随机过程 第三章
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(优选)随机过程第三章
性质3.1 若随机过程X(t)是 m s 连续的，则
它的数学期望也必定连续，即：
lim E[X (t t)] E[X (t)]
t 0
证 设 Y X (t t) X (t) 是一个随机变量
D [Y ] E [Y 2] E2[Y ]
E [Y 2 ] D [Y ] E2[Y ] E2[Y ]
RX (t t,t t) RX (t t,t) RX (t,t t) RX (t,t)
∴有
lim
t 0
E
X
0
RX
(t
t
,
t
t
)
RX
(t
t
,
t
)
RX
(t,
t
t
)
RX
(t
,
t
)
对于右边极限式，自相关函数 t1,t2 是的函数。
欲使右边极限为零，则需 RX (t1,t2) 中,t1 t2 t ，才能 保证随机过程均方连续。
§3.2 随机过程的连续性
定义：若随机过程X(t)满足lim E [ | X (t t) X (t) |2] = 0， t 0
则称随机过程X(t)于t时刻在均方意义下连续（简称
m s 连续）。
另一方面，由定义知
E
X
(t
t)
X
(t)
2
E X (t t)X (t t) X (t t)X (t) X (t)X (t t) X (t)X (t)
n,m
xn xm 2 0
则必然存在一个随机变量x，使得
。
xn m s x
洛夫准则（又称均方收敛准则）：随机变量
序列 {xn, n 0,1,2,L }均方收敛于x的充要条件是
第三章 随机过程
3-1、设X 是0, 1a σ==的高斯随机变量，试确定随机变量Y cX d =+的概率密度函数( f y ，其中, c d 均为常数。
解：由题得：2( 0, ( 1E x a D x σ====( ( ( E y E cx d cE x d c a d d=+=+=+=222( ( D y D cx d c c σ=+==22( ( ]2x d f y c -=-3-2、设随机过程( t ξ可表示成( 2cos(2 t t ξπθ=+，式中θ是一个离散随机变量，且11(0 , ( 222P P πθθ====, 试求(1E ε和(0,1R ε解：首先应理解(1E ε和(0,1R ε的含义，(1E ε是指当t=1时，所得随机变量的均值，(0,1R ε 是指当t=0和t=1时，所得的两个随机变量的自相关函数。
111[2cos(2][2cos(2]2(cos0cos 1222t E E E εππθπθ==+=+=+=22211(0,1[(0(1][2cos2cos(2]4[cos]4(cos 0cos 2222R E E E επξξθπθθ==⨯+==+=3-3、设1020( cos sin z t x t x t ωω=-是一随机过程，若1x 和2x 是彼此独立且具有均值为0，方差为2σ的正态随机变量，试求：（1）2[(],[(]E z t E z t（2）z(t的一维分布密度函数f(z；（3）12(, B t t 和12(, R t t解：（1）由已知条件12[][]0E X E X ==且1x 和2x 彼此相互独立。
所以1212[][][]0E X X E X E X == 212( ( D x D x σ==，而222[][]E x E x σ=- 所以222111[]( []E x D x E x σ=+=同理222[]E x σ=10200102[(][cos sin ]cos []sin []0E z t E x t x t tE x tE x ωωωω=-=-=22102022200[(][(cos sin ][cos sin 2cos sin ]cos 2[]sin []2cos sin [](cossin E z t E x t x t E x t x t x x t t tE x tE x t tE x x t t ωωωωωωωωωωωωσσ=-=+-=+-=+=（2）由于1x 和2x 是彼此独立的正态随机变量且( z t 是1x 和2x 的线性组合，所以z 也是均值为0，方差为2σ的正态随机变量，其一维概率密度为22( 2z f z σ=-（3）[coscos sin sin ][cos(]R t t E z t z t E x t x t x t x t t t t t t t ωωωωσωωωωσω==--=+=-令12t t γ-=，则21, 20( cos R t t σωγ==2121212120(, (, [(][(](, cos B t t R t t E z t E z t R t t σωγ=-==3-4、已知( x t 与( y t 是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为12(, a a τ，自相关函数分别为(, ( x y R R ττ。
第3章 随机过程
∂F1 ( xBiblioteka , t1 ) = f1 ( x1 , t1 ) ∂x1
则称f 的一维概率密度。 则称 1 (x1,t1)为ξ (t)的一维概率密度。 为 的一维概率密度
二维分布函数： 随机过程ξ (t) 的二维分布函数： F2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 , ) = P{ ξ (t1 ) ≤ x1 ,ξ (t 2 ) ≤ x2 } 随机过程ξ (t)的二维概率密度函数： 的二维概率密度函数：
【例】n台示波器同时观测并记录这n台接收机 台示波器同时观测并记录这 的输出噪声波形
实现， 样本函数ξi (t)：随机过程的一次实现，是确定的 ) 随机过程的一次实现 时间函数。 时间函数。 随机过程： 随机过程：ξ (t) ={ξ1 (t), ξ2 (t), …, ξn (t)} ) ), ), )} 是全部样本函数的集合。 是全部样本函数的集合。
二、分布函数和概率密度
表示一个随机过程， 设ξ (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻 1的取ξ (t1) 表示一个随机过程 则它在任意时刻t 是一个随机变量， 是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率 密度函数来描述。 密度函数来描述。 随机变量ξ (t1)个于或等于某一数取 1的概率 ： 个于或等于某一数取x 个于或等于某一数取 F1 ( x1 , t1 ) = P[ξ (t1 ) ≤ x1 ] 的一维分布函数。 叫做随机过程ξ (t)的一维分布函数。 的一维分布函数 如果存在
= E[ξ (t1) ⋅ ξ (t 2) − ξ (t1) ⋅ a (t 2) − a (t1) ⋅ ξ (t 2) + a (t1) ⋅ a (t 2)]
= E[ξ (t1) ⋅ ξ (t 2)] − E[ξ (t1)] ⋅ a (t 2) − E[ξ (t 2)] ⋅ a (t1) + a (t1) ⋅ a (t 2)
随机过程 第三章 马尔科夫链
p p
iI
i ii1 pin1in
14
例：某计算机机房的一台计算机经常出故障，研究者每隔15分钟观察一次计 算机的运行状态，收集了24个小时的数(共作97次观察)，用1表示正常状态， 用0表示不正常状态，所得的数据序列如下： 11100100111111100111101111110011111111100011 01101111011011010111101110111101111110011011 111100111
1
2
3
4
5
6
例：排队模型 设服务系统由一个服务员和只可以容纳两个人的等候室组 成。服务规则为：先到先服务，后来者需在等候室依次排队， 假设一个需要服务的顾客到达系统时发现系统内已有3个顾客， 则该顾客立即离去。 设时间间隔⊿t内有一个顾客进入系统的概率为q，有一接 受服务的顾客离开系统(即服务完毕)的概率为p,又设当⊿t充分 小时，在这时间间隔内多于一个顾客进入或离开系统实际上是 不可能的，再设有无顾客来到与服务是否完毕是相互独立的。
2
马尔可夫链定义
时间和状态都离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链
定义：设有随机过程{Xn,n∈T}，若对于任意的整数n∈T和任意的 i0,i1, …,in+1∈I，条件概率满足
P{ X n 1 in 1 | X 0 i0 , X 1 i1 ,, X n in } P{ X n 1 in 1 | X n in }
i
n 1
nfii( n )
表示由i出发再返回i的平均返回时间。
24
定义 如ui<∞，则称常返态i为正常返的；如ui= ∞，则称常返态i为零常返的。
非周期的正常返态称为遍历状态。 常返性的判别
随机过程第三章 泊松过程
解：用一个泊松过程来描述。设 8 点为 0 时刻，则 9 点为 1 时刻，参数 ＝10 ，则由定
义 3.2 可知
PN (2) N (1) 5 5 e101 (101)n
n0
n!
PN (3) N (2) 0 e101 (101)0 e10
0!
例 3.2（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）若以 N (t) 表示某公路交叉口、矿山、
，利用数学归纳法证明。假设当 (n 1) 时成立，因
此
d dt
(et Pn (t))
et
et
t n1 (n 1)!
t n1 (n 1)!
解得
et Pn (t)
(t)n n!
C
又 Pn (0) PN(0) n 0 代入进一步解得
Pn (t)
et
(t)n n!
因此，结论得证，即定义 3.3 蕴含定义 3.2。 （2）再证定义 3.2 蕴含定义 3.3。欲证此结论，只需验证定义 3.3 中的条件（3）（4）
题。 注：定理 3.2 的命题易于理解。泊松过程的平稳独立增量性质等价于表示在概率意义上
过程在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切（由独立增量）； 且与原过程具有完全一样的分布（由平稳增量）。换言之，泊松过程是无记忆的，因此间隔 序列服从指数分布。
另一感兴趣的量是Tn ，第 n 次事件发生的时间，也称为第 n 次事件的等待时间。 定理 3.3 Tn , n 1, 2,服从参数为 n 和 的 分布，即其概率密度为
工厂等场所在 (0,t]时间内发生事故的次数，则泊松过程就是N(t),t 0 的一种很好近似。
另外，保险公司接到赔偿请求的次数（设一次事故就导致一次索赔）等都可以应用泊松过程 的模型。以保险为例，设保险公司每次的赔付都是 1,每月平均接到 4 次索赔请求，则一年中 它们要付出的金额平均为多少？
义 3.2 可知
PN (2) N (1) 5 5 e101 (101)n
n0
n!
PN (3) N (2) 0 e101 (101)0 e10
0!
例 3.2（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）若以 N (t) 表示某公路交叉口、矿山、
，利用数学归纳法证明。假设当 (n 1) 时成立，因
此
d dt
(et Pn (t))
et
et
t n1 (n 1)!
t n1 (n 1)!
解得
et Pn (t)
(t)n n!
C
又 Pn (0) PN(0) n 0 代入进一步解得
Pn (t)
et
(t)n n!
因此，结论得证，即定义 3.3 蕴含定义 3.2。 （2）再证定义 3.2 蕴含定义 3.3。欲证此结论，只需验证定义 3.3 中的条件（3）（4）
题。 注：定理 3.2 的命题易于理解。泊松过程的平稳独立增量性质等价于表示在概率意义上
过程在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切（由独立增量）； 且与原过程具有完全一样的分布（由平稳增量）。换言之，泊松过程是无记忆的，因此间隔 序列服从指数分布。
另一感兴趣的量是Tn ，第 n 次事件发生的时间，也称为第 n 次事件的等待时间。 定理 3.3 Tn , n 1, 2,服从参数为 n 和 的 分布，即其概率密度为
工厂等场所在 (0,t]时间内发生事故的次数，则泊松过程就是N(t),t 0 的一种很好近似。
另外，保险公司接到赔偿请求的次数（设一次事故就导致一次索赔）等都可以应用泊松过程 的模型。以保险为例，设保险公司每次的赔付都是 1,每月平均接到 4 次索赔请求，则一年中 它们要付出的金额平均为多少？
随机过程第三章
随机过程的概率密度函数
概率密度函数
对于连续随机过程，其概率密度函数描述了随机过程在各个时间点或位置上的取值的可能性密度。
联合概率密度函数
对于多个连续随机过程的组合，其联合概率密度函数描述了这些随机过程在各个时间点或位置上的取 值的联合可能性密度。
03
随机过程的数字特征
均值函数
总结词
描述随机过程中心趋势的数字特征
泊松过程
定义
泊松过程是一种随机过程，其中事件的 发生是相互独立的，且以恒定的平均速
率在时间上均匀地发生。
应用
在物理学、工程学、生物学等领域都 有应用，如放射性衰变、电话呼叫等。
性质
泊松过程具有无记忆性，即两次事件 发生的时间间隔与它们是否同时发生 无关。
扩展
泊松过程可以推广为更复杂的过程， 如非齐次泊松过程和条件泊松过程。
随机过程第三章
目录
• 随机过程的基本概念 • 随机过程的概率分布 • 随机过程的数字特征 • 随机过程的平稳性和遍历性 • 马尔科夫链和泊松过程 • 随机过程的应用
01
随机过程的基本概念
随机过程的定义
01
随机过程：一个随机过程是一个定义在概率空间上的
参数集的集合，这个集合的元素是随机变量。
02
马尔科夫链和泊松过程的比较
关联性
马尔科夫链和泊松过程都是随机过程，但它们的 性质和应用场景有所不同。
时间连续性
马尔科夫链可以适用于连续时间，而泊松过程通 常适用于离散时间。
ABCD
状态转移
马尔科夫链关注的是状态之间的转移，而泊松过 程关注的是事件的发生。
应用领域
马尔科夫链在社会科学和生物科学中应用广泛， 而泊松过程在物理学和工程学中更为常见。
随机过程 第3章 泊松过程
泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 的泊松过程， 若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的次 数服从参数 >0的泊松分布，即对任意 s , t 0 ，有
3.2 泊松过程的基本性质
泊松分布:
( t ) n t P{ X (t s ) X ( s ) n} e , n!
n 0, 1,
( t ) n t P{ X (t ) n} e , n 0, 1, 2, n!
Φ X ( ) E[e
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到 达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1}
故仪器在时刻 t0 正常工作的概率为:
k 1 ( t ) P P (T t 0 ) e t dt t0 ( k 1)! n k 1 ( t ) 0 P [ X (t 0 ) k ] e t
0
n0
n!
(3) 到达时间的条件分布
P{ X k }
k e
k!
, k 0, 1, 2, ( 0为常数 )
则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。
E(X ) ,
通信原理课件第3章 随机过程
可见，（1）其均值与t无关，为常数a；
（2）自相关函数只与时间间隔有关。
14
第3章 随机过程
数字特征：
E (t) x1 f1 (x1 )dx1 a R(t1,t2 ) E[ (t1) (t1 )]
x1x2 f2 (x1, x2 ; )dx1dx2 R( )
可见，（1）其均值与t 无关，为常数a ；
随机过程 (t)的二维概率密度函数：
f2 (x1,
x2 ; t1, t2
)
2F2 (x1, x2;t1,t2 x1 x2
)
若上式中的偏导存在的话。
随机过程 (t) 的n维分布函数：
Fn (x1, x2 , , xn ;t1, t2 , tn )
P (t1 ) x1, (t2 ) x2 , , (tn ) xn
f1 (x1,t1 ) f1 (x1 )
而二维分布函数只与时间间隔 = t2 – t1有关：
f2 (x1, x2 ;t1,t2 ) f2 (x1, x2 ; )
数字特征：
E (t) x1 f1 (x1 )dx1 a R(t1,t2 ) E[ (t1) (t1 )]
x1x2 f2 (x1, x2 ; )dx1dx2 R( )
换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。 因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同
时刻的随机变量的集合。 这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。
5
第3章 随机过程
3.1.1随机过程的分布函数
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)
是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密 度函数来描述。
【解】(1)先求(t)的统计平均值：
（2）自相关函数只与时间间隔有关。
14
第3章 随机过程
数字特征：
E (t) x1 f1 (x1 )dx1 a R(t1,t2 ) E[ (t1) (t1 )]
x1x2 f2 (x1, x2 ; )dx1dx2 R( )
可见，（1）其均值与t 无关，为常数a ；
随机过程 (t)的二维概率密度函数：
f2 (x1,
x2 ; t1, t2
)
2F2 (x1, x2;t1,t2 x1 x2
)
若上式中的偏导存在的话。
随机过程 (t) 的n维分布函数：
Fn (x1, x2 , , xn ;t1, t2 , tn )
P (t1 ) x1, (t2 ) x2 , , (tn ) xn
f1 (x1,t1 ) f1 (x1 )
而二维分布函数只与时间间隔 = t2 – t1有关：
f2 (x1, x2 ;t1,t2 ) f2 (x1, x2 ; )
数字特征：
E (t) x1 f1 (x1 )dx1 a R(t1,t2 ) E[ (t1) (t1 )]
x1x2 f2 (x1, x2 ; )dx1dx2 R( )
换句话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。 因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同
时刻的随机变量的集合。 这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。
5
第3章 随机过程
3.1.1随机过程的分布函数
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)
是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密 度函数来描述。
【解】(1)先求(t)的统计平均值：
随机过程第三章
3. 物理可实现的系统 稳定系统条件: h(t ) dt 因果系统条件: t 0, h(t ) 0
5
3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
在给定系统的条件下，输出信号的某个统计特性 只取决于输入信号的相应的统计特性。 根据输入随机信号的均值、相关函数和功率谱密 度，再加上已知线性系统单位冲激响应或传递函 数，就可以求出输出随机信号相应的均值、相关 函数和功率谱密度 分析方法：时域分析法 ；频域分析法。
24
3.3 希尔伯特变换和解析过程
一、希尔伯特变换
25
希尔伯特变换相当于一个正交滤波器
1 ˆ (t ) x(t ) * x t
H ( )
+j 0 -j
j 0 H ( ) j 0
26
h(t ) 1/ t
| H ( ) |
2 ( ) 2
14
结论1：若输入是 X(t) 宽平稳的，则系统输出Y(t) 也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。
若输入X(t)为宽平稳随机过程，则有： mX (t ) mX 常数 RX (t1 , t2 ) RX ( ) ＝t 2 t1
RX (0) E[ X 2 (t )]
mY mX h( )d
6
3.2.1 时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距
7
3.2.1 时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数 一个确定性函数 5、系统输出的高阶距
y(t t0 ) L[ x(t t0 )]
第3章 随机过程
A2 cos c 2 比较统计平均与时间平均，有
a a, R( ) R ( )
14
因此，随机相位余弦波是各态历经的。
3.2.3 平稳过程的自相关函数
实平稳过程的自相关函数： R( ) E[ (t ) (t )] 性质：
R(0) E[ 2 (t )]
f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f 2 ( x1 , x2 ; )
广义平稳
均值与时间 t 无关: 相关函数仅与 τ有关:
a(t ) a R(t1 , t1 ) R( )
注意：
必 广义平稳 狭义平稳 未必
3.2.2 各态历经性（遍历性）
通信原理
第3章 随机过程
本章内容:
随机过程的基本概念
第3章 随机过程
平稳、高斯、窄带过程的统计特性 正弦波加窄带高斯过程的统§3.1 随机过程的基本概念
随机过程是一类随时间作随机变化的 过程，它不能用确切的时间函数描述。
① 所有样本函数 ② 随机变量
12
例题：
自相关函数：
E[ A cos( c t1 ) A cos( c t 2 )] A2 E{cos c ( t 2 t1 ) cos[ c ( t 2 t1 ) 2 ]} 2 A2 A 2 2 1 cos c ( t 2 t1 ) cos[ ( t t ) 2 ] d c 2 1 0 2 2 2 2 A cos c ( t 2 t1 ) 0 2
erfc( x) 2 erfc( x)
B(t1 , t2 ) R(t1 , t2 ) a(t1 ) a(t 2 )
应用随机过程(第三章)解析
被记录下来的事件总数，则 M t,t 0
是一个强度为λp的Poisson过程。
PM t m
PM t m Nt n m PNt n m
n0
Cmmn pm 1 p
e n t mn t
m n !
n0
et
pt m 1 p t n
m!n!
n0
et
pt m
m!
1 p t n
E
E
N t
t
i 1
Ti
N
N t 是强度为3的Poisson过程
PN
4
N
0
n
12n n!
e
12
PN
4
N
0
9
129 9!
e12
例3.2.2
• 假定某天文台观测到的流星流是一个 Poisson过程，以往资料统计，平均每小时 观察到3颗流星，试求上午8：00 ～12：00 期间，该天文台没有观测到流星的概率？
N t 是强度为3的Poisson过程
PNt h Nt 2 oh
定理3.1.1 满足上述条件(1) ′ ～(4) ′的计数过程
Nt,t 0 是Poisson过程。
反过来Poisson过程一定满足这四个条件。
例3.1.3
事件A的发生形成强度为λ的poisson过
程Nt,t 0 ，如果每次事件发生时以概率
p能够被记录下来，并以M（t）表示到时刻t
n
Tn X i
i 1
Xi独立且服从相 同的指数分布
指数分布分n=1的Γ分布，且具有可 加性。定理得证。
证明2 Nt n Tn t
PTn t PNt n
et
t j
j!
jn
是一个强度为λp的Poisson过程。
PM t m
PM t m Nt n m PNt n m
n0
Cmmn pm 1 p
e n t mn t
m n !
n0
et
pt m 1 p t n
m!n!
n0
et
pt m
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1 p t n
E
E
N t
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i 1
Ti
N
N t 是强度为3的Poisson过程
PN
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e
12
PN
4
N
0
9
129 9!
e12
例3.2.2
• 假定某天文台观测到的流星流是一个 Poisson过程，以往资料统计，平均每小时 观察到3颗流星，试求上午8：00 ～12：00 期间，该天文台没有观测到流星的概率？
N t 是强度为3的Poisson过程
PNt h Nt 2 oh
定理3.1.1 满足上述条件(1) ′ ～(4) ′的计数过程
Nt,t 0 是Poisson过程。
反过来Poisson过程一定满足这四个条件。
例3.1.3
事件A的发生形成强度为λ的poisson过
程Nt,t 0 ，如果每次事件发生时以概率
p能够被记录下来，并以M（t）表示到时刻t
n
Tn X i
i 1
Xi独立且服从相 同的指数分布
指数分布分n=1的Γ分布，且具有可 加性。定理得证。
证明2 Nt n Tn t
PTn t PNt n
et
t j
j!
jn
随机过程第三章
2
定义3.2： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有参数λ >0的泊松过程，若它满足下列条件： 1. X(0)=0； 2. X(t)是独立增量过程； 3. 在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数λ>0的泊松分 布，即对任意s,t≥0，有 n t ( t )
P{ X (t s ) X ( s ) n} e n! , n 0,1,
16
复合泊松过程
定义： 设{N(t),t≥0}是强度为λ 的泊松过程，{Yk,k=1,2,…}是一列独立同分布 随机变量，且与{N(t),t≥0}独立，令
N (t )
X (t )
Y ,
k k 1
t0
则称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。 N(t) Yk X(t) 在时间段(0,t]内来到商店的顾客数 第k个顾客在商店所花的钱数 该商店在(0,t]时间段内的营业额
P{ X (t h) X (t ) 1} h o(h) P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
例如： •电话交换机在一段时间内接到的呼叫次数； •火车站某段时间内购买车票的旅客数； •机器在一段时间内发生故障的次数；
4
定理 3.1： 定义3.2和定义3.3是等价的。 证明
13
非齐次泊松过程
允许时刻t的来到强度是t的函数 定义： 称计数过程{X(t),t≥0}为具有跳跃强度函数λ (t)的非齐次泊松过程，若 它满足下列条件： 1. X(0)=0； 2. X(t)是独立增量过程； 3. P{ X (t h) X (t ) 1} (t )h o(h)
P{W1 s | X (t ) 1 ? }
分布函数
0, s FW1| X (t ) 1 (s) , t 1,
随机过程第三章泊松过程
随机过程第三章泊松过程泊松过程是随机过程中的一类重要过程，在许多领域都有广泛应用，如排队论、可靠性分析、金融工程等。
泊松过程的概念由法国数学家泊松提出，它具有无记忆性、独立增量和平稳增量等重要特征。
在本文中，我们将介绍泊松过程的定义、性质以及一些实际应用。
泊松过程的定义：设N(t)是在区间[0,t]内发生的事件个数，若满足以下三个条件，则称N(t)是具有独立增量和平稳增量的泊松过程：1.N(0)=0，表示在时间0之前没有事件发生；2.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布只与时间间隔t-s有关，与s时刻之前的事件个数无关，这表明泊松过程具有无记忆性；3.对于任意的s<t，N(t)-N(s)的分布是一个参数为λ(t-s)的泊松分布，其中λ是过程的强度参数。
泊松过程具有很多重要的性质。
首先，泊松过程的均值和方差等于其强度参数λ。
其次，泊松过程的增量独立，即在非重叠区间上的增量相互独立。
此外，泊松过程的时间间隔也是独立同分布的指数分布。
泊松过程具有广泛的应用。
在排队论中，泊松过程可用于描述到达队列的顾客数量。
在可靠性分析领域，泊松过程可用于描述设备的故障次数。
在金融工程中，泊松过程可用于模拟股票价格的变动和交易的发生。
在实际应用中，对于给定的泊松过程，我们通常感兴趣的是估计其强度参数λ。
常用的估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计通过最大化观测到的事件发生次数和估计的事件发生率之间的似然函数，来估计λ的值。
矩估计则是通过将观测到的事件个数的平均值等于λ的估计值，来确定λ的值。
此外，在泊松过程的应用中，我们还可能遇到泊松过程的两个重要扩展：非齐次泊松过程和二维泊松过程。
非齐次泊松过程是指强度参数λ是时间的一个函数，而不是常数。
二维泊松过程是指同时考虑两个独立的泊松过程，其事件发生次数可能影响到对方的发生次数。
综上所述，泊松过程是一种重要的随机过程，具有无记忆性、独立增量和平稳增量等特征。
第三章 随机过程
sin 0 tE cos cos 0 tE sin 2 2 1 1 sin 0 t cos d cos 0 t sin d 0 0 0 2 2
p2 x1 , x2 ; t1 , t2 p2 x1 , x2 ; t1 , t2 p2 x1 , x2 ; t1 t2
数字特征
E X ( t ) m X 2 D X ( t ) X
RX t1 , t2 R t1 t 2 R 2 C X t1 , t2 R m X C X ( )
第三章 随机过程
1
3.1 引言
通信系统中用于表示载荷信息的信号是 随机过程
不可能是单一的确定的而是各种不同的信号. 信息就包含于出现这种或那种信号之中. 例如二元信息需用二种信号表示具体出现哪 个 信号是随机的不可能准确预测 ,能预测则无 需通信了, 我们称这种具有随机性的信号为 随机信号.
2
随机干扰和随机噪声
通信系统中存在各种干扰和噪声, , 这些干扰 和噪声的波形更是各式各样随机的不可预测的. 我们称其为随机干扰和随机噪声 尽管随机信号和随机干扰（噪声）取何种波形 是不可预测的、随机的，但他们具有统计规律 性。研究随机信号和随机干扰统计规律性的数 学工具是随机过程理论
3
随机过程的一般表述
3.2.3两个随机过程的联合分布函数和 数字特征（续1）
互协方差函数：
C XY (t1 , t2 ) E{[ X (t1 ) mX (t1 )][Y (t2 ) mY (t2 )]}
互相关函数：
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]
p2 x1 , x2 ; t1 , t2 p2 x1 , x2 ; t1 , t2 p2 x1 , x2 ; t1 t2
数字特征
E X ( t ) m X 2 D X ( t ) X
RX t1 , t2 R t1 t 2 R 2 C X t1 , t2 R m X C X ( )
第三章 随机过程
1
3.1 引言
通信系统中用于表示载荷信息的信号是 随机过程
不可能是单一的确定的而是各种不同的信号. 信息就包含于出现这种或那种信号之中. 例如二元信息需用二种信号表示具体出现哪 个 信号是随机的不可能准确预测 ,能预测则无 需通信了, 我们称这种具有随机性的信号为 随机信号.
2
随机干扰和随机噪声
通信系统中存在各种干扰和噪声, , 这些干扰 和噪声的波形更是各式各样随机的不可预测的. 我们称其为随机干扰和随机噪声 尽管随机信号和随机干扰（噪声）取何种波形 是不可预测的、随机的，但他们具有统计规律 性。研究随机信号和随机干扰统计规律性的数 学工具是随机过程理论
3
随机过程的一般表述
3.2.3两个随机过程的联合分布函数和 数字特征（续1）
互协方差函数：
C XY (t1 , t2 ) E{[ X (t1 ) mX (t1 )][Y (t2 ) mY (t2 )]}
互相关函数：
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]
随机过程第三章-泊松过程
N (t)
定理3.6 设 X (t) Yi 是一复合泊松过程,其中泊松 i 1
过程 N(t) 的强度为 ,则
(1) X (t) 具有独立增量;
(2)若E(Yi ) 1, E(Yi2 ) 2 均存在,则
E[ X (t)] t1,
D[ X (t)] t2
证 (1) 令 t0 t1 tn ,由于N(t)具有独立增量性,故
的泊松分布,故
P{N (10) N (0) 1} (4.5)e4.5
二.复合泊松过程
定义3.6 称随机过程 {X (t),t 0}为复合泊松过程,如果对
于 t 0 ,它可以表示为如下形式
N (t)
X (t) Yi i 1
其中 {N(t),t 0} 是一个泊松过程, Y1, ,Yn 是一族独立同 分布的随机变量,并且与 {N(t),t 0} 独立.
(5)4 e5 4!(7)5 e7 (12)9 e12 9!
5! C94
5 12
4
1
5 12
94
.
(5) E[N(5)]=5, D N 5 5,
Cov[N(5), N(12)] D N 5 5.
例2 事件A的发生形成强度为 的泊松过程 {N(t),t 0}.如 果每次事件发生时以概率 p能够记录下来,并以 M (t)表示到 t时刻被记录下来的事件总数,证明{M (t),t 0} 是一个强度为
(1) N(0) 0;
(2) N(t) 有独立增量;
(3)对任意的 s,t 0,有
P{N (t s) N (s) n} (t)n et ,
n!
n 0,1,2,
由条件(3)可知泊松过程有平稳增量并且在任一长度为t
的区间中事件的个数服从参数(均值)为 t 的泊松分布.
第三章随机过程
随机过程－ －第三章 随机过程－
9
数字期望
数字期望（简称均值）是用来描述随机变量X的统 数字期望（简称均值）是用来描述随机变量 的统 计平均值， 反映随机变量取值的集中位置。 计平均值，它反映随机变量取值的集中位置。 对于离散随机变量X， 是其取值x 对于离散随机变量 ，设 P( xi )(i = 1, 2,L , k )是其取值 i 的 概率， 概率，则其数字期望定义为
8
随机变量的数字特征
前面讨论的分布函数和概率密度函数， 前面讨论的分布函数和概率密度函数，能够较 全面地描述随机变量的统计特性。然而， 全面地描述随机变量的统计特性。然而，在许多实 际问题中，我们往往并不关心随机变量的概率分布， 际问题中，我们往往并不关心随机变量的概率分布， 而只想了解随机变量的某些特征， 而只想了解随机变量的某些特征，例如随机变量的 统计平均值， 统计平均值，以及随机变量的取值相对于这个平均 值的偏离程度等。 值的偏离程度等。这些描述随机变量某些特征的数 值就称为随机变量的数字特征。 值就称为随机变量的数字特征。
随机过程－ －第三章 随机过程－
12
对于离散随机变量， 对于离散随机变量，上式方差的定义可表示为
D[ X ] = [ x i − E ( X )] 2 Pi ∑
i
式中， 是随机变量X取值为 的概率。 取值为x 式中，Pi是随机变量 取值为 i 的概率。 对于连续随机变量， 对于连续随机变量，方差的定义可表示为
+∞ +∞
{
}
−∞ −∞
∫ ∫ x
1
− a ( t1 ) x2 − a ( t 2 ) f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) dx1dx2
7-3 随机过程第三章讲课版
k
,
四、Poisson过程 (1)放射性物质在[0，t]中放出的α－粒子的数目. (2)某服务台在[0，t]中到达的顾客数. (3)某建筑物指定面积上出现的点负荷数目.
3.1 泊松过程的定义
• 定义3.1随机过程{N(t)，t 0 }是计数过 程，如果 N(t) 表示到时刻 t为止已发生 的事件A的总数，且N(t)满足条件 (1) N(t) 0 ; (2) N(t)取整数; (3)若s < t ，则N(s) N(t); (4)当s < t时，N(t) - N(s)等于区间(s, t]中 发生事件A的次数。
k 1
应 用 举 例
设保险公司的人寿保险单持有者在ti时刻死亡 获得的保险金为Di,诸Di相互独立，均服从[10000，20000] 上的均匀分布.若在[0,t]内死亡的人数N(t)，t 0为强度为 5 的Poisson过程，并与{Dn}独立.试求保险公司在 [0,t]内将要支付的总保险金额 X (t ) 的均值与方差.
3.3 非齐次泊松过程
解 设t=0为早晨5时，t=16为晚上9时， • 则
200 400t ,0 t 3 (t ) 1400 , 3 t 13 1400 400(t 13),13 t 16
3.3 非齐次泊松过程
解 12时至14时为t[7,9] 在[0,t]内到达的乘车人数X(t)服从参数为 (t)的非齐次泊松过程 12时至14时乘车人数的数学期望为
P X(t h) X(t ) 1 h o(h) P X(t h) X(t ) 2 o(h)
(参数>0)
3.2 泊松过程的性质
• 一、数字特征 设{X(t), t 0}是参数为的泊松过程， 对任意t, s[0, +)，若s < t ，则有 E[ X (t ) X ( s)] D[ X (t ) X ( s)] (t s) m X (t ) E[ X (t )] E[ X (t ) X (0)] t
第三章随机过程
第三章随机过程第三章随机过程1.什么是宽平稳随机过程？什么是严平稳随机过程？它们之间有什么关系？答：宽平稳随机过程：若一个随机过程的数学期望与时间无关，而其相关函数仅与时间间隔相关称之为宽平稳随机过程。
严平稳随机过程：若一个随即过程任何的n维分布函数或概率密度函数与时间起点无关，则之为严平稳随机过程。
一个严平稳随机过程，只要他的均值有界则必然是宽平稳的；反之不然。
2.平稳随机过程的自然相关函数具有什么特点？答：平稳随机过程的自然相关函数与时间起点无关，只与时间间隔有关，而且是偶函数。
3.什么是高斯噪声？什么是白噪声？它们各有什么特点？答：高斯噪声：概率密度函数符合正态分布的噪声。
高斯噪声的特点：它的n维分布仅由各随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数决定。
若高斯噪声是宽平稳，则也是严平稳的。
若随机变量之间互不相关，则也是统计独立的。
白噪声：功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声，属于一种理想宽带过程。
白噪声的特点：白噪声只在tao=0时才是相关的，而在其他任意时刻上的随机变量都不相关。
4.什么是窄带随机过程？它的频谱和时间波形有什么特点？答：如果随机过程的频谱密度分布在一个远离零频的很窄的频率范围内，则称其为窄带随即过程。
其频谱分布特点是带宽远小于中心频率，时间波形上的特点是呈现出包络和相位随机缓慢变化的正弦波。
5.什么是窄高斯噪声？他在波形上有什么特点？它的包络和相位各服从什么概率分布？答：窄带高斯噪声：若一个高斯噪声满足窄带条件，即其带宽远远小于中心频率，而且中心平率偏离零频很远，则称之为窄带高斯噪声。
其波形上的特点是包络和相位都像一个缓慢变化的正弦波。
其包络的一维分布服从瑞利分布，其相位的一维分布服从均匀分布。
6.何为高斯白噪声？它的概率密度函数、功率频谱密度如何表示？答：如果白噪声取值的概率密度分布服从高斯分布，则称之为高斯白噪声，其概率密度函数为高斯函数，其功率谱密度为常数。
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2016/5/20
14
3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
• 3.2.1 时域分析法 系统输出的平稳性和遍历性
结论1：若输入X(t)是 宽平稳的，则系统输出Y(t) 也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。 结论2：若输入X(t)是严平稳的，则输出Y(t)也 是严平稳的。 结论3：若输入 X(t)是宽遍历性的，则输出Y(t) 也是宽遍历性的，且X(t)、Y(t)联合遍历 。
RY (t1 , t2 ) h(t1 ) RXY (t1, t2 ) h(t2 ) RYX (t1, t2 )
RY ( ) RX ( ) h( ) h( ) RXY ( ) h( ) RYX ( ) h( )
2016/5/20 13
3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
0
一个确定性函数
系统的单位冲激响应 一个确定性函数
2016/5/20 8
3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
• 3.2.1 时域分析法
• • • • • 1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距
：
对于随机信号 X(t ) 任意一个样本函数均成立。 那么对于所有的试验结果，系统输出为一族样本函数， 这族样本函数构成随机过程
0
0
h(t ) dt
E[Y 2 (t )]
2016/5/20 17
3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
结论2：若输入X(t )是严平稳的，则输出Y(t )也 是严平稳的。
因为 Y(t ) h( ) X (t )d
0
对于时不变系统，若时移常数T，有
Y(t T ) h( ) X (t T )d
t
线性时不变系统：系统响应不依赖于时间起点的选择，即如果输入信号 提前或延时一段时间，则输出信号也同样提前或延时一段相同的时间， 而输出信号的波形保持不变。
（1）线性性： （2）时不变：
L[ax1 (t ) bx2 (t )] aL[ x1 (t )] bL[ x2 (t )] y(t t0 ) L[ x(t t0 )]
2016/5/20
15
3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
结论1：若输入是X(t ) 宽平稳的，则系统输出Y(t ) 也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。
若输入X(t ) 为宽平稳随机过程，则有： mX (t ) mX 常数 RX (t1 , t2 ) RX ( ) ＝t 2 t1
2016/5/20 2
• 线性系统：具有叠加性和比例性的系统
x(t )
L[]
y(t ) L[ x(t )]
L[ax1 (t ) bx2 (t )] aL[ x1 (t )] bL[ x2 (t )]
• 举例：
d L[] [] dt L[] []2 L[] []du
0
RX ( ) h( ) RXY ( )
RX ( ) h( ) RYX ( )
0
h(u)h(v) RX ( u v)dudv RX ( ) h( ) h( ) RY ( )
16
3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
结论1：若输入是X(t ) 宽平稳的，则系统输出Y(t ) 也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。
E[Y (t )] E[Y (t )]
2 2
0
0
h(u )h(v) RX (u v) dudv
0
0
h(u) h(v) RX (u v) dudv
0
RX (0)
0
h(u) h(v) dudv
0
RX (0) h(v) dv h(u) du
RXY ( ) 0 h(u) RX ( u)du RX ( ) h( )
若输入为平稳随机过程
RYX ( ) 0 h(u ) RX ( u )du RX ( ) h( )
2016/5/20 12
3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
• 3.2.1 时域分析法
第3章 随机信号与线性系统
3.1 线性系统的基本理论
一般电子系统中，通常含有若干个基本单元电路。
线性系统：线性放大器、线性滤波器 非线性系统：平方律检波器，调制器，混频器，限幅器
在确定信号输入的情况下，线性系统的响应或输出 有明确的表达式。 对于随机信号的问题，要想得到输出的明确表达式 是不可能的。但一个随机过程可以通过自相关函数、 功率谱密度、均方值等统计特性来描述。 如何根据线性系统输入随机信号的统计特性以及线 性系统的特性，确定输出系统的统计特性。
3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
结论3：若输入 X(t )是宽遍历性的，则输出Y(t ) Y(t ) X(t )联合遍历 也是宽遍历性的，且
1 T Y(t )Y (t ) lim Y (t )Y (t )dt T 2T T 1 T [ lim X (t u ) X (t v)dt ]h(u )h(v)dudv 0 0 T 2T T
L[]
称作算子
连续与离散系统： • 连续时间系统：系统的输入和输出都是连续时间信号； • 离散时间系统：系统的输入和输出都是离散时间信号。
2016/5/20
4
连续时不变线性系统的分析方法
1. 时域分析
y(t ) x(t )h( )d x( )h(t )d x(t ) h(t )
• 3.2.1 时域分析法
• • • • • 1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数 5பைடு நூலகம்系统输出的高阶距
► 输入为随机信号X(t)的某个实验结果的一个样本函数，则输 出为： y(t ) h( ) x(t )d
0
0
RX ( u v)h(u)h(v)dudv RY ( )
1 X(t )Y (t ) lim T 2T
1 lim T 2T
T
T
X(t )Y(t )dt
0
[
T
T
h(u )X(t u )X(t ) du ]dt
1 T [ lim X (t u )X(t )dt ]h(u )du 0 T 2T T RX ( u )h(u)du RXY ( )
0
20
2016/5/20
3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
，那么该系统称为因果系统。
5
如果当 t 0 时， h(t ) 0
2016/5/20
3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
• 在给定系统的条件下，输出信号的某个统 计特性只取决于输入信号的相应的统计特 性。 • 根据输入随机信号的均值、相关函数和功 率谱密度，再加上已知线性系统单位冲激 响应或传递函数，就可以求出输出随机信 号相应的均值、相关函数和功率谱密度 • 分析方法：时域分析法 ；频域分析法。
1 T Y(t ) lim Y (t )dt T 2T T 1 T lim [ h(u ) X (t u )du ]dt T 2T T 0
0
mX h(u)du mY
0
2016/5/20 19
1 [ lim T 2T
T
T
X(t u )dt ]h(u )du
RXY (t1 , t2 ) RX (t1, t2 )* h(t2 )
RYX (t1 , t2 ) RX (t1, t2 )* h(t1 )
2016/5/20 11
3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
• 3.2.1 时域分析法
• • • • • 1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距
RX (0) E[ X 2 (t )]
mY mX h( )d
0
RXY (t1 , t2 )
h(u ) RX ( u )du
0
RYX (t1 , t2 )
h(u) RX ( u)du
0
RY (t1 , t2 )
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2．频域分析
Y( ) H ( )X( )
X() x(t )e jt dt
H ( ) h(t )e jt dt
Y ( s) H ( s) X ( s) s j
3. 物理可实现的稳定系统 稳定系统条件:
h(t ) dt
2016/5/20
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3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
结论3：若输入 X(t )是宽遍历性的，则输出Y(t ) Y(t ) X(t ) 联合遍历 也是宽遍历性的，且
由 X(t ) 的宽遍历的定义得
X(t ) mX
X(t ) X (t ) RX ( )
则输出 Y(t )
的时间平均
2016/5/20
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3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
• 3.2.1 时域分析法
• • • • • 1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距