2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷(数学文)扫描版版有答案B卷
2012年高考文科数学湖北卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学(文史类)本试卷共4页,共22题.满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★考生注意：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型后的方框涂黑.2.选择题的作答：每小题选出答案后,用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合23 20,|} {A x x x x -+=∈R ,05 {|}B x x x =∈＜＜,N ,则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为( ) A .1B .2C .3D .42.容量为20的样本数据,分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )A .0.35B .0.45C .0.55D .0.65 3.函数s ()co 2f x x x =在区间[0,2π]上的零点的个数为 ( ) A .2B .3C .4D .54.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )A .任意一个有理数,它的平方是有理数B .任意一个无理数,它的平方不是有理数C .存在一个有理数,它的平方是有理数D .存在一个无理数,它的平方不是有理数 5.过点)(1,1P 的直线,将圆形区域22{()|+4}x y x y ,≤分为两部分,使得这两部分的面积差最大,则该直线的方程为( )A .20x y +-=B .10y -=C .0x y -=D .340x y +-=6.已知定义在区间[0,2]上的函数()y f x =的图象如图所示,则()2y f x =--的图象为( )ABCD7.定义在()(),00,-∞+∞上的函数)(f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,{)(}n f a 仍是等比数列,则称)(f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞+∞上的如下函数：①2()f x x ＝；②()2x f x ＝；③()f x =；④()ln ||f x x ＝.则其中是“保等比数列函数”的)(f x 的序号为( ) A .①②B .③④C .①③D .②④8.设ABC △的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若三边的长为连续的三个正整 数,且A B C ＞＞,320b acosA =,则sin :sin :sin A B C 为 ( ) A .4∶3∶2B .5∶6∶7C .5∶4∶3D .6∶5∶49.设a b c ∈,,R ,则“1abc =++a b c ”的()--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第3页（共26页） 数学试卷 第4页（共26页）A .充分条件但不是必要条件B .必要条件但不是充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要的条件10.如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )A .112π-B .1πC .21π-D .2π二、填空题：本大题共7小题,每小题5分,共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.一支田径运动队有男运动员56人,女运动员42人.现用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的男运动员有8人,则抽取的女运动员有 人.12.若3+i=+i 1ib a b －（a ,b 为实数,i 为虚数单位）,则a b += . 13.已知向量0)(1,=a ,1)(1,=b ,则（Ⅰ）与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为 ；（Ⅱ）向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为 .14.若变量x ,y 满足约束条件1,1,33,x y x y x y --⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≥≤则目标函数23z x y =+的最小值是 .15.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .16.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果s = .17.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10,记为数列{}n a ,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b .可以推测： （Ⅰ）2012b 是数列{}n a 中的第 项； （Ⅱ）21k b =－ .（用k 表示）三、解答题：本大题共5小题,共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.（本小题满分12分）设函数22()sin cos cos ()f x x x x x x ωωωωλ-∈++=R 的图象关于直线π=x 对称,其中ω,λ为常数,且)11(2ω∈,. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π()40，,求函数()f x 的值域. 19.（本小题满分12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台1111A B C D ABCD －,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱2222ABCD A B C D －. （Ⅰ）证明：直线11B D ⊥平面22ACC A ；（Ⅱ）现需要对该零部件表面进行防腐处理.已知10=AB ,1120=A B ,20=3A ,113=AA （单位：厘米）,每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元？ 20.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 前三项的和为,前三项的积为.（Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2a ,3a ,1a 成等比数列,求数列{||}n a 的前n 项和.21.（本小题满分14分）设A 是单位圆221x y +=上的任意一点,l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x 轴的交点,点M 在直线l 上,且满足|(|)|01DM m DA m m ≠=＞,且.当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程,判断曲线C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标；3-8数学试卷 第5页（共26页） 数学试卷 第6页（共26页）（Ⅱ）过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P ,Q 两点,其中P 在第一象限,且它在y 轴上的射影为点N ,直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ,使得对任意的0k ＞,都有PQ PH ⊥？若存在,求m 的值；若不存在,请说明理由.22.（本小题满分14分）设函数()(1)()0n f x ax x b x ＝－＋＞,n 为正整数,a ,b 为常数.曲线()y f x =在(1)(1)f ,处的切线方程为1x y +=.（Ⅰ）求a ,b 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值； （Ⅲ）证明：1()ef x n <.数学试卷第7页（共26页）数学试卷第8页（共26页）5 / 13数学试卷 第11页（共26页）数学试卷 第12页（共26页）3S ，4S 。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)文科数学及答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数 学(供文科考生使用)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x R =-+=∈=<<∈,则满足条件A C B ⊆⊆的集合C的个数为( )A.1B.2C.3D.4A. 0.35B. 0.45C. 0.55D. 0.65 3.函数()cos2f x x x =在区间[]0,2π上的零点的个数为( )A.2B.3C.4D.5 4.命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( )A.任意一个有理数,它的平方是有理数B.任意一个无理数,它的平方不是有理数C.存在一个有理数,它的平方是有理数D.存在一个无理数,它的平方不是有理数 5.过点()1,1P 的直线,将圆形区域(){}22,|4x y xy +≤分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为( )A.20x y +-=B.10y -=C.0x y -=D.340x y +-=6.已知定义在区间[]0,2上的函数()y fx =的图象如图所示,则()2y f x =--的图象为( )7.定义在()(),00,-∞+∞U 上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}(){},n n a f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义()(),00,-∞+∞U 在上的如下函数: ①()2f x x =②()2x f x =③()f x④()ln ||f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为( )A .①②B ③④ C.①③ D.②④8.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若三边的长为连续的三个正整数,且,320cos A B C b a A >>=,则sin :sin :sin A B C 为( )A.4:3:2B.5:6:7C.5:4:3D.6:5:49.设,,a b c R ∈,则"1"abc =是"a b c ≤++的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以,OA OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )A.112π-B.1πC.21π- D.2π二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)11.一支田径运动队有男运动员56人,女运动员42人.现用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的男运动员有8人,则抽取的女运动员有__________人12.若31bi a bi i+=+-(,a b 为实数,i 为虚数单位),则a b +=________13.已知向量()()1,0,1,1==a b ,则(1)与2+a b 同向的单位向量的坐标表示为____(2)向量3-b a 与向量a 夹角的余弦值为____14.若变量,x y 满足约束条件11,33x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩则目标函数23z x y =+的最小值为________15.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________ 16.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果________ 17.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数,他们研究过如图所示的三角形数:...10631将三角形数1,3,6,10,⋅⋅⋅记为数列{}n a ,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ,可以推测:(1)2012b 是数列{}n a 中的第_________项;(2)21k b -=______(用k 表示)三、解答题(本大题共5小题,共65分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)18.(本小题12分)设函数()()22sin cos cos f x x x x x x R ωωωωλ=+⋅-+∈的图象关于直线πx =对称.其中,ωλ为常数,且1(,1)2ω=.(1)求函数()f x 的最小正周期;(2)若()y f x=的图象经过点π(,0)4,求函数()f x 的值域.BAO 俯视图侧视图正视图22114419.(本小题12分)某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台1111A B C D ABCD -,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱2222ABCD A B C D -.(1)证明:直线11B D ⊥平面22ACC A ;(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理.已知112110,20,30,13AB A B AA AA ====(单位:厘米),每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元?20.(本小题13分)已知等差数列{}n a 前三项的和为3-,前三项的积为8.(1)求等差数列{}n a 的通项公式;(2)若231,,a a a 成等比数列,求数列{}||n a 的前n 项和.21.(本小题14分)设A 是单位圆221x y +=上的任意一点,l 是过点A 与x 轴垂直的直线,D 是直线l 与x 轴的交点,点M 在直线l 上,且满足()||||0,1DM m DA m m =>≠且.当点A 在圆上运动时,记点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程,判断曲线C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;(2)过原点斜率为k 的直线交曲线C 于,P Q 两点,其中P 在第一象限,且它在y 轴上的射影为点N ,直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ,使得对任意的0k >,都有PQ PH ⊥?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.22.(本小题14分)设函数()()()10,n f x ax x b x n =-+>为正整数,,a b 为常数.曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为1x y +=.(1)求,a b 的值;(2)求函数()f x 的最大值; (3)证明:()1f x ne<A 2B 2D 2C 2C 1D 1B 1A 1D C B A2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（文史类）试题参考答案一、选择题：A 卷：1．D 2．B 3．D 4．B 5．A 6．B 7．C 8．D 9．A 10．C 二、填空题：11． 6 12． 3 13．（Ⅰ）；（Ⅱ） 14． 2 15．12π 16． 9 17．（Ⅰ）5030；（Ⅱ）()5512k k -三、解答题：18．解：（Ⅰ）因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+cos22x x ωωλ=-+π2sin(2)6x ωλ=-+.由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可得πsin(2π)16ω-=±，所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1()23k k ω=+∈Z ．又1(,1)2ω∈，k ∈Z ，所以1k =，故56ω=.所以()f x 的最小正周期是6π5. （Ⅱ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π()04f =，即5πππ2sin()2sin 6264λ=-⨯-=-=，即λ=.故5π()2sin()36f x x =-()f x的值域为[22-.19．解：（Ⅰ）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的侧面是全等的矩形，所以2AA AB ⊥，2AA AD ⊥. 又因为AB AD A = ，所以2AA ⊥平面ABCD . 连接BD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以2AA BD ⊥.因为底面ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥. 根据棱台的定义可知，BD 与B 1 D 1共面.又已知平面ABCD ∥平面1111A B C D ，且平面11BB D D 平面ABCD BD =， 平面11BB D D 平面111111A B C D B D =，所以B 1 D 1∥BD . 于是由2AA BD ⊥，AC BD ⊥，B 1 D 1∥BD ，可得211AA B D ⊥，11AC B D ⊥. 又因为2AA AC A = ，所以11B D ⊥平面22ACC A .（Ⅱ）因为四棱柱2222ABCD A B C D -的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以2221222()410410301300(cm )S S S A B AB AA =+=+⋅=+⨯⨯=四棱柱上底面四棱柱侧面.又因为四棱台1111A B C D ABCD -的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以2211111()42S S S A B AB A B h =+=+⨯+四棱台下底面四棱台侧面等腰梯形的高()221204(101120(cm )2=+⨯+.于是该实心零部件的表面积为212130*********(cm )S S S =+=+=， 故所需加工处理费为0.20.22420484S =⨯=（元）.20．解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，312a a d =+，由题意得1111333,()(2)8.a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩ 解得12,3,a d =⎧⎨=-⎩或14,3.a d =-⎧⎨=⎩所以由等差数列通项公式可得23(1)35n a n n =--=-+，或43(1)37n a n n =-+-=-.故35n a n =-+，或37n a n =-. （Ⅱ）当35n a n =-+时，2a ，3a ，1a 分别为1-，4-，2，不成等比数列；当37n a n =-时，2a ，3a ，1a 分别为1-，2，4-，成等比数列，满足条件. 故37,1,2,|||37|37, 3.n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩记数列{||}n a 的前n 项和为n S .当1n =时，11||4S a ==；当2n =时，212||||5S a a =+=； 当3n ≥时，234||||||n n S S a a a =++++ 5(337)(347)(37)n =+⨯-+⨯-++-2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-=+=-+. 当2n =时，满足此式.综上，24,1,31110, 1.22n n S n n n =⎧⎪=⎨-+>⎪⎩21．解：（Ⅰ）如图1，设(,)M x y ，00(,)A x y ，则由||||(0,1)DM m DA m m =>≠且，可得0x x =，0||||y m y =，所以0x x =，01||||y y m=. ①因为A 点在单位圆上运动，所以22001x y +=. ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为222 1 (0,1)y x m m m+=>≠且.因为(0,1)(1,)m ∈+∞ ，所以当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0)，0)； 当1m >时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,，(0,.（Ⅱ）解法1：如图2、3，0k ∀>，设11(,)P x kx ，22(,)H x y ，则11(,)Q x kx --，1(0,)N kx ，直线QN 的方程为12y kx kx =+，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 222222211(4)40m k x k x x k x m +++-=.依题意可知此方程的两根为1x -，2x ，于是由韦达定理可得 21122244k x x x m k -+=-+，即212224m x x m k =+.因为点H 在直线QN 上，所以2121222224km x y kx kx m k -==+.于是11(2,2)PQ x kx =-- ，22112121222242(,)(,)44k x km x PH x x y kx m k m k =--=-++ . 而PQ PH ⊥等价于2221224(2)04m k x PQ PH m k -⋅==+ ， 即220m -=，又0m >，得m故存在m =2212y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥.解法2：如图2、3，1(0,1)x ∀∈，设11(,)P x y ，22(,)H x y ，则11(,)Q x y --， 1(0,)N y ，因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以222211222222,,m x y m m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 两式相减可得 222221212()()0m x x y y -+-=. ③依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合， 故1212()()0x x x x -+≠. 于是由③式可得 212121212()()()()y y y y m x x x x -+=--+. ④又Q ，N ，H 三点共线，所以QN QH k k =，即1121122y y y x x x +=+.于是由④式可得211212121121212()()12()()2PQ PHy y y y y y y m k k x x x x x x x --+⋅=⋅=⋅=---+. 而PQ PH ⊥等价于1PQ PH k k ⋅=-，即212m -=-，又0m >，得m =故存在m =2212y x +=上，对任意的0k >，都有PQ PH ⊥.22．解：（Ⅰ）因为(1)f b =，由点(1,)b 在1x y +=上，可得11b +=，即0b =.因为1()(1)n n f x anx a n x -'=-+，所以(1)f a '=-.又因为切线1x y +=的斜率为1-，所以1a -=-，即1a =. 故1a =，0b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1()(1)n n n f x x x x x +=-=-，1()(1)()1n nf x n x x n -'=+-+. 令()0f x '=，解得1n x n =+，即()f x '在(0,)+∞上有唯一零点01n x n =+. 在(0,)1nn +上，()0f x '>，故()f x 单调递增；图2 (01)m <<图3 (1)m >图1 第21题解答图而在(,)1nn +∞+上，()0f x '<，()f x 单调递减. 故()f x 在(0,)+∞上的最大值为1()()(1)111(1)nn n n n n n f n n n n +=-=++++. （Ⅲ）令1()ln 1+(0)t t t t ϕ=->，则22111()= (0)t t t t t tϕ-'=->. 在(0,1)上，()0t ϕ'<，故()t ϕ单调递减； 而在(1,)+∞上()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增.故()t ϕ在(0,)+∞上的最小值为(1)0ϕ=. 所以()0(1)t t ϕ>>，即1ln 1(1)t t t >->.令11t n =+，得11ln 1n n n +>+，即11ln()ln e n n n++>， 所以11()e n n n++>，即11(1)e n n n n n +<+. 由（Ⅱ）知，11()(1)en n n f x n n +≤<+，故所证不等式成立.。
2012年普通高考学校招生全国统一考试(湖北卷)及答案
2012年普通高考学校招生全国统一考试（湖北卷）语文一、语文基础知识（共15分，共5小题，每小题3分）1.下列各组词语中加点的字，读音全都相同的一组是A.灵．秀磷．光玲．珑剔透聆．听教诲B.诞．生旦．角淡．泊明志担．当重任C.宿．营诉．说夙．兴夜寐素．昧平生D.咨．询滋．生芝．兰之室孜．孜不倦2.下列各组词语中，没有错别字的一组是A．羞涩袅娜歌声渺茫荷塘薄雾B．霜天廖廓峥嵘岁月浪遏飞舟C．细腻萧索落蕊残叶秋蝉嘶叫D．嫩黄葱茏婆娑起舞繁茂苍翠3.依次填入下列横线处的词语，最恰当的是说到底，世上风景闲流水，端的还是咬人慢下来。
中国这如诗的城市中，最是江城得了个中,且将它地挥洒出来。
这江城街头巷尾，湖畔公园里数不胜数的茶馆，茶铺，一个人在清晨的不慌不忙的起来，到茶馆里，一坐就是一天，那叫一个悠闲！A．趣味痛痛快快当是溜B．滋味淋漓尽致便是走C．意味兴致勃勃自是逛D．韵味尽情尽兴恰是晃4.下列各项中，没有语病的是A．坐上画舫游清江，如行画卷之中，江水清澈，绿树蓊郁，自然与人，相遇相依，随风生长，好一派如诗如画的风光。
B．游览三峡大瀑布时，我们从倾泻而下的水帘中狂奔而过，尖叫声，嬉笑中响声一片，真是充满刺激的难忘体验。
C．当今已经很少有人回想以前那样闲情逸致，拿出一本小说，从头到尾阅读一遍，欣赏其委婉动人的故事。
D．现代文明不仅带来了理性化、工业化、市场化、都市化、民主化和法制化这些美好的社会制度，而却创造了前所未有的物质财富。
5.下列有关文学常识的表述，有错误．．．的一项是A．《孔乙己》描写了科举考试失意者的命运。
作者对孔乙己的穷困潦倒和因窃书而被赶出鲁镇的悲惨遭遇，寄予了同情。
B．已知杀父娶母的实情却迟迟不采取复仇行动，这一情节构成《哈姆莱特》中著名的“延宕”，体现了主人公复杂、矛盾的心理。
C．宋词至苏轼，让人耳目一新，苏轼拓宽了词的题材，提升了词的格调，丰富了词的表现手法，开创了具有革新意义的豪放词派。
2012年湖北高考数学文科试卷带详解
2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷）数学（文科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（)A．1B．2 C．3 D．4【测量目标】集合的基本运算。
【考查方式】子集的应用.【参考答案】D【试题解析】求，易知。
因为，所以根据子集的定义，集合必须含有元素1，2，且可能含有元素3，4，原题即求集合的子集个数，即有个。
故选D。
2．容量为20的样本数据,分组后的频数如下表：则样本数据落在区间的频率为（）A．0。
35B．0.45 C．0。
55D．0。
65【测量目标】频数分布表的应用，频率的计算，对于頻数、频率等统计问题【考查方式】通过弄清楚样本总数与各区间上样本的个数,用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应区间上的样本频率。
【参考答案】B【试题解析】由频数分布表可知：样本数据落在区间内的頻数为2+3+4=9，样本总数为，故样本数据落在区间内频率为。
故选B。
3．函数在区间上的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4D。
5【测量目标】函数零点求解与判断。
【考查方式】通过函数的零点，要求学会分类讨论的数学思想。
【参考答案】D【试题解析】由，得或；其中，由,得，故。
又因为，所以.所以零点的个数为个.故选D。
4．命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是（）A．任意一个有理数,它的平方是有理数B．任意一个无理数,它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数,它的平方不是有理数【测量目标】命题的否定。
【考查方式】求解特称命题或全称命题的否定,千万别忽视了改变量词；【参考答案】B【试题解析】根据特称命题的否定,需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数"。
故选B.5．过点的直线，将圆形区域分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为（)A．B. C。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖北卷,含答案)
y2 b2
1(a, b o) 的两顶点为 A1， A2，虚轴两端点为 B，B 2 ，，两焦
点为 F1， F2。若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 （Ⅰ）双曲线的离心率 e=______；
F1B1F2B2，切点分别为 A， B，C， D。则
（Ⅱ）菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD的面积 S2 的比值 S1 S2
b2 2
≤
a1b1
+a2b2
；
（III ）请将（ II ）中的命题推广到一般形式，并用数学归．纳．法．．． 证明你所推广的命题。注 ： 当α 为正有理数时，有求道公式 (x α） r =α x α-1
有一项是符合题目要求的
1. 方程 x2 +6x +13 =0 的 一个根是
A -3+2i B 3+2i C -2 + 3i D 2 + 3i
2 命题“ x0∈ CRQ， x03 ∈ Q ”的否定是
A
x 0?CRQ， x03 ∈ Q B
x 0∈ CRQ ， x03 ?Q
C
x 0?CRQ ， x03 ∈ Q D
x
+∞）上的如下函数：① f （ x） =x2；② f （ x） =2 ；③
；④ f （x） =ln|x | 。
则其中是“保等比数列函数”的 f （ x）的序号为 A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 8. 如图，在圆心角为直角的扇形 OAB中，分别以 OA，OB为直径作两个半圆。在扇形 随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是
x0∈CRQ ， x03 ?Q
3 已知二次函数 y =f(x) 的图像如图所示 ，则它与 X 轴所围图形的面积为
2012年湖北高考数学试卷
2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 复数2)2(i +等于（ ）A ．i 43+B ．i 45+C ．i 23+D ．i 25+ 考点：复数的运算。
难度：易。
分析：本题考查的知识点为复数的计算，直接套用复数运算公式即可。
解答：44)2(22++=+i i iii 43441+=++-=。
2. 已知集合}4,3,2,1{=M ，}2,2{-=N ，下列结论成立的是（ ）A ．M N ⊆B ．M N M =C ．N N M =D ．}2{=N M 考点：集合交并补的定义。
难度：易。
分析：本题考查的知识点为集合交集、并集的定义，直接根据定义选择即可。
解答：}4,3,2,1,2{-=N M ，}2{=N M 。
3. 已知向量)2,1(-=→x a ，)1,2(=→b ，则→→⊥b a 的充要条件是（ ）A ．21-=x B ．1-=x C ．5=x D ．0=x考点：平面向量的垂直。
难度：易。
分析：本题考查的知识点为平面向量的垂直，若非零向量),(11y x a =→，),(22y x b =→，则002121=+⇔=⋅⇔⊥→→→→y y x x b a b a 。
解答：非零向量0=⋅⇔⊥→→→→b a b a 。
02)1(2=⇔=+-⇔x x 。
4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱考点：空间几何体的三视图。
难度：易。
分析：本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可。
解答：圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形； 正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形；圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。
2012高考湖北文科数学试题及答案(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖北卷)本试卷共22题，其中第15、16题为选考题．满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C ⊆B的集合C的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.653．函数f(x)＝x cos2x在区间[0,2π]上的零点的个数为()A．2 B．3 C．4 D．54．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数5．过点P(1,1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝06．已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为()7．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f(a n)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)f(x)＝ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④ 8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶49．设a ，b ，c ∈R ，则“abc ＝1111≤a ＋b ＋c ”的( ) A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件10．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A ．21π- B ．112π-C ．2πD ．1π二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．11．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有______人．12．若3i 1ib +-＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝______.13．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为______； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为______．14．若变量x ，y 满足约束条件1133x y x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩－－，＋，－，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是______．15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s ＝________.17．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}．可以推测：(1)b2 012是数列{a n}中的第______项；(2)b2k－1＝______.(用k表示)三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．设函数f(x)＝sin2ωx＋ωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点(π4，0)，求函数f(x)的值域．19．某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1－ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD－A2B2C2D2.(1)证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理．已知AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(单位：厘米)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？20．已知等差数列{a n}前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{a n}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．21．设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．22．设函数f (x )＝ax n(1－x )＋b (x ＞0)，n 为正整数，a ，b 为常数．曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝1.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的最大值；(3)证明：1()ef x n <.1． D 由题意可得，A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}．又∵A ⊆C ⊆B ，∴C ＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，故选D 项．2． B 样本数据落在区间[10,40)的频数为2＋3＋4＝9，故所求的频率为90.4520=.3． D 令f (x )＝x cos2x ＝0，得x ＝0或cos2x ＝0，故x ＝0或2x ＝k π＋π2，k ∈Z ，即x＝0或ππ24k x =+，k ∈Z .又x ∈[0,2π]，故k 可取0,1,2,3，故零点的个数有5个．4． B 该特称命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．5． A 当OP 与该直线垂直时，符合题意；此时k OP ＝1，故所求直线斜率k ＝－1.又已知直线过点P (1,1)，因此，直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.6． B y ＝f (x)y ＝f (－x )y ＝f [－(x －2)]＝f (2－x)y ＝－f (2－x )，故选B 项．7．C 设等比数列{a n }的公比为q ，则对于f (x )＝x 2，f (a n )＝2n a ，由等比数列得，222211()nn n n a a q a a --==，符合题意；而对于f (x )＝2x和f (x )＝ln|x |，则f (a n )＝2a n 和f (a n )＝ln|a n |.由等比数列定义得，122n n a a -＝2a n －a n －1.1ln ||ln ||n n a a -都不是定值，故不符合题意；而对于f (x )＝则f (a n )，==，为定值，符合题意．故选C 项．8．D 由题意可设a ＝b ＋1，c ＝b －1.又∵3b ＝20a ·cos A ，∴3b ＝20(b ＋1)·222(1)(1)2(1)b b b b b +--+-，整理得，7b 2－27b －40＝0，解得b ＝5，故a ＝6，b ＝5，c ＝4，即sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.9． A111222b c a c a b a b c+++++==≤++=＋＋(当且仅当“a ＝b ＝c ”时，“＝”成立)，反之，则不成立(譬如a ＝1，b ＝2，c ＝3时，满足a b c≤＋＋，但abc ≠1)． 10． A 设OA ＝OB ＝2R ，连接AB ，如图所示．由对称性可得，阴影的面积等于直角扇形拱形的面积，S 阴＝14π(2R )2－12×(2R )2＝(π－2)R 2，S 扇＝14π(2R )2＝πR 2，故所求的概率是22(π2)21ππRR-=-.11．答案：6解析：设抽取的女运动员有x 人，由题意可得，85642x =，解得x ＝6.12．答案：3解析：由题意可得，3＋b i ＝(a ＋b i)(1－i)＝(a ＋b )＋(b －a )i ，故a ＋b ＝3.13．答案：(1)(1010 (2)5-解析：(1)由题意可得，2a ＋b ＝(3,1)，故|2a ＋b |2a ＋b 同向的单位向量为，即(1010；(2)由题意可得b －3a ＝(－2,1)，故(b －3a )·a ＝－2.又∵|b－3a |＝|a |＝1，∴cos 〈b －3a ，a 〉＝(3)|3|||5-⋅=--b a a b a a .14．答案：2解析：作出可行域如图所示，由l 0：23y x =-平移知过点A (1,0)时，目标函数取到最小值，代入可得z ＝2.15．答案：12π解析：该几何体是由3个圆柱构成的几何体，故体积V ＝2×π×22×1＋π×12×4＝12π. 16．答案：9解析：由程序框图依次可得， s ＝1，a ＝3；n ＝2，s ＝4，a ＝5； n ＝3，s ＝9，a ＝7； 结束，输出s ＝9. 17．答案：(1)5 030 (2)5(51)2k k -解析：(1)由题意可得，a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…，a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，a n－a n－1＝n.以上各式相加得，a n－a1＝2＋3＋…＋n＝(1)(2)2n n-+，故(1)2nn na+=.因此，b1＝a4＝10，b2＝a5＝15，b3＝a9＝45，b4＝a10＝55，…，由此归纳出b2 012＝a5 030.(2)b1＝a4＝452⨯，b3＝a9＝9102⨯，b5＝a14＝14152⨯，…，归纳出b2k－1＝5(51)2k k-.18．解：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋ωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx sin2ωx＋λ＝2sin(2ωx－π6)＋λ，由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin(2ωπ－π6)＝±1.所以2ωπ－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，即123kω=+(k∈Z)．又ω∈(12，1)，k∈Z，所以56ω=.所以f(x)的最小正周期是6π5.(2)由y＝f(x)的图象过点(π4，0)，得f(π4)＝0，即5πππ2sin()2sin6264λ=-⨯-=-=λ=.故5π()2sin()36f x x=--f(x)的值域为[22---．19．解：(1)因为四棱柱ABCD－A2B2C2D2的侧面是全等的矩形，所以AA2⊥AB，AA2⊥AD．又因为AB∩AD＝A，所以AA2⊥平面ABCD．连接BD，因为BD⊂平面ABCD，所以AA2⊥BD．因为底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD．根据棱台的定义可知，BD与B1D1共面又已知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥BD．于是由AA2⊥BD，AC⊥BD，B1D1∥BD，可得AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1.又因为AA2∩AC＝A，所以B1D1⊥平面ACC2A2.(2)因为四棱柱ABCD－A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以S1＝S四棱柱上底面＋S四棱柱侧面＝(A2B2)2＋4AB·AA2＝102＋4×10×30＝1 300(cm2)．又因为四棱台A1B1C1D1－ABCD的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以S2＝S四棱台下底面＋S四棱台侧面＝(A1B1)2＋4×12(AB＋A1B1)h等腰梯形的高＝202＋4×12(10＋＝1 120(cm2)．于是该实心零部件的表面积为S＝S1＋S2＝1 300＋1 120＝2 420(cm2)，故所需加工处理费为0.2S＝0.2×2 420＝484(元)．20．解：(1)设等差数列{|a n |}的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，由题意得1111333()(2)8.a d a a d a d ⎧⎨⎩＋＝－，＋＋＝解得123a d ⎧⎨⎩＝＝－或14,3.a d -⎧⎨⎩＝＝所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列，不满足条件； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝371,237 3.n n n n ⎧⎨≥⎩－＋，＝，－，记数列{|a n |}的前n 项和为S n . 当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5； 当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝2(2)[2(37)]311510222n n n n -+-+=-+.当n ＝2时，满足此式．综上，241,31110 1.22n n S n n n =⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，，21．解：(1)如图1，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)，可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |.①因为A 点在单位圆上运动，所以x 02＋y 02＝1.② 将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋22y m＝1(m ＞0，且m ≠1)．因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0)，，0)； 当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，，(0．(2)方法一：如图2,3，k ＞0，设P (x 1，kx 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－kx 1)，N (0，kx 1)， 直线QN 的方程为y ＝2kx ＋kx 1，将其代入椭圆C 的方程并整理可得 (m 2＋4k 2)x 2＋4k 2x 1x ＋k 2x 12－m 2＝0.依题意可知此方程的两根为－x 1，x 2，于是由韦达定理可得 －x 1＋x 2＝212244k x m k-+，即212224m x x m k=+.因为点H 在直线QN 上，所以y 2－kx 1＝2kx 2＝212224km x m k+. 于是P Q ＝(－2x 1，－2kx 1)，PH＝(x 2－x 1，y 2－kx 1)＝(212244k x m k-+，212224km x m k+)．而PQ ⊥PH 等价于2221224(2)04m k x PQ PH m k-⋅==+ ， 即2－m 2＝0.又m ＞0，所以m =，故存在m=，使得在其对应的椭圆x2＋22y＝1上，对任意的k＞0，都有PQ⊥PH.图1 图2(0＜m＜1) 图3(m＞1)方法二：如图2,3，x1∈(0,1)，设P(x1，y1)，H(x2，y2)，则Q(－x1，－y1)，N(0，y1)．因为P，H两点在椭圆C上，所以222211222222,m x y mm x y m⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减可得m2(x12－x22)＋(y12－y22)＝0.③依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合．故(x1－x2)(x1＋x2)≠0，于是由③式可得212121212()()()()y y y ymx x x x-+=--+.④又Q，N，H三点共线，所以k QN＝k QH，即1121122y y yx x x+=+.于是由④式可得211212121121212()()12()()2P Q P Hy y y y y y y mk kx x x x x x x--+⋅=⋅=⋅=---+.而PQ⊥PH等价于k PQ·k PH＝－1，即212m-=-.又m＞0，得m=.故存在m=，使得在其对应的椭圆x2＋22y＝1上，对任意的k＞0，都有PQ⊥PH. 22．解：(1)因为f(1)＝b，由点(1，b)在x＋y＝1上，可得1＋b＝1，即b＝0.因为f′(x)＝anx n－1－a(n＋1)x n，所以f′(1)＝－a.又因为切线x＋y＝1的斜率为－1，所以－a＝－1，即a＝1.故a＝1，b＝0.(2)由(1)知，f(x)＝x n(1－x)＝x n－x n＋1，f′(x)＝(n＋1)·x n－1()1nxn-+．令f′(x)＝0，解得1nxn=+，即f′(x)在(0，＋∞)上有唯一零点01nxn=+.在(0，1nn+)上，f′(x)＞0，故f(x)单调递增；而在(1nn+，＋∞)上，f′(x)＜0，f(x)单调递减．故f(x)在(0，＋∞)上的最大值为1()()(1)111(1)nnnn n n nfn n n n+=-=++++.(3)令φ(t)＝ln t－1＋1t(t＞0)，则22111()t'tt t tϕ-=-=(t＞0)．在(0,1)上，φ′(t )＜0， 故φ(t )单调递减；而在(1，＋∞)上，φ′(t )＞0， 故φ(t )单调递增，故φ(t )在(0，＋∞)上的最小值为φ(1)＝0， 所以φ(t )＞0(t ＞1)， 即ln t ＞1－1t (t ＞1)．令t ＝1＋1n，得11ln1n nn +>+，即11ln()ln e n n n ++>， 所以11()e n n n++>，即11(1)en n nn n +<+.由(2)知，()11(1)enn nf x n n +≤<+，故所证不等式成立．。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学湖北卷
2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)一、选择题1．方程x 2＋6x ＋13＝0的一个根是( ) A ．－3＋2i B ．3＋2i C ．－2＋3i D ．2＋3i2．命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( )A ．∃x 0∉∁R Q ，x 30∈QB ．∃x 0∈∁R Q ，x 30∉QC ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈QD ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q3．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π24．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.8π3 B ．3π C.10π3 D ．6π5．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．126．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A.14B.13C.12D.347．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”，现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2; ②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |； ④f (x )＝ln|x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④8．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A ．1－2πB.12－1πC.2πD.1π9．函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．710．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3169V .人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )A ．d ≈3169V B ．d ≈ 32VC ．d ≈ 3300157VD ．d ≈ 32111V二、填空题11．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s ＝________13．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n ＋1(n ∈N ＋)位回文数有________个．14．如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则(1)双曲线的离心率e ＝________；(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝________.15.(选修4－1：几何证明选讲)如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为________．16．(选修4－4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2，(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．三、解答题17．已知向量a ＝(cos ωx －sin ωx ，sin ωx )，b ＝(－cos ωx －sin ωx ,23cos ωx )，设函数f (x )＝a ·b ＋λ(x ∈R )的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点(π4，0)，求函数f (x )在区间[0，3π5]上的取值范围．18．已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．19．如图1，∠ACB ＝45°，BC ＝3，过动点A 作AD ⊥BC ，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使∠BDC ＝90°(如图2所示)．(1)当BD 的长为多少时，三棱锥A －BCD 的体积最大；(2)当三棱锥A －BCD 的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y 的均值与方差；(2)在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．21．设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．22．(1)已知函数f (x )＝rx －x r ＋(1－r )(x ＞0)，其中r 为有理数，且0＜r ＜1.求f (x )的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数．若b 1＋b 2＝1，则a 1b 1a 2b 2≤a 1b 1＋a 2b 2； (3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题． 注：当α为正有理数时，有求导公式(x α)1＝αx α－1.答案2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)一、选择题1．解析：配方得(x ＋3)2＝－4＝(2i)2，所以x ＋3＝±2i ，x ＝－3±2i. 答案：A2．解析：其否定为∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q . 答案：D3．解析：由题中图象易知f (x )＝－x 2＋1，则所求面积为2∫10(－x 2＋1)d x ＝2(－x 33＋x )|10＝43. 答案：B4．解析：由三视图可知该几何体的体积V ＝π×12×2＋12×π×12×2＝3π.答案：B5．解析：512 012＋a ＝(13×4－1)2 012＋a ，被13整除余1＋a ，结合选项可得a ＝12时，512 012＋a 能被13整除．答案：D6．解析：由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当ax＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12. 答案：C7．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则{a 2n }的公比为q 2，{ |a n | }的公比为|q |，其余的数列不是等比数列．答案：C8．解析：设扇形的半径为2，其面积为π×224＝π，其中空白区域面积为π－4×(π4－12)＝2，因此此点取自阴影部分的概率为π－2π＝1－2π.答案：A9．解析：令x cos x 2＝0，则x ＝0，或x 2＝k π＋π2，又x ∈[0,4]，因此x k ＝k π＋π2(k ＝0,1,2,3,4)，共有6个零点．答案：C10．解析：∵V ＝43πR 3，∴2R ＝d ＝ 36V π，考虑到2R 与标准值最接近，通过计算得6π－169≈0.132 08，6π－2≈－0.090 1，6π－300157≈－0.001 0，6π－2111≈0.000 8，因此最接近的为D 选项．答案：D 二、填空题11．解析：∵(a ＋b )2－c 2＝ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，C ＝2π3.答案：2π312．解析：a ＝1，s ＝0，n ＝1；s ＝1，a ＝3，n ＝2；s ＝4，a ＝5，n ＝3；s ＝9，a ＝7，循环结束，因此输出s ＝9.答案：913．解析：2位回文数有9个，4位回文数有9×10＝90个，3位回文数有90个，5位回文数有9×10×10＝100×9个，依次类推可得2n ＋1位有9×10n 个．答案：90 9×10n14．解析：由题意可得a b 2＋c 2＝bc ，∴a 4－3a 2c 2＋c 4＝0，∴e 4－3e 2＋1＝0，∴e 2＝3＋52，∴e ＝1＋52.设sin θ＝b b 2＋c 2，cos θ＝cb 2＋c 2， S 1S 2＝2bc 4a 2sin θcos θ＝2bc4a 2bc b 2＋c2＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52.答案：1＋52 2＋5215.(选修4－1：几何证明选讲)解析：由题意知CD 2＝OC 2－OD 2，OC 是半径，所以当OD 的值最小时，DC 最大，易知D 为AB 的中点时，DB ＝DC ＝2最大．答案：216．(选修4－4：坐标系与参数方程)解析：记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将θ＝π4，转化为直角坐标方程为y ＝x (x ≥0)，曲线为y＝(x －2)2，联立上述两个方程得x 2－5x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝5，故线段AB 的中点坐标为(52，52)． 答案：(52，52)三、解答题17．解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＋λ＝2sin(2ωx －π6)＋λ.由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得 sin(2ωπ－π6)＝±1，所以2ωπ－π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即ω＝k 2＋13(k ∈Z )．又ω∈(12，1)，k ∈Z ，所以k ＝1，故ω＝56.所以f (x )的最小正周期是6π5.(2)由y ＝f (x )的图象过点(π4，0)，得f (π4)＝0，即λ＝－2sin(56×π2－π6)＝－2sin π4＝－2，即λ＝－ 2.故f (x )＝2sin(53x －π6)－2，由0≤x ≤3π5，有－π6≤53x －π6≤5π6，所以－12≤sin(53x －π6)≤1，得－1－2≤2sin(53x －π6)－2≤2－2，故函数f (x )在[0，3π5]上的取值范围为[－1－2，2－ 2 ]．18．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5； 当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2－112n ＋10.当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ＞1.19．解：(1)法一：在如图1所示的△ABC 中，设BD ＝x (0＜x ＜3)，则CD ＝3－x . 由AD ⊥BC ，∠ACB ＝45°知，△ADC 为等腰直角三角形，所以AD ＝CD ＝3－x . 由折起前AD ⊥BC 知，折起后(如图2)，AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，且BD ∩DC ＝D ，所以AD ⊥平面BCD ，又∠BDC ＝90°，所以S △BCD ＝12BD ·CD ＝12x (3－x )．于是V A －BCD ＝13AD ·S △BCD ＝13(3－x )·12x (3－x )＝112·2x (3－x )(3－x )≤112[2x ＋(3－x )＋(3－x )3]3＝23， 当且仅当2x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立，故当x ＝1，即BD ＝1时，三棱锥A -BCD 的体积最大．法二：同法一，得V A －BCD ＝13AD ·S △BCD ＝13(3－x )·12x (3－x )＝16(x 3－6x 2＋9x )．令f (x )＝16(x 3－6x 2＋9x )，由f ′(x )＝12(x －1)(x －3)＝0，且0＜x ＜3，解得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1,3)时，f ′(x )＜0. 所以当x ＝1时，f (x )取得最大值．故当BD ＝1时，三棱锥A －BCD 的体积最大．(2)法一：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D －xyz .由(1)知，当三棱锥A －BCD 的体积最大时，BD ＝1，AD ＝CD ＝2.于是可得D (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,2,0)，A (0,0，2)，M (0,1,1)，E (12，1,0)，且＝(－1,1,1)．设N (0，λ，0)，则＝(－12，λ－1,0)．因为EN ⊥BM 等价于＝0，即(－12，λ－1,0)·(－1,1,1)＝12＋λ－1＝0，故λ＝12，N (0，12，0)．所以当DN ＝12(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)时，EN ⊥BM .设平面BMN 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，z ＝－x .可取n ＝(1,2，－1)． 设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，则|－12－1|6×22＝32，即θ＝60°. 故EN 与平面BMN 所成角的大小为60°.法二：由(1)知，当三棱锥A －BCD 的体积最大时，BD ＝1，AD ＝CD ＝2. 如图b ，取CD 的中点F ，连接MF ，BF ，EF ，则MF ∥AD . 由(1)知AD ⊥平面BCD ，所以MF ⊥平面BCD .如图c ，延长FE 至P 点使得FP ＝DB ，连接BP ，DP ，则四边形DBPF 为正方形， 所以DP ⊥BF .取DF 的中点N ，连接EN ，又E 为FP 的中点，则EN ∥DP ， 所以EN ⊥BF .因为MF ⊥平面BCD ， 又EN ⊂平面BCD ，所以MF ⊥EN ， 又MF ∩BF ＝F ，所以EN ⊥平面BMF . 又BM ⊂平面BMF ，所以EN ⊥BM .因为EN ⊥BM 当且仅当EN ⊥BF ，而点F 是唯一的，所以点N 是唯一的．即当DN ＝12(即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点)时，EN ⊥BM .连接MN ，ME ，由计算得NB ＝NM ＝EB ＝EM ＝52， 所以△NMB 与△EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形， 如图d 所示，取BM 的中点G ，连接EG ，NG ，则BM ⊥平面EGN .在平面EGN 中，过点E 作EH ⊥GN 于H ， 则EH ⊥平面BMN .故∠ENH 是EN 与平面BMN 所成的角． 在△EGN 中，易得EG ＝GN ＝NE ＝22，所以△EGN 是正三角形， 故∠ENH ＝60°，即EN 与平面BMN 所成角的大小为60°. 20．解：(1)由已知条件和概率的加法公式有：P (X ＜300)＝0.3，P (300≤X ＜700)＝P (X ＜700)－P (X ＜300)＝0.7－0.3＝0.4， P (700≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜700)＝0.9－0.7＝0.2. P (X ≥900)＝1－P (X ＜900)＝1－0.9＝0.1. 所以Y 的分布列为：于是，E (Y )＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8. 故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，P (X ≥300)＝1－P (X ＜300)＝0.7， 又P (300≤X ＜900)＝P (X ＜900)－P (X ＜300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X ＜900|X ≥300)＝P (300≤x ＜900)P (X ≥300)＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.21．解：(1)如图1，设M (x ，y )，A (x 0，y 0)，则由|DM |＝m |DA |(m ＞0，且m ≠1)，可得x ＝x 0，|y |＝m |y 0|，所以x 0＝x ，|y 0|＝1m|y |. ①因为A 点在单位圆上运动，所以x 20＋y 20＝1. ②将①式代入②式即得所求曲线C 的方程为x 2＋y 2m2＝1(m ＞0，且m ≠1)．因为m ∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以当0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(－1－m 2，0)，(1－m 2，0)； 当m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为(0，－m 2－1)，(0，m 2－1)．(2)法一：如图2、3，∀k ＞0，设P (x 1，kx 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－kx 1)，N (0，kx 1)，直线QN 的方程为y ＝2kx ＋kx 1，将其代入椭圆C 的方程并整理可得(m 2＋4k 2)x 2＋4k 2x 1x ＋k 2x 21－m 2＝0.依题意可知此方程的两根为－x 1，x 2，于是由韦达定理可得－x 1＋x 2＝－4k 2x 1m 2＋4k 2，即x 2＝m 2x1m 2＋4k 2.因为点H 在直线QN 上，所以y 2－kx 1＝2kx 2＝2km 2x1m 2＋4k 2，4(2－m 2)k 2x 21m 2＋4k 2＝0.即2－m 2＝0，又m ＞0，得m ＝2，故存在m ＝2，使得在其对应的椭圆x 2＋y 22＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH . 法二：如图2、3，∀x 1∈(0,1)设P (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)，则Q (－x 1，－y 1)，N (0，y 1)．因为P ，H 两点在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2x 21＋y 21＝m 2，m 2x 22＋y 22＝m 2，两式相减可得m 2(x 21－x 22)＋(y 21－y 22)＝0. ③依题意，由点P 在第一象限可知，点H 也在第一象限，且P ，H 不重合，故(x 1－x 2)(x 1＋x 2)≠0，于是由③式可得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－m 2. ④又Q ，N ，H 三点共线，所以k QN ＝k QH ，即2y1x 1＝y 1＋y 2x 1＋x 2.于是由④式可得k PQ ·k PH ＝y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝12·(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－m 22.而PQ ⊥PH 等价于k PQ ·k PH ＝－1，即－m 22＝－1，又m ＞0，得m ＝2，故存在m ＝2，使得在其对应的椭圆x 2＋y 22＝1上，对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH .22．解：(1)f ′(x )＝r －rx r －1＝r (1－x r －1)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)内是减函数；当x ＞1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(1，＋∞)内是增函数．故函数f (x )在x ＝1处取得最小值f (1)＝0.(2)由(1)知，当x ∈(0，＋∞)时，有f (x )≥f (1)＝0，即x r ≤rx ＋(1－r )， ①若a 1，a 2中至少有一个为0，则ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2成立；若a 1，a 2均不为0，又b 1＋b 2＝1，可得b 2＝1－b 1，于是在①中令x ＝a 1a 2，r ＝b 1，可得(a1a 2)b 1≤b 1·a1a 2＋(1－b 1)，即ab 11·a 1－b 12≤a 1b 1＋a 2(1－b 1)，亦即ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2.综上，对a 1≥0，a 2≥0，b 1，b 2为正有理数且b 1＋b 2＝1，总有ab 11ab 22≤a 1b 1＋a 2b 2. ②(3)(2)中命题的推广形式为设a 1，a 2，…，a n 为非负实数，b 1，b 2，…，b n 为正有理数．若b 1＋b 2＋…＋b n ＝1，则ab 11ab 22…abn n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n . ③用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，b 1＝1，有a 1≤a 1，③成立．(2)假设当n ＝k 时，③成立，即若a 1，a 2，…，a k 为非负实数，b 1，b 2，…，b k 为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＝1，则ab 11ab 22…abk k ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k .当n ＝k ＋1时，已知a 1，a 2，…，a k ，a k ＋1为非负实数，b 1，b 2，…，b k ，b k ＋1为正有理数，且b 1＋b 2＋…＋b k ＋b k ＋1＝1，此时0＜b k ＋1＜1，即1－b k ＋1＞0，于是ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1＝(ab 11ab 22…ab kk )ab k ＋1k ＋1＝(ab 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k 1－b k ＋1k)1－b k ＋1ab k ＋1k ＋1. 因b 11－b k ＋1＋b 21－b k ＋1＋…＋b k 1－b k ＋1＝1，由归纳假设可得 a b 11－b k ＋11a b 21－b k ＋12…a b k 1－b k ＋1k ≤a 1·b 11－b k ＋1＋a 2·b 21－b k ＋1＋…＋a k ·b k 1－b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1， 从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1)1－b k ＋1ab k ＋1k ＋1. 又因(1－b k ＋1)＋b k ＋1＝1，由②得(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1)1－b k ＋1ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k 1－b k ＋1· (1－b k ＋1)＋a k ＋1b k ＋1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，从而ab 11ab 22…ab kk ab k ＋1k ＋1≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a k b k ＋a k ＋1b k ＋1，故当n ＝k ＋1时，③成立．由(1)(2)可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立．说明：(3)中如果推广形式中指出③式对n ≥2成立，则后续证明中不需讨论n ＝1的情况．。
2012年湖北省高考数学试卷（文科）答案与解析
A．1B．2C．3D．4考点：集合的包含关系判断及应用．合．专题：集合．分析：先求出集合A，B由A⊆C⊆B 可得满足条件的集合C有{1，2，}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，可求，可求解答：解：由题意可得，A={1，2}，B={1，2，3，4}，∵A⊆C⊆B，个， ∴满足条件的集合C有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个，故选D．点评：本题主要考查了集合的包含关系的应用，解题的关键是由A⊆C⊆B 找出符合条件的集合．集合．分组 [10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）分组频数 2 3 4 5 4 2 频数的频率为（ ）则样本数据落在区间[10，40]的频率为（A．0.35 B．0.45 C．0.55 D．0.65 考点：频率分布表．算题．专题：计算题．分析：先求出样本数据落在区间[10，40]频数，然后利用频率等于频数除以样本容量求出频率即可．率即可．：由频率分布表知：解答：解：由频率分布表知：样本在[10，40]上的频数为2+3+4=9，故样本在[10，40]上的频率为9÷20=0.45．故选：B．点评：本题主要考查了频率分布表，解题的关键是频率的计算公式是频率=，属于基础题．基础题．A．2B．3C．4D．5考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题．算题．分析：考虑到函数y=cos2x的零点一定也是函数f（x）的零点，故在区间[0，2π]上y=cos2x的零点有4个．函数y=x 的零点有0，故在区间[0，2π]上y=xcos2x 的零点有5个．个． 解答：解：∵y=cos2x 在[0，2π]上有4个零点分别为，，，函数y=x 的零点有0 ∴函数f （x ）=xcos2x 在区间[0，2π]上有5个零点．分别为0，，，，故选D 点评： 本题主要考查了函数零点的意义和判断方法，题主要考查了函数零点的意义和判断方法，三角函数的图象和性质，三角函数的图象和性质，三角函数的图象和性质，排除法解选择排除法解选择题，属基础题题，属基础题 4．（5分）（2012•湖北）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（的否定是（ ） A ． 任意一个有理数，它的平方是有理数意一个有理数，它的平方是有理数 B ． 任意一个无理数，它的平方不是有理数意一个无理数，它的平方不是有理数 C ． 存在一个有理数，它的平方是有理数在一个有理数，它的平方是有理数 D ． 存在一个无理数，它的平方不是有理数在一个无理数，它的平方不是有理数考点： 命题的否定． 专题： 应用题．用题． 分析： 根据特称命题“∃x ∈A ，p （A ）”的否定是“∀x ∈A ，非p （A ）”，结合已知中命题，即可得到答案．得到答案． 解答： 解：∵命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”是特称命题是特称命题而特称命题的否定是全称命题，而特称命题的否定是全称命题，则命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数是有理数 故选B 点评： 本题考查的知识点是命题的否定，其中熟练掌握特称命题的否定方法“∃x ∈A ，p （A ）”的否定是“∀x ∈A ，非p （A ）”，是解答本题的关键．，是解答本题的关键．5．（5分）（2012•湖北）过点P （1，1）的直线，将圆形区域{（x ，y ）|x 2+y 2≤4}分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（ ） A ． x +y ﹣2=0 B ． y ﹣1=0 C ． x ﹣y=0 D ． x +3y ﹣4=0 考点： 直线与圆相交的性质． 专题： 计算题．算题． 分析：法一：由扇形的面积公式可知，劣弧所的扇形的面积=2α，要求面积差的最大值，即求α的最小值，根据直线与圆相交的性质可知，只要当OP ⊥AB 时，α最小，可求．最小，可求．法二：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可．由此能求出直线的方程．垂直即可．由此能求出直线的方程． 解答： 解法一：设过点P （1，1）的直线与圆分别交于点A ，B ，且圆被AB 所分的两部分的面积分别为S 1，S 2且S 1≤S 2劣弧所对的圆心角∠AOB=α，则﹣S △AOB =2α﹣S △AOB ，S 2=4π﹣2α+S △AOB （0＜α≤π）∴要求面积差的最大值，即求α的最小值，根据直线与圆相交的性质可知，只要当OP ⊥AB 时，α最小最小此时K AB =﹣1，直线AB 的方程为y ﹣1=﹣（x ﹣1）即x+y ﹣2=0 故选A 解法二：要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可．垂直即可． 又已知点P （1，1），则K OP =1，故所求直线的斜率为﹣1．又所求直线过点P （1，1）， 由点斜式得，所求直线的方程为y ﹣1=﹣（x ﹣1），即．x+y ﹣2=0 故选A 点评： 本题主要考查了直线与圆相交性质的应用，解题的关键是根据扇形的面积公式把所要求解的两面积表示出来求解的两面积表示出来 6．（5分）（2012•湖北）已知定义在区间（0，2）上的函数y=f （x ）的图象如图所示，则y=﹣f （2﹣x ）的图象为（）的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 函数的图象与图象变化． 专题： 作图题．图题．分析： 由（0，2）上的函数y=f （x ）的图象可求f （x ），进而可求y=﹣f （2﹣x ），根据一次函数的性质，结合选项可可判断函数的性质，结合选项可可判断解答：解：由（0，2）上的函数y=f （x ）的图象可知f （x ）=当0＜2﹣x ＜1即1＜x ＜2时，f （2﹣x ）=2﹣x 当1≤2﹣x ＜2即0＜x ≤1时，f （2﹣x ）=1 ∴y=﹣f （2﹣x ）=，根据一次函数的性质，结合选项可知，选项B正确正确 故选：B 点评： 本题主要考查了一次函数的性质在函数图象中的应用，属于基础试题题主要考查了一次函数的性质在函数图象中的应用，属于基础试题 7．（5分）（2012•湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f （x ），如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f （a n ）}仍是等比数列，则称f （x ）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f （x ）=x 2；②f （x ）=2x；③f （x ）=；④f （x ）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f （x ）的序号为（）的序号为（ ）A ． ①②B ． ③④C ． ①③D ． ②④考点： 等比关系的确定． 专题： 综合题；压轴题．合题；压轴题． 分析： 根据新定义，结合等比数列性质，一一加以判断，即可得到结论．，一一加以判断，即可得到结论．解答： 解：由等比数列性质知，①=f 22（a n+1），故正确；，故正确； ②≠=f 2（a n+1），故不正确；，故不正确； ③==f 2（a n+1），故正确；，故正确； ④f （a n ）f （a n+2）=ln|a n |ln|a n+2|≠=f 2（a n+1），故不正确；，故不正确； 故选C 点评： 本题考查等比数列性质及函数计算，正确运算，理解新定义是解题的关键．题考查等比数列性质及函数计算，正确运算，理解新定义是解题的关键． 8．（5分）（2012•湖北）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ：sinB ：sinC 为（为（ ） A ． 4：3：2 B ． 5：6：7 C ． 5：4：3 D ． 6：5：4 考点： 正弦定理的应用． 专题： 解三角形．三角形．分析：由题意可得三边即由题意可得三边即 a 、a ﹣1、a ﹣2，由余弦定理可得，由余弦定理可得 cosA=，再由3b=20acosA ，可得，可得 cosA=，从而可得，从而可得=，由此解得a=6，可得三边长，根据sinA ：sinB ：sinC=a ：b ：c ，求得结果．，求得结果．解答： 解：由于a ，b ，c 三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，可设三边长分别为可设三边长分别为 a 、a ﹣1、a ﹣2． 由余弦定理可得由余弦定理可得cosA===，又3b=20acosA ，可得，可得 cosA==．故有故有=，解得a=6，故三边分别为6，5，4．由正弦定理可得由正弦定理可得 sinA ：sinB ：sinC=a ：b ：c=a ：（a ﹣1）：（ a ﹣2）=6：5：4， 故选D ． 点评： 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，求出a=6是解题的关键，属于中档题．是解题的关键，属于中档题．9．（5分）（2012•湖北）设a ，b ，c ，∈R +，则“abc=1”是“”的（的（ ）A ． 充分条件但不是必要条件分条件但不是必要条件B ． 必要条件但不是充分条件要条件但不是充分条件C ． 充分必要条件分必要条件D ． 既不充分也不必要的条件不充分也不必要的条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 计算题；压轴题．算题；压轴题． 分析： 由abc=1，推出，代入不等式的左边，证明不等式成立．利用特殊值判断不等式成立，推不出abc=1，得到结果．，得到结果． 解答： 解：因为abc=1，所以，则==≤a+b+c ．当a=3，b=2，c=1时，显然成立，但是abc=6≠1，所以设a ，b ，c ，∈R +，则“abc=1”是“”的充分条件但不是必要条件．条件． 故选A ． 点评： 本题考查充要条件的应用，不等式的证明，特殊值法的应用，考查逻辑推理能力，计算能力．算能力． 10．（5分）（2012•湖北）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 几何概型． 专题： 概率与统计．率与统计． 分析： 求出阴影部分的面积即可，连接OC ，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，那么阴影部分的面积就是图中扇形的分别平移到图中划线部分，那么阴影部分的面积就是图中扇形的面积﹣直角三角形AOB 的面积．的面积． 解答：解：设扇形的半径为r ，则扇形OAB 的面积为，连接OC ，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：﹣，∴此点取自阴影部分的概率是．故选C ．点评： 本题考查几何概型，题考查几何概型，解题的关键是利用位移割补的方法求组合图形面积，此类不规则解题的关键是利用位移割补的方法求组合图形面积，此类不规则图形的面积可以转化为几个规则的图形的面积的和或差的计算．图形的面积可以转化为几个规则的图形的面积的和或差的计算．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 11．（5分）（2012•湖北）一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有人，则抽取的女运动员有 6 人．人．考点： 分层抽样方法． 专题： 计算题．算题． 分析： 设出抽到女运动员的人数，根据分层抽样的特征列出方程可求出抽到女运动员的人数．数． 解答： 解：设抽到女运动员的人数为n 则=解得n=6 故答案为：6 一般利用各层抽到的个体数与该层题主要考查了分层抽样，解决分层抽样的问题，一般利用各层抽到的个体数与该层点评：本题主要考查了分层抽样，解决分层抽样的问题，的个体数的比等于样本容量与总体容量的比，属于基础题．的个体数的比等于样本容量与总体容量的比，属于基础题．12．（5分）（2012•湖北）若=a+bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b=3．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．算题．专题：计算题．分析：由==，知=a+bi，故，所以，由此能求出a+b．解答：解：===，∵=a+bi，∴，∴，解得a=0，b=3，∴a+b=3．故答案为：3．题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．13．（5分）（2012•湖北）已知向量=（1，0），=（1，1），则，则同向的单位向量的坐标表示为 （）；（Ⅰ）与2+同向的单位向量的坐标表示为夹角的余弦值为 ．（Ⅱ）向量﹣3与向量夹角的余弦值为考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模；单位向量；平面向量的坐标运算．算题．专题：计算题．分析：（I）由已知可求2+，进而可求|2+|，而与2+同向的单位向量，再利用坐标表示即可用坐标表示即可（II）设﹣3与向量夹角θ，由已知可求，|，，||，代入可求向量的夹角公式cosθ=可求解答：解：（I）∵=（1，0），=（1，1）∴2+=（2，0）+（1，1）=（3，1），|2+|=∴与2+同向的单位向量的坐标表示=（II）设﹣3与向量夹角θ∵=（1，0），=（1，1），∴，∴=﹣2，||=，||=1 则cosθ===故答案为：；点评：本题主要考查了向量运算的坐标表示，向量的数量积的坐标表示、夹角公式的应用，的应用注意结论：与向量共线且同向的单位向量的应用14．（5分）（2012•湖北）若变量x，y满足约束条件则目标函数z=2x+3y 的最小值是 2．的最小值是考点：简单线性规划．专题：计算题．算题．分析：先作出不等式组表示的平面区域，由于z=2x+3y，则可得y=，则表示直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，当z最小时，截距最小，结合图形可求z的最小值的最小值 ：作出不等式组表示的平面区域，如图所示解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示作直线L：2x+3y=0，由于z=2x+3y，则可得y=，则表示直线2x+3y﹣z=0在y轴上的截距，当z最小时，截距最小最小时，截距最小最小结合图形可知，当直线2x+3y﹣z=0平移到点B时，z最小由可得B（1，0），此时Z=2 故答案为：2 点评：借助于平面区域，利用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．15．（5分）（2012•湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为湖北）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 12π．考点：由三视图求面积、体积．算题．专题：计算题．分析：由题意三视图可知，几何体是有3个圆柱体组成的几何体，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．几何体的体积即可．解答：解：由题意可知几何体是有两个底面半径为2，高为1的圆柱与一个底面半径为1，高为4的圆柱组成的几何体，的圆柱组成的几何体，所以几何体的条件为V=2×22π×1+12π×4=12π．故答案为：12π．点评：本题考查三视图与几何体的关系，考查空间想象能力与计算能力．题考查三视图与几何体的关系，考查空间想象能力与计算能力．16．（5分）（2012•湖北）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=9．考点：循环结构．法和程序框图．专题：算法和程序框图．时退出循环，即可．分析：用列举法，通过循环过程直接得出S与n的值，得到n=3时退出循环，即可．解答：解：循环前，S=1，a=3，第1次判断后循环，n=2，s=4，a=5，次判断退出循环，第2次判断并循环n=3，s=9，a=7，第3次判断退出循环，输出S=9．故答案为：9．退出循环是解题的关键，考查计算能力．点评：本题考查循环结构，判断框中n=3退出循环是解题的关键，考查计算能力．17．（5分）（2012•湖北）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}，可以推测：，可以推测：（Ⅰ）b2012是数列{a n}中的第项；中的第 5030项；（Ⅱ）b2k﹣1=．（用k表示）表示）考点：数列递推式；数列的概念及简单表示法；归纳推理．轴题；探究型．专题：压轴题；探究型．分析：（Ⅰ）由题设条件及图可得出a n+1=a n+（n+1），由此递推式可以得出数列{a n}的通项为，a n=n（n+1），由此可列举出三角形数1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…，从而可归纳出可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除，由此规律即可求出b2012在数列{a n}中的位置；中的位置；（II）由（I）中的结论即可得出b2k﹣1═（5k﹣1）（5k﹣1+1）=．解答：解：（I）由题设条件可以归纳出a n+1=a n+（n+1），故a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=n（n+1）由此知，三角数依次为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，105，120，…则该组的由此知可被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的整除，后两个数可被5整除，由于b2012是第2012个可被5整除的数，故它出现在数列{a n}按五个一段分组的第1006组的最后一个数，由此知，b2012是数列{a n}中的第1006×5=5030个数个数 故答案为5030 （II）由于2k﹣1是奇数，由（I）知，第2k﹣1个被5整除的数出现在第k组倒数第二个，故它是数列{a n}中的第k×5﹣1=5k﹣1项，所以b2k﹣1═（5k﹣1）（5k﹣1+1）=故答案为点评：本题考查数列的递推关系，数列的表示及归纳推理，解题的关键是由题设得出相邻两个三角形数的递推关系，由此列举出三角形数，得出结论“被5整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5整除”，本题综合性强，有一定的探究性，是高考的重点题型，解答时要注意总结其中的规律．性强，有一定的探究性，是高考的重点题型，解答时要注意总结其中的规律．三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）（2012•湖北）设函数f（x）=sin2ωx+2sinωx•cosωx﹣cos2ωx+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）．（1）求函数f（x）的最小正周期；）的最小正周期；）的值域．（2）若y=f（x）的图象经过点，求函数f（x）的值域．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域．算题．专题：计算题．分析：（1）先利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k 型函数，再利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，最后利用周期计算公式得函数的最小正周期；函数的最小正周期；（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．）的值域．解答：解：f（x）=sin2ωx+2sinωx•cosωx﹣cos2ωx+λ=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin（2ωx﹣）+λ∵图象关于直线x=π对称，∴2πω﹣=+kπ，k∈z ∴ω=+，又ω∈（，1）符合要求令k=1时，ω=符合要求∴函数f（x）的最小正周期为=（2）∵f（）=0 ∴2sin（2××﹣）+λ=0 ∴λ=﹣∴f（x）=2sin（x﹣）﹣故函数f（x）的取值范围为[﹣2﹣，2﹣]点评：本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）+k型函数的图象和性质，复合函数值域的求法，正弦函数的图象和性质，属基础题弦函数的图象和性质，属基础题19．（12分）（2012•湖北）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1﹣ABCD，其上是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2．（1）证明：直线B1D1⊥平面ACC2A2；（2）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A1B1=20，AA2=30，AA1=13（单元，需加工处理费多少元？位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．算题；证明题．专题：计算题；证明题．分析：（1）依题意易证AC⊥B1D1，AA2⊥B1D1，由线面垂直的判定定理可证直线B1D1⊥平面ACC2A2；（2）需计算上面四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2的表面积（除去下底面的面积）S1，四棱即可．台A1B1C1D1﹣ABCD的表面积（除去下底面的面积）S2即可．解答：解：（1）∵四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2的侧面是全等的矩形，的侧面是全等的矩形，∴AA2⊥AB，AA2⊥AD，又AB∩AD=A，∴AA2⊥平面ABCD．连接BD，∵BD⊂平面ABCD，是正方形，∴AA2⊥BD，又底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，根据棱台的定义可知，BD与B1D1共面，共面，又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD=BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1=B1D1，∴B1D1∥BD，于是由AA2⊥BD，AC⊥BD，B1D1∥BD，可得AA2⊥B1D1，AC⊥B1D1，又AA2∩AC=A，∴B1D1⊥平面ACC2A2；的底面是正方形，侧面是全等的矩形， （2）∵四棱柱ABCD﹣A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，=S四棱柱下底面+S四棱柱侧面∴S1=+4AB•AA2=102+4×10×30 =1300（cm2）上下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形， 又∵四棱台A1B1C1D1﹣ABCD上下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，∴S2=S四棱柱下底面+S四棱台侧面=+4×（AB+A1B1）•h等腰梯形的高=202+4×（10+20）•=1120（cm2），于是该实心零部件的表面积S=S1+S2=1300+1120=2420（cm2），故所需加工处理费0.2S=0.2×2420=484元．元．点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查棱柱、棱台的侧面积和表面积，着重考查分析转化与运算能力，属于中档题．转化与运算能力，属于中档题．20．（13分）（2012•湖北）已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．项和．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．算题．专题：计算题．分析：（I）设等差数列的公差为d，由题意可得，，解方程，进而可求通项可求a1，d，进而可求通项（II）由（I）的通项可求满足条件a2，a3，a1成等比的通项为a n=3n﹣7，则|a n|=|3n，根据等差数列的求和公式可求﹣7|=，根据等差数列的求和公式可求解答：解：（I）设等差数列的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d 由题意可得，解得或由等差数列的通项公式可得，a n=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5或a n=﹣4+3（n﹣1）=3n﹣7 不成等比（II）当a n=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2不成等比当a n=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4成等比数列，满足条件成等比数列，满足条件 故|a n|=|3n﹣7|=设数列{|a n|}的前n项和为S n当n=1时，S1=4，当n=2时，S2=5 当n≥3时，S n=|a1|+|a2|+…+|a n|=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7）=5+=，当n=2时，满足此式时，满足此式综上可得点评：本题主要考查了利用等差数列的基本量表示等差数列的通项，等差数列与等比数列的通项公式的综合应用及等差数列的求和公式的应用，要注意分类讨论思想的应用通项公式的综合应用及等差数列的求和公式的应用，要注意分类讨论思想的应用21．（14分）（2012•湖北）设A 是单位圆x 2+y 2=1上的任意一点，i 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线i 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足丨DM 丨=m 丨DA 丨（m ＞0，且m ≠1）．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ． （I ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；（Ⅱ）（Ⅱ）过原点且斜率为过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，两点，其中其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H ，是否存在m ，使得对任意的k ＞0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．的值；若不存在，请说明理由．考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；圆锥曲线的轨迹问题．专题： 综合题；压轴题．合题；压轴题． 分析： （I ）设M （x ，y ），A （x 0，y 0），根据丨DM 丨=m 丨DA 丨，确定坐标之间的关系x 0=x ，|y 0|=|y|，利用点A 在圆上运动即得所求曲线C 的方程；根据m ∈（0，1）∪（1，+∞），分类讨论，可确定焦点坐标；，分类讨论，可确定焦点坐标；（Ⅱ）∀x 1∈（0，1），设P （x 1，y 1），H （x 2，y 2），则Q （﹣x 1，﹣y 1），N （0，y 1），利用P ，H 两点在椭圆C 上，可得，从而可得可得．利用Q ，N ，H 三点共线，及PQ ⊥PH ，即可求得结论．得结论．解答： 解：（I ）如图1，设M （x ，y ），A （x 0，y 0）∵丨DM 丨=m 丨DA 丨，∴x=x 0，|y|=m|y 0| ∴x 0=x ，|y 0|=|y|①∵点A 在圆上运动，∴②①代入②即得所求曲线C 的方程为∵m ∈（0，1）∪（1，+∞）， ∴0＜m ＜1时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），m ＞1时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为（），（Ⅱ）如图2、3，∀x 1∈（0，1），设P （x 1，y 1），H （x 2，y 2），则Q （﹣x 1，﹣y 1），N （0，y 1），∵P，H两点在椭圆C上，∴①﹣②可得③∵Q，N，H三点共线，∴k QN=k QH，∴∴k PQ•k PH=∵PQ⊥PH，∴k PQ•k PH=﹣1 ∴∵m＞0，∴故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意k＞0，都有PQ⊥PH 点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查代入法求轨迹方程，计算要小心．心．22．（14分）（2012•湖北）设函数f（x）=ax n（1﹣x）+b（x＞0），n为正整数，a，b为常数，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y=1 的值；（Ⅰ）求a，b的值；）的最大值；（Ⅱ）求函数f（x）的最大值；（Ⅲ）证明：f（x）＜．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．合题；压轴题；函数思想；转化思想．专题：综合题；压轴题；函数思想；转化思想．分析：（Ⅰ）由题意曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y=1，故可根据导数的几何意义与切点处的函数值建立关于参数的方程求出两参数的值；几何意义与切点处的函数值建立关于参数的方程求出两参数的值；（Ⅱ）由于f（x）=x n n（1﹣x），可求fʹ（x）=（n+1）x n n﹣11（﹣x），利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最大值；函数的单调性，即可求出函数的最大值；（Ⅲ）结合（Ⅱ），欲证f （x ）＜．由于函数f （x ）的最大值f （）=（）n （1﹣）=，故此不等式证明问题可转化为证明＜，对此不等式两边求以e 为底的对数发现，可构造函数φ（t ）=lnt ﹣1+，借助函数的最值辅助证明不等式．最值辅助证明不等式．解答： 解：（Ⅰ）因为f （1）=b ，由点（1，b ）在x+y=1上，可得1+b=1，即b=0． 因为f ʹ（x ）=anx n ﹣1﹣a （n+1）x n ，所以f ʹ（1）=﹣a ．又因为切线x+y=1的斜率为﹣1，所以﹣a=﹣1，即a=1，故a=1，b=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）=x n （1﹣x ），则有f ʹ（x ）=（n+1）xn ﹣1（﹣x ），令f ʹ（x ）=0，解得x=在（0，）上，导数为正，故函数f （x ）是增函数；在（，+∞）上导数为负，故函数f （x ）是减函数；）是减函数；故函数f （x ）在（0，+∞）上的最大值为f （）=（）n（1﹣）=，（Ⅲ）令φ（t ）=lnt ﹣1+，则φʹ（t ）=﹣=（t ＞0）在（0，1）上，φʹ（t ）＜0，故φ（t ）单调减；在（1，+∞），φʹ（t ）＞0，故φ（t ）单调增；单调增；故φ（t ）在（0，+∞）上的最小值为φ（1）=0，所以φ（t ）＞0（t ＞1）则lnt ＞1﹣，（t ＞1），令t=1+，得ln （1+）＞，即ln （1+）n+1＞lne 所以（1+）n+1＞e ，即＜由（Ⅱ）知，f （x ）≤＜，故所证不等式成立．故所证不等式成立．点评： 本题考查利用导数求函数最值及利用最值证明不等式，本题技巧性强，解题的关键是能根据题设及证明中的结论构造函数辅助证明，本题是能力型题，难度较大，是高考选拔优秀数学人才的首选题，做题后要注意总结本题的解题规律，选拔优秀数学人才的首选题，做题后要注意总结本题的解题规律，领会构造法证明不领会构造法证明不等式的要旨，本题考查了转化的思想及函数思想，等式的要旨，本题考查了转化的思想及函数思想，难度较大极易找不到思路或计算出难度较大极易找不到思路或计算出错，作为压轴题出现． 错，作为压轴题出现．。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北文)
2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北文)数学一、选择题1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B 的集合C的个数为()A．1B．2C．3 D．4则样本数据落在区间[10,40)的频率为()A．0.35 B．0.45C．0.55 D．0.653．函数f(x)＝x cos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为()A．2 B．3C．4 D．54．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数5．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝06．已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图像如图所示，则y＝－f(2－x)的图像为()7．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln|x |. 则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④8．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶49．设a ，b ，c ∈R ＋，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ”的( ) A ．充分条件但不是必要条件 B ．必要条件但不是充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件10．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.12－1πB.1π C ．1－2π D.2π二、填空题11．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有________人．12．若3＋b i1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.13．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(1,1)，则(1)与2a ＋b 同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量b －3a 与向量a 夹角的余弦值为________．14．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是________．15．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s ＝________.17．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：(1)b 2012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________.(用k 表示)三、解答题18．设函数f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图像关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(12，1)．(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图像经过点(π4，0)，求函数f (x )的值域．19．某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A 1B 1C 1D 1－ABCD ，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD －A 2B 2C 2D 2.(1)证明：直线B 1D 1⊥平面ACC 2A 2；(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理．已知AB ＝10，A 1B 1＝20，AA 2＝30，AA 1＝13(单位：厘米)，每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？20．已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．21．设A 是单位圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足|DM |＝m |DA |(m >0，且m ≠1)．当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，且它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H .是否存在m ，使得对任意的k >0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．22．设函数f (x )＝ax n (1－x )＋b (x >0)，n 为正整数，a ，b 为常数．曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝1.(1)求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的最大值； (3)证明：f (x )<1n e.答案一、选择题1．解析：因为集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，所以当满足A ⊆C ⊆B 时，集合C 可以为{1,2}、{1,2,3}、{1,2,4}、{1,2,3,4}，故集合C 有4个．答案：D2．解析：求得该频数为2＋3＋4＝9，样本容量是20，所以频率为920＝0.45.答案：B3．解析：f (x )＝x cos 2x ＝0⇒x ＝0或cos 2x ＝0，又cos 2x ＝0在[0,2π]上有π4，3π4，5π4，7π4，共4个根，故原函数有5个零点．答案：D4．解析：“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．答案：B5．解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.答案：A6．解析：将函数y ＝f (x )向左平移两个单位得到y ＝f (x ＋2)的图像，再由关于原点对称即可得y ＝－f (2－x )的图像，故选B.答案：B7．解析：根据“保等比数列函数”的概念逐个判断．若{a n }是等比数列，则{a 2n }，{|a n |}也是等比数列，{2a n }不一定是等比数列，{ln|a n |}不一定是等比数列．答案：C8．解析：由题意可得a >b >c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n >1，且n ∈N *)，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)·(n ＋1)2＋n 2－(n ＋2)22n (n ＋1)，化简得7n 2－13n －60＝0，n ∈N *，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4.答案：D9．解析：当a ＝b ＝c ＝2时，有1a ＋1b ＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1，所以必要性不成立；当abc ＝1时，1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ac ＋ab abc＝bc ＋ac ＋ab ，a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(b ＋c )(a ＋c )2≥ab ＋bc ＋ac ，所以充分性成立，故“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c ≤a＋b ＋c ”的充分不必要条件．答案：A10．解析：设OA ＝OB ＝r ，则两个以r 2为半径的半圆的公共部分面积为2[14π·(r 2)2－12×(r 2)2]＝(π－2)r 28，两个半圆外部的阴影部分面积为14πr 2－[12π(r 2)2×2－(π－2)r 28]＝(π－2)r 28，所以所求概率为2×(π－2)r 2814πr 2＝1－2π.答案：C 二、填空题11．解析：分层抽样的特点是按照各层占总体的比抽取样本，设抽取的女运动员有x 人，则x 8＝4256，解得x ＝6. 答案：612．解析：由3＋b i 1－i ＝(3＋b i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝3－b ＋(3＋b )i 2＝a ＋b i ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b2，解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3.答案：313．解析：(1)因为2a ＋b ＝(3,1)，所以与它同向的单位向量的坐标是(31010，1010)；(2)b －3a ＝(－2,1)，所以(b －3a )·a ＝－2，|b －3a |＝5，所以b －3a 与a 夹角的余弦为(b －3a )·a |b －3a ||a |＝－25＝－255答案：(1)(31010，1010)；(2)－25514．解析：作出不等式组表示的平面区域(如图)，再平移目标函数得最小值．当目标函数经过点(1,0)时，z 取得最小值2.答案：215．解析：由三视图可知，该几何体是由三个圆柱构成的组合体，其中两边圆柱的底面直径是4，高为1，中间圆柱的底面直径为2，高为4，所以该组合体的体积为2×π×22×1＋π×12×4＝12π.答案：12π16．解析：由程序框图可知，该程序运行3次后结束，各次s 分别是1,4,9，故输出的s ＝9.答案：917．解析：求出数列{a n }，{b n }的通项公式．由题意可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，n ∈N *，故b 1＝a 4，b 2＝a 5，b 3＝a 9，b 4＝a 10，b 5＝a 14，b 6＝a 15，由上述规律可知：b 2k ＝a 5k ＝5k (5k ＋1)2(k 为正整数)，b 2k －1＝a 5k －1＝(5k －1)(5k －1＋1)2＝5k (5k －1)2， 故b 2 012＝b 2×1 006＝a 5×1 006＝a 5 030，即b 2 012是数列{a n }中的第5 030项。
2012年湖北省高考文科数学试题及其详细解析
2012年湖北省高考文科数学试题一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|320,}A x x x x =-+=∈R ，{|05,}B x x x =<<∈N ，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为A.1B.2C.3D.42.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10,40)的频率为A.0.35B.0.45C.0.55D.0.653.函数()cos 2f x x x =在区间[0,2π]上的零点的个数为错误！未找到引用源。
A.2错误！未找到引用源。
B.3错误！未找到引用源。
C.4错误！未找到引用源。
D.5错误！未找到引用源。
4.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是A.任意一个有理数，它的平方是有理数B.任意一个无理数，它的平方不是有理数C.存在一个有理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数5.过点(1,1)P 的直线，将圆形区域22{(,)|4}x y x y +≤分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A.20x y +-=B.10y -=C.0x y -=D.340x y +-=6.已知定义在区间错误！未找到引用源。
上的函数错误！未找到引用源。
的图象如图所示， 则错误！未找到引用源。
的图象为分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) 频数 2 3 4 5 4 2第6题图 O 1 2x 错误！错错误！未指错误错错错错错误！错错误！未指错误错错错错错误！错错误！未指错误错错错错错误！错错误！未指错误错错错错错误！错错误！未指7.定义在错误！未找到引用源。
上的函数错误！未找到引用源。
，如果对于任意给定的等比数列错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
仍是等比数列，则称错误！未找到引用源。
2012年湖北卷(文科数学)
2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（湖北卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2320,A x x x x R =-+=∈，{}05,B x x x N =<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4则样本数据落在区间[10,40)的频率为A.0.35B.0.45C.0.55D.0.65 3.函数()cos 2f x x x =在区间[0,2]π上的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．5 4.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数5.过点(1,1)P 的直线，将圆形区域22{(,)4}x y x y +≤分两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为A.20x y +-=B.10y -=C.0x y -=D.340x y +-=6.已知定义在区间(0,2)上的函数()y f x =的图像如图所示，则(2)y f x =--的图像为7.定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的函数)(x f ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，{}()n f a 仍是等比数列，则称)(x f 为“保等比数列函数”.现有定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的如下函数：①2()f x x =；②()2x f x =；③x x f =)(；④()ln f x x =.则其中是“保等比数列函数”的)(x f 的序号为A.①②B.③④C.①③D.②④ 8.设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A B C >>，320cos b a A =，则sin :sin :sin A B C 为 A ．4:3:2 B ．5:6:7 C ．5:4:3 D ．6:5:4 9.设a ,b ，c R ∈，则“1abc =a b c ≤++”的 A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要的条件 10.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A.π21-B.π121-C.π2D.π1二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分.11.一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人.现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有 人.12.若31bi a bi i+=+-（a ，b 为实数，i 为虚数单位），则a b += . 13.已知向量(1,0)a =r ，(1,1)b =r，则（1）与2a b +r r同向的单位向量的坐标表示为 ； （2）向量3b a -r r 与向量a r夹角的余弦值为 .O14.若变量x ，y 满足约束条件1133x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y =+的最小值是 .15.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 . 16.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s = .17.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3，6,10，…，记为数列{}n a ，将可被5整除的三角形数按从小到g 1g g g g gg 6g gg 3gg g g g g g g g g10正视图俯视图 侧视图大的顺序组成一个新数列{}n b ，可以推测： （1）2012b 是数列{}n a 中的第 项； （2）21k b -= .（用k 表示）三、解答题：本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.（本小题满分12分）设函数22()sin 23sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=+⋅-+,x R ∈的图像关于直线x π=对称，其中,ωλ为常数，且1(,1)2ω∈.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()y f x =的图像经过点(,0)4π，求函数()f x 的值域.19. （本小题满分12分）某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台1111A B C D ABCD -，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱2222ABCD A B C D -. （Ⅰ）证明：直线1122B D ACC A ⊥B 1D 1；（Ⅱ）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知10AB =，1120A B =，220AA =，130AA =（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为0.20元，需加工处理费多少元？20.（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为8. （Ⅰ）求等差数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若2a ，3a ，1a 成等比数列，求数列{}n a 的前n 项的和. 21.（本小题满分14分）设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足DM m DA =（0m >，1m ≠）.当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求焦点坐标； （Ⅱ）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H ，是否存在m ，使得对任意的0k >，都有PQ PH ⊥？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由. 22.（本小题满分14分）设函数()(1)n f x ax x b =-+（0x >），n 为正整数，a ，b 为常数，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=.（Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值； （Ⅲ）证明：1()f x ne<.。
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（湖北卷）
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（湖北卷）无
【期刊名称】《新高考：高二数学》
【年(卷),期】2012(000)007
【总页数】8页(P46-50,I0021-I0023)
【作者】无
【作者单位】不详
【正文语种】中文
【中图分类】G41
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