高数必考六大证明题型
【高一数学】高中数学立体几何常考证明题汇总(共6页)
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新课标立体几何常考证明题汇总1、已知四边形ABCD 是空间四边形,,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 (1) 求证:EFGH 是平行四边形(2) 若BD=AC=2,EG=2。
求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。
证明:在ABD ∆中,∵,E H 分别是,AB AD 的中点∴1//,2EH BD EH BD = 同理,1//,2FG BD FG BD =∴//,EH FG EH FG =∴四边形EFGH 是平行四边形。
(2) 90° 30 °考点:证平行(利用三角形中位线),异面直线所成的角2、如图,已知空间四边形ABCD 中,,BC AC AD BD ==,E 是AB 的中点。
求证:(1)⊥AB 平面CDE;(2)平面CDE ⊥平面ABC 。
证明:(1)BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭同理,AD BD DE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE(2)由(1)有AB ⊥平面CDE又∵AB ⊆平面ABC , ∴平面CDE ⊥平面ABC 考点:线面垂直,面面垂直的判定AHGFEDCB AEDBC3、如图,在正方体1111ABCD A BC D -中,E 是1AA 的中点, 求证: 1//AC 平面BDE 。
证明:连接AC 交BD 于O ,连接EO , ∵E 为1AA 的中点,O 为AC 的中点 ∴EO 为三角形1A AC 的中位线 ∴1//EO AC又EO 在平面BDE 内,1AC 在平面BDE 外 ∴1//AC 平面BDE 。
考点:线面平行的判定4、已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证:AD ⊥面SBC . 证明:90ACB ∠=∵° BC AC ∴⊥又SA ⊥面ABC SA BC ∴⊥ BC ∴⊥面SAC BC AD ∴⊥又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC 考点:线面垂直的判定5、已知正方体1111ABCD A BC D -,O 是底ABCD 对角线的交点. 求证:(1) C 1O ∥面11AB D ;(2)1AC ⊥面11AB D . 证明:(1)连结11AC ,设11111AC B D O ⋂=,连结1AO∵ 1111ABCD A BC D -是正方体 11A ACC ∴是平行四边形 ∴A 1C 1∥AC 且 11AC AC = 又1,O O 分别是11,AC AC 的中点,∴O 1C 1∥AO 且11O C AO = 11AOC O ∴是平行四边形111,C O AO AO ∴⊂∥面11AB D ,1C O ⊄面11AB D ∴C 1O ∥面11AB D(2)1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111AC B D ⊥∵, 1111B D AC C ∴⊥面 111AC B D ⊥即 同理可证11AC AD ⊥, 又1111D B AD D ⋂= ∴1AC ⊥面11AB D 考点:线面平行的判定(利用平行四边形),线面垂直的判定AED 1CB 1DCBASDCBAD 1O D B A C 1B 1A 1CN M PC BA 6、正方体''''ABCD ABCD -中,求证:(1)''AC B D DB ⊥平面;(2)''BD ACB ⊥平面.考点:线面垂直的判定7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中.(1)求证:平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ; (2)若E 、F 分别是AA 1,CC 1的中点,求证:平面EB 1D 1∥平面FBD .证明:(1)由B 1B ∥DD 1,得四边形BB 1D 1D 是平行四边形,∴B 1D 1∥BD , 又BD ⊄平面B 1D 1C ,B 1D 1⊂平面B 1D 1C , ∴BD ∥平面B 1D 1C .同理A 1D ∥平面B 1D 1C .而A 1D ∩BD =D ,∴平面A 1BD ∥平面B 1CD .(2)由BD ∥B 1D 1,得BD ∥平面EB 1D 1.取BB 1中点G ,∴AE ∥B 1G .从而得B 1E ∥AG ,同理GF ∥AD .∴AG ∥DF .∴B 1E ∥DF .∴DF ∥平面EB 1D 1.∴平面EB 1D 1∥平面FBD .考点:线面平行的判定(利用平行四边形)8、四面体ABCD 中,,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点,且22EF AC =, 90BDC ∠=,求证:BD ⊥平面ACD证明:取CD 的中点G ,连结,EG FG ,∵,E F 分别为,AD BC 的中点,∴EG12//AC = 12//FG BD =,又,AC BD =∴12FG AC =,∴在EFG ∆中,222212EG FG AC EF +== ∴EG FG ⊥,∴BD AC ⊥,又90BDC ∠=,即BD CD ⊥,AC CD C ⋂= ∴BD ⊥平面ACD考点:线面垂直的判定,三角形中位线,构造直角三角形9、如图P 是ABC ∆所在平面外一点,,PA PB CB =⊥平面PAB ,M 是PC 的中点,N 是AB 上的点,3AN NB =(1)求证:MN AB ⊥;(2)当90APB ∠=,24AB BC ==时,求MN 的长。
高数题型总结
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高等数学第一部分函数·极限·连续性题型一:考查函数的各种特性问题函数复合问题题型二:考查极限概念及性质问题关于题型三:求极限问题1.未定式极限问题(型,型,型,型,型)2.非未定式极限问题(递归数列极限,n项和式极限,n项积的极限,含参变量的极限,)3.关于无穷小阶的问题4.连加或者连乘求极限问题5.极限存在性问题6.含参数的极限问题7.中值定理求极限问题8.含变限积分的函数极限问题9.左右极限问题题型四:判断函数在某点的连续与间断问题,间断点分类问题题型五:利用闭区间上连续函数性质的证明问题题型六:分析极限,求参数问题第二部分导数与微分题型一:考查导数·微分概念的问题题型二:导数与微分的计算问题题型三:求高阶导数的问题(简单初等函数的n阶导数,参数方程确定的函数的二阶导数,隐式方程F(x,y)=0确定的隐函数y=y(x)的二阶导数)题型四:利用导数求平面曲线的切线方程·法线方程的问题题型五:基本求导类型,显函数·隐函数·参数方程·分段函数·复合函数题型六:导数的几何应用题型七:分段函数可导性的判断:分段函数·含绝对值的函数·带极限的函数第三部分中值定理及一元函数微分学的应用题型一:利用罗尔中值定理证明中值问题题型二: 利用拉格朗日中值定理证明中值问题题型三:利用柯西中值定理证明中值问题题型四: 利用泰勒公式证明中值问题题型五:函数的单调性,单调区间及极值问题题型六:函数曲线的凹凸区间,拐点及渐近线问题题型六:方程实根(函数零点,两个曲线交点)问题题型七:不等式的证明问题题型八:证明()=0()的问题题型九:特征结论中只有一个中值,不含其它字母题型十:结论中含,含a,b(a,b与可分离;a,b与不可分离)题型十一:结论中含两个或两个以上中指的问题情形一:结论中只含(),();情形二:结论中含两个中值,但是关于两个中值的项复杂程度不同情形三:结论中含中值(不仅仅含(),()),两者对应的项完全对等题型十二:中值定理中关于的问题题型十三:拉格朗日中值定理的两种惯性思维题型十四:泰勒公式的常规证明问题题型十五:二阶导数保号性问题题型十六:不等式证明题型十七:函数的零点或方程根的个数问题题型十八:函数的单调性与极值,渐近线题型十九:利用导数证明相关的等式第四部分一元函数积分学题型一:关于原函数与不定积分的基本概念问题题型二:不定积分的运算题型三:关于定积分概念及性质的问题题型四:关于变限积分的问题题型五:利用基本积分公式及积分方法计算定积分有理函数积分,无理函数积分,题型六:几种重要类型被积函数的积分情形一:分段函数及隐函数的积分情形二:被积函数为变限函数积分函数的积分情形三:被积函数含有抽象函数或者抽象函数导数的积分题型七:定积分的证明情形一:连续情形二:设且单调增加或单调减少情形三:周期函数情形四:设在上一阶可导情形五:高阶可导题型八:反常积分(广义积分)问题题型九:求平面图形的面积题型十:求旋转体的体积及侧(表)面积问题题型十一:求平面弧长问题题型十二:物理应用问题题型十三:换元积分方法(两类),分部积分方法题型十四:两类特殊函数的不定积分(有理函数积分和三角有理函数的不定积分)(数一数二)题型十五:综合型不定积分题型十六:定积分的概念和性质题型十七:变积分限的函数问题题型十八:定积分的运算情形一:变积分限函数的定积分计算情形二:分段函数求定积分情形三:变换保持区间计算定积分情形四:常规定积分计算情形五:对称型定积分的运算情形六:抽象函数的定积分运算题型十九:被积函数具有高阶可导性题型二十:含定积分的零点问题第五部分向量代数与空间解析几何(数一)题型一:向量及其运算问题题型二:求平面与直线方程问题题型三:平面与直线的位置关系问题题型四:距离与夹角题型五:旋转曲面第六部分多元函数微分学题型一:关于多元函数极限、连续性、可导性及可微性的问题题型二:求多元复合函数的偏导数或全微分的问题题型三:求方程确定的隐函数(组)的偏导数、全微分的问题题型四:求多元函数无条件极值问题题型五: 求多元函数条件极值的问题题型六:求多元函数在闭区域上的最值问题题型七:求方向导数和梯度问题题型八:求空间曲面的切平面与法线方程、空间曲线切线与法平面方程题型九:变换下关于偏导方程的变形题型十:求偏导的反问题题型十一:偏导数的代数应用题型十二:多元函数微分学在几何上的应用(数一)题型十三:场论的概念(数一)题型十四:偏导数和微分方程的混合问题题型十五:二元函数的无条件极值,多元函数的条件极值题型十六:多元函数微分学的物理应用-方向导数和梯度(数一)第七部分二重积分三重积分题型一:交换积分次序的问题题型二:二重积分直角坐标和极坐标之间的转换问题题型三:利用基本方法求二重积分情形一:普通二重积分的运算情形二:利用对称性和奇偶性计算二重积分情形三:被积函数是分段函数或者隐含分段函数的二重积分情形四:无限区域的二重积分题型四:二重积分的证明问题题型五:二重积分的综合问题及应用问题题型六:三重积分的计算问题第八部分曲线积分曲面积分(数一)题型一:对弧长的曲线积分题型二:二维空间对坐标的曲线积分题型三:三维空间对坐标的曲线积分题型四:对坐标曲线积分的应用题型五:对面积的曲面积分题型六:对坐标的曲面积分题型七:场论初步(流量,通量,旋度,散度)第九部分微分方程题型一:微分方程的基本概念和性质题型二:一阶微分方程的求解题型三:非特定类型微分方程或变换下微分方程的求解题型四:可降解的高阶微分方程求解(数一,数二)题型五:高阶线性微分方程求解题型六:微分方程的物理应用题型七:欧拉方程求解(数一)第十部分级数(数一,数三)题型一:判定数项级数基本性质和收敛性问题题型二:数项级数求和问题题型三:特殊常数项级数求和问题题型四:求幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域问题题型五:求函数的幂级数展开式问题题型六:求幂级数的和函数题型七:考查狄利克雷收敛定理问题(数一)题型八:求函数的傅里叶级数展开问题(数一)。
求解高等数学常见的几何证明题
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求解高等数学常见的几何证明题高等数学中的几何证明题是许多学生头痛的问题。
虽然它看似简单,但是却需要我们有一定的几何思维能力和逻辑思维能力。
在本文中,我将向大家介绍一些常见的几何证明题目,并且为学生们提供一些解题技巧和经验。
一、圆的相关证明题在高等数学中,关于圆的证明题目是最为常见的。
因为圆是我们学习几何学中最基础的几何图形之一。
下面我们将介绍一些常见的圆的证明题目。
1.弦的中点与圆心和弦垂直的证明:设弦AB的中点为M,圆心为O,则要证明AM与OB垂直。
我们可以通过连接OM和MB两条线段构造出三角形OMB和三角形OMA,这两个三角形均为直角三角形。
由于直角三角形中垂线的性质,我们可以得出AM与OB垂直的结论。
2.垂直平分线和圆的相关证明:设AB为弦,CD为垂直平分线,圆心为O,则要证明CD经过O点。
我们可以通过连接OC和OD两条线段构造出三角形COD和三角形COA,这两个三角形均为直角三角形。
由于直角三角形中垂线的性质,我们可以得出CD经过O点的结论。
二、角的相关证明题除了圆的证明题目外,角的证明题目也是常见的几何证明题目。
下面我们将介绍一些常见的角的证明题目。
1.同位角和内错角的证明:在平行四边形中,同位角相等,内错角和为180度。
可以通过画出示意图,或者利用平行四边形的性质,通过平行线、对顶角及其他角的性质来证明。
2.正交线的相关证明:在直角三角形中,设两直角边分别为AB和AC,BC为斜边。
则可以通过使用三角函数的性质,证明直线AE与直线BD正交。
三、三角形的相关证明题三角形证明题目属于难度较高的证明题目之一。
下面我们将介绍一些常见的三角形证明题目。
1.判断三角形是否为等边三角形:在三角形中,若三条边相等,则该三角形为等边三角形。
2.判断三角形是否为等腰三角形:在三角形中,如果两边相等,那么这个三角形就是一个等腰三角形。
可以尝试通过构造、分析等方法来证明。
总结:通过以上的介绍,我们可以发现几何证明题目中最为关键的是构造好示意图以及运用优美的几何定理来进行证明。
数学证明的常见题型与应用
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数学证明的常见题型与应用数学证明作为数学学科的核心内容之一,在学习数学时经常会碰到。
数学证明旨在通过逻辑推理和严密论证,将一个数学命题或结论从已知条件推导出来,使之成为数学中不可否认的真理。
本文将介绍数学证明的常见题型以及在实际应用中的意义和用途。
一、直接证明法1. 定理:如果一个多边形的内角和为180度,则该多边形是凸多边形。
证明:设多边形的边数为n,根据几何图形的性质可知,n个顶点的内角和为 (n-2) × 180 度。
因此,当 n>2 时,该多边形的内角和一定大于180度,故该多边形是凸多边形。
证毕。
二、间接证明法1. 定理:根号2是无理数。
证明:假设根号2是有理数,即可以表示为 p/q (p、q为正整数,且p/q为最简分数)。
则有 (p/q)^2 = 2,即 p^2/q^2 = 2。
将该等式两边平方可得 p^2 = 2q^2。
由此可知,p^2是偶数,那么p也必然是偶数(偶数的平方仍为偶数)。
设 p = 2k,则可得到 (2k)^2 = 2q^2,化简得2k^2 = q^2。
从而可知,q^2 是偶数,那么 q 也必然是偶数。
这与我们一开始的假设矛盾,因为在假设中,我们假设 p/q 是最简分数。
所以根号2必定是无理数。
证毕。
三、数学归纳法1. 定理:1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2,对于所有正整数 n 成立。
证明:首先,当 n = 1 时,左边等式为 1,右边等式为 1 × (1+1) / 2= 1。
显然相等,此时等式成立。
假设当 n = k 时,等式成立,即 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2。
则考虑 n = k+1 的情况,有 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = (k(k+1)/2) +(k+1) = (k+1)(k+2)/2。
根据归纳法原理,等式对于所有正整数 n 成立。
证毕。
四、反证法1. 定理:根号2是无理数。
考研数学高数六大题型
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考研数学高数六大题型全分析俗话说知己知彼百战不殆,我们要想在考研数学上取得好的成绩,就必须首先熟悉考研题型,这样我们才能够针对不同的题型掌握不同的答题技巧,下面为大家带来考研高数中六种常见题型归纳。
求极限无论数学一、数学二还是数学三,求极限是高等数学的基本要求,所以也是每年必考的内容。
区别在于有时以4分小题形式出现,题目简单;有时以大题出现,需要使用的方法综合性强。
比如大题可能需要用到等价无穷小代换、泰勒展开式、洛比达法则、分离因式、重要极限等几种方法,有时考生需要选择多种方法综合完成题目。
另外,分段函数在个别点处的导数,函数图形的渐近线,以极限形式定义的函数的连续性、可导性的研究等也需要使用极限手段达到目的,须引起注意!利用中值定理证明等式或不等式利用中值定理证明等式或不等式,利用函数单调性证明不等式证明题虽不能说每年一定考,但也基本上十年有九年都会涉及。
等式的证明包括使用4个常见的微分中值定理(即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理),1个定积分中值定理;不等式的证明有时既可使用中值定理,也可使用函数单调性。
这里泰勒中值定理的使用时的一个难点,但考查的概率不大。
求导一元函数求导数,多元函数求偏导数求导数问题主要考查基本公式及运算能力,当然也包括对函数关系的处理能力。
一元函数求导可能会以参数方程求导、变限积分求导或应用问题中涉及求导,甚或高阶导数;多元函数(主要为二元函数)的偏导数基本上每年都会考查,给出的函数可能是较为复杂的显函数,也可能是隐函数(包括方程组确定的隐函数)。
另外,二元函数的极值与条件极值与实际问题联系极其紧密,是一个考查重点。
极值的充分条件、必要条件均涉及二元函数的偏导数。
级数级数问题常数项级数(特别是正项级数、交错级数)敛散性的判别,条件收敛与绝对收敛的本质含义均是考查的重点,但常常以小题形式出现。
函数项级数(幂级数,对数一的考生来说还有傅里叶级数,但考查的频率不高)的收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数等及函数在一点的幂级数展开在考试中常占有较高的分值。
25个高数定理证明
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a
0
=
2
a 0
f ( x)dx,若f ( x)是偶函数
0 , 若f ( x)是偶函数
17 .设f(x)是以T为周期的连续函数,
证明对a,
a+T
f(x)dx =
T
f(x)dx =
a
0
T
2 -T
f(x)dx
2
18.设D是由y=f ( x)( f 0), x a, b和x a, x b, y 0
14.设yoz坐标面内的曲线L的方程为 F(y, z)=0,求其绕z轴旋转一周所得到 的旋转曲面的方程为F( x2+y2 , z)=0
15.设单连通区域D内P,Q 连续, y x
且满足 P Q,证明曲线积分 y x
L Pdx Qdy在D内与路径无关
16.设f ( x)在a, a上连续,
证明 a f ( x)dx a f ( x) f ( x) dx
3、 利用最大值,最小值证明不等式.
如,当x 0, )时,e x (1 x) 1
4、 常值不等式的证明转化成函数的单调性, 或函数不等式. 如,比较e , e的大小
二、等式的证明思路
1、如果结论是不带导数的等式,一般用零点定理考虑 如,F(x0)=0
2、已知结论中含导数: (A)是一个点的导数,如f( )=0,用罗尔定理考虑 (B)是二个点的导数,如f( )+g( )=0,用两次拉 格朗日中值定理或一 次 拉 格 朗 日 中 值 定 理, 一次柯西中值定理
3、 如果结论是函数值与某点的二阶导数的等式,
要用泰勒公式考虑.
如,结论是f
(b)
2
f
a
2
b
(b a)2 f (a)
几何证明题型分类复习总结
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几何证明题型分类复习总结
1. 角的性质证明题
这类题目主要要求证明角的性质,如角的平分线、角的相等关系等。
一般可以采用以下方法进行证明:
- 利用重合角的性质:如果两个角重合,则它们的性质相同。
- 利用共线角的性质:如果两个角是共线角,则它们的和等于180度。
- 利用垂直角的性质:如果两个角是互相垂直的,则它们的性质相同。
2. 边长关系证明题
这类题目主要要求证明边长之间的关系,如边长比例等。
一般可以采用以下方法进行证明:
- 利用三角形的相似性质:如果两个三角形的对应边成比例,则它们是相似三角形。
- 利用三角形的角平分线性质:如果一个角的平分线分割另一
个角,则分割出的两个边与原角的比例相等。
3. 三角形性质证明题
这类题目主要要求证明三角形的性质,如三角形的内角和等于180度等。
一般可以采用以下方法进行证明:
- 利用三角形的内角和性质:三角形的三个内角和等于180度。
- 利用三角形的外角性质:三角形的外角等于与之相对的内角
之和。
- 利用三角形的边长关系:三角形两边之和大于第三边。
4. 直线关系证明题
这类题目主要要求证明直线之间的关系,如平行关系等。
一般
可以采用以下方法进行证明:
- 利用平行线的性质:如果两条直线被一条平行线分割,则它
们之间的对应角相等。
- 利用直线的垂直性质:如果两条直线互相垂直,则它们的斜率乘积为-1。
以上是一些常见的几何证明题型分类及复习总结,希望对你的复习有所帮助!。
(完整版)高等数学-微分方程证明题
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设曲线方程为 ,由已知 ,曲线上任一点 处的法线方程为
法线与 轴的交点为 ,由已知得方程
即 (4分)
令 ,代入上式求解得
(7分)
分离变量后积分得
即
所以曲线为上半圆周。(10分)
37、
因 ,故函数组: 在任何区间 上线性相关。(10分)
38、
取 ,则得(5分)
故函数组 在任何区间上线性相关。(10分)
解得: (8分)
所以原方程的解为:
(10分)
36、如果上半平面的一条向上凸曲线上任一点处的曲率半径等于该点处法线在曲线与 轴间的长度,试证此曲线是半圆周。
37、证明函数组: 在任何区间 上线性相关。
38、验证: 在任何区间上线性相关。
39、设 和 是区间 上的连续函数,证明如果在区间 上有 常数,则 和 在 上线性无关。
40、证明:函数 在任何区间 上线性无关。
41、已知 是微分方程 的两个解,试证明: 为任意常数)也是方程的解。
42、设 分别为非齐次方程 的两个特解,证明: 是方程(1)对应的齐次方程: 的解。
43、验证: 是微分方程 的两个线性无关特解,并求此方程的通解。
44、设 是非齐次线性方程
的解。 是方程
的解。试证明
是方程
的解。
45、验证函数组: 在任何区间上线性无关。
23、设 是方程 的两个互异的解,求证:对于该方程中的任何一个解 ,恒等式 永远成立,其中 为常数。
24、证明: 为方程 的解的充分必要条件是, 可微且满足方程 。
25、设 是方程 的两个解,且 ,试证明: 。
26、验证: 为常数)是方程 的解。
27、试导出方程 有形如 的积分因子的充要条件。
2020考研数学:高数六大常考题型剖析
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2020考研数学:高数六大常考题型剖析2020考研数学:高数六大常考题型剖析一、求极限无论数学一、数学二还是数学三,求极限是高等数学的基本要求,所以也是每年必考的内容。
区别在于有时以4分小题形式出现,题目简单;有时以大题出现,需要使用的方法综合性强。
比如大题可能需要用到等价无穷小代换、泰勒展开式、洛比达法则、分离因式、重要极限等几种方法,有时考生需要选择多种方法综合完成题目。
另外,分段函数在个别点处的导数,函数图形的渐近线,以极限形式定义的函数的连续性、可导性的研究等也需要使用极限手段达到目的,须引起注意!利用中值定理证明等式或不等式利用中值定理证明等式或不等式,利用函数单调性证明不等式证明题虽不能说每年一定考,但也基本上十年有九年都会涉及。
等式的证明包括使用4个常见的微分中值定理(即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理),1个定积分中值定理;不等式的证明有时既可使用中值定理,也可使用函数单调性。
这里泰勒中值定理的使用时的一个难点,但考查的概率不大。
二、求导一元函数求导数,多元函数求偏导数求导数问题主要考查基本公式及运算能力,当然也包括对函数关系的处理能力。
一元函数求导可能会以参数方程求导、变限积分求导或应用问题中涉及求导,甚或高阶导数;多元函数(主要为二元函数)的偏导数基本上每年都会考查,给出的函数可能是较为复杂的显函数,也可能是隐函数(包括方程组确定的隐函数)。
另外,二元函数的极值与条件极值与实际问题联系极其紧密,是一个考查重点。
极值的充分条件、必要条件均涉及二元函数的偏导数。
三、级数级数问题常数项级数(特别是正项级数、交错级数)敛散性的判别,条件收敛与绝对收敛的本质含义均是考查的重点,但常常以小题形式出现。
函数项级数(幂级数,对数一的考生来说还有傅里叶级数,但考查的频率不高)的收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数等及函数在一点的幂级数展开在考试中常占有较高的分值。
四、积分的计算积分的计算包括不定积分、定积分、反常积分的计算,以及二重积分的计算,对数一考生来说常主要是三重积分、曲线积分、曲面积分的计算。
大学数学证明题题库
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大学数学证明题题库一、集合和函数证明题1. 设 A、B、C、D 是任意四个集合,证明以下恒等式:- 并集的分配律:A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)- 交集的分配律:A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)2. 设 A、B、C 是任意三个集合,证明以下恒等式:- 并集的交换律:A∪B = B∪A- 交集的交换律:A∩B = B∩A3. 设f: A → B 和g: B → C 是任意两个函数,证明以下恒等式:- 复合函数的结合律:(g∘f)∘h = g∘(f∘h),其中h: C → D 是另一个函数二、数列和级数证明题1. 设 {an} 是一个递增数列,证明以下结论:- 如果 {an} 有上界,则它有极限- 如果 {an} 没有上界,则它趋向正无穷2. 设 {an} 和 {bn} 是两个数列,证明以下结论:- 如果{an} 收敛于a,且存在一个正整数N,使得对于所有n>N,有bn≥an,那么 {bn} 也收敛于 a3. 设 {an} 是一个递增数列,证明以下恒等式:- 如果 {an} 有上界,则它的部分和数列 {sn} 有上界- 如果 {an} 没有上界,则它的部分和数列 {sn} 趋向正无穷三、微积分证明题1. 设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续,证明以下结论:- 函数 f(x) 在 [a, b] 上一定存在最大值和最小值2. 设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上可导,证明以下结论:- 如果f'(x) ≥ 0 对于所有 x∈[a, b] 成立,则函数 f(x) 在 [a, b] 上单调递增- 如果f'(x) ≤ 0 对于所有 x∈[a, b] 成立,则函数 f(x) 在 [a, b] 上单调递减3. 设函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续且可导,证明以下结论:- 如果 f(x) 在 [a, b] 的内部有严格的局部极值,则 f'(x) 在 [a, b] 内至少有一个零点四、线性代数证明题1. 设 A 是一个 n×n 的矩阵,证明以下结论:- 如果 A 的行向量线性相关,则 A 的列向量也线性相关- 如果 A 的列向量线性相关,则 A 的行向量也线性相关2. 设 A 和 B 都是 n×n 的矩阵,证明以下恒等式:- 如果 AB = BA,则 A 和 B 可交换- 如果 A 和 B 可交换,则 AB = BA3. 设 A 是一个 n×n 的可逆矩阵,证明以下恒等式:- 如果 AB = AC,则 B = C- 如果 BA = CA,则 B = C以上是一些大学数学证明题题库的一部分,希望对你的学习有帮助。
胡博士高考常考数学专题讲解:常考常考的不等式证明及比较类题型

专题二高考常考的(不)等式证明及比较类题型总结高中所学的证明(不)等式和比较类的题型很多,本着针对性学习、迅速提高的原则,在这一专题中我们只重点学习几种常考的证明(不)等式和比较类的方法:均值不等式法、数学归纳法、分析法、综合法、比差法、函数相同和向量相等判定的方法. 这些方法是使用全国卷一、二的地区常考的,更是平时各地区考试的热点和重点.学习本专题必备知识点总结:1. 重要不等式:R b a ab b a ∈≥+,其中(222,当且仅当a =b 时,取“=”号) 均值不等式:2)2(22b a ab ab b a ab b a +≤⇔≥+⇔≥+. (的几何平均数,叫的算术平均数,叫b a ab b a b a ,,2+且 a ,b>0,仅当a =b 时,取“=”号) 均值不等式的推广公式:33)3(3c b a abc abc c b a ++≤⇔≥++(其中a ,b,c>0,当且仅当a =b=c 时,取“=”号) 均值不等式的文字表述:n 个正数的算术平均数不小于这n 个正数的几何平均数. 用均值不等式时要注意:一正二定三相等.2. 数学归纳法的适用范围和证明的基本步骤.数学归纳法的适用范围是证明与自然数集有关的代数恒等式、不等式、整除性等命题. 数学归纳法的一般步骤:(1)证明当n 取对应命题适用的第一个自然数n 0时,命题成立;(2)假设n=k(),0*n k N k ≥∈时,命题成立,经过一系列推理得出当n=k+1时命题也成立.(3)由以上两步知所证明命题对所有.0都成立n n ≥数学归纳法的第一步是命题的基础,第二步是递推的依据,第三步是总结说明. 这三步都是必不可少的,但是第二步是证明的关键一步.3. 分析法是指从需要证明的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,使问题转化为判定那些条件是否具备. 可以说,分析法是解决所有问题的一个基本思维方法.其特点为“执果索因”,即从“要证结果”探索“需知条件”,逐步向“已知条件或结果”靠拢.其优点为方向明确、思路清晰、容易掌握、利于思考.4. 综合法是利用已知结果、已知结论和性质推导出所要证明的不等式成立的方法.其特点为“由因导果”,即从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.其优点为条理清晰、形式简洁、容易表述,其缺点是不易找到解决问题的突破口.5. 分析法和综合法的应用原则:分析法常用于寻找解题思路,然后再用综合法叙述证题过程.当然,有时候这两种方法可以结合在一起用.6. 比差法的基本原则:0)3(0)2(0)1(<-⇔<=-⇔=>-⇔>b a b a b a b a b a b a 用比差法比较两个式子的大小或证明不等式的基本步骤:(1)作差;(2)化简;(3)得结论.利用比差法证明时,关键要牢记作差后化简的目标:(1)常数(2)完全平方式(3)n 个因式乘积或相除的形式.7. 比较几个式子大小时,可以用上述的证明不等式的方法,也可以利用函数单调性(如指数和对数函数当底a >1时为增函数,当0<a <1时为减函数)以及中间变量的方法(中间变量常取0和1).8. 比较两个函数是否相同,就是看两个函数的定义域、对应关系、值域(可省略此步骤.因为另两个一样时,值域一定相同)是否相同.但是如果三者中有一个不一样,则这两个函数就不是相同的函数. 9. 如果向量a =(x ,y ),则与它相等的向量的坐标都为(x ,y ),即两个向量的横坐标、纵坐标分别对应相等.这样就可以由向量相等这一个条件列出两个方程,从而最多可以求出两个未知数的值.一、利用均值不等式证明不等式的题型均值不等式是高中常考的重要知识点之一,考查的方式主要是以求最值(值域)或者是证明不等式的形式出现. 本部分主要讲解均值不等式在证明中的应用. 利用均值不等式求最值(值域)与证明的思路、方法类似. 学习本部分首先要牢记以下不等式:重要不等式:R b a ab b a ∈≥+,(222其中,当且仅当a =b 时,取“=”号) 均值不等式:2)2(22b a ab ab b a ab b a +≤⇔≥+⇔≥+. (的几何平均数,叫的算术平均数,叫b a ab b a b a ,,2+且 a ,b>0,仅当a =b 时,取“=”号) 均值不等式的推广公式:33)3(3c b a abc abc c b a ++≤⇔≥++(其中a ,b,c>0,当且仅当a =b=c 时,取“=”号)在用均值不等式的公式时,要时刻注意三点:(1)各项或各因式均为正值;(2)各项的和或者积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值(求最值时一定要考虑).以上三点简记为:“一正,二定,三相等”.例1.证明下列不等式:).230(1230)4(4610)3()23(73242)2(9111,1),,0(,,)1(3222<<≤-<>++>≥-+≥++=+++∞∈x x x x x x x x cb ac b a c b a 其中证明:;求证:;其中证明:;求证:且已知 证明:)()()(31111)1(c b b c c a a c b a a b c c b a b c b a a c b a c b a c b a ++++++=++++++++=++∴=++ 方法一: ;所以原不等式得证时,取得最小值当且仅当原式..9.91212123),,0(,,c b a c b a ===+++≥∴+∞∈所以原不等式得证;时,取得最小值当且仅当并且方法二:.9.9313)()111(1111),,0(,,33c b a abc abcc b a c b a c b a c b a c b a ===⋅≥++⋅++=++∴=+++∞∈ ..),23(25)(2132432.7342332432324223)2(所以原不等式得证时,等号成立,或舍时,即当且仅当+∞∈==-=-=+≥+-+-=-+∴>x x x x x x x x x ..023,0.2301,23)230(1)323()23()23()23(234...)(2646.442646646610)3(323232222222222组成立由以上证明知原不等式所以又因为)时,取等号,(即当且仅当)(即证原不等式成立;所以等号取不到无解时,但是当>->∈=-=<<=-++≤-⋅∴-⋅=-=--=⇒+=+=≥+++=+++=++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 总结:用均值不等式进行证明时,要注意三点:(1)各项或各因式均为正值;(2)各项的和或者积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值(求最值时一定要考虑). 只有符合条件时,才能用公式,否则就会得到错误的结论. 这三点中最关键的是通过拆添项或配凑因式进行恒等变形得到定值. 为了得到定值在恒等变形时一定要分成相等的因式,这样才能保证三项相等时方程组有解,从而等号成立的条件满足. 如例1(4)中的.2x x x ⋅分成同理,在练习1(2)中x 要分成22x x +. 练习1.证明下列不等式: (1)已知.2),(2)(≥--+--+>++y x b a b a y x bx ay y x b a 求证:)( (2)当x >0时,证明:.342≥+x x参考答案:(1) 证明略. (提示:由已知条件变形得.,0))((式的条件成立这样才能保证均值不等>--b a y x ) (2))时,取等号,(即当且仅当∞+∈==≥≥++=+02,42.31342242322x xx x x x x x . 所以原不等式得证.二、利用数学归纳法证明(不)等式的题型数学归纳法是用来证明与自然数集有关的命题的一种方法. 数学归纳法的一般步骤:(1)证明当n 取对应命题适用的第一个正整数n 0时,命题成立;(2)假设n=k(),0*n k N k ≥∈时,命题成立,经过一系列推理得出当n=k+1时命题也成立(3)由以上两步知所证明命题对所有都成立0n n ≥.数学归纳法的第一步是命题的基础,第二步是递推的依据,第三步是总结说明. 这三步都是必不可少的,但是要知道第二步是证明的关键.例2.证明下列各题:(1)用数学归纳法证明:1+4+7+…+(3n-2)=)13(21-n n ; (2)当整数整除能被时,证明多项式1)1(02122++++≥++x x x x n n n .解析:这是两题常见的利用数学归纳法的题型:代数恒等式和整除问题. 只要把握住数学归纳法的一般步骤基本上就没有问题了.(1)证明:①当n=1时,左边=1,右边=1 所以,当n=1时命题成立.②假设当n=k 时命题成立,即1+4+7+…+(3k-2)=)13(21-k k 则当n=k+1时,1+4+7+…+(3k-2)+[3(k+1)-2]= )13(21-k k +(3k+1) =]1)1(3)[1(21)23)(1(21)253(212-++=++=++k k k k k k 即当n=k+1时,命题成立.③综合①②知,,1*时命题均成立N n n ∈≥;(2)证明:①当n=0时,.11)1(22122整除能被++++=++++x x x x x x n n .②假设n=k 时命题成立,即整除,能被多项式1)1(2122++++++x x x x k k 那么当n=k+1时,222212221)1(22)1()1()1()1()1()1(+++⋅-+⋅++⋅=++++++++++x x x x x x x x x x k k k k k k)1(])1([)1(221222++-+++=+++x x x x x x k k k.111,)1(22122时命题成立整除都能被+=∴++++++++k n x x x x x x k k③综合①②知,n .0时命题成立,Z n ∈≥.总结:在用数学归纳法证明命题时,首先要明确证明的一般步骤;其次在证明命题对n=k+1也成立时,一定要用假设的条件. 如果没有用到假设的条件,即使证明出了命题成立,这种方法也不能称为数学归纳法. 所以,在证明命题对n=k+1也成立时,要想办法把要证的式子化成可以用假设条件的形式.练习2. 1. 已知等差数列}{;项和求前n n S n d a a )1(.5,1,1==(2)用数学归纳法证明数列}{n S 前n 项和T n =;)25)(1(61-+n n n 2. 证明).(3221*N n n n n ∈>+⋅⋅⋅++参考答案:1.解:(1)直接用等差数列的前n 项和公式易得:.23252n n S n -= (2)证明:①当n=1时,T 1=S 1=a 1=1,右边=右边,等式成立左边==-⨯+⨯⨯,1)215)(11(161. ②假设当n=k 时等式成立,即)25)(1(61-+=k k k T k . ..1]2)1(5[]1)1)[(1(61)35)(2)(1(61)6135)(1(61]9)1(1525)[1(61)1(23)1(25)25)(1(61122211时,等式也成立即当时,当+=-+⋅+++=+++=++=-++-+=+-++-+=+=+=++k n k k k k k k k k k k k k k k k k k k S T T k n k k k ③综合①②知,对于任意n .*时等式成立N ∈;2.证明:.,3211)1(不等式成立时,当>=n . .,213.1.1)1(321)12(213311)1(32]1)12(2[311)1(321321211,3221)1()2(*不等式成立)知,对一切的)()根据((时不等式成立即当时,不等式左边为当时不等式成立,即假设N n k n k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k n k k k k k n ∈+=++>+-+-⋅+++=+--+++=++>+++⋅⋅⋅+++=>+⋅⋅⋅++>= 三、利用分析法证明不等式的题型当我们面对一个不等式的证明没有思路时,可以尝试着从目标不等式倒着分析,在这个过程中往往会发现解题思路,从而达到证明原不等式的目的,这就是分析法. 分析法是从需要证明的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,使问题转化为判定那些条件是否具备. 这种方法是解决问题尤其是较难问题的一个基本的、重要的方法.例3.证明下列不等式:(1)已知a ,b,c ;222ca bc ab c b a R ++≥++∈,求证:(2)已知a ,b b a ab b a R +>+++∈1,22求证:; )4(4321)3(≥---<---x x x x x 求证:.证明:(1).222ca bc ab c b a ++≥++要证: 即证)()(ca bc ab c b a ++≥++22222即0)()()()2()2()2(222222222≥-+-+-=+-++-++-c a c b b a c ac a c bc b b ab a (当a =b=c 时,取等号)上面不等式显然成立,并且以上各步均可逆,所以原不等式得证;(2) b a ab b a +>+++122要证: )()(即证b a ab b a +>+++21222 即0)()1()1(212122222222>++-+-=++++-++-b a b a b ab a b b a a(因为a -1,b-1,a +b 三式不能同时取零,所以原式只能大于零)上面不等式显然成立. 所以原不等式得证;...64,6545,])2)(3([])4)(1([.)2)(3()4)(1(,)23()41(),4(2341)4(4321)3(222222故原不等式得证这显然成立即即证只需证化简得即证只需证,欲证<+-<+---<----<---+-<-+-≥-+-<-+-≥---<---x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x总结:这种题型的基本思路是严格按照分析法的定义来思考,并掌握利用分析法来做的一些常见常考题型.练习3:(1))(,222222444c b a abc a c c b b a c b a R c b a ++≥++≥++∈证明不等式:、、(2).c b a cab b ca a bc c b a ++≥++都是正数,求证:、、设 .15175)3(+>+求证:参考答案:略.提示:(1)(2)两题都可以用例3的方法来做,而且第(2)题还可以用综合法来证明.(3)两次平方化简得一个显然成立的式子:4>从而知原不等式得证.15.四、利用综合法证明不等式的题型综合法是利用已知结果、已知结论和性质推导出所要证明的不等式成立的方法. 其特点为“由因导果”,即从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”.例4.证明下列不等式:.)())((,)2(22233b a b a b a b a +>++求证:是不相等的两个正数,已知证明: ;.8))()((,,.8))()((.2,2,2,0,0,0)1(所以原不等式得证不全等,又因为abc a c c b b a c b a abc a c c b b a ac a c bc c b ab b a c b a >+++∴≥+++∴≥+≥+≥+∴>>>.)())((.2)(,2)(,2,0,0)2(2223322444224222222b a b a b a b a b a b b a ab a b a b a ab ab b a b a b a +>++++>+++∴>+∴>+∴≠>>即且总结:由上面两题的证明我们知道,用综合法证明不等式的核心是利用已有知识(已知或已经成立的不等式或定理),进行符合逻辑的思考和推理. 值得注意的是一个题目可能有;lg lg lg 2lg 2lg 2lg ,,)1(c b a c a c b b a c b a ++>+++++证:是不全相等的正数,求已知多种解法. 例如上面的例4(2)题,用比差法和分析法都可以做出来,例3中的(1)(2)和练习3中的(1)(2)也都可以用综合法来做.练习4:证:是不全相等的正数,求已知c b a ,,abc b a c a c b c b a 6)()()(222222>+++++.参考答案:.2)(,2)(.2)(,2,022222222abc b a c abc a c b abc c b a bc c b a ≥+≥+≥+∴≥+>同理证明:.2,2,2,,222222原不等式”号,从而三式相加得三式不能全取“以为不全相等的正数,所因为=≥+≥+≥+abb a ac a c bc c b c b a五、利用比差法证明(不)等式或比较式子大小的题型利用比差法证明不等式是高中证明题的一种基本的、重要的方法.我们一定要重点对待这种题型,熟练掌握用这种方法证明的基本原则、基本步骤和需要重点把握的关键之处. 比差法的基本原则:0)3(0)2(0)1(<-⇔<=-⇔=>-⇔>b a b a b a b a b a b a 利用比差法证明时,关键要牢记作差后化简的三个目标:(1)常数(2)完全平方式(3)n 个因式乘积或相除的形式.例5.比较下列各式的大小: ;与;)与(;与;与xx x x x x x x x x x x -+++-+++----32)4(5132)3(1)4(12)2()4)(1()3)(2()1(22324 (5)已知101<<x ,比较的大小;x x x lg lg ,lg ,lg 22(6)设323log ,log log a b c π=== )A . a b c >>B . a c b >>C . b a c >>D . b c a >>解析:这些式子都是多项式、分式、对数的形式,对于这种形式的比较大小或不等式的证明常用比差法、中间变量法以及函数的单调性来做. ;31.1,3.1,3)1)(3(32]5)1[()32()3(;1)4(120)1(2)12(2]1)4([)12()2();4)(1()3)(2(02)45(65)4)(1()3)(2()1(2223242232422时,前式小于后式当时,前式大于后式或当时,两式相等或当<<--<>-==∴+-=--=++-+-+≥++∴≥+=++=-+-++-->--∴>=+--+-=-----x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ;时,前式小于后式或当时,前式大于后式或当时,两式相等或当)(32,1.3,21.2,13)2)(1(3233242<<<><<==∴---=-+-=--x x x x x x x x x x x x x x;lg lg lg lg 0)lg 2(lg lg lg .001lg lg lg 1lg 010152222x x x x x x x x x x >>>-=-=<⇒<<∴<<所以而且,并且其他两个大于)((6)22log log log b c <<>2233log log 2log 3log a b a b c π=<∴>∴>>. 故选A .总结:(1) 用比差法比较两个式子的大小或证明不等式的基本步骤:(1)作差;(2)化简;(3)得结论.其中第二步是证明的关键,要明确化简的目标基本上有三个:(1)常数;(2)完全平方式;(3)n 个因式乘积或相除的形式.(2) 当化简后的式子为n 个因式乘积或相除的形式时,这时候常需要用解一元二次不等式或高次不等式的方法进行分类讨论.(3) 要分清函数的单调性,中间变量常选取0和1.练习5.比较下列各式的大小关系:(1)比较的大小;与)52)(1()4)(12(---+a a a a;的大小与,比较已知呢?的大小,如果没有与比较已知a aR a x x x x x -+∈≠+++≠111)3(01)1(,0)2(2422 (4)设2lg ,(lg ),a e b e c ===( )A . a b c >>B . a c b >>C . c a b >>D . c b a >>(5) 若8.0log ,6log ,log 273===c b a π,则( )A . a >b >cB . >>a b cC . c >>a bD . b>c >a参考答案:(1);)52)(1()4)(12(--<-+a a a a(2) 当时,0≠x 1)1(2422++>+x x x ,当1)1(02422++≥+≠x x x x 条件限制时,没有;(3) 当a =0时,a a -=+111; 当a >0时,a a->+111; a a a ->+<<-11101时,当 ;a aa -<+-<1111时,当. (4) B ; (5) A.六、比较某几个函数、向量是否相同的题型这种题型在高考中时常考到,一般是以小题的形式考查,只要把握住解决这类题的基本方法、原则,基本上不会失分. 比较两个函数是否相同,就是看两个函数的定义域、对应关系、值域(可省略此步骤. 因为另两个一样时,值域一定相同)是否相同. 但是如果三者中有一个不一样,则这两个函数就不是相同的函数.例6.判断下列各组函数是否为同一函数:(1)y =1, ;;;233,)3(,)2(x y x y x y x y x x y =====⎩⎨⎧==<-≥==.ln ,ln 2)5(0,0,|,|)4(2x y x y x x x x y x y ; 解析:(1)(2)两组中的定义域不一样,所以这两组不为同一函数.(3)中的值域不同, 所以也不为同一函数. 只有(2)(4)两组中的定义域、值域、对应关系都一样,它们是同一函数.总结:比较两个函数是否相同,就是看两个函数的定义域、对应关系、值域(可省略此步骤. 因为另两个一样时,值域一定相同)是否相同.但是如果三者中有一个不一样,则这两个函数就不是相同的函数.练习6.判断下列各组函数是否为同一函数: ).1,0(log ,)3(;1,1)2(;1,11)1(22≠>==-=-=+=--=a a a y x y x y x y x y x x y x a 且参考答案:(1)定义域不同;(2)定义域,值域,对应关系都不同;(3)相同.例7.求下列各式的值:(1)若向量=(x -2,3)与向量=(1, y +2)相等,求x ,y 的值;(2) 已知点A (-1,-5)和向量a =(2,3),若AB =3a ,则点B 坐标为 . 解析:例7主要考查两个向量相等的定义,严格按照定义来做,基本不会出错.(1)由两个向量相等的定义知:⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧==⇒=+=-133212y x y x ; 4,5)9,6(3)5,1(),,()2(==⇒==++=y x a y x AB y x B 则向量的坐标为设点. 所以点B 的坐标为(5,4).总结:如果两个向量相等,则这两个向量的横坐标、纵坐标分别对应相等. 这样就可以由向量相等这一个条件列出两个方程,从而最多可以求出两个未知数的值.练习7. 求下列各式的值:(1) 已知向量==--+x B A x x x 则点相等,其中点与),2,3(),2,1()43,3(2 ;的值试求实数且有已知向量q p q p ,,),2,3(),1,1(),2,1()2(+=-=-=-=.参考答案:(1)4,1)2(1==-=q p x ;.本专题典型的证明(不)等式及比较类高考真题汇总较容易的基础题:1.已知a ,b,c 满足c b a <<,且ac <0,那么下列选项中一定成立的是( )A. ab ac >B. c b a ()-<0C. cb ab 22<D. ac a c ()->02. 如果0,0a b <>,那么,下列不等式中正确的是( )A. 11a b<22a b < D. ||||a b > 3.若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===,,,,,则( )A .a <b <cB .c <a <bC . b<a <cD . b <c <a 4.下列四个数中最大的是( )A .2(ln 2)B .ln(ln 2)C .D .ln 2 5. 的坐标为为坐标原点,则向量)的坐标为点)(已知向量O B y x ,1,2(,,-= .中等难度的提高题:1.若0.52a =,πlog 3b =,22πlog sin5c =,则( ) A .a b c >>B .b a c >>C .c a b >>D .b c a >> 2. 若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则( ) A. a <b<c B. c<b<a C. c<a <b D. b<a <c3. 已知四组函数:.12)(,12)()4();(12)(,12)()3()()(,)()2(;)()(,)()1(2212122--=--=∈+=-=∈====++t t t g x x x f Z n n n g n n f N n x x g x x f x x g x x f n n其中表示同一函数的组别有( )A. 没有B. 仅有(2)C. 仅有(2)(4)D. 有(2)(3)(4)4.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(y x ,)满足满足的关系式为则且其中y x R ,,1,,,=+∈+=βαβαβα .较难的综合题:1. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且方程 20n n x a x a --= 有一根为1,1,2,3,...n S n -= (I )求12,;a a (II )求{}n a 的通项公式.2. 已知数列{}n a 中12a =,11)(2)n n a a +=+,123n =,,,….(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若数列{}n b 中12b =,13423n n n b b b ++=+,123n =,,,…,43n n b a -<≤,123n =,,,….本专题典型的(不)等式证明及比较类高考真题参考答案及部分解析较容易的基础题的参考答案:1. A2. A3. C4. D5. (-2-x ,1-y ).第1题解析:由条件知a >0,c<0,则知选项A 正确. 选项B 中,因为b -a <0,c<0,所以c(b -a )>0.选项C 中,当b=0时不成立. 选项D 易知错误.第3题解析:b a x b a x e x >∴>-=-<<-∈-0ln .0ln 1)1,(1利用比差法知知由.选项正确C ac x x a c ⇒>∴>-=-0)1(ln ln 2 .第4题解析:D C B <∴<<由单调性知选项小的一个为负数,是这四个中最选项.,12ln 0 . 中的值最大所以选项而且D ,0)2ln 1(2ln )2(ln 2ln 2>-=-.中等难度题的参考答案:1. A2. C3. C4. x +2y =5第1题解析:A c b a 选又,易知本题用中间变量法较好∴<∴<<<<>0152sin 0,10,1π.第2题解析:利用函数单调性知,只要比较:的大小即可,,513121532.第3题解析:(1)中的定义域不同;(3)中的对应法则不同;(4)中的自变量虽然用不同的字母表示,但两函数的定义域和对应法则都相同,所以表示同一函数;(2)易知定义域、...2555,322)2(.93)3(,82)2210515102126313621正确选项)而(而(C a c b a ∴<∴====<∴====值域、对应法则都相同. 所以选C .第4题解析:利用两个向量相等的定义列出方程组,易得答案再根据条件,消去βα,.较难的综合题的参考答案:1. )1(1)2(61,21)1(21+===n n a a a n ; 2.(Ⅰ)1)1nn a ⎤=+⎦;(Ⅱ)见解析. 第1题解析:(1)当n=1时,.21,11,0111112=-=-=--a a S a x a x 代入得有一根为.61,21102222222=-=-=--=a a S a x a x n 代入得,有一根为时,同理,当(2)由题设知.012,0)1()1(22=-+-=----n n n n n n n n S a S S a S a S 即 当(*)012211=+--=≥--n n n n n n S S S S S a n 代入上式得时,..,3,2,1,1.43*.326121,21)1(321211这个结论下面用数学归纳法证明由此猜想)知由(知由⋅⋅⋅=+===+=+===n n nS S a a S a S n①当n=1时已知结论成立. ②假设n=k 时结论成立,即,21*1,11kk k S S k n k k S -=+=+=+)得时,由(当 .1.211时结论也成立故即+=++=+k n k k S k ③由①②知.1都成立对所有正整数n n nS n +=于是当.)1(11121+=--+=-=≥-n n n n n n S S a n n n n 时, }{).,3,2,1()1(1,2112111⋅⋅⋅=+=⨯===n n n a a a n n n 的通项公式为所以时,又因为第2题解析:(Ⅰ)由题设:11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(22n a =-即11)(n n a a +=.所以,数列{n a是首项为21的等比数列,所以1)n n a =,即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦,123n =,,,…. (Ⅱ)用数学归纳法证明.(ⅰ)当1n =时,因2,112b a ==,11b a <≤,结论成立.(ⅱ)假设当n k =43k k b a -<≤,也即430k k b a -< 当1n k =+时,13423k k k b b b ++=-+(3)(2)23k k b b -+-=+(3)(2)023k k b b -=>+,又1323k b <=-+所以1(323k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说,当1n k =+时,结论成立.43n n b a -≤,123n =,,,…。
高二数学中常见的数学证明题解析
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高二数学中常见的数学证明题解析在高二数学学习中,数学证明题是学生常常遇到的一种题型。
这类题目要求学生运用所学的数学知识与方法,通过逻辑推理与推导,论证给定的数学命题是否成立。
本文将针对高二数学中常见的数学证明题进行解析,并提供相应的解题方法和技巧。
一、直接证明法直接证明法是最常用的一种证明方法,其基本思路是根据题目给出的条件和所需要证明的结论,通过数学逻辑或数学运算的推演,直接推出结论的真实性。
以题目“已知三角形ABC中,∠A + ∠B +∠C = 180°,证明三角形ABC是直角三角形”为例,我们可以进行如下的解答:首先,根据“已知”,我们可以得知∠A + ∠B +∠C = 180°,即三角形ABC的内角和等于180度。
接着,我们可以借助三角形的性质,利用直角三角形的内角和为180度这一定理,进一步推导结论。
设三角形ABC为一个任意三角形,若∠A + ∠B +∠C = 180°, 要证明三角形ABC是直角三角形,我们需要满足以下条件:1. ∠A = 90°或∠B = 90°或∠C = 90°。
接下来,我们采取反证法,假设三角形ABC不是直角三角形,则∠A ≠ 90° 且∠B ≠ 90° 且∠C ≠ 90°。
根据三角形内角和为180度的性质,我们可以得到∠A + ∠B +∠C ≠ 180°,然而题目已经给出∠A + ∠B +∠C = 180°,与前面的假设矛盾。
由此可见,假设不成立,三角形ABC一定是直角三角形。
通过以上的分析,我们按照直接证明法的思路,成功地证明了三角形ABC是直角三角形。
二、反证法反证法是一种常用的证明方法,其基本思路是假设所需要证明的结论不成立,然后通过逻辑推理推出与已知条件或真实结论相矛盾的结论,从而证明原命题的成立性。
以题目“证明根号2是无理数”为例,我们可以进行如下的解答:首先,我们需要明确无理数的定义:无理数是指不能表示为两个整数的比值的数,无理数的根号表示形式是无线不循环的小数。
高考数学证明复习重点整理
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高考数学证明复习重点整理高考数学证明重点整理在高考数学中,证明题是相对较难的题型,但是在分值上较为重要。
相信很多同学都有这样的经验,明明能够灵活运用公式计算出答案,但是面对一道证明题,却感觉无从下手。
其实,掌握了证明题的解法和方法,不仅可以提高分数,还能培养自己的逻辑思维和数学能力。
下面,本文将为大家整理高考数学证明的重点内容,希望对大家有所帮助。
一、三角函数证明在高考数学中,三角函数证明题居多,需要掌握的基本方法有:根据题目中给出的条件、常用公式、三角函数定义及其相关性质,结合逻辑推理和数学运算,推导出要证明的结论。
例如:证明 $\frac{1-\sin A}{\cos A}+\frac{1-\cos A}{\sinA}=\frac{(1-\sin A)(1-\cos A)}{\sin A\cos A}$解法:将左边的式子进行通分,得到$$\frac{\sin A(1-\sin A)+\cos A(1-\cos A)}{\sin A\cos A}$$再利用$\sin^2A+\cos^2A=1$的恒等式,得到$$\frac{\sin A\cos A-(\sin^2A-\cos^2A)}{\sin A\cos A}=\frac{\sin A\cos A-(\sin A-\cos A)(\sin A+\cos A)}{\sin A\cos A}$$继续化简,得到$$\frac{\sin A\cos A-\sin A\cos A-(\sin^2 A-\cos^2 A)}{\sin A\cos A}=\frac{(1-\sin A)(1-\cos A)}{\sin A\cos A}$$即左边等于右边,证毕。
二、向量证明向量证明题需要掌握向量的基本定义和性质,运用向量运算的基本法则,解法相对较为灵活。
例如:已知$\vec{AB}=\vec{a},\vec{AC}=\vec{b},\vec{AD}=\vec{c}$,证明$\vec{BD}=\vec{a}-\frac{(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\times\vec{a}}{(\vec{a}+\vec{b}+\ve c{c})^2}\times (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$解法:将向量$\vec{BD}$用向量$\vec{a}$表示,得到$$\vec{BD}=\vec{AD}-\vec{AB}=\vec{c}-\vec{a}$$将向量叉乘公式$\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\cdot\vec{c})\vec{b}-(\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}$代入,得到$$\vec{a}\times[(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\times(\vec{c}-\vec{a})]=((\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot(\vec{c}-\vec{a}))\vec{a}-((\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\cdot\vec{a})\vec{c}$$化简得到$$\vec{BD}=\vec{a}-\frac{(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\times\vec{a}}{(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^2}\times (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$$证毕。
考研数学:高数重要定理证明汇总
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考研数学:高数重要定理证明汇总高数定理证明之微分中值定理:这一部分内容比较丰富,包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。
除泰勒中值定理外,其它定理要求会证。
费马引理的条件有两个:1.f'(x0)存在2.f(x0)为f(x)的极值,结论为f'(x0)=0。
考虑函数在一点的导数,用什么方法?自然想到导数定义。
我们可以按照导数定义写出f'(x0)的极限形式。
往下如何推理?关键要看第二个条件怎么用。
“f(x0)为f(x)的极值”翻译成数学语言即f(x)-f(x0)<0(或>0),对x0的某去心邻域成立。
结合导数定义式中函数部分表达式,不难想到考虑函数部分的正负号。
若能得出函数部分的符号,如何得到极限值的符号呢?极限的保号性是个桥梁。
费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。
那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理。
若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的,那罗尔定理当之无愧。
该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。
条件有三:“闭区间连续”、“开区间可导”和“端值相等”,结论是在开区间存在一点(即所谓的中值),使得函数在该点的导数为0。
该定理的证明不好理解,需认真体会:条件怎么用?如何和结论建立联系?当然,我们现在讨论该定理的证明是“马后炮”式的:已经有了证明过程,我们看看怎么去理解掌握。
如果在罗尔生活的时代,证出该定理,那可是十足的创新,是要流芳百世的。
闲言少叙,言归正传。
既然我们讨论费马引理的作用是要引出罗尔定理,那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理。
我们对比这两个定理的结论,不难发现是一致的:都是函数在一点的导数为0。
话说到这,可能有同学要说:罗尔定理的证明并不难呀,由费马引理得结论不就行了。
大方向对,但过程没这么简单。
起码要说清一点:费马引理的条件是否满足,为什么满足?前面提过费马引理的条件有两个——“可导”和“取极值”,“可导”不难判断是成立的,那么“取极值”呢?似乎不能由条件直接得到。
高考数学中的常见证明题
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高考数学中的常见证明题数学作为一门理科学科,它的学习和应用贯穿了我们整个学习生活。
在高中阶段的学习中,数学的重要性更是不言而喻。
而在高考中,数学也是不可或缺的一科。
在高考数学中,常见的证明题占据了重要的地位。
那么,让我们来了解一下高考数学中的常见证明题吧。
首先,我们将介绍一下常见的几何证明题。
几何证明题是高考数学中重要的部分。
常见的几何证明题包括线段相等、角相等、三角形相似等等。
例如证明线段相等,我们首先需要画出图形,并标出已知条件和待证条件。
在证明过程中,可以利用已知的定理和公式,运用逻辑推理,一步一步地进行证明。
另外,在解决几何证明题时,我们还可以利用反证法。
即,假设待证条件不成立,然后利用已知条件进行推理,最终得到矛盾结论。
这样就证明了待证条件的正确性。
除了几何证明题,在高考数学中,代数证明题也是常见的。
代数证明题主要是通过等式的变形和推导来证明。
常见的代数证明题包括证明等式成立、证明两个式子等价等等。
例如,证明等式成立时,我们可以通过运用已知的数学公式和定理,进行等式的变形,最终得出等式成立的结论。
另外,在解决代数证明题时,我们还可以利用数学归纳法。
通过先证明等式在某个特殊情况下成立,然后假设等式在第n项成立,推导出第n+1项也成立,最终得到等式对所有项都成立的结论。
此外,在高考数学中,概率证明题也是常见的。
概率证明题主要是通过概率的计算和逻辑推理来证明。
常见的概率证明题包括证明事件的独立性、证明事件的等可能性等等。
例如,证明事件的独立性时,我们需要利用概率定义和条件概率的计算进行推导,最终得出事件的独立性结论。
另外,在解决概率证明题时,我们还可以利用逆否命题证明。
即,给定一个条件,我们假设其逆命题成立,然后利用概率的定义和计算进行推导,最终得到必要条件成立的结论。
在解决高考数学中的常见证明题时,我们需要注意以下几点。
首先,需要仔细阅读题目,理解题目中的已知条件和待证条件。
其次,需要有良好的逻辑思维能力和抽象思维能力,能够灵活运用数学定理和公式。
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高数必考六大证明题型
一、数列极限的证明
数列极限的证明是数一、二的重点,特别是数二最近几年考的非常频繁,已经考过好几次大的证明题,一般大题中涉及到数列极限的证明,用到的方法是单调有界准则。
二、微分中值定理的相关证明
微分中值定理的证明题历来是考研的重难点,其考试特点是综合性强,涉及到知识面广,涉及到中值的等式主要是三类定理:
1. 零点定理和介质定理;
2. 微分中值定理;
包括罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理和泰勒定理,其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题,考查频率底,所以以前两个定理为主。
3. 微分中值定理
积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。
在考查的时候,一般会把三类定理两两结合起来进行考查,所以要总结到现在为止,所考查的题型。
三、方程根的问题
包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。
四、不等式的证明
五、定积分等式和不等式的证明
主要涉及的方法有微分学的方法:常数变异法
积分学的方法:换元法和分布积分法。
六、积分与路径无关的五个等价条件
这一部分是数一的考试重点,最近几年没设计到,所以要重点关注。