6-3 二阶常系数线性微分方程

§6-3 二阶常系数线性微分方程
一、二阶常系数线性微分方程的概念 二、二阶常系数齐次线性微分方程 三、二阶常系数非齐次线性微分方程
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主要内容
一、二阶常系数线性微分方程的概念
定义 形如
y py qy f x
(1)
的方程，称为二阶常系数线性微分方程．其Biblioteka Baidup,q为常数 . 注 ① 当f(x)≠0时，方程(1)称为二阶常系数非齐次线性微分方程； ② 当f(x)=0时，即
其中 y * 为其一个特解
(2)
则二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为：
y c 为其对应齐次方程（2）的通解。
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1.
f x Pm x e x型
y py qy Pm x e x (3)
其中 λ 为常数，Pm(x)为x的m次多项式，即
Pm x am x m am1 x m1 a0
(1)其中 Q m(x)与R m(x) 均为m次多项式(m = max{l，n})，其系数 待定; （2）k的取值取决于看k与特征方程 2 p q 0 的关系
0， k 1，
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当 i不是特征根 当 i是特征根
例: 求微分方程 y y x cos 2 x的一个特解.
如果 f x e x P x cos x Pn x sin x l
则微分方程 y py qy f x 有如下形式的特解 :
y p xk e x Qm x cos x Rm x sin x
例： 求方程 y 12 y 9 y 0 满足初始条件 y x 0 1, 的特解.
y x 0 1
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三、二阶常系数非齐次线性微分方程
设 y py qy f x
其中p,q为常数，f(x)≠0 它对应的齐次方程为：
(1)
y py qy 0 y yc y *
k x 则微分方程方程(3)的特解为： y* x Qm x e
（1）其中 Qm x 是一 个m次多项式,其系数待定; （2）k的取值取决于看k与特征方程 2 p q 0 的关系
0， k 1， 2，
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不是特征根 是特征单根 是特征重根
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y C1 C2 x e rx
r1, 2 i
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y ex C1 cos x C2 sin x
例： 求微分方程 y y 2 y 0的通解.
例： 求微分方程 y 4 y y 0 的通解.
例： 求微分方程 y 4 y 8 y 0 的通解.
y py qy 0
(2)
方程(2)称为二阶常系数齐次线性微分方程．
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二阶常系数线性微分方程解的结构
1．齐次线性方程解的结构 定理1 （齐次线性方程解的叠加原理） 若y1与y2是齐次线性方程(2)的两个解，则y = C1 y1+C2 y2也是 (2)的解，且当与线性无关时，y = C1 y1+C2 y2就是式(2)的通解． 2．非齐次线性方程解的结构 定理2 （非齐次线性方程解的结构）
例: 求微分方程 y 2 y 3 y 3x 1的一个特解. 例: 求微分方程 y 5 y 6 y x e2 x的通解.
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2. f x e x P x cos x Pn x sin x 型 l
求二阶常系数齐次线性微分方程通解的步骤如下：
第一步 写出方程的特征方程 r pr q 0;
2
第二步 求出特征方程的两个根r1及r2 ; 第三步 根据特征根的不同情况，写出微分方程的通解． 特征方程的根
r1 , r2
通解形式
y C1e r1x C2 e r2 x
r1 r2
r1 r2 r
设
y py qy f x
(1)
若y*为非齐次线性方程(1)的某个特解，yc为方程(1)所对应
的齐次线性方程(2)的通解，则 y = yc+ y*为非齐次线性方程 (1) 之通解．
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二、二阶常系数齐次线性微分方程
形如 y py qy 0 （其中 p, q 为常数）