具有前后顺序，即矩阵A中每一个元素都数乘矩阵B，最终组合成一个新的矩阵。
这个新的矩阵的大小为m×n×p×q，其中m和n分别为矩阵A的行数和列数，p和q分别为矩阵B的行数和列数。
Kronecker积在张量计算中非常常见，作为衔接矩阵计算和张量计算的重要桥梁，被广泛应用于线性代数、矩阵运算和数值分析等领域。
如需更多信息，建议查阅数学领域相关书籍或咨询专业人士。
张量运算（ＰＤＦ）
∇ψ
=
∂ψ ∂r
er
+
1 r
∂ψ ∂θ
eθ
+
∂ψ ∂z
ez
∇·f
=
1 r
∂ ∂r
(rfr
)
+
1 ∂fθ r ∂θ
+
∂fz ∂z
∇
×
f
=
(
1 r
∂fz ∂θ
−
∂fθ ∂z
)
er
+
( ∂fr ∂z
−
∂fz ∂r
)
eθ
+
[
1 r
∂ ∂r
(rfθ
)
−
1 r
∂fr ∂θ
]
ez
∇2ψ
=
1 r
∂ ∂r
(r
∂ψ ∂r
★满足式(1)（距离保持不变）的线性变换称之为正交变换：
xixi = xixi = const
(1)
★空间转动属于正交变换。其系数矩阵αij 为一正交矩阵：
α˜α = I
★其中I为单位矩阵。
§ 2.2 张量的定义
【定义】 如果某一物理量T ，在三维笛卡儿坐标系下，由3n个有序分 量Tl···m描述，并且经过由坐标系Σ到Σ 的变换αij后，满足如下关系：
★同一般的矢量比较，∇算子具有微分、矢量两重特性。
◆∇算子的大小：
1 r
（量纲）
◆∇算子的方向：纵向
∇
=
ex
·
∂ ∂x
+
ey
·
∂ ∂y
+
ez
·
∂ ∂z
∇·
f
=
∂fx ∂x
pytorch tensor逻辑运算
pytorch tensor逻辑运算PyTorch是一个流行的机器学习框架，提供了强大的张量操作功能。
本文将重点介绍PyTorch张量的逻辑运算，包括逻辑运算符、逻辑函数以及应用实例等方面。
## 1. 逻辑运算符在PyTorch中，张量的逻辑运算符与Python的逻辑运算符类似，包括与（and）、或（or）、非（not）等。
通过这些运算符，我们可以在张量级别上进行逻辑判断和运算。
### 1.1 与运算（and）与运算符用符号“&”表示。
它返回两个张量对应元素的逻辑与结果。
示例代码如下：```pythonimport torch# 创建两个张量a = torch.tensor([True, True, False, False])b = torch.tensor([True, False, True, False])# 逻辑与运算c = a & bprint(c) # 输出: tensor([ True, False, False, False])```### 1.2 或运算（or）或运算符用符号“|”表示。
它返回两个张量对应元素的逻辑或结果。
示例代码如下：```pythonimport torch# 创建两个张量a = torch.tensor([True, True, False, False])b = torch.tensor([True, False, True, False])# 逻辑或运算c = a | bprint(c) # 输出: tensor([ True, True, True, False])```### 1.3 非运算（not）非运算符用符号“~”表示。
它返回张量元素的逻辑非结果。
示例代码如下：```pythonimport torch# 创建一个张量a = torch.tensor([True, False, True, False])# 逻辑非运算b = ~aprint(b) # 输出: tensor([False, True, False, True])```### 1.4 张量间比较除了逐元素的逻辑运算符，PyTorch还提供了张量间的比较运算符，包括相等（==）、不等（!=）、大于（>）、小于（<）、大于等于（>=）和小于等于（<=）。
0-2 矢量 算符 张量
∴ ∇ × ( A × Bc ) = (∇ ⋅ Bc ) A − B (∇ ⋅Α) = (Β ⋅ ∇) A − B (∇ ⋅ A)
上两式代入（ ），即得证： ），即得证 上两式代入（1），即得证：
五、正交曲线坐标系中
∇ 运算的表达式
Expression of ∇ Operation on Orthogonal Curvilinear CoCoOrdinates System
∂ ∂ ∂ ˆx ⋅ fAc ) + (ey ⋅ fAc ) + (ez ⋅ fAc ) ˆ ˆ ∇ ⋅ ( fAc ) = (e ∂x ∂y ∂z ∂f ∂f ∂f ˆx + A ⋅ ey + A ⋅ ez = A ⋅∇f ˆ ˆ = A⋅ e ∂x ∂y ∂z
例2：证明
∇ × ( A × B) = A(∇ ⋅ B) − ( A ⋅ ∇) B + ( B ⋅ ∇) A − B(∇ ⋅ A)
v v v ex = er cosθ − eθ sinθ v y v v ey = er sinθ + eθ cosθ θ = arctan x
r = x2 + y2
y r f
θ θ
θ
x
∂ v ∂ v ∇ = ex + ey ∂x ∂y
∂ ∂r ∂ ∂θ ∂ = + ∂x ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂ ∂r ∂ ∂θ ∂ = + ∂y ∂y ∂r ∂y ∂θ
2 标量场的梯度
v 标量场 ϕ(r )
dφ ˆ gradφ = el dl ∂φ ∂φ ∂φ ˆ ˆ ˆ = ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z
即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影。 即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影。 梯度表征标量场在空间各点沿不同方向变化快慢的程度 梯度表征标量场在空间各点沿不同方向变化快慢的程度
张量算符
三、球张量
球张量的定义是参考球谐函数的转动变换性质来给出的
对
由于
r
采用 nˆ V (nx Vx , ny Vy , nz Vz )
对应算符的变换结果：
定义k阶球张量算符为 其中q的个数（即张量的分量数）为2k+1。等价地有
不难看出
是磁量子数为q的k阶球张量。
但 Tqk 包括更普遍的球张量形式（如 (U x iU y )(Vx iVy )）。
注意：球张量分量依球谐函数的分量方式构造。如：
J1 J / 2, J0 Jz , J1 J / 2
J2 v
v
(
J1J
1
J1J1)
J
2 0
U V (U1V1 U1V1) U0V0
四、球张量与角动量的对易关系
对无穷小转动 得 即 上两式也可作为球张量的定义
五、张量的乘积
由2个1阶张量可构造出0-2阶的新张量，如
证：据Wigner-Eckart定理，
'
jm' jm'
| |
Vq Jq
| |
jm jm
'
j j
|| ||
v
Vv || J ||
j j
vv
'
jm
|
J
V
|
v
jm
'
jm
|
J0V0
v
J V 1 1
J V 1 1
|
jm
C jm ' j || V || j C j ' j || V || j
3n 分量的变换可看做n个3维矢量直积的变换
3独立分量J=1；n个J=1直积空间的转动可约化为一定 数量不可约空间的直和。
张量概念及其基本运算
ii
2
3 2
i1 ii
( 11 22 33 )2
33
ij ij
ij ij
i1 j1
1111 1212 1313
21 21 22 22 23 23
31 31 32 32 33 33
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★ 关于求和标号，即哑标有： ◆ 求和标号可任意变换字母表示。 ◆ 求和约定只适用于字母标号，不适用于数字标号。 ◆ 在运算中，括号内的求和标号应在进行其它运算前
1,
ij
0,
当i j时； 或： 当i j时；
1 0 0
ij 0 1 0
0 0 1
第7页/共14页
的作用与计算示例如下：
ij
(1) ii 11 22 33 3
(2) ij ij (11)2 ( 22 )2 ( 33 )2 3
(3) ij jk i11k i2 2k i3 3k ik
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C、张量函数的求导：
◆ 一个张量是坐标函数，则该张量的每个分量都
是坐标参数xi的函数。
◆ 张量导数就是把张量的每个分量都对坐标参数
求导数。
◆ 对张量的坐标参数求导数时，采用在张量下标 符号前上方加“ ′”的方式来表示。例如 ，Ai j 就表示对一阶张量 A的i 每一个分量对坐标参数
aij bij cij
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B、张量的乘积
◆ 对于任何阶的诸张量都可进行乘法运算。 ◆ 两个任意阶张量的乘法定义为：第一个张量的
每一个分量乘以第二个张量中的每一个分量， 它们所组成的集合仍然是一个张量，称为第一 个张量乘以第二个张量的乘积，即积张量。积 张量的阶数等于因子张量阶数之和。例如：
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一阶张量算符
一阶张量算符【原创实用版】目录一、什么是一阶张量算符二、一阶张量算符的性质三、一阶张量算符的运算规则四、一阶张量算符的应用正文一、什么是一阶张量算符一阶张量算符是张量分析中的一个重要概念，它是对空间中某一点的多个向量分量进行操作的算符。
它可以用来描述空间中的物理量，例如速度、加速度等。
一阶张量算符在物理学、数学以及工程领域中都有着广泛的应用。
二、一阶张量算符的性质一阶张量算符具有以下几个性质：1.指标不变性：一阶张量算符在指标变换下，其物理意义不变。
2.反对称性：一阶张量算符满足反对称性，即$A_{i_1i_2...i_n}=-A_{i_2i_1...i_n}$。
3.张量乘法：一阶张量算符可以与一阶张量进行乘法运算。
三、一阶张量算符的运算规则一阶张量算符的运算规则如下：1.加法运算：$A_{i_1i_2...i_n} + B_{i_1i_2...i_n} =(A+B)_{i_1i_2...i_n}$。
2.乘法运算：$A_{i_1i_2...i_n} cdot B_{i_1i_2...i_n} =A_{i_1i_2...i_n,j_1j_2...j_n}B_{j_1j_2...j_n}$。
3.数乘运算：$c cdot A_{i_1i_2...i_n} = cA_{i_1i_2...i_n}$。
四、一阶张量算符的应用一阶张量算符在物理学、数学以及工程领域中都有着广泛的应用，例如在连续体力学中，可以用一阶张量算符描述物质的密度、速度、应力等物理量；在计算机图形学中，可以用一阶张量算符表示纹理映射；在深度学习中，张量算符被用来描述多维数据等。
高等量子力学 张量算符
§4.2 分离对称性，宇称或空间反演
上面讨论的是连续性对称操作，即对称操作可由相继 无穷小对称算符所得。量子力学中有用的对称操作并 不限于此种形式，可有分立而非连续的对称操作，如 宇称，晶格平移和时间反演。
宇称或空间反演操作将r变为-r，右手坐标系变为左手 坐标系。量子力学中我们讨论的常是作用于态矢而不 是坐标系的变换。
该态在|R>和|L>间震荡，震荡角频率为
该震荡可看成量子力学的隧道贯穿，粒子在经典 物理禁止的区域隧穿而震荡于两态间。如势垒无 穷高，则EA=ES，从而ω=0，不再震荡。
注：对无穷高势垒， |R>和|L>均是H的本征态， 但|R>和|L>均非π的本征态。即H所具有的宇称不 一定反映在其本征态上，这是简并与对称破缺的 一个简单例子。这种现象在自然界相当普遍，如 铁磁现象，糖与氨基酸的手性等。
注意:非简并性对得出|n>是π的本征态是非常 重要的。若有简并，如氢原子体系， Cp|2p>+Cs|2s>是H本征态，但并非π的本征态。 又如动量本征态也是H本征态，但|p’> 和 |-p’> 简并, |p’>并非π的本征态.
当然，我们可以通过组合H的简并本征态而得 到π的本征态，如|α>=[|p’>±|-p’>]便是π和H的 共同本征态
如对转动，[D(R), H ] 0,则
v [J , H ] 0,
[J 2, H ] 0,
可构造H,J2,Jz的共同本征态|n;j,m>。由上所知，
所有D(R) |n;j,m>态能量简并。
由于 D(R) njm
njm
D( j) mm
(
R)
,
改变表征D(R)
矢量和张量
在柱坐标系中，对应(r，θ，z)的拉梅系数h为(1，
r，1)故有
在球坐标系中，对应(r，θ，φ)的拉梅系数h为(1，
r，rsin θ)故有
称它为拉普拉斯算符(有些作者以符号△表示，特 别在早期德国文献中)。与梯度、散度和旋度一样， 拉普拉斯算符只具有分配律性质。
矢量场的拉普拉斯算符
虽然上式在直角座标系下成立，但不能应用于曲线 座标系，所以把矢量场的拉普拉斯算符定义为：
就可用于曲线座标系。
二阶张量
本节将给出一些与张量和并矢量相关的一些 运算方法。这些运算在传递现象的理论中 会遇到，特别是动量传递中。
两个矢量的加法可以用熟知的平行四边形 法则进行运算；矢量减法运算如下：改变 一个矢量的符号，然后与另一失量相加。
矢量和标量的乘法
用一标量乘一矢量，仍为一矢量，它的大 小改变，但方向不变。下述定律适用；
二矢量的标量积(或点积)
二矢量v和w的标量积为一标量，定义如下：
v w vwcosvw
a31 a32 a33
矢量及其大小的定义：单位矢量
一矢量v可以完全地用其在 座标抽I，2，3上的投影 v1,v2,v3来描述(见左图)。因 此一矢量可以解析地表示为：
3
v 1v1 2v2 3v3 ivi i 1
一矢量的大小如下式所给：
上面介绍过的单位矢量具有了下述几个性质 它们可归纳如下； 式中δij和εijk分别是前边介绍过的克罗内克符号和交错 单位张量。
v v 0
矢量运算的解析表示
克罗内克符号(Kronecker delta)δij和交错单位张量εijk， 可把许多公式表达得更为简单。它们的定义如下：
ij 1 若i j
不可约张量——精选推荐
§24 不可约张量算符§24—1 张量和张量算符张量描写经典系统的一种与空间转动有关的属性。
张量由一组若干个量所组成，当系统处于空间某一方位时，这组量各取一定的数值，而当系统进行一个转动，处于另一方位时，这组量则取新的数值，新老数值之间按与转动（αβγ）有关的确定的规律进行变换。
例如，在取定一组坐标（i ，j ，k ）之后，系统的位置r 的三个分量123,,r r r 就是一个张量，在转动（αβγ）下它的变化规律是 ()k ki i ir Q r αβγ'=∑式中ki Q 为（22.14）式。
与此类似，凡描写经典系统的矢量ν，如动量、角动量等，都满足上式的变换规律：()kki i iQ ναβγν'=∑ （24.1） 此外，还有一些与转动无关的标量s,在转动下是不变的，这也是一种规律：s s '= （24.2）又如并矢式ab ，它有9个分量，在转动下的变换规律是121211112()()k k k k k i i i i i ab a b Q a b αβγ'''==∑1211212,()()i k ki i i i i Q Q ab =⊗∑ （24.3） （ab ）是以双下标12,i i 排序的，这9个量也构成一个张量。
上述在在直角坐标下的分量构成的张量称为直角张量；标量s,矢量v 和并矢ab 分别称为零秩，一秩和二秩直角张量。
同样也可以定义三秩以上的张量；n 秩直角张量的分量数为3n 。
对于微观系统，所有张量的分量都成为算符，而张量本身则成为张量算符。
例如s →S, ν→V, ab →AB这些算符称为直角张量算符。
张量算符在转动下变换的规律（除零秩外）与张量的规律不同，根据（19.15）式，矢量算符的变换为 V =D(Q)V 1D -(Q)=1Q -V 所以一秩直角张量算符的变换为1k ki i i ikiiV Q V VQ -'==∑∑ （24.4） 二秩张量算符的变换规律为1212121212,()()()k k i i i i k k i i AB AB Q Q '=⊗∑ （24.5）现在来分析一下二秩直角张量算符。
高量5-02 不可约张量算符
1 2
2
1 1
2
2
2
2
m1m2 1 2
1
1 2
2
L'
1
1 2
2
1
1 2
2
1
2
1
1
2
2
2017年1月14日星期六 8时53分2秒
13
四、不可约张量算符的代数运算规则
●乘法和收缩
1 ˆ UTLM ( 1 2 )U ' L' ˆ ˆ ClL D LL ' M Tl ( 1)Tl ( 2) l
17
六、不可约张量算符的Racah定义
●两种定义的等价性
(1) 考虑绕 z 轴转无穷小角 d
1 i ˆ ˆz U J z；U 1 dJ l i ˆ Dm ( ) lm ' | 1 d J 'm z | lm (1 idm) mm' i 1 d
l m （ 1） m
m
1 ˆlm ( 1 )T ˆl m ( 2 ) T 2l 1
(1)
l
ˆlm ( 1 )T ˆl m ( 2 ) 2l 1T00 ( 1 2 ) (1) T
m m
左=常数•零阶张量，在转动下不变→右亦然 ●称式右为两个 l 阶不可约张量的标量积 m ˆ ˆl m ( 2 ) T ( ) T ( ) ( 1 ) T ( ) T l 1 l 2 lm 1 记为
1 l ˆ ˆ U T ( ) U D ( ) T lm m 'm lm ' ( ) 代入 m'
ˆ z ,T ˆlm ] mT ˆlm [J
不可约张量算符
不可约张量算符不可约张量算符，也称为张量积算符或张量积投影算符，是量子力学中非常重要的概念。
在描述多粒子系统时，不可约张量算符能够方便地表示不同粒子间的相互作用。
以下是关于不可约张量算符的详细介绍。
什么是不可约张量算符？不可约张量算符可以被描述为一种特殊的线性算符，它描述了两个量子体系的张量积空间中的不可约表示。
不可约张量算符可以用来表示系统的可观测性质、自旋和相互作用等。
它可以分为两个部分，其中一个与单个粒子的自旋有关，而另一个与多个粒子的相互作用有关。
不可约张量算符的作用不可约张量算符可以用来描述多个粒子之间的相互作用。
这些相互作用对应于系统的能量和动量的各种信息。
在多体系统中，每个粒子的自旋和位置必须被考虑到，但是描述相互作用比描述单个粒子的行为更具挑战性。
不可约张量算符可以将描述各个粒子的量子态的张量积空间，转换为与这些量子态相同的新张量积空间。
这样做可以消除两个不同粒子之间相互作用的干扰，从而使物理学家更容易分析多体系统。
不可约张量算符可以自我嵌入，这意味着可以将它们组合在一起，以形成更大的不可约张量算符，以描述更复杂的多粒子系统。
不可约张量算符的组成不可约张量算符由两个部分组成：一个部分涉及不同粒子之间的相互作用，而另一个部分涉及单个粒子的自旋。
第一个部分通常称为张量，而第二个部分称为不变量。
在处理多粒子系统时，不可约张量算符的组成要考虑的因素包括每个粒子的自旋，每个粒子之间的相互作用以及它们之间的空间排列方式。
因此，不可约张量算符由不可约张量的张量积组成。
不可约张量算符的数学表示不可约张量算符可以用数学符号表示为：$$ \hat{T}^{\{l\}}_{q} \otimes \hat{S}^{\{s\}}_{m} $$其中，$ \{l\} $和$ \{s\} $表示量子态，$ q $和$ m $表示它们的量子数。
$ \hat{T}^{\{l\}}_{q} $表示的是不可约张量，它描述的是多个粒子之间的相互作用。
附录矢量与张量运算
附录 矢量与张量运算1标量﹑矢量与张量1.1基本概念在本书中所涉及的物理量可分为标量、矢量和张量。
我们非常熟悉标量，它是在空间没有取向的物理量，只有一个数就可以表示其状态。
例如质量、压强、密度、温度等都是标量。
矢量则是在空间有一定取向的物理量，它既有大小、又有方向。
在三维空间中，需要三个数来表示，即矢量有三个分量。
考虑直角坐标右手系，三个坐标轴分别以1、2和3表示，、2和3分别表示1、2和3方向的单位矢量。
如果矢量a 的三个分量分别为a 1、、a 2、a 3，则可以表示为也可以用以下符号表示 a =(a 1,a 2,a 3)矢量a 的大小以a 表示a =(a 12+a 22+a 32)1/2我们还会遇到张量的概念，可将标量看作零阶张量，矢量看作一阶张量，在此将主要讨论二阶张量的定义。
二阶张量w 有9个分量，用w ij 表示。
张量w 可用矩阵的形式来表示：w 其中下标相同的元素称为对角元素，下标不同的元素称为非对角元素。
若w ij =w ji ，则称为对称张量。
如果将行和列互相交换就组成张量w 的转置张量，记作w T ,则w T =显然，若w 是对称张量，则有w =w T 。
另外，如果w T =-w ，w 被称为反对称张量，同时有w ij =-w ji 。
任何一个二阶张量都可以写成两部分之和，一部分为对称张量，另一部分为反对称张量。
w =(w +w T )+ (w -w T )单位张量是对角分量皆为1，非对角分量皆为0的张量是最简单的对称张量。
张量对角分量之和称为张量的迹t r w =张量的迹是标量，如果张量的迹为零，称此张量为无迹张量。
1.2基本运算1.2.1矢量加法与乘法运算在几何上，矢量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
如图附-1所示，减法为加法的逆运算。
1e e e a 332211e e e a a a a ++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211w w w w w w w w w ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332313322212312111w w w w w w w w w 2121δ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001δδ∑iiiw图附-1 矢量加减法在解析上，矢量加法（减法）为对应分量之和（差）。
矢量和张量
称它为拉普拉斯算符(有些作者以符号△表示，特 别在早期德国文献中)。与梯度、散度和旋度一样， 拉普拉斯算符只具有分配律性质。
矢量场的拉普拉斯算符
虽然上式在直角座标系下成立，但不能应用于曲线 座标系，所以把矢量场的拉普拉斯算符定义为：
就可用于曲线座标系。
二阶张量
本节将给出一些与张量和并矢量相关的一些 运算方法。这些运算在传递现象的理论中 会遇到，特别是动量传递中。
• 矢量及其大小的定义： 矢量v定义为一个具有一定大小和方向的量。 矢量的大小记作| v | 。或以非黑体的斜体字 v来标记。二个矢量v和w如果大小相同，方 向亦相同，则此二矢量相等；它们不一定 是同线的，亦不一定具有同一原点。如果v 和w的大小相同，但方向相反，则v ＝-w。
矢量的加法和减法
两个矢量的加法可以用熟知的平行四边形 法则进行运算；矢量减法运算如下：改变 一个矢量的符号，然后与另一失量相加。
定义和符号 矢量v可以用一组分量v1，v2和v3来确定。相似地， 一个二阶张量τ可以用九个分量η11， η12 ，η13 ，η21 等等来确定。为简便起见，这些分量可以写成
不要把这一排列的数组与行列式相混淆；后者 亦可作这种排列，但在此只是一组有序的数， 而行列式是这些数的某一种确定的乘积的和。 两个下标相同的元素称为对角元素，而二下标 不同的元素为非对角元素。如果η12＝η21 ，η13 ＝η31 ， η23＝η32那么η称为对称张量。张量η的 转置是对每个元素的二个下标变换后所得的一 个张量记作η T：
式中nvw是单位长度的矢量(“单位矢量”)，它与v和 w组成的平面垂直，其方向是右螺旋的前进方向(矢 量v按最短路径旋转到w)。矢量积的几何表示如图 A．1—4所示。矢量积的大小正好等于矢量v和w组 成的平行四边形面积。按矢量积定义，我们有
麦克斯韦方程组张量形式
麦克斯韦方程组张量形式一、前言麦克斯韦方程组是电磁学的基础，它描述了电磁场的演化和相互作用。
在物理学中，张量是一个非常重要的概念，它可以描述物理量在不同坐标系之间的变换规律。
因此，将麦克斯韦方程组表示为张量形式是十分有意义的。
二、麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组包含四个方程式：1. 高斯定律：$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$其中，$\mathbf{E}$ 是电场强度，$\rho$ 是电荷密度，$\epsilon_0$ 是真空介电常数。
2. 安培定律：$\nabla \times \mathbf{B} =\mu_0\left(\mathbf{J}+\epsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\right)$其中，$\mathbf{B}$ 是磁感应强度，$\mathbf{J}$ 是电流密度，$\mu_0$ 是真空磁导率。
3. 法拉第定律：$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$4. 安培-马克思定律：$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$三、张量形式为了将麦克斯韦方程组表示为张量形式，我们需要定义一些张量。
1. 电场强度张量电场强度张量 $F_{\mu\nu}$ 定义为：$$F_{\mu\nu}=\begin{pmatrix}0 & -E_x & -E_y & -E_z\\E_x & 0 & -B_z & B_y\\E_y & B_z & 0 & -B_x\\E_z & -B_y & B_x & 0\end{pmatrix}$$其中，$\mu$ 和 $\nu$ 是四维指标，$E_i$ 和 $B_i$ 分别是电场和磁场的三个分量。
matlab高维矩阵乘法
matlab高维矩阵乘法
在 MATLAB 中，矩阵乘法可以使用 * 运算符进行。
对于高维矩阵（张量），可以使用 mtimes 函数或 * 运算符。
以下是一个示例，演示如何进行高维矩阵的乘法：
% 创建两个三维矩阵（张量）
A = randn(3, 4, 2); % 3x4x2 矩阵
B = randn(4, 2, 5); % 4x2x5 矩阵
% 使用 mtimes 函数进行高维矩阵乘法
C = mtimes(A, B);
% 或者使用 * 运算符
D = A * B;
% 显示结果
disp('Matrix A:');
disp(A);
disp('Matrix B:');
disp(B);
disp('Result using mtimes:');
disp(C);
disp('Result using * operator:');
disp(D);
在这个例子中，A 是一个大小为 3x4x2 的三维矩阵，B 是一个大小为 4x2x5 的三维矩阵。
通过 mtimes 函数或 * 运算符，可以得到一个大小为 3x2x5 的三维矩阵 C 或 D。
请注意，矩阵乘法的维度规则仍然适用。
在矩阵乘法中，两个矩阵的相邻维度必须相等，结果矩阵的大小是两个矩阵的非相邻维度的组合。
在上述示例中，A 的第二维（4）和 B 的第一个维度（4）相等，因此可以进行矩阵乘法。
不可约张量
二阶张量 Fˆ 、并矢
α
∑ 9个分量 F ′i1i2 =
F (Q ⊗ Q) j1 j2
i1i2 j1 j2
j1 j2
张量的阶数越高，空间转动下变换规律越复杂！
二阶张量 Fˆ
∑ 9个分量 F ′i1i2 =
F (Q ⊗ Q) j1 j2
i1i2 j1 j2
j1 j2
∑ =
F Q Q j1 j2 i1 j1 i2 j2
Tˆ1−1 =
3 8π
(
xˆ r
−
iyˆ r
)
对无穷小转动
Tˆλ′µ =
Dµλ′µ
D=ˆ <(Qλ)TµˆDλˆ′µ|(DˆDdˆ†ϕ(|Qλnµ))===>T1(ˆ1λ=−µ−<−iiλdidµϕϕd′nϕ|n1⋅n⋅−JˆJ⋅ˆ[i)JTˆdˆλ,ϕµTˆ(λn1µ ⋅]+Jˆi|
=δ µ′µ
−
§5 不可约张量
一、张量算符
三维空间的n 阶直角张量（笛卡尔张量）：
3n 个分量，转动变换中按一定规则变化。
零阶张量 Sˆ 、标量
Sˆ′
=
Dˆ (ϕ
n
)SˆDˆ †
(ϕ
n)
=
Sˆ
[Sˆ, Jˆ]= 0
一阶张量
Aˆ ′
=Aˆ D、ˆ (矢ϕ n量) Aˆ Dˆ
†
(ϕ
n
)
=
Q
−1
Aˆ
∑ 3个分量 Aˆi′ = Qαi Aˆα
∑ [Jˆ± ,Tˆλµ ]= (λ µ)(λ ± µ +1) Tˆλµ′ < λµ′ | λ, µ ±1 > µ′=−λ
= (λ µ)(λ ± µ +1)Tˆλ,µ±1
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（
，
）
二、直角张量和不可约张量
将矢量变换推广,定义直角张量Tijk的转动变换性质：
指标ijk…的数目称为张量的“阶”（“秩”）。 相比 对应于
D (R)Tijk...D(R) D (R)UiD(R)D(R)VjD(R)D(R)WkD(R)...
三、球张量
球张量的定义是参考球谐函数的转动变换性质来给出的
对
由于
采用 nˆ V (nx Vx , ny Vy , nz Vz )
对应算符的变换结果：
定义k阶球张量算符为 其中q的个数（即张量的分量数）为2k+1。等价地有
不难看出
是磁量子数为q的k阶球张量。
但 Tqk 包括更普遍的球张量形式（如 (U x iU y )(Vx iVy )）。
2U0V0 6
U V 1 1
该定理了指出通过两张量的乘积构造高阶或低阶张量的方 法（与角动量叠加中基函数变换关系相似）
证：
六、张量算符的矩阵元
1）磁量子数选择定则：
这是因为：
T (k) q
|
jm 是Jz
的本征矢（但一般不是
J 2 的本征矢）
可以证明：
T (k) q
注意：球张量分量依球谐函数的分量方式构造。如：
J1 J / 2, J0 Jz , J1 J / 2
J2
( J1 J 1
J1J1)
J
2 0
U V (U1V1 U1V1) U0V0
四、球张量与角动量的对易关系
对无穷小转动 得 即 上两式也可作为球张量的定义
jm | J 2 | jm C j j | J | j
'
jm'
| Vq
|
jm
'
j j
|| V || J
|| ||
j j
jm'
|
Jq
|
jm
C j ' j || V || jm | J2 | 来自jjm
证明思路：利用
和J±对|jm>
的作用结果，可知<α’j’m’|T(kq)|αjm>与
<jkmq|jkj’m’>满足相同的一阶线性齐次方程，从而成
比例。
Wigner-Eckart定理的简单应用： a) 对标量S，则
即标量不改变j,m b) 对矢量k=1，q=1,0,-1，由CG系数知
3n 分量的变换可看做n个3维矢量直积的变换
3独立分量J=1；n个J=1直积空间的转动可约化为一定 数量不可约空间的直和。
例如：
将两矢量U,V笛卡分量相乘构成T的分量， 分量，是二阶笛卡张量。
, 有9个
笛卡张量具有可约性的缺陷，即可分解为具有不同转动变 换性质的几部分，如
三部分的独立分量对应L=0,1,2的角动量多重性。笛卡张 量可分解为按0，1，2阶球谐函数变换的三个张量。因此， 球张量更基本。
|
j'mq
kj 'qm q |
jm
-->
|
jm
q
是 (J 2 , J z ) 的共同本征矢
2）Wigner-Eckart定理：
张量算符在角动量本征态的矩阵元满足
其中<α’j’||T(k)||αj>与m,m’及q无关，而
<jk;mq|jk;j’m’>为CG系数.
该定理表明其矩阵元可分为两部分，一部分只依赖于体系 的取向而与具体张量无关，另一部分与取向无关，但依赖 于张量及径向分布。
（但00跃迁不发生
3)投影定理 (Lande公式)：
径向积分只牵涉标量，角度部分则是已知的。
证：据Wigner-Eckart定理，
'
jm' jm'
| |
Vq Jq
| |
jm jm
'
j j
|| ||
V J
|| ||
j j
' jm | J V | jm ' jm | J0V0 J V 1 1 J V 1 1 | jm C jm ' j || V || j C j ' j || V || j
jm'
|
Jq
|
jm
'
jm | JV |
2 j( j 1)
jm
jm'
|
Jq
|
jm
作业
3.29, 3.30
§3.11 张量算符
一、矢量算符
矢量在转动下其分量Vi按 j RijVj 变换，要求量子力学中
的矢量算符之期望值在转动下具有与经典矢量在转动下的
变换行为：
即
对无穷小角转动
分析x,y,z分量可得出:
上式可作为矢量算符的定义。
因角动量算符的对易关系是上式的特例，故角动量是矢量 算符。类似地，x, p也是矢量算符。
五、张量的乘积
由2个1阶张量可构造出0-2阶的新张量，如
T (0) 0
U V 3
U V 1 1 U V 1 1 U0V0 3
T (1) q
(U V )q i2
T (2) 2
U1V1;
一般的有：
T (2) 1
U 1V0
U0V1 2
;
T (2) 0
U V 1 1