实数基本定理的相互证明

实数基本定理的相互证明

袁 文 俊

（广州大学数学与信息科学学院院， 510405）

【摘要】本文给出实数理论的8个基本定理的两两相互证明。 【关键词】实数基本定理；等价性；数列；极限；收敛。

【中图分类号】O 174.5 【文献标识码】 A

1. 引 言

实数基本定理以不同的形式刻划了实数的连续性和完备性，实数基本定理是建立与发展微积分学的基础。因此掌握这部分内容是十分必要的，特别是可通过这部分内容的学习与钻研，培养严密的逻辑思维能力。本文主要给出实数理论的8个基本定理的两两相互证明。

2. 实数基本定理的陈述

定理1(确界原理) 非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。

定理2(单调有界原理) 任何单调有界数列必有极限。

定理3( Cantor 区间套定理) 若]},{[n n b a 是一个区间套, 则存在唯一一点ξ，使得 ,2,1],,[=∈n b a n n ξ。

定理4(Heine-Borel 有限覆盖定理) 设],[b a 是一个闭区间，H 为],[b a 上的一个开覆盖，则在H 中存在有限个开区间，它构成],[b a 上的一个覆盖。

定理5（Weierstrass 聚点原理） 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。 定理6（Bolzano 致密性定理） 有界无穷数列必有收敛子列。

定理7(Cauchy 收敛准则) 数列}{n a 收敛⇔对任给的正数ε，总存在某一个自然数N ，使得N n m >∀,时，都有ε<-||n m a a 。

定理8(Dedekind 准则，或称实数连续性定理) 设序对(A ,A ')为R 的一个分划，则或者A 有最大元，或者A '有最小元。

由于多数教材中Dedekind 分划定理是作为选学内容， 因此在证明等价性时我们将分两部分进行。在第3节给出定理1到定理7之间的两两推证， 而在第4节证明定理8与其它7个命题的等价性。

限于篇幅，对有关概念和某些命题的简单情形(如Cauchy 收敛准则的必要条件，Cantor 区间套定理中点的唯一性证明，数列中仅有有限个不同数等)在本文中不予介绍和证明，读者若有兴趣，可以自己给出或可参见文献([3], [4])等。

我们注意到，实数完备性基本定理等价性的互证，几乎都可以利用二等分构造区间套的方法证明，为了开阔视野，加深对这部分内容的理解，我们尽可能利用二等分法以外的方法证明定理之间的等价性。

作者简介：袁文俊（1957-），男，教授，理学博士，主要从事函数论及其应用的教学与研究。 基金项目：教育部重点资助项目的子项目(03A08); 广东省新世纪高校教改资助项目(02042)。

3. 定理1到定理7的互证

(1) 定理1⇒定理2(确界原理⇒单调有界原理)

证 不妨设}{n x 为单增有上界数列，即0>∃M ，N ∈∀n ，有M x n <。

记}|{N ∈=n x E n ，则由确界原理知E 有上确界，不妨记为α，则 R E ∈=sup α，从而0>∀ε，N ∈∃N 使得αεα≤<-N x 成立。因为}{n x 是单调递增数列，所以N n >∀，有

εααεα+<≤≤<-n N x x 。故 )(,∞→→n x n α。

(2) 定理⇒1定理3（确界原理⇒Cantor 区间套定理）

证 因为],[],[11++⊃n n n n b a b a ，所以1221b b b a a a n n ≤≤≤≤≤≤≤≤ 。

则显然数列}{n a 、}{n b 皆为有界数列，且每个n b 都是n a 的上界，每个n a 都是n b 的下界所以由确界原理知, }{sup n N

n a ∈=∃α使得n n b a a ≤≤， }{sup n N

n b b ∈=∃使得n n b b a ≤≤。

所以||||n n b a b a -≤-。又因为0)(→-n

n a b ，所以b a =。 记b a ==ξ则即有R ∈ξ使得],[n n b a ∈ξ。

假设还有另外一点R ∈'ξ且],[n n b a ∈'ξ，则||||n n b a -≤'-ξξ,0→ 即ξξ'=。从而唯一性得证。

(3) 定理1⇒定理4(确界原理⇒Heine-Borel 有限覆盖定理) 证 设H 是有闭区间],[b a 的任一开覆盖。令

],[|{c a c E =可以被H 有限覆盖，]},[b a c ∈。

因为U a a U b a a ∈∍H ∈∃∈,)(],,[，所以)(a U 必含有],[b a 中的点a x ≠，即)(a U 覆盖],[x a 。即φ≠E ，且有上界b 。由确界原理知, b c R c E c ≤∈=∃且,sup 。

下面证明E c ∈: 为此取开区间),(,),(βαβα∈∍H ∈c ，故E x ∈'∃使c x a ≤'<，

),(βα∈'x 。

由于],[x a '有有限覆盖，故添上),(βα，],[c a 仍有有限覆盖，从而E c ∈。 现证b c =: 若b c <，因βα<

(4) 定理1⇒定理5(确界原理⇒Weierstrass 聚点原理)

证 设S 是直线上的有界无限点集，则由确界原理有S S inf ,sup ==ξη。若ξη,中有一点不是S 的孤立点，则显然就是S 的一个聚点。

否则，令S R x E ∈={:中仅有有限个数小于}x 。显然E 非空且有上界。令E sup ='η，则由E 的构造方法可知，0>∀ε必有∉+'εηE ，即S 中有无限个数小于εη+'大于η'。所以),(εηεη+'-'中含有S 的无限个数，故η'是S 的聚点。

(5) 定理1⇒定理6(确界原理⇒Bolzano 致密性定理)

证 设}{n x 是有界无穷数列，则由(4)的证明可知，}{n x 有聚点。再由聚点的等价定义可知，在}{n x 中存在点列以该聚点为极限。再将此收敛的点列作些技术性处理就可得到的一个收敛的子列。

(6) 定理1⇒定理7(确界原理⇒Cauchy 收敛准则)

证 设}{n x 为Cauchy 基本列，则,,0,0N n m N >>∍>∃>∀ε 有ε<-m n x x 。易证}{n x 为有界列。由确界原理可知，}inf{},sup{n n x x ==∃ξη。