直线方程(知识整理)
直线与方程知识点归纳
直线与方程知识点归纳
1. 直线的定义和性质
直线是平面上两个不同点之间的所有点的集合。直线具有以下性质： - 直线没有宽度和长度，只有方向 - 直线上的任意两点可以确定一条直线 - 直线可以延伸无限远
2. 直线的方程
直线可以用方程来表示。常见的直线方程有三种形式：点斜式、斜截式和截距式。
2.1 点斜式
点斜式方程的形式为：
y - y1 = m(x - x1)
其中(x1, y1)是直线上的一点，m是直线的斜率。
2.2 斜截式
斜截式方程的形式为：
y = mx + b
其中m是直线的斜率，b是直线在 y 轴上的截距。
2.3 截距式
截距式方程的形式为：
Ax + By = C
其中A、B和C是常数，且A和B不同时为0。
3. 直线的斜率
直线的斜率描述了直线的倾斜程度。斜率可以通过两点之间的坐标计算得到，公式如下：
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点。
直线的斜率还可以根据直线的方程得到。对于点斜式和斜截式方程，斜率即为方程中的m值。对于截距式方程，斜率可以通过以下公式计算：
m = -A / B
4. 直线的截距
直线的截距是指直线与坐标轴的交点。直线的截距可以通过直线的方程得到。
对于斜截式方程，直线与 x 轴的截距为(b, 0)；直线与 y 轴的截距为(0, b)。
对于截距式方程，直线与 x 轴的截距为(C/A, 0)；直线与 y 轴的截距为(0,
C/B)。
5. 直线的平行和垂直关系
两条直线平行的条件是它们的斜率相等。如果直线的斜率为m1，另一条直线的斜率为m2，则两条直线平行的条件为m1 = m2。
直线与方程知识点及公式
直线与方程知识点及公式
一、直线知识点
1、定义
在平面直角坐标系中，两点间的连线称为直线（一般用符号l表示）。
2、直线的几何性质
（1）直线总是由两个点确定，可用两点式表示，如：l：(x1，y1)，(x2，y2)；
（2）直线总是由斜率和一个点确定，可用斜率-截距法表示，如：l: y = kx + b；
（3）直线总是由一条投影方程确定，可用平面投影法表示，如：
l:Ax+By+C=0；
（4）直线总是由一个点和法向量确定，可用向量方程表示，如：
l:(x-x0，y-y0)⊥(a，b)。
3、直线的运算
（1）两直线的交点：
若两条直线l1和l2的斜率不同，则这两条直线一定有交点（即使以
斜率-截距法表示的两条直线的斜率相同但截距不同，仍有交点），设其
交点为O，则有：
l1：y=k1x+b1；
l2：y=k2x+b2；
O(x0，y0)，则有：
x0=(b2-b1)/(k1-k2)，y0=k1x0+b1；
若两条直线l1和l2的斜率相同，则这两条直线要么重合，要么平行（即使以斜率-截距法表示的两条直线的截距相同但斜率不同，仍有平行），则没有交点；
（2）直线的平行和垂直
若两条直线的斜率分别为k1和k2，则：
两直线平行当且仅当k1=k2；
直线与方程知识点总结
直线与方程知识点总结
一、直线的表示
1、比例表达式：对于任意的两个不同的点A(x1,y1)与B(x2,y2)，它们所连成的直线上任意的一点P(x,y)都满足比例关系：
$$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$$
2、斜截式：也叫斜率表达式：对于任意的两个不同的点A(x1,y1)与B(x2,y2)，它们所连成的直线可用如下斜率表达式：
$$y-y_1=k(x-x_1)$$
其中，k为斜率，可以根据两点A(x1,y1)与B(x2,y2)，计算得出：$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
3、标准方程：直线可以用标准方程表达：
$$Ax+By+C=0$$
其中，A、B、C可以根据两点A(x1,y1)与B(x2,y2)，计算得出：
$$A=y_2-y_1,B=x_1-x_2,C=x_2y_1-x_1y_2$$
二、方程的表示
1、一元一次方程：
一元一次方程可以按如下形式表示：
$$Ax+B=0$$
其中，A、B为常数，A≠0，解析解可以表示为：
$$x=-\frac{B}{A}$$
2、一元二次方程：
一元二次方程可以按如下形式表示：
$$Ax^2+Bx+C=0$$
其中，A、B、C为常数，A≠0，解析解可以表示为：$$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$$
3、二元一次方程：
二元一次方程可以按如下形式表示：
$$Ax+By+C=0$$
其中，A、B、C为常数，解析解可以表示为：
$$x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A}$$
直线与方程的知识点总结
直线与方程的知识点总结
直线与方程的知识点总结
直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0180
(2)直线的斜率
①定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时，。当时，;当时，不存在。
②过两点的直线的斜率公式：
注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的`斜率不存在，倾斜角为90
(2)k与P1、P2的顺序无关;
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程
①点斜式：
直线斜率k，且过点
注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
③两点式：()直线两点，
④截矩式：
其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
⑤一般式：(A，B不全为0)
⑤一般式：(A，B不全为0)
注意：○1各式的适用范围
○2特殊的方程如：平行于x轴的直线：
(b为常数);平行于y轴的直线：
(a为常数);
(4)直线系方程：即具有某一共同性质的直线
(一)平行直线系
平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)
(二)过定点的直线系
(ⅰ)斜率为k的直线系：，直线过定点;
直线方程知识点
直线方程知识点
1、一般式：适用于所有直线
Ax+By+C=0(其中A、B不同时为0)
2、点斜式：知道直线上一点(x0，y0)，并且直线的斜率k存在，则直线可表示为
y-y0=k(x-x0)
当k不存在时，直线可表示为
x=x0
3、斜截式：在y轴上截距为b(即过(0，b))，斜率为k的直线
由点斜式可得斜截式y=kx+b
与点斜式一样，也需要考虑K存不存在
4、截距式：不适用于和任意坐标轴垂直的直线
知道直线与x轴交于(a，0)，与y轴交于(0，b)，则直线可表示为
bx+ay-ab=0
特别地，当ab均不为0时，斜截式可写为x/a+y/b=1
5、两点式：过(x1，y1)(x2，y2)的直线
(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)(斜率k需存在)
6、法线式
Xcosθ+ysinθ-p=0
其中p为原点到直线的距离，θ为法线与X轴正方向的夹角
7、点方向式(X-X0)/U=(Y-Y0)/V
(U，V不等于0，即点方向式不能表示与坐标平行的.式子)
8、点法向式
a(X-X0)+b(y-y0)=0
温馨提示：在空间直角坐标系中，用两个表示平面的三元一次方程联立，作为它们相交所得直线的方程。
直线方程知识点总结
直线方程知识点总结
一、直线基本知识
1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角1 关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ、与x轴相交; ⅱ、x轴正向; ⅲ、直线向上方向、2 直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为、3
倾斜角的范围、4 ；（2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为的直线斜率不存在。②经过两点（）的直线的斜率公式是（）③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。
2、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有。特别地，当直线的斜率都不存在时，的关系为平行。（2）两条直线垂直如果两条直线斜率存在，设为，则注：两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，互相垂直。
二、直线的方程
1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式为直线上一定点，为斜率不包括垂直于x轴的直线斜截式为斜率，是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线两点式是直线上两定点不包括垂直于x轴和y轴的直线截距式是直线在x轴
上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距不包括垂直于x轴和y 轴或过原点的直线一般式，，为系数无限制，可表示任何位置的直线注：过两点的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若，直线垂直于x轴，方程为；（2）若，直线垂直于y轴，方程为；（3）（3）若，直线方程可用两点式表示）
2、线段的中点坐标公式若两点，且线段的中点的坐标为，则
直线方程知识点归纳总结高中
直线方程知识点归纳总结高中直线方程是高中数学学科中重要的知识点之一，它在解析几何和代数中起着重要的作用。本文将对高中直线方程的相关内容进行归纳总结，包括直线的一般方程、点斜式方程、两点式方程和截距式方程等几种常见形式。同时，还将对直线的斜率和截距的概念进行解释，并提供相关的例题进行说明。
一、直线的一般方程
直线的一般方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A和B不同时为0。这种形式的直线方程比较通用，可以表示任意一条直线。在求解问题时，可以通过已知条件将直线方程转化为一般方程的形式，然后进一步进行计算。
例如，已知直线过点P(2, 3)且斜率为2，我们可以先利用斜率公式求得直线的斜率k=2。然后，代入点斜式方程y - y₁ = k(x - x₁)中的点P的坐标，得到直线的点斜式方程为y - 3 = 2(x - 2)。最后，将该点斜式方程转化为一般方程的形式，得到2x - y - 1 = 0。
二、直线的点斜式方程
点斜式方程形式为y - y₁ = k(x - x₁)，其中(x₁, y₁)为直线上一点的坐标，k为直线的斜率。点斜式方程主要用于确定直线上一点和直线的斜率，通过已知条件和该点斜率可以确定直线方程。
例如，已知直线过点A(-1, 4)且斜率为-3，我们可以直接利用点斜式方程得到直线的方程为y - 4 = -3(x - (-1))，简化后为y = -3x + 1。
三、直线的两点式方程
两点式方程形式为(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)为直线上的两个点的坐标。两点式方程可以直接得到直
直线方程知识点总结
直线与方程知识点总结
一、直线基本知识
1、直线得倾斜角与斜率
（1)直线得倾斜角
①关于倾斜角得概念要抓住三点：
ⅰ、与x轴相交; ⅱ、ｘ轴正向；ⅲ、直线向上方向、
②直线与x轴平行或重合时,规定它得倾斜角为、
③倾斜角得范围、
④；
(2）直线得斜率
①直线得斜率就就是直线倾斜角得正切值，而倾斜角为得直线斜率不存在.
②经过两点()得直线得斜率公式就是（）
③每条直线都有倾斜角,但并不就是每条直线都有斜率。
2、两条直线平行与垂直得判定
（１）两条直线平行
对于两条不重合得直线，其斜率分别为,则有。
特别地,当直线得斜率都不存在时,得关系为平行。
（2)两条直线垂直
如果两条直线斜率存在，设为,则
注:两条直线垂直得充要条件就是斜率之积为—1,这句话不正确；由两直线得斜率之积为-１，可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直，斜率之积不一定为－1。如果中有一条直线得斜率不存在，另一条直线得斜率为0时,互相垂直。
二、直线得方程
１、直线方程得几种形式
x 轴,方程为;
（2）若,直线垂直于ｙ轴,方程为；
（3）（3)若,直线方程可用两点式表示）
2、线段得中点坐标公式
若两点,且线段得中点得坐标为,则
3、过定点得直线系
①斜率为且过定点得直线系方程为;
②过两条直线, 得交点得直线系方程为（为参数)，其中直线l2不在直线系中、
三、直线得交点坐标与距离公式
1、两条直线得交点
设两条直线得方程就是，两条直线得交点坐标就就是方程组得解，
若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就就是交点得坐标;
若方程组无解,则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之,亦成立。
直线方程有哪些知识点总结
直线方程有哪些知识点总结
一、直线方程的基本形式
1.1 直线方程的定义
直线方程是用数学语言描述平面上的直线的数学模型。直线方程可以用多种形式表示，但
最常见的形式是一般式和点斜式。
1.2 一般式
一般式是直线方程的一种常用形式，其一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是实数
且A和B不同时为0。
1.3 点斜式
点斜式是直线方程的另一种常用形式，其一般形式为y - y1 = m(x - x1)，其中(x1, y1)是直
线上的一个点，m是直线的斜率。
1.4 截距式
截距式是直线方程的另一种常用形式，其一般形式为x/a + y/b = 1或者x/a - y/b = 1，其
中a和b分别代表直线与x轴和y轴的截距。
1.5 斜截式
斜截式是直线方程的另一种常用形式，其一般形式为y = mx + c，其中m是直线的斜率，
c是直线与y轴的截距。
二、直线方程的常见性质
2.1 直线的斜率
直线的斜率是一个很重要的性质，它可以描述直线的倾斜程度。直线的斜率可以通过斜率
公式m = (y2 - y1)/(x2 - x1)来求得，其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个不同点。
2.2 直线的截距
直线与坐标轴的交点分别称为直线的截距。直线的截距可以通过截距式或者截距公式来求得。
2.3 直线的倾斜方向
直线的斜率可以告诉我们直线的倾斜方向，当斜率为正时，直线向上倾斜；当斜率为负时，直线向下倾斜；当斜率为零时，直线平行于x轴；当斜率不存在时，直线平行于y轴。
2.4 直线的平行和垂直关系
两条直线的斜率相等时，两条直线平行；两条直线的斜率互为相反数时，两条直线垂直。
直线方程相关知识点总结
直线方程相关知识点总结
一、直线的定义
直线是平面上的一个几何图形，它由无数个点组成，这些点都在同一条直线上。直线是最
简单的平面几何图形，也是最基本的图形之一。
在数学中，直线可以用数学语言和符号来描述。在笛卡尔坐标系中，直线可以表示为一元
一次方程。一元一次方程实际上描述了坐标系中的一条直线，因此，直线方程和一元一次
方程是密切相关的。
二、直线的方程
在笛卡尔坐标系中，一条直线可以用一元一次方程来表示。一元一次方程的一般形式为y = kx + b，其中k和b是常数，k称为直线的斜率，b称为直线的截距。斜率k表示直线
的倾斜程度，截距b则表示直线与y轴的交点。因此，一元一次方程y = kx + b就是一条
直线的方程。
1. 斜率
斜率是直线的一个重要属性，它描述了直线的倾斜程度。在数学中，直线的斜率可以用两
点的坐标来表示。设直线上有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则直线的斜率k可以表示为：
\[k = \frac{y2 - y1}{x2 - x1}\]
也可以表示为：
\[k = \frac{\Delta y}{\Delta x}\]
其中，Δy表示y2 - y1，Δx表示x2 - x1。斜率k的正负决定了直线的倾斜方向，如果k > 0，则直线向右上倾斜；如果k < 0，则直线向左下倾斜；如果k = 0，则直线平行于x轴；如果k不存在，则直线垂直于x轴。
2. 截距
截距是直线与y轴的交点，它描述了直线在y轴上的位置。在一元一次方程y = kx + b中，b就是直线的截距。当x = 0时，y = b，所以截距b就是直线与y轴的交点的纵坐标。
直线方程总结知识点
一、直线方程的概念
直线方程是描述平面上一条直线的数学关系式。通常情况下，直线方程可表示为y = kx + b，其中x和y分别表示直线上的点的横纵坐标，k表示直线的斜率，b表示直线的截距。直线方程可以用于描述直线的位置、方向等性质，是解决几何和代数问题的基本工具之一。
二、直线方程的常见形式
1.点斜式方程
点斜式方程是一种常见的直线方程形式，它的形式为y - y1 = k(x - x1)，其中(k,x1,y1)为直
线上的已知点，k为直线的斜率。点斜式方程直观地表示了直线斜率的概念，方便计算直
线的位置和方向。
2.斜截式方程
斜截式方程是另一种常见的直线方程形式，它的形式为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。斜截式方程直观地表示了直线截距的概念，方便计算直线与坐标
轴的交点。
3.截距式方程
截距式方程是直线的截距与坐标轴的关系式，它的形式为x/a + y/b = 1，其中a和b分别
表示直线在x轴和y轴上的截距。截距式方程可以直观地表示直线截距的性质，方便计算
直线的位置和方向。
三、直线方程的求解方法
1.根据已知点和斜率求解
如果已知直线上的一个点和斜率，可以使用点斜式方程来表示直线。首先找到直线上的一
个点(x1,y1)，然后用直线的斜率k计算出直线方程y = kx + b中的截距b，最终得到直线
方程。
2.根据已知点和截距求解
如果已知直线上的两个点，可以使用截距式方程来表示直线。首先根据已知的两点(x1,y1)
和(x2,y2)计算出直线的斜率k，然后再计算出直线的截距a和b，最终得到直线方程。
直线方程知识点总结
直线与方程知识点总结
一、直线基本知识 1、直线的倾斜角与斜率 1直线的倾斜角
① 关于倾斜角的概念要抓住三点：
ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00. ③ 倾斜角α的范围000180α≤<.
④ 0,900≥︒≤︒k α； 0,18090 k ︒︒α 2直线的斜率
①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为090的直线斜率不存在; ②经过两点),(),,(222111y x P y x P 21x x ≠的直线的斜率公式是1
21
2x x y y k --=21x x ≠ ③每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率; 2、两条直线平行与垂直的判定 1两条直线平行
对于两条不重合的直线12,l l ,其斜率分别为12,k k ,则有1212//l l k k ⇔=; 特别地,当直线12,l l 的斜率都不存在时,12l l 与的关系为平行; 2两条直线垂直
如果两条直线12,l l 斜率存在,设为12,k k ,则12121l l k k ⊥⇔=-
注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1,这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1,可以得出两直线垂直,反过来,两直线垂直,斜率之积不一定为-1;如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,12l l 与互相垂直;
二、直线的方程 1、直线方程的几种形式
注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示 不一定;1若2121y y x x ≠=且,直线垂直于x 轴,方程为1x x =； （2）若2121y y x x =≠且,直线垂直于y 轴,方程为1y y =； （3）3若2121y y x x ≠≠且,直线方程可用两点式表示 2、线段的中点坐标公式
直线的方程知识点总结
直线的方程知识点总结
1. 直线的一般方程
直线的一般方程一般形式为：Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数。
例如，2x + 3y - 5 = 0就是直线2x + 3y = 5的一般方程。
2. 直线的斜率截距方程
直线的斜率截距方程形式为：y = mx + c，其中 m 表示直线的斜率，c 表示直线与 y 轴的截距。
斜率（m）可以通过两点之间的坐标差值来求得。假设两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则斜率m = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
例如，过点 (2, 5) 和 (4, 9) 的直线的斜率为(9 - 5) / (4 - 2) = 2，截距可以通过取其中一个点的坐标代入方程来求得。
3. 直线的点斜式方程
直线的点斜式方程形式为：y - y1 = m(x - x1)，其中 (x1, y1) 是直线上的已知点，m 是直线的斜率。
通过已知斜率和一个点，可以得到直线的方程。例如，已知直线的斜率为 3，通过点 (2, 4)，直线的点斜式方程为y - 4 = 3(x - 2)。
4. 直线的截距式方程
直线的截距式方程形式为：x/a + y/b = 1，其中 a 和 b 分别为 x 轴和 y 轴的
截距。
通过截距式方程可以直接得到直线的截距。例如，直线过 x 轴的截距为 4，过y 轴的截距为 6，直线的截距式方程为x/4 + y/6 = 1。
5. 两条直线的相交性判断
两条直线相交的条件是它们的斜率不相等。
如果两条直线的斜率相等，则它们平行或重合。如果两条直线的斜率为 m1 和m2，且 m1 = m2，则它们重合；如果两条直线的斜率分别为 m1 和 m2，且m1 ≠ m2，则它们平行。
(完整版)直线方程知识点总结
(完整版)直线方程知识点总结直线方程知识点总结
直线方程是数学中的重要概念，我们可以通过直线方程来描述
直线的特征和性质。以下是直线方程的一些关键知识点总结：
1. 一般形式的直线方程
直线的一般形式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数，A和B不同时为0。这种形式的方程可以表示任意直线。
2. 斜率截距形式的直线方程
直线的斜率截距形式方程为y = mx + b，其中m是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距。通过斜率和截距，我们可以轻松地确定
直线的位置和形状。
3. 点斜式的直线方程
直线的点斜式方程为y - y₁ = m(x - x₁)，其中m是直线的斜率，(x₁, y₁)是直线上的一点。通过给定直线上的一点和斜率，可以轻
松地确定直线的方程。
4. 两点式的直线方程
直线的两点式方程为(x - x₁)/(x₂ - x₁) = (y - y₁)/(y₂ - y₁)，其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是直线上的两个点。通过给定直线上的两个点，可以轻松地确定直线的方程。
5. 向量法的直线方程
直线的向量法方程为r = a + t*ab，其中r是直线上一点的位置矢量，a是直线上的已知点的位置矢量，ab是直线的方向向量，t 是参数。通过给定直线上的一点和方向向量，可以轻松地确定直线的方程。
以上是直线方程的一些基本知识点总结。直线方程的选择取决于已知条件和问题的要求，可以根据具体情况选择合适的形式进行计算和分析。
直线与方程知识点归纳
直线与方程知识点归纳
直线是平面几何中的一种基本图形，它具有很多特殊的性质和重要的应用。直线与方程相关的知识点主要包括直线的方程的表示形式、直线的斜率和截距、直线的点斜式和一般式等。
一、直线的方程的表示形式
1.一般式：直线的一般式方程形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C都是实数，且A和B不能同时为零。
2.点斜式：直线的点斜式方程形式为y-y1=k(x-x1)，其中k是直线的斜率，(x1,y1)是直线上的一点。
3. 斜截式：直线的斜截式方程形式为y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直线的截距。
二、直线的斜率和截距
1.斜率：直线的斜率表示线的倾斜程度，可以用k表示。斜率等于直线上任意两点的纵坐标之差除以横坐标之差。如果直线过两点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，则直线的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)。
2.截距：直线的截距表示直线与y轴的交点在y轴上的纵坐标，可以用b表示。一条直线的斜率和截距唯一决定着这条直线。斜截式方程中的b就是直线的截距。
三、直线的点斜式
直线的点斜式方程形式为y-y1=k(x-x1)，其中k是直线的斜率，
(x1,y1)是直线上的一点。点斜式可以通过直线上的一点和斜率来表示直线的方程，方便求解和分析。
四、直线的一般式
1.一般式方程形式为Ax+By+C=0，其中A、B、C都是实数，且A和B 不能同时为零。
2.一般式方程可以用来表示任意一条直线，但表达方式较为复杂，一般在特定情况下使用，如直线的方程已知时。
五、直线的性质和应用
1.平行和垂直：两条直线平行的条件是它们的斜率相等；两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积等于-1
直线方程(直线方程完美总结 归纳)
直线方程
考点一 斜率与倾斜角
例1. 已知直线l ）. A . 60° B . 30° C . 60°或120° D . 30°或150°
例2.已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值.
考点二三点共线
例1.已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值．
考点三斜率范围
例1.已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l 与线段AB 始终有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.
例2. 已知实数x 、y 满足28,x y +=当2≤x ≤3时，求y
x
的最大值与最小值。
二、直线方程
考点四直线的位置关系
例1.已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，求m 的值，使得： （1）l 1和l 2相交；（2）l 1⊥l 2；（3）l 1//l 2；（4）l 1和l 2重合.
例2.已知直线1l 的方程为223,y x l =-+的方程为42y x =-，直线l 与1l 平行且与2l 在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程。
例3.ABC ∆的顶点(5,1),(1,1),(2,)A B C m -，若ABC ∆为直角三角形，求m 的值.
例4.已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数2log y x =的图象交于C 、D 两点.
（1）证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上. （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.
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直线方程（知识整理）.
一．基础知识回顾 （1）直线的倾斜角
一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤.
注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.
②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.
（2） 直线方程的几种形式
点斜式、截距式、两点式、斜截式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，
y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+b y
a x .
附直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线.
（3）两条直线的位置关系 10
两条直线平行
1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的
斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.
（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则
1l ∥212k k l =⇔，
且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠）
推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l . 20
两条直线垂直
两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件）
（4）两条直线的交角
①直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转
到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时2
1121tan k k k
k +-=θ.
②两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成
的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝
⎛⎥⎦
⎤2,0π，当
90≠θ，则
有2
11
21tan k k k k +-=
θ.
（5）点到直线的距离 ①点到直线的距离公式：
设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2
2
00B
A C By Ax d +++=
.
②两条平行线间的距离公式：
设两条平行直线)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++，它们之间的距离
2
2
21B
A C C d +-=
.
（6）对称问题：
①关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.
②关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.
若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.
③点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点.
注：①曲线、直线关于一直线b x y +±=对称的解法：y 换x ，x 换y . 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x –2对称曲线方程是f(y+2 ,x –2)=0.
②曲线C: f (x ,y )=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a – x, 2b – y)=0. 二．范例解析
例1．已知直线l 过点P(-1,1)且与A(-2, 3)、B(3,2)为端点的线段相交，试求直线l 倾斜角α的取值范围。
［思路］
1）分别求出直线PA 、PB 的斜率；
2）数形结合，利用正切函数的单调性求解。 ［破解］
1）先求出12,4
PA PB K K =-=
； 2）由图7-3知，满足题意的直线l 的斜率为1
,24
k k ≥
≤-。因为直线l 的倾斜角[0,)απ∈，而tan [0,),(,)22
y x ππ
π=在上分别是增函数，从而知
11tan tan 2tan tan 24422arc arc ππααααπ≥≤-⇒≤≤<≤-或或，
又知2
π
也满足条件，故倾斜角α取值范围为1
[tan ,tan 2].4
arc arc π-
［收获］
1）直线的斜率是判定两直线位置关系的重要依据； 2）数形结合思想方法是求解解析几何问题的重要方法之一；
3）已知斜率范围探求倾斜角的范围，最关键的一环是利用正切函数的单调性处理。 例2．∆ABC 的顶点(1,3),(2,1),(3,1)A B C --，试求∠A 平分线AT 所在直线方程。 ［思路］ 利用角平线性质∠CA T=∠BA T 结合到角公式求出直线AT 的斜率即可。 ［破解］ 如图7-1，由已知易求1,2AC AB K K ==-。由角平线的性质∠CA T=∠BAT
知AC 到AT 的角与AT 到AB 的角相等。11AT AC AB AT AT AC AT AB k k k k k k k k --=++即可求出1
6
AT k =-，从
而∠A 平分线AT 所在直线方程为：6190x y +-=
［收获］ 1）
充分利用平面几何性质将问题转化成解析几何中的有关问题是研究平面几何问题的关键。
2）
注意夹角与到角公式的区别，分清什么时候用夹角（或到角）公式，以免产生错解。
3）
处理有关几何问题最好作出图形增强直观效果，为寻找解题突破口提供依据。
例3．某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a ＞b ) 问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？