高考数学总复习(讲+练+测)： 专题9.1 直线与直线的方程(讲)
2021高考数学(理)一轮复习过关讲义《9.1直线的方程》
(2)直线 l 过点 P(1,0)，且与以 A(2,1)，B(0， 3)为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值
范围为
．
答案 (－∞，－ 3]∪[1，＋∞)
解析 如图，∵kAP＝1－0＝1， 2－1
kBP＝ 3－0＝－ 3， 0－1
∴k∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． 引申探究 1．若将本例(2)中 P(1,0)改为 P(－1,0)，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围． 解 ∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0， 3)， ∴kAP＝2－1－－01＝13， kBP＝0－3－－01＝ 3.
A．1 B．4 C．1 或 3 D．1 或 4
答案 A
解析 由题意得 m－4 ＝1，解得 m＝1. －2－m
3．[P100A 组 T9]过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为
．
答案 3x－2y＝0 或 x＋y－5＝0
解析 当截距为 0 时，直线方程为 3x－2y＝0；
当截距不为 0 时，设直线m 的斜率 k＝0，则直线 m 与 x 轴没有交点，不符合题意；
③若直线 m 的斜率 k≠0，设其方程为 y－2＝k(x－2)，令 y＝0，得 x＝2－2，依题意有 k
| | | | 1×
2－2 k
×2＝2，即
1－1 k
＝1，解得
k＝1，所以直线
m
的方程为
y－2＝1(x－2)，即
§9.1 直线的方程
最新考纲
考情考向分析
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，掌握 确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两 点的直线斜率的计算公式. 3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的 几种形式(点斜式、斜截式、截距式、两点式 及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
高考数学一轮复习第九章解析几何9.1直线的方程课件理
(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， )3为端点的线段有公共点，则 直线l斜率的取值范围为 (－∞，－ 3]∪[1，＋∞.) 答案 解析
几何画板展示
如图， 1－0
∵kAP＝2－1＝1， 3－0
kBP＝ 0－1 ＝－ 3， ∴k∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞).
(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为 1100； 解答 由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.
设倾斜角为 α，则 sin α＝ 1100(0<α<π)，
从而 cos α＝±31010，则 k＝tan α＝±13.
故所求直线方程为 y＝±13(x＋4). 即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.
例4 已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时， 直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实 数a的值. 解答
由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线 l2在x轴上的截距为a2＋2， 所以四边形的面积 S＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a＋4 ＝a－122＋145， 当 a＝12时，面积最小.
跟 踪 训 练 1 (2017·南 昌 月 考 ) 已 知 过 定 点 P(2,0) 的 直 线 l 与 曲 线2－yx＝2 相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大
值时，直线l的倾答斜案角为解析 几何画板展示 A.150° B.135° C.120° D.不存在
题型二 求直线的方程 例 2 根据所给条件求直线的方程：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
高考数学总复习(讲+练+测)： 专题9.1 直线与直线的方程(讲)
专题9.1 直线与直线的方程【考纲解读】【知识清单】1.直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角①定义．当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②范围：倾斜角α的范围为0απ≤<． 2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角(90)αα≠的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即tan k α＝，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线l 与x 轴平行或重合时, 0α=, tan 00k ==.②过两点的直线的斜率公式．经过两点11122212()()()P x y P x y x x ≠，，，的直线的斜率公式为2121y y k x x --＝.3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．4.直线的倾斜角α、斜率k 之间的大小变化关系： （1）当[0,)2πα∈时，0,k α>越大，斜率越大；（2）当(,)2παπ∈时，0,k α<越大，斜率越大.对点练习：【2017届重庆市一中高三上学期期中】已知直线方程为,3300sin 300cos =+y x则直线的倾斜角为（ ）A.60 B.30060或 C.30 D.33030或 【答案】C2.直线的方程1.直线的点斜式方程：直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的方程为：)(00x x k y y -=-.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线l 过点),0(b ，则直线l 的方程为：b kx y +=.这个方程叫做直线 的斜截式方程. 2.直线的两点式方程直线l 过两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，则直线l 的方程为：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--.这个方程叫做直线的两点式方程.。
专题9-1 直线与方程题型归类2023年高考数学一轮复习热点演练(全国通用)(原卷版)
）
A．
0,
3Leabharlann 2 3,C．
0,
6
5 6
,
B．
0,
6
5 6
,
D．
0,
3
U
2 3
,
2.已知点 P 为曲线 y2 4x 上一动点， A(1, 0) ， B 3, 0 ，则 APB 的最大值为（
）
A． 6
B．
4
C．
3
D．
2
3.已知四边形 OABC 各顶点的坐标分别为 O(0,0) ， A(2,1) ， B(1,3) ， C(1, 2) ，点 D 为边 OA 的中点，点 E 在线段 OC 上，
专题 9-1 直线与方程题型归类
目录 【题型一】直线倾斜角与斜率最值范围 ....................................................................................................................... 3 【题型二】绕点旋转动直线 ............................................................................................................................................3 【题型三】含三角函数的圆切线型动直线 ................................................................................................................... 3 【题型四】含参双动直线 ................................................................................................................................................4 【题型五】关于直线对称 ................................................................................................................................................4 【题型六】直线光学性质 ................................................................................................................................................5 【题型七】三角形三大线：中线，高，角平分线 ....................................................................................................... 6 【题型八】平行线 ............................................................................................................................................................6 【题型九】直线应用 1：叠纸 .........................................................................................................................................7 【题型十】直线 应用 2：直线与曲线交点 .................................................................................................................. 7 【题型十一】直线应用 3：直线与函数（切线型） .................................................................................................... 7 【题型十二】直线应用 4：距离公式 ............................................................................................................................ 8 【题型十三】直线应用 5：直线与方程 ........................................................................................................................ 8 【题型十四】直线与最值 ................................................................................................................................................9 真题再现 ............................................................................................................................................................................9 模拟检测 .......................................................................................................................................................................... 11
高考数学知识考点精析9 直线与方程
高考数学知识考点精析9 直线与方程1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0。
（2）直线的倾斜角的范围[)π,0。
（3）在直线的倾斜角的定义中抓住三个重要条件：“逆时针旋转、与直线l 重合、最小正角”。
2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示，即k ＝tan α(α≠90°).（2）倾斜角为90°的直线没有斜率。
（3）经过两点P 1（x 1, x 2）,P 2 (y 1,y 2)的直线的斜率公式为()212121x x x x y y k ≠--= 3、直线方程的五种形式：（1）点斜式：已知直线过点（x ,y ）斜率为k ，则直线方程为：y-y =k （x-x ）,它不包括垂直于x 轴的直线。
（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为：y=kx+b,它不包括垂直于x 轴的直线。
（3）两点式：已知直线经过（x 1,y 1）,(x 2,y 2)两点，则直线方程为：121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴（包括x,y 轴）的直线。
（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a,b,则直线方程为：1=+by a x，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。
（5）一般式：任何直线均可写成：Ax+By+C=0(A,B 不同时为0)的形式。
在求直线方程时，要注意斜率是否存在，利用截距式时，不能忽视截距为0的情形，同时要区分“截距”和“距离”。
“截距”不是距离，可正可负可为0。
4、点与直线的位置关系：（1）若点P （x ,y ）在直线上，则Ax +By +C=0.(2) 若点P （x ,y ）不在直线上，则Ax +By +C ≠0，此时点P （x ,y ）直线的距离d=2200B A CBy Ax +++，(3)由此可得，两平行线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0，间的距离为d=2221B A C C +-5、直线与直线的位置关系：（1）斜率存在的两直线：l 1: y=k 1x+b 1, l 2：y=k 2x+b 2，有若l 1∥l 2⇔ k 1＝k 2，且b 1≠b 2，若l 1⊥l 2，⇔ k 1 k 2＝－1，若l 1与l 2相交⇔ k 1≠k 2，若l 1与l 2重合⇔ k 1＝k 2，b 1＝b 2。
2019年高三一轮复习热点题型9.1直线的方程
已知平面直角坐标系中的两点 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，点 M (x ，y)是线段 AB 的中点，则 x ＝ 1 y ＋y 2 y ＝ 1 (2)计算公式：若由 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)确定的直线不垂直于 x 轴，则 k ＝ 2直线的倾斜角为 θ (θ≠ )，则 k ＝tan_θ.§9.1 直线的方程1.平面直角坐标系中的基本公式(1)两点的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 d (A ，B)＝|AB|＝ (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)中点公式：x ＋x 2 2，2 .2.直线的倾斜角(1)定义：x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，我们规定，与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)倾斜角的范围：[0°，180°). 3.直线的斜率(1)定义：通常，我们把直线 y ＝kx ＋b 中的系数 k 叫做这条直线的斜率，垂直于 x 轴的直线，人们常说它的斜率不存在；y －y 1x 2－x 1π24.直线方程的五种形式名称 方程 适用范围(x 1≠x 2).若y－y1x－x1y2－y1x2－x1＋＝1(5)不经过原点的直线都可以用＋＝1表示.(×)y P y解析由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直点斜式斜截式两点式截距式y－y＝k(x－x)y＝kx＋b＝x ya b不含直线x＝x0不含垂直于x轴的直线不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)不含垂直于坐标轴和过原点的直线Ax＋By＋C＝0一般式平面直角坐标系内的直线都适用(A2＋B2≠0)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.(√)(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.(×)(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(×)(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示.(×)x ya b(6)经过任意两个不同的点P1(x1，1)，2(x2，2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.(√)1.直线3x－y＋a＝0的倾斜角为()A.30°C.150°B.60°D.120°答案B解析化直线方程为y＝3x＋a，∴k＝tanα＝ 3.∵0°≤α<180°，∴α＝60°.2.如果A·C<0，且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A.第一象限C.第三象限B.第二象限D.第四象限答案CC CA B线经过一、二、四象限，不经过第三象限.当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5，m－12答案⎣0，4⎦∪⎝2，π⎭又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣0，4⎦∪⎝2，π⎭.例1(1)直线2xcosα－y－3＝0⎝α∈⎣6，3⎦⎭的倾斜角的取值范围是(A.⎣6，3⎦B.⎣4，3⎦C.⎣4，2⎦D.⎣4，3⎦3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__________________.答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；x ya a23a a所以直线方程为x＋y－5＝0.综上，直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.4.(教材改编)若过点A(m,4)与点B(1，m)的直线与直线x－2y＋4＝0平行，则m的值为________.答案34－m1解析＝，∴m＝3.5.直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角的取值范围为____________.⎡π⎤⎛π⎫m2－1解析直线l的斜率k＝＝1－m2≤1.1－2若l的倾斜角为α，则tanα≤1.⎡π⎤⎛π⎫题型一直线的倾斜角与斜率⎛⎡ππ⎤⎫)⎡ππ⎤⎡ππ⎤⎡ππ⎤⎡π2π⎤(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取因为 α∈⎣6，3⎦，所以 ≤cos α≤ 2 2 则有 tan θ∈[1， 3 ].又 θ∈[0，π)，所以 θ∈⎣4，3⎦， 即倾斜角的取值范围是⎣4，3⎦.(2)如图，∵k AP ＝＝1， k BP ＝ ＝－ 3，1－02－(－1) 3 k BP ＝ ＝ 3.如图可知，直线 l 斜率的取值范围为⎣3， 3⎦.值范围为__________________.答案 (1)B (2)(－∞，－ 3]∪[1，＋∞)解析 (1)直线 2xcos α－y －3＝0 的斜率 k ＝2cos α，⎡π π⎤ 1 3 ，因此 k ＝2·cos α∈[1， 3 ].设直线的倾斜角为 θ，⎡π π⎤⎡π π⎤1－02－13－00－1∴k ∈(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞).引申探究1.若将本例(2)中 P(1,0)改为 P(－1,0)，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围.解 ∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0， 3)，∴k AP ＝ 1＝ ，3－00－(－1)⎡1 ⎤2.将本例(2)中的 B 点坐标改为 B(2，－1)，求直线 l 倾斜角的范围.解 如图：直线 PA 的倾斜角为 45°， 直线 PB 的倾斜角为 135°，由图象知 l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°).率求倾斜角的范围时，要分⎣0，2⎭与⎝2，π⎭两种情况讨论.由正切函数图象可以看出，当α∈⎡⎣0，2⎫⎭时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈⎛⎝2，π⎫⎭时，斜率k∈(－A.⎣6，2⎭∪⎝2，6⎦B.⎣0，6⎦∪⎣6，π⎭C.⎣0，6⎦D.⎣6，6⎦(2)已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，则的最大值为________；最小值为________.∵－1≤cosα≤1，∴－3≤k≤.≤tanθ≤.结合正切函数在⎣0，2⎭∪⎝2，π⎭上的图象可知，0≤θ≤或≤θ<π.(2)本题可先作出函数y＝8－2x(2≤x≤3)的图象，把看成过点(x，y)和y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标分别是(2,4)，(3,2).因为的几何意义是直线OP y y(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为10思维升华直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜⎡π⎫⎛π⎫πππ2∞，0).(1)直线xcosα＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是()⎡ππ⎫⎛π5π⎤⎡π⎤⎡5π⎫⎡5π⎤⎡π5π⎤yx答案(1)B(2)22 3解析(1)由xcosα＋3y＋2＝0得直线斜率k＝－33cosα.3 33设直线的倾斜角为θ，则－33 33⎡π⎫⎛π⎫π5π66yx原点的直线的斜率进行求解.如图，设点P(x，)，因为x，满足2x＋y＝8，且2≤x≤3，所以点P(x，yx2y2的斜率，且k OA＝2，k OB＝3，所以x的最大值为2，最小值为3.题型二求直线的方程例2根据所给条件求直线的方程：10；故所求直线方程为 y ＝± (x ＋4).a 12－a－3 12－a |10－5k| k 2＋1 设倾斜角为 α，则 sin α＝ 10(0<α<π)，从而 cos α＝±，则 k ＝tan α＝± .从而 ＋＝1，解得 a ＝－4 或 a ＝9.由点线距离公式，得 ＝5，解得 k ＝ ..(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为 5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.103 10 110 313即 x ＋3y ＋4＝0 或 x －3y ＋4＝0.x y(2)由题设知截距不为 0，设直线方程为 ＋ ＝1， 又直线过点(－3,4)，4 a故所求直线方程为 4x －y ＋16＝0 或 x ＋3y －9＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为 x －5＝0； 当斜率存在时，设其为 k ，则所求直线方程为 y －10＝k(x －5)， 即 kx －y ＋(10－5k)＝0.34故所求直线方程为 3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为 x －5＝0 或 3x －4y ＋25＝0.思维升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件. 用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距 式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论， 判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况求适合下列条件的直线方程：∴l 的方程为 y ＝ x ，即 x －4y ＝0.若 a ≠0，则设 l 的方程为 ＋ ＝1，∴ ＋ ＝1，因此所求直线方程为 y ＋3＝－ (x ＋1)，解 方法一 设直线方程为 ＋ ＝1 (a >0，b >0)，点 P(3,2)代入得 ＋ ＝1≥2∴tan 2α＝ 2tan α ab ，得 ab ≥24，(1)经过点 P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点 A(－1，－3)，倾斜角等于直线 y ＝3x 的倾斜角的 2 倍.解 (1)设直线 l 在 x ，y 轴上的截距均为 a.若 a ＝0，即 l 过点(0,0)及(4,1)，14x ya a∵l 过点(4,1)，4 1a a∴a ＝5，∴l 的方程为 x ＋y －5＝0.综上可知，直线 l 的方程为 x －4y ＝0 或 x ＋y －5＝0. (2)由已知：设直线 y ＝3x 的倾斜角为 α， 则所求直线的倾斜角为 2α. ∵tan α＝3，31－tan 2 α＝－4.又直线经过点 A(－1，－3)，34即 3x ＋4y ＋15＝0.题型三 直线方程的综合应用命题点 1 与均值不等式相结合求最值问题例 3 已知直线 l 过点 P(3,2)，且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程.x ya b3 26a b⎛⎫ ∴△S ABO ＝ (2－3k)⎝3－k ⎭2 ⎢ ⎥⎢ ＝ ×(12＋12)＝12.当且仅当－9k ＝ ，即 k ＝－ 时，等号成立.－k＋2，所以四边形的面积 S ＝ ×2×(2－a)＋ ×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝a －2⎭2＋ .1 32 b 2从而 △S AOB ＝2ab ≥12，当且仅当a ＝b 时等号成立，这时 k ＝－a ＝－3，从而所求直线方程为2x ＋3y －12＝0.方法二 依题意知，直线 l 的斜率 k 存在且 k<0. 则直线 l 的方程为 y －2＝k(x －3) (k<0)，2 且有 A ⎝3－k ，0⎭，B(0,2－3k)，1 ⎛ 2⎫＝1⎡12＋(－9k )＋ 4 ⎤2⎣ (－k )⎦≥1⎡12＋22⎣4 ⎤(－9k )· ⎥(－k )⎦1 242 3△即 ABO 的面积的最小值为 12.故所求直线的方程为 2x ＋3y －12＝0.命题点 2 由直线方程解决参数问题例 4 已知直线 l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当 0＜a ＜2 时，直线 l 1，l 2 与两 坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数 a 的值.解 由题意知直线 l 1，l 2 恒过定点 P(2,2)，直线 l 1 的纵截距为 2－a ，直线 l 2 的横截距为 a 2221 1 ⎛ 1⎫ 15 4，当 a ＝12时，面积最小.思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用均值不等式 求解最值.(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或答案(1)5 (2)－∴|P A |·|PB|≤ ＝ ＝5，当且仅当|P A|＝|PB|时，上式等号成立.＝－ .均值不等式求解.(1)(2014·四川)设 m ∈R ，过定点 A 的动直线 x ＋my ＝0 和过定点 B 的动直线 mx－y －m ＋3＝0 交于点 P(x ，y)，则|P A |·|PB|的最大值是________.(2)(2015· 安徽)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y ＝2a 与函数 y ＝|x －a|－1 的图象只有一个交点，则 a 的值为________.12解析 (1)∵直线 x ＋my ＝0 与 mx －y －m ＋3＝0 分别过定点 A ，B ，∴A(0,0)，B(1,3).当点 P 与点 A(或 B)重合时，|P A |·|PB|为零； 当点 P 与点 A ，B 均不重合时，∵P 为直线 x ＋my ＝0 与 mx －y －m ＋3＝0 的交点， 且易知此两直线垂直， ∴△APB 为直角三角形， ∴|AP|2＋|BP|2＝|AB|2＝10，|P A|2＋|PB|2 102 2(2)∵|x －a|≥0 恒成立，∴要使 y ＝2a 与 y ＝|x －a|－1 只有一个交点，必有 2a ＝－1，解得 a1213.求直线方程忽视零截距致误典例 (12 分)设直线 l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0 (a ∈R). (1)若 l 在两坐标轴上截距相等，求 l 的方程； (2)若 l 不经过第二象限，求实数 a 的取值范围.易错分析 本题易错点求直线方程时，漏掉直线过原点的情况.规范解答⎪⎪⎩⎩.解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.[2分]当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.a－2∴＝a－2，即a＋1＝1.[4分]a＋1∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.[6分](2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，⎧－(a＋1)>0，⎧－(a＋1)＝0，∴⎨或⎨⎪a－2≤0⎪a－2≤0，∴a≤－1.[10分]综上可知a的取值范围是a≤－1.[12分]温馨提醒(1)在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.(2)常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用[方法与技巧]直线的倾斜角和斜率的关系：(1)任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率.(2)直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：αk0°0°<α<90°k>090°不存在90°<α<180°k<0[失误与防范]与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点：(1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线.(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零.(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论.A.m ≠－ A.⎝0，3⎦B.⎣3，2⎭C.⎝2， 3 ⎦D.⎣3，π⎭ 切线的倾斜角的取值范围是⎣3，2⎭.A 组 专项基础训练(时间：35 分钟)1.若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0 表示一条直线，则参数 m 满足的条件是()32C.m ≠0 且 m ≠1B.m ≠0D.m ≠1答案 D⎧⎪2m 2＋m －3＝0，解析 由⎨解得 m ＝1，⎪⎩m 2－m ＝0，故 m ≠1 时方程表示一条直线.2.(2015· 山东枣庄第八中学第二次阶段性检测)如果 f ′(x)是二次函数，且 f ′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1， 3)，那么曲线 y ＝f(x)上任一点的切线的倾斜角的取值范围是()⎛ π⎤⎛π 2π⎤ ⎡π π⎫⎡π ⎫答案 B解析 f ′(x)＝a(x －1)2＋ 3 (a>0)，∴k ≥ 3.⎡π π⎫3.如图中的直线 l 1，l 2，l 3 的斜率分别为 k 1，k 2，k 3，则 ( )A.k 1＜k 2＜k 3B.k 3＜k 1＜k 2C.k 3＜k 2＜k 1D.k 1＜k 3＜k 2 答案 D解析 直线 l 1 的倾斜角 α1 是钝角，故 k 1＜0，直线 l 2 与 l 3 的倾斜角 α2 与 α3 均为锐角，且 α2＞α3，所以 0＜k 3＜k 2，因此 k 1＜k 3＜k 2，故选 D.4.设直线 ax ＋by ＋c ＝0 的倾斜角为 α，且 sin α＋cos α＝0，则 a ，b 满足 ( )A.a ＋b ＝1B.a －b ＝1解析 由 sin α＋cos α＝0，得 ＝－1，即 tan α＝－1.又因为 tan α＝－ ，所以－ ＝－1.6.若直线 l 的斜率为 k ，倾斜角为 α，而 α∈⎣6，4⎭∪⎣ 3 ，π⎭，则 k 的取值范围是__________. 答案[－ 3，0)∪⎣ 3 ，1⎭ 解析 当 ≤α< 时， ≤tan α<1，∴ 3≤k<1.当 ≤α<π 时，－ 3≤tan α<0.∴k ∈⎣ 3，1⎭∪[－ 3，0). 解析 设所求直线的方程为 ＋ ＝1.a b ①2②C.a ＋b ＝0D.a －b ＝0答案 Dsin αcos αa ab b即 a ＝b ，故应选 D.5.已知直线 PQ 的斜率为－ 3，将直线绕点 P 顺时针旋转 60°所得的直线的斜率为( )A. 3C.0 B.－ 3D.1＋ 3答案 A解析 直线 PQ 的斜率为－ 3，则直线 PQ 的倾斜角为 120°，所求直线的倾斜角为 60°，tan60°＝ 3.⎡π π⎫ ⎡2π ⎫⎡ 3 ⎫π π 36 4 332π3 ⎡ 3 ⎫7.一条直线经过点 A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为 1，则此直线的方程为________________________________________________________________________. 答案 x ＋2y －2＝0 或 2x ＋y ＋2＝0x ya b∵A(－2,2)在此直线上，2 2 ∴－ ＋ ＝1.又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为 1，1 ∴ |a |·|b |＝1.故所求的直线方程为 ＋ ＝1 或 ＋ ＝1，－1 －2－2 解析 根据 A(a,0)、B(0，b )确定直线的方程为 ＋ ＝1，又 C(－2，－2)在该直线上，故＋ ＝1，⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 解得 m ＝－ .⎧a －b ＝1， ⎧a －b ＝－1，由①②可得(1)⎨ 或(2)⎨⎪ab ＝2 ⎪ab ＝－2.⎧a ＝2， ⎧a ＝－1，由(1)解得⎨ 或⎨ 方程组(2)无解.⎪b ＝1 ⎪b ＝－2，x y x y2 1即 x ＋2y －2＝0 或 2x ＋y ＋2＝0 为所求直线的方程.8.若 ab >0，且 A(a,0)、B(0，b )、C(－2，－2)三点共线，则 ab 的最小值为________.答案 16x ya b a－2b所以－2(a ＋b )＝ab.又 ab >0，故 a <0，b <0.根据均值不等式 ab ＝－2(a ＋b )≥4 ab ，从而 ab ≤0(舍去)或 ab ≥4，故 ab ≥16，当且仅当 a ＝b ＝－4 时取等号.即 ab 的最小值为 16.9.设直线 l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y －2m ＋6＝0 (m ≠－1)，根据下列条件分别确定 m的值：(1)直线 l 在 x 轴上的截距为－3； (2)直线 l 的斜率为 1.解 (1)∵l 在 x 轴上的截距为－3，∴－2m ＋6≠0，即 m ≠3，又 m ≠－1， ∴m 2－2m －3≠0.2m －6令 y ＝0，得 x ＝ ，m 2－2m －3由题意知， m 2m－6 ＝－3，2－2m －353(2)由题意知 2m 2＋m －1≠0，m 2－2m －3 且－ ＝1，解得 m ＝ .2m 2＋m －1解得 k ＝ .所以 k l ＝－ ＝2.4 310.已知点 P(2，－1).(1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程；(2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.解 (1)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2，而点 P 的坐标为(2，－1)，显然，过点 P(2，－1)且垂直于 x 轴的直线满足条件， 此时 l 的斜率不存在，其方程为 x ＝2.若斜率存在，设 l 的方程为 y ＋1＝k(x －2)， 即 kx －y －2k －1＝0.|－2k －1|由已知得 ＝2，k 2＋134此时 l 的方程为 3x －4y －10＝0.综上，可得直线 l 的方程为 x ＝2 或 3x －4y －10＝0.(2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，如图所示.由 l ⊥OP ，得 k l k OP ＝－1，1 kOP由直线方程的点斜式，得 y ＋1＝2(x －2)，即 2x －y －5＝0.∴a＋b＝ab，即＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)⎝a＋b⎭＝2＋＋≥2＋2ba＝4，解析直线AB的方程为＋＝1，∵动点P(x，y)在直线AB上，则x＝3－y，∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－y－22＋4]≤3.即当P点坐标为⎝2，2⎭时，xy取最大值3.|－5|所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝ 5.5(3)由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直线.B组专项能力提升(时间：25分钟)11.若直线ax＋b y＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为()A.1 C.4B.2 D.8答案C解析∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，11a b⎛11⎫b aa bab当且仅当a＝b＝2时上式等号成立.∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.12.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________.答案3x y3434334434⎛3⎫13.设点A(－1,0)，B(1,0)，直线2x＋y－b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是________.答案[－2,2]直线y＝x上时，求直线AB的方程.3⎝2，2⎭由点C在y＝x上，且A、P、B三点共线得3＋3213n所以l AB：y＝(x－1)，解析b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距，如图，当直线y＝－2x＋b过点A(－1,0)和点B(1,0)时，b分别取得最小值和最大值.∴b的取值范围是[－2,2].14.如图，射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C恰好落在12解由题意可得k OA＝tan45°＝1，k OB＝tan(180°－30°)＝－3所以直线l OA：y＝x，l OB：y＝－x.设A(m，m)，B(－3n，n)，⎛m－3n m＋n⎫所以AB的中点C ⎪，12⎧m＋n＝1·m－3n，⎨222解得m＝3，所以A(3，3).⎩m－0＝－n－－1，3又P(1,0)，所以k AB＝k AP＝＝，3－133，3＋32即直线AB的方程为(3＋3)x－2y－3－3＝0.15.已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于△B，AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l的方程.(1)证明直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，(2)解 由方程知，当 k ≠0 时直线在 x 轴上的截距为－ ，在 y 轴上的截距为 1＋2k ，要⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ，0⎪⎭，B(0,1＋2k). (3)解 由 l 的方程，得 A － 依题意得⎨k<0，∵S ＝ ·|OA |·|OB|＝ · ⎪ ⎪·|1＋2k|k ＝ ⎝4k ＋k ＋4⎭≥ ×(2×2＋4)＝ · “＝”成立的条件是 k >0 且 4k ＝ ，即 k ＝ ，＝⎧x ＋2＝0， ⎧x ＝－2， 令⎨ 解得⎨⎪1－y ＝0， ⎪y ＝1，∴无论 k 取何值，直线总经过定点(－2,1).1＋2kk⎧1＋2k使直线不经过第四象限，则必须有⎨－ k ≤－2，⎩1＋2k ≥1，当 k ＝0 时，直线为 y ＝1，符合题意，故 k ≥0.⎛ 1＋2k ⎫ ⎝ k⎧1＋2k－⎩1＋2k >0，解得 k>0.1 1 ⎪1＋2k ⎪2 2 ⎪ k ⎪1 (1＋2k )2 1⎛1 ⎫ 12 2 2＝4，1 1 k 2∴S min 4，此时直线 l 的方程为 x －2y ＋4＝0.解得 k >0；。
高考数学专题复习：直线与直线的方程
高考数学专题复习：直线与直线的方程一、单选题1．直线210x y -+=的一个方向向量是（ ）A ．()2,1B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,2-- 2．经过两条直线230x y --=和4350x y --=的交点，并且与直线2350x y ++=平行的直线方程为（ ）A ．2370x y +-=B ．2310x y ++=C ．3280x y --=D ．3240x y --= 350y -+=的倾斜角是（ ）A ．30 B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒ 4．两条直线3210x y --=与6410x y -+=间的距离是（ ）ABCD5．已知1a 、2a 、1b 、2b 、1c 、2c ∈R ，直线1l ：1110a x b y c ++=，2l ：2220a x b y c ++=，则“1122a b a b =”是“直线1l 与2l 平行”的（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 二、填空题6．已知m 为实数，直线1:30l mx y ++=，2():3220-l m x my ++=，则“1m =”是“12//l l ”的__________条件．7．过点(1,1)且与直线210x y -+=垂直的直线方程为__________.8．已知直线l 的倾斜角等于直线3440x y -+=的倾斜角，且经过点(2,3)-，则直线l 的方程为__________．9．已知直线60x my ++=和()2320m x y m -++=互相平行，则实数m 的值为__________. 10．若点()3,4P 和()1,2Q -，则线段PQ 的中垂线的斜率为__________11．已知()3,1A ，()1,5B ，过点()1,1C --且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交，则k 的取值范围是__________.12．下列四个命题中真命题有__________个.①经过定点的直线都可以用方程表示；②经过任意两点的直线都可以用方程表示；③不经过原点的直线都可以用方程表示；④经过定点的直线都可以用方程表示.三、解答题 13．已知点A (1，1)，B (5，3)，C (0，3)，求证：ABC 为直角三角形.14．解答下面两个小题：（1）直线l 经过点()2,1A --，倾斜角为直线12y x =的倾斜角的2倍，求l 的方程； （2）直线l 经过点()2,4B -，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求l 的方程．15．已知直线l 经过点()2,3P --．（1）若原点到直线l 的距离为2，求直线l 的方程；（2）若直线l 被两条相交直线220x y --=和10x y +-=所截得的线段恰被点P 平分，求直线l 的方程．16．如图，过点()1,1P 作直线AB ，分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于点A ，B ．当直线AB 在什么位置时，AOB 的面积最小？最小面积是多少？参考答案1．D【分析】先求得直线的斜率，由此求得直线的方向向量.【详解】直线的斜率为2，故其方向向量可以为()1,2--.故选：D.2．A【分析】先求得交点坐标，进而由点斜式可得结果.【详解】联立2304350x y x y --=⎧⎨--=⎩得21x y =⎧⎨=⎩，所以两直线交点坐标为(2,1)， 所求直线为21(2)3y x -=--，整理得2370x y +-=. 故选：A.3．B【分析】50y -+=的倾斜角为α，得到tan α=.【详解】50y -+=的倾斜角为α，又可知直线的斜率为k所以tan α0180α≤<，解得60α=︒，50y -+=的倾斜角为60︒，故选：B4．B【分析】利用平行线间的距离公式计算即可.【详解】因为3(4)(2)60⨯---⨯=，所以直线 3210x y --= 与直线 6410x y -+= 平行， 直线 3210x y --= 的方程可化为 6420x y --=直线 3210x y --= 与直线 6410x y -+= 间的距离是=故选：B5．D【分析】 判断1212=a a b b 是否可以推出12l l //；再判断12l l //是否可以推出1212=a a b b ，结合充分必要条件的定义即可得出结果.【详解】 当1212=a a b b 时，两直线可能平行，也可能重合，故充分性不成立； 当12l l //时，1b 与2b 可能都等于0，故1212=a a b b 不一定成立，故必要性不成立； 综上所述，1212=a a b b 是12l l //的既非充分又非必要条件. 故选：D6．充分不必要【分析】由题设条件求出12//l l 的实数m 的取值集合，再讨论它与集合{1}的关系即可得解.【详解】依题意，12//l l 时，0m ≠，从而有12322//13m m l l m -⇔=≠，解得1m =或2m =， 即命题12//l l 的m 取值集合为{1,2}，而命题1m =的m 取值集合是{1}，且有{1} {1,2}， 所以“1m =”是“12//l l ”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要7．230x y +-=【分析】根据两直线垂直求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程整理得直线的一般方程.【详解】设所求直线l 的斜率为k直线210x y -+=可化为21y x =+，斜率为2.因为直线l 与直线210x y -+=垂直，所以21k ⨯=-，12k =-. 又直线l 过点(1,1)，故直线l 的方程为：()1112y x -=--， 整理得230x y +-=.故答案为：230x y +-=.8．34180x y --=【分析】先求出直线3440x y -+=的斜率，根据条件得出直线l 的斜率，由直线的点斜式方程可得答案.【详解】直线3440x y -+=的斜率为34 直线l 的倾斜角等于直线3440x y -+=的倾斜角，则斜率相等.所以直线l 的斜率为34，又直线l 经过点(2,3)-， 则直线l 的方程为：()3324y x +=- 即34180x y --=故答案为：34180x y --=9．1-【分析】根据直线平行的充要条件即可求出实数m 的值.【详解】由直线60x my ++=和()2320m x y m -++=互相平行，得()()132012620m m m m ⎧⨯--=⎪⎨⨯--≠⎪⎩，即1m =-. 故答案为：1-.10．-2【分析】求出直线PQ 的斜率，再由两直线垂直的斜率关系即可得解.【详解】因点()3,4P 和()1,2Q -，则直线PQ 的斜率4213(1)2k -==--， 而线段PQ 的中垂线垂直于直线PQ ，则所求斜率为12k k '=-=-， 所以线段PQ 的中垂线的斜率为-2.故答案为：-211．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】直线l 与线段AB 相交，分别求l 过端点B 、A 时的斜率，即可得k 的范围.【详解】由题意，过点()1,1C --且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交，当l 过B 点时，5(1)31(1)k --==--；当l 过A 点时，1(1)13(1)2k --==--； ∴由图知：k 的取值范围为1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．1【详解】试题分析：①当k 不存在时，直线方程为0x x =，不正确；②正确；③当直线与坐标轴垂直时不能用该方程表示，不正确；④k 可能不存在，不正确.考点：直线方程.13．证明见解析【分析】利用两点间距离公式求出三角形三边长即可作答.【详解】因点A (1，1)，B (5，3)，C (0，3)，于是得AB =AC =5BC ==，从而得2222225AB AC BC +=+==，所以ABC 为直角三角形.14．（1）4350x y -+=；（2）60x y -+=或20x y +-=．【分析】（1）利用正切的二倍角公式求出直线l 的斜率，结合过点()2,1A --即可得直线的方程； （2）由题可知：所求直线的斜率为±1，由点斜式即可得直线的方程.【详解】（1）设直线12y x =的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α． 因为1tan 2α=，所以22tan 4tan 21tan 3ααα==-． 又直线经过点()2,1A --， 所以，所求直线方程为()4123y x +=+，即4350x y -+=． （2）由题可知，所求直线的斜率为±1．又过点()2,4B -，由点斜式得42y x -=+或()42y x -=-+．故所求直线的方程为60x y -+=或20x y +-=．15．（1）2x =-或513126y x =-；（2）57y x =+． 【分析】(1)分直线斜率存在与不存在设出l 的方程，再按点到直线距离列式计算即可得解；(2)设出直线l 与两条已知直线的交点坐标，结合已知条件列出方程组求解即可作答.【详解】(1)当直线l 的斜率不存在时，直线l 方程为2x =-，满足原点到直线l 的距离为2， 当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为()32y k x +=+，即230kx y k -+-=，2=，解得512k =，直线l 的方程为()53212y x +=+，即513126y x =-， 综上，直线l 的方程为2x =-或513126y x =-； (2)设直线l 与直线220x y --=交于点()11,A x y ，与直线10x y +-=交于点()22,B x y 因AB 被点P 平分，即124x x +=-，126y y +=-，则214x x =--，216y y =--，因112222010x y x y --=⎧⎨+-=⎩，则11112211x y x y -=⎧⎨+=-⎩，解得13x =-，18y =-， 即(3,8)A --，直线l 的斜率是8(3)53(2)k ---==---，直线l 方程为(3)5[(2)]y x --=--，即57y x =+， 所以直线l 的方程为：57y x =+.16．当直线AB 倾斜角为135时，AOB 的面积最小，最小面积是2.【分析】设出点A ，B 的坐标，由直线的截距式写出直线AB 的方程，根据点P 在直线上而列出关系式，再借助基本不等式即可得解,【详解】依题意，设点(,0),(0,)(0,0)A a B b a b >>，直线AB 的方程为1x y a b+=， 而点()1,1P 在直线AB 上，于是有111a b+=，显然有111a b =+≥，当且仅当a =b 时取“=”24ab ⇔≥， 于是得a =b =2时，min ()4ab =，此时AOB 为等腰直角三角形，面积12ab 取最小值2，直线AB 倾斜角为135，所以当直线AB 倾斜角为135时，AOB 的面积最小，最小面积是2.。
2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析
2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析 【三年高考】 1．【xx 江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】【考点定位】直线与圆位置关系2．【xx 江苏，理9】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为2222(1)33512d +⨯--==+，所求弦长为22925522455l r d =-=-=． 【考点】直线与圆相交的弦长问题．3．【xx 江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是__________．【答案】4. 【xx 高考新课标2理数改编】圆的圆心到直线的距离为1，则a ＝ ．【答案】【解析】试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：考点：圆的方程、点到直线的距离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．5. 【xx高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．6．【xx高考山东文数改编】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是．【答案】相交【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以=MN ==，，因为，所以圆与圆相交． 考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.7.【xx 高考北京文数改编】圆的圆心到直线的距离为 ．【答案】【解析】试题分析：圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知．考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点到直线(即)的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.8．【xx 高考上海文科】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则的距离________.【答案】 【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d 5=== 考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.9．【xx 高考浙江文数】已知，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.【答案】；5．【解析】试题分析：由题意，，时方程为，即，圆心为，半径为5，时方程为224448100x y x y ++++=，不表示圆．考点：圆的标准方程.【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合题意，否则很容易出现错误．10.【xx 高考天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点在圆C 上，且圆心到直线 的距离为，则圆C 的方程为__________.【答案】【解析】 试题分析：设，则2|2|452,25355a a r =⇒==+=，故圆C 的方程为 考点：直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．11．【xx 高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y 轴于M ，N 两点，则________.【答案】412.【xx 高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．【答案】【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．13.【xx 高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方）， 且．（Ⅰ）圆的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①； ②； ③．其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为.（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，，令直线的方程为，此时，，所以，，，，因为，，所以. 所以2221(21)22222NBMANA MB -==-=-+，222121222222NBMANA MB +=+=+=-+14．【xx 陕西高考理第12题】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为.所以圆的标准方程为：,故答案为.【xx 年高考命题预测】纵观近几年各地高考试题，对直线方程和圆的方程这部分的考查，主要考查直线的方程、圆的方程，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会在解答题中，这部分内容作为一问，和作为进一步研究其他问题的基础出现，难度较高，虽然全国各地对这部分内容的教材不同，故对这部分内容的侧重点不同，但从直线方程和圆的方程的基础知识，解析几何的基本思想的考查角度来说，有共同之处，恰当地关注图形的几何特征，提高解题效率．对直线方程的考查．一般会和倾斜角、斜率、直线方向向量或者其他知识结合．平面内两条直线的位置关系的考查，属于简单题，主要以两条直线平行、垂直为主，以小题的形式出现．对圆的方程的考查，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，关注确定圆的条件．预测xx年对这一部分考查不会有太大变化．【xx年高考考点定位】高考对直线的方程和圆的方程的考查有二种主要形式：一是考查直线的方程；二是考查平面内两条直线的位置关系；三是考查圆的方程．【考点1】直线的方程【备考知识梳理】1、直线的倾斜角和斜率(1)直线的的斜率为k，倾斜角为α，它们的关系为：k＝tanα；(2)若Ａ（x1,y1），Ｂ（x２,y２），则．2.直线的方程a.点斜式：；b.斜截式：；c.两点式：；d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同时为0.【规律方法技巧】1. 斜率的定义是，其中是切斜角，故可结合正切函数的图象研究切斜角的范围与斜率的取值范围以及斜率的变化趋势．2. 直线的方向向量也是体现直线倾斜程度的量，若是直线的方向向量，则（）．3.平行或者垂直的两条直线之间的斜率关系要倍加注意.3.直线的五种直线方程，应注意每个方程的适用范围，解答完后应检验不适合直线方程的情形是否也满足已知条件．【考点针对训练】1.已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为________【答案】【解析】由题意得：直线可设为，又过直线和的交点，所以直线的方程为2.过点引直线，使点，到它的距离相等，则这条直线的方程为．【答案】【解析】显然直符合题意，此直线过线段的中点，又，时方程为，化简为，因此所求直线方程为或．【考点2】两条直线的位置关系【备考知识梳理】（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2 k 1=k 2；②l 1l 2 k 1k 2=－1；③（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 当时，平行或重合，代入检验；当时，相交；当时，．【规律方法技巧】1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线22(00)Ax By C A B ≠＋＋＝＋垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：；(2)平行：.2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．【考点针对训练】1.若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为 ．【答案】【解析】由题意得：2.已知直线，直线()()2:2220l m x m y -+++=，且，则的值为____.【答案】-1或-2【解析】根据两直线平形当斜率存在时，需满足斜率相等，纵截距不等，所以当时，显然两直线平行，符合题意；当时，，，若平行需满足且，解得：，综上，答案为-1或-2.【考点3】几种距离【备考知识梳理】(1)两点间的距离：平面上的两点间的距离公式：(2)点到直线的距离：点到直线的距离.(3)两条平行线间的距离：两条平行线与间的距离.【规律方法技巧】1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．1.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ．【答案】2【解析】由题意，，所以直线方程为，即，.2.已知直线l 1：ax+2y+6=0，l 2：x+（a 1）y+a 21=0，若l 1⊥l 2，则a= ，若 l 1∥l 2，则a= ，此时l 1和l 2之间的距离为 ．【答案】， 1，；【考点4】圆的方程【备考知识梳理】标准式：，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中为圆心为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．【规律方法技巧】1．二元二次方程是圆方程的充要条件“A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件．二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且”，它可根据圆的一般方程推导而得．2．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．3．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．1．已知圆的圆心为抛物线的焦点,且与直线相切,则该圆的方程为_________________.【答案】【解析】抛物线的焦点为（1,0），所以圆的圆心为（1,0），圆心到直线的距离，所以所求圆的方程为．2．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为______________________.【答案】【解析】直线与直线两条平行线的距离，圆的半径，由，得，由，得，直径的两个端点，，因此圆心坐标，圆的方程．【两年模拟详解析】1．【xx届江苏省如东高级中学高三2月摸底】在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】2．【xx届湖南省长沙市长郡中学高三下第六次月考理科】若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则．【答案】18【解析】试题分析：由题意得：圆心到两直线距离相等，且等于，因此或，即18考点：直线与圆位置关系3．【xx届江苏省扬州中学高三12月月考】已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是．【答案】【解析】试题分析：设圆心，半径为，根据圆被轴所截得的弦长为得：，又切点是，所以，且，所以解得或，从而或，，所以答案应填：．考点：1、直线与圆相切；2、直线与圆相交；3、圆的标准方程．4．【xx 届南京市、盐城市高三年级第二次模拟】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为______.【答案】【解析】 由题意得，直线的斜率为，且经过点,直线的斜率为，且经过点，且直线所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，则圆心到直线的距离为，所以点到直线的最大距离为。
专题9.1 直线的方程(练习)【必考点专练】2023届高考数学二轮复习专题
专专9.1直线的方程一、单选题1. 点(0,1)-到直线(1)y k x =+距离的最大值为( ) A. 1B. 2C. 3D. 22. 若平面内三点(1,)A a -，2(2,)B a ，3(3,)C a 共线，则a =( ) A. 12±或0B.252-或0 C.252± D.252+或0 3. “4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行”的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4. 在平面直角坐标系中，记d 为点到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知(2,3)A ，(1,2)B -，若点(,)P x y 在线段AB 上，则3yx -最大值为 ( ) A. 1B.35C. 12-D. 3-6. 已知00(,)P x y 是直线:0++=l Ax By C 外一点，则方程00()0Ax By C Ax By C +++++=表示( )A. 过点P 且与l 垂直的直线B. 过点P 且与l 平行的直线C. 不过点P 且与l 垂直的直线D. 不过点P 且与l 平行的直线7. 2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点。
有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近。
为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，1234,,,OO OO OO OO 分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线，3OO 与x 轴所成的角16α︒≈，则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为( )A. 0︒B. 1︒C. 2︒D. 3︒8. 已知直线1:0()l kx y k R +=∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为( )A. B. C. 5+ D. 3+9. 著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代点(,)M x y 与点(,)N a b 最小值为( )A. B. C. 8 D. 610. 已知圆C ：221x y +=，直线l ：2x =，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点( )A. 1(,0)2B. (0,2)C. (2,1)D. 1(,1)2二、多选题11. 已知直线12:10,:10l x l x +=-=，直线:10l kx y k -+-=被12,l l 截，则k 的值可能为( )A. 2+B. 2-C. 2D. 212. 已知在平面直角坐标系中，3(,0)2A ，(0,3)B ，点(,)M m n 位于线段AB 上，M与端点A ，B 不重合，则11212m n +++的可能取值为( ) A.13B.23C. 1D. 313. 下列说法中，正确的有.( )A. 点斜式11()y y k x x -=-可以表示任何直线B. 直线42y x =-在y 轴上的截距为2-C. 直线20x y -=关于0x y +=对称的直线方程是20x y -=D. 点(2,3)P 到直线的(1)30ax a y +-+=的最大距离为5 14. 下列说法正确的是( )A. 直线 10xsin y α-+=的倾斜角的取值范围为3[0,][,)44πππ⋃B. “5c =”是“点(2,1)到直线340x y c ++=距离为3”的充要条件C. 直线l ：30()x y R λλλ+-=∈恒过定点(3,0)D. 直线25y x =-+与210x y ++=平行，且与圆225x y +=相切三、填空题15. 曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为__________.16. 已知实数1x 、2x 、1y 、2y 满足：22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，的最大值为__________. 17. 已知函数，函数()f x 的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是__________.18. 已知直线l 过点(0,2)A 和2(1213)()B m m m R ++∈，则直线l 的倾斜角的取值范围为__________. 四、解答题19. 已知直线l 过点(1,1)M ，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当||||OA OB +取得最小值时，直线l 的方程；(2)当22||||MA MB +取得最小值时，直线l 的方程．20. 已知直线l 经过直线1l ：250x y +-=与2l ：20x y -=的交点．(1)若点(5,0)A 到l 的距离为3，求直线l 的方程； (2)求直线l 的方程，使点(5,0)A 到直线l 的距离最大；(3)求直线l 的方程，使直线l 和直线1l 关于直线2l 对称．答案和解析1.【答案】B解：因为直线(1)y k x =+恒过点(1,0)-，可知：点(0,1)-到直线(1)y k x =+的最大距离，即为点(0,1)-与(1,0)-两点的距离，则点(0,1)-到直线(1)y k x =+ 故选.B2.【答案】A解：平面内三点(1,)A a -，2(2,)B a ，3(3,)C a 共线，,AB AC k k ∴=232131a a a a ++∴=--，化为：2(21)0a a a --=，解得0a =或1a =± 故选.A3.【答案】C解：由题意知a ，b 均不为0，则直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行的充要条件是22b a -=-且11a≠， 即4ab =且1a ≠，故“4ab =”是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-=平行”的必要不充分条件． 故选.C4.【答案】C解：由题意， 当0m =时，，∴当cos 1θ=-时，max 3;d =当0m ≠时，222222|cos sin 2||sin cos 2||1sin()2|111m m m d mmm θθθθθα---++++===+++，(其中1tan )mα=-，∴当sin()1θα+=时，max 13d =+<，d ∴的最大值为3.故选.C5.【答案】C解：设(3,0)Q ，3yx -表示直线PQ 的斜率， 则30323AQ k -==--，201132BQ k -==---， 点(,)P x y 是线段AB 上的任意一点，3y x ∴-的取值范围是1[3,]2--， 故3yx -的最大值为12-，故选：.C6.【答案】D解：因为点00(,)P x y 不在直线0Ax By C ++=上， 所以000Ax By C ++≠，所以直线00()0Ax By C Ax By C +++++=不经过点P ，排除A 、B ；又直线00()0Ax By C Ax By C +++++=与直线l ：0Ax By C ++=平行，排除C ， 故选.D7.【答案】C解：过3O 作x 轴平行线3O E ，则316.OO E α∠=≈︒ 由五角星的内角为36︒，可知318BAO ∠=︒， 所以直线AB 的倾斜角为18162︒-︒=︒， 故选.C8.【答案】C解：联立消去参数k 得22(1)(1)2x y -+-=，所以点A 在以(1,1)C 为圆心，2为半径的圆上.又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --，半径为2， 且22||(12)(13)5CD =+++=，两圆相离， 所以||AB 的最大值为||2252 2.CD ++=+ 故选.C9.【答案】B解：设()f x =则()f x()f x ∴的几何意义为点(,0)M x 到两定点(2,4)A 与(1,3)B 的距离之和.设点(2,4)A 关于x 轴的对称点为A '，则A '的坐标为(2,4).- 要求()f x 的最小值，可转化为求||||MA MB +的最小值，利用对称思想可知||||||||||MA MB MA MB A B +='+'=即()f x故选.B10.【答案】A解：根据题意，因为P 为直线l ：2x =上的动点，设(2,)P t ，圆C ：221x y +=，其圆心C 的坐标为(0,0)，半径为1，PA 、PB 为圆C 的切线， 则以线段PC 为直径的圆N 的方程为2220x y x ty +--=，则有2222120x y x y x ty ⎧+=⎨+--=⎩，联立可得210x ty +-=， 即两圆公共弦AB 的方程为210x ty +-=，即12()2ty x -=-， 所以直线AB 过定点1(,0).2故选：.A11.【答案】AD解：直线12:310,:310l x y l x y -+=--=平行， 倾斜角为，两平行线间距离为1112+=， 因为直线:10l kx y k -+-=被12,l l 截得的线段长为2， 所以直线:10l kx y k -+-=的倾斜角为或，，，则斜率为23+或3 2.- 故选.AD12.【答案】BC解：由题意知，直线AB 的方程为2133x y+=， 点(,)M m n 位于线段AB 上，M 与端点A ，B 不重合， 则2133m n+=，即23m n +=，(0,3)n ∈， 所以111121242m n n n +=+++-+ 266.(4)(2)(1)9n n n ==-+--+ 因为(0,3)n ∈， 所以2(1)9(5,9],n --+∈ 所以2626[,).(1)935n ∈--+故选.BC13.【答案】BCD解：A ：点斜式11()y y k x x -=-不能表示斜率不存在的直线，故A 错误； B ：直线42y x =-在y 轴上的截距为2-，正确；C ：在直线20x y -=上任取一点(,)P m n ，它关于0x y +=的对称点(,)Q m n --在直线20x y -=上，所以直线20x y -=关于0x y +=对称的直线方程是20x y -=，C 正确；D ：因为直线的(1)30ax a y +-+=即()30a x y y +-+=过定点(3,3)M -，所以点(2,3)P 到直线的(1)30ax a y +-+=的最大距离为||5MP =，D 正确. 故选：.BCD14.【答案】ACD解：直线 sin 10x y α-+=的倾斜角θ，可得tan sin [1,1]θα=∈-， 所以θ的取值范围为3[0,][,),44πππ⋃所以A 正确； “点(2,1)到直线340x y c ++=距离为3”，可得22|64| 3.34c ++=+解得5c =，25c =-，所以“5c =”是“点(2,1)到直线340x y c ++=距离为3”的充分不必要条件，所以B 不正确；直线l ：30()x y R λλλ+-=∈，即，恒过定点(3,0)，所以C 正确；直线25y x =-+即250x y +-=与直线210x y ++=平行，22|5|521-=+，所以直线25y x =-+与圆225x y +=相切， 所以D 正确； 故选：.ACD15.【答案】3y x =解：23()x y x x e =+，223(21)3()3(31)x x x y x e x x e e x x ∴'=+++=++， ∴当0x =时，3y '=，23()x y x x e ∴=+在点(0,0)处的切线斜率3k =， ∴曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为：3.y x =故答案为3.y x =16.+解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，O 为坐标原点，11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，由22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=， 可得A ，B 两点在圆221x y +=上， 且1212111cos 2OA OB AOB x x y y ⋅=⨯⨯∠=+=， 即有60AOB ︒∠=，即三角形OAB 为等边三角形，1AB =，A ，B 两点到直线:10l x y +-=的距离1d 与2d 之和，设AB 中点为M ，则距离1d 与2d 之和等于M 到直线l 的距离的两倍，圆心(0,0)到线段AB 中点M 的距离2d =，圆心到直线l 的距离d '=M ∴到直线l 的距离的最大值为d d +'=+，+17.【答案】解：由题意，，则，所以点和点，12,xxAM BN k e k e =-=，所以12121,0xx e e x x -⋅=-+=，所以，所以，同理，所以故答案为：18.【答案】[0,](,)62πππ⋃解：设此直线的倾斜角为θ，[0,).θπ∈ 则2tanθ=232).3m =+ [0,](,).62ππθπ∴∈⋃故答案为：[0,](,).62πππ⋃19.【答案】 解：(1)设(,0)A a ，(0,)(0,0).B b a b >>设直线l 的方程为1x y a b +=，则111a b+=， 所以2224a b a bb a b a=+++⋅=， 当且仅当2a b ==时取等号， 此时直线l 的方程为20.x y +-=(2)方法一：设直线l 的斜率为k ，则0k <，直线l 的方程为1(1)y k x -=-， 则，(0,1)B k -，所以22222211||||2224MA MB k k k k +=+++⋅=， 当且仅当221k k=，即1k =-时， 22||||MA MB +取得最小值4，此时直线l 的方程为20.x y +-=方法二：设(,0)A a ，(0,)(0,0).B b a b >>设直线l 的方程为1x y a b +=，则111a b+=，即a b ab +=， 2222||||(1)1(1)1MA MB a b +=-++-+222()4a b a b =+-++2224a b ab =+-+2()4a b =-+∴当且仅当2a b ==时，22||||MA MB +取得最小值4， 此时直线方程为122x y +=，即20.x y +-=20.【答案】解：(1)易知l 不可能为2l ，故可设经过两已知直线交点的直线系方程为(25)(2)0x y x y λ+-+-=，即(2)(12)50x y λλ++--=，点(5,0)A 到l 的距离为3， 22|1055|3(2)(12)λλλ+-∴=++-，化简得22520λλ-+=，解得12λ=或2λ=， ∴直线l 的方程为2x =或4350.x y --=(2)由解得直线1l 与2l 的交点为(2,1)P ， 显然当l PA ⊥时，点(5,0)A 到直线l 的距离最大， 又101253PA k -==--， 3l k ∴=，∴所求直线l 的方程是13(2)y x -=-，即350.x y --=(3)在直线1l 上取点(0,5)E ，设点E 关于直线2l 的对称点是(,)F a b ，则052022a b ++-⋅=且520b a -=--， 解得4a =，3b =-，由直线l 经过两点(2,1)P ，(4,3)F -， 可得直线l 的方程是341324y x +-=+-，即250.x y +-=。
高考数学专题《直线与方程》训练试题含答案
高考数学专题《直线与方程》一、单选题1．已知点(3,4)A ，(1,1)B -，则线段AB 的长度是（ ）A ．5B ．25CD ．292．已知直线l 经过点()1,0P ，且与直线21y x =-平行，那么直线l 的方程是（ ） A ．1y x =- B ．22y x =- C ．1y x =-+ D ．21y x =-+ 3．已知直线l 倾斜角是arctan 2π-，在y 轴上截距是2，则直线l 的参数方程可以是（ ）A ．22x t y t =+⎧⎨=-⎩B ．2x t y t =+⎧⎨=-⎩C ．22x t y t =⎧⎨=-⎩D ．22x t y t=⎧⎨=-⎩ 4．倾斜角为45，在y 轴上的截距为1-的直线的方程是（ ）A ．1y x =+B ．1y x =-C ．1y x =-+D ．1y x =--5．直线3210x y +-=的一个方向向量是（ ）A ．()2,3-B ．()2,3C ．()3,2-D ．()3,26．下列命题错误的是（ ）①y =2y x =表示的是同一条抛物线②所有过原点的直线都可设为y kx =；③若方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆，则必有2240D E F +->④椭圆2248x y +=A ．①② B ．②④ C ．③④ D ．①②④ 7．已知两直线20x y -=和30x y +-=的交点为M ，则以点M 为圆心，半径长为1的圆的方程是（ ）A ．22(1)(2)1x y +++=B ．22(1)(2)1x y -+-=C ．22(2)(1)1x y +++=D ．22(2)(1)1x y -+-=8．已知直线1:3420l x y ++=，2:6810l x y +-=，则1l 与2l 之间的距离是A ．12 B ．35 C ．1 D ．3109．若直线220mx y +-=与直线(1)20x m y +-+=平行，则m 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．2或1-D ．210．如图所示,直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ,则A ．123k k k <<B ．231k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k << 11．“2a =”是“直线20ax y +=平行于直线1x y +=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．直线1y ax a =+-()a R ∈所过定点的坐标为（ ）A ．()1,1--B ．()1,1-C ．()1,1-D ．()1,113．已知(1,4)A ，(3,2)B -，直线:20l ax y ++=，若直线l 过线段AB 的中点，则=a A ．-5 B ．5 C ．-4 D ．414．平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A ．250x y ++=或250x y +-=B ．20x y ++=或20x y +=C ．250x y -+=或250x y --=D ．20x y -=或20x y -= 15．已知直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点，直线2l 的倾斜角为135，那么1l 与2l A ．垂直 B ．平行 C ．重合 D ．相交但不垂直 16．已知ABC ∆的顶点坐标为()7,8A ，()10,4B ，()2,4C -，则BC 边上的中线AM 的长为A ．8B ．13C ．D 17．已知直线l 经过点()0,1，且与直线210x y -+=的倾斜角互补，则直线l 的方程为（ ） A ．220x y +-= B ．210x y +-= C ．210x y +-= D ．210x y ++=18．若双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线l 与直线g ：20++=ax by b 平行，则直线l ，g 间的距离为（ ）A B C D19．已知直线l 过点2)-和(0,1)，则直线l 的倾斜角大小为A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．3020．直线l 的倾斜角,43ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则其斜率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．⎝D ． 21．已知两条直线1:60l x my ++=，()2:2320l m x y m -++=，若1l 与2l 平行，则m 为（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．022．已知椭圆：22143x y +=，直线l ：y x =+P ，则点P 到直线l 的距离的最大值（ ）A ．B ．C ．D ．23．若点(,0)P m 到点(3,2)A -及(2,8)B 的距离之和最小，则m 的值为A ．2B ．2-C ．1D ．1-24．已知a R ∈，设函数()ln 1f x ax x =-+的图象在点(1,(1))f 处的切线为l ，则l 过定点（ ） A ．(0,2) B ．(1,0) C ．(1,1)a + D ．(,1)e25．已知直线1:32l y x =-，直线221:60l x y -+=，则1 l 与2 l 之间的距离为（ ）A B C D 26．已知直线2120l x a y a -+=：与直线()2110l a x ay --+=：互相平行，则实数a 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．227．经过点()0,1且与直线210x y +-=垂直的直线的方程为（ ）A ．220x y +-=B ．220x yC ．210x y -+=D ．210x y +-=28．已知直线()():20l y k x k =+>与抛物线28C y x =：相交于A 、B 两点，且2AF BF =，则k 为（ ）A B C D 29．已知椭圆2222:19x y C a a +=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 30．已知抛物线2x y =上的点P 到直线240x y --=的距离最小，则点P 的坐标是（ ） A ．()1,1- B ．()1,1 C ．()2,2 D ．()0,031．在Rt ABO 中，90BOA ∠=︒，8OA =，6OB =，点P 为Rt ABO 内切圆C 上任一点，则点Р到顶点A ，B ，O 的距离的平方和的最小值为（ ）A ．68B ．70C ．72D ．7432．“2a =-”是“直线()2310a x ay +++=与直线()()2230a x a y -++-=相互垂直”的（ ）条件A ．充要B ．充分非必要C ．必要非充分D ．既非充分也非必要 33．已知圆C ：x 2+（y ﹣2）2＝r 2与直线x ﹣y ＝0交于A ，B 两点，若以弦AB 为直径的圆刚好经过已知圆的圆心C ，则圆C 的半径r 的值为（ ）A ．1BC ．2D ．434．已知直线1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且||2AB =，则||PA PB +的最小值是（ ）A ．B ．C ．1D ．235．以下四个命题表述正确的是（ ） ①若点(1,2)A ，圆的一般方程为222410x y x y ++-+=，则点A 在圆上②圆22:28130C x y x y +--+=的圆心到直线4330x y -+=的距离为2③圆22120C :x y x ++=与圆222:4840C x y x y +--+=外切④两圆22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=的公共弦所在的直线方程为260x y ++=A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④36．已知两条直线l 1：x +m 2y +6＝0，l 2：（m ﹣2）x +3my +2m ＝0，若l 1与l 2平行，则m ＝（ ） A ．﹣1或0B ．﹣1C ．0D ．﹣1或0 或3二、填空题37．经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 ． 38．直线20x y +-=和10ax y -+=的夹角为3π，则a 的值为______．39．设点p 为y 轴上一点，并且点P 到直线3460x y -+=的距离为6，则点P 的坐标为_________.40．直线3y x =-+与坐标轴围成的三角形的面积是_________.41．若在平面直角坐标系内过点P ，且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为________.42．已知直线()()1:3410l a x a y -+-+=与()2:23220l a x y --+=平行，则a =___________.43．若点(),a b 在直线10x -=上，则22a b +的最小值为_____________________. 44．设△ABC 的三个顶点的坐标为A （2，0），B （﹣1，3），C （3，﹣2），则AB 边上的高线CD 所在直线的方程为_____．45．已知函数()243f x x x =-+的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，则ABC 的外接圆E 的方程是________．46．设直线212:260,(1)10l ax y l x a y a ++==+-+-=，若12l l ⊥，则a =__________.47．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________.48．已知定点()1,1A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP O '=，是坐标原点，则PQ 的取值范围是___________.49．已知两直线与平行，则___ 50．已知函数2()1f x og x =，a b >且1223b ≤≤，()()f a f b k ==，设k 值改变时点(,)a b 的轨迹为C ，若点M ，N 为曲线C 上的两点，O 为坐标原点，则MON ∆面积的最大值为__.51．点(3,2)P 关于直线1y x =+的对称点P '的坐标为__________．52．若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数的值为__________． 53．已知直线80(,)ax by a b R +-=∈经过点(1,2)-，则124a b+的最小值是__． 54．若对于任意一组实数(),x y 都有唯一一个实数z 与之对应，我们把z 称为变量,x y 的函数，即(),z f x y =，其中,x y 均为自变量，为了与所学过的函数加以区别，称该类函数为二元函数，现给出二元函数(),f m n ()229m n n ⎫=-+⎪⎭，则此函数的最小值为__________．三、解答题55．设直线4310x y +=与210x y -=相交于一点A .（1）求点A 的坐标；（2）求经过点A ，且垂直于直线3240x y -+=的直线的方程.56．已知：ABC 的三个顶点的坐标分别为(1,2),(4,1),(6,5)A B C -．求AB 边上的高所在直线的点法向式方程．57．（本小题满分12分）已知直线l 经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点．（1）若直线l 平行于直线3240x y -+=，求直线l 的方程；（2）若直线l 垂直于直线4370x y --=，求直线l 的方程．58．已知点P 在圆22:4240C x y x y +--+=上运动，A 点坐标为()2,0-.（1）求线段AP 中点的轨迹方程；（2）若直线:250l x y --=与坐标轴交于MN 两点，求PMN 面积的取值范围.59．在平面直角坐标系中，已知点(2,0),(1,3)A B -.（1）求AB 所在直线的一般式方程；（2）求线段AB 的中垂线l 的方程.60．求满足下列条件的直线方程：（1）直线l 过点A （2,-3），并且与直线13y x =的倾斜角相等； （2）直线l 经过点P (2,4),并且在x 轴上的截距是y 轴上截距的12.61．已知两直线1l ：240x y -+=，2l ：4350x y ++=．()1求直线1l 与2l 的交点P 的坐标；()2设()1,2A --，若直线l 过点P ，且点A 到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程． 62．矩形ABCD 的两条对角线相交于点(2,0),M AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(1,1)T -在AD 边所在的直线上．（1）求AD 边所在直线的方程；（2）若直线:10l ax y b +++=平分矩形ABCD 的面积，求出原点与(,)a b 距离的最小值．63．已知直线l 1：3x+4y ﹣2=0和l 2：2x ﹣5y+14=0的相交于点P ．求：（1）过点P 且平行于直线2x ﹣y+7=0的直线方程；（2）过点P 且垂直于直线2x ﹣y+7=0的直线方程．64．已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A 、B ，直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点． （1）点P 的坐标为1(1,)3P ，若MP PN =，求直线l 的方程； （2）若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，且点M 在第一象限，求23(MA NB MA k k k -、NB k 分别为直线MA 、NB 的斜率）的取值范围．65．已知直线()()222:11310l a a x a a y a a -+-++-+-=，a R ∈（1）求证，直线l 恒过定点，并求出定点坐标；（2）求当1a =和1a =-时对应的两条直线的夹角.66．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(20)A ，、3(5)B ，，经过原点O 的直线l 将OAB ∆ 分成面积之比为1:2的两部分，求直线l 的方程．67．已知直线:120l kx y k -++=（1）求证：直线l 经过定点．（2）若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，AOB 的面积为S ，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．（3）若直线l 不经过第四象限，求实数k 的取值范围．68．已知圆C:x 2+(y −3)2=4，直线m:x +3y +6=0，过A(−1，0)的一条动直线l 与直线m 相交于N ，与圆C 相交于P ，Q 两点.（1）当l 与m 垂直时，求出N 点的坐标；（2）当|PQ|=2√3时，求直线l 的方程.69．已知圆P 过点1,0A ，()4,0B .（1）若圆P 还过点()6,2C -，求圆P 的标准方程；（2）若圆心P 的纵坐标为2，求圆P 的标准方程.70．已知(),4A m ，()2,B m -，()1,1C ，()2,3D m +四点.（1）当直线AB 与直线CD 平行，求m 的值；（2）求证：无论m 取何值，总有90ACB ∠=.71．已知圆心为M 的圆经过点(0,4),(2,0),(3,1)A B C 三个点.（1）求ABC 的面积；（2）求圆M 的方程.72．已知过原点O 的直线:40l x y -=和点(6,4)P ，动点(Q m ,)(0)n m >在直线l 上，且直线QP 与x 轴的正半轴交于点R ．（1）若QOR 为直角三角形，求点Q 的坐标；（2）当QOR 面积的取最小值时，求点Q 的坐标．73．平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)F ，直线:3l y =-，动点M 到点F 的距离比它到直线l 的距离小2.（1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）设斜率为2的直线与曲线C 交于A 、B 两点（点A 在第一象限），过点B 作x 轴的平行线m ，问在坐标平面xOy 中是否存在定点P ，使直线PA 交直线m 于点N ，且PB PN =恒成立？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.74．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y ++=和圆22:1O x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ．（1）若PA PB ⊥，求点P 的坐标；（2）设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若有在，求出点T ；若不存在，请说明理由．75．如图所示，将一块直角三角形板ABO 置于平面直角坐标系中，已知1,AB OB AB OB ==⊥，点11,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭是三角板内一点，现因三角板中，阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角板锯成AMN ∆，设直线MN 的斜率为k .（1）用k 表示出直线MN 的方程，并求出点,M N 的坐标；（2）求出k 的取值范围及其所对应的倾斜角α的范围；（3）求AMN ∆面积的取值范围.76．求满足下列条件的直线的方程：(1)求与直线20x y -=平行，且过点(2)3，的直线方程； (2)已知正方形的中心为直线220x y -+=和10x y ++=的交点，其一边所在直线的方程为350x y +-=,求其他三边的方程.77．过圆222:C x y r +=上一点()2,2A -作圆的切线，切线与x 轴交于点B ，过点B 的直线与圆C 交于不同的两点M 、N ，MA 、NA 分别交直线4x =-交于点P 、Q ．（1）求点B 的坐标；（2）求PBQB 的值．78．已知点()2,0M -，()2,0N ，动点P 满足条件2PM PN -=，记动点P 的轨迹为W . （1）求W 的方程；（2）若P 是W 上任意一点，求2PMPN 的最小值.79．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:4O x y +=与x 轴的正负半轴的交点分别是M ，N .（1）已知点(2,4)Q ，直线l 过点Q 与圆O 相切，求直线l 的方程；（2）已知点P 在直线：4x =上，直线PM ，PN 与圆的另一个交点分别为E ，F . ①若(4,6)P ，求直线EF 的方程；②求证：直线EF 过定点.参考答案1．A【分析】根据两点之间的距离公式，即可代值求解.【详解】因为(3,4)A ，(1,1)B -，故可得5AB ==.故选：A.【点睛】本题考查平面中两点之间的距离公式，属基础题.2．B【分析】由平行关系可得直线l 斜率，由直线点斜式方程可求得结果.【详解】l 与21y x =-平行，∴直线l 的斜率2k =，l ∴方程为：()2122y x x =-=-.故选：B.3．D【分析】由倾斜角求得斜率,由斜截式得直线方程,再将四个选项中的参数方程化为普通方程,比较可得答案. 【详解】因为直线l 倾斜角是arctan 2π-,所以直线l 的斜率tan(tan 2)tan arctan 22k arc π=-=-=-, 所以直线l 的斜截式方程为:22y x =-+,由22x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得24y x =-+,故A 不正确;由2x t y t =+⎧⎨=-⎩消去t 得2y x =-+,故B 不正确; 由22x t y t =⎧⎨=-⎩消去t 得122y x =-+,故C 不正确;由22x ty t=⎧⎨=-⎩消去t 得22y x =-+,故D 正确; 故选:D. 【点睛】本题考查了直线方程的斜截式,参数方程化普通方程,属于基础题. 4．B 【分析】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程. 【详解】由倾斜角为45可知所求直线的斜率为1，由直线的斜截式方程可得1y x =-. 故选：B. 5．A 【分析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果. 【详解】因为直线3210x y +-=的斜率为32-，所以直线的一个方向向量为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为()2,3-与31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，所以3210x y +-=的一个方向向量可以是()2,3-，故选：A. 6．D 【分析】①利用曲线中变量的范围来判断；②利用点斜式的适用条件来判断；③利用圆的一般式方程的系数关系来判断；④利用椭圆几何性质来判断. 【详解】解：①y =0y >，其仅表示抛物线的一部分，与2y x =表示的不是同一条抛物线，故错误；②所有过原点的直线中，0x =不可设为y kx =，故错误；③若方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆，则必有2240D E F +->，故正确；④椭圆2248x y +=标准方程为22182x y +=，2b =.故选：D. 【点睛】本题考查学生对圆锥曲线的基础知识的掌握情况，是基础题. 7．D 【分析】联立两直线方程，得到交点坐标，即为圆心，再结合半径就可写出圆的方程. 【详解】解：联立2030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，得()2,1M ，则以点M 为圆心，半径长为1的圆的方程是22(2)(1)1x y -+-=. 故答案为：D 【点睛】本题考查圆的标准方程，是基础题. 8．A 【分析】直接利用平行线之间的距离公式化简求解即可. 【详解】两条直线1:3420l x y +-=与2:6810l x y ++=，化为直线1:6840l x y +-=与2:6810l x y ++=，则1l 与2l 12=，故选A. 【点睛】本题主要考查两平行线之间的距离，属于简单题.解析几何中的距离常见有：（1）点到点距离，AB =（2）点到线距离，d =，（3）线到线距离d 9．D 【分析】由平行可得()120m m --=，解之，排除重合的情形即可. 【详解】解：∵直线220mx y +-=与直线(1)20x m y +-+=平行， ∴()120m m --=，即220m m --=，解得1m =-或2m =，经验证当1m =-时，直线重合应舍去， 故选：D. 【点睛】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题. 10．B 【分析】设直线123,,l l l 所对应的倾斜角为123,,ααα， 由图可知，12302παααπ<<<<<，由直线的倾斜角与斜率的关系可得231k k k <<，得解. 【详解】解：由图可知,直线1l 的倾斜角为锐角,所以10k >,而直线2l 与3l 的倾斜角均为钝角,且2l 的倾斜角小于3l 的倾斜角,故230k k <<.所以231k k k <<. 故选B.本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，重点考查了识图能力，属基础题. 11．C 【详解】试题分析：直线20ax y +=平行于直线1x y +=122aa -⇒=-⇒=，因此正确答案应是充分必要条件，故选C. 考点：充要条件. 12．A 【分析】提取公因数a ，得()11y a x =+-，即得1x =-时，1y =-，即得定点. 【详解】直线1y ax a =+-，整理得()11y a x =+-，故对于a R ∈，恒有1x =-时，1y =-.故直线恒过点()1,1--. 故选：A. 13．B 【分析】根据题意先求出线段AB 的中点，然后代入直线方程求出a 的值. 【详解】因为(1,4)A ，(3,2)B -，所以线段AB 的中点为(1,3)-，因为直线l 过线段AB 的中点，所以320a -++=，解得5a =.故选B 【点睛】本题考查了直线过某一点求解参量的问题，较为简单. 14．A 【详解】设所求直线为20x y c =＋＋， 由直线与圆相切得，=解得5c =±．所以直线方程为250x y ＋＋＝或250x y ＋－＝．选A.【分析】根据两点求出直线1l 的斜率，根据倾斜角求出直线2l 的斜率；可知斜率乘积为1-，从而得到垂直关系. 【详解】直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点 ∴直线1l 的斜率：141138k +==-+ 直线2l 的倾斜角为135 ∴直线2l 的斜率：2tan1351k ==- 121k k ∴⋅=- 12l l ∴⊥本题正确选项：A 【点睛】本题考查直线位置关系的判定，关键是利用两点连线斜率公式和倾斜角求出两条直线的斜率，根据斜率关系求得位置关系. 16．D 【分析】利用中点坐标公式求得()6,0M ，再利用两点间距离公式求得结果. 【详解】由()10,4B ，()2,4C -可得中点()6,0M又()7,8A AM ∴=本题正确选项：D 【点睛】本题考查两点间距离公式的应用，关键是能够利用中点坐标公式求得中点坐标. 17．A 【分析】根据题意求出直线l 的斜率，然后利用斜截式即可写出直线的方程，进而转化为一般式方程即可. 【详解】因为与直线210x y -+=的倾斜角互补，而直线210x y -+=的斜率为12，所以直线l 的斜率为12-，则直线l 的方程为112y x =-+，即220x y +-=．故选：A 18．D 【分析】由题可得渐近线方程，利用直线平行可得a =，再利用平行线间距离公式即得. 【详解】根据题意，双曲线C 的渐近线l 的方程为0bx ay +=，该直线与直线g 平行，所以2-=-b aa b，所以a ，此时直线l 的方程为0x +=，直线g 的方程为02+=x ，所以直线l ，g=故选：D . 19．B 【分析】求出斜率后可得直线的倾斜角 【详解】=，故直线的倾斜角为120︒. 故选：B. 【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的计算，注意倾斜角的范围为0,.本题属于基础题.20．B 【分析】根据倾斜角和斜率的关系，确定正确选项. 【详解】直线的倾斜角为2παα⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，则斜率为tan α，tan y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数.由于直线l 的倾斜角,43ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以其斜率的取值范围为tan ,tan 43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即.故选：B【点睛】本小题主要考查倾斜角和斜率的关系，属于基础题. 21．A 【分析】由题意利用两条直线平行的性质，求得m 的值． 【详解】解：两条直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，若1l 与2l 平行，则()213m m -=⨯且()2162m m ⨯≠⨯-，由()213m m -=⨯解得1m =-或3m =， 当3m =时()2162m m ⨯=⨯-故舍去，所以1m =-； 故选：A ． 22．C 【解析】设椭圆上点的坐标为()()2cos P R θθθ∈ ，由点到直线距离公式可得：d ==，则当()sin 1θϕ+=- 时，点P 到直线l 的距离有最大值max d =.本题选择C 选项.点睛：求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应化为一般式.23．B 【详解】试题分析：点(3,2)A -关于x 轴的对称点为()3,2A '--．因为点(,0)P m 在x 轴上，由对称性可知PA PA =',所以PA PB PA PB +='+,所以当,,A P B '三点共线时此距离和最短． 因为8+2223A B k '==+，所以直线A B '方程为()822y x -=-，即24y x =+，令0y =得2x =-，即,,A P B '三点共线时()2,0P -．所以所求m 的值为2-．故B 正确． 考点：点关于直线的对称点，考查数形结合思想、转化思想． 24．A 【分析】根据导数几何意义求出切线方程，化成斜截式，即可求解 【详解】由()1()ln 1'f x ax x f x a x=-+⇒=-，()'11f a =-，()11f a =+，故过(1,(1))f 处的切线方程为：()()()11+112y a x a a x =--+=-+，故l 过定点(0,2) 故选：A 【点睛】本题考查由导数的几何意义求解切线方程，直线过定点问题，属于简单题 25．D 【分析】利用两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】直线1l 的方程可化为6240x y --=，则1l 与2l 之间的距离d = 故选：D 26．B 【分析】由题意利用两条直线平行的性质，分类讨论，求得结果． 【详解】解：当0a =时，直线1l ：即0x =，直线2l ：即1x =，满足12l l //． 当0a ≠时，直线21:20l x a y a -+=与直线2:(1)10l a x ay --+=互相平行，∴2211a a a a -=≠--，解得实数a ∈∅． 综上，0a =， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查两条直线平行的性质，考查分类讨论思想，属于基础题． 27．C 【分析】与直线210x y +-=垂直的直线的斜率为2，结合点斜式即可求解直线方程． 【详解】直线210x y +-=的斜率为12-所以与直线210x y +-=垂直的直线的斜率为2，又过点()0,1， ∴所求直线方程为：21y x =+ 即210x y -+= 故选：C 28．D 【分析】根据直线方程可知直线l 恒过定点()2,0P -，过A B ，分别作准线的垂线，垂足分别为M N ，，由2AF BF =，得到点B 为AP 的中点，连接OB ，进而可知||||OB BF =，由此求得点B 的坐标，最后利用直线上的两点求得直线l 的斜率． 【详解】抛物线2:8C y x =的准线2x =-，直线l ：(2)y k x =+恒过定点()2,0P -， 如图过,A B 分别作准线的垂线，垂足分别为M N ，，由2AF BF =，则||2||AM BN =， 所以点B 为AP 的中点，连接OB ，则1||||2OB AF =，∴||||OB BF =，OBF ∴∆为等腰三角形，点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为(，又(2,0)P -，所以k =故选：D【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，抛物线的定义，直线斜率的计算，考查了数形结合，转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力. 29．A 【分析】先求得椭圆焦点坐标，判断出直线12,l l 过椭圆的焦点.然后判断出12l l ⊥，判断出P 点的轨迹方程，根据P 恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率e 的取值范围. 【详解】设()()12,0,,0F c F c -是椭圆的焦点，所以22299,3c a a c =+-==.直线1l 过点()13,0F -，直线2l 过点()23,0F ，由于()110m m ⨯+⨯-=，所以12l l ⊥，所以P 点的轨迹是以12,F F 为直径的圆229x y +=.由于P 点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于3，即2239a >=，所以2918a +>，所以双曲线的离心率22910,92e a ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，所以e ⎛ ⎝⎭∈. 故选：A 【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题. 30．B 【分析】 设抛物线2yx 上一点为200),(A x x ，求出点200),(A x x 到直线240x y --=的距离，利用配方法，由此能求出抛物线2x y =上一点到直线240x y --=的距离最短的点的坐标． 【详解】 解：设抛物线2yx 上一点为200),(A x x ，点200),(A x x 到直线240x y --=的距离2201)3d x -+，∴当01x =时，即当()1,1A 时，抛物线2yx 上一点到直线240x y --=的距离最短．故选：B ． 【点睛】本题考查抛物线上的点到直线的距离最短的点的坐标的求法，考查学生的计算能力，属于中档题． 31．C 【分析】利用直角三角形的性质求得其内切圆的半径，如图建立直角坐标系，则内切圆的方程可得，设出p 的坐标，表示出，222||||||S PA PB PO =++，利用x 的范围确定S 的范围，则最小值可得 【详解】解：如图，ABO 是直角三角形，设ABO 的内切圆圆心为O '，切点分别为D ，E ，F ，则1(1086)122AD DB EO ++=++=．但上式中10AD DB +=，所以内切圆半径2r EO ==，如图建立坐标系，则内切圆方程为：22(2)(2)4x y -+-= 设圆上动点P 的坐标为(,)x y ， 则222||||||S PA PB PO =++222222(8)(6)x y x y x y =-+++-++ 22331612100x y x y =+--+223[(2)(2)]476x y x =-+--+ 34476884x x =⨯-+=-．因为P 点在内切圆上，所以04x ，所以881672S =-=最小值故选：C 32．B 【解析】2a =-时，两条直线分别化为：610,430y y -+=--=，此时两条直线相互垂直，满足条件；由“直线()2310a x ay +++=与直线()()2230a x a y -++-=相互垂直”，可得，()()[]22320a a a a +-+⨯+=，解得12a =或2a =-，∴“2a =-”是“直线()2310a x ay +++=与直线()()2230a x a y -++-=相互垂直”的充分非必要条件，故选B. 33．C 【分析】转化以弦AB 为直径的圆刚好经过已知圆的圆心C 为AC ⊥BC ，可得弦心距2d =，再用圆心到直线距离表示d ，即得解 【详解】由题意，AC ⊥BC ，则C （0，2）到直线x ﹣y ＝0的距离2d =，2=，即r ＝2． 故选：C34．B 【分析】由已知得到12l l ⊥，1l 过定点()3,1，2l 过定点()1,3，从而得到点P 轨迹为圆()()22222x y -+-=，作线段CD AB ⊥，先求得CD ，求得PD 的最小值，再由||2||PA PB PD +=可得答案.【详解】设圆C 的半径为1r ，直线1:310l mx y m --+=与2310l x my m +--=∶ 垂直， 又1l 过定点()3,1，2l 过定点()1,3，从而得到点P 轨迹为圆()()22222x y -+-=，设圆心为M ，半径为2r ，作垂直线段CD AB ⊥，则CDmin 12||||PD CM r r ∴=--=2PA PB PD +=∴||PA PB + 的最小值为故选：B35．B 【分析】代入点验证知①正确，计算点到直线的距离得到②错误，计算圆心距为125r r =+，得到③正确，圆方程相减得到公共弦方程，④错误，得到答案. 【详解】将点代入圆方程，222242110++-⨯+=满足，故①正确；圆22:28130C x y x y +--+=的圆心为()1,4，到直线4330x y -+=1=，②错误；圆()221:11C x y ++=，圆心为()1,0-，半径11r =，圆()()222:2416C x y -+-=，圆心为()2,4，半径为24r =125r r =+，故③正确；两圆22440x y x y ++-=与222120x y x ++-=方程相减得到24120x y -+=，即公共弦方程为：260x y -+=，④错误. 故选：B. 36．A 【分析】解方程213(2)0m m m ⨯-⨯-=，再检验即得解. 【详解】解：因为l 1与l 2平行，所以2213(2)0,(23=0m m m m m m ⨯-⨯-=∴--）， 所以(3)(1)=0,0m m m m -+∴=或1m =-或3m =.当3m =时，两直线重合为x +9y +6＝0，与已知不符，所以舍去. 当0m =或1-时，符合题意. 故选：A 37．10x y -+= 【详解】圆：x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C(－1,0)，因为直线0x y +=的斜率为1-，所以与直线0x y +=垂直的直线的斜率为1，因此所求直线方程为+1y x =，即x －y ＋1＝038．2 【分析】先求出两条直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式求得a 的值. 【详解】解：直线20x y +-=的斜率为1-，和10ax y -+=的斜率为a ，直线20x y +-=和10ax y -+=的夹角为3π，∴()()1tan311a a π--==+⋅-，求得2a ==，或2a ==，故答案为：2【点睛】本题考查两直线的夹角公式，是基础题. 39．()0,6-或()0,9 【分析】设P 点坐标，由点到直线距离公式求解． 【详解】设(0,)P a 6=，解得a =6-或9.所以P 点坐标为(0,6)-或(0,9)． 故答案为：(0,6)-或(0,9)． 【点睛】本题考查点到直线的距离公式，掌握点到直线距离公式是解题关键．40．92【分析】根据直线方程求其与坐标轴的交点坐标，再应用三角形面积公式求直线与坐标轴围成的三角形的面积即可. 【详解】令0y =，则3x =；令0x =，则3y =， ∴直线与坐标轴围成的三角形的面积193322S =⨯⨯=. 故答案为：9241．(0,2) 【分析】先计算原点与点P 的距离，此时过点P 与原点的距离最大且仅有一条，过原点和点P 时，距离最小，最小为0，可得与原点的距离为d 的直线有两条时d 的取值范围. 【详解】过点P 的直线中，与原点的距离最大为||2OP ，最小为0， 当02d <<时，与原点的距离为d 的直线有两条. 故答案为：(0,2). 【点睛】本题考查了过定点的直线与定点的距离的范围问题，属于基础题. 42．3 【分析】根据平行可得斜率相等列出关于参数的方程，解方程进行检验即可求解. 【详解】因为直线()()1:3410l a x a y -+-+=与()2:23220l a x y --+=平行， 所以()()2324(3)0a a a -----=，解得3a =或5a =， 又因为5a =时，1:210l x y -+=，2:4220l x y -+=， 所以直线1l ，2l 重合故舍去，而3a =,1:10l y +=,2:220l y -+=，所以两直线平行. 所以3a =， 故答案为：3. 【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x ，y 的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．43．14【分析】由题意，可得22a b +表示直线上的点(),a b 到原点的距离的平方，根据点到直线距离公式，即可求出最小值.【详解】因为22220(()0)+-+=-a b a b 表示点(),a b 到原点距离的平方，又点(),a b 在直线10x -=上，所以当点(),a b 与原点连线垂直于直线10x -=时，距离最小，即22a b +最小；因为原点到直线10x +-=的距离为12==d ， 所以22214≥=+d a b . 即22a b +有最小值14.故答案为：14【点睛】本题主要考查直线上的点与原点距离最值的问题，熟记点到直线距离公式即可，属于常考题型. 44．x-y -5=0 【分析】利用两条直线垂直的条件，求得AB 边上的高线CD 所在直线的斜率，再用点斜式求得AB 边上的高线CD 所在直线的方程． 【详解】AB 直线的斜率为3012AB k -=--＝﹣1，故AB 边上的高线CD 所在直线的斜率为1， 故AB 边上的高线CD 所在直线的方程为y +2＝1（x ﹣3），即 x ﹣y ﹣5＝0， 故答案为：x ﹣y ﹣5＝0． 45．22(2)(2)5x y -+-= 【分析】由题可求三角形三顶点的坐标，三角形的外接圆的方程即求. 【详解】令2()430f x x x =-+=，得1x =或3x =， 则(1,0)A ，(3,0)B∴外接圆的圆心E 的横坐标为2，设()2,E m ，半径为r ，由(0)3f =，得(0,3)C ，则||||EA EC =r ， 得2m =，r =∴ABC 的外接圆E 的方程为22(2)(2)5x y -+-=. 故答案为：22(2)(2)5x y -+-=.46．【详解】试题分析：由12l l ⊥，那么，解得：.考点：两条直线在一般式下垂直的充要条件的应用. 47．0或83【分析】利用已知条件得(1)0a b a +-=⎧⎪=，求解检验即可得解. 【详解】由题意得(1)0a b a +-=⎧⎪， 解得22a b =⎧⎨=-⎩或232a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 经检验，两种情况均符合题意， ∴a ＋b 的值为0或83.故答案为：0或83.【点睛】方法点睛：形如直线1111:0l A x B y C ++=和直线2222:0l A x B y C ++=， 当l 1∥l 2时，A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0；当l 1⊥l 2时，A 1A 2＋B 1B 2＝0.48． 【详解】令(),P x y ,而点P 关于直线y x =的对称点为P '，所以(),P y x ',(),OP y x '=;而AQ OP '=,所以(),AQ y x =;而()1,1A ,所以()1,1Q y x ++;所以()1,1PQ y x x y =-+-+,2PQ =()222y x -+;而动点P 在圆221x y +=上,所以()202y x ≤-≤,所以()22226y x ≤-+≤,6PQ ≤,所以PQ 的取值范围是.故答案为. 49．7- 【详解】试题分析：由题意可知系数满足()()()()3542{38532a a a a ++=⨯+⨯≠-⨯，解方程得7a =-考点：两直线平行的判定 50．724【分析】由2()1f x og x =，()()f a f b k ==，得到1ab =，然后根据a ，b 范围画出其图像，找到MON∆面积最大的情况，求出此时MN 长度，及O 点到MN 的距离，从而计算出MON ∆面积的最大值. 【详解】 由题意，可知：1223b ≤≤，()f b ∴2211og b og b ==-． 又()()f a f b k ==，1a ∴>，()2211f a og a og a ∴==．()()f a f b =，2211og a og b ∴=-，即：2221110og a og b og ab +==，1ab ∴=．∴曲线C 的轨迹方程即为：1ab =．1223b≤≤，1ab=．∴322a≤≤，则曲线C的图象如图：MON∆面积要取最大值，∴当M、N为曲线C的两个端点时，MON∆面积最大，M∴点坐标为32,23⎛⎫⎪⎝⎭，N点坐标为12,2⎛⎫⎪⎝⎭．则直线MN的直线方程为：23323122223yx--=--，化简，得：2670x y+-=．MN⎛==⎝原点O到直线MN的距离d==MON∴∆面积的最大值为：1172224MN d⋅⋅==．故答案为724．【点睛】本题考查对数函数的图像与性质，两点间距离，点到直线的距离，题目涉及到的知识点较多，比较综合，属于中档题.51．()1,4【详解】设(,)P x y ' ，则21113(1,4)423122y x x P y y x -⎧⋅=-⎪=⎧⎪-⇒∴⎨⎨=++⎩⎪+⎩'=⎪ 52．3-或2 【详解】试题分析：依题意可得20311a a =≠+,解得3a =-或2a =． 考点：两直线平行． 53．32 【分析】根据题意，由直线经过点(1,2)-，分析可得28a b -=，即82a b =+；进而可得824111224444a b bb b b+++=+=+，结合基本不等式分析可得答案． 【详解】根据题意，直线80(,)ax by a b R +-=∈经过点(1,2)-，则有28a b -=， 即82a b =+；则82441112242432444a b bb b b b ++++=+=+⨯=，当且仅当2b =-时等号成立； 即124ab +的最小值是32；故答案为：32． 【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及直线的一般式方程，属于中档题． 54．22-【详解】因为点(m 在圆224x y += 上,点9(,)n n 在曲线9y x= 上,所以本题转化为求圆224x y +=与曲线9y x=上的两点之间的最小值,如下图，作直线y x = 与它们的图象在第一象限交于A,B 两点，显然圆224x y +=与曲线9y x=的图象都关于直线y x =对称，所以AB 就是圆224x y +=与曲线9y x=上的两点之间距离的最小值,求出(3,3)A B ,所以222(3(322AB =+=-所以。
2021版新高考数学一轮复习第九章9.1基本公式直线的斜率与直线方程课件新人教B版
2
2
1
所以k= － 2 = 3 .
－3 3 2
2.(必修2P79练习BT3改编)已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,2),B(3,6),C(5,2),
M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在的直线方程为
()
A.2x+y-12=0
B.2x-y-12=0
C.2x+y-8=0
D.2x-y-8=0
【解析】选C.由题知M(2,4),N(3,2),中位线MN所在直线的方程为 y－4 x－2 ,
2－4 3－2
整理得2x+y-8=0.
3.(必修2P90习题2-2AT3改编)若过两点A(-m,6),B(1,3m)的直线的斜率为12,
则直线的方程为________. 【解析】由题意得 3m 6 =12,解得m=-2,所以A(2,6),所以直线AB的方程为
2.因为圆C的圆心为(-5,2),
当直线不过原点时,设所求直线方程为 x ＋y =1,将(-5,2)代入所设方程,
2a a
解得a=- 1 ,
2
所以直线方程为x+2y+1=0;
当直线过原点时,设直线方程为y=kx,
则-5k=2,解得k=- 2 ,
5
所以直线方程为y=- 2 x,即2x+5y=0.
5
故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.
3.①当m=2时,直线l的方程为x=2; ②当m≠2时,直线l的方程为 y 1＝ x 2 ，
31 m 2
即2x-(m-2)y+m-6=0.
因为m=2时,代入方程2x-(m-2)y+m-6=0,即为x=2,
所以直线l的方程为2x-(m-2)y+m-6=0.
2023年新高考数学一轮复习9-1 直线与直线方程(真题测试)含详解
专题9.1 直线与直线方程（真题测试）一、单选题1．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.92．（2020·山东·高考真题）直线2360x y +-=关于点()1,2-对称的直线方程是（ ）A ．32100x y --=B ．32230x y --=C ．2340x y +-=D ．2320x y +-=3．（2020·山东·高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4．（山东·高考真题）如下图，直线l 的方程是（ ）A 0y -=B 20y --=C 310y --=D ．10x -=5．（2020·全国·高考真题（文））点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（ ）A ．1 BC D ．26．（2018·北京·高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．47．（全国·高考真题（理））等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）A ．3B ．2C ．13-D ．12- 8．（四川·高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）下列四个命题中，错误的有（ ）A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ>B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ10．（2023·全国·高三专题练习）过点(2,3)P ，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（ ）A ．320x y -=B ．10x y -+=C ．50x y +-=D ．4250x y -+=11．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）A ．直线()32y ax a a R =-+∈必过定点()3,2B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2C 10y -+=的倾斜角为60°D ．过点()1,2-且平行于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=12．（2022·山东省实验中学模拟预测）对于平面直角坐标系内的任意两点()11,P x y ，()22,Q x y ，定义它们之间的一种“距离”为1212PQ x x y y =-+-‖‖．已知不同三点A ，B ，C 满足AC BC AB +=‖‖‖‖‖‖，则下列结论正确的是（ ）A ．A ，B ，C 三点可能共线B ．A ，B ，C 三点可能构成锐角三角形C ．A ，B ，C 三点可能构成直角三角形D ．A ，B ，C 三点可能构成钝角三角形三、填空题13．（2008·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，点(0,)P p 在线段OA 上（异于端点），设,,,a b c p 均为非零实数，直线,BP CP 分别交,AC AB 于点E ，F ，一同学已正确算出OE 的方程：11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程：__________________________． 14．（四川·高考真题（理））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是______．15．（2017·北京·高考真题（理））三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.①记Qi 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________.②记pi 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.16．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知点P 是x 轴上的任意一点，(0,2)A -，(3,0)B -，则2||||AP BP +的最小值为_________.四、解答题17.（2022·全国·高三专题练习）已知一直线经过点()1,2，并且与点()2,3和()0,5-的距离相等，求此直线的方程．18．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l ：120(R)kx y k k -++=∈，直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求此时直线l 的方程.19．（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC 中，AB AC =，120A ∠=︒，(0,2)A ，边BC 所在的直线方程10y --=，求边AB 、AC 所在的直线方程．20．（2023·全国·高三专题练习）已知两曲线3y x ax =+和2y x bx c =++都经过点()1,2P ，且在点P 处有公切线．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；21．（2022·全国·高三专题练习）已知(4,3)A -､(2,1)B -和直线:4320l x y +-=，若坐标平面内存在一点P ，使PA PB =，且点P 到直线l 的距离为2，求点P 的坐标.22．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））已知直线1210:l mx y -+=，直线()21:10l x m y ---=(1)若12l l //，求m ；(2)当01m <<时，设直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，求211k k -的最小值．专题9.1 直线与直线方程（真题测试）一、单选题1．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9【答案】D【解析】【分析】 设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===，依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++， 所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =， 故选：D2．（2020·山东·高考真题）直线2360x y +-=关于点()1,2-对称的直线方程是（ ）A ．32100x y --=B ．32230x y --=C ．2340x y +-=D ．2320x y +-=【答案】D【解析】【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---，代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，，则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---，因为点(2,4)x y ---在直线2360x y +-=上，所以()()223460x y --+--=即2320x y +-=.故选：D.3．（2020·山东·高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D【解析】【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果.【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>，则角θ是第四象限角，故选：D.4．（山东·高考真题）如下图，直线l 的方程是（ ）A 0y -=B 20y --=C 310y --=D ．10x -=【答案】D【解析】【分析】 由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解.【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=， 所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l ：)01y x -=-，即10x -=．故选：D5．（2020·全国·高考真题（文））点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（ ）A ．1BC D ．2 【答案】B【解析】【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即可求得结果.【详解】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =故选：B.6．（2018·北京·高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +. 【详解】22cos sin 1θθ+=∴，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.7．（全国·高考真题（理））等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ）A ．3B ．2C ．13-D ．12- 【答案】A【解析】【详解】，，设底边为 由题意，到所成的角等于到所成的角于是有，再将A 、B 、C 、D 代入验证得正确答案是A ．8．（四川·高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【详解】 试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.所以sin()14πθ≤+≤PA PB +≤.选B. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）下列四个命题中，错误的有（ ）A ．若直线的倾斜角为θ，则sin 0θ>B ．直线的倾斜角θ的取值范围为0θπ≤<C ．若一条直线的倾斜角为θ，则此直线的斜率为tan θD ．若一条直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ【答案】ACD【解析】【分析】根据倾斜角与斜率的定义判断即可.【详解】解：因为直线的倾斜角的取值范围是0,，即[)0,θπ∈，所以sin 0θ≥， 当2πθ≠时直线的斜率tan θk ，故A 、C 均错误；B 正确；对于D ：若直线的斜率4tan3k π==3π，故D 错误； 故选：ACD 10．（2023·全国·高三专题练习）过点(2,3)P ，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（ ） A ．320x y -=B ．10x y -+=C ．50x y +-=D ．4250x y -+=【答案】AB【解析】【分析】根据题意，分直线l 过原点和不过原点两种情况讨论求解即可．【详解】解：若直线l 过原点，则直线的方程为y kx =，将点(2,3)P 代入得32k ，所以直线方程为32y x =，即320x y -=； 若直线l 不过原点，根据题意，设直线方程为1x y a a-=， 将点(2,3)P 代入得1a =-，故直线l 的方程为10x y -+=；所以直线l 的方程为：320x y -=或10x y -+=．故选：AB ．11．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）A ．直线()32y ax a a R =-+∈必过定点()3,2B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2C 10y -+=的倾斜角为60°D ．过点()1,2-且平行于直线230x y -+=的直线方程为20x y +=【答案】AC【解析】【分析】将直线方程化为()()320x a y -+-=，即可求出直线过定点坐标，从而判断A ，令0x =求出y ，即可判断B ，求出直线的斜率即可得到倾斜角，从而判断C ，根据两直线平行斜率相等求出直线方程即可判断D ；【详解】解：对于A ，()32y ax a a R =-+∈，即()()320x a y -+-=，令3020x y -=⎧⎨-=⎩，即32x y =⎧⎨=⎩，所以直线()32y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)，故A 正确； 对于B ，对于直线32y x =-，令0x =得2y =-，所以直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，故B 错误；对于C ，10y -+=，即1y +，所以斜率k =60︒，故C 正确；对于D ，过点(1,2)-且平行于直线230x y -+=的直线方程为：[]12(1)2y x -=--，即250x y -+=，故D 错误， 故选：AC ．12．（2022·山东省实验中学模拟预测）对于平面直角坐标系内的任意两点()11,P x y ，()22,Q x y ，定义它们之间的一种“距离”为1212PQ x x y y =-+-‖‖．已知不同三点A ，B ，C 满足AC BC AB +=‖‖‖‖‖‖，则下列结论正确的是（ ）A ．A ，B ，C 三点可能共线B ．A ，B ，C 三点可能构成锐角三角形 C ．A ，B ，C 三点可能构成直角三角形D ．A ，B ，C 三点可能构成钝角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】取两定点为A ，C ，再设任意点B ，然后利用给定定义逐项分析、计算判断作答. 【详解】令点(0,0),(1,0)C A ，设点(,)B t s ，则有||||1,||||||||,|||||1|||AC BC t s AB t s ==+=-+， 由AC BC AB +=‖‖‖‖‖‖得：1|||1|t t +=-， 当0,0s t =<时，A ，B ，C 三点共线，且有1|||1|t t +=-成立，A 正确； 当0s ≠时，则A ，B ，C 三点不共线，若0=t ，有90ACB ∠=，且1|||1|t t +=-成立，ABC 为直角三角形，C 正确； 若0t <，显然ACB ∠是钝角，且1|||1|t t +=-成立，ABC 为钝角三角形，D 正确； 若0t >，1|||1|t t +=-不成立，显然A ，B ，C 三点不可能构成锐角三角形，B 不正确. 故选：ACD 三、填空题13．（2008·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，点(0,)P p 在线段OA 上（异于端点），设,,,a b c p 均为非零实数，直线,BP CP 分别交,AC AB 于点E ，F ，一同学已正确算出OE 的方程：11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程：__________________________．【答案】1111()()0x y c b p a -+-=【解析】【详解】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想1111()()0x y c b p a -+-=．事实上，由截距式可得直线:1x yAB a b+=，直线，两式相减得1111()()0x y c b p a-+-=，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求的直线OF 的方程．14．（四川·高考真题（理））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是______． 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，2||52AB PA PB ⨯≤=.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一. 15．（2017·北京·高考真题（理））三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3.①记Qi 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是_________. ②记pi 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是_________.【答案】 Q 1 p 2 【解析】 【详解】试题分析：作图可得11A B 中点的纵坐标比2233,A B A B 中点的纵坐标大，所以Q 1，Q 2，Q 3中最大的是1Q ，分别作123,,B B B 关于原点的对称点123,,B B B '''，比较直线112233,,A B A B A B '''的斜率（即为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数），可得22A B '最大，所以p 1，p 2，p 3中最大的是2.p 【考点】图象的应用，实际应用问题【名师点睛】本题考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，因为第i 名工人加工总的零件数是i i A B +，比较总的零件数的大小，即可转化为比较2i i A B +的大小，而2i iA B +表示i i A B 中点连线的纵坐标，第二问也可转化为i i A B 中点与原点连线的斜率.16．（2022·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知点P 是x 轴上的任意一点，(0,2)A -，(3,0)B -，则2||||AP BP +的最小值为_________.【答案】3+3 【解析】 【分析】如图，过B 点作倾斜角为6π的直线BM ，过点P 作PE BM ⊥，则1||||2PE PB =，从而得1||||||||||2AP BP AP PE AE +=+≥，然后利用点到直线的距离公式求出A 到直线BM 的距离，进而可求出2||||AP BP +的最小值，【详解】如图，过B 点作倾斜角为6π的一条直线:3)BM y x =+，过点P 作PE BM ⊥于E ，则||1||2PE PB =，即1||||2PE PB =，所以1||||||||||2AP BP AP PE AE +=+≥，A 到直线BM 的距离d =因此2||||AP BP +的最小值为3+故答案为：3+四、解答题17.（2022·全国·高三专题练习）已知一直线经过点()1,2，并且与点()2,3和()0,5-的距离相等，求此直线的方程．【答案】420x y --=或1x = 【解析】 【分析】当直线斜率存在时，设出方程，由点到直线的距离解出斜率即可；斜率不存在时检验满足条件即可. 【详解】假设所求直线的斜率存在，则可设其方程为()21y k x -=-，即20kx y k --+=．，即17k k -=-，解得4k =，则直线方程420x y --=．又所求直线的斜率不存在时，方程为1x =，适合题意．∴所求直线的方程为420x y --=或1x =． 18．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l ：120(R)kx y k k -++=∈，直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求此时直线l 的方程.【答案】30x y -+=或10x y ++=【解析】 【分析】根据直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，可得1k =或1k =-，再代入直线方程可得结果. 【详解】由120(R)kx y k k -++=∈得12y kx k =++，斜率为k ， 因为直线l 与两坐标轴围成一个等腰直角三角形， 所以1k =或1k =-，当1k =时，直线l 的方程为30x y -+=， 当1k =-时，直线l 的方程为10x y ++=.综上所述：直线l 的方程为30x y -+=或10x y ++=.19．（2022·全国·高三专题练习）已知在ABC 中，AB AC =，120A ∠=︒，(0,2)A ，边BC 所在的直线方程10y --=，求边AB 、AC 所在的直线方程．【答案】边AB 、AC 所在的直线方程分别是0x =， 2y =+或边AB 、AC 所在的直线方程分别是2y x =+，0x =. 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，结合直线夹角公式、直线的点斜式方程进行求解即可. 【详解】因为AB AC =，120A ∠=︒，所以ABC 是等腰三角形，且30ABC ACB ∠=∠=︒，10y --=60︒. 当过(0,2)A 的直线不存在斜率时，此时该直线方程为0x =，10y --=的夹角为30，符合题意； 当过(0,2)A 的直线存在斜率k 时，所以有tan 30k ︒⇒=2y =+，所以边AB 、AC 所在的直线方程分别是0x =， 2y x =+，或者边AB 、AC 所在的直线方程分别是2y x =+，0x =. 20．（2023·全国·高三专题练习）已知两曲线3y x ax =+和2y x bx c =++都经过点()1,2P ，且在点P 处有公切线．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积； 【答案】(1)1,2,1ab c ===-(2)12 【解析】 【分析】（1）先求导，根据两曲先都经过点()1,2P ，且在点P 处有公切线求解；（2）由（1）得到公切线方程24(1)y x -=-，分别令0x =，0y =，再利用面积公式求解. (1)解：两函数3y x ax =+和2y x bx c =++的导数分别为： 23'=+y x a 和2y x b '=+，由题意121232a b c a b +=⎧⎪++=⎨⎪+=+⎩，解得121a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩；(2)由（1）知公切线方程为24(1)y x -=-， 即420x y --=，令0x =得2y =-，令0y =得12x =， 所以所求面积为1112222S =⨯⨯=.21．（2022·全国·高三专题练习）已知(4,3)A -､(2,1)B -和直线:4320l x y +-=，若坐标平面内存在一点P ，使PA PB =，且点P 到直线l 的距离为2，求点P 的坐标.【答案】(1,4)-或278,77⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据PA PB =,可知点P 在AB 的垂直平分线上，求出AB 的垂直平分线方程，根据P 到直线l 的距离为2，列出方程即可求解. 【详解】设点P 的坐标为(,)a b .∵(4,3)A -，(2,1)B -，所以线段AB 的中点M 的坐标为(3,2)-.而AB 所在直线的斜率31142AB k -+==--， ∴线段AB 的垂直平分线方程为23y x +=-，即50x y --=. ∵点(,)P a b 在直线50x y --=上，∴50a b --=……①； 又点(,)P a b 到直线4320x y +-=的距离为22=，即43210a b +-=±……②.联立①②，解得1,4,a b =⎧⎨=-⎩或27,78.7a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故所求点P 的坐标为(1,4)-或278,77⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为(1,4)-或278,77⎛⎫- ⎪⎝⎭22．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））已知直线1210:l mx y -+=，直线()21:10l x m y ---= (1)若12l l //，求m ；(2)当01m <<时，设直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，求211k k -的最小值． 【答案】(1)2m =；(2)3+【解析】 【分析】（1）直接由直线一般式方程的平行公式求出m ，代入直线方程检验是否重合即可； （2）先表示出12,k k ，通过211k k -()2111m m m m ⎛⎫=++- ⎪-⎝⎭结合基本不等式即可求出最小值. (1)由题意知：[](1)21m m ⋅--=-⨯，解得2m =或1m =-，又1m =-时，1:210l x y --+=，2:210l x y +-=，12,l l 重合，舍去，故2m =. (2)由题意知121,21m k k m ==-，又01m <<，则10m ->，则211k k -()2121211111m m m m m m m m ⎛⎫=-=+=++- ⎪---⎝⎭2(1)3331m m m m -=++≥+=+-2(1)1m m m m -=-，即2m =. 故211k k -的最小值为3+。
专题9.1---直线与直线方程--教师版
专题9.1直线与直线方程练基础1.（福建高考真题（文））“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】直线+=0和直线−B =0互相垂直的充要条件是1×(−p +1×1=0，即=1，故选C2．（2020·肥东县综合高中月考（文））点(),P x y 在直线40x y +-=上，O 是坐标原点，则OP 的最小值是（）ABC．D【答案】C 【解析】原点到直线40x y +-=== C.3．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:1l y =-，则直线l （）．A．过点)2-BC ．倾斜角为60°D ．在y 轴上的截距为1【答案】BC 【分析】根据直线斜截式方程的定义，依次判断，即得解【详解】点)2-的坐标不满足方程1y =-，故A 错误；根据斜截式的定义，直线l的斜率tan k θ==60°，故B ，C 正确；由1y =-，知直线l 在y 轴上的截距为1-，故D 错误．故选：BC4．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（）．A ．直线l 的斜率可以等于0B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则3m =或3m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =-【答案】BD 【分析】讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误.【详解】当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在，当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误；∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∴直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m，∴1tan 60m =︒=1tan120m =︒=m =m =B 选项正确；直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误；当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在，当0m ≠时，令0x =，得1m y m-=，令0y =，得1x m =-，令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确．故选：BD ．5．【多选题】（2021·全国高二课时练习）（多选）已知直线l 的方程为20ax by +-=，则下列判断正确的是（）．A ．若0ab >，则直线l 的斜率小于0B ．若0b =，0a ≠，则直线l 的倾斜角为90°C ．直线l 可能经过坐标原点D ．若0a =，0b ≠，则直线l 的倾斜角为0°【答案】ABD 【分析】根据直线方程与斜率，倾斜角的关系，依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A 选项，若0ab >，则直线l 的斜率0ab-<，A 正确；对于B 选项，若0b =，0a ≠，则直线l 的方程为2x a=，其倾斜角为90°，B 正确；对于C 选项，将()0,0代入20ax by +-=中，显然不成立，C 错误；对于D 选项，若0a =，0b ≠，则直线l 的方程为2y b=，其倾斜角为0°，D 正确．故选：ABD ．6．（2021·全国高二课时练习）直线3240x y +-=的斜率为______，在x 轴上的截距为______.【答案】32-43【分析】将直线转化为斜截式即可得出斜率，令0y =可求出在x 轴上的截距.【详解】由3240x y +-=，可得322y x =-+，故该直线的斜率32k =-.令0y =，得43x =，所以该直线在x 轴上的截距为43.故答案为：32-；43.7．（2021·全国）已知直线1:1l y x =+，将直线1l 绕点()1,2按逆时针方向旋转45︒后，所得直线2l 的方程为_______，将直线1l 绕点()1,2按顺时针方向旋转45°后，所得直线3l 的方程为_______．【答案】1x =2y =【分析】根据斜率和倾斜角的关系得出直线2l 和直线3l 的斜率再求解其直线方程即可.【详解】易知直线1l 的斜率为1，倾斜角为45︒，所以直线2l 的倾斜角为90︒，直线3l 的倾斜角为0︒，又因为直线2l 和直线3l 都经过点()1,2，所以直线2l 和直线3l 的方程分别为1x =，2y =．故答案为：1x =；2y =8．（2021·浙江衢州·高二期末）已知直线1l ：3480x y +-=和2l ：320x ay -+=，且12l l //，则实数a =__________，两直线1l 与2l 之间的距离为__________．【答案】-4；2【分析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可；运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案.【详解】解：直线1:3480l x y +-=和2:320l x ay -+=，12l l //，334a -∴=，解得4a =-；∴2:3420l x y ++=两直线1l 与2l间的距离是：2d ==.故答案为：4-；2.9.（2020·浙江开学考试）已知直线1l 的方程为3420x y --=，直线2l 的方程为6810x y --=，则直线1l 的斜率为___________，直线1l 与2l 的距离为___________.【答案】34310【解析】直线1l 的方程为3420x y --=即为3142y x =-，斜率为34.因为直线2l 的方程为6810x y --=即为13402x y --=，所以直线1l 与2l 平行，则直线1l 与2l310=.故答案为：34；31010．（2021·抚松县第一中学高二月考）已知A （1，0），B （﹣1，2），直线l ：2x ﹣ay ﹣a ＝0上存在点P ，满足|PA |+|PB |＝a 的取值范围是___________．【答案】2[,2]3-【分析】计算线段AB 的距离，得到点P 的轨迹，将点A ，B 分别代入2x ﹣ay ﹣a ＝0，得到a ，根据题意得到直线l 所过定点Ｃ，求出直线AC ,BC 的斜率，根结合直线l 与线段AB 始终有交点计算出a 的取值范围.【详解】因为||AB ==||||PA PB +=，由图可知，点P 的轨迹为线段AB ，将点A ，B 的坐标分别代入直线l 的方程，可得a ＝2，a ＝23-，由直线l 的方程可化为：2x ﹣a （y +1）＝0，所以直线l 过定点C （0，﹣1），画出图形，如图所示：因为直线AC 的斜率为k AC ＝1，直线BC 的斜率为k BC ＝2(1)10----＝﹣3，所以直线l 的斜率为k ＝2a ，令2123aa ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，解得23-≤a ≤2，所以a 的取值范围是[23-，2]．故答案为：[23-，2]．练提升1.（2021·绥德中学高一月考）已知0a >，0b >，直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则14a b+的最小值为（）A ．8B ．9C ．16D ．18【答案】B 【分析】利用给定条件可得1a b +=，再借助“1”的妙用即可计算得解.【详解】因直线220ax by -+=恒过点(2-，1)，则有2220a b --+=，即1a b +=，又0a >，0b >，则14144()()5529b a a b a b a b a b +=++=+++，当且仅当4b a a b =，即2b a =时取“=”，由21b a a b =⎧⎨+=⎩得12,33a b ==，所以当12,33a b ==时，14a b+取得最小值9.故选：B2．（2019·四川高考模拟（文））已知点(3,0)P -在动直线(1)(3)0m x n y -+-=上的投影为点M ，若点3(2,2N ，那么||MN 的最小值为（）A．2B．32C．1D．12【答案】D 【解析】因为动直线()()130m x n y -+-=方程为，所以该直线过定点Q（1,3），所以动点M 在以PQ 5,2=圆心的坐标为3(1,)2-，所以点N 3=，所以MN 的最小值为51322-=.故答案为：D3．（2019·湖南衡阳市八中高三月考（文））已知直线l 的倾斜角为θ且过点，其中1sin(22p q-=，则直线l 的方程为()20y --=40y +-= C.0x -=360y +-=【答案】B 【解析】122sin πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1cos 2θ∴=-，2 3πθ=则tan θ=直线方程为：1y x -=-40y +-=故选B4．（四川高考真题（文））设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB +的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B 【解析】易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以222||||10PA PB AB +==，令,PA PB θθ==，则)4PA PB πθθθ+==+.因为0,0PA PB ≥≥，所以02πθ≤≤.所以sin()124πθ≤+≤PA PB ≤+≤.选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.5.（2020·浙江）已知点(2,1)M -，直线l 过点M 且与直线210x y -+=平行，则直线l 的方程为____________；点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为_______________.【答案】240x y -+=(0,1)-【分析】根据所求直线与直线210x y -+=平行，设方程为()201x y n n -+=≠求解；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，由112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩求解.【详解】因为所求直线与直线210x y -+=平行，所以设方程为()201x y n n -+=≠，因为直线过点(2,1)M -，代入直线方程解得4n =，所以所求直线方程为：240x y -+=；设点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为(),M x y '，则112211022y x x y -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩，所以点M 关于直线10x y -+=的对称点的坐标为()0.1-故答案为：240x y -+=，(0,1)-6．（2019·黑龙江鹤岗·月考（文））已知直线l 经过点()4,3P ，且与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点.（1）若点O 到直线l 的距离为4，求直线l 的方程；（2）求OAB ∆面积的最小值.【答案】（1）7241000x y +-=（2）24【解析】（1）由题意可设直线l 的方程为()34y k x -=-，即430kx y k --+=，则4d ==，解得724k =-.故直线l 的方程为774302424x y ⎛⎫---⨯-+= ⎪⎝⎭，即7241000x y +-=.（2）因为直线l 的方程为430kx y k --+=，所以34,0A k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0,43B k -+，则OAB ∆的面积为()113194431624222S OA OB k k k k ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+⨯-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由题意可知k 0<，则91624k k --≥=（当且仅当34k =-时，等号成立）.故OAB ∆面积的最小值为()12424242⨯+=.7.（2021·抚松县第一中学高二月考）已知直线l 1：2x +y +3＝0，l 2：x ﹣2y ＝0．(1)求直线l 1关于x 轴对称的直线l 3的方程，并求l 2与l 3的交点P ；(2)求过点P 且与原点O （0，0）距离等于2的直线m 的方程．【答案】(1)2x ﹣y +3＝0，P （﹣2，﹣1）；(2)3x +4y +10＝0或x ＝﹣2.【分析】(1)由对称关系求直线l 3的方程，联立l 2与l 3的方程，求点P 的坐标，(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的点斜式方程，由点到直线距离公式列方程求斜率，由此可得直线m 的方程，再检验过点P 的斜率不存在的直线是否满足要求.【详解】(1)由题意，直线l 3与直线l 1的倾斜角互补，从而它们的斜率互为相反数，且l 1与l 3必过x 轴上相同点3(,0)2-，∴直线l 3的方程为2x ﹣y +3＝0，由230,20,x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得2,1.x y =-⎧⎨=-⎩∴P （﹣2，﹣1）．(2)当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y +1＝k （x +2），即kx ﹣y +2k ﹣1＝0，∴原点O （0，0）到直线m2=，解得34k =-，∴直线m 方程为3x +4y +10＝0，当直线m 的斜率不存在时，直线x ＝﹣2满足题意，综上直线m 的方程为3x +4y +10＝0或x ＝﹣2．8．（2021·宝山区·上海交大附中高一开学考试）如图，点(),4A m ，()4,B n -在反比例函数()0ky k x=>的图象上，经过点A ､B 的直线与x 轴相交于点C ，与y 轴相交于点D .（1）若2m =，求n 的值；（2）求m n +的值；（3）连接OA ､OB ，若tan tan 1AOD BOC ∠+∠=，求直线AB 的函数关系式.【答案】(1)2(2)0(3)2y x =+【分析】（1）先把A 点坐标代入()0k y k x =>求出k 的值得到反比例函数解析式为8y x=，然后把(4,)B n -代8y x=可求出n 的值；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m ＝k ，﹣4n ＝k ，然后把两式相减消去k 即可得到m +n 的值；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，利用正切的定义得到tan ∠AOE 4AE mOE ==，tan 4BF n BOF OF -∠==，则144m n-+=，加上0m n +=，于是可解得2,2m n ==-，从而得到(2,4)A ，(4,2)B --，然后利用待定系数法求直线AB 的解析式．【详解】（1）当m ＝2，则A （2，4），把A （2，4）代入ky x=得k ＝2×4＝8，所以反比例函数解析式为8y x=，把(4,)B n -代入8y x=得﹣4n ＝8，解得n ＝﹣2；（2）因为点A （m ，4），B （﹣4，n ）在反比例函数()0ky k x=>的图象上，所以4m ＝k ，﹣4n ＝k ，所以4m +4n ＝0，即m +n ＝0；（3）作AE ⊥y 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，如图，在Rt △AOE 中，tan ∠AOE 4AE mOE ==，在Rt △BOF 中，tan 4BF nBOF OF -∠==，而tan ∠AOD +tan ∠BOC ＝1，所以144m n-+=，而m +n ＝0，解得m ＝2，n ＝﹣2，则A （2，4），B （﹣4，﹣2），设直线AB 的解析式为y ＝px +q ，把(2,4),(4,2)A B --代入得2442p q p q +=⎧⎨-+=-⎩，解得12p q =⎧⎨=⎩，所以直线AB 的解析式为y ＝x +2．9．（2021·全国高二课时练习）已知点()2,1P -.（1）求过点P 且与原点的距离为2的直线的方程.（2）是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）20x -=或34100x y --=；（2）不存在这样的直线；理由见解析．【分析】（1）分k 存在与不存在两种情况讨论，点斜式表示直线方程，利用点到直线距离公式即得解；（2）过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，分析即得解【详解】（1）①当直线的斜率不存在时，直线方程为2x =，符合题意．②当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则直线方程为()12y k x +=-，即210kx y k ---=．2=，解得34k =，所以直线方程为34100x y --=．故所求直线方程为20x -=或34100x y --=．（2）不存在．理由如下：过点P 且与原点的距离最大的直线为过点P 且与OP 垂直的直线，OP ==，而6>10．（2021·全国高三专题练习）AOB 是等腰直角三角形，||AB =，动直线l 过点(1,1)P与AOB 的斜边、直角边分别交于不同的点M 、N （如图所示）.（1）设直线l 的斜率为k ，求k 的取值范围，并用k 表示M 的坐标；（2）试写出表示AMN 的面积S 的函数解析式()S k ，并求()S k 的最大值.【答案】（1）0k >，1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭；（2）112(1)()012(1)k k k S k k k k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩ ，max 1()4S k =.【分析】(1)根据题意，结合图象即可得到k 的取值范围，再联立直线方程即可得到M 的坐标；(2)由于l 绕P 点转动，则N 点可落在OA 上，也可落在OB 上，AMN S 的计算不一样，所以必须对l 的斜率不同的取值范围进行分类讨论，表示出()S k ，结合函数单调性即可求解.【详解】(1)由已知条件得(1,0)A 、(0,1)B ，0k >，设直线l 的方程为1y kx k =+-.由11x y y kx k+=⎧⎨=+-⎩，得1,11kM k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.(2)当1k时，点N 在直角边OA 上，1,0k N k -⎛⎫⎪⎝⎭，1111()1212(1)k S k k k k k -⎛⎫=-⋅= ⎪++⎝⎭.当01k <<时，点k 在直角边OB 上，(0,1)N k -，111()11(1)122212(1)k k S k k k k k =⨯⨯--⨯-⨯=++.∴112(1)()012(1)k k k S k k k k ⎧⎪+⎪=⎨-⎪<<⎪+⎩，当1k时，()S k 递减，∴max 1()(1)4S k S ==，当01k <<时，11111()22(1)244S k k =-<-=+.综上所述，当1k =时，max 1()4S k =.练真题1.（上海高考真题（文））已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行，则k 的值是（）.A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2【答案】C 【解析】由两直线平行得，当k-3=0时，两直线的方程分别为1y =-和32y =，显然两直线平行．当k-3≠0时，由()k 34k1/32k 32--=≠--，可得k=5．综上，k 的值是3或5，故选C．2．（2020·山东高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】D 【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果.【详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>，则角θ是第四象限角，故选：D.3．（2021·山东高考真题）如下图，直线l 的方程是（）A 0y --=B 20y -=C310y --=D ．10x -=【答案】D 【分析】由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线l 与x 轴交点为()1,0求解.【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率tan 30k =︒=，所以直线l 与x 轴的交点为()1,0，所以直线的点斜式方程可得l：)013y x -=-，即10x -=．故选：D4．（2021·湖南高考真题）点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为（）A ．25B ．35C ．45D ．1【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】点(0,1)-到直线3410x y -+=的距离为515d ===，故选：D.5.（全国高考真题（理））已知点A （﹣1，0），B （1，0），C （0，1），直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（）A.（0，1）B.21122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，C.21123⎛⎤- ⎥ ⎝⎦， D.1132⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【答案】B 【解析】由题意可得，三角形ABC 的面积为12AB OC ⋅⋅=1，由于直线y ＝ax +b （a ＞0）与x 轴的交点为M （ba-，0），由直线y ＝ax +b （a ＞0）将△ABC 分割为面积相等的两部分，可得b ＞0，故ba-≤0，故点M 在射线OA 上．设直线y ＝ax +b 和BC 的交点为N ，则由1y ax b x y =+⎧⎨+=⎩可得点N 的坐标为（11b a -+，1a ba ++）．①若点M 和点A 重合，如图：则点N为线段BC的中点，故N（12，12），把A、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b1 3 =．②若点M在点O和点A之间，如图：此时b13＞，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于1 2，即1122NMB y⋅⋅=，即111212b a ba a+⎛⎫⨯+⋅=⎪+⎝⎭，可得a212bb=-0，求得b12＜，故有13＜b12＜．③若点M在点A的左侧，则b13＜，由点M的横坐标ba--＜1，求得b＞a．设直线y ＝ax +b 和AC 的交点为P ，则由1y ax b y x =+⎧⎨=+⎩求得点P 的坐标为（11b a --，1a ba --），此时，由题意可得，三角形CPN 的面积等于12，即12•（1﹣b ）•|x N ﹣x P |12=，即12（1﹣b ）•|1111b b a a ---+-|12=，化简可得2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|．由于此时b ＞a ＞0，0＜a ＜1，∴2（1﹣b ）2＝|a 2﹣1|＝1﹣a 2．两边开方可得（1﹣b）=1，∴1﹣b b＞12-，故有122-b 13＜．综上可得b的取值范围应是1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，故选：B ．6.（2011·安徽高考真题（理））在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线【答案】①③⑤【解析】①令直线l 为：12y x =+，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确；②令直线l为：y =-，则直线经过整点()2,0，②错误；③令直线l 为：y kx =，过两个不同的整点()11,x y ，()22,x y 则112y kx y kx =⎧⎨=⎩，两式作差得：()1212y y k x x -=-即直线l 经过整点()1212,x x y y --∴直线l 经过无穷多个整点，③正确；④令直线l为：1132y x=+，则l不过整点，④错误；⑤令直线l为：y=，则其只经过()0,0一个整点，⑤正确.本题正确结果：①③⑤。
2025年高考数学一轮复习9.1直线的方程【课件】
B.2条
C.3条
D.1条
【解析】选B.当截距为0时,设直线方程为y=kx,将P(1,2)代入y=kx,求得k=2,
故方程为y=2x;当截距不为0,截距相等时,设方程为 + =1,
1 2
将P(1,2)代入,即 + =1,解得a=3,故方程为x+y=3.
)
3.(选择性必修一人AP65例5变条件)已知直线l过点(2,-1),且在x轴上的截距为3,则直
即y=x+1,易知4=3+1,故直线必过点(3,4).
3
(4)若直线的斜率为 ,则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点.(
4
×
)
3
3
3
提示:(4)不妨取y= x,满足直线的斜率为 ,但显然该直线y= x不过(1,1)与(5,4)两点.
4
4
4
2.(忽视截距为零的情形致误)过点P(1,2),且在两坐标轴上截距相等的直线有(
非负数.
3.直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件,当截距为0时可用点斜式.
常用结论
1.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=
(x-x1)(y2-y1)表示;
2.识记几种特殊位置的直线方程
(1)x轴:y=0;
(2)y轴:x=0;
(3)平行于x轴的直线:y=b(b≠0);
3
则实数a的值是(
A. 3
)
B.- 3
C.
3
3
【解析】选A.因为直线l的方向向量是e=(-1,a),
所以直线l的斜率为k= =-a,
【与名师对话】高考数学总复习 9-1 直线的方程课件 理 新人教A版
2．求斜率，也可用k＝tan α(α≠90° )，其中α为倾斜角， 由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变 化分两段，90° 是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨 论”． 3．利用斜率证明三点共线的方法： 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若x1＝x2＝x3或kAB ＝kAC，则有A、B、C三点共线．
考纲要求
1.理解直线 的倾斜角和 斜率的概念 及相互间的 关系，掌握 过两点的直 线斜率的计 算公式
考情分析
通过对近三年的高考试题的统计分析可以看出， 对于直线方程的考查，一是考查直线倾斜角与斜 率的关系、斜率公式；二是考查求直线的方程． 从分析五种直线方程成立的条件入手，确定相应 的量是确定直线方程的关键．用待定系数法求直 线方程时，要特别注意斜率不存在的情况．单独 考查直线方程的题目较少，主要是以直线方程为 载体，与其他知识相交汇进行综合考查．如： 2012年重庆卷3、天津卷8、江苏卷12等．
考纲要求 2．掌握确定直线位置的 几何要素，掌握直线方程 的几种形式(点斜式、两 点式及一般式)，了解斜 截式与一次函数的关系.
考情分析
预测：2013年高考对本节内容的考 查仍将以直线的斜率和方程为主． 结合直线的斜率与方程，考查与其 他曲线的综合应用.
(对应学生用书 P152)
1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准，x 轴 正向 与直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜 角．当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0° . ②倾斜角的范围为
3．线段的中点坐标公式 若点P1、P2的坐标分别为( x1，x y1 )、 x ，y2)，且线段P1P2 1＋ x( 2 2 x2 x＝x1＋ x＝ 2 2 的中点M的坐标为(x，y)，则 ，此公式为 y1＋y2 y＝y1＋y2 y＝ 2 2 线段P1P2的中点坐标公式．
2021年浙江高考数学复习练习讲义：9.1 直线方程和两直线间的位置关系
专题九直线和圆的方程【真题探秘】9.1直线方程和两直线间的位置关系探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点直线及其方程1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2.掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素以及直线方程的几种形式.4.了解斜截式与一次函数的关系.2017浙江,21,15分直线斜率直线与抛物线的位置关系★★★两直线间的位1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直. 2016浙江文,4,5分两平行线间的距离简单的线性规划★★★置关系 2.会求两条直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.分析解读 1.考查基本概念、直线的倾斜角和斜率、两直线间的位置关系的判断、点到直线的距离等,一般以选择题、填空题的形式呈现,此类题大都属于中、低档题.2.求直线方程时常与其他曲线综合进行考查,以解答题形式出现,此类题属于难题.3.求不同条件下的直线方程,主要方法是待定系数法,在使用待定系数法求直线方程时,要注意形式的选择,注意分斜率存在与不存在进行讨论.4.预计2021年高考中,仍将以直线的倾斜角与斜率、直线方程、两直线间的位置关系为命题的热点.破考点练考向【考点集训】考点一直线及其方程1.(2019浙江高考模拟试卷(二),4)已知A(-2,a),B(3,b),直线AB的斜率为√3,则|AB|=()A.5B.5√3C.10√3D.10答案D2.(2019浙江“七彩阳光”联盟期初联考,17)已知直线l与椭圆C:x 22+y2=1交于A、B两点,l与x轴、y轴分别交于C、D两点.若C、D是线段AB的两个三等分点,则直线l的斜率为.答案±√223.(2020届浙江镇海中学期中,12)已知点A(1,0),B(0,2),点P(a,b)在线段AB上,则直线AB的斜率为,ab的最大值为.答案-2;12考点二两直线间的位置关系1.(2018浙江镇海中学阶段性测试,3)若直线2(a+1)x+ay-2=0与直线ax+2y+1=0垂直,则a=()A.-2B.0C.0或-2D.2±2√2答案C2.(2018浙江9+1高中联盟期中,3)“m=2”是“直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A3.(2020届浙江师大附中11月模拟,4)已知直线l 1:ax+2y+4=0,l 2:x+(a-1)y+2=0,则“a=-1”是“l 1∥l 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C炼技法 提能力 【方法集训】方法 直线方程的求法1.直线l 过点P(1,4),分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A 、B 两点,O 为坐标原点,当|OA|+|OB|最小时,求l 的方程. 解析 依题意知,l 的斜率存在,且斜率为负, 设直线l 的斜率为k,则直线l 的方程为y-4=k(x-1)(k<0). 令y=0,可得A (1-4k,0); 令x=0,可得B(0,4-k).|OA|+|OB|=(1-4k)+(4-k)=5-(k +4k)=5+(-k +4-k)≥5+4=9.所以当且仅当-k=4-k且k<0,即k=-2时,|OA|+|OB|取最小值. 这时直线l 的方程为2x+y-6=0. 2.根据所给条件求直线的方程:(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为√1010;(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12; (3)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为0. 解析 (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式求解. 设倾斜角为α,则sin α=√1010(0<α<π).从而cos α=±3√1010,则斜率k=tan α=±13.故所求直线方程为y=±13(x+4), 即x+3y+4=0或x-3y+4=0.(2)由题设知截距不为0,设直线方程为x a +y12-a=1, 因为直线过点(-3,4), 所以-3a +412-a=1,解得a=-4或a=9.故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.(3)设直线在x 轴上的截距为a,则直线在y 轴上的截距为-a,当a=0时,直线过原点,此时直线的方程为y=4-0-3-0x,即y=-43x,当a ≠0时,直线的方程为x a +y -a=1,因为直线过点(-3,4),所以-3a +4-a =1,解得a=-7,故此时直线的方程为x -7+y 7=1,整理得y=x+7.【五年高考】统一命题、省(区、市)卷题组1.(2018北京理,7,5分)在平面直角坐标系中,记d 为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m 变化时,d 的最大值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 C2.(2016四川,9,5分)设直线l 1,l 2分别是函数f(x)={-lnx,0<x <1,lnx,x >1图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A,B,则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 答案 A【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2019浙江金华十校联考,2)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程是( ) A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 答案 C2.(2019浙江高考信息优化卷(二),3)已知a,b 是不全为零的常数,直线l 1:ax+by=1,直线l 2:x-2y=-a-b,则l 1∥l 2的充要条件是( )A.2a+b=0且a ≠±1B.2a+b=0且a+b ≠-1C.a=1,b=-2或a=-1,b=2D.2a+b=0 答案 A3.(2019浙江宁波北仑中学模拟,8)定义点P(x 0,y 0)到直线l:ax+by+c=0(a 2+b 2≠0)的有向距离d=00a 2+b .已知点P 1,P 2到直线l的有向距离分别是d 1,d 2.以下命题正确的是( ) A.若d 1-d 2=0,则直线P 1P 2与直线l 平行 B.若d 1+d 2=0,则直线P 1P 2与直线l 平行 C.若d 1+d 2=0,则直线P 1P 2与直线l 垂直 D.若d 1·d 2<0,则直线P 1P 2与直线l 相交 答案 D4.(2020届浙江高考模拟训练,6)已知抛物线x 2=4y 的焦点为F,若A,B 是抛物线上的两点,且满足AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线AB 的斜率是( )A.√33 B.√3 C.±√33 D.±√3答案 C二、填空题(单空题4分,多空题6分,共38分)5.(2020届浙江杭州二中开学考,11)抛物线x 2=-10y 的焦点在直线mx+2my+1=0上,则m= . 答案156.(2020届浙江“七彩阳光”联盟期初联考,12)已知两条平行直线l 1:ax+y+1=0与l 2:x-y+3=0的距离为d,则a= ,d= . 答案 -1;2√27.(2020届浙江之江教育联盟联考,11)过点P(3,1)作圆C:(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则|PA|=,直线AB的方程为.答案2;2x+y-3=08.(2019浙江高考数学仿真卷,14)直线l:(3m+2)x+y+8=0(m∈R),则l过定点;若直线l不经过第二象限,则m的取值范围是.答案(0,-8);(-∞,-23]9.(2020届浙江之江教育评价十月联考,12)已知直线l1:mx-y=1,l2:x-my-1=0,若l1∥l2,则m的值为;若直线l1与圆x2+2x+y2-24=0交于A,B两点,则|AB|min=.答案-1;2√2310.(2020届浙江“七彩阳光”联盟十月联考,13)已知直线l的方程为λx+y-3λ=0(λ∈R),则直线l过定点,若直线l 与圆C:x2+y2-2x=0相交于A,B两点,且满足△ABC为等边三角形,则λ=.答案(3,0);±√391311.(2019浙江绍兴数学调测,17)如图,M(1,0),P,Q是椭圆x 24+y2=1上的点(Q在第一象限),且直线PM,QM的斜率互为相反数,设|PM||QM|=2,则直线QM的斜率为.答案√156三、解答题(共15分)12.(2019浙江绍兴数学调测,21)直线l:x-ty+1=0和抛物线C:y2=4x相交于不同的两点A,B.(1)求实数t的取值范围;(2)设AB的中点为M,抛物线C的焦点为F,以MF为直径的圆与直线l相交于另一点N,且满足|MN||MF|=2√23,求直线l的方程.解析 (1)由{x -ty +1=0,y 2=4x 消去x,得y 2-4ty+4=0,Δ=(-4t)2-16>0,解得t<-1或t>1,故t ∈(-∞,-1)∪(1,+∞). (2)解法一:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x 0,y 0), 则y 1+y 2=4t,x 1+x 2=4t 2-2,所以x 0=x 1+x 22=2t 2-1,y 0=y 1+y 22=2t,则M(2t 2-1,2t).直线FN 的方程y=-tx+t,与直线l 的方程x-ty+1=0联立, 求得N (t 2-1t 2+1,2tt 2+1), 所以|NM|2=(t 2-1t 2+1-2t 2+1)2+(2t t 2+1-2t)2 =[t 2-1+(t 2+1)(-2t 2+1)t 2+1]2+(-2t 3t 2+1)2=4t 8+4t 6(t 2+1)2=4t 6t 2+1. 因为|MN||MF|=2√23,所以|MN|=2√2|NF|, 又|NF|2=41+t 2,所以4t 6t 2+1=32t 2+1,解得t=±√2,所以直线l 的方程为x±√2y+1=0.解法二:设直线l 的方向向量为l=(t,1),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=(x 1+x 22-1,y 1+y 22)=(2t 2-2,2t),则|NM|=|FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·l||l|=|(2t 2-2)t+2t|2=2|t|32, 直线FN 的方程y=-tx+t,与直线l 的方程x-ty+1=0联立, 求得N (t 2-1t 2+1,2t t 2+1),所以|NF|2=41+t2, 因为|MN||MF|=2√23, 所以|NM|=2√2|NF|, 所以|t|3=2√2,t=±√2,所以直线l 的方程为x±√2y+1=0.解后反思 第(1)问:求实数t 的取值范围,只要通过已知条件联立方程,由Δ>0即可求出.第(2)问:求直线l的方程,只要通过已知条件求出圆的弦长|MN|、|NF|、直径|MF|(均用t表示)中的任意两个,根据|MN||MF|=2√23,列方程求出t的值,即可得到直线l的方程.易错警示(1)由Δ>0得t2>1后处理不当而出错;(2)是消去x还是消去y选择不当,导致运算量增大;(3)M的坐标求错、|MN|与|MF|求不出或求错、没有转化距离导致方程过于复杂而求不出t的值或漏解等.。
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专题9.1 直线与直线的方程【考纲解读】【知识清单】1.直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角①定义．当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴的正方向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. ②范围：倾斜角α的范围为0απ≤<． 2．直线的斜率①定义．一条直线的倾斜角(90)αα≠的正切叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即tan k α＝，倾斜角是90°的直线没有斜率．当直线l 与x 轴平行或重合时, 0α=, tan 00k ==.②过两点的直线的斜率公式．经过两点11122212()()()P x y P x y x x ≠，，，的直线的斜率公式为2121y y k x x --＝.3.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率．倾斜角为90°的直线斜率不存在．4.直线的倾斜角α、斜率k 之间的大小变化关系： （1）当[0,)2πα∈时，0,k α>越大，斜率越大；（2）当(,)2παπ∈时，0,k α<越大，斜率越大.对点练习：【2017届重庆市一中高三上学期期中】已知直线方程为,3300sin 300cos =+y x则直线的倾斜角为（ ）A.60 B.30060或 C.30 D.33030或 【答案】C2.直线的方程1.直线的点斜式方程：直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，则直线l 的方程为：)(00x x k y y -=-.这个方程就叫做直线点斜式方程.特别地，直线l 过点),0(b ，则直线l 的方程为：b kx y +=.这个方程叫做直线 的斜截式方程. 2.直线的两点式方程直线l 过两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠，则直线l 的方程为：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--.这个方程叫做直线的两点式方程.当21x x =时，直线与x 轴垂直，所以直线方程为：1x x =；当21y y =时，直线与y 轴垂直，直线方程为：1y y=.特别地，若直线l 过两点12(,0),(0,)(0)P a P b ab ≠，则直线l 的方程为：1x ya b+=，这个方程叫做直线的截距式方程.3.直线的一般式方程 关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程.由一般式方程可得，B 不为0时，斜率A k B =-，截距C b B=-. 对点练习：【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上学期第一次月考】已知直线经过点，且斜率为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D.【答案】A 【解析】直线经过点，且斜率为，则即故选A【考点深度剖析】高考对直线方程的考查要求较低，以小题的形式考查直线与方程，一般难度不大，但呈现综合性较强的趋势，与充要条件、基本不等式、导数、圆、圆锥曲线等相结合.较多年份在大题中与其它知识综合考查.要求考生熟练掌握直线方程的基础知识．纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查直线的斜率与倾斜角，二是考查直线方程的几种形式．【重点难点突破】考点1 直线的倾斜角与斜率【1-1】经过两点A (4,2y ＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为34π，则y ＝( ) A.－1 B.－3 C.0 D.2 【答案】B【1-2】【2017届河北武邑中学高三周考】过点()2,M a -和(),4N a 的直线的斜率为1，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1或4D ．1或2 【答案】A 【解析】依题意有41,12aa a -==+． 【领悟技法】1.由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y ＝tan x 的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制；2.求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y ＝tan x 的单调性求k 的范围． 【触类旁通】【变式一】坐标平面内有相异两点2(cos ,sin ),(0,1)A B θθ，经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是 A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．30,,44πππ⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ C ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】34παπ≤< 【解析】22sin 1cos cos [1,1]cos cos ABk θθθθθ--===-∈-，且0AB k ≠.设直线的倾斜角为α，当01AB k <≤时，则0tan 1α<≤，所以倾斜角α的范围为04πα≤≤.当10AB k -≤<时，则1tan 0α-≤<，所以倾斜角α的范围为34παπ≤<. 【变式二】已知(2,4),(1,1)A B 两点，直线l 过点(0,2)C 且与线段AB 相交，直线l 的斜率k 的取值范围是 . 【答案】[1,1]-【综合点评】1.求直线的斜率与倾斜角.若已知两点的坐标，则直接利用斜率公式求斜率；若条件中给出一条直线，则求出直线上的两点的坐标，然后利用斜率公式求斜率.求直线的倾斜角，则先求出直线的斜率，再利用tan k α=求倾斜角.2. 求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k 是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围． 考点2 直线的方程【2-1】【2017届河北武邑中学高三周考】已知等边ABC ∆的两个顶点()()0,0,4,0A B，且第三个顶点在第四象限，则BC 边所在的直线方程是（ ）A ．y = B ．)4y x =- C．)4y x =- D ．)4y x =+ 【答案】C【解析】如图所示，直线BC 额倾斜角为3π)4y x =-.【2-2】已知点A （-3，-1），B （1，5），直线l 过线段AB 的中点，且在x 轴上的截距是它在y 轴上的截距的2倍.求直线l 的方程． 【答案】230x y +-=【领悟技法】求直线方程的常用方法有1.直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程．2.待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数，最后代入求出直线方程．3. 直线在x (y )轴上的截距是直线与x (y )轴交点的横(纵)坐标，所以截距是一个实数，可正、可负，也可为0，而不是距离． 【触类旁通】【变式一】直线l 过点(4,1)P -，若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程. 【答案】14y x =-或30x y +-=.【变式二】将直线绕点A 10（，）按逆时针方向旋转o60，求所得直线的方程.【答案】y =3【解析】直线的倾斜角为o 150，点A 10（，）直线上，绕点A 10（，）按逆时针方向旋转o60，所得直线的倾斜角为o30，其斜率为3，所以由点斜式方程得，y =(x-1)3.即为所求.【综合点评】求直线的方程有以下两种常用的方法：直接法和待定系数法.直接法就是利用方程的形式直接写出直线的方程；待定系数法是用字母表示某些量，把方程设出来，然后再根据题设把这些量求出来，从而得到直线的方程的方法. 【易错试题常警惕】易错典例：设直线l 的方程为12()()0a x y a a R ∈＋＋＋－＝． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围． 易错分析：易忽视截距均为0的情况而失解．正确解析：(1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a 2＝，方程即为3x y 0＋＝. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0， ∴21a a -+＝a 2－，即a 11.a 0∴＋＝＝，方程即为x y 20＋＋＝.综上，l 的方程为3x y 0x y 20＋＝或＋＋＝.(2)将l 的方程化为y (a 1)x a 2＝－＋＋－，∴()1020a a -+>⎧⎪⎨-≤⎪⎩或()1020a a -+=⎧⎪⎨-≤⎪⎩,a 1.∴≤－综上可知a 的取值范围是(1]∞－，－． 温馨提醒：涉及直线在两坐标轴上截距相等问题，要特别注意截距均为0的情况；另外，某些涉及直线问题中，往往要讨论直线的斜率是否存在的情况，也应特别注意.【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想数形结合是一种重要的数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.在解答三视图、直观图问题中，主要是通过图形的恰当转化，明确几何元素的数量关系，进行准确的计算．如： 【典例】【2017届河北武邑中学高三周考】已知方程()()()222321620mm x m m y m m R --++-+-=∈．（1）求该方程表示一条直线的条件；（2）当m 为何实数时，方程表示的直线斜率不存在？求出这时的直线方程； （3）已知方程表示的直线l 在x 轴上的截距为-3，求实数m 的值； （4）若方程表示的直线l 的倾斜角是45°，求实数m 的值． 【答案】（1）1m ≠-；（2）12m =，43x =；（3）53m =-；（4）43m =. 【解析】试题分析：（1）当,x y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线，分别令2230m m --=，2210m m +-=，解得1m =-时同时为零，故1m ≠-；（2）斜率不存在，即2210m m +-=，解得12m =；（3）依题意，有226323m m m -=---，解得53m =-；（4）依题意有2223121m m m m ---=+-，解得43m =.试题解析：（2）由（1）易知，当12m =时，方程表示的直线的斜率不存在， 此时的方程为43x =，它表示一条垂直于x 轴的直线． （3）依题意，有226323m m m -=---，所以234150m m --=， 所以3m =或53m =-，由（1）知所求53m =-．（4）因为直线l 的倾斜角是45°，所以斜率为1，故由2223121m m m m ---=+-，解得43m =或1m =-（舍去）． 所以直线l 的倾斜角为45°时，43m =．。