【状元之路】2014-2015学年高中北师大版数学必修二模块综合测评(二)

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20142015学年高中数学北师大版必修二练习：2章解析几何初步综合能力检测(2021年整理)

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第二章综合能力检测本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线l 的倾斜角是直线y ＝x －3的倾斜角的两倍，且经过点(2，4)，则直线l 的方程为（）A ．y ＝2xB ．x ＝4C ．x ＝2D ．y ＝2x －3 [答案] C［解析] 直线y ＝x －3的斜率为1，其倾斜角等于45°，于是直线l 的倾斜角等于90°,其斜率不存在，又因为它过点(2,4)，故l 的方程为x ＝2。

2．若点P (3,4)和点Q (a ，b ）关于直线x －y －1＝0对称,则( ）A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝2，b ＝－1C ．a ＝4，b ＝3D ．a ＝5，b ＝2 ［答案] D［解析] 由错误!解得错误!3．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是( )A ．a <－2B ．－23<a <0C ．－2<a <0D ．－2<a <错误![答案］ D[解析］由D 2＋E 2－4F 〉0，得 a 2＋（2a )2－4(2a 2＋a －1)〉0，解得－2<a <错误!。

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学(北师大版)必修二综合质量评估]

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综合质量评估第一、二章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2014·银川高一检测)在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是( )【解析】选C.由y=x+a得斜率为1，排除B，D，由y=ax与y=x+a中a同号知，若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上.故选C.2.(2013·新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π【解析】选A.由三视图可知，该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体，所以体积为〓22〓4〓π+2〓2〓4=16+8π.3.(2014·亳州高一检测)已知A，B，C，D是空间不共面的四个点，且AB⊥CD，AD⊥BC，则直线BD与AC( )A.垂直B.平行C.相交D.位置关系不确定【解析】选A.过点A作AO⊥面BCD，垂足为O，连接BO，CO并延长分别交CD与BD于F，E点，连接DO.因为AB⊥CD，AO⊥CD，所以CD⊥平面AOB，所以BO⊥CD，同理DO⊥BC.所以O为△BCD的垂心，所以CO⊥BD，所以BD⊥AC.故选A.C1中，侧棱AA1⊥底面【变式训练】如图，三棱柱ABC-AA1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE，B1C1为异面直线D.A1C1∥平面AB1E【解析】选C.A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面A1C1CA与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确；故选C.4.(2014·安康高一检测)圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2：x2+y2-4x+4y-2=0的位置关系是( )A.相离B.外切C.内切D.相交【解析】选D.圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0，即(x+1)2+(y+4)2=25，表示以A(-1，-4)为圆心，以5为半径的圆.C2：x2+y2-4x+4y-2=0，即(x-2)2+(y+2)2=10，表示以A(2，-2)为圆心，以为半径的圆.两圆的圆心距d==，大于两圆半径之差小于半径之和，故两圆相交，故选D.5.圆(x+2)2+y2=5关于y=x对称的圆的方程为( )A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2) 2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5【解析】选D.圆(x+2)2+y2=5的圆心(-2，0)关于y=x对称的点的坐标为(0，-2)，故所求圆的方程为x2+(y+2)2=5.【误区警示】本题容易出现因为不会求点关于y=x的对称点而导致出错.6.三棱柱的放置方法如图所示，它的三视图是( )【解析】选A.对于选项A，其主视图是一个矩形，左视图是一个三角形，俯视图是一个矩形，中间应有一条横线，其摆放位置符合要求，故对；对于选项B，俯视图中少了一条横线，不符合三视图的作图规则，不正确；对于选项C，正视图中不应该有横线，故不正确；对于选项D，俯视图不可能是三角形，故不正确.7.(2014·吉安高一检测)已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个结论①a∥b，a∥α⇒b∥α；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；③a∥α，β∥α⇒a∥β；④a⊥α，β⊥α⇒a∥β，其中不正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.①不正确，b可以在平面α内.②错误，b可能在平面α内.③错误，a可以在β内.④错误，平面β可经过直线a，所以①②③④均不正确.8.在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC【解析】选C.由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正确.若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE，故DF⊥平面PAE，故B正确.由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确.故选C.9.(2013·山东高考)过点(3，1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0【解析】选A.由题意可知，A(1，1)是一个切点，根据切线的特点可知过点A，B的直线与过点(3，1)，(1，0)的直线互相垂直，k AB=-=-2，所以直线AB的方程为y-1=-2(x-1)，即2x+y-3=0.10.(2014·西安高一检测)如果函数y=|x|-2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A.{2}∪(4，+∞)B.(2，+∞)C.{2，4}D.(4，+∞)【解析】选A.根据题意画出函数y=|x|-2与曲线C：x2+y2=λ的图象，如图所示，当AB与圆O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，因为OA=OB=2，∠AOB=90°，所以根据勾股定理得：AB=2，所以OC=AB=，此时λ=OC2=2；当圆O半径大于2，即λ>4时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，综上，实数λ的取值范围是{2}∪(4，+∞).故选A.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把正确答案填在题中的横线上)11.已知点M(a，b)在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是________.【解析】点M(a，b)在圆x2+y2=1外⇒a2+b2>1.圆心O(0，0)到直线ax+by=1的距离d=<1=圆的半径，故直线与圆相交.答案：相交12.已知圆O：x2+y2=5和点A(1，2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为____________.【解析】由题意知，点A在圆上，切线斜率为==-，用点斜式可直接求出切线方程为：y-2=-(x-1)，即x+2y-5=0，从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为〓〓5=.答案：13.过点P(-1，6)且与圆(x+3)2+(y-2)2=4相切的直线方程是____________________.【解析】画出草图可知直线x=-1是一条切线，设另一条为y-6=k(x+1)，则y-kx-6-k=0.由2=得k=，可知答案.答案：x=-1或4y-3x-27=0【误区警示】本题易忽略斜率不存在的情况，而忘记考虑直线x=-1.14.(2013·安徽高考)如图，正方体ABCD-AC1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号).①当0<CQ<时，S为四边形；②当CQ=时，S为等腰梯形；③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=；④当<CQ<1时，S为六边形；⑤当CQ=1时，S的面积为.【解析】①当0<CQ<时，截面如图1所示，截面是四边形APQM，故①正确；②当CQ=时，截面如图2所示，易知PQ∥AD1且PQ=AD1，S是等腰梯形，故②正确；③当CQ=时，截面如图3所示，易得C1R=，截面是五边形；④当<CQ<1时，如图4是五边形；故④不正确；⑤当CQ=1时，截面是边长相等的菱形，如图5所示，由勾股定理易求得AC1=，MP=，故其面积为S=AC1〓MP=.答案：①②③⑤15.(2014·镇江高一检测)从直线3x+4y+8=0上一点P向圆C：x2+y2-2x-2y+1=0引切线PA，PB，A，B为切点，则四边形PACB的周长最小值为________.【解析】由圆C：x2+y2-2x-2y+1=0得(x-1)2+(y-1)2=1，所以圆心C(1，1)，半径r=1.因为PA，PB是☉C的切线，则CA⊥PA，CB⊥PB，所以|PA|=|PB|==，所以四边形PACB的周长l=2+2，因此当PC垂直于直线3x+4y+8=0时，PC取得最小值，此时|PC|==3，所以四边形PACB的周长l的最小值=2+2=4+2.答案：4+2三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2014·宝鸡高一检测)已知两直线l1：2x-y+7=0，l2：x+y-1=0，A(m，n)是l1和l2的交点.(1)求m，n的值.(2)求过点A且垂直于直线l1的直线l3的方程.(3)求过点A且平行于直线l：2x-3y-1=0的直线l4的方程.【解析】(1)因为A(m，n)是l1和l2的交点，所以解得(2)由(1)得A(-2，3).因为=2，l 3⊥l1，所以=-，由点斜式得，l3：y-3=-(x+2)，即l3：x+2y-4=0.(3)因为l 4∥l，所以k l==，由点斜式得，l4：y-3=(x+2)，即2x-3y+13=0.17.(12分)(2013·辽宁高考)如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.(1)求证：BC⊥平面PAC.(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC. 【证明】(1)由AB是圆的直径，得AC⊥BC；由PA垂直于圆所在的平面，得PA⊥平面ABC；由BC平面ABC，得PA⊥BC；又PA∩AC=A，PA平面PAC，AC平面PAC，所以BC⊥平面PAC.(2)连接OG并延长交AC于M，连接QM，QO.由G为△AOC的重心，知M为AC的中点，由Q为PA的中点，得QM∥PC，又因为QM⊈平面PBC，PC平面PBC，所以QM∥平面PBC.又由O为AB的中点，则OM∥BC.同理可证，OM∥平面PBC.因为QM∩OM=M，QM平面QMO，OM平面QMO，所以，据面面平行的判定定理，平面QMO∥平面PBC，又QG平面QMO，故QG∥平面PBC.18.(12分)(2014·商州高一检测)已知圆C同时满足下列三个条件：①与y轴相切；②在直线y=x上截得弦长为2；③圆心在直线x-3y=0上，求圆C的方程. 【解析】所求的圆C与y轴相切，又与直线y=x相交，设交于A，B两点，因为圆心C在直线x-3y=0上，所以设圆心C(3a，a)，又圆与y轴相切，所以R=3|a|.又圆心C到直线x-y=0的距离|CD|==|a|.因为在Rt△CBD中，R2-|CD|2=()2，所以9a2-2a2=7，a2=1，a=〒1，3a=〒3，所以圆心的坐标C分别为(3，1)和(-3，-1)，故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.19.(12分)(2014·陕西高考)四面体ABCD及其三视图如图所示，过AB的中点E 作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积.(2)证明：四边形EFGH是矩形.【解题指南】(1)先利用三视图推得线线垂直进而得AD垂直于平面BDC，确定四面体的高后再求其体积.(2)先证得四边形EFGH为平行四边形，再证得此平行四边形的邻边相互垂直，注意从三视图中推得已知.【解析】(1)由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD=DC=2，AD=1，所以AD⊥平面BDC.所以四面体ABCD的体积V=〓〓2〓2〓1=.(2)因为BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC=FG，平面EFGH∩平面ABC=EH，所以BC∥FG，BC∥EH，所以FG∥EH.同理EF∥AD，HG∥AD，所以EF∥HG，所以四边形EFGH是平行四边形.又因为AD⊥平面BDC，所以AD⊥BC，所以EF⊥FG，所以四边形EFGH是矩形.20.(13分)圆(x+1)2+y2=8内有一点P(-1，2)，AB过点P，(1)若弦长|AB|=2，求直线AB的倾斜角α.(2)若圆上恰有三点到直线AB的距离等于，求直线AB的方程.【解析】(1)当直线AB斜率不存在时，AB的直线方程为x=-1，与圆的交点坐标A(-1，2)，B(-1，-2)，则|AB|=4(不符合条件).当直线AB斜率存在时，设AB的直线方程为y=k(x+1)+2，圆心到直线AB的距离d=，又d==1，所以=1，即k=〒.所以直线AB的倾斜角α为或.(2)要满足圆上恰有三点到直线AB的距离等于，则圆心到这条直线的距离应为，当直线AB斜率不存在时，AB的直线方程为x=-1，直线过圆心(不符合条件)，当直线AB斜率存在时，设AB的直线方程为y=k(x+1)+2，d==，即k=〒1，所以直线AB的方程为y=x+3或y=-x+1.【变式训练】设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是关于x 的方程x2+x+c=0的两个实数根，且0≤c≤，求这两条直线之间距离的最大值和最小值.【解析】由题意a+b=-1，ab=c，所以 (a-b)2=1-4c，所以≤(a-b)2≤1，因为两平行线间距离d=，所以d2=∈，所以d∈，所以d的最大值为，最小值为.21.(14分)已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y 轴交于点O，B，其中O为原点.(1)求证：△OAB的面积为定值.(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程.【解析】(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey=0，由于圆心C，所以D=-2t，E=-，令y=0得x=0或x=-D=2t，所以A(2t，0)，令x=0得y=0或y=-E=，所以B，所以S△OAB=|OA|·|OB|=·|2t|·=4(定值).(2)因为OM=ON，所以O在MN的垂直平分线上，而MN的垂直平分线过圆心C，所以k OC=，所以=，解得t=2或t=-2，而当t=-2时，直线与圆C不相交，所以t=2，所以D=-4，E=-2，所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0.关闭Word文档返回原板块。

2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：模块综合检测

一、选择题(本大题共10小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过点P (1，－2)，斜率为3的直线方程是( )A ．y －2＝3(x －1)B ．y －1＝3(x ＋2)C ．y ＋2＝3(x －1)D ．y ＋2＝－3(x －1)解析：选C.利用点斜式写出直线方程：y －(－2)＝3(x －1)，即y ＋2＝3(x －1)，故选C.2．下列说法不正确的是( )A ．一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B ．同一平面的两条垂线一定共面C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直解析：选D.A 项是平行四边形的判定定理，正确．B 项中，同一平面的两条垂线平行，所以一定在同一平面内，故B 正确．C 项过直线上一点与这条直线垂直的直线都在这条直线过该点的垂面内，C 正确．D 项中，若直线与已知平面垂直，则有无数个平面过已知直线且与已知平面垂直，故D 不正确．3．一束光线自点P (1,1,1)发出，被xOy 平面反射到达点Q (3，3,6)后被吸收，那么光线所走的路程是( ) A.57 B.47C.37D.33解析：选A.点P (1,1,1)关于xOy 平面的对称点P ′的坐标为(1,1，－1), 由两点间的距离公式，得|P ′Q |＝(3－1)2＋(3－1)2＋(6＋1)2＝57，由对称性知光线所走路程等于|P ′Q |的长．4．体积为33的正方体内接于球，则球的体积为( )A ．36π B.272π C.92π D ．9π 解析：选C.设正方体的棱长为a ，则a 3＝33，a ＝ 3.又∵2R ＝3a ，∴R ＝32a .故V ＝43πR 3＝92π.所以选C.5．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．3 B. 3C ．3 3D ．3＋4 3解析：选D.由三视图可知，该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面直角三角形的边长分别为1和3，三棱柱的高为3，故该几何体的表面积为2×12×3×1＋(1＋3＋3＋1)×3＝3＋4 3.6．正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别为D 1D 和DC 的中点，则BC 1与PQ 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°解析：选B.如图所示，由正方体的性质易知BC 1∥AD 1，因为P ，Q 为D 1D 与DC 的中点，所以PQ ∥D 1C ，所以∠AD 1C 即为BC 1与PQ 的夹角．因为△ACD 1为正三角形，所以∠AD 1C ＝60°，即PQ 与BC 1的夹角为60°.7．过点A (－2,2)，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( )A ．x ＋y ＝0B ．x ＝－2或y ＝2C ．x －y ＋22＝0D ．x ＋y ＝0或x －y ＋22＝0解析：选A.代入点A (－2,2)可排除C 、D 两项，又x ＝－2或y ＝2是两条直线，且每一条都仅有一个截距，所以B 项错．8．圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最小值是( )A ．0B ．1＋ 2C ．22－2D ．2－ 2解析：选A.∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0和直线x －y ＝2相交，∴最小距离是0.9．已知一圆与直线3x ＋4y ＋5＝0相切于点(1，－2)，且圆心在直线x ＋y ＋92＝0上，则圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋x －8y ＋10＝0B ．x 2＋y 2＋x ＋8y ＋10＝0C ．x 2＋y 2－x －8y ＋10＝0D ．x 2＋y 2－x －8y －10＝0解析：选B.过点(1，－2)与直线3x ＋4y ＋5＝0垂直的直线方程为4x －3y －10＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －10＝0，x ＋y ＋92＝0，解得圆心的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－4，且r ＝⎝⎛⎭⎫1＋122＋(－2＋4)2＝52，所以圆的方程为x 2＋y 2＋x ＋8y ＋10＝0.10．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，BD 1与A 1D 所成的角为α1，AB 1与BC 1所成的角为α2，AA 1与BD 1所成的角为α3，则有( )A ．α3<α2<α1B ．α2<α3<α1C ．α2<α1<α3D ．α3<α1<α2解析：选A.连接AD 1，因为BA ⊥平面A 1ADD 1，所以AD 1为BD 1在平面A 1ADD 1上的射影，如图所示，因为A 1D ⊥AD 1，所以A 1D ⊥BD 1，即α1＝90°.因为AD 1∥BC 1，所以AD 1与AB 1所成的角即为BC 1与AB 1所成的角．连接B 1D 1.因为△AB 1D 1为等边三角形，所以α2＝60°.因为BB 1∥AA 1，所以BB 1与BD 1所成的角即为AA 1与BD 1所成的角．在Rt △BB 1D 1中，tanα3＝B 1D 1BB 1＝2，所以45°<α3<60°，所以α3<α2<α1. 二、填空题(本大题共5小题．把答案填在题中横线上)11．在空间直角坐标系中，已知M (2,0,0)，N (0,2,10)，若在z 轴上有一点D 满足|MD |＝|ND |，则点D 的坐标为________．解析：设D (0,0，z )，由|MD |＝|ND |，可解得z ＝5，故选A.答案：512.如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于__________．解析：因为EF ∥平面AB 1C ，而过EF 的平面ABCD 与平面AB 1C 交于AC ，所以EF ∥AC ，又因为点E 为AD 的中点，所以EF ＝12AC ＝1222＋22＝ 2. 答案： 213．若直线x ＋ay ＋2＝0和2ax ＋3y ＋1＝0互相垂直，则a 等于__________．解析：a 应满足：1×2a ＋a ×3＝0，即5a ＝0，∴a ＝0.答案：014．(2012·高考江西卷)过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．解析：∵点P在直线x＋y－22＝0上，∴可设点P(x0，－x0＋22)，且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM＝30°.故在Rt△OPM中，有OP＝2OM＝2.由两点间的距离公式得OP＝x20＋(－x0＋22)2＝2，解得x0＝ 2.故点P的坐标是(2，2)．答案：(2，2)15．过△ABC所在平面外一点P，作PO⊥平面ABC，垂足为O，连接P A，PB，PC.①若P A＝PB＝PC，∠ABC＝90°，则O为AB边的中点；②若P A＝PB＝PC，则O为△ABC的外心；③若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则O为△ABC的垂心；④若P A⊥BC，PB⊥AC，则PC⊥AB；⑤若P A＝PC，AB＝BC，则PB⊥AC.以上五种说法中正确的是__________．解析：∵P A＝PB＝PC，PO⊥平面ABC，∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，∴OA＝OB ＝OC，∴O为△ABC的外心，故①②均正确；∵P A⊥PB，PB⊥PC，且P A∩PC＝P，∴PB ⊥平面P AC.∴PB⊥AC.又∵PO⊥AC，∴AC⊥平面POB，∴BO⊥AC.同理可证AO⊥BC，因而O为△ABC的垂心；类似于③可以证明④正确；对于⑤，取AC中点为M，可得PM⊥AC，BM⊥AC，且PM∩BM＝M，∴AC⊥平面PMB，∴AC⊥PB.故⑤也正确．答案：①②③④⑤三、解答题(本大题共5小题．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.如图，在正方体ABCD-AB1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．(1)证明：AD⊥D1F；(2)求AE与D1F所成的角．解：(1)证明：因为AC1是正方体，所以AD⊥面DC1.又D1F DC1，所以AD⊥D1F.(2)取AB的中点G，连接A 1G，FG，因为F是CD的中点，所以GF AD，又A1D1AD，所以GF A1D1，故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F.设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角．因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE，∠GA1A＝∠GAH，从而∠A1HA＝90°，即直线AE与D1F所成的角为直角．17．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0(m∈R)．(1)判断直线l与圆C的位置关系；(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若直线l的倾斜角为120°，求弦AB的长．解：(1)直线l可改写为y－1＝m(x－1)，因此直线l过定点D(1,1)，又12＋(1－1)2＝1<5，所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m.又k＝tan 120°＝－3，即m＝－ 3.此时，圆心C(0,1)到直线l：3x＋y－3－1＝0的距离d ＝|－3|(3)2＋12＝32，又圆C 的半径r ＝5，所以|AB |＝2r 2－d 2＝25－⎝⎛⎭⎫322＝17. 18．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，且A 1M ＝AN .(1)求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；(2)当A 1M ＝AN ＝23a 时，求MN 的长．解：(1)证明：如图所示，作MP ∥AB 交BB1于P ，NQ ∥AB 交BC 于Q ，所以MP ∥NQ .因为PM A 1B 1＝BM A 1B ，即PM a ＝BM 2a .又因为NC AC ＝NQ AB ，所以NC 2a ＝NQ a，所以PM ＝NQ ，所以四边形MPQN 是平行四边形，所以MN ∥PQ .又因为PQ 平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C .(2)由题设AN ＝A 1M ＝23a ，所以BQ ＝a 3＝PB 1，所以BP ＝23a ，所以MN ＝PQ ＝BP 2＋BQ 2＝53a . 19．一个简单多面体的直观图和三视图如图所示，它的主视图和左视图都是腰长为1的等腰直角三角形，俯视图为正方形，E 是PD 的中点．(1)求证：PB ∥平面ACE ；(2)求证：PC ⊥BD ；(3)求三棱锥C -P AB 的体积．解：(1)证明：连接BD ，BD ∩AC ＝O ，连接OE ，易知OE 是△BPD 的中位线， ∴BP ∥OE .OE 平面ACE ，PB ⃘平面ACE ，∴PB ∥平面ACE .(2)证明：俯视图为正方形，即ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD .∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥BD .P A ∩AC ＝A ，BD ⊥平面P AC ，PC 平面P AC ，∴PC ⊥BD .(3)易知正方形ABCD 的边长为1，P A ＝1，V C -P AB ＝V P -ABC ＝13×12×1×1×1＝16. 20．已知坐标平面上点M (x ，y )与两个定点M 1(26,1)，M 2(2,1)的距离之比等于5.(1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中的轨迹为C ，过点M (－2,3)的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程．解：(1)由题意，得|M 1M ||M 2M |＝5， (x －26)2＋(y －1)2(x －2)2＋(y －1)2＝5，化简，得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0.即(x －1)2＋(y －1)2＝25. ∴点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25，轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．(2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2，此时所截得的线段的长为252－32＝8，∴l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，圆心到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1. 由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52.解得k ＝512. ∴直线l 的方程为512x －y ＋236＝0，即5x －12y ＋46＝0. 综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.。

高中数学模块综合测评(二)北师大版必修1

模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M ＝{y |y ＝2x}，P ＝{y |y ＝x －1}，则M ∩P ＝( ) A ．{y |y ＞1} B ．{y |y ≥1} C ．{y |y ＞0}D ．{y |y ≥0}【解析】 M ＝{y |y ＝2x }＝{y |y ＞0}，P ＝{y |y ＝x －1}＝{y |y ≥0}．故M ∩P ＝{y |y ＞0}．【答案】 C2．(2016·江西南昌二中高一期中)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ≤1，log 2x ，x ＞1.则f (1)＋f (4)＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 f (1)＋f (4)＝21＋1＋log 24＝5. 【答案】 A3.(2016·天津市南开大附中高一期中)已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)的值为( )A ．16B ．2 C.12D.116【解析】设幂函数为y ＝x α， ∵幂函数y ＝f (x )的图像经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22， ∴22＝2α，解得α＝－12.y ＝x －12.f (4)＝4－12＝12.故选C.【答案】 C4．(2016·河南南阳市五校高一联考)已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R }，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是( )A ．1B ．－1C ．0或1D ．－1,0或1【解析】由题意可得，集合A 为单元素集，(1)当a ＝0时，A ＝{x |2x ＝0}＝{0}，此时集合A 的两个子集是{0}，∅， (2)当a ≠0时，则Δ＝0解得a ＝±1，当a ＝1时，集合A 的两个子集是{1}，∅，当a ＝－1，此时集合A 的两个子集是{－1}，∅. 综上所述，a 的取值为－1,0,1.故选D. 【答案】 D5．(2016·河南南阳市五校高一联考)下列各组函数表示相同函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝1，g (x )＝x 2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，g (t )＝|t |D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1【解析】 A 选项中的两个函数的定义域分别是R 和[0，＋∞)，不相同；B 选项中的两个函数的对应法则不一致；D 选项中的两个函数的定义域分别是R 和{x |x ≠1}，不相同，尽管它们的对应法则一致，但也不是相同函数；C 选项中的两个函数的定义域都是R ，对应法则都是g (x )＝|x |，尽管表示自变量的字母不同，但它们依然是相同函数．故选C.【答案】 C6．(2016·山东滕州市高一期中)令a ＝60.7，b ＝0.76，c ＝log 0.76，则三个数a ，b ，c 的大小顺序是( )A ．b ＜c ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a【解析】 a ＝60.7＞60＝1，b ＝0.76＞0且b ＝0.76＜0.70＝1，c ＝log 0.76＜log 0.71＝0. 【答案】 D7．(2016·湖南长沙一中高一期中)当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x与y ＝log a x 的图像( )A ． B.C ． D.【解析】 ∵函数y ＝a －x可化为y ＝(1a)x ，其底数大于0小于1，是减函数，又y ＝log a x ，当a ＞1时是增函数，两个函数是一增一减，前减后增．故选A.【答案】 A8．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＜0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0,1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)∪(0,1)【解析】由题意f (x )的图像如图所示，故f (x )＜0的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．【答案】 D9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 3x |0＜x ≤9，－x ＋11x ＞9，若a ，b ，c 均不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )【导学号：04100087】A ．(0,9)B ．(2,9)C ．(9,11)D ．(2,11)【解析】作出f (x )的图像：则log 3a ＝－log 3b ， ∴ab ＝1.设f (a )＝f (b )＝f (c )＝t ，则a ＝3－t，b ＝3t，c ＝11－t .由图可知0＜t ＜2， ∴abc ＝11－t ∈(9,11)．【答案】 C10．(2016·吉林延边州高一期末)函数f (x )＝4x－3·2x＋3的值域为[1,7]，则f (x )的定义域为( )A ．(－1,1)∪[2,4]B ．(0,1)∪[2,4]C ．[2,4]D ．(－∞，0)∪[1,2]【解析】设t ＝2x ，则t ＞0，且y ＝t 2－3t ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋34≥34.∵函数f (x )＝4x －3·2x＋3的值域为[1,7]， ∴函数y ＝t 2－3t ＋3的值域为[1,7]．由y ＝1得t ＝1或2，由y ＝7得t ＝4或－1(舍去)，则0＜t ≤1或2≤t ≤4，即0＜2x ≤1或2≤2x≤4，解得x ＜0或1≤x ≤2， ∴f (x )的定义域是(－∞，0]∪[1,2]，故选D. 【答案】 D11．(2016·黑龙江哈尔滨高一期末)已知函数f (x )＝2x －P ·2－x，则下列结论正确的是( )A ．P ＝1，f (x )为奇函数且为R 上的减函数B ．P ＝－1，f (x )为偶函数且为R 上的减函数C ．P ＝1，f (x )为奇函数且为R 上的增函数D ．P ＝－1，f (x )为偶函数且为R 上的增函数【解析】当P ＝1时，f (x )＝2x－2－x，定义域为R 且f (－x )＝2－x－2x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．∵2x 是R 上增函数，2－x是R 的减函数，∴f (x )＝2x －2－x为R 上的增函数．因此选项C 正确．当P ＝1时，f (x )＝2x＋2－x，定义域为R 且f (－x )＝2－x＋2x＝f (x )，∴f (x )为偶函数．根据1＜2，f (1)＜f (2)可知f (x )在R 上不是减函数；根据－2＜－1，f (－2)＞f (－1)可知f (x )在R 上不是增函数．因此选项B 、D 不正确．故选C.【答案】 C12．若关于x 的方程⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－22－a －2＝0有实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．(－1,2]C ．(－2,1]D ．[－1,2)【解析】令f (x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－22－2，∵0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |≤1，∴－2<⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－2≤－1，则1≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－22<4，故f (x )∈[－1,2)．由方程⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－22－a －2＝0有实数根，得a ∈[－1,2)．故选D. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．(2016·湖南长沙一中高一期中)函数f (x )＝ax 2＋(b ＋13)x ＋3是偶函数，且定义域为[a －1,2a ]，则a ＋b ＝__________.【解析】 ∵函数f (x )＝ax 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13x ＋3是偶函数，且定义域为[a －1,2a ]，由偶函数的定义域关于原点对称可得(a －1)＋2a ＝0，解得a ＝13，所以函数f (x )＝13x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13x ＋3.由题意可得f (－x )＝f (x )恒成立，即13(－x )2＋(b ＋13)(－x )＋3＝13x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13x ＋3对任意的实数x 都成立，所以有b ＋13＝0，解得b ＝－13，所以a ＋b ＝0.【答案】 014．(2016·福建龙岩高一期末)函数f (x )＝log 12(x 2－2x －3)的单调递增区间为________．【解析】函数f (x )的定义域为{x |x ＞3或x ＜－1}．令t ＝x 2－2x －3，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在(0，＋∞)单调递减，t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1)单调递减，在(3，＋∞)单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为(－∞，－1)．【答案】 (－∞，－1)15．(2016·安徽合肥八中高一段考)将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为__________. 【导学号：04100088】【解析】设正方形周长为x ，则圆的周长为1－x ，半径r ＝1－x 2π，∴S 正＝(x 4)2＝x 216，S 圆＝π·1－x24π2，∴S 正＋S 圆＝π＋4x 2－8x ＋416π(0＜x ＜1)，∴当x ＝4π＋4时有最小值．【答案】4π＋416．(2016·内蒙古杭锦后旗奋斗中学高一月考)已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数，则不等式f (－1)＜f (ln x )的解集是________．【解析】由已知f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数，在区间(0，＋∞)上是单调增函数，当ln x ＞0，f (1)＜f (ln x )，则1＜ln x ，有x ＞e ，当ln x ＜0，f (－1)＜f (ln x )，则－1＞ln x ，有0＜x ＜1e综上，不等式f (－1)＜f (ln x )的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞)．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(e ，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2016·山东滕州市高一期中)计算下列各式的值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫21412－(－9.6)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋(1.5)－2 (2)log 34273＋lg25＋lg4＋7log 72. 【解】(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫942－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322×12－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－3×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝12. (2)原式＝log 33343＋lg(25×4)＋2＝log 33－14＋lg102＋2＝－14＋2＋2＝154.18．(本小题满分12分)(2016·江西南昌二中高一期中) 已知集合A ＝{}x | 2≤2x≤16，B ＝{}x | log 3x ＞1.(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．【解】 (1)由已知得A ＝{x |1≤x ≤4}，B ＝{x |x ＞3}，∴A ∩B ＝{x |3＜x ≤4}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}∪{x |1≤x ≤4}＝{x |x ≤4}． (2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a ＞1时，由C ⊆A 得1＜a ≤4. 综上，a 的取值范围为(－∞，4]．19．(本小题满分12分)(2016·河南许昌市四校高一联考)已知函数f (x )＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且f (3)＜f (5)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若g (x )＝log a [f (x )－ax ](a ＞0且a ≠1)在区间[2,3]上为增函数，求实数a 的取值范围．【解】 (1)∵f (x )为偶函数， ∴－2m 2＋m ＋3为偶数．又f (3)＜f (5)，∴3－2m 2＋m ＋3＜5－2m 2＋m ＋3，即有⎝ ⎛⎭⎪⎫35－2m 2＋m ＋3＜1，∴－2m 2＋m ＋3＞0，∴－1＜m ＜32.又m ∈Z ，∴m ＝0或m ＝1.当m ＝0时，－2m 2＋m ＋3＝3为奇数(舍去)；当m ＝1时，－2m 2＋m ＋3＝2为偶数，符合题意． ∴m ＝1，f (x )＝x 2.(2)由(1)知，g (x )＝log a [f (x )－ax ]＝log a (x 2－ax )(a ＞0且a ≠1)在区间[2,3]上为增函数．令u (x )＝x 2－ax ，y ＝log a u ，①当a ＞1时，y ＝log a u 为增函数，只需u (x )＝x 2－ax 在区间[2,3]上为增函数，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≤0，u 2＝4－2a ＞0，1＜a ＜2；②当0＜a ＜1时，y ＝log a u 为减函数，只需u (x )＝x 2－ax 在区间[2,3]上为减函数，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≥3，u 3＝9－3a ＞0，a ∈∅，综上可知，a 的取值范围为(1,2)．20．(本小题满分12分)(2016·江西南昌二中高一期中)设函数f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)，(1)若f (1)<0，试判断函数单调性并求使不等式f (x 2＋tx )＋f (4－x )<0恒成立的t 的取值范围；(2)若f (1)＝32，g (x )＝a 2x ＋a －2x－2mf (x )且g (x )在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值．【解】 (1)f (x )＝a x－a －x(a >0且a ≠1)， ∵f (1)<0，∴a －1a<0，又a >0，且a ≠1，∴0<a <1.∵a x 单调递减，a －x单调递增，故f (x )在R 上单调递减．不等式化为f (x 2＋tx )<f (x －4)，∴x 2＋tx >x －4，即x 2＋(t －1)x ＋4>0恒成立， ∴Δ＝(t －1)2－16<0，解得－3<t <5.(2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12(舍去)，∴g (x )＝22x＋2－2x －2m (2x －2－x )＝(2x －2－x )2－2m (2x －2－x)＋2.令t ＝f (x )＝2x－2－x，由(1)可知f (x )＝2x －2－x为增函数．∵x ≥1，∴t ≥f (1)＝32，令h (t )＝t 2－2mt ＋2＝(t －m )2＋2－m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥32.若m ≥32，当t ＝m 时，h (t )min ＝2－m 2＝－2，∴m ＝2.若m <32，当t ＝32时，h (t )min ＝174－3m ＝－2，解得m ＝2512>32，舍去．综上可知，m ＝2.21．(本小题满分12分)(2016·山东滕州市高一期中)设函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，且19≤x ≤9.(1)求f (3)的值；(2)令t ＝log 3x ，将f (x )表示成以t 为自变量的函数，并由此求函数f (x )的最大值与最小值及与之对应的x 的值. 【导学号：04100089】【解】 (1)f (3)＝log 327·log 39＝3×2＝6.(2)因为t ＝log 3x ，又∵19≤x ≤9，∴－2≤log 3x ≤2，即－2≤t ≤2.由f (x )＝(log 3x ＋2)·(log 3x ＋1)＝(log 3x )2＋3log 3x ＋2＝t 2＋3t ＋2.令g (t )＝t 2＋3t ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322－14，t ∈[－2,2]．①当t ＝－32时，g (t )min ＝－14，即log 3x ＝－32，则x ＝3－32＝39，∴f (x )min ＝－14，此时x ＝39；②当t ＝2时，g (t )max ＝g (2)＝12，即log 3x ＝2，x ＝9， ∴f (x )max ＝12，此时x ＝9.22．(本小题满分12分)(2016·山东青州市高一期中)已知指数函数y ＝g (x )满足：g (3)＝8，定义域为R 的函数f (x )＝1－g xm ＋2g x是奇函数．(1)确定y ＝f (x )和y ＝g (x )的解析式； (2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明；(3)若对于任意x ∈[－5，－1]，都有f (1－x )＋f (1－2x )＞0成立，求x 的取值范围．【解】 (1)设g (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，则a 3＝8， ∴a ＝2，∴g (x )＝2x.因为f (x )＝1－2x2x ＋1＋m ，又f (－1)＝－f (1)，∴1－12m ＋1＝1－24＋m⇒m ＝2，经检验，满足题意，所以f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x＋1. (2)f (x )为减函数，证明如下：由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x＋1. 任取x 1，x 2∈R ，设x 1＜x 2则f (x 2)－f (x 1)＝12x 2＋1＝12x 1＋1＝2x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1，因为函数y ＝2x在R 上是增函数且x 1＜x 2，∴2x 1－2x 2＜0. 又(2x 1＋1)(2x 2＋1)＞0∴f (x 2)－f (x 1)＜0即f (x 2)＜f (x 1)， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)因f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，从而由不等式f (1－x )＋f (1－2x )＞0得f (1－x )＞－f (1－2x )即f (1－x )＞f (2x －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＜2x －1，－5≤1－x ≤－1，－5≤1－2x ≤－1，解得2≤x ≤3，即x 的取值范围是[2,3]．。

高中数学北师大版必修2：综合测试2(含答案)

本册综合测试二本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()A．－1B．1C．3 D．－3[答案] B[解析]该题考查圆的标准方程和一般方程的互化，以及圆与直线的关系，属简单题．圆的圆心为(－1,2)代入直线3x＋y＋a＝0，∴－3＋2＋a＝0，∴a＝1.2．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系为()A．相交、平行或异面B．相交或平行C．异面D．平行或异面[答案] A[解析]a与c可以相交、平行或异面，分别如下图中的(1)，(2)，(3)．3．下列四个结论：①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；②两条直线没有公共点，则这两条直线平行；③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析]所有结论都是错误的，故选A.4．分别过点A (1,3)和点B (2,4)的直线l 1和l 2互相平行且有最大距离，则l 1的方程是( ) A ．x －y －4＝0 B ．x ＋y －4＝0 C ．x ＝1 D ．y ＝3[答案] B[解析] 当l 1与l 2之间距离最大时，l 1⊥AB ，故l 1的斜率为－1.5．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．－1或 3 B ．1或3 C ．－2或6 D ．0或4 [答案] D[解析] 由圆心(a,0)，半径2，弦长l ＝22，得弦心距d ＝r 2－(l2)2＝ 2.即(a,0)到直线x －y ＝2的距离为2，所以|a －0－2|1＋1＝2，解得a ＝0或a ＝4.6．(2014·湖南理)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 本题考查三视图及球的基础知识．由图可得该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ，则r ＝6＋8＋82＋622－82＋62⇒r ＝2，故选B.直角三角形的内切圆半径为周长的一半减去斜边．7．三棱锥P －ABC 中，P A 、PB 、PC 两两互相垂直，且P A ＝1，PB ＝PC ＝2，则点P 到平面ABC 的距离是( )A ．22B ． 2C ．26D ．1[答案] A[解析] 取BC 中点D ，∵PB ⊥PC ，PB ＝PC ＝2， ∴PD ＝DC ＝12BC ＝1，连AD ，则AD ⊥BC ，且AD ＝(3)2－1＝2，∴S △ABC ＝12×2×2＝ 2.由V P －ABC ＝V A －PBC ，∴13·S △ABC ·h ＝13·S △PBC ·P A ，∴13×2h ＝13×12×2，∴h ＝22. 8．从原点O 引圆(x －m )2＋(y －2)2＝m 2＋1的切线y ＝kx ，当m 变化时，切点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝3B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝3D ．x 2＋y 2＝2[答案] A[解析] 设切点P (x ，y )，圆心C (m,2)，则在直角三角形OPC 中，由勾股定理可得m 2＋4＝m 2＋1＋x 2＋y 2，∴切点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3.9．如图所示，在酒泉卫星发射场某试验区，用四根垂直于地面的立柱支撑着一个平行四边形的太阳能电池板，可测得其中三根立柱AA 1、BB 1、CC 1的长度分别为10 m 、15 m 、30 m ，则立柱DD 1的长度是( )A ．30 mB ．25 mC ．20 mD ．15 m [答案] B[解析] 由题意知，CC 1－DD 1＝BB 1－AA 1＝5， ∴DD 1＝25 m.10．已知正四棱锥P－ABCD的侧棱长为23a，侧面等腰三角形的顶角为30°，则从点A出发环绕侧面一周后回到点A的最短距离为()A．22a B．4aC．6a D．123a[答案] C[解析]将四棱锥的侧面展开，如图．所求最短距离为AA′，由AP＝A′P＝23a，∠AP A′＝4×30°＝120°，∴AA′＝AP·cos30°×2＝23a×32×2＝6a.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．已知直线ax＋by＋c＝0与圆：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝3，则∠AOB ＝________.[答案]120°[解析]如图所示，作OD⊥AB，Rt△AOD中，OA＝1，AD＝32，∴∠AOD＝60°，∴∠AOB＝120°.12．两圆(x＋1)2＋(y－1)2＝r2和(x－2)2＋(y＋2)2＝R2相交于P，Q两点，若点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为________．[答案](－2，－1)[解析]两圆的圆心分别为O1(－1,1)，O2(2，－2)，直线O1O2的方程为y＝－x.由于两圆的交点为P，Q所以P，Q两点关于直线y＝－x对称．又点P的坐标为(1,2)，则点Q的坐标为(－2，－1)．13．若正三棱台的上、下底面的边长为2和8，侧棱长为5，则这个棱台的高是________．[答案]13[解析]如图，设O1，O分别为上，下底面的中心，则A1O1＝23×32×2＝233，AO＝83 3.连接O1O，则O1O为高．所以O1O＝A1A2－(AO－O1A1)2＝52－(23)2＝13.14．(2014·山东文，14)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x 轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为________．[答案](x－2)2＋(y－1)2＝4[解析]本题考查圆的标准方程的求法，结合图形．∵圆心在x－2y＝0上，设圆心(2b，b)，由圆与y轴相切，∴r＝2|b|又截x轴弦长23，圆心到x轴距离d＝|b|∴在Rt△ABC中，r2＝4b2＝b2＋(3)2，∴b2＝1又圆C与y轴正半轴相切．故b>0，∴b＝1.∴方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.该题要注意b的正负号．15．如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，P A⊥平面ABC，P A＝2AB，则下列结论正确的是________．(1)PB⊥AD；(2)平面P AB⊥平面PBC；(3)直线BC∥平面P AE；(4)∠PDA＝45°.[答案](4)[解析]若PB⊥AD，则AD⊥AB，但AD与AB成60°角，(1)错误；过A作AG⊥PB，若平面P AB⊥平面PBC，∴AG⊥BC，又∵P A⊥BC，∴BC⊥平面P AB，∴BC⊥AB，矛盾，(2)错误；BC与AE是相交直线，∴直线BC一定不与平面P AE平行，(3)错误；在Rt△P AD中，由于AD＝2AB＝P A，∴∠PDA＝45°，(4)正确．三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知点A(2，－1)，B(5,3)，若直线l：kx－y＋1＝0与线段AB 相交，求k的取值范围．[解析]解法一：由方程kx－y＋1＝0可知，直线l恒过定点P(0,1)，如图所示，连接P A，PB，解得k P A＝－1，k PB＝25.又∵直线l的斜率为k，∴k 的取值范围为－1≤k ≤25.解法二：由两点式求得直线AB 的方程为4x －3y －11＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －11＝0，kx －y ＋1＝0.解得x ＝－143k －4，满足2≤－143k －4≤5，解得－1≤k ≤25.17．(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)若BD ＝1，求三棱锥D －ABC 的表面积． [解析] (1)∵折起前AD 是BC 边上的高． ∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，又DB ∩DC ＝D ， ∴AD ⊥平面BDC ， ∵AD 平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BDC .(2)由(1)知，DA ⊥DB ，DB ⊥DC ，DC ⊥DA ， ∵DB ＝DA ＝DC ＝1， ∴AB ＝BC ＝CA ＝2，从而S △DAB ＝S △DBC ＝S △DCA ＝12×1×1＝12，S △ABC ＝12×2×2×sin60°＝32，∴表面积S＝12×3＋32＝3＋32.18．(本小题满分12分)(江苏高考)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.[解析]思路分析：(1)从线面平行出发，证明面面平行．(2)由线面垂直，直接证明BC⊥SA.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为E F⃘平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC，因为BC 平面SBC ，所以AF ⊥BC .又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ，AB 平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB . 因为SA 平面SAB ，所以BC ⊥SA .19．(本小题满分12分)求圆心在⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝2上，且与x 轴，直线x ＝－12都相切的圆的方程．[解析] 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫a －322＋b 2＝2，|b |＝r ，⎪⎪⎪⎪a ＋12＝r .即⎩⎨⎧a 2－3a ＋94＋b 2＝2，b 2＝a 2＋a ＋14.解得a ＝12，b ＝±1，r ＝1，故所求圆的方程为：⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －1)2＝1或⎝⎛⎭⎫x －122＋(y ＋1)2＝1. 20．(本小题满分13分)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2.(1)求证：DE ∥平面A 1CB ； (2)求证：A 1F ⊥BE ；(3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由．[解析](1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为D E⃘平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰直角三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.。

高中数学模块综合评估2(含解析)北师大版必修1-北师大版高一必修1数学试题

模块综合评估(二)时间：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．若全集U ＝{1,2,3,4}且∁U A ＝{2}，则集合A 的真子集共有( C ) A ．3个 B ．5个 C ．7个D ．8个解析：由题意知，A ＝{1,3,4}，则A 的真子集共有23－1＝7(个)．2.设U 是全集，M ，P ，S 是U 的三个子集，则阴影部分所示的集合为( D )A ．(M ∩P )∩SB ．(M ∩P )∪(∁U S )C ．(M ∩P )∪SD ．(M ∩P )∩(∁U S )解析：由题图知，阴影部分在集合M 中，在集合P 中，但不在集合S 中，故阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩(∁U S )．3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( D ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：若函数为增函数，其图像为从左向右依次上升；若函数为奇函数，其图像关于原点对称．经分析，A 选项函数的图像不关于原点对称，不是奇函数，排除；B 选项函数的图像从左向右依次下降，为减函数，排除；C 选项函数的图像分别在两个单调区间里从左向右依次下降，为减函数，排除；故选D.其实对于选项D ，我们也可利用x >0，x ＝0，x <0分类讨论其解析式，然后画出图像，经判断符合要求．4．函数f (x )＝4－x ＋lg(x －1)＋(x －2)0的定义域为( B ) A ．{x |1<x ≤4}B ．{x |1<x ≤4，且x ≠2}C ．{x |1≤x ≤4，且x ≠2}D ．{x |x ≥4}解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0，x －1>0，x －2≠0，解得1<x ≤4且x ≠2，故选B .5．使函数y ＝log 12(x 2－5x ＋6)是增加的区间为( D ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ B ．(3，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，52D ．(－∞，2)6．如果偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数且最小值是2，那么f (x )在(－∞，0]上是( A )A ．减函数且最小值是2B ．减函数且最大值是2C ．增函数且最小值是2D ．增函数且最大值是2解析：由偶函数图像关于y 轴对称，可知偶函数在原点两侧的对称区间上单调性相反，所以函数f (x )在(－∞，0]上为减函数，且最小值为2.7．若关于x 的方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图像可以是( D )解析：因为关于x 的方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，所以函数y ＝f (x )与y ＝2的图像在(－∞，0)内有交点，观察图像可知只有D 中图像满足要求．8．函数f(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1x 2－4x ＋3，x >1的图像和函数g(x )＝log 2x 的图像的交点个数是( C )A ．1B ．2C ．3D ．49．若函数f(x )，g(x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x，则f (2)，f (3)，g (0)的大小关系是( C )A ．g (0)<f (3)<f (2)B ．f (2)<f (3)<g (0)C ．g (0)<f (2)<f (3)D ．f (3)<f (2)<g (0)解析：因为f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数，偶函数，所以由f (－x )－g (－x )＝e －x，得f (x )＋g (x )＝－e －x.又因为f (x )－g (x )＝e x ，所以f (x )＝12(e x －e －x)，g (x )＝－12(e x ＋e －x )．所以g (0)＝－1，f (x )在区间(0，＋∞)内是增加的，所以f (3)>f (2)>f (0)＝0>－1＝g (0)．10．若函数f (x )＝lg(10x＋1)＋ax 是偶函数，g (x )＝4x－b2x 是奇函数，则a ＋b 的值是( A )A.12 B ．1C ．－12D ．－1解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即lg(10－x＋1)－ax ＝lg(10x＋1)－(a ＋1)x ＝lg(10x ＋1)＋ax ，∴a ＝－(a ＋1)，a ＝－12.∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，即2－x－b2－x ＝－2x＋b 2x ，∴b ＝1.∴a ＋b ＝12. 11．已知函数f (x )与g (x )＝e x互为反函数，函数y ＝h (x )的图像与y ＝f (x )的图像关于x 轴对称，若h (a )＝1，则实数a 的值为( C )A ．－eB ．－1eC.1eD ．e解析：f (x )＝ln x ，h (x )＝－ln x ，h (a )＝1，∴a ＝1e.12．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，则a 的取值X 围为( D )A ．－6≤a ≤2B ．－7≤a ≤73C ．－7≤a ≤－4D ．－7≤a ≤2二、填空题(每小题5分，共20分)13．函数y ＝3－2x －x 2的定义域是[－3,1]．解析：要使函数有意义，必须3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，∴－3≤x ≤1. 14．函数f (x )对于任意函数x 满足条件f (x ＋2)＝1f x，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝－15.解析：由f (x ＋2)＝1f x得f (x ＋4)＝1f x ＋2＝f (x )，所以f (5)＝f (1)＝－5，则f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝1f－1＋2＝1f 1＝－15.15．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上为增函数，f (2)＝0，则不等式f (|log 2x |)>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14∪(4，＋∞)．解析：由题意得f (|log 2x |)>f (2)．又f (x )在[0，＋∞)上为增函数，所以|log 2x |>2，即log 2x >2或log 2x <－2.解得x >4或0<x <14.16．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数．当x <0时，f (x )＝e x(x ＋1)，其中e ＝2.718 28…，给出下列命题： ①当x >0时，f (x )＝e x(1－x )； ②函数f (x )有2个零点；③f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．其中所有正确的命题序号是③.解析：由f (x )是奇函数，且x <0，f (x )＝e x(x ＋1)，得x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－[e－x(－x ＋1)]＝e －x(x －1)，①错；当x <0时，函数零点为－1，则x >0时，函数零点为1，又f (x )是R 上的奇函数，因此0也是函数的零点，f (x )有3个零点，②错；由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －xx －1，x >0，0， x ＝0，e x x ＋1，x <0，则当x >0时，f (x )>0，得x >1，x <0时，由f (x )>0，得－1<x <0，即③正确．三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分) 17．(10分)计算下列各式的值． (1)lg2＋lg5－lg8lg50－lg40；解：(1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1；(2)原式＝·log 5(10－3－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14·log 55＝－14.18．(12分)已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1(a ≠0)． (1)若函数f (x )有两个零点，求a 的取值X 围；(2)若函数f (x )在区间(0,1)与(1,2)上各有一个零点，求a 的取值X 围．解：(1)函数f (x )有两个零点，即方程ax 2－2x ＋1＝0(a ≠0)有两个不等实根，令Δ>0，即4－4a >0，解得a <1.又因为a ≠0，所以a 的取值X 围为(－∞，0)∪(0,1)．(2)若函数f (x )在区间(0,1)与(1,2)上各有一个零点，则0<－－22a <2，即a >12.由f (x )的图像可知，只需⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0，f 1<0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧1>0，a －1<0，4a －3>0，解得34<a <1.19．(12分)已知函数f (x )＝2x 2－4x ＋a ，g (x )＝log a x (a >0且a ≠1)． (1)若函数f (x )在[－1,2m ]上不具有单调性，某某数m 的取值X 围； (2)若f (1)＝g (1)． ①某某数a 的值；②设t 1＝12f (x )，t 2＝g (x )，t 3＝2x，当x ∈(0,1)时，试比较t 1，t 2，t 3的大小．解：(1)因抛物线y ＝2x 2－4x ＋a 开口向上，对称轴为x ＝1，所以函数f (x )在(－∞，1]上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的，由函数f (x )在[－1,2m ]上不单调知，由2m >1，得m >12，所以实数m 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. (2)①因f (1)＝g (1)，所以－2＋a ＝0，所以实数a 的值为2. ②因t 1＝12f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，t 2＝g (x )＝log 2x ，t 3＝2x，所以当x ∈(0,1)时，t 1∈(0,1)，t 2∈(－∞，0)，t 3∈(1,2)，即t 2<t 1<t 3.20．(12分)已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )，当x 2>x 1>0时，f (x 2)>f (x 1)．(1)求f (1)，f (4)，f (8)的值；(2)若有f (x )＋f (x －2)≤3成立，求x 的取值X 围．解：(1)由题意得，f (1)＝f (1)＋f (1)，f (4)＝f (2)＋f (2)＝1＋1＝2，f (8)＝f (2)＋f (4)＝1＋2＝3.∴f (1)＝0，f (4)＝2，f (8)＝3.(2)∵f (x )＋f (x －2)≤3，∴f [x (x －2)]≤f (8)．又∵对于函数f (x )，当x 2>x 1>0时f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴x (x －2)≤8，且x －2>0，解得2<x ≤4. ∴x 的取值X 围为(2,4]．21．(12分)某村电费收取有以下两种方案供农户选择：方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度时，每度0.5元；超过30度时，超过部分按每度0.6元收取．方案二：不收管理费，每度0.58元．(1)求方案一收费L (x )元与用电量x (度)间的函数关系．(2)老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少度？ (3)老王家月用电量在什么X 围时，选择方案一比选择方案二更好？解：(1)当0≤x ≤30时，L (x )＝2＋0.5x ；当x >30时，L (x )＝2＋30×0.5＋(x －30)×0.6＝0.6x －1.L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋0.5x ，0≤x ≤30，0.6x －1，x >30.(2)当0≤x ≤30时，由L (x )＝2＋0.5x ＝35得x ＝66，舍去．当x >30时，由L (x )＝0.6x －1＝35得x ＝60.∴老王家该月用电60度． (3)设按方案二收费为F (x )元，则F (x )＝0.58x .当0≤x ≤30时，由L (x )<F (x )，得2＋0.5x <0.58x ，∴x >25，∴25<x ≤30. 当x >30时，由L (x )<F (x )，得0.6x －1<0.58x ，∴x <50， ∴30<x <50.综上，25<x <50.故老王家月用电量在25度到50度X 围内(不含25度、50度)时，选择方案一比方案二更好．22.(12分)已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a ≠0，b <1)，在区间[2,3]上有最大值4，最小值1，设f (x )＝g xx. (1)求a ，b 的值；(2)不等式f (2x )－k ·2x≥0在x ∈[－1,1]上恒成立，某某数k 的取值X 围．解：(1)g (x )＝a (x －1)2＋1＋b －a ，当a >0时，g (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ g 2＝1，g3＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －4a ＋1＋b ＝1，9a －6a ＋1＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，g (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧g2＝4，g 3＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧4a －4a ＋1＋b ＝4，9a －6a ＋1＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∵b <1，∴a ＝1，b ＝0.(2)由(1)知，g (x )＝x 2－2x ＋1，f (x )＝x ＋1x－2. 不等式f (2x )－k ·2x ≥0可化为2x ＋12x －2≥k ·2x，1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－22x ≥k .令12x ＝m ，则k ≤m 2－2m ＋1.∵x ∈[－1,1]，∴m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.记h (m )＝m 2－2m ＋1，则h (m )min ＝0.∴k ≤0.。

北师大版数学高一-必修2章末综合测评2

章末综合测评(二) 解析几何初步(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．空间两点A(3，－2,5)，B(6,0，－1)之间的距离为()A．6B．7C．8 D．9【解析】|AB|＝(3－6)2＋(－2－0)2＋(5＋1)2＝7，故选B.【答案】 B2．过两点A(－2，m)，B(m,4)的直线倾斜角是45°，则m的值是()A．－1 B．3C．1 D．－3【解析】由k AB＝m－4－2－m＝tan 45°＝1，解得m＝1.【答案】 C3．过点(－1,3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为() A．x－2y＋7＝0 B．2x＋y－1＝0C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0【解析】∵直线x－2y＋3＝0的斜率为12，∴所求直线的方程为y－3＝12(x＋1)，即x－2y＋7＝0.【答案】 A4．已知直线l1：ax－y－2＝0和直线l2：(a＋2)x－y＋1＝0互相垂直，则实数a的值为()A．－1 B．0C．1 D．2【解析】l1的斜率为a，l2的斜率为a＋2，∵l 1⊥l 2，∴a (a ＋2)＝－1， ∴a 2＋2a ＋1＝0即a ＝－1. 【答案】 A5．如图1，在正方体OABC -O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为( )图1A ．(2,2,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，43 【解析】 ∵|EB |＝2|EB 1|，∴|EB |＝23|BB 1|＝43. 又E 在B 1B 上，∴E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，43.【答案】 D6．若以点C (－1,2)为圆心的圆与直线x －2y ＋3＝0没有公共点，则圆的半径r 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，255 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，355 C ．(0，5)D ．(0,25)【解析】设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|－1－4＋3|12＋(－2)2＝255.若直线与圆没有公共点，则0<r <255，故选A.【答案】 A7．已知直线l 1的方程为x ＋Ay ＋C ＝0，直线l 2的方程为2x －3y ＋4＝0，若l 1，l 2的交点在x 轴上，则C 的值为( )A ．2B ．－2C ．±2D ．与A 有关【解析】在2x －3y ＋4＝0中，令y ＝0，得x ＝－2，即直线2x －3y ＋4＝0与x 轴的交点为(－2,0)．∵点(－2,0)在直线x ＋Ay ＋C ＝0上，∴－2＋A ×0＋C ＝0，∴C ＝2.【答案】 A8．若a ，b 满足a ＋2b ＝1，则直线ax ＋3y ＋b ＝0必过定点( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－16 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，16 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，16 【解析】令a ＝－1，b ＝1或a ＝1，b ＝0，得直线方程分别为－x ＋3y ＋1＝0，x ＋3y ＝0，其交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－16，此即为直线所过的定点．故选B. 【答案】 B9．已知平面内两点A (1,2)，B (3,1)到直线l 的距离分别是2， 5－2，则满足条件的直线l 的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】由题知满足题意的直线l 在线段AB 两侧各有1条，又因为|AB |＝ 5，所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线，故共3条．【答案】 C10．若圆心在x 轴上，半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5【解析】设圆心O (a,0)，(a <0)，则5＝|a|1＋22，∴|a|＝5，∴a＝－5，∴圆O的方程为(x＋5)2＋y2＝5.【答案】 D11．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为()A. 3 B．2C. 6 D．2 3【解析】由题意得直线方程y＝3x，即3x－y＝0.圆方程x2＋(y－2)2＝4.圆心到直线的距离是d＝23＋1＝1，∴弦长|AB|＝24－1＝2 3.【答案】 D12．已知点P(x，y)是直线y＝22x－4上一动点，PM与PN是圆C：x2＋(y －1)2＝1的两条切线，M，N为切点，则四边形PMCN的最小面积为()【导学号：10690077】A.43 B.23C.53 D.56【解析】由题意知，圆C的圆心为C(0,1)，半径为1，故|PC|2＝|PN|2＋1.又S四边形PMCN＝2×12×|PN|×1＝|PN|，故当|PN|最小时，四边形PMCN的面积最小，此时|PC|最小，又|PC|的最小值即为点C到直线的距离d＝5(22)2＋1＝5 3，此时|PN|＝43，故四边形PMCN面积的最小值为43，故选A.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．两圆x2＋y2＝1，(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝________.【解析】由a2＋16＝6，得a＝±25；由a2＋16＝4，得a＝0.【答案】0，±2 514．经过点A(1,1)且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的直线方程为______．【解析】当直线过原点时，满足要求，此时直线方程为x－y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为xa ＋ya＝1，由于点(1,1)在直线上，所以a＝2，此时直线方程为x＋y－2＝0.【答案】x－y＝0或x＋y－2＝015．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则a2＋b2的最小值为________．【解析】a2＋b2的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离d＝|0＋0－15|32＋42＝3.【答案】 316．若圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0的过点P(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝________.【解析】圆方程化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，∴圆心C为(2，－3)，∴过点P的最大弦长为直径10，当弦垂直于CP时弦长最短，|CP|＝32＋32＝32，∴最短弦长为225－(32)2＝27，即m＝10，n＝27，∴m－n＝10－27.【答案】10－27三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l平行于直线3x＋4y－7＝0，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，求直线l的方程．【解】设l：3x＋4y＋m＝0，当y＝0时，x＝－m 3；当x＝0时，y＝－m4.∵直线l与两坐标轴围成的三角形面积为24，∴12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m4＝24，∴m＝±24，∴直线l的方程为3x＋4y＋24＝0或3x＋4y－24＝0.18．(本小题满分12分)如图2所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．图2【解】以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，D (1,1,0)，E (0,1,2)，F (1,0,0)， ∴|DE |＝(1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2＝5，|EF |＝(0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2＝ 6.19．(本小题满分12分)菱形ABCD 中，A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程．【解】 (1)k BC ＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2， ∴直线AD 方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0.(2)k AC ＝－65，∵菱形对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56，而AC 中点(1,1)，也是BD 的中点，∴直线BD 的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0.20．(本小题满分12分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．(1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程．【解】 (1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1,0)，因直线l 过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为 y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y －6＝0.21．(本小题满分12分)自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．【解】如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C 1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切．设l 的方程为y －3＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3＋3k ＝0. 则|5k ＋5|1＋k2＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0，∴k 1＝－43，k 2＝－34. 则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0.22．(本小题满分12分)已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值．【解】设P ，Q 两点坐标为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，由OP ⊥OQ 可得x 1x 2＋y 1y 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，x ＋2y －3＝0，可得5y 2－20y ＋12＋m ＝0， ①所以y 1y 2＝12＋m5，y 1＋y 2＝4.又x 1x 2＝(3－2y 1)(3－2y 2)＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2 ＝9－24＋45(12＋m )，所以x 1x 2＋y 1y 2＝9－24＋45(12＋m )＋12＋m 5＝0，解得m＝3.将m＝3代入方程①，可得Δ＝202－4×5×15＝100>0，可知m＝3满足题意，即实数m的值为3.。

北师版数学必修2：模块综合测评

模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.直线x 3－y 3＝1的倾斜角的大小为( ) A.30°B.60°C.120°D.150° 【解析】由x 3－y 3＝1，得该直线的斜率k ＝33，故倾斜角为30°. 【答案】 A2.在空间直角坐标系中，点B 是A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的射影，O 为坐标原点，则|OB |等于( ) A.14 B.13 C.2 3 D.11【解析】点A (1,2,3)在yOz 坐标平面内的投影为B (0,2,3)， ∴|OB |＝02＋22＋32＝13.【答案】 B3.点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是( )A.(－a －1，－b －1)B.(－b －1，－a －1)C.(－a ，－b )D.(－b ，－a ) 【解析】设对称点为(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y ′－b x ′－a ×(－1)＝－1，x ′＋a 2＋y ′＋b 2＋1＝0，解得：x′＝－b－1，y′＝－a－1.【答案】 B4.已知M，N分别是正方体AC1的棱A1B1，A1D1的中点，如图1是过M，N，A和D，N，C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为()图1【解析】由主视图的性质知，几何体的正投影为一正方形，正面有可见的一棱和背面有不可见的一棱，故选B.【答案】 B5.若{(x，y)|ax＋2y－1＝0}∩{(x，y)|x＋(a－1)y＋1＝0}＝∅，则a等于()【导学号：39292136】A.32 B.2C.－1D.2或－1【解析】依题意，两直线平行.由a(a－1)－2×1＝0，得a2－a－2＝0，a ＝2或－1.又当a＝－1时，两直线重合，故选B.【答案】 B6.已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是()A.l∥m，l⊥αB.l⊥m，l⊥αC.l⊥m，l∥αD.l∥m，l∥α【解析】如图l可以垂直m，且l平行α.。

【成才之路】2014-2015高中数学北师大版选修2-2：1章综合测试[来源：学优高考网196608]

第一章综合测试一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点2．已知f (x )＝a (2x ＋1)－22x ＋1是奇函数，那么实数a 的值等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．±1 3．不等式a ＞b 与1a ＞1b同时成立的充要条件为( )A ．a ＞b ＞0B ．a ＞0＞b C.1b ＜1a ＜0 D.1a ＞1b ＞04．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( ) A ．有一个解 B ．有两个解 C ．至少有三个解 D ．至少有两个解5．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋146．数列{a n }中前四项分别为2，27，213，219，则a n 与a n ＋1之间的关系为( )A ．a n ＋1＝a n ＋6 B.1a n ＋1＝1a n ＋3 C ．a n ＋1＝a n 1＋3a nD ．a n ＋1＝1a n7．(2014·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c；类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 48．已知a 、b 、c 、d 为正数，S ＝a a ＋b ＋c ＋b a ＋b ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋dc ＋d ＋b ，则( )A ．0＜S ＜1B ．1＜S ＜2C ．2＜S ＜3D ．3＜S ＜49．(2014·银川模拟)用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假设n ＝2k ＋1时正确，再推n ＝2k ＋3时正确(k ∈N ＋)B ．假设n ＝2k －1时正确，再推n ＝2k ＋1时正确(k ∈N ＋)C ．假设n ＝k 时正确，再推n ＝k ＋1时正确(k ∈N ＋)D ．假设n ≤k (k ≥1)时正确，再推n ＝k ＋2时正确(k ∈N ＋)10．(2014·北京理，8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( )A ．2人B ．3人C ．4人D ．5人二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．(2014·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 表示截面面积，那么类比得到的结论是________．12．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72.推测：当n ≥2时，有____________． 13．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n的最小值为________．14．(2014·济南3月模拟，13)用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ，且n >1)时，第一步要证的不等式是________．15．(2014·陕西文，14)已知f (x )＝x1＋x ，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N ＋，则f 2014(x )的表达式为________．三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分) 16．已知a >0，b >0，求证：a b ＋ba ≥a ＋b .17.如图，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，算出“黄金双曲线”的离心率．18．(2013·华池一中高二期中)在圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)中，AB 为直径，C 为圆上异于A ，B 的任意一点，则有k AC ·k BC ＝－1.你能用类比的方法得出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)中有什么样的结论？并加以证明．19．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．20．已知数列{a n }，a 1＝5且S n －1＝a n (n ≥2，n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3，a 4，并由此猜想a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明{a n }的通项公式．21．(山东高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．。

北师大高中数学必修二综合质量检测2 含解析

综合质量检测(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．以A (1,3)和B (－5,1)为端点，线段AB 的中垂线方程是( ) A ．3x －y ＋8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．2x －y －6＝0D ．3x ＋y ＋8＝0[解析] AB 的中点为(－2,2)，k AB ＝3－11＋5＝13.中垂线的斜率k ＝－3.AB 的中垂线方程为y －2＝－3(x ＋2)，即3x ＋y ＋4＝0. [答案] B2．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．正三棱锥B ．直三棱柱C ．正三棱台D ．正三棱柱[解析] 根据三视图原理可以推知此几何体是一个正三棱柱．故选D.[答案] D3．若以点C (－1,2)为圆心的圆与直线x －2y ＋3＝0没有公共点，则圆的半径r 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，255 B.⎝⎛⎭⎪⎫0，355 C ．(0，5) D ．(0,25)[解析] 设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|－1－4＋3|12＋(－2)2＝255.若直线与圆没有公共点，则0<r <255，故选A.[答案] A4．点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(－2,5) C ．(2，－5)D ．(4，－3)[解析] 设对称点坐标为(a ，b )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －32＋b ＋42－2＝0，b －4a ＋3＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝5，即Q (－2,5)．[答案] B5．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，面对角线A 1C 1与体对角线B 1D 所成角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] ∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，∴B 1D 1⊥A 1C 1，且DD 1⊥A 1C 1.又B 1D 1∩DD 1＝D 1，∴A 1C 1⊥面B 1D 1D . ∴A 1C 1⊥B 1D . [答案] D6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ； ②⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β； ④⎭⎬⎫m ∥n n α⇒m ∥α.其中正确的命题是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③D ．②④[解析] ①正确，平面平行具有传递性；②错，m 可能在β内或m ∥β或m 与β相交；③正确；④错，m 可能在α内．[答案] C7．圆(x －3)2＋(y ＋4)2＝2关于直线y ＝0对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝2 B ．(x －4)2＋(y ＋3)2＝2 C ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝2D ．(x －3)2＋(y －4)2＝2[解析] ∵(3，－4)关于y ＝0对称的点为(3,4)， ∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝2.[答案] D8．如图1所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图2所示)，使G1、G2、G3三点重合于点G，这样，下面结论成立的是()A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEF D．DG⊥平面SEF[解析]∵SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，∴SG⊥平面EFG.[答案] A9．直线l：ax－y＋b＝0，圆M：x2＋y2－2ax＋2by＝0，则l与M 在同一坐标系中的图形可能是()[解析]由题意，得圆M：(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2.因为圆M 过原点(0,0)，所以排除A ，C 选项．选项B ，D 中，圆心M (a ，－b )在第一象限，所以a >0，b <0，所以直线ax －y ＋b ＝0经过第一、三、四象限，故B 选项符合． [答案] B10.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P ，Q 分别为AA 1，CC 1上的点，而且满足AP ＝C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是( )A.12VB.13VC.14VD.15V[解析] 设侧面ACC 1A 1的面积为S ，点B 到侧面ACC 1A 1的距离为h ，则V B —APQC ＝13×12Sh ＝13V .故选B.[答案] B11．点P (－2，－1)到直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ的距离为d ，则d 的取值范围是( )A ．0≤d ＜13B ．d ≥0C ．d ＞13D ．d ≥13[解析] 直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ可化为 (x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，∴⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.∴直线l 恒过定点A (1,1)(不包括直线3x ＋2y －5＝0)， ∴|P A |＝(－2－1)2＋(－1－1)2＝13.∵P A 与直线3x ＋2y －5＝0垂直，点P (－2，－1)到直线的距离为13，∴点P (－2，－1)到直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ的距离为0≤d ＜13，故选A.[答案] A12．如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )A ．AC ⊥SB B ．AB ∥面SCDC ．AB 与SC 所成角等于BC 与SA 所成的角D ．平面SAB ⊥平面SBC [解析] ∵ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，又SD ⊥平面ABCD ， ∴SD ⊥AC ，BD ∩SD ＝D ， ∴AC ⊥平面SBD ，∴AC ⊥SB ，故A 正确；又AB ∥CD ，AB 平面SCD ，CD 平面SCD ，∴AB ∥平面SCD ，故B 正确；C 显然正确．[答案] D第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．在z 轴上与点A (－4,1,7)和点B (3,5，－2)等距离的点C 的坐标为________．[解析] 设C 点的坐标为(0,0，z )，由|AC |＝|BC |，得|AC |2＝|BC |2.于是有16＋1＋(7－z )2＝9＋25＋(－2－z )2，解得z ＝149.故点C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，0，149.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，149 14．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，A 1A ⊥AC ，A 1A ⊥AB ，AA 1＝12，则球O的表面积为________．[解析]依题意，可将题中的三棱柱补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高依次是3,4,12，因此题中的球就是这个长方体的外接球，设球的半径为R，则(2R)2＝32＋42＋122＝169.所以球O的表面积为4πR2＝169π.[答案]169π15.如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下列结论命题正确的序号是________．①BD∥平面CB1D1②AC1⊥BD③AC1⊥平面CB1D1④△CB1D1不是等边三角形[解析]∵BD∥B1D1，∴BD∥面CB1D1，故①正确；对于②，∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴BD⊥AC，BD⊥CC1又CC1∩AC＝C，∴BD⊥面ACC1，∴BD⊥AC1，故②正确；由②知BD⊥AC1，又BD∥B1D1，∴B1D1⊥AC1，同理可证AC1⊥B1C，又B1C∩B1D1＝B1，∴AC1⊥面CB1D1，故③正确；又B1D1＝B1C＝D1C，∴△CB 1D 1为等边三角形，故④不正确． [答案] ①②③16．已知点A (－2,0)，B (0,2)，若点C 是圆x 2－4x ＋y 2＝0上的动点，则△ABC 面积的最小值为________．[解析] ∵A (－2,0)，B (0,2)， ∴|AB |＝(0＋2)2＋(2－0)2＝22，且直线AB ：x －2＋y2＝1，即x －y ＋2＝0， ∴C 到AB 的最小距离d ＝|2－0＋2|2－2＝22－2，∴S △ABC min ＝12×22×(22－2)＝4－2 2. [答案] 4－2 2三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)当a 为何实数时，(1)直线x ＋2ay －1＝0与直线(3a －1)x －ay －1＝0平行； (2)直线2x ＋ay ＝2与直线ax ＋2y ＝1垂直． [解] (1)当a ≠0时，由3a －11＝－a 2a ≠－1－1，得两条直线平行，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3a －1≠1，3a －1＝－12，∴a ＝16.当a ＝0时，两直线方程分别为x －1＝0和x ＋1＝0，显然平行．故当a ＝0或16时，两直线平行．(2)解法一：当a ≠0时，由－2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1知，两直线垂直，但此方程无解，因此两直线不可能垂直；当a ＝0时，两直线分别为x ＝1和y ＝12，显然两条直线垂直，故当a ＝0时，两直线垂直．解法二：利用两直线垂直的充要条件A 1A 2＋B 1B 2＝0，此种解法可避免漏解．即2·a ＋a ·2＝0，即4a ＝0，∴a ＝0.18．(本小题满分12分)已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，求这个几何体的体积．[解] 由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为1，底面是半径为2和32的同心圆，故该几何体的体积为4π×1－π⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝7π4. 19．(本小题满分12分)已知平面内两点A (8，－6)，B (2,2)． (1)求AB 的中垂线方程；(2)求过点P (2，－3)且与直线AB 平行的直线l 的方程； (3)一束光线从B 点射向(2)中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在直线的方程．[解] (1)因为8＋22＝5，－6＋22＝－2，所以AB 的中点坐标为(5，－2)，因为k AB ＝－6－28－2＝－43，所以AB 的中垂线的斜率为34，故AB 的中垂线的方程为y ＋2＝34(x －5)即3x －4y －23＝0.(2)由(1)知k AB ＝－43，所以直线l 的方程为y ＋3＝－43(x －2)，即4x ＋3y ＋1＝0.(3)设B (2,2)关于直线l 的对称点B ′(m ，n )，由⎩⎪⎨⎪⎧ n －2m －2＝34，4×m ＋22＋3×n ＋22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－145，n ＝－85，所以B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－145，－85，k B ′A ＝－6＋858＋145＝－1127，所以反射光线所在直线方程为y ＋6＝－1127(x －8)．即11x ＋27y ＋74＝0.20．(本小题满分12分)过点P (－2，－3)作圆C ：(x －4)2＋(y －2)2＝9的两条切线，切点分别为A ，B .求：(1)经过圆心C，切点A，B这三点的圆的方程；(2)直线AB的方程．[解](1)如图所示，连接CA，CB.由平面几何知识知，CA⊥P A，CB⊥PB.则点P，A，C，B共圆，且CP为直径．∵P(－2，－3)，圆心坐标为C(4,2)，∴所求圆的方程为(x＋2)(x－4)＋(y＋3)(y－2)＝0，即x2＋y2－2x＋y－14＝0.(2)直线AB即为这两圆的公共弦所在直线．由x2＋y2－2x＋y－14＝0与(x－4)2＋(y－2)2＝9相减，得6x＋5y －25＝0.21．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC—A1B1C1，A1A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，A1A＝AB＝6，D为AC的中点．(1)求三棱锥C1—BCD的体积；(2)求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；(3)求证：直线AB1∥平面BC1D.[解](1)∵△ABC为正三角形，D为AC的中点，∴BD⊥AC.由AB＝6可知，CD＝3，BD＝33，∴S△BCD＝12·CD·BD＝93 2.又∵A1A⊥底面ABC，且A1A＝AB＝6，∴C1C⊥底面ABC，且C1C ＝6，∴VC1－BCD＝13·B△BCD·C1C＝9 3.(2)证明：∵A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥BD.又BD⊥AC，A1A∩AC＝A，∴BD⊥平面ACC1A1.又BD平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A1.(3)证明：连接B1C交BC1于O，连接OD，在△B1AC中，D为AC中点，O为B1C中点，所以OD∥AB1，又OD平面BC1D，AB1平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D.22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°.P A⊥平面ABCD，E为PD的中点，P A＝2AB＝2.(1)求四棱锥P—ABCD的体积V；(2)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；(3)求证：EC∥平面P AB.[解](1)在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC ＝3，AC ＝2. 在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°，∴CD ＝23，AD ＝4.∴S 四边形ABCD ＝12AB ·BC ＋12AC ·CD＝12×1×3＋12×2×23＝532，则V ＝13×532×2＝533.(2)证明：∵PC ＝CA ，F 为PC 的中点， ∴AF ⊥PC .∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD .∵AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面P AC ，∴CD ⊥PC .∵E 为PD 的中点，F 为PC 的中点，∴EF ∥CD ，∴EF ⊥PC .∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF .(3)证明：如图，取AD 的中点M ，连接EM ，CM ，则EM ∥P A .∵EM 平面P AB ，P A平面P AB ，∴EM ∥平面P AB .在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°.∵∠BAC＝60°，∴MC∥AB.∵MC平面P AB，AB平面P AB，∴MC∥平面P AB. ∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面P AB.∵EC平面EMC，∴EC∥平面P AB.。

新版高中数学北师大版必修2习题：模块综合检测

答案 :D
5.过点 (-1,2)且与直线 2x-3y+ 4= 0 平行的直线方程为
()
A .3x+ 2y- 1= 0 B .3x+ 2y+ 7=0
C.2x-3y+ 5= 0 D .2x- 3y+ 8= 0
1
解析 :设所求直线方程为 2x- 3y+m= 0,因为点 (-1,2)在直线上 ,所以 2×(-1)-3×2+m= 0,解得 m= 8,故所求直线方程为 2x-3y+ 8= 0,故选 D. 答案 :D 6.某几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的体积为 ( )
A. ①②
B. ③④
C.②④ D. ①③
解析 :①正确 ,因为 l ⊥ α,α∥β? l⊥ β,又 m? β,故 l ⊥m;②错误 ,直线 l 与 m 的关系不确定 ; ③正确 ,因为 l⊥
α,l ∥ m? m⊥ α,又 m? β,故由面面垂直的判定定理可知命题正确 ;④两平面也可能相交 .故选 D .
A .①③
B .①②
C.②④ D .①④
解析 :根据线面垂直的判定定理可知 ①③ 满足 ,故选 A .
答案 :A
4.已知直线 l⊥平面 α,直线 m? 平面 β,有下面四个命题 : ①α∥β? l⊥ m;② α⊥ β? l∥ m;③ l∥ m? α⊥ β;④l⊥ m? α∥ β.
其中正确的有 ( )
A .16+8π 解析 :
B .8+ 8π
C.16+ 16π D .8+ 16π
由三视图可知 ,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体 ×22×4×π+ 2×2×4= 16+ 8π.故选 A .

【成才之路】高中数学本册综合测试2 北师大版必修2

【成才之路】2014-2015学年高中数学本册综合测试2 北师大版必修2本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )A．－1 B．1C．3 D．－3[答案] B[解析] 该题考查圆的标准方程和一般方程的互化，以及圆与直线的关系，属简单题．圆的圆心为(－1,2)代入直线3x＋y＋a＝0，∴－3＋2＋a＝0，∴a＝1.2．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系为( )A．相交、平行或异面B．相交或平行C．异面D．平行或异面[答案] A[解析] a与c可以相交、平行或异面，分别如下图中的(1)，(2)，(3)．3．下列四个结论：①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；②两条直线没有公共点，则这两条直线平行；③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析] 所有结论都是错误的，故选A.4．分别过点A(1,3)和点B(2,4)的直线l1和l2互相平行且有最大距离，则l1的方程是( )A ．x －y －4＝0B ．x ＋y －4＝0C ．x ＝1D ．y ＝3[答案] B[解析] 当l 1与l 2之间距离最大时，l 1⊥AB ，故l 1的斜率为－1.5．若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．－1或 3 B ．1或3 C ．－2或6 D ．0或4[答案] D[解析] 由圆心(a,0)，半径2，弦长l ＝22，得弦心距d ＝r 2－l22＝ 2.即(a,0)到直线x －y ＝2的距离为2，所以|a －0－2|1＋1＝2，解得a ＝0或a ＝4.6．(2014·湖南理)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 本题考查三视图及球的基础知识．由图可得该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r ，则r ＝6＋8＋82＋622－82＋62⇒r ＝2，故选B.直角三角形的内切圆半径为周长的一半减去斜边．7．三棱锥P －ABC 中，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA ＝1，PB ＝PC ＝2，则点P 到平面ABC 的距离是( )A ．22 B ． 2C ．26D ．1[答案] A[解析] 取BC 中点D ，∵PB ⊥PC ，PB ＝PC ＝2， ∴PD ＝DC ＝12BC ＝1，连AD ，则AD ⊥BC ，且AD ＝32－1＝2，∴S △ABC ＝12×2×2＝ 2.由V P －ABC ＝V A －PBC ，∴13·S △ABC ·h ＝13·S △PBC ·PA ，∴13×2h ＝13×12×2，∴h ＝22. 8．从原点O 引圆(x －m )2＋(y －2)2＝m 2＋1的切线y ＝kx ，当m 变化时，切点P 的轨迹方程是( )A ．x 2＋y 2＝3B ．(x －1)2＋y 2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝3 D ．x 2＋y 2＝2[答案] A[解析] 设切点P (x ，y )，圆心C (m,2)，则在直角三角形OPC 中，由勾股定理可得m 2＋4＝m 2＋1＋x 2＋y 2，∴切点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3.9．如图所示，在酒泉卫星发射场某试验区，用四根垂直于地面的立柱支撑着一个平行四边形的太阳能电池板，可测得其中三根立柱AA 1、BB 1、CC 1的长度分别为10 m 、15 m 、30 m ，则立柱DD 1的长度是( )A ．30 mB ．25 mC ．20 mD ．15 m [答案] B[解析] 由题意知，CC 1－DD 1＝BB 1－AA 1＝5， ∴DD 1＝25 m.10．已知正四棱锥P －ABCD 的侧棱长为23a ，侧面等腰三角形的顶角为30°，则从点A 出发环绕侧面一周后回到点A 的最短距离为( )A ．22aB ．4aC ．6aD ．123a[答案] C[解析] 将四棱锥的侧面展开，如图．所求最短距离为AA ′，由AP ＝A ′P ＝23a ，∠APA ′＝4×30°＝120°， ∴AA ′＝AP ·cos30°×2＝23a ×32×2＝6a . 第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB |＝3，则∠AOB ＝________.[答案] 120°[解析] 如图所示，作OD ⊥AB ，Rt △AOD 中，OA ＝1，AD ＝32，∴∠AOD ＝60°， ∴∠AOB ＝120°.12．两圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2和(x －2)2＋(y ＋2)2＝R 2相交于P ，Q 两点，若点P 的坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为________．[答案] (－2，－1)[解析] 两圆的圆心分别为O 1(－1,1)，O 2(2，－2)，直线O 1O 2的方程为y ＝－x . 由于两圆的交点为P ，Q 所以P ，Q 两点关于直线y ＝－x 对称．又点P 的坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为(－2，－1)．13．若正三棱台的上、下底面的边长为2和8，侧棱长为5，则这个棱台的高是________． [答案]13[解析] 如图，设O 1，O 分别为上，下底面的中心，则A 1O 1＝23×32×2＝233，AO ＝83 3.连接O 1O ，则O 1O 为高．所以O 1O ＝A 1A 2－AO －O 1A 12＝52－32＝13.14．(2014·山东文，14)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________．[答案] (x －2)2＋(y －1)2＝4[解析] 本题考查圆的标准方程的求法，结合图形．∵圆心在x －2y ＝0上，设圆心(2b ，b )，由圆与y 轴相切，∴r ＝2|b | 又截x 轴弦长23，圆心到x 轴距离d ＝|b | ∴在Rt △ABC 中，r 2＝4b 2＝b 2＋(3)2，∴b 2＝1 又圆C 与y 轴正半轴相切．故b >0，∴b ＝1.∴方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 该题要注意b 的正负号．15．如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，PA ⊥平面ABC ，PA ＝2AB ，则下列结论正确的是________．(1)PB ⊥AD ；(2)平面PAB ⊥平面PBC ； (3)直线BC ∥平面PAE ；(4)∠PDA ＝45°. [答案] (4)[解析] 若PB ⊥AD ，则AD ⊥AB ，但AD 与AB 成60°角，(1)错误；过A 作AG ⊥PB ，若平面PAB ⊥平面PBC ， ∴AG ⊥BC ，又∵PA ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC ⊥AB ，矛盾，(2)错误；BC 与AE 是相交直线，∴直线BC 一定不与平面PAE 平行，(3)错误；在Rt △PAD 中，由于AD ＝2AB ＝PA ， ∴∠PDA ＝45° ，(4)正确．三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知点A (2，－1)，B (5,3)，若直线l ：kx －y ＋1＝0与线段AB 相交，求k 的取值范围．[解析] 解法一：由方程kx －y ＋1＝0可知，直线l 恒过定点P (0,1)，如图所示，连接PA ，PB ，解得k PA ＝－1，k PB ＝25.又∵直线l 的斜率为k ， ∴k 的取值范围为－1≤k ≤25.解法二：由两点式求得直线AB 的方程为4x －3y －11＝0，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －11＝0，kx －y ＋1＝0.解得x ＝－143k －4，满足2≤－143k －4≤5，解得－1≤k ≤25.17．(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)若BD ＝1，求三棱锥D －ABC 的表面积． [解析] (1)∵折起前AD 是BC 边上的高． ∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，又DB ∩DC ＝D ， ∴AD ⊥平面BDC ， ∵AD 平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BDC .(2)由(1)知，DA ⊥DB ，DB ⊥DC ，DC ⊥DA ， ∵DB ＝DA ＝DC ＝1， ∴AB ＝BC ＝CA ＝2，从而S △DAB ＝S △DBC ＝S △DCA ＝12×1×1＝12，S △ABC ＝12×2×2×sin60°＝32， ∴表面积S ＝12×3＋32＝3＋32.18．(本小题满分12分)(江苏高考)如图，在三棱锥S －ABC 中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB ⊥BC ，AS ＝AB .过A 作AF ⊥SB ，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：(1)平面EFG ∥平面ABC ； (2)BC ⊥SA .[解析] 思路分析：(1)从线面平行出发，证明面面平行． (2)由线面垂直，直接证明BC ⊥SA .本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．证明：(1)因为AS ＝AB ，AF ⊥SB ，垂足为F ，所以F 是SB 的中点．又因为E 是SA 的中点，所以EF ∥AB .因为EF 平面ABC ，AB 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . 同理EG ∥平面ABC . 又EF ∩EG ＝E ，所以平面EFG ∥平面ABC.(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF 平面SAB ，AF ⊥SB ，所以AF ⊥平面SBC ，因为BC 平面SBC ，所以AF ⊥BC .又因为AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ，AF ，AB 平面SAB ，所以BC ⊥平面SAB . 因为SA 平面SAB ，所以BC ⊥SA .19．(本小题满分12分)求圆心在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2上，且与x 轴，直线x ＝－12都相切的圆的方程．[解析] 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋b 2＝2，|b |＝r ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝r .即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋94＋b 2＝2，b 2＝a 2＋a ＋14.解得a ＝12，b ＝±1，r ＝1，故所求圆的方程为：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝1或⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝1. 20．(本小题满分13分)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．[解析] (1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE ⊥A 1C .又因为P 是等腰直角三角形DA 1C 底边A 1C 的中点，所以A 1C ⊥DP . 所以A 1C ⊥平面DEP . 从而A 1C ⊥平面DEQ .故线段A 1B 上存在点Q ，使得A 1C ⊥平面DEQ .21．(本小题满分14分)已知圆C 的圆心在直线2x －y －3＝0上，且经过点A (5,2)，B (3,2)，(1)求圆C 的标准方程；(2)直线l 过点P (2,1)且与圆C 相交，所得弦长为26，求直线l 的方程； (3)设Q 为圆C 上一动点，O 为坐标原点，试求△OPQ 面积的最大值．[解析] (1)设圆心P (x 0，y 0)，由题意可知，圆心应在线段AB 的中垂线上，其方程为x ＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，2x －y －3＝0得圆心P (4,5)，∴半径r ＝|PA |＝10.∴圆的标准方程为(x －4)2＋(y －5)2＝10.(2)当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离为2，符合题意．当直线的斜率存在时，设直线方程为y －1＝k (x －2)，整理得kx －y ＋1－2k ＝0，则圆心到直线的距离为d ＝|4k －5－2k ＋1|k 2＋1＝|2k －4|k 2＋1. 由题意可知，d 2＋(6)2＝r 2，即k －2k 2＋1＋6＝10，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y －2＝0或x ＝2. (3)直线OP 的方程为y ＝12x ，即x －2y ＝0.∴圆心到直线的距离为d ＝|4－2×5|22＋1＝65 5. 则圆上的点到直线的最大距离为d ＋r ＝655＋10，又∵|OP |＝12＋22＝5，∴△OPQ 面积的最大值为12|OP |(d ＋r )＝12×5⎝ ⎛⎭⎪⎫655＋10＝3＋522.。

【状元之路】2014-2015学年高中数学模块综合测评(一)北师大版必修2

模块综合测评(一) 必修2(北师大版)(时间：90分钟满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．2x ＋y －5＝0解析：设所求直线方程为－2x －y ＋m ＝0，则－2×(－1)－3＋m ＝0，所以m ＝1，即－2x －y ＋1＝0，故直线方程为2x ＋y －1＝0.答案：B2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π3B ．3π C.10π3D ．6π解析：显然由三视图我们易知原几何体为一个圆柱体的一部分，并且由正视图知是一个34的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为4，则V ＝34×π×12×4＝3π.答案：B3．长方体一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( )A ．202π B．252π C ．50π D．200π解析：设长方体的体对角线长为l ，球半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2R ，l 2＝32＋42＋52，所以R ＝522，所以S 球＝4πR 2＝50π.答案：C4．在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13，则( ) A ．OA ⊥AB B ．AB ⊥AC C ．AC ⊥BC D ．OB ⊥OC解析：|AB |＝12，|AC |＝36，|BC |＝66，因为|AC |2＋|BC |2＝|AB |2，所以AC ⊥BC .答案：C5．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β D ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n解析：A 中还可能m ，n 相交或异面，所以A 不正确；B 、C 中还可能α，β相交，所以B 、C 不正确．很明显D 正确．答案：D6．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝0解析：设圆心为C (1,0)，则AB ⊥CP ，∵k CP ＝－1，∴k AB ＝1，∴y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0. 答案：A7．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30° B．45° C ．60° D．90°解析：过A 作AE ⊥BC 于点E ，则易知AE ⊥面BB 1C 1C ，则∠ADE 即为所求，又tan ∠ADE ＝AEDE＝3，故∠ADE ＝60°.答案：C8．过点M (－2,4)作圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，且直线l 1：ax ＋3y ＋2a ＝0与l 平行，则l 1与l 间的距离是( )A.85B.25C.285D.125解析：因为点M (－2,4)在圆C 上，所以切线l 的方程为(－2－2)(x －2)＋(4－1)(y －1)＝25，即4x －3y ＋20＝0.因为直线l 与直线l 1平行，所以－a 3＝43，即a ＝－4，所以直线l 1的方程是－4x ＋3y －8＝0，即4x －3y ＋8＝0.所以直线l 1与直线l 间的距离为|20－8|42＋－32＝125. 答案：D9．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0 D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：令a ＝0，a ＝1，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，－y ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2，所以C (－1,2)．则圆C的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.答案：C10．设P (x ，y )是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则x －12＋y －12的最小值为( )A.26＋2B.26－2 C ．5 D ．6解析：如图，设A (1,1)，x －12＋y －12＝|PA |，则|PA |的最小值为|AC |－r ＝26－2.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．如图所示，Rt △A ′B ′C ′为水平放置的△ABC 的直观图，其中A ′C ′⊥B ′C ′，B ′O ′＝O ′C ′＝1，则△ABC 的面积为__________．解析：由直观图画法规则将△A ′B ′C ′还原为△ABC ，如图所示，则有BO ＝OC ＝1，AO ＝2 2.∴S △ABC ＝12BC ·AO＝12×2×2 2 ＝2 2.答案：2 212．经过点P (1,2)的直线，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线方程为__________．解析：x ＝1显然符合条件；当A (2,3)，B (0，－5)在所求直线同侧时，所求直线与AB 平行， ∵k AB ＝4，∴y －2＝4(x －1)，即4x －y －2＝0. 答案：4x －y －2＝0或x ＝113．与x 轴相切并和圆x 2＋y 2＝1外切的圆的圆心的轨迹方程是__________．解析：设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，则由题意知1＋|y |＝x 2＋y 2，化简得x 2＝2|y |＋1. 答案：x 2＝2|y |＋114．圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＝__________，E ＝__________.解析：由题设知直线l 1，l 2的交点为已知圆的圆心．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4＝0，x ＋3y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，所以－D 2＝－3，D ＝6，－E2＝1，E ＝－2.答案：6；－2三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)直线l 经过点P (2，－5)，且到点A (3，－2)和B (－1,6)的距离之比为1∶2，求直线l 的方程．解：∵直线l 过P (2，－5)，∴可设直线l 的方程为y ＋5＝k ·(x －2)，即kx －y －2k －5＝0.(2分) ∴A (3，－2)到直线l 的距离为d 1＝|k ·3－－2－2k －5|k 2＋1＝|k －3|k 2＋1.B (－1,6)到直线l 的距离为 d 2＝|k ·－1－6－2k －5|k 2＋1＝|3k ＋11|k 2＋1.(6分)∵d 1∶d 2＝1∶2，∴|k －3||3k ＋11|＝12.化简得k 2＋18k ＋17＝0.(10分) 解得k 1＝－1，k 2＝－17.∴所求直线方程为x ＋y ＋3＝0或17x ＋y －29＝0.(12分)16．(12分)如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，PC＝a，E为PA的中点．(1)求证：平面EBD⊥平面ABCD；(2)求点E到平面PBC的距离．(1)证明：如图所示，连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE，在△PAC中，E为PA的中点，O为AC 的中点，∴OE∥PC.(2分)又PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.又OE⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.(4分)(2)解：∵OE∥PC，PC⊂面PBC，而OE⊄面PBC，∴OE∥面PBC，∴E到平面PBC的距离等于O到平面PBC的距离．过O在底面ABCD内作OG⊥BC于G，又平面PBC⊥面ABCD，且面PBC∩面ABCD＝BC，∴OG⊥面PBC，即线段OG的长度为点O到平面PBC的距离．(8分)在菱形ABCD中，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∴△BCD为正三角形，且BC＝a，由余弦定理可得AC＝3a，∴OB ＝a 2，OC ＝32a .(10分)在Rt △BOC 中，OG ·BC ＝OB ·OC ，即OG ·a ＝a 2·32a ，∴OG ＝34a . 即E 到平面PBC 的距离为34a .(12分) 17．(12分)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P (2,2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点． (1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线l 的方程； (3)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．解：(1)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C (1,0)，因直线l 过点P 、C ，所以直线l 的斜率为2.故直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(4分)(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y －6＝0.(8分)(3)当直线l 的倾斜角为45°时，其斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0，圆心C 到直线l 的距离为12，圆的半径为3，弦AB 的长为232－⎝⎛⎭⎪⎫122＝34.(12分) 18．(14分)如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点，AO ⊥平面A 1B 1C 1.已知∠BCA ＝90°，AA 1＝AC ＝BC ＝2.(1)证明：OE ∥平面AB 1C 1；(2)求异面直线AB 1与A 1C 所成的角； (3)求A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值． (1)证明：∵点O 、E 分别是A 1C 1、AA 1的中点， ∴OE ∥AC 1，又∵EO ⊄平面AB 1C 1，AC 1⊂平面AB 1C 1， ∴OE ∥平面AB 1C 1.(4分)(2)解：∵AO ⊥平面A 1B 1C 1，∴AO ⊥B 1C 1，又∵A 1C 1⊥B 1C 1，且A 1C 1∩AO ＝O ， ∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ， ∴A 1C ⊥B 1C 1. 又∵AA 1＝AC ，∴四边形A 1C 1CA 为菱形， ∴A 1C ⊥AC 1，且B 1C 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1，∴AB 1⊥A 1C ，即异面直线AB 1与A 1C 所成的角为90°.(9分) (3)解：设点C 1到平面AA 1B 1的距离为d ， ∵VA －A 1B 1C 1＝VC 1－AA 1B 1，即13·12·A 1C 1·B 1C 1·AO ＝13·S △AA 1B 1·d . 又∵在△AA 1B 1中，A 1B 1＝AB 1＝22， ∴S △AA 1B 1＝7. ∴d ＝2217，∴A 1C 1与平面AA 1B 1所成角的正弦值为217. (14分)。

北师大版高中数学必修二综合质量检测2

综合质量检测(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．以A (1,3)和B (－5,1)为端点，线段AB 的中垂线方程是( ) A ．3x －y ＋8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．2x －y －6＝0D ．3x ＋y ＋8＝0[解析] AB 的中点为(－2,2)，k AB ＝3－11＋5＝13.中垂线的斜率k ＝－3.AB 的中垂线方程为y －2＝－3(x ＋2)，即3x ＋y ＋4＝0. [★答案☆] B2．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．正三棱锥B ．直三棱柱C ．正三棱台D ．正三棱柱[解析] 根据三视图原理可以推知此几何体是一个正三棱柱．故选D.[★答案☆] D3．若以点C (－1,2)为圆心的圆与直线x －2y ＋3＝0没有公共点，则圆的半径r 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，255 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，355 C ．(0，5) D ．(0,25)[解析] 设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|－1－4＋3|12＋(－2)2＝255.若直线与圆没有公共点，则0<r <255，故选A.[★答案☆] A4．点P (－3,4)关于直线x ＋y －2＝0的对称点Q 的坐标是( ) A ．(－2,1) B ．(－2,5) C ．(2，－5)D ．(4，－3)[解析] 设对称点坐标为(a ，b )，由题意，得⎩⎨⎧a －32＋b ＋42－2＝0，b －4a ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5，即Q (－2,5)．[★答案☆] B5．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，面对角线A 1C 1与体对角线B 1D 所成角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] ∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，∴B 1D 1⊥A 1C 1，且DD 1⊥A 1C 1.又B 1D 1∩DD 1＝D 1，∴A 1C 1⊥面B 1D 1D . ∴A 1C 1⊥B 1D . [★答案☆] D6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ； ②⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥α⇒m ⊥β； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β； ④⎭⎬⎫m ∥n n α⇒m ∥α.其中正确的命题是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③D ．②④[解析] ①正确，平面平行具有传递性；②错，m 可能在β内或m ∥β或m 与β相交；③正确；④错，m 可能在α内．[★答案☆] C7．圆(x －3)2＋(y ＋4)2＝2关于直线y ＝0对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝2 B ．(x －4)2＋(y ＋3)2＝2 C ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝2D ．(x －3)2＋(y －4)2＝2[解析] ∵(3，－4)关于y ＝0对称的点为(3,4)， ∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝2. [★答案☆] D8．如图1所示，在正方形SG 1G 2G 3中，E 、F 分别是边G 1G 2、G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE 、SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体(如图2所示)，使G 1、G 2、G 3三点重合于点G ，这样，下面结论成立的是( )A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFGC．GF⊥平面SEF D．DG⊥平面SEF[解析]∵SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，∴SG⊥平面EFG.[★答案☆] A9．直线l：ax－y＋b＝0，圆M：x2＋y2－2ax＋2by＝0，则l与M 在同一坐标系中的图形可能是()[解析]由题意，得圆M：(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2.因为圆M过原点(0,0)，所以排除A，C选项．选项B，D中，圆心M(a，－b)在第一象限，所以a>0，b<0，所以直线ax－y＋b＝0经过第一、三、四象限，故B选项符合．[★答案☆] B10.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P ，Q 分别为AA 1，CC 1上的点，而且满足AP ＝C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积是( )A.12VB.13VC.14VD.15V[解析] 设侧面ACC 1A 1的面积为S ，点B 到侧面ACC 1A 1的距离为h ，则V B —APQC ＝13×12Sh ＝13V .故选B.[★答案☆] B11．点P (－2，－1)到直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ的距离为d ，则d 的取值范围是( )A ．0≤d ＜13B ．d ≥0C ．d ＞13D ．d ≥13[解析] 直线l ：(1＋3λ)x ＋(1＋2λ)y ＝2＋5λ可化为(x ＋y －2)＋λ(3x ＋2y －5)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，3x ＋2y －5＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴直线l 恒过定点A (1,1)(不包括直线3x ＋2y －5＝0)， ∴|P A |＝(－2－1)2＋(－1－1)2＝13.∵P A 与直线3x ＋2y －5＝0垂直，点P (－2，－1)到直线的距离为13，∴点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ的距离为0≤d＜13，故选A.[★答案☆] A12．如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD⊥面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥面SCDC．AB与SC所成角等于BC与SA所成的角D．平面SAB⊥平面SBC[解析]∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，又SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC，BD∩SD＝D，∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，故A正确；又AB∥CD，AB平面SCD，CD平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；C显然正确．[★答案☆] D第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确★答案☆填在题中横线上)13．在z 轴上与点A (－4,1,7)和点B (3,5，－2)等距离的点C 的坐标为________．[解析] 设C 点的坐标为(0,0，z )，由|AC |＝|BC |，得|AC |2＝|BC |2.于是有16＋1＋(7－z )2＝9＋25＋(－2－z )2，解得z ＝149.故点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，149.[★答案☆] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，149 14．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，A 1A ⊥AC ，A 1A ⊥AB ，AA 1＝12，则球O 的表面积为________．[解析] 依题意，可将题中的三棱柱补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高依次是3,4,12，因此题中的球就是这个长方体的外接球，设球的半径为R ，则(2R )2＝32＋42＋122＝169.所以球O 的表面积为4πR 2＝169π. [★答案☆] 169π15.如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，下列结论命题正确的序号是________．①BD ∥平面CB 1D 1 ②AC 1⊥BD ③AC 1⊥平面CB 1D 1 ④△CB 1D 1不是等边三角形[解析]∵BD∥B1D1，∴BD∥面CB1D1，故①正确；对于②，∵ABCD—A1B1C1D1为正方体，∴BD⊥AC，BD⊥CC1又CC1∩AC＝C，∴BD⊥面ACC1，∴BD⊥AC1，故②正确；由②知BD⊥AC1，又BD∥B1D1，∴B1D1⊥AC1，同理可证AC1⊥B1C，又B1C∩B1D1＝B1，∴AC1⊥面CB1D1，故③正确；又B1D1＝B1C＝D1C，∴△CB1D1为等边三角形，故④不正确．[★答案☆]①②③16．已知点A(－2,0)，B(0,2)，若点C是圆x2－4x＋y2＝0上的动点，则△ABC面积的最小值为________．[解析]∵A(－2,0)，B(0,2)，∴|AB|＝(0＋2)2＋(2－0)2＝22，且直线AB：x－2＋y2＝1，即x－y＋2＝0，∴C到AB的最小距离d＝|2－0＋2|2－2＝22－2，∴S△ABC min＝12×22×(22－2)＝4－2 2.[★答案☆]4－2 2三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)当a为何实数时，(1)直线x＋2ay－1＝0与直线(3a－1)x－ay－1＝0平行；(2)直线2x＋ay＝2与直线ax＋2y＝1垂直．[解](1)当a≠0时，由3a－11＝－a2a≠－1－1，得两条直线平行，解方程组⎩⎨⎧3a －1≠1，3a －1＝－12，∴a ＝16.当a ＝0时，两直线方程分别为x －1＝0和x ＋1＝0，显然平行．故当a ＝0或16时，两直线平行．(2)解法一：当a ≠0时，由－2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1知，两直线垂直，但此方程无解，因此两直线不可能垂直；当a ＝0时，两直线分别为x ＝1和y ＝12，显然两条直线垂直，故当a ＝0时，两直线垂直．解法二：利用两直线垂直的充要条件A 1A 2＋B 1B 2＝0，此种解法可避免漏解．即2·a ＋a ·2＝0，即4a ＝0，∴a ＝0.18．(本小题满分12分)已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，求这个几何体的体积．[解] 由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为1，底面是半径为2和32的同心圆，故该几何体的体积为4π×1－π⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝7π4.19．(本小题满分12分)已知平面内两点A (8，－6)，B (2,2)． (1)求AB 的中垂线方程；(2)求过点P (2，－3)且与直线AB 平行的直线l 的方程； (3)一束光线从B 点射向(2)中的直线l ，若反射光线过点A ，求反射光线所在直线的方程．[解] (1)因为8＋22＝5，－6＋22＝－2，所以AB 的中点坐标为(5，－2)，因为k AB ＝－6－28－2＝－43，所以AB 的中垂线的斜率为34，故AB 的中垂线的方程为y ＋2＝34(x －5) 即3x －4y －23＝0. (2)由(1)知k AB ＝－43，所以直线l 的方程为y ＋3＝－43(x －2)，即4x ＋3y ＋1＝0.(3)设B (2,2)关于直线l 的对称点B ′(m ，n )，由⎩⎨⎧n －2m －2＝34，4×m ＋22＋3×n ＋22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－145，n ＝－85，所以B ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－145，－85，k B ′A ＝－6＋858＋145＝－1127，所以反射光线所在直线方程为y ＋6＝－1127(x －8)．即11x ＋27y ＋74＝0.20．(本小题满分12分)过点P (－2，－3)作圆C ：(x －4)2＋(y －2)2＝9的两条切线，切点分别为A ，B .求：(1)经过圆心C ，切点A ，B 这三点的圆的方程；(2)直线AB的方程．[解](1)如图所示，连接CA，CB.由平面几何知识知，CA⊥P A，CB⊥PB.则点P，A，C，B共圆，且CP为直径．∵P(－2，－3)，圆心坐标为C(4,2)，∴所求圆的方程为(x＋2)(x－4)＋(y＋3)(y－2)＝0，即x2＋y2－2x＋y－14＝0.(2)直线AB即为这两圆的公共弦所在直线．由x2＋y2－2x＋y－14＝0与(x－4)2＋(y－2)2＝9相减，得6x＋5y －25＝0.21．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC—A1B1C1，A1A⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，A1A＝AB＝6，D为AC的中点．(1)求三棱锥C1—BCD的体积；(2)求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；(3)求证：直线AB1∥平面BC1D.[解](1)∵△ABC为正三角形，D为AC的中点，∴BD⊥AC.由AB＝6可知，CD＝3，BD＝33，∴S△BCD＝12·CD·BD＝932.又∵A1A⊥底面ABC，且A1A＝AB＝6，∴C1C⊥底面ABC，且C1C＝6，∴VC1－BCD＝13·B△BCD·C1C＝9 3.(2)证明：∵A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥BD.又BD⊥AC，A1A∩AC＝A，∴BD⊥平面ACC1A1. 又BD平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A1.(3)证明：连接B1C交BC1于O，连接OD，在△B1AC中，D为AC中点，O为B1C中点，所以OD∥AB1，又OD平面BC1D，AB1平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D.22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°.P A⊥平面ABCD，E为PD的中点，P A＝2AB＝2.(1)求四棱锥P—ABCD的体积V；(2)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；(3)求证：EC∥平面P AB.[解](1)在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝3，AC＝2.在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝23，AD＝4.∴S四边形ABCD＝12AB·BC＋12AC·CD＝12×1×3＋12×2×23＝532，则V＝13×532×2＝533.(2)证明：∵PC＝CA，F为PC的中点，∴AF⊥PC.∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CD.∵AC⊥CD，P A∩AC＝A，∴CD⊥平面P AC，∴CD⊥PC.∵E为PD的中点，F为PC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥PC.∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF.(3)证明：如图，取AD的中点M，连接EM，CM，则EM∥P A.∵EM平面P AB，P A平面P AB，∴EM∥平面P AB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°.∵∠BAC＝60°，∴MC∥AB.∵MC平面P AB，AB平面P AB，∴MC∥平面P AB. ∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面P AB.∵EC平面EMC，∴EC∥平面P AB.。