2014人教A版数学必修一2.1《几类不同增长的函数模型》第1课时示范教案

3.2 函数模型及其应用

3.2.1 几类不同增长的函数模型

整体设计

教学分析

函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题.课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的.

三维目标

1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.

2.恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题.

3.让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣.

重点难点

教学重点:认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同.

教学难点:应用函数模型解决简单问题.

课时安排

2课时

教学过程

第1课时几类不同增长的函数模型

导入新课

思路1.(事例导入)

一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n 次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n=20时它们的厚度.你的直觉与结果一致吗？

解：纸对折n次的厚度:f(n)=0.01·2n(cm),n块砖的厚度:g(n)=10n(cm),f(20)≈105 m,g(20)=2 m.

也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解.

思路2.(直接导入)

请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象性质，本节我们通过实例比较它们的增长差异.

推进新课

新知探究

提出问题

①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.

②正方形的边长为x，面积为y,把y表示为x的函数.

③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y,把y表示为x的函数.

④分别用表格、图象表示上述函数.

⑤指出它们属于哪种函数模型.

⑥讨论它们的单调性.

⑦比较它们的增长差异.

⑧另外还有哪种函数模型.

活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

①总价等于单价与数量的积.

②面积等于边长的平方.

③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、….

④列表画出函数图象.

⑤引导学生回忆学过的函数模型.

⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性.

⑦让学生自己比较并体会.

⑧另外还有与对数函数有关的函数模型.

讨论结果：

①y=x.

②y=x2.

③y=(1+5%)x,

它们的图象分别为图3-2-1-1，图3-2-1-2，图3-2-1-3.

图3-2-1-1 图3-2-1-2 图3-2-1-3

⑤它们分别属于：y=kx+b(直线型),y=ax2+bx+c(a≠0,抛物线型)，y=ka x+b(指数型).

⑥从表格和图象得出它们都为增函数.

⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y=(1+5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数.

⑧另外还有与对数函数有关的函数模型,形如y=log a x+b,我们把它叫做对数型函数.

应用示例

思路1

例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.

请问，你会选择哪种投资方案？

活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.

解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行描述；方案二可以用

函数y=10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N*)进行描述.三个模型中，第一个是常函数，后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它的增长情况

再作出三个函数的图象(3-2-1-4).

图3-2-1-4

由表和图(3214)可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的.从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天方案二最多;第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.

因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三.

针对上例可以思考下面问题：