第5章实数测试题(2)
第5章 实数基础知识
实数基础知识1.判断题1．3是9的算术平方根2．0的平方根是0，0的算术平方根也是3．（-2）2的平方根是2-4．-0.5是0.25的一个平方根5．a 是a 的算术平方根6．64的立方根是4±7．-10是1000的一个立方根8． -7是-343的立方根9．无理数也可以用数轴上的点表示出来10．有理数和无理数统称实数 11． ．填表： x121 144 169 196 225 256 289 324 361 400x 14 1812.100的平方根是 ，10的算术平方根是 。
－27 的立方根是 ，4 的平方根是13．3±是 的平方根,3-是 的立方根；2)2(-的算术平方根是 。
()26-的算术平方根是______。
14．正数有 个平方根，它们 ；0的平方根是 ；负数 平方根。
15．125-的立方根是 ，8±的立方根是 ，121-＝________，38-＝_________。
2(4)--=16．正数的立方根是 数；负数的立方根是 数；0的立方根是 ，16的平方根 是17．2的相反数是 ，12-的相反数是_________π-= ，364-= ，18．比较大小：3 10； 23 32；140 12 ；π 14.3 ；19、到原点的距离为34的点表示的数是 ；121125±= ：327102-= ，64的立方根是20、下列317，π-，3.14159 ，8，327-，21中无理数有 21、 和 统称实数22．写出3-和2之间的所有的整数为____ ．三、求下列各式中的x⑴2x 49= ⑵81252=x（3）8333=-x ⑷125)2(3=+x四、计算（1）23325332+--； （2）3231-+-；(3))212(2+ (4) 1212716713++-实数专项练习一、选择题1. 在 -3，－3， －1， 0 这四个实数中，最大的是（ ）A. -3B.－3C. －1D. 02. 据报道，5月28日参观2010上海世博会的人数达35.6万﹒用科学记数法表示数35.6万是（ ）A ．3.56×101B ．3.56×104C ．3.56×105D ．35.6×1043. 下列计算正确的是（ ）（Ａ）020= （Ｂ）331-=- （Ｃ）93= （Ｄ）235+=4. 73是（ ） A ．无理数 B ．有理数 C ．整数 D ．负数5. 3的倒数是（ ）A ．13B ．— 13C ．3D ．—3 6. 据新华社2010年2月9日报道：受特大干旱天气影响，我国西南地区林地受灾面积达到43050000亩．用科学计数法可表示为（ ）A.810305.4⨯亩B. 610305.4⨯亩C. 71005.43⨯亩D. 710305.4⨯亩7. 计算2(3)-的结果是（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ． 98. 下列各式中，运算正确的是（ ）A ．632a a a ÷=B ．325()a a =C ．223355+=D ．632÷=9. 已知3=a ，且21(4tan 45)302b bc ︒-++-=，以a 、b 、c 为边组成的三角形面积等于（ ）．A ．6B ．7C ．8D ．910. 无理数－3的相反数是（ ）A ．－ 3B ． 3C ．13D ．－1311. 图(五)数在线的A 、B 、C 三点所表示的数分别为a 、b 、c 。
新教材高中数学第5章计数原理检测题北师大版选择性
第五章检测题考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC 卡．若他至少买1张，则不同的买法共有( A )A ．7种B ．8种C ．6种D ．9种[解析] 要完成的“一件事”是“至少买1张IC 卡”，分三类完成：买1张IC 卡、买2张IC 卡、买3张IC 卡．而每一类都能独立完成“至少买1张IC 卡”这件事．买1张IC 卡有2种方法，买2张IC 卡有3种方法，买3张IC 卡有2种方法，所以不同的买法共有2＋3＋2＝7(种)．2．(x 3＋x 2＋x ＋1)(y 2＋y ＋1)(z ＋1)展开后的不同项数为( D ) A ．9 B ．12 C ．18D ．24[解析] 分三步：第一步，从(x 3＋x 2＋x ＋1)中任取一项，有4种方法；第二步，从(y2＋y ＋1)中任取一项，有3种方法；第三步，从(z ＋1)中任取一项有2种方法．根据分步乘法计数原理，得共有4×3×2＝24(项)．故选D ．3．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋33x n 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( C )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋33x n 的各项系数的和为(1＋3)n ＝4n ，二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋33x n 的各项二项式系数的和为2n，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，所以4n2n ＝2n＝64，n ＝6.故选C ．4．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一项活动的情况有( B )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种[解析] 由题意，现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，其中乙、丙两人恰好参加同一项活动的情况有C 22C 22A 22＝2(种)．5．由数字0,1,2,3,4,5可以组成能被5整除，且无重复数字的不同的五位数有( A ) A ．(2A 45－A 34)个 B ．(2A 45－A 35)个 C ．2A 45个D ．5A 45个[解析] 能被5整除，则个位须为5或0，有2A 45个，但其中个位是5的含有0在首位的排法有A 34个，故共有(2A 45－A 34)个．6．将多项式a 6x 6＋a 5x 5＋…＋a 1x ＋a 0分解因式得(x －2)(x ＋2)5，则a 5＝( A ) A ．8 B ．10 C ．12D ．1[解析] (x －2)(x ＋2)5＝(x 2－4)(x ＋2)4，所以(x ＋2)4的展开式中的三次项系数为C 14·21＝8，所以a 5＝8.7．如图所示，若从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的情况有( B )A ．3种B ．5种C ．7种D ．9种[解析] 从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的情况有C 15＝5(种)．8．如图是由6个正方形拼成的矩形，从图中的12个顶点中任取3个顶点作为一组．其中可以构成三角形的组数为( C )A ．208 C ．200D ．196[解析] 任取的3个顶点不能构成三角形的情形有三种：一是3条横线上的4个顶点，其组数为3C 34；二是4条竖线上的3个顶点，其组数为4C 33；三是4条田字的对角线上的3个顶点，其组数为4C 33.所以可以构成三角形的组数为C 312－3C 34－8C 33＝200.故选C ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9．已知A m 3－C 23＋0！＝4，则m 可能的取值是( CD ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] ∵A m3－C 23＋0！＝4，∴A m3＝6，∴m ＝2或m ＝3，故选CD ．10．对于⎝⎛⎭⎪⎫1x＋x 3n(n ∈N ＋)，以下判断正确的有( AD )A ．存在n ∈N ＋，展开式中有常数项B ．对任意n ∈N ＋，展开式中没有常数项C ．对任意n ∈N ＋，展开式中没有x 的一次项D ．存在n ∈N ＋，展开式中有x 的一次项[解析] 设⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 3n (n ∈N ＋)展开式的通项为T k ＋1＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n －k (x 3)k ＝C k n x 4k －n(k ＝0,1,2，…，n )，不妨令n ＝4，则当k ＝1时，展开式中有常数项，故选项A 正确，选项B 错误；令n ＝3，则当k ＝1时，展开式中有x 的一次项，故选项C 错误，选项D 正确，故选AD ．11．关于(x －1)2 020及其展开式，下列说法正确的是( AD )A ．该二项展开式中非常数项的系数和是－1B ．该二项展开式中第六项为C 62 020x 1 007C ．该二项展开式中不含有理项D ．当x ＝100时，(x －1)2 020除以100的余数是1[解析] (x －1)2 020的展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 2 020x2000－k 2 (－1)k (k ＝0,1,2，…，2 020)．对于A ，当k ＝2 020时，得到常数项为T 2 021＝1.又(x －1)2 020的展开式的各项系数和为(1－1)2 020＝0，所以该二项展开式中非常数项的系数和是－1，故A 正确．对于B ，该二项展开式中第六项为T 6＝C 52 020x 2000－52 (－1)5＝－C 52 020x 2 0152，故B 错误．对于C ，当2 020－k ＝2n (n ∈Z )时，对应的各项均为有理项，故C 错误． 对于D ，当x ＝100时，(x －1)2 020＝(10－1)2 020＝C 02 020102 020(－1)0＋C 12 020102 019×(－1)1＋…＋C 2 0182 020102(－1)2 018＋C 2 0192 020101×(－1)2 019＋C 2 0202 020100(－1)2 020，因为C 02 020×102 020(－1)0＋C 12 020102 019(－1)1＋…＋C 2 0172 020×103(－1)2 017显然是100的倍数，即能被100整除，而C 2 0182 020102(－1)2018＋C 20192 020101×(－1)2 019＋C 2 0202 020100(－1)2 020＝1 010×2 019×100－20 200＋1＝1 010×2 018×100＋101 000－20 200＋1 ＝1 010×2 018×100＋80 801＝m ·100＋1，m ∈N ，所以当x ＝100时，(x －1)2 020除以100的余数是1，故D 正确．故选AD ．12．高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正确的有( AC )A ．若任意选择三门课程，选法总数为C 37种B ．若物理和化学至少选一门，选法总数为C 12C 26 C ．若物理和历史不能同时选，选法总数为C 37－C 15种D ．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为C 12C 25－C 15种 [解析] A 显然正确；对于B 应为C 12C 25＋C 22C 15种；对于C ，用间接法，显然正确；对于D 应分三种情况：①只选物理，则有C 24种选法； ②只选化学，则有C 25种选法； ③若物理与化学都选，则有C 14种选法． 即共有C 24＋C 25＋C 14＝20种选法． 综上可知AC 正确，BD 错误．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知(1＋x )n 的展开式中，唯有x 3的系数最大，则(1＋x )n的系数和为_64__.[解析] 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧C 3n >C 2n ，C 3n >C 4n ，则⎩⎪⎨⎪⎧nn －1n －26>n n －12，n n －1n －26>n n －1n －2n －324，解得5<n <7，又n ∈N ，因此n ＝6.设(1＋x )6＝a 0x 6＋a 1x 5＋a 2x 4＋…＋a 5x ＋a 6，令x ＝1，则(1＋x )6的系数和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝26＝64.14．若存在x ∈N *，使得(ax ＋1)2n和(x ＋a )2n ＋1(其中a ≠0)的展开式中x n项的系数相等，则a 的最大值为_23__.[解析] 由(x ＋a )2n ＋1的展开式中第k ＋1项为T k ＋1＝C k 2n ＋1·x2n ＋1－k a k，令2n ＋1－k ＝n ，得k ＝n ＋1，所以含x n 项的系数为C n ＋12n ＋1a n ＋1.由C n ＋12n ＋1an ＋1＝C n 2n a n，得a ＝n ＋12n ＋1，是关于n 的减函数，∵n ∈N *，∴12<a ≤23，故a 的最大值为23.15．(2020·浙江)如图，有7个白色正方形方块排成一列，现将其中4块涂上黑色，规定从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有_14__种．[解析] 由题意可判断第1格涂黑色，且第2格和第3格至少有一个是黑色，因此分以下三种情况讨论：①若第2格涂黑色，第3格涂白色，则后面4格的情况有(黑，黑，白，白)，(黑，白，黑，白)，(黑，白，白，黑)，(白，黑，黑，白)，(白，黑，白，黑)，共5种；②若第2格涂白色，第3格涂黑色，则后面4格的情况与①相同，共5种； ③若第2,3格都涂黑色，则还有1个黑色，从后面4格任选1格均可，共4种． 综上，总的涂法有5＋5＋4＝14(种)．16．已知m ，n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n展开式中，含x 项的系数为19，则当含x 2项的系数最小时，展开式中含x 7项的系数为_156__.[解析] ∵m ，n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n展开式中，含x 项的系数为19，∴m ＋n ＝19.则当m ＝1或n ＝1时，含x 2项的系数为C 218＝153；当m ≠1，且n ≠1时，含x 2项的系数为C 2m ＋C 2n ＝m m －1＋n n －12＝19－n18－n ＋n n －12＝n 2－19n ＋171＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1922＋3234. ∴当n ＝10或9时，x 2的系数最小，为81.∴f (x )＝(1＋x )9＋(1＋x )10，展开式中含x 7项的系数为C 79＋C 710＝156.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)从－3，－2，－1,0,1,2,3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数a ，b ，c ，问：(1)共能组成多少个不同的二次函数？(2)在这些二次函数中，图象关于y 轴对称的有多少个？ [解析] (1)方法1(直接法——优先考虑特殊位置)：∵a ≠0，∴确定二次项系数有7种，确定一次项和常数项有A 27种，所以共有7A 27＝294个不同的二次函数．方法2(直接法——优先考虑特殊元素)：当a ，b ，c 中不含0时，有A 37个；当a ，b ，c 中含有0时，有2A 27个，故共有A 37＋2A 27＝294(个)不同的二次函数．方法3：(间接法)共可构成A 38个函数，其中当a ＝0时，有A 27个均不符合要求，从而共有A 38－A 27＝294(个) 不同的二次函数．(2)依题意b ＝0，所以共有A 27＝42(个)符合条件的二次函数．18．(本小题满分12分)用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？(1)被4整除；(2)比21 034大的偶数；(3)左起第二、四位是奇数的偶数．[解析] (1)被4整除的数，其特征应是末两位数是4的倍数，可分为两类：当末两位数是20,40,04时，其排列数为3A 33＝18，当末两位数是12,24,32时，其排列数为3A 12·A 22＝12.故满足条件的五位数共有18＋12＝30(个)．(2)①当末位数字是0时，首位数字可以为2或3或4，满足条件的数共有3×A33＝18个．②当末位数字是2时，首位数字可以为3或4，满足条件的数共有2×A33＝12个．③当末位数字是4时，首位数字是3的有A33＝6个，首位数字是2时，有3个，共有9个．综上知，比21034大的偶数共有18＋12＋9＝39个．(3)方法1：可分为两类：末位数是0，有A22·A22＝4(个)；末位数是2或4，有A22·A12＝4(个)；故共有A22·A22＋A22·A12＝8(个)．方法2：第二、四位从奇数1,3中取，有A22个；首位从2,4中取，有A12个；余下的排在剩下的两位，有A22个，故共有A22A12A22＝8(个)．19．(本小题满分12分)已知(1＋m x)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含x项的系数为112.(1)求m，n的值；(2)求展开式中奇数项的二项式系数之和；(3)求(1＋m x)n(1－x)的展开式中含x2项的系数．[解析] (1)由题意可得2n＝256，解得n＝8.∴通项T k＋1＝C k8m k x k 2，∴含x项的系数为C28m2＝112，解得m＝2，或m＝－2(舍去)．故m，n的值分别为2,8.(2)展开式中奇数项的二项式系数之和为C18＋C38＋C58＋C78＝28－1＝128.(3)(1＋2x)8(1－x)＝(1＋2x)8－x(1＋2x)8，所以含x2项的系数为C4824－C2822＝1 008.20．(本小题满分12分)某班要从5名男生3名女生中选出5人担任5门不同学科的课代表，请分别求出满足下列条件的方法种数．(1)所安排的女生人数必须少于男生人数；(2)其中的男生甲必须是课代表，但又不能担任数学课代表；(3)女生乙必须担任语文课代表，且男生甲必须担任课代表，但又不能担任数学课代表．[解析] (1)所安排的女生人数少于男生人数包括三种情况，一是2个女生，二是1个女生，三是没有女生，依题意得(C55＋C13C45＋C23C35)A55＝5 520种．(2)先选出4人，有C 47种方法，连同甲在内，5人担任5门不同学科的课代表，甲不担任数学课代表，有A 14·A 44种方法，∴方法数为C 47·A 14·A 44＝3 360种．(3)由题意知甲和乙两人确定担任课代表，需要从余下的6人中选出3个人，有C 36＝20种结果，女生乙必须担任语文课代表，则女生乙就不需要考虑，其余的4个人，甲不担任数学课代表，∴甲有3种选择，余下的3个人全排列共有3A 33＝18；综上可知共有20×18＝360种．21．(本小题满分12分)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n(n ∈N *)的展开式的各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫43b －15b 5的展开式中的常数项，求⎝ ⎛⎭⎪⎫3a－3a n的展开式中a －1项的二项式系数． [解析] 对于⎝⎛⎭⎪⎫43b －15b 5：T k ＋1＝C k 5(43b )5－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15b k ＝C k 5·(－1)k ·45－k ·5－k 2b 105k6 .若T k ＋1为常数项，则10－5k ＝0，所以k ＝2，此时得常数项为T 3＝C 25·(－1)2·43·5－1＝27.令a ＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式的各项系数之和为2n .由题意知2n ＝27，所以n ＝7. 对于⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a 7：T k ＋1＝C k 7⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 7－k ·(－3a )k ＝C k 7·(－1)k ·37－ka 5k 216 .若T k ＋1为a －1项，则5k －216＝－1，所以k ＝3.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n的展开式中a －1项的二项式系数为C 37＝35.22．(本小题满分12分)0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数． (1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；(2)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数． [解析] (1)将所有的三位偶数分为两类：①若个位数为0，则共有A 24＝12(种)；②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18(种)．所以共有30个符合题意的三位偶数．(2)将这些“凹数”分为三类：①若十位数字为0，则共有A 24＝12(种)；②若十位数字为1，则共有A 23＝6(种)；③若十位数字为2，则共有A 22＝2(种)．所以共有20个符合题意的“凹数”．(3)将符合题意的五位数分为三类：①若两个奇数数字在一、三位置，则共有A22·A33＝12(种)；②若两个奇数数字在二、四位置，则共有A22·C12·A22＝8(种)；③若两个奇数数字在三、五位置，则共有A22·C12·A22＝8(种)．所以共有28个符合题意的五位数．。
《实数》测试卷及答案
人教版七年级数学第六章《实数》测试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1、若x 是9的算术平方根，则x 是（ ）A 、3B 、－3C 、9D 、81 2、下列说法不正确的是（ ） A 、251的平方根是15± B 、－9是81的一个平方根 C 、0.2的算术平方根是0.04 D 、－27的立方根是－3 3、若a 的算术平方根有意义，则a 的取值范围是（ ） A 、一切数 B 、正数 C 、非负数 D 、非零数4、在下列各式中正确的是（ ）A 、2)2(-＝－2 B 、9±＝3 C 、16＝8 D 、22＝25、估计76的值在哪两个整数之间（ ）A 、75和77B 、6和7C 、7和8D 、8和9 6、下列各组数中，互为相反数的组是（ ）A 、－2与2)2(- B 、－2和38- C 、－21与2 D 、︱－2︱和2 7、在－2，4，2，3.14，327-，5π，这6个数中，无理数共有( ) A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 8、下列说法正确的是（ ）A 、数轴上的点与有理数一一对应B 、数轴上的点与无理数一一对应C 、数轴上的点与整数一一对应D 、数轴上的点与实数一一对应 9.8-的立方根与4的算术平方根的和是 ( )A.0B.4C.2±D.4± 10、 -27的立方根为 （ ）A.±3B. 3C.-3D.没有立方根二、填空题（每小题3分，共18分）11、81的平方根是__________，1.44的算术平方根是__________。
12、一个数的算术平方根等于它本身，则这个数应是__________。
13、38-的绝对值是__________。
14、比较大小：27____42。
15、若36.25＝5.036，6.253＝15.906，则253600＝__________。
16、若10的整数部分为a ，小数部分为b ，则a ＝________，b ＝_______。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(有答案解析)
一、选择题1．已知,a b ∈R ，且2,ai b i ++（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，那么,p q 的值分别是( )A ．4,5p q ==B ．4,3p q =-=C ．4,5p q =-=D ．4,3p q ==2．若202031i iz i+=+，则z 在复平面内对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若复数z 的虚部小于0，|z |=4z z +=，则iz =（ ） A ．13i +B ．2i +C ．12i +D ．12i -4．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34±B ．43C ．34-D ．43-5．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅= A ．25-B ．25C ．7-D ．76．已知(,)z x yi x y R =+∈且1z =，则x +的最大值（ ） A．1B ．2C ．1D7．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,0,1--，则122z z z +=（ ） A ．22i +B ．22i -C ．2i -+D ．2i --8．下列命题中，正确的是（ ）. A ．若z 是复数，则22||z z = B ．任意两个复数不能比较大小C ．当240b ac ->时，一元二次方程20ax bx c ++=(,,)a b c C ∈有两个不相等的实数根D ．在复平面xOy 上，复数2z m mi =+（m R ∈，i 是虚数单位）对应的点的轨迹方程是2y x =9．复数1234ii-+在复平面上对应的点位于第________象限 A ．一B ．二C ．三D ．四10．设i为虚数单位，则复数z =的共轭复数是（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．2i +11．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标为 ( ) A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)12．已知复数z 的模为2,则z i -的最大值为：( ) A ．1B ．2CD ．3二、填空题13．已知复数乘法()()cos sin x yi i θθ++（,x y R ∈，i 为虚数单位）的几何意义是将复数x yi +在复平面内对应的点(),x y 绕原点逆时针方向旋转θ角，则将点()8,4绕原点逆时针方向旋转3π得到的点的坐标为_________. 14．已知复数12,z z 满足122,3z z ==，若它们所对应向量的夹角为60︒，则1212z z z z +=-___ 15．已知i 为虚数单位，计算1i1i-=+__________． 16．411i i +⎛⎫=⎪-⎝⎭__________． 17．已知复数43i z =+（i 为虚数单位），则z =____． 18．已知复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数，（i 为虚数单位)，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.19．复平面内，已知复数13z x i =-所对应的点都在单位圆内，则实数x 的取值范围是__________．20．复平面内有,,A B C 三点，点A 对应的复数为2i +，向量BA 对应的复数为23i +，向量BC 对应的复数为3i -，则点C 对应的复数是___________.三、解答题21．已知复数2(1)(24)33Z i m i m i =+-+-+ （1）当m 为何值时 , Z 为纯虚数 ?（2） 当m 为何值时 , Z 对应的点在y x =上?22．已知关于x 的方程2()40x x m m R ++=∈的两个虚根为α、β，且||2αβ-=，求m 的值． 23．计算：（1）)()245i +（2）1-的值．24．设z 是虚数，1=z zω+ 是实数，且-1<2ω< （1） 求z 的实部的取值范围（2）设11zzμ-=+ ，那么μ是否是纯虚数？并说明理由． 25．已知复数2z i =-(i 为虚数单位). （1）求复数z 的模z ； （2）求复数z 的共轭复数；（3）若z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，求实数m 的值.26．设m ∈R ，复数z 1＝22m mm ++＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用根与系数的关系列出方程组，根据复数相等运算即可得出所求结果. 【详解】因为2,ai b i ++（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20x px q ++=的两个根，所以()()22ai b i p ai b i q +++=-⎧⎨++=⎩，所以210220b p a b a q ab +=-⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩，解得1245a b p q =-⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的有关计算，解题的关键是熟练掌握复数相等的条件和一元二次方程根与系数的关系.2．A解析：A 【分析】化简得到2z i =+，得到答案.【详解】()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.3．C解析：C 【分析】根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解. 【详解】由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为||z ==1m =±. 又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+. 故选：C 【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.4．C解析：C 【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果. 【详解】 若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数， 则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠， 所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-，所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.5．A解析：A 【解析】 【分析】根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可 【详解】复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-234z i ∴=--()()12343425z z i i ⋅=---=-故选A 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题6．B解析：B 【解析】分析：由1z =可得221x y +=，可设cos x θ=，sin y θ=，R θ∈，可得2sin()6x πθ=+，进而利用正弦函数的性质求出答案．详解：∵(),z x yi x y R =+∈且1z = ∴221x y +=设cos x θ=，sin y θ=，R θ∈.∴cos 2sin()6x πθθθ+=+=+∴x +的最大值是2 故选B.点睛：本题主要考查复数的求模公式及三角函数的性质，解答本题的关键是利用三角换元结合三角函数的性质求函数的最值．7．A解析：A 【解析】分析：首先确定复数12,z z ，然后结合题意进行复数的混合运算即可. 详解：由题意可得：122,z i z i =-=-， 则：()1222212i i z i i z i i--===+--，21z =， 据此可得：12222z z i z +=+.本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．D解析：D 【分析】举例说明A 错误；当两复数为实数时B 错误；由实系数一元二次方程的判别式与根的关系说明C 错误；求出z 的参数方程，消参后得到z 的轨迹方程说明D 正确． 【详解】 解：对于A ，若zi ，则2||1z =，21z =-，22||z z ≠，故A 错误；对于B ，当两个复数均为实数时，可以比较大小，故B 错误；对于C ，只有当a ，b ，c 均为实数时，在满足240b ac ->时，一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，故C 错误；对于D ，由2(z m mi m R =+∈，i 是虚数单位），设z 对应的点(,)Z x y ，得2x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得，2y x =，∴在复平面xOy 上，复数2(z m mi m R =+∈，i 是虚数单位）对应的点的轨迹方程是2y x =．故D 正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了复数的有关概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．9．C解析：C 【解析】 【分析】将复数化简为a bi +的形式，得到(,)a b ，就可以得到答案． 【详解】 ∵复数12(12)(34)5101234(34)(34)2555i i i i i i i i -----===--++- ∴复数1234ii -+在复平面上对应的点位于第三象限 故选C. 【点睛】复数化简为a bi +的形式，是解题关键，a b 、的符号决定复数在复平面上对应的点位于的象限．基础题目．10．A解析：A 【解析】【分析】利用复数的运算法则和共轭复数即可求得结果 【详解】()22111i z i i-====--，则共轭复数为1i +故选A 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则和共轭复数，属于基础题11．C解析：C 【解析】设点P 坐标为(x ,0),则AP =(x-2,-2),BP =(x-4,-1),·AP BP =(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x 2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,P?A BP 有最小值1. 故点P 坐标为(3,0).选C.12．D解析：D 【解析】因为z i -213z i ≤+-=+= ，所以最大值为3，选D.二、填空题13．【分析】写出点对应的复数再乘以即得新复数其对应点坐标为所求【详解】点对应复数为对应点坐标为故答案为：【点睛】本题考查复数的新定义考查复数的乘法运算与复数和几何意义正确理解新定义把新定义转化为复数的乘解析：(42-+【分析】写出点()8,4对应的复数，再乘以cos sin33i ππ+即得新复数，其对应点坐标为所求．【详解】点()8,4对应复数为84z i =+，1(cossin )(84)()332z i i ππ+=+(4(2i =-++，对应点坐标为(42-+．故答案为：(42-+． 【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的乘法运算与复数和几何意义．正确理解新定义把新定义转化为复数的乘法解题关键．14．【解析】【分析】由余弦定理可得故【详解】如图在三角形中由余弦定理得同理可得故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算借助于余弦定理是解决问题的关键属中档题 解析：1337【解析】 【分析】由余弦定理可得12||19Z Z +=，12||7Z Z -=，故12121212||133||||7z z z z z z z z ++==-- 【详解】如图在三角形OAC 中由余弦定理得2212||||23223cos12019Z Z OB +==+-⨯⨯⨯︒=， 同理可得2212||||23223cos607Z Z CA -==+-⨯⨯⨯︒=，∴12121212||19133||||77z z z z z z z z ++===--. 故答案为：1337【点睛】本题主要考查复数的运算，借助于余弦定理是解决问题的关键，属中档题．15．【解析】分析：根据复数除法法则求解详解：复数点睛：首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为 解析：i -【解析】分析：根据复数除法法则求解.详解：复数1i (1)(1)2ii 1i (1)(1)2i i i i ----===-++-． 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭为.-a bi16．1【解析】分析：先利用复数除法的运算法则化简再利用复数乘方运算法则求解即可详解：故答案为点睛：本题主要考查的是复数的乘法除法运算属于中档题解题时一定要注意和以及运算的准确性否则很容易出现错误解析：1 【解析】分析：先利用复数除法的运算法则化简11ii+-，再利用复数乘方运算法则求解即可. 详解：411i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭()()()4241i 2i =11i 1i 2⎡⎤+⎛⎫==⎢⎥ ⎪-+⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为1. 点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++以及()()()()a bi c di a bi c di c di c di +-+=++- 运算的准确性，否则很容易出现错误.17．5【解析】解析：5 【解析】5z ==.18．【分析】利用复数为纯虚数可得实部为零虚部不为零从而可求利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正切可求的值【详解】所以故答案为：【点睛】本题考查复数的概念同角的三角函数的基本关系以及两角差的正确理解 解析：7-【分析】利用复数为纯虚数可得实部为零，虚部不为零，从而可求43cos 0,sin 055θθ-=-≠，利用同角的三角函数的基本关系式和两角差的正切可求tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】4333cos 0,sin 0sin tan 5554θθθθ-=-≠⇒=-⇒=-, 所以tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3147314--=--, 故答案为：7-.【点睛】本题考查复数的概念、同角的三角函数的基本关系以及两角差的正确，理解纯虚数的概念是关键，本题为中档题.19．【详解】∵z 对应的点z(x －)都在单位圆内∴|z|<1即<1∴x2+<1∴x2<∴－ 解析：222233x -<<【详解】 ∵z 对应的点z (x ,－)都在单位圆内， ∴|z|<1,即<1.∴x 2+<1.∴x 2<. ∴－.20．【解析】试题分析：由得同理所以点对应的复数是考点：复数的几何意义 解析：33i -【解析】 试题分析：由得(2,1)(2,3)(0,2)OB OA BA =-=-=-，同理(0,2)(3,1)(3,3)OC OB BC =+=-+-=-，所以点C 对应的复数是33i -.考点：复数的几何意义.三、解答题21．(1) 1m =-(2) 3m =. 【解析】 【分析】化简复数为22(23)(43)Z m m m m i =--+-+，(1)由Z 为纯虚数，列出方程组，即可求解；(2)根据Z 对应的点在y x =上，列出方程，即可求解． 【详解】由题意，复数2(1)(24)33Z i m i m i =+-+-+，则22(23)(43)Z m m m m i =--+-+，(1)若Z 为纯虚数，则有22230430m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩，解得：1m =-；(2)根据Z 对应的点在y x =上，则有222343m m m m --=-+，解得：3m =．【点睛】本题主要考查了复数的概念，以及复数的表示的应用，其中解答中熟记复数的表示方法，列出相应的方程（组）是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 22．5【解析】【分析】本题首先可以根据复数根虚根必共轭的性质设,a bi a bi αβ=+=-，然后根据韦达定理可得2a =-以及m ，再通过||2αβ-=计算得1b =±，最后通过运算即可得出结果。
第5章 实数 (复习课导学案)
第5章 实数 （复习课导学案）一、复习目标：1、对本章的知识点进行整合，形成知识网络（重点）2、进一步熟悉本章的重要知识点的应用（难点）二、复习流程：（一）、回忆整理1、实数的有关概念：算术平方根无理数勾股数组平方根开平方立方根开立方实数2、勾股定理：勾股定理逆定理3用计算器求平方根和立方根（二）、交流提高：（同学间、小组间对上述教学内容交流一下，谈收获，形成知识结构）（三）典例剖析：1、已知实数x.y 满足（2x-3y-1）2+22+-y x =0 求2x-53y 的平方根。
（非负数的性质）2、比较-53和-43的大小。
（负无理数的比较）3、实数a 对应的点在数轴上的位置如图所示，则a,-a,a 1,a 2的大小关系是＿ （用“<”连接）（四）巩固练习：<一>选择：1、化简4)2(-的结果是（ ）A-4 B.4 C.±4 D.无意义2、下列各式无意义的是（ ）A 、23-B 、33)3(-C 、2)3(-D 、310-3、若a 是b 的一个平方根，则b 的平方根是（ ）A 、aB 、—aC 、±aD 、a 24、25的算术平方根是（ ）A 、5B 、5 C 、-5 D 、±5 5、414，226 ，15三个数的大小关系是（ ） A 、414<15< 226 B 、226<15< 414 C 、414<226<15 D 、226<414<15 6、估算24+3的值（ ） A 、在5和6之间 B 、在6和7之间 C 、在7和8之间D 、在8和9之间<二>、填空题1、25的算术平方根是————。
2、如果3+x =2那么（x+3）2=————。
3、若2)1+-a （是一个实数，则a=＿＿＿4、若xy=-2,x-y=52-1,则 (x+1)(y-1)=＿＿ 5、若22-a 与｜b+2｜是互为相反数，则（a-b ）2=＿＿ 6、若a 3=b 4，那么b ba +2的值是＿＿＿（五）课堂总结1、针对练习中出现问题的原因2、总结思想方法（六）拓展提升1、已知5+11的小数部分为a,5-11的小树部分为b.(1)求a+b 的值（2）求a-b 的值2、物体自由下落的高度h(米)和下落的时间（秒）的关系是：在地球上大约是h=4.9t 2,在月球上大约是h=0.8 t 2,当h=20米时：（1）物体在地球上和月球上自由下落的时间各是多少？（2）物体在哪里下落的快？答案导学案1答案（略）导学案2答案 达标测评：1、求AB 的长，应分两种情况，AB 为斜边或直角边。
(易错题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(有答案解析)(2)
一、选择题1．设复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值为（ ） A ．21- B ．22- C ．21+ D ．22+ 2．若复数z 的虚部小于0，|z |5=，且4z z +=，则iz =（ ）A ．13i +B ．2i +C ．12i +D ．12i - 3．如果复数z 满足21z i -=，i 为虚数单位，那么1z i ++的最小值是（ ） A ．101- B ．21- C ．101+ D ．21+4．设复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，若，则等于 A ．4iB ．C ．2D ． 5．已知复数，满足，那么在复平面上对应的点的轨迹是( )．A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 6．已知复数z 满足()(13)10z i i i ++=，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A 3B 6C ．6D ．3 7．若复数1a i a i -+为纯虚数，则实数的值为 A ．i B ．0 C ．1 D ．－18．满足条件4z i z i ++-=的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）．A ．椭圆B ．两条直线C ．圆D ．一条直线9．2(1)1i i+=-（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 10．已知3(0)z a i a =>且||2z =，则z =( )A ．13iB ．13iC ．23iD ．33i + 11．已知复数(3)(2)z m i i =+-+在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,(1,)3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭12．已知i 为虚数单位，a R ∈,若2i a i -+为纯虚数，则复数23z a i =的模等于（ ）A ．17B ．3C ．11D ．2二、填空题13．设11()()()()11n n i i f n n i N i+-=+∈-+，则集合{|()}x x f n =的子集个数是___________. 14．已知35z i -=，则2z +的最大值为_________.15．设复数z 满足(1)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为________．16．已知i 是虚数单位，则满足()1z i i +=的复数z 的共轭复数为_______________ 17．已知i 为虚数单位，计算1i 1i -=+__________． 18．复数21z i=-，则z z -对应的点位于第__________象限 19．设i 是虚数单位，1i 2ia ++是纯虚数，则实数a 的值是________． 20．复平面内有,,A B C 三点，点A 对应的复数为2i +，向量BA 对应的复数为23i +，向量BC 对应的复数为3i -，则点C 对应的复数是___________.三、解答题21．已知复数2(1)(24)33Z i m i m i =+-+-+（1）当m 为何值时 , Z 为纯虚数 ?（2） 当m 为何值时 , Z 对应的点在y x =上?22．在复平面内，复数21i z i =+(i 为虚数单位)的共轭复数z 对应点为A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，求：（Ⅰ）点A 所在的象限；（Ⅱ）向量OB 对应的复数．23．设复数z a i =+（i 是虚数单位，a R ∈，0a >），且10z =．（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）在复平面内，若复数1m i z i ++-()m R ∈对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．24．复数2(21)(1),z a a a i a R =--+-∈.（1）若z 为实数，求a 的值；（2）若z 为纯虚数，求a 的值；（3）若93z i =-，求a 的值.25．已知复数（1）m 取什么值时，z 是实数？（2）m 取什么值时，z 是纯虚数？26．已知复数z 满足(2)z i a i -=+()a R ∈．（1）求复数z ；（2）a 为何值时，复数2z 对应点在第一象限．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】 如图所示，复数满足1z =时轨迹方程为复平面内的单位圆， 而()11z i z i -+=--表示z 与复数1i -所对应的点在复平面内的距离，结合圆的性质可知，1z i -+的最大值为()2211121+-+=+.本题选择C 选项.2．C解析：C【分析】根据4z z +=可得()2z mi m =+∈R ，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解.【详解】由4z z +=，得()2z mi m =+∈R ，因为2||45z m =+=1m =±.又z 的虚部小于0，所以2z i =-，12iz i =+.故选：C【点睛】此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解. 3．A解析：A【分析】由模的几何意义可转化为以(0,2)为圆心，1为半径的圆上一点与点(1,1)--距离的最小值,根据圆的性质即可求解.【详解】 因为21z i -=，所以复数z 对应的点Z 在以(0,2)为圆心，1为半径的圆上， 因为1z i ++表示Z 点与定点(1,1)--的距离，所以Z 点与定点(1,1)--的距离的最小值等于圆心(0,2)与(1,1)--的距离减去圆的半径， 即22min 11(21)1101z i ++=++-=-，故选：A【点睛】本题主要考查了复数及复数模的几何意义，圆的性质，属于中档题.4．D解析：D【解析】【分析】利用复数的运算法则可得：，再利用几何意义可得．【详解】，复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，，则． 故选：D ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5．D解析：D【分析】把复数z 代入|z ﹣1|=x ，化简可求z 在复平面上对应的点（x ，y ）的轨迹方程，推出轨迹．【详解】已知复数z=x+yi （x ，y ∈R ，x≥），满足|z ﹣1|=x ，（x ﹣1）2+y 2=x 2即y 2=2x ﹣1那么z 在复平面上对应的点（x ，y ）的轨迹是抛物线．故选D ．【点睛】本题考查复数的基本概念，轨迹方程，抛物线的定义，考查计算能力，是基础题．6．D解析：D【解析】分析：由()()1310z i i i ++=，，可得10i 13iz i =-+，利用复数除法法则可得结果. 详解：因为()()1310z i i i ++=， 所以()()()2210i 13i 10i 30i 10i 13i 13i 13i 19i z i i i --+=-=-=-++-- 30+10i 310i =-=，所以3z =，故选D. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.7．C解析：C【解析】分析：由题意首先设出纯虚数，然后利用复数相等的充分必要条件整理计算即可求得最终结果. 详解：不妨设()1a i ki k R i-=∈+，则：()21a i ki i ki ki k ki -=+=+=-+， 由复数相等的充分必要条件可得：1a k k =-⎧⎨-=⎩，即11a k =⎧⎨=-⎩， 即实数a 的值为1.本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的分类，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．A解析：A【分析】转化复数方程为复平面点的几何意义，然后利用椭圆的定义，即可判定，得到答案．【详解】 由题意，复数4z i z i ++-=的几何意义表示：复数z 在复平面上点到两定点(0,1)和(0,1)-的距离之和等于4，且距离之和大于两定点间的距离，根据椭圆的定义，可知复数z 对应点的轨迹为以两定点(0,1)和(0,1)-为焦点的椭圆， 故选A ．【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，其中解答中熟记复数的表示，以及复数在复平面内的几何意义是解答的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 9．C解析：C【分析】由题意结合复数的运算法则计算其值即可.【详解】由复数的运算法则有：()()()()()22121(1)21111112i i i i i i i i i i i i i +++====+=-+---+. 故选C .【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的乘法运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．B解析：B【解析】【分析】利用复数求模公式得到关于a 的方程，解方程后结合题意即可确定z 的值.【详解】根据复数的模的公式，可知234a +=，即21a =，因为0a >，所以1a =，即1z =，故选B .故答案为B ．【点睛】本题主要考查复数的模的运算法则，复数的表示方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．B解析：B【分析】根据复数的几何意义建立不等式关系即可.【详解】(3)(2)(32)(1)z m i i m m i =+-+=-+-，若复数在复平面内对应的点在第三象限，则32010m m -<⎧⎨-<⎩，解得23m <， 所以m 的取值范围是2(,)3-∞，故选B.【点睛】该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的问题，属于简单题目.12．D解析：D【分析】先根据纯虚数概念得a ，再根据模的定义求结果.【详解】 因为()()221221a a i i a i a --+-=++为纯虚数，所以21020a a ，-=+≠，即12a =，因此21z a ==，所以2z =，选D.【点睛】本题考查纯虚数以及复数的模，考查基本分析求解能力，属基础题.二、填空题13．8【分析】化简得到计算结合复数乘方的周期性得到得到答案【详解】根据的周期性知子集个数为故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算集合的子集意在考查学生的计算能力和综合应用能力周期性的利用是解题的关键 解析：8【分析】化简得到()()()n ni f n i =+-，计算结合复数乘方的周期性得到{}{}|()2,0,2x x f n ==-，得到答案.【详解】()()()()()()()()22111()()()()()1111111n n n n n n i i i f n i i i i i i i i i -+-=+=+-+-=+-++-+， ()()00(0)2i f i =+-=，()()11(1)0i f i =+-=，()()22(2)2i f i =+-=-， ()()33(3)0i f i =+-=，()()44(4)2i f i =+-=，根据n i 的周期性知{}{}|()2,0,2x x f n ==-，子集个数为328=.故答案为：8.【点睛】本题考查了复数的运算，集合的子集，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，周期性的利用是解题的关键. 14．【分析】利用复数模的几何意义及圆的性质求解【详解】满足的对应点在以为圆心5的半径的圆上表示点到的距离∴的最大值为故答案为：【点睛】本题考查复数模的最值解题关键是掌握复数模的几何意义利用复数差的模表示5【分析】利用复数模的几何意义及圆的性质求解．【详解】 满足35z i -=的z 对应点Z 在以(0,3)C 为圆心，5的半径的圆上，2z +表示点Z 到(2,0)A -的距离，AC =∴AZ 5+．5．【点睛】本题考查复数模的最值，解题关键是掌握复数模的几何意义，利用复数差的模表示复平面上两点间的距离，结合点到圆的位置关系求解更加简便．15．【分析】根据复数的运算可得再利用模的计算公式即可求解【详解】由题意复数满足则则的模为【点睛】本题主要考查了复数的运算以及复数模的计算其中解答中熟记复数的运算法则以及复数模的计算公式是解答的关键着重考 解析：【分析】 根据复数的运算可得11i z i i +==-，再利用模的计算公式，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足(1)1z i i -=+，则()()()()11121112i i i i z i i i i +++====--+， 则z 的模为1z i ==.【点睛】本题主要考查了复数的运算以及复数模的计算，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 16．【解析】【分析】把等式两边同时乘以直接利用复数的除法运算求解再根据共轭复数的概念即可得解【详解】由得∴复数的共轭复数为故答案为【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算复数的除法采用分子分母同时乘以分 解析：122i - 【解析】【分析】 把等式两边同时乘以11i +，直接利用复数的除法运算求解，再根据共轭复数的概念即可得解.【详解】由()1z i i +=，得(1)111(1)(1)222i i i i i z i i i -+====+++-.∴复数z 的共轭复数为122i - 故答案为122i -. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．17．【解析】分析：根据复数除法法则求解详解：复数点睛：首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：i -【解析】分析：根据复数除法法则求解. 详解：复数1i (1)(1)2i i 1i (1)(1)2i i i i ----===-++-． 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭为.-a bi18．二【解析】则对应的点位于第二象限解析：二【解析】()()()2121111i z i i i i +===+--+,则1z z i -=+(1位于第二象限． 19．【解析】由题意可得：满足题意时：解得：解析：2-【解析】 由题意可得：()()()()21i 21i 222212i 2i 2555a i a ai i ai a a i i +-++--+-===+++- ， 满足题意时：2052105a a +⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩ ，解得：2a =- . 20．【解析】试题分析：由得同理所以点对应的复数是考点：复数的几何意义 解析：33i -【解析】试题分析：由得(2,1)(2,3)(0,2)OB OA BA =-=-=-，同理(0,2)(3,1)(3,3)OC OB BC =+=-+-=-，所以点C 对应的复数是33i -.考点：复数的几何意义.三、解答题21．(1) 1m =-(2) 3m =.【解析】【分析】化简复数为22(23)(43)Z m m m m i =--+-+，(1)由Z 为纯虚数，列出方程组，即可求解；(2)根据Z 对应的点在y x =上，列出方程，即可求解．【详解】由题意，复数2(1)(24)33Z i m i m i =+-+-+，则22(23)(43)Z m m m m i =--+-+，(1)若Z 为纯虚数，则有22230430m m m m ⎧--=⎨-+≠⎩，解得：1m =-； (2)根据Z 对应的点在y x =上，则有222343m m m m --=-+，解得：3m =．【点睛】本题主要考查了复数的概念，以及复数的表示的应用，其中解答中熟记复数的表示方法，列出相应的方程（组）是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 22．（Ⅰ）位于第四象限；（Ⅱ）－1＋i.【分析】（I ）利用复数的运算法则、几何意义即可得出．（II ）利用复数的几何意义即可得出．【详解】解：（Ⅰ）z ()()()2i 1i 2i 1i 1i 1i -===++-1+i ，所以z =1﹣i ， 所以点A （1，﹣1）位于第四象限．（Ⅱ）又点A ，B 关于原点O 对称．∴点B 的坐标为B （﹣1，1）．因此向量OB 对应的复数为﹣1+i ．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 23．（Ⅰ）3i z =+．（Ⅱ）﹣5＜m ＜1【解析】试题分析：(Ⅰ)根据复数的模长公式进行化简即可.(Ⅱ)根据复数的几何意义进行化简求解. 试题（Ⅰ）∵z a i =+，10z =，∴2110z a =+=， 即29a =，解得3a =±，又∵0a >，∴3a =，∴3z i =+．（Ⅱ）∵3z i =+，则3z i =-，∴()()()()151311122m i i m i m m z i i i i i ++++-+=-+=+--+ 又∵复数1m i z i++-（m R ∈）对应的点在第四象限， ∴502{102m m +>-< 得5{1m m >-< ∴﹣5＜m ＜1点睛：本题考查的是复数的运算和复数的概念，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i,(a,b,c ∈R). 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a+bi(a,b ∈R)的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +对应点为(a,b)、共轭复数为a−bi24．（1）1a =；（2）21-=a ；（3）2-=a . 【解析】试题分析：（1）复数(,)z a bi a b R =+∈为实数的条件0b =；（2）复数z 为纯虚数的条件0,0a b =≠；（3）两复数相等的条件：实部、虚部分别对应相等.试题解：（1）若z 为实数，则01=-a ，得1=a ． （2）若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧≠-=--010122a a a ，解得21-=a ． （3）若i 39-=z ，则⎩⎨⎧-=-=--319122a a a ，解得2-=a ．考点：1.复数为实数、纯虚数的条件；2.两复数相等的条件.25．（1）；（2）3【解析】试题分析：本题考查了复数的基本概念，明确实数的条件是复数的虚部是0，且分式的分母有意义第二问明确复数是纯虚数的条件是虚部不为0而实部为0．试题（1）解当时，z 为实数 （2）解：当时，z 为纯虚数考点：复数是实数，纯虚数的条件． 26．（1）3z ai =-（2）30a -<<【详解】（1）由已知得21a i z ai i +-==-，∴3z ai =-． （2）由（1）得2296z a ai =--，∵复数2z 对应点在第一象限，∴290{60a a ->->，解得30a -<<．。
数学学案 北师大版选修2-2 同步学习第5章小节测试题
第5章 §1 数系的扩充与复数的引入A 级 基础巩固一、选择题1．(2019·泉州高二检测)如果复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 为纯虚数，那么实数a 的值为( A ) A ．－2 B ．1 C ．2D ．1或－2[解析] 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0a 2－3a ＋2≠0解得a ＝－2，故选A.2．设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( A ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3[解析] 由题意知(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(2a ＋1)i ∴a －2＝2a ＋1，解得a ＝－3. 故选A.3．(2019·西安高二检测)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] a ＋b i ＝a ＋bii 2＝a －bi 为纯虚数，则a ＝0，b≠0，故选B.4．设(1＋i)x ＝1＋yi ，其中x ，y 是实数，则|x ＋yi|＝( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2[解析] 因为(1＋i)x ＝x ＋xi ＝1＋yi ，所以x ＝y ＝1，|x ＋yi|＝|1＋i|＝12＋12＝2，选B. 5．设x ，y 均是实数，i 是虚数单位，复数(x －2y)＋(5－2x －y)i 的实部大于0，虚部不小于0，则复数z ＝x ＋yi 在复平面上的点集用阴影表示为图中的( A )[解析] 由题可知⎩⎪⎨⎪⎧x －2y>05－2x －y≥0，可行域如A 所示，故选A.6．若复数z 1＝sin2θ＋icosθ，z 2＝cosθ＋i 3sinθ(θ∈R)，z 1＝z 2，则θ等于( D )A ．kπ(k∈Z)B ．2kπ＋π3(k ∈Z)C ．2kπ±π6(k ∈Z)D ．2kπ＋π6(k ∈Z)[解析] 由复数相等的定义可知，⎩⎨⎧sin2θ＝cosθ，cosθ＝3sinθ.∴cosθ＝32，sinθ＝12.∴θ＝π6＋2kπ，k ∈Z ，故选D. 二、填空题7．方程(2x 2－3x －2)＋(x 2－5x ＋6)i ＝0的实数解x ＝2.[解析] 方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x －2＝0，x 2－5x ＋6＝0.解得x ＝2.8．(2019·江苏卷，2改编)已知复数a －2＋(a ＋2)i 为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是2.[解析] a －2＋(a ＋2)i 为纯虚数， ∴实部为0且虚部不为0，故a ＝2. 三、解答题9．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是： (1)对应点在x 轴上方；(2)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．[解析] (1)由m 2－2m －15>0，得知m<－3或m>5时，z 的对应点在x 轴上方； (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得知： m ＝－3－414或m ＝－3＋414，z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．10．(2019·会宁期中)设复数z ＝(m 2－2m －3)＋(m 2＋3m ＋2)i ，试求实数m 的取值，使得(1)z 是纯虚数；(2)z 对应的点位于复平面的第二象限．[解析] (1)复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0m 2＋3m ＋2≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或m ＝3m≠－1且m≠－2，得m ＝3.(2)当复数对应的点在第二象限时，由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3<0m 2＋3m ＋2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<m<3m>－1或m<－2，得－1＜m ＜3.B 级 素养提升一、选择题1．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R)，z 2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围为( D )A ．－7≤λ≤916B ．916≤λ≤7 C ．－1≤λ≤1D ．－916≤λ≤7[解析] 由z 1＝z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cosθ，4－m 2＝λ＋3sinθ，消去m ，得λ＝4sin 2θ－3sinθ ＝4(sinθ－38)2－916.由于－1≤sinθ≤1，故－916≤λ≤7.2．(2019·哈尔滨高二检测)若复数z ＝(sinθ－35)＋(cosθ－45)i(θ∈R)是纯虚数，则tan(θ－π4)的值为( A )A ．－7B ．－17C ．7D ．－7或－17[解析] 因为复数z 是纯虚数，所以满足实部为零且虚部不为零，即⎩⎪⎨⎪⎧sinθ＝35，cosθ≠45，因为sinθ＝35且cosθ≠45，所以cosθ＝－45，所以tanθ＝－34，所以tan(θ－π4)＝tanθ－11＋tanθ＝－34－11－34＝－7.二、填空题3．若复数z ＝log 2(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)为实数，则x 的值为4. [解析] ∵复数z ＝log 2(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)为实数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －3>0x －3＝1，解得：x ＝4.4．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R)，则x ＋y 的值是5.[解析] 由复数的几何意义可知， O C →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x(－1＋2i)＋y(1－i)， ∴3－2i ＝(y －x)＋(2x －y)i ，由复数相等可得，⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.∴x ＋y ＝5. 三、解答题5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，如果(x ＋y)＋(x ＋3)i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2yi －y1，求实数x ，y 的值．[解析] 由定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪3x ＋2y i －y1＝3x ＋2y ＋yi ，故有(x ＋y)＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋yi. 因为x ，y 为实数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ，得x ＝－1，y ＝2.6．已知复数z 0＝a ＋bi(a ，b ∈R)，z ＝(a ＋3)＋(b －2)i ，若|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹．[解析] 设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则复数z 的对应点为P(x ，y)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋3，y ＝b －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x －3，b ＝y ＋2.①∵z 0＝a ＋bi ，|z 0|＝2，∴a 2＋b 2＝4. 将①代入得(x －3)2＋(y ＋2)2＝4.∴点P 的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．C 级 能力拔高已知z ∈C ，|z －2i|＝2，当z 取何值时，|z ＋2－4i|分别取得最大值和最小值？并求出最大值和最小值．[解析] 解法一：如图所示，|z－2i|＝2在复平面内对应点的轨迹是以(0,2)为圆心，2为半径的圆．|z＋2－4i|＝|z－(－2＋4i)|，欲求其最大值和最小值，即在圆上求出点M，N，使得M或N到定点P(－2,4)的距离最大或最小．显然过P与圆心连线交圆于M，N两点，则M，N即为所求．不难求得M(1,1)，N(－1,3)，即当z＝1＋i时，|z＋2－4i|有最大值，为32；当z＝1＋3i时，|z＋2－4i|有最小值，为 2.解法二：如图所示，设ω＝z＋2－4i，则z＝ω－2＋4i，代入|z－2i|＝2得|ω－2＋2i|＝2，在复平面内ω对应的点在以(2，－2)为圆心，2为半径的圆上运动．欲求|ω|的最值，即求圆上的点到原点的距离的最值．圆心与原点的连线交圆于M，N两点，则M(3，－3)，N(1，－1)即为所求．当ω＝3－3i，即z＝1＋i时，|ω|取最大值，为32；当ω＝1－i，即z＝－1＋3i时，|ω|取最小值，为 2.第5章 §2 复数的四则运算A 级 基础巩固一、选择题1．(2019·郑州高二检测)设复数z ＝a ＋bi(a 、b ∈R)，若z1＋i ＝2－i 成立，则点P(a ，b)在( A )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] ∵z1＋i ＝2－i ，∴z ＝(2－i)(1＋i)＝3＋i ，∴a ＝3，b ＝1，∴点P(a ，b)在第一象限．2．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( A ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋iD ．－4－i[解析] 本题考查复数的乘法，复数的几何意义． ∵z 1＝2＋i ，z 1与z 2关于虚轴对称，∴z 2＝－2＋i ， ∴z 1z 2＝－1－4＝－5，故选A.3．(2019·北京卷理，1)已知复数z ＝2＋i ，则z·z ＝( D ) A ． 3 B ． 5 C ．3D ．5[解析] 方法1：∵ z ＝2＋i ，∴ z ＝2－i ，∴ z·z ＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D. 方法2：∵ z ＝2＋i ，∴ z·z ＝|z|2＝5.故选D.4．(2019·长安一中质检)设z ＝12＋32i(i 是数单位)，则z ＋2z 2＋3z 3＋4z 4＋5z 5＋6z 6＝( C )A ．6zB ．6z 2C ．6z －D ．－6z[解析] z 2＝－12＋32i ，z 3＝－1，z 4＝－12－32i ，z 5＝12－32i ，z 6＝1，∴原式＝(12＋32i)＋(－1＋3i)＋(－3)＋(－2－23i)＋(52－532i)＋6＝3－33i ＝6(12－32i)＝6z －.二、填空题5．已知z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β－isin β且z 1－z 2＝513＋1213i ，则cos(α＋β)的值为12 .[解析] ∵z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β－isin β，∴z 1－z 2＝(cos α－cos β)＋i(sin α＋sin β)＝513＋1213i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α－cos β＝513 ①sin α＋sin β＝1213②①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1， 即cos(α＋β)＝12.6．设复数z 1、z 2在复平面内的对应点分别为A 、B ，点A 与B 关于x 轴对称，若z 1(1－i)＝3－i ，则|z 2|[解析] ∵z 1(1－i)＝3－i ， ∴z 1＝3－i 1－i ＝(3－i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋i ，∵A 与B 关于x 轴对称，∴z 1与z 2互为共轭复数， ∴z 2＝z －1＝2－i ，∴|z 2|＝ 5. 三、解答题7．已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使得az ＋2b z ＝(a ＋2z)2. [解析] 因为z ＝1＋i ，所以az ＋2b z ＝(a ＋2b)＋(a －2b)i ， (a ＋2z)2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a)＋4(a ＋2)i. 因为a ，b 都是实数，所以由az ＋2b z ＝(a ＋2z)2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2).两式相加，整理得a 2＋6a ＋8＝0， 解得a 1＝－2，a 2＝－4， 相应得b 1＝－1，b 2＝2，所以所求实数为a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2. 8．已知z 是虚数，且z ＋1z 是实数，求证：1－z 1＋z 是纯虚数．[证明] 设z ＝x ＋yi ，x ，y ∈R ，且y≠0.由已知得z ＋1z ＝(x ＋yi)＋1x ＋yi ＝x ＋yi ＋x －yi x 2＋y 2＝(x ＋x x 2＋y 2)＋(y －yx 2＋y 2)i.∵z ＋1z 是实数，∴y －y x 2＋y2＝0，即x 2＋y 2＝1，且x≠±1， ∴1－z 1＋z ＝1－(x ＋yi )1＋(x ＋yi )＝(1－x －yi )(1＋x －yi )(1＋x ＋yi )(1＋x －yi )＝1－x 2－y 2－2yi 1＋2x ＋x 2＋y 2 ＝－y 1＋x i.∵y≠0，x≠－1， ∴1－z1＋z是纯虚数． B 级 素养提升一、选择题1．若z ＝4＋3i ，则z|z|＝( D ) A ．1 B ．－1 C ．45＋35i D ．45－35i [解析] |z|＝42＋32＝5，z ＝4－3i ，则z|z|＝45－35i. 2．复数z 满足方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋21＋i ＝4，那么复数z 在复平面内的对应点Z 的轨迹是( C ) A ．以(1，－1)为圆心，4为半径的圆 B ．以(1，－1)为圆心，2为半径的圆 C ．以(－1,1)为圆心，4为半径的圆 D ．以(－1,1)为圆心，2为半径的圆[解析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ＋21＋i ＝|z ＋(1－i)|＝|z －(－1＋i)|＝4，设－1＋i 的对应点为C(－1,1)，则|ZC|＝4，因此动点Z 的轨迹是以C(－1,1)为圆心，4为半径的圆，故应选C.二、填空题3．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值是－2.[解析] (1－2i)(a ＋i)＝a ＋2＋(1－2a)i ，该复数为纯虚数，所以a ＋2＝0，且1－2a≠0，所以a ＝－2.4．已知f(z)＝|1＋z|－z 且f(－z)＝10＋3i ，则复数z ＝5－3i. [解析] 设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)， 则－z ＝－x －yi ，由f(－z)＝10＋3i ，得|1＋(－z)|－(－z )＝10＋3i ， |(1－x)－yi|－(－x ＋yi)＝10＋3i ，∴⎩⎨⎧(1－x )2＋y 2＋x ＝10－y ＝3解之得x ＝5，y ＝－3，∴所以z ＝5－3i. 三、解答题5．已知z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1.(1)求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； (2)若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．[解析] 设z 1＝a ＋bi(a ，b ∈R ，且b≠0)．(1)z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋bi ＋1a ＋bi ＝(a ＋a a 2＋b 2)＋(b －ba 2＋b 2)i.因为z 2是实数，b≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1，所以z 2＝2a. 由－1≤z 2≤1，得－1≤2a≤1， 解得－12≤a≤12，即z 1的实部的取值范围是[－12，12]．(2)ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －bi1＋a ＋bi＝1－a 2－b 2－2bi (1＋a )2＋b 2＝－b a ＋1i. 因为a ∈[－12，12]，b≠0.所以ω为纯虚数．6．已知若z 1，z 2是非零复数，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，求证：z 1z 2是纯虚数．[证明] 证法一：设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R 且a 1与b 1、a 2与b 2不同时为0)， 由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，得a 1a 2＋b 1b 2＝0，于是z 1z 2＝(a 1a 2＋b 1b 2)＋(b 1a 2－a 1b 2)i a 22＋b 22＝b 1a 2－a 1b 2a 22＋b 22i. 因为z≠0，所以b 1a 2－a 1b 2≠0，即z 1z 2是纯虚数．证法二：将已知等式变形为|z 2||z 1z 2＋1|＝|z 2||z 1z 2－1|，故|z 1z 2＋1|＝|z 1z 2－1|，设z 1z 2＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则有(a ＋1)2＋b 2＝(a －1)2＋b 2，从而解得a ＝0，又z 1z 2≠0，故b≠0，所以z 1z 2为纯虚数． 证法三：将已知等式变形为|z 2||z 1z 2＋1|＝|z 2||z 1z 2－1|，故|z 1z 2＋1|＝|z 1z 2－1|，令z ＝z 1z 2，则原等式化为|z ＋1|＝|z －1|，而变形后的几何意义是：表示点Z 到两定点A(1,0)、B(－1,0)的距离相等，则动点Z 的图形就是AB 的垂直平分线，即y 轴(原点除外)，于是有z ＝ai(a ∈R ，a≠0)．所以z 1z 2为纯虚数．C 级 能力拔高(2019·潍坊高二检测)已知z 为虚数，z ＋9z －2为实数．(1)若z －2为纯虚数，求虚数z ； (2)求|z －4|的取值范围．[解析] (1)设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R ，y≠0)， 则z －2＝x －2＋yi ，由z －2为纯虚数得x ＝2，所以z ＝2＋yi ，则z ＋9z －2＝2＋yi ＋9yi ＝2＋(y －9y )i ∈R ，得y －9y ＝0，y＝±3，所以z ＝2＋3i 或z ＝2－3i.(2)因为z ＋9z －2＝x ＋yi ＋9x ＋yi －2＝x ＋9(x －2)(x －2)2＋y 2＋[y －9y(x －2)2＋y 2]i ∈R ，所以y －9y(x －2)2＋y 2＝0，因为y≠0，所以(x －2)2＋y 2＝9， 由(x －2)2<9得x ∈(－1,5)，所以|z －4|＝|x ＋yi －4|＝(x －4)2＋y 2＝(x －4)2＋9－(x －2)2＝21－4x ∈(1,5)．。
2014届高考数学一轮复习 第5章《数列》(第2课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第5章《数列》（第2课时）（新人教A 版）一、选择题1．(2011·高考重庆卷)在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18解析：选D.设该数列的公差为d ，则d ＝a 3－a 2＝2， 因而a 10＝a 2＋8d ＝2＋2×8＝18.2．(2012·高考辽宁卷)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176解析：选 B.利用等差数列的性质及求和公式求解．因为{a n }是等差数列，所以a 4＋a 8＝2a 6＝16⇒a 6＝8，则该数列的前11项和为S 11＝a 1＋a 112＝11a 6＝88.3．在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 4＋a 7)＋3(a 9＋a 11)＝24，则此数列的前13项之和等于( )A ．13B ．26C ．52D ．156解析：选B.∵2(a 1＋a 4＋a 7)＋3(a 9＋a 11)＝6a 4＋6a 10＝24，∴a 4＋a 10＝4.∴S 13＝a 1＋a 132＝a 4＋a 102＝26.4．(易错题)已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d ＜0，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )A ．S 5＞S 6B ．S 5＜S 6C ．S 6＝0D ．S 5＝S 6 解析：选D.∵d ＜0，|a 3|＝|a 9|， ∴a 3＞0，a 9＜0，且a 3＋a 9＝0，∴a 6＝0，a 5＞0，a 7＜0； ∴S 5＝S 6.5．(2013·德州质检)如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( ) A.1210 B.129 C.110D.15解析：选D.∵a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，∴1a n －1＋1a n ＋1＝2a n，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列．∴1a 10＝12＋9×12＝5，∴a 10＝15. 二、填空题6．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.解析：设等差数列公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，①S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.②联立①②两式得a 1＝－1，d ＝2， 故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15. 答案：157．已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，则数列的通项公式为________．解析：由a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，得1a n －1a n ＋1＝1，即1a n ＋1－1a n ＝－1，又1a 1＝－1，则数列{1a n}是以－1为首项和公差的等差数列，于是1a n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴a n ＝－1n.答案：a n ＝－1n8．(2013·济南质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7＝7a 4，则S 13S 7＝________. 解析：因为{a n }为等差数列，所以S 13S 7＝a 1＋a 132×13a 1＋a 72×7＝2a 7×132a 4×7＝137×a 7a 4＝137×7＝13.答案：13 三、解答题9．(2013·西安调研)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求通项a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝S nn ＋c，是否存在非零实数c 使得{b n }为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由等差数列的性质得，a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝22，所以a 3，a 4是关于x 的方程x 2－22x＋117＝0的解，又公差大于零，所以a 3＝9，a 4＝13，易知a 1＝1，d ＝4，故通项为a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3.(2)由(1)知S n ＝n ＋4n －2＝2n 2－n ，所以b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－nn ＋c .所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c(c ≠0)．令2b 2＝b 1＋b 3，解得c ＝－12.当c ＝－12时，b n ＝2n 2－nn －12＝2n,当n ≥2时，b n －b n －1＝2.故当c ＝－12时，数列{b n }为等差数列．10．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．解：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是等差数列， 设{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2d ＝4，∴a n ＝4n －2.则b n ＝12a n －30＝2n －31. ①解⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0n ＋－31≥0，得292≤n ≤312.∵n ∈N *，∴n ＝15.∴{b n }的前15项为负值，∴S 15最小，由①可知{b n }是以b 1＝－29为首项，d ＝2为公差的等差数列，∴S15＝－29＋2×15－2＝－60＋2＝－225.一、选择题1．(2012·高考浙江卷)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( )A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n ＞0D ．若对任意n ∈N *，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列解析：选C.因S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，所以S n 是关于n 的二次函数，当d ＜0时，S n 有最大值，即数列{S n }有最大项，故A 命题正确．若{S n }有最大项，即对于n ∈N *，S n 有最大值，故二次函数图象的开口要向下，即d ＜0，故B 命题正确．而若a 1＜0，d ＞0，则数列{S n }为递增数列，此时S 1＜0，故C 命题错误．若对于任意的n ∈N *，均有S n ＞0，则a 1＝S 1＞0，且d 2n ＋a 1－d2＞0对于n ∈N *恒成立，∴d2＞0，即命题D 正确，故选C.2．已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为( )A ．11B ．19C ．20D ．21解析：选B.∵a 11a 10<－1，且S n 有最大值， ∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0，∴S 19＝19a 1＋a 192＝19·a 10>0，S 20＝20a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)<0，故使得S n >0的n 的最大值为19. 二、填空题3．在数列{a n }中，若点(n ，a n )在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝________.解析：∵点(n ，a n )在定直线l 上，∴数列{a n }为等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d .将(5,3)代入，得3＝a 1＋4d ＝a 5.∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝3×9＝27.答案：274．(2012·高考江西卷)设数列{a n }，{b n }都是等差数列．若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________.解析：设数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，因为a 3＋b 3＝(a 1＋2d 1)＋(b 1＋2d 2)＝(a 1＋b 1)＋2(d 1＋d 2)＝7＋2(d 1＋d 2)＝21，所以d 1＋d 2＝7，所以a 5＋b 5＝(a 3＋b 3)＋2(d 1＋d 2)＝21＋2×7＝35.答案：35 三、解答题5．(2013·临沂检测)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)．(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1)证明：将3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2)整理得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)．所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，3为公差的等差数列．(2)由(1)可得1a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝13n －2.(3)λa n ＋1a n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立，即λ3n －2＋3n ＋1≥λ对n ≥2的整数恒成立， 整理得λ≤n ＋n －n －，令c n ＝n ＋n －n －，cn ＋1－c n ＝n ＋n ＋3n －n ＋n －n －＝n ＋n －3n n －.因为n ≥2，所以c n ＋1－c n ＞0，即数列{c n }为单调递增数列，所以c 2最小，c 2＝283.所以λ的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，283.。
青岛版2020-2021七年级数学上册第5章代数式与函数的初步认识单元过关测试题2(附答案)
青岛版2020-2021七年级数学上册第5章代数式与函数的初步认识单元过关测试题2（附答案） 一、单选题 1．已知222226(2)x x x y -+-+=-，则1x y +=（ ） A ．32- B ．23- C ．32+D ．-32- 2．,A B 两地相距20km ，甲乙两人沿同一条路线从A 地到B 地，如图的图象反映的是二人行进路程y （km ）与行进时间t （h ）之间的关系，有下列说法：①甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的；②甲用了5个小时到达目的地；③乙比甲先出发1小时；④甲在出发4小时后被乙追上.在这些说法中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．一块地有a 公顷，平均每公顷产粮食m 千克；另一块地有b 公顷，平均每公顷产粮食n 千克，则这两块地平均每公顷的粮食产量为( )A ．2m n +B ．2a b +C ．++am bn a bD ．am bn m n++ 4．随着x 的值增大，代数式350x -+的值（）A ．增大B ．减小C ．不变D ．大于505．已知代数式m +2n +2的值是3，则代数式3m +6n +1的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．76．按规律排列的一列数：1，－2，4，－8，16…中，第7与第8个数分别为（ ）. A ．64，－128B ．－64，128C ．－128，256D ．128，－256 7．函数y=5x x -中，自变量x 的取值范围为（ ） A ．x ＞5 B ．x≠5 C ．x≠0 D ．x≠0或x≠5 8．如果|a+2|+(b －1)2=0，那么(a+b)2019的值等于( )．A ．－1B ．－2019C ．1D ．20199．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为1a，第2幅图形中“●”的个数为2a，第3幅图形中“●”的个数为3a，以此类推，则1211a a++31811a a+⋯的值为( )第1幅图第2幅图第3幅图第4幅图A．1920B．1940C．531760D．58984010．用代数式表示“m的两倍与n平方的差”，正确的是 ( )A．22()m n-B．2(2m-n)C．22m n-D．2(2)m n-二、填空题11．若x - 2 y = 3 ，则1 - 2 x + 4 y 的值为_____．12．“x与y平方的差”用代数式表示为________,“x与y差的平方”用代数式表示为________．13．长方形的周长为20cm,宽为xcm,那么面积为_________．14．单项式﹣27x y15π的系数是_____，次数是_____．15．如图，某专业合作社计划将长2x米，宽x米的长方形草莓种植大棚进行扩建，阴影部分表示扩建的区域，其余部分为原种植区域，则扩建后的大棚面积增加_____米2．16．观察下列图案，它们都是由边长为1cm的小正方形按一定规律拼接而成的，依此规律，则第9个图案中的小正方形有______个．17．已知代数式2x2+5x+3的值是8，则代数式6x2+15x﹣10的值是___________．18．如图，一串有黑有白，按一定规律排列的珠子，被盒子遮住了一部分，则这串珠子被盒子遮住的部分有________颗。
第5章分式 达标测试卷(含答案)
第5章分式 达标测试卷第Ⅰ卷 (选择题)一、单选题(本题有10小题，每小题3分，共30分) 1．若代数式xx －4有意义，则实数x 的取值范围是( )A ．x ＝0B ．x ＝4C ．x ≠0D ．x ≠4 2. 当x ＝1时，下列分式没有意义的是( )A.x ＋1xB.x x －1C.x －1xD.x x ＋13．要使分式x －2(x －1)(x －2)有意义，x 的取值应满足( )A ．x ≠1B ．x ≠2C ．x ≠1且x ≠2D ．x ≠1或x ≠24．能使分式4x ＋72x －3的值为整数的整数x 有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．下列从左到右的变形正确的是( )A ．(－a －b )(a －b )＝a 2－b 2B ．－a －21－a ＝a －2a －1C ．2x 2－x －6＝(2x ＋3)(x －2)D ．4m 2－6mn ＋9n 2＝(2m －3n )2 6．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2a ÷a －b a 的结果是( )A ．a －bB ．a ＋bC ．1a －bD ．1a ＋b7．【2022·丽水】某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5 000元，购买篮球用了4 000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程为5 0002x ＝4 000x －30，则方程中x 表示( ) A ．足球的单价 B ．篮球的单价 C ．足球的数量 D ．篮球的数量 8．若x ＋1x ＝2，则x 2x 4＋2x 2＋1的值是( )A.18B.110C.12D.149．已知关于x 的分式方程x ＋m x －3－1＝1x 无解，则m 的值是( )A ．－2B ．－3C ．－2或－3D ．0或310．关于x 的分式方程x －2x －4＝m 22x －8有增根，则m 的值为( )A ．1B ．±1C ．2D ．±2第Ⅱ卷 (非选择题)二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分) 11．【2022·湖州】当a ＝1时，分式a ＋1a 的值是______． 12．当x ＝________时，分式x 2－4x ＋2的值为0.13．已知x －1x ＋2＝1，则x ＝________．14．若关于x 的方程3x ＋6x －1＝mx ＋m x 2－x无解，则m ＝________．15．【2022·台州】如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是________.16. 对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号min {}a ，b 表示a ，b 中的较小的值，如min {}2，4＝2.按照这个规定，方程min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫11－x ，21－x ＝4x －1－3的解为________． 三、解答题(本题有8小题，共66分) 17．(6分)化简：(1)()81－a 4÷()a 2＋9÷(a －3)；(2)2x －64－4x ＋x 2÷(x ＋3)·x 2＋x －63－x .18．(6分)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x x －1－x x ＋1·x 2－1x ，其中x ＝－2.19．(6分)先化简，再求值：x 2－4x 2＋4x ＋4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －4x ＋2－x ＋2，其中x 可在－2，0，3三个数中任选一个合适的数．20.(8分)已知关于x 的分式方程mx x 2－4－22－x ＝3x ＋2.(1)当m ＝3时，求方程的根；(2)若这个关于x 的分式方程会产生增根，试求m 的值．21．(8分)根据疫情防控工作需要，某社区组织甲、乙两支医疗队开展疫苗接种工作，甲队比乙队每小时多接种30人，甲队接种2 250人与乙队接种1 800人用时相同，甲队每小时接种多少人？22．(10分)某社区拟建A ，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A 类摊位的占地面积比每个B 类摊位的占地面积多2平方米．建A 类，B 类摊位每平方米的费用分别为40元，30元．用60平方米建A 类摊位的个数恰好是用60平方米建B 类摊位个数的35. (1)求每个A ，B 类摊位的占地面积．(2)已知该社区规划用地70平方米建摊位，且刚好全部用完． ①请写出建A ，B 两类摊位的个数的所有方案．②请算出该社区建成A ，B 两类摊位需要投入的最大费用．23．(10分)某校举办“迎亚运”书画展览，现要在长方形展厅中划出3个大小完全一样的小长方形(图中阴影部分)区域摆放作品．设小长方形的长和宽分别为x 米、y 米．(1)如图①，若大长方形的长和宽分别为45米、30米，求小长方形的长和宽．(2)如图②，若大长方形的长和宽分别为a 米、b 米． ①直接写出1个小长方形的周长与大长方形周长之比； ②若作品展览区域(阴影部分)面积占展厅面积的13，试求xy 的值．24．(12分)如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如x ＋1x －1＝(x －1)＋2x －1＝1＋2x －1，所以x ＋1x －1是“和谐分式”．请运用这个知识完成下面各题： (1)已知3x －2x ＋1＝3＋mx ＋1，则m ＝________；(2)将“和谐分式”4a ＋12a －1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；(3)当x 为整数时，2x 2＋3x －3x －1也为整数，求满足条件的所有x 值的和．答案一、1.D 2.B 3.C 4.D 5.C 6．B 7.D 8.D 9.C 10.D 二、11.2 12.2 13.12 14．9或3或－315．5 点拨：依题意得3－x x －4＋1＝－1，即3－xx －4＋2＝0，去分母，得3－x ＋2(x －4)＝0， 去括号，得3－x ＋2x －8＝0，解得x ＝5，经检验，x ＝5是方程的解， 故答案为5.16．x ＝3三、17.解：(1)(81－a 4)÷(a 2＋9)÷(a －3)＝(9＋a 2)(9－a 2)a 2＋9×1a －3＝(9＋a 2)(3＋a )(3－a )a 2＋9×1a －3＝－a －3.(2)2x －64－4x ＋x 2÷(x ＋3)·x 2＋x －63－x ＝2(x －3)(x －2)2·1x ＋3·(x －2)(x ＋3)3－x ＝22－x. 18．解：原式＝3x x －1·x 2－1x －x x ＋1·x 2－1x＝3x x －1·(x ＋1)(x －1)x －x x ＋1·(x ＋1)(x －1)x ＝3(x ＋1)－(x －1) ＝2x ＋4.当x ＝－2时，原式＝2×(－2)＋4＝0.19．解：x 2－4x 2＋4x ＋4÷⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －4x ＋2－x ＋2 ＝(x ＋2)(x －2)(x ＋2)2÷2(x －2)－(x －2)(x ＋2)x ＋2＝(x ＋2)(x －2)(x ＋2)2÷－x (x －2)x ＋2＝－(x ＋2)(x －2)(x ＋2)2·x ＋2x (x －2)＝－1x .∵x (x －2)≠0，x ＋2≠0， ∴x ≠0，±2，∴当x ＝3时，原式＝－13.20．解：(1)把m ＝3代入方程，得3x x 2－4＋2x －2＝3x ＋2，去分母，得3x ＋2x ＋4＝3x －6， 移项、合并同类项，得2x ＝－10， 解得x ＝－5，检验：当x ＝－5时，(x ＋2)(x －2)≠0，∴分式方程的根为x ＝－5. (2)去分母，得mx ＋2x ＋4＝3x －6，∵这个关于x 的分式方程会产生增根，∴x ＝2或x ＝－2， 把x ＝2代入整式方程，得2m ＋4＋4＝0，解得m ＝－4； 把x ＝－2代入整式方程， 得－2m ＝－12，解得m ＝6. ∴m 的值为－4或6.21．解：设甲队每小时接种x 人，则乙队每小时接种 (x －30) 人．依题意得2 250x ＝1 800x －30 ，解得 x ＝150 ，经检验，x ＝150 是原分式方程的根，答：甲队每小时接种150人．22．解：(1)设每个B 类摊位的占地面积为x 平方米，则每个A 类摊位的占地面积为(x ＋2)平方米，由题意得60x ＋2＝35×60x， 解得x ＝3，经检验，x ＝3是原方程的解，3＋2＝5(平方米)．答：每个A 类摊位的占地面积为5平方米，每个B 类摊位的占地面积为3平方米．(2)设建A 类摊位a 个，B 类摊位b 个．①由题意得，5a ＋3b ＝70，∴a ＝14－35b .∵a ，b 为正整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝11，b ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝10或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝15 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝20.∴共有4个方案：A 类摊位11个，B 类摊位5个；A 类摊位8个，B 类摊位10个；A 类摊位5个，B 类摊位15个；A 类摊位2个，B 类摊位20个．②该社区建成A ，B 两类摊位需要投入的费用为40×5a ＋30×3b ＝200a ＋90b ＝200⎝ ⎛⎭⎪⎫14－35b ＋90b ＝－30b ＋2 800. 易知b 越小，费用越大． ∴当b ＝5时，费用最大，为－30×5＋2 800＝2 650(元)． 答：该社区建成A ，B 两类摊位需要投入的最大费用为2 650元． 23．解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝45，x ＋2y ＝30， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝5. ∴小长方形的长和宽分别为20米、5米． (2)①1个小长方形的周长与大长方形周长之比是1∶3. ②由题意得3xy ab ＝13， ∴3xy (2x ＋y )(x ＋2y )＝13， ∴(2x ＋y )(x ＋2y )＝9xy ， 化简得()x －y 2＝0， ∴x －y ＝0， ∴x ＝y ，即x y ＝1. 24．解：(1)－5(2)4a ＋12a －1＝2(2a －1)＋32a －1＝2＋32a －1.(3)令A ＝2x 2＋3x －3x －1＝2x 2＋3x －5＋2x －1＝(x－1)(2x＋5)＋2x－1＝(x－1)(2x＋5)x－1＋2x－1＝2x＋5＋2x－1.∵当x为整数时，A也为整数，∴2x－1也必为整数．又∵分式要有意义，∴x－1≠0，∴x≠1.∴满足条件的x值为－1，0，2，3，∴满足条件的所有x值的和为－1＋0＋2＋3＝4.。
(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(包含答案解析)(2)
一、选择题1．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a bi +=（ ）A ．2B ．2C ．5D ．52．已知i 是虚数单位，则复数1012ii-的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知复数z x yi =+，x ∈R ，y R ∈，满足114z z ++-=，则点()x y ，的轨迹是（ ） A ．线段 B ．圆 C ．双曲线 D ．椭圆 4．若复数z 满足(34)25i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是A ．3iB ．3i -C ．3D ．-35．若复数满足，则复数的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知(,)z x yi x y R =+∈且1z =，则3x y 的最大值（ ） A ．13B ．2C ．1D 37．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）①若z 是虚数，则20z ；②若复数2z 满足2z ∈R ，则z R ∈；③若复数11z i =+，2z t i =+，且12z z ⋅对应的复数位于第四象限，则实数t 的取值范围是()1,1-；④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==. A ．0B ．1C ．2D ．38．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,0,1--，则122z z z +=（ ） A ．22i +B ．22i -C ．2i -+D ．2i --9．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A ．1B ．iC ．1-D ．i -10．已知2(1i)=1i z(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数等于（ ）A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i +11．复数1234ii-+在复平面上对应的点位于第________象限 A ．一B ．二C ．三D ．四12．已知t ∈R ，i 为虚数单位，复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则t 等于( )A ．34B ．43C ．43-D ．34-二、填空题13．复数z 满足114z z -++=则复数z 对应点表示的曲线是 _____________.14．计算10251(12)()1i i i i+-⋅+=-__.15．若复数z 满足221(1)2i z i ⎛⋅=+ ⎝⎭，则z =_______________. 16．已知i 为虚数单位，若(1)2z i i ⋅+=，则复数z =________． 17．已知i 为虚数单位，计算1i1i-=+__________． 18．已知复数z=i （2+i ），则|z|=___．19．已知复数()()13i z m m m R =-+-∈对应的点在x 轴上方，则m 的取值范围是_______．20．复平面内，已知复数13z x i =-所对应的点都在单位圆内，则实数x 的取值范围是__________．三、解答题21．已知复数0z 满足00|215|10|z z ++， （1）求证：0||z 为定值； （2）设12i x +=，0n n z z x =，若1||n n n a z z -=-，*n N ∈，求12lim()n n a a a →∞++⋯+． 22．实数m 取怎样的值时，复数226(215)z m m m m i =--+--是： （1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？23．（1）设复数z 和它的共轭复数z 满足：42i z z +=，求复数z ； （2）设复数z 满足：228z z ++-=，求复数z 对应的点的轨迹方程. 24．已知复数22(34)(224)z m m m m i =+-+--()m R ∈．（1）若复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，求实数m 的值； （2）若复数z 为纯虚数，求实数m 的值．25．已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，12z z ⋅是实数，求2z ．26．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i }，P ＝{－1，1，4i }，若M P P =，求实数m的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于,a b 的方程组，解得,a b 的值，进而可得答案. 【详解】因为(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，结合,a b ∈R ，所以有110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以2a bi i +=+==故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的模的问题，涉及到的知识点有复数相等的条件，属于简单题目.2．C解析：C 【分析】 先计算出104212ii i=-+-，求出其共轭复数，即得解. 【详解】由题得1010(12)20104212(12)(12)5i i i ii i i i +-+===-+--+， 所以1012ii-的共轭复数为42i --，它对应的点为(4,2)--，在第三象限. 故选：C 【点睛】本题主要考查复数的除法和共轭复数，考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．D解析：D 【分析】根据复数模长的几何意义，结合椭圆的定义知，复数z 对应的点在某一椭圆上． 【详解】复平面上，复数z 满足114z z ++-=， 则z 对应的点M 到点()11,0F -，点()21,0F 的距离和为4， 即12124,24MF MF F F +==<， ∴复数z 对应的点M 在以12,FF 为焦点，长轴长为4的椭圆上．故选：D ． 【点睛】本题考查了复数的代数形式与模长几何意义应用问题，也考查了椭圆的定义应用问题，是基础题．4．C解析：C 【分析】本道题目可以设出z a bi =+,然后结合待定系数法,计算参数,即可得出答案. 【详解】设z a bi =+,代入原式得到()()()()34343434i z i a bi a b b a i +=++=-++ 结合待定系数法得到340,3425a b b a -=+=,解得3b =, 故选C. 【点睛】本道题目考查了待定系数法和复数的四则运算,注意虚部是指i 的系数.5．B解析：B 【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为6．B解析：B 【解析】分析：由1z =可得221x y +=，可设cos x θ=，sin y θ=，R θ∈，可得32sin()6x πθ+=+，进而利用正弦函数的性质求出答案．详解：∵(),z x yi x y R =+∈且1z = ∴221x y +=设cos x θ=，sin y θ=，R θ∈. ∴3cos 32sin()6x πθθθ+=+=+∴x 的最大值是2 故选B.点睛：本题主要考查复数的求模公式及三角函数的性质，解答本题的关键是利用三角换元结合三角函数的性质求函数的最值．7．B解析：B 【解析】分析：利用复数的知识对每一个命题逐一分析判断.详解：对于①,举例z=1+i ,但是22z i =，但是不能说2i≥0，因为虚数和实数不能比较大小.所以①不正确.对于②，举例z=i ，所以21,z R =-∈但是i R ∉,所以②不正确. 对于③，12z z ⋅=(1)()1(1),i t i t t i +-=++-所以10,1 1.10t t t +>⎧∴-<<⎨-<⎩所以③正确.对于④，若()()2212230z z z z -+-=，举例1232,1,1,z z z i ===-但是123z z z ==不成立.所以④不正确. 故答案为B点睛：（1）本题主要考查复数的基础知识，意在考查学生对复数的基础知识的掌握能力.(2)判断命题的真假时，要灵活，可以证明，也可以举反例.8．A解析：A 【解析】分析：首先确定复数12,z z ，然后结合题意进行复数的混合运算即可. 详解：由题意可得：122,z i z i =-=-，则：()1222212i i z i i z i i --===+--，21z =， 据此可得：12222z z i z +=+. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查复数的定义及其运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．A解析：A 【解析】()12i z i +=22(1)112i i i z i i -⇒===++，所以z 的虚部是1，选A. 10．A【解析】 【分析】由复数的运算法则，化简复数1z i =-+，再根据共轭复数的概念，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，复数满足2(1)=1i i z，即221(1)2=11111i i i iz i i ii i，所以复数z 的共轭复数等于1z i =--，故选A ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则，以及共轭复数的概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，准确求解复数z 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】 【分析】将复数化简为a bi +的形式，得到(,)a b ，就可以得到答案． 【详解】 ∵复数12(12)(34)5101234(34)(34)2555i i i i i i i i -----===--++- ∴复数1234ii-+在复平面上对应的点位于第三象限 故选C. 【点睛】复数化简为a bi +的形式，是解题关键，a b 、的符号决定复数在复平面上对应的点位于的象限．基础题目．12．D解析：D 【详解】因为z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，所以z 1·z 2＝(3t －4)＋(4t ＋3)i ， 又z 1·z 2是实数，所以4t ＋3＝0，所以t ＝34-. 故选：D.二、填空题13．椭圆【分析】设利用复数摸的公式化简等式再由椭圆的定义即可判断【详解】设代入可得所以式子的几何意义是：点到点与点的距离之和为定值4又所以复数对应点表示的曲线为以点与点为焦点的椭圆故答案为：椭圆【点睛】解析：椭圆设z x yi =+，利用复数摸的公式化简等式，再由椭圆的定义即可判断. 【详解】设z x yi =+，代入114z z -++=可得114-++++=x yi x yi ，4=，式子的几何意义是：点(),z x y 到点1,0A 与点()1,0B -的距离之和为定值4，又24=<AB ，所以复数z 对应点表示的曲线为以点1,0A 与点()1,0B -为焦点的椭圆.故答案为：椭圆 【点睛】本题主要考查复数模的公式，解题的关键是对椭圆定义的理解，属于中档题.14．【分析】由复数的除法和乘法化简再求即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算属于中档题 解析：13i -+【分析】由复数的除法和乘法化简11i i+-，102i ，再求10251(12)()1i i i i +-⋅+-即可. 【详解】221(1)121(1)(1)2i i i i i i i i ++++===-+-，()51102251(1)1i i ==-=- 102551(12)()1212131i i i i i i i i i+∴-⋅+=-++=-++=-+-故答案为：13i -+ 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于中档题.15．【分析】利用复数的四则运算得出结合共轭复数的定义即可得出答案【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及共轭复数的定义属于中档题 i【分析】利用复数的四则运算得出z i ，结合共轭复数的定义，即可得出答案.【详解】()2222112(1)12i i i z i i ⎛⎫⎫+- ⎪⎪⎫+==⎪⎪⎛⎝⎭+ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭=⎝z i ∴=i 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及共轭复数的定义，属于中档题.16．【解析】【分析】由题意利用复数的除法运算法则确定z 的值即可【详解】【点睛】本题主要考查复数的除法运算属于基础题解析：1i +. 【解析】 【分析】由题意利用复数的除法运算法则确定z 的值即可. 【详解】()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-. 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，属于基础题.17．【解析】分析：根据复数除法法则求解详解：复数点睛：首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为 解析：i -【解析】分析：根据复数除法法则求解. 详解：复数1i (1)(1)2ii 1i (1)(1)2i i i i ----===-++-． 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为.-a bi18．【解析】分析：先计算复数再根据复数的模的定义求结果详解：点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念属于基本题首先对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其次要熟悉复数相关基本概念如复数的【解析】分析：先计算复数，再根据复数的模的定义求结果.详解：(2)21z i i i z =+=-∴==点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi19．【解析】分析：首先根据复数在复平面内对应的点的坐标为之后根据坐标系中各个象限内的点的横纵坐标的符号结合题中要求点落在轴上方要求其纵坐标大于零从而确定出所满足的不等关系式最后求得结果详解：复数在复平面解析：3m <. 【解析】分析：首先根据复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,3)m m +-，之后根据坐标系中各个象限内的点的横纵坐标的符号，结合题中要求点落在x 轴上方，要求其纵坐标大于零，从而确定出m 所满足的不等关系式，最后求得结果.详解：复数()()13,z m m i m R =-+-∈在复平面上对应的点的坐标为(1,3)m m --， 如果该点落在x 轴上方，则有30m ->，解得3m <.点睛：该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的坐标的问题，应用实部是横坐标，虚部是纵坐标，结合题中的要求，列出式子，求得结果.20．【详解】∵z 对应的点z(x －)都在单位圆内∴|z|<1即<1∴x2+<1∴x2<∴－ 解析：222233x -<<【详解】 ∵z 对应的点z (x ,－)都在单位圆内， ∴|z|<1,即<1.∴x 2+<1.∴x 2<. ∴－.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）356 【分析】（1）设0(,)z x yi x y R =+∈，利用00|215|310|z z +=+，可得2275x y +=，即可证明：0||z 为定值；（2）12||532nn n n a z z -⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，再求极限．【详解】（1）证明：设0(,)z x yi x y R =+∈，则00|215|10|z z ++，|2152|10|x yi x yi ∴+++-，2222(215)(2)3(10)3x y x y ∴++=++， 2275x y ∴+=，0||z ∴= （2）解：12ix +=，0n n z z x =， 12||32nnn n a z z-⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭，121nn a a a ⎫⎪-⎪⎝⎭∴++⋯+=∴121lim()nnn n a a a →∞⎫⎪-⎪⎝⎭++⋯+===．【点睛】本题考查复数模的计算，考查极限的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 22．（1）5m =或3m =-；（2）5m ≠且3m ≠-；（3）3m =或2m =- 【分析】（1）由虚部等于0列式求解m 的值； （2）由虚部不等于0列式求解m 的值；（3）由实部等于0且虚部不等于0列式求解m 的值. 【详解】（1）当22150m m --=，即5m =或3m =-时，z 的虚部等于0， 所以当5m =或3m =-时，z 为实数；（2）当22150m m --≠时，即5m ≠且3m ≠-时，z 为虚数；（3）当22602150m m m m ⎧--=⎨--≠⎩时，即3m =或2m =-时，z 为纯虚数.【点睛】该题考查的是有关根据复数的类别求解参数的值的问题，涉及到的知识点有复数的分类，属于简单题目.23．（1）1i 2z =+；（2）2211612x y +=【解析】分析：（1）设(),z x yi x y R =+∈，由题意结合复数的运算法则可得62x yi i +=，则12x y ==，12z i =+. （2）设复数(),z x yi x y R =+∈，由题意可得()884=>，则其轨迹是椭圆，轨迹方程为：2211612x y +=. 详解：（1）设(),z x yi x y R =+∈，则4262z z x yi +=+，由42z z i +=可得：62x yi i +=，所以12x y ==，12z i ∴= （2）设复数(),z x yi x y R =+∈，由228z z ++-=得：()884=>，其轨迹是椭圆，此时28,4a a ==，24,2c c ==，212b =，所求的轨迹方程为：2211612x y +=. 点睛：求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以直接根据定义先定轨迹类型，再写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法，其关键是准确应用解析几何中有关曲线的定义．24．（1）4m =-；（2）1m =.【解析】试题分析：（1）利用实部与虚部相等列方程求解即可；（2）利用实部为零列方程，验证虚部不为零即可得结果.试题（1）复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上，∴ 2234224m m m m +-=--，解得 4m =-.（2）复数z 为纯虚数，∴ 22340{2240m m m m +-=--≠ 41{46m m m m =-=≠-≠或且 解得 1m =. 25．242z i =+【解析】解：1(2)(1)1z i i -+=-⇒12z i =-（4分）设22,z a i a R =+∈，则12(2)(2)(22)(4)z z i a i a a i =-+=++-， （12分） ∵12z z R ∈，∴242z i =+（12分）26．m ＝1或m ＝2.【分析】先由M P P =，知M 是P 的子集，再依据集合中元素的互异性得复数22(2)(2)m m m m i -++-的取值，最后根据复数相等的定义即可解出m ．【详解】由MP P =，知M 是P 的子集，从而可知22(2)(2)1m m m m i -++-=-或4i ． 由22(2)(2)1m m m m i -++-=-，得222120m m m m ⎧-=-⎨+-=⎩，解之得：1m =， 由22(2)(2)4m m m m i i -++-=，得222024m m m m ⎧-=⎨+-=⎩，解之得：2m =， 综上可知：1m =或2m =．【点睛】本题主要考查了并集及运算、复数的基本概念，是一道复数与集合交汇的题目，属于基础题.。
2020年湘教版初二数学上册第5章《二次根式》单元测试题及答案
湘教版八年级数学上册第5章《二次根式》单元检测一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1x 应满足的条件是( )A ．2x ≠的实数B ．2x 的实数C ．2x 的实数D ．0x >且2x ≠的实数245x =-，则x 可取的整数值有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3有意义，则x 的取值范围是( ) A ．4x < B ．4x C ．4x D ．4x >4．当0xy <( )A ．-B ．C ．D ．-5中，最简二次根式有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个62，结果是( )A ．66x -B ．66x -+C ．4-D ．47．若1a =b =，则a 与b 的关系是( ) A ．互为相反数B ．相等C ．互为倒数D ．互为有理化因式8( )A B ．C D9．已知最简二次根式a +a 、b 的值分别为( )A ．1a =，2b =B ．1a =-，0b =C ．1a =，0b =D ．1a =-，2b =10．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第(n n 是整数，且4)n 行从左向右数第(3)n -个数是（用含n 的代数式表示）( )A ．21n -B ．22n -C ．23n -D ．24n -二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．已知172178a a b -+-+=，则a b -的值是 ．12．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2|1|a a --的结果是 ．13243化为最简二次根式的结果为 ． 14．已知0a >，计算：22211(6ab a b a-= ． 15．写一个无理数，使它与23+的积是有理数： ．165x +3x 的正整数的值为 ．17．计算：20182019(52)(25)+= ．18．已知x 、y 满足方程组2322312x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，则3x y -的值为 ．三．解答题（共6小题，满分46分，19、20每小题6分，21题8分，22、23每小题8分，24题10分）19．已知152a <<2441|5|a a a -+-． 20．已知3b a b -22b a -+（1）求a ，b 的值；（232014b a +21．计算：（1（211)(1-+--22．已知x=y=，求代数式2222x y xyx y--的值．23．已知a、b、c满足2|(0a c--=（1）求a、b、c的值．（2）试问：以a、b、c为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由．24．阅读下列解题过程：1==；====⋯则：（1（2=；（3）利用这一规律计算：1)的值参考简答一．选择题（共10小题）1．B ． 2．B ． 3．A ． 4．A ． 5．B ． 6．D ． 7．B ． 8．C ． 9．C ． 10．C ．二．填空题（共8小题）11． 3 ． 12． 12a - ． 13． ． 141516． 22 ． 17 18． 4 ．三．解答题（共6小题）19．已知152a <<|5|a -．【解】：152a <<，∴|5|a -5a -215a a =-+-4a =+．20．已知b（1）求a ，b 的值；（2【解】：（1）b 是相等的最简二次根式，∴2322b a b b a -=⎧⎨=-+⎩． 解得，02a b =⎧⎨=⎩， a ∴的值是0，b 的值是2；（221．计算：（1（211)(1--【解】：（1）原式2=-=-=（2）原式2(13)=--224=22．已知x =y =，求代数式2222x y xy x y --的值．【解】：x y =，2xy ∴=，x y += ∴2222x y xy x y -- ()()()xy x y x y x y -=+- xy x y =+==23．已知a 、b 、c 满足2|(0a c --=（1）求a 、b 、c 的值．（2）试问：以a 、b 、c 为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由．【解】：（1）2|22(0a c --=，0a ∴-=0=，0c -=，解得a =，5b =，c =（2）以a 、b 、c 为三边长能构成三角形．理由如下：由（1）知，a=，5b=，c=<=，即b a c522<+，=+∴以a、b、c为三边长能构成三角形．周长524．阅读下列解题过程：==；1====⋯则：（1（2=；的值（3）利用这一规律计算：1)【解】：（13===，（2=+（3）1)=+11)1)==-20191=．20181、只要朝着一个方向努力，一切都会变得得心应手。
第5章大数定律及中心极限定理习题及答案
第 5 章 大数定律与中心极限定理一、填空题：1.设随机变量μξ=)(E ，方差2σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 91 . 2.设nξξξ,,,Λ21是n 个相互独立同分布的随机变量，),,,(,)(,)(n i D E i i Λ218===ξμξ对于∑==ni in 1ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 228εεξεμξn D P =≤≥-)(}|{| ，并估计≥<-}|{|4μξP n211-. 3. 设随机变量129,,,X X X L 相互独立且同分布, 而且有1i EX =,1(1,2,,9)i DX i ==L , 令91i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式直接可得{}≥<-ε9X P 291ε-. 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有22{||}P X σμεε-≥≤, 或者22{||}1.P X σμεε-<≥-由于随机变量129,,,X X X L 相互独立且同分布, 而且有 1,1(1,2,9),i i EX DX i ===L 所以999111()()19,i i i i i E X E X E X μ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑9992111()()19.i i i i i D X D X D X σ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑4. 设随机变量X 满足：2(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 116≤. 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2(),()E X D X μσ==, 则对任意的0ε>, 有22{||}.P X σμεε-≥≤由此得 221{||4}.(4)16P X σμσσ-≥≤=5、设随机变量2σξμξξ==)(,)(,D E ，则≥<-}|{|σμξ2P 43.6、设n ξξξ,,,Λ21为相互独立的随机变量序列，且),,(Λ21=i i ξ服从参数为λ的泊松分布，则≤-∑=∞→}{lim x n n P ni in λλξ1∞--xt dt e22 .7、设n η表示n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则≈≤<}{b a P n η⎰-----)1()1(2221p np np b p np np a t dt e π.8. 设随机变量n ξ, 服从二项分布(,)B n p , 其中01,1,2,p n <<=L , 那么, 对于任 一实数x , 有lim {|||}n n P np x ξ→+∞-<= 0 .9. 设12,,,n X X X L 为随机变量序列,a 为常数, 则{}n X 依概率收敛于a 是指 {}=<->∀+∞>-εεa X P n n lim ,0 1 ,或{}=≥->∀+∞>-εεa X P n n lim ,0 0 。
实数同步测试题
第六章实数6.3实数一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列各数中，是有理数的是A．0.9B．–3C．πD．1 3【答案】D【解析】A、0.9=910=31010，是无理数，故此选项错误；B、–3是无理数，故此选项错误；C、π是无理数，故此选项错误；D、13是有理数，故此选项正确．故选D．2．下列说法中错误的是A．数轴上的点与实数一一对应B．实数中没有最小的数C．a、b为实数，若a<b，则a<bD．a、b为实数，若a<b，则3a<3b【答案】C3．实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式表示正确的是A．b–a<0 B．1–a>0C．b–1>0 D．–1–b<0【答案】A【解析】由题意，可得b<–1<1<a，则b–a<0，1–a<0，b–1<0，–1–b>0．故选A．4．如图，数轴上点P表示的数可能是A2B5C10D15【答案】B24591015 251015B．5．在实数0，–2，15A．0 B．–2C．1 D5【答案】B【解析】∵0，–2，15–5–2；故选B．6．若m14n，且m、n为连续正整数，则n2–m2的值为A．5 B．7C．9 D．11【答案】B【解析】∵m14n，且m、n为连续正整数，∴m=3，n=4，则原式=7，故选B．+的值为7．|63||26A．5 B．526-C．1 D．61【答案】C【解析】原式=3–6+6–2=1．故选C．8．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[3]=1，现对72进行如下操作：72[72]=8[8]=2[2]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，对81只需进行3次操作后变为1；那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是A．82 B．182C．255 D．282【答案】C二、填空题：请将答案填在题中横线上．95__________16__________．【答案】5 25516，4的平方根是±2162．故答案为：5；±2．10．已知：n24n n的最小值为__________．【答案】624n6n，则6n是完全平方数，∴正整数n的最小值是6，故答案为：6．11．比较大小–2__________–3>”、“<”或“=”填空）．【答案】<【解析】–2=50–348，5048，∴–2<–3，故答案为：<．12．用“※”定义新运算：对于任意实数a 、b ，都有a ※b =2a 2+B ．例如3※4=2×32+4=22※2=__________． 【答案】8※2=2×3+2=6+2=8．故答案为：8．13．计算：|+．【解析】|+14．计算：|2．【答案】3【解析】|2–2+5． 故答案为：3．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．计算：（1）–14–2|（2）4（x +1）2=25【解析】（1）原式=–1–2–3+2=–4 （2）方程整理得：（x +1）2=254， 开方得：x +1=±52， 解得：x =1.5或x =–3.5．16．把下列各数填在相应的大括号内：20%，0，3π，3.14，–23，–0.55，8，–2，–0.5252252225…（每两个5之间依次增加1个2）． （1）正数集合：{__________…}； （2）非负整数集合：{__________…}； （3）无理数集合：{__________…}； （4）负分数集合：{__________…}． 【解析】（1）正数集合：{20%，3π，3.14，8…}；（2）非负整数集合：{8，0…}；（3）无理数集合：{3π，–0.525225……}； （4）负分数集合：{–23，–0.55…}．故答案为：（1）20%，3π，3.14，8；（2）8，0；（3）3π，–0.525225…；（4）–23，–0.55．17．如图：观察实数a 、b 在数轴上的位置，（1）a __________0，b __________0，a –b __________0（请选择<，>，=填写）. （2）化简：2a –2b –2()a b -．18．（1）计算并化简（结果保留根号）①|1–2|=__________； ②23|=__________； ③34|=__________； ④45（2）计算（结果保留根号）：233445……20172018|．【解析】（1）①|12|=2–1；②2332；③3443④4554； 21324354．（2）原式324354+……2018201720182．人教版七年级上册期末测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．某天的最高气温是8℃，最低气温是－3℃，那么这天的温差是( ) A ．－3℃B ．8℃C．－8℃D．11℃2．下列立体图形中，从上面看能得到正方形的是()3．下列方程是一元一次方程的是()A．x－y＝6 B．x－2＝xC．x2＋3x＝1 D．1＋x＝34．今年某市约有108 000名应届初中毕业生参加中考，108 000用科学记数法表示为() A．0.108×106B．10.8×104C．1.08×106D．1.08×1055．下列计算正确的是()A．3x2－x2＝3 B．3a2＋2a3＝5a5C．3＋x＝3x D．－0.25ab＋14ba＝06．已知ax＝ay，下列各式中一定成立的是()A．x＝y B．ax＋1＝ay－1C．ax＝－ay D．3－ax＝3－ay7．某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利10%，则该商品每件的进价为()A．100元B．105元C．110元D．120元8．如果一个角的余角是50°，那么这个角的补角的度数是()A．130°B．40°C．90°D．140°9．如图，C，D是线段AB上的两点，点E是AC的中点，点F是BD的中点，EF＝m，CD ＝n，则AB的长是()A．m－n B．m＋nC．2m－n D．2m＋n10．下列结论：①若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则a ＋c 2b ＝－12；②若a ＋b ＋c ＝0，且a ≠0，则x ＝1一定是方程ax ＋b ＋c ＝0的解； ③若a ＋b ＋c ＝0，且abc ≠0，则abc ＞0； ④若|a |>|b |，则a －ba ＋b>0. 其中正确的结论是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④D ．①②③④二、填空题(每题3分，共24分)11．－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23的相反数是________，－15的倒数的绝对值是________．12．若－13xy 3与2x m －2y n ＋5是同类项，则n m ＝________.13．若关于x 的方程2x ＋a ＝1与方程3x －1＝2x ＋2的解相同，则a 的值为________． 14．一个角的余角为70°28′47″，那么这个角等于____________．15．下列说法：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③若∠AOC ＝12∠AOB ，则射线OC 是∠AOB 的平分线；④连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；⑤学校在小明家南偏东25°方向上，则小明家在学校北偏西25°方向上，其中正确的有________个． 16．在某月的月历上，用一个正方形圈出2×2个数，若所圈4个数的和为44，则这4个日期中左上角的日期数值为________．17．规定一种新运算：a △b ＝a ·b －2a －b ＋1，如3△4＝3×4－2×3－4＋1＝3.请比较大小：(－3)△4________4△(－3)(填“>”“＝”或“<”)．18．如图是小明用火柴棒搭的1条“金鱼”、2条“金鱼”、3条“金鱼”……则搭n 条“金鱼”需要火柴棒__________根．三、解答题(19，20题每题8分，21～23题每题6分，26题12分，其余每题10分，共66分) 19．计算：(1)－4＋2×|－3|－(－5)；(2)－3×(－4)＋(－2)3÷(－2)2－(－1)2 018.20．解方程：(1)4－3(2－x)＝5x；(2)x－22－1＝x＋13－x＋86.21．先化简，再求值：2(x2y＋xy)－3(x2y－xy)－4x2y，其中x＝1，y＝－1. 22．有理数b在数轴上对应点的位置如图所示，试化简|1－3b|＋2|2＋b|－|3b－2|.23．如图①是一些小正方体所搭立体图形从上面看得到的图形，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数．请在如图②所示的方格纸中分别画出这个立体图形从正面看和从左面看得到的图形．24．已知点O是直线AB上的一点，∠COE＝90°，OF是∠AOE的平分线．(1)当点C，E，F在直线AB的同侧时(如图①所示)，试说明∠BOE＝2∠COF.(2)当点C与点E，F在直线AB的两侧时(如图②所示)，(1)中的结论是否仍然成立？请给出你的结论，并说明理由．25．为鼓励居民节约用电，某市电力公司规定了电费分段计算的方法：每月用电不超过100度，按每度电0.50元计算；每月用电超过100度，超出部分按每度电0.65元计算．设每月用电x度．(1)当0≤x≤100时，电费为________元；当x>100时，电费为____________元．(用含x的整式表示)(2)某用户为了解日用电量，记录了9月前几天的电表读数．日期9月1日9月2日9月3日9月4日9月5日9月6日9月7日电表读123130137145153159165 数/度该用户9月的电费约为多少元？(3)该用户采取了节电措施后，10月平均每度电费0.55元，那么该用户10月用电多少度？26．如图，O为数轴的原点，A，B为数轴上的两点，点A表示的数为－30，点B表示的数为100.(1)A，B两点间的距离是________．(2)若点C也是数轴上的点，点C到点B的距离是点C到原点O的距离的3倍，求点C表示的数．(3)若电子蚂蚁P从点B出发，以6个单位长度/s的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向左运动，设两只电子蚂蚁同时运动到了数轴上的点D，那么点D表示的数是多少？(4)若电子蚂蚁P从点B出发，以8个单位长度/s的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发，以4个单位长度/s的速度向右运动．设数轴上的点N到原点O的距离等于点P到原点O的距离的一半(点N在原点右侧)，有下面两个结论：①ON＋AQ的值不变；②ON－AQ的值不变，请判断哪个结论正确，并求出正确结论的值．(第26题)答案一、1.D 2.A 3.D 4.D 5.D 6.D7．A8.D9.C10.B二、11.23；512.－813.－514．19°31′13″15.316.717．>18.(6n＋2)三、19.解：(1)原式＝－4＋2×3＋5＝－4＋6＋5＝7；(2)原式＝12＋(－8)÷4－1＝12－2－1＝9.20．解：(1)去括号，得4－6＋3x＝5x.移项、合并同类项，得－2x＝2.系数化为1，得x＝－1.(2)去分母，得3(x－2)－6＝2(x＋1)－(x＋8)．去括号，得3x－6－6＝2x＋2－x－8.移项、合并同类项，得2x＝6.系数化为1，得x＝3.21．解：原式＝2x2y＋2xy－3x2y＋3xy－4x2y＝(2x2y－3x2y－4x2y)＋(2xy＋3xy)＝－5x2y＋5xy.当x＝1，y＝－1时，原式＝－5x2y＋5xy＝－5×12×(－1)＋5×1×(－1)＝5－5＝0.22．解：由题图可知－3<b<－2.所以1－3b>0，2＋b<0，3b－2<0.所以原式＝1－3b－2(2＋b)＋(3b－2)＝1－3b－4－2b＋3b－2＝－2b－5.23．解：如图所示．24．解：(1)设∠COF＝α，则∠EOF＝90°－α.因为OF 是∠AOE 的平分线，所以∠AOE ＝2∠EOF ＝2(90°－α)＝180°－2α.所以∠BOE ＝180°－∠AOE ＝180°－(180°－2α)＝2α.所以∠BOE ＝2∠COF .(2)∠BOE ＝2∠COF 仍成立．理由：设∠AOC ＝β，则∠AOE ＝90°－β，又因为OF 是∠AOE 的平分线，所以∠AOF ＝90°－β2.所以∠BOE ＝180°－∠AOE ＝180°－(90°－β)＝90°＋β，∠COF ＝∠AOF ＋∠AOC ＝90°－β2＋β＝12(90°＋β)．所以∠BOE ＝2∠COF .25．解：(1)0.5x ；(0.65x －15)(2)(165－123)÷6×30＝210(度)，210×0.65－15＝121.5(元)．答：该用户9月的电费约为121.5元．(3)设10月的用电量为a 度．根据题意，得0.65a －15＝0.55a ，解得a ＝150.答：该用户10月用电150度．26．解：(1)130(2)若点C 在原点右边，则点C 表示的数为100÷(3＋1)＝25； 若点C 在原点左边，则点C 表示的数为－[100÷(3－1)]＝－50. 故点C 表示的数为－50或25.(3)设从出发到同时运动到点D 经过的时间为t s ，则6t －4t ＝130， 解得t ＝65.65×4＝260，260＋30＝290，所以点D 表示的数为－290.(4)ON －AQ 的值不变．设运动时间为m s，则PO＝100＋8m，AQ＝4m. 由题意知N为PO的中点，得ON＝12PO＝50＋4m，所以ON＋AQ＝50＋4m＋4m＝50＋8m，ON－AQ＝50＋4m－4m＝50.故ON－AQ的值不变，这个值为50.。
2024-2025学年高一数学苏教版必修第一册单元测试：第5章 函数概念与性质(含解析)
2024-2025学年高一数学苏教版必修第一册单元测试：第5章 函数概念与性质一、选择题1．已知函数是奇函数，则( )A. B.1C. D.22．设偶函数的定义域为R ,当时,是增函数,则,,的大小关系是( )A. B.C. D.3．设函数若,且,4．已知定义在R 上的奇函数满足,则对所有这样的函数,由下列条件一定能得到的是( )A. B. C. D.5．已知函数是R 上的增函数，则a 的取值范围是( )A. B. C. D.6．已知函数在R 上单调递增，则实数m 的取值范围为( )A. B. C. D.7．定义在上的函数满足：，，且，成立，且，则不等式的解集为( )A. B. C. D.()22x x f x a -=-⋅a =1-2-()f x [0,)x ∈+∞()f x (f (π)f (3)f -(π)(3)(f f f >->(π)((3)f f f >>-(π)(3)(f f f <-<(π)((3)f f f <<-2()(2)3f x ax b x =+-+(1)3f =0a >b >()f x ()()f x f a x =-()f x ()()()139f f f ==2a =3a =4a =5a =()25,1=,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪⎨>⎪⎩(),2-∞-(),0-∞(]3,2--[]3,2--23,1()(4)9,1m x x f x xm x x -⎧+≥⎪=⎨⎪+-<⎩[)3,2-[]3,2-()3,2-[]2,3-(0,)+∞()y f x =1x ∀2(0,)x ∈+∞12x x ≠()()2112120x f x x f x x x -<-(4)12f =()3f x x >(12,)+∞(0,12)(0,4)(4,)+∞8．已知函数为奇函数.则( )D.二、多项选择题9．下列函数中，在上单调递增的是( )A. B. C.10．定义在R 上的函数满足,当时,,则下列说法正确的是( )A. B.为奇函数C.在区间上有最大值D.的解集为11．已知函数，，则下列结论中正确的是( )A.函数是其定义域上的减函数B.函数是其定义域上的减函数C.函数是其定义域上的增函数D.函数是其定义域上的增函数三、填空题12．已知函数是定义域为R 的奇函数，当时，，则_______.13．已知函数在R 上单调递增，则实数的取值范围为________.14．已知函数的定义域为R ,且是奇函数,为偶函数,则___________.四、解答题15．函数的有关概念2()41xxf x x a =+⋅-a =1-()0,+∞()()21f x x =+()()21f x x =-()f x =()f x x=()f x ()()()f x y f x f y +=+0x <()0f x >()00f =()f x ()f x [],m n ()f n ()2(1)10f x f x -+->{}23x x -<<()ln f x x =0a >()()y f a x f x =+-()()y f a x f x =-+-()()y f a x f a x =-++()()y f a x f a x =+--()f x 0x >()21f x x =-()()02f f +-=()()23,1log ,1a a x x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩()f x ()f x ()1f x +()2f -=（1）函数的概念______________________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.（3）函数的三要素：定义域、对应关系、值域是函数的三要素，缺一不可.16．定义域为R 的函数满足：对任意实数x ，y ，均有，且，当时，.（1）求，的值；（2）证明：当时，.17．已知函数（1）求，的值；（2）求证：的定值；()f x ()()()2f x y f x f y +=++()22f =1x >()0f x >()0f ()1f -1x <()0f x <()f x =()122f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()133f f ⎛⎫+⎪⎝⎭()1f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（3）求的值.18．作出下列函数的图象，并根据图象求其值域：（1），；（2）.19．（1）已知函数的定义域为，求的定义域；（2）已知函数的定义域为，求的定义域.34y x =-+[]1,3x ∈-y =[)(]3,00,1x ∈- ()()()()()11112123202120222320212022f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x []0,1()21f x +(23)f x -[1,3)(13)f x -参考答案1．答案：B解析：因为的定义域为R ，所以，解得，经验证满足题意，故选：B.2．答案：A解析：因是偶函数,故,,又因当时,可得：,即.故选：A.3．答案：B解析：因为,,所以,即,又,,故选：B.4．答案：C解析：由题设,即,所以是周期为的奇函数,且当时,则,,不符合当时,则且,不符合；当时,则,,故；当时,则且,不符合；()f x ()010f a =-=1a =1a =()f x (f f =(3)(3)f f -=[0,)x ∈+∞()f x 3π<<(π)(3)f f f >>(π)(3)(f f f >->2()(2)3f x ax b x =+-+(1)3f =(2)313a b a b +-+=++=2a b +=0a >0b >4114141()()(14)(5222b a a b b a b a b =⨯++=+++≥+====()()()f x f x f a x -=-=--()()(2)f x f x a f x a =-+=+()f x 2a x =2a =()()112(3)f f f =-+=-()()1124(9)f f f =+⨯=3a =()()116f f n =+n ∈Z 4a =(1)(41)(3)f f f =-=(1)(124)(9)f f f =+⨯=()()()139f f f ==5a =(1)(110)f f n =+n ∈Z故选：C.5．答案：D解析：因为函数是R 上的增函数，所以，解得，即a 的取值范围是.故选：D.6．答案：B解析：因为函数，在R 上单调递增，当时，由于和单调递增函数，故上单调递增，所以，解得当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增，则，当时，，显然满足在R 上单调递增，综上，.故选：B.7．答案：C解析：因为对任意的，，且，()25,1=,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪⎨>⎪⎩01215a a a a<⎧⎪⎪-≥⎨⎪---≤⎪⎩32a -≤≤-[]3,2--23,1()(4)9,1m x x f x xm x x -⎧+≥⎪=⎨⎪+-<⎩230m -<y x =y =1x ≥()f x x =1x ≥1234940230m m m m +-≥+-⎧⎪+>⎨⎪-<⎩3m -≤<230m ->()f x 1x ≥123012349m m m ≤->⎨⎪+-≥+-⎩2m <≤230m -=m =,1()119,12x x f x x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩()f x 32m -≤≤1x ()20,x ∈+∞1x x ≠0<即对任意两个不相等的正实数，，不妨设，都有，，设函数则函数上单调递减，且.当时，不等式，即，解得，所以不等式的解集为.故选：C.8．答案：B解析：因为奇函数，所以，，得到，所以，当时，的定义域为关于数0对称，符合意义，所以.故选：B.9．答案：AD解析：画出函数图象如图所示，由图可得A ，D 中的函数在上单调递增，B ，C 中的函数在上不单调.故选：AD.1x 2x 120x x <<()()()()211212121212120x f x x f x f x f x x x x x x x x x --=<--()22f x x >()g x =()g x =)+∞(4)(4)34f g ==0x >()3f x >3>()(4)g x g >04x <<()3f x x >(0,4)2()41xxf x x a =+⋅-()()0f x f x -+=2222(414)041441(4)(41)x x x x x x x x x x x a a x x a a a a a ⋅-+--++=+==⋅--⋅--⋅-414(41)(1)0x x x a a a ⋅-+-=+-=1a =1a =()241xxf x x =+-()(),00,-∞+∞ 1a =()0,+∞()0,+∞10．答案：AB解析：对于A 选项,在中,令,可得,解得,A 选项正确;对于B 选项,由于函数的定义域为R ,在中,令,可得,所以,则函数为奇函数,B 选项正确;对于C 选项,任取,,且,则,,所以,所以,则函数在上为减函数,所以在区间上有最小值,C 选项错误;对于D 选项,由可得,又函数在上为减函数,则,整理得,解得,D 选项错误.故选:AB.11．答案：ABD解析：对于A ，因为函数的定义域为，函数在上单调递减，所以A 正确；对于B ，因为函数的定义域为，函数和在上单调递减，所以函数在上单调递减，所以B 正确；对于C ，因为函数的定义域为，函数是偶函数，所以函数在上不可能是单调函数，所以C 错误；对于D ，因为函数的定义域为，函数和()f n ()2(1)10f x f x -+->()21(1)(1)f x f x f x ->--=-()f x R 211x x -<-220x x +-<21x -<<()()()f x y f x f y +=+0x y ==()()020f f =()00f =()f x ()()()f x y f x f y +=+y x =-()()()00f x f x f +-==()()f x f x -=-()f x 1x 2x ∈R 12x x <120x x -<()120f x x ->()()()()()1212120f x f x f x f x f x x -=+-=->()()12f x f x >()f x R ()f x [],m n ()()y f a x f x =+-(0,)+∞()()ln 1a y f a x f x x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭(0,)+∞()()y f a x f x =-+-(,0)-∞()y f a x =-()y f x =-(,0)-∞()()y f a x f x =-+-(,0)-∞()()y f a x f a x =-++(,)a a -()22ln y a x =-()()y f a x f a x =-++(,)a a -()()y f a x f a x =+--(,)a a -()y f a x =+在上单调递增，所以函数在上为增函数，所以D 正确.故选：ABD.12．答案：解析：因为函数是定义域为R 的奇函数，所以，且，又当时，，所以，所以.故答案为：.13．答案：解析：在R 上单调递增，，解得：，即实数的取值范围为.故答案为：.14．答案：0解析：因为是奇函数,所以.因为为偶函数,所以.取,得,所以.故答案为：0.15．答案：非空的实数集；任意一个数x ；唯一确定的数y ；；，；自变量；取值范围；x 的值；；定义域；对应关系解析：16．答案：（1），（2）证明见解析解析：（1）令，则，解得.令，则，解得，()y f a x =--(,)a a -()()y f a x f a x =+--(,)a a -3-()f x ()00f =()()f x f x -=-0x >()21f x x =-()()()222213f f -=-=--=-()()()02033f f +-=+-=-3-(]2,5()f x 20123log 10a a a a ->⎧⎪∴>⎨⎪--≤=⎩25a <≤(]2,5(]2,5()f x ()00f =()1f x +()()11f x f x -+=+1x =()()020f f ==()()220f f -=-=:f A B →()y f x =x A ∈(){}f x x A ∈()02f =-()14f -=-0x y ==()()()0002f f f =++()02f =-1x y ==()()()2112f f f =++()10f =令，，则，解得.（2）当时，，则.因为，所以.17．答案：（1），（2）证明见解析（3）2022解析：（1）因为，；（2），是定值；（3）由（2）知，因为，，，……，，所以.18．答案：（1）图象见解析，（2）图象见解析，1x =1y =-()()()0112f f f =+-+()14f -=-1x <21x ->()20f x ->()()()()22222f f x x f x f x =-+=-++=()()20f x f x =--<()1212f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()1313f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x =()2222112221212112f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭()2222113331313113f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭()22222222211111111111x x x x f x f x x x x x x ⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭+=+=+== ⎪++++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()()111f f +=()1212f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()1313f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()1202212022f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()()()()11121232021232021f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1202220222022f f ⎛⎫++= ⎪⎝⎭[]5,7-4(,4],3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭解析：（1）该函数的图象如图所示，由图可知值域为；（2）作出函数的图象，如图所示，由图象可知值域为.19．答案：（1）（2）解析：（1）因为函数的定义域为，所以，即，所以.故函数的定义域为.（2）因为函数的定义域为，即，所以，则的定义域为，令，解得.[]5,7-y =[)(]3,00,1x ∈- 4(,4],3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭ {0}x x =∣22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦()f x []0,12011x ≤+≤210x -≤≤0x =()21f x +{0}x x =∣(23)f x -[1,3)13x ≤<1233x -≤-<()f x [1,3)-1133x -≤-<2233x -<≤故函数的定义域为.(13)f x -22,33⎛⎤- ⎥⎝⎦。
第5章点集拓扑学练习题参考答案
点集拓扑学练习题参考答案(第5章)一、单项选择题1、实数空间R( )①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③2、整数集Z作为实数空间R的子空间（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③3、有理数集Q作为实数空间R的子空间（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③4、无理数集作为实数空间R的子空间（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③5. 实数集合R的可数补空间是)3()2()1(空间A)4(T可分空间空间空间Lindeloff12答案：(4)6、2维欧氏间空间2R（）①仅满足第一可数性公理②仅满足第二可数性公理③既满足第一又满足第二可数性公理④以上都不对答案：③7、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（）①平庸性②可分性③离散性④第一可数性公理答案：②8. 下列拓扑学的性质中，对开子空间不具有可遗传性的是（ ）① 第一可数性公理 ② 第二可数性公理 ③ 可分性 ④ Lindelorff答案：④二、填空题1、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ⨯满足 ;答案：第一可数性公理2、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案：可遗传性质3、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个 ；答案：稠密子集4、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个 ；答案：可分空间5、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一 个 ；答案：Lindel Öff 空间6、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质 P 为 ;答案：对于开子空间可遗传性质7、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质 P 为 ;答案：对于闭子空间可遗传性质8. Lindelorff 空间的每一个 都是Lindelorff ；这说明Lindelorff 空间具有 . 闭子空间，闭遗传9. 每一个可分的度量空间都满足 公理；每一个正则且正规的空间一定是空间.第二可数；完全正则三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）1、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）答案：√理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理，B 是它的一个可数基，对于每一个x X ∈,易知{} B B|x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基，它是B 的一个子族所以是可数族，从而X 在点x 处有可数邻域基，故X 满 足第一可数性公理.2、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理( )答案：√理由：由于X 满足第二可数性公理，所以它有一个可数基B ，因为Y 是X 的子空间，则{|}B| B Y B Y B =⋂∈是Y 的一个可数基，从而X 的 子空间Y 也满足第二可数性公理.3、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（ ）答案：√理由：由于X 满足第一可数性公理，所以对x Y ∀∈,X 在点x 处有一个可数邻域基V x ，因为Y 是X 的子空间，则{|}V | V x Y x V Y V =⋂∈是Y 在点x 的一个可数邻域基，从而X 的子空间Y 也满足第一可数性公理.4．度量空间中任一不可数子集，必含有凝聚点。
第5章 实数复习
第5章实数复习繁华初级中学孙霞教学目标：1、能正确区分平方根、算术平方根、立方根的概念及性质。
2、知道实数的分数、实数在数轴上的对应关系，注意“数形结合”思想的利用。
3、会利用勾股定理及其逆定理解决实际问题。
知识梳理：知识结构（把本章的知识树小组讨论，评出最好的找学生讲解）专题复习：一、平方根、立方根及开方运算例1、若某数的平方根为2x+3和3x-8，求这个数。
例2、a,b为实数，且(a+b-2)2互为相反数，求a-2b的值。
二、实数的大小比较及实数例3、已知a,b为数轴上的点，求||a ba b++的值。
例40.1）例5、写出一个比-1大的负有理数是，比-1大的负无理数是。
例6、计算：（1）（2）例7、已知实数a 和b 互为相反数，实数c 和d 互为倒数，x 的倒数等于它本身，求()||cda b x x x++-的值。
三、勾股定理的应用例8、阅读以下解题过程：已知a,b,c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4，试判断△ABC 的形状。
错解：∵a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4…………………………① ∴c 2(a 2-b 2)=(a 2+b 2)(a 2-b 2)……………………… ② ∴c 2=a 2+b 2……………………………………… ③ ∴c 2=a 2+b 2……………………………………… ④ 问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ； （2）错误的原因为 ；（3）请写本题正确的解答过程及结论。
例9、正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 在AB 上，且AB=4BF 。
请你判断EF 与DE 的位置关系，并说明理由。
例10、若△ABC的三边a,b,c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，判断△ABC的形状。
课堂总结：本节课的收获是什么？跟踪练习：A组1、9的平方根是（）A、-3B、3C、±3D、812、2的平方根是（）A、4 B C、D3、-16的平方根是（）A、4B、-4C、±4D、不存在4的平方根是，算术平方根是。
2022年高中数学选择性必修第二册第五章测试卷
2022年高中数学选择性必修第二册第五章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.函数f(x)=x 2在区间[-1,2]上的平均变化率为( ) A.-1 B.1 C.2 D .32.下列导数运算正确的是( ) A.(2x )'=x ·2x-1 B.(sin xcos x+1)'=cos 2x C.(lg x)'=1xD.(x -1)'=x -23.f(x)=x(2 018+ln x),若f'(x 0)=2 019,则x 0等于( ) A.e 2 B.1 C .ln 2 D.e4.函数y=f(x)在R 上可导,且f(x)=2x 2-f'(1)·x-3,则f(1)+f'(1)=( ) A.0 B .1C.-1D.不确定5.已知函数f(x)=x 2-2cos x,则f(0), f (-13), f (23)的大小关系是( )A. f(0)< f (-13)< f (23)B. f (-13)< f(0)< f (23) C. f (23)< f (-13)< f(0) D. f(0)<f (23)< f (-13)6.函数f(x)=2x2-ln|x|的图象大致为()7.已知函数f(x)=ln x+ax,直线y=-x+3与曲线y=f(x)相切,则a=()A.1B.2C.3D.48.设函数f(x)=-x(x-a)2(x∈R),当a>3时,不等式f(-k-sinθ-1)≥f(k2-sin2θ)对任意的k∈[-1,0]恒成立,则θ的可能取值是(易错)A.-π3B.4π3C.-π2D.5π6二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.下列结论中正确的有()A.若y=sinπ3,则y'=0B.若f(x)=3x2-f'(1)x,则f'(1)=3C.若y=-√x+x,则y'=-2√x+1D.若y=sin x+cos x,则y'=cos x+sin x10.定义在区间[-12,4]上的函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是()A.函数f(x)在区间(0,4)上单调递增B.函数f(x)在区间(-12,0)上单调递减C.函数f(x)在x=1处取得极大值D.函数f(x)在x=0处取得极小值11.若实数m 的取值使函数f(x)在定义域上有两个极值点,则称函数f(x)具有“凹凸趋向性”,已知f'(x)是函数f(x)的导数,且f'(x)=mx -2ln x,当函数f(x)具有“凹凸趋向性”时,m 的取值范围的子集有( ) A.(-2e ,+∞) B.(-2e ,0)C.(-∞,-2e ) D.(-2e ,-1e) 12.已知定义在[0,π2)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且f(0)=0, f'(x)cosx+f(x)sin x<0,则下列判断正确的是(深度解析) A. f (π6)<√62f (π4) B. f (ln π3)>0C. f (π6)>√3f (π3) D. f (π4)>√2f (π3) 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答 案填在题中横线上) 13.已知f'(x 0)=m,则limΔx →0f(x 0-3Δx)-f(x 0)Δx= .14.已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时, f(x)=2x 3-3x 2+a,则f(-2)= ;曲线y=f(x)在点(-2,f(-2))处的切线方程为 .(第一空2分,第二空3分)15.已知函数f(x)=12x 2-2ax-aln x(a ∈R)在(1,2)上单调递减,则a 的取值范围是 .16.已知函数f(x)={1+lnx,x ≥1,x+12,x <1,若存在x 1≠x 2,使得f(x 1)+f(x 2)=2,则x 1+x 2的取值范围是 .深度解析四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要 的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x 2e x .(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在区间[-12,+∞)上的值域.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(a-b)x2-x-xln x.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,且f(1)=a,求a,b的值;(2)若a=1,f(x)≥0对任意x∈(0,+∞)恒成立,求b的取值范围.19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=cos x+xsin x-1.(1)若x∈(0,π),求f(x)的极值;(2)证明:当x∈[0,π]时,2sin x-xcos x≥x.20.(本小题满分12分)如图,已知A、B两个城镇相距20千米,设M是AB的中点,在AB的中垂线上有一高铁站P,P、M的距离为10千米.为方便居民出行,在线段PM上任取一点O(点O不与P、M重合)建设交通枢纽,从高铁站铺设快速路到O处,再铺设快速路分别到A、B两处.因地质条件等各种因素,其中快速路PO造价为1.5百万元/千米,快速路OA造价为1百万元/千米,快速路OB造价为2百万元/千米.设∠OAM=θ(rad),总造价为y(单位:百万元).(1)求y关于θ的函数关系式,并指出函数的定义域;(2)求总造价的最小值,并求出此时θ的值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln x+12ax2+(a+1)x.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)设函数f(x)图象上不重合的两点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1>x2).证明:k AB>f'(x1+x22)(k AB是直线AB的斜率).22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=1−x 2e x(e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的零点x0,以及曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程;(2)设方程f(x)=m(m>0)有两个实数根x1,x2,求证:|x1-x2|<2-m(1+12e).答案全解全析一、单项选择题1.B 因为f(x)=x 2,所以f(x)在区间[-1,2]上的平均变化率为f(2)-f(-1)2−(−1)=4−13=1.故选B.2.B 对于A,(2x )'=2x ln 2,A 错误;对于B,(sin xcos x+1)'=(sin x)'cos x+sin x(cos x)'=cos 2x-sin 2x=cos 2x,B 正确; 对于C,(lg x)'=1xln10,C 错误;对于D,(x -1)'=-x -2,D 错误. 故选B.3.B 由题得f'(x)=ln x+2 019, ∴f'(x 0)=ln x 0+2 019=2 019, ∴ln x 0=0,解得x 0=1.故选B.4.C 由f(x)=2x 2-f'(1)·x-3, 得f'(x)=4x-f'(1), ∴f'(1)=4-f'(1), ∴f'(1)=2, ∴f(x)=2x 2-2x-3, ∴f(1)=2-2-3=-3. ∴f(1)+f'(1)=-3+2=-1.5.A 易知f(x)=x 2-2cos x 为偶函数, ∴f (-13)=f (13),∵f'(x)=2x+2sin x,当x ∈(0,1)时, f'(x)>0,∴f(x)在(0,1)上为增函数, ∴f(0)< f (13)< f (23),∴f(0)< f (-13)< f (23).故选A. 6.A ∵f(x)=2x 2-ln|x|=f(-x), ∴函数f(x)是偶函数,∴f(x)的图象关于y 轴对称,故排除B. 当x →0时, f(x)→+∞,故排除D. 当x>0时, f(x)=2x 2-ln x, f'(x)=4x-1x=(2x -1)(2x+1)x,当x=12时, f(x)取最小值,且f (12)=12-ln 12>0,故排除C. 故选A.7.B 设切点为(x 0,y 0),由f(x)=ln x+ax,得f'(x)=1x -ax2,又直线y=-x+3与曲线y=f(x)相切,所以{ 1x 0-ax 02=−1,①y 0=−x 0+3,②y 0=ln x 0+ax 0,③由②③得-x 0+3=ln x 0+a x 0⇒ax 0=-x 0+3-ln x 0,代入①得2x 0+ln x 0-2=0.易得x 0=1,代入①得a=2. 故选B.8.D 由f(x)=-x(x-a)2,得f'(x)=-(3x-a)·(x-a),令f'(x)=0,得x=a3或x=a,当a>3时,a3<a,所以f(x)在(-∞,a 3],[a,+∞)上单调递减,在(a3,a)上单调递增,又当a>3时,a3>1,所以f(x)在(-∞,1]上为减函数,又k ∈[-1,0],sin θ∈[-1,1],所以-2≤-k-sin θ-1≤1,-1≤k 2-sin 2θ≤1,由不等式f(-k-sin θ-1)≥f(k 2-sin 2θ)对任意的k ∈[-1,0]恒成立,得sin 2θ-sin θ-1≤k 2+k=(k +12)2-14对任意的k ∈[-1,0]恒成立,所以sin 2θ-sin θ-1≤-14恒成立,解得-12≤sin θ≤32,即-12≤sin θ≤1,结合选项知,θ的可能取值是5π6.故选D.易错警示 利用单调性解决相关应用问题时,要注意单调区间的判定,当自变量都在同一个单调区间内才能利用相应的单调性,解题时防止漏证导致解题错误. 二、多项选择题9.ABC 选项A 中,若y=sin π3=√32,则y'=0,故A 正确;选项B 中,若f(x)=3x 2-f'(1)·x,则f'(x)=6x-f'(1),令x=1,则f'(1)=6-f'(1),解得 f'(1)=3,故B 正确;选项C 中,若y=-√x +x,则y'=-2√x+1,故C 正确;选项D 中,若y=sinx+cos x,则y'=cos x-sin x,故D 错误.故选ABC.10.ABD 由y=f'(x)的图象知,当-12<x<0时, f'(x)<0;当0<x<4时, f'(x)>0,因此f(x)在(-12,0)上单调递减,在(0,4)上单调递增,故A 、B 正确.f(x)在x=1附近单调递增,在x=1处不取极大值,故C 错误.由f(x)在(-12,0)上单调递减,在(0,4)上单调递增,得f(x)在x=0处取得极小值,故D 正确.故选ABD.11.BD 依题意得f'(x)=mx -2ln x=m -2xlnxx(x>0),若函数f(x)具有“凹凸趋向性”,则m=2xln x 在(0,+∞)上有2个不同的实数根,令g(x)=2xln x,则g'(x)=2(1+ln x), 令g'(x)>0,解得x>1e;令g'(x)<0,解得0<x<1e,∴g(x)在(0,1e )上单调递减,在(1e,+∞)上单调递增,故g(x)的最小值是g (1e )=-2e ,当x →0时,g(x)→0,故-2e <m<0,故选BD.12.CD 令g(x)=f(x)cosx ,x ∈[0,π2), 则g'(x)=f'(x)cosx+f(x)sinxcos 2x,因为f'(x)cos x+f(x)sin x<0, 所以g'(x)=f'(x)cosx+f(x)sinxcos 2x <0在[0,π2)上恒成立,因此函数g(x)=f(x)cosx在[0,π2)上单调递减,因此g (π6)>g (π4),即f(π6)cosπ6>f(π4)cosπ4,即f (π6)>√62f (π4),故A 错误;又f(0)=0,所以g(0)=f(0)cos0=0,所以g(x)=f(x)cosx ≤0在[0,π2)上恒成立,因为ln π3∈[0,π2),所以f (ln π3)<0,故B 错误;又g (π6)>g (π3),所以f(π6)cosπ6>f(π3)cosπ3,即f (π6)>√3f (π3),故C 正确;又g (π4)>g (π3),所以f(π4)cosπ4>f(π3)cosπ3,即f (π4)>√2f (π3),故D 正确.故选CD. 易错警示 本题通过构造函数,利用函数的单调性比较大小.构造函数时,利用含导函数的不等式分析其运算结构,结合求导法则构造函数.平时要积累构造函数的方法. 三、填空题 13.答案 -3m 解析 ∵f'(x 0)=m,∴原式=-3limΔx →0f(x 0-3Δx)-f(x 0)-3Δx=-3f'(x 0)=-3m.14.答案 -4;12x-y+20=0解析 由f(x)是定义在R 上的奇函数知,f(0)=a=0,∴f(x)=2x 3-3x 2, ∴当x<0时,-x>0, ∴f(-x)=-2x 3-3x 2, 又f(-x)=-f(x),∴f(x)=2x 3+3x 2,∴f'(x)=6x 2+6x. ∴f(-2)=-4, f'(-2)=12.∴f(x)在(-2, f(-2))处的切线方程为y+4=12(x+2), 即12x-y+20=0. 15.答案 [45,+∞)解析 因为函数f(x)=12x 2-2ax-aln x(a ∈R)在(1,2)上单调递减,所以f'(x)=x-2a-a x=x 2-2ax -ax≤0在(1,2)上恒成立,即a ≥x 22x+1在x ∈(1,2)上恒成立.利用导数易知函数y=x 22x+1在(1,2)上是增函数,所以x 22x+1<222×2+1=45,故a ≥45.16.答案 [3-2ln 2,+∞)解析 因为x 1≠x 2,所以不妨设x 1<x 2.当x ≥1时,f(x)=1+ln x ≥1,当x<1时, f(x)=x+12<1,根据f(x 1)+f(x 2)=2可知x 1<1<x 2,所以f(x 1)=x 1+12,f(x 2)=1+ln x 2,所以f(x 1)+f(x 2)=x 1+12+1+ln x 2=2,故x 1=1-2ln x 2,所以x 1+x 2=x 2-2ln x 2+1,x 2>1.记g(x 2)=x 2-2ln x 2+1(x 2>1),则g'(x 2)=x 2-2x 2,于是易得g(x 2)在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以g(x 2)≥g(2)=3-2ln 2,又当x 2→+∞时,g(x 2)→+∞,所以g(x 2)的值域是[3-2ln 2,+∞).所以x 1+x 2的取值范围是[3-2ln 2,+∞).解题模板 分段函数问题要明确自变量的取值范围,选择函数解析式,找到x 1、x 2的关系.进而构造函数,利用导数解决函数的值域,从而得到取值范围. 四、解答题17.解析 (1)由题意得, f'(x)=x(2-x)e x,(2分)令f'(x)>0,得0<x<2,令f'(x)<0,得x>2或x<0,(4分)故函数f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(-∞,0),(2,+∞).(5分)(2)易知f(0)=0, f(2)=4e 2,f (-12)=√e 4,因为f(2)-f (-12)=4e 2-√e 4=16−e 2√e 4e 2>16−2e 24e 2=8−e 22e 2=(2√2+e)(2√2-e)2e 2>0,(8分)所以f(2)>f (-12).或由f(2)=4e 2>49, f (-12)=√e 4<√34,49>√34可得f(2)>f (-12) 又当x>0时, f(x)=x 2e x >0,所以函数f(x)在区间[-12,+∞)上的值域为[0,4e2].(10分)18.解析 (1)由f(x)=(a-b)x 2-x-xln x,得f'(x)=2(a-b)x-ln x-2,(2分) 由{f(1)=a -b -1=a,f'(1)=2(a -b)-2=0, 得{a =0,b =−1.(4分) (2)因为a=1,所以f(x)=(1-b)x 2-x-xln x.(5分)f(x)≥0对任意x ∈(0,+∞)恒成立等价于b ≤1-1x -lnx x对任意x ∈(0,+∞)恒成立,(6分) 令g(x)=1-1x -lnx x,则g'(x)=lnx x 2.(8分)当x ∈(0,1)时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调递减,(9分) 当x ∈(1,+∞)时,g'(x)>0,所以g(x)在(1,+∞)上单调递增,(10分) 所以g(x)min =g(1)=0, 所以b ∈(-∞,0].(12分)19.解析 (1)∵f(x)=cos x+xsin x-1, ∴f'(x)=xcos x,(2分) 当x ∈(0,π2)时, f'(x)>0;当x ∈(π2,π)时, f'(x)<0,当x 发生变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:x (0,π2)π2(π2,π) f'(x) + 0 - f(x)↗极大值↘因此,当x=π2时, f(x)有极大值,并且极大值为f(x)极大值=f (π2)=π2-1 ,没有极小值.(6分)(2)证明:令g(x)=2sin x-xcos x-x,则g'(x)=cos x+xsin x-1=f(x),由(1)知f(x)在(0,π2)上单调递增,在(π2,π)上单调递减.(8分)又f(0)=0, f (π2)=π2-1>0, f(π)=-2<0, 所以f(x)在(0,π)上存在唯一零点,设为x 0.则g'(x 0)=f(x 0)=0,(9分) 当x ∈(0,x 0)时,g'(x)>0;当x ∈(x 0,π)时,g'(x)<0,所以g(x)在区间(0,x 0)上单调递增,在区间(x 0,π)上单调递减, 又g(0)=0,g(π)=0,所以当x ∈[0,π]时,g(x)≥0,(11分) 故2sin x-xcos x ≥x.(12分)20.解析 (1)∵∠OAM=θ,PM ⊥AB,M 为AB 的中点, ∴OA=OB=10cosθ,OM=10tan θ,OP=10-10tan θ,(2分) ∴y=10cosθ×1+10cosθ×2+(10-10tan θ)×1.5=30cosθ-15tan θ+15=15(2cosθ-tanθ)+15(0<θ<π4).(5分)(2)设f(θ)=2cosθ-tan θ=2−sinθcosθ(0<θ<π4),则f'(θ)=-cos 2θ+sinθ(2-sinθ)cos 2θ=2sinθ-1cos 2θ.(7分)令f'(θ)=0,得sin θ=12, 又0<θ<π4,∴θ=π6.(8分)当0<θ<π6时,sin θ<12, f'(θ)<0, f(θ)单调递减;(9分)当π6<θ<π4时,sin θ>12, f'(θ)>0, f(θ)单调递增.(10分)∴f(θ)的最小值为f (π6)=√3,此时总造价最小.(11分)∴当θ=π6时,总造价最小,最小值为(15√3+15)百万元.(12分)21.解析 (1)由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞), 且f'(x)=1x +ax+(a+1)=ax 2+(a+1)x+1x=(ax+1)(x+1)x.(2分)①当a ≥0时, f'(x)=1x+ax+(a+1)>0,此时f(x)在(0,+∞)上单调递增.(3分)②当a<0时,令f'(x)=0,得x=-1a或x=-1(舍),-1a>0,由f'(x)>0得0<x<-1a,由f'(x)<0得x>-1a,所以f(x)在(0,−1a )上单调递增,在(-1a ,+∞)上单调递减.(4分)综上,当a ≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,函数f(x)在(0,−1a )上单调递增,在(-1a ,+∞)上单调递减.(5分)(2)证明:由题意得f(x 1)=ln x 1+12a x 12+(a+1)x 1, f(x 2)=ln x 2+12a x 22+(a+1)x 2,所以k AB =f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2=ln x 1+12ax 12+(a+1)x 1-[ln x 2+12ax 22+(a+1)x 2]x 1-x 2=ln x 1-ln x 2x 1-x 2+a(x 1+x 2)2+(a+1),(7分)又f'(x 1+x 22)=2x1+x 2+a(x 1+x 2)2+(a+1),(8分)所以要证k AB >f'(x 1+x 22)成立,只需证ln x 1-ln x 2x 1-x 2>2x 1+x 2成立,即证ln x 1x 2>2(x 1-x 2)x 1+x 2=2(x 1x 2-1)x 1x 2+1成立.(9分)令x 1x 2=t(t>1),即证当t ∈(1,+∞)时,ln t>2(t -1)t+1成立.(10分)设g(t)=ln t-2(t -1)t+1(t>1),则g'(t)=1t -4(t+1)2=(t -1)2t(t+1)2>0(t>1),所以函数g(t)在(1,+∞)上是单调递增函数,(11分) 所以∀t ∈(1,+∞),都有g(t)>g(1)=0,即∀t ∈(1,+∞),都有ln t>2(t -1)t+1,所以k AB >f'(x 1+x 22).(12分)22.解析 (1)由f(x)=1−x 2e x=0,得x=±1,∴函数f(x)的零点x 0=±1. 易得f'(x)=x 2-2x -1e x, f'(-1)=2e, f(-1)=0,∴曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为y=2e(x+1). f'(1)=-2e , f(1)=0,∴曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=-2e(x-1).(5分)(2)证明:由(1)知f'(x)=x 2-2x -1e x.令f'(x)=0,得x=1±√2.当x ∈(-∞,1-√2)∪(1+√2,+∞)时,f'(x)>0;当x ∈(1-√2,1+√2)时, f'(x)<0. ∴f(x)的单调递增区间为(-∞,1-√2),(1+√2,+∞),单调递减区间为(1-√2,1+√2).由(1)知,当x<-1或x>1时, f(x)<0; 当-1<x<1时, f(x)>0.(7分)下面证明:当x ∈(-1,1)时,2e(x+1)>f(x). 当x ∈(-1,1)时, 2e(x+1)>f(x)⇔2e(x+1)+x 2-1e x>0⇔e x+1+x -12>0.易知,g(x)=e x+1+x -12在x ∈(-1,1)上单调递增,∴g(x)>g(-1)=0对任意x ∈(-1,1)恒成立, ∴当x ∈(-1,1)时,2e(x+1)>f(x).(9分) 由{y =2e(x +1),y =m,得x=m 2e -1.记x'1=m2e -1.不妨设x 1<x 2,则-1<x 1<1-√2<x 2<1, ∴|x 1-x 2|<|x'1-x 2|=x 2-x'1=x 2-(m2e -1).(10分)要证|x 1-x 2|<2-m (1+12e),只需证x 2-(m 2e -1)≤2-m (1+12e ),即证x 2≤1-m. 又∵m=1−x 22e x 2,∴只需证x 2≤1-1−x 22e x 2,即(x 2-1)·[e x 2-(x 2+1)]≤0.∵x 2∈(1-√2,1),∴x 2-1<0,∴只需证e x 2-(x 2+1)≥0. 令φ(x)=e x -(x+1),则φ'(x)=e x -1.当x ∈(1-√2,0)时,φ'(x)<0,φ(x)为单调递减函数; 当x ∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)为单调递增函数. ∴φ(x)≥φ(0)=0,∴e x 2-(x 2+1)≥0, ∴|x 1-x 2|<2-m (1+12e).(12分)。
湘教版八年级上第5章《二次根式》单元练习试卷及答案
湖南省澧县张公庙镇中学2022-2023湘教版八年级数学上册第5章《二次根式》单元练习试卷一．选择题（共8小题）1．下列各式中，不是二次根式的是（）A． B． C． D．2．要使二次根式有意义，x必须满足（）A．x≤2 B．x≥2 C．x＞2 D．x＜23．若代数式+有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠14．当1＜a＜2时，代数式+|1﹣a|的值是（）A．﹣1 B．1 C．2a﹣3 D．3﹣2a5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．6．下列各根式中与是同类二次根式的是（）A． B． C．﹣1 D．7．下列等式不一定成立的是（）A．=（b≠0） B．a3•a﹣5=（a≠0）C．a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）D．（﹣2a3）2=4a68．下列计算正确的是（）A． B．C． D．二．填空题（共10小题）9．若a≥1，则的最小值是．10．若是二次根式，则字母x满足的条件是．11．式子有意义的x的取值范围是．12．已知a＜0，化简二次根式的结果是．13．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为．14．三角形的三边长分别为3、m、5，化简 -=．15．在、、、、中，最简二次根式是．16．观察分析下列数据：0，﹣，，﹣3，﹣2，﹣，3，…，根据数据排列得到第10个数据应是（结果化为最简二次根式）17．已知最简二次根式与2可以合并，则a的值是．18．在二次根式，，中，同类二次根式是．三．解答题（共5小题）19．计算：（1）；（2）；20．计算或化简：（1）﹣（2）．21．数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：．22．计算：（1）．（2）．23．计算：（1）（﹣）÷+．（2）．湖南省澧县张公庙镇中学2022-2023湘教版八年级数学上册第5章《二次根式》单元练习试卷参考答案：一．选择题（共8小题）1．B 2．B 3．D 4．B5．D 6．B 7．A 8．B二．填空题（共10小题）9．10．x ≥- 11．x ≥-且x ≠1 12．-a 13．-2a 14．2m-1015．、 16．-3 17．2 18．，三．解答题（共5小题）19．（1）1122-（2632-20. （1）1642-（2）1421. 2-22. （1）626- （2）1323. （1）42（2）6182-。
青岛版八年级数学上册第5章测试题及答案
青岛版八年级数学上册第5章测试题及答案5.1 定义与命题一、选择题1. 下列各数，可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是（）A. 5B. 2C. 4D. 82. 下列语句是命题的是（）A. 作直线AB的垂线B. 在线段AB上取点CC. 同旁内角互补D. 垂线段最短吗？3. 下列命题是假命题的是（）A. 一个锐角的补角大于这个角B. 凡是能被2整除的数，末位数字必是偶数C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补D. 相反数等于它本身的数是04. 有下列五个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③垂线段最短；④带根号的数都是无理数；⑤一个非负实数的绝对值是它本身．其中真命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 有下列三个命题：（1）两点之间线段最短；（2）平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直；（3）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题6. 把命题“平行于同一直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式：____________．7. 命题“若ab=0，则a=0”是______命题（填“真”或“假”），若是假命题，请举一个反例，如_________．8. 将命题“等角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式是___________．三、解答题9. 请判断下列命题的真假性，若是假命题请举反例说明．（1）若a>b，则a2>b2；（2）两个无理数的和仍是无理数；（3）若三角形的三边a，b，c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，则三角形是等边三角形；（4）若三条线段a，b，c满足a+b>c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形．答案一、1. B 【分析】A. ∵5不是偶数，且也不是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故不符合题意；B. ∵2不是4的倍数，∴可以用来说明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例是2，故符合题意；C. ∵4是偶数，且是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故不符合题意；D. ∵8是偶数，且也是4的倍数，∴不能作为假命题的反例，故不符合题意. 故选B.2. C 【分析】A. 作直线AB的垂线为描叙性语言，不是命题，故不符合题意；B. 在线段AB上取点C为描叙性语言，不是命题，故不符合题意；C. 同旁内角互补为命题，故符合题意；D. 垂线段最短吗为疑问句，不是命题，故不符合题意. 故选C.3. C 【分析】A. 一个锐角的补角大于这个角是真命题，不符合题意；B. 凡是能被2整除的数，末尾数字必是偶数是真命题，不符合题意；C. 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补是假命题，符合题意；D、相反数等于他本身的数是0是真命题，不符合题意. 故选C.4. C 【分析】①对顶角相等，是真命题；②两直线平行，内错角相等，故②是假命题；③垂线段最短，是真命题；④带根号的数不一定是无理数，如4等，故④是假命题；⑤一个非负实数的绝对值是它本身，是真命题．故真命题的个数是3．故选C．5. D 【分析】（1）两点之间线段最短是真命题；（2）平面内，过一点能且只能作一条直线与已知直线垂直是真命题；（3）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，正确，是真命题．故选D．二、6. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行7. 假；a=1，b=08. 如果两个角相等，那么它们的余角相等三、9. 解：（1）若a>b，则a2>b2，假命题，如0>-1，但02<（-1）2．（2）两个无理数的和仍是无理数，假命题，如-+=0，和是有理数．（3）若三角形的三边a，b，c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，则三角形是等边三角形，假命题，如当a=b，b≠c时，（a-b）（b-c）（c-a）=0，三角形是等腰三角形．（4）若三条线段a，b，c满足a+b>c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形，假命题，如三条线段a=3，b=2，c=1满足a+b>c，但这三条线段不能够组成三角形．5.2 为什么要证明一、选择题1. 在上完数学课后，王磊发现操场上的旗杆与旁边一棵大树的影子好像平行，但他不敢肯定，此时他最好的办法是（）A. 找来三角板、直尺，通过平移三角板来验证影子是否平行B. 相信自己，两个影子就是平行的C. 构造几何模型，用已学过的知识证明D. 作一直线截两影子，并用量角器测出同位角的度数，若相等则影子平行2. 若P（P≥5）是一个质数而且P2-1除以24没有余数，则这种情况（）A. 绝不可能B. 只是有时可能C. 总是可能D. 只有当P=5时可能3. 小明和小华在手工制作课上用铁丝制作楼梯模型，如图，那么他们两个人用的铁丝（）（第3题图）A. 小华用的多B. 小明用的多C. 两人用的一样多D. 不能确定谁用的多二、解答题4. 在如图的方格纸中，每一格小正方形的边长均为1，小莉画出一个等腰直角三角形ABC，她画得对吗？请你设法验证一下，并与同伴交流各自的方法．（第4题图）5. 先观察再验证：（如图）（1）图（1）中黑色的边是直的还是弯曲的？（2）图（2）中两条线a与b哪一条更长？（3）图（3）中的直线AB与直线CD平行吗？（第5题图）6. 如果|a|=3，|b|=5，那么|a+b|=8吗？为什么？7. 已知n为正整数，你能肯定2n+4 -2n一定是30的倍数吗？8. 当n为整数时，（n+1）2 -（n-1）2的值一定是4的倍数吗？9. 观察下列等式：12×231=132×21；13×341=143×31，23×352=253×32；34×473=374×43，62×286=682×26；…根据上述等式填空：①52×= ×25；②×396=693×．10. 用同样大小的黑色棋子按如图的规律摆放：（1）第5个图形有多少颗黑色棋子？（2）第几个图形有2 016颗黑色棋子？请说明理由．（第10题图）11. 如图，A，B，C，D，E五人围坐在圆桌旁，为A祝贺生日，小华问他们当时的座位．A说：“我在B的旁边．”B说：“我的左边不是C就是D．”C说：“我在D的旁边．”D说：“不，C在B的右边是错的．”只有E作了如实回答：“除B说正确之外，A，C，D都说错了．”你能确定他们的位置吗？（第11题图）12. 王慧同学不但会学习，而且也很会安排时间干好家务活，煲饭、炒菜、擦窗等样样都行，是爸爸妈妈的好帮手，某一天放学回家后，她完成各项家务活及所需时间如表：王慧同学完成以上各项家务活，至少需要分钟．（注：各项工作转接时间忽略不计）答案一、1. D 【分析】A. 平移三角板，实际不容易操作，比较麻烦，并且不很准确，故此选项不符合题意；B. 没有理论依据，故此选项不符合题意；C. 没有具体的操作方法，故此选项不符合题意；D. 根据同位角相等，两直线平行得出方法正确，并且操作简便，故此选项符合题意. 故选D．2. C 【分析】∵P（P≥5）是一个质数，∴P是奇数．设P=2a+1（a=1，2，3）∴p2-1=（2a+1）2-1=4a2+4a=4a（a+1）．∵a，a+1一定有一个可以被2整除，∴p2-1是8的倍数．∵P（P≥5）是一个质数，∴P不是3的倍数，∴P=3b+1或P=3b+2（b=1，2，3…），∴p2-1=（p+1）（p-1）．当p=3b+1时，p﹣-1是3的倍数．同样当p=3b+2时，p+1是3的倍数．∴p2-1也是3的倍数，∴p2-1是24的倍数，∴P2-1除以24没有余数．故选C．3. C 【分析】因为经过平移两个图形可变为两个边长相等长方形，所以两人用的一样多．故选C．二、4. 解：她画得对．由题图知，AC2=32+12=10，BC=32+12=10，AB2=22+42=20．∵10+10=20，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴△ACB是等腰直角三角形．5. 解：观察可能得出的结论是（1）中的实线是弯曲的；（2）a更长一些；（3）AB与CD不平行．用科学的方法验证可发现：（1）中的实线是直的；（2）a与b一样长；（3）AB与CD平行．6. 解：如果|a|=3，|b|=5，那么|a+b|=8不一定成立．例如，|-3|=3，|5|=5，但是|-3+5|=2．7. 解：2n+4 -2n=2n（24-1）=15×2n．由n为正整数，得2n为2的倍数，则15×2n为30的倍数，即2n+4 -2n一定是30的倍数．8. 解：因为（n+1）2 -（n-1）2=[（n+1）+（n-1）][（n+1）-（n-1）]=4n，所以当n为整数时，（n+1）2 -（n-1）2的值一定是4的倍数．9. 解：①∵5+2=7，∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，∴52×275=572×25．②∵右边的三位数是369，∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，63×396=693×36．10. 解：第1个图形有棋子6颗，第2个图形有棋子9颗，第3个图形有棋子12颗，第4个图形有棋子15颗，第5个图形有棋子18颗，…，第n个图形有棋子3（n+1）颗．（1）第5个图形有18颗黑色棋子．（2）第n个图形有棋子3（n+1）颗．设第n个图形有2 016颗黑色棋子，则3（n+1）=2 016，解得n=671．所以第671个图形有2016颗黑色棋子．11. 解：如答图，有两种可能．（第11题答图）12. 解：因为用煲饭的三十分钟可同时完成擦窗、洗菜、炒菜，所以王慧同学完成以上五项家务活，至少需要3+30=33（分）．5.3 什么是几何证明一、填空题1．证明几何命题时，表述要按照一定的格式，一般为：（1）按题意________；（2）分清命题的________，结合图形，在“已知”中写出______，在“求证”中写出______；（3）在“证明”中写出______．2. 已知：如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．求证：OE平分∠BOC．（第2题图）证明：∵OD平分∠AOC（已知），∴= （）．∵∠DOE=90°（已知），∴+ =90°（等量代换）．∴∠1 +∠4=180°-90°=90°（）．∴= （）．∴OE平分∠BOC（）．3. 已知：如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，∠BOC=70°，∠AOC=50°．求证：∠DOE 与∠AOB 互补．（第3题图）证明：∵OD 平分∠BOC （已知），OE 平分∠AOC ，∴∠DOC =21∠BOC ，∠COE =21∠AOC （ ）． ∵∠BOC =70°，∠AOC =50°，∴∠DOC =21×70°=35°，∠COE =21×50°=25°（ ）， ∠AOB =∠BOC +∠AOC = 70°+50°=120°（ ）．∵∠DOE =∠DOC +∠COE = 35°+25°=60°（角的和的定义），∴∠DOE +∠AOB =60°+120°=180°（ ），∴∠DOE 与∠AOB 互补（ ）．4. 已知：如图，△ABC ≌△C B A '''，AD 和D A ''分别是BC 和C B ''上的中线．求证：AD=D A ''．（第4题图） 证明：∵△ABC ≌△C B A '''，AD 和D A ''分别是BC 和C B ''上的中线（已知），∴AB=B A ''，∠B =∠B '，BC=C B ''（ ）．∵AD 和D A ''分别是BC 和C B ''上的中线（已知），∴BD=21BC ，D B ''=21C B ''（ ）． ∴BD=D B ''（ ）．在△ABD 和△D B A '''中，⎪⎩⎪⎨⎧''='∠=∠''=，，，D B BD B B B A AB∴△ABD ≌△D B A '''（ ），∴AD=D A ''（ ）．二、解答题5. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠ACB ，CD ⊥AB ，垂足为D ．求证：∠A =2∠BCD ．（第5题图）6. 如图，C 为线段AD 上一点，B 为线段CD 的中点，且AD =8 cm ，BD =2 cm ．求证：C 为线段AD 的中点．（第6题图）7. 如图，B ，C 两点把线段AD 分成2：5：3的三部分（即AB ：BC ：CD =2：5：3），M 为线段AD 的中点．求证：AB =CM ．（第7题图）8. 已知：如图，C 为线段AB 上一点，D 在线段AC 上，且AD =32AC ，E 为BC 的中点． 求证：AB +BD =4DE ．（第8题图）9. 如图，∠2 是∠1的4倍，∠2 的补角比∠1的余角大45°，∠AOD =90°．求证：OC 平分∠AOB ．（第9题图）答案一、1．画出图形，条件和结论，条件，结论，推理的依据2．∠1，∠2，角平分线的定义，∠2+∠3，平角的定义，∠3，∠4，等量代换，角平分线的定义3. 角平分线的定义，等量代换，角的和的定义，等量代换，补角的定义4. 全等三角形的对应边相等，对应角相等，中线的定义，等量代换，SAS ，全等三角形的对应边相等 二、5. 证明：设∠BCD=α．∵CD ⊥AB （已知），∴∠BDC = 90°（垂直的定义），∴∠BCD+∠B = 90°（垂直的定义），∴ 2α+2∠B = 180°（等量代换）．∵∠B =∠ACB （已知），∴∠A+2∠B = 180°（等量代换）．∴∠A =2α（同角的余角相等），即∠A =2∠BCD （等量代换）．6. 证明：∵B 为线段CD 的中点（已知），∴CD=2BD （中点的定义）．∵BD =2 cm （已知），∴CD=4 cm （等量代换）．又∵AC=AD - CD （线段的和的定义），且AD =8 cm （已知），∴AC=8- 4=4（cm ） （等量代换）．∴C 为线段AD 的中点（中点的定义）．7. 证明：设AB =2x ，BC =5x ，CD =3x ，则AD =10x （线段的和的定义）．∵M 为线段AD 的中点（已知），∴AM = DM =21AD=5x （中点的定义）， ∴AM =BC （等量代换），即AB +BM =BM +CM （等量代换），∴AB =CM （等式的基本性质）．8. 证明：∵AB =AC +BC ，BD =BC +CD （已知）， ∴AB+BD =AC +BC +BC +CD （等式的基本性质）． ∵AD =32AC （已知）， ∴AC=3CD （等式的基本性质）． ∵E 为BC 的中点（已知）， ∴BC=2CE （中点的定义）．∴AB+BD =3CD +2CE +2CE +CD=4CD +4CE=4（CD +CE ）=4DE （等量代换）． 9. 证明：∵∠2 是∠1的4倍，∠2 的补角比∠1的余角大45°（已知）， ∴∠2=4∠1，180°-∠2-45°=90°-∠1（余角、补角的定义）， ∴180°-4∠1-45°=90°-∠1（等量代换）． ∴∠1=15°，∠2=60°（等式的基本性质）． 又∵∠AOD =90°（已知），∴∠AOB =90°-60°=30°（角的和的定义）， ∴∠BOC =30°-15°=15°（角的和的定义）． ∴∠BOC =∠AOC （等量代换）． ∴OC 平分∠AOB （角平分线的定义）．5.4 平行线的性质定理和判定定理一、选择题1．如图，若AB ∥CD ，AE 平分∠CAB ，且交CD 于点D ，∠C =110°，则∠EAB 为（ ）（第1题图）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°2．如图，△ABC 的三个顶点分别在直线a ，b 上，且a ∥b ，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是（ ）（第2题图）A．40°B．60°C．80°D．120°3．如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，那么这两个角（）A．相等B．相等且互补C．互补D．相等或互补4．如图，直线a，b被直线c所截，下列说法正确的是（）（第4题图）A．当∠1=∠2时，一定有a∥b B．当a∥b时，一定有∠1=∠2C．当a∥b时，一定有∠1+∠2=90°D．当∠1+∠2=180°时，一定有a∥b二、填空题5．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为_______．（第5题图）（第6题图）6．如图，AB∥CD，∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是_______．7．如图，在△ABC中，DE∥BC，∠A=45°，∠C=70°，则∠ADE=_______．（第7题图）（第8题图）8．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=_______．9．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为_______°．（第9题图）三、解答题10．（1）判断下列推理过程是否正确，如有错误请予改正：如图①．∵∠B=70°（已知），∠CFE=70°（已知），∴∠B=∠CFE（同位角相等）．∴AB∥CF（两直线平行）．∴∠BAF=∠CF A（内错角相等）．①②（第10题图）（2）请把下列证明过程补充完整：已知：如图②，DE∥BC，BE平分∠ABC．求证：∠1=∠3．证明：∵BE平分∠ABC（已知），∴∠1=_______（______________）．又∵DE∥BC（已知），∴∠2=_______ （______________）．∴∠1=∠3（________________）．11．如图，AD∥BC，∠B=∠C．求证：AD平分∠EAC．（第11题图）12．（1）如图，直线c，d分别被直线a，b所截，且∠3+∠4=180°，求证：∠2+∠5=180°．（2）在（1）的证明过程中，你运用了哪两个互为逆命题的真命题？（第12题图）13．如图，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，∠E=140°，求∠BFD的度数．（第13题图）答案一、1．B 2．A 3．D 4．D二、5．50°6．70°7．65°8．115°9．70三、10．解：（1）“同位角相等”改为“等量代换”；“两直线平行”改为“同位角相等，两直线平行”；“内错角相等”改为“两直线平行，内错角相等”．（2）∠2；角平分线的定义；∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换．11．证明：因为AD∥BC，所以∠EAD=∠B，∠CAD=∠C．又因为∠B=∠C，所以∠EAD=∠CAD，所以AD平分∠EAC．12．（1）证明：因为∠3+∠4=180°，所以c∥d，所以∠1+∠2=180°．又因为∠1=∠5，所以∠2+∠5=180°．（2）运用了“同旁内角互补，两直线平行”和“两直线平行，同旁内角互补”两个互为逆命题的真命题．13．解：如答图，过点G 作EG ∥AB ， 则∠ABE +∠BEG =180°，∠GED +∠CDE =180°． 所以∠ABE +∠BEG +∠GED +∠CDE =360°， 即∠ABE +∠E +∠CDE =360°．因为∠E =140°，所以∠ABE +∠CDE =220°． 因为∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于点F ， 所以∠FBE +∠FDE =21（∠ABE +∠CDE ）=110°． 又因为∠FBE +∠FDE +∠E +∠BFD=360°， 所以∠BFD =110°．（第13题答图）5.5 三角形内角和定理一、选择题1. 如图，在△ABC 中，∠C =70°，若沿图中的虚线截去∠C ，则∠1+∠2 =（ ）（第1题图）A. 360°B. 250°C. 180°D. 140° 2. 三个内角之比是1：5：6的三角形是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形3. 如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果∠2=80°，那么∠1的度数为（ ）A. 60°B. 50°C. 40°D. 30°（第3题图）（第4题图）4. 如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（）A. 70°B. 60°C. 50°D. 40°5. 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于（）A. 90 °B. 180°C. 360°D. 270°（第5题图）（第6题图）6. 如图，O是△ABC内一点，∠A=80°，∠1=15°，∠2=40°，则∠BOC等于（）A. 95°B. 120°C. 135°D. 无法确定7. P是△ABC内一点，连接BP并延长交AC于D，连接PC，则图中∠1，∠2，∠A 的大小关系是（）A. ∠A>∠2>∠1B. ∠A>∠2>∠1C. ∠2>∠1>∠AD. ∠1>∠2>∠A（第7题图）（第8题图）8. 如图，△ABC的角平分线BO，CO相交于点O，∠A=120°，则∠BOC=（）A. 150°B. 140°C. 130°D. 120°9. 在△ABC中，若∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于（）A. 40°B. 60°C. 80°D. 90°10. 在不等边三角形中，最小的角可以是（）A. 80°B. 65°C. 60°D. 59°11. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A. 40°B. 35°C. 30°D. 25°（第11题图）（第12题图）12. AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE的度数为（）A. 20°B. 18°C. 38°D. 40°二、解答题13. 如图，在△ABC中，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B=60°，求∠C，∠DAE的度数．（第13题图）14. 在△ABC中，AD⊥BC，BE平分∠ABC交AD于F，∠ABE=23°．求∠AFE的度数．（第14题图）15. 在△ABC中，∠A=50°．（1）如图①，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC= °；（2）如图②，∠ABC，∠ACB的三等分线分别对应交于O1，O2，则∠BO2C= °；（3）如图③，∠ABC，∠ACB的n等分线分别对应交于O1，O2，…，O n -1（内部有n-1个点），求∠BO n -1C （用n的代数式表示）；（4）如图③，已知∠ABC，∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…O n﹣1，若∠BO n -1C=60°，求n的值．（第15题图）答案一、1. B 【分析】如答图. ∵∠C=70°，∴∠CEF+∠CFE=180°-∠C=110°. ∵∠1+∠CEF= 180°，∠2+∠CFE=180°，∴∠1+∠2=180°+180°-（∠CEF+∠CFE）=360°-110°=250°. 故选B.（第1题答图）2. B 【分析】∵该三角形的三个内角度数之比为1：5：6，∴该三角形最大的内角度数为：180°×=90°，∴该三角形是直角三角形．故选B．3. B 【分析】根据平行线的性质，得∠2=∠1+30°，所以∠1=50°．故选B．4. C 【分析】∵BC⊥AE，∴∠BCE=90°．∵CD∥AB，∴∠DCB=∠B=40°，∴∠ECD=∠BCE -∠DCB=90°-40°=50°．故选C．5. B 【分析】连接CD. 根据三角形的内角和定理，得∠A+∠B=∠BDC+∠ACD，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠BDC+∠ACD+∠C+∠D+∠E=∠EDC+∠ECD+∠E=180°．故选B．6. C 【分析】由∠A=80°，得∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°. 由∠1=15°，∠2=40°，得∠OBC+∠OCB=100°-15°-40°=45°，所以∠BOC=180°-45°=135°．故选C．7. D 【分析】根据三角形外角的性质，得∠1=∠2+∠DCP，∠2=∠A+∠ABD，则∠1>∠2> ∠A．故选D．8. A 【分析】∵∠BAC=120°，∴∠ABC+∠ACB=60°．∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点，∴∠OBC+∠OCB=30°，∴∠BOC=150°．故选A．9. A 【分析】由题意知，∠B=2∠A，∠C-∠A=20°，∠A+∠B+∠C=180°，解得∠B=80°，∠A=40°，∠C=60°．故选A．10. D 【分析】在不等边三角形中，最小的角要小于60°，否则三内角的和大于180°．故选D．11. A 【分析】∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠B=90°-25°=65°．∵△CDB′由△CDB反折而成，∴∠CB′D=∠B=65°．∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′=∠CB′D- ∠A=65°-25°=40°．故选A．12. A 【分析】∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAD=14°，∠CAD=54°，∴∠BAE=∠BAC=×68°=34°，∴∠DAE=34°-14°=20°．故选A．二、13. 解：∵在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=60°，∴∠C=180°-80°-60°=40°.∵AD⊥BC于D，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°-∠ADC -∠C=180°-90°-40°=50°.又∵AE平分∠DAC，∴∠DAE=∠DAC=25°.14. 解：∵在△ABC中，由AD⊥BC，∴∠BDF=90°.∵BE平分∠ABC交AD于F，∠ABE=23°，∴∠DBF=∠ABE=23°，∴∠BFD=180°-90°-23°=67°，∴∠AFE=∠BFD=67°.15. 解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-50°=130°．∵BO，CO是∠ABC，∠ACB的两条平分线，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB．∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=65°．∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=115°．（2）∵点O2是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点，∴∠O2BC+∠O2CB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=（）°，∴∠BO2C=180°-（）°=（）°．（3）∵点O n -1是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点，BC+∠O n -1CB=（∠ABC+∠ACB）=×130°，∴∠O n-1∴∠BO nC=180°-×130°．-1（4）∵∠BO n -1C=60°，∴180°-×130°=60°，解得n=13．5.6 几何证明举例1. 如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交BC于点D，交AB的延长线于点E，连接CE.求证：∠BCE=∠A +∠ACB .（第1题图）2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D. 求证：∠CAB=∠AED.（第2题图）3. 如图，在△ABC中，分别作AB边，BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边，BC边于点E，F．求证：AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P．（第3题图）4. 如图，在△ABD中，∠BAC = 90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交AC于点F，FH⊥BC于点H. 求证：AE =FH.（第4题图）5. 如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，AB=AC.（1）如果DE∥BC，求证：AD=AE.（2）如果AD=AE，求证：DE∥BC.（第5题图）6. 如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.（第6题图）7. 如图，E，F是线段BC上两点，AB∥CD，AB=DC，CE=BF. 求证：AE=DF.（第7题图）8. 如图，DE∥BC，A是DE上一点，AD=AE，AB=AC. 求证：BE=CD.（第8题图）9. 如图，在△ABD中，AC⊥BD，垂足为C，AC=BC，点E在AC上，且CE=CD. 连接BE并延长交AD 于点F. 求证：BF⊥AD.（第9题图）10. 如图，AC与BD相交于点O，且AC=BD，AD=BC. 求证：OA=OB.（第10题图）答案1. 证明：∵BC 的垂直平分线交BC 于点D ，∴BE =CE ， ∴∠BCE =∠CBE .∵∠CBE =∠A +∠ACB ，∴∠BCE =∠A +∠ACB .2. 证明：∵DE 是AB 的垂直平分线，∴EA =EB ， ∴∠EAB =∠B .∵∠C =90°，∴∠CAB +∠B =90°.又∵∠AED +∠EAB =90°，∴∠CAB =∠AED .3. 证明：∵P 是AB 边的垂直平分线上的一点， ∴ P A = PB ．同理可得，PB = PC ．∴ P A =PC ．∴P 是AC 边的垂直平分线上的一点． ∴AB ，BC ，AC 的垂直平分线相交于点P ．4. 证明：∵BF 平分∠ABC ，F A ⊥AB ，FH ⊥BC ， ∴F A =FH ，∠ABF =∠EBD .又∵∠AFB +∠ABF = 90°，∠DEB +∠EBD = 90°， ∴∠AFB =∠DEB ，∴∠AFB =∠AEF .∴AF =AE . ∴AE =FH .5. 证明：（1）∵AB =AC ，∴∠B =∠C .∵DE ∥BC ，∴∠B=∠ADE ，∠C=∠AED .∴∠ADE=∠AED ，∴AD =AE .（2）∵AD =AE ，∴∠ADE=∠AED=21（180°-∠A ）. ∵AB =AC ，∴∠B =∠C=21（180°-∠A ）. ∴∠B=∠ADE ，∴DE ∥BC .6. 证明：连接AD .在△ABD 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧===，，，AD AD DC DB AC AB∴△ABD ≌△ACD （SSS ），∴∠B =∠C .7. 证明：∵CE =BF ，∴CE+EF =BF+EF ，即CF =BE . ∵AB ∥CD ，∴∠B =∠C .在△ABE 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，CF BE C B DC AB∴△ABE ≌△DCF （SSS ），∴AE =DF .8. 证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB .∵BC ∥DE ，∴∠DAB =∠ABC ，∠EAC =∠ACB ， ∴∠DAB =∠EAC ，∴∠DAC =∠EAB .在△DAC 和△EAB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，AC AB EAC DAC AE AD∴△DAC ≌△EAB （SAS ），∴BE =CD .9. 证明：∵AC ⊥DB ，∴∠BCE =∠ACD = 90°.在△BCE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，AC BC BCE ACD CD CE∴△BCE ≌△ACD （SAS ），∴∠CBE=∠CAD . ∵在△ACD 中，∠CAD +∠ACD +∠D= 180°， 在△BDF 中，∠CBE +∠BFD +∠D= 180°，∴∠CAD +∠ACD +∠D=∠CBE +∠BFD +∠D= 180°， ∴∠ACD=∠BFD=90°，即BF ⊥AD .10. 证明：连接AB .在△ABD 和△BAC 中，⎪⎩⎪⎨⎧===，，，BA AB BC AD AC BD∴△ABD ≌△BAC （SSS ），∴∠BDA=∠ACB .在△AOD 和△BOC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠，，，BC AD OCB ODA BOC AOD∴△AOD ≌△BOC （AAS ），∴OA=OB .。
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《实数》测试题
一、选择题：
1、在()
2
-，-5,0,9,0.010010001……，
2
π
中，无理数有（ ）个。
A 、1个 B 、2个 C 、3 个 D 、4个
2、下列说法：①－64的立方根是4，②49的算数平方根是±7 ，③271的立方根是3
1 ④
161的平方根是4
1
其中正确说法的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3、下列说法正确的有 （ ）
①因为(),36.06.02
=-所以－0.6是0.36的一个平方根；
②因为(),64.08.02
=所以0.64的平方根是0.8；
③因为,169432
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-所以
43169-=； ④()525,2552
±=±∴=± A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
4、一个立方体的体积是9，则它的棱长是 （ ）
A 、3
B 、 33
C 、33 D
3
9
5、若数轴上表示数x 的点在原点的左边，则化简23x x +
的结果是（ ）
A ．－4x
B ．4x
C ．－2x
D ．2x
6、以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（ ）．
A ． +1， -1，2
B ．7，24，25
C ．4，7.5，8.5
D ．3.5，4.5，5.5
7、下列说法错误的是 （ ）
A 、2是2的平方根；
B 、两个无理数的和，差，积，商不一定为无理数；
C 、－２７的立方根是－３；
D 、无限小数是无理数。
8、一个数的立方根是它本身，则这个数是 （ ）
A 、1
B 、0或 1
C 、－1 或 1
D 、1、0 或 －1 9、64的立方根是 （ ） A 、4 B 、±4 C 、2 D 、±2 10、下列关于说法中，错误．．
的是（ ）
A 、12是无理数；
B 、3＜12＜4；
C 、2121-=-；
D 、12的相反数是-12。
二、填空：
11、若021=-+-b a ，则b a -= . 12、
9
1
的平方根是 ，它的算术平方根是 。
13、一个直角三角形的三边长为连续偶数，则它的各边长为________。
14、－1的立方根是 ，0的立方根是 ，0.125的立方根是 。
15、 不大于5的所有正整数的和是 。
16
，
三、解答题： 17、计算：
()
()
()
()
33
2
2125
8254427
102
335281
251---
-
18、用计算器计算：
()
(
)
()
.
2352;
5255513ππ⨯--⨯⨯-⨯
-
（精确到0.01）
（保留3个有效数字）
19、已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝，AB＝5cm，AC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.
20、请用5×5的正方格，画出长度为、、的线段。