初一常用几何证明的定理总结

初一常用几何证明的定理总结

对顶角相等：

几何语言：∵∠1、∠2是对顶角

∴∠1＝∠2（对顶角相等）

垂线：

几何语言：正用反用：

∵∠AOB＝90°∵AB⊥CD

∴AB⊥CD（垂直的定义）∴∠AOB＝90°（垂直的定义）证明线平行的方法：

1、平行公理

如果两条直线都与第三条直线平行，那么，这两条直线也平行。

简述为：平行于同一直线的两直线平行。

几何语言叙述：

如图：∵AB∥EF，CD∥EF

∴AB∥CD（平行于同一直线的两直线平行。）

2、同位角相等，两直线平行。

几何语言叙述：

如图：∵直线AB、CD被直线EF所截

∠1＝∠2

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行。）

3、内错角相等，两直线平行。

几何语言叙述：

如图：∵直线AB、CD被直线EF所截，∠1＝∠2

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行。）

4、同旁内角互补，两直线平行。

几何语言叙述：

如图：∵直线AB、CD被直线EF所截，∠1+∠2＝180O

∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行。）

5、垂直于同一直线的两直线平行。

几何语言叙述：

如图：∵直线a⊥c，b⊥c

∴a∥b（垂直于同一直线的两直线平行。）

平行线的性质：

1、两直线平行，同位角相等。

几何语言叙述：∵AB∥CD

∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等。）

2、两直线平行，内错角相等。

几何语言叙述：

如图：∵AB∥CD

∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等。）

3、两直线平行，同旁内角互补。

几何语言叙述：

如图：∵AB∥CD

∴∠1+∠2＝180O（两直线平行，同旁内角互补。）

证明角相等的其余常用方法：

1、余角的性质：

同角或等角的余角相等。

例：∵如图∠AOB＋∠BOC＝90°

∠BOC＋∠COD＝90°

∴∠AOB＝∠COD（同角的余角相等）

2、补角的性质：

同角或等角的补角相等。

例：∵如图∠AOB＋∠BOD＝180°，∠AOC＋∠COD＝180°且∠BOD＝∠AOC

∴∠AOB＝∠COD（同角的补角相等）

三角形中三种重要线段：

1、三角形的角平分线：

几何语言叙述：∵如图BD是△ABC的角平分线

∴∠ABD＝∠CBD=1

2

∠ABC

2、三角形的中线：

几何语言叙述：∵如图BD 是△ABC 的中线 ∴AD ＝BD ＝

12

AB

3、三角形的高线：

几何语言叙述：∵如图AD 是△ABC 的高 ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°

三角形的分类： ⎧⎪

⎧⎨

⎨⎪

⎩⎩

不等边三角形三角形（按边分）底和腰不等的等腰三角形等腰三角形等边三角形⎧⎪

⎧⎨

⎨⎪⎩⎩

直角三角形三角形（按角分）锐角三角形斜三角形钝角三角形

三角形三边的关系：

三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 如图：|AB －AC|

三角形内角和定理及推论

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 几何语言叙述：

如图：∠A ＋∠B ＋∠C ＝108°（三角形三个内角的和等于180°）

三角形内角和定理推论1： 直角三角形的两锐角互余。

几何语言叙述：如图：∵△ABC 中，∠C ＝90°

∴∠A ＋∠B ＝90°（直角三角形的两锐角互余）

三角形内角和定理推论2：

三角形的一个外交等于和它不相邻的两内角之和。 几何语言叙述：如图：∵∠ACD 是△ABC 的外角

∴∠ACD ＝∠A ＋∠B （三角形的一个外角等于和

它不相邻的两内角之和）

三角形内角和定理推论3：

三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 几何语言叙述：如图：∵∠ACD 是△ABC 的外角

∴∠ACD>∠B （三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）

平面直角坐标系各个象限内和坐标轴的点的坐标的符号规律：

（1）x 轴将坐标平面分为两部分，x 轴上方的纵坐标为正数；x 轴下方的点纵坐标为负数。即第一、二象限及y 轴正方向（也称y 轴正半轴）上的点的纵坐标为正数；第三、四象限及y 轴负方向（也称y 轴负半轴）上的点的纵坐标为负数。

反之，如果点P （a ，b ）在x 轴上方，则b>0；如果P （a ，b ）在x 轴下方，则b<0。 (2)y 轴将坐标平面分成两部分，y 轴左侧的点的横坐标为负数；y 轴右侧的点的横坐标为正数。即第二、三象限和x 轴的负半轴上的点的横坐标为负数；第一、四象限和x 轴正半轴上的点的横坐标为正数。

（3）规定坐标原点的坐标为（0 ，0） （4

(5)

（1）关于x 轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数。如点P （x 1 ，y 1）与Q （x 2 ，y 2）关于x 轴对称，则12

12

x x y 0y ⎧⎨

+=⎩＝反之也成立。如P （2 ，－3）与Q （2 ，3）关于x 轴对称。

（2）关于y 轴对称的两点：纵坐标相同，横坐标互为相反数。如点P （x 1 ，y 1）与Q （x 2 ，y 2）

关于y 轴对称，则12

12

0y x x ⎧⎨+=⎩＝y 反之也成立。如P （2 ，－3）与Q （－2 ，－3）关于y 轴对称。

（3）关于原点对称的两点：纵坐标、横坐标都互为相反数。如点P （x 1 ，y 1）与Q （x 2 ，y 2）关

于原点对称，则1212

x + x 0

y 0y =⎧⎨+=⎩反之也成立。如P （2 ，－3）与Q （－2 ，3）关于原点对称。