数学初三讲义T5Bcssx9
北师版九年级数学下册培优精品讲义(最新版;可直接打印)
学科教师辅导讲义．cosB|+．、正弦，余弦，正切的概念、特殊角的三角函数值、tanA是一个比值（数值）、在几何图形中求解三角函数值或者解三角形，找出直角三角形或做辅助线构造直角三角形是解题的关学科教师辅导讲义知识梳理m（m （参考数据：≈（5、如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（ ）A．200米B．200米C．220米D．100（）米6、海中有一个小岛A，它的周围a海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东75°方向上，航行12海里到达D点，这是测得小岛A在北偏东60°方向上．若渔船不改变航线继续向东航行而没有触礁危险，则a的最大值为（ ）A．5B．6C．6D．8如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为7、急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i=1：2．面用土石进行加固，（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？8、一条船在海面上自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°方向上，前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上．（1）请根据以上描述，画出图形．（2）已知以航标C为圆心，120米为半径的圆形区域内有浅滩，若这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？为什么？课后反击1、如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为18°，若楔子沿水平方向前移6cm（如箭头所示），则木桩上升了（ ）A．6tan18°cm B．cm C．6sin18°cm D．6cos18°cm2、如图，某课外活动小组在测量旗杆高度的活动中，已测得仰角∠CAE=33°，AB=a，BD=b，则下列求旗杆CD长的正确式子是（ ）A．CD=b sin33°+a B．CD=b cos33°+aC．CD=b tan33°+a D．CD=3、小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，上的影长为2米，则树的高度为（ ）A．（）米B．12米C．（）米D．10米4、如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（ ）A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.63PCD=衡阳】如图，为了测得电视塔的高度，再向电视塔方向前进+12、【2014•深圳】小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5：12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（ ）A．600﹣250米B．600﹣250米C．350+350米D．500米3、【2013•深圳】如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（ ）A．B．C．D．4、【2016•十堰】在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米．请根据这些数据求出河的宽度为 米．（结果保留根号）理解坡度的概念，利用坡度解决实际问题熟练掌握相关方位角、观察角的概念，准确构造直角三角形、将实际问题中，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形；、寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解是解决问题的关键．学科教师辅导讲义知识梳理五、知识概念1、用二次函数的性质解决最值计算问题（1）将函数表达式配方成顶点式，进行求解：开口向上时顶点处取得最小值；开口向下时取最大值。
九年级上册数学培优体系讲义
第二十一章 一元二次方程1．一元二次方程预习归纳1．等号两边都是整式，只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的方程，叫一元二次方程．2．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 ． 3．一元二次方程的一般形式是 ．例题讲解【例】把方程(3x －2)(2x －3)＝x 2－5化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项，一次项及常数项和二次项系数，一次项系数．基础训练1．下列方程是一元二次方程的是( )A ．2110x x =＋＋ B ．2110x x=＋＋ C ．210xy －＝ D ．220x xy y =－＋ 2．方程()45x x －＝化为一般形式为( )A ．2450x x =－＋B ．2450x x =＋＋C ．2450x x =－－D ．2450x x =＋－ 3．方程23740x x =－＋中二次项的系数，一次项的系数及常数项分别是( )A ．3、7、4B ．3、7、﹣4C ．3、﹣7、4D ．3、﹣7、﹣4 4．(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个非零根－b ，则a －b 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－25．(2014哈尔滨)若x ＝－1是关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m ＋1＝0的一个解，则m 的值为 ．6．把一元二次方程2(x 2＋7)＝x ＋2化成一般形式是 ．7．下列数中－1，2，－3，－2，3是一元二次方程x 2－2x ＝3的根是 ． 8．若方程x 2－2x ＋m ＝0的一个根是－1，求m 的值．9．(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2＋bx ＋5＝0(a ≠0)的解是x ＝1，求2013－a －b 的值．中档题训练：10．将一元二次方程2514x x =－化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为( ) A ．5、－4 B ．5、4 C ．5x 2、4x D ．5x 2、－4x 11．若0是一元二次方程22610x x m ＋＋－＝的一个根，则m 的取值为( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．以上都不是 12．已知关于x 的方程20x bx a =＋＋有一个根是－a (a ≠0)，则a －b 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 13．若()1160m m xmx -＋＋＋2＝是关于x 的一元二次方程，则m ＝ ．14．已知m 是方程x 2－x －2＝0的一个根，求代数式4m 2－4m －2的值．15． 在一次同学聚会时，同学见面后每两人握一次手，共握手28次，求有多少同学参加了这次聚会？学习以下解答过程，并完成填空．解：设参加聚会的同学有x 人，每人共握手 次，握手的总次数用含x 的式子表示为 ． 根据题意，可列出方程 ． 整理，得 ． 化为一般式，得 ．二次项系数、一次项系数、常数项分别为 ．综合训练题16．已知关于x 的方程(t 2—9)x 2＋(t 十3)x －5＝0．(1)当t 为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解．(2)当t 为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个方程的二次项系数、一次项系数及常数项．2．配方法——解一元二次方程(一)——直接开平方预习归纳1．若x 2＝p (p ≥0)，则x 1＝ ，x 2＝ ．例题讲解【例】用直接开方法解方程．⑴9x 2＝25 ⑵2x 2－98＝0基础题训练1．16的平方根是( )A ．4B ．－4C ．±4D ．±8 2．方程x 2＝9的解是( )A ．x 1＝x 2＝3B ．x 1＝x 2＝－3C ．x 1＝3，x 2＝－3D ．x ＝33．方程x 2＝3的解是( )A ．12x x =＝B ．12x x =＝C ．1x 2x =D ．x ＝3 4．方程()210x -=的解是( )A ．x 1＝1，x 2＝－1B ．x 1＝x 2＝1C ．x 1＝x 2＝－1D ．x 1＝1，x 2＝－2 5．方程()219x -=的解是( )A ．x 1＝1，x 2＝－3B ．x 1＝4，x 2＝－4C ．x 1＝4，x 2＝－2D ．x ＝3 6．(2014济宁)若一元二次方程ax 2＝b (ab ＞0)的两个根分别是m ＋l 与2m －4，则b a＝ ． 7．用直接开方法解方程．⑴3(x －2)2＝0 ⑵3(x －1)2＝278．如果12x =是关于x 的方程22320x ax a -=＋的根，求关于y 的方程23y a -=的解．中档题训练：9．(2013鞍山)已知b ＜0，关于x 的一元二次方程(x －1)2＝6的根的情况是( )． A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．有两个实数根10．(2013丽水)一元二次方程(x ＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x ＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )．A ．x ＋6＝－4B ．x －6＝4C ．x ＋6＝4D ．x ＋6＝－4 11．一元二次方程2+2990x x -=变形正确的是( )A ．()2+1100x = B ．()21100x =﹣ C ．()2+2100x = D ．()22100x -= 12．方程3x 2＝2的根是___________． 13．解下列方程：⑴()22510x +-= ⑵()()11x x -＋1＝⑶()2531250x --= ⑷24415x x -＋＝综合题训练：14．已知x 、y 、z 满足2246130x x y y -=＋＋，求关于ｍ的方程2104m x y z -+-=的根．3．配方法——解一元二次方程(二)预习归纳1．通过配成 解一元二次方程的方法，叫配方法．例题讲解【例】用配方法解方程：⑴ x 2＋2x －3＝0 ⑵ x 2－2x －8＝0基础题训练1．填空： (1) x 2－20x ＋ ＝ (x － )2 (2) x 2＋ x ＋81＝ (x ＋ ) 2 (3) x 2＋5x ＋ ＝ (x ＋ ) 22．用配方法解一元二次方程x 2－4x ＝1，配方后得到的方程是( )A ．(x －2)2＝1B ．(x －2)2＝4C ．(x －2)2＝5D ．(x －2)2＝3 3．(2013兰州)用配方法解方程x 2－2x －1＝0时，配方后得到的方程为( ) A ．(x ＋1)2＝0 B ．(x －1)2＝0 C ．(x ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＝2 4．(2014宁夏)一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是( )A ．x1＝x 2＝1 B ．x 1＝1+，x 2＝1-C ．x1＝1+x 2＝1D ．x 1＝1-x 2＝1--5．用配方法解方程242203x x --＝变形正确的是( ) A ．21839x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ B ．2203x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ C ．211039x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝ D ．211039x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ 6．填空：(1) x 2－4x ＋ ＝ (x － )2 (2) x 2＋6x ＋ ＝ (x ＋ )2 (3) x 2－43x ＋ ＝ (x － ) 2 (4) x 2－3ax ＋ ＝ (x － ) 2 7．用配方法解下列方程：⑴2ｍ2－6ｍ＋3＝0 ⑵6x 2－x －12＝0中档题训练：8．已知方程260x x q -=＋可以配方成()27x p -＝的形式，那么262x x q -=＋可以配方成下列的( ) A ．()25x p -= B ．()29x p -＝ C ．()229x p -＋＝D ．()225x p -＋＝9．关于x 的一元二次方程()211420m m xx =＋＋＋＋的解为( )A ．x 1＝1，x 2＝－1B ．x 1＝x 2＝1C ． x 1＝x 2＝－1D ．无解 10．添上适当的数，使下列等式成立：⑴22x x ＋＋_____ ＝2(x ＋ )2 ⑵2323x x -＋2＝(x ＋____)2 －11．如果(x －y )2－2(x －y )＋1＝0，那么x 与y 的关系是 ． 12．用配方法解下列方程：⑴x 2－2x ＝5； ⑵2244y y -=13．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －6y ＋13＝0，求y x 的值．综合题训练：14．试证明：不论x ，y 为何值，221x y x y -＋＋＋的值都为正数．专题 配方法的应用一、配方法解方程⑴x 2－3x －2＝0 ⑵3x 2－6x －1＝0二、已知a 2、b 2配方求2ab ．2．若代数式9x 2＋kx y ＋y 2是完全平方式，则k 的值为( ) A ．6 B ．±6 C ．±12 D ．12三、已知a 2、2ab 配方求b 23．若代数式x 2－5x ＋k 是完全平方式，则k ＝ ．四、配方法求最值4．求多项式x 2＋3x －1的最小值．5．求多项式－2x 2＋5x ＋3的最大值．五、配方法比较大小6．求证：不论x 为何值，多项式2x 2－4x －1的值总比x 2－6x －6的值大．六、配方法与非负数7．m 2＋n 2＋4m －2n ＋5＝0，求3m 2＋5n 2－4的值．8244410y x x -+++=．求x －ｙ＋ｚ的值．4．公式法——解一元二次方程(一)——根的判别式预习归纳1．式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，常用希腊字母“△”来表示．2．一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0，当____时，它有两个不等的实数根，当时，它有两个相等的实数根，当时，它无实数根．例题讲解【例】不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况．(1) 3x2－2x－1＝0; (2) 2x2－x＋1＝0．基础题训练1．(2013成都)一元二次方程x2＋x－2＝0的根的情况是( )．A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根2．方程x2＋16＝8x的根的情况为( )．A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根．C．有一个实数根D．没有实数根．3．(2014益阳)一元二次方程x2－2x＋ｍ＝0总有实数根，则ｍ应满足的条件是( )．A．ｍ＞1B．ｍ＝1C．ｍ＜1D．ｍ≤14．(2014宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当ｂ＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是( )．A．ｂ＝－1B．ｂ＝2C．ｂ＝－2D．ｂ＝05．已知关于x的一元二次方程x2＋kx＋1＝0有两个相等的实数根，则k＝．6．(2014广东)关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数ｍ的取值范围为( )．A．m＞94B．m＜94C．m＝94D．m＜－947．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况．(1) 4x－x2＝x2＋2⑵3x－1＝2x28．当m为何值时，方程2x2－(4m＋1) x＋2m2－1＝0⑴有两个不相等的实数根？⑵有两个相等的实数根？⑶没有实数根？中档题训练：9．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋b＝0有两个相等的实数根，则b的值是．10．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )A．a＜2B．a＞2C．a＜2且a≠1D．a＜－2 11．一元二次方程ax2＋b x＋c＝0中a、c异号，则方程根的情况是( )A．有两个不相等实数根B．两个相等实数根C．没有实数根D．无法确定12．(2013潍坊)已知关于x的方程k x2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是( )．A．当k＝0时，方程无解B．当k＝1时，方程有一个实数解C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解13．若关于x的一元二次方程mx2－(2m－2) x＋m＝0有实数根，则m的取值范围是．14．已知关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围．15．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实数根，求m的取值范围．综合题训练：16．已知关于x的一元二次方程(a＋c) x2－2bx－a＋c＝0有两个相等的实数根，试求以a、b、c为边能否构成三角形？若能，请判断三角形的形状．专题 一元二次方程根的判别式一、已知常数系数直接判断方程根的情况1．不解方程直接判别下列方程根的情况．(1)2104x -= (2)3x 2－6x ＋3＝0 (3) x (2x －4)＝－5－8x 二、含字母系数时将△配方成a 2，－a 2，a 2＋正数，－a 2－正数，来判断方程根的情况2．判别下列关于x 的一元二次方程的根的情况．(1)22125104x mx m -++= (2) x 2－4mx ＋4m 2＝ 0 (3) 211022x mx m -+-= (4) 21402x mx m -+-=三、“结合a ≠0”确定字母的取值范围3．关于x 的一元二次方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足( ． A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠54．当m 为何值时，关于x 的一元二次方程(ｍ2－1)x 2＋2(ｍ－1)x ＋1＝0，有两个不相等的实数根．四、判别式与隐含条件相结合5．已知关于x 的一元二次方程(1－k )x 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的最大整数值是( )．A ．2B ．1C ．0D ．－16．已知关于x 的一元二次方程kx 2－4kx ＋k －5＝0有两个相等的实数根，求k 的值．7．(2013西宁)函数y=kx+b 的图象如图所示，试判断关于x 的方程x 2＋x ＋k －1＝0根的情况．5．公式法——解一元二次方程(二)预习归纳1．当△≥0时，一元二次方程20ax bx c ++=的求根公式是 ．例题讲解【例】用公式法解方程：(1)2520x x -+=； (2)261x x =+基础题训练1．方程2230x x --=中，a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ． 2．方程2515x x +=中的△＝24b ac -＝ ． 3．(2013．广西)一元二次方程2230x x --=的解是( ) A ．121,3x x =-= B ．121,3x x ==- C ．121,3x x =-=- D ．121,3x x == 4．方程210x x +-=的两根是( )A ．1±BC ．1-± D5．方程232x x +=的正根是( )A B C D 6．用公式法解方程：(1)2230x x -=； (2)23650x x +-=(3)20.20.10.4x x -=； (4222x -=；(5)24352x x x --=-； (6)3(3)2(1)(1)x x x x -=-+；中档题训练7．(2014．荆门)已知a 是一元二次方程210x x --=较大的根，则下面对a 的估计正确的是( ) A ．0＜a ＜1 B ．1＜a ＜1．5 C ．1．5＜a ＜2 D ．2＜a ＜38．用适当方法解下列方程：(1)2(31)90x +-= (2)2410x x +-=(3)2324x x -= (4)2(2)12y y +=+9．已知一元二次方程2310x x m -+-=．(1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围； (2)若方程有两个相等的实数根，求此方程的根．综合题训练10．(2013．北京)已知关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．6．因式分解法——解一元二次方程预习归纳1．用因式分解法要先将方程一边化为 ，另一边为0，再分别使各一次因式等于0．例题讲解【例】用因式分解法解下列方程：(1)20x x += (2)2940x -=基础题训练1．多项式25x x -因式分解结果为 ．2．多项式2(3)5(3)x x x ---因式分解结果为 ． 3．(2014．舟山)方程230x x -=的根为 ．4．经计算整式x ＋1与x －4的积为234x x --，则2340x x --=的所有根为( )． A ．121,4x x =-=- B ．121,4x x =-= C ．121,4x x == D ．121,4x x ==- 5．(2013．河南)方程(2)(3)0x x -+=的解是( )A ．x ＝2B ．x ＝－3C ．122,3x x ==-D ．122,3x x =-= 6．(2013．宁夏)一元二次方程(2)2x x x -=-的根是( )A ．－1B ．2C ．1和2D ．－1和2 7．方程2520x x -=的根是( )A ．1225x x == B ．1225x x ==- C ．1220,5x x == D ．1220,5x x ==- 8．用因式分解法解下列方程：(1)2(1)2(1)0x x ---= (2)2(31)40x --=(3)5(3)(3)(1)x x x x -=-+ (4)22(4)(52)0x x ---=中档题训练9． 若关于x 的一元二次方程的两根为121,2x x ==-，则这个方程可以是 ．(任写一个即可)10．a ，b ，c 为△ABC 的三边，且a ，b ，c 满足()()0a b b c --=,则△ABC 的形状是 角形．11．三角形一边长为10，另两边长是方程(6)8(6)0x x x ---=的两实数根，则这是一个 三角形．12．选择适当的方法解下列方程：(1)225x x -= (2)(2)(3)6x x -+=-(3)210x --= (4)3(21)42x x x +=+13．已知关于x 的一元二次方程240x x m ++=． (1)当m ＝1时，请用配方法求方程的根； (2)若方程没有实数根，求m 的取值范围．综合训练14．已知关于x 的一元二次方程210ax bx ++=中，1b m =+． (1)若a ＝4，求b 的值；(2)若方程210ax bx ++=有两个相等的实数根，求方程的根．专题 一元二次方程的解法一、一元二次方程和方程解的概念1．若方程||(2)310m m xmx ++-=是关于x 的一元二次方程，则m ＝ ．2．已知x ＝1是一元二次方程210x mx -+=的一个解，则m 的值是( ) A ．2 B ． 0 C ．0或2 D ．－2二、用公式法解方程3．解方程：(1)210x x +-= (2)2310x x +-=三、用配方法解方程4．解方程：(1)(2)1x x += (2)25(3)125x -=四、用因式分解法解方程5．解方程：(1)(2)x x x -= (2)269x x -=-五、选择你喜欢的方法解方程6．解方程：(1)23(2)0x x +-= (2)(21)(3)4x x -+=(3)3(1)2(1)x x x -=- (4)22(21)(3)x x -=-专题 利用几何构建一元二次方程【方法归纳】：通过几何条件构建一元二次方程．一、利用面积构建一元二次方程1．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 沿AC 边向C 点以1cm /s 的速度移动，在C 点停止，点Q 从C 点开始沿CB 边向点B 以2cm /s 的速度移动，在B 点停止．(1)如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟，使28QPC S cm ∆=(2)如果点P 从点A 先出发2s ，点Q 再从点C 出发，经过几秒钟后24QPC S cm ∆= (3)如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒后PQ ＝BQ ？二、利用勾股定理构建一元二次方程2．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，CD ＝2，AB ＝3，AD ＝7，点P 为线段AD 上一点，CP ⊥BP ，求DP 的长．PABCD3．如图，直角梯形AECD 中，AE ∥CD ，∠E ＝90°，AE ＝CE ＝12，M 为EC 上一点，若∠MAD ＝45°，DM ＝10，求EM 的长．7．一元二次方程的根与系数的关系预习归纳1．一元二次方程20ax bx c ++=的两根1x 、2x 满足12x x +＝ ，12x x = ．例题讲解【例】若方程2310x x --=的两根为1x 、2x ，求1211x x +的值．基础题训练1．若1x 、2x 是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x +的值是( ) A ．1 B ．5 C ．－5 D ．62．(2014．昆明)已知1x 、2x 是一元二次方程2410x x -+=的两个根，则12x x ⋅等于( ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．4 3．已知方程23570x x --=的两根为1x 、2x ，则下列各式中正确的是( ) A ．125x x +=，127x x ⋅= B ．125x x +=-，127x x ⋅=- C ．1253x x +=，1273x x ⋅=- D ．1253x x +=-，1273x x ⋅=- 4．(2014．攀枝花)若方程210x x +-=的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是( ) A ．1αβ+=- B ．1αβ=- C ．223αβ+= D ．111αβ+=-5．若0，－3是方程20x px q -+=的两个根，则αβ+＝ ．6．(2013．雅安)已知1x 、2x 是一元二次方程220x x -=的两根，则12x x +的值是 ． 7．(2014．黄冈)若α、β是一元二次方程2260x x +-=的两根，则22αβ+＝( )． A ．－8 B ．3 C ．16 D ．40 8．若1x 、2x 是一元二次方程22310x x --=的两个根，求下列代数式的值．(1)12x x +； (2)12x x ⋅； (3)12123322x x x x ⋅++ ；(4)2211222x x x x ++； (5)1211x x + ； (6)2212x x +．中档题训练9．当m ＝ 时，关于x 的方程222(4)0x m x --=的两根互为相反数．10．已知1x 、2x 是一元二次方程220x ax c +-=的两个实数根，则12122x x x x +-等于( ) A ．2a c +B ．2a c --C ．2a c -+D ．2a c - 11．一元二次方程2380x x m -+=的两根之比为3:1，则m 等于( ) A ．4 B ．－4 C ．3 D ．5 12．一元二次方程240x x c --=的一个根是2+，求另一个根及c 的值．13．若1x 、2x 是一元二次方程的22310x x -++=两个根，求下列代数式的值． (1)212()x x - (2)2112x x x x +(3)12(2)(2)x x -- (4)12||x x -综合题训练14．若关于x 的一元二次方程2(1)40x m x m ++++=的两实数根的平方和为2，求m 的值．专题 一元二次方程的根与系数关系一、直接求两根之和与两根之积1．根据一元二次方程根与系数关系，求下列方程两个根1x 、2x 的和与积． (1)2320x x ++= (2)2550x x +-=(3)256x x x +=+ (4)27583x x -=-二、不解方程求对称式的值2．设1x 、2x 是一元二次方程22510x x --=的两根，求下列代数式的值．(1)221221x x x x + (2)2212123x x x x +- (3)2112x xx x + (4)12||x x -三、已知方程的一根求另一根及未知系数3．已知x ＝1是方程220x bx +-=的一个根，求方程的另一个根及b 的值．4．(2013．玉林)已知关于x 的方程20x x n ++=有两个实数根－2，m ，求m ，n 的值．四、已知方程的两根求新方程5．已知一元二次方程的两根为2+2-，则该一元二次方程为 ．五、与判别式结合求字母系数的值6．已知关于x 的一元二次方程2210mx x -+=． (1)若方程有两个实数根，求m 的范围；(2)若方程的两个实数根为1x 、2x ，且满足121212x x x x --=，求m 的值．7．已知关于x 的方程222(1)740x a x a a +-+--=的两根为1x 、2x ，且满足12123340x x x x --+=，求a 的值．六、与绝对值结合求字母系数的值8．已知关于x 的方程222(1)0x k x k +-+=有两个实数根1x 、2x ． (1)求k 的取值范围；(2)若1212||1x x x x +=-，求k 的值．9．(2013．荆州)已知关于x 的方程2(31)2(1)0kx k x k --+-= (1)求证：无论k 为何实数，方程总有实数根；(2)若此方程有两个实数根1x 、2x ，且12||2x x -=，求k 的值．8．实际问题与一元二次方程（一）传播、循环、数字问题预习归纳1．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有100人患了流感，假设每轮传染中，平均一个人传染了几个人？例题讲解 【例】：九⑴班每个同学都能与全班同学交换小礼物一件，共计全班交换小礼物2550件，求九⑴班有多少个同学？基础题训练1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长小分支的个数为x ，则依题意可列为 ．2.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x 个对参赛，则x 满足的关系式为（ ） A ．28)1(21=+x x B ．1(1)282x x -= C ．(1)28x x += D ．(1)28x x -= 3．两个连续奇偶数的积是323，那么这两个数是（ ）A ．17,19B ．－17,－19C ．17,19或－17,－19D ．17,－19 4.有一人患了流感，经过两轮传染后有64人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？5．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，求这个两位数为．中档题训练6．参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为_______________________．7．要参加一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，设共有x个队参加比赛，则依题意可列方程为_____________________．8．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和是91，每个支干长出多少小分支？9．有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短消息，问每轮转发中平均一个人转发给几个人？综合题训练10．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小2，如果把这个数的个位数字与十位数字交换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原来的两位数．9．实际问题与一元二次方程（二）增长率与利润问题归预习纳1．某厂今年一月的总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率是x ，根据题意，可列方程________________． 例题讲解 【例】．2011年某新建小区一月份的新房均价为每平方米10000元，三月份此新房均价降为每平方米8100元，求二、三月份此新房均价的平均月下降率．基础题训练1．某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元。
北师版初三数学上册秋季班讲义(最新版;可直接打印)
第1讲特殊的平行四边形⎧⎪⎨⎪⎩矩形特殊的平行四边形菱形正方形知识点1：矩形1.矩形的性质：（1）矩形具备平行四边形的所有性质；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线平分且相等（4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；它也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
2.矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）对角线相等的平行四边形是矩形（3）有三个角是直角的四边形是矩形【典例】1.矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB=60°，AC=10．（1）求矩形较短边的长．（2）矩形较长边的长．（3）矩形的面积．【方法总结】本题主要考察矩形对角线的性质——相等且互相平分、矩形的四个角都是直角。
（1）矩形对角线与一边组成的三角形是等腰三角形，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形即可得出结论；（2）在上一问的基础上通过勾股定理即可求出长边；（3）直接对公式的应用。
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，DF⊥AC于F点，若∠ADF=3∠FDC，则∠DEC的度数是____【方法总结】本题主要考查了矩形的性质——四个角都是直角、对角线相等．本题要求两条对角线的较小的夹角∠DEC，利用矩形的对角线相等以及等腰三角形的性质，先求出∠DCE即对角线与短边的夹角即可得出结论；求∠DCE需要将其放到直角三角形中求出与其互余的锐角，综合已知条件：两互余且有倍数关系．解这种类型题需要将已知与所求相结合，引入方程思想可以将解题过程简化．3.已知，如图，△ABC中，CE、CF分别是∠ACB和它的邻补角∠ACD的平分线，AE⊥CE 于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．求证：（1）四边形AECF是矩形；（2）MN与BC的位置有何关系，证明你的结论．【方法总结】本题主要考察矩形的判定以及矩形性质的运用。
第（1）问给出了AE⊥CE、AF⊥CF，可以得出四边形有两个直角，欲证明该四边形是矩形，可以找第三个直角。
最新北师大版九上数学第五章投影教学讲义PPT课件
2、<合伙企业法>概述
（1）<合伙企业法>概念 （2）<合伙企业法>适用范围
二、普通合伙企业
（一）设立和变更 1、设立条件
（1）两个以上合伙人。合伙人为自然人的，应当具有 完全民事行为能力； （2）有书面合伙协议 （3）有实际缴付的出资 出资方式：货币、实物、土地使用权、知识产权、其他 财产权利、劳务（经合伙人一致同意） （4）名称、场所和其他条件
D'
C'
垂直
D C'(B')
D'(A')
四边形ABCD与四 边形A'B'C'D'重合
四边形A'B'C'D'在大 四边形A'B'C'D'
小和形状上已发生 变为线段C'D'
改变
(或A'B')
不同位置
物体平行于投 物体倾斜于投 物体垂直于
物体
影面
影面
投影面
线段
形状、大小不 变（全等）
大小变化
点
面
形状、大小不 形状、大小
变（全等）
均变化
线段
中心投影与平行投影的区别与联系
光源
区别 投影线
投影方向
联系
平行投 影
太阳等
中心投 影
点光源
平行
相同
相交于一 点
有点光源 和物体的 位置确定
都是投影 想象，都 是物体在 光线下形 成的影子
（1）下图是两棵小树在同一时刻 的影子.根据它们的投影，判断是太阳 的光线还是灯光的光线?
（1）高矮相同的两个人在这盏路灯下的影子一定一样 长吗?如果不一定,那么什么情况下他们的影子一样长？ 不一定一样长,只有在距离路灯的距离相等时候影子才会 一样长.
北师大版九年级数学下全册优质教学课件
A C2 C1 B1 B2
由感性到理性
直角三角形的边与角的关系
(1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
B1C1 B2C2 (2). 和 有什么关系? AC1 AC2
B2 B3 B1
如果改变B2在梯子上的位置 (如B3C3 )呢?
AБайду номын сангаас
C3
C2
C1
由此你得出什么结论?
= A ┌ C
tanB;
(2)若tanA=tanB,则∠A = ∠B.
课后作业
见本课时练习“课后巩固提升”
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新北师大版版 九年级数学下（BS） 全册优质教学课件
第一章 直角三角形的边角关系
1.1 锐角三角函数
第2课时 正弦与余弦
情景 引入 合作 探究 随堂 训练 课后 作业
情景引入
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房
A的对边 BC 1 斜边 AB 2
可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准 备70m长的水管．
合作探究
在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m， 那么需要准备多长的水管？
B' B 30m A C 50m
老师提示: 坡面与水平面的夹角(α)称为 坡角,坡面的铅直高度与水平宽 度的比称为坡度i(或坡比),即坡 度等于坡角的正切.
60 3 i tan . 100 5
i
α
60m
100m
┌
课堂小结
• 定义中应该注意的几个问题:
1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角（注 意数形结合，构造直角三角形）. 2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去 “∠”号； 3.tanA是一个比值（直角边之比.注意比的顺序,且 tanA﹥0,无单位. 4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的 边长无关. 5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,则这 两个锐角相等
数学初三讲义T5Bcssx4
科目：数学 年级：初三 教师：张立平2005——2006学年第二学期第四周第二章 二次函数（3、4）一、主要知识介绍1、一元二次方程ax 2＋bx 十c ＝0 (a ≠0)，当b 2一4ac ＞0时，方程有解． 2、二次函数解析式有三种形式：（1）一般式：y = ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）； ﹡(2) 顶点式：y= a (x 一h)2+k (a ，h ，k 为常数, a ≠0)；﹡(3) 交点式：y= a (x 一x 1)(x 一x 2)（x 1，x 2为抛物线与x 轴的两个交点的横坐标）． 3、二次函数y ＝ax 2＋bx 十c 与一元二次方程ax 2十bx 十c=0的关系抛物线y ＝ax 2＋bx 十c 与x 轴交点的横坐标x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx 十c=0的根．﹡4、当b 2一4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点，此时方程无实数根；当b 2一4ac ＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，此时方程有两个不相等的实数根； 当b 2一4ac= 0时，抛物线与x 轴只有一个交点，此时方程有两个相等的实数根； 当b 2一4ac ＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，其解析式可写成交点式的形式： y= a (x 一x 1)(x 一x 2)抛物线与x 轴的两个交点间的距离12x x -= 即 12x x -=aac b 42-（b 2一4ac>0）.5、利用图象求一元二次方程的近似根的方法 （1）画出二次函数的图象；（2）根据图象确定出方程根的范围；（3）在所确定的范围内，利用计算器探索，从而求出方程的近似根．二、本周学习导航本周学习要求：1.学会用描点法画出二次函数的图象，进一步了解抛物线概念aac b aacb ac ab x x x x x x 444)(4)()(222221212212-=-=⋅--=-+=-2.了解函数图象的平移变换方法及法则，并能用它来画二次函数的图象．3.能利用图象观察、分析或运用配方法确定抛物线的对称轴、顶点的位置．4.理解二次函数的性质，并能用它们来解决有关问题．前一节我们学习了特殊二次函数y=ax2的图象和性质，以及用它们来解决一些实际问题．在此前提之下，我们来进一步学习一般的二次函数y= ax2 +bx十c的图象和性质．学习这一节内容，首先学好前一节内容，然后将这一节所学内容与前一节内容进行类比、联想，研究它们的联系和区别，这样学起来会轻松一点．本节是在研究了简单的二次函数y=ax2和y=ax2 +c图象及性质的基础上，来研究一般二次函数y=ax2 +bx十c的图象及性质．重点是利用配方法或公式法确定抛物线的顶点、对称轴的位置和特征，进而用描点法或函数图象变换方法画出这条抛物线．在用图象平移方法画函数图象时，一定要注意平移的方向，千万不能搞反．在本小节的学习中，不要死记硬背，要与前面三节内容进行联想、类比,要充分运用数形结合思想；熟练画出抛物线的草图，结合每几象特征观寮、分析研究函数的性质及不同图象之间的相互联系与区别．1、二次函数y=a(x-h)2的图象是一条抛物线，顶点坐标是(h,0)，对称轴是x=h.当a>0时，图象开口向上，有最低点，即顶点(h,0). 当x=h时，最小值y=0. 在对称轴左侧〔即x<h〕, y随x增大而减少，在对称轴右侧（即x>h）,y随x增大而增大．当a<0.时，图象的开口向下，有最高点，即顶点(h,0). 当x.=h时，最大值y=0,在对称轴左侧（即x<h），y随x增大而增大，在对称轴右侧（即x>h）, y随x增大而减小．2、抛物线y=a(x-h)2与y=ax2的关系：形状相同，只有位置不同.3二次函数y=ax2＋bx+c的图象和性质二次函数y=ax2＋bx+c总可以用配方法转化为y= a (x一h)2 +k 的形式，所以二次函数y=ax2＋bx+c的图象是一条抛物线.三、重难点分析重点：（1）会画二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象，及理解二次函数y = ax2＋bx＋c (a≠0)的有关性质．（2）会画二次函数y = ax2＋bx＋c的图象，理解二次函数的主要性质．难点：（1）会用二次函数y=ax2+c (a≠0)的有关性质解决一些简单的实际问题．（2）用图象变换来画二次函数的图象，运用二次函数性质解有关问题．四、典型例题与分析【例1】 抛物线y =51x 2－6可由抛物线y =51x 2沿 轴向 平行移动个单位得到．它的开口方向是 ，顶点坐标是 ．对称轴是 ．当x 时,y 最小值= ．当x 时，y 随x 增大而增大，当x 时，y 随x 增大而减小．分析：根据抛物线y =51x 2－6与y =51x 2的关系，先画出草图，再回答各问题比较方便．解：由草图可得，沿y 轴向下平移6个单位，开口方向向上． 顶点坐标(0, －6)， 对称轴x=0. 当x=0时，y 最小值= 6.当x ＞0时，y 随x 增大而增大． 当x ＜0时, y 随x 增大而减小．【例2】填写下表．分析：根据函数Y=a(x-h)2+k 的性质回答表中各问题．解：(1)抛物线y=-3(x-1)2 的开口方向向下，顶点坐标为（l ，0），对称轴方程为x=1,当x=l 时,y 最大值=0；(2)抛物线y= (x+2)2-1的开口方向向上，顶点坐标为（-2,-1），对称轴方程为x= 一2，当x= 一2时，y 最小值 = 一1；(3)抛物线y= 一31(x 一6)2＋5的开口方向向下，顶点坐标为（6，5），对称轴方程为x=6.当x=6时,,y 最大值 =5； (4)抛物线y=61(x+3)2+2 的开口方向向上，顶点坐标为（-3,2），对称轴方程为x= -3.当x= 一3时，y 最小值= 2【例3】 已知抛物线y = ax 2＋c 与直线y=x ＋1交于两点A(l ，m), B(n,－1)，求抛物线的解析式．分析：先由两点A 、B 在直线y=x 十1上，分别求得m ，n 的值，从而得A 、B 两点的坐标，又抛物线过A 、 B 两点，代人解析式中，解方程组得结论．解：∵ 抛物线y = ax 2＋c 与直线y=x ＋1交于两点A(l ，m), B(n,－1) ∴ ⎩⎨⎧+=-+=1111n m ∴ ⎩⎨⎧-==22n m∴ A （1，2）， B （一2，一1） 代入抛物线解析式中，得 ⎩⎨⎧+=-+=ca c a 412 解之，得a=－1， c=3∴ 抛物线的解析式为y=－x 2＋3.【例4】 已知一次函数y=kx ＋b 与二次函数y=ax 2的图象如图所示，其中y=kx+b 与x 轴、y 轴的交点分别为A(2,0)，B(0,2)；与二次函数图象的交点为P 、Q ，P 、Q 的纵坐标之比为1：4，求这两个函数的解析式．分析：应先确定一次函数的解析式，再确定二次函数的解析式． 解：把A(2,0)，B(0,2)两点的坐标分别代人一次函数y=kx ＋b ，得⎩⎨⎧=+=bb k 220，∴ k ＝一1，b=2.∴ 一次函数的解析式为y=-－x ＋2. 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则 y 1：y 2 =1：4，∴ ax 12 ：ax 22 = 1 ：4，∴ x 1：x 2 =1：2，或x 1：x 2 =（－1）：2. 又Q 点在第二象限，则只能x 1：x 2 =（－1）：2. ∴ x 2 =－2x 1，∴ Q 点的坐标是（－2x 1，4y 1）．把P ，Q 两点的坐标分别代人y=－x+2中，得 ∴ ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+=+-=112242111111y x x y x y ∴ P 点坐标为（1，1）. 把P 点坐标代人y=ax 2，∴ y =x 2．【例5】（大连,2002） 已知二次函数y=x 2＋4x 十5.(1) 将所给的二次函数化为y=a(x －h)2＋k 的形式，并写出它的图象的顶点坐标； (2) 在平面直角坐标系中画出经过点(2, 3)和上述二次函数图象顶点的直线，并求出这条直线的解析式．分析：抓住配方的规律，将解析式变成y=a(x －h)2＋k 的形式，再确定图象的各部分． 解：（1）y=x 2＋4x 十5＝x 2十4x 十4十1， ∴ y=(x 十2)2十1，∴ 函数图象的顶点坐标为（－2，1）． (2) 经过点（一2，1）和（2，3）画直线． 设直线的解析式为y=kx 十b, ∴ 1=－2k ＋b 且3 = 2k 十b ， ∴ k =21， b=2，∴ 直线的解析式为y =21x 十2.【例6】 已知：二次函数y=－21x 2十21x+ 1.(1) 用配方法求抛物线的对称轴、顶点坐标并指出它的开口方向； (2) 画出所给函数的图象；(3) 观察图象，指出使y ≥0的x 的取值范围． 分析：用配方法将y=－21x 2十21x 十1化成y = a (x 一h)2十k 的形式，求出抛物线的对称轴和顶点坐标．再利用图象，直接写出使函数值y ≥0的x 的取值范围．解：（1）y= －21x 2十21x+ 1= －21(x 2一x 十41一41)十1∴ 抛物线的对称轴为直线 x=21, 顶点坐标为（21，89），开口方向向下；(2) 图象如图所示；(3) 由图象可知，当一1≤x ≤2时，y ≥0．【例7】（随州,2001）已知二次函数y = ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且OA=OC ，则由抛物线的特征，如下含有a ，b ，c 三个字母的等式或不等式： ①ab ac 442-=－1，② ac 十b 十1=0，③ abc>0，④a －b 十c>0，其中正确结论的序号是分析：抓住图象特征，开口向上，对称轴在0到1之间，顶点在x 轴下方且在y =－1上．解：∵ y = ax 2＋bx ＋c = a （x ＋ab 2）2＋ab ac 442-，由图象知，抛物线顶点的纵坐标是一1, 故①正确． 设点C 的坐标为(0，c)，因为OA=OC,所以A 点坐标为(c, 0) 当x = c 时，y=0， ∴ ac 2＋bc ＋c =0 ∵ c ≠0∴ ac ＋b ＋1 =0， 故②正确，因为抛物线的顶点在第四象限，所以x=－ab 2＞0，所以b ＜0，而c ＜0，所以abc>0， 故③正确．当x=－1时, y=a －b 十c ，由图象知点(－l ，a －b ＋c)在第二象限，故a 一b 十c>0，故④正确．综上，应填①②③④，【例8】 已知抛物线过A(－1, 0)，B(0, －3)，且对称轴为x =2，求解析式．解：解法1 （用一般式）．设所求解析式为y = ax 2＋bx ＋c ． 抛物线过A(1， 0)，B(0，一3)∴ ⎩⎨⎧-==++30c c b a ∴ a ＋b = 3又 ∵ 对称轴是x=2， ∴ －ab 2 = 2．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+223ab b a 得⎩⎨⎧=-=41b a ，∴ a=－l, b= 4， c=－3.∴ 所求函数解析式为y= －x 2＋4x －3.解法2 （用顶点式）．设所求解析式为y= a (x －2)2＋k. ∵ 抛物线经过A (1, 0)，B (0，一3),代人上式得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+-=ka ka 22)20(3)21(0∴ y =－(x 一2)2＋1 ∴ ⎩⎨⎧=-=11k a解法3 (用交点式)（有的也叫两根式）．∵ 对称轴是x=2, A (1,0)是抛物线与x 轴的一个交点． ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点为 (3, 0). ∴ 所求抛物线为y = a (x 一1) (x 一3). 将x = 0，y=－3代人上式， 得a=－1. ∴ 所求解析式为y =－(x 一1) (x 一3).即 y= 一x 2＋4x 一3.五、双基训练A 组一、选择题1、如果以y 轴为对称轴的抛物线c bx ax y ++=2的图像如图，那么代数式a c b -+与零的关-------------------------------------------------------------------------------------------------------( )A 0=-+a c bB a c b -+> 0 xC a c b -+> 0D 不能确定222+--=x x y 的顶点坐标、对称轴分别是------------- --------------------( ) A ( 1, 3 ) ,1=x B ( 1-, 3 ) , 1=x C ( 1-, 3 ) , 1-=x D. ( 1 , 3 ) , 1-=x 3、下列抛物线，对称轴是x =21的是-----------------------------------------------------------------( )A. 221x y =B. x x y 22+=C. 22++=x x yD. 22--=x x y4、把抛物线23x y =向上平移2个单位, 在向右平移3个单位，则所得的抛物线是---（ ） A. 2)3(32-+=x y B. 2)3(32++=x y C. 2)3(32--=x y D. 2)3(32+-=x y5、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像如图所示，则下列结论成立的是-------( )A. 0,0>>bc aB. 0,0><bc aC. 0,0<>bc aD. 0,0<<bc a二、答题：6、用配方法求函数23234x y --=的最大值或最小值；7、求过P （0，1-），Q （1，2），R （3-，2）的抛物线的解析式；B 组1、抛物线132-+=x ax y 与x 轴交于两点，则a 的取值范围是------------------------------( ) A 0>a B 94->a C 49->a D 49->a 且 a ≠02、对抛物线1822+-=x x y 则对称轴与最值分别是------------------------------------------（ ）A. 直线x = 2 , 有最大值7-B. 直线x = 2, 有最小值7-C. 直线2-=x , 有最大值 25D. 直线2-=x , 有最小值253、若二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则直线b ax y +=不经过-----------（）A. 第四象限B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限4、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，下列结论：1. 0<++c b a ; 2.0>+-c b a ; 3. 0<abc ; 4. a b 2=，正确的个数是-----------------------------( )A 4 个B 3 个C 2 个D 1个5、如图，直线b ax y +=与抛物线c bx ax y ++=2的图象正确的是--------------------（ ）6、当_____=x 时，二次函数1322++=x x y 有最 值是 。
数学初三讲义T5Bcssx11
数学初三讲义T5Bcssx11科目：数学年级：初三教师：张立平2005——2006学年第二学期第十一周第四章统计与概率一、主要知识网络二、本周学习导航1. 注意结合本章知识的学习，回顾复习所学的统计与概率的相关知识，如统计一般应经过哪几个过程，在各个过程中又应注意些什么问题等。
2. 学会从统计图表中获取有用的信息，认识到不规范的统计图会给人们带来一定的“错觉”。
3. 注意体会估算的策略和方法，学会估(1) 请将每种学习方式中选择“最喜欢”的人数填入下表：(2) 根据图中的信息，请你提出一个问题．解（1）30，60，120，90，300．(2) 提出的问题合理即可．例3（2005年河北省中考题）为了解甲、乙两名运动员的体能训练情况，对他们进行跟踪测试，并把连续十周的测试成绩绘制成如图所示的折线统计图．教练组规定：体能测试成绩70分以上（包括70分）为合格．(1)请根据图中所提供的信息填写下表：(2) 请从下面两个不同的角度对这两名运动员体能测试结果进行判断：①依据平均数和成绩合格的次数比较甲和乙，的体能测试成绩较好；②依据平均数和中位数比较甲和乙，的体能测试成绩较好．(2)依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好．解（1）60，2，57 ．5，4；（2）①乙；②甲(3) 从折线图上看，两名运动员体能测试成绩都呈上升的趋势，但是，乙的增长速度比甲快，并且后一阶段乙的成绩合格的次数比甲多，所以乙训练的效果较好．例4（2005年南宁市中考题）南宁市政府为了了解本市市民对首届中国一东盟博览会的总体印象，利用最新引进的“计算机辅助电话访问系统”（简称CATI系统），采取电脑随机抽样的方式，对本市年龄在16～65岁之间的居民，进行了300个电话抽样调查．并根据每个年龄段的调查人数和该年龄段对博览会总体印象感到满意的人数绘制了的图(1)和图(2) (部分)．根据图中提供的信息回答下列问题：图(1) 图(2)(1) 被调查的居民中，人数最多的年龄段是岁；(2) 已知被抽查的300人中有83%的人对博览会总体印象感到满意，请你求出21～30岁年龄段的满意人数，并补全图(2)；(3) 比较21～30岁和41～50岁这两个年龄段对博览会总体印象满意率的高低（四舍五入到1%）注：某年龄段的满意率= 该年龄段满意人数÷该年龄段被抽查人数×100%．解（1）21～30岁；(2) 21～30岁满意的人数为：300 ×83%一（41＋50+40＋18＋7）= 93（人），画图（略）；(3) 21～30岁的满意率： 003930093⨯×100℅=11793×100℅≈79℅41～50岁的满意率：001530040⨯×100℅=4540×100℅≈89℅ 因此21～30岁年龄段比41～50岁年龄段的满意率低．例5（2005年宁夏回族自治区中考题）如图是某篮球队队员年龄结构直方图，根据图中信息解答下列问题：(1) 该队队员年龄的平均数；(3) 该队队员年龄的众数和中位数．解 从图中可以获取的信息有：17岁的队员有1人，21岁的队员有3人，18岁、23岁、24岁的队员均有2人．(1) 该队队员年龄的平均数为：=⨯+⨯+⨯+⨯+102242233212181721（岁）．(2) 该队队员年龄的众数为21岁，中位数为21岁．例6（2005年甘肃省中考题）某商贸公司有10名销售员，去年完成的销售情况如下表：（1）求销售额的平均数、众数、中位数；(2) 今年公司为了调动员工的积极性，提高销售额，准备采取超额有奖的措施．请你根据（1)的计算结果，通过比较，帮助公司领导确定今年每个销售人员统一的销售标准应是多少万元？说说你的理由．解 (1) 平均数=++++++=101087610123x 5。
数学初三讲义T5Bcssx17
科目：数学年级：初三教师：张立平2005——2006学年第二学期第十七周总复习（六）方案设计问题例析一、典型例题分析例1（2005年贵阳市课改区中考题）如图，现有m、n两堵墙，两个同学分别站在A处B处，请问小明在哪个区域内活动才不会同时被这两个同学发现（画图用阴影表示）解：小明在阴影部分的区域就不会同时被发现．例2（2005年沈阳市课改区中考题）如图所示，A、B为两个村庄, AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD 与AD互相垂直．现在要从点E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案：方案一：E→D→A→B；方案二：E→C→B→A．经测量得AB = 43千米，BC = 10千米，CE ＝6千米，∠BDC = 45°，∠ABD = 15°．已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米．(1) 求出河宽AD (结果保留根号)；(2) 求出公路CD 的长；(3) 哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由．解 (1) 过点B 作BF ⊥ AD ，交DA 的延长线于点F ．在Rt △BFA 中，∠BAF ＝60°，∴ BF= AB sin60°= 43×23 = 6， AF ＝ABcos60°＝43×21= 23∵ CD ⊥AD ，∠BDC=45°，∴ ∠BDF = 45°．在Rt △BFD 中，∵ ∠BDF= 45°， ∴ DF=BF=6．∴ AD ＝DF 一AF= 6一23．即河宽AD 为（6一23）千米．(2) 过点B 作BG ⊥CD 于G ，易证四边形BFDG 是正方形，∴ BG = BF = 6．在Rt △BGC 中，CG ＝2222610-=-BG BC ＝8，∴ CD = CG ＋GD ＝14.即公路CD 的长为14千米．(3) 方案一的铺设电缆费用低．由（2），得DE=CD 一CE ＝8.∴ 方案一的铺设费用为：2（DE ＋AB ）十4AD= 40万元，方案二的铺设费用为：2（CE ＋BC ＋AB ）=（32＋83）万元．∵ 40＜32十83，(1)(2) 请你求出张大伯矩形羊圈的面积；(3) 请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由。
人教版九年级数学上下册培优讲义机构辅导资料(共30讲)
九年级讲义目录专题01 二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点，也是难点，这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识，又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法，解题的基本思路是：1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论，同时变条件与结论，再代入求值.数学思想：数学中充满了矛盾，如正与负，加与减，乘与除，数与形，有理数与无理数，常量与变量、有理式与无理式，相等与不等，正面与反面、有限与无限，分解与合并，特殊与一般，存在与不存在等，数学就是在矛盾中产生，又在矛盾中发展.=x , y , n 都是正整数）例题与求解【例1】 当x =时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、20032-（绍兴市竞赛试题）【例2】 化简（1(ba b ab b -÷-- （黄冈市中考试题）（2（五城市联赛试题）（3（北京市竞赛试题）（4（陕西省竞赛试题）解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例3】比6大的最小整数是多少？（西安交大少年班入学试题）解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y==想一想：设x=求432326218237515x x x xx x x--++-++的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例4】 设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.（“宗泸杯”竞赛试题）解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例5】 （1的最小值.（2的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：对于（1）的几何意义是直角边为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y =，设A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例6】 设2)m a =≤≤，求1098747m m m m m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.化简：7()3“希望杯”邀请赛试题）2.若x y x y+=-=，则xy＝_____(北京市竞赛试题)3.+（“希望杯”邀请赛试题）4.若满足0＜x＜y=x，y）是_______（上海市竞赛试题）5.2x－3，则x的取值范围是（）A.x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞06）A．1B C. D. 5（全国初中数学联赛试题）7．a，b，c为有理数，且等式a+=成立，则2a＋999b＋1001c的值是（）A．1999 B. 2000 C. 2001D. 不能确定（全国初中数学联赛试题）8、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；丙：若α，β其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个（全国初中数学联赛试题）9、化简：（1（2（3（4（天津市竞赛试题）（5（“希望杯”邀请赛试题）10、设52x=，求代数式(1)(2)(3)(4)x x x x++++的值.（“希望杯”邀请赛试题）117x=，求x的值.12、设x x ==（n 为自然数），当n 为何值，代数式221912319x xy y ++的 值为1985？B 级1.已知3312________________x y x xy y ==++=则. (四川省竞赛试题)2.已知实数x ，y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--＝＿＿＿＿（全国初中数学联赛试题）3.已知42______1x x x ==++2x 那么. （重庆市竞赛试题）4.a =那么23331a a a ++＝＿＿＿＿＿. （全国初中数学联赛试题）5. a ，b 为有理数，且满足等式14a +=++则a ＋b ＝（ ）A .2B . 4C . 6D . 8(全国初中数学联赛试题)6． 已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b(全国初中数学联赛试题)7.=） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 8. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则等于（ ）A .1B .2C .3D . 4（陕西省竞赛试题）9． 把(1)a - ）A .B C. D .（武汉市调考题）10、化简：（1 （“希望杯”邀请赛试题）（210099++（新加坡中学生竞赛试题）（3（山东省竞赛试题）（4 （太原市竞赛试题）11、设01,x << 1≤<.（“五羊杯”竞赛试题）12的最大值.13、已知a , b , c为有理数，证明：222a b c a b c ++++为整数.专题02 从求根公式谈起阅读与思考一元二次方程是解数学问题的重要工具，在因式分解、代数式的化简与求值，应用题，各种代数方程，几何问题、二次函数等方面有广泛的应用.初学一元二次方程，需要注意的是： 1、熟练求解解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基础，它体现了“降次求解”的基本设想，公式法具有一般性，是解一元二次方程的主要方法，对于各项系数较大的一元二次方程，可以先从分析方程的各项系数特征入手，通过探求方程的特殊根来求解，常用的两个结论是：① 若0=++c b a ，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有一根为1. ② 若0=+-c b a ，则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有一根为1-.2、善于变形解有些与一元二次方程相关的问题时，直接求解常给解题带来诸多不便，若运用整体思想，构造零值多项式，降次变形等相关思想方法，则能使问题获得简解.思想精髓一元二次方程的求根公式为1,22b x a-±=这个公式形式优美，内涵丰富：① 公式展示了数学的抽象性，一般性与简洁美； ② 公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算；③ 公式本身回答了解一元二次方程的全部的三个问题，方程有没有实数根？有实根时共有几个？如何求出实根？例题与求解例1 阅读下列的例题解方程： 2||20x x --=解：①当x ≥0时，原方程化为220x x --=，解得122,1x x ==-(舍)① 当0<x 时，原方程化为220x x +-=，解得11=x (舍)，22-=x 请参照例题解方程：2|3|30x x ---=，则方程的根是＿＿＿＿（晋江市中考试题）解题思路：通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解.例2 方程2|1|(42)x x -=-+的解的个数为（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个（全国初中数学联赛试题）解题思路：通过去绝对值，将绝对值方程转化为一元二次方程求解.例3 已知m ，n 是二次方程2199970x x ++=的两个根，求22+19986)(20008)m m n n +++（的值.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：若求出m ，n 值或展开待求式，则计算繁难，由方程根的定义可得关于m ，n 的等式，不妨从变形等式入手.反思：一元二次方程常见的变形方法有：①把20(0)ax bx c a ++=≠变形为2ax bx c =--②把20(0)ax bx c a ++=≠变形为2ax bx c +=-③把20(0)ax bx c a ++=≠变形为cax b x+=- 其中①②体现了“降次”代换的思想；③则是构造倒数关系作等值代换. 例4 解关于x 的方程：2(1)(21)30m x m x m -+-+-=解题思路：因未指明关于x 的方程的类型，故首先分01=-m 及1-m ≠0两种情况，当1-m ≠0时，还考虑就24b ac -的值的三种情况加以讨论.例5 已知三个不同的实数a ，b ，c 满足3=+-c b a ,方程012=++ax x 和02=++c bx x ，有一个相同的实根，方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实根，求a ，b ，c 的值.解题思路：这是一个一元二次方程有公共根的问题，可从求公共根入手.方法指导：公共根问题是一元二次方程常见问题，解这类问题的基本方法是： ①若方程便于求出简单形式的根，则利用公共根相等求解. ②设出公共根，设而不求，消去二次项.例6 已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根.（全国初中数学联赛试题） 解题思路：本题有两种解法，由方程系数特点发现1为隐含的根，从而将试题进行降次处理，或变更主元，将原方程整理为关于a 的较低次数的方程.能力训练 A 级1、已知方程062=+-q x x 可以配成()72=-p x 的形式，那么262=+-q x x 可以配成＿＿＿＿＿_________的形式.（杭州市中考试题）2、若分式22221x x x x --++的值为0，则x 的值等于＿＿＿＿.（天津市中考试题）3、设方程2199319940,x x +-=和2(1994)1993199510x x -⋅-=的较小的根分别为α，β，则βα⋅＝＿＿＿.4、方程2|45|62x x x +-=-的解应是＿＿＿＿（上海市竞赛试题） 5、方程23(1)1x x x ++-=的整数解的个数是＿＿＿＿.A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个（山东省选拔赛试题）6、若关于x 的一元二次方程22(1)5320m x x m m -++-+=的常数项为0，则m 的值等于（ ） A 、1 B 、2 C 、1或2 D 、0（德州市中考试题）7、已知a , b 都是负实数，且1110a b a b+-=-，那么ba 的值是（ ）A 、12+ B 、12- C 、12- D 、12+- （江苏省竞赛试题）8、方程2||10x x --=的解是（ ）A 、12± B 、12- C 、12±或12- D 、12-± 9、已知a 是方程2199910x x -+=的一个根，求22199919981a a a -++的值.10、已知2410a a ++=且42321322a ma a ma a--=++，求m 的值. （荆州市竞赛试题）11、是否存在某个实数m ，使得方程220x mx ++=和220x x m ++=有且只有一个公共根？如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由.12、已知关于x 的方程2(4)(8)(8012)320k k x k x ----+=的解都是整数，求整数k 的值.B 级1、已知α、β是方程2(2)10x m x +-+=的两根，则22(1)(1m )m ααββ++++的值为＿＿＿ 2、若关于x 的方程20x px q ++=与20x qx p ++=只有一个公共根，则1999(p q)+＝＿＿＿3、设a , b 是整数，方程20x ax b ++=，则b a +=_________(全国通讯赛试题)4、用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=解的个数为（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 5、已知1||1a a-=，那么代数式1||a a +=（ ）A 、2 B 、2- C 、 D 6、方程||3||20x x x -+=的实根的个数为（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7、已知2519910x x --=，则代数式42(2)(1)1(1)(2)x x x x -+----的值为（ ）A 、1996B 、1997C 、1998D 、19998、已知三个关于x 的一元二次方程2220,0,0ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=恰有一个公共实根，则222a b c bc ca ab++的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3（全国初中数学联赛试题）9、已知x =，求4322621823815x x x x x x --++-+的值. （“祖冲之杯”邀请赛试题）10、设方程2|21|40x x ---=，求满足该方程的所有根之和.（重庆市竞赛试题）11、首项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++= ①及222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++= ②（其中a ， b 为正整数）有一个公共根，求b ab aa b a b --++的值.（全国初中数学联赛试题）12、小明用下面的方法求出方程30=的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，专题04 根与系数关系阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理，其逆定理也成立，是由16世纪的法国数学家韦达所发现的．韦达定 理形式简单而内涵丰富，在数学解题中有着广泛的应用，主要体现在： 1．求方程中字母系数的值或取值范围； 2．求代数式的值；3．结合根的判别式，判断根的符号特征； 4．构造一元二次方程； 5．证明代数等式、不等式．当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时，可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系，然后再结合已知条件进行求解或求证，这是利用根与系数的关系解题的基本思路，需要注意的是，应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根，所以，应用根与系数的关系解题时，必须满足判别式△≥0．例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ，则s 的取值范围是_________.【例2】 如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长，那么，实数m 的取值范围是_________.A ．01m ≤≤B ．34m ≥C ．314m <≤D ．314m ≤≤【例3】已知α，β是方程2780x x -+=的两根，且αβ>．不解方程，求223βα+的值．【例4】 设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠，求41st s t++的值．【例5】（1）若实数,a b 满足258a a +=，258b b +=，求代数式1111b a a b --+--的值； （2）关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ，求正实数a 的最小值；（3）已知,x y 均为实数，且满足17xy x y ++=，2266x y xy +=，求432234x x y x y xy y ++++的值．【例6】 ,,a b c 为实数，0ac <0++=，证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于1的根．能力训练A 级1．已知m ，n 为有理数，且方程20x mx n ++=有一个根是52-，那么m n += ．2．已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为 ． 3．当m = 时，关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数； 当 时，关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数；当 时，关于m 的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根．4．对于一切不小于2的自然数n ．关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ ．5．设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根，且12(1)(1)8x x ++=，则k 的值为（ ）A ．31-或B ．3-C ．1D ．12k ≥的一切实数 6．设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根，且1210,30x x x <-<，则 （ ） A ．12m n >⎧⎨>⎩ B ．12m n >⎧⎨<⎩ C ．12m n <⎧⎨>⎩ D ．12m n <⎧⎨<⎩7．设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根，则22122x x +-是（ ）A ．正数B ．零C ．负数D ．不大于零的数8．如图，菱形ABCD 的边长是5，两对角线交于O 点，且AO ，BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根，那么m 的值是（ ）A ．3-B ．5C ．53-或D ．53-或9．已知关于x 的方程：22(2)04m x m x --=． （1）求证：无论m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程的两个根是12,x x ，且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x ．10．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在这样的实数k ，使12123222x x x x +-=成立？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．11．如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，过C 点作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝m ，BD ＝n ，且AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．DBAC12．已知,m n 是正整数，关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解，求,m n 的值．B 级1．设1x ，2x 是二次方程032=-+x x 的两根，则3212419x x -+= ．2．已知1ab ≠，且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= ． 3．已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ，且221224x x +=，则k = ．4．已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根，则1221(2)(2)x x x x --的最大值为 ．5．如果方程210x px ++=（p ＞0）的两根之差为1，那么p 等于（ ）A ．2B ．4CD 6．已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ，且22127x x +=，则212()x x -的值是 ( )A ．1B ．12C ．13D ．257．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是 ( ) A ．23 B ．25C ．5D ．2 8．设213a a +=，213b b +=且a b ≠，则代数式2211a b+的值为（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．119．已知,a b 为整数，a b >，且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++．试求所有整数点对(,)a b ．10．若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根，其中,p q 均为整数，求,p q 的值．11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根，c ，d 是方程2420x x -+=的两根，已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++．求证：（1）222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++； （2）33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++．12．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x ．（1）若22126x x +=，求m 的值；（2）求22121211mx mx x x +--的最大值．13．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a b c ++的值．专题06 转化与化归----特殊方程、方程组阅读与思考特殊方程、方程组通常是指高次方程（组）（次数高于两次）、结构巧妙而富有规律性的方程、方程组.降次与消元是解特殊方程、方程组的基本策略，而降次与消元的常用方法是： 1、因式分解； 2、换元； 3、平方； 4、巧取倒数；5、整体叠加、叠乘等.转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想，而化归的途径是降次与消元，而化归的方向是一元二次方程，这也可以说是“九九归宗”.例题与求解【例1】已知方程组⎩⎨⎧=+=+233522y x y x 的两组解是),(11y x 与),(22y x ，则1221y x y x +的值是_______ （北京市竞赛题）解题思路：通过消元，将待求式用同一字母的代数式表示，运用根与系数的关系求值.【例2】方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组解题思路:原方程组是三元二次，不易消元降次，不妨从分析常数的特征入手．【例3】 解下列方程:（1） 42)113(1132=+-++-x xx x x x ； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （2）121193482232222=+-++-++x x x x x x x x ； （河南省竞赛试题） （3） 1)1998()1999(33=-+-x x ； （山东省竞赛试题） （4） 222222)243()672()43(+-=+-+-+x x x x x x （“祖冲之杯”邀请赛试题） 解题思路：注意到方程左边或右边项与项的结构特点、内在联系，利用换元法求解.【例4】 解下列方程组:（1） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+-+;612,331y y x y x y x （山东省竞赛试题）（2） ⎩⎨⎧=++=++;2454,144)53)(1(2y x x y x x x （西安市竞赛试题）（3） ⎩⎨⎧+-=+-=.23,23232232y y y x x x x y （全苏数学奥林匹克试题） 解题思路：观察发现方程组中两个方程的特点和联系，用换元法求解或整体处理.【例5】 若关于x 的方程xkx x x x x k 1122+=---只有一个解（相等的解也算一个）.试求k 的值与方程的解.（江苏省竞赛试题）【例6】 方程02006322=+++-y x xy x 的正整数解有多少对？解题思路：确定主元，综合利用整除及分解因式等知识进行解题.能力训练A 级1．方程1)1(3)1(222=+-+xx x x 的实数根是_____________. 2．()()()22222224367243+-=+-+-+x xx x x x ，这个方程的解为x =_________________.3．实数z y x ,,满足⎩⎨⎧=+-+-=,0223,362z xy y x y x 则zy x +2的值为_______________.（上海市竞赛题） 4． 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,01222b ax x a x bx bx ax 有实数解，则.________1=++b a（武汉市选拔赛试题）5．使得()()()()7823142222+-++=--x x x x x x 成立的x 的值得个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个（“五羊杯”竞赛试题）6．已知方程组⎩⎨⎧=-=+1,22z xy y x 有实数根，那么它有（ ）A ．一组解B ．二组解C ．三组解D ．无数组解（“祖冲之杯”邀请赛试题） 7．设a a 312=+，b b 312=+且b a ≠，则代数式2211b a +的值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11 8．已知实数y x ,满足20,922=+=++xy y x y x xy ，则22y x +的值为（ ）A ．6B ．17C ．1D ．6或179．已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=-+=-222)(3,p y x p xy p y x 有整数解()y x ,，求满足条件的质数p .10．已知方程组⎩⎨⎧=+-=++-01,022y x a y x 的两个解为⎩⎨⎧==,,11y y x x ⎩⎨⎧==,,22y y x x 且21,x x 是两个不等的正数.（1）求a 的取值范围；（2）若116832212221--=-+a a x x x x ，试求a 的值.（南通市中考试题）11．已知b a ,是方程012=--t t 的两个实根，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+.1,1y ayb x x b ya x（“祖冲之杯”邀请赛试题）12．已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为q p ,，且满足关系式()⎩⎨⎧=+=++,6,5122pq q p p q p 试求这个一元二次方程.（杭州市中考试题）B 级1．方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++++=++43251z y x z y x z y x 的解是___________________.2．已知x x x x x 71357139722=+-+++，则x 的值为______________.（全国初中数学联赛试题）3．已知实数00,y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==11x y xy 的解，则._________00=+y x （全国初中数学联赛试题）4．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=3411,9y xxy 的解是_________________. （“希望杯”邀请赛试题）5．若二元二次方程组()⎩⎨⎧+-==-12,122x k y y x 有唯一解，则k 的所有可能取值为______________. （《学习报》公开赛试题）6．正数654321,,,,,x x x x x x 同时满足1165432=x x x x x x ，2265431=x x x x x x ，3365421=x xx x x x ，4465321=x x x x x x ，6564321=x x x x x x ，9654321=x xx x x x . 则654321x x x x x x +++++的值为________.（上海市竞赛试题）7．方程06623=+--x x x 的所有根的积是（）A ．3B ．-3C ．4D ．-6E ．以上全不对（美国犹他州竞赛试题）8．设y x ,为实数，且满足()()()()⎩⎨⎧=-+--=-+-,1119991,111999133y y x x 则=+y x （ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2（武汉市选拔赛试题）9．已知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=,3,2,1222z y x z y x xyz 则111111-++-++-+y zx x yz z xy 的值为（ ）A ．1B ．21-C ．2D ．32-10．对于实数a ，只有一个实数值x 满足等式012211112=-++++-+-+x a x x x x x ，试求所有这样的实数a 的和.（江苏省竞赛试题）11．解方程a x x x x =--+-+1212，其中0>a ，并就正数a 的取值，讨论此方程解的情况.（陕西省竞赛试题）12．已知c b a ,,三数满足方程组⎩⎨⎧=+-=+,4828,82c c ab b a 试求方程02=-+a cx bx 的根. （全国初中数学联赛试题）13．解下列方程（组）：（1）()1639322=-+x x x ； （武汉市竞赛试题）（2）()()()6143762=+++x x x ；（湖北省竞赛试题）（3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+,414,414,414222222x z z z y y y x x （加拿大数学奥林匹克竞赛试题）专题08 二次函数阅读与思考二次函数是初中代数的重要内容，既有着应用非常广泛的丰富性质，又是进一步学习的基础，主要知识与方法有：1.二次函数解析式c bx ax y ++=2的系数符号，确定图象的大致位置.2.二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的形状仅仅与a 有关，a b 2-与（ab2-，a b ac 442-）决定抛物线对称轴与顶点的位置.3.二次函数的解析式通常有下列三种形式： ①一般式：c bx ax y ++=2； ②顶点式n m x a y +-=2)(：；③交点式：))((21x x x x a y --=，其中1x ，2x 为方程02=++c bx ax 的两个实根. 用待定系数法求二次函数解析式，根据不同条件采用不同的设法，可使解题过程简捷.例题与求解【例1】 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，现有以下结论：①0>abc ；②c a b +<；③024>++c b a ；④b c 32<；⑤()()1≠+>+m b am m b a .其中正确的结论有（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个 （天津市中考试题）解题思路：由抛物线的位置确定a ，b ，c 的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综合推理.【例2】 若二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0），则c b a S ++=的值的变化范围是（ ）A .0＜S ＜1B . 0＜S ＜2C . 1＜S ＜2D . －1＜S ＜1 （陕西省竞赛试题） 解题思路：设法将S 表示为只含一个字母的代数式，求出相应字母的取值范围，进而确定S 的值的变化范围.【例3】 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的坐标系下经过原点O 的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）. 在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面3210米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会失误.（1）求这条抛物线的解析式；（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为533米.此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由. （河北省中考试题） 解题思路：对于（2），判断此次跳水会不会失误，关键时求出距池边的水平距离为533米时，该运动员与跳台的垂直距离.【例4】 如图，在直角坐标xOy 中，二次函数图象的顶点坐标为C （4，3-），且在x 轴上截得的线段AB 的长为6.（1）求二次函数的解析式；（2）在y 轴上求作一点P （不写作法），使PA ＋PC 最小，并求P 点坐标；（3）在x 轴的上方的抛物线上，是否存在点Q ，使得以Q ，A ，B 三点为顶点的三角形与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由. （泰州市中考试题） 解题思路：对于（1）、（2），运用对称方法求出A ，B ，P 点坐标；对于（3），由于未指明对应关系，需分类讨论.【例5】 如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE ，其中AF ＝2，BF ＝1.试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积. （辽宁省中考试题） 解题思路：设DN ＝PM ＝x ，矩形PNDM 的面积为y ，建立y 与x 的函数关系式. 解题的关键是：最值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围.PMF E DNCBA【例6】 将抛物线33:211+-=x y c 沿x 轴翻折，得抛物线2c ，如图所示.（1）请直接写出抛物线2c 的表达式.（2）现将抛物线1c 向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线2c 向右也平移移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴的交点从左到右依次为D ，E .①当B ，D 是线段AE 的三等分点时，求m 的值；②在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由. （江西省中考试题） 解题思路：把相应点的坐标用m 的代数式表示，由图形性质建立m 的方程. 因m 值不确定，故解题的关键是分类讨论.能力训练A 级1.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，则a 的值为__________.2.已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，ABC S ∆＝3，则b ＝____________. （四川省中考试题）3.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示. （1）这个二次函数的解析式是y ＝_________； （2）当x ＝________时，3=y ；（3）根据图象回答，当x _______时，0>y . （常州市中考试题） 4.已知二次函数的图象经过原点及点（21-，41-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为_______________. （安徽省中考试题） 5.二次函数c bx ax y ++=2与一次函数c ax y +=在同一坐标系中的图象大致是（ ）A B C D6.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数c bx x y ++=2的图象过点（1，0）……求证：这个二次函数的图象关于直线2=x 对称，根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是（ ）A .过点（3，0）B .顶点是（2，－2）C .在x 轴上截得的线段长度是2D .与y 轴的交点是（0，3） （盐城市中考试题） 7.如图，抛物线c bx ax y ++=2与两坐标轴的交点分别是A ，B ，E ，且△ABE 是等腰直角三角形，AE ＝BE ，则下列关系式不能总成立的是（ ） （大连市中考试题）A .0=bB . 2c S ABE =∆ C .1-=ac D .0=+c a第7题图 第8题图 8.如图，某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米处高各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（ ）A .9.2米B .9.1米C .9米D .5.1米 （吉林省中考试题）9.如图，是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图. 在地面O ，A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β，OA ＝1千米，tan α＝289, tan β＝83,位于O 点正上方35千米D点处的直升机向目标C 发射防空导弹，该导弹运行到达距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中E 点）.（1）若导弹运行为一抛物线，求抛物线的解析式；（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标的理由.（河北省中考试题）10.如图，已知△ABC 为正三角形，D ，E 分别是边AC 、BC 上的点（不在顶点），∠BDE ＝60°. （1）求证：△DEC ∽△BDA ；（2）若正三角形ABC 的边长为6，并设DC ＝x ，BE ＝y ，试求出y 与x 的函数关系式，并求BE 最短时，△BDE 的面积.CEDBA11.如图，在平面直角坐标系中，OB ⊥OA 且OB ＝2OA ，点A 的坐标是（－1，2）. （1）求点B 的坐标；（2）求过点A ，O ，B 的抛物线的解析式；（3）连结AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使ABO ABP S S ∆∆=.(陕西省中考试题)12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线n mx x y ++=2经过点A （3，0），B （0，－3）两点，点P 是直线AB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M .设点P 的横坐标为t ；（1）分别求直线AB 和这条抛物线的解析式；（2）若点P 在第四象限，连结BM ，AM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积；（3）是否存在这样的点P ，使得以点P ，M ，B ，O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由. （南宁市中考试题）B 级1.已知二次函数c x x y +-=62的图象顶点与坐标原点的距离为5，则c ＝________.2.如图，四边形ABCD 是矩形，A ，B 两点在x 的正半轴上，C ，D 两点在抛物线x x y 62+-=上.设OA 的长为m (0＜m ＜3).矩形ABCD 的周长为l ，则l 与m 的函数解析式为__________________.（昆明市中考试题）第2题图 第3题图 第4题图3.如图，在⊙O 的内接△ABC 中，AB ＋AC ＝12，AD ⊥BC ，垂足为D （点D 在边BC 上），且AD ＝3，当AB 的长等于________时, ⊙O 的面积最大，最大面积为___________.4.如图，已知二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 与一次函数)0(2≠+=k m kx y 的图象相交于点A （－2，4），B （8，2），则能使21y y >成立的x 的取值范围时______________. (杭州市中考试题) 5.已知函数c bx ax y ++=2的图象如下图所示，则函数c ax y +=的图象只可能是（ ）（重庆市中考试题）A B C D6.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列6个代数式：ab ，ac ，c b a ++，c b a +-，b a +2，b a -2中，其值为正的式子个数为 ( )A .2个B .3个C .4个D .4个以上 （全国初中数学联赛试题）7.已知抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴是2=x ，且经过点P (3,0)则c b a ++的值为（ ） A .－1 B .0 C .1 D .2 8.已知二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的对称轴是2=x ，且当0,,2321===x x x π时，二次函数y 的值分别时321,,y y y ，那么321,,y y y 的大小关系是（ ）A . 321y y y >>B . 321y y y <<C . 312y y y <<D . 312y y y >>9.已知抛物线4)343(2++-=x m mx y 与x 轴交于两点A ，B ，与y 轴交于C 点，若△ABC 是等腰三角形，求抛物线的解析式. （“新世纪杯”初中数学竞赛试题） 10.如图，已知点M ，N 的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P 是抛物线241x y =上的一个动点. （1）判断以点P 为圆心，PM 为半径的圆与直线1-=y 的位置关系； （2）设直线PM 与抛物线241x y =的另一个交点为Q ，连结NP ，NQ ，求证：∠PNM ＝∠QNM . （全国初中数学竞赛试题）11.已知函数122--=x x y 的图象与x 轴相交于相异两点A ，B ，另一抛物线c bx ax y ++=2过点A ，B ，顶点为P ，且△APB 是等腰直角三角形，求a ，b ，c 的值. （天津市竞赛试题）12.如图1，点P 是直线22:--=x y l 上的点，过点P 的另一条直线m 交抛物线2x y =于A ，B 两点.（1）若直线m 的解析式为2321+-=x y ，求A ，B 两点的坐标； （2）如图2，①若点P 的坐标为（－2，t ），当PA ＝AB 时，请直接写出点A 的坐标；②试证明：对于。
九年级上下册数学培优系统讲义
九年级上下册数学培优系统讲义第1讲 一元二次方程㈠★知识点精讲1.一元二次方程的概念⑴ 只含有 个未知数，未知数的最高次数是 且二次项系为_____的整式方程叫一元二次方程.⑴一元二次方程的一般形式()002≠=++a c bx ax ，其中二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 .2.一元二次方程的解法⑴直接开平方法：针对()()02≥=+an n a m x⑴配方法：针对()002≠=++a c bx ax ，再通过配方转化成())0(2≥=+n n m x a注：① 配方法的目的是将方程左边化成含未知数的完全平方，右边是一个非负 常数的形式；②配方法常用于证明一个式子恒大于0或恒小于0，或者求二次函数的最值.⑶ 公式法：当0≥∆时（=∆ ），用求根公式 ，求一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的方法.⑶ 因式分解法：通过因式分解，把方程变形为()()0=--n x m x a ，则有m x =或n x =.注：⑴ 因式分解的常用方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使用，其中十字相乘法是最方便、快捷的方法.⑵ 此法可拓展应用于求解高次方程.典型例题讲解及思维拓展●例1 ⑴方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m = .⑴关于x 的一元二次方程()01122=-++-a x x a 有一个根是0，则a = .拓展变式练习11.关于x 的方程03)3(72=+---x x m m 是一元二次方程，则m =__________.2.已知方程012=-+mx x 的一个根121-=x ，则m 的值为 .●例2 解下列方程：⑶0182=+-x x ⑵()()2221239x x -=-拓展变式练习2解下列方程:⑶8632+-=x x⑵()()2221239x x -=-⑶()()1232=--x x⑶()222596x x x -=+-⑸04)32(5)23(2=+-+-x x⑹()()02123122=++-+x x⑺()2223n n m x m x =+--⑻a x a ax x -=+-222●例3 已知0132=-+x x ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛--+÷--2526332x x x x x 的值.拓展变式练习3 1.已知0200052=--x x ，求()()211223-+---x x x 的值.2.已知0132=+-a a ，求2219294a a a ++--的值.■ 巩固训练题一、填空题1.若方程()()053222=-++--x m x m m 是一元二次方程，则m 的值为 . 2.已知方程()()08=-+x a x 的解与方程0872=--x x 的解完全相同，则a = .3.如果二次三项式226m x x +-是一个完全平方式，那么m 的值是___________.4.若412+-mx x 是一个完全平方式，则m 的值是___________.5.已知06522=--y xy x ，则yx 的值是 . 6.已知7532=++x x ，则代数式2932-+x x 的值为________________.二、解答题1. 解下列方程：⑴ 04052=-x ⑴ ()0644292=-+x⑶20x x -= ⑶ 0813642=+-x x⑶ 22)52()2(+=-x x （6）()x x 210532-=-2. 某商店如果将进价为8元的商品按10元销售，每天可售出200件，通过一段时间的摸索，该店主发现这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，每降价0.5元，其销售量就增加10件.（1）你能帮店主设计一种方案，使每天的利润达到700元吗？（2）当售价是多少元时，能使一天的利润最大？最大利润是多少？■思维与能力提升1. 设a 、b 为实数，求542222+-++b b ab a 的最小值，并求此时a 、b 的值.2.设a 、b 、c 为实数，求1984254222+--+++c b c b ab a 的最小值，并求此时c b a ++的值.3.已知()012009200720082=-⨯-x x 的较大根为a ，020*******=--x x 的较小根为b ，求()2003b a +.4.如图，锐角∆ABC 中，PQRS 是∆ABC 的内接矩形，且S S PQRS ABC n 矩形=∆，其中n 为不小于3的自然数，求证：AB BS为无理数.DS 金牌数学专题二 一元二次方程㈡★知识点精讲1.一元二次方程根的判别式⑴ 根的判别式：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 是否有实根，由 的符号确定，因此我们把 叫做一元二次方程的根的判别式，并用∆表示，即 .⑵ 一元二次方程根的情况与判别式的关系：⇔>∆0方程有 的实数根；⇔=∆0方程有 的实数根；⇔<∆0方程 实数根；⇔≥∆0方程 实数根.2.根系关系（韦达定理）⑴ 对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根21x x ，，有ab x x -=+21，ac x x =⋅21 ⑵ 推论：如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么p x x -=+21，q x x =⋅21. ⑶ 常用变形：()2122122212x x x x x x -+=+ ()()212212214x x x x x x -+=- 3.列方程解应用题的一般步骤：⑴______，⑵______，⑶______⑷______，⑸______，⑹______.4.常见题型⑴ 面积问题；⑵ 平均增长（降低）率问题；⑶ 销售问题；⑷ 储蓄问题.典型例题讲解及思维拓展●例1. 若关于x 的方程()()0122122=++--x m x m 有实根，求m 的取值范围.拓展变式练习11.若关于x 的方程032)1(22=-+++-m m x x m 有实数根，求m 的值.2.是否存在这样的非负整数m ，使得关于x 的一元二次方程()0191322=-+--m x m mx 有两个不相等的实数根，若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由.●例2 已知21x x ，是方程03622=++x x 的两根，不解方程，求下列代数式的值： ⑶2112x x x x + ⑶ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+122111x x x x ⑶ ()221x x -拓展变式练习21. 已知21x x ，是方程03622=++x x 的两根，不解方程，，求下列各式的值：⑶ 321231x x x x + ⑶ 112112+++x x x x ⑶ 21x x -2.已知关于x 的方程()024122=+--m x m x ，是否存在正数m ，使方程的两实根的平方和等于224？若存在，则求出来；若不存在，说明理由.●例3 某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助．2008年，A 市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元．（1）求A 市投资“改水工程”的年平均增长率；（2）从2008年到2010年，A 市三年共投资“改水工程”多少万元？拓展变式练习31. 市政府为解决市民看病贵的问题，决定下调一些药品的价格.某种药品的售价为125元/盒，连续两次降价后的售价为80元/盒，假设每次降价的百分率相同，求这种药品每次降价的百分率.2. 王洪将100元暑期勤工俭学所得的100元，按一年期定期存入少儿银行，到期后取出本息和，其中的50元捐给希望工程，余下的部分又按一年定期存入，这时存款利率已下调到第一年的一半，这样到期后得本息和共63元，求第一年的存款利率.3.一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x(元)取整数．．，用y(元)表示该店日净收入．(日净收入＝每天的销售额－套餐成本－每天固定支出).⑴求y与x的函数关系式；(2)若每份套餐售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？(3)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？■巩固训练题一、填空题1.已知方程022=+-m x x 的一个根是51-，则另一根为 ，m = . 2.如果21x x ，是两个不相等的实数，且12121=-x x ，12222=-x x ，则=21x x .3.若a 、b 是方程0532=--x x 的两个实数根，则b b a 3222-+= .4.以2与－6为根的一元二次方程是 .5. 一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至到现在48.6元，则平均每次降价的百分比率是____________.6.巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x ，则可列方程为 .二、解答题1.已知a 、b 是方程042=+-m x x 的两个根，b 、c 是方程0582=+-m x x 的两个根，求m 的值.2.为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委 州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现，该产品每天的销售量W(克)与销售价x (元/千克)有如下关系：W=－2x ＋80.设这种产品每天的销售利润y (元).(1)求y 与x 之间的函数关系式.(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？■思维与能力提升1.当k 是什么整数时，方程()()072136122=+---x k x k 有两个不相等的正 整数根？2.已知关于x 的方程()0321222=--++-m m x m x 的两个不相等实数根中 有一根为0.是否存在实数k ，使关于x 的方程()02522=-+----m m k x m k x 的两个实根21x x ，之差的绝对值为1？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.3.已知21x x ，是关于x 的方程()002≠=++p q px x 的两个实数根，且13222121=++x x x x ，()()0211211=+++x x xx ，求q p +的值.4．已知实数a 、b 、c 满足2=++c b a ，4=abc ，求a 、b 、c 中最大者的 最小值.■补充讲解■反思与归纳DS 金牌数学专题三反比例函数★知识点精讲1.反比例函数⑴ 概念：一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成x k y =（k 为常数，0≠k ）的形式，那么称y 是x 的反比例函数，其中自变量x 不能为零. ⑵ 常见形式：x k y =（k 为常数，0≠k ），1-=kx y （k 为常数，0≠k ）， k xy =（k 为常数，0≠k ） 2.反比例函数的图象 ⑴ 反比例函数x k y =（k 为常数，0≠k ）的图象是由两条曲线组成的，叫 做 ，因为0≠k 、0≠x ，所以函数图象与x 、y 轴均无交点，而且它是一个以原点为对称中心的中心对称图形. ⑵ 图象基本性质0>k 0<k反 比 例 函 数 图 象性 质两分支位于 象限， 在每一象限内，y 随x 的增大 而两分支位于 象限， 在每一象限内，y 随x 的增大 而⑶ k 的几何意义=AOBP S 矩形_________.=∆AOP S Rt __________.3.直线1y k x m =+和双曲线x k y 2=的交点⑴求直线1y k x m =+和双曲线x k y 2=的交点就是求方程组 的解．反之，交点坐标同时满足两个函数的解析式，可利用待定系数法求解. ⑵ 交点个数由两方程组成的方程组转化得到的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解的情况决定．①当 时，直线与双曲线有两个交点． ②当 时，直线与双曲线有一个交点．y P(m,n) AoxB③当 时，直线与双曲线没有交点． 4.反比例函数和一次函数的综合应用① 交点与解析式相互转化 ② 求三角形、四边形面积 ③ 特殊三角形、四边形的存在性问题 ④ 其它综合典型例题讲解及思维拓展 ● 例1 若反比列函数1232)12(---=k kx k y 的图像经过二、四象限.⑴求k 的值.⑵ 若点()1,2y A -，()2,1y B -，()3,3y C 都在其图象上，比较，，的大小关系.拓展变式练习11.若反比例函数22)12(--=m x m y 的图像在第一、三象限，则m 的值是 .2.在函数（为常数）的图象上有三个点（-2，），(-1，)，（，），函数值，，的大小为 . 3.设有反比例函数，、为其图象上的两点，若时，，则的取值范围是___________.1y 2y 3y x k y 22--=k 1y 2y 213y 1y 2y 3y●例2 如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于A 、B 两点.（1）根据图象，分别写出A 、B 的坐标； （2）求出两函数解析式；（3）根据图象回答：当x 为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值拓展变式练习21. 如图，一次函数122y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B ，P 为AB 上一点且PC 为△AOB 的中位线，PC 的延长线交反比例函数(0)ky k x=>的图象于Q ，32OQC S ∆=，求k 的值和Q 点的坐标.2. 已知21y y y -=，1y 与x 成反比例，2y 与2x 成正比例，且当1-=x 时，5-=y ；1=x 时，1=y .求y 与x 之间的函数关系式.x yO A P C QBOxyBA D C 3.已知函数221y y y +=，1y 与2x 成正比例，2y 与x 2成反比例，且当1-=x 时，1=y ；当2=x 时，437=y .求y 关于x 的函数关系式.●例3 如图，已知反比例函数()0<=k y x k 的图象经过点A (3)m -，，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为3. ①求k 和m 的值；②若一次函数1y ax =+的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点C ，求∠ACO 的度数和AO :AC 的值.拓展变式练习31.已知点A 是直线)1(++-=k x y 和双曲线x k y =在第四象限的交点，AB⊥x 轴于点B ，且S 5.1=∆ABO .（1）求这两个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和△AOC 的面积；（3）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围.2.如图，一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，5OB =．且点B 横坐标是点B 纵坐标的2倍． （1）求反比例函数的解析式；（2）设点A 横坐标为m ，ABO △面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并求出自变量m 的取值范围．3.如图所示，点A 、B 在反比例函数()0≠=k y xk 的图象上，且点A 、B•的横坐标分别为a 、2a （a >0），AC⊥x 轴于点C ，且△AOC 的面积为2． （1）求该反比例函数的解析式． （2）若点（-a ，1y ）、（-2a ，2y ）在该函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小． （3）求△AOB 的面积．O xyA C DB●例4 若一次函数12-=x y 和反比例函数x k y 2=的图象都经过点（1，1）．⑴求反比例函数的解析式；⑵已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标； ⑶利用（2）的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．拓展变式练习41.已知反比例函数x k y 2=和一次函数12-=x y ，其中一次函数图像经过（a ，b ）（a ＋1，k b +）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图像上，求A 点坐标；（3）利用（2）的结论，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，所符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．2. C 、D 是双曲线x my =在第一象限内的点，直线CD 分别交x 轴、y 轴于 A 、B 两点，设C 、D 坐标分别是(1x ，y 1)、(2x ，y 2)，连结OC 、OD.∠AOD=∠BOC=α，作CE⊥y 轴 ，DF⊥x 轴，且31==OF DFOE CE ，10=OC . ⑴求C 、D 的坐标和m 的值.⑵求OCD S ∆.⑶双曲线上是否存在一点P ，使得POD POC S S ∆∆= 若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.3.已知双曲线()0163>=x y x，与经过点A(1，0)、B(0，1)的直线交于点P 、Q ，连结OP 、OQ.⑴求证：ΔOAQ≌ΔOBP⑵若C 是OA 上不与O 、A 重合的任意一点，CA=a ，(0<a <1)，CD⊥AB 于D ，DE⊥OB 于E.①a 为何值时，CE=AC ？②在线段OA 上是否存在点C ，使点CE∥AB？若存在这样的点，则请写出点C 的坐标，若不存在，请说明理由.xyCDA B EF OA ． x y OB ． x y OC ．x y O D ． x y O■巩固训练题一、选择题 1.函数x k y =的图象经过点（－4，6），则下列各点中在xk y =图象上的是（ ） A.（3，8） B.（3，－8） C.（－8，－3） D.（－4，－6） 2.已知反比例函数)0(<=k xky 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且21x x <，则21y y -的值是（ ）A.正数B.负数C.非正数D.不能确定 3.已知点P 是反比例函数()0≠=k y xk 的图像上任一点，过P•点分别作x 轴，y 轴的平行线，若两平行线与坐标轴围成矩形的面积为2，则k 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．±2 D．44.如图，已知函数ky x=-中，0x >时，y 随x 的增大而增大，则y kx k =-的大致图象为（ ）5.已知关于x 的函数()1-=x k y 和y=-kx(k ≠0),它们在同一坐标系内的图像大致是下图中的( )二、解答题1.如图，正比例函数()0>=k kx y 与反比例函数xk y =的图象交于A 、C 两点，过A 点作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 点作x 轴的垂线，垂足为D ，求S 四边形ABCD ．2.制作一种产品，需先将材料加热到60C ︒后，再进行操作，设刻材料温度为y C ︒，从开始加热计算的时间为x 分钟，据了解，该材料加热后，温度y 与时间成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系(如图)，已知该材料在操作加工前的温度为15C ︒，加热5分钟后温度达到60C ︒. ⑴分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与x 的函数关系；⑵拫据工艺要求，当材料的温度低于15C ︒时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多长时间？3.等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 的坐标为（33,3-）， 点B 的坐标为（－6，0）.（1）若三角形OAB 关于y 轴的轴对称图形是三角形O A B ''，请直接写出A 、B 的对称点A 'B '、的坐标；（2）若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A 恰好落在反比例函数x y 36=的图像上，求a 的值；（3）若三角形OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α度（090α<<）. ①当α=30时点B 恰好落在反比例函数x k y =的图像上，求k 的值． ②问点A 、B 能否同时落在①中的反比例函数的图像上，若能，求出α的值；若不能，请说明理由.y xO56015■思维与能力提升1、如图，在直角坐标平面内，函数x my =（0x >，m 是常数）的图象经过(14)A ，，()B a b ，，其中1a >．过点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，连结AD 、DC 、CB ．（1）若ABD △的面积为4，求点B 的坐标；（2）求证：DC AB ∥；（3）当AD BC =时，求直线AB 的函数解析式．2.如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在()5.01，C 处，两直角边分别与y x ，轴平行，纸板的另两个顶点恰好是直线29+=kx y 与双曲线)0(>=m y x m的交点．（1）求m 和k 的值；（2）设双曲线)0(>=m y xm 在B A ,之间的部分为L ，让一把三角尺的直角顶点P 在L 上滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段AB 交于N M ,两点，请探究是否存在点P 使得AB MN 21=，写出你的探究过程和结论．B A ，yONM CP3.如图，已知直线AB 交两坐标于A 、B 两点，且OA=OB=1，点P （a 、b ）是双曲线x y 21=上在第一象内的点过点P 作PM⊥x 轴于M 、PN⊥y 轴于N ．两垂线与直线AB 交于E 、F ．（1）写出点E 、F 的坐标（分别用a 或b 表示） （2）求△OEF 的面积（结果用a 、b 表示）； （3）△AOF 与△BOE 是否相似？请说明理由；（4）当P 在双曲线x y 21=上移动时，△OEF 随之变动，观察变化过程，△OEF 三内角中有无大小始终保持不变的内角？若有，请指出它的大小，并说明理由．■补充讲解■反思与归纳DS 金牌数学专题四直角三角形的边角关系㈠★知识点精讲1.在ABC Rt ∆中，锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______tan =A ；锐角A 的邻边与对边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______cot =A .2.坡比、坡角①坡面的铅直高度h 与水平宽度l 的比叫做________，用字母i 表示，即________=i ，坡面与水平面的夹角α叫________，即_______tan =α. ②工程上斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示，坡面的_______和________的比称为坡度或坡比，坡度是坡角的_______，坡度______，坡面越陡. 3.在ABC Rt ∆中，锐角A 的对边与斜边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______sin =A ；锐角A 的邻边与斜边的比叫做A ∠的_________，记做_______，即_______cos =A .4.在ABC Rt ∆中，若︒=∠+∠90B A ，则A sin 与A cos 的关系是_______，由此可得()_______90sin =-︒A ，()_______90cos =-︒A .典型例题讲解及思维拓展● 例1. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，如果125tan =A ，且24=AC ，求：⑴BC 和AB 的长；⑵A sin 和A cos 的值.拓展变式练习11. 在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，如果135tan =A ，且26=AC ，求：⑴BC 和AB 的长； ⑵A sin 和A cos 的值.2.在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，D 是BC 上的一点，34tan =∠ADC ，21tan =B ，BD=5，求AD 的长.3.在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，D 是AC 的中点，且BC=AC ，求CDA ∠tan 和DAC ∠sin 的值.●例2.如图，某县为了增强防洪能力，加固长90米，高5米，坝顶宽为4米，迎水坡和背水坡的坡度都是1：1的横断面是梯形的防洪大坝.要讲大坝加高1米，背水坡的坡度改为1：1.5，已知坝顶宽不变，问大坝的横截面积增加了多少平方米？增加了多少立方米土方？拓展变式练习21. 如图，拦水坝的横截面为梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC，AD=6，BC=14，梯形ABCD的面积是40，求斜坡AB的坡度.2. 如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度3:1i，斜坡CD的坡度为c，求斜坡AB的坡角(精确到'1），坝底宽AD和斜坡AB的长.(精确到1.0m)3. 泸杭甬高速公路拓宽宁波段工程进入全面施工阶段，在现有双向四车道的高速公路两侧经加宽形成双向八车道.如图，路基原横断面为等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，斜坡DC 的坡度为i 1，在其一侧加宽DF=7.75米，点E 、F 分别在BC 、AD 的延长线上，斜坡FE 的坡度为i 2(i 1<i 2).设路基的高DM=h 米，拓宽后横断面一侧增加的四边形DCEF 的面积为s 米2. (1)已知i 2=1:1.7，h=3米,求ME 的长.(2)不同路段的i 1、i 2、、、h 是不同的，请你设计一个求面积S 的公式(用含i 1、i 2的代数式表示).● 例3. 计算︒+︒-︒-︒︒30tan 345sin 260cos 45cos 30sin拓展变式练习3 1.计算下列各题：⑴()()2121145sin 260tan 130sin 2-︒+︒---︒-； ⑵()212321+-+÷-x x x ，其中︒-︒=60cos 245sin 4x .2. 在ABC ∆中，若()0cos 1tan 223=-+-B A ，其中A ∠、B ∠均为锐角，求C ∠的度数.3. 已知31tan =α且α为锐角，求ααααcos sin 2cos 2sin 3+-的值.■巩固训练题1.已知211(sin )sin 22αα-=-，则锐角α的取值范围是 .2.在△ABC 中，90C ∠=︒且两直角边a b 、满足22560a ab b -+=，则sin A = .3.如图，已知AD 为等腰△ABC 底边上的高，且4tan 3B =，AC 上有一点E ，满足2:3AE EC =:，那么tan ADE ∠= .二.解答题1.如图，在四边形ABCD 中，60DAB ∠=︒，90ABC CDA ∠=∠=︒,2CD =，3BC =，求AB 的长.2. 两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A =60°，AC =1. 固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：(1) 如图 (1)，△DEF 沿线段AB 向右平移(即D 点在线段AB 内移动)，连结DC 、CF 、FB ，四边形CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.(2)如图 (2)，当D 点移到AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由.(3)如图 (3)，△DEF 的D 点固定在AB 的中点，然后绕D 点按顺时针方向旋转 △DEF ，使DF 落在AB 边上，此时F 点恰好与B 点重合，连结AE ，请你求出sinα 的值.A B E FC D 图 (1)A B E F CD 图 (2)A B() (F )C D 图 (3) Eα■ 思维与能力提升在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，若A ∠、B ∠、C ∠的对边分别是a 、b 、c . ⑴若()A A 22sin sin =，()A A 22cos cos =，请根据三角形函数的定义证明：①1cos sin 22=+A A ； ②BBB cos sin tan =.⑵根据上面的两个结论解答：①若2cos sin =+A A ，求A A cos sin -的值；②若2tan =B ，求B B BB sin cos 2sin cos 4+-的值.■ 补充讲解■反思与归纳DS金牌数学专题五直角三角形的边角关系㈡★知识点精讲1.仰角、俯角：①当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的角叫；②当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的角叫.2.方位角：指北或指南方向与_____________所成的夹角叫方位角.典型例题讲解及思维拓展●例1.如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A处起飞，几分钟后便飞达C处，此时，在AQ延长线上B处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ的顶点P在同一直线上.（1）已知旗杆高为10米，若在B处测得旗杆顶点P的仰角为30°，A处测得点P的仰角为45°，试求A、B之间的距离；（2）此时，在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC约为多少？（结果可保留根号）拓展变式练习11.汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30︒，B村的俯角为60︒（如图7）．求A、B两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据2 1.4143 1.732==，）QB C PA450 60︒30︒图72.在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC ，小丽同学在点A 处，测得条幅顶端D 的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后， 又在点B 处测得条幅顶端D 的仰角为45°，已知测点A 、B 和C 离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D 点距离地面的高度．（计算结果精确到0.1米，参考数据．）3.在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：（1）在大树前的平地上选择一点A ，测得由点A 看大树顶端C 的仰角为35°； （2）在点A 和大树之间选择一点B （A 、B 、D 在同一直线上），测得由点B 看大树顶端C 的仰角恰好为45°；（3）量出A 、B 两点间的距离为4.5米.请你根据以上数据求出大树CD 的高度.（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）23 1.732≈≈60o4.如图，在小山的西侧A 处有一热气球，以30米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为30°的方向升空，40分钟后到达C 处，这时热气球上的人发现，在A 处的正东方向有一处着火点B ，十分钟后，在D 处测得着火点B 的俯角为15°，求热气球升空点A 与着火点B 的距离. 结果保留根号，参考数据：42615sin -=︒，42615cos +=︒，3215tan -=︒，3215cot +=︒.● 例2. 如图，在某海域内有三个港口A 、D 、C ．港口C 在港口A 北偏东60方向上，港口D 在港口A 北偏西60方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30的方向驶离A 港口3小时后到达B 点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B 处测得港口C 在B 处的南偏东75方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B 处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．拓展变式练习21.根据“十一五”规划，元双(双柏—元谋)高速工路即将动工.工程需要测量某一条河的宽度.如图，一测量员在河岸边的A 处测得对岸岸边的一根标杆B 在它的正北方向，测量员从A 点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C 处，测得 68=∠ACB .求所测之处河AB 的宽度.（o o o sin68≈0.93,cos68≈0.37,tan68≈2.48）2.载着“点燃激情，传递梦想”的使用，6月2日奥运圣火在古城荆州传递， 途经A 、B 、C 、D 四地，其中A 、B 、C 三地在同一直线上，D 地在A 地北偏东45º方向，在B 地正北方向，在C 地北偏西60º方向．C 地在A 地北偏东75º方向．B 、D 两地相距2km ．问奥运圣火从A 地传到D 地的路程大约是多少？（最后结果．．．．保留整数，参考数据：2 1.4,3 1.7≈≈）A CB3.如图，A 、B 、C 三个粮仓的位置如图所示，A 粮仓在B 粮仓北偏东26，180千米处；C 粮仓在B 粮仓的正东方，A 粮仓的正南方．已知A 、B 两个粮仓原有存粮共450吨，根据灾情需要，现从A 粮仓运出该粮仓存粮的53支援C粮仓，从B 粮仓运出该粮仓存粮的52支援C 粮仓，这时A 、B 两处粮仓的存粮吨数相等．（sin 260.44=，cos 260.90=，tan 260.49=） （1）A 、B 两处粮仓原有存粮各多少吨？ （2）C 粮仓至少需要支援200吨粮食，问此调拨计划能满足C 粮仓的需求吗？ （3）由于气象条件恶劣，从B 处出发到C 处的车队来回都限速以每小时35公里的速度匀速行驶，而司机小王的汽车油箱的油量最多可行驶4小时，那么小王在途中是否需要加油才能安全的回到B 地？请你说明理由．■巩固训练题 一、选择题1. 已知α为锐角，且cot （90°－α）＝3，则α的度数为（ ） A ．30° B ．60° C ．45° D ．75°北南 西东CB A262.如图，在Ｒt △ＡＢＣ中，∠Ｃ＝900，∠Ａ＝300，Ｅ为ＡＢ上一点且ＡＥ：ＥＢ＝4：1，ＥＦ⊥ＡＣ于Ｆ，连结ＦＢ，则tan ∠CFB 的值等于（ ）32353A 53333、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、3.已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，40B ∠=，则直角边BC 的长是（ ）A ．sin 40mB ．cos 40mC ．tan 40mD ．tan 40m4.在Rt △ABC 中， ∠C=90︒，AB=4，AC=1，则cos A 的值是（ ） A ．154B ．14C ．15D ．４5.已知α为锐角，则ααcos sin +=m 的值（ ） A ．1>m B ．1=m C ．1<m D ．1≥m6. 如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心、EC 为半径的半 圆与以A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为（ ）A ．43B ．34C ．45D ．357.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若AC=2BC,则tanA 的值是（ ）A.21B. 2C. 55D. 258.已知ABC ∆中，AC=4，BC=3，AB=5，则sin A =（ ） A. 35B. 45C. 53D. 349. 如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.5的山坡上种植树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离约为（ ）A ．4.5mB ．4.6mC ．6mD ．8m10.如图，小雅家（图中点Ｏ处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点Ａ处）在她家北偏东60度500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ）．Ａ.250ｍ Ｂ．2503ｍ Ｃ．50033ｍ Ｄ．2502ｍ．A O B东北A DB E 图6 i =1:C 二.解答题1. 如图，港口B 位于港口O 正西方向120海里处，小岛C 位于港口O 北 偏西60°方向.一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏西30°的OA 方向以20海里/小时的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B 出发，沿北偏东30°方向以60海里/小时的速度驶向小岛C ，在小岛C 用一小时装补给物资后，立即按原来的速度给考察船送.⑴快艇从港口B 到小岛C 需要多少时间？⑵快艇从小岛C 出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇？2. 如图6，梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中3:1 i 是指坡面的铅 直高度DE 与水平宽度CE 的比），∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD 的面积．（结果保留三位有效数字.参考数据：3≈1.732，2≈1.414）。
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科目：数学年级：初三教师：张立平2005——2006学年第二学期第十三周总复习（二）动态几何题例析一、典型例题分析【例1】（2005年北京市中考题）如图，在ABCD中，∠DAB＝600，AB＝5，BC=3，点P 从起点D出发，沿DC, CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y与x的函数关系的是（）．解法1当点P在DC上匀速运动时，S△DAP＝12DP·BC sin∠DAB＝12x· 3·3＝33x当点P在CB上匀速运动时，S 四边形ADCP =AB·CB·sin∠ DAB一12AB·PB·sin∠ DAB=5·3·3一12·5·（8一x ）·3=5353 42x综上，本题选（A）．解法2 依题可知，点P 所经过的线段与线段AD .AP 所围成图形的面积y 应分两种情形来求，故排除（B ）、（D ）．又当点P 在DC 上匀速运动时,y= S △DAP ，此时，这个动态三角形的面积的大小只随DP 的变化而变化，而其高为定值BC ·sin60°，可推测其面积的变化比较平缓，故y 的图象应比较缓慢的增设，所以应排除（C ），选（A ）．【例2】（2005年河南中考题）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝2，DC ＝22，点P 在边BC 上运动(与B 、C 不重合)，设PC ＝x ，四边形ABPD 的面积为y.⑴求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；⑵若以D 为圆心、12为半径作⊙D ，以P 为圆心、以PC 的长为半径作⊙P ，当x 为何值时，⊙D 与⊙P 相切？并求出这两圆相切时四边形ABPD 的面积.解 ⑴过点D 作DE ⊥BC 于E ，∵∠ABC ＝900，∴DE ＝AB ＝2， 又∵DC ＝22，∴EC ＝DC 2－DE 2＝2 ∴BC ＝BE ＋EC ＝AD ＋EC ＝2＋1＝3∴S 四边形ABPD ＝(AD ＋BP)·AB 2＝(1＋3－x)×22＝4－x ，即 y ＝－x ＋4 (0＜x ＜3)⑵当P 与E 重合时，⊙P 与⊙D 相交，不合题意； 当点P 与点E 不重合时，在Rt △DEP 中， DP 2＝DE 2＋EP 2＝22＋|2－x|2＝x 2－4x ＋8 ∵⊙P 的半径为x ，⊙D 的半径为12 ，∴①当⊙P 与⊙D 外切时，(x ＋12 )2＝x 2－4x ＋8，解得 x ＝3120此时四边形ABPD 的面积y ＝4－3120 ＝4920②当⊙P 与⊙D 内切时，AB CDP(x ＋12 )2＝x 2－4x ＋8，解得 x ＝3112此时四边形ABPD 的面积y ＝4－3112＝1712∴⊙P 与⊙D 相切时，四边形ABPD 的面积为4920 或11712【例3】（2005年江苏中考题）如图,在平面直角坐标系中,∠AOB=60°,点B 坐标为（2，0），线段OA 的长为6． 将△AOB 绕点O 逆时针旋转60°后,点A 落在点C 处,点B 落在点D 处．⑴ 请在图中画出△COD;⑵ 求点A 旋转过程中所经过的路程（精确到0.1）； ⑶ 求直线BC 的解析式． 解 ⑴见图⑵180660⨯⨯π=2π≈6.3⑶过C 作CE ⊥x 轴于E ，则OE=3，CE=33，∴C （－3，33）， 设直线BC 的解析式为y=kx+b ， 则⎩⎨⎧=+-=+33302b k b k ；∴解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=536533b k∴解析式为y=－533x+536【例4】（2005年河南中考题）如图（1）, Rt △PMN 中，∠P=900, PM=PN, MN =8cm ， 矩形ABCD 的长和宽分别为8cm 和2cm ，C 点和M 点重叠，BC 和MN 在一条 直线上．令Rt △PMN 不动，矩形ABCD 沿MN 所在直线向右以每秒Icm 的速度移动（如图2），直到C 点与N 点重合为止，设移动x 秒后，矩形ABCD 与△PMN 的重叠部分的面积为ycm 2.求y 与x 之间的函数关系式．O AB y60°CDE解 在Rt △PMN 中，∵PM ＝PN ，∠P ＝90°，∴∠PMN ＝∠PNM ＝45°，延长AD 分别交PM 、PN 于点G 、H ，过点G 作GF ⊥MN 于F ，过点H 作HT ⊥MN 于T ， ∵DC ＝2cm ，∴MF ＝GF ＝2cm ，TN ＝HT ＝2cm ， ∵MN ＝8cm ，∴MT ＝6cm ，因此，矩形ABCD 以每秒1cm 的速度由开始向右移动到停止，和Rt △PMN 重叠部分的形状可分为下列三种情况：(1）当C 点由M 点运动到F 点的过程中（02x ≤≤）如图①所示，设CD 与PM 交于点E ，则重叠部分图形是Rt △MCE ，且MC ＝EC ＝x ，∴21122y MC EC x =⋅=（02x ≤≤）（2）当C 点由F 点运动到T 点的过程中（26x <≤），如图②所示，重叠部分是直角梯形MCDG ，∵MC ＝x ，MF ＝2，∴FC ＝DG ＝x －2，且DC ＝2， ∴1222y MC GD DC x =+=-g （）（26x <≤）；（3）当C 点由T 点运动到N 点的过程中（68x <≤）， 如图③所示，设CD 与PN 交于点Q ，则重叠部分是五边形MCQHG ，∵MC ＝x ，∴CN ＝CQ ＝8－x ，且DC ＝2，∴21118)12222y MN GH DC CN CQ x =+⋅-⋅=-+（）（（68x <≤）.【例5】 (2005北京中考题) 已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A、D、B三点，CB的延长线交⊙O于点E（如图1）.在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变（如图2），在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系。
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科目：数学年级：初三教师：张立平2005——2006学年第二学期第一周第一章直角三角形的边角关系（3---5）一、主要知识介绍本节主要学习使用科学计算器求解非特殊角的三角函数值，以及使用科学计算器由非特殊角的三角函数值求角的计算方法．在此基础上学习仰角和俯角以及方向角等概念，并利用解直角三角形的有关知识，解决一些简单的测量问题．二、本周学习导航通过本周的学习应该掌握如何利用科学计算器求任意锐角的正弦、余弦和正切的值，以及通过锐角三角函数的值求这个锐角．另外通过本周的学习还应该学会能用解直角三角形的有关知识去解决某些简单的实际问题，其中也包括一些能用直角三角形求解的斜三角形问题，从而进一步使把形和数结合起来，提高分析问题和解决问题的能力．同时，还应了解仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等在测量中常用的概念，并结合图形弄清它们的意义．在解直角三角形的应用题时，要注意以下几点：1.弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水位等概念的意义．认真分析题意，画出图形，并找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形；2．选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，并不容易出错；3 .按照题目中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目中要求的精确度确定答案以及注明单位．在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．一般有以下三个步骤：(1)审题，画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知；(2)将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题；(3)根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形二元素（边、角）之间关系解有关的直角三角形．其中，找出有关的直角三角形是关键，具体方法是：①将实际问题转化为直角三角形中的数学问题②作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，问题从而解决．三、重难点分析1.重点：熟练地运用计算器求某锐角的三角函数值及由锐角的三角函数值求相应的锐角是本节的重点，也是实际应用中的基本技能．善于将某些实际问题中的数量关系，转化为直角三角形中边和角的关系，从而解决问题．2.难点：将实际问题转化为数学问题，恰当地选择直角三角形中的边和角的关系解决问题．三、典型例题与分析【例1】用计算器求sin84°3′6″的值，按键顺序是（）分析：据有关规定，使用TRUL Y信利牌计算器，起动计算器后若上方有DEG信号，可直接按正弦键求值，但DEG表示的是度，所以在使用时，应把分、秒都化成度．于是84°3′6″=（84+3÷60+6÷3600）度，进而求sin84°3′6″，应按键：解：选B.【例2】求sin30°.解：首先按键，开机．先按键，再依次按键，就在显示屏上得到答案0. 5【例3】求cos31. 26°.解：先按 键，再依次按 键，就可在显示屏得到结果：0.854821314.【例4】如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰正在基地A 的正东方向且距A 地40海里的B处训练，突然接到基地命令，要该舰前往C 岛，接送一批病危的渔民到基地医院救治．已知C 岛在A 的北偏东60°方向，且在B 的北偏西45°方向，军舰从B 处出发，平均每小时行驶20海里，需要多少时间才能把患病渔民送到基地医院？（精确到0. 1 h ）分析：通过作△ABC 的高，构造Rt △ACD 和Rt △BCD ，来求AC 和BC ，设CD=x, 由AB=40列方程求解，即可．解：过C 作CD ⊥AB 于D ，设CD=x ，在Rt △ACD 中，由AD CD =tan30°， 得AD=030tan x =3x ． 同理AC= 030sin CD =2x. 在Rt △BCD 中，BD=CD=xBC= x CD BD 222=+．∵ AB=AD 十DB ，∴ 3x ＋x = 40．即（3＋1）x = 40.∴ x = 1340+=20 (3一1)．设所需时间为t, 则t=20)13(20)22(20)22(202220-⨯+=+=+=+x x x BC AC≈2 ．5（h)，即约需2. 5 h 才能把患病渔民送到基地医院．说明：正确理解方向角的概念是解决本题的关键．在解题过程中利用了方程的思想，由AB=40得到一个关于CD 的方程，从而求出CD 的长，进而得到AC 和BC 的长．方程思想是数学解题中常用的方法．【例5】如图一艘渔船以20海里／时的速度向正北航行，在A 处看见灯塔C 在船的北偏东300,半小时后，渔船行至B 处，看见灯塔C 在船的北偏东600,已知灯塔C 的周围9海里以内有暗礁，问这艘船继续向北航行是否有触礁的危险？分析：实际上是比较灯塔距渔船航行路线的距离与9海里的大小．若灯塔距渔船航行路线的距离大于9海里，则没有触礁危险，反之就会有触礁的危险．解：过C 点作CD ⊥AB 于D ，设CD=x (海里)．在Rt △BCD 中，∠CBD ＝600，∴ BD=3360tan 0=DC x. 在Rt △ACD 中，∠A=300，∴ AD=x DC 330tan 0=. 又 AB=20×21=10 ， AB ＋BD = AD ， ∴ 10+x x 333= ∴ x 332=10. ∴ x = 53≈8. 7, 而CD=8. 7＜9，∴ 这艘船继续向北航行有触礁的危险．说明：船继续向拓航行是否会触礁，关健是看点C 到AB 的最短距离是否比9小，即CD 的长度与9的大小比较，理解了这一点，本题的求解就很简单．【例6】如图, A 、 B 是两幢地平高度相等，隔岸相望的建筑物,B楼不能到达，由于建筑物密集，在A的周围没有开阔地带，为了测量B的高度只能充分利用A楼的空间，A的各层楼都可达且能看见B，现仅有的测量工具为皮尺和测角器．（皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线间的夹角）(1)请你设计一个测量B楼高度的方法：要求写出测量步骤和必要的测量数据（用字母表示），并画出测量图形．(2)用你测量的数据（用字母表示），写出计算B楼高度的表达式．分析：本题的方法较多，我们可以在A点测B楼的顶端的仰角和底端的俯角．再测得A楼的高，可求出B楼的高；解：(1)设AC表示A楼，BD表示B楼，测量步骤为：①如图1.5-9，用测角器在A楼的顶端A点测量到B楼底端的俯角α；②用测角器在点A测量到B楼楼顶的仰角β；③用皮尺从A楼楼顶放下，测量点A到地面的高为α（2）如右图，在Rt△ACD中，CD=a tan∠DAC = a cotα.在Rt△AEB中，BE=AE·tanβ∵AE= CD，∴BE=a·cotα·tanβ.∴BD=BE+ED=BE+AC= a·cotα·tanβ+a= a（1＋cotαtanβ）．说明：测量B楼高度的方法很多，当然随着测量方法不同而得出的计算B楼高度的表达式也很多．这里仅给出了一种测量方法和相应的计算B楼高度的表达式．【例7】如图，设甲楼高AB=16米，现在甲楼的北面盖一座乙楼DM，高也为16米，如果两楼相距20米(BD=20米)，已知冬天太阳最低时的正午阳光的投影角为320，试求：（1）甲楼的影子落在乙楼上有多高？（精确到0.1米）．(2) 若甲楼的影子不影响乙楼，那么两楼的距离至少应当是多少米？（精确到0。
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科目：数学年级：初三教师：张立平
——学年第二学期第十七周
总复习（六）方案设计问题例析
一、典型例题分析
例（年贵阳市课改区中考题）
如图，现有、两堵墙，两个同学分别站在处处，请问小明在哪个区域内活动才不会同
时被这两个同学发现（画图用阴影表示）
解：小明在阴影部分的区域就不会同时被发现．
例（年沈阳市课改区中考题）
如图所示，、为两个村庄, 、、为公路，为田地，为河宽，且与互相垂直．现在要从点处开始铺设通往村庄、村庄的一条电缆，共有如下两种铺设方案：
方案一：→→→；
方案二：→→→．
经测量得3千米，千米，＝千米，
∠°，∠°．
已知：地下电缆的修建费为万元／千米，水下电缆的修建费
为万元／千米．
() 求出河宽(结果保留根号)；
() 求出公路的长；
() 哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由．解() 过点作⊥，交的延长线于点．在△中，
∠＝°，
∴°3×23
，
＝°＝3×21
3
∵⊥，∠°，
∴∠°．
在△中，
∵∠°，
∴．∴＝一一3．
即河宽为（一
3）千米．() 过点作⊥于，易证四边形是正方形，
∴
．在△中，＝
2
222610BG BC ＝，∴＋＝. 即公路的长为千米．
() 方案一的铺设电缆费用低．
由（），得一＝.
∴方案一的铺设费用为：
（＋）十万元，
方案二的铺设费用为：
（＋＋）（＋
3）万元．∵
＜十3，∴方案一的铺设电缆费用低．。
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科目：数学年级：初三教师：张立平2005——2006学年第二学期第九周第三章圆（3。
6------3。
8）一、主要知识介绍1.两圆位里关系的概念(1) 两圆外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部（图（1））．(2) 两圆外切：两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部（图（2））.(3) 两圆相交：两个圆有两个公共点（图（3））．（4）两圆内切：两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部（图(4)）．(5) 两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部（图（5））．2. 两圆的位置与两圆半径、圆心距之间的数量关系设两圆半径分别为R和r，圆心距为d, 那么(1)两圆外离<==> d>R+r (图(1))；(2)两圆外切<==> d=R+r (图(2))；(3)两圆相交<==> R-r<d<R+r (R> r)（图（3））；(4)两圆内切<==> d=R-r (R>r) （图(4)）；(5)两圆内含<==> d<R-r (R>r) （图(5) ）.3.两圆相切的重要性质如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．如图A, 已知⊙O 1与⊙O 2相切（包括内切和外切），切点为T, 若连接O 1O 2，则切点T 一定在连心线O 1O 2上．4.两圆相交的重要性质定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．如图B, 已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，连接AB, 则：①O 1O 2⊥AB;②O 1O 2平分AB.（A ） （B ）5. 圆周长公式C= 2 πR ，其中π=3. 14159------，这个无限不循环小数叫做圆周率．6. 弧长公式因为3600的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR, 所以10的圆心角所对的弧长 是3602R π，即180R π，于是可得半径为R 的圆中，n 0的圆心角所对的弧长L 的计算公式：l =180R n π 7. 圆面积S= πR 2 (R 是圆半径)．8. 扇形面积(1) 扇形的定义一条弧和经过这条弧端点的两条半径所组成的图形叫做扇形．(2) 扇形的周长 = 2R+ l .(3) 扇形的面积如图中阴影部分的面积就是半径为R, 圆心角为n 0的扇形的面积．显然扇形面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角为10的扇形面积是3602R π，所以，圆心角为n 的扇形面积的计算公式是：lR R n s 213602==π9.圆锥的有关概念圆锥可以看成是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转一周而成的图形．这条直线叫做圆锥的轴．垂直于轴的边旋转而成的面叫做圆锥的底面．圆锥底面是一个圆，斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面，从圆锥的顶点到底面的距离叫做圆锥的高．连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线．.圆锥的侧面展开图是半径等于母线长，弧长等于圆锥底面周长的扇形，二、本周学习导航1、两圆外切和两圆内切，统称为两圆相切．今后出现两圆相切这种说法时，应包含内切和外切两种情况．2、两圆同心是两圆内含的一种特例3、相切、相交两圆的性质，都是由圆的对称性推出来的，两个圆组成的图形也是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线。
北师版九年级上册数学同步精品讲义
北师版九年级上册数学同步精品讲义四边形平行四边形第01讲菱形温故知新我们之前学习了平行四边形及矩形，下面简单的回顾一下：1、四边形2、平行四边形的性质：边：角：对角线：3、我们又学习了哪种特殊的平行四边形？满足什么条件即可？它相比平行四边形而言，特殊在哪？智慧乐园探究活动：让我们一起通过折纸、剪纸的方法得到菱形。
我们一起这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.观察得到的菱形，猜想菱形有什么性质？边：菱形的两组对边分别平行。
（这是平行四边形具有的性质）菱形的四条边都相等。
（这是菱形特有的性质，如何进行证明呢？）角：菱形的两组对角分别相等。
菱形的邻角互补。
对角线：菱形的对角线互相平分、垂直，且每条对角线平分一组对角。
知识要点一菱形的定义与性质1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
注意：（1）菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等。
二者必须同时具备，缺一不可。
（2）菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判定方法。
2、性质：（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（3）菱形具有平行四边形的一切性质；（4）菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线；（5）利用菱形的性质可证线段相等，角相等；（6）菱形的面积计算：①菱形的面积等于底乘高；②菱形的面积等于对角线乘积的一半，对角线互相垂直的四边形的面积都可以用两条对角线乘积的一半来进行计算。
典例分析例1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直例2、如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5D．4例3、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2，∠ABC=60°，则BD的长为（）A．2B．3C．D．2例4、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于（）A．2B．C．D．例5、如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角a的度数应为．例6、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．例7、如图，在菱形ABCD中，点E为AB的中点，请只用无刻度的直尺作图（1）如图1，在CD上找点F，使点F是CD的中点；（2）如图2，在AD上找点G，使点G是AD的中点．举一反三1、如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E 是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（）A．3cmB．4cmC．2.5cmD．2cm2、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC 上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6，则FG的长为．（1）求证：△ABE≌△ADE；（2）若AB=AE，∠BAE=36°，求∠CDE的度数．知识要点二菱形的判定判定的方法：1、（定义法）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形2、（对角线）：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、（边）：四条边相等的四边形是菱形。
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科目：数学年级：初三教师：张立平2005——2006学年第二学期第七周第三章圆一、主要知识介绍＞R点与圆的位置关系点在圆内＜R轴对称垂径定理及推论基本性质中心对称圆心角、弦、弦心距的关系圆周角定理及推论二、本周学习导航1．正确理解和应用圆的点集定义，掌握点和圆的位置关系；2．熟练地掌握确定一个圆的条件，即圆心、半径；直径；不在同一直线上三点。
一个圆的圆心只确定圆的位置，而半径也只能确定圆的大小，两个条件确定一条直线，三个条件确定一个圆，过三角形的三个顶点的圆存在并且唯一；3．熟练地掌握和灵活应用圆的有关性质：同（等）圆中半径相等、直径相等直径是半径的2倍；直径是最大的弦；圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是对称轴；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；圆具有旋转不变性；垂径定理及其推论；圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系；4．掌握和圆有关的角：圆心角、圆周角的定义及其度量；圆心角等于同（等）弧上的圆周角的2倍；同（等）弧上的圆周角相等；直径（半圆）上的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；三、重难点分析垂径定理及推论；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理.（1）垂径定理及其推论是指：一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”③“平分这另一条弦”④“平分这另一条弦所对的劣弧”⑤“平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论，垂径定理提供了证明线段相等、角相等、垂直关系等的重要依据；（2）有关圆的证明题，常常与圆心角、弧、弦密不可分。
因此，认识它们之间的关系是非常必要的。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
通过此定理，可以很清楚地表明这些量之间的关系。
同时应注意，这里所说的弧必须同指“劣弧”或者同指“优弧” .四、型例题与分析【例1】在Rt△ABC中，∠C=900，AC=3cm，BC=4cm，若以C为圆心，以3cm为半径作圆，则点A在⊙C ，点B在⊙C ，斜边上的中点D在⊙C .分析：AC=3cm = r ，AC在⊙C上；BC=4cm > r ，BC在⊙C外；，DC在⊙C内.【例2】⊙O的直径为10，弦AB=8，P是弦AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是。
九年级数学培优讲义与测试精编版
第一讲 一次函数和反比例函数知识点、重点、难点函数(0)y kx b k =+≠称为一次函数，其函数图像是一条直线。
若0b =时，则称函数y kx =为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。
当0k >时，函数y kx b =+是单调递增函数，即函数值y 随x 增大（减小）而增大（减小）；当0k <，y kx b =+是递减函数，即函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）。
函数(0)ky k x=≠称为反比例函数，其函数图像是双曲线。
当0k >且0x >时，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大）；当0k >且0x <，函数值y 随x 增大（减小）而减小（增大），也就是说：当0k >时，反比例函数ky x=分别在第一或第三象限内是单调递减函数；当0k <时，函数ky x=分别在第二或第四象限内是单调递增函数。
若111222(0),(0).y k x b k y k x b k =+≠=+≠ 当12k k =时，12b b ≠时，两面直线平行。
当12k k =时，12b b =时，两面直线重合。
当12k k ≠时，两直线相交。
当121k k =-时，两直线互相垂直。
求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。
例题精讲例1：在直角坐标平面上有点(1,2)A --、(4,2)B 、(1,)C c ，求c 为何值时AC BC +取最小值。
解 显然，当点C 在线段AB 内时，AC BC +最短。
设直线AB 方程为y kx b =+，代入(1,2)A --、(4,2)B得242,k b k b -+=-⎧⎨+=⎩解得456,5k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以线段AB 为46(14),55y x x =--≤≤代入(1,)C c ，得4621.555c =⨯-=-例2：求证：一次函数211022k k y x k k --=-++的图像对一切有意义的k 恒过一定点，并求这个定点。
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科目：数学年级：初三教师：张立平2005——2006学年第二学期第九周第三章圆（3。
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8）一、主要知识介绍1.两圆位里关系的概念(1) 两圆外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部（图（1））．(2) 两圆外切：两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部（图（2））.(3) 两圆相交：两个圆有两个公共点（图（3））．（4）两圆内切：两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部（图(4)）．(5) 两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部（图（5））．2. 两圆的位置与两圆半径、圆心距之间的数量关系设两圆半径分别为R和r，圆心距为d, 那么(1)两圆外离<==> d>R+r (图(1))；(2)两圆外切<==> d=R+r (图(2))；(3)两圆相交<==> R-r<d<R+r (R> r)（图（3））；(4)两圆内切<==> d=R-r (R>r) （图(4)）；(5)两圆内含<==> d<R-r (R>r) （图(5) ）.3.两圆相切的重要性质如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上．如图A, 已知⊙O 1与⊙O 2相切（包括内切和外切），切点为T, 若连接O 1O 2，则切点T 一定在连心线O 1O 2上．4.两圆相交的重要性质定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．如图B, 已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，连接AB, 则：①O 1O 2⊥AB;②O 1O 2平分AB.（A ） （B ）5. 圆周长公式C= 2 πR ，其中π=3. 14159------，这个无限不循环小数叫做圆周率．6. 弧长公式因为3600的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR, 所以10的圆心角所对的弧长 是3602R π，即180R π，于是可得半径为R 的圆中，n 0的圆心角所对的弧长L 的计算公式：l =180R n π 7. 圆面积S= πR 2 (R 是圆半径)．8. 扇形面积(1) 扇形的定义一条弧和经过这条弧端点的两条半径所组成的图形叫做扇形．(2) 扇形的周长 = 2R+ l .(3) 扇形的面积如图中阴影部分的面积就是半径为R, 圆心角为n 0的扇形的面积．显然扇形面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角为10的扇形面积是3602R π，所以，圆心角为n 的扇形面积的计算公式是：lR R n s 213602==π9.圆锥的有关概念圆锥可以看成是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转一周而成的图形．这条直线叫做圆锥的轴．垂直于轴的边旋转而成的面叫做圆锥的底面．圆锥底面是一个圆，斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面，从圆锥的顶点到底面的距离叫做圆锥的高．连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线．.圆锥的侧面展开图是半径等于母线长，弧长等于圆锥底面周长的扇形，二、本周学习导航1、两圆外切和两圆内切，统称为两圆相切．今后出现两圆相切这种说法时，应包含内切和外切两种情况．2、两圆同心是两圆内含的一种特例3、相切、相交两圆的性质，都是由圆的对称性推出来的，两个圆组成的图形也是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线。
4、在弧长公式和扇形面积公式中，n表示10的圆心角的倍数，不带单位．在公式中，已知S、l、n、R中的任意两个量，都可以求另外两个量．5、圆锥的轴通过底面的圆心，并且垂直于底面；圆锥的母线长都相等．三、重难点分析重点：（1）是两圆的位置关系和它们的判定方法．（2）是弧长公式和扇形面积公式的灵活运用．（3）是圆锥的侧面展开图及侧面积的计算．难点：（1）是对相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，以及相切的两圆的连线经过切点两个性质的理解．（2）是弧长公式和扇形面积公式的推导，以及对组合图形面积的计算．（3）是掌握圆锥侧面展开图中各元素与圆锥各元素之间的关系，以及轴图中各元素与圆锥各元素之间的关系．四、典型例题与分析【例1】已知：⊙O1与⊙O2的半径长分别为方程x2－9x+14=0的两根，若圆心距O1O2的长为5，则⊙O1与⊙O2的位置关系为．分析：由方程x2－9x+14=0得x1=2, x2=7,故x2－x1=7－2=5, 与圆心距相等，两圆内切．解：设⊙O1与⊙O2的半径分别为R与r，由x2－9x+14=0，得x1=7, x2=2,∵⊙O1与⊙O2的半径长是方程x2－9x+14=0的两根，∴R=7，r= 2（或r=7，R=2）．∴R一r=5（r－R=5）．∴R一r= O1O2（r－R= O1O2）．∴两圆的位置关系为内切．【例2】如图，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1以与⊙O的弦AC相交于D, DE⊥OC,垂足为E.（1）求证：AD= DC；(2) 求证：DE是⊙O1的切线；(3) 如果OE= EC,请判断四边形O1OED是什么四边形，并证明你的结论．分析：(1) 要证AD=DC, 注意到AC为⊙O1的弦，只需证OD⊥AC.(2) 只需证O1D⊥DE.证明：（1）连接OD. 则∠ADO= 900∵AC为⊙O的弦，OD为弦心距，∴AD=DC.(2) ∵D为AC中点，O1为AO中点，∴O1D//OC.又DE⊥OC，∴DE ⊥O1D.∴DE与⊙O1相切．(3) 如果OE= EC，又D为AC中点，∴ DE// O 1O 2又O 1D ∥OE ，∴ 四边形O 1O ED 为平行四边形．又∠DEO= 900，O 1O = O 1D ，∴ 四边形以O 1OED 为正方形．【例3】已知：⊙O 1和⊙O 2的半径分别为5和13，它们的公共弦AB=6,求 O 1O 2的长．解：连接O 1A, O 2A ，∵ ⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B ，∴ O 1O 2⊥ AB.AC= BC=21AB=3, ∴ O 1C=2222135-=-AC A O = 4， O 2C=222223)13(-=-AC A O =2．∴ 如果圆心O 1和O 2在AB 异侧时, O 1O 2 =O 1C+O 2C = 4+2 = 6；如果圆心O 1和O 2在AB 同侧时, O 1O 2 =O 1C －O 2C=4－2=2．答: O 1O 2的长是6或2.【例4】 ⊙O 1和⊙O 2交于A 、B 两点, 且⊙O 1经过点O 2．若∠A O 1B=900，那么∠AO 2B 的度数是 ．错解：1350(如图A).（A ） （B ）分析：错解只考虑到r 2＜ r 1，且O 1、O 2的公共弦AB 两侧时的情形．未考虑到r 2＞r 1，且O 1、O 2在公共弦同侧时的情形（如图B ），缺乏对所学知识的比较、反思、深化．如果能联想：“一条弦所对的圆心角为900，则这条弦所对的圆周角为多少度”的问题，并运用分类讨论的思想画出两圆心在公共弦的同侧、两侧两种情况，且r 1>r 2，或r 1<r 2，则可避免错误．正解：∠AO 2B = 1350或450.【例5】 如图, 已知扇形AOB 的内切圆⊙O /分别切扇形的半径OA 、OB 于D 、E,且OA=6，⊙O /以的半径为2, 求图中阴影部分的面积．分析：首先想到用S 扇形OAB －S ⊙O/ ,但剩余部分仍然无法求出，必须重新分解．可可用S 扇形OAB 一S 扇形O /DME 一S 四边形ODO /E 求解．解：连接O'D 、 O'E.∵ ⊙O /与OA 、OB 相切，∴ O' D ⊥AO ，O'E ⊥OB∵ ⊙O 和⊙O / 内切，∴ OO / = 6－2 = 4在Rt,△OO'D 中，O'D=2，则∠1=300，OD= 2/2/D O OO - = 23．同理，∠2=300．∠DO'E=3600一900一900一600 =1200.∴ 大于1800的∠DO'E= 2400．在AB 上取一点M ，∴ S 扇形DME =360240π×22 =38π , S 四边形ODO /E = 2×S △ODO / =2×21×2×23= 43 ∴ S 阴影 = S 扇形OAB 一S 扇形O /DME 一S 四边形ODO /E= 6π－38π－43 =310π－43【例6】 如图，圆锥形的烟囱帽的底面直径是80 cm, 母线长是50 cm,则这个烟囱帽的展开图的面积是＿＿cm 2（结果保留π）．分析：这是一道实际应用问题，转为数学问题后，已知直径和母线长，求圆锥侧面积．解： S 侧＝nrL ＝π×40×50＝2000π（cm 2）．∴ 烟囱帽展开图的面积为2000πcm 2.【例7】 有一四边形形状的铁皮ABCD, BC= CD, AB= 2AD ，∠ABC=∠ADB=900．(1) 求∠C 的度数；(2) 以C 为圆心，CB 为半径作圆弧BD 得一扇形CBD,剪下该扇形并用它围成一圆锥的侧面，若已知BC= a ，求该圆锥的底面半径r;(3)在(2)中，用剩下的材料能否剪下一块整的圆面做该圆锥的底面？并说明理由．分析：在第(3)题中，可以求出最大的圆面，若其半径大于(2)中的r, 则可以做圆锥的底面．但求最大圆面半径较难求，可以取AB 中点M ，然后求△ADM 的内切圆半径．解：（1）在Rt △ADB 中，∵ AB = 2AD.∴ cos ∠BAD =21=AB AD ． ∴ ∠BAD= 600， ∠ABD= 300．又∠ABC= 900，∴ ∠DBC=600，又BC= CD.∴ △BDC 为正三角形．∴ ∠C= 600．（2） 由2 πr =18060πa ， 得r = 6a (3)方法一：设⊙O 与AB 、AD 及BD 均相切，切点分别为E 、G 、H 、⊙O 的半径为x ．则OE ⊥AB ，OG ⊥AD.作OF ⊥BC 于F ，连接AO 、OC.则CO=a ＋x ，CF= a 一x.在Rt △OAE 中，∠EAO= 300.由tan300 =33==AE x AE OE ， 解得AE=3x.又AB=a BC BD 33230cos 30cos 00==， ∴ OF=EB =x a 3332-. 由OF 2十FC 2=OC 2， 得（x a 3332-）2＋(a 一x)2 =（a ＋x ）2整理，得x 2一38ax ＋94a 2 = 0. 解得 x=a 3324±， 又 ∵ x<a,∴ x ＝a 3324-. ∵ a 3324- ＞6a ∴ 剩下的材料能剪下一块整的圆面作该圆锥的底面．方法二：取AB 中点M ，连接DM,∴ △ADM 为正三角形，且∠MDB= 300．∴ ∠MDC= 900.∴ DM 与BD 相切．易求得△ADM 内切圆半径为6a ． ∴ 剩下材料能剪下一块整的圆面做该圆锥的底面．五、双基训练A 组一、选择题1．如图一个圆环的面积为9π，大圆的弦AB 切小圆于点C ，则弦AB 的长为（ ）A ．9B ．18C ．3D ．92．如图，同样大的硬币，其中一个固定，另一个沿着其周围滚动，滚动时，两枚硬币总是保持有一点相接触（相外切），当滚动的硬币沿固定的硬币周围滚动一圈，回到原来的位置时，滚动的那个硬币自转的周数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知两圆的半径分别是2，3，圆心之间的距离是d ，若两圆有公共点，则下列结论正确的是（ ）A ．d ＝1B ．d ＝5C ．1≤d ≤5D ．1＜d ＜54．设⊙O 1和⊙O 2的半径分别是R 和r ，圆心之间的距离O1O 2＝5,且R ，r 是方程27100x x -+=的两根，则⊙O 1和⊙O 2 的位置关系是（ ）A ．内切B ．外切C ．相交D ．相离5．己知⊙O 1，⊙O 2的半径都等于1，有下列命题：①若O 1O 2＝1，则⊙O 1与⊙O 2有两个公共点：②若O 1O 2＝2，则⊙O 1与⊙O 2以外切；③若O 1O 2≤3，则⊙O 1与⊙O 2必有公共点；④若O 1O 2＞1，则⊙O 1与⊙O 2至少有两条公共切线．其中正确命题序号是6．两圆的半径之比为2：3，当它们外切时，圆心距离为20 cm ，那么当它们内切时圆心距离为 cm ．7.已知如图所示，OA=30B ，则弧BC 长是弧AD 长的（ ）A. 3倍B.31 倍C. 6倍D.32倍 8.在半径为1的⊙O 中，弦AB=1，则AB 的长为（ ） A.6π B.4π C.3π D.2π 9.在圆中，一条弧的长为L ，半径为R ，则这条弧所对圆心角的度数是（ ） A.L R 180π B R L π180 C 180RL π D RLπ18010.如图所示，扇形OAB中，∠AOB=900,OA、OB为直径．在扇形内作半圆,M和N分别表示两个阴影部分的面积，那么M和N的大小关系是（）A. N=MB. M>NC. N>MD.无法确定11.如图所示中的四个正方形边长都相等，其中阴影部分面积相等的图形个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题1、如图所示，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做“正三角形的渐开线”，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次按A、B、C循环，它们依次相连接，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是2、已知圆面积为81π cm2，其圆周上一段弧长为3πcm,那么这段弧所对圆心角的度数是三、解答题1．小明要在半径为lm，圆心角为600的扇形铁皮上剪取一块面积尽可能大的正方形铁皮，小明在扇形铁皮上设计了如图的甲、乙两种剪取方案，请你帮小明计算一下，按甲、乙两种方案剪取所得的正方形的面积，并估算哪个正方形的面积较大（估算时3取1. 73,结果保留两个有效数字）．2．如图，为一草地平面图，ABCD为护栏，∠ABC=900，∠BCD=1200，AB＝6m，BC= 3 m，CD=8 m，一根5m长的绳子，一端拴在柱子B上，另一端拴着一只羊（羊只能在草地上活动），请画出羊活动的最大区域并求出其活动区域的面积（保留精确值）B组一、填空题1．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6 cm的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短程是 m.（结果不取近似值）2.在△ABC中，∠ACB = 900, AC=1, AB =2，则以AC为轴旋转得到的立体圆锥的表面积为二、解答题1.把一个半径为8 cm的圆片，剪去一个圆心角为900的扇形后，用剩下的部分做成一个圆锥的侧面，试求这个圆锥的高．2.如图所示，圆锥的下部是圆柱，上部是与圆柱共底的圆锥，圆柱的底面半径为4厘米，母线长9厘米，圆锥的母线长5厘米，求它的表面积．3、如图，⊙O 1与⊙O 2外切于T ，AB 为公切线，BT 的延长线交⊙O 1于点C ，CD 切⊙O 2于点D 。