计算三重积分详细方法

Ω Ω
= ∫0 dθ ∫0 dr∫r2 r z dz
z = ∫0 dθ ∫0 r ⋅ dr 2 r 2
2π 2 2 4
2π
2
4
1 2π dθ 2 (16r − r5 )dr = ∫0 ∫0 2
1 2π 8r 2 1 r6 d = ∫0 − θ 0 2 6 1 1 = ⋅ 2π ⋅ 8r 2 − r6 = 64 π . 2 6 0 3
规定： 0 ≤ r < +∞, 规定：
z
•
0 ≤ θ ≤ 2π ,
M( x, y, z)
y
− ∞ < z < +∞.
简单地说， 简单地说，柱面坐标就是
x
o Hale Waihona Puke θ•P(r,θ )
4
xoy 面上的极坐标 + z 坐标
如图， 如图，三坐标面分别为
z
r 为常数
圆柱面； 圆柱面； 半平面； 半平面； 平 面．
x
o
•(r,θ )
y
x = r cosθ , y = r sinθ , z = z. dv = rdrdθ dz,
I = ∫∫∫ z dxdydz = ∫∫∫ z ⋅ r drdθdz
Ω Ω
= ∫0 dθ ∫0 dr∫r2
3
2π
3
4−r2
r ⋅ zdz = 13 π . 4
11
例3 计算三重积分
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广州大学数学与信息科学学院
1
工科高等数学
广州大学袁文俊、邓小成、尚亚东 广州大学袁文俊、邓小成、
2
一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分 三、小结
3
一、利用柱面坐标计算三重积分
为空间内一点， 设 M( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在xoy 面上 的投影P 的极坐标为r, θ，则这样的三个数r, θ , z 的柱面坐标． 就叫点M 的柱面坐标．
Ω
的关系，化为三次积分。 再根据再 Ω 中 r，θ ， ϕ 的关系，化为三次积分。 ， 一般， 积分， 积分。 一般，先对 r 积分，再对 ϕ ，最后对 θ 积分。
17
例4 用球面坐标计算
∫∫∫
Ω
z2dv. 其中
z
Ω : x2 + y2 + z2 ≤ 1.
解 画 Ω 图。 的上下限。 确定 r，θ ， ϕ 的上下限。 ， (1) 将 Ω 向 xoy 面投影，得 面投影，
面投影， 将 Ω 向 xoy 面投影，得
x
o
y
r= 3
D : x2 + y2 ≤ 3.
0 ≤ θ ≤ 2π , 或 D: 0 ≤ r ≤ 3.
o
A
10
或 D : 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ 3. 过 (r, θ )∈D 做平行于 z 轴 ∈ 的直线， 的直线，得
z
r2 z ≤ ≤ 4 − r2 . 3 0 ≤ θ ≤ 2π , 即 Ω : 0 ≤ r ≤ 3, r 2 3 ≤ z ≤ 4 − r 2 .
规定： 规定：
z
0 ≤ r < +∞,
0 ≤ϕ ≤π,
ϕ
o θ
x
r
•
M( x, y, z)
y
15
0 ≤ θ ≤ 2π .
•
P
z
如图， 如图，三坐标面分别为
r 为常数
球
面；
ϕ r
ϕ 为常数
θ 为常数
圆锥面； 圆锥面； 半平 面．
x
z
o
θ
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x = r sinϕ cosθ , y = r sinϕ sinθ , z = r cosϕ.
D : x2 + y2 ≤ 4
0 ≤ θ ≤ 2π , 或 D: 0 ≤ r ≤ 2.
过 (r, θ )∈D 做平行于 z 轴 ∈ 的直线， 的直线，得
y y
r =2
o
2
A
7
过 (r, θ )∈D 做平行于 z 轴 ∈ 的直线， 的直线，得
4
z
r2 ≤ z ≤ 4
0 ≤ θ ≤ 2π , Ω : 0 ≤ r ≤ 2, 2 r ≤ z ≤ 4
ϕ
A
x
r
• M( x, y, z)
z
o
θ
y
x
P
•
y
16
如图， 如图， 球面坐标系中的体积元素为
dθ
z
dr
r sinϕdθ rdϕ
r sinϕ
dv = r 2 sinϕ dr dϕ dθ ,
o
r
ϕ
dϕ
∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
Ω
θ
y
dθ
x
= ∫∫∫ f (r sinϕ cosθ , r sinϕ sinθ , r cosϕ ) r 2 sinϕ dr dϕ dθ .
Ω
= ∫∫∫ r 2 ⋅ r 2 sinϕ dr dϕ dθ
= ∫0 dθ ∫0 dϕ ∫
Ω 2π
x = r sinϕ cosθ , y = r sinϕ sinθ , z = r cosϕ.
π 4
R 4 r sinϕ dr 0
dv = r 2 sinϕdrdϕdθ
22
1 = πR5(2 − 2 ). 5
= 2π ∫0 (Hr 3 − r4 )dr
π H5 . =
10
14
二、利用球面坐标计算三重积分
设 M( x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用三个有次 为空间内一点， 来确定， 序的数r，ϕ，θ 来确定，其中r 为原点O 与点 M 间 的距离， ϕ θ 轴正向所夹的角， 的距离， 为有向线段OM与z 轴正向所夹的角， 为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到有 向线段 OP 的角，这里P 为点 M 在 xoy 面上的投影，这 的角， 面上的投影， 的球面坐标． 样的三个数r，ϕ，θ 就叫做点M 的球面坐标．
( x2 + y2 ) dv = ∫∫∫
Ω
r 2 ⋅ r drdθ dz. ∫∫∫
Ω
= ∫0 dθ ∫0 dr∫
2π
H
H 3 r dz r
= ∫0 dθ ∫
H
2π
3 H r z r dr 0 H
[ ]
x = r cosθ , y = r sinθ , z = z. dv = rdrdθ dz,
1 2π dθ π cos2 ϕ sinϕ dϕ = ∫0 ∫0 5 1 2π d π cos2 d(cos ) = − ∫0 θ ∫0 ϕ ϕ 5
1 2π cos ϕ d = − ∫0 θ = 2 ∫2π dθ 5 3 15 0 0 4π . = 15
3
π
20
例5 计算
( x2 + y2 + z2 ) dv. 其中 Ω 由曲面 ∫∫∫
o
x
∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz
Ω
y
dθ
= ∫∫∫ f (r cosθ , r sinθ , z) r drdθ dz.
Ω
再根据 Ω 中 z，r，θ 的关系，化为三次积分。 ， ， 的关系，化为三次积分。 积分。 一般， 积分， 一般，先对 z 积分，再对 r ，最后对 θ 积分。
6
( x2 + y2 ) dv , 其中 Ω 是由曲 ∫∫∫
Ω
面 z = x2 + y2 与平面z = H (H > 0) 所围成。 所围成。
解 面投影， 将 Ω 向 xoy 面投影，得
z
D : x2 + y2 ≤ H2
0 ≤ θ ≤ 2π , 或 D: 0 ≤ r ≤ H.
过 (r, θ )∈D 做平行于 z 轴 ∈ 的直线， 的直线，得
x
o
y
0 ≤ θ ≤ 2π .
(2) 任取一 θ ∈[0, 2π ], 过 z 轴作半平面，得 轴作半平面，
0 ≤ϕ ≤π.
(3) 在半平面上，任取一 ϕ ∈[0, π ], 过原点作 在半平面上， 射线， 射线，得 0 ≤ r ≤ 1.
18
(3) 在半平面上，任取一 ϕ ∈[0, π ], 过原点作 在半平面上， 射线， 射线，得
5 1
x = r sinϕ cosθ , y = r sinϕ sinθ , z = r cosϕ.
r dθ ∫0 cos ϕ sinϕ ⋅ dϕ 5 0
π
2
dv = r 2 sinϕdrdϕdθ
19
∫∫∫
Ω
z2dv = ∫∫∫ r 2 cos2 ϕ ⋅ r 2 sinϕ dr dϕ dθ
23
解
Ω由 面 球 围 ， 锥 和 面 成
z
由三重积分的性质， 由三重积分的性质，有
R
V = ∫∫∫ dv
Ω
0 ≤ θ ≤ 2π , π Ω : 0 ≤ ϕ ≤ , 4 0 ≤ r ≤ 2a.
例1 利用柱面坐标计算三重积分
∫∫∫ z dxdydz ,
Ω
其中Ω 其中Ω
所围成的闭区域。 是由曲面 z = x2 + y2 与平面 z = 4 所围成的闭区域。
解 (1) 画 Ω 图 (2) 确定 z，r，θ 的上下限 ，， 将 Ω 向 xoy 面投影，得 面投影，
4 4
o•(r,θ )
x x
z
例 6 求 面x2 + y2 + z2 ≤ 2a2与z ≥ x2 + y2 曲 所 成 立 体 . 围 的 体 积. 积
R
解
Ω由 面 球 围 ， 锥 和 面 成
z
由三重积分的性质， 由三重积分的性质，有
V = ∫∫∫ dv
Ω
o
x
y
0 ≤ θ ≤ 2π , π Ω : 0 ≤ ϕ ≤ , 4 0 ≤ r ≤ 2a.
Ω
= ∫0 dθ ∫0 dϕ ∫
= ∫0
2π
2π
π
1 4 r cos2 ϕ sinϕ dr 0
5 1
x = r sinϕ cosθ , y = r sinϕ sinθ , z = r cosϕ.
r dθ ∫0 cos ϕ sinϕ ⋅ dϕ 5 0
π
2
dv = r 2 sinϕdrdϕdθ
y
H −H
o
H
x
−H
( x2 + y2 ) dv = ∫∫∫
Ω
r 2 ⋅ r drdθ dz. ∫∫∫
Ω
= ∫0 dθ ∫0 dr∫
2π
H
H 3 r dz r
x = r cosθ , y = r sinθ , z = z. 13 dv = rdrdθ dz,
即
0 ≤ θ ≤ 2π , Ω : 0 ≤ r ≤ H, r ≤ z ≤ H
0 ≤ r ≤ 1.
o
z
0 ≤ θ ≤ 2π , 即 Ω : 0 ≤ ϕ ≤ π , 0 ≤ r ≤ 1.
x
y
∫∫∫
Ω
z2dv = ∫∫∫ r 2 cos2 ϕ ⋅ r 2 sinϕ dr dϕ dθ
Ω
= ∫0 dθ ∫0 dϕ ∫
= ∫0
2π
2π
π
1 4 r cos2 ϕ sinϕ dr 0
x
z
θ 为常数
z 为常数
z
o r θ
y
柱面坐标与直角坐标的 关系为
x = r cosθ , y = r sinθ , z = z.
x
M( x, y, z) •
o
θ
r
•
y
P(r,θ )
5
如图， 如图，柱面坐标系中的 体积元素为
z
rdθ
dv = rdrdθ dz,
于是， 于是，
r
dr dz
π. 0 ≤ϕ ≤
o
x
y
21
π 在半平面上， 在半平面上，任取一 ϕ ∈[0, ], 4 过原点作射线， 过原点作射线，得 0 ≤ r ≤ R.
0 ≤ θ ≤ 2π , 即 Ω : 0 ≤ ϕ ≤ π , 4 0 ≤ r ≤ R.
z
R
o
x
y
( x2 + y2 + z2 ) dv ∫∫∫
2
9
2
例 2 求I = ∫∫∫ zdxdydz， 中Ω是 面 x2 + y2 + z2 = 4 其 球
Ω
与 物 x2 + y2 = 3z 所 的 体. 抛 面 围 立体 .
求交线： 解 求交线： x + y + z = 4 2 x + y2 = 3z
2 2 2
z
x2 + y2 = 3, ⇒ z = 1.
x
H H
o•(r,θ )
y
y
H −H
r ≤ z ≤ H.
o
H
x
12
−H
0 ≤ θ ≤ 2π , 或 D: 0 ≤ r ≤ H.
过 (r, θ )∈D 做平行于 z 轴 ∈ 的直线， 的直线，得
z
H H
o•(r,θ )
x
y
r ≤ z ≤ H.
即
0 ≤ θ ≤ 2π , Ω : 0 ≤ r ≤ H, r ≤ z ≤ H
o •(r,θ )
x
y
即
r =2
o
2
于是， 于是，
A
∫∫∫ z dxdydz = ∫∫∫ z r drdθ dz.
Ω Ω
= ∫0 dθ ∫0 dr∫r2 r z dz
2π
2
4
x = r cosθ , y = r sinθ , z = z. 8 dv = rdrdθ dz,
∫∫∫ z dxdydz = ∫∫∫ z r drdθ dz
Ω
z = x2 + y2 和 x2 + y2 + z2 = R2 围成。(R > 0) 围成。
解 面投影， 将 Ω 向 xoy 面投影，得
z
0 ≤ θ ≤ 2π .
任取一 θ ∈[0, 2π ], 过 z 轴作半平面， 轴作半平面，得
R
4 π 在半平面上， 在半平面上，任取一 ϕ ∈[0, ], 4 过原点作射线， 过原点作射线，得 0 ≤ r ≤ R.