高等数学定积分试题

xn lim∫ dx = 0 n→∞ 1+ x 0
1
证二
1
1 1 n xn 1 x n n Q0 < < x ∴0 < ∫ dx < ∫ x dx = 1+ x n+1 1+ x 0 0 1 xn 令n → ∞,由夹逼定理得 lim ∫ dx = 0 n→∞ 1 + x 0
由广义积分中值定理
n 1
x 1 1 1 n ∫ 1 + xdx = 1 + ξ ∫ x dx = 1 + ξ ⋅ n + 1 0 0 1 1 Q| |≤ 1, 有界 lim =0 n→ ∞ n + 1 1+ξ
如果 f ( x ) 在[a , b]上连续，则积分上限的函数 上连续， 上具有导数， Φ( x ) = ∫a f ( t )dt 在[a , b]上具有导数，且它的导数 d x 是 Φ′( x ) = ∫a f (t )dt = f ( x ) (a ≤ x ≤ b) dx
x
上连续， 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续，则积分上限的函数
b a
牛顿—莱布尼茨公式 定积分的计算法 牛顿 莱布尼茨公式
b
∫a f ( x )dx = ∫α
β
f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )dt
b
换元积分公式
（2）分部积分法 ）
∫
b
a
udv = [uv ] − ∫ vdu
b a a
分部积分公式
利用对称区间上奇偶函数的性质简化 定积分的计算
广义积分
(1)无穷限的广义积分 无穷限的广义积分
b
b
a
由介值定理
∃ ξ ∈ [a , b ] 使
b
f (ξ ) =
∫ a
b
⇒m≤
∫ f ( x ) g( x )dx a ∫ g( x )dx a
b
b
≤M
f ( x ) g( x )dx
∫ g( x )dx a
b a
b
⇒ ∫ f ( x) g( x)dx = f (ξ )∫ g( x)dx
a
例3 证明 证一
x dx = 0 ∴lim∫ n→∞ 1 + x 0
1
n
x 证三 记I n = ∫ dx 1+ x 0
1 n
1
n
则In+1 = ∫
0
1
xn+1 1+ x
dx
1 ⇒ I n + I n+1 = ∫ x dx = n+1 0
I n+1 ≤ I n
2In+1 ≤ In + In+1
令n → ∞ ,由夹逼定理得
Φ( x ) = ∫a f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b]上的一个原函
数.பைடு நூலகம்
x
微积分基本公式
b
如果F (x)是连续函数
上的一个原函数， f (x)在区间[a, b]上的一个原函数，则
∫a f ( x)dx = F (b) − F (a)
（1）换元法 ）
∫
b
a
f ( x )dx = [F ( x )] .
2
则 F′(x) = 2 f (x)g(x)∫ f (t)g(t)dt− f 2(x)∫ g2(t)dt− g2(x)∫ f 2(t)dt
x
x
x
= ∫ 2 f ( x) g( x) f (t ) g(t ) − f 2 ( x) g2 (t ) − f 2 (t ) g2 ( x) dt ≤ 0
a
x
∫ ln f (x)dx ≤ ln∫ f (x)dx 0 0
1 n i ≤ lim ln ∑ f ( ) n→ ∞ n i =1 n
1
1
是凸函数） （ 因 f ( x ) 是凸函数） 1 1 n i = ln lim ∑ f ( ) = ln f ( x )dx ∫ n → ∞ n i =1 n
2
b b 2 2 ∴∫ f ( x)g( x)dx ≤ ∫ f ( x)dx⋅ ∫ g ( x)dx a a a b
2
x x 2 另证 记 F ( x ) = ∫ f (t ) g(t )dt − ∫ f (t )dt ⋅ ∫ g 2 (t )dt a a a x
x lim ∫ dx = 0 n→ ∞ 1 + x 0
1 ⇒ In ≤ 2n 1 n
例4 求极限 1 1 1 (1) lim[ ] + +L+ n→ ∞ n + 1 n+ 2 n+ n
n! (2) lim ln n→∞ n
n
解 ① I = lim[ n→ ∞
1
1 2 n 1+ 1+ 1+ n n n n 1 1 = lim ∑ ⋅ n→ ∞ i n i =1 1 + 1 n 1 dx = ln(1 + x ) 1 = ln 2 =∫ 0 1+ x 0 1 1 2 n ② I = lim ⋅ ln( ⋅ ⋅ L ) n→ ∞ n n n n
定积分 习题课
一、主要内容
问题1: 问题1:
曲边梯形的面积
问题2: 问题2:
变速直线运动的路程
存在定理
的 性 质 定 积 分
定积分
广义积分
计 定 积 分 的 算 法
牛顿牛顿-莱布尼茨公式
∫
b
a
f ( x)dx = F(b) − F(a)
二、内容提要
1 定积分的定义 定义的实质 几何意义 物理意义 2 可积和 可积的两个充分条件 可积的两个充分 充分条件 3 定积分的性质 b b b 线性性 ∫a [ f ( x ) ± g( x )]dx = ∫a f ( x )dx ± ∫a g ( x )dx 可加性 b f ( x)dx = c f ( x)dx + b f ( x)dx
x →0
x
⇒ (b − 1) a = 0
a = 0 或 b =1
故b =1
2
将 a = 0 代入知不合题意
x 2 ∴ lim = = 1, ⇒ a = 4 x →0 (1 − cos x ) a + x a
[ , 例10 设 f ( x)在 0,1]上连续 f ( x) ≥ α > 0
证明
证一 由定积分的定义 1 n 1 i ∫ ln f ( x )dx = lim ∑ n ln f ( n ) n→ ∞ i =1 0
1 n i lim ∑ f ( ) n→ ∞ n n i =1 1 n i −1 lim ∑ f ( ) n→ ∞ n n i =1
或
把数列极限问题转化为定积分 ∫ f ( x )dx 的计算问题
0
1
例7 证明 证明Cauchy-Schwarz不等式 不等式
b b 2 2 ∫ f ( x)g( x)dx ≤ ∫ f ( x)dx ⋅ ∫ g ( x)dx a a a b b 2
b
m(b − a ) ≤ ∫a f ( x )dx ≤ M (b − a ).
积分中值定理
上连续， 如果函数 f (x)在闭区间[a, b]上连续， 则在积分区间 a, b]上至少存在一个点 ， [ ξ
b a
使∫ f ( x)dx= f (ξ )(b − a)
(a ≤ ξ ≤ b)
积分中值公式
变上限定积分及其导数
b
b
∫a f ( x)dx = ∫a f ( x)dx+ ∫c f ( x)dx c−ε b = lim ∫a f ( x)dx+ lim ∫c+ε′ f ( x)dx ε ′→+0 ε →+0
三、典型例题
例1 求 ∫
π 2 0
b
c
b
sin x dx. sin x + cos x
π 2 0
sin x cos x 解 由I = 2 ∫ sin x +cos x dx, 设J = ∫0 sin x +cos x dx, π π 2 dx = , 则I + J = ∫ 0 2 π π sin x − cos x I − J = ∫2 dx= − 2 d(cos x + sin x) = 0. 0 sin x + cos x ∫0 sin x + cos x π π 即I = . 故得 2 I = , 4 2
0 解 这是 型未定式的极限 0 x2 I = lim =1 x → 0 ( b − cos x ) a + x
∴ lim(b − cos x ) a + x = 0
x →0
t2 ∫ a + t dt lim 0 =1 x→0 bx − sin x 由L’Hospital法则 法则
Q lim x 2 = 0
0
4 f ′( x 2 ) = lim x→0 f ( x ) − f ( 0) 3 + f ′( x ) x−0
4 x f ′( x ) = lim x → 0 3 f ( x ) + x f ′( x )
2
4 f ′( 0 ) = =1 3 f ′( 0 ) + f ′( 0 )
例9 试确定 a , b 的值使
例8
设 f ′( x2)连续 f (0) = 0, f ′(0) ≠ 0 ,
x
求
lim x→0
解 I = lim
x →0 x
∫ f (t)dt 0
2
x
2 xf ( x 2 )
∫ f (t)dt 0