24.4 弧长和扇形面积(2) 同步练习

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人教版九年级数学上册《弧长和扇形面积》学案及同步作业(含答案)

24.4弧长和扇形面积(第1课时)【学习目标】了解扇形的概念，理解 n?°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．【学习重点】n°的圆心角所对的弧长 L= n R，扇形面积S扇= n R2及其它们的应用．180360【学习过程】（教师寄语：勤动脑，多动手，体验收获！）自主探究（教师寄语：学会独立思考，自主学习是最重要的！）一、任务一：探究弧长公式1、圆的周长公式是什么？什么叫弧长？2、圆的周长可以看作 ______度的圆心角所对的弧．1°的圆心角所对的弧长是 _______； 2°的圆心角所对的弧长是 _______；4°的圆心角所对的弧长是 _______；n°的圆心角所对的弧长是 _______。

任务二：探究扇形面积公式3、圆的面积公式是什么？什么叫扇形？4、圆的面积可以看作度圆心角所对的扇形的面积；设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S 扇形 =_______； 2°的圆心角所对的扇形面积 S 扇形=_______； 5°的圆心角所对的扇形面积S 扇形=_______；n °的圆心角所对的扇形面积S 扇形 =_______。

5、比较扇形面积公式和弧长公式，如何用弧长表示扇形的面积？二、合作学习（教师寄语：学会与别人合作是一种能力！）例 1、（教材 121 页例 1）例 2：如图，已知扇形 AOB的半径为 10，∠ AOB=60°，求AB的长（ ?结果精确到 0．1）和扇形 AOB的面积结果精确到 0．1）三、课时小结（教师寄语：及时总结能使人不断进步！）四、自我测评（教师寄语：细心思考，必定成功！）1、已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（）．A ． 3B ． 4C ． 5D ． 62、如图所示，把边长为 2 的正方形 ABCD的一边放在定直线L 上，按顺时针方向绕点 D 旋转到如图的位置，则点 B 运动到点 B′所经过的路线长度为（）A．1B．C．2D．2B C(A')B'AlD C'A BCO（第 2 题图）（第 3 题图）（第 4 题图）（第 6 题图）3、如图所示， OA=30B，则AD的长是BC的长的 _____倍．4、如图，这是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案，它是一扇形图形，其中AOB 为120，OC 长为8cm， CA 长为12cm，则阴影部分的面积为。

2020年人教版九年级数学上册24.4《弧长和扇形面积》随堂练习(含答案)

2020年人教版九年级数学上册 24.4《弧长和扇形面积》随堂练习第1课时弧长和扇形面积基础题知识点1 弧长公式及应用1．(岳阳中考)已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为( ) A.π2 B ．π C.π6 D.π3 2．(衡阳中考)圆心角为120°，弧长为12π的扇形的半径为( )A ．6B ．9C ．18D ．36 3．一个扇形的半径为8 cm ，弧长为163π cm ，则扇形的圆心角为( )A ．60°B ．120°C ．150°D ．180° 4．如图，用一个半径为5 cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了( )A ．π cmB ．2π cmC ．3π cmD ．5π cm5．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧BC ︵的长等于( )A.2π3B.π3C.23π3D.3π3知识点2 扇形的面积公式及应用6．半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是( ) A ．3π B ．6π C ．9π D ．12π7．一个扇形的圆心角是120°，面积是3π cm 2，那么这个扇形的半径是( ) A ．1 cm B ．3 cm C ．6 cm D ．9 cm8．已知扇形的半径为6 cm ，面积为10π cm 2，则该扇形的弧长等于 cm ．9．一个扇形的半径为3 cm ，面积为π cm 2，则此扇形的圆心角为度．10．如图，△ABC 是⊙O 内接正三角形，⊙O 的半径为3，则图中阴影部分面积是．11．如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且BC=6 cm ，AC=8 cm ，∠ABD=45°. (1)求BD 的长；(2)求图中阴影部分的面积．易错点忽视题中条件12．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25 cm ，贴纸部分的宽BD 为15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为 cm 2.中档题13．如图，在▱ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB=12，∠C=60°，则FE ︵的长为( )A.π3B.π2 C ．Π D ．2π14．如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在弧AB 上，CD ∥OB ，则图中休闲区(阴影部分)的面积是(C)A ．(10π－923)米2B ．(π－923)米2C ．(6π－923)米2D ．(6π－93)米15．如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AD 是BC 边上的高，AB=4 cm ，分别以B ，C为圆心，以BD ，CD 为半径画弧，交边AB ，AC 于点E ，F ，则图中阴影部分面积是 cm 2.16．图1是以AB 为直径的半圆形纸片，AB=6 cm ，沿着垂直于AB 的半径OC 剪开，将扇形OAC 沿AB 方向平移至扇形O ′A ′C ′，如图2，其中O ′是OB 的中点，O ′C ′交BC ︵于点F ，则BF ︵的长为 cm.17．如图1，正方形ABCD 是一个6×6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1.位于AD 中点处的光点P 按图2的程序移动． (1)请在图1中画出光点P 经过的路径； (2)求光点P 经过的路径总长(结果保留π)．18．如图，已知PA为⊙O的切线，A为切点，B为⊙O上一点，∠AOB=120°，过点B作BC ⊥PA于点C，BC交⊙O于点D，连接AB，AD.(1)求证：OD平分∠AOB；(2)若OA=2 cm，求阴影部分的面积．综合题19．“莱洛三角形”是一种等宽曲线，在游标卡尺上，它在任何方向上的宽度都相等，其构造方法是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是莱洛三角形，如图1.莱洛三角形在日常生活中有广泛的应用，如汽车发动机就有莱洛三角形，如图2，若图1中等边三角形的边长是2，则该莱洛三角形的周长是2π．第2课时圆锥的侧面积和全面积基础题知识点1 圆柱的侧面积与全面积1．圆柱形水桶底面周长为3.2π m ，高为0.6 m ，它的侧面积是( )A ．1.536π m 2B ．1.92π m 2C ．0.96π m 2D ．2.56π m 22．一个圆柱的底面直径为6 cm ，高为10 cm ，则这个圆柱全面积是 cm 2(结果保留π)．知识点2 圆锥的侧面积与全面积3．已知圆锥的底面半径为4 cm ，母线长为6 cm ，则它的侧面展开图的面积等于( )A ．24 cm 2B ．48 cm 2C ．24π cm 2D ．12π cm 24．已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥母线长为2，则圆锥底面半径是( ) A.12 B ．1 C. 2 D.325．一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为( ) A ．1.5 B ．2 C ．2.5 D ．36．如图，圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是( )A ．12πB ．15πC ．24πD ．30π7．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是( ) A ．120° B ．180° C ．240° D ．300° 8．若一个圆锥的底面圆半径为3 cm ，其侧面展开图圆心角为120°，则圆锥母线长是 cm. 9．如图，把一个圆锥沿母线OA 剪开，展开后得到扇形AOC ，已知圆锥的高h 为12 cm ，OA=13 cm ，则扇形AOC 中AC ︵的长是 cm.(结果保留π)10．如图，已知圆锥的高为3，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥侧面积为．11．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为12 cm，弧长为12π cm的扇形，求这个圆锥的侧面积及高．易错点考虑不全面导致漏解12．已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为．中档题13．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=1，把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，则( )A．l1∶l2=1∶2，S1∶S2=1∶2B．l1∶l2=1∶4，S1∶S2=1∶2C．l1∶l2=1∶2，S1∶S2=1∶4D．l1∶l2=1∶4，S1∶S2=1∶414．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB=8 cm，圆柱体部分的高BC=6 cm，圆锥体部分的高CD=3 cm，则这个陀螺的表面积是( )A．68π cm2 B．74π cm2 C．84π cm2 D．100π cm215．如图，从一张腰长为60 cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为( )A．10 cm B．15 cmC．10 3 cm D．20 2 cm16．一个圆锥形漏斗，某同学用三角板测得其高度的尺寸如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为 cm2.17．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC.若用扇形OAC围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是．18．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为 (结果保留π)．19．如图，有一直径是1米的圆形铁皮，圆心为O，要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC，求：(1)被剪掉阴影部分的面积；(2)若用所留的扇形ABC铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是多少？综合题20．如图1，等腰三角形ABC 中，当顶角∠A 的大小确定时，它的邻边(即腰AB 或AC)与对边(即底边BC)的比值也就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)=∠A 的对边（底边）∠A 的邻边（腰）=BCAC，当∠A=60°时，如T(60°)=1. (1)理解巩固：T(90°)= ，T(120°)= ，T(A)的取值范围是；(2)学以致用：如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长．(精确到0.1，参考数据：T(140°)≈0.53，T(70°)≈0.87，T(35°)≈1.66)参考答案基础题知识点1 弧长公式及应用1．(岳阳中考)已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为(D) A.π2 B ．π C.π6 D.π3 2．(衡阳中考)圆心角为120°，弧长为12π的扇形的半径为(C)A ．6B ．9C ．18D ．36 3．(自贡中考)一个扇形的半径为8 cm ，弧长为163π cm ，则扇形的圆心角为(B)A ．60°B ．120°C ．150°D ．180° 4．(兰州中考)如图，用一个半径为5 cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(C) A ．π cm B ．2π cm C ．3π cm D ．5π cm5．(南宁中考)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧BC ︵的长等于(A) A.2π3 B.π3 C.23π3 D.3π3知识点2 扇形的面积公式及应用6．(宜宾中考)半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是(D) A ．3π B ．6π C ．9π D ．12π7．(维吾尔中考)一个扇形的圆心角是120°，面积是3π cm 2，那么这个扇形的半径是(B) A ．1 cm B ．3 cm C ．6 cm D ．9 cm8．(怀化中考)已知扇形的半径为6 cm ，面积为10π cm 2，则该扇形的弧长等于10π3__cm ． 9．(广西中考)一个扇形的半径为3 cm ，面积为π cm 2，则此扇形的圆心角为40度．10．(常德中考)如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，⊙O 的半径为3，则图中阴影部分的面积是3π． 11．(无锡中考)如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且BC=6 cm ，AC=8 cm ，∠ABD=45°. (1)求BD 的长；(2)求图中阴影部分的面积．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠C=90°，∠BDA=90°. ∵BC=6 cm ，AC=8 cm ， ∴AB=62＋82=10(cm)． ∵∠ABD=45°.∴△ABD 是等腰直角三角形． ∴BD=AD=22AB=5 2 cm. (2)连接DO ，∵△ABD 是等腰直角三角形，OB=OA ， ∴∠BOD=90°. ∵AB=10 cm ， ∴OB=OD=5 cm.∴S 阴影=S 扇形OBD －S △BOD =90π×52360－12×52=(25π4－252)cm 2.易错点忽视题中条件12．(教材P116习题T8变式)如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25 cm ，贴纸部分的宽BD 为15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为350πcm 2. 02 中档题13．(山西中考)如图，在▱ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB=12，∠C=60°，则FE ︵的长为(C)A.π3B.π2C ．ΠD ．2π14．(山西中考)如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在弧AB 上，CD ∥OB ，则图中休闲区(阴影部分)的面积是(C)A ．(10π－923)米2B ．(π－923)米2 C ．(6π－923)米2 D ．(6π－93)米15．(盘锦中考)如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AD 是BC 边上的高，AB=4 cm ，分别以B ，C 为圆心，以BD ，CD 为半径画弧，交边AB ，AC 于点E ，F ，则图中阴影部分的面积是(23＋2－32π) cm 2.16．(山西中考)图1是以AB 为直径的半圆形纸片，AB=6 cm ，沿着垂直于AB 的半径OC 剪开，将扇形OAC 沿AB 方向平移至扇形O ′A ′C ′，如图2，其中O ′是OB 的中点，O ′C ′交BC ︵于点F ，则BF ︵的长为π cm.17．如图1，正方形ABCD 是一个6×6网格电子屏的示意图，其中每个小正方形的边长为1.位于AD 中点处的光点P 按图2的程序移动．(1)请在图1中画出光点P 经过的路径；(2)求光点P 经过的路径总长(结果保留π)．解：(1)如图．(2)光点P 经过的路径总长为4×90π×3180=6π.18．(山西中考适应性考试)如图，已知PA 为⊙O 的切线，A 为切点，B 为⊙O 上一点，∠AOB=120°，过点B 作BC ⊥PA 于点C ，BC 交⊙O 于点D ，连接AB ，AD.(1)求证：OD 平分∠AOB ；(2)若OA=2 cm ，求阴影部分的面积．解：(1)证明：∵PA 为⊙O 的切线，∴OA ⊥PA.∵BC ⊥PA ，∴∠OAP=∠BCA=90°.∴OA ∥BC.∴∠AOB ＋OBC=180°.∵∠AOB=120°，∴∠OBC=60°.∵OB=OD ，∴△OBD 是等边三角形．∴∠BOD=60°.∴∠AOD=∠BOD=60°.∴OD 平分∠AOB.(2)∵OA ∥BC ，∴点O 和点A 到BD 的距离相等．∴S △ABD =S △OBD .∴S 阴影=S 扇形OBD .∴S 阴影=60π×4360=23π(cm 2)．03 综合题19．(山西中考命题专家原创)“莱洛三角形”是一种等宽曲线，在游标卡尺上，它在任何方向上的宽度都相等，其构造方法是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是莱洛三角形，如图1.莱洛三角形在日常生活中有广泛的应用，如汽车发动机就有莱洛三角形，如图2，若图1中等边三角形的边长是2，则该莱洛三角形的周长是2π．第2课时圆锥的侧面积和全面积01 基础题知识点1 圆柱的侧面积与全面积1．圆柱形水桶底面周长为3.2π m ，高为0.6 m ，它的侧面积是(B)A ．1.536π m 2B ．1.92π m 2C ．0.96π m 2D ．2.56π m 22．(来宾中考)一个圆柱的底面直径为6 cm ，高为10 cm ，则这个圆柱的全面积是78πcm 2(结果保留π)．知识点2 圆锥的侧面积与全面积3．(无锡中考)已知圆锥的底面半径为4 cm ，母线长为6 cm ，则它的侧面展开图的面积等于(C)A ．24 cm 2B ．48 cm 2C ．24π cm 2D ．12π cm 24．(德阳中考)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，圆锥母线长为2，则圆锥的底面半径是(B)A.12B ．1 C. 2 D.325．(嘉兴中考)一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为(D)A ．1.5B ．2C ．2.5D ．36．(宁夏中考)如图，圆锥的底面半径r=3，高h=4，则圆锥的侧面积是(B)A ．12πB ．15πC ．24πD ．30π7．(齐齐哈尔中考)一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是(A) A ．120° B ．180°C ．240°D ．300°8．(孝感中考)若一个圆锥的底面圆半径为3 cm ，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是9cm.9．(广东中考)如图，把一个圆锥沿母线OA 剪开，展开后得到扇形AOC ，已知圆锥的高h 为12 cm ，OA=13 cm ，则扇形AOC 中AC ︵的长是10πcm.(结果保留π)10．(聊城中考)如图，已知圆锥的高为3，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥的侧面积为2π．11．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为12 cm ，弧长为12π cm 的扇形，求这个圆锥的侧面积及高．解：侧面积为：12×12×12π=72π(cm 2)．设底面半径为r ，则有2πr=12π，∴r=6 cm.由于高、母线、底面半径恰好构成直角三角形，根据勾股定理可得，高为122－62=63(cm)．易错点考虑不全面导致漏解12．(黄冈中考)已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为π或4π．02 中档题13．(杭州中考)如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=2，BC=1，把△ABC 分别绕直线AB 和BC 旋转一周，所得几何体的底面圆的周长分别记作l 1，l 2，侧面积分别记作S 1，S 2，则(A)A ．l 1∶l 2=1∶2，S 1∶S 2=1∶2B ．l 1∶l 2=1∶4，S 1∶S 2=1∶2C ．l 1∶l 2=1∶2，S 1∶S 2=1∶4D ．l 1∶l 2=1∶4，S 1∶S 2=1∶414．(绵阳中考)“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB=8 cm ，圆柱体部分的高BC=6 cm ，圆锥体部分的高CD=3 cm ，则这个陀螺的表面积是(C)A ．68π cm 2B ．74π cm 2C ．84π cm 2D ．100π cm 215．(十堰中考)如图，从一张腰长为60 cm ，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗)，则该圆锥的高为(D)A ．10 cmB ．15 cmC ．10 3 cmD ．20 2 cm16．(恩施中考)一个圆锥形漏斗，某同学用三角板测得其高度的尺寸如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为15πcm 2.17．(苏州中考)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，AC=3，∠BOC=2∠AOC.若用扇形OAC 围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是12．18．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=22，若把Rt △ABC 绕边AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为82π(结果保留π)．19．如图，有一直径是1米的圆形铁皮，圆心为O ，要从中剪出一个圆心角是120°的扇形ABC ，求：(1)被剪掉阴影部分的面积；(2)若用所留的扇形ABC 铁皮围成一个圆锥，该圆锥底面圆的半径是多少？解：(1)连接OA ，OB.由∠BAC=120°，可知AB=12米，点O 在扇形ABC 的BC ︵上． ∴扇形ABC 的面积为120360π×(12)2=π12(平方米)． ∴被剪掉阴影部分的面积为π×(12)2－π12=π6(平方米)． (2)由2πr=120180π×12，得r=16. 即圆锥底面圆的半径是16米． 03 综合题20．如图1，等腰三角形ABC 中，当顶角∠A 的大小确定时，它的邻边(即腰AB 或AC)与对边(即底边BC)的比值也就确定了，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)=∠A 的对边（底边）∠A 的邻边（腰）=BC AC，当∠A=60°时，如T(60°)=1. (1)理解巩固：T(90°)=2，T(120°)=3，T(A)的取值范围是0＜T(A)＜2；(2)学以致用：如图2，圆锥的母线长为18，底面直径PQ=14，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长．(精确到0.1，参考数据：T(140°)≈0.53，T(70°)≈0.87，T(35°)≈1.66)解：∵圆锥的底面直径PQ=14，∴圆锥的底面周长为14π，即侧面展开图扇形的弧长为14π.设扇形的圆心角为n°，则n×π×18180=14π，解得n=140.∵T(70°)≈0.87，∴蚂蚁爬行的最短路径长为0.87×18≈15.7.。

人教版九年级数学上册《24.4 弧长和扇形面积》练习题-附参考答案

人教版九年级数学上册《24.4 弧长和扇形面积》练习题-附参考答案一、选择题1．已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（）A．12πB．21πC．27πD．36π2．如图，⊙O的半径为3，AB为弦，若∠ABC=30°，则AC⌢的长为（）A．πB．1 C．1.5 D．1.5π3．如图，将边长为3的正方形铁丝框ABCD，变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ADB的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．3π4．如图，分别以等边三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若等边三角形边长为3cm，则该莱洛三角形的周长为（）A．2πB．9 C．3πD．6π5．如图，四边形OABC为菱形，∠AOC＝120°，点B、C在以点O为圆心的EF⌢上，若OA＝1，∠1＝∠2，则扇形OEF的面积为（）A．π6B．π4C．π3D．2π36．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点.以C为圆心，BC为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，BE为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为（）A．π−1B．π−3C．π−2D．4−π7．如图，四边形ABCD是半径为2的⊙O的内接四边形，连接OA，OC.若∠AOC：∠ABC=4：3，则AC⌢的长为（）A．35πB．45πC．65πD．85π8．如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，E恰为边BC的中点，AD＝4 √3则图中阴影部分的面积为（）A．18√3−8πB．18√3−4πC．24√3−8πD．12√6−6π二、填空题9．一个扇形的半径是3cm，圆心角是60°，则此扇形的面积是cm2．10．如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径，那么此扇形叫做“完美扇形”．已知某个“完美扇形”的周长等于6，那么这个扇形的面积等于．11．如图，半径为2的⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD的长为．12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，CD＝2√3，则阴影部分的面积为．⌢围成的图13．已知：如图，半圆O的直径AB＝12cm，点C，D是这个半圆的三等分点，则弦AC，AD和CD形（图中阴影部分）的面积S是.三、解答题14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，以B为圆心，BA为半径画弧交CB的延长线于点D，求弧AD的长15．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=2 √3 ，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．16．如图，内接于，交于点，交于点，交于点，连接，CF ．（1）求证：；（2）若的半径为，求的长结果保留．17．如图，已知AB 是O 的直径，点C 在O 上，D 为O 外一点，且90ADC ∠=︒ 2180B DAB ∠+∠=︒．(1)试说明：直线CD 为O 的切线；(2)若30,2B AD ∠=︒=求阴影部分的面积．1．C2．A3．C4．C5．C6．C7．D8．Aπ9．3210．2π11．8512．2π313．6πcm214．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1 ∴AB=2BC=2，∠ABC=90°-∠BAC=60°∴∠ABD=180°-∠ABC=120°∴弧AD=故答案为.15．（1）解：BC与⊙O相切．理由如下：连接OD．∵AD是∠BAC的平分线∴∠BAD=∠CAD．∴∠OAD=∠ODA∴∠CAD=∠ODA∴OD ∥AC∴∠ODB=∠C=90°即OD ⊥BC ．又∵BC 过半径OD 的外端点D∴BC 与⊙O 相切；（2）解：设OF=OD=x ，则OB=OF+BF=x+2．根据勾股定理得： OB 2=OD 2+BD 2 即（x +2）2=x 2+12 ，解得：x=2 即OD=OF=2∴OB=2+2=4．在Rt △ODB 中，∵OD= 12 OB∴∠B=30°∴∠DOB=60°∴S 扇形DOF = 60π×4360 = 2π3 ，则阴影部分的面积为S △ODB ﹣S 扇形DOF = 12×2×2√3−2π3 = 2√3−2π3 ．故阴影部分的面积为 2√3−2π3 ． 16．（1）证明：四边形是平行四边形．（2）解：连接由得∴的长． 17．（1）解：如图，连接OC OB OC =OCB B ∴∠=∠2AOC OCB B B ∴∠=∠+∠=∠2180B DAB ∠+∠=︒180AOC DAB ∴∠+∠=︒．OC AD ∴∥90ADC ∠=︒18090OCD ADC ∴∠=︒-∠=︒即CD OC ⊥，又OC 是O 的半径 ∴直线CD 为O 的切线．（2）如图，连接AC ，作OE BC ⊥，垂足为E ，则2BC BE = 30B ∠=︒260AOC B ∴∠=∠=︒OA OC =OAC ∴是等边三角形60OCA ∴∠=︒906030ACD ∴∠=︒-︒=︒ 12AD AC ∴= 2AD =4AC ∴=，即O 的半径为4 OE BC ⊥BE CE ∴=30,4B OB ∠=︒=2OE ∴=22224223BE OB OE ∴=-=-= 43BC ∴=1432BOC S BC OE ∴=⋅⋅=△ 30,B OB OC ∠=︒=120BOC ∴∠=︒2OBC 12041643433603OBC S S S ππ⨯⨯∴=-=-=-阴影扇△．。

弧长和扇形面积(练习2)

弧长和扇形面积（练习2）第1题. 如图10，扇形O D E 的圆心角为120 ，正三角形ABC 的中心恰好为扇形O D E 的圆心，且点B 在扇形O D E 内（１）请连接O A O B 、，并证明A O F B O G △≌△；（２）求证：A B C △与扇形O D E 重叠部分的面积等于A B C △面积的13．答案：（1）连结O A O B 、（如图） O 是正三角形ABC 的中心． O A O B ∴=．O A F O B ∠=∠．3601203AO B ∠==又120DOE ∠=A OB D O ∴∠=∠ A O B B O D D O E ∴∠-∠=∠-∠ 即A O F B O G ∠=∠故AO F BO G △≌△ （2）BO G BO F BG O F S S S =+ △△四边形而AO F BO G △≌△．有BOG AOF S S =△△ AO FB O FBGOF S S SS ∴=+=△△△四边形又O 是正三角形ABC 的中心． 13AOBAB CS S ∴=△△BG OFS ∴四边形13A B C S =△即A B C △与扇形O D E 重叠部分的面积等于A B C △面积的13．DAE第2题. 如图，两个半径为1，圆心角是90的扇形O A B 和扇形O A B '''叠放在一起，点O '在 AB 上，四边形OPO Q '是正方形，则阴影部分的面积等于．答案：12-π第3题. 下图是一纸杯，它的母线A C 和E F 延长后形成的立体图形是圆锥．该圆锥的侧面展开图形是扇形O A B ．经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm ，下底面直径为4cm ，母线长8E F =cm ．求扇形O A B 的圆心角及这个纸杯的表面积（面积计算结果用π表示）．答案：解：由题意可知：6AB =π， 4C D =π 设AOB n ∠=，A O R =，则8C O R =-由弧长公式得：6180n R =ππ，(8)4180n R -=ππ解方程组618041808nR nR n⨯=⎧⎨⨯=-⎩得4524n R =⎧⎨=⎩答：扇形O A B 的圆心角是45∵24R = 816R -= 1AA BB '(第2题图)Ｏ1624722OABS =⨯⨯=扇形ππ 7232O A B O CD S S S =-=-纸杯侧面积扇形扇形ππ 40=π224S =⋅=纸杯底面积ππ．40444S =+=纸杯表面积πππ．第4题. 半径为R 的圆弧 AB 的长为12R π，则AB 所对的圆心角为，弦A B 的长为．答案：90第5题. 半径为5的圆的弧长等于半径为2的圆的周长，则在半径为5的圆中，这条弧所对的圆心角的度数为．答案：144第6题. 在半径为4cm 的圆中，弧长为2cm 3π的弧所对的圆周角的度数为．答案：15第7题. 一个扇形的圆心角为30，半径为12cm ，则这个扇形的面积为．答案：212cm π第8题. 如图，1O 和2O 是半径为6的两个等圆，且互过圆心，则图中阴影部分的面积为．答案：24π-第9题. 如图，△ABC 内接于O ，4cm AB BC C A ===，则图中阴影部分的面积为．答案：216)93π-第10题. 如图，O A 是O 的半径，A B 是以O A 为直径的O ' 的弦，O B '的延长线交O 于C 点，且4O A =，45OAB ∠= ，则由 AB ，A C 和线段BC 所围成的图形（影阴部分）的面积是．答案：53π-第11题. 已知扇形的圆心角为60，半径为5，则扇形周长为（）Ａ．53πＢ．53π+10 Ｃ．56π Ｄ．5106π+答案：Ｂ第12题. 如果扇形的圆心角为150 ，半径是6，那么扇形的面积为（）Ａ．5π Ｂ．10π Ｃ．15π Ｄ．30π答案：Ｃ第13题. 如图，1O ，与2O 外切于点C ，M 与1O ，2O 都相内切，切点分别为A ，B ，1O 与2O 的半径均为2，M 的半径为6，求图中阴影部分的面积．答案：连结12O O ，1M O ，2M O 并延长，则1M O ，2M O 分别过点A ，B ．124O O = ，124O M O M ==，1212O O O M O M ∴==，122160M M O O M O O ∴∠=∠=∠=，12120AO C BO C ∴∠=∠=．12160112024423602236081063M O O M AB O AC S S S S 22⎛π⨯6π⨯2=--=-⨯⨯⨯-⨯ ⎝⎭π=π-=π-3 阴影扇形扇形第14题. 如图，正方形A B C D 的边长为2，分别以B ，D 为圆心，2为半径画弧，求图中阴影部分的面积．答案：2909022360360ABCD BAC DAC S S S S 22π⨯2π⨯2=+-=+-=π-4阴影正方形扇形扇形．Ｄ第15题. 如图，阴影部分是某一个广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别是20cm ，10cm ，120AOB ∠=，求这个广告标志的周长（精确到0.1cm ）．答案：设半径为20cm ，10cm 的圆弧长分别为1l 和2l ．124080(cm )180l π20π==3，224040(cm )180l π10π==3．广告标志的周长为128040(2010)240cm l l A C B D ππ+++=++-⨯=π+20≈145.6()33．第16题. 如图，1O 与2O 相外切于C 点，A B 切1O 于A 点，切2O 于B 点，21O O 的延长线交1O 于点D ，与B A 的延长线交于点P ．（1）求证：2221P O P C P AP O =；（2）若AB =，6cm P C =，求图中阴影部分的面积．答案：（1）连结1O A ，2O B ，B C ，A C ，则12O A O B ∥，12180AO C BO C ∴∠+∠=．11O A O C = ，11O AC O C A ∴∠=∠，同理22O CB O BC∠=．112212360()180O AC O C A O C B O BC AO C BO C ∠+∠+∠+∠=-∠+∠=，1290AC O BC O ∴∠+∠= ，90ACB ∴∠= ，90CAB CBA ∴∠+∠=，11C BA O AC O C A ∠=∠=∠．Ｐ又C PA BPC ∠=∠ ，∴△PAC ∽△P C B ，P C P B P AP C∴=，2PC PA PB = ．222PC PA PB PB PAPAPA∴==．12O A O B ∥，21PO PB PAPO ∴=，2221P O P C P AP O ∴=．（2）设P A x =，由2PC PA PB =，得(36x x +=，解得x =2PA PD PC =，226PAPD PC∴===，4C D ∴=，14PO =，11sin 2PA PO A PO ∠==160PO A ∴∠= ，1120AO C ∴∠= ，260B O C ∠=．1213AO PA BO PB==，26O B =，121221422(26)cm 233OA B O OA COB CS S S S =--=+⨯π-6π=π()阴影梯形扇形扇形第17题. 如图中的五个半圆，邻近的两个半圆相切，两只小虫以相同速度，同时从A 点到B 点，甲虫沿 1ADA ， 12A EA ， 23A FA ， 3A GB 路线爬行；乙虫沿A CB 路线爬行，则下列结论正确的是（）Ａ．甲先到达B 点Ｂ．乙先到达B 点Ｃ．甲、乙同时到达B 点Ｄ．无法确定答案：Ｃ第18题. 如图，正方形A B C D 的边长为2，以C D 为直径在正方形内画半圆，再以D 为圆心，2为半径画弧A C ，则图中阴影部分的面积为（）Ａ．π Ｂ．23π Ｃ．32π Ｄ．2πＤＥＦＧＣ1A2A3A答案：Ｄ第19题. 如图，半圆O 的弦A B 平行直径C D ，已知24AB =，半圆E F 与A B 相切，求圆中阴影部分的面积．答案：如图所示，将小半圆沿C D 平行移动，使其圆心与点O 重合，这样所求阴影部分的面积不变．设平移后，小圆与线段A B 相切于G 点，连O G ，O B ，O G A B ∴⊥，且11241222B G A B ==⨯=．在Rt △O BG 中，222212144OB OG GB -===．2222211112222S S S O B O G O B O G G B 1=-=π-π=π(-)=π=π⨯144=72π2阴影大半圆小半圆．第20题. 已知一圆的周长为8cm π，其圆周上一段弧长为3cm π，则该弧所对的圆周角为．答案：67.5第21题. 如果弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为r ，那么，弧长的计算公式为．答案：180n r l π=第22题. 如果设圆心角是n 的扇形面积为S ，圆的半径为r ，那么扇形的面积为．答案：2360n rS π=或12S lr =第23题. 圆心角为30 ，半径为R 的弧长为．答案：6R π第24题. 圆周长为6π，则60 圆心角所对应的弧长为．答案：π第25题. 在半径为1cm 的圆中，弧长为23π的弧所对应的圆周角为．答案：60第26题. 在O 中，如果120的圆心角所对应的弧长为43π，则O 的半径为．答案：2第27题. 如果O 的半径3cm ，其中一弧长2πcm ，则这弧所对的弦长为．答案：第28题. 圆心角是180 ，占整个周角的180360，因此它所对的弧长是圆周长的．答案：12第29题. 圆心角是n ，占整个周角的，因此它所对的弧长是圆周长的．答案：360n ，360n第30题. 扇形的面积为34cm 2，扇形所在圆的半径32cm ，求扇形的圆心角．答案：120。

人教版九年级数学上册第24章 24.4弧长和扇形面积专题练习(含答案)

人教版九年级数学上册第24章 24.4弧长和扇形面积专题练习（含答案）基础巩固1.⊙的内接多边形周长为3 ，⊙的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）AB． D2.如图已知扇形的半径为6cm ，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（）A ．B ．C ．D ．3.若一个圆锥的底面圆的周长是4πcm ，母线长是6cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是A ．40°B ．80°C ．120°D ．150°4.艳军中学学术报告厅门的上沿是圆弧形，这条弧所在圆的半径为1.8 米，所对的圆心角为100°，则弧长是米．(π≈3) 【参考答案】 1. C 2. D 3. C 4. 3O O 10AOB 120°24πcm 26πcm 29πcm 212πcm 120 BOA6cm能力提高一、选择题1.如图，已知的半径，，则所对的弧的长为（） A ．B ．C ．D ．2.将直径为60cm 的圆形铁皮，做成三个相同的圆锥容器的侧面（不浪费材料，不计接缝处的材料损耗），那么每个圆锥容器的底面半径为 ( )A ．10cmB ．30cmC ．40cmD ．300cm3.若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是（） A ．1.5B ．2C ．3D ．64.有30％圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40cm ，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为（）．A.9°B.18°C.63°D.72°5.已知圆锥的底面半径为5cm ，侧面积为65πcm 2，设圆锥的母线与高的夹角为θ（如图所示），则sin θ的值为（）A.B. C. D. O ⊙6OA =90AOB ∠=°AOB ∠AB 2π3π6π12π125135131013126.在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型．如图所示，它的底面半径高则这个圆锥漏斗的侧面积是（） A ． B ． C ． D ．二、填空题1.，圆心角等于450的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ，使点C 在OA上，点D .E 在OB 上，点F 在上，则阴影部分的面积为（结果保留） .2.如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为（结果保留）．3.将一块含30°角的三角尺绕较长直角边旋转一周得一圆锥，这个圆锥的高是3，则圆锥的侧面积是____.4.如图，三角板中，，，．三角板绕直角顶点逆时针旋转，当点的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，则点转过的路径长为．6cm OB =，8cm OC =．230cm 230cm π260cm π2120cm AB ππABC ︒=∠90ACB ︒=∠30B 6=BC C A 'A AB B 第2题图5.已知正六边形的边长为1cm ，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm （结果保留）．6.矩形ABCD的边AB =8，AD =6，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置时（如图所示），则顶点A 所经过的路线长是_________．7.已知在△ABC 中，AB=6，AC=8，∠A=90°，把Rt△ABC 绕直线AC 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为,把Rt△ABC 绕直线AB 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为，则：等于_________ 三、解答题1.如图，有一个圆O 和两个正六边形，．的6个顶点都在圆周上，的6条边都和圆O 相切（我们称，分别为圆O 的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设，的边长分别为，，圆O 的半径为，求及的值；（2）求正六边形，的面积比的值．π1111A B C D 1S 2S 1S 2S 1T 2T 1T 2T 1T 2T 1T 2T a b r a r :b r :1T 2T 21:S SB 'A CAB 第4题2.如图，圆心角都是90º的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连结AC ，BD ．（1）求证：AC=BD ；（2）若图中阴影部分的面积是，OA=2cm ，求OC 的长．3.如图，已知菱形的边长为，两点在扇形的上，求的长度及扇形的面积．2 43cm ABCD 1.5cm B C ，AEF ABCBCD AEF【参考答案】选择题 1. B 2. A3. C4. B5. A6. C 填空题 1.2. 3. 18π 4. 5. 6. 7. 2∶3 解答题1.解：（1）连接圆心O 和T 的6个顶点可得6个全等的正三角形 .所以r∶a=1∶1;连接圆心O 和T 相邻的两个顶点，得以圆O 半径为高的正三角形，所以r∶b=∶2;（2） T ∶T 的连长比是∶2，所以S ∶S = . 2. （1）证明：2385-π∏83π22ππ24123123124:3):(2=b a（2）根据题意得：；∴ 解得：OC ＝1cm ．3. 解：四边形是菱形且边长为1.5，．又两点在扇形的上，，是等边三角形．．的长（cm ）BDAC BOD AOC DO CO BO AB BOD AOC AODBOD AOD AOC COD AOB =⇒∆≅∆⇒⎪⎭⎪⎬⎫==∠=∠⇒∠+∠=∠+∠⇒∠∠ 900＝＝360)(9036090360902222OC OA OC OA S -=-=πππ阴影360)2(904322OC -=ππABCD 1.5AB BC ∴==B C 、AEF 1.5AB BC AC ∴===ABC ∴△60BAC ∴∠=°21805.160ππ=∙=ππ835.122121=∙∙==lR S ABC 扇形)(2cm。

24.4 弧长和扇形面积(共2课时)

24.4 弧长和扇形面积（共2课时）第一课时：弧长和扇形面积教学内容1．n °的圆心角所对的弧长L=180n Rπ 2．扇形的概念；3．圆心角为n °的扇形面积是S 扇形=2360n R π；4．应用以上内容解决一些具体题目．教学目标了解扇形的概念，理解n•°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长L=2180n R π和扇形面积S 扇=2360n R π的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．重点：n °的圆心角所对的弧长L=180n R π，扇形面积S 扇=2360n R π及其它们的应用．难点：两个公式的应用．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程．教学过程一、复习引入老师口问，学生口答 1．圆的周长公式是什么？ 2．圆的面积公式是什么？ 3．什么叫弧长？（1）圆的周长C=2πR （2）圆的面积S 图=πR 2（3）弧长就是圆的一部分．课件）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R ，则： 1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧． 2．1°的圆心角所对的弧长是_______． 3．2°的圆心角所对的弧长是_______． 4．4°的圆心角所对的弧长是_______． ……5．n °的圆心角所对的弧长是_______．我们可得到：n °的圆心角所对的弧长为180Rn l π=例1、已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。

说明：没有特别要求，结果保留π。

例2、课本111页例题课堂练习1、制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即 AB 的长（结果精确到0.1mm ）（幻灯片7）.c分析：要求 AB 的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．解：R=40mm ，n=110∴ AB 的长=180n R π=11040180π⨯≈76.8（mm ）因此，管道的展直长度约为76.8mm ．扇形的定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形是扇形。

2019-2020学年人教版九年级上学期同步讲练专题24-4：弧长和扇形面积

专题24.4弧长和扇形面积（讲练）一、知识点1.正多边形与圆2.弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l ＝180n r π；扇形的面积S ＝2360n r π＝12lr3.圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长. （2）计算公式：圆锥S 侧==πrl ，S=πr （l+r ）注：易与勾股定理联系，先求母线长，再求面积二、标准例题：例1：如图，在矩形ABCD 中有对角线AC 与BD 相等，已知AB=4,BC=3,则有AB 2+BC 2=AC 2,矩形在直线MN 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置……依次类推，则:(1)AC=__________.(2)这样连续旋转2019次后，顶点B 在整个旋转过程中所经过的路程之和是________.【答案】5 3028π【解析】（1）∵AB 2+BC 2=AC 2, AB=4,BC=3, ∴AC 2= 42+32=25, ∴AC=5；（2）转动一次B 的路线长是：0，转动第二次的路线长是：90331802π⨯=π，转动第三次的路线长是：90551802π⨯=π，转动第四次的路线长是：904180π⨯=2π，以此类推，每四次循环， 2019÷4=504余3，顶点B转动四次经过的路线长为：0+32π+52π+ 2π=6π,连续旋转2019次经过的路线长为：6π×504+0+32π+52π=3028π．故答案为：（1）5；（2）3028π．总结：本题考查弧长的计算、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．例2：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )A2π-B2π+C．πD．2π【答案】A【解析】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，tan∠A=3BCAB==，∴∠A=30°，∴OH=12AH=AO•cos∠32=，∠BOC=2∠A=60°，∴AD=2AH=3，∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=2601123222360π⨯⨯-⨯⨯-=42π-，故选A.总结：本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.例3：如图，点C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将OAC ∆沿AC 折叠，点O 恰好落在»AB 上的点D 处，且¼¼:1:3BD AD ''=（¼BD'表示»BD 的长），若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（）A ．1:3B ．1:πC ．1:4D ．2:9【答案】D【解析】解：连接OD 交AC 于M ．由折叠的知识可得：12OM OA =，90OMA ∠=︒， 30OAM ∴∠=︒， 60AOM ∴∠=︒，Q 且¼¼:1:3BD AD ''=，80AOB ∴∠=︒设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，802180lr ππ=， :2:9r l ∴=．故选：D．总结：本题考查的是扇形，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键.三、练习1．1．如图，已知在⊙O中，AF=6，AC是直径，AC⊥BD于F，图中阴影部分的面积是（）A．8233π-B．16233π-C．8433π-D．16433π-【答案】D【解析】解：∵AC是直径，AC⊥BD于F，∴BF=DF，¶·BC DC=，∴∠BAC=∠DAC，在RT△ABF中，2223BF AB AF=-=∴BD=2BF=43，连接OB、OD、BC，∵AC是直径，∴∠ABC=90°，∴BF2=AF•FC，即（2=6FC，∴FC=2，∴直径AC=AF+FC=6+2=8， ∴⊙O 的半径为4，∵AF=6，∴cosAF BAF AB ∠===∴∠BAF=30°， ∴∠BAD=60°， ∴∠BOD=120°， ∵OC=4，FC=2， ∴OF=2，∴=BOD S S S ∆-阴影扇形21204116236023ππ⨯=-⨯=-故选择：D.2．圆锥的底面半径是5cm ，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（）A ．B ．10cmC ．6cmD ．5cm【答案】A【解析】设圆锥的母线长为R ，根据题意得2π•5180180Rπ=，解得R ＝10．即圆锥的母线长为10cm ，=．3．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC ，BC ，AB 为直径作半圆，记三个半圆的弧长分别为m ，n ，l ，则下列各式成立的是（）A ．m +n ＜lB ．m +n ＝lC ．m 2+n 2＞l 2D ．m 2+n 2＝l 2【解析】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，m＝12×π×AC，n＝12×π×BC，1＝12×π×AB，∴m2＝14×π2×AC2，n2＝14×π2×BC2，12＝14×π2×AB2，∴m2+n2＝14×π2×（AC2+BC2）＝14×π2×AB2＝12，故选：D．4．一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )A．2πB．4πC．12πD．24π【答案】C【解析】S=2120612360ππ⨯⨯=，故选C．5．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点A通时针旋转40°后得到△ADE，点B经过的路径为»BD，则图中阴影部分的面积是（）A．23πB．43πC．4πD．条件不足，无法计算【答案】C【解析】解：由旋转的性质可知，S△ADE＝S△ABC，则阴影部分的面积＝S△ADE+S扇形DAB﹣S△ABC＝S扇形DAB＝2 40π6 360⨯＝4π，6．如图，在正方形ABCD 中，边长AB =1，将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转180°至正方形AB 1C 1D 1，则线段CD 扫过的面积为（）A ．4πB ．2π C ．πD ．2π【答案】B 【解析】解：∵将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转180°至正方形AB 1C 1D 1，∴CC 1∴线段CD 扫过的面积=12×2•π-12×π=12π，故选：B ．7．已知的扇形的圆心角为45︒，半径长为12，则该扇形的弧长为 A ．12π B ．3πC ．2πD ．34π【答案】B 【解析】根据弧长公式：l=4512180πg g =3π，8．一个圆锥形的圣诞帽高为 10cm ，母线长为 15cm ，则圣诞帽的表面积为（）A ． cm 2B ． cm 2C ． cm 2D ．π cm 2【答案】A【解析】解：高为10cm ，母线长为15cm ，由勾股定理得，底面半径cm ，底面周长，侧面面积=122．故选：A ．9．如图，扇形OAB 的圆心角为90°，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q 分别表示两个阴影部分的面积，那么P 和Q 的大小关系是（）A ．P ＞QB ．P ＜QC ．P ＝QD ．无法确定【答案】C【解析】设OA ＝a ，扇形OAB 的面积＝22903604a a ππ⨯=，以OA ，OB 为直径在扇形内作的半圆的面积＝221a a ()228ππ⨯⨯=P ＝扇形OAB 的面积﹣（以OA 为直径的半圆的面积+以OB 为直径的半圆的面积）+Q ＝2248a a ππ-×2+Q＝Q 故选C ．10．如图，圆锥的底面半径r ＝6，高h ＝8，则圆锥的侧面积是（）A ．15πB ．30πC ．45πD ．60π【答案】D【解析】解：圆锥的母线10l ===， ∴圆锥的侧面积10660ππ=⋅⋅=，故选：D ．11．如图，四边形ABCD 为矩形，以A 为圆心，AD 为半径的弧交AB 的延长线于点E ，连接BD ，若AD=2AB=4，则图中阴影部分的面积为______．【答案】434 【解析】解：BC 交弧DE 于F ，连接AF ，如图，AF=AD=4， ∵AD=2AB=4 ∴AB=2，在Rt △ABF 中，∵sin ∠AFB=24=12， ∴∠AFB=30°，∴∠BAF=60°，∠DAF=30°，∴图中阴影部分的面积=S扇形ADF+S△ABF-S△ABD=2304360π⋅⋅+1212×2×4=434．12．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_____cm2．（结果保留π）【答案】1 4π【解析】解：∵∠BOC＝60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′＝60°，△BCO≅△B′C′O，∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°，∴∠B′OB＝120°，∵AB＝2cm，∴OB＝1cm，OC′＝12，∴S扇形B′OB＝2120π1360⨯＝13π，S扇形C′OC＝1120π4360⨯＝π12，∵阴影部分面积＝S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC∴阴影部分面积＝S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC＝S扇形B′OB﹣S扇形C′OC＝13π﹣π12＝14π；故答案为：14π．13．如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120︒，点A与点B的距离为OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为______.【答案】43【解析】解：连接AB ，过O 作OM AB ⊥于M ，∵120AOB ∠=︒，OA OB =，∴30BAO ∠=︒，AM =∴2OA =， ∵24022180r ππ⨯=， ∴43r = 故答案是：43 14．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径2r cm =，扇形的圆心角120θ=o ，则该圆锥的母线长l 为___cm ．【答案】6.【解析】圆锥的底面周长224ππ=⨯=cm ，设圆锥的母线长为R ，则：1204180R ππ⨯=，解得6R =，故答案为：6．15．已知圆锥的底面半径是1_____度．【答案】90【解析】解：设圆锥的母线为a ，根据勾股定理得，a 4＝，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n ︒ ，根据题意得n 421180ππ⨯⨯＝，解得90n ＝，即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90︒．故答案为：90．16．如图，Rt ABC △中，90A ∠=︒，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，O 是BC 上一点，经过C 、D 两点的O e 分别交AC 、BC 于点E 、F ，AD =60ADC ∠=︒，则劣弧»CD的长为_______________【答案】43π 【解析】连接DF ，OD ，∵CF 是⊙O 的直径，∴∠CDF=90°，∵∠ADC=60°，∠A=90°，∴∠ACD=30°，∵CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，∴∠DCF=30°，∵OC=OD ，∴∠OCD=∠ODC=30°，∴∠COD=120°，在Rt △CAD 中，在Rt △FCD 中，CF=cos CD DCF∠=4， ∴⊙O 的半径=2， ∴劣弧»CD的长=1202180π⨯=43π，故答案为：43π． 17．将圆心角为216︒，半径为5cm 的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为_______cm ．【答案】4【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r ，根据题意得21652180r ππ⨯=，解得3r =，所以圆锥的高()4cm ==．故答案为4．18．如图所示，当半径为30cm 的转动轮转过120°角时，传送带上的物体A 平移的距离为多少厘米？(保留π)【答案】20πcm 【解析】12038001π⨯ =20πcm ．故答案为：20πcm ．19．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A （﹣3，4），B （﹣5，2），C （﹣2，1）．（1）画出△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 1；（2）画出将△ABC 绕原点O 逆时针方向旋转90°得到的△A 2B 2C 2；（3）求（2）中点C 运动的路径长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3【解析】（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求；（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求；（3）如图所示：=点C 运动的路径长为:14π⨯⨯=20．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S 1+S 2＝5，且AC+BC ＝6，求AB 的长．【答案】4AB =.【解析】Rt ABC ∆，∵222AC BC AB +=， ∴222444AC BC AB πππ⋅+⋅=⋅，即：AC BC AB S S S +=半圆半圆半圆，根据等式性质,两边都减去两个弓形面积,则12ABC S S S ∆+=，∵125S S +=， ∴152ABC S AC BC ∆=⋅=， ∴10AC BC ⋅=.∵6AC BC +=，∴()2222AC BC AC BC AC BC +-⋅=+2621016=-⨯=，即216AB =，∴4AB =.21．如图，AB 为O e 的直径，且AB =C 是¶AB 上的一动点(不与A ，B 重合)，过点B 作O e 的切线交AC 的延长线于点D ，点E 是BD 的中点，连接EC ．(1)求证：EC 是O e 的切线；(2)当30D ︒∠=时，求阴影部分面积．【答案】(1)证明见解析；(2)阴影部分面积为4π．【解析】(1)如图，连接BC ，OC ，OE ，Q AB 为O e 的直径，ACB 90∠︒∴=，在Rt ΔBDC 中，BE ED =Q ，DE EC BE ∴==，OC OB =Q ，OE OE =，()ΔOCE ΔOBE SSS ∴≅，OCE OBE ∠∠∴=，Q BD 是O e 的切线，ABD 90∠︒∴=，OCE ABD 90∠∠︒∴==，Q OC 为半径，∴EC 是O e 的切线；(2)OA OB =Q ，BE DE =，AD OE ∴P ，D OEB ∠∠∴=，D 30∠︒=Q ，OEB 30∠︒∴=，EOB 60∠︒=，BOC 120∠︒∴=，AB =QOB ∴=BE 6∴==．∴四边形OBEC的面积为ΔOBE 12S 262=⨯⨯⨯=， ∴阴影部分面积为(2OBEC BOC 120πS S 4π360⋅⨯-==四边形扇形．22．如图，等边三角形ABC 的边长为2，以A 为圆心，1为半径作圆分别交AB ，AC 边于D ，E ，再以点C 为圆心，CD 长为半径作圆交BC 边于F ，连接E ，F ，那么图中阴影部分的面积为________.【答案】31224π+- . 【解析】过A 作AM BC ⊥于M ，EN BC ⊥于N ，Q 等边三角形ABC 的边长为2，60BAC B ACB ∠=∠=∠=︒，222AM BC ∴===， 1AO AE ==Q ，,AD BD AE CE ∴==，12EN AM ∴==∴图中阴影部分的面积()ABC CEF BCD ADE DCF S S S S S ∆∆∆----扇形扇形＝122=⨯601360π⨯•12-⨯11303222360π⨯⎛⎫-⨯⨯ ⎪⎝⎭•3124π=，故答案为：3124π．。

人教版九年级数学上册作业课件第二十四章圆弧长和扇形面积第2课时圆锥的侧面积与全面积

7．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为12 cm，弧长为12π cm的扇形，求这个圆锥的侧面积及高．
解：侧面积为12 ×12×12π＝72π(cm2).设底面半径为 r cm，则有 2πr ＝12π，∴r＝6.由于高、母线、底面圆的半径恰好构成直角三角形，根据勾股定理可得，高 h＝ 122－62 ＝6 3 (cm)
知识点 2：圆锥的全面积 8．圆锥的底面半径为 4 cm，高为 5 cm，则它的表面积为( D ) A．12π cm2 B．26π cm2 C． 41 π cm2 D．(4 41 ＋16)π cm2
9．已知直角三角形 ABC 的一条直角边 AB＝12 cm，另一条直角边 BC ＝5 cm，则以 AB 为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是( A ) A．209π cm2 B．155π cm2 C．90π cm2 D．65π cm2
解：l＝2π×3＝nπ18×0 6 ，∴n＝180，∴圆锥侧面展开图是一个半圆，如图所示，∠BAP＝90°，AB＝6 m，AP＝3 m，∴BP＝3 5 m，∴小猫所经过的最短路程是 3 5 m
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第二十四章圆
24．4 弧长和扇形面积第2课时圆锥的侧面积与全面积
1．圆锥是由一个底面和一个__侧__面围成的几何体，连接圆锥_顶__点__和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．
练习1：一圆锥的母线长为5，高为4，则该圆锥底面圆的周长为_6_π__．
2．圆锥的侧面展开图是一个__扇__形，扇形的半径为圆锥的_母__线__长，扇形的弧长即为圆锥底面圆的_周__长__．圆锥的全面积等于底面积＋_侧__面__积__.
则圆锥的侧面积为12 π·AC2＝18π(cm2)
17．(2020·广东中考改编)如图，从一块半径为1 m的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，求该圆锥的底面圆的半径r.

24.4 弧长和扇形面积 (第2课时)九年级上册数学人教版

圆锥的侧面积计算公式的推导
1
（l为弧长，R
lR 为扇形的半径）
∵ S侧
2
又∵
1
S侧 2r l.
2
∴
l
侧
展开图
l
o
r
(r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 )
圆锥的全面积计算公式
面
素养考点 1
圆锥有关概念的计算
例1 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°、弧长为
20 的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长.
2
2
是 15πcm ，全面积是 24πcm ．
能力提升题
如图，已知圆锥的母线长AB=8cm，轴截面的顶角为60°，求
圆锥全面积.
解：∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形.
∴AB=BC=AC=8cm.
∴S侧=πrl=π×4×8=32π(cm2),
S底=πr2=π×4×4=16π(cm2),
∴=360°×

l
=288°
α
∴S=
πl2=2000π（cm2）
360°
解法二:
1
1
S= ×2πr·l= ×2π×40×50=2000π（cm2）.
2
2
解法三:
S=πr·
l= π×40×50=2000π （cm2）.
已知一个圆锥的底面半径为12cm，母线长为
20cm，则这个圆锥的侧面积为
2
384
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴AB=AC= 10
∴S扇形=
①
②
B
O
2.

90 10 2
360

24.4 弧长和扇形面积同步练习2024-2025学年九年级上册数学人教版

24.4 弧长和扇形面积同步练习2024-2025学年九年级上册数学人教版第一课时知识点一弧长的有关计算1. 在半径为1的⊙O 中, 120°的圆心角所对的弧长是 ( ) A.3π B. 3π- C. π D.2π 2. 在半径为2 的⊙O 中,AB 的长为2π,则AB 所对的圆心角为 ( ) A. 90° B. 45° C. 22.5° D. 180°3.“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图，分别以等边△ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”. 若等边△ABC 的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于 ( ) A. π B. 3π C. 2π D.2π−√34. 如图, 四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,⊙O 的半径为2,∠B=135°, 则 AĈ的长是( ) A. 2π B. π C. π/2 D. π/3 5. 如图, 在扇形AOB 中, ∠AOB=90°, 点 C 为OA 的中点, CD⊥OA 交 AB ̂于D, 若 BD ̂的长为 13π, 则⊙O 的半径为 .知识点二扇形面积的有关计算6. 如图, 在⊙O 中, OA=2,∠C=45°, 则图中阴影部分的面积是 .7. 如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC 外接圆的一部分，小正方形的边长为1，图中阴影部分的面积为 ( )A.52π−74 B.52π−72 C.54π−74 D.54π−72 8.(1) 在扇形AOB 中, ∠AOB =75∘,AB̂的长为2.5π, 则⊙O 的半径为 ;9. 如图, AB 是半圆O的直径, 以O为圆心, OC 长为半径的半圆交AB于C, D 两点, 弦AF 切小半圆于点E.已知OA=2, OC=1, 则图中阴影部分的面积是̂所在圆相切于点A, B. 若该10.如图是某款“不倒翁”及其轴截面图, PA, PB 分别与AMB̂的长是 cm.圆半径是18 cm,∠P=50°, 则AMB11. 如图, AB 为⊙O 的直径,点C 为⊙O上一点, CD⊥AD, AD 交⊙O 于E, AC 平分∠BAD.(1) 求证: CD 是⊙O 的切线;(2) 连CE, CE∥AB,AB=4,求图中阴影部分面积.12.如图, 在Rt△ABC 中,∠C=90°, AC=BC, 点O在AB 上, 以O为圆心, OA 为半径的半圆分别交AC, BC, AB 于点 D, E, F, 且点 E 是弧 DF 的中点.(1) 求证: BC 是⊙O 的切线;(2) 若CE=√2,求图中阴影部分的面积(结果保留π).̂的中点, D、E为圆上动点, 且 D、E关于AB 对13. 如图, AB 为⊙O 的直径, 点 C 为AB̂沿AD 翻折交AE 于点F, 使点C 恰好落在直径AB 上点C'处, 若⊙O 的周长为1称，将AD̂的长.0，求AF第二课时知识点一圆锥的展开图与扇形的关系1. 圆锥的母线长为13 cm，底面半径为5cm，则此圆锥的高线为 ( )A. 6 cmB. 8cmC. 10 cmD. 12 cm2. 在半径为50cm的圆形铁皮上剪出一块扇形铁皮，用剩余部分做一个底面直径为80cm，母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，则剪出的扇形的圆心角度数为 ( )A. 228°B. 144°C. 72°D. 36°3. 现有一个圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则该圆锥底面圆的半径为 ( )A. 4 cmB. 3cmC. 2cmD. 1 cm4. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为9，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的底面半径等于( ).A. 9B. 27C. 3D. 10知识点二圆锥的侧面积与全面积5. 已知圆锥的底面半径是3，高为4，则这个圆锥的侧面展开图的面积是 ( )A. 12πB. 15πC. 30πD. 24π6. 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径的比是 .7. 在长方形ABCD 中, AB=16, 如图所示裁出一个扇形ABE, 将扇形围成一个圆锥 (AB 和AE 重合)，则此圆锥的底面圆的半径为 ( )A. 4B. 6C. 4√2D. 88. 如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图，若∠AOB=120°， AB的长为12πcm, 求该圆锥的侧面积.9. 如图，一个圆锥的高为3√3 cm，侧面展开图是半圆.(1) 求∠BAC 的度数;(2) 求圆锥的侧面积(结果保留π).10. 若一个圆锥的侧面积是底面积的3 倍，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角为 ( )A. 60°B. 90°C. 120°D. 180°11. 如图, 用一个半径为30 cm, 面积为300πcm²的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥 (不计损耗)，则圆锥的底面半径r 为 ( )A. 5cmB. 10 cmC. 20cmD. 5πcm12. 如图，圆锥的底面半径为3cm，母线长为9cm，C 为母线PB 的中点，在圆锥的侧面上, 从A 到C 的最短距离是 cm.13. 如图,已知圆锥的母线AB 长为40cm, 底面半径OB 长为 10 cm, 若将绳子一端固定在点B，绕圆锥侧面一周，另一端与点B 重合，则这根绳子的最短长度是 cm.14. 如图，有一个直径为1m的圆形铁皮，圆心为O，要从中间剪去一个圆心角为120°的扇形ABC, 且BC经过点O.(1) 求被剪掉阴影部分的面积；(2) 若用所留的扇形ABC 铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面半径是多少?15. 如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1 cm的圆形，使之恰好围成如图2所示的一个圆锥，求圆锥的高.。

(含答案)九年级数学人教版上册课时练第24章《24.4 弧长和扇形面积》

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！课时练第24章圆24.4弧长和扇形面积一、选择题1．如图，在Rt ABC 中，90ACB Ð=°，AB =2BC =，以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧，交AB 于点D ，交AC 于点C ，以点B 为圆心，AC 的长为半径画弧，交AB 于点E ，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积为（）A ．8p -B ．4p -C ．24p-D ．14p-2．如图，AB 是O 的直径，4,AB C =为半圆AB 的中点，P 为弧AC 上一动点，连接PC 并延长，作BQ PC ^于点Q ，若点P 从点A 运动到点C ，则点Q 运动的路径长为（）A ．2B ．p C D ．43．如图，ABC 是等腰直角三角形，90ACB Ð=°，2AC BC ==，把ABC 绕点A 按顺时针方向旋转45°后得到AB C ¢¢△，则线段BC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（）A ．13p B ．12πC ．p D ．2p4．如图，O 内切于边长为2的正方形ABCD ，则图中阴影部分的面积是（）A ．12π4-B ．1π4C ．4π-D ．11π4-5．如图，正方形ABCD 的边长为8，以点A 为圆心，AD 为半径，画圆弧DE 得到扇形DAE （阴影部分，点E 在对角线AC 上）．若扇形DAE 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（）A ．B ．2CD ．16．如图，把直径为60cm 的圆形车轮（O ）在水平地面上沿直线l 无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P ，则下列说法错误的是（）A ．当点P 离地面最高时，圆心O 运动的路径的长为30cmp B ．当点P 再次回到最低点时，圆心O 运动的路径的长为60cmp C ．当点P 第一次到达距离地面15cm 的高度时，圆心O 运动的路径的长为7.5cmp D ．当点P 第二次到达距离地面30cm 的高度时，圆心O 运动的路径的长为45cmp 7．如图是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面展开图的圆心角的度数为（）A ．60°B ．90°C ．120°D ．135°8．如图所示，矩形纸片ABCD 中，6cm AD =，把它分割成正方形纸片ABFE 和矩形纸片EFCD 后，分别裁出扇形ABF 和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的底面和侧面，则圆锥的表面积为（）A ．24πcmB ．25πcmC ．26πcmD ．28πcm 9．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径6CA =，圆心角120ACB Ð=°，则此圆锥高OC 的长度是（）A ．2B ．C ．D ．10．如图，一张扇形纸片OAB ，∠AOB ＝120°，OA ＝6，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 重合，折痕为CD ，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（）A ．B ．12p -C ．D ．6p -二、填空题11．已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m ，半圆的直径为6m ，则圆心O 所经过的路线长是____________m ．（结果用π表示）12．如图，AC 的半圆O 的一条弦，将弧AC 沿弦AC 为折线折叠后过圆心O ，，则⊙O 的半径为___．13．如图，从一块半径是1m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是______m．14．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫、、都是格点，若图中扇形AOB是一个圆锥的侧面展开图，则该做格点，点O A B圆锥底面圆的半径为_______．15．如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画AC，点P为菱形内一点，连接P A，PB，PC．当BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为________．三、解答题16．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D、E．（1）求证：BD＝DC；（2）若∠BAC＝40°，AB＝AC＝8，求弧求的长．17．如图，点C ，D 是半圆O 上的三等分点，直径8AB =，连接AD ，AC ，作DE AB ^，垂足为E ，DE 交AC 于点F ．（1）求证：AF DF =．（2）求阴影部分的面积（结果保留p 和根号）18．如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，直线BO 与⊙O 交于点F 和点D ，OA 与⊙O 交于点E ，与DC 交于点G ，OA ＝OB ，CA ＝CB ．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若FC ∥OA ，CD ＝6，求图中阴影部分面积．19．如图，在正方形网格中，ABC 的4个顶点都在格点上，点A 、B 、C 的坐标分别为()2,4-、()2,0-、()4,1-，将ABC 绕着点A 逆时针旋转90°得到11ABC △．（1）画出11AB C △；（2）求点C 走过的路线长．20．如图，在直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为(3,3)，(4,0)，(0,2)，将ABC 绕着点C 顺时针旋转90°得11A B C ，其中点A 的对应点为点1A ．（1）请画出旋转后的11A B C ，并写出1A 的坐标；（2）求出在旋转过程中点A 所走过的路径长．（结果保留p ）21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ．以BC 为直径画圆O 分别交AB ，AC 于点D ，E ．（1）求证：BD ＝CE ；（2）当△ABC 中，∠B ＝70°且BC ＝12时，求DE 的长．22．如图，AB 为⊙O 的直径，且AB ＝4，点C 是弧AB 上的一动点（不与A ，B 重合），过点B 作⊙O 的切线交AC 的延长线于点D ，点E 是BD 的中点，连接EC ．（1）求证：EC 是⊙O 的切线；（2）当∠D ＝30°时，求图中阴影部分面积．23．如图1所示，在ABC 中，12AB AC ==，120CAB Ð=°，P 是BC 边上一点（不与B 、C 点重合），将线段AP 绕点A 逆时针旋转120°得到扇形P AQ ．@（1）求证：APB AQC（2）当BC与扇形P AQ相切时，求BQ的长；∥，求阴影部分的图形的周长．（结果不求近似值）（3）如图2，若AP CQ参考答案1．D 2．A 3．B 4．D 5．D 6．C 7．C 8．B 9．C 10．A11．（3π+50）50+3π）12．213．414．5415．23p 16．（1）连接BE ，AD ，∵AB 为直径，∴90ADB Ð=°，∴AD BC ^，又∵AB ＝AC ，∴AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝DC ；（2）连接OE ，∵∠BAC ＝40°，OA OE =，∴40OEA Ð=°，∴80BOE Ð=°，又∵AB ＝AC ＝8，∴4OB =，∴804161801809n r BC p p p ´´===．17．（1）证明：连接OD ，OC ，∵C 、D 是半圆O 上的三等分点，∴AD CD BC ==，度数都是60°，∴∠AOD =∠DOC =∠COB =60°，∴∠DAC =30°，∠CAB =30°，∵DE ⊥AB ，∴∠AEF =90°，∴∠ADE =180°-90°-30°-30°=30°，∴∠DAC =∠ADE =30°，∴AF =DF ；（2）解：由（1）知，∠AOD =60°，∵OA =OD ，AB =8，∴△AOD 是等边三角形，OA =4，∵DE ⊥AO ，OA =4，∠ADE =30°，∴AE =2，=∴S 阴影=S 扇形AOD -S △AOD =260418436023p p ×´-´´=-．18．（1）证明：连接OC ，∵OA ＝OB ，CA ＝CB ，∴OC ⊥AB ，∵OC 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线；（2）解：∵DF 是圆O 的直径，∴∠DCF ＝90°，∵FC ∥OA ，∴∠DGO ＝∠DCF ＝90°，∴DC ⊥OE ，∴DG ＝12CD ＝12×6＝3，∵OD ＝OC ，∴∠DOG ＝∠COG ，∵OA ＝OB ，AC ＝CB ，∴∠AOC ＝∠BOC ，∴∠DOE ＝∠AOC ＝∠BOC ＝13×180°＝60°，∠ODG ＝30°，∴OD=2OG ，在Rt △ODG 中，DG =，OG ，OD ＝，∴S 阴影＝S 扇形ODE ﹣S △DOG ＝260360p ×﹣12×3＝2π．19．解：（1）如图所示，11AB C △即为所求；（2）由题意得：190CAC Ð= ，AC ，∴1CC 的长A-；20．解：（1）如图，△A1B1C为所作，1(1,1)（2）CA=所以在旋转过程中点A．21．解：（1）证明：如图1，连接CD和BE，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠BCD＝∠CBE，∴BD CE=，∴BD＝CE．（2）解：如图2，连接OD、OE，∵AB＝AC，∠B＝70°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠DOC＝140°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE＝70°，∴∠COE＝40°，∴∠DOE＝100°，∵BC＝12，∴⊙O的半径为6，∴DE的长＝1006180p´＝103π．22．（1）证明：连接OC，OE，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵BE＝ED，∴DE＝EC＝BE，∵OC＝OB，OE＝OE，∴△OCE≌△OBE（SSS），∴∠OCE＝∠OBE，∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°，∴∠OCE＝∠ABD＝90°，∴OC ⊥CE ，∴EC 是⊙O 的切线；（2）∵OA ＝OB ，BE ＝DE ，∴AD ∥OE ，∴∠D ＝∠OEB ，∵∠D ＝30°，∴∠OEB ＝30°，∠EOB ＝60°，∴∠BOC ＝120°，∵AB ＝4，∴OB ＝2，∴BE．∴四边形OBEC 的面积为2S △OBE ＝2×12＝，∴阴影部分面积为S 四边形OBEC ﹣S 扇形BOC ＝﹣21202360p ×´＝﹣43p．23．解：（1）∵120CAB Ð=°，120PAQ Ð=°，∴CAB PAQ Ð=Ð，∵PAB CAB CAP Ð=Ð-Ð，CAQ PAQ CAP Ð=Ð-Ð，∴PAB CAQ Ð=Ð，在APB D 和AQC D 中，AB AC PAB QACAP AQ =ìïÐ=Ðíï=î∴APB AQC ≌ΔΔ（SAS ）；（2）如图所示，当BC 与扇形P AQ 相切时，P 为切点，则^AP BC 于P 点，∵120CAB Ð=°，AB AC =，∴30B ACB Ð=Ð=°，∵12AB =，∴6AP =，∵APB AQC ≌，∴60PAB CAQ Ð=Ð=°，AP AQ =，∴180QAB CAB CAQ Ð=Ð+Ð=°，∴12618BQ AB AQ =+=+=；（3）∵APB AQC ≌，∴30B ACQ Ð=Ð=°，CQ BP =，∵AP CQ ∥，∴60APB QCB ACQ ACB Ð=Ð=Ð+Ð=°，∴90PAB Ð=°，∴2BP AP =，∵12AB =，∴222AP AB BP +=，∴AP =，BP =，∴120ππ1803PQ =´=，∵30ACB PAC Ð=Ð=°，∴PC AP ==，∴阴部部分图形的周长为π3CQ PC PQ ++=+．。

【精品试卷】人教版数学九年级上册《24.4 弧长和扇形面积》练习

的圆弧与AE交于，则弧AH的弧长为( )
13
A.
6
13
π
B.
4
π
5
C.
3
π
5
D.
2
π
⏜
3.把一个弧长AC为10π cm的扇形AOC围成一个圆锥，测得母线OA = 13cm，则圆锥的
高ℎ为( )
A. 12cm
B. 10cm
C. 6cm
D. 5cm
4.如图，正方形ABCD的边长为8，以点为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形
∴ 由勾股定理得：ℎ = 12.
故选：.
根据扇形的弧长求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得高即可．
考查了圆锥的计算，解答该题的关键是了解圆锥的底面周长等于扇形的弧长，难度不
大．
4.【答案】D;
【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为，
根据题意可知：
AD = AE = 8，∠DAE = 45°，
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】解：设弧所在圆的半径为 cm，
135πr
由题意得， 180
= 2π × 3 × 5
，
解得， = 40.
故选：.
设出弧所在圆的半径，由于弧长等于半径为3cm的圆的周长的5倍，所以根据原题所给
出的等量关系，列出方程，解方程即可．
解决本题的关键是熟记圆周长的计算公式和弧长的计算公式，根据题意列出方程．
故选：.
从2：00到4：00，这根分针的尖走了2圈，根据圆的周长 = 2πr，计算即可．
此题主要考查弧长的计算，解答该题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问
题．
10.【答案】B;
阴影 = 2扇形 ‒ 正方形 = 2 ×

人教版九年级数学上册24.3---24.4同步复习题含答案

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯24.3 正多边形和圆一．选择题1．如图，⊙O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，则下列结论：①弧DF的度数为90°；②AE＝DF；③S正八边形ABCDEFGH＝AE•DF．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③2．如图，正方形ABCD和正三角形AEF内接于⊙O，DC、BC交EF于G、H，若正方形ABCD的边长是4，则GH的长度为（）A．2B．4﹣C．D．﹣3．如图，用若n个全等的正五边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则n的值为（）A．5B．6C．8D．104．下面说法正确的个数有（）①若m＞n，则ma2＞nb2；②由三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；③有两个角互余的三角形一定是直角三角形；④各边都相等的多边形是正多边形；⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个5．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（）A．60°B．36°C．76°D．72°6．正六边形的半径为，则该正六边形的边长是（）A．B．2C．3D．7．如图，以正六边形ABCDEF的对角线CF为边，再作一个正六边形CFGHMN，若AB＝，则EG的长为（）A．2B．2C．3D．28．圆内接正十边形的外角和为（）A．180°B．360°C．720°D．1440°9．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O 均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（）A．△AED B．△ABD C．△BCD D．△ACD10．如图，△ABD是⊙O的内接正三角形，四边形ACEF是⊙O的内接正四边形，若线段BC恰是⊙O的一个内接正n边形的一条边，则n＝（）A．16B．12C．10D．811．如图，⊙O与正六边形OABCDE的边OA，OE分别交于点F，G，点M为劣弧FG的中点．若FM＝4．则点O到FM的距离是（）A．4B．C．D．12．如图，将边长相等的正方形、正五边形、正六边形纸板，按如图方式放在桌面上，则∠a的度数是（）A．42°B．40°C．36°D．32°13．如图，若干相同正五边形排成环状．图中已经排好前3个五边形，还需（）个五边形完成这一圆环．A．6B．7C．8D．914．已知圆的内接正六边形的面积为18，则该圆的半径等于（）A．3B．2C．D．15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（）A．45°B．36°C．35°D．30°二．填空题16．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的圆，则B、E两点间的距离为．17．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是．18．若一个正方形的半径是3，则这个正方形的边长是．19．中心角为36°的正多边形边数为．20．一个半径为4cm的圆内接正六边形的面积等于cm2．21．如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE边长是6，则它的外接圆心P的坐标是．22．正六边形的边长为2，则边心距为．23．同一个圆中内接正三角形、内接正四边形、内接正六边形的边长之比为．24．如图，将边长为20的正方形剪去四个角，得到一个正八边形ABCDEFGH，那么这个正八形的边长为．（≈1.41，结果保留一位小数）25．圆内接正五边形中，每个外角的度数＝度．三．解答题26．中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．27．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．28．如图，实线部分是由正方形，正五边形和正六边形叠放在一起形成的，其中正方形和正六边形的边长相同，求图中∠MON的度数．29．七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图1，等边三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM＝AN，连接BN、CM，发现BN＝CM，且∠NOC＝60°，试说明：∠NOC＝60°（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、DM，那么∠DON＝度，并说明理由．（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM＝BN，连接AN、EM，那么AN＝，且∠EON＝度．（正n边形内角和（n﹣2）×180°，正多边形各内角相等）30．如图，以△ABC的一边AC为直径的⊙O交AB边于点D，E是⊙O上一点，连接DE，∠E＝∠B．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若∠E＝45°，AC＝4，求⊙O的内接正四边形的边长．参考答案一．选择题1．D．2．A．3．B．4．A．5．D．6．A．7．C．8．B．9．D．10．B．11．C．12．A．13．B．14．B．15．B．二．填空题16．10．17．A．18．3．19．10．20．24．21．（3，3）．22．．23．：：1．24．8.2．25．72．三．解答题26．（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝F A，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，在△ABP和△DEQ中，，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB，∴四边形PEQB为平行四边形．（2）解：连接BE、OA，则∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：则∠EAF＝∠AEF＝30°，∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：同法可知∠BFE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，∴AE＝＝6，∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6＝36；∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×矩形ABDE的面积＝6××36＝54，∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比＝．27．（1）证明：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∵OB＝2，∴OD＝1，∴等边△ABC的边心距为1．28．解：由正方形、正五边形和正六边形的性质得，∠AOM＝108°，∠OBC＝120°，∠NBC＝90°，∴∠AOB＝×120°＝60°，∠MOB＝108°﹣60°＝48°，∴∠OBN＝360°﹣120°﹣90°＝150°，∴∠NOB＝×（180°﹣150°）＝15°，∴∠MON＝33°．29．（1）证明：∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC，在△ABN和△BCM中，，∴△ABN≌△BCM（SAS），∴∠ABN＝∠BCM，又∵∠ABN+∠OBC＝60°，∴∠BCM+∠OBC＝60°，∴∠NOC＝60°；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAM＝∠ABN＝90°，AD＝AB，又∵AM＝BN，∴△ABN≌△DAM（SAS），∴AN＝DM，∠ADM＝∠BAN，又∵∠ADM+∠AMD＝90°，∴∠BAN+∠AMD＝90°∴∠AOM＝90°；即∠DON＝90°；（3）解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠A＝∠B，AB＝AE，又∵AM＝BN，∴△ABN≌△EAM（SAS），∴AN＝ME，∴∠AEM＝∠BAN，∴∠NOE＝∠NAE+∠AEM＝∠NAE+∠BAN＝∠BAE＝108°．故答案为：90°，EM，108°．30．解：（1）证明：连接CD，∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∵∠E＝∠ACD，∠E＝∠B．∴∠ACD＝∠B，∴∠ACD+∠CAD＝∠B+∠CAD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴BC是⊙O的切线；（2）如图，连接OD、CE，若∠E＝45°，则∠AOD＝90°，∵AC＝4，∴OA＝OD＝2，∴AD ＝2．∴⊙O 的内接正四边形的边长为AD 的长为2．24.4 弧长和扇形面积一、选择题1. 2019·湖州已知圆锥的底面半径为5 cm ，母线长为13 cm ，则这个圆锥的侧面积是( )A ．60π cm2B ．65π cm2C ．120π cm2D ．130π cm22.如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与⊙O 相切于点C ，D .若AC ＝BD ＝4，∠A ＝45°，则CD ︵的长度为( )A．π B．2π C．2 2π D．4π3. 在半径为6 cm 的圆中，长为2π cm 的弧所对的圆周角的度数为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4. 用圆心角为120°，半径为6 cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是( )A. 2 cm B ．3 2 cm C ．4 2 cm D ．4 cm5. 如图，一段公路的转弯处是一段圆弧(AB ︵)，则AB ︵的展直长度为( )A ．3π mB ．6π mC ．9π mD ．12π m6. 如图0，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则图中阴影部分的面积为( )A ．4πB ．2πC ．π D.2π37. 如图，点I 为△ABC 的内心，AB ＝4，AC ＝3，BC ＝2，将∠ACB 平移使其顶点与点I 重合，则图中阴影部分的周长为( )A ．4.5B ．4C ．3D ．28. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°.曲线CDEF…叫做“等腰直角三角形的渐开线”，其中CD ︵，DE ︵，EF ︵，…的圆心依次按A ，B ，C ，…循环．如果AC ＝1，那么曲线CDEF 和线段CF 围成图的面积为( )图A .（12＋72）4πB .（9＋52）4πC .（12＋72）π＋24D .（9＋52）π＋249. 如图，在△AOC 中，OA ＝3 cm ，OC ＝1 cm ，将△AOC 绕点O 顺时针旋转90°后得到△BOD ，则AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( )A.π2cm2 B ．2π cm2C.17π8 cm2D.19π8cm210. 2017·衢州运用图变化的方法研究下列问题：如图AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝6，EF＝8，则图阴影部分的面积是( )图A.252πB．10πC．24＋4πD．24＋5π二、填空题11. 如图，已知⊙O 的半径为4，∠A ＝45°，若一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC 能完全重合，则该圆锥底面圆的半径为________．12.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB＝123，OP＝6，则劣弧AB ︵的长为________．(结果保留π)13. (2019•贺州)已知圆锥的底面半径是1，高是15，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是__________度．14. 2018·烟台如图，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，M 为AF 的中点，以点O 为圆心，OM 长为半径画弧得到扇形MON ，点N 在BC 上；以点E 为圆心，DE 长为半径画弧得到扇形DEF .将扇形MON 的两条半径OM ，ON 重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r 1；将扇形DEF 以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r 2，则r 1∶r 2＝________.15. 如图，将四边形ABCD 绕顶点A 顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置．若AB ＝16 cm ，则图中阴影部分的面积为________．16.如图在边长为3的正方形ABCD中，以点A为圆心，2为半径作圆弧EF，以点D为圆心，3为半径作圆弧AC.若图阴影部分的面积分别为S 1，S 2，则S 1－S 2＝________．17. 如图中的小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”(阴影部分)图案的面积为________．18. 一个圆锥形漏斗，某同学用三角尺测得其高度的尺寸(单位：cm)如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为________cm2.三、解答题19. 如图所示的粮囤可以看成是圆柱体与圆锥体的组合体，已知其底面圆的半径为6 m，高为4 m，下方圆柱的高为3 m.(1)求该粮囤的容积；(2)求上方圆锥的侧面积(计算结果保留根号).20. 已知扇形的圆心角为120°，面积为300π cm2.(1)求扇形的弧长；(2)若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的体积是多少？21. 一个圆锥的高为3 3，侧面展开图半圆，求：(1)圆锥的母线长与底面圆半径的比；(2)圆锥的全面积．22. 如图，点A ，B ，C ，D 均在圆上，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠BAD ＝120°，四边形ABCD的周长为15. (1)求此圆的半径； (2)求图中阴影部分的面积．人教版九年级数学 24.4 弧长和扇形面积课后训练-答案一、选择题1. 【答案】B [解析] ∵r ＝5 cm ，l ＝13 cm ，∴S 圆锥侧＝πrl ＝π×5×13＝65π(cm2)．故选B.2. 【答案】B3. 【答案】A [解析] 设长为2π cm 的弧所对的圆心角的度数为n°，则nπR 180＝2π，解得n＝60.∴这条弧所对的圆心角是60°，即所对的圆周角是30°.故选A.4. 【答案】C [解析] 设纸帽底面圆的半径为r cm ，则2πr ＝120×π×6180，解得r ＝2.设圆锥的高为h cm ，由勾股定理得h2＋r2＝62，所以h2＋22＝62，解得h ＝42.5. 【答案】B [解析] AB ︵的展直长度＝108π·10180＝6π(m)．故选B.6. 【答案】D [解析] 如图，连接OD.∵CD ⊥AB ，∴CE ＝DE ＝3，∠CEO ＝∠DEO ＝90°. 又∵OE ＝OE ， ∴△COE ≌△DOE ，故S △COE ＝S △DOE ，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积． ∵∠CDB ＝30°，∴∠COB ＝60°， ∴∠OCD ＝30°，∴OE ＝12OC.在Rt △COE 中，CE ＝3，由勾股定理可得OC ＝2， ∴OD ＝2.∵△COE ≌△DOE ，∴∠DOE ＝∠COE ＝60°，∴S 扇形OBD ＝60π·22360＝23π，即阴影部分的面积为2π3.故选D.7. 【答案】B [解析] 设CA ，CB 平移后分别交AB 于点M ，N ，连接AI ，BI.由平移可知AC∥MI ，∴∠CAI ＝∠AIM.∵∠CAI ＝∠BAI ，∴∠BAI ＝∠AIM ，∴AM ＝MI.同理BN ＝NI.∴△MNI 的周长＝MI ＋NI ＋MN ＝AM ＋BN ＋MN ＝AB ＝4.故选B.8. 【答案】C [解析] 曲线CDEF 和线段CF 围成的图是由三个圆心不同，半径不同的扇形以及△ABC 组成的，所以根据面积公式可得135π×1＋135π×（2＋1）2＋90π×（2＋2）2360＋12×1×1＝（12＋7 2）π＋24.9. 【答案】B [解析] 如图，AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积即阴影部分的面积．S阴影＝S △OCA ＋S 扇形OAB －S 扇形OCD －S △ODB.由旋转知△OCA ≌△ODB ，∴S △OCA ＝S △ODB ，∴S 阴影＝S 扇形OAB －S 扇形OCD ＝90π×32360－90π×12360＝2π(cm2)．故选B.10. 【答案】A [解析] 如图作直径CG ，连接OD ，OE ，OF ，DG .∵CG 是⊙O 的直径，∴∠CDG ＝90°，则DG ＝CG 2－CD 2＝8. 又∵EF ＝8，∴DG ＝EF ， ∴DG ︵＝EF ︵， ∴S 扇形ODG ＝S 扇形OEF .∵AB ∥CD ∥EF ，∴S △OCD ＝S △ACD ，S △OEF ＝S △AEF ，∴S 阴影＝S 扇形OCD ＋S 扇形OEF ＝S 扇形OCD ＋S 扇形ODG ＝S 半圆＝12π×52＝252π.二、填空题11. 【答案】1 [解析] ∵∠A ＝45°，∴∠BOC ＝2∠A ＝90.设该圆锥底面圆的半径为r ，则有2πr ＝90π×4180，解得r ＝1.12.【答案】8π 【解析】∵AB是小圆的切线，∴OP⊥AB，∴AP＝12AB＝63.如解图，连接OA，OB，∵OA＝OB，∴∠AOB＝2∠AOP.在Rt △AOP中，OA＝OP 2＋AP 2＝12，tan ∠AOP＝APOP ＝636＝3，∴∠AOP＝60°.∴∠AOB＝120°，∴劣弧AB的长为120π·12180＝8π.13. 【答案】90 【解析】设圆锥的母线为a ，根据勾股定理得，a=4，设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n ︒，根据题意得π42π1180n ⨯⨯=，解得90n =，即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90︒．故答案为：90．14. 【答案】3∶2 [解析] 如图连接OA ，OB ，OF .∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴OA ＝OF ，∠AOF ＝∠AOB ＝60°，∠E ＝120°.∵M 为AF 的中点，∴∠AOM ＝30°.由题意，得ON ＝OM .易证△BON ≌△AOM ，∴∠BON ＝∠AOM ＝30°，∴∠MON ＝120°.设AM ＝a ，则AB ＝OA ＝2a ，OM ＝3a ，∴扇形MON 的弧长为120×π×3a 180＝2 33πa ，则r 1＝33a . 同理可得，扇形DEF 的弧长为120×π×2a 180＝43πa ，则r 2＝23a ，∴r 1∶r 2＝3∶2.15. 【答案】32π cm2 [解析] 由旋转的性质得∠BAB′＝45°，四边形AB′C′D′≌四边形ABCD ，则图中阴影部分的面积＝四边形ABCD 的面积＋扇形ABB′的面积－四边形AB′C′D′的面积＝扇形ABB′的面积＝45π×162360＝32π(cm2)．16. 【答案】13π4－9 [解析] ∵S 正方形ABCD ＝3×3＝9，S 扇形DAC ＝9π4，S 扇形AEF ＝π，∴S 1－S 2＝S 扇形AEF －(S 正方形ABCD －S 扇形DAC )＝π－⎝⎛⎭⎪⎫9－9π4＝13π4－9.17. 【答案】2π－4 [解析] 如图所示，由题意，得阴影部分的面积＝2(S 扇形OAB －S △OAB)＝2(90π×22360－12×2×2)＝2π－4. 故答案为2π－4.18. 【答案】15π三、解答题19. 【答案】解：(1)容积V ＝π×62×3＋13×π×62×(4－3)＝108π＋12π＝120π(m3)．答：该粮囤的容积为120π m3.(2)圆锥的母线长l ＝62＋12＝37(m)，所以圆锥的侧面积S ＝π×6×37＝637π(m2)．20. 【答案】解：(1)设扇形的半径为r cm.由题意，得120π×r2360＝300π，解得r ＝30， ∴扇形的弧长＝120π×30180＝20π(cm)． (2)设圆锥的底面圆的半径为x cm ，则2π·x ＝20π，解得x ＝10， ∴圆锥的高＝302－102＝202(cm)， ∴圆锥的体积＝13·π·102·20 2＝ 2000 23π(cm3)．21. 【答案】解：(1)设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r ，根据题意得2πr ＝180πl 180，所以l ＝2r ，即圆锥的母线长与底面圆半径的比为2∶1.(2)因为r 2＋(3 3)2＝l 2，即r 2＋(3 3)2＝4r 2，解得r ＝3(负值已舍去)，所以l ＝6，所以圆锥的全面积＝π·32＋12·2π·3·6＝27π.22. 【答案】解：(1)∵AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，∴∠ABC ＝60°，∠ADB ＝∠DBC.又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠DBC ＝∠ADB ＝30°，∴AB ︵＝AD ︵＝DC ︵，∠BCD ＝60°，∴AB ＝AD ＝DC ，∠BDC ＝90°，∴BC 是圆的直径，BC ＝2DC ，∴BC ＋32BC ＝15，解得BC ＝6，∴此圆的半径为3.(2)设BC 的中点为O ，由(1)可知点O 为圆心，连接OA ，OD. ∵∠ABD ＝30°，∴∠AOD ＝60°.根据“同底等高的三角形的面积相等”可得S △ABD ＝S △OAD ， ∴S 阴影＝S 扇形OAD ＝60×π×32360＝32π.。

24.4 弧长和扇形公式(第二课时)(教学设计)九年级数学上册同步备课系列(人教版)

24.4 弧长和扇形公式（第二课时）教学设计一、内容和内容解析1.内容本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十四章“圆”24.4 弧长和扇形公式（第二课时），内容包括：圆锥的侧面积.2.内容解析圆锥的侧面展开图是平面图形与空间几何体相互转换的教学内容，是培养学生空间想象能力和动手操作能力的重要内容.由于圆锥的侧面展开图是一个扇形，因此，利用弧长和扇形面积公式，可通过计算它的展开图的面积求得圆锥的侧面积，进而可以求出其全面积.结合圆锥侧面积和全面积的学习，有助于培养学生的空间想象能力.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：计算圆锥的侧面积和全面积.二、目标和目标解析1.目标1)理解圆锥的相关概念.2)理解圆锥侧面积的计算公式，并会运用公式解决问题.2.目标解析达成目标1）的标志是：理解圆锥、圆锥的高、圆锥的母线、圆锥的侧面积、圆锥的全面积等概念.达成目标2）的标志是：理解圆锥侧面积的计算公式，并会运用公式解决问题.三、教学问题诊断分析本节课学习圆锥的侧面积和全面积，是弧长和扇形面积公式的应用，在研究圆锥侧面展开图时，需要学生具备一定的空间观念，能认识立体图形与平面图形之间的联系，并利用这种关系进行分析，这对学生来说是一个难点.本节课的教学难点是：圆锥侧面积公式的推导.四、教学过程设计（一）探究新知【问题一】观察下面几何体，你发现了什么？师生活动：教师提出问题，学生通过观察图形发现以上几何体都是由一个底面和一个侧面围成的几何体．从而教师给出圆锥、母线、圆锥的高的概念.【设计意图】理解圆锥、母线、圆锥的高的概念【问题二】观察下图，你觉得圆锥的高与底面、底面圆心有什么关系？师生活动：学生通过观察图形发现：圆锥的高通过底面的圆心，并垂直于底面.【问题三】圆锥的母线有多少条？你发现了什么？师生活动：学生通过观察图形发现：圆锥的母线有无数条，它们的长都相等.【问题四】圆锥的底面圆半径r、高h、母线l三者之间有什么关系呢？师生活动：先由学生通过观察图形给出自己的见解，再由教师引导与总结得出：圆锥的母线l、圆锥的高h、圆锥底面圆半径r恰好构成一个直角三角形，所以圆锥可以看做是一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周所构成的图形，满足l2=h2+r2，利用这一关系，已知任意两个量，可以求出第三个量.【设计意图】让学生理解圆锥的母线l、圆锥的高h、圆锥底面圆半径r恰好构成一个直角三角形，满足l2=h2+r2.【问题五】将一个扇形纸片的两条半径重合，所围成的几何体是_____________.师生活动：学生通过动手操作，给出答案（圆锥体）.【问题六】圆锥体展开后是什么样子的呢？师生活动：学生根据本节课所学，可以得出：圆锥体展开图由一个扇形（圆锥的侧面）和一个圆（圆锥的底面）组成.【问题七】展开的扇形弧长和底面圆之间有什么关系呢？师生活动：学生根据本节课所学，可以得出：扇形的弧长=底面圆的周长.【问题八】圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？师生活动：学生根据本节课所学，可以得出：扇形的半径与圆锥中的母线相等.【问题九】如何计算圆锥的侧面积？l×2πr= πr l(r表示圆锥底面的半径，l表示圆锥的母线长)师生活动：S扇形= 12【设计意图】让学生理解圆锥侧面积计算公式的推导过程.（二）典例分析与针对训练例1 已知圆锥的底面半径为5 cm，母线长为13 cm，则这个圆锥的侧面积是___________cm2【针对训练】1. 已知圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，则圆锥的侧面积是________cm2.2. 已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15π cm2，则这个圆锥的底面圆半径为_____cm.3. 圆锥的底面半径是5cm，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是（）A．5 √3cm B．10cm C．6cm D．5cm4. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（）A．120° B．180°C．240°D．300°5. 如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是（）A．10π B．15πC．20πD．30π6. 如图，聪聪用一张半径为6cm、圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥，则这个圆锥的高为（）A．4√2cm B．2√2cm C．2√3cm D．√3cm7.若把一个半径为12cm，圆心角为120°的扇形做成圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是_______，圆锥的高是__________，侧面积是____________．【设计意图】利用圆锥侧面积公式进行计算.（三）探究新知【问题十】如何计算圆锥的表面积？师生活动：学生根据本节课所学，可以得出：S表=S扇+S底=πr l+πr2 .【设计意图】让学生掌握圆锥表面积的计算方法.（四）典例分析与针对训练例2 蒙古包可以近似地看成由圆锥和圆柱组成的.如果想用毛毡搭建20个底面积为12m2，高为3.2 m，外围高1.8m的蒙古包，至少需要多少m2的毛毡？(π取3.142，结果取整数).【针对训练】1. 如图，蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2，圆柱高为3m，圆锥高为2m的蒙古包，则需要毛毡的面积是（）A．(30+5√29)πm2B．40πm2C．(30+5√21)πm2D．55πm22. 用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示．(1)求圆锥的高；(2)求所需铁皮的面积S（结果保留π）．3. 如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm），电镀时，如果每平方米用锌0.11kg，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？【设计意图】考查学生对计算圆锥表面积方法的掌握情况.（五）直击中考1．（2023·山东东营中考真题）如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（）A．3B．4C．5D．6⏜的长为（）2．（2023·湖南中考真题）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中AA′A．4πB．6πC．8πD．16π3．（2023·浙江宁波中考真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为50cm，则烟囱帽的侧面积为cm2．（结果保留π）4．（2023·四川内江中考真题）如图，用圆心角为120°半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的高是．5．（2023·湖南娄底中考真题）如图，在△ABC中，AC=3，AB=4，BC边上的高AD=2，将△ABC绕着BC所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为．【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考的内容，进一步了解考点.（六）归纳小结1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？2.简述圆锥的相关概念？3.简述与圆锥面积计算的相关公式？（七）布置作业P114：练习第1题，第2题P115：习题24.4 第5题，第9题五、教学反思。

弧长和扇形的面积练习题

弧长和扇形的面积练习题扇形是圆的一部分，通过圆心和圆上两点，构成了一个扇形区域。

在几何学中，我们经常需要计算扇形的弧长和面积。

下面是一些弧长和扇形面积的练习题，帮助你熟练掌握这两个概念的计算方法。

练习题1：已知一个扇形的半径 r 为 5 cm，中心角度 m 为 60°。

计算这个扇形的弧长和面积。

解答1：扇形的弧长可以通过以下公式计算：弧长= (m/360) × 2πr将已知值代入公式，我们得到：弧长= (60/360) × 2π × 5 = (1/6) × 2π × 5 = (1/6)× 10π = 5π ≈ 15.71 cm （保留两位小数）扇形的面积可以通过以下公式计算：面积= (m/360) × πr²将已知值代入公式，我们得到：面积= (60/360) × π × 5² = (1/6) × π × 25 = (1/6) × 25π ≈ 13.09 cm²（保留两位小数）练习题2：已知一个扇形的半径 r 为 8 cm，弧长为 12 cm。

计算这个扇形的中心角度和面积。

解答2：扇形的中心角度可以通过以下公式计算：m = (弧长 / 弧长对应的圆周长) × 360°首先，我们计算弧长对应的圆周长。

圆周长即为2πr。

弧长对应的圆周长 = (弧长 / 扇形圆周长) × 2πr将已知值代入公式，我们得到：弧长对应的圆周长 = (12 / 扇形圆周长) × 2π × 8扇形的面积可以通过以下公式计算：面积= (m/360) × πr²将已知值代入公式，我们得到：面积 = (中心角度/ 360) × π × 8²练习题3：已知一个扇形的面积为 28 cm²，半径为 6 cm。

圆(基础练)-2020-2021学年九年级数学上册十分钟同步课堂专练

24.4弧长和扇形面积（基础练）1．如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．2π【答案】D【解析】【分析】先求出六边形的内角和，再根据扇形的面积公式即可得．【详解】设六边形的六个角的度数分别为123456,,,,,x x x x x x则123456180(62)720x x x x x x +++++=︒⨯-=︒ 由扇形的面积公式得：222222356124111111360360360360360360x x x x x x S ππππππ⋅⨯⋅⨯⋅⨯⋅⨯⋅⨯⋅⨯=+++++︒︒︒︒︒︒阴影 123456()360x x x x x x π=+++++︒720360π=⨯︒︒2π=故选：D ．【点评】本题考查了六边形的内角和、扇形的面积公式，掌握内角和公式和扇形的面积公式是解题关键． 2．半径为3cm ，圆心角为120°的扇形的面积为（）A．6πcm2B．5πcm2C．4πcm2D．3πcm2【答案】D【解析】【分析】扇形面积公式为：nπr2360，代入求值即可．【详解】利用面积公式可得120π×9360=3πcm2．故选D．【点评】本题主要考查了学生的扇形面积公式．3．如图，两个同心圆的半径分别为1和2，120AOB∠=︒，则阴影部分面积是_______.【答案】π【解析】【分析】阴影部分的面积=大扇形-小扇形，所以依面积公式计算即可．【详解】阴影部分的面积=() 12041360π⨯-=π．【点评】根据扇形面积公式计算即可．4．如图，圆心角AOB∠=_______.圆O的面积是_______，扇形OAB的面积为_______.【答案】90° 4π π【解析】【分析】根据图形可知圆心角是直角，利用圆的面积公式可求出圆的面积，扇形OAB 是14圆，从而可得出结论.【详解】由所给图形可知，圆心角AOB ∠是直角，所以AOB ∠=90°；因为圆O 的半径为2，所以圆的面积为：S=πr 2=π×22=4π；因为扇形OAB 是14圆，所以扇形OAB 的面积为：14×4π=π. 故答案为：90°，4π，π.【点评】此题主要考查了对圆的认识，掌握圆的面积计算公式：S=πr 2是解此题的关键.5．如图，已知扇形AOB 的半径为2，圆心角为90︒，连接AB ，则图中阴影部分的面积是________.【答案】π-2.【解析】【分析】由∠AOB 为90°，得到∠OAB 为等腰直角三角形，于是OA=OB ，而S 阴影部分=S 扇形OAB -S ∠OAB ．然后根据扇形和直角三角形的面积公式计算即可．【详解】解：S 阴影部分=S 扇形OAB -S ∠OAB =2902360π⨯⨯−12×2×2 =π-2故答案为π-2.【点评】本题考查了扇形面积的计算，是属于基础性的题目的一个组合，只要记住公式即可正确解出．关键是从图中可以看出阴影部分的面积是扇形的面积减去直角三角形的面积．6．用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r ()cm 的扇形，设扇形的面积为y ()2cm，求扇形的面积y 与它的半径r 之间的函数解析式.这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围.【答案】y 是r 的二次函数，其中020r <<.【解析】【分析】根据题意和扇形的面积公式将扇形的面积y 与它的半径r 之间的关系式表示出来即可.【详解】由题意，得弧长为()402r -cm ，则()21402202y r r r r =-⋅=-+. 04020r r >⎧⎨->⎩解得020r << 故y 是r 的二次函数，其中020r <<.【点评】本题主要考查扇形面积公式及二次函数的应用，掌握扇形的面积公式是解题的关键.7．小明和小亮去野炊，带了一顶简易帐篷，帐篷收起来时伞面的长度是4m ，撑开后帐篷高2m ，求帐篷撑好后的占地面积.【答案】212m π【解析】【分析】根据题意可知圆锥的母线长为4米，高2米和地面半径构成直角三角形，利用勾股定理求出底面半径，再求出底面面积.【详解】解：在Rt AOB ∆中，因为90AOB ︒∠=，所以222OA OB AB +=.所以222224212OB AB OA =-=-=.所以OB =.所以22212(m )n S OB πππ=⋅=⨯=.故帐篷撑好后的占地面积为212m π【点评】主要考查了圆锥的特点．解此题的关键是要知道圆锥的母线，高和地面半径构成直角三角形，利用勾股定理求出底面半径，再求出底面面积，是一个常用的方法．8．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，4CA CB ==，分别以点A ，B ，C 为圆心，以12AC 为半径画弧，三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是多少？【答案】82π-【解析】【分析】由于三条弧所对的圆心角的和为180°，根据扇形的面积公式可计算出三个扇形的面积和，而三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积=S ∠ABC -三个扇形的面积和，再利用三角形的面积公式计算出S ∠ABC =12×4×4=8，然后代入即可得到答案．【详解】∠∠C=90°，CA=CB=4， ∠12AC=2，S ∠ABC =12×4×4=8， ∠三条弧所对的圆心角的和为180°，三个扇形的面积和=12×π×22=2π，∠三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积=S ∠ABC -三个扇形的面积和=8-2π．故答案为8-2π．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，得出阴影部分的面积=S ∠ABC -三个扇形的面积和是解题关键． 9．如图，正方形ABCD 的边长为1，依次以A ，B ，C ，D 为圆心，以AD ，BE ，CF ，DG 为半径画扇形，求阴影部分的面积.【答案】152π 【解析】【分析】由图可知,扇形的半径分别为1，2，3，4，圆心角为90°,再由四分之一圆的面积公式即可得出结论.【详解】解：222211111151234(14916)444442S ππππππ=⨯+⨯+⨯+⨯=+++=阴影【点评】本题考查了扇形面积的计算,解决本题的关键是要弄清每个扇形与圆的面积关系.10．如图所示，当半径为30cm 的转动轮转过120°角时，传送带上的物体A 平移的距离为多少厘米？(保留π)【答案】20πcm【解析】【分析】传送带上的物体A 平移的距离为半径为30cm 的转动轮转过120°角的扇形的弧长，根据弧长公式可得．【详解】12038001π⨯ =20πcm ．故答案为：20πcm ．【点评】此题考查弧长的计算，解题关键在于掌握运算公式.11．如图，OA ，OD 是∠O 半径．过A 作∠O 的切线，交∠AOD 的平分线于点C ，连接CD ，延长AO 交∠O 于点E ，交CD 的延长线于点B ．(1)求证：直线CD 是∠O 的切线；(2)如果D 点是BC 的中点，∠O 的半径为 3cm ，求DE 的长度．(结果保留π)【答案】（1）证明见解析；（2）DE 的长度为π.【解析】【分析】【详解】（1）证明：∠AC 是∠O 切线，∠OA∠AC ，∠∠OAC=90°，∠CO 平分∠AOD ，∠∠AOC=∠COD ，在∠AOC 和∠DOC 中，∠∠AOC∠∠DOC，∠∠ODC=∠OAC=90°，∠OD∠CD，∠直线CD是∠O的切线．（2）∠OD∠BC，DC=DB，∠OC=OB，∠∠OCD=∠B=∠ACO，∠∠B+∠ACB=90°，∠∠B=30°，∠DOE=60°，∠DE的长度=π．。

人教版九年级上册数学同步练习《弧长和扇形面积》(习题+答案)

24.4 弧长和扇形面积内容提要1.在半径为r 的圆中，n ︒的圆心角所对的弧长为l ，扇形面积为S ，则有（1）2360180n n rl r ππ=⋅=；（2）2213603602n n r S r lr ππ=⋅==.2.圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长.3.圆锥的全面积是侧面扇形面积与底面圆的面积之和. 24.4.1 弧长和扇形面积基础训练1．在半径为9cm 的圆中，60︒的圆心角所对的弧长为cm. 2.若一个扇形的弧长为43π，半径为6，则此扇形的面积为.3.已知扇形的圆心角为150︒，它所对的弧长为20πcm ，则扇形的半径为cm ，扇形的面积是2cm .4.已知扇形的弧长是2πcm ，半径为12cm ，则这个扇形的圆心角（） A ．60︒B ．45︒C ．30︒D ．20︒5．如图，一块边长为10cm 的正方形木板ABCD 在水平桌面上绕点D 按顺时针方向旋转到'''A B C D 的位置时，顶点B 从开始到结束所经过的路径长为（）A ．20cmB ．202cmC ．10πcmD ．52πcm6．如图所示，扇形AOB 的圆心角为120︒，半径为2，则图中阴影部分的面积为（） A ．433πB ．4233π-C ．433π D ．43π7．如图，正方形ABCD中，分别以B，D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，求树叶图案的周长与面积.8.如图，在O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，BC=cm.∠=︒，弦6OC，30ADB（1）求BC的长度；（2）求图中阴影部分的面积.24.4.2圆锥的侧面积和全面积基础训练1.已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为，全面积是.2.已知圆锥的母线长是10cm，侧面展开图的面积是2π，则这个圆锥的底面半径是60cmcm.3.小明要用圆心角为120︒，半径是27cm的扇形纸片卷成一个圆锥形纸帽，做成后这个纸帽的底面直径为cm（不计接缝部分，材料不剩余）.4.若一个圆锥的底面积为4πcm ，高为42cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（） A ．40︒B ．80︒C ．120︒D ．150︒5．如果一个圆锥的主观图是正三角形，则其侧面展开图的圆心角为（） A ．120︒B ．156︒C ．180︒D ．208︒6．在ABC ∆中，90C ∠=︒，12AC =，5BC =，现在以AC 为轴旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的表面积为（） A ．130πB ．90πC ．25πD ．65π7．如果圆锥的底面圆的半径是8，母线的长是15，求这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数.8.如图，从直径为4cm 的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90︒的扇形OAB ，且点O ，A ，B 在圆周上，把它围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径.能力提高1．如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.已知正三角形的边长为1，由凸轮的周长等于.2.如图，一根5m 长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A （羊只能在草地上活动），那么小羊A 在草地上的最大活动区域面积（） A ．21712m π B ．2176m π C ．2254m π D ．27712m π3．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF 长为10cm.母线()OE OF 长为10cm ，在母线OF 上的点A 处有一块爆米花残渣，且2FA =cm ，一只蚂蚁从杯口的点E 处沿圆锥表面爬行到A 点，则此蚂蚁爬行的最短距离为cm.4.如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60︒的扇形ABC .那么剪下的扇形ABC （阴影部分）的面积为；用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径r =.5.如图，四边形ABCD 是菱形，60A ∠=︒，2AB =，扇形BEF 的半径为2，圆心角为60︒，则图中阴影部分的面积是（） A ．233π B ．233πC ．3πD ．3π6．若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线l 与底面半径r 的关系是（） A ．2l r =B ．3l r =C ．l r =D ．32l r =7．如图，矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，边CD 在直线l 上，将矩形ABCD 沿直线l 作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点1A的位置时，（1）画出点A经过的路线；（2）求出点A经过的路线长为多少？8.如图，P，C是以AB为直径的半圆O上的两点，10AB=，CP的长为52π，连接PB交AC于点M，线段MC与弦BC的长度相等吗？为什么？9.如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，4AC=，2BC=，分别以AC，BC为直径画半圆，求图中阴影部分的面积（结果保留π）.10.如图，已知O 的半径为4，CD 是O 的直径，AC 为O 的弦，B 为CD 的延长线上的一点，30ABC ∠=︒，且AB AC =. （1）求证：AB 为O 的切线；（2）求弦AC 的长；（3）求图中阴影部分的面积.内容提要1.如图，正三角形ABC 的边长为1cm ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转120︒至1AP ，形成扇形1D ；将线段1BP 绕点B 顺时针旋转120︒至2BP ，形成扇形2D ；将线段2CP 绕点C 顺时针旋转120︒至3CP ，形成扇形3D ；将线段3AP 绕点A 顺时针旋转120︒至4AP ，形成扇形1D ……设n l 为扇形n D 的弧长()1,2,3,n =，回答下列问题：（1）按照要求填表：n1 2 3 4 n l（2n n D （设地球赤道半径为6400km ）？2.在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面，他们首先设计了如图所示的方案二.（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切.方案一中扇形的弧与正方形的两边相切.）（1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若要行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由.数学应用应用1当四边形ABCD的四个内角满足时，则过A，B，C，D四点能作一个圆.应用2如图，点M，N，C在O上，点A在O外，点B在O内，则A∠∠，B∠，MCN 三个角的大小关系是.应用3已知四边形ABCD，过顶点A，B，C三点作O.①若180∠+∠=︒，则点D在O.B D②若180∠+∠>︒，则点D在O.B D③若180B D∠+∠<︒，则点D在O.整理归纳1.在学习本章内容时，注意结合课本知识和生活周围的一些实例，以加深相关概念的认识，如：圆、圆周角、三角形的内心和外心、圆锥侧面展开图等.2.圆的轴对称性和旋转对称性是理解圆中各类性质与定理的基础，要学会用对称性来分析和解决问题.3.在解决与本章内容有关的问题时，转化思想有着广泛的应用.如：可以将判定点和圆、直线和圆的位置关系等转化为实数大小的比较问题；利用圆心角、弦、弧的关系将角、线段、弧线之间的等量关系进行转化；将不规则图形的计算转化成规则图形的计算等.4.学习中注意前后知识之间的联系，及与其他章节知识的联系，形成综合运用知识的能力.如：利用圆周角和圆心角的关系，寻找（或构造）直角三角形，利用直角三角形的相关知识解决问题；根据圆锥的侧面展开图是扇形的特点，利用扇形的相关计算公式解决问题.5.注意分类讨论，避免答案不全.如：探索圆周角和圆心角的关系时分三种情况；两圆相切时，有内切和外切两种情形等.数学实践圆在凸多边形上无滑动滚动时圆心运动轨迹的研究广州一中实验学校初三实验2班梁家瑜指导老师罗小颖在一次测验中，有下面一道题：半径为R的圆在边长为a的正三角形的边上无滑动滚动一周，求圆心所经过的路程长为多少？当时，我忽略了圆在三角形的角上运动时圆心运动轨迹的特点，所以没有做对，该题答案是圆心运动所经过的路程的长等于等边三角形的周长与圆的周长的和.于是我猜想，圆在一般的三角形中无滑动滚动有没有特殊规律呢？为此我对圆在三角形上无滑动滚动时圆心的运动轨迹作了探讨.1.圆在三角形的边上无滑动滚动时，圆心轨迹如图1.圆心所经过的路程的长为IH ID DE EF FG GH +++++，其中四边形IACH ，DEBA ，FBCG 为矩形，所以IH CA =，DE AB =，GF BC =，3609090180IAD CAB CAB ∠=︒-︒-︒-∠=︒-∠， 3609090180HCG ACB ACB ∠=︒-︒-︒-∠=︒-∠，3609090180FBE ABC ABC ∠=︒-︒-︒-∠=︒-∠.设圆的半径为R ，根据弧长定理得1802360BAC ID R π︒-∠=⋅︒，1802360ABC EF R π︒-∠=⋅︒，1802360ACBHG R π︒-∠=⋅︒.所以()2180180180360RID EF HG BAC ACB ABC π++=⋅︒-∠+︒-∠+︒-∠︒. 因为180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒，所以()21801801801802360RID EF HG R ππ++=⋅︒+︒+︒-︒=︒. 由此可以发现，三段弧的长度之和恰好等于圆的周长.所以圆在三角形ABC 边上无滑动滚动时，圆心的运动轨迹的长度为AB AC BC C +++圆.因为AB BC CA C ++=三角形，设圆心轨迹长度为S ，则有S C C =+圆　三角形. 因此圆在一般三角形上的无滑动滚动时，圆心所经过的路程的长也符合圆在等边三角形边上无滑动滚动的规律，既然如此，那么圆在一般四边形中无滑动滚动又有什么规律呢？2.圆在四边形的边上无滑动滚动时，圆心轨迹如图2.圆心所经过的路程的长为EF FG GH HI IJ JK KL LE +++++++.3609090180KDJ CDA CDA ∠=︒-︒-︒-∠=︒-∠， 3609090180LAE DAB DAB ∠=︒-︒-︒-∠=︒-∠， 3609090180FBG ABC ABC ∠=︒-︒-︒-∠=︒-∠， 3609090180ICH BCD BCD ∠=︒-︒-︒-∠=︒-∠.设圆的半径为R ，根据弧长定理得1802360ABC FG R π︒-∠=⋅︒，1802360BCDHI R π︒-∠=⋅︒，1802360CDA JK R π︒-∠=⋅︒，1802360DABLE R π︒-∠=⋅︒，所以FG HI JK LE +++()2180180180180360RABC BCD CDA DAB π=⋅︒-∠+︒-∠+︒-∠+︒-∠︒. 而360ABC BCD CDA DAB ∠+∠+∠+∠=︒，所以()27203602360RFG HI JK LE R ππ+++=⋅︒-︒=︒. 由此可发现，四段弧的长度之和恰好也等于圆的周长，而AB BC CD DA +++为四边形ABCD 的周长.设圆心运动的距离为S ，则有S C C =+圆　四边形. 3.圆在凸多边形上无滑动滚动的研究既然三角形、四边形圆心运动路程分别为S C C =+圆三角形，S C C =+圆四边形，那么n 边形有什么规律呢？观察前面，不难发现，圆心作直线运动时圆心所走的线段与多边形的边长是平行且相等的，是矩形的对边，由此我们可以得到圆心轨迹中的直的线段之和等于多边形的周长，而圆心所走的总长为线段总长的弧长总长之和.设现有一个n 边形，且这个n 边形的内角为1∠，2∠，…，n ∠.那么n 段弧分别为18012360R π︒-∠⋅︒，18022360R π︒-∠⋅︒，…，1802360n R π︒-∠⋅︒. 设圆弧总长为L ，相加得()218018018012360R L n π=⋅︒+︒++︒-∠-∠--∠︒因为n 边形内角和为()()18023n n ︒⋅-≥，所以代入得()21801802360R L n n π=⋅︒⋅-︒⋅-⎡⎤⎣⎦︒ ()21802360R n n π=⋅︒⋅-+⎡⎤⎣⎦︒ ()218022360R R ππ=⋅︒⋅=︒. 因此弧长之和为2R π，即圆的周长.设圆心运动距离为S ，则有S =弧长之和+多边形周长，即S C C =+圆多边形.因此，当圆在凸多边形边上无滑动滚动时，圆心运动所经过的路程的长度等于圆的周长与凸多边形的周长之和.学业评价24.4 参考答案：24.4.1 弧长和扇形面积基础训练1．3π 2．4π 3．24 240π 4．C 5．D 6．A 7．周长：a π，面积：2212a a π- 8．（1）43cm π （2）2(433)cm π- 24.4.2 圆锥的侧面积和全面积基础训练1．12π 16π 2．6 3．18 4．C 5．C 6．B 7．192︒ 8．2 能力提高1．π 2．D 3．241 4．2π 3 5．B 6．A 7．（1）如图（2）6π8．MC BC =（提示：90C ∠=︒，45PBC ∠=︒） 9．542π- 10．（1）图（2）43 （3）8433π+拓展探究 1．（1）123l π=，243l π=，363l π=，483l π=．（2）6400640000000km cm =，由226400000003n ππ=⨯，91.9210n =⨯． 2．（1）因为扇形的弧长902168360ππ︒=⨯⨯=︒，圆锥底面周长2r π=，所以圆的半径为4cm ．由于所给正方形纸片的对角线长为2cm ，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为1642(202)cm ++=+，2042162+>（2）方案二可行．设圆锥底面圆的半径为r cm ，圆锥的母线长为R cm ，则(12)162r R ++=①，224R r ππ=②．由②得4R r =，代入①得(5r +=，所以r ==，所以R = 数学应用应用1 180A C ∠+∠=︒或180B D ∠+∠=︒ 应用2 A MCN B ∠<∠<∠ 应用3 ①上②内 ③外。

人教版九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积课后训练(含答案)

人教版九年级数学 24.4 弧长和扇形面积课后训练一、选择题 1. 120°的圆心角所对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是( ) A . 3 B . 4 C . 9 D . 182. 如图，▱ABCD 中，∠B=70°，BC=6.以AD 为直径的☉O 交CD 于点E ，则的长为 ( )A .πB .πC .πD .π3. 如图AB 为半圆O 的直径，AB ＝4，C ，D 为AB ︵上两点，且AC ︵＝15BD ︵.若∠CED ＝52∠COD ，则BD ︵的长为( )图A.59πB.78πC.89πD.109π4. (2019•遵义)圆锥的底面半径是5 cm ，侧面展开图的圆心角是180°，圆锥的高是A ．53cmB ．10 cmC ．6 cmD ．5 cm5. (2019•温州)若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为A ．3π2B ．2πC ．3πD ．6π6. 如图，C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将△OAC 沿AC 折叠，点O 恰好落在AB ︵上的点D 处，且BD ︵l ∶AD ︵l ＝1∶3(BD ︵l 表示BD ︵的长)．若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为( )A ．1∶3B ．1∶πC ．1∶4D ．2∶97. (2019•南充)如图，在半径为6的⊙O 中，点A ，B ，C 都在⊙O 上，四边形OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为A ．6πB ．33C ．3D ．2π8. 如图在扇形OAB 中，∠AOB ＝150°，AC ＝AO ＝6，D 为AC 的中点，当弦AC沿AB ︵运动时，点D 所经过的路径长为( )图A ．3πB.3πC.32 3πD ．4π二、填空题9. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 的夹角为120°，AB 长为30厘米，则BC ︵的长为________厘米(结果保留π)．10. 如图，现有一张圆心角为108°，半径为40 cm的扇形纸片，小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面圆半径为10 cm的圆锥形纸帽(接缝处忽略不计)，则剪去的扇形纸片的圆心角θ为________．11. 已知一个圆心角为270°，半径为3 m的扇形工件未搬动前如图示，A，B两点触地放置，搬动时，先将扇形以点B为圆心，做如图示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A，B两点再次触地时停止，则圆心O所经过的路线长为________m．(结果用含π的式子表示)12. 一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为________．13. (2019•贵港)如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120 ，点A与点B 的距离为23，若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为__________．14. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 2.若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为________．(结果保留π)15. 如图，已知A ，B ，C 为⊙O 上的三个点，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝120°，点P 从点A 出发，沿AMB ︵向点B 运动，连接CP 与弦AB 相交于点D ，当△ACD 为直角三角形时，AMP ︵的长为________．三、解答题16. 如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 是半圆O 的三等分点，过点C 作AD 延长线的垂线CE ，垂足为E .(1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为2，求图中阴影部分的面积．17. (2019•襄阳)如图，点E 是ABC △的内心，AE 的延长线和ABC △的外接圆圆O相交于点D ，过D 作直线DG BC ∥． (1)求证：DG 是圆O 的切线；(2)若6DE =，BC =，求优弧BAC 的长．18. (2019•辽阳)如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的延长线于点C，使EAC EDA∠=∠．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若23CE AE==，求阴影部分的面积．人教版九年级数学24.4 弧长和扇形面积课后训练-答案一、选择题1. 【答案】C【解析】由扇形的弧长公式l＝nπr180可得：6π＝120π·r180，解得r＝9.2. 【答案】B[解析]如图，连接OE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6，∠D=∠B=70°，∴OD=3.∵OD=OE，∴∠OED=∠D=70°，∴∠DOE=40°.∴的长==π.3. 【答案】D4. 【答案】A【解析】设圆锥的母线长为R，根据题意得2π·5180π180R=，解得R=10．即圆锥的母线长为10 cm，∴圆锥的高为：22105-=53cm．故选A．5. 【答案】C【解析】该扇形的弧长=90π63π180⨯=．故选C．6. 【答案】D7. 【答案】A【解析】如图，连接OB，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=OC，∴AB=OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵OC∥AB，∴S△AOB=S△ABC，∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB=60π366π360⋅⨯=，故选A．8. 【答案】C[解析] 如图∵D为AC的中点，AC＝AO＝6，∴OD ⊥AC ，∴AD ＝12AC ＝12AO ， ∴∠AOD ＝30°，OD ＝3 3. 作BF ＝AC ，E 为BF 的中点．同理可得∠BOE ＝30°， ∴∠DOE ＝150°－60°＝90°，∴点D 所经过的路径长为n πR 180＝90π×3 3180＝3 32π.二、填空题9. 【答案】20π【解析】由弧长公式得，l BC ︵的长＝120π×30180＝20π.10. 【答案】18°11. 【答案】6π[解析] 由题意易知∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，∴∠ABO ＝45°，圆心O 旋转的长度为2×45π×3180＝3π2(m)，圆心O 平移的距离为270π×3180＝9π2(m)，则圆心O 经过的路线长为3π2＋9π2＝6π(m)．12. 【答案】12π13. 【答案】43【解析】如图，连接AB ，过O 作OM AB ⊥于M ，∵120AOB ∠=︒，OA OB =，∴30BAO ∠=︒，3AM =2OA =， ∵240π22π180r ⨯=，∴43r =，故答案为：43．14. 【答案】82π [解析] 过点C 作CD ⊥AB 于点D .在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2 2， ∴AB ＝2AC ＝4，∴CD ＝2. 以CD 为半径的圆的周长是4π.故Rt △ABC 绕直线AB 旋转一周所得几何体的表面积是2×12×4π×2 2＝8 2π.15. 【答案】43π或2π [解析] 易得⊙O 的半径为2，∠A ＝30°.要使△ACD 为直角三角形，分两种情况：①当点P 位于AMB ︵的中点时，∠ADC ＝90°，△ACD 为直角三角形，此时∠ACP ＝60°，可得∠AOP ＝120°，所以AMP ︵的长为120π×2180＝43π；②当∠ACP ＝90°时，△ACD 为直角三角形，此时∠AOP ＝180°，所以AMP ︵的长为180π×2180＝2π.综上可得，AMP ︵的长为43π或2π.三、解答题16. 【答案】解：(1)证明：连接OC . ∵C ，D 为半圆O 的三等分点， ∴AD ︵＝CD ︵＝BC ︵， ∴∠DAC ＝∠BAC . ∵OA ＝OC ， ∴∠BAC ＝∠ACO ， ∴∠DAC ＝∠ACO ， ∴OC ∥AD . ∵CE ⊥AD ，∴CE ⊥OC ，∴CE 为⊙O 的切线． (2)连接OD . ∵AD ︵＝CD ︵＝BC ︵，∴∠AOD ＝∠COD ＝∠BOC ＝13×180°＝60°. 又∵OC ＝OD ，∴△COD 为等边三角形， ∴∠CDO ＝60°＝∠AOD ， ∴CD ∥AB ， ∴S △ACD ＝S △COD ，∴图中阴影部分的面积＝S 扇形COD ＝60×π×22360＝2π3.17. 【答案】(1)连接OD 交BC 于H ，如图，∵点E 是ABC △的内心，∴AD 平分BAC ∠，即BAD CAD ∠=∠， ∴BD CD =，∴OD BC ，BH CH =，∵DG BC ∥， ∴OD DG ⊥， ∴DG 是圆O 的切线． (2)连接BD 、OB ，如图， ∵点E 是ABC △的内心， ∴ABE CBE ∠=∠， ∵DBC BAD ∠=∠，∴DEB BAD ABE DBC CBE DBE ∠=∠+∠=∠+∠=∠， ∴6DB DE ==， ∵1332BH BC ==在Rt BDH △中，333sin 62BH BDH BD ∠===， ∴60BDH ∠=︒，而OB OD =，∴OBD △为等边三角形，∴60BOD ∠=︒，6OB BD ==， ∴120BOC ∠=︒， ∴优弧BAC 的长=(360120)π68π180-⋅⋅=．18. 【答案】(1)如图，连接OA ，过O 作OF AE ⊥于F ，∴90AFO ∠=︒， ∴90EAO AOF ∠+∠=︒， ∵OA OE =，∴12EOF AOF AOE ∠=∠=∠，∵12EDA AOE ∠=∠，∴EDA AOF ∠=∠， ∵EAC EDA ∠=∠， ∴EAC AOF ∠=∠， ∴90EAO EAC ∠+∠=︒， ∵EAC EAO CAO ∠+∠=∠， ∴90CAO ∠=︒， ∴OA AC ⊥， ∴AC 是⊙O 的切线．11 / 11 (2)∵CE AE == ∴C EAC ∠=∠，∵EAC C AEO ∠+∠=∠， ∴2AEO EAC ∠=∠， ∵OA OE =，AEO EAO ∠=∠，∴2EAO EAC ∠=∠， ∵90EAO EAC ∠+∠=︒，∴30EAC ∠=︒，60EAO ∠=︒， ∴OAE △是等边三角形， ∴OA AE =，60EOA ∠=︒，∴OA =∴2πAOE S =扇形，在Rt OAE △中，sin 32OF OA EAO =⋅∠==，∴11322AOE S AE OF =⋅=⨯=△∴阴影部分的面积=2π-。