2018年高三数学(理) 专题04 三角函数与三角形(第01期) Word版含解析

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2018年高考数学(理)一轮复习文档第三章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式Word版

2018年高考数学(理)一轮复习文档第三章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式Word版

第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin 2α+cos 2α=1. (2)商数关系:tan α=sin αcos α.2.六组诱导公式简记口诀:把角统一表示为k π2±α(k ∈Z )的形式,奇变偶不变,符号看象限.1.辨明三个易误点(1)“同角”有两层含义:一是“角相同”,二是代表“任意”一个使三角函数有意义的角.“同角”的概念与角的表达形式有关,如:sin 23α+cos 23α=1,sinα2cosα2=tan α2.(2)在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. (3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化. 2.三角函数求值与化简的三种常用方法(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sin αcos α化成正、余弦.(2)和积转换法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化. (3)巧用“1”的变换:1=sin 2θ+cos 2θ=cos 2θ(1+tan 2θ)=tan π4=….1.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫-20π3=( ) A.12 B.32 C .-12D .-32C2.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=35,α∈⎝⎛⎭⎪⎫0,π2,则sin(π+α)等于( )A.35 B .-35C.45D .-45D 因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2+α=35,α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2, 所以cos α=35,所以sin α=45,所以sin(π+α)=-sin α=-45.3.若sin θcos θ=12,则tan θ+cos θsin θ的值是( )A .-2B .2C .±2D.12B tan θ+cos θsin θ=sin θcos θ+cos θsin θ=1cos θsin θ=2.4.若sin θ=-45,tan θ>0,则cos θ=________.由已知,θ在第三象限, 所以cos θ=-1-sin 2θ=-1-(-45)2=-35.-355.教材习题改编 已知tan θ=2,则sin θ·cos θ=________. sin θcos θ=sin θ·cos θsin 2θ+cos 2θ=tan θtan 2θ+1=222+1=25. 25同角三角函数的基本关系式(高频考点)同角三角函数的基本关系式的应用很广泛,也比较灵活.高考中常以选择题、填空题的形式出现.高考对同角三角函数基本关系式的考查主要有以下三个命题角度: (1)知弦求弦; (2)知弦求切; (3)知切求弦.(1)(2016·高考全国卷丙)若tan α=34,则cos 2α+2sin 2α=( )A.6425 B.4825C .1D.1625(2)已知sin α+2cos α=3,则tan α=( ) A.22 B. 2 C .-22D .- 2【解析】 (1)法一:由tan α=sin αcos α=34,cos 2α+sin 2α=1,得⎩⎪⎨⎪⎧sin α=35,cos α=45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α=-35,cos α=-45,则sin 2α=2sin αcos α=2425,则cos 2α+2sin 2α=1625+4825=6425. 法二:cos 2α+2sin 2α=cos 2α+4sin αcos αcos 2α+sin 2α=1+4tan α1+tan 2α=1+31+916=6425. (2)因为sin α+2cos α=3, 所以(sin α+2cos α)2=3,所以sin 2α+22sin αcos α+2cos 2α=3, 所以sin 2α+22sin αcos α+2cos 2αsin 2α+cos 2α=3,所以tan 2α+22tan α+2tan 2α+1=3, 所以2tan 2α-22tan α+1=0,所以tan α=22. 【答案】 (1)A (2)A同角三角函数关系式及变形公式的应用(1)利用sin 2α+cos 2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用sin αcos α=tan α可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.角度一 知弦求弦1.(2017·雅安模拟)已知sin θ+cos θ=43,θ∈(0,π4),则sin θ-cos θ的值为( )A.23 B.13 C .-23D .-13C (sin θ+cos θ)2=169,所以1+2sin θcos θ=169,所以2sin θcos θ=79,由(sin θ-cos θ)2=1-2sin θ·cos θ=1-79=29,可得sin θ-cos θ=±23.又因为θ∈(0,π4),sin θ<cos θ,所以sin θ-cos θ=-23.角度二 知弦求切2.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+α=35,且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,3π2,则tan α=( )A.43 B.34 C .-34D .±34B 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2+α=35,所以sin α=-35,显然α在第三象限,所以cos α=-45,故tan α=34.角度三 知切求弦3.若sin α=2sin β,tan α=3tan β,则cos α=________. 因为sin α=2sin β,① tan α=3tan β, tan 2α=9tan 2β.②由①2÷②得:9cos 2α=4cos 2β.③ 由①2+③得sin 2α+9cos 2α=4. 又sin 2α+cos 2α=1, 所以cos 2α=38,所以cos α=±64. ±64诱导公式的应用(1)sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)·sin(-1 050°)=________.(2)已知cos α是方程3x 2-x -2=0的根,且α是第三象限角,则sin (-α+3π2)cos (3π2+α)tan 2(π-α)cos (π2+α)sin (π2-α)等于________.(3)已知cos(π6-α)=23,则sin(α-2π3)=________.【解析】 (1)原式=-sin 1 200°cos 1 290°-cos 1 020°·sin 1 050°=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)=-sin 120°cos 210°-cos 300°sin 330°=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°-30°) =sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30° =32×32+12×12=1. (2)因为方程3x 2-x -2=0的根为x 1=1,x 2=-23,由题知cos α=-23,所以sin α=-53,tan α=52. 所以原式=-cos αsin αtan 2α-sin αcos α=tan 2α=54.(3)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α+⎝ ⎛⎭⎪⎫α-2π3=-π2,所以α-2π3=-π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-2π3=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2-⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6-α=-23.【答案】 (1)1 (2)54 (3)-23(1)诱导公式用法的一般思路 ①化大角为小角.②角中含有加减π2的整数倍时,用公式去掉π2的整数倍.(2)常见的互余和互补的角①常见的互余的角:π3-α与π6+α;π3+α与π6-α;π4+α与π4-α等.②常见的互补的角:π3+θ与2π3-θ;π4+θ与3π4-θ等.(3)三角函数式化简的方向 ①切化弦,统一名. ②用诱导公式,统一角.③用因式分解将式子变形,化为最简.1.(2017·福建省毕业班质量检测)若sin(π2+α)=-35,且α∈(π2,π),则sin(π-2α)=( )A.2425 B.1225C .-1225D .-2425D 由sin(π2+α)=cos α=-35,且α∈(π2,π),得sin α=45,所以sin(π-2α)=sin 2α=2sin αcos α=-2425,选项D 正确.2.sin(-1 071°)si n 99°+sin(-171°)sin(-261°)=________. 原式=(-sin 1 071°)·sin 99°+sin 171°·sin 261°=-sin (3×360°-9°)sin(90°+9°)+sin(180°-9°)·sin(270°-9°)=sin 9°cos 9°-sin 9°cos 9°=0.故填0.3.已知cos(π+α)=-12,求sin[α+(2n +1)π]+sin (π+α)sin (π-α)·cos (α+2n π)(n ∈Z ).因为cos(π+α)=-12,所以-cos α=-12,cos α=12.sin[α+(2n +1)π]+sin (π+α)sin (π-α)cos (α+2n π)=sin (α+2n π+π)-sin αsin αcos α=sin (π+α)-sin αsin αcos α=-2sin αsin αcos α=-2cos α=-4.——方程思想求解三角函数值已知sin θ+cos θ=713,θ∈(0,π),则tan θ=________.【解析】 法一:因为sin θ+cos θ=713,θ∈(0,π),所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=49169,所以sin θcos θ=-60169.由根与系数的关系,知sin θ,cos θ是方程x 2-713x -60169=0的两根,所以x 1=1213,x 2=-513.又sin θcos θ=-60169<0,所以sin θ>0,cos θ<0.所以sin θ=1213,cos θ=-513.所以tan θ=sin θcos θ=-125.法二:同法一,得sin θcos θ=-60169,所以sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=-60169. 齐次化切,得tan θtan 2 θ+1=-60169,即60tan 2θ+169tan θ+60=0, 解得tan θ=-125或tan θ=-512.又θ∈(0,π),sin θ+cos θ=713>0,sin θcos θ=-60169<0.所以θ∈(π2,3π4),所以tan θ=-125.【答案】 -125(1)本题利用方程思想法一:由sin θ+cos θ、sin θcos θ的值构造一元二次方程,把sin θ与cos θ看作此方程的两根,即可求出sin θ与cos θ的值,便可求解.法二:利用三角函数的基本关系转化为关于tan θ的一元二次方程求解.(2)所谓方程思想就是在解决问题时,用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的等量关系,建立方程或方程组,求出未知数及各量的值,或者用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.已知sin(3π-α)=-2sin(π2+α),则sin αcos α等于( )A .-25 B.25C.25或-25D .-15A 因为sin(3π-α)=sin(π-α)=-2sin(π2+α),所以sin α=-2cos α,所以tan α=-2,当α在第二象限时,⎩⎪⎨⎪⎧sin α=255cos α=-55,所以sin αcos α=-25;当α在第四象限时,⎩⎪⎨⎪⎧sin α=-255cos α=55,所以sin αcos α=-25,综上,sin αcosα=-25,故选A.1.tan(-233π)的值为( )A. 3 B .- 3 C.33D .-33A A tan(-233π)=tan(-8π+π3)=tan π3= 3.2.已知sin(π+θ)=-3cos(2π-θ),|θ|<π2,则θ等于( )A .-π6B .-π3C.π6D.π3D 因为sin(π+θ)=-3cos(2π-θ), 所以-sin θ=-3cos θ,所以tan θ= 3. 因为|θ|<π2,所以θ=π3.3.(2017·福建省毕业班质量检测)已知cos(α+π2)=13,则cos 2α的值等于( )A.79 B .-79C.89D .-89A 法一:因为cos(α+π2)=13,所以sin α=-13,所以cos α=±223,所以cos 2α=cos 2α-sin 2α=(±223)2-(-13)2=79,故选A.法二:因为cos(α+π2)=13,所以sin α=-13,所以cos 2α=1-2sin 2α=1-2×19=79,故选A.4.已知sin α+3cos α3cos α-sin α=5,则sin 2α-sin αcos α的值为( )A .-15B .-25C.15D.25D 依题意得tan α+33-tan α=5,所以tan α=2.所以sin 2α-sin αcos α=sin 2α-sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan 2α-tan αtan 2α+1=22-222+1=25. 5.已知f (x )=a sin(πx +α)+b cos(πx +β)+4,若f (2 016)=5,则f (2 017)的值是( )A .2B .3C .4D .5B 因为f (2 016)=5.所以a sin(2 016π+α)+b cos(2 016π+β)+4=5, 即a sin α+b cos β=1.所以f (2 017)=a sin(2 017π+α)+b cos(2 017π+β)+4=-a sin α-b cos β+4=-1+4=3.6.已知sin α+3cos α+1=0,则tan α的值为( ) A.43或34 B .-34或-43C.34或-43D .-43或不存在D 由sin α=-3cos α-1,可得(-3cos α-1)2+cos 2α=1,即5cos 2α+3cos α=0,解得cos α=-35或cos α=0,当cos α=0时,tan α的值不存在,当cos α=-35时,sin α=-3cos α-1=45,tan α=sin αcos α=-43,故选D.7.化简sin (π2+α)cos (π2-α)cos (π+α)+sin (π-α)cos (π2+α)sin (π+α)=________. 原式=cos αsin α-cos α+sin α(-sin α)-sin α=-sin α+sin α=0. 08.在△ABC 中,若tan A =23,则sin A =________. 因为tan A =23>0,所以A 为锐角,于是1+tan 2A =1+29=119=1cos 2A ,cos 2A =911,cos A =31111,sin A =tan A cos A =2211. 2211 9.sin 43π·cos 56π·tan(-43π)的值是________. 原式=sin(π+π3)·cos(π-π6)·tan(-π-π3) =(-sin π3)·(-cos π6)·(-tan π3) =(-32)×(-32)×(-3)=-334. -33410.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12+α=23,则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α-11π12=________. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α-11π12=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12-α =cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π-⎝ ⎛⎭⎪⎫π12+α=-cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12+α, 而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12+α=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2+⎝ ⎛⎭⎪⎫π12+α =cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12+α=23, 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α-11π12=-23. -2311.已知sin θ=45,π2<θ<π. (1)求tan θ的值;(2)求sin 2θ+2sin θcos θ3sin 2θ+cos 2θ的值.(1)因为sin 2θ+cos 2θ=1,所以cos 2θ=925.又π2<θ<π,所以cos θ=-35.所以tan θ=sin θcos θ=-43.(2)由(1)知,sin 2θ+2sin θcos θ3sin 2θ+cos 2 θ=tan 2θ+2tan θ3tan 2θ+1=-857.12.已知α为第三象限角,f (α)=sin (α-π2)·cos (3π2+α)·tan (π-α)tan (-α-π)·sin (-α-π).(1)化简f (α);(2)若cos(α-3π2)=15,求f (α)的值.(1)f (α)=sin (α-π2)·cos (3π2+α)·tan (π-α)tan (-α-π)·sin (-α-π)=(-cos α)·sin α·(-tan α)(-tan α)· sin α=-cos α.(2)因为cos(α-3π2)=15,所以-sin α=15,从而sin α=-15.又α为第三象限角,所以cos α=-1-sin 2α=-265,所以f (α)=-cos α=265.13.已知sin αcos α=18,且5π4<α<3π2,则cos α-sin α的值为() A .-32 B.32C .-34 D.34B 因为5π4<α<3π2,所以cos α<0,sin α<0且|cos α|<|sin α|,所以cos α-sin α>0.又(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=1-2×18=34, 所以cos α-sin α=32. 14.化简1-2sin 40°cos 40°cos 40°-1-sin 250°=________. 原式=sin 240°+cos 240°-2sin 40°cos 40°cos 40°-cos 50°=|sin 40°-cos 40°|sin 50°-sin 40° =|sin 40°-sin 50°|sin 50°-sin 40° =sin 50°-sin 40°si n 50°-sin 40° =1.115.已知在△ABC 中,sin A +cos A =15. (1)求sin A cos A 的值;(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形;(3)求tan A 的值.(1)因为sin A +cos A =15,① 所以两边平方得1+2sin A cos A =125, 所以sin A cos A =-1225. (2)由sin A cos A =-1225<0,且0<A <π, 可知cos A <0,所以A 为钝角,所以△ABC 是钝角三角形.(3)因为(sin A -cos A )2=1-2sin A cos A =1+2425=4925, 又sin A >0,cos A <0,所以sin A -cos A >0,所以sin A -cos A =75,② 所以由①,②可得sin A =45,cos A =-35,所以tan A =sin A cos A =45-35=-43. 16.已知f (x )=cos 2(n π+x )·sin 2(n π-x )cos 2[(2n +1)π-x ](n ∈Z ). (1)化简f (x )的表达式; (2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016的值. (1)当n 为偶数,即n =2k (k ∈Z )时,f (x )=cos 2(2k π+x )·sin 2(2k π-x )cos 2[(2×2k +1)π-x ]=cos 2x ·sin 2(-x )cos 2(π-x )=cos 2x ·(-sin x )2(-cos x )2 =sin 2x (n =2k ,k ∈Z );当n 为奇数,即n =2k +1(k ∈Z )时,f (x )=cos 2[(2k +1)π+x ]·sin 2[(2k +1)π-x ]cos 2{[2×(2k +1)+1]π-x }=cos 2[2k π+(π+x )]·sin 2[2k π+(π-x )]cos 2[2×(2k +1)π+(π-x )]=cos 2(π+x )·sin 2(π-x )cos 2(π-x )=(-cos x )2sin 2x (-cos x )2 =sin 2x (n =2k +1,k ∈Z ).综上得f (x )=sin 2x . (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 016+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π2 016 =sin2π2 016+sin 21 007π2 016 =sin2π2 016+sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-π2 016 =sin2π2 016+cos 2π2 016=1.。

2018版高考数学(理)一轮复习文档:第四章三角函数、解三角形4.4含解析

2018版高考数学(理)一轮复习文档:第四章三角函数、解三角形4.4含解析

1.y=A sin(ωx+φ)的有关概念y=A sin(ωx +φ)(A〉0,ω〉0),x∈R 振幅周期频率相位初相A T=错误!f=错误!=错误!ωx+φφ2.用五点法画y=A sin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点如下表所示:x错误!错误!错误!错误!错误!ωx+φ0π2π错误!2πy=A sin(ωx+φ)0A0-A03.函数y=sin x的图象经变换得到y=A sin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图象的步骤如下:【知识拓展】1.由y=sin ωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ〉0)的变换:向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.2.函数y=A sin(ωx+φ)的对称轴由ωx+φ=kπ+错误!,k∈Z确定;对称中心由ωx+φ=kπ,k∈Z确定其横坐标.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×")(1)y=sin错误!的图象是由y=sin错误!的图象向右平移错误!个单位得到的.( √)(2)将函数y=sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数y=sin(ωx-φ)的图象.(×)(3)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩"与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.( ×)(4)函数y=A sin(ωx+φ)的最小正周期为T=错误!。

( ×) (5)把y=sin x的图象上各点纵坐标不变,横坐标缩短为原来的错误!,所得图象对应的函数解析式为y=sin 12x。

(×)(6)若函数y=A cos(ωx+φ)的最小正周期为T,则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为错误!.(√)1.(教材改编)y=2sin(错误!x-错误!)的振幅,频率和初相分别为( )A.2,4π,错误!B.2,错误!,错误!C.2,错误!,-错误!D.2,4π,-错误!答案C解析由题意知A=2,f=错误!=错误!=错误!,初相为-错误!. 2.(2015·山东)要得到函数y=sin错误!的图象,只需将函数y=sin 4x 的图象( )A.向左平移π12个单位B.向右平移错误!个单位C.向左平移错误!个单位D.向右平移错误!个单位答案B解析∵y=sin错误!=sin错误!,∴要得到y=sin错误!的图象,只需将函数y=sin 4x的图象向右平移错误!个单位.3.(2016·青岛模拟)将函数y=sin x的图象上所有的点向右平行移动错误!个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( )A.y=sin(2x-错误!)B.y=sin(2x-错误!)C.y=sin(错误!x-错误!)D.y=sin(错误!x-错误!)答案C解析y=sin xπ10右移个单位−−−−−→y=sin(x-错误!)错误!y=sin(错误!x-错误!).4.(2016·临沂模拟)已知函数f(x)=A cos(ωx+θ)的图象如图所示,f(错误!)=-错误!,则f(-错误!)=________。

2018届高考数学 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质教案 文 新人教A版

2018届高考数学 第四章 三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质教案 文 新人教A版

函数
y=sin x
y=cos x
y=tan x
单调递 增区间
2������π-
π 2
,
2������π
+
π 2
(k
∈Z)
[2kπ-π,2kπ](k∈Z)
������π-
π 2
,
������π
+
π 2
(k∈Z)
单调递 减区间
2������π
+
π 2
,
2������π
+
3π 2
(k∈Z)
[2kπ,2kπ+π](k∈Z) 无
4.3 三角函数的图象与性 质
-2-
考纲要求
五年考题统计 命题规律及趋势
1.能画出 y=sin x,y=cos
x,y=tan x 的图象,了解三
角函数的周期性.
2013 全国Ⅰ,文 9
2.理解正弦函数、余弦 函数在[0,2π]上的性质
2014 全国Ⅰ,文 7 2015 全国Ⅰ,文 8
(如单调性、最大值和最 2016 全国Ⅱ,文 11
f(x)=令 (22s)i由n2kπ2π2<-���π2���x≤+<π2π6,x得+. π6π2≤ω+2π4k<π+ωπ2x(+k∈π4<Zπ)ω,得+π4k, π-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z).
由题意,知
π 2
������
+
π 4
,����
+
π 4

2������π
+
π 2
,2������π
故函数 f(x)=sin

高考专题---三角函数综合-2018年高考数学(理)---精校解析 Word版

高考专题---三角函数综合-2018年高考数学(理)---精校解析 Word版

专题10 三角函数综合【母题原题1】【2018上海卷,18】设常数a R ∈,函数f x ()22?asin x cos x =+ (1)若f x ()为偶函数,求a 的值;(2)若4f π〔〕1=,求方程1f x =()ππ-[,]上的解。

【答案】(1);(2)或或.【解析】 【分析】(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出, (2)先求出a 的值,再根据三角形函数的性质即可求出. 【详解】∴,∴,∴,∵,∴,∴,∴,或,∴,或,∵,∴或或【点睛】本题考查了三角函数的化简和求值,以及三角函数的性质,属于基础题.【母题原题2】【2017上海卷,18】已知函数,.(1)求的单调递增区间;(2)设△ABC为锐角三角形,角A所对边,角B所对边,若,求△ABC的面积. 【答案】(1);(2)若,即有解得,即由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc cos A,化为c2﹣5c+6=0,解得c=2或3,若c =2,则即有B 为钝角,c =2不成立, 则c =3,△ABC 的面积为【母题原题3】【2017上海卷,11】设、,且,则的最小值等于________ 【答案】【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主,重点考查三角函数的性质(周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值等),体现数形结合的思想,函数与方程的思想等的应用,均可能出现填空题与解答题中,难度中低档为主,主要有两种考查题型:(1)根据三角函数的解析式确定其性质;(2)根据三角函数的性质求相关的参数值(或取值范围).【命题规律】1. 高考对三角函数的图象与性质的考查往往集中于正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质;函数y =Asin(ωx +φ)的图象及性质,主要考查三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶性、最值、对称性、图象平移及变换等).2. 高考中主要涉及如下题型:(1) 考查周期、单调性、极值等简单性质;(2) 考查与三角函数有关的零点问题;(3) 考查图象的识别. 【方法总结】1.根据函数的图象确定函数()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>中的参数主要方法:(1)A ,B 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定,即2A -=最大值最小值,2B +=最大值最小值;(2)ω的值主要由周期T 的值确定,而T 的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定;(3)ϕ值的确定主要是由图象的特殊点(通常优先取非零点)的坐标确定.2.在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也经常出现在题目中,所以也必须熟练掌握,无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母x 而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角”变化多少.“先平移,后伸缩”主要体现为由函数sin y x =平移得到函数()sin y x ϕ=+的图象时,平移ϕ个长度单位;“先伸缩,后平移” 主要体现为由函数()sin y x ω=平移得到函数()sin y x ωϕ=+的图象时,平移ϕω个长度单位. 3. 利用函数图象处理函数的零点(方程根)主要有两种策略:(1)确定函数零点的个数:利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断;(2)已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围:通常也转化为两个新函数的交点,即在同一坐标系中作出两个函数的图象,通过观察它们交点的位置特征建立关于参数的不等式来求解. 4. 求解三角函数的周期性的方法:(1)求三角函数的周期,通常应将函数式化为只有一个函数名,且角度唯一,最高次数为一次的形式,然后借助于常见三角函数的周期来求解.(2)三角函数的最小正周期的求法有:①由定义出发去探求;②公式法:化成sin()y A x ωϕ=+,或tan()y A x ωϕ=+等类型后,用基本结论2||T πω=或||T πω=来确定;③根据图象来判断. 5. 求解三角函数的单调性的方法:(1)三角函数单调区间的确定,一般先将函数式化为基本三角函数标准式,然后通过同解变形或利用数形结合方法求解.(2)已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法:①子集法:求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求某区间的子集,列不等式(组)求解;[ ②反子集法:由所给区间求出整体角的范围,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等式(组)求解.6. 求解三角函数的奇偶性的策略:(1)判断函数的奇偶性,应先判定函数定义域的对称性,注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数;复合函数在复合过程中,对每个函数而言,“同奇才奇、一偶则偶”.一般情况下,需先对函数式进行化简,再判断其奇偶性;(2)两个常见结论:①若函数()()sin f x A x ωϕ=+为奇函数,则()k k Z ϕπ=∈;若函数()()sin f x A x ωϕ=+为偶函数,则()2k k Z πϕπ=+∈;②若函数()()cos f x A x ωϕ=+为奇函数,则()2k k Z πϕπ=+∈;若函数()()cos f x A x ωϕ=+为偶函数,则()k k Z ϕπ=∈.7. 求解三角函数对称性的方法:(1)求函数sin()y A x ωϕ=+的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题:①由sin y x =的对称中心是(0)k π,,k ∈Z ,所以sin()y A x ωϕ=+的中心,由方程x k ωϕπ+=解出x 即可;②因为sin y x =的对称轴是2x k ππ=+,k ∈Z ,所以可由2x k πωϕπ+=+解出x ,即为函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴;注意tan y x =的对称中心为1(,0)()2k k Z π∈;(2)对于函数sin()y A x ωϕ=+,其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验()0f x 的值进行判断. 8. 求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型及求解策略:(1)形如sin cos y a x b x k =++的三角函数化为sin()y A x k ωϕ=++的形式,再利用正弦曲线的知识求最值(值域);(2)形如2sin sin y a x b x k =++的三角函数,可先设sin x t =,化为关于t 的二次函数求值域(最值); (3)形如()sin cos sin cos y a x x b x x c =+±+的三角函数,可先设sin cos t x x =±,化为关于t 的二次函数求值域(最值).1.【上海市浦东新区2018届三模】设函数的图象为,下面结论中正确的是( )A . 函数的最小正周期是B . 图象关于点对称C . 图象可由函数的图象向右平移个单位得到D . 函数在区间上是增函数【答案】B 【解析】 试题分析:的最小正周期,∵,∴图象关于点对称,∴图象可由函数的图象向右平移个单位得到,函数的单调递增区间是,当时,,∴函数在区间上是先增后减.考点:三角函数图象、周期性、单调性、图象平移、对称性.2.【上海市十二校2018届高三联考】已知函数()sincos 212cos2x x f x xωωω=(0)ω>, x R ∈,若函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点,则ω的取值范围为( )A . 10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ B . 50,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ C . ][150,,148⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭ D . ][1150,,848⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【答案】D本题选择D 选项.点睛:重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角:对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形. 3.【上海市浦东新区2018届高三三模】已知的三边成等比数列,所对的角分别为,则的取值范围是_________.【答案】.【解析】 【分析】【点睛】本题考查等比中项的定义和余弦定理、基本不等式和正弦函数的图象和性质,考查运算能力,属于中档题.4.【上海市大同中学2018届高三三模】若,,,满足:,,则的值为__________.【答案】【解析】【分析】首先对所给的方程进行恒等变形,然后结合函数的单调性和角度的范围求得的值,然后求解三角函数值即可.【详解】∵,∴(−2β)3−2sinβcosβ−2λ=0,即(−2β)3+sin(−2β)−2λ=0.由可得.故−2β和是方程x3+sinx−2λ=0的两个实数解.再由,,,所以和的范围都是,由于函数x3+sinx在上单调递增,故方程x3+sinx−2λ=0在上只有一个解,所以,,∴,则的值为.【点睛】本题主要考查函数的单调性,三角函数的性质及其应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.【上海市2018年5月高考模拟】已知为常数),若对于任意都有,则方程在区间内的解为__________【答案】或【解析】【分析】由,可知是函数的最小值,利用辅助的角公式求出的关系,然后利用三角函数的图象和性质进行求解即可.【详解】则,由,解得,即,,当时,,当时,,故或,故答案为或.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,以及辅助角公式的应用,属于难题.利用该公式() 可以求出:①的周期;②单调区间(利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得);③值域();④对称轴及对称中心(由可得对称轴方程,由可得对称中心横坐标.6.【上海市浦东新区2018届高三三模】若的图像的最高点都在直线上,并且任意相邻两个最高点之间的距离为.(1)求和的值:(2)在中,分别是的对边,若点是函数图像的一个对称中心,且,求外接圆的面积.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】【点睛】本题考查了二倍角的正弦函数公式,以及正弦定理的应用,熟练掌握公式是解本题的关键,是中档题.7.【上海市大同中学2018届高三三模】如图一块长方形区域,,,在边的中点处有一个可转动的探照灯,其照射角始终为,设,探照灯照射在长方形内部区域的面积为.(1)当时,求关于的函数关系式;(2)当时,求的最大值;(3)若探照灯每9分钟旋转“一个来回”(自转到,再回到,称“一个来回”,忽略在及处所用的时间),且转动的角速度大小一定,设边上有一点,且,求点在“一个来回”中被照到的时间.【答案】(1)见解析;(2);(3)2分钟.【解析】【分析】(1)由题意结合三角函数的性质可得:当时,,当时,;(2)结合(1)中函数的解析式和三角函数的性质可得当时,;(3)结合实际问题和三角函数的性质计算可得点被照到的时间为分钟.【详解】【点睛】本题主要考查三角函数的实际应用,三角函数的性质,三角函数最值的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.【上海市2018年5月高考模拟】钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土,如图:点分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿,点在点的北偏东方向,点在点的南偏西方向,点在点的南偏东方向,且两点的距离约为3海里.(1)求两点间的距离;(精确到0.01)(2)某一时刻,我国一渔船在点处因故障抛锚发出求教信号.一艘国舰艇正从点正东10海里的点处以18海里/小时的速度接近渔船,其航线为 (直线行进),而我东海某渔政船正位于点南偏西方向20海里的点处,收到信号后赶往救助,其航线为先向正北航行8海里至点处,再折向点直线航行,航速为22海里/小时.渔政船能否先于国舰艇赶到进行救助?说明理由.【答案】(1)14.25(2)渔政船能先于国舰艇赶到进行救助.【解析】【分析】(1)由题意,,,在中,由正弦定理可求两点间的距离;(2)结合(1)【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及正弦定理与余弦定理的应用,属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题,只有吃透题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答.9.【上海市虹口区2018届高三下学期教学质量监控(二模)】已知中,角所对应的边分别为,(是虚数单位)是方程的根,.(1)若,求边长的值;(2)求面积的最大值.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)解得,所以,,,由正弦定理得;(2)由余弦定理得,根据基本不等式,得,所以面积的最大值等于。

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答案: (全国 3 卷 4)
答案:B (全国 3 卷 6)
答案:C
(北京卷 7)在平面坐标系中,
,
,
(如图),点 P 在其中一段上,角 以 O
,则 P 所在的圆弧是
(A)
(B)
(C)
(D) 答案:C
,
是圆
上的四段弧
(北京卷 16)已知函数
+
.
(Ⅰ)求
的最小正周期
(Ⅱ)若 答案:
在区间
上的最大值为 ,求 的最小值.
(全国 1 卷 8) 答案: (全国 1 卷 11) 答案:
(全国 2 卷 10)若 f (x) cos x sin x 在[0, a] 是减函数,则 a 的最大值是
A. π 4
答案:C
B. π 2
C. 3π
4
D. π
5π 1
(全国 2 卷 15)已知 tan α
4
,(2x
) 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对
5
10
应的函数
(A)在区间[
上单调递增(B)在区间[
上单调递减
(C)在区间 4 , 4上] 单调递增(D)在区间
4
, 0] ] 上单调递减
[,] 4
[,
2
2
答案:A
解析: y sin(2x ) 向右移动 个单位长度得到
5
10
y sin[(2 )x - ,] 即 y sin 2x , 10 5
单增区间为: +2k 2x 2k (k Z )
+k x
2 k (kZ)
2
当4k 0 时,函4数 y sin(2x 在区间[
)
,]

2018年高三数学(理)一轮复习课件 三角函数、解三角形

2018年高三数学(理)一轮复习课件  三角函数、解三角形
答案
第四章
考点1 考点2 考点3
4.1
任意角、弧度制及任意角的三角函数
知识梳理 核心考点 学科素养
知识体系
-14-
π 4π 解析: (1)∵在(0,2π)内终边在直线 y=√3x 上的角是3 , 3 , π 4π π π 4π 与角3 , 3 终边相同的角分别为 2kπ+3,2kπ+ 3 =(2k+1)π+3,k
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
)
关闭
若 α= ,则 cos α= 成立; 若 cos α=2,则 α=2kπ±3(k∈Z),
1 π π 即 α= 不一定成立. 3 π 1 故 “ α = ” 是 “ cos α = ”的充分不必要条件,故选 B 3 2
π 3
1 2
B.
解析
关闭
答案
第四章
知识梳理 双基自测
4.1
任意角、弧度制及任意角的三角函数
知识梳理 核心考点 学科素养
知识体系
-10-
1
π 3
与 终边相同的角是( A.
4π 3
) D.5π 3
B.
5π 3
C.-
4π 3
关闭
π 与 终边相同的角可以写成 3
π β= +k· 2π,k∈Z,当 3
B
解析
答案
第四章
知识梳理 双基自测
4.1
任意角、弧度制及任意角的三角函数
知识梳理 核心考点 学科素养
知识体系
-12-
1
2
3
4
5
5.(教材例题改编P13例3)若角θ同时满足sin θ<0,且tan θ<0,则角θ 的终边一定落在第 象限.

2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形汇编(理)附详解

2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形汇编(理)附详解

I 2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形一、选择题1.【2018全国二卷6】在中,,,则 A .BCD .2.【2018全国二卷10】若在是减函数,则的最大值是A .B .C .D .3.【2018全国三卷4】若,则 A .B .C .D .4.【2018全国三卷9】的内角的对边分别为,,,若的面积为,则 A .B .C .D .5.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中,记d 为点P (cos θ,sin θ)到直线20x my --=的距离,当θ,m 变化时,d 的最大值为 A. 1B. 2C. 3D.46.【2018天津卷6】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度,所得图象对应的函数A 在区间35[,]44ππ上单调递增 B 在区间3[,]4ππ上单调递减 C 在区间53[,]42ππ上单调递增 D 在区间3[,2]2ππ上单调递减 7.【2018浙江卷5】函数y=||2x sin2x 的图象可能是ABC △cos 2C 1BC =5AC =AB =()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π1sin 3α=cos2α=897979-89-ABC △A B C ,,a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π6II A . B .C .D .二、填空题1.【2018全国一卷16】已知函数()2sin sin2f x x x =+,则()f x 的最小值是_________. 2.【2018全国二卷15】已知,,则__________.3.【2018全国三卷15】函数在的零点个数为________.4.【2018北京卷11】设函数f (x )=πcos()(0)6x ωω->,若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立,则ω的最小值为__________.5.【2018江苏卷7】已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称,则ϕ的值是 .6.【2018江苏卷13】在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,120ABC ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .7.【2018浙江卷13】在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若b=2,A=60°,sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π,III 则sin B=___________,c=___________. 三.解答题1.【2018全国一卷17】在平面四边形ABCD 中,90ADC ∠=,45A ∠=,2AB =,5BD =.(1)求cos ADB ∠;(2)若DC =,求BC .2.【2018北京卷15】在△ABC 中,a=7,b=8,cosB=–17. (Ⅰ)求∠A ; (Ⅱ)求AC 边上的高.3.【2018天津卷15】在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知sin cos()6b A a B π=-.(I )求角B 的大小; (II )设a=2,c=3,求b 和sin(2)A B -的值. 4.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角,4tan 3α=,cos()αβ+=. (1)求cos2α的值; (2)求tan()αβ-的值.5.【2018江苏卷17】某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成.已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △,要求,A B 均在线段MN 上,,C D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积,并确定sin θ的取值范围;(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.IV 6.【2018浙江卷18】已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P (3455-,-).(Ⅰ)求sin (α+π)的值; (Ⅱ)若角β满足sin (α+β)=513,求c osβ的值. 7.【2018上海卷18】设常数a R ∈,函数f x ()=x x a 2cos 22sin + (1)若f x ()为偶函数,求a 的值;(2)若4f π〔〕1=,求方程1f x =-()ππ-[,]上的解. 参考答案一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D二、填空题1. 2. 3. 3 4.23 5.π6- 6. 9 7.3721; 三.解答题 1.解:(1)在ABD △中,由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知,52sin 45sin ADB=︒∠,所以sin ADB ∠=. 由题设知,90ADB ∠<︒,所以cos 5ADB ∠==. (2)由题设及(1)知,cos sin 5BDC ADB ∠=∠=在BCD △中,由余弦定理得 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯25=. 所以5BC =.2.解:(Ⅰ)在△ABC 中,∵cosB=–17,∴B ∈(π2,π),∴sinB==12-V 由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A,∴.∵B ∈(π2,π),∴A ∈(0,π2),∴∠A=π3.(Ⅱ)在△ABC 中,∵sinC=sin (A+B )11()72-+.如图所示,在△ABC 中,∵sinC=h BC ,∴h=sin BC C ⋅=7=,∴AC边上的高为33.3.解:在△ABC 中,由正弦定理sin sin a bA B=,可得sin sin b A a B =, 又由πsin cos()6b A a B =-,得πsin cos()6a B a B =-,即πsin cos()6B B =-,可得tan B =.又因为(0π)B ∈,,可得B=π3.(Ⅱ)解:在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3,有2222cos 7b a c ac B =+-=,故πsin cos()6b A a B =-,可得sin A =.因为a<c ,故cos A =sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=. 所以,sin(2)sin 2cos cos2sin AB A B A B -=-=1127-= 4.解:(1)因为,,所以.因为,所以,因此,. 4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-VI (2)因为为锐角,所以. 又因为,因此. 因为,所以,因此,.5.解:(1)连结PO 并延长交MN 于H ,则PH ⊥MN ,所以OH=10.过O 作OE ⊥BC 于E ,则OE ∥MN ,所以∠COE=θ,故OE=40cosθ,EC=40sinθ,则矩形ABCD 的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ), △CDP 的面积为12×2×40cosθ(40–40sinθ)=1600(cosθ–sinθcosθ). 过N 作GN ⊥MN ,分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ,则GK=KN=10. 令∠GOK=θ0,则si nθ0=14,θ0∈(0,π6).当θ∈[θ0,π2)时,才能作出满足条件的矩形ABCD , 所以sinθ的取值范围是[14,1).答:矩形ABCD 的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP 的面积为 1600(cosθ–sinθcosθ),sinθ的取值范围是[14,1). (2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k ,乙的单位面积的年产值为3k (k>0), 则年总产值为4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ–sinθcosθ) =8000k (sinθcosθ+cosθ),θ∈[θ0,π2).,αβ(0,π)αβ+∈cos()αβ+=sin()αβ+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+VII 设f (θ)=sinθcosθ+cosθ,θ∈[θ0,π2),则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′. 令()=0f θ′,得θ=π6,当θ∈(θ0,π6)时,()>0f θ′,所以f (θ)为增函数; 当θ∈(π6,π2)时,()<0f θ′,所以f (θ)为减函数, 因此,当θ=π6时,f (θ)取到最大值.答:当θ=π6时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.[来源:学§科§网]6.(Ⅰ)由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-,所以4sin(π)sin 5αα+=-=. (Ⅱ)由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-,由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++, 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 7. 解:(1)11cos 22sin )(2+-+=x x a x f =12cos 2sin ++x x a , 当)(x f 为偶函数时:)()(x f x f -=,则a a -=,解得0=a 。

(完整版)2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形汇编(理)附详解

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2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形一、选择题1.【2018全国二卷6】在中,,,,则 A .BCD .2.【2018全国二卷10】若在是减函数,则的最大值是A .B .C .D .3.【2018全国三卷4】若,则 A .B .C .D .4.【2018全国三卷9】的内角的对边分别为,,,若的面积为,则 A .B .C .D .5.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中,记d 为点P (cosθ,sinθ)到直线20x my --=的距离,当θ,m 变化时,d 的最大值为 A. 1B. 2C. 3D.46.【2018天津卷6】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度,所得图象对应的函数A 在区间35[,]44ππ上单调递增 B 在区间3[,]4ππ上单调递减 C 在区间53[,]42ππ上单调递增 D 在区间3[,2]2ππ上单调递减 7.【2018浙江卷5】函数y=||2x sin2x 的图象可能是ABC △cos 2C =1BC =5AC =AB =()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π1sin 3α=cos2α=897979-89-ABC △A B C ,,a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π6A .B .C .D .二、填空题1.【2018全国一卷16】已知函数()2sin sin2f x x x =+,则()f x 的最小值是_________. 2.【2018全国二卷15】已知,,则__________.3.【2018全国三卷15】函数在的零点个数为________.4.【2018北京卷11】设函数f (x )=πcos()(0)6x ωω->,若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立,则ω的最小值为__________.5.【2018江苏卷7】已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称,则ϕ的值是 . 6.【2018江苏卷13】在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,120ABC ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .7.【2018浙江卷13】在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若b=2,A=60°,则sin B=___________,c=___________. 三.解答题1.【2018全国一卷17】在平面四边形ABCD 中,90ADC ∠=o ,45A ∠=o ,2AB =,5BD =.sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π,(1)求cos ADB ∠; (2)若22DC =,求BC .2.【2018北京卷15】在△ABC 中,a=7,b=8,cosB=–17. (△)求∠A ; (△)求AC 边上的高.3.【2018天津卷15】在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知sin cos()6b A a B π=-.(I )求角B 的大小; (II )设a=2,c=3,求b 和sin(2)A B -的值.4.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角,4tan 3α=,5cos()αβ+=. (1)求cos2α的值; (2)求tan()αβ-的值.5.【2018江苏卷17】某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成.已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △,要求,A B 均在线段MN 上,,C D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积,并确定sin θ的取值范围;(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.6.【2018浙江卷18】已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点P(3455-,-).(Ⅰ)求sin (α+π)的值; (Ⅱ)若角β满足sin (α+β)=513,求cosβ的值.7.【2018上海卷18】设常数a R ∈,函数f x ()=x x a 2cos 22sin + (1)若f x ()为偶函数,求a 的值;(2)若4f π〔〕1=,求方程1f x =()ππ-[,]上的解.参考答案一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D二、填空题1. 2. 3. 3 4.23 5.π6- 6. 9 7.3721; 三.解答题 1.解:(1)在ABD △中,由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知,52sin 45sin ADB=︒∠,所以sin 5ADB ∠=. 由题设知,90ADB ∠<︒,所以cos ADB ∠== (2)由题设及(1)知,cos sin BDC ADB ∠=∠=在BCD △中,由余弦定理得 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠25825=+-⨯⨯25=. 所以5BC =.12-2.解:(Ⅰ)在△ABC 中,∵cosB=–17,∴B ∈(π2,π),∴. 由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A,∴.∵B ∈(π2,π),∴A ∈(0,π2),∴∠A=π3.(Ⅱ)在△ABC 中,∵sinC=sin (A+B )11()72-+.如图所示,在△ABC 中,∵sinC=h BC ,∴h=sin BC C ⋅=7,∴AC边上的高为33.3.解:在△ABC 中,由正弦定理sin sin a bA B =,可得sin sin b A a B =, 又由πsin cos()6b A a B =-,得πsin cos()6a B a B =-,即πsin cos()6B B =-,可得tan B .又因为(0π)B ∈,,可得B=π3.(Ⅱ)解:在△ABC 中,由余弦定理及a=2,c=3,B=π3,有2222cos 7b a c ac B =+-=,故πsin cos()6b A a B =-,可得sin A .因为a<c ,故cos A =sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=. 所以,sin(2)sin 2cos cos2sin AB A B A B -=-=1127-= 4.解:(1)因为,,所以.因为,所以,因此,. (2)因为为锐角,所以.4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈又因为,所以,因此. 因为,所以,因此,.5.解:(1)连结PO 并延长交MN 于H ,则PH ⊥MN ,所以OH=10.过O 作OE ⊥BC 于E ,则OE ∥MN ,所以∠COE=θ,故OE=40cosθ,EC=40sinθ,则矩形ABCD 的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ), △CDP 的面积为12×2×40cosθ(40–40sinθ)=1600(cosθ–sinθcosθ). 过N 作GN ⊥MN ,分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ,则GK=KN=10. 令∠GOK=θ0,则sinθ0=14,θ0∈(0,π6).当θ∈[θ0,π2)时,才能作出满足条件的矩形ABCD , 所以sinθ的取值范围是[14,1).答:矩形ABCD 的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP 的面积为 1600(cosθ–sinθcosθ),sinθ的取值范围是[14,1). (2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k ,乙的单位面积的年产值为3k (k>0), 则年总产值为4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ–sinθcosθ) =8000k (sinθcosθ+cosθ),θ∈[θ0,π2). 设f (θ)=sinθcosθ+cosθ,θ∈[θ0,π2),则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′. 5cos()αβ+=-225sin()1cos ()αβαβ+=-+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+令()=0f θ′,得θ=π6,当θ∈(θ0,π6)时,()>0f θ′,所以f (θ)为增函数; 当θ∈(π6,π2)时,()<0f θ′,所以f (θ)为减函数, 因此,当θ=π6时,f (θ)取到最大值.答:当θ=π6时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.[来源:学§科§网]6.(Ⅰ)由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-,所以4sin(π)sin 5αα+=-=. (Ⅱ)由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-,由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++, 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 7. 解:(1)11cos 22sin )(2+-+=x x a x f =12cos 2sin ++x x a ,1)2cos()2sin()(+-+-=-x x a x f 12cos 2sin ++-=x x a当)(x f 为偶函数时:)()(x f x f -=,则a a -=,解得0=a 。

新高考数学(理)之三角函数与解三角形 专题04 三角恒等变换(解析版)

新高考数学(理)之三角函数与解三角形 专题04 三角恒等变换(解析版)

新高考数学(理)三角函数与平面向量04 三角恒等变换一、具本目标:1.两角和与差的三角函数公式 (1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;(2)能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;(3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;2.简单的三角恒等变换:能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆)3.(1) 已知两角的正余弦,会求和差角的正弦、余弦、正切值. (2) 会求类似于15°,75°,105°等特殊角的正、余弦、正切值. (3) 用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值. (4)逆用和差角的正弦、余弦、正切公式化简求值. (5) 会配凑、变形、拆角等方法进行化简与求值. 二、知识概述:知识点一 两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦公式: ()sin sin cos cos sin α+β=αβ+αβ,()sin sin cos cos sin α-β=αβ-αβ.两角和与差的余弦公式:()cos cos cos sin sin α+β=αβ-αβ, ()cos cos cos sin sin α-β=αβ+αβ. 两角和与差的正切公式:()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ,【考点讲解】()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ.【特别提醒】公式的条件:1. 两角和与差的正弦、余弦公式中的两个角α、β为任意角.2.两角和与差的正切公式中两个角有如下的条件:(),,,.2222k k k k k z ππππα+β≠π+α-β≠π+α≠π+β≠π+∈知识点二 公式的变用1. 两角和与差的正弦公式的逆用与辅助角公式:()22sin cos sin a x b x a b x +=++ϕ(其中φ角所在的象限由a,b 的符号确定,φ的值由tan baϕ=确定),在求最值、化简时起着重要的作用. 2. ()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ变形为()()tan tan tan 1tan tan α+β=α+β-αβ,()tan tan tan 1tan tan α+βα+β=-αβ变形为()tan tan tan tan 1tan α+βαβ=-α+β.()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ变形为()()tan tan tan 1tan tan α-β=α-β+αβ,()tan tan tan 1tan tan α-βα-β=+αβ变形为()tan tan tan tan 1tan α-βαβ=-α-β来使用. 条件为:(),,,.2222k k k k k z ππππα+β≠π+α-β≠π+α≠π+β≠π+∈ 知识点三 二倍角公式: 1.22tan sin 22sin cos 1tan ααααα==+ 2222221tan cos 2cos sin 2cos 112sin 1tan ααααααα-=-=-=-=+ 22tan tan 21tan ααα=-2. 常见变形:(1)22cos 1sin 2αα-=,22cos 1cos 2αα+=(2)()2cos sin 2sin 1ααα+=+,()2cos sin 2sin 1ααα-=-;(3)αα2cos 22cos 1=+,αα2sin 22cos 1=-.3.半角公式:2cos 12sin αα-±=,2cos 12cos αα+±=,αααcos 1cos 12tan+-±=,αααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=.1.【2019年高考全国Ⅱ卷文理】已知a ∈(0,π2),2sin2α=cos2α+1,则sin α=( ) A .15B .55 C .33D .255【解析】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查.2sin 2cos21αα=+Q ,24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭Q ,sin 0,α>2sin cos αα∴=,又22sin cos 1αα+=,2215sin 1,sin 5αα∴==,又sin 0α>,5sin 5α∴=,故选B . 【答案】B2.【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0,2π]的零点个数为( ) A .2B .3C .4D .5【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=,得sin 0x =或cos 1x =,[]0,2πx ∈Q ,0π2πx ∴=、或.()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3,故选B .【答案】B3.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数()222cos sin 2f x x x =-+,则( )A .()f x 的最小正周期为π,最大值为3B .()f x 的最小正周期为π,最大值为4C .()f x 的最小正周期为2π,最大值为3D .()f x 的最小正周期为2π,最大值为 4【真题分析】【解析】本题考查的是二倍角公式及余弦型函数的周期及最值问题.根据题意有()135cos 21(1cos 2)2cos 2222f x x x x =+--+=+,所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==,且最大值为()max 35422f x =+=,故选B. 【答案】B4.【2018年高考全国Ⅰ卷】若1sin 3α=,则cos2α=( ) A .89 B .79 C .79- D .89-【解析】本题主要考查二倍角公式及求三角函数的值.2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=.故选B. 【答案】B5.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点()1A a ,,()2B b ,,且2cos 23α=,则a b -=( )A .15 B .55 C .255D .1 【解析】本题主要考查任意角的三角函数和三角恒等变換根据条件,可知,,O A B 三点共线,从而得到2b a =,因为22212cos22cos 12131a ⎛⎫=-=⋅-= ⎪+⎝⎭αα,解得215a =,即55a =,所以525a b a a -=-=. 【答案】B6.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知4sin cos 3αα-=,则sin 2α=( ) A .79-B .29-C .29D .79【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A. 【答案】A7.【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________. 【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+23172(cos )48x =-++, 1cos 1x -≤≤Q ,∴当cos 1x =时,min ()4f x =-,故函数()f x 的最小值为4-.【答案】4-8.【2019年高考北京卷理数】函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________.【解析】本题主要考查二倍角的三角函数公式、三角函数的最小正周期公式,函数()2sin 2f x x ==1cos 42x -,周期为π2. 【答案】π29.【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭,则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 . 【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭,得23tan 5tan 20αα--=, 解得tan 2α=,或1tan 3α=-.πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()2222222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭2222tan 1tan =2tan 1ααα⎛⎫+- ⎪+⎝⎭, 当tan 2α=时,上式22222122==22110⎛⎫⨯+-⨯ ⎪+⎝⎭; 当1tan 3α=-时,上式=22112()1()2233[]=1210()13⨯-+--⨯-+. 综上,π2sin 2.410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【答案】21010.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知5π1tan()45-=α,则tan =α__________. 【解析】本题主要考查三角恒等变换,考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+⋅,解方程得3tan 2=α.故答案为32. 【答案】3211.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知sin cos 1αβ+=,cos sin 0αβ+=,则sin()αβ+=__________. 【解析】本题主要考查三角恒等变换.因为sin cos 1+=αβ,cos sin 0+=αβ,所以()()221sin cos 1,-+-=αα所以11sin ,cos 22==αβ, 因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【答案】12-12.【2017年高考江苏卷】若π1tan(),46-=α则tan =α .【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---.故答案为75. 【答案】7513.【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+,则()f x 的最小值是_____________.【解析】()()212cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫'=+=+-=+-⎪⎝⎭, 所以当1cos 2x <时函数单调递减,当1cos 2x >时函数单调递增,从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ,函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z , 所以当π2π,3x k k =-∈Z 时,函数()f x 取得最小值,此时33sin ,sin222x x =-=-, 所以()min 33332222f x ⎛⎫=⨯--=- ⎪ ⎪⎝⎭,故答案是332-.【答案】332-14.【2017年高考全国Ⅱ理数】函数()23sin 3cos 4f x x x =+-(π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是 . 【解析】本题主要考查的是三角函数式的化简及三角函数的问题转化为二次函数的问题,二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”化简三角函数的解析式的综合考查.()2223131cos 3cos cos 3cos cos 1442f x x x x x x ⎛⎫=-+-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭,由自变量的范围:π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得:[]cos 0,1x ∈,当3cos 2x =时,函数()f x 取得最大值1.【答案】115.【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .(1)已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数,求θ的值; (2)求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域. 【解析】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识.(1)因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数,所以,对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+, 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+,故2sin cos 0x θ=,所以cos 0θ=. 又[0,2π)θ∈,因此π2θ=或3π2. (2)2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2133621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭3π1cos 223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因此,函数的值域是33[1,1]22-+. 【答案】(1)π2θ=或3π2;(2)33[1,1]22-+. 16.【2018年高考北京卷文数】已知函数2()sin 3sin cos f x x x x =+.(1)求()f x 的最小正周期; (2)若()f x 在区间[,]3m π-上的最大值为32,求m 的最小值. 【解析】本题主要考查二倍角公式、辅助角公式、正弦函数的性质. (1)1cos 23311π1()sin 2sin 2cos 2sin(2)2222262x f x x x x x -=+=-+=-+, 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. (2)由(1)知π1()sin(2)62f x x =-+.因为π[,]3x m ∈-,所以π5ππ2[,2]666x m -∈--.要使得()f x 在π[,]3m -上的最大值为32,即πsin(2)6x -在π[,]3m -上的最大值为1. 所以ππ262m -≥,即π3m ≥.所以m 的最小值为π3.【答案】(1)π;(2)π3.1. sin15°sin105°的值是( ) A .14 B .14-C .34D .34-【解析】本题的考点二倍角的正弦和诱导公式:sin15°sin105°=sin15°cos15°=12sin30°=14,故选A . 【答案】A2.已知sin2α=13,则cos 2(π4α-)=( ) A .34 B .23 C .45 D .56【解析】本题考点二倍角的余弦,三角函数的化简求值.∵sin2α=13,∴cos 2(π4α-)=π11cos 211sin 22232223αα⎛⎫+-+⎪+⎝⎭===.故选B . 【答案】B3.已知sin α=45-,α∈(π,3π2),则tan 2α等于( ) A .-2 B .12 C .12-或2 D .-2或12【解析】∵sin α=45-,α∈(π,3π2),∴cos α=35-,∴tan α=43.∵α∈(π,3π2),∴2α∈(π2,3π4),∴tan 2α<0. tan α=22tan21tan 2αα- =43,即2tan 22α+ 3tan2α-2=0,解得tan2α=-2,或tan2α=12(舍去),故选A .【答案】A【模拟考场】4.设π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,π0,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且tan α=1sin 2cos 2ββ+,则下列结论中正确的是( ) A .2π4αβ-=B .π24αβ+=C .π4αβ-=D .π4αβ+= 【解析】本题的考点二倍角的余弦,二倍角的正弦..tan α=()222sin cos 1sin 2sin cos 1tan cos 2cos sin cos sin 1tan ββββββββββββ++++===---πtan 4β⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,πππ,442β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以π4αβ-=.故选C . 【答案】C5.已知角αβ,均为锐角,且cos α=35,tan (α−β)=−13,tan β=( ) A .13 B .913 C .139D .3【解析】∵角α,β均为锐角,且cos α=35,∴sin α=21cos α- =45,tan α=43,又tan (α−β)=tan tan 1+tan tan αβαβ-=4tan 341+tan 3ββ-=−13, ∴tan β=3,故选D .【答案】D6.设α为锐角,若π3cos()65α+=,则πsin()12α-=( ) A .210 B .210- C .45 D .45- 【解析】因为α为锐角,所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,因为π3cos()65α+=,所以π4sin()65α+=,故πππππsin()sin sin cos 126464ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ2432cos sin 6425510α⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A.【答案】A7.设函数2()sin sin f x x b x c =++,则()f x 的最小正周期( )A .与b 有关,且与c 有关B .与b 有关,但与c 无关C .与b 无关,且与c 无关D .与b 无关,但与c 有关【解析】本题考查的是二倍角的降幂公式与三角函数的最小正周期,先利用三角恒等变换(降幂公式)化简函数()f x ,再判断b 和c 的取值是否影响函数()f x 的最小正周期.21cos 2cos 21()sin sin sin sin 222-=++=++=-+++x x f x x b x c b x c b x c ,其中当0=b 时,cos 21()22=-++x f x c ,此时周期是π;当0≠b 时,周期为2π,而c 不影响周期.故选B . 【答案】B8.已知34cos sin =-αα,则=α2sin ( ) A .97- B .92- C .92 D .97【解析】本题的考点是二倍角的正弦正逆用,将34cos sin =-αα两边平方()2234cos sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-αα, 化简后可得916cos sin 2cos sin 22=-+αααα即=α2sin 97-.【答案】A 9.函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 3sin 51ππx x x f 的最大值为( ) A .56B .1C .53D .51【解析】将()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 3sin 51ππx x x f 化简,利用两角和、差的正余弦公式及辅助角公式,三角函数 最值的性质可以求得函数最大值.由()6sin sin 6cos cos 3sin cos 3cos sin 51ππππx x x x x f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+= x x x x sin 21cos 23cos 103sin 101+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x x x x cos 23sin 2156cos 533sin 53⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3sin 56πx , 因为13sin 1≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx ,所以函数的最大值为56.【答案】A10.若tan 2tan 5πα=,则3cos()10sin()5παπα-=-( ) A.1 B.2 C.3 D.4【解析】本题考点是两角和与差的正弦(余弦)公式,同角间的三角函数关系,三角函数的恒等变换. 三角恒等变换的主要是求值,在求值时只要根据求解目标的需要,结合已知条件选用合适的公式计算.本例应用两角和与差的正弦(余弦)公式化简所求式子,利用同角关系式求出使已知条件可代入的值,然后再化简,求解过程中注意公式的顺用和逆用.3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cos sin 55ππαππα+=-33cos 2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+==333cos cos sin sin sin sin 510510510sin cos 55ππππππππ++ =333cos cos sin 5101010sin cos 55ππππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=13cos sin 1025sin cos 55ππππ+1cos cos 10210sin cos 55ππππ+=1cos cos 1021014sin 210πππ+= 3cos103cos 10ππ==.【答案】C11.已知向量a r =(sin θ,2-),b r =(1,cos θ),且a r ⊥b r ,则sin 2θ+cos 2θ的值为( )A .1B .2C .12D .3 【解析】本题考点是三角函数的恒等变换及化简求值,数量积判断两个平面向量的垂直关系.由题意可得a r ·b r =sin θ-2cos θ=0,即tan θ=2.∴sin 2θ+cos 2θ=2222sin cos +cos cos +sin θθθθθ=22tan +11+tan θθ=1,故选A . 【答案】A12.已知cos θ=-725,θ∈(-π,0),则sin 2θ+cos 2θ=( )A .125B .15±C .15D .15- 【解析】∵cos θ=-725,θ∈(-π,0), ∴cos 22θ-sin 22θ=(cos 2θ+sin 2θ)(cos 2θ-sin 2θ)<0,2θ∈(π2-,0), ∴sin 2θ+cos 2θ<0,cos 2θ-sin 2θ>0,∵(sin 2θ+cos 2θ)2=1+sin θ=1-491625-=125,∴sin 2θ+cos 2θ=15-.故选D .【答案】D13. =+οο75sin 15sin .【解析】本题考查的是三角恒等变换及特殊角的三角函数值的求解. 法一、6sin15sin 75sin15cos152sin(1545)2+=+=+=o o o o o o . 法二、6sin15sin 75sin(4530)sin(4530)2sin 45cos302+=-++==o o o o o o o o . 法三、62626sin15sin 75442-++=+=o o . 【答案】62. 14.在锐角三角形ABC 中,若sin 2sin sin A B C =,则tan tan tan A B C 的最小值是 .【解析】本题考查的是三角恒等变换及正切的性质,本题要求会利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据,同时要记住斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++,sin sin(B C)2sin sin tan tan 2tan tan A B C B C B C =+=⇒+=,因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan 22tan tan tan tan tan tan 8A B C A B C A B C A B C A B C =++=+≥⇒≥,即最小值为8.【答案】8.15.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角,4tan 3α=,5cos()5αβ+=-. (1)求cos2α的值;(2)求tan()αβ-的值.【解析】(1)因为,,所以. 4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=因为,所以, 因此,. (2)因为为锐角,所以.又因为,所以, 因此.因为,所以, 因此,. 16.【2016高考山东理数】在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A +=+ (Ⅰ)证明:a +b =2c ;(Ⅱ)求cos C 的最小值.【解析】试题分析:(Ⅰ)根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明;(Ⅱ)根据余弦定理公式表示出cosC ,由基本不等式求cos C 的最小值.试题解析:()I 由题意知sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=+,即()2sin sin sin A B A B +=+.因为A B C π++=,所以()()sin sin sin A B C C π+=-=.从而sin sin =2sin A B C +.由正弦定理得2a b c +=.()∏由()I 知2a b c +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭, 当且仅当a b =时,等号成立.故 cos C 的最小值为12. 17.已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,R x ∈ 22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈5cos()5αβ+=-225sin()1cos ()5αβαβ+=-+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+(I)求()f x 最小正周期;(II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 【解析】本题考点两角和与差的正余弦公式、二倍角的正余弦公式、三角函数的图象与性质.综合运用三角 知识,从正确求函数解析式出发,考查最小正周期的求法与函数单调性的应用,从而求出函数的最大值与最小值,体现数学思想与方法的应用.(I) 由已知,有1cos 21cos211313()cos2sin 2cos2222222x x f x x x x π⎛⎫-- ⎪⎛⎫-⎝⎭=-=+- ⎪⎝⎭ 311sin 2cos2sin 24426x x x π⎛⎫--=- ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. (II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数,在区间[,]64p p -上是增函数, 113(),(),()346244f f f πππ-=--=-=,所以()f x 在区间[,]34p p -上的最大值为34,最小值为12-. 【答案】(I)π; (II) max 3()4f x =,min 1()2f x =-.。

2018版高考数学理北师大版大一轮复习讲义教师版文档 第四章 三角函数、解三角形 4.6 含答案 精品

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1.正弦定理、余弦定理在△ABC 中,若角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,R 为△ABC 外接圆半径,则2.在△ABC 中,已知a 、b 和A 时,解的情况如下:3.三角形常用面积公式(1)S =12a ·h a (h a 表示边a 上的高);(2)S =12ab sin C =12ac sin B =12bc sin A ;(3)S =12r (a +b +c )(r 为三角形内切圆半径).【知识拓展】 1.三角形内角和定理 在△ABC 中,A +B +C =π; 变形:A +B 2=π2-C 2.2.三角形中的三角函数关系(1)sin(A +B )=sin C ;(2)cos(A +B )=-cos C ; (3)sinA +B 2=cosC 2;(4)cos A +B 2=sin C 2. 3.三角形中的射影定理在△ABC 中,a =b cos C +c cos B ; b =a cos C +c cos A ; c =b cos A +a cos B .【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( × ) (2)在△ABC 中,若sin A >sin B ,则A >B .( √ )(3)在△ABC 的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.( × ) (4)当b 2+c 2-a 2>0时,三角形ABC 为锐角三角形.( × ) (5)在△ABC 中,asin A =a +b -c sin A +sin B -sin C.( √ )(6)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积.( √ )1.(2016·天津)在△ABC 中,若AB =13,BC =3,C =120°,则AC 等于( ) A .1 B .2 C .3 D .4 答案 A解析 由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ·BC ·cos C ,即13=AC 2+9-2AC ×3×cos 120°,化简得AC 2+3AC -4=0,解得AC =1或AC =-4(舍去).故选A. 2.(教材改编)在△ABC 中,A =60°,B =75°,a =10,则c 等于( ) A .5 2 B .10 2 C.1063D .5 6答案 C解析 由A +B +C =180°,知C =45°, 由正弦定理得a sin A =c sin C ,即1032=c 22,∴c =1063.3.(2016·江西吉安一中质检)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cb <cos A ,则△ABC 为( ) A .钝角三角形 B .直角三角形 C .锐角三角形 D .等边三角形 答案 A解析 因为c b <cos A ,由正弦定理得sin Csin B <cos A ,因为B ∈(0,π),所以sin B >0, 所以sin C <sin B cos A ,又C =π-(A +B ),可得sin(A +B )<sin B cos A , 即sin A cos B <0,则cos B <0,所以B ∈(π2,π),即△ABC 为钝角三角形,故选A.4.(2016·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边长分别为a ,b ,c ,若b +c =2a,3sin A =5sin B ,则角C =. 答案2π3解析 因为3sin A =5sin B , 所以由正弦定理可得3a =5b . 因为b +c =2a ,所以c =2a -35a =75a .令a =5,b =3,c =7,则由余弦定理c 2=a 2+b 2-2ab cos C , 得49=25+9-2×3×5cos C ,解得cos C =-12,所以C =2π3.5.(2016·济南模拟)在△ABC 中,a =32,b =23,cos C =13,则△ABC 的面积为.答案 4 3解析 ∵cos C =13,0<C <π,∴sin C =223,∴S △ABC =12ab sin C =12×32×23×223=4 3.题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 (1)(2015·广东)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若a =3,sin B =12,C=π6,则b =. 答案 1解析 因为sin B =12且B ∈(0,π),所以B =π6或B =5π6.又C =π6,B +C <π,所以B =π6,A =π-B -C =2π3.又a =3,由正弦定理得a sin A =b sin B ,即3sin2π3=b12,解得b =1.(2)(2016·四川)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos A a +cos B b =sin Cc .①证明:sin A sin B =sin C ; ②若b 2+c 2-a 2=65bc ,求tan B .①证明 根据正弦定理,可设 a sin A =b sin B =c sin C=k (k >0), 则a =k sin A ,b =k sin B ,c =k sin C , 代入cos A a +cos B b =sin C c中,有cos A k sin A +cos B k sin B =sin Ck sin C,变形可得 sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B =sin(A +B ). 在△ABC 中,由A +B +C =π, 有sin(A +B )=sin(π-C )=sin C . 所以sin A sin B =sin C .②解 由已知,b 2+c 2-a 2=65bc ,根据余弦定理,有cos A =b 2+c 2-a 22bc =35,所以sin A =1-cos 2A =45.由(1)知,sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B , 所以45sin B =45cos B +35sin B .故tan B =sin B cos B=4.思维升华 应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边:利用公式a =b sin A sin B ,b =a sin B sin A ,c =a sin Csin A 或其他相应变形公式求解.(2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式sin A =a sin B b ,sin B =b sin A a ,sin C =c sin Aa或其他相应变形公式求解.(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解.(4)灵活利用式子的特点转化:如出现a 2+b 2-c 2=λab 形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.(1)△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,a sin A sin B +b cos 2A=2a ,则ba 等于( )A .2 3B .2 2 C. 3D. 2(2)在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ,已知a 2-c 2=b ,且sin(A -C )=2cos A sin C ,则b 等于( ) A .6 B .4 C .2D .1答案 (1)D (2)C 解析 (1)(边化角)由a sin A sin B +b cos 2A =2a 及正弦定理,得sin A sin A sin B +sin B cos 2A =2sin A , 即sin B =2sin A ,所以b a =sin Bsin A = 2.故选D.(2)(角化边)由题意,得sin A cos C -cos A sin C =2cos A sin C , 即sin A cos C =3cos A sin C , 由正弦、余弦定理,得 a ·a 2+b 2-c 22ab =3c ·b 2+c 2-a 22bc ,整理得2(a 2-c 2)=b 2,① 又a 2-c 2=b ,②联立①②得b =2,故选C. 题型二 和三角形面积有关的问题例2 (2016·浙江)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知b +c =2a cos B . (1)证明:A =2B ;(2)若△ABC 的面积S =a 24,求角A 的大小.(1)证明 由正弦定理得sin B +sin C =2sin A cos B ,故2sin A cos B =sin B +sin(A +B )=sin B +sin A cos B +cos A sin B , 于是sin B =sin(A -B ).又A ,B ∈(0,π),故0<A -B <π,所以B =π-(A -B )或B =A -B , 因此A =π(舍去)或A =2B ,所以A =2B . (2)解 由S =a 24,得12ab sin C =a 24,故有sin B sin C =12sin A =12sin 2B =sin B cos B ,由sin B ≠0,得sin C =cos B . 又B ,C ∈(0,π),所以C =π2±B .当B +C =π2时,A =π2;当C -B =π2时,A =π4.综上,A =π2或A =π4.思维升华 (1)对于面积公式S =12ab sin C =12ac sin B =12bc sin A ,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若c 2=(a -b )2+6,C =π3,则△ABC 的面积是( ) A .3 B.932C.332 D .3 3答案 C解析 ∵c 2=(a -b )2+6, ∴c 2=a 2+b 2-2ab +6.① ∵C =π3,∴c 2=a 2+b 2-2ab cos π3=a 2+b 2-ab .②由①②得-ab +6=0,即ab =6. ∴S △ABC =12ab sin C =12×6×32=332.题型三 正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点1 判断三角形的形状例3 (1)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cb <cos A ,则△ABC 为( )A .钝角三角形B .直角三角形C .锐角三角形D .等边三角形 (2)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos C +c cos B =a sin A ,则△ABC 的形状为( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .不确定答案 (1)A (2)B解析 (1)由c b <cos A ,得sin Csin B <cos A ,所以sin C <sin B cos A , 即sin(A +B )<sin B cos A , 所以sin A cos B <0,因为在三角形中sin A >0,所以cos B <0, 即B 为钝角,所以△ABC 为钝角三角形. (2)由正弦定理得sin B cos C +sin C cos B =sin 2A ,∴sin(B +C )=sin 2A ,即sin(π-A )=sin 2A ,sin A =sin 2A . ∵A ∈(0,π),∴sin A >0,∴sin A =1, 即A =π2,∴△ABC 为直角三角形.引申探究1.例3(2)中,若将条件变为2sin A cos B =sin C ,判断△ABC 的形状. 解 ∵2sin A cos B =sin C =sin(A +B ), ∴2sin A cos B =sin A cos B +cos B sin A , ∴sin(A -B )=0,又A ,B 为△ABC 的内角. ∴A =B ,∴△ABC 为等腰三角形.2.例3(2)中,若将条件变为a 2+b 2-c 2=ab ,且2cos A sin B =sin C ,判断△ABC 的形状. 解 ∵a 2+b 2-c 2=ab ,∴cos C =a 2+b 2-c 22ab =12,又0<C <π,∴C =π3,又由2cos A sin B =sin C 得sin(B -A )=0,∴A =B , 故△ABC 为等边三角形. 命题点2 求解几何计算问题例4 (2015·课标全国Ⅱ)如图,在△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,△ABD 面积是△ADC 面积的2倍.(1)求sin B sin C ;(2)若AD =1,DC =22,求BD 和AC 的长. 解 (1)S △ABD =12AB ·AD sin ∠BAD ,S △ADC =12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD =2S △ADC ,∠BAD =∠CAD , 所以AB =2AC .由正弦定理可得sin B sin C =AC AB =12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC =BD ∶DC ,所以BD = 2. 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理,知AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BD cos ∠ADB , AC 2=AD 2+DC 2-2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2+2AC 2=3AD 2+BD 2+2DC 2=6, 又由(1)知AB =2AC ,所以解得AC =1. 思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.②化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用A +B +C =π这个结论. (2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示; ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.(1)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边长分别是a ,b ,c ,若c -a cos B =(2a-b )cos A ,则△ABC 的形状为( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形D .等腰或直角三角形(2)(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中,∠A =∠B =∠C =75°,BC =2,则AB 的取值范围是.答案 (1)D (2)(6-2,6+2) 解析 (1)∵c -a cos B =(2a -b )cos A , C =π-(A +B ),∴由正弦定理得sin C -sin A cos B =2sin A cos A -sin B cos A , ∴sin A cos B +cos A sin B -sin A cos B =2sin A cos A -sin B cos A , ∴cos A (sin B -sin A )=0, ∴cos A =0或sin B =sin A , ∴A =π2或B =A 或B =π-A (舍去),∴△ABC 为等腰或直角三角形.(2)如图所示,延长BA 与CD 相交于点E ,过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ,则BF <AB <BE .在等腰三角形CBF 中,∠FCB =30°,CF =BC =2,∴BF =22+22-2×2×2cos 30°=6- 2.在等腰三角形ECB 中,∠CEB =30°,∠ECB =75°, BE =CE ,BC =2,BE sin 75°=2sin 30°,∴BE =212×6+24=6+ 2.∴6-2<AB <6+ 2.二审结论会转换典例 (12分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a -c =66b ,sin B =6sin C . (1)求cos A 的值; (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A -π6的值.(1)求cos A ―――――→根据余弦定理求三边a ,b ,c 的长或长度问题-a c →已有利用正弦定理将sin B =6sin C 化为b =6c(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A -π6―→求cos 2A ,sin 2A ―→求sin A ,cos A ―――――→第(1)问已求出cos A 根据同角关系求sin A 规范解答解 (1)在△ABC 中,由b sin B =c sin C及sin B =6sin C , 可得b =6c ,[2分] 又由a -c =66b ,有a =2c ,[4分] 所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =6c 2+c 2-4c 226c 2=64.[7分](2)在△ABC 中,由cos A =64,可得sin A =104.[8分]于是,cos 2A =2cos 2A -1=-14,[9分]sin 2A =2sin A ·cos A =154.[10分] 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A -π6=cos 2A cos π6+sin 2A sin π6 =⎝⎛⎭⎫-14×32+154×12=15-38.[12分]1.在△ABC 中,C =60°,AB =3,BC =2,那么A 等于( ) A .135° B .105° C .45° D .75°答案 C解析 由正弦定理知BC sin A =AB sin C ,即2sin A =3sin 60°,所以sin A =22,又由题知,BC <AB ,∴A =45°. 2.(2016·全国乙卷)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知a =5,c =2,cos A =23,则b 等于( ) A. 2 B. 3 C .2 D .3 答案 D解析 由余弦定理,得5=b 2+22-2×b ×2×23,解得b =3⎝⎛⎭⎫b =-13舍去,故选D. 3.(2016·西安模拟)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos C +c cos B =a sin A ,且sin 2B =sin 2C ,则△ABC 的形状为( ) A .等腰三角形 B .锐角三角形 C .直角三角形 D .等腰直角三角形答案 D解析 由b cos C +c cos B =a sin A , 得sin B cos C +sin C cos B =sin 2A , ∴sin(B +C )=sin 2A ,即sin A =sin 2A ,在三角形中sin A ≠0, ∴sin A =1,∴A =90°,由sin 2B =sin 2C ,知b =c ,综上可知△ABC 为等腰直角三角形.4.(2016·陕西西安一中模拟)在△ABC 中,A =60°,BC =10,D 是AB 边上的一点,CD =2,△BCD 的面积为1,则AC 的长为( ) A .2 3 B. 3 C.33 D.233答案 D解析 ∵BC =10,CD =2,△CBD 的面积为1, ∴S △CBD =12×2×10sin ∠DCB =1,∴sin ∠DCB =55,cos ∠DCB =255. 由余弦定理,得BD 2=CB 2+CD 2-2CD ·CB cos ∠DCB =4, 解得BD =2.在△CBD 中,由余弦定理,得cos ∠BDC =-22, ∴∠BDC =135°,∠ADC =45°,在△ADC 中,由正弦定理,得AC sin 45°=2sin 60°,∴AC =233,故选D.5.已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且c -b c -a =sin Asin C +sin B ,则B 等于( )A.π6B.π4C.π3D.3π4 答案 C解析 根据正弦定理a sin A =b sin B =c sin C =2R ,得c -b c -a =sin A sin C +sin B =ac +b, 即a 2+c 2-b 2=ac ,得cos B =a 2+c 2-b 22ac =12,故B =π3,故选C.6.在△ABC 中,A =60°,AC =4,BC =23,则△ABC 的面积为. 答案 2 3解析 如图所示,在△ABC 中,由正弦定理得23sin 60°=4sin B,解得sin B =1,所以B =90°,所以S △ABC =12×AB ×23=12×42-(23)2×23=2 3.7.(2016·全国甲卷)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =45,cos C =513,a =1,则b =. 答案2113解析 在△ABC 中,由cos A =45,cos C =513,可得sin A =35,sin C =1213,sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A ·sin C =6365,由正弦定理得b =a sin B sin A =2113.8.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为. 答案 π3或2π3解析 由余弦定理,得a 2+c 2-b 22ac =cos B ,结合已知等式得cos B ·tan B =32, ∴sin B =32,∴B =π3或2π3. 9.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知△ABC 的面积为315,b -c =2,cos A =-14,则a 的值为.答案 8解析 ∵cos A =-14,0<A <π,∴sin A =154,S △ABC =12bc sin A =12bc ×154=315,∴bc =24,又b -c =2,∴b 2-2bc +c 2=4,b 2+c 2=52, 由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A =52-2×24×⎝⎛⎭⎫-14=64, ∴a =8.10.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足a sin B =3b cos A .若a =4,则△ABC 周长的最大值为. 答案 12解析 由正弦定理a sin A =bsin B,可将a sin B =3b cos A 转化为sin A sin B =3sin B cos A . 又在△ABC 中,sin B >0,∴sin A =3cos A , 即tan A = 3. ∵0<A <π,∴A =π3.由余弦定理得a 2=16=b 2+c 2-2bc cos A =(b +c )2-3bc ≥(b +c )2-3(b +c 2)2,则(b +c )2≤64,即b +c ≤8(当且仅当b =c =4时等号成立), ∴△ABC 周长=a +b +c =4+b +c ≤12,即最大值为12.11.(2016·陕西千阳中学模拟)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足c sin A =a cos C . (1)求角C 的大小.(2)求3sin A -cos(B +π4)的最大值,并求取得最大值时角A ,B 的大小.解 (1)由正弦定理,得sin C sin A =sin A cos C , 因为0<A <π,所以sin A >0, 从而sin C =cos C ,又cos C ≠0,所以tan C =1,即C =π4.(2)由(1)知,B =3π4-A ,于是3sin A -cos(B +π4)=3sin A +cos A =2sin(A +π6).因为0<A <3π4,所以π6<A +π6<11π12.从而当A +π6=π2,即A =π3时,2sin(A +π6)取得最大值2.综上,3sin A -cos(B +π4)的最大值为2,此时A =π3,B =5π12.12.(2015·陕西)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .向量m =(a ,3b )与n =(cos A ,sin B )平行. (1)求A ;(2)若a =7,b =2,求△ABC 的面积. 解 (1)因为m ∥n ,所以a sin B -3b cos A =0, 由正弦定理,得sin A sin B -3sin B cos A =0, 又sin B ≠0,从而tan A =3, 由于0<A <π,所以A =π3.(2)方法一 由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A , 而由a =7,b =2,A =π3,得7=4+c 2-2c ,即c 2-2c -3=0, 因为c >0,所以c =3,故△ABC 的面积为S =12bc sin A =332.方法二 由正弦定理,得7sinπ3=2sin B , 从而sin B =217, 又由a >b ,知A >B ,所以cos B =277,故sin C =sin(A +B )=sin ⎝⎛⎭⎫B +π3 =sin B cos π3+cos B sin π3=32114.所以△ABC 的面积为S =12ab sin C =332.13.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a 2-(b -c )2=(2-3)bc ,sin A sin B=cos 2C2,BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小; (2)求△ABC 的面积.解 (1)由a 2-(b -c )2=(2-3)bc ,得a 2-b 2-c 2=-3bc , ∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =32,又0<A <π,∴A =π6.由sin A sin B =cos 2C2,得12sin B =1+cos C 2, 即sin B =1+cos C , 则cos C <0,即C 为钝角, ∴B 为锐角,且B +C =5π6,则sin(5π6-C )=1+cos C ,化简得cos(C +π3)=-1,解得C =2π3,∴B =π6.(2)由(1)知,a =b ,由余弦定理得AM 2=b 2+(a 2)2-2b ·a 2·cos C =b 2+b 24+b 22=(7)2,解得b =2, 故S △ABC =12ab sin C =12×2×2×32= 3.。

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2018年高考数学分类汇编三角函数及答案详解

2018年高考数学分类汇编三角函数1、(2018年高考全国卷1理科)16.(5分)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f (x)的最小值是.【解答】解:由题意可得T=2π是f(x)=2sinx+sin2x的一个周期,故只需考虑f(x)=2sinx+sin2x在[0,2π)上的值域,先来求该函数在[0,2π)上的极值点,求导数可得f′(x)=2cosx+2cos2x=2cosx+2(2cos2x﹣1)=2(2cosx﹣1)(cosx+1),令f′(x)=0可解得cosx=或cosx=﹣1,可得此时x=,π或;∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=,π或和边界点x=0中取到,计算可得f()=,f(π)=0,f()=﹣,f(0)=0,∴函数的最小值为﹣,故答案为:.2、(2018年高考全国卷1理科)17.(12分)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2,求BC.【解答】解:(1)∵∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.∴由正弦定理得:=,即=,∴sin∠ADB==,∵AB<BD,∴∠ADB<∠A,∴cos∠ADB==.(2)∵∠ADC=90°,∴cos∠BDC=sin∠ADB=,∵DC=2,∴BC===5.3、(2018年高考全国卷1文科)8.(5分)已知函数f(x)=2cos2x﹣sin2x+2,则()A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4【解答】解:函数f(x)=2cos2x﹣sin2x+2,=2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x,=4cos2x+sin2x,=3cos2x+1,=,=,故函数的最小正周期为π,函数的最大值为,故选:B.4、(2018年高考全国卷1文科)11.(5分)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=,则|a﹣b|=()A.B.C.D.1【解答】解:∵角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=,∴cos2α=2cos2α﹣1=,解得cos2α=,∴|cosα|=,∴|sinα|==,|tanα|=||=|a﹣b|===.故选:B.5、(2018年高考全国卷1文科)16.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2﹣a2=8,则△ABC的面积为.【解答】解:△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.bsinC+csinB=4asinBsinC,利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,由于sinBsinC≠0,所以sinA=,则A=由于b2+c2﹣a2=8,则:,①当A=时,,解得:bc=,所以:.②当A=时,,解得:bc=﹣(不合题意),舍去.故:.故答案为:.6、(2018年高考全国卷2理科)6.(5分)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()A.4B.C.D.2【解答】解:在△ABC中,cos=,cosC=2×=﹣,BC=1,AC=5,则AB====4.故选:A.7、(2018年高考全国卷2理科)10.(5分)若f(x)=cosx﹣sinx在[﹣a,a]是减函数,则a的最大值是()A.B.C.D.π【解答】解:f(x)=cosx﹣sinx=﹣(sinx﹣cosx)=,由,k∈Z,得,k∈Z,取k=0,得f(x)的一个减区间为[,],由f(x)在[﹣a,a]是减函数,得,∴.则a的最大值是.故选:A.8、(2018年高考全国卷2理科)15.(5分)已知sinα+cosβ=l,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.【解答】解:sinα+cosβ=l,两边平方可得:sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1,①,cosα+sinβ=0,两边平方可得:cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0,②,由①+②得:2+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1,即2+2sin(α+β)=1,∴2sin(α+β)=﹣1.∴sin(α+β)=.故答案为:.9、(2018年高考全国卷2文科)7.(5分)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()A.4B.C.D.2【解答】解:在△ABC中,cos=,cosC=2×=﹣,BC=1,AC=5,则AB====4.故选:A.10、(2018年高考全国卷2文科)10.(5分)若f(x)=cosx﹣sinx在[0,a]是减函数,则a的最大值是()A.B.C.D.π【解答】解:f(x)=cosx﹣sinx=﹣(sinx﹣cosx)=﹣sin(x﹣),由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ,k∈Z,得﹣+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,取k=0,得f(x)的一个减区间为[﹣,],由f(x)在[0,a]是减函数,得a≤.则a的最大值是.故选:C11、(2018年高考全国卷2文科)15.(5分)已知tan(α﹣)=,则tanα=.【解答】解:∵tan(α﹣)=,∴tan(α)=,则tanα=tan(α+)=====,故答案为:.12、(2018年高考全国卷3理科)4.(5分)若sinα=,则cos2α=()A.B.C.﹣D.﹣【解答】解:∵sinα=,∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=.故选:B.13、(2018年高考全国卷3理科)9.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=()A.B.C.D.【解答】解:∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.△ABC的面积为,==,∴S△ABC∴sinC==cosC,∵0<C<π,∴C=.故选:C.14、(2018年高考全国卷3理科)15.(5分)函数f(x)=cos(3x+)在[0,π]的零点个数为3.【解答】解:∵f(x)=cos(3x+)=0,∴3x+=+kπ,k∈Z,∴x=+kπ,k∈Z,当k=0时,x=,当k=1时,x=π,当k=2时,x=π,当k=3时,x=π,∵x∈[0,π],∴x=,或x=π,或x=π,故零点的个数为3,故答案为:315、(2018年高考全国卷3文科)4.(5分)若sinα=,则cos2α=()A.B.C.﹣D.﹣【解答】解:∵sinα=,∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=.故选:B.16、(2018年高考全国卷3文科)6.(5分)函数f(x)=的最小正周期为()A.B.C.πD.2π【解答】解:函数f(x)===sin2x的最小正周期为=π,故选:C.17、(2018年高考全国卷3文科)11.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=()A.B.C.D.【解答】解:∵△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.△ABC的面积为,∴S==,△ABC∴sinC==cosC,∵0<C<π,∴C=.故选:C.18、(2018年高考北京卷理科)15.(13分)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=﹣.(Ⅰ)求∠A;(Ⅱ)求AC边上的高.【解答】解:(Ⅰ)∵a<b,∴A<B,即A是锐角,∵cosB=﹣,∴sinB===,由正弦定理得=得sinA===,则A=.(Ⅱ)由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB,即64=49+c2+2×7×c×,即c2+2c﹣15=0,得(c﹣3)(c+5)=0,得c=3或c=﹣5(舍),则AC边上的高h=csinA=3×=.19、(2018年高考北京卷理科)7.(5分)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x﹣my﹣2=0的距离.当θ、m变化时,d的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.4【解答】解:由题意d==,tanα=﹣,∴当sin(θ+α)=﹣1时,d max=1+≤3.∴d的最大值为3.故选:C.20、(2018年高考北京卷理科)11.(5分)设函数f(x)=cos(ωx﹣)(ω>0),若f(x)≤f()对任意的实数x都成立,则ω的最小值为.【解答】解:函数f(x)=cos(ωx﹣)(ω>0),若f(x)≤f()对任意的实数x都成立,可得:,k∈Z,解得ω=,k∈Z,ω>0则ω的最小值为:.故答案为:.21、(2018年高考北京卷文科)7.(5分)在平面直角坐标系中,,,,是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P其中一段上,角α以Ox为始边,OP 为终边.若tanα<cosα<sinα,则P所在的圆弧是()A.B.C.D.【解答】解:A.在AB段,正弦线小于余弦线,即cosα<sinα不成立,故A不满足条件.B.在CD段正切线最大,则cosα<sinα<tanα,故B不满足条件.C.在EF段,正切线,余弦线为负值,正弦线为正,满足tanα<cosα<sinα,D.在GH段,正切线为正值,正弦线和余弦线为负值,满足cosα<sinα<tanα不满足tanα<cosα<sinα.故选:C.22、(2018年高考北京卷文科)14.(5分)若△ABC的面积为(a2+c2﹣b2),且∠C为钝角,则∠B=;的取值范围是(2,+∞).【解答】解:△ABC的面积为(a2+c2﹣b2),可得:(a2+c2﹣b2)=acsinB,,可得:tanB=,所以B=,∠C为钝角,A∈(0,),cotA∈(,+∞).===cosB+cotAsinB=cotA∈(2,+∞).故答案为:;(2,+∞).23、(2018年高考北京卷文科)16.(13分)已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)若f(x)在区间[﹣,m]上的最大值为,求m的最小值.【解答】解:(I)函数f(x)=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin(2x﹣)+,f(x)的最小正周期为T==π;(Ⅱ)若f(x)在区间[﹣,m]上的最大值为,可得2x﹣∈[﹣,2m﹣],即有2m﹣≥,解得m≥,则m的最小值为.24、(2018年高考天津卷理科)6.(5分)将函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间[,]上单调递增B.在区间[,π]上单调递减C.在区间[,]上单调递增D.在区间[,2π]上单调递减【解答】解:将函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,得到的函数为:y=sin2x,增区间满足:﹣+2kπ≤2x≤,k∈Z,减区间满足:≤2x≤,k∈Z,∴增区间为[﹣+kπ,+kπ],k∈Z,减区间为[+kπ,+kπ],k∈Z,∴将函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数在区间[,]上单调递增.故选:A.25、(2018年高考天津卷理科)15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B﹣).(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A﹣B)的值.【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理得,得bsinA=asinB,又bsinA=acos(B﹣).∴asinB=acos(B﹣),即sinB=cos(B﹣)=cosBcos+sinBsin=cosB+,∴tanB=,又B∈(0,π),∴B=.(Ⅱ)在△ABC中,a=2,c=3,B=,由余弦定理得b==,由bsinA=acos(B﹣),得sinA=,∵a<c,∴cosA=,∴sin2A=2sinAcosA=,cos2A=2cos2A﹣1=,∴sin(2A﹣B)=sin2AcosB﹣cos2AsinB==.26、(2018年高考天津卷文科)6.(5分)将函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A.在区间[]上单调递增B.在区间[﹣,0]上单调递减C.在区间[]上单调递增D.在区间[,π]上单调递减【解答】解:将函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin[2(x﹣)+]=sin2x.当x∈[]时,2x∈[,],函数单调递增;当x∈[,]时,2x∈[,π],函数单调递减;当x∈[﹣,0]时,2x∈[﹣,0],函数单调递增;当x∈[,π]时,2x∈[π,2π],函数先减后增.故选:A.27、(2018年高考天津卷文科)16.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B﹣).(Ⅰ)求角B的大小;(Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A﹣B)的值.【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,由正弦定理得,得bsinA=asinB,又bsinA=acos(B﹣).∴asinB=acos(B﹣),即sinB=cos(B﹣)=cosBcos+sinBsin=cosB+,∴tanB=,又B∈(0,π),∴B=.(Ⅱ)在△ABC中,a=2,c=3,B=,由余弦定理得b==,由bsinA=acos(B﹣),得sinA=,∵a<c,∴cosA=,∴sin2A=2sinAcosA=,cos2A=2cos2A﹣1=,∴sin(2A﹣B)=sin2AcosB﹣cos2AsinB==.24、(2018年高考浙江卷)18.(14分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P(﹣,﹣).(Ⅰ)求sin(α+π)的值;(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.【解答】解:(Ⅰ)∵角α的顶点与原点O重合,始边与x轴非负半轴重合,终边过点P(﹣,﹣).∴x=﹣,y=,r=|OP|=,∴sin(α+π)=﹣sinα=;(Ⅱ)由x=﹣,y=,r=|OP|=1,得,,又由sin(α+β)=,得=,则cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=,或cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=.∴cosβ的值为或.。

2018版高考数学理北师大版大一轮复习讲义教师版文档

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1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y =sin x ,x ∈[0,2π]的图像中,五个关键点是:(0,0),(π2,1),(π,0),(3π2,-1),(2π,0).余弦函数y =cos x ,x ∈[0,2π]的图像中,五个关键点是:(0,1),(π2,0),(π,-1),(3π2,0),(2π,1).2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质【知识拓展】 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2.奇偶性若f (x )=A sin(ωx +φ)(A ,ω≠0),则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ=π2+k π(k ∈Z );(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ=k π(k ∈Z ).【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y =sin x 在第一、第四象限是增函数.( × )(2)常数函数f (x )=a 是周期函数,它没有最小正周期.( √ ) (3)正切函数y =tan x 在定义域内是增函数.( × ) (4)已知y =k sin x +1,x ∈R ,则y 的最大值为k +1.( × ) (5)y =sin |x |是偶函数.( √ ) (6)若sin x >22,则x >π4.( × )1.函数f (x )=cos(2x -π6)的最小正周期是( )A.π2 B .π C .2π D .4π答案 B解析 最小正周期为T =2πω=2π2=π.故选B.2.(教材改编)函数f (x )=3sin(2x -π6)在区间[0,π2]上的值域为( )A .[-32,32]B .[-32,3]C .[-332,332]D .[-332,3]答案 B解析 当x ∈[0,π2]时,2x -π6∈[-π6,5π6],sin(2x -π6)∈[-12,1],故3sin(2x -π6)∈[-32,3],即f (x )的值域为[-32,3].3.函数y =tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π+π4,k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2+π8,k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π+π8,k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2+π4,k ∈Z 答案 D解析 由2x ≠k π+π2,k ∈Z ,得x ≠k π2+π4,k ∈Z ,∴y =tan 2x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2+π4,k ∈Z . 4.(2016·开封模拟)已知函数f (x )=4sin(π3-2x ),x ∈[-π,0],则f (x )的单调递减区间是( )A .[-712π,-π12]B .[-π,-π2]C .[-π,-712π],[-π12,0]D .[-π,-512π],[-π12,0]答案 C解析 f (x )=4sin(π3-2x )=-4sin(2x -π3).由-π2+2k π≤2x -π3≤π2+2k π(k ∈Z ),得-π12+k π≤x ≤512π+k π(k ∈Z ).所以函数f (x )的递减区间是 [-π12+k π,512π+k π](k ∈Z ). 因为x ∈[-π,0],所以函数f (x )的递减区间是[-π,-712π],[-π12,0].5.已知函数f (x )=2sin(ωx +φ),对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6+x =f ⎝⎛⎭⎫π6-x ,则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为________. 答案 2或-2解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫π6+x =f ⎝⎛⎭⎫π6-x ,∴x =π6是函数f (x )=2sin(ωx +φ)的一条对称轴.∴f ⎝⎛⎭⎫π6=±2.题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数f (x )=-2tan(2x +π6)的定义域是____________.(2)(2016·郑州模拟)已知函数f (x )=sin(x +π6),其中x ∈[-π3,a ],若f (x )的值域是[-12,1],则实数a 的取值范围是________. 答案 (1){x |x ≠k π2+π6,k ∈Z } (2)[π3,π]解析 (1)由2x +π6≠π2+k π,k ∈Z ,得x ≠k π2+π6,k ∈Z ,所以f (x )的定义域为{x |x ≠k π2+π6,k ∈Z }.(2)∵x ∈[-π3,a ],∴x +π6∈[-π6,a +π6],∵x +π6∈[-π6,π2]时,f (x )的值域为[-12,1],∴由函数的图像知π2≤a +π6≤7π6,∴π3≤a ≤π.思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图像来求解.(2)三角函数值域的不同求法 ①利用sin x 和cos x 的值域直接求;②把所给的三角函数式变换成y =A sin(ωx +φ)的形式求值域; ③通过换元,转换成二次函数求值域.(1)函数y =lg(sin x )+cos x -12的定义域为 .(2)函数y =2sin(πx 6-π3) (0≤x ≤9)的最大值与最小值的和为__________.答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3+2k π,k ∈Z(2)2- 3解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0,cos x -12≥0, 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0,cos x ≥12,解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π+2k π(k ∈Z ),-π3+2k π≤x ≤π3+2k π(k ∈Z ), ∴2k π<x ≤π3+2k π(k ∈Z ),∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x ≤π3+2k π,k ∈Z .(2)∵0≤x ≤9,∴-π3≤πx 6-π3≤7π6,∴-32≤sin(πx 6-π3)≤1, 故-3≤2sin(πx 6-π3)≤2.即函数y =2sin(πx 6-π3)(0≤x ≤9)的最大值为2,最小值为- 3.∴最大值与最小值的和为2- 3. 题型二 三角函数的单调性例2 (1)函数f (x )=tan ⎝⎛⎭⎫2x -π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2-π12,k π2+5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2-π12,k π2+5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π+π6,k π+2π3(k ∈Z )D.⎣⎡⎦⎤k π-π12,k π+5π12(k ∈Z ) (2)已知ω>0,函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π4在⎝⎛⎭⎫π2,π上单调递减,则ω的取值范围是________. 答案 (1)B (2)⎣⎡⎦⎤12,54解析 (1)由k π-π2<2x -π3<k π+π2(k ∈Z ),得k π2-π12<x <k π2+5π12(k ∈Z ), 所以函数f (x )=tan ⎝⎛⎭⎫2x -π3的单调递增区间为 ⎝⎛⎭⎫k π2-π12,k π2+5π12(k ∈Z ),故选B.(2)由π2<x <π,ω>0,得ωπ2+π4<ωx +π4<ωπ+π4, 又y =sin x 的单调递减区间为[2k π+π2,2k π+3π2],所以⎩⎨⎧ωπ2+π4≥π2+2k π,ωπ+π4≤3π2+2k π,k ∈Z ,解得4k +12≤ω≤2k +54,k ∈Z .又由4k +12-(2k +54)≤0,k ∈Z 且2k +54>0,k ∈Z ,得k =0,所以ω∈[12,54].引申探究本例(2)中,若已知ω>0,函数f (x )=cos(ωx +π4)在(π2,π)上单调递增,则ω的取值范围是____________. 答案 [32,74]解析 函数y =cos x 的单调递增区间为[-π+2k π,2k π],k ∈Z ,则⎩⎨⎧ωπ2+π4≥-π+2k π,ωπ+π4≤2k π,k ∈Z ,解得4k -52≤ω≤2k -14,k ∈Z ,又由4k -52-⎝⎛⎭⎫2k -14≤0,k ∈Z 且2k -14>0,k ∈Z ,得k =1,所以ω∈⎣⎡⎦⎤32,74.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间:①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;②求形如y =A sin(ωx +φ)或y =A cos(ωx +φ)(其中ω>0)的单调区间时,要视“ωx +φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.(1)函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫-2x +π3的单调减区间为________. (2)若函数f (x )=sin ωx (ω>0)在区间[0,π3]上单调递增,在区间[π3,π2]上单调递减,则ω等于( )A.23 B.32 C .2D .3答案 (1)⎣⎡⎦⎤k π-π12,k π+512π,k ∈Z (2)B 解析 (1)已知函数可化为f (x )=-sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3, 欲求函数的单调减区间,只需求f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3的单调增区间. 由2k π-π2≤2x -π3≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-π12≤x ≤k π+5π12,k ∈Z .故所给函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π-π12,k π+5π12(k ∈Z ). (2)∵f (x )=sin ωx (ω>0)过原点, ∴当0≤ωx ≤π2,即0≤x ≤π2ω时,y =sin ωx 是增加的;当π2≤ωx ≤3π2,即π2ω≤x ≤3π2ω时, y =sin ωx 是减少的.由f (x )=sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0,π3上是增加的, 在⎣⎡⎦⎤π3,π2上是减少的,知π2ω=π3, ∴ω=32.题型三 三角函数的周期性、对称性 命题点1 周期性例3 (1)在函数①y =cos|2x |,②y =|cos x |,③y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π6,④y =tan ⎝⎛⎭⎫2x -π4中,最小正周期为π的所有函数为( ) A .①②③ B .①③④ C .②④D .①③(2)若函数f (x )=2tan(kx +π3)的最小正周期T 满足1<T <2,则自然数k 的值为________.答案 (1)A (2)2或3解析 (1)①y =cos|2x |=cos 2x ,最小正周期为π; ②由图像知y =|cos x |的最小正周期为π; ③y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π6的最小正周期T =2π2=π; ④y =tan ⎝⎛⎭⎫2x -π4的最小正周期T =π2,因此选A. (2)由题意得,1<πk <2,∴k <π<2k ,即π2<k <π,又k ∈Z ,∴k =2或3. 命题点2 对称性例4 (2016·西安模拟)当x =π4时,函数f (x )=sin(x +φ)取得最小值,则函数y =f (3π4-x )( )A .是奇函数且图像关于点(π2,0)对称B .是偶函数且图像关于点(π,0)对称C .是奇函数且图像关于直线x =π2对称D .是偶函数且图像关于直线x =π对称 答案 C解析 ∵当x =π4时,函数f (x )取得最小值,∴sin(π4+φ)=-1,∴φ=2k π-3π4(k ∈Z ),∴f (x )=sin(x +2k π-3π4)=sin(x -3π4),∴y =f (3π4-x )=sin(-x )=-sin x,∴y =f (3π4-x )是奇函数,且图像关于直线x =π2对称.命题点3 对称性的应用例5 (1)已知函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图像关于点P (x 0,0)对称,若x 0∈⎣⎡⎦⎤-π2,0,则x 0=________. (2)若函数y =cos(ωx +π6) (ω∈N +)图像的一个对称中心是(π6,0),则ω的最小值为( )A .1B .2C .4D .8答案 (1)-π6(2)B解析 (1)由题意可知2x 0+π3=k π,k ∈Z ,故x 0=k π2-π6,k ∈Z ,又x 0∈⎣⎡⎦⎤-π2,0,∴-23≤k ≤13,k ∈Z , ∴k =0,则x 0=-π6.(2)由题意知ω6π+π6=k π+π2 (k ∈Z ),∴ω=6k +2(k ∈Z ),又ω∈N +,∴ωmin =2.思维升华 (1)对于函数y =A sin(ωx +φ),其对称轴一定经过图像的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x =x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f (x 0)的值进行判断. (2)求三角函数周期的方法: ①利用周期函数的定义.②利用公式:y =A sin(ωx +φ)和y =A cos(ωx +φ)的最小正周期为2π|ω|,y =tan(ωx +φ)的最小正周期为π|ω|.(1)(2016·北京朝阳区模拟)已知函数f (x )=2sin(π2x +π5),若对任意的实数x ,总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2),则|x 1-x 2|的最小值是( ) A .2 B .4 C .πD .2π (2)如果函数y =3cos(2x +φ)的图像关于点(4π3,0)中心对称,那么|φ|的最小值为( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案 (1)A (2)A解析 (1)由题意可得|x 1-x 2|的最小值为半个周期, 即T 2=πω=2. (2)由题意得3cos(2×4π3+φ)=3cos(2π3+φ+2π)=3cos(2π3+φ)=0,∴2π3+φ=k π+π2,k ∈Z , ∴φ=k π-π6,k ∈Z ,取k =0,得|φ|的最小值为π6.5.三角函数的性质考点分析 纵观近年高考中三角函数的试题,其有关性质几乎每年必考,题目较为简单,综合性的知识多数为三角函数本章内的知识,通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破,并在高考中拿全分.典例 (1)(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )=cos(ωx +φ)的部分图像如图所示,则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎫k π-14,k π+34,k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π-14,2k π+34,k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k -14,k +34,k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k -14,2k +34,k ∈Z (2)已知函数f (x )=2cos(ωx +φ)+b 对任意实数x 有f (x +π4)=f (-x )恒成立,且f (π8)=1,则实数b 的值为( )A .-1B .3C .-1或3D .-3(3)已知函数f (x )=2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎤-π3,π4上的最小值是-2,则ω的最小值为________.解析 (1)由图像知,周期T =2×⎝⎛⎭⎫54-14=2, ∴2πω=2,∴ω=π. 由π×14+φ=π2+2k π,k ∈Z ,不妨取φ=π4,∴f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫πx +π4. 由2k π<πx +π4<2k π+π,k ∈Z ,得2k -14<x <2k +34,k ∈Z ,∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k -14,2k +34,k ∈Z . 故选D.(2)由f (x +π4)=f (-x )可知函数f (x )=2cos(ωx +φ)+b 关于直线x =π8对称,又函数f (x )在对称轴处取得最值,故±2+b =1,∴b =-1或b =3. (3)∵ω>0,-π3≤x ≤π4,∴-ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知-ωπ3≤-π2,∴ω≥32.答案 (1)D (2)C (3)321.已知函数f (x )=sin(ωx +π4) (ω>0)的最小正周期为π,则f (π8)等于( )A .1 B.12 C .-1 D .-12答案 A解析 ∵T =π,∴ω=2, ∴f (π8)=sin(2×π8+π4)=sin π2=1.2.若函数f (x )=-cos 2x ,则f (x )的一个递增区间为( ) A .(-π4,0)B .(0,π2)C .(π2,3π4)D .(3π4,π)答案 B解析 由f (x )=-cos 2x 知递增区间为[k π,k π+π2],k ∈Z ,故只有B 项满足.3.关于函数y =tan(2x -π3),下列说法正确的是( )A .是奇函数B .在区间(0,π3)上单调递减C .(π6,0)为其图像的一个对称中心D .最小正周期为π 答案 C解析 函数y =tan(2x -π3)是非奇非偶函数,A 错误;在区间(0,π3)上是增加的,B 错误;最小正周期为π2,D 错误.∵当x =π6时,tan(2×π6-π3)=0,∴(π6,0)为其图像的一个对称中心,故选C. 4.(2016·潍坊模拟)已知函数f (x )=2sin(ωx -π6)+1(x ∈R )的图像的一条对称轴为x =π,其中ω为常数,且ω∈(1,2),则函数f (x )的最小正周期为( ) A.3π5 B.6π5 C.9π5 D.12π5答案 B解析 由函数f (x )=2sin(ωx -π6)+1 (x ∈R )的图像的一条对称轴为x =π,可得ωπ-π6=k π+π2,k ∈Z ,∴ω=k +23,∴ω=53,从而得函数f (x )的最小正周期为2π53=6π5.5.已知函数f (x )=-2sin(2x +φ)(|φ|<π),若f (π8)=-2,则f (x )的一个单调递减区间是( )A .[-π8,3π8]B .[π8,9π8]C .[-3π8,π8]D .[π8,5π8]答案 C解析 由f (π8)=-2,得f (π8)=-2sin(2×π8+φ)=-2sin(π4+φ)=-2, 所以sin(π4+φ)=1.因为|φ|<π,所以φ=π4.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,解得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .当k =0时,-3π8≤x ≤π8,故选C.6.若函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6,2π3]上是单调减函数,且函数值从1减少到-1,则f (π4)等于( )A.12B.22C.32D .1答案 C解析 由题意得函数f (x )的周期T =2(2π3-π6)=π,所以ω=2,此时f (x )=sin(2x +φ),将点(π6,1)代入上式得sin(π3+φ)=1 (|φ|<π2),所以φ=π6,所以f (x )=sin(2x +π6),于是f (π4)=sin(π2+π6)=cos π6=32.7.函数y =2sin x -1的定义域为______________. 答案 [2k π+π6,2k π+56π],k ∈Z解析 由2sin x -1≥0,得sin x ≥12,∴2k π+π6≤x ≤2k π+56π,k ∈Z .8.函数y =cos 2x +sin x (|x |≤π4)的最小值为____________________.答案1-22解析 令t =sin x ,∵|x |≤π4,∴t ∈⎣⎡⎦⎤-22,22. ∴y =-t 2+t +1=-⎝⎛⎭⎫t -122+54, ∴当t =-22时,y min =1-22. 9.函数y =cos(π4-2x )的单调减区间为______________.答案 [k π+π8,k π+5π8](k ∈Z )解析 由y =cos(π4-2x )=cos(2x -π4),得2k π≤2x -π4≤2k π+π (k ∈Z ),解得k π+π8≤x ≤k π+5π8(k ∈Z ),所以函数的单调减区间为[k π+π8,k π+5π8](k ∈Z ).10.(2016·威海模拟)若f (x )=2sin ωx +1(ω>0)在区间[-π2,2π3]上是增加的,则ω的取值范围是__________. 答案 (0,34]解析 方法一 由2k π-π2≤ωx ≤2k π+π2,k ∈Z ,得f (x )的增区间是[2k πω-π2ω,2k πω+π2ω],k ∈Z .因为f (x )在[-π2,2π3]上是增加的,所以[-π2,2π3]⊆[-π2ω,π2ω],即-π2≥-π2ω且2π3≤π2ω,所以ω∈(0,34].方法二 因为x ∈[-π2,2π3],ω>0.所以ωx ∈[-ωπ2,2πω3],又f (x )在区间[-π2,2π3]上是增加的,所以[-ωπ2,2πω3]⊆[-π2,π2],则⎩⎨⎧-ωπ2≥-π2,2πω3≤π2,又ω>0,得0<ω≤34.11.已知函数f (x )=sin(ωx +φ)(0<φ<2π3)的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值;(2)若f (x )的图像过点(π6,32),求f (x )的单调递增区间.解 (1)∵f (x )的最小正周期为π,则T =2πω=π,∴ω=2,∴f (x )=sin(2x +φ). 当f (x )为偶函数时,f (-x )=f (x ), ∴sin(2x +φ)=sin(-2x +φ), 将上式展开整理得sin 2x cos φ=0, 由已知上式对任意x ∈R 都成立, ∴cos φ=0,∵0<φ<2π3,∴φ=π2.(2)f (x )的图像过点(π6,32)时,sin(2×π6+φ)=32,即sin(π3+φ)=32.又∵0<φ<2π3,∴π3<π3+φ<π,∴π3+φ=2π3,φ=π3, ∴f (x )=sin(2x +π3).令2k π-π2≤2x +π3≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-5π12≤x ≤k π+π12,k ∈Z ,∴f (x )的单调递增区间为 [k π-5π12,k π+π12],k ∈Z .12.(2015·北京)已知函数f (x )=sin x -23sin 2x 2.(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,2π3上的最小值. 解 (1)因为f (x )=sin x +3cos x - 3 =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π3-3, 所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为0≤x ≤2π3,所以π3≤x +π3≤π.当x +π3=π,即x =2π3时,f (x )取得最小值.所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0,2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3=- 3. 13.已知a >0,函数f (x )=-2a sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6+2a +b ,当x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2时,-5≤f (x )≤1. (1)求常数a ,b 的值;(2)设g (x )=f ⎝⎛⎭⎫x +π2且lg g (x )>0,求g (x )的单调区间. 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,∴2x +π6∈⎣⎡⎦⎤π6,7π6, ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6∈⎣⎡⎦⎤-12,1, ∴-2a sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6∈[-2a ,a ], ∴f (x )∈[b,3a +b ],又∵-5≤f (x )≤1, ∴b =-5,3a +b =1,因此a =2,b =-5. (2)由(1)得f (x )=-4sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6-1, g (x )=f ⎝⎛⎭⎫x +π2=-4sin ⎝⎛⎭⎫2x +7π6-1 =4sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6-1, 又由lg g (x )>0,得g (x )>1,∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6-1>1,∴sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6>12, ∴2k π+π6<2x +π6<2k π+5π6,k ∈Z ,其中当2k π+π6<2x +π6≤2k π+π2,k ∈Z 时,g (x )是增加的,即k π<x ≤k π+π6,k ∈Z ,∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π,k π+π6,k ∈Z . 又∵当2k π+π2<2x +π6<2k π+5π6,k ∈Z 时,g (x )是减少的,即k π+π6<x <k π+π3,k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π+π6,k π+π3,k ∈Z .。

2018年高考数学(理)——三角 课时四

2018年高考数学(理)——三角 课时四

考点精题
-9-
∴16sin2 ������ + 6 -16sin2B
=8sin2 2������ + =sin2 2������ + =sin2 2������ +
π 6 π 6 π π π 6
π
,
π
∴1-cos 2������ + 3 -(1-cos 2B)
,
π 3 π
即 cos 2B- cos 2������ + ,
sin ������ sin ������ 2 2
1
2
1
=
������������
������������
= .
2
1
核心知识
考点精题
-7-
(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD= 在△ABD和△ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2AD· BDcos∠ADB, ① AC2=AD2+DC2-2AD· DCcos∠ADC. ② 因为cos∠ADB=-cos∠ADC, 所以①+2×②得 AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1.
3.3.2
三角变换与解三角形
核心知识
考点精题
-2-
正弦、余弦定理与三角形面积的综合问题 3 例1(2017北京,理15)在△ABC中,∠A=60°,c= 7a. (1)求sin C的值; (2)若a=7,求△ABC的面积.
解 (1)在 △ABC 中,因为∠A=60° ,c= a, 所以由正弦定理得 sin C=
(2)若△ABC 的面积为
3 3 4
,且 a= 3,请判断△ABC 的形状,并说明理由.
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三角函数与三角形(1)一.基础题组1. 【华中师大一附中2015—2016学年度上学期高三期中检测5】 已知()sin(2)(0)f x A x A α=->错误!未找到引用源。

且430()0f x dx π=⎰错误!未找到引用源。

,则()f x 的一个对称中心为( )A.(,0)πB.4(,0)3πC.5(,0)3πD.7(,0)6π【答案】D考点:定积分的应用;三角函数图像与性质2. 【四川成都七中高2016届数学(理科)10月阶段考试(一)7】 已知则2sin cos cos θθθ-=( )【答案】C 【解析】试题分析:由题意得:sin sin 23cos tan 3θθθθ--=-⇒=,因此22222sin cos cos tan 131sin cos cos sin cos tan 14θθθθθθθθθθ----===++,选C. 考点:切化弦3. 【山东师范大学附属中学2016届高三上学期第二次模拟考试2】若()()sin 2f x x θ=+,则“()f x 的图象关于3x π=对称”是“6πθ=-”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】试题分析:()f x 的图象关于3x π=对称,'03f π⎛⎫=⎪⎝⎭22cos 0,,3326k k z k ππππθθπθπ⎛⎫∴+=∴+=+∈=-+ ⎪⎝⎭,50,;1,;66k k ππθθ==-==考点:充分必要条件.4. 【山东师范大学附属中学2016届高三上学期第二次模拟考试4】若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且23cos cos 2tan 210πααα⎛⎫++== ⎪⎝⎭,则( )A.12B.13C.14D.15【答案】B 【解析】试题分析:103)22cos(cos 2=++απα,23cos 2sin cos 10ααα-=2212tan 33tan 20tan 701tan 10αααα-=⇒+-=+所以()1tan ,tan 73αα==-舍 考点:齐次式.5. 【山东师范大学附属中学2016届高三上学期第二次模拟考试6】 将函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变,横坐标扩大到原来的2倍,所得函数()g x 图象的一个对称中心可以是( ) A. ,012π⎛⎫-⎪⎝⎭B. 5,012π⎛⎫⎪⎝⎭C. ,03π⎛⎫-⎪⎝⎭D. 2,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】试题分析:()1sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,2,263x k x k k Z ππππ+=∴=-∈令0,3k x π==-, ∴()g x 图象的一个对称中心是,03π⎛⎫-⎪⎝⎭. 考点:三角函数图象的平移、三角函数的对称中心.6. 【湖北宜昌一中、龙泉中学2016届高三年级十月联考10】已知函数()()sin 2cos y x x πϕπϕ=+-+(0ϕπ<<)的图象关于直线1x =对称,则sin 2ϕ=( )A .54-B .35-C .53 D .54【答案】A考点:三角函数的对称轴.7. 【四川成都七中高2016届数学(理科)10月阶段考试(一)3】己知cos31°=a ,则sin 239°·tan 149°的值是( )A .21a a -B .21a -C .21a a- D .- 21a -【答案】B 【解析】 试题分析:2sin239tan149sin(27031)tan(18031)(cos31)(tan31)sin311a =--=--==- ,选B. 考点:诱导公式8. 【华中师大一附中2015—2016学年度上学期高三期中检测9】在ABC ∆中,角,,A B C 所对边分别为,,a b c , 且(2)cos cos b a C c A -=错误!未找到引用源。

, 3c =,sin sin 26sin sin A B A B +=,则ABC ∆错误!未找到引用源。

的面积为( )A.338错误!未找到引用源。

B .2 C .32错误!未找到引用源。

D.334错误!未找到引用源。

【答案】D考点:正弦定理及余弦定理的应用9. 【华中师大一附中2015—2016学年度上学期高三期中检测6】函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示,为了得到()cos g x A x ω=-的图象,可以将()f x 的图象( ) A.向右平移12π个单位长度 B.向右平移512π个单位长度 C.向左平移12π个单位长度 D.向左平移512π个单位长度【答案】B 【解析】试题分析:由题根据所给函数图像应用五点法求得函数解析式,然后变为同名函数根据平移知识得到选项. 由图知,A=1,712434T πππ=-=, 22T ππωω∴==∴=,, ()2,,sin 2sin 23336f x x x ππππϕπϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⨯+=∴=∴=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,()cos 2sin 2sin 2,24g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故选B.考点:三角函数图像与性质10. 【河北省衡水中学2016届高三二调4】已知函数()sin y x m ωϕ=A ++的最大值为4,最小值为0.两个对称轴间最短距离为2π,直线6x π=是其图象的一条对称轴,则符合条件的解析式为( ) A .4sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B .2sin 226y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭C .2sin 3y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D .2sin 223y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【答案】B考点:函数y Asin x ωϕ=+()图象与性质11. 【河北省衡水中学2016届高三二调5】在C ∆A B 中,三个内角A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ,若C 23S ∆AB =,6a b +=,cos cos 2cos C a b cB +A=,则c =( )A .27B .23C .4D .33 【答案】B 【解析】试题分析:运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式,化简可得角C ,再由面积公式和余弦定理,计算即可得到c 的值.()()12160sin A B acosB bcosA sinAcosB sinBcosA cosC C sinC A c sin B +++===∴=∴=︒+,,,若C 23S ∆AB =,则222212386222absinC ab a b c a b abcosC a b ab ab =∴=+=∴=+-=+-- ,,,() 2236381223a b ab c =+-=-⨯=∴=(),,故选B.考点:正弦定理、余弦定理和面积公式的运用12. 【临川一中2015—2016学年度高三第二次月考4】设x x x f sin cos )(-=把)(x f y =的图象按向量()()00a ϕϕ=,>平移后,恰好得到函数y =f '(x )的图象,则ϕ的值可以为( ) A.2π B.43π C.π D.23π【答案】D考点:三角函数的通项与性质;导数的运算13. 【黑龙江牡丹江市一中2016届高三10月月考3】若函数f (x )=sin x +φ3(φ∈)是偶函数,则φ=( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3【答案】C 【解析】试题分析:函数f(x)是偶函数,所以f(0)=1或-1,所以z k k ∈+=,32ππφ.又因φ∈,所以,k=0时,23πφ=。

故选C 。

考点:由函数的奇偶性求参数值。

14. 【黑龙江牡丹江市一中2016届高三10月月考5】已知f (x )=2sin(ωx +φ)的部分图像如图所示,则f (x )的表达式为( )A .f (x )=2sin(32x +π4)B .f (x )=2sin(32x +5π4)C .f (x )=2sin(43x +2π9)D .f (x )=2sin(43x +2518π)【答案】B 【解析】试题分析:由图中的点(06-,π)及点(265,π)知,)(6--6543T ππ=,解得,34T π=。

又因T 2=ωπ,所以23=ω。

从而排除答案C 、D 。

将点(265,π)代入答案A ,等式不成立,故选B 。

考点:由三角函数的部分图像求解析式。

15. 【黑龙江牡丹江市一中2016届高三10月月考7】 若函数cos 2y x =与函数)2sin(φ+=x y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π,上的单调性相同,则ϕ的一个值为( )A .6πB .4πC .43πD .23π 【答案】C 【解析】试题分析:函数cos 2y x =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π,是单调递减的,所以函数)2sin(φ+=x y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π,上也是单调递减的,而],[22πφφφ+∈+x ,所以2322ππφπφ≤+≥且,解得,πφπ≤≤2。

故选C 。

考点:函数单调性的应用。

16. 【临川一中2015—2016学年度高三第二次月考8】 函数x x y 2sin cos ⋅=的最小值为( )A .-1B .934-C .-2D .932-【答案】B考点:三角函数最值17. 【兰州一中2015-2016-1学期高三年级期中6】已知角α的终边过点P (-8m ,-6sin 30°),且cos α=-45,则m 的值为 ( )A .12B. -12 C .-32D.32【答案】A 【解析】试题分析: 点()8,3P m -- , 2649r m ∴=+,284cos 5649mm α-∴==-+,即22641664925m m =+.解得 214m =. 4cos 05α=-< ,80,0m m ∴-<∴>.所以12m =.故A 正确. 考点:任意角的三角函数.【易错点晴】本题主要考查任意角三角函数的定义,属容易题.本题在解得214m =时容易忽视m 的符号而错选.因根据余弦值的符号确定点横坐标的符号,从而可得m 的符号.18.【兰州一中2015-2016-1学期高三年级期中9】若将函数y =tan ⎝⎛⎭⎪⎫ωx +π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后,与函数y =tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π6的图象重合,则ω的最小值为( ) A.16B.14C.13D.12【答案】D 【解析】试题分析:函数tan 4y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移6π个单位后得到函数tan tan 6464y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像.又因为tan 6y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭,依题意可得,646k k Z ωππππ-+=+∈,()16,2k k Z ω∴=-∈, 由0ω>得ω的最小值为12.故D 正确. 考点:三角函数伸缩平移变换.【思路点晴】本题主要考查的是三角函数图像伸缩平移变换.应主意伸缩平移都是针对,x y 而言的,两图像重合说明整体角相差周期的整数倍.19. 【临川一中2015—2016年度第一学期高三期中考试5】 函数x y 2sin =的图像经过怎样的平移变换得到函数)23sin(x y -=π的图像( ).A .向左平移32π个单位长度 B .向左平移3π个单位长度C .向右平移6π个单位长度D .向右平移3π个单位长度 【答案】B 【解析】试题分析:因为2sin(2)sin[(2)]sin(2)sin 2()3333y x x x x πππππ=-=--=+=+,所以将函数sin 2y x =向左平移3π个单位长度即可得到函数sin(2)3y x π=-的图象,故选A .考点:三角函数图象的平移变换.20.【临川一中2015—2016年度第一学期高三期中考试6】在∆ABC 中,c b a ,,为C B A ∠∠∠,,的对边,且1)cos(cos 2cos =-++C A B B ,则( ).A .c b a ,,成等差数列 B. b c a ,,成等差数列 C. b c a ,,成等比数列 D. c b a ,,成等比数列 【答案】D 【解析】试题分析:cos2cos cos()B B A C ++-=cos 2cos()cos()B A C A C -++-=212sin cos cos B A C --+sin sin A C +cos cos sin sin A C A C +=21221b ac -+=,即2b ac =,所以c b a ,,成等比数列,故选D .考点:1、两角和与差的余弦;2、二倍角;3、正弦定理.21. 【浙江宁波效实中学201届上学期高三期中考试5】函数sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<图象的一条对称轴在(,)63ππ内,则满足此条件的一个ϕ值为( ) A. 12π B. 6π C. 3π D.56π【答案】A. 【解析】试题分析:令2()2x k k Z πϕπ+=+∈,∴422k x ππϕ=+-⇒64223k πππϕπ<+-<, 11111220666663k k k k πϕϕπππ⇒-<<+⇒-<<+⇒-<<⇒=,此时2(,)266x πππϕ=-∈-,故选A .考点:三角函数的性质.22.【临川一中2015—2016年度第一学期高三期中考试14】已知,αβ为锐角,10103sin ,552sin ==βα,则=+βα________. 【答案】34π 【解析】试题分析:因为,αβ为锐角,所以510cos ,cos 510αβ==,所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=51025310510510⨯-⨯=22-.因为所以,(0,)2παβ∈,所以(0,)αβπ+∈,所以34παβ+=.考点:两角和与差的余弦.22. 【江苏省泰州中学2016届上学期高三第二次月考4】 函数x x x f 22sin cos )(-=的最小正周期为 . 【答案】π 【解析】试题分析:因为x x x x f 2cos sin cos )(22=-=,所以该函数的最小正周期为ππ==22T ;故填π.考点:1.二倍角公式;3.三角函数的周期.23. 【黑龙江哈尔滨市第六中学2016届高三上学期期中考试14】在ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,若22241c b a +=,则=c B a cos _______________【答案】58【解析】试题分析:由余弦定理可得2222222115cos 5=+c 2cos 2cos 4448a B abc a ac B c ac B c c =+-+∴=∴=考点:余弦定理24. 【河北衡水中学2016届高三上学期三调14】 若函数()cos2sin f x x a x =+在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭是减函数,则a 的取值范围是 . 【答案】(],2-∞.考点:1.三角函数的单调性;2.导数的应用.25. 【临川一中2015—2016学年度高三第二次月考14】设),(20πα∈,若,54)6co s (=+πα则=+)122sin(πα .【答案】17250考点:三角函数化简求值;倍角、半角公式;角的变换;两角和与差的三角函数26. 【江苏省泰州中学2016届第一学期高三第二次月考4】 函数x x x f 22sin cos )(-=的最小正周期为 . 【答案】π 【解析】试题分析:因为x x x x f 2cos sin cos )(22=-=,所以该函数的最小正周期为ππ==22T ;故填π.考点:1.二倍角公式;3.三角函数的周期.27. 【浙江温州二外2015学年第一学期高三10月阶段性测试9】 已知tan (+α)=,α∈(,π),则αtan 的值是 ;αααcos sin sin 2+的值是 ; ⎪⎭⎫⎝⎛-6cos πα的值是 . 【答案】﹣_,253-,10343- 【解析】试题分析:由题意1tan 1tan()41tan 7πααα++==-,解得3tan ,4α=-22sin 3tan ,sin cos 1cos 4ααααα==-+=,α∈(,π),s i n 0,c o s 0αα><,解得34sin ,cos ,55αα==-223343sin sin cos ()()55525ααα+=+⨯-=-,4331343cos cos cos sin sin 666525210πππααα-⎛⎫-=+=-⨯+⨯=⎪⎝⎭. 考点:三角函数的应用.28. 【河北省衡水中学2016届高三二调13】若110tan tan 3αα+=,,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值为 .【答案】0 【解析】试题分析:把已知条件的等式两边都乘以tan α,得到关于tan α的方程,求出方程的解,根据α的范围即可得到满足题意tan α的值,然后把所求的式子利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后,再利用同角三角函数间的基本关系把分母中“1”化为正弦与余弦函数的平方和的形式,分子利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,然后给分子分母都除以2cos α,变为关于tan α的关系式,把求出的tan α的值,然后根据条件计算即可. ()()110331033tan tan tan tan tan ααααα+=∴--=∴= ,,或13,,,1343tan tan ππααα⎛⎫∈∴>∴= ⎪⎝⎭,,()221cos 222sin 22cos cos sin 2cos 244222αππαααα+⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭()222222tan 1tan sin 22cos2121221tan 1tan αααααα⎛⎫-++=++ ⎪++⎝⎭26161021010⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭. 考点:两角和的正弦函数公式;同角三角函数间的基本关系化简求值;二倍角 29.【华中师大一附中2015—2016学年度上学期高三期中检测14】已知函数()sin cos f x a x b x =+(其中0ab ≠),且对任意x R ∈,有()()4f x f π≤,给出以下命题:①a b =;②()4f x π+为偶函数;③函数()y f x =的图象关于点5(,0)4π对称;④3()4f π-是函数()f x 的最小值;⑤函数()f x 在y 轴右侧的图象与直线12y a =的交点按横坐标从小到依次为1P ,2P ,3P ,4P ,…,则24P P π=.其中正确命题的序号是 .(将所有正确命题的序号都填上) 【答案】①②④ 【解析】试题分析:()2222()sin cos sin ,tan b f x a x b x a b x a b a ϕϕ⎛⎫=+=++≤+= ⎪⎝⎭结合对任意x R ∈,有()()4f x f π≤可得()()()222,,sin cos 2sin 424a b f a b a b f x a x x a x ππ⎛⎫⎛⎫+==+∴=∴=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故①②正确,③④错误,⑤如图显然242P P π=,故①②④正确考点:三角函数的最值;正弦函数的奇偶性;正弦函数的对称性30. 【黑龙江牡丹江市一中2016届高三10月月考15】给出下列四个命题:①半径为2,圆心角的弧度数为21的扇形面积为21②若βα,为锐角,3121==+ββαtan ,)tan(,则4542ππβα或=+ ③函数)32cos(π-=x y 的一条对称轴是32π=x ④已知()πα,0∈ ,52cos sin -=+αα,则1264tan =+)(πα 其中正确的命题是 . 【答案】③④考点: 扇形面积公式; 已知三角函数值,求角; 三角函数的对称性;【易错点睛】已知三角函数值求角,一定注意角的范围,否则容易出现增根。

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