27.22 圆幂定理及其应用
中考技巧圆幂定理 、共高定理、共角定理、共边定理
中考技巧圆幂定理、共高定理、共角定理、共边定理圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）的统一，例如如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B与C、D，则PA·PB=PC·PD。
圆幂定理是一个总结性的定理。
根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
则有AE·CE＝BE·DE。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
则有PA²＝PC·PD。
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，则有PA·PB=PC·PD。
从上述定理可以看出，两条线的位置从内到外，都有着相似的结论。
经过总结和归纳，便得出了圆幂定理。
点对圆的幂定义：P点对圆O的幂定义为OP²—R²。
性质：点P对圆O的幂的值，和点P与圆O的位置关系有下述关系：点P在圆O内→P对圆O的幂为负数；点P在圆O外→P对圆O的幂为正数；点P在圆O上→P对圆O的幂为0。
注意：以上关系除正向应用通过点和圆的位置关系判断点对的圆的幂的符号，还可以逆向应用，通过点对圆的幂的符号反推点和圆的位置关系。
在某些书中，点P对圆O的幂表示为 |OP²—R²|。
共高定理如图1，延长△PAM的边AM至点B，得△PBM，根据面积公式可以证明以下定理．图1共高定理：若M在直线AB上，P为直线AB外一点，则有S△PAM：S△PBM＝AM：BM．证明：如图1，因为S△PAM＝1/2AM·PM，S△PAM＝1/2BM·PM，所以S△PAM：S△PBM＝AM：BM．【举一反三】如图2，点P在△ABC的边BC上，且∠BAP＝∠CAP，试用共高定理推出PB：PC＝AB：AC．图2共角定理中考数学压轴题昨天共角定理若两个三角形有一组对应角相等或互补,则它们的面积比等于对应两边乘积的比。
圆（圆幂定理、根轴，托勒密定理、帕斯卡定理、牛顿定理Ⅰ、Ⅱ）
圆（圆幂定理、根轴，托勒密定理、帕斯卡定理、牛顿定理
Ⅰ、Ⅱ）
一、圆幂定理、根轴
1. 圆幂定理：
圆幂定理为以下三个定理的统称，即
相交弦定理（Ⅰ:AP·PB=CP·PD）
割线定理（Ⅱ：PA·PB=PC·PD）
切割线定理（Ⅲ：PA2=PC·PD）
2. 根轴：
到两圆幂相等的点的集合为一条垂直于两圆圆心连线的直线且：若两圆相交则根轴为公共弦所在直线
若两圆相切则根轴为公切线
同心圆无根轴
二、几条重要的定理
1. 托勒密定理
凸四边形 ABCD 中有
AC · BD ≥ AB · CD + AD · BC
等号当且仅当四边形 ABCD 是圆内接四边形时成立
2. 帕斯卡定理
圆内接六边形三组对边所在直线交点共线
3. 牛顿定理Ⅰ
圆外切四边形的对角线交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重
合
4. 牛顿定理Ⅱ
圆外切四边形两条对角线中点和该圆圆心，三点共线
本文素材来源网络！。
圆幂定理+讲义2023年九年级数学中考复习【附解析】
圆幂定理九年级数学中考复习一、圆幂的定义：一点P对半径为r的圆O的幂=22OP r-二、圆幂定理：是相交弦定理、切割线定理、割线定理（切割线定理推论）的统称。
1、相交弦定理：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则··PAPB PC PD=()PAC PBD∆∆∽2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线(PA)长是割线和这点到割线（PD）与圆交点的两条线段长的比例中项²·PA PC PD=()PAC PDA∆∆∽3、割线定理（切割线定理的推论）：例如如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B 与C、D，则·PA PB PC PD⋅=总结：平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。
22··PA PB PC PD r OP==-222·PA PC PD OP r==-22·PA PB PC PD OP r⋅==-例题讲解【例1】如图，在圆O 中，M 、N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ， 若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为( )A ．83B ．3C ．103D ．52【例2】如题图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于 点P ，若6PA =，9AE =，3PC =，:2:1CE ED =，则BE = ．【例3】如图，点P 为弦AB 上一点，连接OP ，过P 作PC OP ⊥，PC 交O 于点C ，若 6AP =，3PB =，则PC 的长为( )A ．4B ．5C ．23D ．32【例4】如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在劣弧AB 上，连接DP ，交AC 于点Q ．若 QP QO =，则QC QA的值为( )A ．231B ．23C 32D 32+【例5】如图，PA 切圆于点A ，直线PCB 交圆于C ，B 两点，切线长42PA =4PC =， 则AB AC等于( )A 2B ．22C ．2D ．以上结果都不对 【例6】如图，AT 切O 于T ，若6AT =，3AE =，4AD =，2DE =，则BC 等于()A ．3B ．4C ．6D ．8【例7】如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，A 为大圆上任意一点，过A 作小圆的割线 AXY ，若4AX AY ⋅=，则图中圆环的面积为( )A ．16πB ．8πC ．4πD ．2π【例8】如图，在ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于E ，且与CD 相切．若4AB =， 5BE =，则DE 的长为( )A ．3B ．4C ．154D ．165【例9】如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，AB 、DC 的延长线交于点P ，若C 是PD 的中点，且6PD =，2PB =，那么AB 的长为( )A ．9B ．7C ．3D ．92【例10】已知：P 为O 外一点，PQ 切O 于Q ，PAB 、PCD 是O 的割线，且PAC BAD ∠=∠．求证：22PQ PA AC AD -=．【例11】圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们推论，其中切割线定理的内容是：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．喜欢思考的天天在了解这个定理之后尝试给出证明，下面是他的部分证明过程：已知：如图①，点P为O外一点，切线PA与圆相切于点A，割线PBC与圆相交于点B、C．求证：2=⋅．PA PB PC证明：如图，连接AB、AC、BO、AO，PA切O于点A，∠+∠=︒．PAB BAO∴⊥，即90PA AO⋯阅读以上材料，完成下列问题：（1）请帮助天天补充完成以上证明过程；（2）如图②，割线PDE与圆交于点D、E，且4PE=，求DE的长．==，7PB BC挑战训练【挑战训练1】如图，已知：PA切O于A，若AC为O的直径，PBC为O的割线，E 为弦AB的中点，PE的延长线交AC于F，且45FPB∠=︒，点F到PC的距离为5，则FC 的长为()。
(完整版)圆幂定理
一、圆幂定理：平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理、割线定理（切割线定理推论）的统一。
1、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是割线和这点到割线与
圆交点的两条线段长的比例中项LA·LB=LC·LD=LT²
2、割线定理（切割线定理的推论）：例如如果交点为L的两条相交直线与圆O相交于
A、B与C、D，则LA·LB=LC·LD。
3、相交弦定理：若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则PA·PB=PC·PD
二、弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，
等于它所夹的弧所对的圆周角度数。
（∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC）
1、弦切角：角的顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
圆幂的定理
圆幂的定理
圆幂定理是几何学中的一条定理，它描述了一个点与一个圆之间的关系。
具体来说，圆幂定理说明了如果有一条直线通过一个点P，与一个圆相交于点M和点N，那么这个点P到圆的两个切线段PM和PN的长度的乘积等于点P到圆心O的距离的平方减去圆的半径的平方，即可以表示为PM * PN = PO^2 - r^2。
圆幂定理可以推广到两个圆相交的情况下，即如果有两个圆分别为圆A和圆B，并且它们相交于点M和点N，那么点M和点N到这两个圆心的线段的乘积等于这两个圆心到点M和点N的距离的乘积，即可以表示为MA * MB = NA * NB。
这个式子即为圆A关于圆B的圆幂定理。
圆幂定理有许多应用，其中一个重要的应用是求解圆的切线长度。
通过圆幂定理，可以求解出切线与切点之间的关系，进而解决与圆切线相关的几何问题。
圆幂定理
圆幂定理圆幂的定义:一点P对半径R的圆O的幂定义如下:所以圆内的点的幂为负数,圆外的点的幂为正数,圆上的点的幂为零.圆幂定理是相交弦定理,切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称.相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.如图,AB,CD为圆O的两条任意弦.相交于点P,连接AD,BC,则∠D=∠B,∠A=∠C.所以△APD∽△BPC.所以切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项.如图,PT为圆切线,PAB为割线.连接TA,TB,则∠PTA=∠B(弦切角等于同弧圆周角)所以△PTA∽△PBT,所以割线定理:从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有PA·PB=PC·PD.这个证明就比较简单了.可以过P做圆的切线,也可以连接CB和AD.证相似.存在:进一步升华(推论):过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2,L1与圆交于A,B(可重合,即切线),L2与圆交于C,D.则PA·PB=PC·PD.若圆半径为r,则(一定要加绝对值,原因见下)为定值.这个值称为点P到圆O的幂.(事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值)若点P在圆内,类似可得定值为故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值.(这就是"圆幂"的由来)这些就是圆中非常重要的几个定理,当然在现在的教材中,这几个定理已经被删掉了,教材中唯一余下的就是垂径定理了.可是有很多题,特别是选择填空,用垂径定理做起来是相当的麻烦了.这时候假如你会圆幂定理,那么你的作题速度也就会上去了.另外, 圆幂定理也会给我们提供解大题的思路.当然如果在大题中想要用圆幂定理,那么大家最好还是证明一下.因为你们也看到了, 圆幂定理的证明是非常简单的,就那么几行,一个相似就搞定了.可不能因为麻烦而放弃证明,这样在现在的考试中是很可能会被扣分的哦!借鉴别人的，，请原谅~。
圆幂定理 圆幂的定义
圆幂定理圆幂的定义:一点P对半径R的圆O的幂定义如下：OP^2-R^2所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有PA·PB=PC·PD。
统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。
进一步升华（推论）：过任意在圆O外的一点P引一条直线L1与一条过圆心的直线L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D。
则PA·PB=PC·PD。
若圆半径为r，则PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2| （一定要加绝对值，原因见下）为定值。
这个值称为点P到圆O的幂。
（事实上所有的过P点与圆相交的直线都满足这个值）若点P在圆内，类似可得定值为r^2-PO^2=|PO^2-r^2|故平面上任意一点对于圆的幂为这个点到圆心的距离与圆的半径的平方差的绝对值。
（这就是“圆幂”的由来）[编辑本段]证明圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理）相交弦定理：相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等。
证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。
∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD割线定理：割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有PA·PB=PC·PD，当PA=PB，即直线AB重合，即PA切线是得到切线定理PA^2=PC*PD 证明：（令A在P.B之间，C在P.D之间）因为ABCD为圆内接四边形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC与三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD切割线定理：切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT2=PA·PB（切割线定理）推论从圆外一点因圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的焦点的两条线段长的积相等几何语言：∵PBA、PDC是⊙O的割线∴pd·pc=PA·PB（切割线定理推论）问题3：过点任作直线交定圆于两点、，证明为定值（圆幂定理）．证：以为原点，设圆的方程为①过的直线为则、的横坐标是方程的两个根、．由韦达定理于是圆①也可以写成①′其中为圆的半径的平方．所说的定值也就是（原点）与圆心的距离的平方减去半径的平方．当在圆外时，这就是自向圆所引切线（长）的平方．这定值称为点到这圆的幂．在上面证明的过程中，我们以为原点，这样可以使问题简化．如果给定点，未必是原点，要求出关于圆①的幂（即），我们可以设直线的方程为②③是的倾斜角，表示直线上的点与的距离．将②③代入①得即，是它的两个根，所以由韦达定理④是定值④是关于①的幂（当是原点时，这个值就是）．它也可以写成④′即与圆心距离的平方减去半径的平方．当在圆内时，幂值是负值；在圆上时，幂为0；在圆外时，幂为正值，这时幂就是自向圆所引切线长的平方．以上是圆幂定理的证明，下面看一看它的应用．问题4：自圆外一点向圆引割线交圆于、两点，又作切线、，、为切点，与相交于，如图8．求证、、成调和数列，即证：设圆的方程为⑤点的坐标为，的参数方程为⑥⑦其中是的倾斜角，表示直线上的点与的距离．⑥⑦代入⑤得即、是它的两个根，由韦达定理⑧另一方面，直线是圆的切点弦，利用前边的结论，的方程为⑦⑧代入得因此，这个方程的根满足⑨综合⑧⑨，结论成立．可以证明，当在圆内时，上述推导及结论仍然成立．说明：问题4的解决借用了问题3的方法，同时我们也看到了问题4与问题1、问题2的内在联系．。
圆幂定理及其应用
教学目标
1. 使学生了解相交弦定理,切割线定理及其推论间 的相互关系,并能综合运用它们解决有关问题; 2. 通过对例题的分析,提高学生分析问题,解决问 题的能力; 3. 从运动的观点来统一认识圆幂定理,对学生进行 事物间是相互联系和运动变化的观点的教育.
教学重点和难点
相交弦定理,切割线定理及其推论之间的关系以及 应用是重点;灵活运用圆幂定理解题是难点.
方法3 由于点O是圆内的特殊点,考虑过O点的特殊 割线,作直线AO交小圆于E,F,作直线BO交小圆于 C,D,则出现了割线定理的基本图形.于是有 AXAY=AEAF,BPBQ=BCBD. 易证AE=BC,AF=BD, 所以AEAF=BCBD.从而AXAY=BPBQ.
通过对以上方法的分析,将"和圆有关的比例线段" 这一节的几个定理紧密结合起来,沟通了知识间的 联系,最后可启发学生联想基本图形,思考还有哪 些辅助线的作法来证明此题?
分析:在平面几何比较复杂的图形中,往往都是由 几个简单的图形组合而成的.但本题不直接含有这样 的图形,我们应考虑通过添加适当的辅助线来构造 出这样的图形,以此为出发点,师生共同探索,得 出以下几种不同的辅助线的添法.
方法1 过点A,B分别作小圆的切线AC,BD,C,D 为切点.这时就出现了切割线定理的基本图形,于是 有AC2= AXAY,BD2=BPBQ.再连结CO ,AO, DO,BO,易证Rt△AOC≌△Rt△BOD,得出 AC=BD所以AXAY=BPBQ. 方法2 作直线XP交大圆于E,F,分别延长AY,BQ, 交大圆于C,D.这样就出现了相交弦定理的基本图形. 于是有 AXXC=EXXF,BPPD=FPPE. 易证AX=CY,BP=DQ,EX=FP. 所以AXXC=AXAY,BPPD=BPBQ,EXXF= FPPE. 所以AXAY=BPBQ.
圆幂定理
圆幂定理圆幂定理是对、及（切割线定理推论）以及它们推论统一归纳的结果。
=PO^2-R^2（该结论为）所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
切定理：从圆外一点引圆的和割线，是这点到割线与圆交点的两条线段长的。
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。
统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。
问题1相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的乘积相等。
证明：连结AC，BD，由的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。
∴△PAC∽△PDB∴PA/PD=PC/PB∴PA·PB=PC·PD问题2割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于则有PA·PB=PC·PD，当PA=PB，即直线AB重合，即PA切线时得到切线定理PA^2=PC·PD证明：（令A在P、B之间，C在P、D之间）∵ABCD为∴∠CAB+∠CDB=180°又∠CAB+∠PAC=180°∴∠PAC=∠CDB∵∠APC公共∴△APC∽△DPB∴PA/PD=PC/PB∴PA·PB=PC·PD切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT^2=PA·PB（切割线定理）推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PBA、PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）问题3过点P任作直线交定圆于两点A、B，证明PA·PB为定值（圆幂定理）。
圆幂定理及其应用之一
圆幂定理及其应用之一编者注：本专题本来我打算放到后面写，但是昨天和今天通过考试及学生提问，我发现很多学生对圆幂的概念不清，产生了极大的错误，所以先写一篇概念，以正视听。
“yuan”幂“yang”幂老婆看到这篇文章的标题，第一反应是“杨幂定理”！不过读起来确实有点像，虽然圆幂定理在数学中是很著名的定理，不过在当今中国应该还是没有杨幂的名气大。
言归正传，作为第一篇，本篇主要写关于圆幂的三个概念：点对圆的幂、两圆根轴、三圆根心。
众所周知，如图，半径为r的圆O内相交于E两弦AB、CD，有相交弦定理：AE*BE＝CE*DE=r^2-OE^2,同样对半径为r的圆O外点E，ET为圆切线，EAB、ECD为割线，则有切割线定理[1]：ET^2＝EA*EB＝EC*ED=OE^2- r^2。
为了把他们统一起来，我们引入点E对半径为r的圆O的幂[2] 为：由定义知:E在圆内时，p(E)<>E在圆上时，p(E)=0；E在圆外时，p(E)>0，即为过E的圆的切线长的平方。
从而圆幂的范围为：若过E的任意直线交圆O于A、B两点，则容易证明：圆幂定理：用向量（或者有向线段）的乘积表示圆幂的目的就是为了将切割线定理和相交弦定理中的正负号统一起来。
这里需要特别强调的是：刚开始接触圆幂概念的人会觉得很奇怪，为什么要引入一个负值呢，明明两个线段的乘积为正的，为什么要画蛇添足，引入有向线段的乘积来表示圆幂呢？所以很多竞赛教材都将圆幂定义成这恰恰是画蛇添足！还有些教材觉得加不加绝对值无所谓，都是合理的。
事实上，定义中绝对不能加绝对值！！至于原因，请允许我先买个关子，一会儿讲到根轴的时候再说明。
在解析几何中，点E（a,b）对圆O：的幂，不难用定义得到这样定义圆幂其实更简单明了，就是将点的坐标带入圆的解析式中即可。
对一个圆而言，每个点都有一个圆幂。
下面自然的问题是对两个圆呢？最简单的问题是：对两个圆的幂相等的点轨迹是什么？当然很多人知道这就是所谓的两圆的根轴，是一条与两圆连心线垂直的直线，若两圆相交，根轴即为两圆公共弦。
圆幂定理及其应用
点A、B、C,且△ ABC的外心在直线/=o上,求i+b的值. 解法！：可设点A（01,0）、B（02,O）、C（0,b）（b&0）. 因为点A、B均在抛物线y=02+ao+b上,所以0#、02是关
于0的一元二次方程02+a«+b=O的两个根. 由于％ ABC的外心在直线/=0上,可设％ABC的外接
*本文系北京市教育学会“十三五”教育科研滚动立项课题“数学文化与高考研究”（课题编号FT2017GD003,课题 负责人:甘志国）的阶段性研究成果.
40 中•了京市丰台二中甘志国
2019年7月
圆&定理在平面几何中有重要应用，相交弦定理与 切割线定理都是其重要推论，反过来，用它们也可给出 圆幕定理的证明.文章还给出了圆幕定理在解答自主招 生试题中的应用.
圆"定理:若过定点"作一动直线与定圆！0（其半 径是$）交于％两点，则"％ •"& = （0"2-$21（把常数 \OP2-R2\叫作定点"对于定圆。的J）.
证明：当点"）00外时，如图1所示，作PT9QO于 点,，连接 0T、0P,可得"OTP=90°.
由切割线定理及勾股定理，可得"％ •P&=PT2=OP2R2=\OP2-R2\.
当点"在OO上时,不妨设点％与点"重合，可得"％ PB=O=\OP2-R2\.
当点"在O O内，即点"在线段％&上且不是端点时， 如图2所示，作O O过点"的直径ST.
' ） 圆圆心为6 ,-£ .再由圆幕定理的注“0$间= * 6O2 -6C2”， 可 得 0(02 =b = -~2 ） ,-b 丨；-_2） + - ） ）&0），则i+b=-1.
圆幂定理及其应用
教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容.从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理.(1)如图7-163，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例：一是如果圆内的两条弦交于圆心O，则有PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径R，此时AB，CD是直径，相交弦定理当然成立.(如图7-164)二是当P点逐渐远离圆心O，运动到圆上时，点P和B，D重合，这时PB＝PD＝O，仍然有PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立.(图7-165)(2)点P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一点P，成为两条割线，则有PA·PB＝PC·PD，这就是我们学过的切割线定理的推论(割线定理).(图7-166)(3)在图7-166中，如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋转，使C，D两点在圆上逐渐靠近，以至合为一点C，割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB＝PC·PD＝PC2，这就是我们学过的切割线定理.(图7-167)(4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话，也会成为一条切线PA.这时应有PA2＝PB2，可得PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理.(图7-168)至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论和切线长定理之间有着密切的联系.3.启发学生理解定理的实质.经过一定点P作圆的弦或割线或切线，如图7-169.观察图7-169，可以得出：(设⊙O半径为R)在图(1)中，PA·PB＝PC·PD＝PE·PF＝(R-OP)(R+OP)＝R2-OP2；在图(2)中，PA·PB＝PT2＝OP2-OT2＝OP2-R2在图(3)中，PA·PB＝PC·PD＝PT2＝OP2-R2.教师指出，由于PA·PB均等于｜OP2-R2｜，为一常数，叫做点P关于⊙O的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理.二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行)例1 如图7-170，两个以O为圆心的同心圆，AB切大圆于B，AC切小圆于C，交大圆于D，E，AB＝12，AO＝15，AD＝8，求两圆的半径.分析：结合图形和已知条件，根据勾股定理容易求出大圆的半径OB.求OC也可考虑用上述方法，但AC未知，此时则可根据切割线定理先求出AE，再利用垂径定理便可求出AC，于是问题得解.例2 如图7-171，在以O为圆心的两个同心圆中，A，B是大圆上任意两点，过A，B作小圆的割线AXY和BPQ.求证：AX·AY=BP·BQ分析：在平面几何比较复杂的图形中，往往都是由几个简单的图形组合而成的.但本题不直接含有这样的图形，我们应考虑通过添加适当的辅助线来构造出这样的图形，以此为出发点，师生共同探索，得出以下几种不同的辅助线的添法.方法1 在图7-172中，过点A，B分别作小圆的切线AC，BD，C，D为切点.这时就出现了切割线定理的基本图形，于是有AC2＝AX·AY，BD2＝BP·BQ.再连结CO，AO，DO，BO，易证Rt△AOC≌△Rt△BOD，得出AC＝BD所以AX·AY＝BP·BQ.方法2 在图7-173中，作直线XP交大圆于E，F，分别延长AY，BQ，交大圆于C，D.这样就出现了相交弦定理的基本图形.于是有AX·XC＝EX·XF，BP·PD＝FP·PE.易证AX＝CY，BP＝DQ，EX＝FP.所以AX·XC＝AX·AY，BP·PD＝BP·BQ，EX·XF＝FP·PE.所以AX·AY＝BP·BQ.方法3 如图7-174，由于点O是圆内的特殊点，考虑过O点的特殊割线，作直线AO交小圆于E，F，作直线BO交小圆于C，D，则出现了割线定理的基本图形.于是有AX·AY＝AE·AF，BP·BQ＝BC·BD.易证AE＝BC，AF＝BD，所以AE·AF＝BC·BD.从而AX·AY＝BP·BQ.通过对以上方法的分析，将“和圆有关的比例线段”这一节的几个定理紧密结合起来，沟通了知识间的联系，最后可启发学生联想基本图形，思考还有哪些辅助线的作法来证明此题?三、强化练习练习1 已知P为⊙O外一点，OP与⊙O交于点A，割线PBC与⊙O交于点B，C，且PB ＝BC.如果OA＝7，PA＝2，求PC的长.练习2 如图7-175，⊙O和⊙O′都经过点A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q，M，交AB的延长线于N.求证：PN2＝NM·NQ.四、小结用投影重新打出圆幂定理的基本图形(如图7-176)，让学生观察并说出相应的定理.教师指出：以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的.五、布置作业课本p.133习题7.4A组13、14题.思考题：课本p.130.想一想，p.134B组6题板书设计课堂教学设计说明这份教案为1课时.课本没有给出“圆幂定理”这一名称，而是以“和圆有关的比例线段”的形式出现的，教学时可根据学生的程度而定.圆幂定理十分重要，它是进行几何论证、计算和作图常用定理，但是应用难度较大，所以在教学时应时刻注意启发学生进行思考，培养学生的发散思维能力.例题和练习题可根据学生实际选用.。
圆幂定理在几何计算中的应用
圆幂定理在几何计算中的应用
圆幂定理（Pascal's theorem）是非常经典的几何定理，它是按照法
国数学家吕克·帕斯卡（Blaise Pascal）在1640年发表的文章而得名。
圆幂定理指出，如果一个几何图形由六角形的六条边所形成，那么这六条
边在同一个平面上会连接到彼此的折点，并且它们会构成一个边数为四的
正方形。
圆幂定理在几何计算中有着重要的应用。
首先，它可以应用在构建多
边形的场合。
在构建几何图形时，需要判断形成的外形是否满足圆幂公式，这就是圆幂定理的重要应用。
此外，圆幂定理也可以应用在求解多边形内
角和的计算中。
一般情况下，如果多边形的边数为n，那么它的内角和就是(n-2)π，但是有时候，我们需要计算复杂的多边形的内角和，这就需要求
解使用圆幂定理的相关公式，才能得出正确的结果。
圆幂定理也应用到曲面几何学中。
它可以用来描述一个曲面的顶点和
它构成的多边形的拓扑关系，并可以准确地求出曲面中多边形与多边形之
间拓扑上的连接关系。
同时，圆幂定理还可以用来推导椭圆曲线的拓扑关系，以及它们彼此之间的联系，比如哈密顿环的存在。
另外，圆幂定理还可以用来解决数学中的多种问题，比如几何变换、几何线性模型、矩阵变换等，用圆幂定理的方法求解这些问题时，能够更加准确和有效地得到正确的答案。
总之，圆幂定理在几何计算中有着重要的应用，它可以用来构建多边形，计算多边形内角和，描述曲面顶点的拓扑关系，以及解决数学中的多种问题。
它为几何计算提供了更加准确可靠的方法，使几何学成为更加实用的工具，从而为人类社会的发展做出了积极的贡献。
园幂定理
圆幂定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理．圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关．相交弦定理: 在图(1)中⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，则PA·PB＝PC·PD切割线定理: 在图(2)中 PAB为⊙O的割线；PT为⊙O的切线，则PA·PB＝PT2割线定理：在图(3)中，PAB、PCD为⊙O的两条割线，则PA·PB＝PC·PD 相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：1．用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况；2．从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式．熟悉以下基本图形、基本结论：以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的.【例题求解】练习1 已知P 为⊙O 外一点，OP 与⊙O 交于点A ，割线PBC 与⊙O 交于点B ，C ，且PB ＝BC.如果OA ＝7，PA ＝2，求PC 的长.练习2 如图7-175，⊙O 和⊙O ′都经过点A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q ，M ，交AB 的延长线于N.求证：PN 2＝NM ·NQ.【例1】 如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ． (成都市中考题)思路点拨 综合运用圆幂定理、勾股定理求PB 长．注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段： (1)平行线分线段对应成比例； (2)相似三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来．【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) (全国初中数学联赛题)A ．3B ．4C ．415D ．516思路点拨 连AC ，CE ，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件． 注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．【例3】 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是∠O 的直径，PA 是过A 点的直线，∠PAC=∠B ．(1)求证：PA 是⊙O 的切线；(2)如果弦CD 交AB 于E ，CD 的延长线交PA 于F ，AC=8，CE ：ED=6：5， AE ：BE=2：3，求AB 的长和∠ECB 的正切值． (北京市海淀区中考题)思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x与k的关系，建立x或k的方程．【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE(四川省竞赛题) 思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=DE，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁．需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中．【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF＝4．求：(1)cos∠F的值；(2)BE的长． (成都市中考题)思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从△BE F∽△EAF，Rt△AEB入手．拓展练习：1．如图，PT是⊙O的切线，T为切点，PB是⊙O的割线，交⊙O于A、B两点，交弦CD于点M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT的长为．2．如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ．3．如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上的一点，CD是⊙O的切线，D为切点，过点B作⊙O的切线交CD于点F，若AB=CD=2，则CE= ．4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为( )A ．6．4B ．3．2C ．3．6D ．85．如图，⊙O 的弦AB 平分半径OC ，交OC 于P 点，已知PA 、PB 的长分别为方程024122=+-x x 的两根，则此圆的直径为( )A ．28B ．26C ．24D ．226．如图，⊙O 的直径Ab 垂直于弦CD ，垂足为H ，点P 是AC 上一点(点P 不与A 、C 两点重合)，连结PC 、PD 、PA 、AD ，点E 在AP 的延长线上，PD 与AB 交于点F ，给出下列四个结论：①CH 2=AH ·BH ；②AD ＝AC ：③AD 2=DF ·DP ；④∠EPC=∠APD ，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 7．如下图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D ．(1)若∠B=30°，问AB 与AP 是否相等?请说明理由； (2)求证：PD ·PO=PC ·PB ；(3)若BD ：DC=4：l ，且BC ＝10，求PC 的长．8．如上图，已知PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，PD ⊥AB 于点D ，PD 、AO 的延长线相交于点E ，连CE 并延长交⊙O 于点F ，连AF ． (1)求证：△PBD ∽△PEC ；(2)若AB=12，tan ∠EAF=32，求⊙O 的半径的长．⌒⌒⌒9．如上图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰哈好是关于x 的方程0)134(622=+++-m m x x (其中m 为实数)的两根．(1)求证：BE=BD ；(2)若GE ·EF=36，求∠A 的度数．10．如图，△ABC 中，∠C=90°，O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆 与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D ，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．11．如图，已知A 、B 、C 、D 在同一个圆上，BC=CD ，AC 与BD 交于E ，若AC=8，CD=4，且线段BE 、ED 为正整数，则BD= ．12．如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH ⊥BC 于H ，若PA=1，PB+PC=a (a >2)，则PH=( )A ．a2B ．a 1C ．2aD ．3a13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ， 若AB=2，则DE 的长为( )A ．21 B ．215- C ．23D ．114．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，延长BC至D，使CD=BC，CE⊥AD于E，BE交⊙O于F，AF交CE于P，求证：PE=PC． (太原市竞赛题)15．已知：如图，ABCD为正方形，以D点为圆心，AD为半径的圆弧与以BC为直径的⊙O相交于P、C两点，连结AC、AP、CP，并延长CP、AP分别交AB、BC、⊙O 于E、H、F三点，连结OF．(1)求证：△AEP∽△CEA；(2)判断线段AB与OF的位置关系，并证明你的结论；(3)求BH:HC (四川省中考题)16．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若PE=2，CD=1，求DE的长．(国家理科实验班招生试题)。
子主题二圆幂定理的应用(精)
一、学习目标进一步理解圆幂定理的作用与内涵，能够运用圆幂定理解决有关的线段问题和面积计算问题．从方程的视角看待圆幂定理，感悟“图形”与“数量”的内在联系，提高分析问题和解决问题的能力．在用圆中比例线段探索实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．通过小组之间的分工与合作，产生学习数学的兴趣，提高探究问题的能力．二、重难点分析通过对与圆有关的线段长问题的分析，学生将能认识到圆幂定理有助于建立与与圆有关的线段的长度间的关系，进而运用圆幂定理解决问题．用方程的观点看待圆幂定理，从而运用该定理实现已知与未知的转化是本探究活动的难点，可以通过分析题目中的已知、未知，引导学生沿着已知或者未知展开联想的方式克服这一难点，在问题解决后，再次强化方程思想在解题中的作用．三、活动建议方案《圆幂定理的应用》活动建议方案一、活动流程框图二、活动过程2.1活动任务通过探究活动，让学生体会如何运用相交弦定理及其推论、切割线定理及其推论进行线段长度计算．2.2活动1：线段长度的计算2.2.1活动内容第一步：提出问题出示线段长度的计算题（见媒体资源），请学生完成．第二步：小组合作探究请学生以小组为单位解决上述问题，根据需要可以给学生提出如下建议：第一，每位同学首先独立思考，将自己面对问题的想法和感到的困难记下来；第二，小组内就题目的共同特点、对解决问题过程中获得的感悟以及总结出的通性通法进行提炼总结，向全班交流．第三步：全班集体交流选择2～3个具有不同特点的小组的同学汇报自己的探究结果，全班讨论，建议从如下几个方面进行总结：第一，解决与圆有关的线段长度问题时，圆幂定理是个重要工具；第二，有些问题直接给出的条件不符合圆幂定理的条件，可以通过添加辅助线的方式使之适应于圆幂定理；第三，圆幂定理实质上可以看成是一个等量关系，因此，应用它时可以结合方程思想花未知为已知．参考资料1．相交弦定理相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．若弦AB、CD交于点P，则P A·PB=PC·PD．推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=P A·PB．2．割线定理割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B和C、D，则有P A·PB=PC·PD．3．切割线定理切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
圆幂定理‘-概述说明以及解释
圆幂定理‘-概述说明以及解释1.引言1.1 概述部分：圆幂定理作为几何学中重要的定理之一，其内容涉及到圆和直线之间的关系。
通过圆幂定理，我们可以推导出在圆内或圆外的点与圆的关系，从而解决相关的几何问题。
该定理的基本概念和证明方法将在后续章节进行详细介绍。
圆幂定理在数学研究和实际问题解决中具有重要的应用价值，我们将在文章的后续部分探讨其具体应用案例。
通过本文的学习，读者将对圆幂定理有更深入的理解，从而提升数学知识和解题能力。
1.2 文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，首先概述了圆幂定理的基本概念和意义，接着介绍了文章的结构和目的，为读者提供了全文的概览。
在正文部分，将详细阐述圆幂定理的基本概念，包括定义、原理和相关定理等内容；然后介绍圆幂定理的证明方法，探讨其推导过程和逻辑；最后探讨圆幂定理在几何学和其他领域中的应用，展示其在实际问题中的作用和意义。
在结论部分，将对全文进行总结，回顾圆幂定理的重要性和实际应用，同时展望未来对该定理的进一步研究和应用方向。
整个结构清晰，逻辑严谨，希望能为读者提供全面深入的了解和思考。
1.3 目的圆幂定理是几何学中的重要定理之一，它可以帮助我们理解圆的性质和与其他几何图形之间的关系。
本文的目的在于深入探讨圆幂定理的基本概念、证明方法以及应用，以便读者能够更全面地了解这一定理的内容和意义。
通过学习圆幂定理，我们可以更好地解决与圆相关的几何问题，拓展我们的数学思维，提高我们的解题能力。
同时，深入理解圆幂定理还可以为我们之后学习更高级的几何知识打下良好的基础。
除此之外，通过探讨圆幂定理的重要性和应用，我们也可以更好地体会到数学在现实生活中的应用，激发我们对数学的兴趣和热情。
希望本文能够为读者带来启发，并引起他们对数学的思考和探索欲望。
2.正文2.1 圆幂定理的基本概念圆幂定理是几何学中的一项重要定理，它描述了圆与直线之间的关系。
在介绍圆幂定理之前，我们需要了解一些基本概念。
圆幂定理及其证明
1 / 1圆幂定理圆幂定理是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们推论的统称。
图１ 图２图３ 图４一、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
（如图，弦AB 和CD 交于O ⊙内一点P ，则PA PB PC PD ⋅=⋅）．1、证 明：如图１，AB 、CD 为圆O 的两条任意弦。
相交于点P ，连接AD 、BC ，则∠D=∠B ， ∠A=∠C 。
所以△APD ∽△BPC 。
所以AP PDAP BP PC PD PC BP=⇒⋅=⋅ 2、练习：如图２，在O ⊙中，弦AB 与CD 相交于点P ，已知3cm 4cm 2cm PA PB PC ===，，，那么PD = cm ．二、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆焦点的两条线段长的比例中项。
（如图，PT 是O 的切线，PB 是O 的割线，则有PT ２＝ＰＡ ＰＢ）1、证明：如图３，PT 为圆切线，PAB 为割线。
连接TA ，TB ，则∠PTA=∠B （弦切角等于同弧圆周角）所以△PTA ∽△PBT ，所以2PT PAPT PA PB PB PT=⇒=⋅ 2、练习 如图４，PC 是半圆的切线，且PB OB =，过B 的切线交PC 与D ，若6PC =，则O ⊙半径长= ，:CD DP =__________．三、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
（从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 PA·PB=PC·PD ）1、证明：这个证明就比较简单了。
可以过P 做圆的切线，也可以连接CB 和AD 。
证相似。
存在：PA PB PC PD ⋅=⋅2、练习如下图，过点P 作O ⊙的两条割线分别交O ⊙于点A B 、和点C D 、，已知32PA AB PC ===，，则PD 的长是( )A ．3B ．7.5C ．5D ．5.5。
圆幂定理切割线定理
圆幂定理切割线定理圆幂定理圆幂定理是解决圆与直线之间关系的重要工具。
它描述了一个点到圆的两条切线段的乘积等于该点到圆心距离的平方减去圆半径的平方。
定义设有一个圆O，其半径为r，圆心为C。
假设有一条直线L穿过点P，并且与圆O相交于点A和B。
则点P到直线L的两条切线段PA和PB 满足以下公式：PA × PB = (PC² - r²)其中，PA和PB分别表示点P到A和B的距离，PC表示点P到C的距离。
证明首先，我们可以通过勾股定理得出三角形OPC中OC² = OP² + PC²。
然后，我们可以使用相似三角形OPA和OPB来证明这个公式。
因为OA和OB是切线，所以∠OPA = ∠OPB = 90°。
同时，因为OA=OB=r，所以三角形OAB是等腰三角形。
因此，在三角形OPA中，我们可以使用勾股定理得出：PA² = OP² - OA²= OP² - r²同样，在三角形OPB中，我们可以使用勾股定理得出：PB² = OP² - OB²= OP² - r²将这两个等式相乘，得到：PA × PB = (OP² - r²) × (OP² - r²)= (OP² - r²)²= PC² - r²因此，圆幂定理得证。
应用圆幂定理在几何学、物理学和工程学中都有广泛的应用。
以下是其中的一些例子：- 在几何学中，圆幂定理可以用来解决关于切线、割线和弦的问题。
- 在物理学中，圆幂定理可以用来计算光线通过透镜或曲面镜时的焦距。
- 在工程学中，圆幂定理可以用来设计机械零件和建筑结构。
切割线定理切割线定理是解决两个相交圆之间关系的重要工具。
它描述了两个相交圆之间的切割线段长度乘积等于该点到两个圆心距离之差的平方。
圆幂定理与角平分线
圆幂定理与角平分线
圆幂定理和角平分线是几何学中重要的概念，它们在解决几何问题和证明定理时起着关键作用。
首先，让我们来谈谈圆幂定理。
圆幂定理是几何学中的基本定理之一，它描述了一个点到圆的切线上的两个切点之间的乘积与该点到圆心的距离的平方之间的关系。
具体来说，如果一个点P到圆的距离为d，点P到圆的切线上的两个切点分别为A和B，那么PAPB=d^2。
这个定理在解决与圆相关的问题时非常有用，可以帮助我们计算未知的长度或者证明几何关系。
接下来，让我们来讨论角平分线。
角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
在一个三角形中，如果一条线段从一个顶点到对边的中点，并且与对边的另一条边相交，那么这条线段就是该三角形的一个角平分线。
角平分线具有许多重要性质，例如角平分线定理指出，角平分线将对边分成的两条线段的比等于另外两条边的比。
这个定理在解决三角形内角平分线相关的问题时非常有用，可以帮助我们推导出许多几何关系和定理。
综上所述，圆幂定理和角平分线都是几何学中重要的概念，它
们在解决几何问题和证明定理时都发挥着关键作用。
对于圆幂定理，它描述了点到圆的切线上的两个切点之间的乘积与该点到圆心的距
离的平方之间的关系；对于角平分线，它是将一个角分成两个相等
的角的线段，并且具有许多重要的性质和定理。
在实际问题中，我
们可以通过运用这两个概念来解决各种与圆和三角形相关的几何问题，从而加深对几何学的理解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
XUSUHUA
第二十七章 圆
27.22 圆幂定理及其应用经典例题例. 平面上有一个圆O和一个点P，点P对圆的幂定义为 OP2-R2. 点P对圆O的幂的值，和点P与圆O的位置关系 有何关系？
解：有下述关系： 点P在圆O内<=> P对圆O的幂为负数； 点P在圆O外<=>P对圆O的幂为正数； 点P在圆O上<=>P对圆O的幂为0.
注意：以上关系除正向应用通过点和圆的位置关系 判断点对的圆的幂的符号，还可以逆向应用，通过 点对圆的幂的符号反推点和圆的位置关系.
巩固练习 练1.如图，⊙O的弦AB的延长线和切线EP相 交于P，E为切点，∠APE的平分线和AE、BE 分别交于C、D，若PE＝7，PB＝35/8， 48 3 ∠AEB＝60°，S△PAC＝ . 5 （1）求证：△ECD是等边三角形； （2）求△PED的面积.
提高练习
练2. 如图，以⊙O上一点A为圆心作圆交⊙O于 点B、C，过点A作⊙O的弦，交BC于F，交⊙A于 D，交⊙O于E，求证：以AD为一边的正方形的 面积等于以AE、AF为两领边的矩形面积.
提高练习 练3. 如图，⊙O和⊙O1外切于点P，一外公切 线分别切两圆于A、C两点，AB为⊙O的直径， 求证：自点B至⊙O1的切线长等于AB.
预习四点共圆的判定.
数学素质是人的素质中最重要的成分之一。从人 的活动所包含的数学活动成分来看，数学素质的内涵 是： 精确的定量思维和准确的定性思维； 数学地看待事物和对事物进行数学抽象的能力； 对事物本质的洞察力和严谨的推理能力； 应用数学解决实际问题的意识； 用数学语言进行交流的能力和良好的符号意识； 良好的自我反省和自我调节能力。 ——节选自章建跃《论数学素质及其培养》
提高练习 练4.求证：三角形三条角平分线的乘积小于三 条边的乘积.
挑战自己 练5. 四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线 交于点F，DC、AB的延长线交于点E，EP切圆 于P，FS切圆于S，求证：EF2=EP2+FS2.
回味无穷
课后作业
自选四道与圆幂定理有关的题（可以选择 本课件上的题） 温馨提醒： 1. 有代表性、有挑战性、有意义性； 2. 有题目、有图、有过程.