2018学年高中数学人教A版必修四 第三章 三角恒等变换 学业分层测评21 含答案

学业分层测评(二十一)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．(2016·鞍山高一检测)cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为( ) A ．1

2 B ．1

3 C ．32

D ．33

【解析】 原式＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝1

2. 【答案】 A

2．已知sin α＝1

3，α是第二象限角，则cos(α－60°)为( ) A ．－3－222

B ．3－226

C ．3＋226

D ．－3＋226

【解析】 因为sin α＝13，α是第二象限角，所以cos α＝－22

3，故cos(α－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝⎝

⎛⎭⎪⎫－223×12＋1

3×32＝－22＋36.

【答案】 B

3．(2016·梅州高一检测)若12sin x ＋3

2cos x ＝cos(x ＋φ)，则φ的一个可能值是( )

A ．－π6

B ．－π3

C ．π6

D ．π3

【解析】 对比公式特征知，cos φ＝3

2，

sin φ＝－1

2，故只有－π6合适． 【答案】 A

4．sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π4－α的值为( )

A ．－25

B ．－2

10

C ．－7210

D ．－725

【解析】 因为sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2，π，

所以cos α＝－1－sin 2 α＝－1－925＝－4

5，

所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α，

＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋22×35＝－210.

【答案】 B

5．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( )

【导学号：00680068】

A ．0

B ．1

C ．±1

D ．－1

【解析】 因为sin αsin β＝1，－1≤sin α≤1，－1≤sin β≤1，所以⎩⎨⎧sin α＝1，sin β＝1或者⎩⎨⎧sin α＝－1，sin β＝－1，解得⎩⎨⎧cos α＝0，cos β＝0，于是cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.

【答案】 B 二、填空题

6．(2016·济南高一检测)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝1

8，则cos α＋3sin α的值为

________．

【解析】 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π3－α＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α

＝1

8，

所以cos α＋3sin α＝1

4. 【答案】 1

4

7．在△ABC 中，sin A ＝45，cos B ＝－12

13，则cos(A －B )＝________. 【解析】 因为cos B ＝－12

13，且0

2

B ＝

1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝5

13，且0

A ＝

1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫452＝35， 所以cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ， ＝35×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1213＋45×513＝－1665.

【答案】 －16

65 三、解答题

8．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求证：cos(α－β)＝－12.

【证明】 由sin α＋sin β＋sin γ＝0， cos α＋cos β＋cos γ＝0得 (sin α＋ sin β)2＝(－sin γ)2，① (cos α＋cos β)2＝(－cos γ)2.②

①＋②得，2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1， 即2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－1

2.

9．已知tan α＝4 3，cos(α＋β)＝－11

14，α、β均为锐角，求cos β的值． 【解】 ∵α∈⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，π2，tan α＝4 3，

∴sin α＝4 3cos α，① sin 2α＋cos 2α＝1，②

由①②得sin α＝4 37，cos α＝1

7.

∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－11

14，

∴sin(α＋β)＝5 3

14. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫－1114×17＋5 314×4 37＝12. ∴cos β＝1

2.

[能力提升]

1．若α，β为两个锐角，则( ) A ．cos(α＋β)>cos α＋cos β B ．cos(α＋β)

【解析】 cos []α－（－β）－(cos α＋cos β) ＝cos αcos β－sin αsin β－cos α－cos β ＝cos α(cos β－1)－sin αsin β－cos β， 因为α，β是锐角，

所以cos β－1<0，cos α(cos β－1)<0， －sin αsin β<0，－cos β<0， 故cos [α－(－β)]－(cos α＋cos β)<0， 即cos(α＋β)

因为cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，

α，β均为锐角，所以cos αcos β>0，

sin αsin β>0，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β>cos αcos β，同理cos(α－β)>sin αsin β，故C 、D 错误．

【答案】 B

2．已知cos(α－β)＝－45，sin(α＋β)＝－35，π

2<α－β<π，3π2<α＋β<2π，求β的值．

【解】 ∵π2<α－β<π，cos(α－β)＝－4

5，