Wigner-Eckart定理证明
哈代-温伯格定律的推导过程
哈代-温伯格定律的推导过程嘿，咱今儿个就来唠唠哈代-温伯格定律的推导过程。
你想啊，在一个种群里，基因那可是关键角色呀！就好比一场大戏，基因就是那一个个活灵活现的演员。
先说说基因频率吧，这就像是演员在这场戏里的戏份多少。
而基因型频率呢，就好比不同演员组合出现的频次。
咱假设啊，有个种群，里面就两种等位基因 A 和 a。
那 A 的频率咱就叫p，a 的频率就叫q。
那这两者加起来不就得是1 嘛，就像咱走路，不是往左就是往右，总不能跑天上去吧！然后呢，这种群里的个体，基因型不就三种嘛，AA、Aa、aa。
那AA 的频率就是 p 的平方，Aa 的频率就是 2pq，aa 的频率就是 q 的平方。
这咋来的呢？你就想想，要形成 AA，那两个 A 碰一块儿的概率不就是 p 乘 p 嘛，同理可得其他的呀。
这就好比抽奖，A 是大奖，a 是小奖，那抽到两个大奖的概率不就是大奖的概率乘大奖的概率嘛，抽到一奖一小奖的概率不就是大奖概率乘小奖概率乘 2 嘛，因为有两种可能顺序呀。
那要是到了下一代呢？嘿，也一样呀！基因频率还是那个基因频率，基因型频率还是那个基因型频率。
就像水流，不管流到哪儿，水还是水呀！你说这神奇不神奇？这就是哈代-温伯格定律呀！它告诉咱，在没有外界干扰的情况下，种群的基因频率和基因型频率可以保持稳定呢。
这就好比咱过日子，只要没啥大变动，生活状态也能保持相对稳定呀。
再深入想想，这定律可太重要啦！它能让咱了解生物的遗传规律，对研究物种进化啥的都有大帮助呢。
咱平时可能觉得基因啥的离咱挺远，可仔细想想，咱的长相、性格啥的，不都和基因有关系嘛。
这哈代-温伯格定律就像一把钥匙，能帮咱打开了解基因世界的大门呢。
你再想想，如果没有这个定律，那生物世界不就乱套啦？基因随便变来变去，那物种还不得变得稀奇古怪的呀！所以说呀，这哈代-温伯格定律真的是生物世界里的一个宝贝呀！咱可得好好琢磨琢磨，好好利用它，去探索更多生物的奥秘呢！。
wigner—eckart定理的简单证明及应用
wigner—eckart定理的简单证明及应用Wigner-Eckart定理是量子力学中一个重要的定理，它描述了任何标量、向量或张量粒子相对性质间的关系。
它可以简化物理学家对复杂系统中的操作，也可以解释导出量子中的很多现象。
Wigner-Eckart定理的简单证明如下：首先，如果我们假定有一个三维向量$\textbf{F}$，其中包含标量$F_{0}$，矢量$F_{1}$和张量$F_{2}$，并假设它们之间有以下关系：$$ F_{i} = A_{jm}T^{jm}_{i} $$其中，$A_{jm}$是一个与角动量$L$有关的常数，$T_{i}^{jm}$是射影算符$P_{jm}$的矩阵元素。
另外，$$ P_{jm} = \frac {c_{jm}} {\sqrt {2j+1}} \sum _{n=-j}^{j} \langle j m n|s j_z \rangle |j n\rangle$$其中$c_{jm}$是一个仅与$L$有关的常数，$s$是核外电子的角动量，$j_z$是总角动量$L$在$z$轴上的分量。
将等式两边各乘以$P_{jm}$，得到$$ P_{jm}F_{i} = P_{jm}A_{jm}T_{i}^{jm}$$故$A_{jm}$必须满足$$ A_{jm} = \frac {P_{jm}F_i}{T^{jm}_{i}} $$这就是Wigner-Eckart定理的简单证明。
Wigner-Eckart定理的应用非常广泛。
首先，它可以用来计算多电子原子的能级，这是因为它可以用来说明每个电子在磁场中所扮演的角色。
此外，它还可以用来计算给定量子数下不同态的转变，比如从总角动量$L$到$L-1$。
此外，Wigner-Eckart定理还可以用来解释多电子在各种条件下的行为，例如大气电子在外场中的粒子辐射，以及多电子原子在外场和非平衡温度条件下的行为。
另外，它还可以用来解释自旋-磁性和自旋-轨道耦合之间的关系，以及磁性频道的运动。
wigner 半圆定理推导
wigner 半圆定理推导Wigner半圆定理是由物理学家Eugene Wigner于1955年提出的，它的核心思想是将量子力学和经典力学进行对比研究。
在经典力学中，经典系统的能级是连续的，而在量子力学中，能级是离散的。
Wigner半圆定理指出，当量子系统的能级数目很大时，其能级统计性质会逐渐接近于经典混沌系统的能级统计性质，即呈现出半圆形的分布。
为了理解Wigner半圆定理的推导过程，首先需要了解量子系统的能级分布。
根据量子力学的基本原理，一个量子系统的能级分布可以通过它的哈密顿算符来描述。
哈密顿算符是用来描述系统能量的算符，其本征态对应于系统的能级。
根据量子力学的基本假设，一个系统的哈密顿算符可以通过对应的经典力学系统的哈密顿函数量子化得到。
在Wigner半圆定理的推导中，我们假设量子系统的哈密顿算符是一个随机矩阵。
随机矩阵是一类具有随机性质的矩阵，其元素的取值满足一定的概率分布。
这个假设是合理的，因为在实际的物理系统中，我们无法完全确定系统的微观状态，只能获得一部分关于系统的统计信息。
而随机矩阵可以很好地描述这种统计性质。
根据随机矩阵的统计性质和量子力学的基本原理，我们可以得出量子系统的能级统计性质。
通过数学推导，可以证明当量子系统的能级数目很大时，其能级之间的间距呈现出一种特殊的统计规律，即Wigner-Dyson分布。
Wigner-Dyson分布描述了能级之间的间距在某个范围内的概率密度分布，其形状近似为一个半圆形。
Wigner半圆定理的推导过程较为复杂，需要运用复变函数、矩阵理论和统计物理等数学工具。
具体推导的细节在本文中无法详细展开，但可以肯定的是，Wigner半圆定理是经过严格的数学推导和实验验证的，其适用范围广泛，不仅适用于原子核、分子和固体物理等领域，也适用于复杂的量子混沌系统。
Wigner半圆定理的发现对于量子力学和经典力学之间的关系有着重要的意义。
它揭示了量子系统的能级统计性质与经典混沌系统之间的联系，为我们理解量子力学与经典力学之间的转换提供了重要的线索。
塞曼效应以及能级的计算
塞曼效应以及能级的计算简单总结了⼀下在原⼦结构的基础上的Zeeman效应。
很久之前就知道，这次算是复习，顺便计算⼀下。
仅限于LS耦合，并且假设核⾃旋是0. 后⾯可能会考虑上核⾃旋⾮零的原⼦。
弱场下原⼦的Zeeman效应把电⼦运动视为经典带电⼩球的圆周运动，按照电磁学，得到的磁矩为µ=q/(2m e)ℓ，其中q=−e为电⼦电荷，m e为电⼦质量。
该磁矩还可以改写为µ=qℏ/(2m e)ℓ/ℏ=−µBℓ/ℏ，其中µB为玻尔磁⼦，取正值。
于是相互作⽤能量(选取外磁场沿z轴)为H′=−B⋅µ=eB z/(2m e)ℓz。
这是从经典图像中得到的结果。
按照B.卡尼亚克《原⼦物理学(下册)》，直接分析静磁场中单电⼦的Schrodinger⽅程，可以得到两个附加项，⼀项为H′=−B⋅µ=eB z/(2m e)ℓz，另⼀项正⽐于磁场平⽅。
这两项分别为顺磁项和抗磁项。
简单的计算表明，对于1T的磁场⽽⾔，第⼆项远⼩于第⼀项，因此略去。
不论从哪⾥出发，得到的附加哈密顿是相同的。
在多电⼦情形下即为H′=µBℏB⋅∑iℓi进⼀步考虑各个电⼦的⾃旋，最终得到H′=µBℏB⋅∑i(ℓi+g s s i)=µBℏ→B⋅(→L+gs→S)其中g s为电⼦⾃旋的Lande因⼦，值为2. 在Slater的Quantum Theory of Atomic Structure中，从磁场中单电⼦的Dirac⽅程出发，计算电流密度，分别得到电⼦轨道⾓动量贡献的磁矩(和这⾥⼀样)以及⾃旋贡献的磁矩，其中⾃旋磁矩含有值为2的Lande因⼦。
也可以说电⼦轨道磁矩的Lande因⼦为1. ⾄此已经给出了磁场中哈密顿的附加项的来源，并说清了电⼦Lande因⼦的来源。
现在看LS耦合情形下，弱场Zeeman效应。
弱场意味着磁场的附加哈密顿是所有微扰中最⼩的，因此最后考虑。
张量算符
三、球张量
球张量的定义是参考球谐函数的转动变换性质来给出的
对
由于
r
采用 nˆ V (nx Vx , ny Vy , nz Vz )
对应算符的变换结果：
定义k阶球张量算符为 其中q的个数（即张量的分量数）为2k+1。等价地有
不难看出
是磁量子数为q的k阶球张量。
但 Tqk 包括更普遍的球张量形式（如 (U x iU y )(Vx iVy )）。
注意：球张量分量依球谐函数的分量方式构造。如：
J1 J / 2, J0 Jz , J1 J / 2
J2 v
v
(
J1J
1
J1J1)
J
2 0
U V (U1V1 U1V1) U0V0
四、球张量与角动量的对易关系
对无穷小转动 得 即 上两式也可作为球张量的定义
五、张量的乘积
由2个1阶张量可构造出0-2阶的新张量，如
证：据Wigner-Eckart定理，
'
jm' jm'
| |
Vq Jq
| |
jm jm
'
j j
|| ||
v
Vv || J ||
j j
vv
'
jm
|
J
V
|
v
jm
'
jm
|
J0V0
v
J V 1 1
J V 1 1
|
jm
C jm ' j || V || j C j ' j || V || j
3n 分量的变换可看做n个3维矢量直积的变换
3独立分量J=1；n个J=1直积空间的转动可约化为一定 数量不可约空间的直和。
戈登定理证明
戈登定理证明
戈登定理，又称为第一回旋定理，是微积分领域中一项基本定理。
它指出，对于任何光滑的、封闭的曲线C，其围成的区域D的面积可以用曲线C的长度L和C围成的区域D的欧拉特征数χ(D)表示：面积A = L × χ(D) / 2
其中，欧拉特征数χ(D)是一个拓扑不变量，它可以用点、边、面等几何元素的数量来计算。
例如，对于一个平面图形，欧拉特征数为1，而对于一个圆环状图形，欧拉特征数为0。
该定理的证明可以通过格林公式来完成，即将面积的计算转换为线积分的计算。
格林公式是一个常用的定理，它将曲线积分与某个区域内的二维散度和散度旋度的积分联系起来。
通过应用格林公式，可以将曲线C围成的区域D分成若干个小三角形，再利用三角形的面积和底边长度的关系来计算面积A。
最终，将欧拉特征数的表示式代入即可得到戈登定理的公式表达式。
戈登定理在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用，被认为是微积分的基本概念之一。
高等量子力学 张量算符
§4.2 分离对称性，宇称或空间反演
上面讨论的是连续性对称操作，即对称操作可由相继 无穷小对称算符所得。量子力学中有用的对称操作并 不限于此种形式，可有分立而非连续的对称操作，如 宇称，晶格平移和时间反演。
宇称或空间反演操作将r变为-r，右手坐标系变为左手 坐标系。量子力学中我们讨论的常是作用于态矢而不 是坐标系的变换。
该态在|R>和|L>间震荡，震荡角频率为
该震荡可看成量子力学的隧道贯穿，粒子在经典 物理禁止的区域隧穿而震荡于两态间。如势垒无 穷高，则EA=ES，从而ω=0，不再震荡。
注：对无穷高势垒， |R>和|L>均是H的本征态， 但|R>和|L>均非π的本征态。即H所具有的宇称不 一定反映在其本征态上，这是简并与对称破缺的 一个简单例子。这种现象在自然界相当普遍，如 铁磁现象，糖与氨基酸的手性等。
注意:非简并性对得出|n>是π的本征态是非常 重要的。若有简并，如氢原子体系， Cp|2p>+Cs|2s>是H本征态，但并非π的本征态。 又如动量本征态也是H本征态，但|p’> 和 |-p’> 简并, |p’>并非π的本征态.
当然，我们可以通过组合H的简并本征态而得 到π的本征态，如|α>=[|p’>±|-p’>]便是π和H的 共同本征态
如对转动，[D(R), H ] 0,则
v [J , H ] 0,
[J 2, H ] 0,
可构造H,J2,Jz的共同本征态|n;j,m>。由上所知，
所有D(R) |n;j,m>态能量简并。
由于 D(R) njm
njm
D( j) mm
(
R)
,
改变表征D(R)
wigner eckart定理
wigner eckart定理
Wigner-Eckart定理是量子力学中的一个重要定理，用于描述标量算符和矢量算符之间的关系。
该定理是由尤金·维格纳（Eugene Wigner）和卡尔·爱克哈特（Ferdinand Eckart）于1927年提出的。
根据Wigner-Eckart定理，如果一个标量算符作用于一个多电子体系的波函数，其期望值只依赖于该多电子系统的角动量量子数和空间对称性，而与具体的电子自旋和轨道角动量分布无关。
具体而言，Wigner-Eckart定理可表示为：
⟨J', M' | T^kq | J, M⟩ = (-1)^(J - J' + M') * (J, J'; k, q | J, M) * ⟨J' || T^k || J⟩
其中，⟨J', M' | T^kq | J, M⟩表示J, M到J', M'的矩阵元；T^kq 是k阶张量算符；(J, J'; k, q | J, M)是Clebsch-Gordan系数；⟨J' || T^k || J⟩表示J'和J态的期望值。
Wigner-Eckart定理为研究多电子体系中的角动量耦合提供了一种有效的方法，使得可以通过计算相对简单的矩阵元来推断出复杂的多电子波函数的性质。
它在量子化学、核物理和量子光学等领域都有广泛的应用。
42分离对称性宇称或空间反演
多电子、多原子晶胞：不同能带原则上可交叉
§4.4 时间反演分立对称性
一、牛顿力学的时间反演变换 经典力学情形：一受保守力场作用的粒子其轨迹如图
d 2 x (t ) m V ( x (t )) 2 dt
若x(t)是牛顿方程的解，令t’=-t,有
2 d x (t ) d x (t ) m m V ( x (t )) 2 2 d (t ) dt
则Maxwell方程和Lorentz力形式不变。 即若[ E (t ), B(t ), j (t ), (t)]是解， 则 E (t ), B(t ), j (t ), ( t) 也是解 上述讨论表明，经典物理中的时间变换为：
t-t， xx, v-v (p-p),
三、矢量和赝矢量
在转动下x和J以相同方式变换，两者都是矢量，或一阶球 张量，但x和p与π反对易，而J与对易。 与宇称反对易的矢量称为极性矢量，而与宇称对易的矢量 叫做轴矢量或赝矢量。 类似的有标量算符（与宇称算符对易）和赝标量算符（与 宇称算符反对易） 。 L•S、x•p是标量： π+ L•Sπ= L•S 赝标量的例子包括S•x、L•x等：
§4.2 分离对称性，宇称或空间反演
上面讨论的是连续性对称操作，即对称操作可由相继无穷 小对称算符所得。量子力学中有用的对称操作并不限于此 种形式，可有分立而非连续的对称操作，如宇称，晶格平 移和时间反演。 宇称或空间反演操作将r变为-r，而右手坐标系变为左手坐 标系。量子力学中我们讨论的常是作用于态矢而不是坐标 系的变换。
2
x(-t)也是牛顿方程的解 (时间反演:xx,dx/dt-dx/dt) 可见时间反演应更确切地称为运动反演或运动的倒转。
wigner-eckart定理的简单证明及应用
wigner-eckart定理的简单证明及应用
Wigner-Eckart定理体现了物理性质中的对称性，是表达物理场论中的实验对称原理的重要内容，被广泛应用于量子力学和统计力学中。
Wigner-Eckart定理是由埃拉斯特·维格纳和爱德华·埃克兹1927年首先提出的，根据这一定理，在三重磁化矢量上，选取任何两个特定的物理量，这两个物理量之间存在一定的关系，该定理也就是这种关系的定义。
它表达了简并极矢量和对应的磁化矢量之间的关系，被称为“Wigner-Eckart定理”。
Wigner-Eckart定理的应用可以分为研究原子结构与原子激发态的量子力学和统计力学，以及解决原子的能级结构问题等方面。
通过Wigner-Eckart定理，可以发现原子能量级的模型，从而了解原子系统的结构。
同时，它可以对多原子原子系统中偶极分子的振动以及转动实现进一步的理论分析。
此外，Wigner-Eckart定理还可以应用到研究分子性质的互联网技术中，可以帮助研究者更轻松地实现从可视化到理论仿真的跨越。
例如，近年来，为了更加准确地预测分子数据，人们将Wigner-Eckart定理与人工智能技术相结合，使得计算和分析数据更方便，更快捷，从而让研究者可以更有效地探索分子性质乃至诸如药物发现等方面。
总之，Wigner-Eckart定理是物理世界中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地去理解物理现象。
物理学家通过该定理可以探索出复杂系统中蕴藏着的联系和对称性，同时，把它作为一个重要工具应用到互联网技术中，以期提高分子研究的准确性，以及药物发现等其他领域的科学预测之中。
eckart-young-mirsky定理
eckart-young-mirsky定理
Eckart-Young-Mirsky定理是一个与矩阵特征值和特征向量相关的重要定理。
该定理主要探讨了一类归一化条件下的特征值问题。
给定一个n阶方阵A，其特征值和特征向量满足条件：特征向量归一化后，其特征值的绝对值最大。
也就是说，对于所有的特征向量x 和其对应的特征值λ，\|x\|=1，并且存在某一特征向量x和其对应的特征值λ，使得其他特征向量对应的特征值的绝对值都小于等于λ。
这个定理在多个领域中具有广泛的应用，包括图像处理、信号处理、机器学习等。
例如，在图像处理中，可以利用这个定理进行降维操作，从而提取出图像中的主要特征。
在机器学习中，该定理可以用于特征选择和主成分分析等任务中。
Eckart-Young-Mirsky定理的证明过程较为复杂，涉及到特征值分解等数学概念和推导。
具体证明细节可以参考相关数学教材和研究文献。
不过，尽管涉及一些复杂的数学原理，该定理在实际应用中具有重要的意义，并且已经得到广泛应用和验证。
格林公式证明柯西定理
格林公式证明柯西定理在数学的广袤天地中，格林公式和柯西定理就像是两颗璀璨的明星，闪耀着智慧的光芒。
咱们今天就来好好聊聊格林公式是怎么证明柯西定理的。
咱们先来说说格林公式。
想象一下，在一个平面区域里，有一条封闭的曲线，就像咱们围着操场跑一圈，这个曲线所围成的区域就好比是操场内部。
格林公式呢，就是告诉我们在这个区域里，某个向量场的流量和沿着边界曲线的环流之间的关系。
那柯西定理又是啥呢？它说的是在一个单连通区域内，如果一个复变函数是解析的，那么沿着这个区域内任何一条封闭曲线的积分都等于零。
现在，咱们来看看格林公式怎么证明柯西定理。
咱们假设这个复变函数是 \(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\) ，其中 \(u\) 和\(v\) 分别是实部和虚部。
根据格林公式，咱们有：\[\begin{align*}\int_{C} (u dx + v dy)&=\iint_{D} \left( \frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y} \right) dxdy\\\end{align*}\]因为 \(f(z)\) 是解析的，所以 \(u\) 和 \(v\) 满足柯西 - 黎曼方程：\[\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y},\quad\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\]把这两个式子代入上面格林公式的式子中，咱们就能得到：\[\int_{C} (u dx + v dy) = 0\]这就证明了柯西定理！我记得有一次给学生们讲这个的时候，有个学生特别可爱，瞪着大眼睛一脸迷茫地问我：“老师，这到底有啥用啊？”我笑着跟他说：“就好比你要去一个陌生的地方，知道了正确的路线才能不迷路，这些定理就是咱们数学世界里的路线图呀！”其实数学里的这些定理和公式，就像是一把把神奇的钥匙，能帮我们打开一扇扇未知的大门。
魏尔斯特拉斯判别法证明过程
魏尔斯特拉斯判别法证明过程嘿，咱今天就来唠唠魏尔斯特拉斯判别法证明过程这档子事儿。
你想啊，数学的世界就像是一个超级大的神秘花园，里面有各种各样奇妙的东西。
魏尔斯特拉斯判别法呢，就是这个花园里挺重要的一个宝贝。
咱先看看这个判别法到底说的啥。
简单来说，它就是用来判断一个级数在某个区间上是不是一致收敛的。
这就好比你要判断一条路走起来顺不顺畅，魏尔斯特拉斯判别法就是那个能帮你看出路好不好走的工具。
那它咋证明呢？哎呀，这可有点复杂啦！就好像你要搭一个特别精巧的积木塔，每一块积木都得放得恰到好处。
我们得先从一些基本的概念和定理入手，就像盖房子得先打牢地基一样。
然后一步一步地推导，每一步都得小心翼翼，不能有一点差错。
比如说，我们得考虑函数的性质啦，级数的特点啦。
这就跟拼图似的，你得把那些小块儿一块一块地拼起来，才能看到完整的画面。
在证明的过程中，你会发现数学的神奇之处。
那些看似毫不相干的概念和定理，在这儿都能串起来，就像珍珠串成项链一样。
有时候，你可能会觉得有点头疼，哎呀，怎么这么绕啊！但别着急，慢慢来，就像爬山一样，一步一步总能爬到山顶。
你想想，数学家们当初是怎么发现这个判别法的呢？那得经过多少思考和尝试啊！咱现在来学习这个证明过程，不也是在沿着他们的脚印往前走嘛。
而且啊，当你真的搞懂了这个证明过程，那种成就感，简直没法形容！就好像你解开了一个超级难的谜题，心里那个美呀！总之呢，魏尔斯特拉斯判别法证明过程虽然有点难，但咱别怕，一点点啃，总能啃下来的。
就像那句话说的，世上无难事，只怕有心人嘛！加油吧，朋友们！让我们一起在数学的神秘花园里尽情探索吧！。
Wigner-Eckart定理的简单证明
Wigner-Eckart定理的简单证明
陈冠军;黄时中
【期刊名称】《安徽师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2003(026)004
【摘要】从不可约张量算符与角动量算符之间的对易关系出发,利用角动量算符和角动量本征态的有关性质,给出了Wigner-Eckart定理的一种简单证明方法.
【总页数】3页(P351-353)
【作者】陈冠军;黄时中
【作者单位】安徽师范大学,物理与电子信息学院,安徽,芜湖,241000;安徽师范大学,物理与电子信息学院,安徽,芜湖,241000
【正文语种】中文
【中图分类】O413.1
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eckart-young定理
eckart-young定理
Eckart-
Young定理是一个在线性代数和数值分析中经常使用的定理，它有助于求解最小二乘问题。
最小二乘法是一种常用的数学方法，用于在一组数据的基础上拟合最佳函数，以便预测未来的数据。
在最小二乘法中，我们寻找一个函数，使得这个函数与所有数据点之间的差的平方和最小。
Eckart-
Young定理指出，在最小二乘法中，当数据点有噪声时，最小二乘解并不一定是最优的解。
相反，最优的解是一个线性组合，其中线性组合的系数为数据的协方差矩阵的逆矩阵的每一列与数据的均值的差的点积。
总的来说，Eckart-
Young定理是一个有用的工具，帮助我们在处理最小二乘问题时确定最优的解。
弗雷德霍姆二择一定理
弗雷德霍姆二择一定理
弗雷德霍姆二择一定理是一种图论中的算法，可以用来解决最大匹配问题和最小点覆盖问题。
该定理指出，对于任意一个二分图，其最大匹配数等于其最小点覆盖数。
具体来说，最大匹配数指的是在一个二分图中，可以找到的最大的匹配边数。
而最小点覆盖数指的是在该图中，最少需要使用多少个点才能将所有边都覆盖住。
弗雷德霍姆二择一定理的证明比较复杂，不过可以通过构造反证法得到结论。
通过这个定理，我们可以快速求解二分图的最大匹配问题和最小点覆盖问题，是一种非常实用的算法。
第六章_群论与量子力学
第六章 群论与量子力学§6.1 哈密顿算符群和相关定理设()r Hˆ为哈密顿算符，g 为同一坐标中的坐标变换，P g 为与之对应的函数变换算符，()()r g f r f P g1-=，()r f 为任意函数，有：()()()()()()()()r f P r g H P r g f r g H P r f r H P P r f r Hg g g g g 11ˆˆˆˆˆ--=== 故()()1ˆˆ-=g g P r g H P r H（由()r f为任意函数） 若坐标经过变换g 作用后，哈密顿算符的形式不变，即：r g r='，()()()r H r H r g H ˆ'ˆˆ==，则： ()()1ˆˆ-=g g P r H P r H 或()()r H P P r H g g ˆˆ=即当哈密顿算符()r H ˆ在函数变换算符g P 的作用下不变时，则()r Hˆ与P g 对易：[]0,=g P H【定义6.1】哈密顿算符的群 所有保持一个系统的哈密顿算符Hˆ不变的变换g 作成的集合构成一个群，称为该哈密顿算符()r Hˆ的群，或薛定谔方程的群：()(){}r H r g H g G H ˆˆ== 存在逆元：H G g ∈∀，有()()r H r g Hˆˆ= 令r g r ='，则'1r g r-=，代入得：()'ˆ1r gg H -，即：()()'ˆ'ˆ1r H r g H =-，故H G g ∈-1封闭性：HG g g ∈∀',,有：)()'()'()()()'(ˆ11'1''1'r H r g H r g H P r H P P r g H P r gg H g g g g =====----结合律和单位元显然存在。
【定义6.2】 哈密顿算符群或薛定谔方程群 由哈密顿算符的群对应的函数变换算符作成的集合构成群，称为哈密顿算符群或薛定谔方程群，记为：}|{H g G G g P P H ∈=。
汉姆赫兹定理
汉姆赫兹定理是一项基本的数学定理，它在物理学和电磁学等领域中具有重要的应用。
汉姆赫兹定理指出，一个矢量场（包括电场、磁场等）可以分解为两个部分：一个无旋部分和一个无散部分。
具体来说，汉姆赫兹定理可以表述为以下两个定理：
无旋定理：若一个矢量场的旋度为零，即该场的旋度矢量在整个空间内处处为零，则该矢量场可以表示为一个梯度场的旋度。
无散定理：若一个矢量场的散度为零，即该场的散度在整个空间内处处为零，则该矢量场可以表示为一个矢量势函数的梯度。
无旋定理说明了矢量场的旋度为零时，可以通过一个标量场的梯度来表示。
这表明在无旋矢量场中，旋转的效应缺失，其运动状态可以由一个势函数完全描述。
无散定理说明了矢量场的散度为零时，可以通过一个矢量势函数的梯度来表示。
这表明在无散矢量场中，物质的流入流出效应缺失，其运动状态可以由一个势函数的梯度完全描述。
汉姆赫兹定理为解决物理学和电磁学中的方程问题提供了一个重要的数学工具，使得我们可以通过势函数的概念来简化和分析复杂的矢量场问题。
它在电磁场的分析、流体力学、热传导等领域都有广泛的应用。
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第一种证明
Wigner-Eckart定理：不可约张量算符的矩阵元可以看成由两部分组成，一部分由矢量耦合
系数（CG
系数组成）表示，与问题的对称性有关，另一部分则用约化矩阵元
12
j T j表示，随具体物理问题而异，与磁量子数无关：即
2
2
112212
L
jLj L
mMm
M
j m j m A j T j
T=
下面分两步证明：
1、只有当
12
m M m
=+时，
1122
L
M
j m j m
T才有异于零的值。
根据不可约张量算符与角动量算符的对易关系
,L L
z M M
M
L T T
⎡⎤=
⎢⎥
⎣⎦
…………………………………………………………………………①
得
1122
L L
z z
M M
j m j m
L L
T T-
1112221122
L L
M M
m j m j m m j m j m
T T
=-
121122
()L
M
m m j m j m
T
=-
L
M
M T
=
即()
121122
L
M
m m M j m j m
T
--=
若
1122
L
M
j m j m
T≠，必有12
m M m
=+
2、不可约张量矩阵元
1122
L
M
j m j m
T与1m，M和2m的联系。
由于
22
j m是角动量算符的本征态， L M T是不可约张量算符，则
2
2
2
22
L
jLj
mMm M
m
jm A j m
T
=∑…………………………………………………………②
也是角动量算符的本征态，证明如下
2
2
2
22
L
jLj
z mMm M
z
m
J jm A j m
J T
=∑
2
2
2
22
(L L
jLj
mMm M M
z
m
A M j m
J
T T
=+
∑
（利用第一步的证明）
11221122
L L
z z
M M
j m j m j m j m
L L
T T
=-
222222()L jLj mMm M m A M m j m T =+∑
m 必须和2M m +相等，故 22222L jLj z mMm M
m J jm m A j m m jm T ==∑
将②式两边同乘以22
''jLj mM m A ，并对j 求和，由于矢量耦合系数的正交关系222222''''jLj jLj mM m mMm M M m m j
A A δδ=∑ 得 22222''''22L jLj mM m M M m m M j m A
jm j m T δδ=∑∑
即 222
22jLj mMm M j
j m A jm T =∑ 两边同时左乘11j m ，得到
22112211L
jLj mMm M j
j m j m A j m jm T =∑
而1111j m jm j m jm d ψφτ*=⎰
由不可约表示某矢量性质可知，除非1j j =，1m m =，上式不为零，且积分数值与列的指标无关。
上述积分数只赖于1j ，L 和2j
，可记为12L j T j 因此
22
112212L
jLj L mMm M j m j m A j T j T = 注
约化矩阵元定义并不统一 Edmonds ：
''''''''k j j kq k j m T jm
j m j T j αααα-+=
Rose ： '''''''kq k j m T jm kqjm j m j T j αααα= 所以
''''k k Rose Edmonds j T j j T j ααα=。