高三数列复习讲义96246

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高三数列知识点归纳

高三数列知识点归纳数列是数学中的重要概念之一，也是高中数学中的重要内容之一。

在高三阶段，数列作为一个重要的数学工具，是解决各种数学问题的基础。

本文将对高三数列知识点进行归纳和总结，以帮助同学们更好地理解数列的概念和应用。

一、数列的定义与表示方式数列是由一系列有规律的数按特定顺序排列而成的。

通常用字母a1, a2, a3, ...表示数列的每一项，其中ai表示数列中的第i项。

数列可以是等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

具体表示方式如下：等差数列：an = a1 + (n-1)d等比数列：an = a1 * q^(n-1)斐波那契数列：an = an-1 + an-2 (n ≥ 3)二、等差数列的性质和常用公式1. 公差：等差数列中相邻两项之差，记为d。

2. 第n项公式：an = a1 + (n-1)d。

3. 前n项和公式：Sn = (n/2) * (a1 + an)。

4. 通项公式：若已知数列的首项和公差，则可以通过通项公式来求解数列中任意一项的值。

三、等比数列的性质和常用公式1. 公比：等比数列中相邻两项的比，记为q。

2. 第n项公式：an = a1 * q^(n-1)。

3. 前n项和公式：Sn = (a1 * (q^n - 1)) / (q - 1)。

4. 通项公式：若已知数列的首项和公比，则可以通过通项公式来求解数列中任意一项的值。

四、斐波那契数列的性质和常用公式斐波那契数列是一个特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

即an = an-1 + an-2 (n ≥ 3)。

斐波那契数列具有许多有趣的特性和应用，在数学和其他领域中都有广泛的应用。

五、数列的应用数列作为一种重要的数学工具，在各个学科和领域中都有广泛的应用。

在高三阶段，同学们需要熟练掌握数列的性质和常用公式，并能够灵活运用数列进行问题的分析和解决。

以下是数列在不同领域中的应用举例：1. 自然科学中，数列可以用来描述物理、化学、生物等现象的规律。

高三数学复习课件：数列知识要点(共20张PPT) (1)

ban
• 等差数列 • 等比数列
两种数列
三个定义
• 1 数列定义 • 2 等差数列定义 • 3 等比数列定义
六种解题思想
• 1 累加法 • 2 累乘法 • 3 倒序相加法 • 4 错位相减法
• 5 裂项（1）分母有理化（2）分母是等差乘积(3)分组求和
• 6 构造新数列
五种题型
• 知三求二 • 古典问题 • 实际问题 • 等比等差中项问题 • 知道sn求an及最值问题
参考资料
• 一。数列课程标准 • 二。数列一章沭阳中学做法 • 三。2012-2017沭阳数列试题 • 四。数列知识点填空
恳请各位教师批评指正
项数成等差数列
对应项仍成等差数列
对应项仍成等比数列
m∈N*， Sm为前n 项和Sm≠0
Sm,S2m-Sm, S3m-S2m,…仍成等差数列
Sm,S2m-Sm, S3m-S2m,…仍成等比数列
1.等比数列与等差数列的区别与联系
等差数列
等比数列
不（1）强调每一项与前一项的差；（1）强调每一项与前一项的比值；
同（2）a1和d可以为零.
（2）a1与q均不为零.
点
（1）都强调每一项与前一项的关系；
相同
点
（2）差或比结果都必须是常数；（3）数列都可以由a1，d或a1，q确定.
（1）若{an}为正项等比数列,则{logaan}（a>0且a≠1）为等差数
联
列；
系（2）若{an}为等差数列，则{ }为等比数列（b≠0）.
等差中项公式
a＋b 若三个数a，A，b成等差数列，则中项A=___2__.
6.等差数列的前n项和公式与二次函数的区别与联系

人教版高中数学(理)高考专题复习辅导讲义(含答案解析)：第六章数列

第六章数列1.数列的概念和简单表示法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).(2)了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.2.等差数列、等比数列(1)理解等差数列、等比数列的概念. (2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式.(3)能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用等差数列、等比数列的有关知识解决相应的问题.(4)了解等差数列与一次函数的关系、等比数列与指数函数的关系.§6.1 数列的概念与简单表示法1.数列的概念 (1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.所以，数列的一般形式可以写成，其中a n 是数列的第n 项，叫做数列的通项.常把一般形式的数列简记作{a n }.(2)通项公式：如果数列{a n }的与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________.(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.(5)数列的表示方法有__________、__________、__________、__________.2.数列的分类(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为、. (2)按项的增减规律分为________、_________、_________和__________.递增数列⇔a n ＋1______a n ；递减数列⇔a n ＋1_______a n ；常数列⇔a n ＋1_______a n .递增数列与递减数列统称为__________.3.数列前n 项和S n 与a n 的关系已知S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧__________（n ＝1），__________（n ≥2）.4.常见数列的通项(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为a n ＝____________；(2)2，4，6，8，…的一个通项公式为a n ＝____________；(3)3，5，7，9，…的一个通项公式为a n ＝____________；(4)2，4，8，16，…的一个通项公式为a n ＝____________；(5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为a n＝_________________________；(6)1，0，1，0，…的一个通项公式为a n ＝____________；(7)a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式为a n ＝____________；(8)9，99，999，…的一个通项公式为a n ＝____________.注：据此，很易获得数列1，11，111；…；2，22，222，…；…；8，88，888，…的通项公式分别为19(10n －1)，29(10n－1)，…，89(10n －1).自查自纠：1.(1)项首项 a 1，a 2，a 3，…，a n ，… (2)第n 项 n (3)函数值 (4)a n a n －1(5)通项公式(解析法) 列表法图象法递推公式2.(1)有穷数列无穷数列 (2)递增数列递减数列摆动数列常数列＞＜＝单调数列 3.S 1 S n －S n －14.(1)n (2)2n (3)2n ＋1 (4)2n(5)(－1)n(6)1＋（－1）n －12(7)（a ＋b ）＋（－1）n －1（a －b ）2(8)10n－1数列－1，43，－95，167，…的一个通项公式是( )A.a n ＝(－1)n n （n ＋1）2n －1B.a n ＝(－1)nn 22n －1C.a n ＝(－1)nn 22n ＋1D.a n ＝(－1)n n 3－2n 2n －1解：－1＝－11，数列1，4，9，16，…对应通项n 2，数列1，3，5，7，…对应通项2n －1，数列－1，1，－1，1，…对应通项(－1)n.故选B.下列有四个命题：①数列是自变量为正整数的一类函数；②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列.其中正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4解：易知①③正确，②④不正确.故选B.若数列a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n，则a 5－a 4＝( )A.110B.－110C.190D.1990解：a 5－a 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋17＋…＋110－(15＋16＋17＋18)＝19＋110－15＝190，故选C.数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1，则{a n }的通项公式为____________.解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝4；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4（n ＝1），2n ＋1（n ≥2）.故填a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4（n ＝1），2n ＋1（n ≥2）.(2014·全国课标Ⅱ)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n，a 8＝2，则a 1＝________. 解：由递推公式a n ＋1＝11－a n .∵a 8＝2，∴a 7＝12，a 6＝－1，a 5＝2，可得{a n }是以3为周期的数列.∴a 1＝a 4＝a 7＝12.故填12.类型一数列的通项公式已知数列：45，910，1617，2526，….(1)试写出该数列的一个通项公式；(2)利用你写出的通项公式判断0.98是不是这个数列中的一项.解：(1)各项的分子为22，32，42，52，…，分母比分子大1，因此该数列的一个通项公式为a n ＝（n ＋1）2（n ＋1）2＋1. (2)不妨令（n ＋1）2（n ＋1）2＋1＝0.98，得n 2＋2n －48＝0，解得n ＝－8(舍)或n ＝6.故0.98是这个数列中的第6项a 6.点拨：①一个数列只知道前n 项，其通项公式是不能确定的，即使完全知道该数列，其通项公式的形式也不一定是惟一的，如数列1，0，1，0，…的通项公式可写成a n ＝1＋（－1）n ＋12或a n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2甚至分段形式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 是奇数，0，n 是偶数等.②对于此类归纳猜想求通项的题目，一定要掌握一些常见数列的通项公式，如{n }，{2n }，{(－1)n }，{2n }，{n 2}，{2n －1}等，在此基础之上还要掌握一定的方法，如将各项分解成若干个数的和、差、积、商，分离分子分母等.③由于数列是特殊的函数，因此判断某数是否为数列中的项，即是知a n 判断方程a n ＝f (n )是否有正整数解.写出下列数列的一个通项公式： (1)－1，12，－13，14，－15，…；(2)3，5，9，17，33，…； (3)3，33，333，3333，…； (4)23，－1，107，－179，2611，…. 解：(1)a n ＝(－1)n·1n；(2)a n ＝2n＋1；(3)a n ＝13(10n－1)；(4)由于－1＝－55，故分母为3，5，7，9，11，…，即{2n ＋1}，分子为2，5，10，17，26，…，即{n 2＋1}.符号看作各项依次乘1，－1，1，－1，…，即{(－1)n ＋1}，故a n ＝(－1)n ＋1·n 2＋12n ＋1.类型二由前n 项和公式求通项公式(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n ，则此数列的通项公式为a n ＝______________.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n＋1，则此数列的通项公式为a n ＝ .解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－10＝－9；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－10n －[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11.当n ＝1时，2×1－11＝－9＝a 1.∴a n ＝2n －11. 故填2n －11.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1)－(2n －1＋1)＝2n －2n －1＝2n －1.综上有 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n ≥2）.故填⎩⎪⎨⎪⎧3（n ＝1），2n －1（n ≥2）.点拨：任何一个数列，它的前n 项和S n 与通项a n 都存在关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）.若a 1适合S n －S n －1，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示.另外一种快速判断技巧是利用S 0是否为0来判断：若S 0＝0，则a 1＝S n －S n －1，否则不符合，这在解小题时比较有用.已知下列数列{a n }的前n 项和S n ，分别求它们的通项公式a n .(1)S n ＝2n 2＋3n ; (2)S n ＝3n＋1.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1.当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，∴a n ＝4n ＋1. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4（n ＝1），2·3n －1（n ≥2）.类型三由递推公式求通项公式写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式.(1)a 1＝1，a n ＋1＝2n·a n (n ≥1)；(2)a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2).解：(1)解法一：∵a n ＋1＝2n·a n ，∴a n ＋1a n＝2n， ∴a 2a 1＝2，a 3a 2＝22，a 4a 3＝23，…，a n a n －1＝2n －1. 将上述n －1个式子累乘，得a na 1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)，即a n ＝2n （n －1）2(n ∈N *). 解法二：a n ＋1＝2n ·a n ＝2n ·2n －1a n －1＝…＝2n ·2n －1·…·22·21a 1＝21＋2＋…＋n －1＋n a 1＝2n （n ＋1）2. ∴a n ＝2n （n －1）2. (2)由递推关系a n ＝a n －1＋1n （n －1）(n ≥2)，有a n －a n －1＝1n －1－1n (n ≥2).于是有a 2－a 1＝11－12，a 3－a 2＝12－13，…，a n －a n －1＝1n －1－1n.将上述n －1个式子累加，得a n ＝2－1n.当n ＝1时，a 1＝1也满足，故a n ＝2－1n(n ∈N *).点拨：已知a 1和数列递推关系求通项时，可先计算出前若干项，通过分析这些项与序号的关系，归纳猜想出数列的通项公式，但这种不完全归纳得到的结论往往需要进行验证；但对于“a na n －1＝f (n )”型递推关系常用“累乘法”求通项；对于“a n －a n －1＝f (n )”型递推关系常用累加法求通项；以上两种情形皆可用迭代法求通项.还须注意检验n ＝1时，是否适合所求.写出下面各递推公式表示的数列{a n }的通项公式.(1)a 1＝1，a n ＝3n －1＋a n －1；(2)a 1＝4，a n ＋1＝n ＋2na n .解：(1)由a 1＝1，a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，得 a 1＝1，a 2－a 1＝31，a 3－a 2＝32，…， a n －1－a n －2＝3n －2，a n －a n －1＝3n －1，以上等式两边分别相加得a n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n－12，n ＝1时，a 1＝1也适合，∴a n ＝3n－12.也可直接利用递推公式，逐项代替等式右边出现的a n －1，直至a 1：由a n ＝3n －1＋a n －1＝3n －1＋3n －2＋a n －2＝…＝3n －1＋3n －2＋…＋32＋31＋a 1＝3n－12.当n ＝1时，a 1＝1也适合，∴a n ＝3n－12.(2)由递推关系a 1＝4，a n ＋1＝n ＋2na n ，有a n ＋1a n＝n ＋2n ，于是有a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n －1a n －2＝nn －2，a n a n －1＝n ＋1n －1，将这(n －1)个式子累乘，得a na 1＝n （n ＋1）2，即当n ≥2时，a n ＝n （n ＋1）2a 1＝2n (n＋1)，当n ＝1时，a 1＝4也满足.所以a n ＝2n (n ＋1).类型四数列通项的性质在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n(n ∈N *).(1)求证：数列{a n }先递增，后递减； (2)求数列{a n }的最大项.解：因a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n是积幂形式的式子且a n ＞0，所以可用作商法比较a n 与a n －1的大小.(1)证明：令a n a n －1≥1(n ≥2)，即（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n －1≥1，整理得n ＋1n ≥1110，解得n ≤10. 令a na n ＋1≥1，即（n ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n（n ＋2）⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n ＋1≥1，整理得n ＋1n ＋2≥1011，解得n ≥9.∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减.(2)解：由(1)知a 9＝a 10＝1010119最大.点拨：要证明数列{a n }是单调的，可利用“{a n }是递增数列⇔a n ＜a n ＋1，数列{a n }是递减数列⇔a n ＞a n ＋1”来证明.注意数列的单调性是探索数列的最大、最小项及解决其他许多数列问题的重要途径，因此要熟练掌握上述求数列单调性的方法.设函数f (x )＝log 2x －log x 2(0＜x ＜1)，数列{a n }满足f 2an ＝2n (n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的单调性.解：(1)∵f 2an ＝log22an －log2an 2＝a n －1a n，∴a n －1a n＝2n ，即a 2n －2na n －1＝0.∴a n ＝n ±n 2＋1，∵x ∈(0，1)，∴2an ∈(0，1)，a n ＜0.∴a n ＝n －n 2＋1.(2)a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－（n ＋1）2＋1－(n －n 2＋1)＝1－（n ＋1）2＋1－n 2＋1＝1－2n ＋1（n ＋1）2＋1＋n 2＋1＞1－2n ＋1（n ＋1）＋n＝0，∴a n ＋1＞a n ，则数列{a n}是递增数列.也可由a n ＝－1n ＋n 2＋1直接判断.1.已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：(1)如果符号正负相间，则符号可用(－1)n或 (－1)n ＋1来调节.(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决.(3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决.2.a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2），注意a n ＝S n －S n －1的条件是n ≥2，还须验证a 1是否符合a n (n ≥2)，是则合并，否则写成分段形式.3.已知递推关系求通项掌握先由a 1和递推关系求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及“累加法”“累乘法”等.(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可以用“累加法”得：a n ＝a 1＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1)＋f (n ).(2)已知a 1且a na n －1＝f (n )，可以用“累乘法”得： a n ＝a 1·f (2)·f (3)·…·f (n －1)·f (n ). 4.数列的简单性质(1)单调性：若a n ＋1＞a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则{a n }为递减数列.(2)周期性：若a n ＋k ＝a n (n ∈N *，k 为非零正整数)，则{a n }为周期数列，k 为{a n }的一个周期.(3)最大值与最小值：若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n≥a n －1，则a n 最大；若⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1，则a n 最小.1.数列0.9，0.99，0.999，…的一个通项公式是( )A.1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110nB.－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110nC.1－⎝ ⎛⎭⎪⎫110nD.1－⎝ ⎛⎭⎪⎫110n ＋1解：原数列前几项可改写为1－110，1－1102，1－1103，…，故通项a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫110n .故选C.2.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1＋1a n －2(n ≥3)，则a 4等于( )A.5512B.133C.4D.5 解：令n ＝3，4，即可求得a 4＝133.故选B.3.(2014·陕西)原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A.真，真，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假解：∵a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列(n ∈N *)，∴原命题为真，从而其逆否命题为真.逆命题为：若{a n }(n ∈N *)为递减数列，则a n ＋a n ＋12＜a n ，为真命题，而逆命题与否命题互为逆否命题，从而否命题为真.故选A .4.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n (n －40)，则下列判断中正确的是( )A.a 19>0，a 21<0B.a 20>0，a 21<0C.a 19<0，a 21>0D.a 19<0，a 20>0 解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－39；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n －40)－(n －1)(n －41)＝2n －41.将n ＝1代入满足上式. 综上有a n ＝2n －41.所以a 19＝2×19－41＝－3＜0，a 20＝2×20－41＝－1＜0，a 21＝2×21－41＝1＞0.故选C.5.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n 的值为( )A.2＋lg nB.2＋(n －1)lg nC.2＋n lg nD.1＋n lg n解法一：∵a n ＋1－a n ＝lg n ＋1n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝lgnn －1＋lg n －1n －2＋…＋lg 21＋2 ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －1·n －1n －2·…·32·21＋2 ＝lg n ＋2.解法二：a n ＋1＝a n ＋lg(n ＋1)－lg n ，a n ＋1－lg(n ＋1)＝a n －lg n ，所以数列{a n －lg n }是常数列，a n －lg n ＝a 1－lg1＝2，a n ＝2＋lg n.故选A.6.(2013·北京东城区一模)对于函数y ＝n 1n x n ＋1)都在函数y ＝f (x )的图象上，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋…＋x 2012＋x 2013的值为( )A.9394B.9380C.9396D.9400解：∵x 1＝2，x 2＝f (x 1)＝f (2)＝4，x 3＝f (x 2)＝f (4)＝8，同理，x 4＝2，x 5＝4，x 6＝8，因此，x 3k ＋1＝2，x 3k ＋2＝4，x 3k ＋3＝8，k ∈N .∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2012＋x 2013＝(x 1＋x 2＋x 3)＋…＋(x 2011＋x 2012＋x 2013) ＝(2＋4＋8)×671＝9394.故选A.7.设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为________.解：a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15.故填15.8.若数列{a n }的通项公式为a n ＝|3n －19|，数列{a n }的最小项是________.解：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧19－3n ，（n ≤6），3n －19，（n ≥7）. 数列{a n }具有性质a 1＞a 2＞…＞a 6，而a 7＜a 8＜a 9＜…，由于a 6＝1，a 7＝2，∴数列的第6项最小，其最小值为1.故填1.9.根据数列{a n } 的前几项，分别写出下列数列的一个通项公式.(1)7，77，777，7777，…；(2)4，－52，2，－74，85，…；(3)3，5，3，5，…； (4)1，2，2，4，3，8，4，16，…. 解：(1)将各项改写如下 79(10－1)，79(102－1)，79(103－1)，79(104－1)，… 易知a n ＝79(10n－1).(2)将各项绝对值改写如下41，52，63，74，85，…综合考查分子、分母，以及各项符号可知a n ＝(－1)n －1n ＋3n.(3)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（n 为奇数），5（n 为偶数），或a n ＝（3＋5）＋（－1）n －1（3－5）2＝4＋(－1)n.(4)观察数列{a n }可知，奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋12（n 为奇数），2n 2（n 为偶数）.10.(2014·四川模拟)观察下列三角形数表，假设第n 行的第二个数为a n (n ≥2，n ∈N *).(1)依次写出第六行的所有6个数； (2)归纳出a n ＋1与a n 的关系式，并求出{a n }的通项公式.解：(1)第六行的所有6个数分别是6，16，25，25，16，6.(2)依题意a n ＋1＝a n ＋n (n ≥2)，a 2＝2，a n ＝a 2＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋2＋3＋…＋(n －1)＝2＋（n －2）（n ＋1）2.所以a n ＝12n 2－12n ＋1(n ≥2，n ∈N *).11.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式.解：(1)由题设，S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.令n ＝1，有S 21－(12＋1－3)S 1－3×(12＋1)＝0，可得S 21＋S 1－6＝0，解得S 1＝－3或2，即a 1＝－3或2，又a n 为正数，所以a 1＝2.(2)由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *可得，(S n ＋3)(S n －n 2－n )＝0，则S n ＝n 2＋n 或S n ＝－3，又数列{a n }的各项均为正数，所以S n ＝n 2＋n ，S n －1＝(n －1)2＋(n －1)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n.又a 1＝2＝2×1，所以a n ＝2n.(n ∈N *)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0).(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围.解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *).结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1＞a 1＞a 2＞a 3＞a 4，a 5＞a 6＞a 7＞…＞a n ＞1(n ∈N *).∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a2.若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f(x)＝1＋12x－2－a2的单调性，有5＜2－a2＜6，∴－10＜a＜－8.§6.2 等差数列1. 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的________都等于同一个________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的________，通常用字母d 表示，即________＝d (n ∈N ＋，且n ≥2)或________＝d (n ∈N ＋).2.等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A 叫做a 与b 的____________.3.等差数列的通项公式若{a n }是等差数列，则其通项公式a n ＝_______.①{a n }成等差数列⇔a n ＝pn ＋q ，其中p ＝________，q ＝________，点(n ，a n )是直线上一群孤立的点.②单调性：d ＞0时，{a n }为________数列；d ＜0时，{a n }为________数列；d ＝0时，{a n }为________.4.等差数列的前n 项和公式(1)等差数列前n 项和公式S n ＝________＝________.其推导方法是________.(2){a n }成等差数列，求S n 的最值：若a 1＞0，d ＜0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ________，a n ＋1________时，S n最大；若a 1＜0，d ＞0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ________，a n ＋1________时，S n最小；或利用二次函数求最值；或利用导数求最值. 5.等差数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(3)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.6.等差数列的性质(1)a m －a n ＝________d ，即d ＝a m －a nm －n.(2)在等差数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则有a p ＋a q ＝a m ＋________；若2m ＝p ＋q ，则有________a m＝a p ＋a q (p ，q ，m ，n ∈N *).(3)若{a n }，{b n }均为等差数列，且公差分别为d 1，d 2，则数列{pa n }，{a n ＋q }，{a n ±b n }也为________数列，且公差分别为________，________，________.(4)在等差数列中，按序等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ，a n ＋m ，a n ＋2m ，…为等差数列，公差为md.(5)等差数列的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…为等差数列，公差为n 2d.(6)若等差数列的项数为2n ，则有S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1.(7)等差数列{a n }前m 项与后m 项的和等于m (a 1＋a n ).自查自纠：1.差常数公差 a n －a n －1 a n ＋1－a n2.等差中项3.a 1＋(n －1)d ①d a 1－d y ＝dx ＋(a 1－d ) ②单调递增单调递减常数列4.(1)n （a 1＋a n ）2 na 1＋n （n －1）d 2倒序相加法(2)≥0 ≤0 ≤0 ≥0 6.(1)(m －n ) (2)a n 2 (3)等差 pd 1 d 1 d 1±d 2(2014·福建)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A.8B.10C.12D.14解：设公差为d ，由a 1＝2，S 3＝12得3×2＋12×3×2d ＝12，解得d ＝2.故a 6＝2＋(6－1)×2＝12.故选C.已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则其前10项的和为( )A.100B.210C.380D.400解：在等差数列{a n }中，∵a 2＝7，a 4＝15，∴d ＝a 4－a 22＝4，a 1＝a 2－d ＝3，∴S 10＝10×3＋10×92×4＝210.故选B.等差数列{a n }中，S n 是{a n }前n 项和，已知S 6＝2，S 9＝5，则S 3＝( )A.－1B.－13C.13D.1解：由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列得：2(2－S 3)＝S 3＋(5－2).解得S 3＝13.故选C.在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.解：因为a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝37，所以a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝74，故填74.(2014·江西)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________.解：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得⎩⎪⎨⎪⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.故填⎝⎛⎭⎪⎫－1，－78.类型一等差数列的判定与证明设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对于所有的正整数n ，都有S n ＝n （a 1＋a n ）2，证明{a n }是等差数列.证明：当n ≥2时，由题设知a n ＝S n －S n －1＝n （a 1＋a n ）2－（n －1）（a 1＋a n －1）2＝12[a 1＋na n －(n －1)a n －1]，同理a n ＋1＝12[a 1＋(n ＋1)a n ＋1－na n ].从而a n ＋1－a n ＝12[(n ＋1)a n ＋1－2na n ＋(n －1)a n －1].整理得(n －1)a n ＋1＋(n －1)a n －1＝2(n －1)a n ， ∵n ≥2，∴a n ＋1＋a n －1＝2a n . 所以{a n }是等差数列.点拨：判定数列是等差数列的方法可参看本节“考点梳理”，证明一个数列是等差数列只能用前两种方法，做客观题时可用后两种方法判断数列是否为等差数列.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn 2＋qn (p ，q ∈R ，且p ，q 为常数).(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？(2)求证：对任意实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }是等差数列.解：(1)欲使{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q 应是一个与n 无关的常数，∴只有2p ＝0，即p ＝0时，数列{a n }是等差数列.(2)∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q.又(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2p 为一个常数，∴数列{a n ＋1－a n }是等差数列.类型二等差数列基本量的计算在等差数列{a n }中，(1)已知a 15＝33，a 45＝153，求a n ； (2)已知a 6＝10，S 5＝5，求S n ；(3)已知前3项和为12，前3项积为48，且d ＞0，求a 1.解：(1)解法一：设首项为a 1，公差为d ，依条件得⎩⎪⎨⎪⎧33＝a 1＋14d ，153＝a 1＋44d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23，d ＝4. ∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27.解法二：由d ＝a n －a m n －m ，得d ＝a 45－a 1545－15＝153－3330＝4，由a n ＝a 15＋(n －15)d ，得a n ＝4n －27.(2)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解得a 1＝－5，d ＝3.∴S n ＝－5n ＋n （n －1）2·3＝32n 2－132n.(3)设数列的前三项分别为a 2－d ，a 2，a 2＋d ，依题意有：⎩⎪⎨⎪⎧（a 2－d ）＋a 2＋（a 2＋d ）＝12，（a 2－d ）·a 2·（a 2＋d ）＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 2（a 22－d 2）＝48，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，d ＝±2.∵d ＞0，∴d ＝2，∴a 1＝a 2－d ＝2.点拨：在等差数列五个基本量a 1，d ，n ，a n ，S n 中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n 项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用.(1)(2013·四川)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和.解：设该数列公差为d ，前n 项和为S n .由已知可得2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d ). 所以a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0，或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以数列{a n }的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.(2)(2014·浙江)已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(Ⅰ)求d 及S n ；(Ⅱ)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.解：(Ⅰ)在等差数列{a n }中， S 2·S 3＝(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式得d ＝2或－5. 又∵d ＞0，∴d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *).(Ⅱ)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，若(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.则由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4. 类型三等差数列的性质(1)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 6＝100，则S 11＝________；(2)设数列{a n }，{b n }都是等差数列.若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________；(3)若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，则这个数列的项数为________；(4)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S n ＝m ，S m ＝n (n ≠m )，则S m ＋n ＝________.解：(1)S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11a 6＝1100.故填1100.(2)因为数列{}a n ，{}b n 都是等差数列，所以数列{}a n ＋b n 也是等差数列.故由等差中项的性质，得()a 5＋b 5＋()a 1＋b 1＝2()a 3＋b 3，即a 5＋b 5＋7＝2×21，解得a 5＋b 5＝35.故填35.(3)设该等差数列的项数为n ，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝36，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝124，a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3， ∴4(a 1＋a n )＝160，即a 1＋a n ＝40.∴S n ＝n （a 1＋a n ）2＝20n ＝780，解得n ＝39.故填39.(4)解法一：令S n ＝An 2＋Bn ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧An 2＋Bn ＝m ，Am 2＋Bm ＝n⇒A (n 2－m 2)＋B (n －m )＝m －n. ∵n ≠m ，∴A (n ＋m )＋B ＝－1.∴S m ＋n ＝A (m ＋n )2＋B (m ＋n )＝－(m ＋n ). 解法二：不妨设m ＞n ，S m －S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＋…＋a m －1＋a m ＝（m －n ）（a n ＋1＋a m ）2＝n －m ，∴a 1＋a m ＋n ＝a n ＋1＋a m ＝－2.∴S m ＋n ＝（m ＋n ）（a 1＋a m ＋n ）2＝－(m ＋n ).解法三：∵{a n }是等差数列，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，D 为公差. ∴S m ＋n m ＋n －S m m ＝nD ，S n n －S m m ＝(n －m )D. ∴m n －n m n －m ＝S m ＋n m ＋n －n m n ，解得S m ＋n ＝－(m ＋n ). 故填－(m ＋n ).点拨：(1)可利用等差数列的性质S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1来求解，这一性质表明：若等差数列有奇数项，则正中间一项是该数列的和的平均数；(2)利用等差数列的性质及等差中项来求；(3)可利用“等差数列前m 项与后m 项的和等于m (a 1＋a n )”这一性质来求解；(4)可利用等差数列下标和性质：若“p ＋q ＝m ＋n ，则a p ＋a q ＝a m ＋a n ”来求解.等差数列的性质是其定义、通项公式及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，解题时灵活应用这些性质常常可化繁为简，起到事半功倍的效果.(1)(2013·贵州六校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则a 9＝( )A.8B.12C.16D.24解：在等差数列中，S 3＝3a 2＝6⇒a 2＝2. ∴3d ＝a 5－a 2＝6⇒d ＝2. 所以a 9＝a 5＋4d ＝16.故选C.(2)含2n ＋1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和(非零)之比为( )A.2n ＋1nB.n ＋1nC.n －1nD.n ＋12n解：∵S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝（n ＋1）（a 1＋a 2n ＋1）2，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n （a 2＋a 2n ）2，a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n.故选B.类型四等差数列的最值问题在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求出它的最大值.解法一：∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，解得d ＝－53.∴a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653. ∴a 13＝0，而d ＜0，故当n ≤12时，a n ＞0，n ≥14时，a n ＜0.∴当n ＝12或13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.解法二：同解法一得d ＝－53.又由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.解法三：同解法一求得d ＝－53.∴S n ＝20n ＋n （n －1）2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋312524.∵n ∈N ＋，∴当n ＝12或13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.点拨：求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；②利用等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)为二次函数，通过二次函数的性质求最值.另外，对于非等差数列常利用函数的单调性来求其通项或前n 项和的最值.(1)(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9＞0，a 7＋a 10＜0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大.解：在等差数列{a n }中，a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，∴a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，∴a 9＜0.∴当n ＝8时，其前n 项和最大.故填8.(2)(2013·全国新课标Ⅱ)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15 ＝25，则nS n 的最小值为________.解：设S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R ). 则⎩⎪⎨⎪⎧100a ＋10b ＝0，225a ＋15b ＝25，解得a ＝13，b ＝－103，∴S n ＝13n (n －10)，nS n ＝13(n 3－10n 2).考查函数f (x )＝x 3－10x 2(x ≥1)，f ′(x )＝3x 2－20x ，∴f (x )的极小值点为203，当n ＝6时，nS n ＝－48，n ＝7时，nS n ＝－49，∴nS n 的最小值为－49.故填－49.1.等差数列中，已知五个元素a 1，a n ，n ，d ，S n 中的任意三个，便可求出其余两个.2.求等差数列{a n }前n 项的绝对值{|a n |}之和，首先应分清这个数列哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求和.3.等差数列前n 项和的最值通常是在正负项分界的位置产生，利用这一性质可求其最值；另一种方法是利用二次函数的性质.4.灵活运用等差数列的性质，如等差中项的性质，可简化运算.5.等差数列{a n }的前n 项和满足：⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且首项与{a n }的首项相同，公差为{a n }公差的一半.6.数列{a n }是等差数列的充要条件是S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数，n ∈N *).1.(2014·重庆)在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( )A.5B.8C.10D.14解：在等差数列{a n }中，a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10，又a 1＝2，∴a 7＝8.故选B.2.(2013·昆明模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝3，S 9－S 6＝27，则该数列的首项a 1等于( )A.－65B.－35C.65D.35解：由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，9a 1＋36d －（6a 1＋15d ）＝27得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，a 1＋7d ＝9，解得a 1＝35.故选D.3.已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d 为( )A.－23B.－13C.13D.23解：a 10＝a 1＋9d ＝10，S 10＝10（a 1＋10）2＝70，解得d ＝23.故选D.4.(2013·北京海淀模拟)已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于( )A.16B.8C.2 2D.4解：由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)可知数列{a 2n }是等差数列，且以a 21＝1为首项，以a 22－a 21＝4－1＝3为公差，所以数列{a 2n }的通项公式为a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a 26＝3×6－2＝16，即a 6＝4.故选D.5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 2＝4，则S 6S 4＝( )A.94B.32C.53D.4 解：设S 2＝x ，则S 4＝4x ，因为S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等差数列，所以S 6－S 4＝5x ，即S 6＝9x ，所以S 6S 4＝9x 4x ＝94.故选A. 6.(2014·辽宁)设等差数列{a n }的公差为d.若数列{2a 1a n }为递减数列，则( )A.d ＜0B.d ＞0C.a 1d ＜0D.a 1d ＞0解：易知b n ＝2a 1a n ＞0，∵数列{2a 1a n }递减，∴b n ＋1b n ＝2a 1a n ＋12a 1a n ＝2a 1(a n ＋1－a n )＝2a 1d ＜1，a 1d ＜0.故选C.7.一个木制梯形架的上、下两底边分别为33 cm ，75 cm ，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级，则梯形架自上而下第4级的宽度是________ cm .解：设梯形架自上而下各级宽度所构成数列为{a n }，则由梯形中位线的性质，易知每相邻三项均成等差数列.易得a 1＝33 cm ，a 7＝75 cm ，则d ＝a 7－a 17－1＝7 cm .故a 4＝33＋7×3＝54 cm(亦可利用等差中项性质求).故填54.8.(2013·全国新课标Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________.解法一：a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，公差d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.又S m ＋1＝(m ＋1)a 1＋（m ＋1）m2＝3，①，a m ＋1＝a 1＋m ＝3.将a 1＝3－m 代入①得m 2－5m ＝0，解得m ＝5或0(舍去).解法二：设S n ＝an 2＋bn ，通过题意建立并解方程组获解.故填5.9.(2014·全国大纲)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式.解：(1)由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得a n ＋2－a n ＋1＝a n＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2，又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列.(2)由(1)得b n ＝a n ＋1－a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.于是∑=+-nk k k a a 11)(=∑=-nk k 1)12(，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n＝n 2－2n ＋2.10.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝25，a 4＝16.(1)当n 为何值时，S n 取得最大值； (2)求a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 20的值.解：(1)∵等差数列{a n }中，a 1＝25，a 4＝16，∴ 公差d ＝a 4－a 14－1＝－3.∴a n ＝－3n ＋28.令a n ＝－3n ＋28＞0，则n ≤9.∴当n ≤9时，a n ＞0；当n ＞9时，a n ＜0. ∴当n ＝9时，S n 取得最大值. (2)∵数列{a n }是等差数列，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 20＝10（a 2＋a 20）2＝10a 11＝10×(－5)＝－50.11.(2013·浙江)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列.(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.解：(1)由题意得a 1×5a 3＝(2a 2＋2)2，即d 2－3d －4＝0. 故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *. (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝S n ＝－12n 2＋212n.当n ≥12时，S 11＝55.|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11－a 12－a 13－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11)－a 1－a 2－…－a n ＝2S 11－S n ＝12n 2－212n ＋110. 综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数.(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由.解：(1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1，由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)存在λ使得{a n }为等差数列，理由如下：由题设a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1，由(1)知a 3＝λ＋1.假设{a n }为等差数列，则a 1，a 2，a 3成等差数列，∴a 1＋a 3＝2a 2，解得λ＝4.以下证明λ＝4时，{a n }为等差数列. 由a n ＋2－a n ＝4知，数列奇数项构成的数列{a 2m －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2m －1＝4m －3，令n ＝2m －1，则m ＝n ＋12，∴a n ＝2n －1(n ＝2m －1).数列偶数项构成的数列{a 2m }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2m ＝4m －1，m ∈N *.令n ＝2m ，则m ＝n2，∴a n ＝2n －1(n ＝2m ).∴a n ＝2n －1(n ∈N *)，a n ＋1－a n ＝2.因此，存在λ＝4，使得{a n }为等差数列.§6.3 等比数列1.等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的________等于同一个________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q 表示(q ≠0).2.等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b成等比数列，那么G 叫做a 与b 的________，且G 2＝________或G ＝________.3.等比数列的通项公式(1)若{a n }是等比数列，则通项a n ＝________或a n ＝________.当n －m 为大于1的奇数时，q 用a n ，a m 表示为q ＝；当n －m 为正偶数时，q ＝ .(2)a n ＝a 1q n －1可变形为a n ＝Aq n，其中A ＝；点(n ，a n )是曲线上一群孤立的点.4.等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }中，S n ＝⎩⎨⎧ ，q ＝1，＝，q ≠1. 求和公式的推导方法是：，为解题的方便，有时可将求和公式变形为S n＝Bq n－B (q ≠1)，其中B ＝且q ≠0，q ≠1.5.等比数列的判定方法 (1)定义法：a n ＋1＝a n q 且a 1≠0(q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列.(2)通项公式法：a n ＝cq n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列.(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列.(4)前n 项和公式法：S n ＝a 1q －1q n －a 1q －1＝Bq n－B ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＝a 1q －1是常数，且q ≠0，q ≠1⇔{a n }是等比数列.6.等比数列的性质(1)在等比数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ·a q＝a m ·a n ；若2m ＝p ＋q ，则a 2m ＝a p ·a q (p ，q ，m ，n ∈N *). (2)若{a n }，{b n }均为等比数列，且公比为q 1，q 2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{p ·a n }(p ≠0)，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍为等比数列且公比为，，， . (3)在等比数列中，按序等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋m ，a n ＋2m …仍为等比数列，公比为 .(4)等比数列前n 项和为S n (≠0)，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…构成等比数列，且公比为 .(5)对于一个确定的等比数列，在通项公式a n ＝a 1q n －1中，a n 是n 的函数，这个函数由正比例函数a n ＝a 1q·u 和指数函数u ＝q n (n ∈N *)复合而成.①当a 1＞0，或a 1＜0，时，等比数列{a n }是递增数列；②当a 1＞0，或a 1＜0，时，等比数列{a n }是递减数列；③当时，它是一个常数列； ④当时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列.自查自纠：1.比常数公比2.等比中项 ab ±ab3.(1)a 1q n －1a m q n －mn －m a n a m ±n －m a na m(2)a 1q y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1q q x4.na 1 a 1（1－q n ）1－q a 1－a n q1－q乘公比，错位相减 a 1q －16.(2)1q 1 q 1 q 1q 2 q 1q 2(3)q m (4)q n(5)①q ＞1 0＜q ＜1 ②0＜q ＜1 q ＞1 ③q＝1 ④q ＜0公比为2的等比数列{}a n 的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则a 5＝( )A.1B.2C.4D.8解：由等比数列的性质知a 3a 11＝a 27＝16，又 a n＞0，所以解得a 7＝4，由a 7＝a 5·22＝4a 5，得 a5＝1.故选A.(2014·重庆)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A.a 1，a 3，a 9成等比数列B.a 2，a 3，a 6成等比数列C.a 2，a 4，a 8成等比数列D.a 3，a 6，a 9成等比数列解：由等比数列的性质，得a 9a 6＝a 6a 3＝q 3≠0，因此，a 3，a 6，a 9一定成等比数列.故选D.(2013·大纲)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A.－6(1－3－10)B.19(1－3－10)C.3(1－3－10)D.3(1＋3－10)解：由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1＝－13a n ，所以{a n }为等比数列，公比为－13.由a 2＝－43得a 1＝4，由等比数列前n 项和公式得S 10＝3(1－3－10).故选C.(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________.解：设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则由a 8＝a 6＋2a 4得a 6q 2＝a 6＋2a 6q2，解得q 2＝2(舍去负值).又a 2＝1，∴a 6＝a 2q 4＝4.故填4.(2013·北京)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.解：由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＋a 1q 4＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2. 故S n ＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.故填2；2n ＋1－2.类型一等比数列的判定与证明已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n(a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n ∈N *.(1)对任意实数λ，证明数列{a n }不是等比数列；(2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论.解：(1)证明：假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1·a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－32＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫49λ－4⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾.所以数列{a n }不是等比数列.(2)因为b n ＝(－1)n(a n －3n ＋21)， b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21]＝(－1)n ＋1⎣⎢⎡⎦⎥⎤23a n ＋n －4－3（n ＋1）＋21＝(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －2n ＋14 ＝23(－1)n ＋1(a n －3n ＋21)＝－23b n . 又b 1＝－(λ＋18)，所以当λ＝－18，b 1＝0，易得b n ＝0(n ∈N *)，此时数列{b n }不是等比数列；当λ≠－18，b 1≠0，由上可知b n ≠0， ∴b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)，此时数列{b n }是等比数列.点拨：(1)证明数列{a n }不是等比数列，只需举一个反例；(2)证明数列{b n }是等比数列，常用方法：①定义法；②等比中项法.(2013·陕西) 设{}a n 是公比为q 的等比数列.(1)推导{}a n 的前n 项和公式；(2)设q ≠1, 证明数列{a n ＋1}不是等比数列. 解：(1) 设{}a n 的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －1,①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n，②①－②得，()1－q S n ＝a 1－a 1q n.∴S n ＝a 1()1－q n1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1， q ＝1，a 1()1－q n 1－q， q ≠1.(2) 证明：(反证法)，假设数列{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋，()a k ＋1＋12＝()a k ＋1()a k ＋2＋1，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1， a 21q 2k ＋2a 1q k ＋1＝a 1q k －1a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1＋1，∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0. ∴q ＝1，与已知矛盾.∴数列{a n ＋1}不是等比数列.类型二等比数列基本量的计算设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6，6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .解：由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1q ＝6，6a 1＋a 3＝6a 1＋a 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2.。

高三复习数列 (含数学归纳法+证明) (7份)教案+习题+经典例题+答案

第1节数列的概念及简单表示法最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．知识梳理1．数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．2．数列的分类3.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．4．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.[常用结论与微点提醒] 1．一些常见数列的通项公式(1)数列1，2，3，4，…的通项公式为a n ＝n ； (2)数列2，4，6，8，…的通项公式为a n ＝2n ； (3)数列1，2，4，8，…的通项公式为a n ＝2n －1； (4)数列1，4，9，16，…的通项公式为a n ＝n 2； (5)数列1，12，13，14，…的通项公式为a n ＝1n . 2．已知递推关系求通项一般有两种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加或累乘法求数列的通项公式．诊断自测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的．( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列． (2)数列中的数是可以重复的． (3)不是所有的数列都有通项公式．答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．64解析当n ＝8时，a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15. 答案 A3．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A ．a n ＝(－1)n －1＋1B ．a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C ．a n ＝2sin n π2D ．a n ＝cos(n －1)π＋1解析对n ＝1，2，3，4进行验证，a n ＝2sin n π2不合题意，故选C.答案 C4．已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．解析因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3. 答案 (－3，＋∞)5．(2018·台州月考)在数列{x n }中，x 1＝10，x n ＝log 2(x n －1－2)，则数列{x n }的第2项是________，所有项和T ＝________．解析 ∵x 1＝10，x n ＝log 2(x n －1－2)，∴x 2＝log 2(x 1－2)＝log 28＝3，x 3＝log 2(x 2－2)＝log 21＝0. 数列{x n }所有项的和为10＋3＋0＝13. 答案 3 136．(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________．解析 a 1＝1，a 2＝6＝1＋5＝1＋5×(2－1)，a 3＝11＝1＋5×2＝1＋5×(3－1)， a 4＝16＝1＋5×3＝1＋5×(4－1)， ∴a n ＝1＋5×(n －1)＝5n －4. 答案 5n －4考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5，55，555，5 555，….解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n ，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，…，相邻的偶数，故所求数列的一个通项公式为a n ＝2n（2n －1）（2n ＋1）.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22.(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n －1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1)．规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征； (2)相邻项的联系特征； (3)拆项后的各部分特征；(4)符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．【训练1】 (1)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n －1n ＋2(n ∈N *)B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)C ．a n ＝2（n －1）2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *) (2)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝________．解析 (1)注意到分子0，2，4，6都是偶数，对照选项排除即可．(2)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n 1n （n ＋1）.答案 (1)C (2)(－1)n1n （n ＋1）考点二由S n 与a n 的关系求a n (易错警示)【例2】 (1)(2017·温州市十校联考)在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________．(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________．解析 (1)依题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1，两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n ，又S 1＝2a 1＋1＝a 1，因此a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项、2为公比的等比数列，a n ＝－2n －1. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1. 显然当n ＝1时，不满足上式． ∴a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.答案 (1)－2n －1(2)⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2规律方法数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.①当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；②当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．易错警示在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形．【训练2】 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________．解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.(2)由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2.又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1， ∴a n ＝(－2)n －1.答案 (1)⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2 (2)(－2)n －1考点三由数列的递推关系求通项公式【例3】 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．(2)(2018·衢州质检)在数列{a n }中，a 1＝1，(n 2＋2n )(a n ＋1－a n )＝1(n ∈N *)，则通项公式a n ＝________．解析 (1)由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n－1，∴n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3，将以上各式累加得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)， ∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足)．(2)由(n 2＋2n )(a n ＋1－a n )＝1得a n ＋1－a n ＝1n 2＋2n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以a 2－a 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13，a 3－a 2＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14，…，a n －1－a n －2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ，a n －a n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋1＝74－2n ＋12n （n ＋1）.答案 (1)3×2n －1－2 (2)74－2n ＋12n （n ＋1）规律方法 (1)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系式利用累加法求通项公式，特别注意能消去多少项，保留多少项．(2)形如a n ＋1＝a n ·f (n )的递推关系式可化为a n ＋1a n ＝f (n )的形式，可用累乘法，也可用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1代入求出通项．(3)形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式可以化为(a n ＋1＋x )＝p (a n ＋x )的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键．【训练3】在数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项公式a n ＝________．(2)(一题多解)若a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则通项公式a n ＝________． (3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项公式a n ＝________．解析 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1.又a 1＝2＝1×（1＋1）2＋1，符合上式，因此a n ＝n （n ＋1）2＋1.(2)法一因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1·a n －2，…，a 2＝12a 1，以上(n－1)个式子的等号两端分别相乘得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n . 法二因为a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －1n －2·…·1＝1n . (3)设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1＋t ＝2(a n ＋t )，即a n ＋1＝2a n ＋t ，解得t ＝3.故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列． ∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3. 答案 (1)n （n ＋1）2＋1 (2)1n(3)2n ＋1－3基础巩固题组一、选择题1．数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223解析所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021. 答案 C2．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式a n 等于( ) A.（－1）n ＋12B ．cos n π2C ．cosn ＋12πD ．cos n ＋22π解析令n ＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确．答案 D3．(一题多解)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式a n ＝( ) A ．2n －1B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2(n －1)解析法一由a n ＋1＝2a n ＋1，可求a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，验证可知a n ＝2n －1.法二由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1. 答案 A4．数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A ．7B ．6C ．5D ．4解析依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4. 答案 D5．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n 等于( ) A ．2n －1B ．n 2C.（n ＋1）2n 2D.n 2（n －1）2解析设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2（n －1）2.答案 D6．(2018·宁波镇海中学调研)已知数列{a n }的首项a 1＝a ，其前n 项和为S n ，且满足S n ＋S n －1＝4n 2(n ≥2，n ∈N *)，若对任意n ∈N *，a n ＜a n ＋1恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(3，5)B ．(4，6)C ．[3，5)D ．[4，6)解析由S n ＋S n －1＝4n 2(n ≥2，n ∈N *)，得S n ＋1＋S n ＝4(n ＋1)2.两式相减得，a n ＋1＋a n ＝8n ＋4(n ≥2)，则a n ＋2＋a n ＋1＝8n ＋12.两式相减得，a n ＋2－a n ＝8(n ≥2)．又由a 1＝a ，a 1＋a 2＋a 1＝16得a 2＝16－2a ，又由a 1＋a 2＋a 3＋a 1＋a 2＝4×32得a 3＝4＋2a ，所以a 2n ＝a 2＋8(n －1)＝8n ＋8－2a ，a 2n ＋1＝a 3＋8(n －1)＝8n －4＋2a .因为对任意n ∈N *，a n ＜a n ＋1恒成立，所以⎝ ⎛a ＜16－2a ，8n ＋8－2a ＜8n －4＋2a ，8n －4＋2a ＜8（n ＋1）＋8－2a ，解得3＜a ＜5. 答案 A二、填空题7．若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n，a 8＝3421，则a 5＝________．解析借助递推关系，则a 8递推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85. 答案 858．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0(n ∈N *)，又a n a n ＋1＝S n ，则a 3－a 1＝________．解析因为a n a n ＋1＝S n ，所以令n ＝1得a 1a 2＝S 1＝a 1，由于a 1≠0，则a 2＝1，令n ＝2，得a 2a 3＝S 2＝a 1＋a 2，即a 3＝1＋a 1，所以a 3－a 1＝1. 答案 19．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a 1＝________；a n ＝________．解析当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案 4 ⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥210．(2018·绍兴一中适应性考试)数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋n ＋1，b n ＝ (－1)n ·(a n －2)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________，数列{b n }的前50项和为________．解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n ＋1－[(n －1)2＋(n －1)＋1]＝2n ，当n ＝1时不满足上式，则其通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.当n ＝1时，b 1＝－1；当n ≥2时，b n ＝(－1)n ·(a n －2)＝(－1)n ·2(n －1)，则数列{b n }的前50项和为－1＋2×1－2×2＋2×3－…＋2×49＝－1＋2×(1－2＋3－…＋49)＝－1＋2×25＝49.答案 a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2 49三、解答题11．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍)．∴从第7项起各项都是正数．12．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，……a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n （n ＋1）2. 显然，当n ＝1时也满足上式．综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n （n ＋1）2. 能力提升题组13．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( )A.163B.133 C ．4 D ．0解析 ∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0.答案 D14．(2018·杭州调考)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝3，则a 2 019的值为________．解析由题意得，a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，∴数列{a n }是周期为6的周期数列，而2 019＝6×336＋3，∴a 2 019＝a 3＝1.答案 115．(2017·金丽衢十二校联考)对于各项均为整数的数列{a n }，如果a i ＋i (i ＝1，2，3，…)为完全平方数，则称数列{a n }具有“P 性质”．不论数列{a n }是否具有“P 性质”，如果存在与{a n }不是同一数列的{b n }，且{b n }同时满足下面两个条件： ①b 1，b 2，b 3，…，b n 是a 1，a 2，a 3，…，a n 的一个排列；②数列{b n }具有“P 性质”，则称数列{a n }具有“变换P 性质”．下面三个数列：①数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3(n 2－1)；②数列1，2，3，4，5；③1，2，3， (11)具有“P 性质”的为________；具有“变换P 性质”的为________．解析对于①，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－n ，∵a 1＝0，∴a n ＝n 2－n ，∴a i ＋i ＝i 2(i ＝1，2，3，…)为完全平方数，∴数列{a n }具有“P 性质”；对于②，数列1，2，3，4，5，具有“变换P 性质”，数列{b n }为3，2，1，5，4，具有“P 性质”，∴数列{a n }具有“变换P 性质”；对于③，因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，所以1，2，3，…，11，不具有“变换P 性质”．答案 ① ②16．(2018·台州测试)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)．结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4， a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a 2，已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，可知5<2－a 2<6，即－10<a <－8.即a 的取值范围是(－10，－8)．17．(一题多解)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a 2n ·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1＜c n .(1)解当n ＝1时，a 1＝S 1＝4.对于n ≥2，有a n ＝S n －S n －1＝2n (n ＋1)－2(n －1)n ＝4n .又当n ＝1时，a 1＝4适合上式，故{a n }的通项公式a n ＝4n .将n ＝1代入T n ＝2－b n ，得b 1＝2－b 1，故T 1＝b 1＝1.(求b n 法一)对于n ≥2，由T n －1＝2－b n －1，T n ＝2－b n ，得b n ＝T n －T n －1＝－(b n －b n －1)，b n ＝12b n －1，所以数列{b n }是以1为首项，公比为12的等比数列，故b n ＝21－n . (求b n 法二)对于n ≥2，由T n ＝2－b n ，得T n ＝2－(T n －T n －1)，2T n ＝2＋T n －1，T n －2＝12(T n －1－2)，T n －2＝21－n (T 1－2)＝－21－n ，T n ＝2－21－n ，b n ＝T n －T n －1＝(2－21－n )－(2－22－n )＝21－n .又n ＝1时，b 1＝1适合上式，故{b n }的通项公式b n ＝21－n .(2)证明 (法一)由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n ，得c n ＋1c n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2. 当且仅当n ≥3时，1＋1n ≤43＜2，即c n ＋1＜c n .(法二)由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n ，得c n ＋1－c n ＝24－n [(n ＋1)2－2n 2]＝24－n [－(n －1)2＋2]．当且仅当n ≥3时，c n ＋1－c n ＜0，即c n ＋1＜c n .第2节等差数列及其前n 项和最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系．知识梳理1．等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)．(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2．2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ．通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)．(2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项)．3．等差数列的有关性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和．(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．4．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．5．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．[常用结论与微点提醒]1．用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了a n ＋1－a n ＝d (n ≥2)时，应注意验证a 2－a 1是否等于d ，若a 2－a 1≠d ，则数列{a n }不为等差数列．2．利用二次函数性质求等差数列前n 项和最值时，一定要注意自变量n 是正整数．诊断自测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( )(5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )解析 (4)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数．(5)若公差d ＝0，则前n 项和不是二次函数．答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)×2．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．6解析由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.答案 B3．(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析设{a n }的公差为d ，由⎩⎨⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎨⎧2a 1＋7d ＝24，6a 1＋15d ＝48，解得d ＝4. 答案 C4．(2018·宁波十校适应性考试)等差数列{a n }的公差d ＜0，且a 21＝a 217，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时的项数n 是( )A ．8或9B ．9或10C ．10或11D ．11或12解析由题意知，a 1＝±a 17，又因为d ＜0，所以a 1＝－a 17，故a 1＝－8d ，a 9＝0，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －9)d ，当a n ≥0时，n ≤9，所以当n ＝8或9时，S n 取最大值．答案 A5．(必修5P68A8改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________．解析由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.答案 1806．(2018·湖州调研)设等差数列{a n }的公差是d ，前n 项和是S n .若a 1＝1，a 5＝9，则公差d ＝______，S n ＝______．解析公差d ＝a 5－a 15－1＝2，前n 项和S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n (n －1)＝n 2. 答案 2 n 2考点一等差数列基本量的运算【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97 (2)(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎨⎧9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，所以⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝1，所以a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99＝98.(2)等差数列中a 1＝1，根据题意得a 23＝a 2·a 6，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，解得d ＝－2，d ＝0(舍去)．所以数列{a n }的前6项和为S 6＝6a 1＋6×52d ＝1×6＋6×52×(－2)＝－24.答案 (1)C (2)A规律方法 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【训练1】 (1)(一题多解)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________．(2)(2015·浙江卷)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________．解析 (1)法一设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎨⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎨⎧a 1＝0，d ＝2，即S 6＝6a 1＋15d ＝30.法二由{a n }为等差数列，故可设前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎨⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12，解得⎩⎨⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30. (2)因为a 2，a 3，a 7成等比数列，所以a 23＝a 2a 7，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，由于d ≠0，∴a 1＝－23d ，∵2a 1＋a 2＝1，∴2a 1＋a 1＋d ＝1，即3a 1＋d ＝1，∴a 1＝23，d ＝－1.答案 (1)30 (2)23 －1考点二等差数列的判定与证明(变式迁移)【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）. 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【变式迁移1】将本例条件“a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12”改为“S n (S n －a n )＋2a n ＝0(n ≥2)，a 1＝2”，问题不变，试求解．(1)证明当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1且S n (S n －a n )＋2a n ＝0. ∴S n [S n －(S n －S n －1)]＋2(S n －S n －1)＝0，即S n S n －1＋2(S n －S n －1)＝0.即1S n －1S n －1＝12.又1S 1＝1a 1＝12. 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以首项为12，公差为12的等差数列． (2)解由(1)知1S n＝n 2，∴S n ＝2n ，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝－2n （n －1）当n ＝1时，a 1＝2不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，－2n （n －1），n ≥2. 【变式迁移2】已知数列{a n }满足2a n －1－a n a n －1＝1(n ≥2)，a 1＝2，证明数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是等差数列，并求数列{a n }的通项公式．解当n ≥2时，a n ＝2－1a n －1， ∴1a n －1－1a n －1－1＝12－1a n －1－1－1a n －1－1＝11－1a n －1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1－1a n －1－1＝1(常数)．又1a 1－1＝1. ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是以首项为1，公差为1的等差数列． ∴1a n －1＝1＋(n －1)×1＝n ， ∴a n ＝n ＋1n. 规律方法等差数列的四种判断方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数．(2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立．(3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q .(4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断．【训练2】 (2017·江苏卷)对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －1＋a n ＋1＋…＋a n ＋k －1＋a n ＋k ＝2ka n ，对任意正整数n (n >k )总成立，则称数列{a n }是“P (k )数列”．(1)证明：等差数列{a n }是“P (3)数列”；(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，证明：{a n }是等差数列．证明 (1)因为{a n }是等差数列，设其公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，从而，当n ≥4时，a n －k ＋a n ＋k ＝a 1＋(n －k －1)d ＋a 1＋(n ＋k －1)d ＝2a 1＋2(n －1)d ＝2a n ，k ＝1，2，3，所以a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n ，因此等差数列{a n }是“P (3)数列”．(2)数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，因此，当n ≥3时，a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＝4a n ，①当n ≥4时，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n .② 由①知，a n －3＋a n －2＝4a n －1－(a n ＋a n ＋1)，③ a n ＋2＋a n ＋3＝4a n ＋1－(a n －1＋a n )．④将③④代入②，得a n －1＋a n ＋1＝2a n ，其中n ≥4，所以a 3，a 4，a 5，…是等差数列，设其公差为d ′. 在①中，取n ＝4，则a 2＋a 3＋a 5＋a 6＝4a 4，所以a 2＝a 3－d ′，在①中，取n ＝3，则a 1＋a 2＋a 4＋a 5＝4a 3，所以a 1＝a 3－2d ′，所以数列{a n }是等差数列．考点三等差数列的性质及应用【例3】 (1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5B ．7C ．9D ．11(2)(2018·浙江名校三联)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S 8S 16＝( ) A.310B.37C.13D.12(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2017＝________．解析 (1)∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，得3a 3＝3，所以a 3＝1，∴S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3＝5，故选A. (2)因为S n 为等差数列{a n }的前n 项和，所以S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12也成等差数列，而S 4S 8＝13，所以S 8＝3S 4，则(S 8－S 4)－S 4＝S 4，则得S 16＝10S 4，所以S 8S16＝310.(3)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1. 故S 2 0172 017＝S 11＋2 016d ＝－2 014＋2 016＝2， ∴S 2 017＝2×2 017＝4 034. 答案 (1)A (2)A (3)4 034规律方法等差数列的性质是解题的重要工具．(1)在等差数列{a n }中，数列 S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列．(2)在等差数列{a n }中，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列．【训练3】 (1)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( ) A ．13B ．12C ．11D ．10(2)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________．解析 (1)因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146， a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60，所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n ×602＝390，即n ＝13.(2)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10. 答案 (1)A (2)10考点四等差数列前n 项和及其最值【例4】 (1)(一题多解)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( ) A ．5B ．6C ．7D ．8(2)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________．解析 (1)法一由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时S n 最大．法二由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n .根据二次函数的性质，知当n ＝7时S n 最大． (2)由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130. 答案 (1)C (2)130规律方法求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值．【训练4】 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( ) A ．9B ．10C ．11D ．12(2)(2018·金丽衢十二校二联)已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若有确定正整数n 0，对任意正整数m ，Sn 0·Sn 0＋m ＜0恒成立，则下列说法错误的是( ) A ．a 1·d ＜0B ．|S n |有最小值C ．a n 0·a n 0＋1＞0D ．a n 0＋1·a n 0＋2＞0解析 (1)由a 6a 5＝911，得S 11＝S 9，即a 10＋a 11＝0，根据首项a 1＞0可推知这个数列递减，从而a 10＞0，a 11＜0，故n ＝10时，S n 最大．(2)由S n 0·S n 0 ＋m ＜0，知数列{a n }一定存在正项与负项，则要么a 1＞0，d ＜0，要么a 1＜0，d ＞0，即a 1·d ＜0，所以A 正确；由等差数列各项特征知，|S n |一定能取得最小值，所以B 正确；若数列{a n }为－1，2，5，8，…，当n ≥2时，a n ＞0，取n 0＝1，对任意正整数m ，S n 0·S n 0＋m ＜0均成立，但an 0·an 0＋1＜0，所以C 错误，故选C. 答案 (1)B (2)C基础巩固题组一、选择题1．(一题多解)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( ) A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4解析法一由题意可得⎩⎨⎧a 1＋（a 1＋6d ）＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3.法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3. 答案 C2．(2018·嘉兴测试)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1S 4＝110，则S 3S 5＝( )A.25B.35C.37D.47解析设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得S 1S 4＝a 14a 1＋6d＝110，解得a 1＝d ，则S 3S 5＝3a 1＋3d 5a 1＋10d ＝25，故选A. 答案 A3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，如果当n ＝m 时，S n 最小，那么m 的值为( ) A ．10B ．9C ．5D ．4解析设等差数列{a n }的公差为d ，则S 11＝11a 1＋55d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得a 1＝－33，d ＝7，由a n ＝7n －40<0得n ≤5，即该数列的前5项是负数，从第6项开始是正数，则前5项的和最小，即m ＝5. 答案 C4．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )A ．a 1＋a 101＞0B ．a 2＋a 100＜0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51解析由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝0. 答案 C5．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A ．10B ．20C ．30D ．40解析设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n ，解得n ＝5，故这个数列的项数为10. 答案 A6．(2015·浙江卷)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A ．a 1d >0，dS 4>0 B ．a 1d <0，dS 4<0 C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0解析 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )·(a 1＋7d )，整理得a 1＝－53d ，∴a 1d ＝－53d 2<0(d ≠0)，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d 3，∴dS 4＝－2d 23<0，故选B. 答案 B 二、填空题7．(2018·金华四校联考)设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋bn ＋c (b ，c 为常数，n ∈N *)，若a 2＋a 3＝4，则c ＝________，b ＝________．解析 ∵数列{a n }是等差数列，且前n 项和S n ＝n 2＋bn ＋c ，∴c ＝0，则S n ＝n 2＋bn ，又a 2＋a 3＝S 3－S 1＝9＋3b －1－b ＝4，∴b ＝－2. 答案 0 －28．已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n－1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 61＝________．解析由已知S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，所以{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，所以a 61＝S 61－S 60＝1212－1192＝480. 答案 4809．(2017·慈溪统考)设等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足a 8>0，a 8＋a 9<0，则S n >0的最大n 是________；数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1<n <15)中最大的项为第________项．解析 ∵a 8>0，a 8＋a 9<0，∴S 15＝（a 1＋a 15）·152＝2a 8·152＝15a 8>0，而S 16＝（a 1＋a 16）·162＝（a 8＋a 9）·162＝8(a 8＋a 9)<0，∴使S n >0的最大n 为15.∵a 8>0，a 9<0，∴S 8最大，且a 8为{a n }的最小正数项，a 9，a 10，…均小于零，所以当9≤n <15时，S n a n 均小于零，当n ＝8时，S na n最大，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1<n <15)的最大值是第8项．答案 15 810．(一题多解)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________．解析法一由已知得，a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，因为数列{a n }为等差数列，所以d ＝a m ＋1－a m ＝1，又因为S m ＝m （a 1＋a m ）2＝0，所以m (a 1＋2)＝0，因为m ≠0，所以a 1＝－2，又a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2，解得m ＝5. 法二因为S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝na 1＋n （n －1）2，得⎩⎪⎨⎪⎧ma 1＋m （m －1）2＝0， ①（m －1）a 1＋（m －1）（m －2）2＝－2. ②由①得a 1＝1－m2，代入②可得m ＝5.法三因为数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．所以S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0，解得m ＝5，经检验为原方程的解．答案 5 三、解答题11．(2017·全国Ⅱ卷)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2. (1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.解 (1)设{a n }公差为d ，{b n }公比为q ，由等差数列、等比数列的通项公式可得⎩⎨⎧－1＋d ＋q ＝2，－1＋2d ＋q 2＝5解得⎩⎨⎧d ＝1，q ＝2，或⎩⎨⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，故{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由已知得⎩⎨⎧－1＋d ＋q ＝2，1＋q ＋q 2＝21，解得⎩⎨⎧q ＝4，d ＝－1或⎩⎨⎧q ＝－5，d ＝8. ∴当q ＝4，d ＝－1时，S 3＝－6；当q ＝－5，d ＝8时，S 3＝21.12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． (1)证明由题设知，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1. 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)解由题设知，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1.由2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．能力提升题组13．(2018·杭州模拟)设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和．若正整数i ，j ，k ，l 满足i ＋l ＝j ＋k (i ≤j ≤k ≤l )，则( ) A ．a i a l ≤a j a k B ．a i a l ≥a j a k C ．S i S l ＜S j S kD ．S i S l ≥S j S k解析不妨取i ，j ，k ，l 分别为1，2，3，4，则a 1a 4－a 2a 3＝－2d 2≤0， ∴a 1a 4≤a 2a 3，又S 1S 4－S 2S 3＝－2(a 1＋34d )2－158d 2≤0， ∴S 1S 4≤S 2S 3，即A 正确．答案 A14．(2016·浙江卷)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列解析 S n 表示点A n 到对面直线的距离(设为h n )乘以|B n B n －1|长度一半，即S n ＝12h n |B n B n －1|，由题目中条件可知|B n B n －1|的长度为定值，过A 1作垂直得到初始距离h 1，那么A 1，A n 和两个垂足构成等腰梯形，则h n ＝h 1＋|A 1A n |tan θ(其中θ为两条线所成的锐角，为定值)，从而S n ＝12(h 1＋|A 1A n |tan θ)|B n B n ＋1|， S n ＋1＝12(h 1＋|A 1A n ＋1|)|B n B n ＋1|，则S n ＋1－S n ＝12|A n A n ＋1||B n B n ＋1|tan θ，都为定值，所以S n ＋1－S n 为定值，故选A. 答案 A15．(2018·丽水测试)已知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫f （n ）n 是等差数列，f (1)＝2，f (2)＝6，则f (n )＝________，数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )，a 1＝1，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫11＋a n 的前n 项和为S n ，则S 2 015＋1a2 016＝________．解析设公差为d ，由题意得d ＝f （2）2－f （1）1＝3－2＝1，∴f （n ）n ＝2＋(n －1)·1⇒f (n )＝n 2＋n ，a n ＋1＝f (a n )＝a 2n ＋a n ＝a n (1＋a n )⇒1a n ＋1＝1a n （1＋a n ）＝1a n－11＋a n ⇒11＋a n ＝1a n －1a n ＋1，∴S n ＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝1a 1－1a n ＋1⇒S n ＋1a n ＋1＝1a 1＝1，∴S 2 015＋1a 2 016＝1. 答案 n 2＋n 116．在数列{a n }中，a 1＝－5，a 2＝－2，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2(n ∈N *)，若对于任意n ∈N *，A (n )，B (n )，C (n )成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和．解 (1)根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列． ∴A (n )＋C (n )＝2B (n )，整理得a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝－2＋5＝3， ∴数列{a n }是首项为－5，公差为3的等差数列， ∴a n ＝－5＋3(n －1)＝3n －8. (2)|a n |＝⎩⎨⎧－3n ＋8，n ≤2，3n －8，n ≥3，记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ≤2时，S n ＝n （5＋8－3n ）2＝－3n 22＋132n ；当n ≥3时，S n ＝7＋（n －2）（1＋3n －8）2＝3n 22－132n ＋14，综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋132n ，n ≤2，32n 2－132n ＋14，n ≥3.17．在公差不为0的等差数列{a n }中，a 3＋a 10＝15，且a 2，a 5，a 11成等比数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ＋1a n ＋1＋…＋1a 2n －1，证明：12≤b n ＜1.(1)解设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎨⎧a 1＋2d ＋a 1＋9d ＝15，（a 1＋4d ）2＝（a 1＋d ）（a 1＋10d ）. 注意到d ≠0，解得a 1＝2，d ＝1. 所以a n ＝n ＋1.(2)证明由(1)可知b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ， b n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋2.因为b n ＋1－b n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2＞0，所以数列{b n }单调递增．所以b n ≥b 1＝12.又b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ≤1n ＋1＋1n ＋1＋…＋1n ＋1＝n n ＋1＜1，因此12≤b n ＜1.第3节等比数列及其前n 项和最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母。

《高三数学数列复习》课件

详细描述
数列的周期性是指数列中某一段数字按照一定的规律重复出现。对称性是指数列中对应位置的数字相等或互为相反数。奇偶性是指数列中所有项的奇数位置和偶数位置的数字分别具有相同的奇偶性。此外，还有单调性、有界性等性质。
2023
PART 02
等差数列
REPORTING
等差数列的定义
总结词
理解等差数列的基本概念
数列在物理学中用于描述周期性现象和波动，如简谐振动的周期和波动方程的解。
数列在计算机科学中用于数据压缩和加密算法，如哈希函数和RSA算法。
生物学
数列在生物学中用于研究生物种群的增长和变化规律，如指数增长和逻辑增长模型。
2023
PART 05
数列的复习题及解析
REPORTING
基础题
总结词
2023
PART 03
等比数列
REPORTING
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的比值都相等。
详细描述
等比数列是一种有序的数字序列，其中任意两个相邻项的比值都相等。这个比值被称为等比数列的公比，通常用字母q表示。在等比数列中，第一项是首项，记作a1，公比q
等比数列的求和公式是用来计算等比数列中所有项的和的数学表达式。
详细描述
等比数列的求和公式有两种形式，一种是当公比q≠1 时，等比数列的和S=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中a1是首项，q是公比，n是项数；另一种是当公比q=1时，等比数列的和S=n*a1，其中a1是首项，n是项数。这个公式可以用来计算等比数列中所有项的和。
2023
PART 04
数列的应用
REPORTING

高考数学总复习课件第6章数列

北师大版
解得 ad1＝＝－9，2.
∴Sn＝na1＋nn2－1d＝9n－(n2－n)＝10n－n2，
第6章教师备课平台
高考数学总复习
则Snn＝10－n，
∵nS＋n＋11 －Snn＝－1，
北
∴数列Sn是以 n
9
为首项，公差为－1
的等差数列．
师大版
则 Tn＝n·[9＋210－n]＝－12n2＋129n
北师大
版
数，
∴a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…，且当 n≤4 时，an<1；当 n>4 时，an>1， ∴最大项为 a5＝3，最小项为 a4＝－1.
第6章教师备课平台
高考数学总复习
四、定义的应用深刻理解等差、等比数列的定义，能正确运用定义和等差、等比数列的性质，是学好本板块的关键．在正确理解定义的基
值．
北
师
[分析] 列方程组可求得 Sn，继而求得 Tn，把 Tn 看
大版
成关于自变量 n 的函数来求最大值即可．
第6章教师备课平台
高考数学总复习
[解析] 设等差数列{an}公差为 d，则 Sn＝na1＋12n(n－1)d.
∵S7＝21，S15＝－75，
∴715a1a＋1＋211d0＝5d＝21，－75，即aa11＋＋37dd＝＝－3，5，
②
北师大版
第6章教师备课平台
高考数学总复习
又由 a2＋S2＝2，得 a2＝34，b2＝a2－a1＝14，
于是bb21＝21.所以 bnb＋n 1＝21(n∈N＋)．
北
因此，数列{bn}是等比数列，公比 q＝12，通项公式为 bn＝

数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解高三数学.pdf

Sn ，其中 a1 、d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，
即知 3 求 2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，
a − 2d, a − d, a, a + d, a + 2d … （公差为 d ）；偶数个数成等差，可设为 … ，
2
值。（答：前 13 项和最大，最大值为 169）；（2）若{an} 是等差数列，首项 a1 0, a2003 + a2004 0 ， a2003 a2004 0 ，则使前 n 项和
Sn 0 成立的最大正整数 n 是
（答：4006）
（3）在等差数列 an 中，a10 0, a11 0 ，且 a11 | a10 | ，S n 是其前 n 项和，则（）
如(1)等差数列{an} 中， a10 = 30 ， a20 = 50，则通项 an =
（答： 2n +10 ）；
（2）首项为-24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：
8 d 3） 3
3、等差数列的前
n
和：
Sn
=
n(a1 + 2
an )
，
Sn
=
na1
+
n(n −1) 2
a −3d, a − d, a + d, a + 3d ,…（公差为 2 d ）
5、等差数列的性质：
（1）当公差 d 0 时，等差数列的通项公式 an = a1 + (n −1)d = dn + a1 − d 是关于 n 的一
次函数，且斜率为公差
d

高三数列复习讲义

[数列的通项公式]⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n nn [数列的前n 项和]n n a a a a S ++++= 3211n①定义法：1n n a a d +-=是常数*()n N ∈⇔数列{}n a 是等差数列； ②通项公式法：(,)n a kn b k b =+是常数⇔数列{}n a 是等差数列；③前n 项和法：数列{}n a 的前n 项和222(,0)n An Bn A B B S =++≠是常数,A ⇔数列{}n a 是等差数列； ④等差中项法：*212()n n n n N a a a +++=∈⇔数列{}n a 是等差数列； 2、等差数列的通项公式的推广和公差的公式：*()(,)n m a a n m d n m N =+-∈*(,,)n ma a d n m N n m n m-⇒=∈≠-；3、若A 是a 与b 的等差中项2A a b ⇔=+4、若数列{}n a ，{}n b 都是等差数列且项数相同，则{},{},{},{}n n n n n n n kb a b a b pa qb +-+都是等差数列；5、等差数列{}n a 中，若项数成等差数列，则对应的项也成等差数列；6、等差数列{}n a 中，隔相同的项抽出一项所得到的数列仍为等差数列；7、若数列{}n a 是等差数列，且项数*,,,(,,,)m n p q m n p q N ∈满足m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+，也就是： =+=+=+--23121n n na a a a a a ，如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ++---112,,,,,,12321反之也成立；当p q =时，2m n p a a a +=，即p m n a a a 是和的等差中项；8、若数列{}n a 是等差数列的充要条件是前n 项和公式()n S f n =，是n 的二次函数或一次函数且不含常数项，即222(,0)n An Bn A B B S =++≠是常数,A ；9、若数列{}n a 的前n 项和2(,)n An Bn C A B s =++≠是常数,C 0，则数列{}n a 从第二项起是等差数列；10、若数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，则{}n Sn也是等差数列，其首项和{}n a 的首项相同，公差是{}n a 公差的12；11、若数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，其前n 项和分别为,n n S T ，则2121n n n n a S b T --=； 12、若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为,,x d x x d -+；若四个数成等差数列，则通常可设这四个数分别为3,,,3x d x d x d x d --++；13、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且234,,,k k k k S S S S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅分别为数列{}n a 的前k 项,2k 项,3k 项,4k项,……的和，则k S ，k k S S -2，k k S S 23-……………成等差数列（等差数列的片段和性质）；如图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++14、等差数列{}n a 中，若项数n 为奇数，设奇数项的和和偶数项的和分别为S S 奇偶，，则11S n S n +=-奇偶；若项数n 为偶数，221nn a SS a =+奇偶；15、在等差数列{}n a 中，若公差0d >，则等差数列{}n a 为递增数列；若公差0d <，则等差数列{}n a 为递减数列；若公差0d =，则等差数列{}n a 为常数列； 16、有关等差数列{}n a 的前n 项和为n S 的最值问题：〖1〗何时存在最大值和最小值① 若10,0a d ><，则前n 项和为n S 存在最大值 ② 若10,0a d <>，则前n 项和为n S 存在最小值〖2〗如何求最值① 方法一：（任何数列都通用）通过100n n a a +≥⎧⎨≤⎩解出n 可求前n 项和为n S 的最大值；通过100n n a a +≤⎧⎨≥⎩解出n 可求前n 项和为n S 的最小值；② 方法二：利用等差数列前n 项和n S 的表达式为关于n 的二次函数且常数项为0（若为一次函数，数列为常数列，则前n 项和n S 不存在最值）,利用二次函数求最值的方法进行求解；有以下三种可能：若对称轴n 正好取得正整数，则此时n 就取对称轴；若对称轴不是正整数，而是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 取这两个靠近对称轴的相邻的两个整数；若对称轴即不是正整数，又不是靠近对称轴的相邻的两个整数的中点值，则n 就取靠近对称轴的那个正整数； ③ 利用等差数列的相关性质求解17、用方程思想处理等差数列中求相关参数问题，对于1,,,,n n a n S a d 这五个量，知任意三个可以求出其它的两个，即“知三求二”1、对等比数列定义的理解（1）是从第二项开始，每一项与前一项的比（2）每一项与前一项的比是同一个常数，且这个常数不为0 （3）等比数列中任何一项都不会为0 （4）符号语言的描述：若数列{}n a 中满足1n na q a +=（不为0的常数），则数列{}n a 为等比数列； 2、当且仅当两个数a 和b 同号是才存在等比中项，且等比中项为G =3、若,,a G b 成等比数列，则2G ab =4、判断给定的数列{}n a 是等比数列的方法（1）定义法：1n naq a +=（不为0的常数）⇔数列{}n a 为等比数列；（2）中项法：221n n n a a a ++=⇔数列{}n a 为等比数列；（3）前n 项和法：数列{}n a 的前n 项和=A-Aq n n S （A 是常数，0,0,1A q q ≠≠≠）⇔数列{}n a 为等比数列；5、等比数列通项公式的推广：若{}n a 为等比数列，则*(,)n m n m a a q n m N -=∈6、若数列{}n a 是等比数列，且项数*,,,(,,,)m n p q m n p q N ∈满足m n p q +=+，则m n p q a a a a =，反之也成立；也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n na a a a a a 。

高三数学第一轮复习数列知识点很全.docx

高三数学第一轮复习——数列一、知识梳理数列概念1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项 .2. 通项公式：如果数列an的第 n 项与序号之间可以用一个式子表示, 那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即 a nf (n) .3. 递推公式：如果已知数列a n 的第一项（或前几项），且任何一项 a n 与它的前一项 a n 1 （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即a n f (a n 1 ) 或 a n f (a n 1, a n 2 ) ，那么这个式子叫做数列a n 的递推公式 . 如数列 a n 中， a 1 1, a n 2a n 1，其中 a n 2a n 1 是数列 a n 的递推公式 . 数列的前 n 项和与通项的公式4.① S n a 1 a 2a n ； ② a nS 1 (n 1)S n.S n 1 (n 2)5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列 .①递增数列 : 对于任何 n N , 均有 a n 1 a n .②递减数列 : 对于任何nN , 均有 a n 1a n .③摆动数列 : 例如 :1,1, 1,1, 1, .④常数数列 : 例如 :6,6,6,6, .⑤有界数列 : 存在正数 M使a nM , nN.⑥无界数列 : 对于任何正数M ,总有项a n 使得 a n M .等差数列1. 等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数称为等差数列的公差 .d ，这个数列叫做等差数列，常数 d2. 通项公式与前 n 项和公式⑴通项公式a na 1 (n 1) d ，a 1 为首项， d 为公差 .⑵前 n 项和公式S nn(a 1a n ) 或 S n na 11n(n 1) d .223. 等差中项如果 a, A, b 成等差数列，那么A 叫做 a 与 b 的等差中项 .即： A 是 a 与 b 的等差中项2 A a ba ， A ，b 成等差数列 .4. 等差数列的判定方法⑴定义法： a n 1a n d （ nN ， d 是常数）a n 是等差数列；⑵中项法：2a n 1a na n 2 ( nN )a n是等差数列 .5. 等差数列的常用性质⑴数列a n 是等差数列，则数列 a n p 、 pa n（ p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列 a n中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n , a n k , a n2k, an 3k ,为等差数列，公差为kd .⑶nm( ) a n an b a bS n an 2bn (, b是常数，a 0)a an m d ；( ,是常数 ) ；a( , , ,q N) ，则man a paq ；⑷若m n p q m n pa⑸若等差数列a n的前 n 项和 S n ，则S n 是等差数列；n⑹当项数为2n (nN ) ，则偶奇S偶a n 1 ；a nS奇当项数为 2n1(n N ) ，则奇偶a n , S 偶 n 1 .S SS 奇 n等比数列1. 等比数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数 q( q 0) ，这个数列叫做等比数列，常数 q 称为等比数列的公比 .2. 通项公式与前 n 项和公式 ⑴通项公式： an a 1q n1 ， a 1为首项， q 为公比 .⑵前 n 项和公式：①当 q1时，S nna 1②当 q 1 时， S na 1 (1 q n ) a 1 a n q .1 q 1 q3. 等比中项如果 a, G,b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 .即： G 是 a 与 b 的等差中项a ， A ，b 成等差数列G 2a b .4. 等比数列的判定方法⑴定义法：a n 1q （n N ， q0是常数）a n是等比数列；a n2a n a n 2 (n N) 且 a n 0a n⑵中项法： a n 1是等比数列 .5. 等比数列的常用性质⑴数列 an 是等比数列，则数列 pa n 、 pa n（ q0 是常数）都是等比数列；⑵在等比数列 a n 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 a n , a n k , a n 2k , a n 3k ,为等比数列，公比为q k .⑶ a n a m qn m(n, m N )( , , , q N) ，则 a a na p a q ；⑷若⑸若等比数列a n 的前 n 项和 S n ，则 S k 、 S 2k S k 、S 3 k S 2 k 、 S 4 kS 3k 是等比数列 .二、典型例题A 、求值类的计算题（多关于等差等比数列）1）根据基本量求解（方程的思想）1、已知 S n 为等差数列 a n 的前 n 项和， a 49, a 9 6, S n 63 ，求 n ；2、等差数列a n 中， a 4 10 且 a 3， a 6， a 10 成等比数列，求数列 a n 前 20 项的和 S 20 ．3、设 a n 是公比为正数的等比数列，若 a 1 1, a 5 16 ，求数列 a n 前 7 项的和 .4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为 37 ，中间两数之和为 36 ，求这四个数 .2）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知 S n 为等差数列a n 的前 n 项和， a 6 100 ，则 S 11；2 、设 S n 、 T n 分别是等差数列a n 、 a n 的前 n 项和， S n7n2 ，则 a5 .T n n 3 b 5 3、设 S n 是等差数列 a n 的前 n 项和，若a 55,S9（）a 39S 54 、等差数列 { a n } , {b n } 的前 n 项和分别为 S n , T n ,若S n2n ,则 a n=（）T n 3n 1 b n5 、已知 S n 为等差数列 a n 的前 n 项和， S nm, S m n(n m) ，则 S m n.6、在正项等比数列 a n 中， a 1a 5 2a 3a 5 a 3a 7 25 ，则 a 3 a 5_____ __。

知识要点高三数学总复习—数列

a n 1 （P 1）an Pa n 1 .
④由选代法推导结果： c1
r ，c2 a1
r ， an c 2 P n 1 c1 （ a1
r ）Pn 1
r .
1P
P1
P1
1P
6. 几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前 n 项和为 Sn ，在 d 0 时，有最大值 . 如何确定使 Sn 取最大值时的 n 值，有两种方法：
1) 2 n ,...
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，
公差是两个数列公差 d1，d 2 的最小公倍数 .
k2 倍 Sk , S2k Sk , S3k
②若等差数列的项数为 2 n n N
，则 S偶 S 奇
nd
S
，
奇
S偶
an ； an 1
S2k ... ；
③若等差数列的项数为 2n 1 n N ，则 S2 n 1 2n 1 a n ，且 S奇 S偶 a n ， S奇 n
S偶 n 1
代入 n到 2n 1得到所求项数 .
Sn
a1 1 qn
a1 an q ( q 2)
1q
1q
a m an a p aq (m, n, p, q N * , m n p q) ⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法：
① an an 1 d (n 2, d为常数 ) ②2 an an 1 an 1( n 2 ) ③ an kn b ( n, k 为常数 ).
⑵银行部门中按复利计算问题 . 例如：一年中每月初到银行存 a 元，利息为 r ，每月利息按复利计算，则每
月的 a 元过 n 个月后便成为 a(1 r ) n 元. 因此，第二年年初可存款：