实数基本定理的相互证明

实数基本定理的相互证明袁 文 俊（广州大学数学与信息科学学院院， 510405）【摘要】本文给出实数理论的8个基本定理的两两相互证明。

【关键词】实数基本定理；等价性；数列；极限；收敛。

【中图分类号】O 174.5 【文献标识码】 A1. 引 言实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性，实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。

因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。

本文主要给出实数理论的8个基本定理的两两相互证明。

2. 实数基本定理的陈述定理1(确界原理) 非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。

定理2(单调有界原理) 任何单调有界数列必有极限。

定理3( Cantor 区间套定理) 若]},{[n n b a 是一个区间套, 则存在唯一一点ξ，使得 ,2,1],,[=∈n b a n n ξ。

定理4(Heine-Borel 有限覆盖定理) 设],[b a 是一个闭区间，H 为],[b a 上的一个开覆盖，则在H 中存在有限个开区间，它构成],[b a 上的一个覆盖。

定理5（Weierstrass 聚点原理） 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。

定理6（Bolzano 致密性定理） 有界无穷数列必有收敛子列。

定理7(Cauchy 收敛准则) 数列}{n a 收敛⇔对任给的正数ε，总存在某一个自然数N ，使得N n m >∀,时，都有ε<-||n m a a 。

定理8(Dedekind 准则，或称实数连续性定理) 设序对(A ,A ')为R 的一个分划，则或者A 有最大元，或者A '有最小元。

由于多数教材中Dedekind 分划定理是作为选学内容， 因此在证明等价性时我们将分两部分进行。

在第3节给出定理1到定理7之间的两两推证， 而在第4节证明定理8与其它7个命题的等价性。

限于篇幅，对有关概念和某些命题的简单情形(如Cauchy 收敛准则的必要条件，Cantor 区间套定理中点的唯一性证明，数列中仅有有限个不同数等)在本文中不予介绍和证明，读者若有兴趣，可以自己给出或可参见文献([3], [4])等。

我们注意到，实数完备性基本定理等价性的互证，几乎都可以利用二等分构造区间套的方法证明，为了开阔视野，加深对这部分内容的理解，我们尽可能利用二等分法以外的方法证明定理之间的等价性。

作者简介：袁文俊（1957-），男，教授，理学博士，主要从事函数论及其应用的教学与研究。

基金项目：教育部重点资助项目的子项目(03A08); 广东省新世纪高校教改资助项目(02042)。

3. 定理1到定理7的互证(1) 定理1⇒定理2(确界原理⇒单调有界原理)证 不妨设}{n x 为单增有上界数列，即0>∃M ，N ∈∀n ，有M x n <。

记}|{N ∈=n x E n ，则由确界原理知E 有上确界，不妨记为α，则 R E ∈=sup α，从而0>∀ε，N ∈∃N 使得αεα≤<-N x 成立。

因为}{n x 是单调递增数列，所以N n >∀，有εααεα+<≤≤<-n N x x 。

故 )(,∞→→n x n α。

(2) 定理⇒1定理3（确界原理⇒Cantor 区间套定理）证 因为],[],[11++⊃n n n n b a b a ，所以1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤ 。

则显然数列}{n a 、}{n b 皆为有界数列，且每个n b 都是n a 的上界，每个n a 都是n b 的下界所以由确界原理知, }{sup n Nn a ∈=∃α使得n n b a a ≤≤， }{sup n Nn b b ∈=∃使得n n b b a ≤≤。

所以||||n n b a b a -≤-。

又因为0)(→-nn a b ，所以b a =。

记b a ==ξ则即有R ∈ξ使得],[n n b a ∈ξ。

假设还有另外一点R ∈'ξ且],[n n b a ∈'ξ，则||||n n b a -≤'-ξξ,0→ 即ξξ'=。

从而唯一性得证。

(3) 定理1⇒定理4(确界原理⇒Heine-Borel 有限覆盖定理) 证 设H 是有闭区间],[b a 的任一开覆盖。

令],[|{c a c E =可以被H 有限覆盖，]},[b a c ∈。

因为U a a U b a a ∈∍H ∈∃∈,)(],,[，所以)(a U 必含有],[b a 中的点a x ≠，即)(a U 覆盖],[x a 。

即φ≠E ，且有上界b 。

由确界原理知, b c R c E c ≤∈=∃且,sup 。

下面证明E c ∈: 为此取开区间),(,),(βαβα∈∍H ∈c ，故E x ∈'∃使c x a ≤'<，),(βα∈'x 。

由于],[x a '有有限覆盖，故添上),(βα，],[c a 仍有有限覆盖，从而E c ∈。

现证b c =: 若b c <，因βα<<c ，故),,(),(b c c x ⋂∈''∃β则E x ∈''。

这与c 是E 的上确界矛盾，故b c =。

(4) 定理1⇒定理5(确界原理⇒Weierstrass 聚点原理)证 设S 是直线上的有界无限点集，则由确界原理有S S inf ,sup ==ξη。

若ξη,中有一点不是S 的孤立点，则显然就是S 的一个聚点。

否则，令S R x E ∈={:中仅有有限个数小于}x 。

显然E 非空且有上界。

令E sup ='η，则由E 的构造方法可知，0>∀ε必有∉+'εηE ，即S 中有无限个数小于εη+'大于η'。

所以),(εηεη+'-'中含有S 的无限个数，故η'是S 的聚点。

(5) 定理1⇒定理6(确界原理⇒Bolzano 致密性定理)证 设}{n x 是有界无穷数列，则由(4)的证明可知，}{n x 有聚点。

再由聚点的等价定义可知，在}{n x 中存在点列以该聚点为极限。

再将此收敛的点列作些技术性处理就可得到的一个收敛的子列。

(6) 定理1⇒定理7(确界原理⇒Cauchy 收敛准则)证 设}{n x 为Cauchy 基本列，则,,0,0N n m N >>∍>∃>∀ε 有ε<-m n x x 。

易证}{n x 为有界列。

由确界原理可知，}inf{},sup{n n x x ==∃ξη。

Case(1) 若max{}n x η≠或者min{}n x ξ≠。

不妨设min{}n x ξ≠则0,N ε∀>∃使得n x ξξε<<+。

设12kε=，则必1()k k k n n n +∃>使得12k n kx ξξ<<+ 。

令k→∞，则k n x ξ→。

即0,0K ε∀>∃>使得当k K >时，有||knx ξε-<。

由于}{n x 为Cauchy 基本列，所以10,max{,}N N K ε∀>∃=使得1n N ∀>有||||||2k k n n n n x x x x ξξε-≤-+-<。

故)(,∞→→n x n ξ。

Case(2)若max{}n x η=且min{}n x ξ=，则令{}n E x =，1{max ,min }E E E E =-。

若1E 有Case(1) 的条件，则可知{}n x 收敛。

否则令211{max ,min }E E E E =-。

依次递推，若N E ∃有Case(1)的条件成立，则可知}{n x 收敛。

否则n N ∀∈，N E 有最大最小值，则得两个数列{}n a ，min n n a E =和{}n b ，max n n b E =。

其中{}n a 单增、{}n b 单减且都有界。

记sup{}n a a =，则0,02>∃>∀N ε，使得2n N ∀>，有a a a a n N ≤≤<-2ε。

所以0},m ax {,023>=∃>∀N N N ε，使得3N n >∀有 ε233<-+-≤-a a a x a x N N n n 。

故当n →∞时}{n x 收敛。

(7) 定理2⇒定理1(单调有界原理⇒确界原理)证 设S 是非空有上界集合，不妨设S 中有一个正数。

现构造函数列:Step(1) 由于S 有上界，所以S 中的数必有一个最大的整数部分，记为0e 。

记集合 }][{00e x S x E =∈=，则0x E ∀∈，有001e x e ≤<+。

Step(2) 设E 中各数的一位小数中最大是为1e 。

记集合1001{|[()10]}E x E x e e =∈-⨯=，则1x E ∀∈，有0101110e e x e e ≤<+。

Step(n) 设1n E -中第n 位小数中最大的为n e 记集合1{|n n E x E x n -=∈的第位数为}n e ，则n x E ∀∈，有01011n n e e e x e e e ≤<+从而得到一数列记为}{n x 其中01nn x e e e =，且}{n x 单增有上界，故由单调有界原理知}{n x 收敛。

不妨记为e x n n =∞→lim ，n ∀有01n e e e e >，所以e 为S 的一个上界。

现证sup e S =:因为0,0N ε∀>∃>使得n N ∀>有εε+<<-e x e n ，即n n x e S x <-∍∈∃ε,。

所以由上确界定义知sup e S =。

(8) 定理2⇒定理3(单调有界定理⇒Cantor 区间套定理)证 因为11[,][,]n n n n a b a b ++⊃，所以有 1221n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤从而可见数列{}n a 单增有上界，数列{}n b 单减有下界故由单调有界定理可知R a ∈∃使得a a n n =∞→lim ，R b ∈∃使得b b n n =∞→lim 。

且n N ∀∈有,n a a n N ≤∀∈有n b b ≤，所以 ,[,]n n a b a b ∈，于是成立 n n a b a b -≤-≤0。

又因为0)(lim =-∞→n n n a b ，所以a b =。

记a b ξ==，从而存在性得证。

(9) 定理2⇒定理4(单调有界原理⇒Heine-Borel 有限覆盖定理)证(反证法) 假设闭区间[,]a b 有一个开覆盖H 不能用它的任有限个开区间覆盖。