苏教版九年级数学上册第二章2.7弧长及扇形的面积练习题(含答案解析)
2020-2021学年苏科版九年级数学上册2.7 弧长及扇形的面积(word版含答案)
2.7 弧长及扇形的面积一、选择题（共5小题；共25分）1. 半径为，圆心角为的扇形的面积是A. B. C. D.2. 一个扇形的圆心角是，面积为，那么这个扇形的半径是A. B. C. D.3. 如图，阴影部分是两个半径为的扇形，若，，则大扇形与小扇形的面积之差为A. B. C. D.4. 如图，点，，在上，若，，则图中阴影部分的面积为A. B. C. D.5. 在中，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，若点为的中点，则阴影部分的面积是A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共24分）6. 某公司生产的某款家庭轿车的车轮直径为，车在水平路面上行驶，当车轮转动度时，车中的乘客水平方向平移了．7. 如图，以为直径，点为圆心的半圆经过点，若，则图中阴影部分的面积8. 如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为，则．9. 如图，在扇形中，，正方形的顶点是的中点，点在上，点在的延长线上，当正方形的边长为时，则阴影部分的面积为．10. 如图，在中，，，以直角边为直径作交于点，则图中阴影部分的面积是．11. 我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图①）．在图②中，有个半径为的圆紧密排列成一条直线，半径为的动圆从图示位置绕这个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆自身转动的周数为．三、解答题（共4小题；共52分）12. 如图，在中，点是边上一点，以为直径的与相切于点，，为与的交点，连接．（1）求证：是的切线；（2）若，，求图中阴影部分的面积．13. 在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位的正方形，的三个顶点都在格点上．（每个小方格的顶点叫格点）（1）画出向下平移个单位后的；（2）画出绕点顺时针旋转后的，并求点的旋转到所经过的路线长．14. 如图，风车的支杆垂直于桌面，风车中心到桌面的距离为，风车在风吹动下绕着中心不停地转动，转动过程中，叶片端点，，，在同一圆上，已知的半径为．（1）风车在转动过程中，当时，求点到桌面的距离（结果保留根号）；（2）在风车转动一周的过程中，求点相对于桌面的高度不超过所经过的路径长（结果保留）．15. 一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为的圆盘，如图所示，与是平行的，且水平，与水平面的夹角为，其中，，，请你作出该小朋友将圆盘从点滚动到点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度．答案第一部分1. D 【解析】根据扇形面积公式得．2. B 【解析】设扇形的半径为，由题意：，解得，，，这个扇形的半径为．3. B 【解析】．4. C 【解析】，，是等腰直角三角形，．5. A【解析】为的中点，，，，，由勾股定理得，第二部分6.7.【解析】为直径，．，为等腰直角三角形，，和都是等腰直角三角形，，，．【解析】正八边形的内角和为，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）的内角和为，．9.【解析】连接，在扇形中，，正方形的顶点是的中点，，，10.【解析】如图，连接，．是直径，．，．，是等边三角形，是切线，．又，，，在中，，，，．11.【解析】，来回总路程为．动圆自身转动的周数为．第三部分12. （1）如图，连接，与相交于点，因为与相切于点，所以．所以．因为，所以，．因为，所以．所以．在和中，，，，所以，所以，所以是的切线．（2）由（1）得，，所以，．因为，所以．所以．所以．因为，所以为等边三角形．由（1）得，．在和中，，，，所以，所以．因为，所以的半径．所以．13. （1）画出如图所示．（2）画出如图所示．连接，，则，点旋转到所经过的路线长为．14. （1）如图①，点运动到点的位置时．作于点，于点，．，，．，．，．．点到桌面的距离是．（2）如图②，点在旋转过程中运动到点，的位置时，点到桌面的距离等于．作于点，则．作于点，．，．在中，取中点，连接，．，．又，为等边三角形，．由圆的轴对称性可知，．点所经过的路径长为．15. 如图所示是圆盘滚动过程中圆心所经过的路线的示意图．可以得出圆盘滚动过程中圆心经过的路线由线段，线段，，线段四部分构成．其中，，，，．与延长线的夹角为，是圆盘在上滚动到与相切时的圆心位置，此时与和都相切，则．此时，在中，，．，．，与水平面的夹角为，．又，．则圆盘在点处滚动，其圆心所经过的路线为圆心角为且半径为的圆弧．的长为．四边形是矩形，．综上所述，圆盘从点滚动到点，其圆心所经过的路线长度是．。
苏科版九年级上册 2.7弧长和扇形的面积基础检测题(有答案)
苏教版九年级上册弧长及扇形的面积一、单选题（共15题；共30分）1.已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（）A. B. 2π C. 3π D. 12π2.在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（）A. B. C. D.3.已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（）A. πB. 3πC. 2πD. π4.在半径为1的⊙O中，120°的圆心角所对的弧长是（）A. B. C. D.5.如图，以边长为a的等边三角形各定点为圆心，以a为半径在对边之外作弧，由这三段圆弧组成的曲线是一种常宽曲线.此曲线的周长与直径为a的圆的周长之比是( )A. 1：1B. 1：3C. 3：1D. 1：26.已知扇形的半径为2，圆心角为60°，则扇形的弧长为( )A. B. C. D.7.一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（）A. 60°B. 120°C. 150°D. 180°8.若扇形的半径为4，圆心角为90°，则此扇形的弧长是（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π9.120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是（）A. 3B. 4C. 9D. 1810.若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A. B. C. D.11.如图，实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为( )A. 12πmB. 18πmC. 20πmD. 24πm12.一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（）A. 6cmB. 12cmC. cmD. cm13.挂钟分针的长10cm，经过20分钟，它的针尖转过的路程是( )A. cmB. cmC. cmD. cm14.如图，在中，，以的中点为圆心分别与，相切于，两点，则的长为（）A. B. C. D.15.一个扇形的半径为8cm，弧长为πcm，则扇形的圆心角为（）A. 60°B. 120°C. 150°D. 180°二、填空题（共15题；共30分）16.一个扇形的圆心角是120°，它的半径是3cm，则扇形的弧长为________cm．17.已知扇形的半径为8 cm，圆心角为45°，则此扇形的弧长是________cm．18.如图△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，作△ABC的外接圆.若弧AB的长为12cm，那么弧AC的长是________.19.一个扇形的圆心角为120°，它所对的弧长为6πcm，则此扇形的半径为________cm．20.如果圆的半径为6,那么60°的圆心角所对的弧长为________ .21.若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为________．22.若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为________；23. 150°的圆心角所对的弧长是5πcm，则此弧所在圆的半径是________cm.24.已知扇形的半径长6，圆心角为120°，则该扇形的弧长等于________．（结果保留π）25.已知扇形的圆心角为60º，半径为6cm，则扇形的弧长为________cm.26.如果圆锥的侧面展开图的扇形半径是6，弧长是4π，那么这个扇形的圆心角为________.27.若扇形的半径为3，圆心角120 ，为则此扇形的弧长是________.28.已知扇形弧长为2π，半径为3cm，则此扇形所对的圆心角为________度．29.如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的上，若OA＝1cm，∠1＝∠2，则的长为________cm．30.圆锥的底面半径是40cm，母线长90cm，它的侧面展开图的圆心角是________°.三、解答题（共4题；共20分）31.如图，阴影部分是一广告标志，已知两圆弧所在圆的半径分别是20cm，10cm，∠AOB＝120°，则这个广告标志的周长是多少？32.制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再备料．下图是一段管道，其中直管道部分AB 的长为3 000mm，弯形管道部分BC，CD弧的半径都是1 000mm，∠O=∠O’=90°，计算图中中心虚线的长度．33.一段圆弧形公路弯道，圆弧的半径为2km，弯道所对圆心角为10°，一辆汽车从此弯道上驶过，用时20s，弯道有一块限速警示牌，限速为40km/h，问这辆汽车经过弯道时有没有超速？（π取3）34.如图，把Rt△ABC的斜边放在直线l上，按顺时针方向在l上转动两次，使它转到△A″B″C″位置．设BC＝1，AC＝，求当顶点A运动到A″位置时，点A经过的路线长度．答案解析部分一、单选题1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】B9.【答案】C10.【答案】C11.【答案】D12.【答案】A13.【答案】A14.【答案】B15.【答案】B二、填空题16.【答案】17.【答案】2π18.【答案】8cm19.【答案】920.【答案】21.【答案】622.【答案】623.【答案】624.【答案】25.【答案】26.【答案】120°27.【答案】28.【答案】12029.【答案】30.【答案】160三、解答题31.【答案】解：，AC=BD=20-10=10cm，∴周长=( )cm32.【答案】解：，中心虚线的长度为33.【答案】解：弯道的弧长为：汽车经过弯道的速度为：∵60＞40∴这辆汽车经过弯道时超速了。
苏科版九年级数学上册《2.7弧长与扇形面积》选择题专题提升训练(附答案)
苏科版九年级数学上册《2.7弧长与扇形面积》选择题专题提升训练（附答案）1．若圆的半径为1，则60°的圆心角所对的弧长为（）A．π2B．πC．π6D．π32．已知一个扇形的面积是12π，弧长是2π，则这个扇形的半径为（）A．24B．36C．12D．63．某扇形的圆心角为160°，其半径为3cm，则此扇形的面积是（）A．4cm2B．8πcm2C．4πcm2D．2cm24．扇形的半径和圆心角分别扩大到原来的2倍，则扇形面积扩大到原来的（）A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍5．如图，Rt△ABC中∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为点D、E、F，CF=4则劣弧EF的长是（）A．2πB．4πC．8πD．16π6．如图，⊙O的半径为2，将⊙O的内接正六边形ABCDEF绕点O顺时针旋转，第一次与自身重合时，点A经过的路径长为（）A．2B．π3C．2π3D．4π7．如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心．OA,OB长分别为半径，圆心角∠O=120°形成的扇面，若OA=4m,OB=2m，则阴影部分的面积是（）A．43πB．83πC．4πD．163π8．如图，在▱ABCD中AD=12,∠B=120°,AD是⊙O的直径，⊙O与BC相切于点N，与AB相交于点M，则弧MN的长为（）A．πB．2πC．3πD．4π9．如图，AB为⊙O的直径，AD交⊙O于点F，点C是BF的中点，连接AC．若∠CAB=30°,AB=2，则阴影部分的面积是（）A．π3B．π6C．2π3D．π210．如图是5×4的小正方形网格，小正方形的边长为2、点A和B是格点，连接AB，小明在网格中画出以AB 为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（）A．5π+10B．4π−9C．5π−54D．5π+10411．在△ABC中AB=2,BC=4,∠ABC=30°．以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中两部分的面积之差(S2−S1)是（）A．3−π3B．6−4π3C．2−π3D．3−2π312．如图，在半径为4，圆心角为90°的扇形内，以OB为直径作半圆交AB于点D，连接OD，则阴影部分的面积是（）A．4π−8B．4π−4C．8π−8D．π−413．如图，在正方形ABCD中，边长AD=2，分别以A、D为圆心，线段AD的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（）A．43π−√3B．43π−2√3C．23πD．π−√314．如图，边长为2的正方形ABCD绕AD的中点O顺时针旋转后得到正方形A′B′C′D′，当点A的对应点A′落在对角线BD上时，点B所经过的路径与A′B，A′B′围成的阴影部分的面积是（）A．73B．52C．54π−32D．√52π−2315．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°,AC=BC=2，以BC为直径的半圆，交AB于点D，以点A为圆心，AC 为半径作弧，交AB于点E，则图中阴影部分的面积为（）A．π+2B．π−2C．2D．32π−216．如图，Rt△BCO中∠BCO=90°，∠CBO=30°，BO=4cm，将△BCO绕点O逆时针旋转至△B′C′O，点C′在BO的延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积是（）A．4πcm²B．(√32+4π)cm2C．2πcm²D．(√32+2π)cm217．如图，在菱形ABCD中∠D=60°,AB=4，以B为圆心、BC长为半径画弧AC，点P为菱形内一点，连接PA,PB,PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（）A．83π−2√3+2B．83π−2√3−2C．8πD．8π−6√3−618．如图，在⊙O中，直径AB=8，点D为AB上方圆上的一点∠ABD=30°，OE⊥BD于点E，点P是OE上一点，连接DP,AP，得出下列结论：Ⅰ：阴影部分的面积随着点P的位置的改变而改变，其最小值为83π．Ⅰ：阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为8+43π．下列判断正确的是（）．A．只有Ⅰ正确B．只有Ⅰ正确C．Ⅰ、Ⅰ都正确D．Ⅰ、Ⅰ都不正确19．如图，点A(2,0),B(0,2)，将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3…，则O10的坐标是（）A．(16+4π,0)B．(14+4π,2)C．(14+3π,2)D．(12+3π,0)20．如图，四边形OABC1是正方形，曲线C1C2，C2C3，C3C4，C4C5，⋯叫作“正方形的渐开线”，其中对应的每段弧弧的圆心依次按O，A，B,C1循环，当OA=1时，弧C2024C2025的长为（）A．1012πB．1022.5πC．2024πD．2025π参考答案1．解：根据题意得l=nπr180=60π×1180=π3．故选：D．2．解：ⅠS=12lRⅠ12π=12×2π×RⅠR=12故选：C.3．解：根据扇形的面积公式：S=nπr2360=160π32360=4π(cm2)．故选：C．4．解：∵S扇形=nπr2360，扇形的半径和圆心角分别扩大为原来的2倍∴扩大后的扇形面积为S扇形=2nπ(2r)2360=8nπr2360∴面积扩大为原来的8倍．故选：C．5．解：连接OE\OF，在四边形OFCE中∠OFC=∠C=∠OEC=90°∴四边形OFCE为矩形．又因为OF=OE∴四边形OFCE为正方形．则OF=CF=4,∠EOF=90°劣弧EF的长是90π⋅4180=2π．故选：A．6．解：Ⅰ⊙O的内接正六边形ABCDEF绕点O顺时针旋转，第一次与自身重合时旋转角为60°Ⅰ点A经过的路径长为60π×2180=2π3故选C．7．解：圆心角∠O=120°,OA=4m,OB=2mⅠS阴影=120360π×OA2−120360π×OB2=120360π×(OA2−OB2)ⅠS阴影=120360π×(OA2−OB2)=13π×(42−22)=4π故选：C．8．解：如图，连接OM,ONⅠ▱ABCD,∠B=120°Ⅰ∠A=60°,AD∥BCⅠ⊙O与BC相切Ⅰ∠ONB=90°Ⅰ∠AON=180°−∠ONB=90°ⅠOA=OMⅠ∠OMA=∠A=60°Ⅰ∠AOM=180°−∠OMA−∠A=60°Ⅰ∠MON=∠AON−∠AOM=30°Ⅰ弧MN的长为30π⋅6180=π故选：A．9．解：连接CF,OC,OF交AC于E∵点C为劣弧弧BF的中点∴弧CF=弧BC∵∠BAC=30°∴∠BAC=∠CAF=30°∴∠COF=2∠CAF=60°=∠OAF∵OA=OF=OC=12AB=1Ⅰ△AOF和△COF均为等边三角形∴∠AOF=∠CFO=60°∴AB∥CF∴S△ACF=S△COF则阴影部分的面积=S△ACF+S弓形CF=S△ACF+S弓形CF=S△COF+S弓形CF=S扇形COF=60π×12360=π6故选：B．10．解：如图所示，连接COⅠ小正方形的边长为2ⅠOC2+OB2=BC2Ⅰ∠COB=90°=∠AOCⅠ图中阴影部分的面积是S△AOB+S扇形AOC=90360π×(2√5)2+12×(2√5)2=5π+10故选：A．11．解：过点A作AF⊥BC于F∵AB=2,BC=4∴AF=12AB=1,BD=AB=2∴S1=S扇形ABD −S△ABD=30360×π×22−12×2×1=π3−1S2=S△ADC−S1=12⋅DC⋅AF−(π3−1)=12×2×1−π3+1=2−π3∴S2−S1=(2−π3)−(π3−1)=3−23π．故选：D．12．解：令半圆的圆心为M在Rt△AOB中∠AOB=90°Ⅰ∠B=∠A=45°ⅠBO是半圆的直径Ⅰ∠ODB=90°,OM=MB=2Ⅰ∠DOM=90°−45°=45°=∠B ⅠOD=BDⅠDM⊥OBⅠ∠BMD=∠DMO=90°ⅠS扇形OMD =90π×22360=S扇形OMD,S△OMD=12×2×2=S△BMDⅠS扇形OMD −S△OMD=S扇形OMD−S△BMD即S①=S②ⅠS阴影部分=S扇形AOB−S△ADO=90π×42360−12×4×4=4π−8π．故选A．13．解：连接AE,DE∵AE=DE=AD=2∴△AED是等边三角形∴∠EAD=∠ADE=60°∴扇形AED的面积=扇形DAE的面积=60π×22360=23π∴△AED的面积=√34AD2=√34×22=√3∴弓形EFD的面积=扇形AED的面积−△AED的面积=23π−√3阴影的面积=扇形DAE的面积+弓形EFD的面积=23π+23π−√3=43π−√3.故选：A14．解：如图，连接OB,OB′∵点O为AD的中点∴AO=12AD=1∴OB=√AB2+AO2=√5∵正方形ABCD绕AD的中点O顺时针旋转后得到正方形A′B′C′D′，且点A的对应点A′落在对角线BD上∴∠BOB′=90°∴S阴影=S扇形OBB′−S△OA′B−S△OA′B′=90°360°×(√5)2×π−12×1×1−12×1×2=54π−32故选：C．15．解：ⅠAC=BC=2,∠ACB=90°Ⅰ∠A=45°ⅠS空白BCE =S△ABC−S扇形CAE=12×AB×BC−45π⋅22360=2−π2ⅠS阴影=S半圆BCD−S空白BCE=12×π×12−2+π2=π−2．故选B．16．解：在Rt△OCB中∠BCO=90°,∠CBO=30°,BO=4ⅠOC=12BO=2,∠COB=60°ⅠBC=2√3Ⅰ∠C′OC=∠B′OB=120°,∠B′OC=180°−∠BOC−∠B′OC′=60°由旋转知，OC′=OC=2,B′C′=BC=2√3,S△OC′B′=S△OCBⅠS扇形B′OB =120π×OB2360=16π3,S扇形C′OC=120π×OC2360=4π3ⅠS阴影=S扇形B′OB+S△OC′B′−S△OCB−S扇形C′OC=S扇形B′OB−S扇形C′OC=4π．Ⅰ阴影部分的面积为4πcm2．故选：A．17．解：连接AC，延长AP，交BC于E在菱形ABCD中∠D=60°,AB=4Ⅰ∠ABC=∠D=60°,AB=BC=4Ⅰ△ABC是等边三角形ⅠAB=AC在△APB和△APC中{AB=AC AP=AP PB=PCⅠ△APB≌△APC(SSS)Ⅰ∠PAB=∠PACⅠAE⊥BC,BE=CE=2Ⅰ△BPC为等腰直角三角形ⅠPE=12BC=2在Rt△ABE中AE=√32AB=2√3ⅠAP=2√3−2ⅠS阴影＝S扇形ABC﹣S△P AB﹣S△PBC＝60⋅π⋅42360−12(2√3−2)×2−12×4×2=83π−2√3−2故选：B．18．解：连接OD、AD\PBⅠ∠ABD=30°Ⅰ∠AOD=2∠ABD=60°ⅠAO=DO=4Ⅰ△AOD是等边三角形，Ⅰ∠BOD=120°ⅠOD=OB=4Ⅰ△OBD是等腰三角形ⅠOE⊥BD于点EⅠ∠DOE=∠BOE=12∠BOD=60°Ⅰ∠DOE=∠ADOⅠOE∥ADⅠS△AOD=S△PADⅠ阴影部分的面积为S扇形AOD =60π×42360=83πⅠ阴影部分的面积随着点P的位置的改变而不改变，其值为83π．故Ⅰ错误；ⅠPE垂直平分BDⅠ点D与点B关于OE对称ⅠDP=PB当A、P、B三点共线时，AP+DP取得最小值，最小值为AB的长度，即为8Ⅰ阴影部分的周长的最小值为8+60π×4180=8+4π3Ⅰ阴影部分的周长随着点P的位置的改变而改变，其最小值为8+43π．故Ⅰ正确；故选：B19．解：∵点A(2,0),B(0,2)∴OA=2,OB=2,∠AOB=90°∴AB̂的长度=90·π×2180=π∵将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动∴O1O2=AB̂的长度=π∴点O1(2,2)，点O2(2+π,2)，点O3(4+π,0)，点O4(6+π,2)…∵10÷3=3 (1)∴O10的(14+3π,2)．故选：C．20．解：因为四边形OBAC1是正方形，且AB=1所以O为圆心的圆的半径为1同理可得依次类推，弧CnCn+1=90⋅π⋅n180=nπ2(n为大于1的正整数)弧C2024C2025=90⋅π⋅2024180=1012π．故选：A．。
(含答案)九年级数学苏科版上册课时练第2单元《2.7 弧长及扇形的面积》(2)
三、解答题（本大题共 5 小题，共 50 分） 11. 如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,AB 为⊙O 的直径,AB=6,AD 平分∠BAC,交 BC 于点 E,
交⊙O 于点 D,连接 BD.
(1)求证:∠BAD=∠CBD; (2)若∠AEB=125∘,求 ㈱的长(结果保留 ).
5. 如图,在△ABC 中,AB=5,AC=3,BC=4,将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转40∘得到△ADE,
点 B 经过的路径为 ㈱,则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 14 − 6 B. 25 C. 33 − 3
3
9
8
D. 33 +
二、填空题（本大题共 5 小题，共 25 分）
6. 若扇形的圆心角为45∘,半径为 3,则该扇形的弧长为
.
7. 一个扇形的面积是 13 3 2,半径是 6cm,则此扇形的圆心角是
°。
8. 扇形的半径为 3cm,弧长为 2 cm,则该扇形的面积为
3 2.
9. 如图,点 A、B、C 在半径为 9 的⊙O 上, 的长为 2 ,则∠ACB 的度数
是.
10. 如图,将直径 AB=6 的半圆绕点 B 按顺时针方向旋转30∘,此时点 A 到了点 A',则图中涂色 部分的面积为 .
12. 如图所示，在边长为 1 的正方形组成的网格中，△AOB 的顶点均在格点上，其中点 A(5，
4)，B(1，3)，将△AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°后得到△A1OB1.
(1)画出△A1OB1. (2)求在旋转过程中线段 AB，BO 扫过的图形的面积之和．
13. 如图,在扇形 AOB 中,∠AOB=100∘,OA=12,C 是 OB 的中点,CD⊥OB 于点 C,交 于点 D,
苏科版九年级数学上册《2.7 弧长及扇形的面积》同步练习题(含答案)
苏科版九年级数学上册《2.7 弧长及扇形的面积》同步练习题(含答案)一、选择题1.已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，则该扇形的面积为( )A. 18πB. 27πC. 36πD. 54π2.在半径为1的⊙O中，弦AB=1，则AB⏜的长是( )A. π6B. π4C. π3D. π23.如图，在△ABC中∠BAC=90°,AB=AC=4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为( )A. 2B. 2πC. 4D. 4π4.如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4.如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为( )A. 4π3−2√ 3 B. 8π3−4√ 3 C. 8π3−2√ 3 D. 8π3−45.如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6,∠A=60°，则B̂C的长为( )A. 2πB. 4πC. 6πD. 12π6.如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC,BD分别与⊙O相切于点C,D.若AC= BD=4,∠A=45°，则CD⏜的长度为( )A. πB. 2πC. 2√ 2πD. 4π7.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积)为( )A. π+√ 3B. π−√ 3C. 2π−√ 3D. 2π−2√ 38.如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′,B′连接BB′，则图中阴影部分的面积是( )A. 2π3B. 2√ 3−π3C. 2√ 3−2π3D. 4√ 3−2π39.如图，由六段相等的圆弧组成的三叶花，每段圆弧都是四分之一圆周OA=OB=OC=2，则这朵三叶花的面积为( )A. 3π−3B. 3π−6C. 6π−3D. 6π−610.如图，⊙O上有一个动点A和一个定点B，令线段AB的中点是点P，过点B作⊙O，AB⏜的度数是120°，若线段PQ的最大的切线BQ，且BQ=3，现测得AB⏜的长度是4π3值是m，最小值是n，则mn的值是( )A. 3√ 10B. 2√ 13C. 9D. 10二、填空题11.若扇形的半径为3，圆心角120°，为则此扇形的弧长是．12.半径为6，圆心角为60°的扇形面积为．13.如图，已知正六边形的边长为4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧(如图)，则所得到的三条弧的长度之和为cm(结果保留π).14.如图，在扇形OEF中∠EOF=90°，半径为2，正方形ABCD的顶点C是EF⏜的中点，点D在OF上，点A在OF的延长线上，则图中阴影部分的面积为______．15.如图，在△ABC中BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为______．16.如图，在扇形AOB中∠AOB=90°，半径OA=4.将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点C处，折痕交OA于点D，则图中阴影部分的面积为_________．17.如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为_____(结果保留根号和π)．18.如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°,AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为BD⏜，则图中阴影部分的面积是_______________．三、解答题19.如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D,E,ĈD=ĈE(1)求证：OA=OB；(2)已知AB=4√ 3,OA=4，求阴影部分的面积．20.如图，在Rt△ABC中∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．(1)判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若OA=4,∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．21.如图，已知AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的点OC//BD，交AD于点E，连结BC．(1)求证：AE=ED；(2)若AB=10,∠CBD=36°求AC⏜的长．22.如图，在等腰△ABC中AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E．(1)求证：DE是⊙O的切线．(2)若DE=√ 3,∠C=30°，求AD⏜的长．23.已知：如图，以等边△ABC的边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC于点D,E，过点D作DF⊥AC交AC于点F．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若等边△ABC的边长为8，求由DE⏜、DF、EF围成的阴影部分面积．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查扇形的弧长公式，面积公式等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．设扇形的半径为r.利用弧长公式构建方程求出r，再利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：设扇形的半径为r．由题意：120πr180=6π∴r=9∴S扇形=120π×92360=27π故选B．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了弧长的计算和垂径定理，此题先利用垂径定理求出角的度数，再利用弧长公式求弧长．先利用垂径定理求出角的度数，再利用弧长公式求弧长．【解答】解：如图，作OC⊥AB则利用垂径定理可知BC=12∵弦AB=1∴sin∠COB=1 2∴∠COB=30°∴∠AOB=60°∴AB⏜的长=60π180=π3故选C．3.【答案】B【解析】解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4∴BC=√ AB2+AC2=4√ 2，∠ACB=∠A′CB′=45°∴阴影部分的面积=45π⋅(4√ 2)2360−12×4×4+12×4×4−45π⋅42360=2π．故选B．根据阴影部分的面积列式，代入数值解答即可．本题考查了扇形面积公式的应用，以及旋转的基本性质．4.【答案】C【解析】解：连接OD在Rt△OCD中OC=12OD=2∴∠ODC=30°，CD=√ OD2−OC2=2√ 3∴∠COD=60°∴阴影部分的面积=60π×42360−12×2×2√ 3=83π−2√ 3故选：C．连接OD，根据勾股定理求出CD，根据直角三角形的性质求出∠AOD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：连接OB，OC∵∠A=60°∴∠BOC=2∠A=120°∴B̂C=120π×6180=4π．故选B．连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC度数，再由弧长公式即可得出结论．本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意作出辅助线，利用圆周角定理及弧长公式求解是解答此题的关键．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算等，证得∠COD=90°是解题的关键．连接OC、OD，根据切线性质和∠A=45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC=OD= 4，∠COD=90°，根据弧长公式求得即可．【解答】解：连接OC、OD∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD∵∠A=45°∴∠AOC=45°∴AC=OC=4∵AC=BD=4，OC=OD=4∴OD=BD∴∠BOD=45°∴∠COD=180°−45°−45°=90°=2π∴CD⏜的长度为：90π×4180故选：B．7.【答案】D【解析】【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．【解答】解：过A作AD⊥BC于D∵△ABC是等边三角形∴AB=AC=BC=2∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°∵AD⊥BC ∴BD=CD=1AD=√ 3BD=√ 3∴△ABC的面积为12×BC×AD=12×2×√ 3=√ 3S扇形BAC=60π×22360=23π∴莱洛三角形的面积S=3×23π−2×√ 3=2π−2√ 3故选：D．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了扇形面积的计算等边三角形的判定和性质旋转的性质正确的作出辅助线是解题的关键．连接OO′BO′根据旋转的性质得到∠OAO′=60°推出△OAO′是等边三角形得到∠AOO′=60°推出△OO′B是等边三角形得到∠AO′B=120°得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°在底角为30°的等腰△BB′O′中求得BB′=2√ 3O′到BB′的距离为1则图中阴影部分的面积=S△B′O′B−(S扇形O′OB−S△OO′B)即可求解．【解答】解：连接OO′BO′∵将半径为2圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°∴∠OAO′=60°∴△OAO′是等边三角形∴∠AOO′=60°OO′=OA∴点O′在⊙O上∵∠AOB=120°∴∠O′OB=60°∴△OO′B是等边三角形∴∠AO′B=120°∵∠AO′B′=120°∴∠B′O′B=120°∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°又BO′=O′B′=2在底角为30°的等腰△BB′O′中BB′=2√ 3O′到BB′的距离为1∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B−(S扇形O′OB−S△OO′B)=12×1×2√ 3−(60⋅π×22360−12×2×√ 3)=2√ 3−2π3．故选：C．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了扇形的面积直角等腰三角形的面积弓形的面积等知识点．解决本题的关键是根据弦长得到圆的半径．先算出16三叶花即一个小弓形的面积再算三叶花的面积．一个小弓形的面积=扇形面积−三角形的面积．【解答】解：如图弧OA是⊙M上满足条件的一段弧连接AM MO由题意知∠AMO=90∘AM=OM．∵AO=2∴AM=√ 2．S扇形AMO =14⋅π⋅MA2=12πS△AMO=12AM⋅MO=1∴S弓形AO =12π−1∴S三叶花=6×(12π−1)=3π−6．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线必连过切点的半径构造定理图得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．连接OP OB O′点为OB的中点如图先利用弧长公式计算出⊙O的半径为2再利用垂径定理得到OP⊥AB则∠OPB=90°于是利用圆周角定理得到点P在以OB为直径的圆上直线QO′交⊙O′于E F如图根据切线的性质得到OB⊥BQ则利用勾股定理可计算出O′Q=√ 10利用点与圆的位置关系得到m=√ 10+1n=√ 10−1然后计算mn即可．【解答】解：连接OP OB O′点为OB的中点如图设⊙O的半径为r根据题意得120⋅π⋅r180=43π解得r=2∵P点为AB的中点∴OP⊥AB∴∠OPB=90°∴点P在以OB为直径的圆上直线QO′交⊙O′于E F如图∴BQ为切线∴OB⊥BQ 在Rt△O′BQ中O′Q=√ 12+32=√ 10∴QE=√ 10+1QF=√ 10−1即m=√ 10+1n=√ 10−1∴mn=(√ 10+1)(√ 10−1)=10−1=9．故选C．11.【答案】2π【解析】【分析】根据弧长的公式l=nπr180进行计算即可．本题考查了弧长的计算．此题属于基础题熟记弧长公式是解题的关键．【解答】解：∵扇形的半径为3圆心角为120°∴此扇形的弧长=120π×3180=2π．故答案为：2π12.【答案】6π【解析】解：扇形的面积=60×π×62360=6π故答案为6π．利用扇形的面积公式计算即可．本题考查扇形的面积解题的关键是记住扇形的面积公式S=nπr 2360．13.【答案】8π【解析】【分析】本题主要考查的是正多边形的计算弧长的计算掌握正多边形的内角的计算公式弧长公式是解题的关键属于基础题．解答此题首先求出正六边形的内角的度数然后根据弧长公式计算即可．【解答】解：正六边形的一个内角的度数为：(6−2)×180°6=120°则所得到的三条弧的长度之和为：120π×4180×3=8π(cm)故答案为8π．14.【答案】12π−1【解析】解：如图连接OC．∵在扇形AOB中∠EOF=90°正方形ABCD的顶点C是EF⏜的中点∴∠COF=45°∴OC=√ 2CD=2∴OD=CD=√ 2∴阴影部分的面积=扇形FOC的面积−三角形ODC的面积=45360×π×22−12×(√ 2)2=12π−1．故答案为：12π−1．连结OC根据勾股定理可求OC的长根据题意可得出阴影部分的面积=扇形FOC的面积−三角形ODC的面积依此列式计算即可求解．本题考查了正方形的性质勾股定理等腰直角三角形的性质和判定扇形面积的计算解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积．15.【答案】4−π【解析】解：如图连接AD．∵⊙A与BC相切于点D∴AD⊥BC．∵∠EPF=45°∴∠BAC=2∠EPF=90°．∴S阴影=S△ABC−S扇形AEF=12BC⋅AD−90π⋅AD2360=12×4×2−90π⋅22360=4−π．故答案是：4−π．图中阴影部分的面积=S△ABC−S扇形AEF.由圆周角定理推知∠BAC=90°．本题考查了切线的性质与扇形面积的计算．求阴影部分的面积时采用了“分割法”．16.【答案】4π−16√ 33【解析】【分析】本题考查的是折叠的性质扇形的面积三角形的面积有关知识根据题意先求出扇形OAB的面积再减去2个△BOD的面积即可解答．【解答】解：∵在扇形AOB中∠AOB=90°半径OA=4∴扇形OAB的面积为90×π×42360=4π连接OC∵扇形AOB沿过点B的直线折叠点O恰好落在弧AB上点C处∴OD=DC BC=BO∠OBD=∠DBC∵OB=OC∴OB=OC=BC∴△BOC是等边三角形∴OD=OB·tan∠OBD=4×√ 33=43√ 3∴SΔOBD=SΔCBD=12×OB×DO=12×43√ 3×4=83√ 3∴阴影部分的面积为4π−2×8√ 33=4π−16√ 33．故答案为4π−16√ 33．17.【答案】3√ 32−π3【解析】【分析】本题考查的是正多边形和圆扇形面积计算掌握正多边形的中心角内角的计算公式扇形面积公式是解题的关键．设正六边形的中心为点O连接OD OE作OH⊥DE于H根据正多边形的中心角公式求出∠DOE求出OH得到正六边形ABCDEF的面积求出∠A利用扇形面积公式求出扇形ABF 的面积结合图形计算即可．【解答】解：设正六边形的中心为点O连接OD OE作OH⊥DE于H∠DOE=360°6=60°∴OD=OE=DE=1∴OH=√ 3 2∴正六边形ABCDEF的面积=12×1×√ 32×6=3√ 32∠A=(6−2)×180°6=120°∴扇形ABF的面积=120π×12360=π3∴图中阴影部分的面积=3√ 32−π3．故答案为3√ 32−π3．18.【答案】2π3【解析】【分析】本题主要考查的是旋转的性质扇形的面积公式勾股定理的应用将阴影部分的面积转化为扇形ABD的面积是解题的关键．先根据勾股定理得到AB=2√ 2再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD−S△ABC=S扇形ABD．【解答】解：∵∠ACB=90°AC=BC=1∴AB=2√ 2∴S扇形ABD =30π(2√ 2)2360=2π3．又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE ∴Rt△ADE≌Rt△ACB∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD−S△ABC=S扇形ABD=2π3.故答案为2π3．19.【答案】解：(1)连接OC∵AB与⊙O相切于点C∴∠ACO=90°由于ĈD=ĈE∴∠AOC=∠BOC ∴∠A=∠B∴OA=OB (2)由(1)可知：△OAB是等腰三角形∴BC=12AB=2√ 3∴sin∠COB=BCOB=√ 32∴∠COB=60°∴∠B=30°∴OC=12OB=2∴扇形OCE的面积为：60π×4360=2π3△OCB的面积为：12×2√ 3×2=2√ 3∴S阴影=2√ 3−23π【解析】(1)连接OC由切线的性质可知∠ACO=90°由于ĈD=ĈE所以∠AOC=∠BOC从而可证明∠A=∠B从而可知OA=OB；(2)由(1)可知：△AOB是等腰三角形所以AC=2√ 3从可求出扇形OCE的面积以及△OCB的面积本题考查切线的性质解题的关键是求证OA=OB然后利用等腰三角形的三线合一定理求出BC与OC 的长度从而可知扇形OCE与△OCB的面积本题属于中等题型．20.【答案】解：(1)MN是⊙O的切线．理由：连接OC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A∠BCM=2∠A∴∠BCM=∠BOC∵∠B=90°∴∠BOC+∠BCO=90°∴∠BCM+∠BCO=90°∴OC⊥MN又OC为⊙O的半径∴MN是⊙O的切线；(2)由(1)可知∠BOC=∠BCM=60°∴∠AOC=120°在Rt△BCO中OC=OA=4∠BCO=30°∴BO=12OC=2BC=2√ 3∴S阴=S扇形OAC−S△OAC=120π·42 360−12×4×2√ 3=16π3−4√ 3．【解析】本题考查直线与圆的位置关系扇形面积三角形面积等知识解题的关键是记住切线的判定方法扇形的面积公式．(1)要证MN是⊙O切线只要证明∠OCM=90°即可；(2)求出∠AOC以及BC根据S阴=S扇形OAC−S△OAC计算即可．21.【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°∵OC//BD∴∠AEO=∠ADB=90°即OC⊥AD∴AE=ED；(2)解：由(1)知OC⊥AD∴AC⏜=CD⏜∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°∴AC⏜=72π×5=2π．180【解析】本题考查弧长的计算垂径定理以及圆周角定理．(1)根据平行线的性质得出∠AEO=90°再利用垂径定理证明即可；(2)由(1)知OC⊥AD则可求出∠AOC=72°根据弧长公式解答即可．22.【答案】(1)证明：连接OD．∵OD=OC∴∠C=∠ODC∵AB=AC∴∠B=∠C∴∠B=∠ODC∴OD//AB∴∠ODE=∠DEB；∵DE⊥AB∴∠DEB=90°∴∠ODE=90°即DE⊥OD∴DE是⊙O的切线．(2)解：连接AD∵AC是直径∴∠ADC=90°∵AB=AC∴∠B=∠C=30°BD=CD∴∠OAD=60°∵OA=OD∴△AOD是等边三角形∴∠AOD=60°∵DE=√ 3∠B=30°∠BED=90°又∵∠C=30°∴AC=2AD ∴在Rt△ADC中4AD²−AD²=12∴AD=2又∵△AOD是等边三角形∴OD=AD=2∴AD⏜的长为：60π⋅2180=2π3．【解析】(1)连接OD只要证明OD⊥DE即可；(2)连接AD根据AC是直径得到∠ADC=90°利用AB=AC得到BD=CD解直角三角形求得BD 在Rt△ADC中解直角三角形求得AD根据题意证得△AOD是等边三角形即可得到OD=AD然后利用弧长公式求得即可．本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线已知此线过圆上某点连接圆心与这点(即为半径)再证垂直即可．23.【答案】解：(1)如图连接CD OD∵BC是⊙O的直径∴∠CDB=90°即CD⊥AB又∵△ABC是等边三角形∴AD=BD∵BO=CO∴DO是△ABC的中位线∴OD//AC∵DF⊥AC∴DF⊥OD∴DF是⊙O的切线；(2)连接OE作OG⊥AC于点G∴∠OGF=∠DFG=∠ODF=90°∴四边形OGFD是矩形∴FG=OD=4∵OC=OE=OD=OB且∠COE=∠B=60°∴△OBD和△OCE均为等边三角形∴∠BOD=∠COE=∠C=60°∴∠DOE=60°CE=OC=4∴EG=12CE=2DF=OG=OC·sin∠C=OC·sin60°=4×√ 32=2√ 3∴EF=FG−EG=2则阴影部分面积为S梯形EFDO−S扇形DOE=12×(2+4)×2√ 3−60⋅π⋅42360=6√ 3−8π3．【解析】【试题解析】本题主要考查了切线的判定与性质等边三角形的性质垂径定理等知识．判断直线和圆的位置关系一般要猜想是相切再证直线和半径的夹角为90°即可．注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．(1)连接CD OD先利用等腰三角形的性质证AD=BD再证OD为△ABC的中位线得DO//AC根据DF⊥AC可得；(2)连接OE作OG⊥AC求出EF DF的长及∠DOE的度数根据阴影部分面积=S梯形EFDO−S扇形DOE计算可得．第21页，共21页。
初中数学苏科版九年级上册第二章2.7弧长及扇形的面积练习题
初中数学苏科版九年级上册第二章2.7弧长及扇形的面积练习题一、选择题1.如图，圆心为M的量角器的直径的两个端点A，B分别在x轴，y轴正半轴上(包括原点O)，AB=4.点P，Q分别在量角器60°，120°刻度线外端，连结MP.量角器从点A与点Q重合滑动至点Q与点O重合的过程中，线段MP扫过的面积为()A. 23π+√3 B. 43π C. 23π+2√3 D. 3√32.已知一个扇形的半径为3，弧长为2π，那么它所对的圆心角度数为()A. 240°B. 120°C. 90°D. 60°3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=2√3，则S阴影=()A. 2πB. 83π C. 43π D. 23π4.如图，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC，E、F、G、H分别为BC、CD、DA、AB的中点，以A、B、C、D四点为圆心，半径为2作圆，则图中阴影部分的面积是()A. 4√3−4πB. 4√3−2πC. 8√3−2πD. 8√3−4π5.如图，将⊙O沿弦AB折叠，AB⏜恰好经过圆心O，若⊙O的半径为4，则AB⏜的长为()A. 2πB. 83π C. 3π D. 103π6.如图，AB为半圆O的直径，C为半圆上的一点，OD⊥AC，垂足为D，延长OD与半圆O交于点E.若AB=8，∠CAB= 30°，则图中阴影部分的面积为()A. 43π−√3 B. 43π−2√3 C. 83π−√3 D. 83π−2√37.如图，已知四边形ABCD的四个顶点在以AB为直径的半圆上，AB=4.若∠BCD=120°，则AD⏜的长为()A. π3B. 2π3C. 4π3D. 8π38.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为()A. πB. 1C. 23π D. 29.如图，以O为圆心的圆与直线y=−x+√3交于A、B两点，若△OAB恰为等边三角形，则弧AB的长度为()A. 23π B. π C. √23π D. 13π10.如图所示圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是()A. 1cmB. 2cmC. 4cmD. πcm二、填空题11.圆心角为150°、弧长为20πcm的扇形的半径为____________．12.圆心角为120°的扇形的弧长为23π，这个扇形的面积为______ ．13.如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，则圆与五边形重合的面积为______．14.如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切⏜的长为π，则图中阴影部分的于点M，N.已知∠BAC=120°，AB+AC=16，MN面积为______．三、计算题15.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1)，B(4,0)，C(4,4)．(1)按下列要求作图：①将△ABC向左平移4个单位，得到△A1B1C1；②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°，得到△A2B2C2．(2)求点C1在旋转过程中所经过的路径长．16.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，作OF⊥AB交AC于点F，点E在AB的延长线上，EM经过点C，且∠ACE+∠AFO=180°．(1)EM⊙O四、解答题17.如图，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OC=OD.以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆．点P为小半圆上任一点(不与点A，B重合)，连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE，CP．(1)①求证：△AOE≌△POC；②写出∠l，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由．(2)若OC=2OA=2，当∠C最大时，直接指出CP与小半圆的位置关系，并求此时(答案保留π)．S扇形EOD18.如图，△AOB的三个顶点都在网格的格点上，每个小正方形的边长均为1个单位长度．(1)在网格中画出△AOB绕点关于点O成中心对称△A1OB1的图形．(2)在网格中画出△AOB绕点O逆时针旋转90°后的△A2OB2的图形．(3)在(2)中，求旋转过程中边OB扫过的面积(结果保留π)答案和解析1.【答案】C【解析】解：由题意可知，点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径，圆心角为60°的扇形，点P在第四象限内时，∠AOB是弧AP所对的圆周角，所以∠AOP=30°，点P在第二象限内时，∠BOP是弧BP所对的圆周角，所以∠BOP=60°，所以点P的运动路径是一条线段，当量角器从点A与O重合滑动至点Q与点O重合时，MP扫过的图形是如图所示的阴影部分，它是由两个边长为2的等边三角形与一个扇形组成，所以PM扫过的面积为：60π×22 360+2×√34×22=23π+2√3，故选：C．MP扫过的图形是由两个边长为2的等边三角形与一个扇形组成，按照扇形面积公式和三角形面积公式计算即可．本题考查了扇形的面积计算和等边三角形的面积计算，正确分析出MP扫过的图形并明确扇形的面积计算公式是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：设扇形的圆心角为n°，∵扇形的半径为3，弧长为2π，∴2π=nπ×3180，解得：n=120，即圆心角是120°，设扇形的圆心角为n°，根据弧长公式得出2π=nπ×3180，求出n即可．本题考查了弧长公式的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键．3.【答案】D【解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=ED=√3，由圆周角定理得，∠BOD=2∠BCD=60°，∴∠ODE=30°，∴OE=12OD=12OB，∴S△BCE=S△ODE，OD=EDcos60∘=2∴S阴影=60π×22360=23π，故选：D．根据垂径定理得到CE=ED=√3，根据圆周角定理求出∠BOD，根据扇形面积公式计算即可．本题考查的是扇形面积计算，掌握扇形面积公式：S=nπr2360是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：由已知可得，AB=BC=AC=4，∵点E为BC的中点，∴AE⊥BC，并且平分BC，∴AE=√42−22=2√3，∴图中阴影部分的面积是：4×2√3−π×22=8√3−4π，故选：D．由图形可知，阴影部分的面积是菱形ABCD的面积减去半径为2的整圆的面积，然后根据题目中的数据可以计算AE的长，然后代入数据计算即可解答本题．本题考查扇形面积的计算、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，可以发现四个扇形的面积之和正好是半径为2的整圆的面积．5.【答案】B【解析】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC=12OA，∴∠OAC=30°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAC=30°，∴∠AOB=120°，∴劣AB⏜的长=120π×4180=83π，故选：B．连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC=OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：∵OD⊥AC，∴∠ADO=90°，AE⏜=CE⏜，AD=CD，∵∠CAB=30°，OA=4，∴OD=12OA=2，AD=√32OA=2√3，∴图中阴影部分的面积=S扇形AOE −S△ADO=60⋅π×42360−12×2√3×2=8π3−2√3，故选：D．根据垂径定理得到AE⏜=CE⏜，AD=CD，解直角三角形得到OD=12OA=2，AD=√32OA=2√3，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．本题考查了扇形的面积的计算，垂径定理，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆的认识，弧长的计算，解答此题可连结DO，DO=AO，可得△AOD为等边三角形，从而可得∠AOD=60°，然后根据弧长公式计算即可．【解答】解：如图，连结DO，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠DAB+∠BCD=180°，又∵∠BCD=120°，∴∠DAB=60°，∵AO=DO，∴△AOD为等边三角形，∴∠AOD=60°，∵AB=4，∴AO=2，，故选B．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查扇形面积的计算，新定义问题，根据扇形的面积公式和新定义计算即可．×2×2=2，故选D．【解答】解：S=129.【答案】C【解析】解：如图，作OC⊥AB于C，设AB与x轴交于点M，与y轴交于点N．∵直线AB的解析式为y=−x+√3，∴M(√3,0)，N(0,√3)，∴∠OMN=∠ONM=45°，∵OC⊥AB，∴OC=√22OM=√62．∵△OAB为等边三角形，OC⊥AB，∴AB=2AC，AC=OCtan∠OAC =√62√3=√22，∠AOB=60°，OA=OB=AB，∴AB=√2，∴弧AB的长度为：60π×√2180=√23π.故选：C．作OC⊥AB于C，设AB与x轴交于点M，与y轴交于点N.先由直线AB的解析式，得出OM=ON=√3，求出OC=√22OM=√62.再根据等边三角形的性质得出AB=2AC=√2，∠AOB=60°，然后代入弧长公式计算即可．本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，准确作出辅助线求出AB的长是解题的关键．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆的半径与直径的关系，熟知直径是半径的2倍是解题关键.先确定圆的半径，再求其直径．【解答】解：∵点A与点B的距离是2cm，∴作出的圆的半径是2cm，∴作出的圆的直径是4cm．故选C．11.【答案】24cm【解析】【分析】本题主要考查了扇形弧长的计算，正确理解公式是解题的关键．根据弧长公式即可得到关于扇形半径的方程，解方程即可求解．【解答】解：设扇形的半径是r，则150πr180=20π，解得r=24．故答案是24cm．12.【答案】13π【解析】解：∵120⋅π⋅r180=23π，∴360πr=360π，∴r=1，∴扇形的面积=12×23π×1=13π.故答案为13π.利用弧长公式可求得扇形的半径，那么扇形的面积=12×弧长×半径．本题主要考查了弧长公式和扇形的面积公式的综合应用．13.【答案】32π【解析】解：∵五边形内角和为：(5−2)×180=540°，∴阴影部分的面积之和是1.5个圆，即32π×12=32π.所以圆与五边形重合的阴影部分的面积为32π.故答案为：32π.依题意，因为图中的阴影部分形成的内角和度数为540°，为1.5个圆，易求出阴影部分的面积．本题主要考查扇形面积求法和多边形内角，得出五边形内角和是解题关键．14.【答案】3(8−√3−π)【解析】解：如图，连接OM、ON，∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．∴OM⊥AB，ON⊥AC，∵∠BAC=120°，∴∠MON=60°，∴∠MOB+∠NOC=120°，∵MN⏜的长为π，∴60πr180=π，∴r=3，∴OM=ON=r=3，连接OA，在Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，∴AN=√3，∴AM=AN=√3，∴BM+CN=AB+AC−(AM+AN)=16−2√3，∴S阴影=S△OBM+S△OCN−(S扇形MOE+S扇形NOF)=12×3×(BM+CN)−(120π×32360) =32(16−2√3)−3π=24−3√3−3π=3(8−√3−π)．故答案为：3(8−√3−π)．连接OM、ON，根据半圆分别与AB，AC相切于点M，N.可得OM⊥AB，ON⊥AC，由∠BAC=120°，可得∠MON=60°，得∠MOB+∠NOC=120°，再根据MN⏜的长为π，可得OM=ON=r=3，连接OA，根据Rt△AON中，∠AON=30°，ON=3，可得AM= AN=√3，进而可求图中阴影部分的面积．本题考查了切线的性质、弧长的计算、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握弧长和扇形面积的计算公式．15.【答案】解：(1)①如图，△A1B1C1为所作；②如图，△A2B2C2为所作；=2π．(2)点C1在旋转过程中所经过的路径长=90⋅π⋅4180【解析】(1)①利用点平移的坐标规律，分别写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点可得△A1B1C1；②利用网格特点和旋转的性质，分别画出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2即可；(2)根据弧长公式计算．本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移的性质．16.【答案】解：(1)证明：连接OC，∵OF⊥AB，∴∠AOF=90°，∴∠A+∠AFO=90°，∵∠ACE+∠AFO=180°，∠ACE+∠ACM=180°，∴∠AFO=∠ACM，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠ACO+∠ACM=90°，∴∠OCM=90°，∴OC⊥ME，∴EM是⊙O的切线；(2)∵∠EOC=2∠A=2∠E，又∠EOC+∠E=∠OCM=90°，∴2∠E+∠E=90°，∴∠E=30°，∴∠EOC=60°，∴CE=OCtan60°=√3，∴S阴影部分=S△OCE−S扇形BOC=12×√3×1−60π×12360=3√3−π6．【解析】(1)连接OC，根据垂直的定义得到∠AOF=90°，根据三角形的内角和得到∠ACE=90°+∠A，根据等腰三角形的性质得到∠OCM=90°，得到OC⊥CE，于是得到结论；(2)推出∠EOC=60°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积计算，连接OC是解题的关键．17.【答案】解：(1)①在△AOE和△POC中，{OA=OP∠AOE=∠POC OE=OC，∴△AOE≌△POC(SAS)；②∵△AOE≌△POC，∴∠E=∠C，∵∠1+∠E=∠2，∴∠1+∠C=∠2；(2)当∠C最大时，直接指出CP与小半圆相切，如图，∵OC=2OA=2，∴OC=2OP，∵CP与小半圆相切，∴∠OPC=90°，∴∠OCP=30°，∴∠DOE=∠OPC+∠OCP=120°，∴S扇形ODE =120π×22360=43π．【解析】(1)①利用公式角相等，根据SAS证明三角形全等便可；②由全等三角形得∠C=∠E，再利用三角形外角性质得结论；(2)当CP与小半圆O相切时，∠C最大，求出∠DOE便可根据扇形的面积公式求得结果．本题主要考查了圆的切线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，直角三角形的性质，扇形的面积计算，关键在于掌握各个定理，灵活运用这些性质解题．18.【答案】解：(1)如图，△A1OB1即为所求．(2)如图，△A2OB2即为所求．(3)边OB扫过的面积=90⋅π⋅(3√2)2360=9π2．【解析】(1)分别作出A，B的对应点A1，B1即可．(2)分别作出A，B，的对应点A2，B2即可．(3)利用扇形的面积公式计算即可．本题考查作图−旋转变换，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．。
苏科版数学九年级上册第二章 圆 同步练习2.7(1)弧长及扇形的面积
苏科版数学九年级上册第二章圆同步练习2.7（1）弧长及扇形的面积第二章对称图形——圆2.7 弧长及扇形的面积（1）【基础练习】1.已知圆弧长为20π㎝，其半径为30㎝，那么此弧所对的圆心角的度数为（）A.60°B. 90°C.120° D. 150°2.已知扇形的圆心角为150°，它所对的弧长为π20㎝，则扇形的半径为（）A 12 B. 16 C. 20D.243.已知扇形AOB的半径为6㎝，圆心角的度数为120°，则此扇形面积为（）A.π4㎝²B.π6㎝²C.π9㎝²D.π12㎝²4.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为（）A.πB. 1C.2B.C. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，BC=32，⊙A 与BC 相切于点D ，且交AB 、AC 于M 、N 两点，则图中阴影部分的面积是 。
（保留π）5. 矩形ABCD 的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动的翻滚，当它翻滚至类似开始的位置1111D C B A 时，则顶点A 所经过的路线长为 .(第9题) (第10题) (第11题)6. 如图,圆心角是90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起,连接AC,BD.(1) 求证：AC=BD ；（2）若图中阴影部分的面积是π43㎝²，OA=2㎝，求OC 的长。
7. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点E 在斜边AB 上，以AE 为直径的⊙O 与BC 相切于点D 。
（1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）若∠B=30°，AE=4，求AD 的值和图中阴影部分的面积。
【能力提高】8. 如图，7根圆柱形木棒的横截面圆的半径均为1，则捆扎这7根木棒一周的绳子长度为。
初中数学苏科版九年级上册第2章 圆2.7 弧长及扇形的面积-章节测试习题(3)
章节测试题1.【答题】时钟的分针长5 cm，经过15分钟，它的针尖转过的弧长是（）A. πcmB. πcmC. πcmD. πcm【答案】C【分析】根据弧长公式公式计算即可.【解答】∵分针经过60分钟，转过360°，∴经过15分钟转过360°× =90°，则分针的针尖转过的弧长是l= .选C.2.【答题】一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm2，那么这个扇形的半径是（）A. 1cmB. 3cmC. 6cmD. 9cm【答案】B【分析】根据扇形的面积公式计算即可.【解答】设这个扇形的半径是r cm．根据扇形面积公式，得＝3π，解得r＝±3（负值舍去）．故答案为33.【答题】如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∠ABD=60°，CD=2，则阴影部分的面积为（）A.B. πC. 2πD. 4π【答案】A【分析】根据扇形的面积公式计算即可.【解答】解：连接OD.∵CD⊥AB，故，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，又∴OC=2，∴S扇形OBD即阴影部分的面积为选A.4.【答题】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转90°得到，则的长为（）A. B. 6 C. 3 D. 1.5【答案】D【分析】根据弧长公式计算即可.【解答】由旋转的性质可知OA＝OB＝3，∠AOB＝90°，所以弧AB的长＝＝1.5π．选D.5.【答题】在半径为12cm的圆中，长为cm的弧所对的圆心角的度数为A. 10°B. 60°C. 90°D. 120°【答案】B【分析】根据弧长公式公式计算即可.【解答】设4πcm的弧所对的圆心角的度数为n°,由题意得，∴n=60°选B.6.【答题】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BC=2，以BC的中点O为圆心的圆分别与AB，AC相切于D，E两点，则弧ED的长为（）A. B. C. D. 2π【答案】B【分析】根据弧长公式计算即可.【解答】连接OE，OD，∵以BC的中点O为圆心所作的圆分别与AB，AC相切D，E两点，∴OD⊥AB，OE⊥AC；又∵∠A=90°，∴四边形ADOE为矩形，又∵OE=OD，∴矩形ADOE为正方形，∠DOE=90°，∵点O为BC的中点，∠BAC=90°，∴OA=BC=OB=∴OD=，∴=.选B.7.【答题】如果一个扇形的弧长等于它的半径,那么此扇形称为“等边扇形”.则半径为2的“等边扇形”的面积为（）A. πB. 1C. 2D.【答案】C【分析】根据扇形面积公式计算即可.【解答】解：由扇形面积公式,得“等边扇形”的面积为×2×2=2,选C.方法总结：扇形的面积公式：8.【答题】如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB 的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，若正方形CDEF的边长为1，则图中阴影部分的面积为（）A.B.C.D.【答案】A【分析】根据扇形面积公式计算即可.【解答】连接OC.∵在扇形AOB中,∠AOB=90°,正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，∴∠COD=45°，∴OC=，∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积−三角形ODC的面积，.选A.9.【答题】如图，四边形OABC是菱形，点B，C在以点O为圆心的弧EF上，且∠1=∠2，若扇形OEF的面积为3π，则菱形OABC的边长为（）A.B. 2C. 3D. 4【答案】C【分析】根据扇形面积公式菱形的性质解答即可.【解答】连接OB.根据菱形的各边相等和同圆的半径相等发现等边三角形OBC，再根据菱形的性质得到∠AOC=2∠BOC=120°，从而根据扇形的面积公式求得，得到扇形所在圆的半径=3，即为菱形的边长=3选C.10.【答题】如图，半径为1的四个圆两两相切，则图中阴影部分的面积为（）A.B.C.D.【答案】A【分析】根据扇形面积公式计算即可.【解答】∵半径为1的四个圆两两相切，∴四边形是边长为2的正方形，圆的面积为π，阴影部分的面积=2×2−π=4−π，选A.11.【答题】如图，边长为l2 m的正方形池塘的周围是草地，池塘边A、B、C、D 处各有一棵树，且AB=BC=CD=3m．现用长4m的绳子将一头羊拴在其中一棵树上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（）A. A处B. B处C. C处D. D处【答案】B【分析】根据扇形面积公式计算即可.【解答】解：将牛栓在A处时，活动区域的面积是：π×42+π×12=π；将牛栓在B处时，活动区域的面积是：π×42=12π；将牛栓在C处时，活动区域的面积是：π×42+π×12=π；将牛栓在D处时，活动区域的面积是：π×42=8π．则应栓在B处．选B.12.【答题】钟面上的分针的长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（）A. πB. πC. πD. π【答案】A【分析】根据扇形面积公式计算即可.【解答】分针从9点到9点30分扫过的区域是以1为半径，圆心角为180°的扇形，故扫过的面积为S=πr2=π×12=.选A.13.【答题】已知扇形的圆心角为120°，半径为4，则扇形的弧长为（）A.B. πC. πD. 3π【答案】C【分析】根据弧长公式计算即可.【解答】l= πr =π×4=π.选C.方法总结:（1）用弧长公式l= πr时，n代表的是圆心角，圆心角单位用角度制；（2）用弧长公式l=αr时，α代表圆心角，圆心角单位用弧度制.14.【答题】若100°的圆心角所对的弧长l＝5π cm，则该圆的半径R等于（）A. 9 cmB. 5 cmC. cmD. cm【答案】A【分析】本题考查了弧长公式，应用弧长公式解答即可.【解答】根据弧长公式：，得：，解得R=9，选A.15.【答题】水平地面上有一面积为的扇形AOB，半径OA=6 cm ，且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，则O 点移动的距离为（）A. 20cmB. 24cmC.D.【答案】C【分析】利用扇形面积的计算公式解答即可.【解答】解：设优弧AB的长是l．根据扇形的面积公式，得l==10π（cm）．故选C. .16.【答题】如图，AB是半圆的直径，AB=2，∠B=30°，则弧BC的长为（）A.B.C. πD.【答案】B【分析】此题主要考查了圆周角定理，以及弧长计算，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【解答】解：连接CO，∵AB=2，∴OB=1，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°，∵∠B=30°，∴∠A=60°，∴∠COB=120°，∴==π，选B.17.【答题】如图，半径为1的圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，劣弧AC 的长度为（）A.B.C.D.【答案】B【分析】根据弧长的计算公式解答即可.【解答】解：因为正五边形ABCDE的内角和是（5-2）×180=540°，则正五边形ABCDE的一个内角==108°；连接OA、OB、OC，∵圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C，∴∠OAE=∠OCD=90°，∴∠OAB=∠OCB=108°-90°=18°，∴∠AOC=144°所以劣弧AC的长度为．选B.18.【答题】扇形的半径为30cm，圆心角为120°，此扇形的弧长是（）A. 20πcmB. 10πcmC. 10cmD. 20cm【答案】A【分析】根据弧长的计算公式解答即可.【解答】解：=20πcm．选D.19.【答题】如图，点A、B、C都在⊙O上，⊙O的半径为2，∠ACB=30°，则的长是（）A. 2πB. πC.D.【答案】C【分析】根据弧长的计算公式解答即可.【解答】解：∵∠ACB=30°，∴∠AOB=60°，∵OA=2，∴=选C.20.【答题】如图，扇形AOB中，∠AOB=150°，AC=AO=6，D为AC的中点，当弦AC沿扇形运动时，点D所经过的路程为（）A. 3πB.C.D. 4π【答案】C【分析】根据弧长的计算公式解答即可.【解答】解：如图，∵D为AC的中点，AC=AO=6，∴OD⊥AC，∴AD=AO，∴∠AOD=30°，OD=3，同理可得：∠BOE=30°，∴∠DOE=150°-60°=90°∴点D所经过路径长为：π．选C.。
27弧长与扇形的面积(解析版)-2021-2022学年九年级上册数学卷(苏科版)
第2章 对称图形－圆（2.7弧长与扇形的面积)一、 选择题（每题3分，共24分）1．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在O 上．若55,6OCA AB ∠=︒=，则BC 的长为（ ）A ．113πB ．116πC ．114πD ．11π【解析】解：∵∠OCA =55°，OA =OC ，∴∠A =55°，∴∠BOC =2∠A =110°，∵AB =6，∴BO =3，∴BC 的长为：1103180π⨯=116π， 故选B ．2．如图，ABC 中，90C ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AB =，点P 从C 点出发，沿CB 运动到点B 停止，过点B 作射线AP 的垂线，垂足为Q ，点Q 运动的路径长为 （ ）A ．3B ．C ．3D ．2π3【解析】解：取AB 中点O ，连接CO 、OP ，∵Rt ABQ 和Rt ABC △中，122OQ OB OA OC AB =====， ∴Q 在以O 为圆心，AB 为直径的圆上，运动路径为BC ，30ACO OAC ∠=∠=︒， ∴60COB ∠=︒，∴点Q 运动路径长为60π22π1803⋅=． 故选：D ．3．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AB =2BC =，以点A 为圆心，AC 的长为半径画弧，交AB 于点D ，交AC 于点C ，以点B 为圆心，AC 的长为半径画弧，交AB 于点E ，交BC 于点F ，则图中阴影部分的面积为 （ ）A ．8π-B ．4π-C ．24π- D ．14π- 【解析】∵90ACB ∠=︒，∴∠A +∠B =90°，∵AB =2BC =，∴AC ，∴S 阴影=S △ABC -S 扇形BEF -S 扇形ACD =12BC·AC -290360AC π⋅⋅ =12×1×2-90360π=1-4π，故选：D ．4．如图ABC 内接于⊙O ，∠A ＝60°，OD ⊥BC 于点D ，若OD ＝3，则BC 的弧长为（ ）A ．4πB ．103π C ．2π D ．π【解析】解：连接OB ，OC ，∵∠A ＝60°，∴∠BOC ＝2∠A ＝120°．∵OB ＝OC ，OD ⊥BC ，∴∠COD ＝12∠BOC ＝60°，∴∠OCD ＝30°，∵OD ＝3，∴OC ＝2DO ＝6，∴BC 的长为1206180π⋅⨯＝4π．故选：A ．5．如图所示，点A ，B ，C 对应的刻度分别为1，3，5，将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转，当点A 首次落在矩形BCDE 的边BE 上时，记为点A '，则此时线段CA 扫过的图形的面积为（ ）A ．B ．6C ．43πD ．83π 【解析】解：由图可知：AC =A’C =4，BC =2，连接AA ’，∵A ’B 是AC 的垂直平分线，∴AA ’＝CA ’∴△AA ’C 是等边三角形∴'30,'60BA C BCA ，线段CA 扫过的图形为扇形，此扇形的半径为4CA =， ∴2'608=4=3603ACA S 扇形， 故选：D ．6．如图，ABCD 中，110A ∠=︒，2AD =，以AD 为直径的O 交DC 于点E ，则AE 的长为（ ）A ．19πB ．718πC ．79πD ．29π 【解析】连接OE ，如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，110A ∠=︒，∴∠OED ＝∠D ＝70°，∴∠AOE ＝2∠D＝140°，∴AE 的长=140171809ππ︒⨯=︒. 故选:C ．7．如图，一张扇形纸片OAB ，∠AOB ＝120°，OA ＝6，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 重合，折痕为CD ，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为 （ ）A ．B ．12π-C ．D ．6π-【解析】 连接AD 、DO ，由折叠可知，AD OD S S =弓形弓形，DA DO =，∵OA OD =，∴AD OD OA ==，∴AOD △是等边三角形，∴60AOD ∠=︒，30DOB ∠=︒，∵6AD OD OA ===， ∴CD =∴26061663602ADOAD ADO S S S ππ=-=-⨯⨯=-△弓形扇形∴6OD S π=-弓形，∴阴影部分的面积=(26066360ODBDO S S ππ-=--=弓形扇形； 故答案选A ．8．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，以点A 为圆心、AC 的长为半径作CE 交AB 于点E ，以点B 为圆心、BC 的长为半径作CD 交AB 于点D ，则阴影部分的面积为（ ）A ．π一2B ．2π﹣4C ．4π﹣8D ．2π﹣【解析】 解：∵∠ACB =90°，AC =BC =4，∴S △ABC =12×4×4=8， S 扇形BCD 24542360ππ⨯==， S 空白=2×(8-2π)=16-4π，S 阴影=S △ABC -S 空白=8-16+4π=4π-8，故选：C ．二、填空题（每题3分，共24分）9．如图，在33⨯的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A 、B 、O 是格点，则图中扇形OAB 中阴影部分的面积是___．【解析】解:在△ACO 和△ODB 中，AC OD ACO ODB CO DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACO ≌△ODB （SAS ），∴∠CAO ＝∠BOD ，∵∠ACO ＝90°，∴∠CAO +∠AOC ＝90°，∴∠BOD +∠AOC ＝90°，∴∠AOB ＝90°，由勾股定理得，OA ＝OB∴扇形OAB﹣1254π﹣52， 故答案为：5542π-．10．扇形的半径为5，圆心角等于120︒，则扇形的面积等于______．【解析】解：S 扇形21205253603ππ⨯==．故答案为：253π． 11．如图，以ABC 各个顶点为圆心，6cm 为半径画圆，则图中阴影部分的面积为____________．（结果保留π）【解析】∵三角形的内角和为180︒，又∵半径为6cm ，()22180618360cm ππ⋅⋅∴=， 故答案为：218cm π．12．一个扇形的半径为10，圆心角是120°，该扇形的弧长是________．【解析】 扇形的弧长为12010180π︒⨯⨯︒=203π 故答案为：203π． 13．半径为5cm 的圆中，若扇形面积为225cm 3π，则它的圆心角为________________． 【解析】根据题意可知该扇形的半径为5cm ， ∴由扇形的面积公式可知，22553360n ππ⨯=， 解得：120n =︒．故答案为：120︒．14．如图，已知在扇形AOB 中，120AOB ∠=︒，半径8OA OB ==．P 为弧AB 上的动点，过点P 作PM OA ⊥于点M ，PN OB ⊥于点N ，点M ，N 分别在半径,OA OB 上，连接MN ．点D 是PMN 的外心，则点D 运动的路径长为________．【解析】如图：连接,,,OD DP DM DN,PM OA PN OB ⊥⊥90,90PMO PNO ∴∠=︒∠=︒点D 是PMN 的外心∴,DM DP DP DN ==,PMD MPD PND NPD ∴∠=∠∠=∠90PMD DMO PMO ∠+∠=∠=︒90PND DNO PNO ∠+∠=∠=︒90POM MPO ∠+∠=︒90PON OPN ∠+∠=︒,DMO MOP PON DNO ∴∠=∠∠=∠,MD DO DO DN ==DM DN DO DP ∴===P O M N ∴、、、四点共圆90,90PMO PNO ∠=︒∠=︒∴OP 为圆的直径8OA =, ∴11=422OD OP OA == 120AOB ∠=︒设点D 运动的路径长为l ，∴ 120441801803n l r πππ==⨯= 故答案为：43π． 15．如图，已知半圆O 的直径6AB =，将半圆O 绕点A 逆时针旋转，使点B 落在点B '处，AB '与半圆O 交于点C ，若弧BC 的长为32π，则图中阴影部分的面积是_________．【解析】解：连接OC ，设∠BOC =n °，∵弧BC 的长为32π，半圆O 的直径6AB =， ∴331802n ππ⨯=，解得：n =90，即∠BOC =90°， ∴∠BAC =45°，∴根据旋转的性质得=O O BOB S S S S '+-阴影半圆半圆扇形= BOB S '扇形= 2456360π⨯=92π， 故答案为：92π．16．如图，矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝4，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ，连接BD ，则阴影部分的面积为__．（结果保留π）【解析】解：连接OE 交BD 于F ，∵以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ，∴OE ⊥BC ，∵四边形ABCD 为矩形，OA ＝OD ＝4，CD ＝4，∴四边形ODCE 和四边形ABEO 都是正方形，∴BE ＝4，∠DOE ＝∠BEO ＝90°，在△ODF 和△EBF 中，90DOF BEF OFD EFB DO BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ODF ≌△EBF （AAS ），∴S △ODF ＝S △EBF ， ∴阴影部分的面积2904===4360EOD S ππ⨯扇形， 故答案为：4π．三、解答题（每题8分，共72分）17．如图，在平面直角坐标系中，点P (3，4)，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转90°得线段OP 1．(1)在图中作出线段OP 1，并写出P 1点的坐标；(2)求点P 在旋转过程中所绕过的路径长；(3)求线段OP 在旋转过程中所扫过的图形的面积．【解析】解：（1）如图所示，线段OP 1即为所求，P 1点的坐标为（﹣4，3）；（2）点P 在旋转过程中所绕过的路径长为：90551802ππ⨯⨯=； （3）线段OP 在旋转过程中所扫过的图形的面积为：2905253604ππ⨯⨯=． 18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，O 是边AC 上的点，以OC 为半径的圆分别交边BC 、AC 于点D 、E ，过点D 作DF ⊥AB 于点F ．（1）求证：直线DF 是⊙O 的切线；（2）若OC ＝1，∠A ＝45°，求劣弧DE 的长．【解析】证明：如图，连结OD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠ACB，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵DF⊥AB，∴∠ODF＝∠BFD＝90°，∵OD为半径，∴直线DF是⊙O的切线；（2）解：∵∠A＝45°，OD∥AB，∴∠AOD＝180°﹣45°＝135°，∴劣弧DE的长为1353 1804ππ⨯=．19．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）∠C＝45°，⊙O 的半径为2，求阴影部分面积．【解析】解：（1）连接OE ．∵OA＝OE ，∴∠OAE＝∠OEA，又∵∠DAE＝∠OAE，∴∠OEA＝∠DAE，∴OE∥AD，∴∠ADC＝∠OEC，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，故∠OEC＝90°．∴OE⊥CD，∴CD 是⊙O 的切线；（2）∵∠C＝45°，∴△OCE 是等腰直角三角形，∴CE＝OE ＝2，∠COE＝45°，∴阴影部分面积＝S △OCE ﹣S 扇形OBE ＝12⨯2×2﹣2452360π⨯＝2﹣2π． 20．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABO ∆的三个顶点分别为()()1,3,4,3,A B O --()0,0．（1）画出ABO ∆关于x 轴对称的11A BO ∆，并写出点1B 的坐标； （2）画出ABO ∆绕点O 顺时针旋转90︒后得到的22B O ∆A ，并写出点2B 的坐标；（3）在（2）的条件下，求点B 旋转到点2B 所经过的路径长（结果保留π）．【解析】解：（1）如图所示：∴由图象可得()14,3B --；（2）如图所示：∴由图象可得()23,4B ；（3）由（2）的图象可得：点B 旋转到点2B 所经过的路径为圆弧，∵5OB =，∴点B 旋转到点2B 所经过的路径长为90551801802n r l πππ⨯===．21．如图，AB 是O 的直径，弦CD 垂直平分OB ，交OB 于点E ，CD =（1）求BD 的长．（2）求劣弧AC 的弧长．【解析】解：（1）设圆O 的半径为r ，∵CD 垂直平分OB ，∴CE =DE =OE =BE =12r ，∠OEC =∠BED =90°，∴△OEC ≌△BED （SAS ），∴BD =OC =r ，在△OCE 中，222OE CE OC +=，即(22212r r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：r =8或-8（舍），∴BD =OC =8；（2）∵cos∠COE =12OE OC =，∴∠COB =60°，∴∠AOC =120°，∴劣弧AC =8120180π⨯⨯=163π．22．如图，已知等边ABC 的边长为6，以AB 为直径的O 与边AC ，BC 分别交于D ，E 两点，连结OD ，OE ．（1）求DOE ∠的度数．（2）求劣弧DE 的长．【解析】解：（1）∵ABC 是等边三角形，∴=60A B C ∠=∠=∠︒，∵6AB =，∴3OA OB OE OD ====，∴△AOD 、△OBE 都为等边三角形，∴=60AOD EOB ∠=∠︒，∴=60DOE ∠︒；（2）由（1）及弧长计算公式可得：603180180n r l πππ⨯===． 23．如图，AB 为⊙O 的直径，且AB ＝4，点C 是弧AB 上的一动点（不与A ，B 重合），过点B 作⊙O 的切线交AC 的延长线于点D ，点E 是BD 的中点，连接EC ．（1）若BD ＝8，求线段AC 的长度；（2）求证：EC 是⊙O 的切线；（3）当∠D ＝30°时，求图中阴影部分面积．【解析】解：（1）如图，连接BC ，∵BD 是⊙O 的切线，∴∠ABD＝90°，∵AB＝4，BD ＝8，∵AB 为⊙O 的直径，∴BC⊥AD，∴BC＝AB BDAD ⋅5，（2）连接OC ，OE ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△BDC 中，∵BE＝ED ，∴DE＝EC ＝BE ，∵OC＝OB ，OE ＝OE ，∴△OCE≌△OBE（SSS ），∴∠OCE＝∠OBE，∵BD 是⊙O 的切线，∴∠ABD＝90°，∴∠OCE＝∠ABD＝90°，∵OC 为半径，∴EC 是⊙O 的切线；（3）∵OA＝OB ，BE ＝DE ，∴AD∥OE，∴∠D＝∠OEB，∵∠D＝30°，∴∠OEB＝30°，∠EOB＝60°，∴∠BOC＝120°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴BE＝∴四边形OBEC 的面积为2S △OBE ＝2×12∴阴影部分面积为S 四边形OBEC ﹣S 扇形BOC ＝21202360π⋅⨯＝43π．24．如图，在ABC 中，AC BC BD ==，点O 在AC 边上，OC 为O 的半径，AB 是O 的切线，切点为点D ，2OC =，OA =（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）求阴影部分的面积．【解析】如图，连接OD ，∵AB 是O 的切线，切点为点D ，∴∠ODB =90°，在△OBC 和△OBD 中BC BDOC ODOB OB=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△OBC ≌△OBD ，∴∠OCB =∠ODB =90°，∵OC 为O 的半径，∴BC 是O 的切线．（2）∵∠OCB =90°，AC BC =，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠AOD =45°，∴∠COD =135°，∵△OBC ≌△OBD ，∴S △OBC =S △OBD ，∵2OC =，OA =∴2BC AC OC OA ==+=+∴S 阴影=2S △OBC -S 扇形COD =2×12OC ·BC -2135360OC π⋅=342π+． 25．如图，在平行四边形ABCD 中，点A 、B 、D 三个点在⊙O 上，CD 与⊙O 交于点F ，连结BO 并延长交边AD 于点E ，点E 恰好是AD 的中点．（1）求证：BC 是⊙O 的切线．（2）若175AE BAD =∠=︒，，①求BE 的长．②求阴影部分的面积．【解析】（1）由题意，根据垂径定理BE AD ⊥， ∵四边形ABCD 平行四边形，∴//AD BC ，∴BE BC ⊥，∵OB 为半径，∴BC 是⊙O 的切线；（2）如图，连接AO ，∵//AD BC ，75BAD ∠=︒，∴105ABC ∠=︒，∵90OBC ∠=︒，∴1059015ABO ∠=︒-︒=︒，∵OA OB =，∴15BAO ABO ∠=∠=︒，∴751560OAE ∠=︒-︒=︒，∴在Rt AOE 中，30AOE ∠=︒，∴22AO AE ==，OE == ∴2BO AO ==，∴2BE BO OE =+=∴2BE =②如图，连接OD ，OF ，BF ， 由题意，105ADC ∠=︒，由①可知，60ODE ∠=︒，30DOE ∠=︒， ∴45ODF ∠=︒，∵OD OF =，∴45ODF OFD ∠=∠=︒，∴90DOF ∠=︒,ODF △为等腰直角三角形， ∴60BOF ∠=︒，∴DOE DOF BCDE BOF S S S S S =---阴影梯形扇形， 由①可知，1ED AE ==，2BC AD ==，∴()()(11·122322BCDE S ED BC BE =+=⨯+⨯=梯形，11122DOE S ED OE ==⨯=△， 1122222DOF S DO OF ==⨯⨯=△， 260223603BOF S ππ⨯==扇形，∴2232133S ππ=--=+阴影，∴阴影部分的面积213S π=+．。
苏教版九年级数学上册第二章 2.7 弧长及扇形的面积 练习题(含答案解析)
第二章 2.7 弧长及扇形的面积一．选择题（共13小题）1．（2019•大庆）如图，在正方形ABCD中，边长AB＝1，将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1，则线段CD扫过的面积为（）A．B．C．πD．2π2．（2019•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是（）A．π﹣1B．4﹣πC．D．2 3．（2019•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．+C．2﹣πD．4﹣4．（2019•资阳）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A．5πB．6πC．20πD．24π5．（2019•临沂）如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（）A．2+πB．2++πC．4+πD．2+π6．（2019•凉山州）如图，在△AOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）cm2．A．B．2πC．πD．π7．（2019•泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π8．（2019•南充）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．6πB．3πC．2πD．2π9．（2019•枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣π10．（2018•兴安盟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为3时，则阴影部分的面积为（）A．18﹣πB．π﹣9C．π﹣9D．π﹣1811．（2018•安丘市）如图，在直角坐标系中，圆经过点O，与X轴，y轴分别交于A，B两点，且A（0，2），B（2，0），则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣B．C．D．12．（2018•巴彦淖尔）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA 交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．+B．+2C．+D．2+13．（2018•济南）如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣B．6π﹣9C．12π﹣D．二．填空题（共11小题）14．（2019•内江）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD 为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为．15．（2019•吉林）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的▱ODCE的顶点C在上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是（结果保留π）．16．（2019•梧州）如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，则阴影部分的扇形OAC面积是．17．（2019•十堰）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为．18．（2019•福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）19．（2019•荆门）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为．20．（2019•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC ⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为．21．（2019•泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为cm．22．（2019•重庆）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是．23．（2019•重庆）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB ＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）24．（2018•河南）如图，在矩形ABCD中，BC＝2，CD＝，以点B为圆心，BC的长为半径作交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径作交AB于点F，则图中阴影部分的面积为．三．解答题（共10小题）25．如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．26．如图，AB为⊙O直径，OE⊥BC垂足为E，AB⊥CD垂足为F．（1）求证：AD＝2OE；（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求两阴影部分面积的和．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D，与边AC交于点E，连结OD，OE．（1）求证：BD＝CE．（2）若∠C＝55°，BC＝10，求扇形DOE的面积．28．如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，AE∥CD交⊙O于点E，连结BE交CD于点F．（1）求证：弧BD＝弧ED；（2）若⊙O的半径为6，AE＝6，求图中阴影部分的面积．29．如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC＝BC．以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB于点D．（1）求∠ABC的度数；（2）若AB＝2，求阴影部分的面积．30．文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积．证明：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝，S5＝，S6＝+，S＝S1+S6＝S1+S2+S3＝．阴影31．如图，⊙O的直径AB＝12，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD．（1）由AB，BD，围成的阴影部分的面积是；（2）求线段DE的长．32．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别是a厘米和b厘米，图中阴影部分是由BF、BC和弧CF围成，求阴影部分的面积．33．如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD交于点E，且AE＝BC．（1）求证：AB＝CB；（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．34．如图，长方形ABCD的周长为28，且AB：BC＝3：4，求：（1）弧BE的长度；（2）图中阴影部分的面积．答案与解析一．选择题（共13小题）1．（2019•大庆）如图，在正方形ABCD中，边长AB＝1，将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1，则线段CD扫过的面积为（）A．B．C．πD．2π【分析】根据中心对称的性质得到CC1＝2AC＝2×AB＝2，根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1，∴CC1＝2AC＝2×AB＝2，∴线段CD扫过的面积＝×（）2•π﹣×π＝，故选：B．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，正方形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．2．（2019•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径作半圆，交AB于点D，则阴影部分的面积是（）A．π﹣1B．4﹣πC．D．2【分析】连接CD，根据圆周角定理得到CD⊥AB，推出△ACB是等腰直角三角形，得到CD＝BD，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接CD，∵BC是半圆的直径，∴CD⊥AB，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴△ACB是等腰直角三角形，∴CD＝BD，∴阴影部分的面积＝×22＝2，故选：D．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．（2019•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．+C．2﹣πD．4﹣【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是△ABC的面积减去△AOD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，∴tan A＝，∴∠A＝30°，∴∠DOB＝60°，∵OD＝AB＝，∴DE＝，∴阴影部分的面积是：＝，故选：A．【点评】本题考查扇形面积的计算、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．4．（2019•资阳）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A．5πB．6πC．20πD．24π【分析】根据圆的面积和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：圆所扫过的图形面积＝π+2π×2＝5π，故选：A．【点评】本题考查了圆的面积的计算矩形的面积的计算，圆的周长的计算，中点圆所扫过的图形面积是圆的面积与矩形的面积和是解题的关键．5．（2019•临沂）如图，⊙O中，＝，∠ACB＝75°，BC＝2，则阴影部分的面积是（）A．2+πB．2++πC．4+πD．2+π【分析】连接OB、OC，先利用同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，求出扇形的圆心角为60度，即可求出半径的长2，利用三角形和扇形的面积公式即可求解；【解答】解：作OD⊥BC，则BD＝CD，连接OB，OC，∴OD是BC的垂直平分线，∵＝，∴AB＝AC，∴A在BC的垂直平分线上，∴A、O、D共线，∵∠ACB＝75°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝OC＝BC＝2，作AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴AD经过圆心O，∴OD＝OB＝，∴AD＝2+，∴S△ABC＝BC•AD＝2+，S△BOC＝BC•OD＝，∴S阴影＝S△ABC+S扇形BOC﹣S△BOC＝2++﹣＝2+π，故选：A．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，圆周角定理，垂径定理等，明确S阴影＝S△ABC+S ﹣S△BOC是解题的关键．扇形BOC6．（2019•凉山州）如图，在△AOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）cm2．A．B．2πC．πD．π【分析】根据旋转的性质可以得到阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式即可求解．【解答】解：∵△AOC≌△BOD，∴阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积＝﹣＝2π，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，正确理解：阴影部分的面积＝扇形OAB的面积﹣扇形OCD的面积是解题关键．7．（2019•泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．【解答】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．【点评】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．8．（2019•南充）如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．6πB．3πC．2πD．2π【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到AB＝OC，推出△AOB是等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OB，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB＝OC，∴AB＝OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵OC∥AB，∴S△AOB＝S△ABC，∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB＝＝6π，故选：A．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键．9．（2019•枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣π【分析】根据S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE计算即可．【解答】解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，故选：C．【点评】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．10．（2018•兴安盟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为3时，则阴影部分的面积为（）A．18﹣πB．π﹣9C．π﹣9D．π﹣18【分析】连接OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．【解答】解：如图，连接OC，∵在扇形AOB中∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，∴∠COD＝45°，∴OC＝＝6，∴阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积＝﹣×（3）2＝π﹣9．故选：C．【点评】考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．11．（2018•安丘市）如图，在直角坐标系中，圆经过点O，与X轴，y轴分别交于A，B两点，且A（0，2），B（2，0），则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣B．C．D．【分析】找到圆心，根据垂径定理求出半径，然后计算扇形面积，再减去等腰三角形的面积，即得阴影面积．【解答】解：确定圆心P，作PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D，连接PO，PB根据垂径定理，可知点C、D分别为OA、OB的中点由题意知A（0，2），B（2，0），于是有OD＝，PD＝1∴PO＝PB＝2，且∠POB＝∠PBO＝30°∴∠OPB＝120°于是S阴影＝S扇形POB﹣S△POB即：S阴影＝﹣×2×1＝﹣故选：B．【点评】本题考查的是扇形面积的相关计算，根据垂径定理求出圆的半径，再用公式求出阴影部分的面积．12．（2018•巴彦淖尔）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA 交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．+B．+2C．+D．2+【分析】连接OE、AE，根据点C为OC的中点可得∠CEO＝30°，继而可得△AEO为等边三角形，求出扇形AOE的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COD的面积，再减去S空白AEC即可求出阴影部分的面积．【解答】解：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴EO＝2OC，∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE＝＝，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）＝﹣﹣（﹣）＝4π﹣π﹣+2＝+2故选：B．【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S＝．13．（2018•济南）如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣B．6π﹣9C．12π﹣D．【分析】连接OD，如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，AC＝OC，则OD＝2OC＝6，CD＝3，从而得到∠CDO＝30°，∠COD＝60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD，进行计算即可．【解答】解：连接OD，如图，∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，∴AC＝OC，∴OD＝2OC＝6，∴CD＝＝3，∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD＝﹣•3•3＝6π﹣，∴阴影部分的面积为6π﹣．故选：A．【点评】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．记住扇形面积的计算公式．也考查了折叠性质．二．填空题（共11小题）14．（2019•内江）如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD 为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为．【分析】连接OE，作OF⊥DE，先求出∠COE＝2∠D＝60°、OF＝OD＝1，DF＝OD cos∠ODF＝，DE＝2DF＝2，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得．【解答】解：如图，连接OE，作OF⊥DE于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A＝150°，∴∠D＝30°，则∠COE＝2∠D＝60°，∵CD＝4，∴CO＝DO＝2，∴OF＝OD＝1，DF＝OD cos∠ODF＝2×＝，∴DE＝2DF＝2，∴图中阴影部分的面积为+×2×1＝+，故答案为：+．【点评】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式：S＝是解题的关键．15．（2019•吉林）如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°．D，E分别是半径OA，OB上的点，以OD，OE为邻边的▱ODCE的顶点C在上．若OD＝8，OE＝6，则阴影部分图形的面积是25π﹣48（结果保留π）．【分析】连接OC，根据同样只统计得到▱ODCE是矩形，由矩形的性质得到∠ODC＝90°．根据勾股定理得到OC＝10，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，四边形ODCE是平行四边形，∴▱ODCE是矩形，∴∠ODC＝90°．∵OD＝8，OE＝6，∴OC＝10，∴阴影部分图形的面积＝﹣8×6＝25π﹣48．故答案为：25π﹣48．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．16．（2019•梧州）如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，则阴影部分的扇形OAC面积是．【分析】根据三角形外角的性质得到∠C＝∠ADO﹣∠CAB＝65°，根据等腰三角形的性质得到∠AOC＝50°，由扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，∴∠C＝∠ADO﹣∠CAB＝65°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝65°，∴∠AOC＝50°，∴阴影部分的扇形OAC面积＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了扇形面积的计算，由等腰三角形的性质和三角形的内角和求出∠AOC 是解题的关键．17．（2019•十堰）如图，AB为半圆的直径，且AB＝6，将半圆绕点A顺时针旋转60°，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为6π．【分析】根据图形可知，阴影部分的面积是半圆的面积与扇形ABC的面积之和减去半圆的面积．【解答】解：由图可得，图中阴影部分的面积为：＝6π，故答案为：6π．【点评】本题考查扇形面积的计算、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．（2019•福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是π﹣1．（结果保留π）【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．【解答】解：延长DC，CB交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（4π﹣4）＝π﹣1，故答案为：π﹣1．【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．19．（2019•荆门）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为+﹣．【分析】过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，根据等边三角形的性质得到AM＝BC ＝×2＝，求得EN＝AM＝，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，∵等边三角形ABC的边长为2，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∴AM＝BC＝×2＝，∵AD＝AE＝1，∴AD＝BD，AE＝CE，∴EN＝AM＝，∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ADE﹣S△CEF﹣（S△BCD﹣S扇形DCF）＝×2×﹣﹣×﹣（×﹣）＝+﹣，故答案为：+﹣．【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．20．（2019•河南）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC ⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为+π．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是△AOD的面积与扇形OBC的面积之和再减去△BDO的面积，本题得以解决．【解答】解：作OE⊥AB于点F，∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA＝2，∴∠AOD＝90°，∠BOC＝30°，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴OD＝OA•tan30°＝×＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2×＝6，OF＝，∴BD＝2，∴阴影部分的面积是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π，故答案为：+π．【点评】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．（2019•泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为6πcm．【分析】直接利用弧长公式计算即可．【解答】解：该莱洛三角形的周长＝3×＝6π（cm）．故答案为6π．【点评】本题考查了弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．也考查了等边三角形的性质．22．（2019•重庆）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是8﹣8．【分析】根据题意可以求得∠BAE和∠DAE的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积就是矩形的面积与矩形中间空白部分的面积之差再加上扇形EAF与△ADE的面积之差的和，本题得以解决．【解答】解：连接AE，∵∠ADE＝90°，AE＝AB＝4，AD＝2，∴sin∠AED＝，∴∠AED＝45°，∴∠EAD＝45°，∠EAB＝45°，∴AD＝DE＝2，∴阴影部分的面积是：（4×﹣）+（）＝8﹣8，故答案为：8﹣8．【点评】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．23．（2019•重庆）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB ＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为2﹣π．（结果保留π）【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，根据直角三角形的性质求出AC、BD，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，∠BAD＝∠BCD＝120°，∴AO＝AB＝1，由勾股定理得，OB＝＝，∴AC＝2，BD＝2，∴阴影部分的面积＝×2×2﹣×2＝2﹣π，故答案为：2﹣π．【点评】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．24．（2018•河南）如图，在矩形ABCD中，BC＝2，CD＝，以点B为圆心，BC的长为半径作交AD于点E；以点A为圆心，AE的长为半径作交AB于点F，则图中阴影部分的面积为+．【分析】连接BE、EF，根据勾股定理求出AE，根据正弦的定义求出∠ABE，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．【解答】解：连接BE、EF，由题意得．BE＝BC＝2，由勾股定理得，AE＝＝1，sin∠ABE＝＝，∴∠ABE＝30°，∴∠CBE＝60°，则图中阴影部分的面积＝扇形EBC的面积+△ABE的面积﹣扇形EAF的面积＝+×1×﹣＝+，故答案为：+．【点评】本题考查的是扇形面积计算、矩形的性质，掌握扇形面积公式：S＝是解题的关键．三．解答题（共10小题）25．（2017•贵阳）如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD、AC，DE ⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．（1）求∠AFE的度数；（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．【分析】（1）连接OD，OC，根据已知条件得到∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，根据圆周角定理得到∠CAB＝30°，于是得到结论；（2）由（1）知，∠AOD＝60°，推出△AOD是等边三角形，OA＝2，得到DE＝，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）连接OD，OC，∵C、D是半圆O上的三等分点，∴＝＝，∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，∴∠CAB＝30°，∵DE⊥AB，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°﹣30°＝60°；（2）由（1）知，∠AOD＝60°，∵OA＝OD，AB＝4，∴△AOD是等边三角形，OA＝2，∵DE⊥AO，∴DE＝，∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×＝π﹣．【点评】本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．26．（2019•台江区模拟）如图，AB为⊙O直径，OE⊥BC垂足为E，AB⊥CD垂足为F．（1）求证：AD＝2OE；（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半径为2，求两阴影部分面积的和．【分析】（1）证明：连接AC，因为AB⊥CD，所以，AC＝BD，又OE⊥BC，则E为BC的中点，OE＝AC，OE＝AD，即AD＝2OE；（2）S半圆＝π•OB2＝＝2π，S△ABC＝AC•BC＝＝2，S阴影＝S半圆﹣S△ABC＝2π﹣2．【解答】解：（1）证明：连接AC，∵AB⊥CD，∴，∴AC＝BD，∵OE⊥BC，∴E为BC的中点，∵O为AB的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴OE＝AC，∴OE＝AD，即AD＝2OE；（2）S半圆＝π•OB2＝＝2π，∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝30°，AB＝4，∴AC＝AB＝，BC＝，S△ABC＝AC•BC＝＝2，∵AB⊥CD，∴拱形AD的面积＝弓形AC的面积，∴S阴影＝S半圆﹣S△ABC＝2π﹣2．【点评】本题是圆的综合题，熟练运用垂径定理、特殊直角三角形的性质以及扇形面积公式是解题的关键．27．（2019•上城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D，与边AC交于点E，连结OD，OE．（1）求证：BD＝CE．（2）若∠C＝55°，BC＝10，求扇形DOE的面积．【分析】（1）欲证明BD＝CE，只要证明＝即可．（2）求出∠DOE，利用扇形的面积公式计算即可．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴＝，∴＝，∴EC＝BD．（2）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝55°，∵OB＝OD，OC＝OE，∴∠B＝∠CDB＝55°，∠C＝∠OEC＝55°，∴∠BOD＝∠EOC＝70°，∴∠DOE＝40°，∴S扇形ODE＝＝【点评】本题考查扇形的面积，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．28．（2019•南浔区一模）如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，AE∥CD交⊙O于点E，连结BE交CD于点F．（1）求证：弧BD＝弧ED；（2）若⊙O的半径为6，AE＝6，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到＝，根据平行线的性质得到＝，等量代换证明结论；（2）连接OE，作OH⊥AE于H，根据余弦的定义求出∠OAH，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．【解答】（1）证明：∵AB，CD是⊙O的两条直径，∴∠AOC＝∠BOD，∴＝，∵AE∥CD，∴＝，∴＝；（2）解：连接OE，作OH⊥AE于H，则AH＝HE＝AE＝3，cos∠OAH＝＝，∴∠OAH＝30°，∴OH＝OA＝3，∠AOH＝60°，∴∠AOE＝120°，∴图中阴影部分的面积＝﹣×6×3＝12π﹣9．【点评】本题考查的是扇形面积计算、垂径定理，掌握扇形面积公式：S＝是解题的关键．29．（2019•资中县一模）如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC＝BC．以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB于点D．（1）求∠ABC的度数；（2）若AB＝2，求阴影部分的面积．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵AB为半圆⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠ABC＝45°；（2）∵AB＝2，∴阴影部分的面积＝2×1﹣＝1﹣．【点评】本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．30．（2019•北京模拟）文艺复兴时期，意大利艺术大师达．芬奇研究过用圆弧围成的部分图形的面积问题．已知正方形的边长是2，就能求出图中阴影部分的面积．证明：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝S2，S5＝，S6＝S4+S5，S阴影＝S1+S6＝S1+S2+S3＝2．【分析】利用图形的拼割，正方形的性质，寻找等面积的图形，即可解决问题；【解答】证明：由题意：S矩形ABCD＝S1+S2+S3＝2，S4＝S2，S5＝S3，S6＝S4+S5，S阴影面积＝S1+S6＝S1+S2+S3＝2．故答案为：S2，S3，S4，S5，2．【点评】本题考查正方形的性质、矩形的性质、扇形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．31．（2018•兰山区二模）如图，⊙O的直径AB＝12，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，过点D作DE∥AB交CA的延长线于点E，连接AD，BD．（1）由AB，BD，围成的阴影部分的面积是9π+18；（2）求线段DE的长．【分析】（1）根据题意作出合适的辅助线，然后根据题目中的数据和图形，即可求得阴影部分的面积；（2）根据题意和图形，利用平行线的性质和特殊角的三角函数可以求得DE的长．【解答】解：（1）连接OD，∵⊙O的直径AB＝12，弦AC＝6，∠ACB的平分线交⊙O于D，∴∠ADB＝90°，AD＝BD，∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∴OB＝OD＝6，∴由AB，BD，围成的阴影部分的面积是：＝9π+18，故答案为：9π+18；（2）作AF⊥DE于点F，则AF＝OD＝6，∵AB∥DE，∠OAB＝45°，∴∠ADF＝∠OAB＝45°，∴DF＝AF＝6，∵∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝12，∴∠CBA＝30°，∴∠CAB＝60°，∵AB∥DE，∴∠E＝∠CAB＝60°，∵AF＝6，∠AFE＝90°，∴EF＝，∴DE＝EF+DF＝2+6．【点评】本题考查扇形的面积、勾股定理、垂径定理、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．32．（2018秋•兴业县期末）如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别是a厘米和b 厘米，图中阴影部分是由BF、BC和弧CF围成，求阴影部分的面积．【分析】根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接CF，则阴影部分的面积＝S△BCF+S扇形CGF﹣S△CGF＝ab+πb2﹣b2＝．【点评】本题考查了扇形的面积，正方形的性质，三角形的面积，正确的理解题意是解题的关键．33．（2018秋•滨湖区期末）如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD ＝DB，AC与BD交于点E，且AE＝BC．（1）求证：AB＝CB；（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）证明△ADE≌△BDC（SAS），推出∠ADE＝∠BDC，推出＝即可解决问题．（2）证明S阴＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AD＝BD，∠DAE＝∠DBC，AE＝BC，∴△ADE≌△BDC（SAS），∴∠ADE＝∠BDC，∴＝．∴AB＝BC．（2）解：S阴＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF＝＝．【点评】本题考查扇形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．34．（2018秋•嘉定区期末）如图，长方形ABCD的周长为28，且AB：BC＝3：4，求：（1）弧BE的长度；（2）图中阴影部分的面积．【分析】（1）求出AB即可解决问题．（2）S＝S扇形BCF﹣S△EDF﹣（S长方形ABCD﹣S扇形ABE）计算即可．【解答】解：（1）由题意AB＝28÷2×＝6，BC＝28÷2×＝8，∴＝＝3π．（2）S＝S扇形BCF﹣S△EDF﹣（S长方形ABCD﹣S扇形ABE）＝S扇形BCF+S扇形ABE﹣S△EDF﹣S长方形ABCD＝+﹣×2×2﹣6×8＝25π﹣50【点评】本题考查矩形的性质，弧长公式，扇形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．31。
九年级数学苏科版上册课时练第2单元《2.7 弧长及扇形的面积》(2) 练习试题试卷 含答案
课时练2.7弧长及扇形的面积一、选择题1.若扇形的半径为6，圆心角为120°，则此扇形的弧长是()A.3πB.4πC.5πD.6π2.如图，PA、PB 是⊙O 切线,切点分别为A、B,若OA=2,∠P=60°,则长为（）A.πB.πC.D.3.钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是()A.103p cm B.203p cm C.253p cm D.503p cm 4.如图，菱形ABCD 中，∠B=70°，AB=3，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E，则弧DE 的长为()A.πB.πC.πD.π5.已知半径为5的⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠ABC=25°，则劣弧AC ︵的长为()A.25π36B.125π36C.25π18D.5π366.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2，∠B=135°，则的长（）A.2πB.πC.D.7.如图,AB 为⊙O 的直径,AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G,EF 切⊙O 于点B,∠A=30°,连接AD、OC、BC,下列结论不正确的是（）A.EF∥CDB.△COB 是等边三角形C.CG=DGD.的长为π8.如图,从一张腰长为60cm,顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD,用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面(不计损耗),则该圆锥的高为（）A.10cmB.15cmC.10cmD.20cm9.如图，线段AB 经过⊙O 的圆心，AC，BD 分别与⊙O 相切于点C，D．若AC=BD=4，∠A=45°，则的长度为()A．πB．2πC．2πD．4π10.图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A 点到B 点，甲虫沿ADA 1、A 1EA 2、A 2FA 3、A 3GB 路线爬行，乙虫沿ACB 路线爬行，则下列结论正确的是（）A．甲先到B 点B．乙先到B 点C．甲、乙同时到BD．无法确定二、填空题11.已知扇形的半径为3cm，其弧长为2πcm，则此扇形的圆心角等于度，扇形的面积是.(结果保留π)12.已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这条弧所对的圆心角为.13.75°的圆心角所对的弧长是2.5πcm，则此弧所在圆的半径是cm．14.弧长为12πcm，此弧所对的圆心角为240°，则此弧所在圆的半径为．15.已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长20πcm，则此扇形的半径是cm，面积是cm 2.16.如图，在扇形OAB 中，∠AOB=60°，扇形半径为r，点C 在AB ︵上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD 的面积最大时，AC ︵的长为.三、解答题17.如图，已知AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的点，OC∥BD，交AD 于点E，连结BC.(1)求证：AE=ED；(2)若AB=10，∠CBD=36°，求AC ︵的长.18.如图，AB 是⊙O 的直径，AB⊥弦CD，垂足为E，∠A=27°，CD=8cm，BE=2cm．（1）求⊙O 的半径，（2）求的长度（结果保留π）．19.如图，在Rt△ABC 中，∠B=90°，点O 在边AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆经过点C，过点C 作直线MN，使∠BCM=2∠A．（1）判断直线MN 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．20.如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AD=2，AB=22，以点A 为圆心，AD 为半径的圆与BC 相切于点E，交AB 于点F.(1)求∠ABE 的大小及DEF ︵的长度；(2)在BE 的延长线上取一点G，使得DE ︵上的一个动点P 到点G 的最短距离为22－2，求BG 的长.参考答案1.B2.C3.B4.A5.C.6.B．7.D8.D9.B.10.C11.120，3πcm 2.12.160°13.6．14.9cm．15.24；240π；16.14πr.17.解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°.∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，∴AE=ED.(2)∵OC⊥AD，∴AC ︵=CD ︵，∴∠ABC=∠CBD=36°，∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，∴AC ︵=72π×5180=2π.18.解：连接OC，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，∴CE=DE=CD=4cm，∵BE=2cm，∴OE=OC﹣2，∴OC 2=42+（OC﹣2）2，∴OC=∴△COE 为等腰直角三角形，∴OC=5，即⊙O 的半径为5cm；（2）∵∠A=27°，∴∠BOC=54°，∴的长度==π，∵，∴的长度=π．19.解：（1）MN 是⊙O 切线．理由：连接OC．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，∴∠BCM=∠BOC，∵∠B=90°，∴∠BOC+∠BCO=90°，∴∠BCM+∠BCO=90°，∴OC⊥MN，∴MN 是⊙O 切线．（2）由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，∴∠AOC=120°，在RT△BCO 中，OC=OA=4，∠BCO=30°，∴BO=OC=2，BC=2∴S 阴=S 扇形OAC ﹣S △OAC =﹣=﹣4．20.解：（1）连接AE，如图，∵以AD 为半径的圆与BC 相切于点E，∴AE⊥BC，AE=AD=2.在Rt△AEB 中，AE=2，AB=22，∴BE=2，即△ABE 是等腰直角三角形，∴∠ABE=45°.∵AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABE=180°，∴∠DAB=135°，∴DEF ︵的长度为135π·2180=3π2；（2）如图，根据两点之间线段最短，可得当A，P，G 三点共线时PG 最短，此时AG=AP＋PG=2＋22－2=22，∴AG=AB.∵AE⊥BG，∴BE=EG.∴BG=2BE=4.。
苏科版九年级数学上册2.7弧长及扇形的面积(含解析)
2.7弧长及扇形的面积一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019春•建湖县期中）如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，OA∥BC，∠OAB＝70°，则劣弧AC的长为（ ）A．6πB．7πC．πD．π2．（2019秋•常州期中）一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm，以点A为圆心，AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F，则商标图案的面积是（ ）A．（4π+8）cm2B．（4π+16）cm2C．（3π+8）cm2D．（3π+16）cm2 3．（2019秋•邳州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，分别以A，C为圆心，以的长为半径作圆．将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（ ）cm2A．6πB．6πC．πD．6π4．（2019秋•东海县期中）如图，分别以等边三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若等边三角形边长为3cm，则该莱洛三角形的周长为（ ）A．2πB．9C．3πD．6π5．（2019秋•建湖县期中）如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，则图中阴影部分面积（ ）A．πB．π﹣5C．2π﹣5D．3π﹣2 6．（2020春•东台市期中）如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为1m的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积（结果保留π）为（ ）A．πm2B．2πm2C．4πm2D．nπm2二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）7．（2019秋•崇川区校级期中）在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是 ．8．（2019秋•惠山区校级期中）圆弧的半径为2，弧所对的圆心角为120°，则该弧的长度为 ．9．（2019秋•惠山区校级期中）如图所示，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝4，则图中阴影部分的面积为 ．10．（2019秋•秦淮区期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1cm，则经过A、B、C三点的弧长是 cm（结果保留π）．11．（2019春•兴化市期中）如图，将直径为3cm的圆O1向右平移5cm到圆O2，则图中阴影部分面积为 cm2．12．（2019秋•江都区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2，分别以A，B，C为圆心，以1为半径画弧，三条弧与AB所围成的阴影部分的面积是 ．13．（2019秋•九龙坡区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则阴影部分的面积是 （结果保留π）．14．（2019秋•淮安区期中）如图，E是正方形ABCD内一点，连接EA、EB并将△BAE以B为中心顺时针旋转90°得到△BFC，若BA＝4，BE＝3，在△BAE旋转到△BCF的过程中AE扫过区域面积 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（2019秋•大丰区期中）如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝6，扇形BEF 的半径为6，圆心角为60°．（1）连接DB，求证：∠DBF＝∠ABE；（2）求图中阴影部分的面积．16．（2019秋•相城区期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°．（1）求∠CEB的度数；（2）若AD＝2，求扇形AOC的面积．17．（2019秋•东台市期中）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在上运动，且∠APB＝30°．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．18．（2019秋•东台市期中）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求弧BC的长；（2）求弦BD的长．19．（2019秋•灌云县期中）如图，半圆的直径AB＝40，C，D是半圆的三等分点，求弦AC，AD与围成的阴影部分的面积．20．（2020•通州区一模）如图，⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，AC与⊙O分别交于C，D两点，⊙O与边AB相切，且切点恰为点B．（1）求证：∠A+2∠C＝90°；（2）若∠A＝30°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019春•建湖县期中）如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，OA∥BC，∠OAB＝70°，则劣弧AC的长为（ ）A．6πB．7πC．πD．π【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OBA＝∠OAB＝70°，根据平行线的性质得到∠OBC＝∠AOB＝40°，根据弧长公式即可得到结论．【解析】连接OB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝70°，∴∠AOB＝40°，∵OA∥BC，∴∠OBC＝∠AOB＝40°，∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝100°，∴∠AOC＝100°+40°＝140°，∴劣弧AC的长7π，故选：B．2．（2019秋•常州期中）一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm，以点A为圆心，AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F，则商标图案的面积是（ ）A．（4π+8）cm2B．（4π+16）cm2C．（3π+8）cm2D．（3π+16）cm2【分析】作辅助线DE、EF使BCEF为一矩形，从图中可以看出阴影部分的面积＝三角形的面积﹣（正方形的面积﹣扇形的面积），依面积公式计算即可．【解析】作辅助线DE、EF使BCEF为一矩形．则S△CEF＝（8+4）×4÷2＝24cm2，S正方形ADEF＝4×4＝16cm2，S扇形ADF4πcm2，∴阴影部分的面积＝24﹣（16﹣4π）＝8+4π（cm2）．故选：A．3．（2019秋•邳州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，分别以A，C为圆心，以的长为半径作圆．将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（ ）cm2A．6πB．6πC．πD．6π【分析】根据阴影的面积＝△ABC的面积﹣两个扇形的面积和扇形的面积公式计算即可．【解析】∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，设∠A＝α，∠B＝β，则α+β＝90°，∵∠B＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，∴AC5cm，∴阴影的面积为3×4（6π）cm2．故选：B．4．（2019秋•东海县期中）如图，分别以等边三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若等边三角形边长为3cm，则该莱洛三角形的周长为（ ）A．2πB．9C．3πD．6π【分析】直接利用弧长公式计算即可．【解析】该莱洛三角形的周长＝33π．故选：C．5．（2019秋•建湖县期中）如图，用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为2），设经过图中M、P、H三点的圆弧与AH交于R，则图中阴影部分面积（ ）A．πB．π﹣5C．2π﹣5D．3π﹣2【分析】连接AM，MH，MR．首先证明△AMH是等腰直角三角形，利用扇形公式计算即可解决问题．【解析】连接AM，MH，MR．∵AM＝MH＝2，AH＝2，∴AM2+MH2＝AH2，∴∠AMH＝90°，∴△AMH是等腰直角三角形，∴RH AH，∵∠MPH＝90°，∴MH是圆的直径，∴∠MRH＝90°，∴MR⊥AH，∴∠RMH＝∠RMA＝45°，∴弧RH所对的圆心角为90°，半径，∴图中阴影部分面积π，故选：A．6．（2020春•东台市期中）如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为1m的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积（结果保留π）为（ ）A．πm2B．2πm2C．4πm2D．nπm2【分析】根据多边形的内角和定理计算出六边形的内角和为720°，再根据扇形的面积公式计算即可．【解析】∵六个扇形的圆心角的和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴S阴影部分2π（m2），∴这六个喷水池占去的绿化园地的面积（结果保留π）为2πm2．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）7．（2019秋•崇川区校级期中）在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是 2π ．【分析】利用弧长公式计算即可．【解析】60°圆心角所对的弧长2π，故答案为2π．8．（2019秋•惠山区校级期中）圆弧的半径为2，弧所对的圆心角为120°，则该弧的长度为 π ．【分析】代入弧长公式计算，得到答案．【解析】该弧的长度π，故答案为：π．9．（2019秋•惠山区校级期中）如图所示，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝4，则图中阴影部分的面积为 4π﹣8 ．【分析】根据圆周角定理求出∠BOC，根据扇形面积公式计算即可．【解析】由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°，∴△BOC为等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积4×4＝4π﹣8，故答案为：4π﹣8．10．（2019秋•秦淮区期中）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1cm，则经过A、B、C三点的弧长是 cm（结果保留π）．【分析】先作图确定圆心，然后计算圆心角，最后，再依据弧长公式求解即可．【解析】连接BC、AB，作BC与AB的垂直平分线交于点O，点O即为A、B、C所在圆的圆心，则OA2＝22+42＝20，OA＝2可知∠AOC＝90°，∴过A、B、C三点的弧：．故答案为11．（2019春•兴化市期中）如图，将直径为3cm的圆O1向右平移5cm到圆O2，则图中阴影部分面积为 15 cm2．【分析】根据平移的性质得到图中阴影部分面积＝矩形ABCD的面积，根据矩形的面积公式计算即可．【解析】由平移的性质可知，图中阴影部分面积＝矩形ABCD的面积＝3×5＝15（cm2）故答案为：15．12．（2019秋•江都区期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2，分别以A，B，C为圆心，以1为半径画弧，三条弧与AB所围成的阴影部分的面积是 2 ．【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠A＝∠B＝45°，根据扇形的面积的面积公式求得三个扇形的面积，于是得到阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣三个扇形的面积．【解析】∵∠C＝90°，CA＝CB＝2，∴∠A＝∠B＝45°，∴三条弧所组成的三个扇形的面积为，△ABC的面积为，∴阴影部分的面积＝2，故答案为：2．13．（2019秋•九龙坡区校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则阴影部分的面积是 8﹣2 （结果保留π）．【分析】连接AE，根据直角三角形的性质求出∠DEA的度数，根据平行线的性质求出∠EAB的度数，即可得到结论．【解析】连接AE，在Rt三角形ADE中，AE＝4，AD＝2，∴∠DEA＝30°，DE＝2，∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠DEA＝30°，∴S阴影＝S矩形﹣S△ADE﹣S扇形ABE＝4×22×28﹣2．故答案为：8﹣2．14．（2019秋•淮安区期中）如图，E是正方形ABCD内一点，连接EA、EB并将△BAE以B为中心顺时针旋转90°得到△BFC，若BA＝4，BE＝3，在△BAE旋转到△BCF的过程中AE扫过区域面积 π ．【分析】图中阴影部分的面积等于扇形BAC的面积减去扇形BEF的面积即可．【解析】∵△BAE以B为中心顺时针旋转90°得到△BFC，∴△BAE≌△BFC∴阴影部分的面积＝S扇形BAC﹣S扇形BEF，故答案为：π．三、解答题（本大题共6小题，共58分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（2019秋•大丰区期中）如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝6，扇形BEF 的半径为6，圆心角为60°．（1）连接DB，求证：∠DBF＝∠ABE；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）根据菱形的性质得出AD＝AB，AD∥BC，根据平行线的性质得出∠ADB＝∠DBC＝60°，再求出答案即可；（2）求出△ABM≌△DBN，根据阴影部分的面积S＝S扇形DBC﹣S△DBC，代入求出即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB，AD∥BC，∵∠A＝60°，∴∠ADB＝∠DBC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，即∠EBF＝ABD＝60°，∴∠ABE＝∠DBF＝60°﹣∠DBE，即∠DBF＝∠ABE；（2）解：过B作BQ⊥DC于Q，则∠BQC＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝6，∴DC∥AB，∠C＝∠A＝60°，BC＝AB＝6，∴∠ADC＝120°，∴∠QBC＝30°，∴CQ BC＝3，BQ CQ＝3，∵∠A＝60°，∠CDB＝120°﹣60°＝60°，∴∠A＝∠CDB，∵AB＝BD，∴在△ABM和△DBN中∴△ABM≌△DBN（ASA），∴S△ABM＝S△DBN，∴阴影部分的面积S＝S扇形DBC﹣S△DBC6π﹣9．16．（2019秋•相城区期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°．（1）求∠CEB的度数；（2）若AD＝2，求扇形AOC的面积．【分析】（1）连接BC，根据直径所对的角等于90°，求出∠BAC，再根据外角的性质得出∠CEB的度数；（2）连接BD，OC，根据圆周角定理得到∠AOC的度数，然后根据解直角三角形和扇形的面积公式即可得到结论．【解析】连接BC．∴∠ADC＝∠B，∵∠ADC＝50°，∴∠B＝50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝40°，∵∠CEB＝∠ACD+∠BAC，∠ACD＝60°，∴∠CEB＝60°+40°＝100°；（2）连接BD，OC，则∠AOC＝2∠ADC＝100°，∵∠BAD＝∠BCD＝30°，∠ADB＝90°，AD＝2，∴AB＝4，∴AO＝2，∴扇形AOC的面积．17．（2019秋•东台市期中）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在上运动，且∠APB＝30°．（1）求⊙O的半径；（2）求图中阴影部分的面积．【分析】（1）证明△OAB是等边三角形即可．（2）根据S阴＝S扇形OAB﹣S△OAB计算即可．【解析】（1）∵∠AOB＝2∠APB，∠APB＝30°，∴∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△OAB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝4．（2）S阴＝S扇形OAB﹣S△OAB42π﹣4．18．（2019秋•东台市期中）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）求弧BC的长；（2）求弦BD的长．【分析】（1）首先根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB＝∠ADB＝90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC的度数，即可求出∠BOC的度数；最后根据弧长公式，求出的长即可．（2）首先根据CD平分∠ACB，可得∠ACD＝∠BCD；然后根据圆周角定理，可得∠AOD＝∠BOD，所以AD＝BD，∠ABD＝∠BAD＝45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的长是多少即可．【解析】（1）如图，连接OC，OD，，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△ABC中，∵cos∠BAC，∴∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°，∴的长π．（2）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠AOD＝∠BOD，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，在Rt△ABD中，BD＝AB×sin45°＝105．19．（2019秋•灌云县期中）如图，半圆的直径AB＝40，C，D是半圆的三等分点，求弦AC，AD与围成的阴影部分的面积．【分析】连接OC、OD，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD的面积，然后计算扇形面积就可．【解析】连接OC、OD、CD．∵△COD和△CDA等底等高，∴S△COD＝S△ACD．∵点C，D为半圆的三等分点，∴∠COD＝180°÷3＝60°，∴阴影部分的面积＝S扇形CODπ．20．（2020•通州区一模）如图，⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，AC与⊙O分别交于C，D两点，⊙O与边AB相切，且切点恰为点B．（1）求证：∠A+2∠C＝90°；（2）若∠A＝30°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OB，如图，利用切线的性质得∠OBA＝90°，则∠A+∠AOB＝90°，然后利用圆周角定理得到∠AOB＝2∠C，利用等量代换可得到结论；（2）先计算出∠AOB＝60°，OB AB＝2，作OH⊥BC于H，利用垂径定理得到BH＝CH，再由∠C＝30°计算出OH，CH＝3，所以BC＝2CH＝6，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S△OBC+S扇形BOD计算．【解答】（1）证明：连接OB，如图，∵O与边AB相切，且切点恰为点B．∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∴∠A+∠AOB＝90°，∵∠AOB＝2∠C，∴∠A+2∠C＝90°；（2）解：在Rt△AOB中，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，OB AB＝2，作OH⊥BC于H，则BH＝CH，∵∠C∠AOB＝30°，∴OH OC，CH OH＝3，∴BC＝2CH＝6，∴图中阴影部分的面积＝S△OBC+S扇形BOD6＝32π．。
苏科版九年级数学上册同步练习：2.7 弧长和扇形的面积(含答案)
2.7 弧长及扇形的面积1，正方形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝2 2，则AB ︵的长是 ( ) A ．π B.32π C ．2π D.12π图1 图22．如图2，从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为 ( )A ．π2 m 2B ．32π m 2 C ．πm 2 D ．2π m 23如图3，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝4，∠ABC ＝30°，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于点D ，则图中阴影部分的面积是( )A ．2－π3B ．2－π6C ．4－π3D ．4－π6图3 图44．如图4，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以其边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB ＝2，则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积)为( )A ．π＋3B ．π－ 3C ．2π－3D ．2π－2 35.如图5，在边长为1的小正方形组成的网格中．若将△ABC (点A ，B ，C 均在格点处)绕着点A 逆时针旋转得到△AB ′C ′，则点B 经过的路线长为( )图5A ．A.π B.π2C ．7πD ．6π 二、填空题6．一个扇形的弧长是65π cm ，半径是6 cm ，则此扇形的圆心角是________度．7．若扇形的半径为3 cm ，弧长为2π cm ，则该扇形的面积为________. 8．如图6，图①是由若干个相同的图形(图②)组成的美丽图案的一部分，图②中，半径OA ＝2 cm ，∠AOB ＝120°，则图②的周长为_______ cm(结果保留π)．图6 图79．如图7，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，以AB 长为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中阴影部分的面积是________(结果保留π)．10．如图8，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径AB 长为2 cm ，∠BOC ＝60°，∠BCO ＝90°，将△BOC 绕圆心O 逆时针旋转至△B ′OC ′的位置，点C ′在OA 上，则边BC 扫过区域(图中阴影部分)的面积为________ cm 2.(结果保留π)图8三、解答题11．如图9，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC ∥BD ，交AD 于点E ，连接BC .(1)求证：AE ＝ED ；(2)若AB ＝10，∠CBD ＝36°，求AC ︵的长．图912. 如图10，点B ，C ，D 在⊙O 上，四边形OCBD 是平行四边形．(1)求证：BC ︵＝BD ︵；(2)若⊙O 的半径为2，求BD ︵的长.图1013．如图11，已知AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上， ∠D ＝60°且AB ＝6，过点O 作OE ⊥AC ，垂足为E .(1)求OE 的长；(2)若OE 的延长线交⊙O 于点F ，求弦AF ，AC 和CF ︵围成的图形(阴影部分)的面积.图1114．如图12，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在AC 上，经过A ，B ，E 三点的⊙O 交BC 于点D ，且BD ︵＝DE ︵.(1)求证：AB 为⊙O 的直径；(2)若AB ＝8，∠BAC ＝45°，求阴影部分的面积．15 方程思想如图13所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＋BC＝9，O是斜边AB上一点，以点O为圆心，2为半径的圆分别与AC，BC相切于点D，E.(1)求AC，BC的长；(2)若AC＝3，连接BD，求图中阴影部分的面积(π取3.14)．图13答案1．[解析]A 连接OA ，OB. ∵正方形ABCD 内接于⊙O ， ∴AB ＝BC ＝DC ＝AD ， ∴AB ︵＝BC ︵＝DC ︵＝AD ︵， ∴∠AOB ＝14×360°＝90°.在Rt △AOB 中，由勾股定理，得2AO 2＝(2 2)2， 解得AO ＝2，∴AB ︵的长为90×π×2180＝π.故选A .2．[解析]A 连接AC.∵从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC ＝90°.∴AC 为⊙O 的直径，即AC ＝2 m ．∵AB ＝BC ，AB2＋BC 2＝22，∴AB ＝BC ＝2m ，∴阴影部分的面积是90×π×（2）2360＝12π(m 2)．故选A .3．[解析]A 如图，过点A 作AE ⊥BC 于点E. ∵AB ＝2，∠ABC ＝30°，∴AE ＝12AB ＝1.又∵BC ＝4，∴阴影部分的面积是12×4×1－30×π×22360＝2－13π.故选A .4．[解析]D 过点A 作AD ⊥BC 于点D.∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ＝2，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°.∵AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝1，由勾股定理，得AD ＝3，∴△ABC 的面积为12BC ·AD ＝12×2×3＝3，S 扇形BAC ＝60×π×22360＝23π，∴莱洛三角形的面积S ＝3×23×π－2×3＝2π－2 3.故选D .5．[解析]A 根据图示知∠BAB ′＝45°，∴点B 经过的路线长为45×π×4180＝π.故选A .6．[答案] 36[解析] 设扇形的圆心角为n.由题意，得65π＝n ×π×6180，解得n ＝36°.7．[答案] 3πcm 2[解析] 根据扇形面积公式，知S ＝12lR ＝12×2π×3＝3π(cm 2)．8．[答案]8π3[解析] 由图得AO ︵的长＋OB ︵的长＝AB ︵的长．∵半径OA ＝2 cm ，∠AOB ＝120°，则图②的周长为120×π×2180×2＝8π3cm .9．[答案] 8－2π[解析] S 阴＝S △ABD －S 扇形BAE ＝12×4×4－45×π×42360＝8－2π.10．[答案]14π[解析]∵∠BOC ＝60°，△B ′OC ′是△BOC 绕圆心O 逆时针旋转得到的， ∴∠B ′OC ′＝60°，△BCO ≌△B ′C ′O ，∴∠B ′OC ＝60°，∠C ′B ′O ＝30°，∴∠B ′OB ＝120°. ∵AB ＝2 cm ，∴OB ＝OB ′＝1 cm ，OC ′＝OC ＝12cm ，∴B ′C ′＝32， ∴S 扇形B ′OB ＝120×π×12360＝13π，S 扇形C ′OC ＝120×π×14360＝π12， S 阴影＝S 扇形B ′OB ＋S △B ′C ′O －S △BCO －S 扇形C ′OC ＝S 扇形B ′OB －S 扇形C ′OC ＝13π－π12＝14π.11．解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°. ∵OC ∥BD ，∴∠AEO ＝∠ADB ＝90°， 即OC ⊥AD ，∴AE ＝ED. (2)∵AB ＝10，∴AO ＝5. ∵OC ⊥AD ，∴AC ︵＝DC ︵，∴∠ABC ＝∠CBD ＝36°，∴∠AOC ＝2∠ABC ＝2×36°＝72°， ∴AC ︵的长为72π×5180＝2π.12．解：(1)证明：如图，连接OB.∵四边形OCBD 是平行四边形， ∴OC ＝BD ，OD ＝BC ， 而OC ＝OD ， ∴BD ＝BC ， ∴BC ︵＝BD ︵.(2)由(1)知OD ＝OB ＝OC ＝BD ＝BC ， ∴△OBD 和△OBC 均为等边三角形， ∴∠BOC ＝∠BOD ＝60°， ∴BD ︵的长为60π×2180＝23π.13．解：(1)∵∠D ＝60°，∴∠B ＝60°.∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴∠BAC ＝30°. 又∵AB ＝6，∴BC ＝3.∵OE ⊥AC ，∴OE ∥BC.又∵O 是AB 的中点，∴OE 是△ABC 的中位线，∴OE ＝12BC ＝32.(2)连接OC ，则易得△COE ≌△AFE ，故阴影部分的面积＝扇形FOC 的面积．∵易知∠EOC ＝60°，∴S 扇形FOC ＝60π×32360＝32π，∴可得阴影部分的面积为32π.14．解：(1)证明：连接AD. ∵BD ︵＝DE ︵，∴∠BAD ＝∠CAD. 又∵AB ＝AC ， ∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°， ∴AB 为⊙O 的直径． (2)∵AB 为⊙O 的直径， ∴点O 在AB 上，连接OE ，由圆周角定理，得∠BOE ＝2∠BAC ＝90°， ∴∠AOE ＝90°，∴阴影部分的面积为12×4×4＋90π×42360＝8＋4π.15 解：(1)如图，连接OD ，OC ，OE.∵D ，E 为⊙O 的切点，∴OD ⊥AC ，OE ⊥BC ，OD ＝OE ＝2. ∵S △ABC ＝S △AOC ＋S △BOC ，AC ＋BC ＝9， ∴12AC ·BC ＝12AC ·OD ＋12BC ·OE ， ∴12AC ×2＋12BC ×2＝AC ＋BC ＝9， 即AC ·BC ＝18. 又∵AC ＋BC ＝9，∴AC ，BC 的长是方程x 2－9x ＋18＝0的两个根， 解得x ＝3或x ＝6.∴AC ＝3，BC ＝6或AC ＝6，BC ＝3.(2)如图，连接DE ，则S 阴影＝S △BDE ＋S 扇形ODE －S △ODE .∵AC＝3，∴BC＝6.∵OD⊥AC，OE⊥BC，∠ACB＝90°，OD＝OE，∴四边形OECD是正方形，∴EC＝OE＝2，∴BE＝BC－EC＝6－2＝4，∴S△BDE ＝12BE·DC＝12×4×2＝4，S扇形ODE＝14π×22＝π，S△ODE＝12OD·OE＝2，∴S阴影＝4＋π－2＝2＋π≈5.14.。
九年级数学苏科版上册随堂测试第2单元《2.7 弧长及扇形的面积》 练习试题试卷 含答案
随堂测试2.7弧长及扇形的面积一．选择题（共10小题，满分50分）1．如图扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝4，则的长为（）A．B．C．D．2π2．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB⊥直径CD，∠A＝30°，则的长为（）A．πB．2πC．3πD．6π3．一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π4．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且AD∥BO，∠ABO＝60°，AB＝2，过点D作DC⊥BE于点C，则阴部分的面积是（）A．B．C．D．5．边长为2的两种正方形卡片如下图①所示，卡片中的扇形半径均为2．图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2021张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为（）A．4040B．4044–πC．4044D．4044+π6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，将D边绕点A顺时针旋转，使点D正好落在BC边上的点D′处，则阴影部分的扇形面积为（）A．πB．C．D．7．如图AB和CD是⊙O的两条互相垂直的弦，若AD＝4，BC＝2，则阴影部分的面积是（）A．2π﹣1B．π﹣4C．5π﹣4D．5π﹣88．如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：①至少存在一点P，使得P A＞AB；②若，则PB＝2P A；③∠P AB不是直角；④∠POB＝2∠OP A．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①③B．③④C．②③④D．①②④9．如图，点A，B，C在⊙O上，∠O＝70°，AO∥BC，AO＝3，的长为（）A．B．C．D．10．如图，⊙O的半径为3，AB为弦，若∠ABC＝30°，则的长为（）A．πB．1C．1.5D．1.5π二．填空题（共5小题，满分20分）11．如图在平面直角坐标系中，若干个半径为2个单位长度、圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为每秒2个单位，在弧线上的速度为每秒个单位长度，则5秒时，点P的坐标是；2019秒时，点P的坐标是．12．如图，半圆的直径AB长为6cm，O是圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠ADC ＝108°，则扇形OAC的面积为．（结果保留π．）13．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥AO，若OA ＝6，则阴影部分的面积为．14．如图，直径为3cm的圆O1平移4cm到圆O2，则图中阴影部分的面积为cm2．15．已知扇形的圆心角为120°，弧长为12πcm，则扇形的半径为cm．三．解答题（共5小题，满分50分）16．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝4，求弧BC的长．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O在斜边AB上，且AO＝AC，连接CO，并延长至D，使∠D＝∠OCB，以O为圆心，OD为半径画圆，交DB延长线于E点．（1）求证：BD＝BE；（2）已知AC＝1cm，BC＝cm．①连接CE，过B作BF⊥EC于F点，求线段BF的长；②求图中阴影部分面积．18．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连接AE交⊙O于点F，连接BF并延长交CD于点G，OA＝3．（1）求证：△ABE≌△BCG；（2）若∠AEB＝55°，求劣弧的长．（结果保留π）19．如图，∠EAD是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，且∠EAD＝75°，DB＝DC．（1）求∠BDC的度数．（2）若⊙O的半径为2，求的长．20．学校花园边墙上有一宽（BC）为2m的矩形门ABCD，量得门框对角线AC长为4m，为美化校园，现准备打掉地面BC上方的部分墙体，使其变为以AC为直径的圆弧形门，问要打掉墙体（阴影部分）的面积是多少？（结果中保留π，）参考答案一．选择题（共10小题，满分50分）1．C．2．B．3．C．4．C．5．B．6．D．7．B．8．B．9．A．10．A．二．填空题（共5小题，满分20分）11．（5，）；（2019，﹣）．12．π．13．3+3π．14．12．15．18．三．解答题（共5小题，满分50分）16．解：连接OC，∵OA＝OC，∠CAO＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝140°﹣60°＝80°，则的长＝＝π．17．（1）证明：∵AO＝AC，∴∠ACO＝∠AOC，∵∠D＝∠OCB，∠BOD＝∠AOC，∴∠ACO+∠OCB＝∠BOD+∠D，∵∠ACB＝90°，∴∠BOD+∠D＝90°，∴OB⊥DE，∴BD＝BE；（2）解：①在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1cm，BC＝cm．∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∠A＝60°，∵OA＝AC，∴△AOC为等边三角形，∴OC＝AC＝1cm，∠AOC＝60°，∴∠D＝∠OCB＝30°，OB＝AB﹣OA＝1，∴OD＝2OB＝2，∴CD＝OD+OC＝3，∵∠D＝∠OCB，∴BD＝BC，∵BD＝BE，∴BC＝BE，∴∠BCE＝∠BEC，∴∠D+∠BEC＝∠DCE＝90°，∵BF⊥CE，∴BF∥CD，∵BD＝BE，∴BF＝CD＝；②解：连接OE，∵OD＝2、OB＝1，∴BD＝，则DE＝2BD＝2，∵OD＝OE，∴∠D＝∠OED＝30°，∴∠DOE＝120°，S阴影＝S扇形ODE﹣S△ODE＝﹣×2×1＝π﹣．18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCG＝90°，∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∠ABF+∠CBG＝90°，∴∠BAE＝∠CBG，在△ABE和△BCG中，，∴△ABE≌△BCG（ASA）．（2）解：连接OF，∵∠ABE＝90°，∠AEB＝55°，∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，∵OA＝3，∴的长＝＝．19．解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠DAB+∠C＝180°，∵∠EAD+∠DAB＝180°，∴∠C＝∠EAD，∵∠EAD＝75°，∴∠C＝75°，∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠C＝75°，∴∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠DBC＝30°；（2）连接OB、OC，∵∠BDC＝30°，∴∠BOC＝2∠BDC＝60°（圆周角定理），∵⊙O的半径为2，∴的长是＝．20．解：在Rt△ABC中，∵AC＝4m，BC＝2m．∴∠BAC＝60°，AB＝2（m）．∴∠BCO＝30°，∴∠BOC＝120°，﹣S矩形ABCD﹣S扇形OBC+S△OBC ∴要打掉的墙体的面积＝S圆O﹣S矩形＝S圆O＝•π•22﹣×2×2＝（﹣3）（m2）．。
苏科版九年级上册 2.7 弧长及扇形的面积 同步练习(含答案)
初中数学苏科版九年级上册2.7弧长及扇形的面积同步测试一、单选题1.若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（）A. B. C. D.2.若扇形的弧长是，半径是18，则该扇形的圆心角是（）A. B. C. D.3.圆心角为，弧长为的扇形半径为（）A. B. C. D.4.如图，AB为⊙O的直径，AB＝30，点C在⊙O上，⊙A＝24°，则的长为（）A.9πB.10πC.11πD.12π5.如图1，一只蚂蚁从点O出发，以1厘米/秒速度沿着扇形AOB的边缘爬行一周。
设爬行时间为x秒，蚂蚁到点O的距离为y厘米，y关于x的函数图像如图2所示，则扇形的面积为（）A.3B.6C.πD.π6.如图，OO是⊙ABC的外接圆，BC=3，⊙BAC=30°，则劣弧的长等于（）A. B.π C. D.7.如图，在扇形中，为弦，，，，则的长为（）A. B. C. D.8.如图，⊙O的半径为2，AB、CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A、B、C、D不重合），经过P作PM⊙AB于点M，PN⊙CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为（）A. B. C. D.9.如图，半径为2的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于（）A.4B.6C.2πD.π+ 410.如图，若弧AB半径PA为18，圆心角为120°，半径为2的⊙，从弧AB的一个端点A （切点）开始先在外侧滚动到另一个端点B（切点），再旋转到内侧继续滚动，最后转回到初始位置，⊙自转的周数是（）。
苏科版九年级数学上册 2.7：弧长和扇形的面积 同步练习
BC D AE F 2.7弧长及扇形的面积一、基础训练1．如果弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为r ，那么l ＝．2．如果扇形面积为S ，弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为r ，那么S ＝或S ＝．3． 半径为12cm ，圆心角为30°的弧长为cm ．4．圆心角为60°，弧长为2πcm 的扇形的面积为 cm 2．二、典型例题例1：如图，已知O ⊙的半径6OA =，90AOB ∠=°，则AOB ∠所对的弧AB 的长为多少？分析：由弧长公式180R n l π=，解得ππ3180690=••=l例2： 如图，已知菱形ABCD 的边长为1.5cm ，B C ，两点在扇形AEF 的»EF上，求»BC 的长度及扇形ABC 的面积．分析：根据菱形性质可知△ABC 是等边三角形，可得∠BAC =60°，根据扇形弧长和面积公式可求出．三、拓展提升：如图，有一长为4cm ，宽为3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上的顶点A 的位置变化为A →A 1→A 2，桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时，共走过的路径长是多少？ 分析：第一次点A 绕点B 转到点A 1 的位置，转过的圆心角为90°， 半径是线段AB 的长度，第二次点1A 绕点C 转到点 2A 的位置转过的圆心角为60°，半径是3cm ，共走过的路径是两次转过的弧长的和：905603180180ππ+g g 3.5cm π= 四、课后作业1． 已知扇形的半径为2cm ，面积是24cm 3π，则扇形的弧长是 cm ，扇形的圆心 角为 °．2． 已知正六边形的边长为1cm ，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，1cm 长为半径画弧（如图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm （结果保留π）．第4题第2题A PB OOA B C D 灯罩BDACO 3． 某学术报告厅门的上沿是圆弧形，这条弧所在圆的半径为1．8米，所对的圆心角为100°，则弧长是 米．(π≈3) 4． 如图，方格纸中4个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为 （结果保留π）．5． 如图，PA ，PB 切⊙O 于A ，B 两点，若60APB =o∠，⊙O 的半径为3,求阴影部分的面积．6． 光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径OA 、OC 分别为36cm 、12cm ，∠AOB ＝135º．(1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边(花边的宽度忽略不计)，需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积(接缝不计)．(以上计算结果保留π)7．如图，圆心角都是90º的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连结AC ，BD ． （1）求证：AC =BD ；（2）若图中阴影部分的面积是243cm π，OA =2cm ，求OC 的长．一．基础训练 1、180n rπ 2、2360n r π 12lr 3、2π 4、6π二、典型例题例1：3π 例2： Q 四边形ABCD 是菱形且边长为1．5， 1.5AB BC ∴==．又B C Q 、两点在扇形AEF 的»EF 上， 1.5AB BC AC ∴===，ABC ∴△是等边三角形．60BAC ∴∠=°．»BC的长21805.160ππ=•=（cm ）ππ835.122121=••==lR S ABC 扇形)(2cm 三、拓展提升：3.5πcm 四、课后作业： 1．43π，120．2．120132180ππ⨯⨯= 3．1003 1.8180⨯⨯≈3 4．38π 5． 已知60APB =o∠，则圆心角∠AOB=120°，∠APO=30°，阴影面积为四边形AOBP 的面积减去扇形AOB 的面积，半径是3，则AP 为，阴影部分面积：2120333360ππ⨯=g ．6． （1）»AB 的长=1353627180ππ⨯=，»CD的长=135129180ππ⨯=∴花边的总长度=（2π×36-27π）+（2π×12-9π）=60π（2）2121353613512486,54360360OABS S ππππ⨯⨯====扇形扇形OCD22236)(12)720()OAB OCD S S S S cm πππ==⨯--⨯-=侧阴影扇形扇形（ 7．（1）通过证AOC BOD ∆≅∆得AC =BD（2）根据题意得：360)(9036090360902222OC OA OC OA S -=-=πππ阴影；∴360)2(904322OC -=ππ解得：OC ＝1cm ．。
苏教版九年级数学上册27弧长及扇形的面积练习题
2.7 弧长及扇形的面积练习题一、选择题1．在半径为6cm 的圆中,长为2 cm 的弧所对的圆周角的度数为( )A.30°B.100C.120°D.130°2．一个扇形的圆心角是120°,它的面积为3πcm 2,那么这个扇形的半径是( ). A.3 cm B.3cm C.6cm D.9cm3．钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过40分钟,分针针端转过的弧长是 ( )A 、103cm πB 、203cm πC 、253cm πD 、503cm π 4．已知一个扇形的弧长为10πcm,圆心角是150º,则它的半径长为( )A.12cmB. 10cmC. 8cmD.6cm5．如图,已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上,AD //BC ,AC 平分BCD ∠,120ADC =∠,四边形AB CD 的周长为10cm.图中阴影部分的面积为( )A. 32B. 3C. 23D. 436．如图,等腰直角三角形AOB 的面积为S 1,以点O 为圆心,OA 为半径的弧与以AB为直径的半圆围成的图形的面积为S 2,则S 1与S 2的关系是( )(A)S 1>S 2 (B)S 1<S 2 (C)S 1=S 2 (D)S 1≥S 2二、填空题7．在半径为18的圆中,120°的圆心角所对的弧长是____________ A DCB8．⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,∠ABC=60°,则∠ABC所对的弧长为________. 考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x ＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是．12．(甘孜州中考)若函数y＝－kx＋2k＋2与y＝kx(k≠0)的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是．.◆类型三一元二次方程与二次根式的综合13．(达州中考)方程(m－2)x2－3－mx＋14＝0有两个实数根，则m的取值范围为（）A．m＞52B．m≤52且m≠2C．m≥3 D．m≤3且m≠214．(包头中考)已知关于x的一元二次方程x2＋k－1x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合1．B 2.A 3.A 4.B 5.86．16 解析：设矩形的长和宽分别为x、y，根据题意得x＋y＝8，所以矩形的周长为2(x ＋y)＝16.7．解：∵一元二次方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＋3＝0有两个不相等的实数根，∴Δ>0，∴(2k －1)2－4(k 2＋3)>0，即－4k －11>0，∴k<－114，令其两根分别为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2＋3，∵此方程的两个根分别是一直角三角形的两条直角边，且此直角三角形的斜边长为5，∴x 21＋x 22＝52，∴(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝25，∴(1－2k)2－2(k2＋3)＝25，∴k 2－2k －15＝0，∴k 1＝5，k 2＝－3，∵k<－114，∴k ＝－3, ∴把k ＝－3代入原方程得到x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∴直角三角形的两直角边分别为3和4.8．B9．D 解析：∵一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根，∴Δ＜0，∴Δ＝4－4×1×(－m)＝4＋4m ＜0，∴m ＜－1，∴m ＋1＜1－1，即m ＋1＜0，m －1＜－1－1，即m －1＜－2，∴一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过第一象限．故选D.10．B 11.－2 12.k>－12且k ≠0 13．B 14.k ≥1。
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第二章2.7弧长及扇形的面积一. 选择题（共13小题）1.（2019・大庆）如图，在正方形A8CD中，边长AB=1,将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形ABiCjDi,则线段CD扫过的而积为（）A. —B. —C. nD. 2n2.（2019・包头）如图，在RtAABC中，ZACB=90° , AC=BC=2据以BC为直径作半圆，交AB于点、D,则阴影部分的面积是（）A. n - 1B. 4-nC. V2D. 23.（2019・山西）如图，在RtAABC中，NA8C=90‘，AB=2寸耳，BC=2,以AB的中点。
为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D,则图中阴影部分的面积为（）A. ^jL±-2LB.C. 2V3-KD. 4V3- —4 2 4 2 2 4.（2019-资阳）如图，直径为2顷的圆在直线/上滚动一周，则圆所扫过的图形而积为（）A. 511B. 6nC. 20n D・ 24n5. （2019-临沂）如图，。
0中，莅=&, £4CB=75° ,BC=2,则阴影部分的面积是（）6. （2019・凉山州）如图，在ZVIOC中，OA=3cm, OC=\cm.将ZVIOC绕点。
顺时针旋转90°后得到△8OD,则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（）cnr.7. （2019-泰安）如图，将。
沿弦AB 折叠，莅恰好经过圆心O,若0。
的半径为3,则宛的长为（）A. —nB. nC. 2nD. 3n28. （2019-南充）如图，在半径为6的中，点A, B, C 都在。
上，四边形OABC 是平 行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A. 6nB.C. 2A /3^D- 2nA .2LB. 2nC.ILr 8D. Un89. （2019-枣庄）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，A8为半径画弧, 交对角线BD 于点E,则图中阴影部分的而积是（结果保留IT ）（）A. 8 - nB. 16 - 2nC ・ 8 - 2nD. 8 - —IT210. （2018•兴安盟）如图，在扇形AO8中，NAO8=9（T ,正方形CDEF 的顶点C 是疝的中点，点。
在。
B 上，点E 在。
8的延长线上，当正方形CO"的边长为泪甘，贝IJ 阴 影部分的面积为（A. 18 ■旦・n4） B ・%・9C.舍・94211. <2018-安丘市）如图，在直角坐标系中，圆经过点。
，与X 轴, 点，且A （0, 2）, B （2历，0）, A. 4/则图中阴影部分的面积为（ £2D.实T - 182y 轴分别交于A, 8两）12. （2018・巴彦淖尔）如图，在扇形AO8中，NAOB=9（T ,点C 为OA 的中点，CEA.OA交疝于点E ，以点。
为圆心，OC 的长为半径作布交于点。
・若OA=4,则图中阴 影部分的面积为（）B.当2膜3 13. （2018・济南）如图1, 一个扇形纸片的圆心角为90° ,半径为6.如图2,将这张扇形A. C. D.纸片折叠，使点A与点。
恰好重合，折痕为CD,图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）二. 填空题（共11小题）14. （2019・内江）如图，在平行四边形ABCD中，AB<AD.ZA=150° , C£）=4,以CD为直径的交A。
于点E,则图中阴影部分的面枳为15.（2019・吉林）如图，在扇形Q4B中，ZAOB=90° . D,£分别是半径Q4, 0B±的点，以OD, 0E为邻边的-ODCE的顶点C在疝上.若OD = 8, 0E=6,则阴影部分图形的而积是（结果保留n）.16.（2019*梧州）如图，已知半径为1的。
上有三点A、B、C, OC与AB交于点D, Z AOO=85° , ZCAB=20° ,则阴影部分的扇形OAC而积是.17.（2019•十堰）如图，AB为半圆的直径，且A8=6,将半圆绕点A顺时针旋转60° ,点8旋转到点C的位置，则图中阴影部分的而积为.18.（2019*福建）如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的的圆心重合，E、F分别是AD.BA的延长与的交点，则图中阴影部分的面积是・（结果保留n）19. （2019-荆门）如图，等边三角形ABC的边长为2,以A为圆心，1为半径作圆分别交AB, AC边于。
，E,再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F,连接E, F,那么图中阴影部分的而积为・20.（2019・河南）如图，在扇形A08中，NA0B=12（T ,半径0C交弦A8于点。
，且0C ±0A.若0A=2膜，则阴影部分的面积为.21.（2019-泰州）如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧困成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为&小，则该莱洛三角形的周长为22. （2019＞重庆）如图，四边形ABCD是矩形，A8=4, AO=2扼，以点A为圆心，A8长为半径画弧，交CD于点E,交A。
的延长线于点F,则图中阴影部分的而积是23.（2019・重庆）如图，在菱形ABCD中，对角线AC, 交于点O, ZA8C=6（T , AB =2,分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的而积为.（结果保留n）24.（2018・河南）如图，在矩形ABCD中，BC=2, CD= 后,以点B为圆心，BC的长为半径作&交A。
于点&以点A为圆心，AE的长为半径作商交AB于点F,则图中阴影部分的面积为・三. 解答题（共10小题）25.如图，C、。
是半圆。
上的三等分点，直径A8=4,连接AD、AC, DEA.AB,垂足为E,DE交AC于点、F.（1）求NAFE的度数：（2）求阴影部分的面积（结果保留n和根号）.26.如图，AB为0。
直径，OELBC垂足为E, AB1CD垂足为F.（1）求证：AD=2OE,（2）若NABC=30° ,的半径为2,求两阴影部分面积的和.27.如图，在△ABC中，AB=AC,以边BC为直径的与边AB交于点与边AC交于点E,连结OD, OE.(1)求证：BD=CE.(2)若NC=55”，BC=10,求扇形OOE的而积.28.如图，己知A8, C。
是的两条直径，AE//CD交。
于点E,连结8E交C。
于点F.(1)求证：弧BDFED；(2)若。
的半径为6, AE=*,求图中阴影部分的面积.29.如图，点C在以AB为直径的半圆。
上，AC=BC.画圆弧交A8于点D.(1)求ZABC的度数；(2)若A8=2,求阴影部分的而积.30.文艺复兴时期，意大利艺术大师达.芬奇研究过用圆弧用成的部分图形的而积问题.已知正方形的边长是2,就能求出图中阴影部分的面积.证明: S明影=S1+S6=Si +S2+S 3 =-31.如图，。
的直径AB=12,弦AC=6・ZACB的平分线交。
于。
，过点。
作。
E〃 AB交CA的延长线于点£连接AO, BD.（1）由A8, BD,商国成的阴影部分的面积是:（2）求线段OE的长.32.如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别是〃厘米和b厘米，图中阴影部分是由BF、BC和弧CF围成，求阴影部分的而积.2 DB C E33.如图1,已知四边形A8CD内接于。
，AC为。
0的直径，AD=DB. AC与8D交于点E,且AE=8C・（1）求证：AB=C）：（2）如图2, AABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC,点A经过的路径为孤AF,若AC=4,求图中阴影部分的面积.F图1 图234.如图，长方形ABCD的周长为28,且AB：BC=3： 4,求:（1）弧BE的长度：（2）图中阴影部分的而积・答案与解析选择题（共13小题）1.（2019・大庆）如图，在正方形A8CD中，边长AB=1,将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180。
至正方形ABiCiOi,则线段CO扫过的面积为（）4 2【分析】根据中心对称的性质得到CG=2AC=2X寸办8=2也，根据扇形的而积公式即可得到结论.【解答】解：..•将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180。
至正方形A8iGO|,••• CCi=2AC=2X 4TAB=2血，线段CO 扫过的面积=lx（V2）2 2 2故选：B.【点评】本题考查了扇形的而积的计算，正方形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键.2.（2019・包头）如图，在RtZkABC中，ZACB=90° , AC=8C=2扼，以BC为直径作半圆，交AB于点、D,则阴影部分的而积是（）CBA・ n- 1 B. 4-n C. D. 2【分析】连接CD,根据圆周角定理得到CD±AB,推出ZXACB是等腰直角三角形，得到CD=BD,根据三角形的而积公式即可得到结论.【解答】解：连接CD,.：BC是半圆的直径，:.CD LAB...•在RtAABC 中，ZACB=90° , AC=BC=2厄...△AC8是等腰直角三角形，•••CD=BD,阴影部分的面积=Lx【X2扼X2桓=2,2 2故选：D.AC B【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.3.（2019・山西）如图，在RtAABC中，NA8C=9（T , A8=2寸耳，BC=2,以AB的中点。
为圆心，Q4的长为半径作半圆交AC于点。
，则图中阴影部分的而积为（）A. ^jL±-2LB.栏建C. 2^3-71D. 4^3- —4 2 4 2 2【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、/DOB的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是△ABC的面积减去A T IOD的面积和扇形BOD的而积，从而可以解答本题.【解答】解：•.•在RtAABC 中，NA8C=9（T , AB=2岳,BC=2,•.同BC 2 V3• . tanA =-=-=^ =—AB 2扼3nA = 30° ,.•.408=60° ,•.•0口=1相=膜・.••庞=旦23阴影部分的而积是：还2±至/。
＞＜兀x心'七迥JL, 2 2 360 4 2 故选：A.』 ----- tT~Bu A【点评】本题考查扇形而积的计算、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形 结合的思想解答.4.（2019-资阳）如图，直径为2顷的圆在直线/上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（）A. 5nB. 6nC. 20nD. 24n【分析】根据圆的面积和矩形的面积公式即可得到结论. 【解答】解：圆所扫过的图形而积=n+2nX2=5n, 故选：A.【点评】本题考查了圆的面积的计算矩形的面积的计算，圆的周长的计算，中点圆所扫 过的图形面积是圆的面积与矩形的而积和是解题的关键.5. （2019-临沂）如图中，莅=标，ZACB=75° , 8C=2,则阴影部分的面积是（）3【分析】连接OB 、的圆心角为60度，即可求出半径的长2,利用三角形和扇形的面积公式即可求解: 【解答】解：作ODLBC.则BD=CD,连接OB, OC,•••OD 是8C 的垂直平分线，迎=AC,•••AB=AC,...A 在8C 的垂直平分线上, •••A 、。