D9_3三重积分

2π
2 h
h
o
y
机动
目录
上页
下页
返回
结束
3. 利用球坐标计算三重积分
柱 标 设M(x, y, z) ∈R3, 其 坐 为(ρ,θ, z), 令 OM = r, ∠ZOM = ϕ, 则 r,θ ,ϕ) 就称为点M 的球坐标. (
直角坐标与球面坐标的关系
x = rsinϕ cosθ y = r sinϕ sinθ z = r cos ϕ
= ∫ dx ∫
a
dy ∫
z1( x, y)
f (x, y, z)dz
投影法
= ∫∫ dxdy∫
D
z2 ( x, y)
z1( x, y)
机动
f (x, y, z)dz
目录 上页 下页 返回 结束
当被积函数在积分域上变号时, 因为
f (x, y, z)
f (x, y, z) + f (x, y, z) f (x, y, z) − f (x, y, z) = − 2 2 = f1(x, y, z) − f2 (x, y, z)
R 4 r dr 0
dv = r2 sinϕ drdϕ dθ
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例6.求曲面 (x2 + y2 + z2 )2 = a3z (a > 0)所围立体体积. 解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部, 且关于 xoz yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为
b
f (x, y, z)dxdy
机动 目录 上页 下页 返回 结束
Z
方法3. 方法 三次积分法
z1(x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y)
设区域 Ω:
y1(x) ≤ y ≤ y2 (x) (x, y) ∈D: a ≤ x ≤b
利用投影法结果 , 把二重积分化成二次积分即得:
b y2 ( x) y1( x) z2 ( x, y)
lim ∑ f (ξk ,ηk ,ζ k )∆vk
n
记作
∫∫∫Ω f (x, y, z)dv
存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在Ω上的三重积分 三重积分. 三重积分 体积元素, 体积元素 dv称为体积元素 在直角坐标系下常写作 dxdydz. 性质: 性质 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 中值定理. 中值定理 在有界闭域 Ω 上连续, V 为Ω 的 体积, 则存在 (ξ,η,ζ ) ∈Ω, 使得
目录 上页 下页 返回 结束
如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为
d v = ρd ρ dθd z
因此
z
∫∫∫Ω f (x, y, z)dxdydz
ρd ρdθ dz
x
z
ρdθ dρ
ρ
o
dz
y
其中 F(ρ,θ , z) = f (ρ cosθ , ρ sinθ, z ) 适用范围: 适用范围
θρ
dθ
∫∫∫Ω
f (x, y, z) d v
x
D
y
d xd y
z2 (x, y) f (x, y, z)dz dxdy = ∫∫ ∫ D z1( x, y)
记作
微元线密度≈
∫∫Ddxdy∫z (x, y)
1
z2 ( x, y)
f (x, y, z) dxdy
f (x, y, z)dz
坐标面分别为
0 ≤ r < +∞ 0 ≤θ ≤ 2π 0 ≤ϕ ≤π
球面 半平面 锥面
z z
ϕr o ρ xθ
M
y
r =常 数
θ = 常数 ϕ = 常数
M(r,θ,ϕ)
ρ = r sinϕ z = r cos ϕ
机动
目录
上页
下页
返回
结束
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为
a
b
DZ
f (x, y, z)dxdy
z2 ( x, y)
方法3. 三次积分 三次积分” 方法 “三次积分”
= ∫ d x∫
a
b
y2 ( x)
y1( x)
d y∫
z1( x, y)
f (x, y, z)d z
三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算时应根据 被积函数及积分域的特点灵活选择.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第三节 三重积分
一、三重积分的概念 三重积分的概念 二、三重积分的计算
第九章
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、三重积分的概念
引例: 引例 设在空间有限闭区域 Ω 内分布着某种不均匀的 物质, 密度函数为 µ(x, y, z) ∈C,求分布在 Ω 内的物质的 质量 M . 解决方法: 解决方法 类似二重积分解决问题的思想, 采用 “大化小 常代变 近似和 求极限” 大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 大化小 可得 Ω
8 3 = a 9
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例4. 计算三重积分
其中Ω由抛物面
x2 + y2 = 4z 与平面 z = h (h > 0)所围成 .
解: 在柱面坐标系下
z
h
ρ x 2 dz dρ ∫ρ θ 原式 = ∫ d ∫0 2 0 4 1+ ρ dv = ρdρ dθdz 2 2 h ρ ρ = 2π ∫ (h − ) dρ 2 0 4 1+ ρ
0 ≤ ρ ≤ 2cosθ 解: 在柱面坐标系下 Ω: 0 ≤θ ≤ π 2 0≤ z ≤a
原 = ∫∫∫ z ρ2 d ρd d z 式 θ
Ω
z a
o
y
= ∫ zdz ∫
0
a
π
0
2 dθ
∫0
2cosθ
ρ2 d ρ
2 ρ = 2cosθ x
dv = ρdρ dθdz
=
2 π 4a
3
∫0
2 cos3 dθ θ
机动 目录 上页 下页 返回 结束
π
a 3 cosϕ 2 r dr 0
ϕr
θ x
y
内容小结
坐标系 直角坐标系 柱面坐标系 体积元素 适用情况 积分区域多由坐标面 围成 ; 被积函数形式简洁, 或
dxdydz
ρ d ρ dθ dz
球面坐标系 r 2 sinϕ dr dϕ dθ 变量可分离. * 说明: 说明 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式 换元积分公式: 换元积分公式
∫∫∫Ω f (x, y, z) dxdydz = ∫∫∫Ω
*
F(u, v, w) J dudvdw
对应雅可比行列式为 J = ∂(x, y, z) ∂(u, v, w)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
1. 将 I = ∫∫∫ f (x, y, z) d v用三次积分表示,其中Ω由
Ω
六个平面 x = 0, x = 2, y =1, x + 2y = 4, z = x, z = 2 所 围成 , f (x, y, z) ∈C(Ω). 提示: 提示
机动 目录 上页 下页 返回 结束
方法2. 先二后一” 方法 截面法 (“先二后一”) 先二后一
z b
以Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为
该物体的质量为
z a
x
Ω Dz
y
面密度≈ f (x, y, z) d z
=∫
记作
( ∫∫ f (x, y, z) d x d y) dz a D
b
Z
∫a dz∫∫D
就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
x = ρ cosθ y = ρ sinθ z=z
坐标面分别为
0 ≤ ρ < +∞ 0 ≤θ ≤ 2π − ∞ < z < +∞
圆柱面 半平面 平面
机动
z
z
M(x, y, z)
ρ =常 数 θ = 常数
z =常 数
o y θ (x, y,0) x ρ
2 2
by
x
用“先二后一 ”
∴
∫∫∫Ω
z d xd yd z = ∫
2
c 2
c 2 z dz −c
∫∫D d xd y
z
4 z = 2∫ z π ab(1− 2 )dz = π abc3 −c 15 c
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2
2. 利用柱坐标计算三重积分
设M(x, y, z) ∈R3,将x, y用 坐 ρ,θ 代 , 则 ρ,θ , z) 极 标 替 （
Ω: 0 ≤ r ≤ a 3 cos ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π 2, 0 ≤θ ≤ 2π
利用对称性, 所求立体体积为
V = ∫∫∫ d v
= 4∫ 2 dθ ∫ 2 sinϕ dϕ∫
0 0
r = a 3 cos ϕ
z a
π
Ω
π
2 3 2 1 3 = π a ∫ sinϕ cosϕ dϕ = π a 0 3 3 dv = r2 sinϕdrdϕ dθ
dρ
1) 积分域 积分域表面用柱面坐标表示时方程简单 ; 方程简单 2) 被积函数 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离 变量互相分离. 变量互相分离
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例3. 计算三重积分 成半圆柱体.
其中Ω为由
柱面 x2 + y2 = 2x 及平面 z = 0, z = a (a > 0), y = 0 所围
z
dθ
d v = r sinϕd rdϕ dθ
2
dr
因此有
ϕ
r
θ
dθ
∫∫∫Ω
f (x, y, z)dxdydz
x
Ω
o
dϕ
y
= ∫∫∫ F(r,θ,ϕ) r 2 sinϕ d r dϕ dθ
其中 F(r,θ,ϕ) = f (r sinϕ cosθ, r sinϕ sinθ, r cosϕ ) 适用范围: 适用范围 1) 积分域 积分域表面用球面坐标表示时方程简单 方程简单; 方程简单 2) 被积函数 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离 变量互相分离. 变量互相分离
∫∫∫Ω f (x, y, z)dv = f (ξ,η,ζ )V
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、三重积分的计算
1. 利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数 f (x, y, z) ≥ 0, 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法: 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法 方法2 方法 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 方法 . 三次积分法 最后, 推广到一般可积函数的积分计算.
1≤ y ≤ 2 − 1 x Ω: 2
I = ∫ dx∫
0
2
2−1 x 2
1
d y ∫ f (x, y, z)dz
x
2
机动
目录
上页
ห้องสมุดไป่ตู้
下页
返回
结束
2. 设
计算
提示: 提示 利用对称性 原式 =
∫∫ d xd y
奇函数
x2 + y2 ≤1
=0
机动
目录
上页
下页
返回
结束
3. 设Ω由锥面 所围成 , 计算 提示: 提示
均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算.
机动
目录
上页
下页
返回
结束
小结: 小结 三重积分的计算方法 方法1. 先一后二 先一后二” 方法 “先一后二”
= ∫∫ dxdy∫
D
z2 (x, y)
z1(x, y)
f (x, y, z)d z
方法2. 先二后一 先二后一” 方法 “先二后一”
= ∫ d z∫∫
和球面
z 2
2 2
π
4
I = ∫∫∫ (x + y + z + 2 xy + 2 yz + 2 xz) dv
2 Ω
利用对称性
= ∫∫∫ (x2 + y2 + z2 ) dv
Ω
o x
y
用球坐标
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例5. 计算三重积分 与球面 解: 在球面坐标系下
其中Ω 所围立体.
z
π
4
0≤r ≤ R Ω: 0 ≤ ϕ ≤ π 4 0 ≤θ ≤ 2π
∴
r =R
∫∫∫Ω
2π 0
( x2 + y2 + z2 )dxdydz
π
0
o
x
y
= ∫ dθ ∫ 4 sinϕ dϕ ∫
1 5 = π R (2 − 2) 5
机动
目录
上页
下页
返回
结束
方法1. 先一后二” 方法 投影法 (“先一后二” ) 先一后二 z1(x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y) Ω: (x, y) ∈D 细长柱体微元的质量为
z = z2 (x, y)
z
z = z1(x, y)
z2 (x, y) f (x, y, z)dz dxdy ∫z (x, y) 1 该物体的质量为
M = lim ∑µ(ξk ,ηk ,ζ k )∆vk
λ→0
k =1
n
∆vk
(ξk ,ηk ,ζ k )
机动
目录
上页
下页
返回
结束
任意分割: 任意分割 定义. 定义 设 f (x, y, z) , (x, y, z) ∈Ω, 若对 Ω 作任意分割 任意取点 下列 “乘 积和式” 极限
λ→0 k =1
0 1
1(1−x) 2
1−x−2 y
y
dz
1 x
0
(1− x − 2y)dy
1 1 1 2 3 = ∫ (x − 2x + x )dx = 4 0 48
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 计算三重积分
z D z c z
a
2
解: Ω :
−c ≤ z ≤ c
x y z Dz : 2 + 2 ≤1− 2 a b c
例1. 计算三重积分 ∫∫∫ xdxdydz, 其中Ω 为三个坐标 面及平面 x + 2y + z =1 所围成的闭区域 .
Ω
0 ≤ z ≤1− x − 2y 解: Ω: 0 ≤ y ≤ 1 (1− x) 2 0 ≤ x ≤1
∴ ∫∫∫ x d x d y d z
Ω
z
1
1 2
∫0
= ∫ x d x∫