1.2.1-3函数的值域教学设计

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高中数学函数集体备课教案

高中数学函数集体备课教案
课时安排：2课时
教学目标：
1. 了解函数的基本概念和性质；
2. 能够掌握函数的表示方法；
3. 掌握函数的运算规律；
4. 能够解决与函数相关的问题。

教学准备：
1. 教师准备：教案、教材、课件、教具等；
2. 学生准备：学习笔记、教材、书写工具等。

教学过程：
第一课时：
1. 引入：通过实例引导学生思考什么是函数；
2. 定义函数：向学生介绍函数的定义，包括定义域、值域、对应关系等；
3. 函数的表示方法：介绍函数的表示方法，包括公式、图像、表格等；
4. 函数的运算规律：讲解函数的四则运算规律，包括加法、减法、乘法、除法；
5. 练习：让学生完成几道与函数相关的练习题。

第二课时：
1. 函数的性质：讲解函数的奇偶性、单调性、周期性等性质；
2. 函数的图像：介绍函数的图像，包括平移、翻转等变换；
3. 特殊函数：讲解常见的函数形式，如一次函数、二次函数、指数函数等；
4. 应用：引导学生通过函数解决实际问题；
5. 总结复习：回顾本节课的重点知识点，做一次小结，并布置相关作业。

教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够对函数的基本概念和性质有一定了解，并能够熟练运用函数的表示方法和运算规律。

同时，通过应用题的训练，学生的解决问题的能力也将有所提高。

在未来的教学中，应该继续强调函数与实际问题的联系，引导学生将数学知识灵活应用于实际生活中。

函数的定义域与值域教案

函数的定义域与值域教学设计课题:函数的定义域和值域学科:数学授课教师: 数理19.4胡家华教材:高中必修1第一章第2节一、教学目标:1、知识目标:了解函数定义域和值域的定义，熟悉掌握简单函数定文域和值域的求法，会求抽象函数的定义域2、能力目标提高学生对函数工定义域、值域及相关问题的解题能力和运算能力，使学生准确而快速地求出函数定义域和值域3、情感目标通过由易到难的知识点层层递进和对各类题解题思路解法的不断运用掌握来提高学生的信心，二、教学重难点:求函数的定义域和值域，求抽象函数的定义域三、教学方法1.通过知识回顾引出新课，用学生熟悉的知识快速将学生的思绪从课间带回到课堂上来，同时也便于同学们更快的接受新知识，理解新概念。

2.通过提问和互动，使学生集中注意力，跟上老师的思路在思考和回答的过程中更好的理解和掌握新知识。

3.通过竞赛式随堂练习题，促进学生积极思考问题在解题的过程中不断巩固新知，并且让学生主动回答问题，加深同学的印象，同时提升学生的自信心。

四、教学过程1.知识回顾函数的概念：设A、B为非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称 f：A B为从集合A到集合B的一个函数记作：y=f（x），x∈A（其中X叫做函数的：自变量y叫做函数的函数值）2．新课引入定义域的概念：使函数有意义的自变量的取值范围，叫做函数的定义域。

值域的概念：函数值的集合，就叫做值域（明确“域”即集合，求函数的定义域值域时要表示成集合的形式）思考：上述函数y=f（x）的定义域是多少？f 那么值域呢？是否为B ？讨论得出，定义域为A ，值域不一定为B例: A B A C通过这个例子得出；f ：A →B ，也可以表示成： f ：A →C即：函数：定义域值域进而得出结论：（同时更好的理解定义域与值域的概率）函数的三要素：定义域、对应关系、值域俩个函数相等即：俩个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致。

函数的值域教案

函数的值域教案教案标题：函数的值域教案教案目标：1. 理解函数的值域的概念；2. 能够确定给定函数的值域；3. 能够解决与函数值域相关的问题。

教案步骤：引入（5分钟）：1. 引入函数的概念，解释函数的定义和符号表示；2. 引入函数的定义域和值域的概念，并解释二者的区别；3. 提出一个问题，例如：对于函数f(x) = x^2，我们如何确定它的值域？探究（15分钟）：1. 分组讨论：让学生分成小组，每组选择一个函数进行研究；2. 指导学生分析所选函数的定义域和值域；3. 引导学生思考如何确定函数的值域，例如通过绘制函数图像、寻找函数的最大值和最小值等方法；4. 指导学生应用所学方法确定各自函数的值域，并与其他小组分享结果。

总结（10分钟）：1. 收集各组的结果，让学生分享他们所确定的函数值域；2. 引导学生总结确定函数值域的方法，并强调重要的观察点，例如函数的最大值、最小值以及是否存在水平渐近线等；3. 提出一些挑战性问题，例如如何确定复杂函数的值域。

应用（15分钟）：1. 分发练习题，让学生在课堂上或课后完成；2. 引导学生应用所学方法解决练习题中的问题；3. 鼓励学生互相合作、讨论和解答问题；4. 督促学生检查答案，并解释他们的解题思路。

拓展（5分钟）：1. 提出一个拓展问题，例如：如何确定反函数的值域？2. 引导学生思考并讨论拓展问题；3. 总结课堂内容，并鼓励学生在日常生活中应用所学知识。

教案评估：1. 观察学生在小组讨论中的参与程度；2. 检查学生在练习题中的解答情况；3. 评估学生对于函数值域概念的理解程度；4. 通过课堂讨论和问题解答，评估学生解决函数值域相关问题的能力。

教案扩展：1. 引导学生研究更复杂的函数，并确定其值域；2. 引导学生应用函数值域的概念解决实际问题；3. 引导学生研究函数值域的性质和特点，例如单调性、奇偶性等。

高一数学 1.2.1函数的概念教案-人教版高一全册数学教案

１．２．１函数的概念一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生认识函数的构成要素；明确函数的定义；理解定义域、对应关系、值域的含义；掌握判断两个函数是否相等的方法；正确使用区间表示定义域、值域；教学目的：引导学生树立函数思想研究变量之间的关系。

教学意义：培养学生通过观察事物的表象，分析事物变化的本质，揭示变量之间内在相互联系、相互制约的关系。

二、教学过程１．在背景材料下，引出函数的定义：一般地，设Ａ，Ｂ是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合Ａ中的任意一个数x ，在集合Ｂ中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合Ａ到集合Ｂ的一个函数，记作(),y f x x A =∈。

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围Ａ叫做函数的定义域；与x 的值对应的y 值叫做函数值；函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的值域，值域是集合Ｂ的子集。

注意：两个非空数集；一对一或多对一；集合Ａ中的任意一个数已知R x ∈，在解析式x y x y x y 2,|||,|2===中，哪些可以成为函数的解析式？２．一个函数的构成要素：定义域、对应关系和值域。

３．函数相等具备的条件：定义域、对应关系完全一致。

４．对应关系常见形式：①解析法②图象法③列表法５．理解和正确使用区间符号：),(],,(),,(),,[),,(),,[],,(],,[b b a a b a b a b a b a -∞-∞+∞+∞ 注意：对区间[,],(,],[,),(,)a b a b a b a b 来说，(前提条件b a <)６．求函数定义域：①由问题的实际背景确定；②能使解析式有意义的实数的集合。

注意：通过解析式求定义域，无需化简，应注意自变量取值的等价性。

7.掌握常数函数、一元一次函数、一元二次函数、反比例函数的值域情况。

三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子１．已知函数15)(2+=x x x f ，若2)(=a f ，则=a 。

函数的概念(第2课时)(教学设计)高一数学系列(人教A版2019)

重点：理解函数的三要素：定义域、对应法则及值域，会求函数的定义域与函数值，在此过程中培养学生的逻辑推理、数据分析、数学运算的素养。

难点：进一步理解函数的对应关系f，体会函数相等的概念。

学生在第一课时已经学习过函数的概念，并对函数的概念有了深刻的理解。

在此基础上让学生理解函数的三要素、判断两个函数相等，求函数的定义域及值域相对好理解，但是抽象函数的定义域对学生是一个考验。

注意：1、区间是集合的另一种表示形
式，注意与不等式的区别。

如：x ≥－1与[－1，＋∞)是完全不同的 2、写区间的端点时，一定注意书写准确
根据具体实例结合数形结合让学
生加深对区间的
理解，使实例成
为理解概念的一
种思维载体。

【练一练】 (1)用区间表示{x |x ≥0且x ≠2}注意区间左端点
【例1】把下列数集用区间表示： (1){x |x ≥－1}； (2){x |x <0}；
(3){x |－1<x <1}； (4){x |0<x <1或2≤x ≤4}.
；
量的值求对应的
函数值，提高学
生数学运算的核
心素养，为求函
数的值域打好基．
础。

通过函数的定义，学生自主归纳出两个函数是同一个函数的概念，培养学生数学抽象的核心素养。

通过具体的例子，使学生掌握同一函数的判断方法.
通过课堂练习，巩固本节学习的内容。

教学设计3：3.1.2 函数的表示法

20分钟2、学以致用定义域：t∈{0≤t≤24}(2)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．如3.1.1 问题4所说的恩格尔系数变化情况表：上表中r是y的函数，所以自变量y的定义域：y∈{2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}，可知，定义域也可以是离散型的.(3)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系.如3.1.1问题1：某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程S（单位：ｋｍ）与运行时间t（单位：ｈ）的关系可以表示为：S=350t.（对应法则）其中，定义域：t∈{0≤t≤0.5},值域S∈{0≤S≤175}.因为有定义域和对应法则就可以求出值域，所以，我们一般用解析法表示函数时只要写出对应法则和定义域.二、学以致用接下来我们通过三道例题来进一步掌握函数的三种表示法及其特点.例1 某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元．试用函数的三种表示法表示函数y=f(x)．提问1：审题是理清思路的前提，也是成功解题的关键，所以仔细审题，题中有哪些关键点？如何准确又快速地把这道题数学化？讨论后回答：因为x∈{1,2,3,4,5}，属于离散型，有限集，学生最直观的想法就是用列对应值表的方法表示函数y=f(x).（若x有1000个取值呢？）如下表所示：其中定义域：x∈{1,2,3,4,5}追问：通过列表的过程，我们发现，一方面，表格一目了然地把x和y的对应关系表示出来；另一方面，在得到表中第二行钱数y的值的时候，也是需要通过题意简单计算的.所以，我们思考一下，得到这个表格之后，我们如何进一步阐发这一道题呢？回答追问1：从表格两行的结构看，我们不妨以x为横轴，y为纵轴，建立直角坐标系，这样，上述表格中的每一列的（x，y）的值就可以表示为x−o−y坐标系中的点.如下图所示：这就是图象法表示函数y=f(x).（定义域：x∈{1,2,3,4,5}）研究图象可知，和列表法相比，图象法虽然能直观反映x和y的对应关系，但是其横纵坐标不够精准，另一方面，图象法还能反映x和y的变化趋势，如图，反映了x越大，y越大，也就是买的笔记本越多，花的钱越多。

三角函数的最值与值域的教学设计

三角函数的最值与值域的教学设计-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN三角函数的最值与值域的教学设计安亭中学彭朴一、内容分析三角函数的最值与值域问题，是历年高考重点考查的知识点之一。

三角函数的最值与值域问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关，而且与前面复习过的函数、不等式、联系密切，综合性强，解法灵活，能力要求高，在复习完三角公式后，把三角函数的最值与值域作为专题复习，不仅可以帮助学生灵活运用三角公式，而且可以帮助学生掌握求最值和值域的方法，综合能力得到增强。

二、教学目标制定1．会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域；2．运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值。

3．通过对最值问题的探索与解决，提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力。

体现数学思想方法在解决三角最值问题中的作用。

三、教学重点分析本节课的重点是求三角函数的最值与值域，为了突出和强调本节课的重点，课前布置了学生整理求函数值域与最值的方法，设计了一些知识检测题给学生做，在上课之前，老师通过批改学生的作业，了解学生对三角函数的最值与值域的掌握程度。

在上课时，首先让学生回顾求函数值域与最值的方法，然后交流作业，通过例题和习题的训练、讨论、分析、归类、方法总结，学生能比较系统掌握求三角函数的最值与值域的常用方法。

四、教学难点分析求三角函数的最值与值域的方法多样，针对题目，如何在最短的时间内灵活选取不同的方法来求三角函数的最值和值域检索方法，迅速解决问题是本节课的难点，为了突破难点，不妨采取“实践---方法———在实践”的策略，即在讲评作业和例题时，对每一道题目的特点进行分析，解完后，引导学生总结方法，找出规律，然后让学生动手训练，加深印象，化解难点。

五、教学过程设计1提问：求函数最值与值域有哪些常用的方法？学生：换元法、配方法、借助基本不等式、借助函数的图像和单调性。

高中数学专题二函数的值域教案新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学教案

专题二：函数的值域【教学目标】初步掌握简单函数值域的求法.【重点难点】简单函数值域的求法.【教学过程】一、探索研究三类基本函数的定义域、值域：(1)一次函数f(x)=ax+b(a≠0)的定义域是_____,值域是_____(2)反比例函数f(x)=k x(k≠0)的定义域是___________,值域是_____.(3)二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)的定义域是_____,当a>0时,值域是________.当a<0时,值域是__________.二、教学精讲例1．求下列函数的值域:(1)①y=x+2 ②y=|x|-1 答案：①[2.+∞)；②[-1,+∞)求值域方法技巧小结: 法1:观察法,单调性法(2)①已知函数y=x 2-4x+6,在下列条件下分别求值域:(10)x {-1,0,1,3,4} (20)x R (30)x (1,5] 答案:①{3,6,11} ②[2,+∞)③[2,11]法2：与二次函数有关的值域,可用配方法.应用配方法求值域时要注意定义域. ②y=-x 2+x+2 答案:[0,32](3)y=3x-2x-1 答案:[43,+∞)法3:换元法: ①形如y=ax+b cx+d 的形式,可用换元法. ②令t=cx+d,转化为二次函数再求值域.③使用换元法要注意换元后变量的范围. (4)①y=2x+1x-3 ②y=x 2-1x 2+1 答案：①y≠2；②[-1,1)法4:分离常数法:①形如y=ax+b cx+d (c≠0)与y=af(x)+b cf(x)+d(c≠0)的值域可用此法. ②对于y=af(x)+b cf(x)+d(c≠0)的函数,f(x)的范围已知,可用分离常数法,也可用反解法.三、课堂练习求下列函数的值域1.y=52x 2-4x+32.y=2x-x-13.y=|x|-2|x|+2答案：1.(0,5]2.[158,+∞)3.[-1,1) 四、本节小结常见函数值域的求法:①__________②_________③_________ ④________**[选练]：1.已知 f(x)[38,49],求证y=f(x)+1-2f(x)的值域．答案:[79,78] 2.已知函数f(x)=ax+b x 2+1的值域为[-1,4],求实数a 、b 的值．答案:a=3,b=4【教学后记】。

【教案】1.2.1 第2课时函数的定义域与值域-《新课程同步进阶(人教A版必修一》第一章集合与函数概念

第2课时函数的定义域与值域[目标] 1.了解构成函数的要素，理解函数相等的概念；2.会求简单函数的定义域与值域；3.会求形如f(g(x))的函数的定义域．[重点] 函数相等的概念，求函数的值域．[难点] 求函数的值域，求形如f(g(x))的函数的定义域.知识点一函数相等[填一填]1．条件：①定义域相同；②对应关系完全一致．2．结论：两个函数相等．[答一答]1．若两个函数的定义域和值域相同，它们是否为同一函数？对应关系和值域相同呢？提示：观察下表：对于f1(x)和f2(x)，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一函数；对于f3(x)和f4(x)，对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一函数．知识点二函数的定义域[填一填]函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合．求函数的定义域时，一般遵循以下原则：1．f(x)是整式时，定义域是全体实数的集合．2．f (x )是分式时，定义域是使分母不为0的一切实数的集合． 3．f (x )是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值的实数的集合． 4．零(负)指数幂的底数不能为零．5．对于含字母参数的函数，求其定义域时，需根据问题的具体情况对字母参数进行讨论．6．由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．[答一答]2．函数f (x )＝x －1x －2＋(x －1)0的定义域为( D ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x >1}C ．{x |1≤x <2或x >2}D ．{x |1<x <2或x >2}解析：要使函数有意义，则只需⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，x －1≠0，解得1<x <2或x >2，所以函数的定义域为{x |1<x <2或x >2}．故选D.知识点三函数的值域[填一填]求函数的值域是一个较复杂的问题，要首先明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A 上的函数y ＝f (x )，其值域就是指其函数值的集合：{f (x )|x ∈A }；二是函数的定义域、对应关系是确定函数的依据．另外，在求函数的值域时，要根据所给的函数的形式，采用相应的方法．[答一答]3．已知函数y ＝x 2，x ∈{0,1,2，－1}，函数y ＝x 2的值域是什么？提示：当x ＝0时，y ＝0；当x ＝±1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝4.所以函数的值域是{0,1,4}．类型一函数相等的判断[例1] 下列各组函数： ①f (x )＝x 2－xx ，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝x x； ③f (x )＝x ＋1·1－x ，g (x )＝1－x 2； ④f (x )＝(x ＋3)2，g (x )＝x ＋3；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5)．其中表示相等函数的是____________(填上所有正确的序号)． [答案] ③⑤[解析] ①不同，定义域不同，f (x )定义域为{x |x ≠0}，g (x )定义域为R .②不同，对应法则不同，f (x )＝1x，g (x )＝x .③相同，定义域、对应法则都相同．④不同，值域不同，f (x )≥0，g (x )∈R .⑤相同，定义域、对应法则都相同．讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则.判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，则相等，否则不相等.[变式训练1] 下列各组中两个函数是否表示相等函数？ (1)f (x )＝6x ，g (x )＝63x 3； (2)f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3；(3)f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1.解：(1)g (x )＝63x 3＝6x ，它与f (x )＝6x 定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数． (2)f (x )＝x 2－9x －3＝x ＋3(x ≠3)，它与g (x )＝x ＋3的定义域不同，故不是相等函数．(3)虽然自变量用不同的字母表示，但两个函数的定义域和对应关系都相同，故是相等函数．类型二函数的定义域命题视角1：求具体函数的定义域[例2] 求下列函数的定义域，结果用区间表示： (1)y ＝x ＋2＋1x 2－x －6；(2)y ＝(x ＋1)0|x |－x .[解] (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥0，x 2－x －6≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2，x ≠－2且x ≠3，故函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，x <0，故函数的定义域是(－∞，－1)∪(－1,0)．求函数的定义域就是求使函数式有意义的自变量的取值范围.当一个函数式由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合.[变式训练2] 求下列函数的定义域： (1)y ＝1－x ＋1x ＋5；(2)y ＝31－1－x.解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋5≠0，解得x ≤1且x ≠－5.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠－5}．(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得x ≤1且x ≠0.所求定义域为{x |x ≤1且x ≠0}．命题视角2：求抽象函数的定义域[例3] (1)已知函数f (x )的定义域是[－1,4]，求函数f (2x ＋1)的定义域． (2)已知函数f (2x ＋1)的定义域是[－1,4]，求函数f (x )的定义域．[分析] 在对应关系相同的情况下， f (x )中x 应与f (g (x ))中g (x )的取值范围相同，据此可解答该题．[解] (1)由已知f (x )的定义域是[－1,4]，即－1≤x ≤4.故对于f (2x ＋1)应有－1≤2x ＋1≤4. ∴－2≤2x ≤3，∴－1≤x ≤32.∴f (2x ＋1)的定义域是⎣⎡⎦⎤－1，32. (2)由已知f (2x ＋1)的定义域是[－1,4]，即f (2x ＋1)中，应有－1≤x ≤4，∴－1≤2x ＋1≤9. ∴f (x )的定义域是[－1,9]．因为f (g (x ))就是用g (x )代替了f (x )中的x ，所以g (x )的取值范围与f (x )中的x 的取值范围相同.若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域是指满足不等式a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围；而已知f (g (x ))的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]，要求f (x )的定义域，就是求x ∈[a ，b ]时g (x )的值域.[变式训练3] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( B )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析：因为f (x )的定义域为[0,2]，所以对于函数g (x )满足0≤2x ≤2，且x ≠1，故x ∈[0,1)．类型三求函数的值域[例4] 求下列函数的值域． (1)f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)； (2)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)；(4)y ＝5x －14x ＋2.[解] (1)∵x ∈[－5,2)，∴－15≤3x <6，∴－16≤3x －1<5，∴函数f (x )＝3x －1，x ∈[－5,2)的值域是[－16,5)． (2)∵x ∈{1,2,3,4,5}，∴2x ＋1∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}． (3)y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2.∵x ∈[1,5)，∴其图象如图所示，当x ＝2时，y ＝2；当x ＝5时，y ＝11. ∴所求函数的值域为[2,11)． (4)y ＝5x －14x ＋2＝54(4x ＋2)－1－1044x ＋2＝54(4x ＋2)－1444x ＋2＝54－72(4x ＋2).∵72(4x ＋2)≠0，∴y ≠54，∴函数y ＝5x －14x ＋2的值域为{y ∈R |y ≠54}．根据函数关系式，选择恰当的方法求函数的值域.(1)对于一次函数，已知自变量的取值范围，依据简单不等式的运算，求得函数的取值范围，即为函数的值域；(2)对于二次函数，可借助图象求函数的值域；(3)通过分离常数，借助反比例函数的特征求值域.无论哪种方法求值域，都应注意定义域的限制.[变式训练4] 求下列函数的值域： (1)y ＝2x ＋1，x ∈{0,1,3,4}； (2)y ＝xx ＋1；(3)y ＝x 2－4x ，x ∈[1,4]．解：(1)∵y ＝2x ＋1，x ∈{0,1,3,4}， ∴y ∈{1,3,7,9}．(2)∵y ＝xx ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1＝1－1x ＋1，且1x ＋1≠0， ∴函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ≠1}．(3)配方，得y ＝(x －2)2－4. ∵x ∈[1,4]，∴函数的值域为[－4,0].1．函数f (x )＝x ＋1＋12－x的定义域为( A ) A ．[－1,2)∪(2，＋∞) B ．(－1，＋∞) C ．[－1,2)D ．[－1，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2－x ≠0，解得x ≥－1且x ≠2.故选A.2．函数f (x )＝x 2＋1(0<x ≤2且x ∈N *)的值域是( D ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x >1} C ．{2,3}D ．{2,5}解析：∵0<x ≤2且x ∈N *， ∴x ＝1或x ＝2. ∴f (1)＝2，f (2)＝5，故函数的值域为{2,5}．3．若函数f (x )与g (x )＝32－x －2是相等的函数，则函数f (x )的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．解析：∵2－x －2≠0，∴x ≠6，又x －2≥0，∴x ≥2，∴g (x )的定义域为[2,6)∪(6，＋∞)．故f (x )的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)．4．已知函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，则函数f (2x ＋1)的定义域为{x |－1<x <0}．解析：因为f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，所以－1<2x ＋1<1，解得－1<x <0.所以f (2x ＋1)的定义域为{x |－1<x <0}． 5．试求下列函数的定义域与值域： (1)f (x )＝(x －1)2＋1； (2)y ＝5x ＋4x －1；(3)y ＝x －x ＋1.解：(1)函数的定义域为R ，因为(x －1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y |y ≥1}． (2)函数的定义域为{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1，所以函数的值域为{y |y ≠5}．(3)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域为{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是y ＝t 2－1－t ＝(t －12)2－54，又t ≥0，故y ≥－54，所以函数的值域为{y |y ≥－54}．——本课须掌握的三大问题1．两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，根据它们之间的关系，判断两个函数是否为同一函数，主要看它们的定义域和对应法则是否相同．因为只要定义域相同，对应法则相同，则值域就相同．2．研究函数问题必须树立“定义域优先”原则．求函数定义域一般有三种类型：(1)函数来自实际问题的定义域；(2)已知函数解析式求定义域；(3)抽象函数求定义域．3．求值域的方法有：(1)观察法：根据定义域和对应关系求出；(2)数形结合法：作出函数的图象，然后求解；(3)配方法：配方求解；(4)分离常数法：添一项、减一项，分离出常数再求解；(5)换元法：可以将无理函数转换成有理函数再求解．学习至此，请完成课时作业7 学科素养培优精品微课堂复合函数与抽象函数开讲啦 1.复合函数的概念如果函数y ＝f (t )的定义域为A ，函数t ＝g (x )的定义域为D ，值域为C ，则当C ⊆A 时，称函数y ＝f (g (x ))为f (t )与g (x )在D 上的复合函数，其中t 叫做中间变量，t ＝g (x )叫做内层函数，y ＝f (t )叫做外层函数．2．抽象函数的概念没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． 3．抽象函数或复合函数的定义域理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点： (1)函数f (x )的定义域是指x 的取值范围．(2)函数f (φ(x ))的定义域是指x 的取值范围，而不是φ(x )的范围．(3)f (t )，f (φ(x ))，f (h (x ))三个函数中的t ，φ(x )，h (x )在对应关系f 下的范围相同． [典例] 若函数f (x )的定义域为[0,1]，求g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )(m >0)的定义域． [解] ∵f (x )的定义域为[0,1]，∴g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )中自变量x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ＋m ≤1，0≤x －m ≤1，解得⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤x ≤1－m ，m ≤x ≤1＋m .当1－m ＝m ，即m ＝12时，x ＝12；当1－m >m ，即0<m <12时，如图1，m ≤x ≤1－m .当1－m <m ，即m >12时，如图2，x ∈∅.综上所述，当0<m <12时，g (x )的定义域为[m,1－m ]；当m ＝12时，g (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12；当m >12时，函数g (x )的定义域为∅.[对应训练] 已知函数f (x ＋3)的定义域为[－4,5]，则函数f (2x －3)的定义域为⎣⎡⎦⎤1，112. 解析：∵函数f (x ＋3)的定义域为[－4,5]，∴－4≤x ≤5，∴－1≤x ＋3≤8，即函数f (x )的定义域为[－1,8]．由－1≤2x －3≤8，解得1≤x ≤112.故函数f (2x －3)的定义域为⎣⎡⎦⎤1，112.。

2017年全国数学优质课一等奖作品_函数的概念教学设计[王加平]

1.2.1 函数的概念教学设计云南省玉溪第一中学王加平一、教材分析：本节内容为《1.2.1函数的概念》，是人教A 版高中《数学》必修一《1.2函数及其表示》的第一课.函数是中学数学最重要的基本概念之一，在初中，学生已经学习过函数的概念，它是从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系.从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式.后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，而要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制.如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究.例如：对这个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，也说不出x 的物理意义是什么．但用集合、对应的观点来解释，就十分自然．函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之一，而函数概念是函数思想的基础，它不仅对前面学习的集合作了巩固和发展，而且它是学好后继知识的基础和工具．函数与代数式、方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切，函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用.本节课用集合与对应的语言进一步描述函数的概念，让学生感受建立函数模型的过程和方法．二、学情分析：在学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经会把函数看成变量之间的依赖关系，同时，虽然函数比较抽象，但是函数现象大量存在于学生的周围，教科书选用了运动、自然界、经济生活中的实际例子进行分析，从实例中抽象概括出用集合与对应的语言来定义函数概念，对学生的抽象、归纳能力要求比较高，能很好的锻炼学生的抽象思维能力以及加深对函数概念的理解.三、教学目标:(一)知识与技能理解函数的定义，能用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的三要素. （二）过程与方法通过三个实例共性的分析到函数概念的形成，再对三个实例进行拓展，让学生对函数概念进行辨析，体现从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，渗透了归纳推理，实现了感性认识到理性认识的升华.（三）情感、态度与价值观通过从实际问题中抽象概括函数的概念，培养学生的抽象概括能力，体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，在此基础上学会用集合与对应的语言来刻画函数，感受数学的抽象性和简洁美.四、教学重点与难点：（一）教学重点⎩⎨⎧=.01)(是无理数时，当是有理数时，，当x x x f体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，并能用集合与对应的语言来刻画函数. （二）教学难点函数概念的理解及符号“)(x f y ”的含义.五、教学策略:首先，通过魔术表演，体现函数在实际生活中的运用，激发学生进一步学习函数的积极性；其次，在学生习惯用解析式表示函数的基础上借助教科书实例，从解析法、图象法、列表法等不同的方式，结合函数的数与形两个方面给学生充分的认识，为学生用集合与对应的语言刻画函数打下感性基础；再次，分析讲解函数概念中的关键点时，对于对应关系f 、函数关系中多对一的情况、值域是集合B 的子集等较为抽象问题的理解采取放乒乓球的实验，让抽象问题具体化；最后，通过对三个实例进行拓展让学生抛开物理运动背景，用集合与对应的语言来分析函数并强调函数关系中对应关系的方向.六、教学基本流程：七、教学情景设计：。

人教版高中数学必修1学案：1.2.1函数的概念(2)

1．2.1函数的概念(2)一、三维目标：知识与技能：进一步体会函数概念；了解构成函数的要素；能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

过程与方法：了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域。

掌握判别两个函数是否相等的方法。

情感态度与价值观:激发学习兴趣，培养审美情趣。

二、学习重、难点：重点：用区间符号正确表示数的集合，求简单函数定义域和值域及函数相等的判断。

难点：求函数定义域和值域。

三、学法指导：阅读教材, 熟练使用“区间”的符号表示函数的定义域和值域。

四、知识链接：1. 写出函数的定义：注：（1）对应法则f(x)是一个函数符号，表示为“y 是x 的函数”,绝对不能理解为“y 等于f 与x 的乘积”，在不同的函数中，f 的具体含义不一样；y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f 可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示；f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a 时的函数值。

（2）定义域是自变量x 的取值范围；（3）值域是全体函数值所组成的集合，在大多数情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也随之确定。

2.集合的表示方法有：。

五、学习过程：A 问题1. 区间的概念（1）满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫做，表示为；（2）满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫做 ,表示为；（3）满足不等式b x a <≤的实数x 的集合叫做，表示为；（4）满足不等式b x a ≤<的实数x 的集合叫做，表示为；在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用表示包括在区间内的端点，用表示不包括在区间内的端点；实数集R 也可以用区间表示为，“∞”读作“ ”，“-∞”读作“ ”，“+∞”读作“ ”，还可以把满足x ≥a, x>a, x ≤b, x<b 的实数x 的集合分别表示为。

《函数的概念》教学设计

《函数的概念》教学设计第一篇：《函数的概念》教学设计《函数的概念》教学设计教材分析：函数作为初等数学的核心内容，贯穿于整个初等数学体系之中函数这一章在高中数学中，起着承上启下的作用，它是对初中函数概念的承接与深化。

在初中，只停留在具体的几个简单类型的函数上，把函数看成变量之间的依赖关系，而高中阶段对函数的概念加入“对应”，这一章内容渗透了函数的思想、特殊到一般，数形结合思想，从感性到理性,数学建模的思想等内容，这些内容的学习，无疑对学生今后的学习起着深刻的影响教学目标：知识与技能：（1）理解函数的概念，;（2）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

2过程与方法：通过学生自身对实际问题分析、抽象与概括，培养了抽象、概括、归纳知识以及建模等方面的能力；3情感与价值观：以熟知的生活实例引入，激发了学习数学的兴趣，增强其数学应用意识、创新意识。

相互合作学习，增强其合作意识体会合作学习的重要性。

教法：启发探究为主，讨论法为辅学法：观察分析、自主探究、合作交流教学重点：理解函数的实际背景，用集合与对应的语言来刻画函数教学难点：理解函数的实际背景，用集合与对应的语言来刻画函数教学过程：一、复习引入：．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？2．回顾初中函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和，对于x的每一个值，都有唯一确定的值与之对应，此时是x的函数，x是自变量，是因变量。

表示方法有：解析法、列表法、图象法二、概念情景引入：思考1：（本P1）给出三个实例：A．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为84米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是。

B．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。

（见本P1图）．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低。

“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。

人教B版必修4高一数学1.2.1三角函数的定义教学课件

B．
α
|
α
=
kπ
+
π 6
,
k
Ζ
β
|
β
=
kπ
+
π 6
,
k
Ζ.
C．若a是第二象限的角，则 sin 2 0 .
D．第四象限的角可表示为:
α
|
2kπ
+
3π 2
<
α
<
2kπ,
y
y 叫α的正弦
P(x, y)
sin α y
x叫α的余弦
O
x
cos x
y 叫α的正切 x tan y
x
思考：
对应关系sin y，cos x ，tan y (x 0)
都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标x或坐标
的比值为函数值的函数，分别称为正弦函数、余弦函数和正切函数，并统称为三角函数，在弧度制中，这三个三角函数的定义域分别是什么？
tan(α + k 2π) = tanα
(k z).
利用公式一，作用在于可将求任意角的三角函数值，转化为求0～２π （或0°～ 360°)范围内的三角函数值.
例6：求下列三角函数的值.
(1)cos 17π ; 4
(2)sin 9π tan 7π .
4
3
解：(1)cos 17π = cos π = 1
P(4,-3) ａ的终边
事实上: 三角函数也可定义为
设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则
sin α y r
的终边 P(ｘ，ｙ) y
cos x
r
tan y
x
r
o
x

函数的概念精品教案

《函数的概念》教学设计学情分析：函数的概念是整个高中乃至高等院校数学专业的核心概念，对函数概念的理解程度直接影响学生的数学学习情况，新课改下的高中学生适合于探究式和讲授式相结合的教学方式，在初中已经初步学习函数的基础上，学习高中对应观念下的函数概念，适时合理.教学目标：1、知识与技能：通过函数概念的教学，让学生体验函数概念的发生与发展过程，并能根据函数概念解决一些常见的数学基础题.2、过程与方法：通过提出问题，引起学生知识层面的矛盾冲突，从而激发学生的求知欲，并通过概念判断和函数定义域的求解例题，让学生体验函数概念的本质.3、情感态度价值观：通过形象的比喻，引起学生对知识的深层次的理解和掌握，让学生体会知识来源于生活又服务于生活的真理.教学重点：函数的概念、函数的三要素教学难点：函数的概念教学方法：启发式、讲授与探究结合式教学过程：一、问题的提出1、初中对函数概念是怎样定义的？在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.2、思考y=1是函数吗？如果是，请问变量的意义是什么？二、高中函数的概念设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，与x相对应的y的值叫做函数值.三、对函数概念的理解1、初、高中函数概念的一致性两种定义在实质上是一样的，即它们的定义域和值域的意义完全相同，对应关系本质上也一样，只不过叙述的出发点不同.初中的定义是从运动、变化的观点出发，其中的对应关系是将自变量x的每一个取值与唯一确定的函数值y对应起来；高中的定义是从集合、对应的观点出发，其中的对应关系是将原象集合中的任一元素与象集合中的唯一确定的元素对应起来.高中的函数概念更具一般性，解释函数关系自然亲切，但初中函数概念生动而直观，现在仍被广泛使用.2、对应观念下函数的本质函数就像是一个加工厂，把自变量x给对应关系f一给，就能生成函数值f(x).我们可以用学生打篮球来比喻函数：一个学生可以打一颗篮球，两个学生可以打一颗篮球，多个学生也可以打一颗篮球，但一个学生不能同时打两颗篮球，更不能打两颗以上的篮球，就好比是函数中的对应可以是一对一、可以是二对一、多对一，但不能是一对多.再者，上体育课时，老师要求学生都在篮球场打篮球，学生必须都参与，但准备上课用的篮球可以有剩余，就是说函数概念中的A集合的数必须全部参与对应过程，而B集合中的数可以有剩余.因此说，A集合是函数的定义域，而值域应该是集合B的子集.3、函数的三要素思考：一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？（1）定义域、对应关系、值域；（2）函数的值域由其定义域和对应关系所确定；（3）定义域相同，对应关系完全一致,则两个函数相等.四、例题精析例1、下列可作为函数y= f (x)的图象的是（）解：由函数的概念容易知选项D 是正确的.例2、求下列函数的定义域：（1）21)(-=x x f （2）1)(+=x x f（3）211)(-++=x x x f 解：（1）要使函数有意义，只需02≠-x ，即2≠x ，所以函数21)(-=x x f 的定义域为{}2≠x x 。

(最新整理)1.2.1函数的概念教案.doc

§1.2.1函数的概念一、教学目标1、知识与技能：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．2、过程与方法：（1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素；（3）会求一些简单函数的定义域和值域；（4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域；3、情态与价值，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性。

二、教学重点与难点：重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数；难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；三、学法与教学用具1、学法：学生通过自学、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体、投影仪.四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想；2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；（P15实例1）（2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（P15实例2）（3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题（P15实例3）3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点。

4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系；5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系．（二）研探新知先让学生阅读1518P P ，完成阅读练习19P 1、2、3①函数的定义②函数的记号③区间表示④求定义域法则1、函数的有关概念（1）函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）．记作： y =f (x )，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域（domain ）；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域（range ）．注意：① “y =f (x )”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y =g (x )”； ②函数符号“y =f (x )”中的f (x )表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ．（2）构成函数的三要素是什么？定义域、对应关系和值域（3）区间的概念①区间的分类：开区间（a ，b ）、闭区间[a ，b]、半开半闭区间（a ，b]或[a ，b ）；②无穷区间；（+∞，-∞）（实数集R ），[a ，+∞），（a ，+∞），（-∞，b]，（-∞，b ）。

【公开课教案】《函数的值域》教学设计

《函数的值域》教学设计一、三维目标：1、知识目标：（1）理解函数值域的定义，并用集合来表示；（2）常用函数值域，如给定区间二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等；（3）掌握常用求函数值域的方法：配方法、换元法、基本不等式法、导数法.2、能力目标：通过小组合作、自主探究等多种学习方式进行复习，能灵活运用求值域的方法，迅速并熟练的求出函数值域.3、情感目标：发展学生的思维能力，激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.二、教学重、难点：教学重点：常用的求函数值域的方法.教学难点：能灵活运用求函数值域的方法来解决实际问题.三、教学过程:（一）让学生回答：121、{})(x f y y =表示的是函数y=f(x)的什么?2、什么是函数的值域，怎样表示它呢?那么求函数值域的方法有哪些呢? 为此我们今天来复习：函数的值域。

（二）让学生回答问题：高中阶段的几种重要函数的值域.1、一次函数y=kx+b (k ≠0) 值域是什么？2、反比例函数(0)k y k x=≠的值域是什么？3、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的值域是什么?4、指数函数y=a x (a>0,且a 0≠）的值域是什么?5、对数函数y=x a log (a>0,且a 0≠）的值域是什么?思考：求函数值域首先应该考虑什么?强调：函数的定义域.（三）师生共同解决预留的“师生互动”例题、习题：常用的求函数值域的方法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1.已知函数f(x)=2x －3, x ∈{0,1,2,3,5}, 求f(x)的值域练习1. 求函数y=x 1值域。

32. 求函数y=3-x 的值域。

方法一：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到(直接法)。

方法二归纳：形如函数的值域：采用分式分离常数法(或解x 法即反函数法)练习：求下列函数y=325x 3+-x 的值域. 例3：求函数y=x 2+2x+5的值域。