2015届高考数学大一轮复习(2009-2013高考题库)第6章第1节不等关系与不等式理新人教A版

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2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第6章不等式、推理与证明及不等式选讲第6节

[课堂练通考点]1．(2014·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确解析：选C 因为f (x )＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.2．给出下列三个类比结论．①(ab )n ＝a n b n 与(a ＋b )n 类比，则有(a ＋b )n ＝a n ＋b n ；②log a (xy )＝log a x ＋log a y 与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.其中结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 只有③正确．3．(2012·江西高考)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199 解析：选C 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.4．(2013·青岛期末)如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，都有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n .若y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin A ＋B ＋C 3＝3sin π3＝332.答案：3325．设等差数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论．设等比数列{a n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．解析：对于等比数列，通过类比等差数列，有等比数列{a n }的前n 项积为T n ，则T 4＝a 1a 2a 3a 4，T 8＝a 1a 2…a 8，T 12＝a 1a 2…a 12，T 16＝a 1a 2…a 16，所以T 8T 4＝a 5a 6a 7a 8，T 12T 8＝a 9a 10a 11a 12，T 16T 12＝a 13a 14a 15a 16，所以T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12的公比为q 16，因此T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列．答案：T 8T 4 T 12T 86．(2014·山西四校联考)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥4，…，类比得x ＋a xn ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________. 解析：第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .答案：n n[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③三角形不是矩形”中的小前提是( )A ．①B ．②C ．③D ．①和②解析：选B 由演绎推理三段论可知，①是大前提；②是小前提；③是结论．故选B.2．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”；③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”；⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝a b”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．3．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( ) A.18B.19C.164D.127解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127. 4．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πab D ．由(1＋1)2＞21，(2＋1)2＞22，(3＋1)2＞23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2＞2n 解析：选A 选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确． 5．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31… … …A ．809B ．852C ．786D ．893解析：选A 前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.6．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.答案：S 21＋S 22＋S 23＝S 247．若{a n }是等差数列，m ，n ，p 是互不相等的正整数，则有：(m －n )a p ＋(n －p )a m ＋(p －m )a n ＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{b n }，有__________________．解析：设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则b m －n p ·b n －p m ·b p －m n ＝(b 1q p －1)m －n ·(b 1q m －1)n －p ·(b 1q n －1)p －m＝b 01·q 0＝1. 答案：b m －n p ·b n －p m ·b p －m n ＝18．(2013·湖北高考)在平面直角坐标系中，若点P (x ，y )的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4.(1)图中格点四边形DEFG 对应的S ，N ，L 分别是________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S ＝aN ＋bL ＋c ，其中a ，b ，c 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝________(用数值作答)．解析：(1)由定义知，四边形DEFG 由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部格点有1个，边界上格点有6个，S 四边形DEFG ＝3.(2)由待定系数法可得，⎩⎪⎨⎪⎧ 12＝a ·0＋b ·3＋c ，1＝a ·0＋b ·4＋c ，3＝a ·1＋b ·6＋c ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝12，c ＝－1，当N ＝71，L ＝18时，S ＝1×71＋12×18－1＝79. 答案：(1)3,1,6 (2)799．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；…… 请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V ＝13×底面积×高； (3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14. 10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；(2)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°；(3)sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°；(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°；(5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择(2)式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34. (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34. 证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.第Ⅱ组：重点选做题1．观察下列算式：13＝1，23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，……若某数m 3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2 013”这个数，则m ＝________. 解析：某数m 3按上述规律展开后，等式右边为m 个连续奇数的和，观察可知每行的最后一个数为1＝12＋0,5＝22＋1,11＝32＋2,19＝42＋3，…，所以第m 行的最后一个数为m 2＋(m －1)．因为当m ＝44时，m 2＋(m －1)＝1 979，当m ＝45时，m 2＋(m －1)＝2 069，所以要使等式右边含有“2 013”这个数，则m ＝45.答案：452．(2014·东北三校联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝(－1)n ·2a n －2(n ≥3，n ∈N *)，其前n 项和为S n .(1)a 2n ＋1关于n 的表达式为________；(2)观察S 1，S 2，S 3，S 4，…S n ，在数列{S n }的前100项中相等的项有________对．解析：(1)a 3a 1＝a 5a 3＝…＝a 2n ＋1a 2n －1＝－2，又a 1＝1，从而a 2n ＋1＝(－2)n . (2)由(1)及条件知，数列{a n }为1,2，－2,22，(－2)2,23，(－2)3，24，…，从而可知S 1＝S 3，S 5＝S 7，S 9＝S 11，…，故在{S n }的前100项中相等的项有25对．答案：(1)a 2n ＋1＝(－2)n (2)25。

2015高考数学(文)第一轮复习题有答案解析阶段示范性金考(卷一)

阶段示范性金考卷一一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{y ∈R |y ＝ln x ，x >1}，B ＝{x ∈N ||x |≤2}，则下列结论正确的是( )A ．A ∩B ＝{－2，－1} B ．(∁R A )∪B ＝(－∞，0]C ．A ∪B ＝(0，＋∞)D ．(∁R A )∩B ＝{0}解析：因为A ＝{y |y >0}，所以∁R A ＝{y |y ≤0}，又B ＝{0,1,2}，所以(∁R A )∩B ＝{0}，选D.答案：D2．下列函数中，既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是( )A ．y ＝xB ．y ＝e x －e －xC ．y ＝x sin xD ．y ＝lg 1－x1＋x解析：函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，为非奇非偶函数，排除A ；y ＝x sin x 为偶函数，排除C ；y ＝lg 1－x 1＋x ＝lg(－1＋21＋x )，由于函数u ＝－1＋21＋x 在(0,1)上单调递减，所以函数y ＝lg 1－x 1＋x 在(0,1)上单调递减，排除D.故选B.答案：B3．[2014·衡阳六校联考]函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减，则实数a 的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．5解析：依题意得，当x ∈[1,4]时，f ′(x )＝1－a 2x≤0，即a ≥2x恒成立．注意到当x ∈[1,4]时，y ＝2x 的最大值是24＝4.因此，实数a 的最小值为4，选C.答案：C4．[2013·太原五中检测]已知命题p ：x －1x ≤0，q ：4x ＋2x －m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．m >2＋ 2B ．m ≤2＋ 2C ．m ≥2D ．m ≥6解析：x －1x ≤0⇒0<x ≤1⇒1<2x ≤2，由题意知，22＋2－m ≤0，即m ≥6，故选D.答案：D5．[2013·湖南高三检测]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >32x －3＋1，x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23 B.1716 C.32D ．1解析：分两种情况分析，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3，2a －3＋1＝3 ①或者⎩⎨⎧a >3log 2(a ＋1)＝3②，①无解，由②得，a ＝7，所以f (a －5)＝22－3＋1＝32，选C.答案：C6．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，则x 0属于( ) A. (0,1) B. (4,2) C. (2,3)D. (3,4)解析：设f (x )＝ln x ＋x －4，由于x 0是方程ln x ＝4－x 的解，则x 0是函数f (x )的零点．再由f (2)＝ln2－2<0，f (3)＝ln3－1>0，f (2)f (3)<0，可得x 0在区间(2,3)内，故选C.答案：C7．[2013·天津耀华中学模拟]已知函数f (x )＝x 2－cos x ，则f (0.6)，f (0)，f (－0.5)的大小关系是( )A ．f (0)<f (0.6)<f (－0.5)B ．f (0)<f (－0.5)<f (0.6)C ．f (0.6)<f (－0.5)<f (0)D ．f (－0.5)<f (0)<f (0.6)解析：∵函数f (x )＝x 2－cos x 为偶函数，∴f (－0.5)＝f (0.5)，f ′(x )＝2x ＋sin x ，当0<x <π2时，f ′(x )＝2x ＋sin x >0，∴函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，∴f (0)<f (0.5)<f (0.6)，即f (0)<f (－0.5)<f (0.6)，选B.答案：B8．设0<a <1，函数f (x )＝log a (a 2x －2a x －2)，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，log a 3)D ．(log a 3，＋∞)解析：f (x )<0⇔log a (a 2x －2a x －2)<0⇔log a (a 2x －2a x －2)<log a 1，因为0<a <1，所以a 2x －2a x －2>1，即(a x )2－2a x ＋1>4⇔(a x －1)2>4⇔a x －1>2或a x －1<－2，所以a x >3或a x <－1(舍去)．因此x <log a 3，故选C.答案：C9．下列四个命题： p ：∀x ≥－1，有1x ≤－1 q ：∃x 0∈R ，使x 0＋4x 0＝2r ：∀x ，y >0，有ln x ＋ln y ＝ln(x ＋y ) s ：∃x ，y ∈R ，使2x ＋y ＝2x ＋2y 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：当x ＝1时，x >－1，但1x ＝1>－1，故p 为假命题；当x 0≠0时x 0＋4x 0≥4或x 0＋4x 0≤－4，不可能有x 0＋4x 0＝2，故q 为假命题；当x ＝1，y ＝1时ln x ＋ln y ≠ln(x ＋y )，故r 为假命题；当x ＝1，y ＝1时，有2x ＋y ＝2x ＋2y ，故s 为真命题．因此A 项正确．答案：A10．函数f (x )＝ln x －12x 2的图象大致是( )解析：函数的定义域为{x |x >0}，函数的导数为f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x ，由f ′(x )＝1－x 2x >0得0<x <1，即增区间为(0,1)．由f ′(x )＝1－x 2x <0得x >1，即减区间为(1，＋∞)，所以当x ＝1时，函数取得极大值，且f (1)＝－12<0，所以选B 项．答案：B11．[2013·人大附中月考]某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌车，在A 地的销售利润(单元：万元)是y 1＝13.5－9x ，在B 地的销售利润(单位：万元)是y 2＝14x ＋6.2，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售11辆这种品牌车，则能获得的最大利润是( )A ．19.45万元B ．22.45万元C ．25.45万元D ．28.45万元解析：根据题意设该公司在A 地售x 辆，则在B 地售(11－x )辆，故销售利润y ＝13.5－9x ＋14(11－x )＋6.2＝22.45－(9x ＋x4)(0≤x ≤11，x ∈N *)，由基本不等式可得y ＝22.45－(9x ＋x4)≤22.45－29x ×x 4＝19.45，当且仅当9x ＝x4即x ＝6时取得最大值，故选A.答案：A12．若关于x 的方程|2x －1|＝m 有两个不相等的实数根x 1和x 2，则有( )A. x 1＋x 2>0B. x 1＋x 2<0C. x 1＋x 2≥0D. x 1＋x 2≤0解析：在坐标系中画出函数y ＝|2x －1|的图象，由图象可知当0<m <1时方程|2x －1|＝m 有两个不相等的实数根x 1和x 2，不妨设x 1<x 2，则必有x 1<0<x 2，由已知得|2x 1－1|＝|2x 2－1|，于是－2x 1＋1＝2x 2－1，因此2x 1＋2x 2＝2>22x 1·2x 2，所以2x 1＋x 2<1，于是x 1＋x 2<0.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．对于数集A ，B ，定义A ＋B ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，A ÷B ＝{x |x ＝ab ，a ∈A ，b ∈B }．若集合A ＝{1,2}，则集合(A ＋A )÷A 中所有元素之和为________．解析：由A ＋B 的定义得，A ＋A ＝{1＋1,2＋2,1＋2}＝{2,4,3}，由A ÷B 的定义得，(A ＋A )÷A ＝{1，32，2,3,4}，故所有元素之和为1＋32＋2＋3＋4＝232.答案：23214．已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上不单调，则实数a 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5，∴f ′(x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1，如果函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －5在区间[－1,2]上单调，那么a －1≥0或⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝3＋a ≤0f ′(2)＝a ≤0，∴a ≥1或a ≤－3.于是满足条件的a ∈(－3,1)．答案：(－3,1)15．[2013·安徽合肥调研]若函数f (x )＝x 2＋2x －3的定义域为[m,0]，值域为[－4，－3]，则m 的取值范围是________．解析：∵二次函数f (x )＝x 2＋2x －3的图象开口向上，且关于直线x ＝－1对称，∴函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，在(－1，＋∞)上是增函数，∵函数f (x )＝x 2＋2x －3的值域为[－4，－3]，最小值为－4，且f (－1)＝－4，∴定义域[m,0]中必定有－1，①当m ＝－1时，函数在f (x )区间[－1,0]上为增函数，值域为[－4，－3]；②当m <－1时，函数在[m ，－1]上是减函数，在[－1,0]上是增函数，要使函数f (x )的值域为[－4，－3]，则必需f (m )≤－3，解之得－2≤m <－1.综上所述，m 的取值范围是[－2，－1]．答案：[－2，－1]16．已知函数f (x )＝4x ＋1，g (x )＝4－x .若偶函数h (x )满足h (x )＝mf (x )＋ng (x )(其中m ，n 为常数)，且最小值为1，则m ＋n ＝________.解析：由已知得h (－x )＝h (x )，∴(m －n )·4－x ＋(n －m )·4x ＝0，得m ＝n ，∴h (x )＝m ·(4x ＋1)＋m ·4－x ＝m (4x ＋4－x )＋m ≥m ·24x ·4－x ＋m ＝3m ，当且仅当4x ＝4－x ，即x ＝0时，等号成立，∵函数h (x )的最小值为1，∴3m ＝1，得m ＝13，∴m ＋n ＝23.答案：23三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)函数f (x )＝13x 3＋12(2－a )x 2＋(1－a )x (a ≥0)． (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在[0,1]上单调递增，求a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝x 2＋(2－a )x ＋1－a ＝(x ＋1)(x ＋1－a )．当a ＝0时，f ′(x )＝(x ＋1)2≥0恒成立，当且仅当x ＝－1时取“＝”， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．当a >0时，由f ′(x )＝0得，x 1＝－1， x 2＝a －1，且x 1<x 2，∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(a －1，＋∞)，单调递减区间为(－1，a －1)．(2)∵f (x )在[0,1]上单调递增，∴[0,1]是上述增区间的子集，当a ＝0时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，符合题意；当a >0时，[0,1]⊆[a －1，＋∞)，∴a －1≤0，∴a ≤1. 综上，a 的取值范围是[0,1]．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax －e x (a >0)． (1)若a ＝12，求函数f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)当1≤a ≤e ＋1时，求证：f (x )≤x .解：(1)当a ＝12时，f (x )＝12x －e x，f (1)＝12－e ， f ′(x )＝12－e x ，f ′(1)＝12－e ，故函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y －12＋e ＝(12－e)(x －1)，即(12－e)x －y ＝0.(2)令g (a )＝x －f (x )＝－xa ＋x ＋e x ，只需证明g (a )≥0在1≤a ≤e ＋1时恒成立即可． g (1)＝－x ＋x ＋e x ＝e x >0，① g (1＋e)＝－x ·(1＋e)＋x ＋e x ＝e x －e x . 设h (x )＝e x －e x ，则h ′(x )＝e x －e ，当x <1时，h ′(x )<0；当x >1时，h ′(x )>0.∴h (x )在(－∞，1)上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增． ∴h (x )≥h (1)＝e 1－e·1＝0，即g (1＋e)≥0.②由①②知，g (a )≥0在1≤a ≤e ＋1时恒成立．故当1≤a ≤e ＋1时，f (x )≤x .19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处有极值10，求b 的值；(2)若对于任意的a ∈[－4，＋∞]，f (x )在x ∈[0,2]上单调递增，求b 的最小值．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，于是，根据题设有⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0，所以函数无极值点．所以b ＝－11.(2)由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞]，x ∈[0,2]都成立，所以F (a )＝2xa ＋3x 2＋b ≥0，对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立．因为x ≥0，所以F (a )在a ∈[－4，＋∞)上为单调递增函数或为常数函数，①当F (a )为常数函数时，F (a )＝b ≥0；②当F (a )为增函数时，F (a )min ＝F (－4)＝－8x ＋3x 2＋b ≥0，即b ≥(－3x 2＋8x )max 对任意x ∈[0,2]都成立，又－3x 2＋8x ＝－3(x －43)2＋163≤163，所以当x ＝43时，(－3x 2＋8x )max ＝163，所以b ≥163. 所以b 的最小值为163.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x x ，g (x )＝38x 2－2x ＋2＋xf (x )．(1)求函数g (x )的单调区间；(2)若函数g (x )在[e m ，＋∞)(m ∈Z )上有零点，求m 的最大值．解：(1)由题知，g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∵g ′(x )＝(3x －2)(x －2)4x， ∴函数g (x )的单调递增区间为(0，23)∪(2，＋∞)，g (x )的单调递减区间为[23，2]．(2)∵g (x )在[23，＋∞)上的最小值为g (2)，且g (2)＝38×22－4＋2＋ln2＝ln2－12＝ln4－12>0， ∴g (x )在[23，＋∞)上没有零点，∴要使函数g (x )在[e m ，＋∞)(m ∈Z )上有零点，并考虑到g (x )在(0，23)上单调递增且在[23，2]上单调递减，故只需e m <23且g (e m )≤0即可，易验证g (e －1)＝38×e －2－2×e －1＋1>0，g (e －2)＝38×1e 4－2e 2＋2＋ln e－2＝1e2(38×1e2－2)<0，当m≤－2且m∈Z时，均有g(e m)<0，即函数g(x)在[e m，e－1]⊆[e m，＋∞)(m∈Z)上有零点，∴m的最大值为－2.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(ax－2)e x在x＝1处取得极值．(1)求a的值；(2)求函数f(x)在[m，m＋1]上的最小值；(3)求证：对任意x1，x2∈[0,2]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e.解：(1)f′(x)＝a e x＋(ax－2)e x＝(ax＋a－2)e x，由已知得f′(1)＝0，即(2a－2)e＝0，解得a＝1.当a＝1时，在x＝1处函数f(x)＝(x－2)e x取得极小值，所以a＝1.(2)f(x)＝(x－2)e x，f′(x)＝e x＋(x－2)e x＝(x－1)e x.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．当m≥1时，f(x)在[m，m＋1]上单调递增，f(x)min＝f(m)＝(m－2)e m；当0<m<1时，m<1<m＋1，f(x)在[m,1]上单调递减，在[1，m＋1]上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－e；当m ≤0时，m ＋1≤1，f (x )在[m ，m ＋1]上单调递减，f (x )min ＝f (m ＋1)＝(m －1)e m ＋1.综上，f (x )在[m ，m ＋1]上的最小值f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (m －2)e m ，m ≥1－e ，0<m <1(m －1)e m ＋1，m ≤0(3)由(1)知f (x )＝(x －2)e x ，f ′(x )＝e x ＋(x －2)e x ＝(x －1)e x . 令f ′(x )＝0得x ＝1，因为f (0)＝－2，f (1)＝－e ，f (2)＝0，所以当0≤x ≤2时，f (x )max ＝0，f (x )min ＝－e ，所以对任意x 1，x 2∈[0,2]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ＝e.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a x (a >0)．(1)求f (x )的单调区间；(2)如果P (x 0，y 0)是曲线y ＝f (x )上的任意一点，若以P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值；(3)讨论关于x 的方程f (x )＝x 3＋2(bx ＋a )2x－12的实根的个数情况．解：(1)f (x )＝ln x ＋a x ，定义域为(0，＋∞)，则f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2.a >0，由f ′(x )>0，得x >a ，由f ′(x )<0，得0<x <a ，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．(2)由题意，以P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k 满足k ＝f ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(x 0>0)，所以a ≥－12x 20＋x 0对x 0>0恒成立．又当x 0>0时，－12x 20＋x 0≤12，所以a 的最小值为12.(3)由题意，方程f (x )＝x 3＋2(bx ＋a )2x－12化简得 b ＝ln x －12x 2＋12，x >0，令h (x )＝ln x －12x 2－b ＋12，则h ′(x )＝1x －x ＝(1＋x )(1－x )x. 当0<x <1时，h ′(x )>0，当x >1时，h ′(x )<0，所以h (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．所以h (x )在x ＝1处取得极大值，即最大值，最大值为h (1)＝ln1－12×12－b ＋12＝－b .所以当－b >0时，即b <0时，y ＝h (x )的图象与x 轴恰有两个交点，方程f (x )＝x 3＋2(bx ＋a )2x－12有两个实根；当b ＝0时，y ＝h (x )的图象与x 轴恰有一个交点，方程f (x )＝x 3＋2(bx ＋a )2x－12有一个实根；当b >0时，y ＝h (x )的图象与x 轴无交点，方程f (x )＝x 3＋2(bx ＋a )2x－12无实根．新课标第一网系列资料。

【2015步步高】2015届高考一轮复习(题组扣点+课堂探究+学科素养培养+)：第六章动量守恒定律专题六

vE＝tavnDyθ＝
2gRcos θ tan θ
由 A 到 E 根据机械能守恒定律：mgh＝12mv2E 解得 h＝2vg2E＝csoins23θθR
(2)由 A 到 C 根据机械能守恒定律：mg(h＋R)＝12mv2C 根据牛顿第二定律：FN－mg＝mvR2C
课堂探究
学科素养培养
高考模拟
课堂探究
(1)释放点 A 距 B 点的高 h；
(2)物块在圆弧轨道最低点 C 受到的支持
力 FN 的大小；
图1
(3)物块与水平面间的动摩擦因数 μ.
课堂探究
学科素养培养
高考模拟
课堂探究
专题六力学三大观点的应用
解析 (1)物块在 D 竖直方向上的分速度 vDy 满足
v2Dy＝2gRcos θ
在 E 点的速度等于在 D 点的水平方向上的分速度
第六章动量守恒定律
专题六力学三大观点的应用
课堂探究
专题六力学三大观点的应用
考点一应用动量观点和能量观点处理多过程问题
综合应用动量和能量观点处理直线运动、曲线运动(或平抛运动)和圆周运动相结合的多过程问题是我省高考的重点和热点之一． 1．弄清有几个物体参与运动，并划分清楚物体的运动过程． 2．进行正确的受力分析，明确各过程的运动特点． 3．光滑的平面或曲面，还有不计阻力的抛体运动，机械能一定守恒；碰撞过程、子弹打击木块、不受其他外力作用的二物体相互作用问题，一般考虑用动量守恒定律分析． 4．如含摩擦生热问题，则考虑用能量守恒定律分析．
课堂探究
学科素养培养
高考模拟
课堂探究
专题六力学三大观点的应用
【例 2】如图 3 所示为过山车简易模型，它由光滑水平轨道和竖直面内的光滑圆

2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第6章不等式、推理与证明及不等式选讲第2节

[课堂练通考点]1．不等式x －1x ＋2<0的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选C 原不等式化为(x －1)(x ＋2)<0，解得－2<x <1，故原不等式的解集为(－2,1)． 2．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c ＝( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1解析：选B ∵－c <ax ＋b <c ，又a >0， ∴－b ＋c a <x <c －b a.∵不等式的解集为{x |－2<x <1}，∴⎩⎨⎧ －b ＋c a＝－2，c －ba ＝1，∴⎩⎨⎧b ＝a 2，c ＝32a ，∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a2＝2∶1∶3.3．(2013·重庆高考)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52B.72C.154D. 152解析：选A 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52.4．(2014·皖南八校第二次联考)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：选A x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.5．(2013·浙江调研)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，－x ，x ≤0，则不等式f (x )<4的解集是________．解析：不等式f (x )<4等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x 2＋1<4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x <4，即0<x <3或－4<x ≤0.因此，不等式f (x )<4的解集是(－4，3)．答案：(－4，3)6．设[x ]表示不超过x 的最大整数，则不等式[x ]2－5[x ]＋6≤0成立的x 的取值范围为______．解析：由不等式[x ]2－5[x ]＋6≤0，得2≤[x ]≤3，故x 的取值范围为[2,4)．答案：[2,4)[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·潍坊质检)不等式4x －2≤x －2的解集是( )A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)解析：选B 原不等式可化为－x 2＋4xx －2≤0.即⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)(x －2)≥0，x －2≠0. 由标根法知，0≤x <2或x ≥4.2．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3，故选A.3．(2014·湖北八校联考)“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当a ＝0时，1>0，显然成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a <0.故ax 2＋2ax＋1>0的解集是实数集R 等价于0≤a <1.因此，“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的充分而不必要条件．4．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(4,5) B ．(－3，－2)∪(4,5) C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]解析：选D 原不等式可能为(x －1)(x －a )＜0，当a ＞1时得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a ≤5，当a ＜1时得a ＜x ＜1，则－3≤a ＜－2，故a ∈[－3，－2)∪(4,5]5．(2013·洛阳诊断)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 解析：选B 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)≥0，f (1)≤0，解得a ≥－235，且a ≤1，故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－235，1. 6．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. 答案：{x |0<x <2}7．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．解析：由题意，知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.答案：⎝⎛⎭⎫－12，32 8．(2013·广州调研)若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：∵不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，∴4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1.∵1≤x ≤2，∴2≤2x ≤4.由二次函数的性质可知：当2x ＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0，∴实数a 的取值范围为(－∞，0]．答案：(－∞，0]9．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．解：(1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0. 所以－4<m ≤0.(2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，即 m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，则0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0，即a (x ＋1)(x －2)＞0.那么当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1，或x ＞2}；当a ＜0时，不等式F (x )＞0 的解集为{x |－1＜x ＜2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0.∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m . 第Ⅱ组：重点选做题1．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图像恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]解析：选C 函数图像恒在x 轴上方，即不等式 (a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．(1)当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意．(2)当a 2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，16(a －1)2－12(a 2＋4a －5)<0. 解得1<a <19.综上可知，a 的取值范围是1≤a <19.2．(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．解析：由于f (x )为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.由f (x )>x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x >x ，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0，解得x >5或－5<x <0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)。

2015届高考数学大一轮复习(2009-2013高考题库)第2章第7节对数与对数函数理新人教A版

2009~2013年高考真题备选题库第2章函数、导数及其应用第7节对数与对数函数考点一对数与对数运算1．（2013新课标全国Ⅱ，5分）设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c解析：本题主要考查对数的基本运算以及同真数不同底数对数值大小的比较，意在考查考生分析问题与合理运用知识巧妙求解问题的能力．a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝log 510＝1＋log 52，c ＝log 714＝1＋log 72，则只要比较log 32，log 52，log 72的大小即可，在同一坐标系中作出函数y ＝log 3x ，y ＝log 5x ，y ＝log 7x 的图象，由三个图象的相对位置关系，可知a ＞b ＞c ，故选D.答案：D2．(2013陕西，5分)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：本题主要考查对数的有关运算，考查运算能力．利用对数的换底公式进行验证，log a b ·log c a ＝log c b log c a·log c a ＝log c b ，则B 对．答案：B3．(2013四川，5分)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20解析：本题考查对数运算、排列组合等基本知识和基本技能，意在考查考生分析问题和解决问题的数学应用能力．lg a －lg b ＝lg a b ，lg a b 有多少个不同值，只要看ab 不同值的个数，所以共有A 25－2＝20－2＝18个不同值．答案：C4．(2013四川，5分)lg 5＋lg 20的值是________．解析：本题主要考查对数的运算，意在考查考生对基本性质与公式的掌握．lg 5＋lg 20＝lg(5×20)＝lg 10＝1.答案：15．（2010新课标全国，5分）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：由a ，b ，c 互不相等，结合图象可知：这三个数分别在区间(0,1)，(1,10)，(10,12)上，不妨设a ∈(0,1)，b ∈(1,10)，c ∈(10,12)，由f (a )＝f (b )得lg a ＋lg b ＝0，即lg ab ＝0，所以ab ＝1，所以abc ∈(10,12)．答案：C6．（2010天津，5分）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x >0，log 12(－x )， x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0log 2a >－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0log 12(－a )>log 2(－a )，解之可得a >1或－1<a <0. 答案：C7．（2010湖南，5分）函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log|b a |x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )解析：从对数的底数入手进行讨论，再结合抛物线过原点，然后从抛物线对称轴的取值范围进行判断，故选D.答案：D8．(2009·山东，5分)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则f (2 009)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：∵x ＞0时，f (x )＝f (x －1)－f (x －2)，又f (x ＋1)＝f (x )－f (x －1)，两式相加得f (x ＋1)＝－f (x －2)，即f (x ＋3)＝－f (x )，故f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，故函数周期为6.∴f (2 009)＝f (6×334＋5)＝f (5)＝f (－1)＝log 22＝1.故选C.答案：C9．(2009·广东，5分)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f(x )＝( )A ．log 2x B.12x C ．log 12xD ．x 2解析：由题意f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 12＝12，∴f (x )＝log 12x .故选C.答案：C考点二指数函数、对数函数与幂函数的综合问题1．（2013浙江，5分）已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x ＋lg y＝2lg x ＋2lg yB ．2lg(x＋y )＝2lg x ·2lg yC ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y解析：本题考查理解有理指数幂的含义、幂的运算，考查指数、对数函数的概念及其运算性质，意在考查考生基本的运算能力．取特殊值即可．如取x ＝10，y ＝1,2lg x ＋lg y＝2,2lg(xy )＝2,2lg x ＋2lg y ＝3,2lg(x＋y )＝2lg 11,2lg x ·lg y＝1,2lg x ·2lg y ＝2.答案：D2．（2012新课标全国，5分）设点P 在曲线y ＝12e x 上，点Q 在曲线y ＝ln(2x )上，则|PQ |的最小值为( )A ．1－ln 2 B.2(1－ln 2) C ．1＋ln 2D.2(1＋ln 2)解析：根据函数y ＝12e x 和函数y ＝ln 2x 的图像可知两函数图像关于直线y ＝x 对称，故要求|PQ |的最小值可转化为求与直线y ＝x 平行且与两曲线相切的直线间的距离，设曲线y ＝12e x 上的切点为A (m ，n )，则A 到直线y ＝x 的距离的2倍即为最小值．因为y ′＝(12e x )′＝12e x ，则12e m ＝1，所以m ＝ln 2，切点A 的坐标为(ln 2,1)，切点到直线y ＝x 的距离为d ＝|ln 2－1|2＝1－ln 22，所以2d ＝2(1－ln 2)．3．（2012湖南，5分）已知两条直线l 1：y ＝m 和l 2：y ＝82m ＋1(m ＞0)，l 1与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 2x |的图象从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为a ，b .当m 变化时，ba的最小值为( )A ．16 2B ．8 2C ．834D ．434解析：数形结合可知A ，C 点的横坐标在区间(0,1)内，B ，D 点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且x C －x A 与x B －x D 同号，所以b a ＝x B －x Dx C －x A，根据已知|log 2x A |＝m ，即－log 2x A ＝m ，所以x A ＝2－m.同理可得x C ＝2－82m ＋1，x B ＝2m ，x D ＝282m ＋1，所以b a ＝2m －282m ＋12－82m ＋1－2－m ＝2m －282m ＋11282m ＋1－12m ＝2m －282m ＋12m －282m ＋12m ·282m ＋1＝282m ＋1＋m ，由于82m ＋1＋m ＝82m ＋1＋2m ＋12－12≥4－12＝72，当且仅当82m ＋1＝2m ＋12，即2m ＋1＝4，即m ＝32时等号成立，故b a 的最小值为272＝8 2.答案：B4．（2011辽宁，5分）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：当x ≤1时，21－x ≤2，解得，x ≥0，所以，0≤x ≤1；当x ＞1时，1－log 2x ≤2，解得，x ≥12，所以，x ＞1.综上可知x ≥0.答案：D5．（2011天津，5分）已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝(15)log 30.3，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b解析：因为c ＝5－log 30.3＝5log 3103，又log 23.4>log 3103>1>log 43.6>0，且指数函数y ＝5x是R 上的增函数，所以a >c >b .答案：C6．(2009·辽宁，5分)若x 1满足2x ＋2x ＝5，x 2满足2x ＋2log 2(x －1)＝5，则x 1＋x 2＝( ) A.52 B ．3 C.72D ．4解析：依题意：2x 1－1＝52－x 1，log 2(x 2－1)＝52－x 2，∴2x 1－1＝32－(x 1－1)，log 2(x 2－1)＝32－(x 2－1)．又函数y 1＝2x 与y 2＝log 2x 互为反函数， ∴x 1－1＋x 2－1＝32，即x 1＋x 2＝32＋2＝72.答案：C。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案(全word可编辑版,全解全析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国Ⅰ理科数学注意事项:1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国Ⅰ,理1)设复数z满足1+z=i,则|z|=()A.1B.2C.3D.2答案:A解析:∵1+z=i,∴z=i−1=(i−1)(−i+1)=i,∴|z|=1.2.(2015课标全国Ⅰ,理2)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=()A.-32B.32C.-12D.12答案:D解析:sin20°cos10°-cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(10°+20°)=sin30°=12.3.(2015课标全国Ⅰ,理3)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则p为()A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n答案:C解析:∵p:∃n∈N,n2>2n,∴p:∀n∈N,n2≤2n.故选C.4.(2015课标全国Ⅰ,理4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312答案:A解析:由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.故P=C320.62(1-0.6)+C330.63=0.648.5.(2015课标全国Ⅰ,理5)已知M(x0,y0)是双曲线C:x 22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1·MF2<0,则y0的取值范围是()A. −3,3B. −3,3C. −22,22D. −23,23答案:A解析:由条件知F1(-3,0),F2(3,0),∴MF1=(-3-x0,-y0),MF2=(3-x0,-y0),∴MF1·MF2=x02+y02-3<0.①又∵x022−y02=1,∴x02=2y02+2.代入①得y02<13,∴-3<y0<3. 6.(2015课标全国Ⅰ,理6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( ) A .14斛 B .22斛 C .36斛 D .66斛答案:B解析:设底面圆半径为R ,米堆高为h.∵米堆底部弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16π.∴体积V=1×1·πR 2h=1×π× 16 2×5.∵π≈3,∴V ≈3209(尺3). ∴堆放的米约为3209×1.62≈22(斛).7.(2015课标全国Ⅰ,理7)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC =3CD ,则( )A .AD =-1AB +4AC B .AD =1AB −4AC C .AD =43AB +13AC D .AD=43AB −13AC 答案:A解析:如图:∵AD =AB +BD,BC =3CD , ∴AD =AB +43BC =AB +43(AC −AB )=-13AB +43AC. 8.(2015课标全国Ⅰ,理8)函数f (x )=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f (x )的单调递减区间为( ) A . kπ−1,kπ+3 ,k ∈Z B . 2kπ−1,2kπ+3 ,k ∈Z C . k −14,k +34 ,k ∈Z D . 2k −1,2k +3 ,k ∈Z 答案:D解析:不妨设ω>0,由函数图像可知,其周期为T=2× 54−14=2,所以2πω=2,解得ω=π. 所以f (x )=cos(πx+φ).由图像可知,当x=12 14+54=34时,f (x )取得最小值,即f 3 =cos3π+φ =-1,解得3π4+φ=2k π+π(k ∈Z ),解得φ=2k π+π4(k ∈Z ).令k=0,得φ=π,所以f (x )=cos πx +π.令2k π≤πx+π≤2k π+π(k ∈Z ),解得2k-14≤x ≤2k+34(k ∈Z ).所以函数f (x )=cos πx +π4的单调递减区间为 2k−14,2k +34(k ∈Z ).结合选项知应选D .9.(2015课标全国Ⅰ,理9)执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=( )A .5B .6C .7D .8答案:C解析:∵S=1,n=0,m=1,t=0.01,∴S=S-m=12,m=m 2=14,n=n+1=1,S>0.01,∴S=14,m=18,n=2,S>0.01,∴S=1,m=1,n=3,S>0.01,∴S=1,m=1,n=4,S>0.01,∴S=132,m=164,n=5,S>0.01,∴S=1,m=1,n=6,S>0.01,∴S=1,m=1,n=7,S<0.01,∴n=7.10.(2015课标全国Ⅰ,理10)(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数为( ) A .10 B .20 C .30 D .60 答案:C解析:由于(x 2+x+y )5=[(x 2+x )+y ]5,其展开式的通项为T r+1=C 5r (x 2+x )5-r y r (r=0,1,2,…,5),因此只有当r=2,即T 3=C 52(x 2+x )3y 2中才能含有x 5y 2项.设(x 2+x )3的展开式的通项为S i+1=C 3i (x 2)3-i ·x i =C 3i x 6-i(i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,则(x 2+x )3的展开式中x 5项的系数是C 31=3,故(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数是C 52·3=10×3=30. 11.(2015课标全国Ⅰ,理11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ) A .1 B .2 C .4 D .8 答案:B解析:由条件知,该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成,其表面积是一个矩形面积、两个半圆面积、圆柱侧面积的一半、球表面积的一半相加所得,所以表面积为S 表=2r×2r+2×12πr 2+πr×2r+12×4πr 2=5πr 2+4r 2=16+20π,解得r=2.12.(2015课标全国Ⅰ,理12)设函数f (x )=e x (2x-1)-ax+a ,其中a<1,若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0,则a 的取值范围是( )A. −32e ,1B. −32e,34C.32e ,34D.32e,1答案:D解析:设g(x)=e x(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0即为g(x)<h(x).因为g'(x)=e x(2x-1)+2e x=e x(2x+1),当x<-12时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;当x>-12时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g −1.而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=e x(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图像.显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数有无数多个.函数g(x)=e x(2x-1)的图像与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D1,0.取点C −1,−3e.由图可知,不等式g(x)<h(x)只有一个整数解时,须满足k PC≤a<k PA.而k PC=0−−3e=3,k PA=0−(−1)=1,所以32e ≤a<1.故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国Ⅰ,理13)若函数f(x)=x ln(x+ a+x2)为偶函数,则a=.答案:1解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1).又f(-1)=-ln(-1+a+1)=ln a+1+1a,f(1)=ln(1+a+1),因此ln(a+1+1)-ln a=ln(a+1+1),于是ln a=0,∴a=1.14.(2015课标全国Ⅰ,理14)一个圆经过椭圆x 2+y2=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.答案: x−32+y2=25解析:由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0),(0,2),(0,-2),设圆心为(a,0)(a>0),所以(a−0)2+(0−2)2=4-a,解得a=32,故圆心为32,0,此时半径r=4-32=52,因此该圆的标准方程是 x−322+y2=254.15.(2015课标全国Ⅰ,理15)若x,y满足约束条件x−1≥0,x−y≤0,x+y−4≤0,则yx的最大值为.答案:3解析:画出约束条件对应的平面区域(如图),点A为(1,3),要使y最大,则y−0最大,即过点(x,y),(0,0)两点的直线斜率最大,由图形知当该直线过点A时,yx max =3−01−0=3.16.(2015课标全国Ⅰ,理16)在平面四边形ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB 的取值范围是 . 答案:( 6− 2, 6+ 2) 解析:如图.作CE ∥AD 交AB 于E ,则∠CEB=75°,∠ECB=30°. 在△CBE 中,由正弦定理得,EB= − 延长CD 交BA 的延长线于F ,则∠F=30°. 在△BCF 中,由正弦定理得,BF= 6+ 2, 所以AB 的取值范围为( 6− 2, 6+ 2).三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理17)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n +3. (1)求{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n a n +1,求数列{b n }的前n 项和.解:(1)由a n 2+2a n =4S n +3,可知a n +12+2a n+1=4S n+1+3.可得a n +12−a n 2+2(a n+1-a n )=4a n+1,即2(a n+1+a n )=a n +12−a n 2=(a n+1+a n )(a n+1-a n ). 由于a n >0,可得a n+1-a n =2.又a 12+2a 1=4a 1+3,解得a 1=-1(舍去),a 1=3.所以{a n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n =2n+1. 6分(2)由a n =2n+1可知b n =1n n +1=1=11−1.设数列{b n }的前n 项和为T n ,则 T n =b 1+b 2+…+b n=12 13−15 + 15−17 +⋯+12n +1−12n +3=n . 12分18.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理18)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE=2DF ,AE ⊥EC.(1)证明:平面AEC ⊥平面AFC ;(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 解:(1)连结BD ,设BD ∩AC=G ,连结EG ,FG ,EF.在菱形ABCD 中,不妨设GB=1. 由∠ABC=120°,可得AG=GC=由BE ⊥平面ABCD ,AB=BC ,可知AE=EC. 又AE ⊥EC ,所以EG= 3,且EG ⊥AC. 在Rt △EBG 中,可得BE= 2,故DF= 2. 在Rt △FDG 中,可得FG= 62.在直角梯形BDFE 中,由BD=2,BE= 2,DF= 22,可得EF=3 22. 从而EG 2+FG 2=EF 2,所以EG ⊥FG. 又AC ∩FG=G ,可得EG ⊥平面AFC.因为EG ⊂平面AEC ,所以平面AEC ⊥平面AFC. 6分(2)如图,以G 为坐标原点,分别以GB ,GC 的方向为x 轴、y 轴正方向,|GB |为单位长,建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)可得A (0,- E (1,0, F −1,0,2,C (0, 3,0),所以AE =(1, 3, 2),CF= −1,− 3, 2 . 10分故cos <AE ,CF >=AE ·CF|AE ||CF|=- 33. 所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为 3.12分19.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t)和年利润z (单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.表中w i = x i ,w =18∑i =18w i. (1)根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i =1n(u i −u )(v i −v )∑i =1n(u i −u )2,α^=v −β^u .解:(1)由散点图可以判断,y=c+d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.2分(2)令w= x ,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于d ^=∑i =18(w i −w )(y i −y )∑i =18(w i −w )2=108.81.6=68, c ^=y −d ^w =563-68×6.8=100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w ,因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68 x . 6分(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y 的预报值y ^=100.6+68 49=576.6,年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2-49=66.32. 9分②根据(2)的结果知,年利润z 的预报值z ^=0.2(100.6+68 x )-x=-x+13.6 x +20.12.所以当 x =13.6=6.8,即x=46.24时,z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大.12分20.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理20)在直角坐标系xOy 中,曲线C :y=x 24与直线l :y=kx+a (a>0)交于M ,N两点.(1)当k=0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(2)y 轴上是否存在点P ,使得当k 变动时,总有∠OPM=∠OPN ?说明理由. 解:(1)由题设可得M (2 a ,a ),N (-2 a ,a ),或M (-2 a ,a ),N (2 a ,a ).又y'=x 2,故y=x 24在x=2 a 处的导数值为 a ,C 在点(2 a ,a )处的切线方程为y-a= a (x-2 a ),即 a x-y-a=0. y=x 2在x=-2 a 处的导数值为- a ,C 在点(-2 a ,a )处的切线方程为y-a=- a (x+2 a ),即 a x+y+a=0. 故所求切线方程为 a x-y-a=0和 a x+y+a=0. 5分(2)存在符合题意的点,证明如下:设P (0,b )为符合题意的点,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 将y=kx+a 代入C 的方程得x 2-4kx-4a=0. 故x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4a.从而k 1+k 2=y 1−b x 1+y 2−bx 2=2kx 1x 2+(a−b )(x 1+x 2)x 1x 2=k (a +b )a.当b=-a 时,有k 1+k 2=0,则直线PM 的倾角与直线PN 的倾角互补,故∠OPM=∠OPN ,所以点P (0,-a )符合题意. 12分21.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,理21)已知函数f (x )=x 3+ax+1,g (x )=-ln x.(1)当a 为何值时,x 轴为曲线y=f (x )的切线;(2)用min{m ,n }表示m ,n 中的最小值,设函数h (x )=min{f (x ),g (x )}(x>0),讨论h (x )零点的个数. 解:(1)设曲线y=f (x )与x 轴相切于点(x 0,0),则f (x 0)=0,f'(x 0)=0,即 x 03+ax 0+1=0,3x 02+a =0.解得x 0=1,a=-3.因此,当a=-34时,x 轴为曲线y=f (x )的切线. 5分(2)当x ∈(1,+∞)时,g (x )=-ln x<0,从而h (x )=min{f (x ),g (x )}≤g (x )<0,故h (x )在(1,+∞)无零点. 当x=1时,若a ≥-54,则f (1)=a+54≥0,h (1)=min{f (1),g (1)}=g (1)=0,故x=1是h (x )的零点;若a<-54,则f (1)<0,h (1)=min{f (1),g (1)}=f (1)<0,故x=1不是h (x )的零点.当x ∈(0,1)时,g (x )=-ln x>0.所以只需考虑f (x )在(0,1)的零点个数.(ⅰ)若a ≤-3或a ≥0,则f'(x )=3x 2+a 在(0,1)无零点,故f (x )在(0,1)单调.而f (0)=14,f (1)=a+54,所以当a ≤-3时,f (x )在(0,1)有一个零点;当a ≥0时,f (x )在(0,1)没有零点.(ⅱ)若-3<a<0,则f (x )在 0, −3单调递减,在 −3,1 单调递增,故在(0,1)中,当x= −3时,f (x )取得最小值,最小值为f −a =2a −a +1. ①若f −a >0,即-3<a<0,f (x )在(0,1)无零点; ②若f −a =0,即a=-3,则f (x )在(0,1)有唯一零点;③若f −3 <0,即-3<a<-34,由于f (0)=14,f (1)=a+54,所以当-54<a<-34时,f (x )在(0,1)有两个零点;当-3<a ≤-54时,f (x )在(0,1)有一个零点.10分综上,当a>-3或a<-5时,h (x )有一个零点;当a=-3或a=-5时,h (x )有两个零点;当-5<a<-3时,h (x )有三个零点. 12分请考生在第22、23、24三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理22)选修4—1:几何证明选讲如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,BC交☉O于点E.(1)若D为AC的中点,证明:DE是☉O的切线;(2)若OA=3CE,求∠ACB的大小.解:(1)连结AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB.在Rt△AEC中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE.连结OE,则∠OBE=∠OEB.又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°,故∠OED=90°,DE是☉O的切线.5分(2)设CE=1,AE=x,由已知得AB=2,BE=2.由射影定理可得,AE2=CE·BE,所以x2=12−x2,即x4+x2-12=0.可得x=3,所以∠ACB=60°.10分23.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.解:(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.5分(2)将θ=π4代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-32ρ+4=0,解得ρ1=22,ρ2= 2.故ρ1-ρ2=2,即|MN|= 2.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为1.10分24.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,理24)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得2<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为 x2<x<2.5分(2)由题设可得,f(x)=x−1−2a,x<−1,3x+1−2a,−1≤x≤a,−x+1+2a,x>a.所以函数f(x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a−13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为2(a+1)2.由题设得23(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).10分。

高考数学一轮复习专题06 非线性回归方程(原卷版)

概率与统计专题六:非线性回归方程一、知识储备当经验回归方程并非形如y bx a =+(,a b R ∈）时，称之为非线性经验回归方程，当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来模拟，常见的非线性经验回归方程的转换方式总结如下：建立非线性经验回归模型的基本步骤1.确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是响应变量；2.由经验确定非线性经验回归方程的模型；3.通过变换（一般题目都有明显的暗示如何换元，换元成什么变量），将非线性经验回归模型转化为线性经验回归模型（特别注意：使用线性回归方程的公式，注意代入变换后的变量）；4.按照公式计算经验回归方程中的参数，得到经验回归方程；5.消去新元，得到非线性经验回归方程；6.得出结果后分析残差图是否有异常．二、例题讲解1．（2022·全国高三专题练习（文））人类已经进入大数据时代.目前，数据量级已经从TB (1TB =1024GB )级别跃升到PB (1PB =1024TB )，EB (1EB =1024PB )乃至ZB (1ZB =1024EB )级别.国际数据公司(IDC )研究结果表明，2008年全球产生的数据量为0.49ZB ，2009年数据量为0.8ZB ，2010年增长到1.2ZB ，2011年数据量更是高达1.82ZB .下表是国际数据公司(IDC )研究的全球近6年每年产生的数据量(单位：ZB )及相关统计量的值：表中ln i i z y =，6116i i z z ==∑. （1）根据上表数据信息判断，方程21c xy c e =⋅(e 是自然对数的底数)更适宜作为该公司统计的年数据量y 关于年份序号x 的回归方程类型，试求此回归方程(2c 精确到0.01).（2）有人预计2022年全世界产生的数据规模将超过2011年的50倍.根据（1）中的回归方程，说明这种判断是否准确，并说明理由.参考数据： 4.5695.58e ≈， 4.5897.51e ≈，回归方程y a bx =+中，斜率最小二乘法公式为()()()1122211n niii ii i nniij i x x y y x y nxyb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.2．（2022·全国高三专题练习（文））有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁.中国高铁经过十几年的发展，取得了举世瞩目的成就，使我国完成了从较落后向先进铁路国的跨越式转变.中国的高铁技术不但越来越成熟，而且还走向国外，帮助不少国家修建了高铁.高铁可以说是中国一张行走的名片.截至到2021年，中国高铁运营里程已经达到3.9万公里.下表是2013年至2021年中国高铁每年的运营里程统计表，它反映了中国高铁近几年的飞速发展：根据以上数据，回答下面问题.（1）甲同学用曲线y bx a =+来拟合，并算得相关系数10.97r =，乙同学用曲线dxy ce =来拟合，并算得转化为线性回归方程所对应的相关系数10.99r =，试问哪一个更适合作为y 关于x 的回归方程类型，并说明理由；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于y 的回归方程(系数精确到0.01).参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：121()()ˆˆ,()niii nii x x y y ba y bxx x ==--==--∑∑；参考数据：882112.48,()()15.50,()42.00,i i i i i y x x y y x x ===--=-=∑∑令()()()8820.1411ln ,0.84, 6.50, 1.01, 1.15.i i i i i w y w x x w w w w e ====--=-==∑∑三、实战练习1．（2022·山东菏泽·高三二模）“十四五”是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，乘势而上开启全面建设社会主现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年，实施时间为2022年到2025年．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额x （单位：亿元）对年盈利额y （单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额i x 和年盈利额i y ()1,2,,10i =数据进行分析，建立了两个函数模型：2y x αβ=+；e x t y λ+=，其中α，β ，λ，t 均为常数，e 为自然对数的底数令2,ln i ii i u x v y ==()1,2,,10i =，经计算得如下数据：26x =，215y =，680u =， 5.36v =，()2101100i i x x=-=∑，()102122500ii u u =-=∑，()()101260i ii u uy y =--=∑，()21014ii y y =-=∑，()21014i i v v=-=∑，()()10118i i i x x v v =--=∑，问：（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？（2）根据（1）的选择及表中数据，建立，y 关于x 的回归方程（系数精确到0.01）（3）若希望2022年盈利额y 为500亿元，请预测2022年的研发资金投入额x 为多少亿元？（结果精确到0.01）附：①相关系数r()()niix x yy --∑回归直线y bx a =+中：121()()()niii nii x x yy b x x ==--=-∑∑，a y bx =-参考数据：ln 20.693=，ln5 1.609=．2．（2022·重庆高三三模）近几年，快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈.某快递网点需了解一天中收发一件快递的平均成本y (单位：元)与当天揽收的快递件数x (单位：千件)之间的关系，对该网点近5天的每日揽件量i x (单位：千件)与当日收发一件快递的平均成本i y (单位；元)(i =1，2，3，4，5)数据进行了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i i w x =，5115i i w w ==∑. （1）根据散点图判断，y a bx =+与dy c x=+哪一个适宜作为y 关于x 的回归方程类型？并根据判断结果及表中数据求出y 关于x 的回归方程；（2）各快递业为提高快递揽收量并实现总利润的增长，除了提升服务质量､提高时效保障外，价格优惠也是重要策略之一.已知该网点每天揽收快递的件数x (单位：千件)与单件快递的平均价格t (单位；元)之间的关系是()252512x t t =-≤≤，收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去平均成本，根据（1）中建立的回归方程解决以下问题：①预测该网点某天揽收2000件快递可获得的总利润；②单件快递的平均价格t 为何值时，该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大？附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121nii i nii uu v vuuβ==--=-∑∑，v u αβ=-.3．（2022·安徽蚌埠二中高三模拟预测（文））自从新型冠状病毒爆发以来，美国疫情持续升级，以下是美国2021年4月9日-12月14日每隔25天统计1次共计11次累计确诊人数（万）．（1）将4月9日作为第1次统计，若将统计时间序号作为变量x ，每次累计确诊人数作为变量x ，得到函数关系()0,0bxy aea b =>>，对上表的数据作初步处理，得到部分数据已作近似处理的一些统计量的值6x =，603.09y =，1111ln 5.9811i i y ==∑，()()11115835.70i i i x y x y =--=∑，()1121110i i x x=-=∑，()1121ln ln 11.90i i y y=-=∑，()()111ln ln 35.10iii x x y y =--=∑， 4.0657.97e≈， 4.0758.56e ≈， 4.0859.15e ≈，根据相关数据，确定该函数关系式（参数a ，b 的取值精确到0.01）；（2）为了了解患新冠肺炎与年龄的关系，已知某地曾患新冠肺炎的老年、中年、青年的人数分别为45人，30人，15人，按分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从6人中随机抽取2人进行调查结果对比，求这2人中至少有一人是老年人的概率．参考公式：线性回归方程y bx a =+中，()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-；4．（2022·贵州（理））某二手车交易市场对2021年某品牌二手车的交易进行了统计，得到如图所示的频率分布直方图和散点图.用x 表示该车的使用时间（单位：年），y 表示其相应的平均交易价格（单位：万元）.（Ⅰ）已知2021年在此交易市场成交的该品牌二手车为100辆，求使用时间在[]12,20的车辆数；（Ⅱ）由散点图分析后，可用bx a y e +=作为此交易市场上该种车辆的平均交易价格y 关于其使用时间x 的回归方程.表中ln z y=，1110i i z z ==∑.根据上述相关数据，求y 关于x 的回归方程.附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1221ˆni i i nii u vnuv unu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-.5．（2022·河南洛阳市·高三二模（理））某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量()g y 与尺寸()mm x 之间近似满足关系式b y c x =⋅（b 、c 为大于0的常数）.按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(),0.302,0.38897e e ⎛⎫≈ ⎪内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：（1）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的期望；（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如表：（i ）根据所给统计量，求y 关于x 的回归方程；（ii ）已知优等品的收益z （单位：千元）与x 、y 的关系为20.32z y x =-，则当优等品的尺寸x 为何值时，收益z 的预报值最大？附：对于样本()(),1,2,,n i i v u i =，其回归直线u b v a =⋅+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211ˆn niii i i i nniii i v v u u v unvu bv v vnv====---==--∑∑∑∑，a u bv =-， 2.7182e ≈.6．（2022·全国（文））2021年新型冠状病毒肺炎疫情席卷金球，我国在全力保障口罩、防护服等医疗物资供给基础上，重点开展医疗救治急需的呼吸机、心电监护仪等医疗设备的组织生产和及时供应，统筹协调医用物资生产企业高速生产，支援世界各国抗击肺炎疫情．我市某医疗器械公司转型升级，从9月1日开始投入呼吸机生产，该公司9月1目~9月9日连续9天的呼吸机日生产量为i y （单位：百台．．，1,2,,9i =），数据作了初步处理；得到如图所示的散点图．注：图中日期代码1~9分别对应9月1日~9月9日；表中iy i z e =，1919i i z z ==∑（1）从9个样本点中任意选取2个，在2个样本点的生产量都不高于300台的条件下，求2个样本点都高于200台的概率；（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线ln()y bt a =+的附近，求y 关于t 的方程ln()y bt a =+，并估计该公司从生产之日起，需要多少天呼吸机日生产量可超过500台．参考公式：回归直线方程是ˆˆv βμα=+；1122211()()()()innii i ii i n nii i v v v n vn μμμμβμμμμ====---==--∑∑∑∑， ˆˆv αβμ=-，参考数据：5148.4e ≈．7．（2022·全国高三专题练习）某公司为了了解年研发资金投人量x （单位：亿元）对年销售额y （单位：亿元）的影响.对公司近12年的年研发资金投入量i x 和年销售额i y 的数据，进行了对比分析，建立了两个函数模型：①2y x αβ=+，②2x t y e +=，其中α、β、λ、t 均为常数，e 为自然对数的底数.并得到一些统计量的值.令2i i u x =，ln (1,2,,12)i i y i ν==，经计算得如下数据：（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（2）①根据（1）的选择及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；②若下一年销售额y 需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x 是多少亿元？附：相关系数：()()ni i x x y y r --=∑ˆˆˆya bx =+中公式分别为：121()()ˆ()niii nii x x yy b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-；参考数据：308477=⨯9.4868，4499890e ≈.8．（2022·四川达州·高三二模（理））在能源和环保的压力下，新能源汽车将成为未来汽车的发展方向．我国大力发展新能源汽车的生产和销售．某市近6年的新能源汽车保有量数据如下表（1）从这6年中任意选取两年，求这两年中仅有1年的新能源汽车保有量大于4万辆的概率；（2）用函数模型(0)dx y ce c =>对两个变量x ，y 的关系进行拟合，根据表中数据求出y 关于x 的回归方程（条数精确到0.01）．参考数据： 3.5x =， 4.1y =，62191i i x ==∑；设61ln , 1.16,31.89i i i i i t y t x t ====∑．参考公式：回归直线ˆˆv a u β=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：0.351221ˆˆˆ,,0.7047ni i ni i i u v nuvav u e unu ββ-==-==-≈-∑∑．9．（2022·陕西高三二模（理））为了迎接十四运，提高智慧城市水平，西安公交公司近期推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所示：根据以上数据，绘制了散点图．（1）根据散点图判断，在推广期内，y a bx =+与x y c d =⋅（,c d 均为大于零的常数），哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y 与x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下表：西安公交六公司车队为缓解周边居民出行压力，以90万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元．已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠，有13的概率享受8折优惠，有12的概率享受9折优惠．预计该车队每辆车每个月有2万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，请你估计这批车辆需要几年（结果取整数年）才能盈利？参考数据：其中其中lg i i v y =，7117i i v v ==∑，参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-⋅=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．10．（2022·吉林高三模拟预测（文））全球化时代，中国企业靠什么在激烈的竞争中成为世界一流企业呢？由人民日报社指导，《中国经济周刊》主办的第十八届中国经济论坛在人民日报社举行，就中国企业如何提升全球行业竞争力进行了研讨.数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入x (百万元)与收益y (百万元)的数据统计如下：根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线2bx a y +=的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表：其中2log i i z y =，7117i i z z ==∑.（1）请根据表中数据，建立y 关于x 的回归方程(系数ˆb精确到0.1)；（2）①乙认为样本点分布在直线y mx n =+的周围，并计算得回归方程为ˆ8.253yx =+，以及该回归模型的决定系数(即相关指数)20.893R =乙，试比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？②由①所得的结论，计算该企业欲使收益达到1亿元，科技投入的费用至少要多少百万元？(精确到0.1) 附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n u v u v u v ⋯，其回归直线方程ˆˆˆvu βα=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为()()()1122211ˆn ni i i i i i nniii i u u v v u v n u u un μνβμ====---==--∑∑∑∑，ˆˆανβμ=-，决定系数：()()22121ˆ1ni i nii v vR v v ==-=--∑∑.参考数据：2log 5 2.3≈.11．（2022·江西（文））每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．从进入大数据时代以来，人们阅读方式发生了改变，数字媒体阅读方式因为便携，容量大等优点越来越被大众接受，下表是国际数据公司（IDC ）研究的全球近6年每年数字媒体阅读产生的数据量（单位：ZB ）及相关统计量的值：表中ln i i z y =，6116i i z z ==∑．（1）根据上表数据信息判断，方程21e c xy c =⋅（e 是自然对数的底数）更适宜作为该公司统计的年数据量y关于年份序号x 的回归方程类型，试求此回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，预计2024年全世界数字媒体阅读产生的数据量是2022年的多少倍？并说明理由．（参考数据：e 2.718≈ 1.648≈，结果精确到0.1）参考数据：回归方程ˆˆˆy a bx =+中，斜率最小二乘法公式为()()()121ˆni i i nij x x y y bxx ==--=-∑∑1221ni ii nii x ynxyxnx ==-=-∑∑，ˆˆa y bx =-．12．（2022·山东济宁一中高三开学考试）某公司对某产品作市场调研，获得了该产品的定价x （单位：万元/吨）和一天销售量y （单位：吨）的一组数据，制作了如下的数据统计表，并作出了散点图．表中1z x=0.45≈ 2.19．（1）根据散点图判断，ya bx =+与1y c k x -=+⋅哪一个更适合作为y 关于x 的回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果，试建立y 关于x 的回归方程；（3）若生产1吨该产品的成本为0.20万元，依据（2）的回归方程，预计定价为多少时，该产品一天的利润最大，并求此时的月利润．（每月按30天计算，计算结果保留两位小数）（参考公式：回归方程y bx a =+，其中()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-）。

2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：选修4-1 第1节

[课堂练通考点]1．如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，则BC 的长为______ cm.解析：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点， M 为BC 的中点．又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ，∴BC ＝2MC ＝24 cm.答案：242．如图，在四边形ABCD 中，E 是AB 上一点，EC ∥AD ，DE ∥BC ，若S △BEC ＝1，S △ADE ＝3，则S △CDE ＝________.解析：∵EC ∥AD ，∴S △DCE ∶S △ADE ＝EC ∶AD ，∵DE ∥BC ，∴S △BCE ∶S △CDE ＝BC ∶ED ，又因为∠ECB ＝∠DEC ＝∠ADE ，∠BEC ＝∠EAD ，∴△BEC ∽△EAD ，∴EC ∶AD ＝BC ∶ED .∴S △DCE ∶S △ADE ＝S △BCE ∶S △CDE ，于是S △CDE ＝ 3. 答案： 33．(2013·广东高考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED ＝________.解析：∵tan ∠BCA ＝BA BC ＝33，所以∠BCA ＝30°，∠ECD ＝90°－∠BCA ＝60°.在Rt △BCE 中，CE ＝BC ·cos ∠BCA ＝3cos 30°＝332.在△ECD 中，由余弦定理得 ED ＝CE 2＋CD 2－2CE ·CD ·cos ∠ECD ＝⎝⎛⎭⎫3322＋(3)2－2×332×3×12＝212. 答案：2124.如图，在△ABC 中，F 为边AB 上的一点，BF AF ＝m n(m ，n >0)，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E .则BE EC＝________.解析：如图，作FG ∥BC 交AE 于点G ，则FG CE ＝FD DC ＝1，BE FG ＝AB AF ＝m ＋n n.两式相乘即得BE EC ＝m ＋n n. 答案：m ＋n n5．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ∶EB ＝1∶2，DE 与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6 cm 2，则△ABC 的面积为________ cm 2.解析：令E ＝a ，EF ＝b ，则12ab ＝6. 由题意知EB ＝2a .DF ＝3b .∴S △ABC ＝12·AB ·DE ＝12×3a ×4b ＝12×12ab ＝12×6＝72. 答案：72[课下提升考能]1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点O ，直线AO与DE 交于N ，AO 的延长线与BC 交于M ，若DN ∶MC ＝1∶4，则NE ∶BM ＝________，AE ∶EC ＝________.解析：∵OD OC ＝DN MC ＝14， OE OB ＝OD OC ＝14， ∴NE BM ＝OE OB ＝14，又DE BC ＝OD OC ＝14， ∴AE AC ＝DE BC ＝14， ∴AE ∶EC ＝1∶3.答案：1∶4 1∶32.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，下列条件能判定△ADE 与△ABC 相似的所有序号为________．①∠ADE ＝∠C ；②∠AED ＝∠B ；③AD AC ＝AE AB ；④DE BC ＝AE AB；⑤DE ∥BC .解析：由题图可知∠A 为公共角，由判定定理可知，①②正确；由∠A 为夹角可知，③正确；由平行线分线段成比例的定理的推论知⑤正确；④不符合两边及其夹角法．答案：①②③⑤3.在△ABC 中，EF ∥CD ，∠AFE ＝∠B ，AE ＝6，ED ＝3，AF ＝8，则AC ＝________，CD 2BC 2＝________. 解析：由EF ∥CD 可知，△AEF ∽△ADC .于是有AE AD ＝AF AC，由已知条件代入得，66＋3＝8AC，所以AC ＝12. 又由∠AFE ＝∠B ，得△AFE ∽△ABC ，从而△ACD ∽△ABC .所以CD BC ＝AD AC ＝6＋312＝34，即CD 2BC 2＝916. 答案：12 9164．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3.则△ACD 与△CBD 的相似比为________．解析：如图所示，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB ，由射影定理得：CD 2＝AD ·BD ，又∵AD ∶BD ＝2∶3，令AD ＝2x ，BD ＝3x (x >0)，∴CD 2＝6x 2，∴CD ＝6x .又∵∠ADC ＝∠BDC ＝90°，∴△ACD ∽△CBD .易知△ACD 与△CBD 的相似比为AD CD ＝2x 6x ＝63. 答案：6∶35.如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于________．解析：由题意知：BC ＝EC ，又∵E 为AB 的中点，∠ACB ＝90°，∴EC ＝12AB . 即BC ＝12AB .∴∠A ＝30°.答案：30°6.将三角形纸片ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF .已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′、F 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BF ＝________.解析：设BF ＝x .若△CFB ′∽△CBA ，则CF CB ＝B ′F AB ，即4－x 4＝x 3. ∴12－3x ＝4x ，∴x ＝127. 若△CFB ′∽△CAB ，则CF CA ＝B ′F AB，即4－x 3＝x 3，得x ＝2. 即BF ＝2或127. 答案：2或1277.如图，在▱ABCD 中，E 是DC 边的中点，AE 交BD 于O ，S △DOE ＝9cm 2，S △AOB ＝________.解析：∵在▱ABCD 中，AB ∥DE ，∴△AOB ∽△EOD ，∴S △AOB S △DOE ＝⎝⎛⎭⎫AB DE 2. ∵E 是CD 的中点，∴DE ＝12CD ＝12AB ，则AB DE ＝2，∴S △AOB S △DOE＝22＝4， ∴S △AOB ＝4S △DOE ＝4×9＝36(cm)2.答案：36 cm 28．已知如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∥EF ，E 是AB 的中点，EF交BD 于G ，交AC 于H .若AD ＝5，BC ＝7，则GH ＝________.解析：令BD 交AC 于M ，由AD ∥EF ∥BC 且AE ＝EB 知BG ＝GD ，AH ＝HC .又AD ＝5，BC ＝7.AD ∥BC 知BM MD ＝CM MA ＝BC AD ＝75. 又GM MD ＝HM MA ＝15.∴GH AD ＝15∴GH ＝1.答案：19．如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M分别交AD ，AC 于点E ，F .若AD ＝3AE ，则AF ∶FC ＝________.解析：延长ME 交CD 的延长线于点G ，则△AME ∽△DGE ，所以AE ED ＝AM DG ＝12，所以DG ＝2AM ＝DC .又△AMF ∽△CGF ，所以AF FC ＝AM CG ＝14. 答案：1410．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，∠ACB ＝70°，CF 是△ABC 的边AB 上的高，FP ⊥BC 于点P ，FQ ⊥AC 于点Q ，则∠CQP 的大小为________．解析：由FP ⊥BC ，FQ ⊥AC ，得C ，Q ，F ，P 四点共圆，所以∠CQP ＝∠CFP ＝∠B ＝180°－(∠A ＋∠C )＝180°－(60°＋70°)＝50°.答案：50°11．两个相似三角形面积的比为3∶5，已知较大的三角形大边上的高为3，则较小的三角形大边上的高为________．解析：相似三角形的面积比等于对应边上高的比的平方，易得所求的高为355. 答案：35512．如图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为________．解析：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ＝DE BC ＝23， EC AC ＝13. 又∵EF ∥CD ，∴DF AD ＝13. ∴AD ＝3.∴AB ＝32·AD ＝92. 答案：9213．如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．解析：将线段AD 与BC 延长交于点H (如图所示)．根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，可得S △HCD S △HEF ＝49，S △HCD S △HAB ＝416，故梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为7∶5.答案：7∶514．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，点D 在BC 边上，且CD ＝1.若∠CAD ＝∠B ，则BD ＝________.解析：作出草图，依据题意tan ∠CAD ＝tan ∠B ，即12＝21＋BD，∴BD ＝3. 答案：315．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE .连接ED 并延长交AB 于F ，交AH 于H .如果AB ＝4AF ，EH ＝8，则DF 的长为________．解析：∵AH ∥BE ，∴HF HE ＝AF AB. ∵AB ＝4AF ，∴HF HE ＝14， ∵HE ＝8，∴HF ＝2.∵AH ∥BE ，∴HD DE ＝AD DC. ∵D 是AC 的中点，∴HD DE＝1. ∵HE ＝HD ＋DE ＝8，∴HD ＝4，∴DF ＝HD －HF ＝4－2＝2.答案：216．如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的三等分点，AE的延长线交BC 于F ，则S △BEF S 四边形DEFC的值为________．解析：过D 点作DM ∥AF 交BC 于M ，因为DM ∥AF ，所以BF BM ＝BE BD ＝13，因为EF ∥DM ，所以S △BEFS △BDM ＝19，即S△BDM ＝9S △BEF ，又S △DMCS △BDM ＝23，即S △DMC ＝23S △BDM ＝6S △BEF ，所以S 四边形DEFC ＝14S △BEF ，因此S △BEFS 四边形DEFC ＝114.答案：11417．如图，在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AD 上的一点，延长BE 交AC 于点F .若AE AD ＝14，则AF AC 的值为________．解析：如图，过点A 作AG ∥BC ，交BF 的延长线于点G .∵AE AD ＝14，∴AE ED ＝13.又∵△AGE ∽△DBE ，∴AG BD ＝AE ED ＝13.∵D 为BC 中点，BC ＝2BD ，∴AG BC ＝16.∵△AGF ∽△CBF ，∴AF FC ＝AG BC ＝16，∴AF AC ＝17.答案：17。

2015届高考数学一轮总复习 6-4数列的综合问题与数列的应用

2015届高考数学一轮总复习 6-4数列的综合问题与数列的应用基础巩固强化一、选择题1．(文)若a 、b 、c 成等比数列，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定 [答案] A[解析] 由题意知，b 2＝ac >0，∴Δ＝b 2－4ac ＝－3ac <0，∴f (x )的图象与x 轴无交点． (理)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n 、a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64 [答案] D[解析] 依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32.又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64，故选D.2．(文)小正方形按照下图中的规律排列：每小图中的小正方形的个数就构成一个数列{a n }，有以下结论：①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列；③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n＝a n －1＋n (n ∈N *)，其中正确的为( )A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④[答案] D[解析] 观察图形可知a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.∴选D.(理)某同学在电脑中打出如下若干个圈：●○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2014个圈中的●的个数是( ) A ．60 B ．61 C ．62 D ．63 [答案] C[解析] 第一次出现●在第1个位置；第二次出现●在第(1＋2)个位置；第三次出现●在第(1＋2＋3)个位置；…；第n 次出现●在第(1＋2＋3＋…＋n )个位置．∵1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，当n ＝62时，n (n ＋1)2＝62×(62＋1)2＝1953,2014－1953＝61<63，∴在前2014个圈中的●的个数是62.3．(2012·沈阳市二模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2、a 4是方程x 2－x －2＝0的两个实数根，则S 5的值为( )A.52 B ．5 C ．－52 D ．－5 [答案] A[解析] ∵a 2、a 4是方程x 2－x －2＝0的两实根， ∴a 2＋a 4＝1，∴S 5＝5×(a 1＋a 5)2＝5(a 2＋a 4)2＝52.4．(文)已知{a n }为等差数列，{b n }为正项等比数列，公式q ≠1，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则( ) A ．a 6＝b 6 B ．a 6>b 6 C ．a 6a 1a 11＝b 6.(理)(2012·吉林省实验中学模拟)已知正数组成的等差数列{a n }的前20项的和是100，那么a 6·a 15的最大值是( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在 [答案] A[解析] 由条件知，a 6＋a 15＝a 1＋a 20＝110S 20＝110×100＝10，a 6>0，a 15>0，∴a 6·a 15≤(a 6＋a 152)2＝25，等号在a 6＝a 15＝5时成立，即当a n ＝5(n ∈N *)时，a 6·a 15取最大值25.5．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 29＝S 4000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，点Q (2015，a 2015)，则OP →·OQ →＝( )A ．2015B ．－2015C ．0D ．1[答案] A[解析] 由S 29＝S 4000得到S n 关于n ＝29＋40002＝2014.5对称，故S n 的最大(或最小)值为S 2014＝S 2015，故a 2015＝0，OP →·OQ →＝2015＋a n ·a 2015＝2015＋a n ×0＝2015，故选A.6．(2013·江南十校联考)已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2013＝( )A.2012－1B.2013－1C.2014－1D.2014＋1[答案] C[解析] 由f (4)＝2可得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12 .∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2013＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2013＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(2014－2013)＝2014－1. 二、填空题7．(文)已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝2，b 1＝1，a 2＝b 2,2a 4＝b 3，且存在常数α、β，使得a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则αβ＝________.[答案] 4[解析] 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋d ＝q ，2(2＋3d )＝q 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，d ＝0，(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝4，d ＝2.所以a n ＝2n ，b n ＝4n －1.若a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则满足2n ＝log α4n －1＋β，即2n ＝(n －1)log α4＋β，因此只有当α＝2，β＝2时上式恒成立，所以αβ＝4.(理)在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x ，则公比q 为________．[答案] 3[解析] ∵a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)|41＝(4＋42)－(1＋12)＝18，∴q 3＝a 4a 1＝27， ∴q ＝3.8．小王每月除去所有日常开支，大约结余a 元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a 元，存期1年(存12次)，到期取出本和息．假设一年期零存整取的月利率为r ，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．[答案] 78ar[解析] 依题意得，小王存款到期利息为12ar ＋11ar ＋10ar ＋…＋3ar ＋2ar ＋ar ＝12(12＋1)2ar ＝78ar 元．9．(文)已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为________．[答案]22[解析] 由2n ＝2m ＋n 和n 2＝m 2n 可得m ＝2，n ＝4，∴e ＝n －m n＝22. (理)已知双曲线a n －1y 2－a n x 2＝a n －1a n (n ≥2，n ∈N *)的焦点在y 轴上，一条渐近线方程是y ＝2x ，其中数列{a n }是以4为首项的正项数列，则数列{a n }的通项公式是________．[答案] a n ＝2n ＋1[解析] 双曲线方程为y 2a n －x 2a n －1＝1，∵焦点在y 轴上，又渐近线方程为y ＝2x ， ∴a na n －1＝2，又a 1＝4，∴a n ＝4×2n －1＝2n ＋1. 三、解答题10．(文)(2013·浙江萧山五校联考)已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数f ′(x )＝2x ＋2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n ·a n ，T n 是数列{b n }的前n 项和，求T n . [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ， ∴S n ＝n 2＋2n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n )－[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1，又a 1＝S 1＝3，适合上式，∴a n ＝2n ＋1. (2)b n ＝(2n ＋1)·2n ，∴T n ＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n ＋1)·2n ， ∴2T n ＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n ＋1)·2n ＋1，相减得－T n ＝3·21＋2·(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2·4·(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝(1－2n )·2n ＋1－2，∴T n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.(理)已知函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }和数列{b n }满足等式：a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n2n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝6x －2，∴a ＝3，b ＝－2，∵f (x )过原点，∴c ＝0，∴f (x )＝3x 2－2x .依题意得S n ＝3n 2－2n .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5， n ＝1时，a 1＝S 1＝1适合上式． ∴a n ＝6n －5(n ∈N *)． (2)∵a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n2n ，∴a n －1＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n －12n 1(n ≥2)．相减得b n2n ＝6，∴b n ＝6·2n (n ≥2)．b 1＝2a 1＝2，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)，6·2n (n ≥2).∴T n ＝2＋6(22＋23＋…＋2n )＝3·2n ＋2－22.能力拓展提升一、选择题11．椭圆x 24＋y 23＝1上有n 个不同的点P 1、P 2、…、P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于11000的等差数列，则n 的最大值为( )A ．2001B ．2000C ．1999D ．1998[答案] B[分析] 公差确定后，首项和末项之差越大，等差数列的项数就越多(即n 越大)，故P 1与P n 取长轴两端点时n 取最大值，可依据公差大于11000列不等式解． [解析] ∵|P n F |max ＝a ＋c ＝3，|P n F |min ＝a －c ＝1， d ＝a n －a 1n －1＝3－1n －1＞11000，n ∈N ，∴n max ＝2000，故选B.12．(文)数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，数列{b n }是等比数列，若a 1＝b 1，a 3＝b 3，a 7＝b 5，则b 11等于( )A ．a 63B ．a 36C ．a 31D ．a 13 [答案] A[解析] 设数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝a 1q 2，a 1＋6d ＝a 1q 4.得d ＝a 14(q 4－q 2)．∴a 1＋a 12(q 4－q 2)＝a 1q 2，∵q ≠1，∴q 2＝2，d ＝a 12，于是b 11＝a 1q 10＝32a 1.设32a 1＝a 1＋(n －1)·a 12，则n ＝63，∴b 11＝a 63.(理)(2013·河北教学质量监测)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －λ)(1a n ＋1)(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围为( )A ．λ>2B ．λ>3C ．λ<2D ．λ<3[答案] C[解析] 由已知可得1a n ＋1＝2a n ＋1，1a n ＋1＋1＝2(1a n ＋1)，1a 1＋1＝2≠0，则1a n ＋1＝2n ，b n ＋1＝2n (n －λ)，b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ≥2，n ∈N *)，b 1＝－λ也适合上式，故b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ∈N *)．由b n ＋1>b n ，得2n (n －λ)>2n －1(n －1－λ)，即λ<n ＋1恒成立，而n ＋1的最小值为2，故实数λ的取值范围为λ<2.13．(文)如图，是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是( )A.12B.23C.34D.45 [答案] C[解析] 循环过程为i ＝1<4→i ＝2，m ＝1，S ＝11×2； i ＝2<4→i ＝3，m ＝2，S ＝11×2＋12×3；i ＝3<4→i ＝4，m ＝3，S ＝11×2＋12×3＋13×4；i ＝4<4不成立，输出S 的值．故S ＝11×2＋12×3＋13×4＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14 ＝1－14＝34.(理)已知数列{a n }的各项均为正数，如图给出程序框图，当k ＝5时，输出的S ＝511，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2n －1C ．a n ＝2n ＋1D ．a n ＝2n －3[答案] B[解析] 由a i ＋1＝a i ＋2知数列{a n }是公差为2的等差数列，由M ＝1a i ai ＋1及S ＝S ＋M 知，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a i a i ＋1，由条件i ≤k 不满足时输出S 及输入k ＝5，输出S ＝511知，1a 1a 2＋1a 2a 3＋…1a 5a 6＝12[(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1a 3)＋…(1a 5－1a 6)]＝12(1a 1－1a 6)＝12(1a 1－1a 1＋10)＝5a 1(a 1＋10)＝511， ∵a 1>0，∴a 1＝1，∴a n ＝2n －1. 二、填空题14．(2013·广东佛山一模)我们可以利用数列{a n }的递推公式，求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a 24＋a 25＝________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．[答案] 28 640[解析] a 24＋a 25＝a 12＋25＝a 6＋25＝a 3＋25＝3＋25＝28. 5＝a 5＝a 10＝a 20＝a 40＝a 80＝a 160＝a 320＝a 640.15．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)，把数列{a n }的各项排列成如图所示的三角形数阵：2 22 23 24 25 26 27 28 29 210……记M (s ，t )表示该数阵中第s 行的第t 个数，则M (11,2)对应的数是________(用2n 的形式表示，n ∈N )．[答案] 257[解析] 由数阵的排列规律知，第m 行的最后一个数是数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋m ＝m (m ＋1)2项，且该行有m 项，由此可知第11行的第2个数是数列{a n }的第10×112＋2＝57项，对应的数是257.三、解答题16．(文)已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，记S n 为其前n 项和． (1)若a 2、a 3、a 6依次成等比数列，求其公比q .(2)若a 1＝1，证明点P 1⎝⎛⎭⎫1，S 11，P 2⎝⎛⎭⎫2，S 22，…，P n ⎝⎛⎭⎫n ，S nn (n ∈N *)在同一条直线上，并写出此直线方程．[解析] (1)∵a 2、a 3、a 6依次成等比数列， ∴q ＝a 3a 2＝a 6a 3＝a 6－a 3a 3－a 2＝3dd ＝3，即公比q ＝3.(2)证明：∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S nn ＝a 1＋n －12d ＝1＋n －12d . ∴点P n ⎝⎛⎭⎫n ，S n n 在直线y ＝1＋x －12d 上． ∴点P 1，P 2，…，P n (n ∈N *)都在过点(1,1)且斜率为d2的直线上．此直线方程为y －1＝d2(x －1)．即dx －2y ＋2－d ＝0.(理)在等差数列{a n }中，设S n 为它的前n 项和，若S 15>0，S 16<0，且点A (3，a 3)与B (5，a 5)都在斜率为－2的直线l 上，(1)求a 1的取值范围；(2)指出S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中哪个值最大，并说明理由．[解析] (1)由已知可得a 5－a 35－3＝－2，则公差d ＝－2，∴⎩⎨⎧S 15＝15a 1＋15×142×d ＝15(a 1－14)>0，S16＝16a 1＋16×152×d ＝16(a 1－15)<0.∴14<a 1<15. (2)最大的值是S 8a 8，∵S 15＝15a 8>0，S 16＝8(a 8＋a 9)<0， ∴a 8>0，a 9<0，即S 8最大．又当1≤i ≤8时，S i a i >0；当9≤i ≤15时，S ia i <0，∵数列{a n }递减，∴S 1a 1≤S 2a 2≤…≤S 8a 8，S 8a 8≥S 9a 9≥…≥S 15a 15⇒S 8a 8最大．考纲要求能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．补充说明1．等比数列综合问题的解题思路在解答等差、等比数列综合问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，往往能取得与“巧用性质”相同的解题效果，既要掌握“通法”，又要注重“特法”．2．通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，将数列拆为基本数列，或转化为基本数列求和．求和过程中同时要对项数作出准确判断．3．含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论．4．数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等．备选习题1．设正项等比数列{a n }的前n 项之积为T n ，且T 10＝32，则1a 5＋1a 6的最小值为( )A ．2 2 B. 2 C ．2 3 D. 3 [答案] B[解析] 由条件知，T 10＝a 1a 2…a 10＝(a 5a 6)5＝32，∵a n >0，∴a 5a 6＝2，∴1a 5＋1a 6＝12·a 5a 6·(1a 5＋1a 6)＝12(a 5＋a 6)≥12×2a 5a 6＝2，等号在a 5＝a 6＝2时成立． 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 6＋a 7>0是S 9≥S 3的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵S 9≥S 3⇔a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9≥0⇔3(a 6＋a 7)≥0⇔a 6＋a 7≥0，∴a 6＋a 7>0⇒a 6＋a 7≥0，但a 6＋a 7≥0⇒/ a 6＋a 7>0，故选A.3．已知数列{a n }、{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n 1－a 2n ，则b 2014＝( )A.20132014B.20142013C.20142015D.20152014 [答案] C[解析] ∵a n ＋b n ＝1，a 1＝12，∴b 1＝12，∵b n ＋1＝b n 1－a 2n ，∴b 2＝b 11－a 21＝23， ∴a 2＝13，b 3＝b 21－a 22＝34，a 3＝14，b 4＝b 31－a 23＝45，a 4＝15，…，观察可见a n＝1n ＋1，b n ＝n n ＋1，∴b 2014＝20142015，故选C.4．(2013·武汉调研)在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为a i ，j ，且满足a 1，j ＝2j －1，a i,1＝i ，a i ＋1，j ＋1＝a i ，j ＋a i ＋1，j (i ，j ∈N *)；又记第3行的3,5,8,13,22,39，…，为数列{b n }，则(1)(2)数列{b n }的通项公式为________． [答案] (1)129 (2)b n ＝2n －1＋n ＋1，n ∈N *5．已知f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n 为正偶数)且{a n }为等差数列，f (1)＝n 2，f (－1)＝n ，试比较f ⎝⎛⎭⎫12与3的大小，并证明你的结论．[解析] 由f (1)＝n 2，f (－1)＝n 得，a 1＝1，d ＝2.11 ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12＋3⎝⎛⎭⎫122＋5⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －1)· ⎝⎛⎭⎫12n ，两边同乘以12得，12f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122＋3⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －3)⎝⎛⎭⎫12n ＋(2n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1，两式相减得，12f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋2⎝⎛⎭⎫122＋2⎝⎛⎭⎫123＋…＋2⎝⎛⎭⎫12n －(2n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝12＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－(2n －1)12n ＋1. ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝3－2n ＋32n<3.。

2015高考数学一轮课件：第6章常考题型强化练——数列

n＝2,3,4，…，设 bn＝ a2n1 ＋1，n＝1,2,3，…，则数列{bn}的通项
公式是________.
解析由题意，得对于任意的正整数n，bn＝a2n1 ＋1，
∴bn＋1＝ a2n＋1，
又 a2n ＋1＝(
2a2n
2
＋1)＋1＝2( a2n1 ＋1)＝2bn，
∴bn＋1＝2bn，
第二十页，编辑于星期五：十三点四十八分。
解析当 n＝1 时，2a1＝S1＋1，得 a1＝1，
当 n≥2 时，2(an－an－1)＝Sn－Sn－1＝an，所以aan－n 1＝2，所以 an＝2n－1，
又因为 a1＝1 适合上式，所以 an＝2n－1，所以 a2n＝4n－1，
所以数列{a2n}是以 a21＝1 为首项，以 4 为公比的等比数列，所以 a21＋a22＋…＋a2n＝1×1－1－44n＝13(4n－1)，
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝12(4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n) ＝4n＋61－4＋n2＋n＝23×4n＋n2＋n－23.
第十四页，编辑于星期五：十三点四十八分。
A组专项基础训练
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10.已知等差数列{an}的前三项为 a－1,4,2a，记前 n 项和为 Sn. (1)设 Sk＝2 550，求 a 和 k 的值； (2)设 bn＝Snn，求 b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1 的值.
数学粤（理）
常考题型强化练——数列
第一页，编辑于星期五：十三点四十八分。
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2015届高考数学大一轮复习(2009-2013高考题库)第1章第2节命题及其关系、充分条件与必要条件理新人教A版

2009~2013年高考真题备选题库第1章集合与常用逻辑用语第2节命题及其关系、充分条件与必要条件考点一命题及其关系1．（2013陕西，5分）设z 是复数，则下列命题中的假命题是( )A ．若z 2≥0，则z 是实数B ．若z 2＜0，则z 是虚数C ．若z 是虚数，则z 2≥0D ．若z 是纯虚数，则z 2＜0解析：本题主要考查复数的分类，复数代数形式的运算及命题真假的判断．实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由z 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2－b 2≥0，则b ＝0，故选项A 为真，同理选项B 为真；而选项C 为假，选项D 为真．答案：C2．（2013天津，5分）已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号为( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③解析：本题考查命题真假的判断，意在考查考生的逻辑推理能力．若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18，所以①是真命题；因为标准差除了与平均数有关，还与各数据有关，所以②是假命题；因为圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离等于12，等于圆的半径，所以③是真命题．故真命题的序号是①③.答案：C3．（2013四川，5分）设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点．在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段 AB 上的任意点都是端点A ，B 的中位点．现有下列命题： ①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：本题主要考查求函数最值，两点间的距离公式，建立坐标系，以及不等式的放缩等基础知识和基本技能，意在考查综合运用知识分析和解决问题的能力，推理论证和运算求解能力．对于①，不妨假设A ，C ，B 三点在平面直角坐标系xOy 中的x 轴上由左至右排列，A (0,0)，C (c,0)，B (b,0)，0＜c ＜b ，对于平面内任意一点M (x ，y )，|MA |＋|MB |＋|MC |＝x 2＋y 2＋(x －b )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2≥|x |＋|x －b |＋|x －c |.因为0＜c ＜b ，所以当x ＝c 时，(|MA |＋|MB |＋|MC |)min ＝b ，此时M (c,0)，也就是M 点与C 点重合，故①正确；对于②，设△ABC 中∠C 为直角，以C 为原点，CA ，CB 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系xOy ，并设点A (a,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0，M (x ，y )为平面内任意一点，AB 中点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，则|MA |＋|MB |＋|MC |＝ (x －a )2＋y 2＋x 2＋(y －b )2＋ x 2＋y 2，当x ＝a 2，y ＝b 2时，|MA |＋|MB |＋|MC |＝32 a 2＋b 2，而当x ＝0，y ＝0时，|MA |＋|MB |＋|MC |＝a ＋b ，因为94(a 2＋b 2)－(a ＋b )2＝5a 2＋5b 2－8ab 4≥12ab ＞0，所以斜边的中点不是该直角三角形三个顶点的中位点，故②错误；对于③，不妨假设A ，B ，C ，D 四点在平面直角坐标系xOy 中的x 轴上由左至右排列，A (0,0)，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)，0＜b ＜c ＜d ，对于平面内任意一点M (x ，y )，|MA |＋|MB |＋|MC |＋|MD |＝x 2＋y 2＋(x －b )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋(x －d )2＋y 2≥|x |＋|x －b |＋|x －c |＋|x －d |，因为0＜b ＜c ＜d ，所以当x ∈[b ，c ]时，|MA |＋|MB |＋|MC |＋|MD |取得最小值，此时M (x,0)，x ∈[b ，c ]，不唯一，故③错误；对于④，由①可知A ，C 的中位点为线段AC 之间的任意一点，B ，D 的中位点为线段BD 之间的任意一点，所以A ，B ，C ，D 的中位点为线段AC 与线段BD 的交点，也就是梯形对角线的交点，故④正确．答案为①④.答案：①④4．（2012湖南，5分）命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．答案：C5．（2012江西，5分）下列命题中，假命题为( )A ．存在四边相等的四边形不是正方形B ．z 1，z 2∈C ，z 1＋z 2为实数的充分必要条件是z 1，z 2互为共轭复数C ．若x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 至少有一个大于1D ．对于任意n ∈N ＋，C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n 都是偶数解析：空间四边形可能四边相等，但不是正方形，故A 为真命题；令z 1＝1＋b i ，z 2＝3－b i(b ∈R )，显然z 1＋z 2＝4∈R ，但z 1，z 2不互为共轭复数，B 为假命题；假设x ，y 都不大于1，则x ＋y >2不成立，故与题设条件“x ＋y >2”矛盾，假设不成立，故C 为真命题；C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n 为偶数，故D 为真命题．排除A ，C ，D ，选B.答案：B6．（2011新课标全国，5分）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈[0，2π3) p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈(2π3，π] p 3：|a －b |>1⇔θ∈[0，π3) p 4：|a －b |>1⇔θ∈(π3，π] 其中的真命题是( )A ．p 1，p 4B ．p 1，p 3C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：由|a ＋b |>1可得：a 2＋2a ·b ＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b >－12.故θ∈[0，2π3)．当θ∈[0，2π3)时，a ·b >－12，|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2>1，即|a ＋b |>1；由|a －b |>1可得：a 2－2a ·b ＋b 2>1，∵|a |＝1，|b |＝1，∴a ·b <12.故θ∈(π3，π]，反之也成立．答案：A7．（2011陕西，5分）设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a|＝|b|”的逆命题是( )A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b|B ．若a ＝－b ，则|a|≠|b|C ．若|a|≠|b|，则a ≠－bD ．若|a|＝|b |，则a ＝－b解析：只需将原命题的结论变为新命题的条件，同时将原命题的条件变成新命题的结论即可，即“若|a|＝|b|，则a ＝－b .”答案：D8．（2010天津，5分）命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是( )A ．若f (x )是偶函数，则f (－x )是偶函数B ．若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数C ．若f (－x )是奇函数，则f (x )是奇函数D ．若f (－x )不是奇函数，则f (x )不是奇函数解析：否命题是既否定题设又否定结论．因此否命题应为“若函数f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数”．答案：B考点二充分条件与必要条件1．（2013山东，5分）给定两个命题p ，q .若綈 p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈 q的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题考查命题、逻辑联结词及充分、必要条件等基础知识，考查等价转化的数学思想，考查分析问题和解决问题的能力．q ⇒綈p 等价于p ⇒綈q ，綈p ⇒/ q 等价于綈q ⇒/ p ，故p 是綈q 的充分而不必要条件．答案： A2．（2013安徽，5分）“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题考查二次函数图象性质以及图象变换，意在考查转化与化归思想．根据二次函数的图象可知f (x )在(0，＋∞)内单调递增等价于f (x )＝0在区间(0，＋∞)内无实根，本题不难求解．f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增等价于f (x )＝0在区间(0，＋∞)内无实根，即a ＝0或1a<0，也就是a ≤0，故“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增”的充要条件，故选C.答案： C3．（2013福建，5分）已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题考查集合与充分必要条件等基础知识，意在考查考生转化和化归能力、逻辑推理能力和运算求解能力．因为A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以A ⊆B ⇒/ a ＝3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分而不必要条件．答案： A4．（2013浙江，5分）已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题考查对必要条件、充分条件与充要条件的理解，考查三角函数的诱导公式、三角函数的奇偶性等，意在考查考生的推理能力以及三角函数性质的掌握等．若f (x )是奇函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )，且当φ＝π2时，f (x )为奇函数．答案： B5．（2013北京，5分）“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题考查三角函数的诱导公式、三角函数的性质、充要条件的判断等基础知识和基本方法，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．由sin φ＝0可得φ＝k π(k ∈Z )，此为曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．答案： A6．（2012陕西，5分）设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b i为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：复数a ＋b i＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0；而ab ＝0表示a ＝0或者b ＝0，故“ab ＝0”是“复数a ＋b i为纯虚数”的必要不充分条件．答案：B7．（2011福建，5分）若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：若“a ＝2”，则“(a －1)(a －2)＝0”，即a ＝2⇒(a －1)·(a －2)＝0.若“(a －1)(a －2)＝0”，则“a ＝2或a ＝1”；故(a －1)(a －2)＝0不一定能推出a ＝2.答案：A8．（2011湖南，5分）设集合M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：显然a ＝1时一定有N ⊆M ，反之则不一定成立，如a ＝－1.故是充分不必要条件．答案：A9．（2010辽宁，5分）已知a >0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是( )A ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0 B ．∃x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0 C ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0 D ．∀x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0 解析：设函数f (x )＝12ax 2－bx ， ∴f ′(x )＝ax －b ，由已知可得f ′(x 0)＝ax 0－b ＝0，又因为a >0，所以可知x 0是函数f (x )的极小值点，也是最小值点．由最小值定义可知选项C 正确．答案：C10．（2010陕西，5分）对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为a n ＋1>|a n |⇒a n ＋1>a n ⇒{a n }为递增数列，但{a n }为递增数列⇒a n ＋1>a n 推不出a n ＋1>|a n |，故“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．答案：B11．(2009·安徽，5分)下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是( )A ．p ：a ＋c >b ＋d ， q ：a >b 且c >dB ．p ：a >1，b >1，q ：f (x )＝a x －b (a >0，且a ≠1)的图象不过第二象限C ．p ：x ＝1, q ：x 2＝xD ．p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数解析： ⎭⎬⎫a >bc >d ⇒a ＋c >b ＋d (不等式的性质)，反之不成立，例如：8＋2>6＋3，a ＝8，b ＝2，c ＝6，d ＝3.a >b 但c <d ，∴p 是q 的必要不充分条件．答案：A12．(2009·浙江，5分)已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：a>0，b>0时显然有a＋b>0且ab>0，充分性成立；反之，若a＋b>0且ab>0，则a，b同号且同正，即a>0，b>0.必要性成立．答案：C13．（2011陕西，5分）设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n ＝________.解析：由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1、2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1、3；当n＝4时，方程有正整数解2.答案：3或4。

【高考考案】2015届高考数学第一轮复习第六单元总结课件文

0≤→ OA ·→ OP≤1， → → → → ∵OA· OP＝y， OB· OP＝x＋y，又 ∴ OB·→ OP≤2， 0≤→
0≤y≤1，设点 0≤x＋y≤2，
P(x＋y，y)为 P(x0，y0)，则 x0＝x＋y，
0≤y0≤1， y0＝y，则可得作出可行域，结合图形得其面积 0≤x0≤2，
x ＋ ≥2＋2 3y
3y x 3y x · ＝4，当且仅当＝，且 x 3y x 3y
1 1 1 1 x＋3y＝1，即 x＝，y＝时取等号，∴ ＋的最小值 2 6 x 3y 为 4. A 6．设向量→ OA＝(0，1)，→ OB＝(1，1)，O 为坐标原点，
0≤→ OA·→ OP≤1，动点 P(x，y)满足则点(x＋y，y)构成的图 OB·→ OP≤2， 0≤→ 形的面积为( )． 1 A.至问题获得解决．本题采用特值探路，通过有关函数、方程、不等式知识与方法的相互转化，体现了特殊化方法和转化与化归思想的应用． 4 (2013 年浙江卷)设 a，b∈R，若 x≥0 时恒有 0≤x 3 2 2 －x ＋ax＋b≤(x －1) ，则 ab＝________. 取 x＝0 得 0≤b≤1，取 x＝1，得 0≤a＋b≤0，所以 b＝－a，所以 0≤x4－x3＋ax－a≤(x2－1)2，0≤(x3＋a)(x－1) ≤(x2－1)2. 当 0≤x≤1 时， x3＋a≥(x2－1)(x＋1)，即 a≥x2－x－1，所以 a≥－1. 当 x≥1 时，x3＋a≤(x2－1)(x＋1)，即 a≤x2－x－1.
1 1 b b＋1 A．a＋ >b＋ B. > b a a a＋1 1 1 2a＋b a C．a－ >b－ D. > b a a＋2b b 1 1 1 1 ∵a>b>0，∴ > ，∴a＋ >b＋ .

【步步高】2015届高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)4.6 正弦定理、余弦定理及解

§4.6正弦定理、余弦定理及解三角形1．正弦、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2Ra2＝b2＋c2－2bc cos_A；b2＝c2＋a2－2ca cos_B；c2＝a2＋b2－2ab cos_C变形(1)a＝2R sin A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；(2)sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c2R；(3)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(4)a sin B＝b sin A，b sin C＝c sinB，a sin C＝c sin Acos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝c2＋a2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab2.S△ABC＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.3．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<ab解的个数一解两解一解一解4.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC 中，A >B 必有sin A >sin B ．( √ )(2)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值X 围是(3，2)．( √ )(3)若△ABC 中，a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是等腰三角形．( √ ) (4)在△ABC 中，tan A ＝a 2，tan B ＝b 2，那么△ABC 是等腰三角形．( × )(5)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )2．(2013·某某)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A等于( ) A.π12B.π6C.π4D.π3 答案 D解析在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.3．(2013·某某)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sinA ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．答案 27解析由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)，其中tan α＝32，α是第一象限角，由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角，因此AB ＋2BC 有最大值27.5．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km. 答案 30 2解析如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．题型一正、余弦定理的简单应用例1 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，则sin B ＋sin C 的最大值为() A ．0 B ．1 C.12D. 2思维启迪 (1)由sin C ＝23sin B 利用正弦定理得b 、c 的关系，再利用余弦定理求A . (2)要求sin B ＋sin C 的最大值，显然要将角B ，C 统一成一个角，故需先求角A ，而题目给出了边角之间的关系，可对其进行化边处理，然后结合余弦定理求角A . 答案 (1)A (2)B解析 (1)∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理得c ＝23b ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.(2)已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又A 为三角形的内角，∴A ＝120°.故sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B )＝32cos B ＋12sin B ＝sin(60°＋B )，故当B ＝30°时，sin B ＋sin C 取得最大值1.思维升华 (1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的X 围限制．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( ) A.725B ．－725C ．±725D.2425(2)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________．答案 (1)A (2)π6解析 (1)由正弦定理b sin B ＝csin C ，将8b ＝5c 及C ＝2B 代入得bsin B ＝85b sin 2B ，化简得1sin B ＝852sin B cos B ，则cos B ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×(45)2－1＝725，故选A.(2)∵A ＋C ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.由正弦定理知：sin A ＝a sin B b ＝12，又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.题型二正弦定理、余弦定理的综合应用例2 (2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sinC －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .思维启迪利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ；面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c .解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.思维升华有关三角形面积问题的求解方法： (1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化．(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A <π， ∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．题型三解三角形的实际应用例3某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．思维启迪本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，然后解三角形．解如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋92t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h ．此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)．即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮．思维升华求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长．解题中注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，注意不要把角的含义弄错，不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ，所以∠ACB ＝30°.由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°.在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ，由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)，解得cos θ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.代数式化简或三角运算不当致误典例：(12分)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．易错分析 (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形； (2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解； (3)结论表述不规X ．规X 解答解 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2，即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．[4分]方法一由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .[8分]在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分] 方法二由正弦定理、余弦定理得： a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分]温馨提醒 (1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子然后判断；注意不要轻易两边同除以一个式子．(2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的X 围对三角函数值的影响．方法与技巧1．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sinB ·sinC ·cos A ，可以进行化简或证明． 3．合理利用换元法、代入法解决实际问题．失误与防X1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的X 围的限制.A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1．在△ABC ，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．30°或150° 答案 A解析在△ABC 中，AB sin C ＝BC sin A ，∴2sin C ＝2sin 45°，∴sin C ＝12，又AB <BC ，∴∠C <∠A ，故∠C ＝30°.2．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形答案 A解析依题意得sin Csin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形．3．(2012·某某)△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62 D.3＋394答案 B解析设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)． ∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 4．(2013·某某)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 A解析由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12， ∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6. 5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝c (b ＋2c )，若a ＝6，cos A＝78，则△ABC 的面积等于( ) A.17B.15C.152D ．3 答案 C解析 ∵b 2＝c (b ＋2c )，∴b 2－bc －2c 2＝0，即(b ＋c )·(b －2c )＝0，∴b ＝2c .又a ＝6，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝78，解得c ＝2，b ＝4. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×1－(78)2＝152. 二、填空题6．(2013·某某)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sinB ，则角C ＝________.答案 2π3 解析由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3. 7．在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则a ＝________. 答案 210解析由tan A ＝2得sin A ＝2cos A .又sin 2A ＋cos 2A ＝1得sin A ＝255. ∵b ＝5，∠B ＝π4，根据正弦定理，有a sin A ＝b sin B， ∴a ＝b sin A sin B ＝2522＝210. 8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在点A 的同侧的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为________．答案 50 2 m解析由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC sin B，所以AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B＝50×2212＝50 2. 三、解答题9．(2013·)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值；(2)求c 的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A， ∴cos A ＝63. (2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63 则c 2－8c ＋15＝0.∴c ＝5或c ＝3.当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C .由A ＋B ＋C ＝π，知B ＝π2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾． ∴c ＝3舍去．故c 的值为5.10．(2013·某某)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值X 围．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0，即3cos B ＝sin B .因为00，所以cos B >0，所以tan B ＝3，即B ＝π3. (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 22 ＝14(a ＋c )2＝14， ∴b ≥12. 又a ＋c >b ，∴b <1，∴12≤b <1. B 组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则b a等于( )A ．23B ．22C.3D. 2答案 D解析 ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，∴sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A ，∴b a ＝sin B sin A＝ 2. 2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°答案 C解析如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°，∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝AB sin 10°， ∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°. 3．(2013·某某)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________.答案 63解析因为sin ∠BAM ＝13，所以cos ∠BAM ＝223.如图，在△ABM 中，利用正弦定理，得BM sin ∠BAM ＝AM sin B，所以BM AM ＝sin ∠BAM sin B ＝13sin B ＝13cos ∠BAC . 在Rt △ACM 中，有CM AM＝sin ∠CAM ＝sin(∠BAC －∠BAM )．由题意知BM ＝CM ，所以13cos ∠BAC＝sin(∠BAC －∠BAM )．化简，得22sin ∠BAC cos ∠BAC －cos 2∠BAC ＝1.所以22tan ∠BAC －1tan 2∠BAC ＋1＝1，解得tan ∠BAC ＝ 2. 再结合sin 2∠BAC ＋cos 2∠BAC ＝1，∠BAC 为锐角可解得sin ∠BAC ＝63. 4．(2012·某某)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a .(1)求证：B －C ＝π2； (2)若a ＝2，求△ABC 的面积．(1)证明由b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ， sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝⎛⎭⎫22sin B ＋22cos B ＝22，整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1. 由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2. (2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8. 由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12. 5．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值．(1)求f (x )的值域及周期；(2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3. 因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，所以T ＝2π2＝π. 又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]，所以f (x )的值域为[－2,2]．(2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π，故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值，所以A ＝512π，所以C ＝π4. 由正弦定理，知3sin π3＝c sin π4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34.。

2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第6章不等式、推理与证明及不等式选讲第1节

[课堂练通考点]1．“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由1≤x ≤4可得1≤x 2≤16，但由1≤x 2≤16可得1≤x ≤4或－4≤x ≤－1，所以“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的充分不必要条件．2．(2013·昆明质检)若a 1bB ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1 D ．a n >b n解析：选C 取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验选项可知，仅C 选项成立．3．在所给的四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0中，能推出1a <1b成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C 1a <1b 成立，即b －a ab<0成立，逐个验证可得，①②④满足题意． 4．设a ，b 是非零实数，若a 0，ab 符号不确定，所以ab 2与a 2b 的大小不能确定，故B 错．因为1ab 2－1a 2b ＝a －b a 2b 2<0，所以1ab 2<1a 2b，故C 正确． D 项中b a 与a b的大小不能确定． 5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)．解析：①若c ＝0则命题不成立．②正确．③中由2c >0知成立．答案：②③6．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2. ∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0. ∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( )A ．－n ＜m ＜n ＜－mB ．－n ＜m ＜－m ＜nC ．m ＜－n ＜－m ＜nD ．m ＜－n ＜n ＜－m解析：选D 法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n ＜0⇒m ＜－n ⇒n ＜－m ，又由于m ＜0＜n ，故m ＜－n ＜n ＜－m 成立．2．(2014·黄冈质检)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( )A ．xy >yzB ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：选C 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z ，可得xy >xz . 3．(2013·西安模拟)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，5π6 B.⎝⎛⎭⎫－π6，5π6 C ．(0，π) D.⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析：选D 由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0， ∴－π6<2α－β3<π.4．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2|a ＋b |解析：选D ∵1a <1b<0，∴0>a >b . ∴a 2|b |；②a b 3.其中不正确的不等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选C 由1a <1b<0可得b <a <0，从而|a |<|b |，①不正确；a >b ，②不正确；a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，③正确；a 3>b 3，④正确．故不正确的不等式的个数为2.6．(2014·扬州期末)若a 1<a 2，b 10，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 17．若1＜α＜3，－4＜β ＜2，则α－|β|的取值范围是________．解析：∵－4＜β ＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.答案：(－3,3)8．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________．解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<11无解．综上可得b <－1.答案：(－∞，－1)9．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e (a －c )2>e (b －d )2. 证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0.又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0.∴(a －c )2>(b －d )2>0.∴0<1(a －c )2<1(b －d )2. 又∵e <0，∴e (a －c )2>e (b －d )2. 10．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人．(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？解：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元．则y ＝2 000＋60x 800＋ax(a ∈N *,1≤x ≤10)．假设会超过3万元，则2 000＋60x 800＋10x＞3，解得x ＞403＞10. 所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元．(2)设1≤x 1＜x 2≤10，则f (x 2)－f (x 1)＝2 000＋60x 2800＋ax 2－2 000＋60x 1800＋ax 1＝(60×800－2 000a )(x 2－x 1)(800＋ax 2)(800＋ax 1)＞0，所以60×800－2 000a ＞0，得a ＜24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人．第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·济南调研)设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为( )A ．n >m >pB ．m >p >nC ．m >n >pD ．p >m >n解析：选B 因为a >1，所以a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0，即a 2＋1>2a ，又2a >a －1，所以由对数函数的单调性可知log a (a 2＋1)>log a (2a )>log a (a －1)，即m >p >n .2．(2014·北京西城区期末)已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b .其中一定成立的不等式为( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④解析：选A由a>b>0可得a2>b2，①正确；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴2a>2b－1，②正确；∵a>b>0，∴a>b，∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b(a－b)>0，∴a－b>a－b，③正确；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④错误．。

2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透：第6章不等式、推理与证明及不等式选讲第3节

[课堂练通考点]1．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －1<1的解集为( )A{x |0<x <1}∪{x |x >1} B ．{x |0<x <1} C ．{x |－1<x <0} D ．{x |x <0} 解析：选D ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －1＝|x ＋1||x －1|<1，∴|x ＋1|<|x －1|， ∴x 2＋2x ＋1<x 2－2x ＋1， ∴x <0.2．若不等式⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<a <3 B ．a >1 C ．a <3D ．a <1解析：选A ∵⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，∴|a －2|＋1<2，即|a －2|<1，解得1<a <3. 3．(2013·江西高考)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________．解析：依题意得－1≤|x －2|－1≤1，即|x －2|≤2，解得0≤x ≤4. 答案：[0,4]4．(2013·重庆高考)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．解析：|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8. 答案：(－∞，8]5．(2014·哈师大附中模拟)设函数f (x )＝|x －a |＋2x ，其中a >0. (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥2x ＋1的解集；(2)若x ∈(－2，＋∞)时，恒有f (x )>0，求a 的取值范围．解：(1)a ＝2时，|x －2|＋2x ≥2x ＋1，∴|x －2|≥1，∴x ≥3或x ≤1. ∴不等式的解集为(－∞，1]∪[3，＋∞)．(2)依题意，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －a ，x ≥a ，x ＋a ，x <a ，∵a >0，∴当x >－2时，f (x )≥x ＋a >－2＋a ，要使f (x )>0，只需－2＋a ≥0即可，∴a ≥2.故a 的取值范围为[2，＋∞)．[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．如果|x －a |<ε2，|y －a |<ε2，则一定有( )A ．|x －y |<εB ．|x －y |>εC ．|x －y |<ε2D ．|x －y |>ε2解析：选A |x －y |＝|(x －a )＋(a －y )|≤|x －a |＋|y －a |<ε，即|x －y |<ε. 2．不等式2<|x ＋1|<4的解集为( ) A ．(1,3) B ．(－5，－3)∪(0,3) C ．(－5,0)D ．(－5，－3)∪(1,3)解析：选D ∵2<|x ＋1|<4， ∴2<x ＋1<4或－4<x ＋1<－2， ∴1<x <3或－5<x <－3.3．(2014·哈尔滨模拟)不等式|x ＋1|>|2x －3|－2的解集为( ) A ．(－∞，－6) B ．(－6,0) C ．(0,6)D ．(6，＋∞)解析：选C 原不等式等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－(x ＋1)>－(2x －3)－2 或②⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <32，x ＋1>－(2x －3)－2或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≥32，x ＋1>2x －3－2.不等式组①的解集为∅，不等式组②的解集为⎝⎛⎭⎫0，32，不等式组③的解集为⎣⎡⎭⎫32，6，因此原不等式的解集为(0,6)．4．不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]解析：选A 由绝对值的几何意义易知：|x ＋3|＋|x －1|的最小值为4，所以不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.5．已知不等式|a －2x |>x －1，对任意x ∈[0,2]恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，1)∪(5，＋∞) B ．(－∞，2)∪(5，＋∞) C ．(1,5)D ．(2,5)解析：选B 当0≤x <1时，不等式|a －2x |>x －1对a ∈R 恒成立；当1≤x ≤2时，不等式|a －2x |>x －1，即a －2x <1－x 或a －2x >x －1，x >a －1或3x <1＋a ，由题意得1>a －1或6<1＋a ，a <2或a >5；综上所述，则a 的取值范围为(－∞，2)∪(5，＋∞)．6．若关于x 的不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a 的值为________．解析：由题意可知，－1和2都是|ax ＋2|＝6的根，所以|－a ＋2|＝6且|2a ＋2|＝6，解得a ＝－4.答案：－47．(2014·青岛一模)不等式|2x ＋1|－|x －4|>2的解集是________．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－(2x ＋1)＋(x －4)>2，或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x ≤4，(2x ＋1)＋(x －4)>2，或⎩⎪⎨⎪⎧x >4，(2x ＋1)－(x －4)>2，解得x ∈(－∞，－7)∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞. 答案：(－∞，－7)∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞8．(2014·西安检测)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，则m 的取值范围为________．解析：函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立．因为对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，所以m <5，即m 的取值范围是(－∞，5)．答案：(－∞，5)9．(2013·福建高考)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．解：(1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，解得12<a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号．所以f (x )的最小值为3.10．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )≤3得，|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2，所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5. 综上可得，g (x )的最小值为5.从而若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．第Ⅱ组：重点选做题1．(2013·广州一模)若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m |>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意知，不等式|x －1|＋|x ＋m |>3恒成立，即函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋m |的最小值大于3，根据不等式的性质可得|x －1|＋|x ＋m |≥|(x －1)－(x ＋m )|＝|m ＋1|，故只要满足|m ＋1|>3即可，所以m ＋1>3或m ＋1<－3，解得m 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－4)∪(2，＋∞)2．(2013·湖北八校联考)若不等式|x ＋1|－|x －4|≥a ＋4a ，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：只要函数f (x )＝|x ＋1|－|x －4|的最小值不小于a ＋4a 即可．由于||x ＋1|－|x －4||≤|(x＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x ＋1|－|x －4|≤5，故只要－5≥a ＋4a 即可．当a >0时，将不等式－5≥a ＋4a 整理，得a 2＋5a ＋4≤0，无解；当a <0时，将不等式－5≥a ＋4a 整理，得a 2＋5a ＋4≥0，则有a ≤－4或－1≤a <0.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．答案：(－∞，－4]∪[－1,0)。

2015届高考数学一轮总复习 6-1数列的概念

2015届高考数学一轮总复习 6-1数列的概念基础巩固强化一、选择题1．给定数列1,2＋3＋4,5＋6＋7＋8＋9,10＋11＋12＋13＋14＋15＋16，…，则这个数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝2n 2＋3n －1B ．a n ＝n 2＋5n －5C ．a n ＝2n 3－3n 2＋3n －1D ．a n ＝2n 3－n 2＋n －2 [答案] C[解析] 当n ＝1时，a 1＝1，否定A 、D.当n ＝3时，a 3＝35，否定B ，故选C. 2．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1，则{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4 n ＝1，2n －1 n ≥2.D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4 n ＝1，2n ＋1 n ≥2.[答案] D[解析] a 1＝S 1＝4，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4 n ＝1，2n ＋1 n ≥2.3．(文)(2013·北京海淀区期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 [答案] B[解析] ∵a 1＝19，a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴a n＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设{a n }的前k 项和数值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a k ≥0，a k ＋1<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－3(k ＋1)<0，∴193≤k <223，∵k ∈N *，∴k ＝7.∴满足条件的n 的值为7. (理)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{na n }中数值最小的项是( ) A ．第2项 B ．第3项 C ．第4项 D ．第5项[答案] B[解析] n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－10n )－[(n －1)2－10(n －1)]＝2n －11，令b n ＝na n ，则b n ＝n (2n －11)＝2(n －114)2－1218，∵n ∈N *，∴n ＝3时，b n 取最小值．4．(文)(2012·西安模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N ＋)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38[答案] C[解析] ∵a n a n －1＝a n －1＋(－1)n ， ∴a 2a 1＝a 1＋1， a 3a 2＝a 2－1， a 4a 3＝a 3＋1， a 5a 4＝a 4－1，∵a 1＝1，∴a 2＝2，a 3＝12，a 4＝3，a 5＝23，∴a 3a 5＝34. (理)(2013·德州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝45，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ≤12，2a n－1，12<a n≤1，则a 2012等于( )A.45B.35C.25D.15 [答案] C[解析] ∵a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12<a n≤1，又a 1＝45，∴a 2＝2×45－1＝35，a 3＝2×35－1＝15，a 4＝2×15＝25，a 5＝2×25＝45，∴数列{a n }以4为周期， ∵20124＝503，∴a 2012＝a 4＝25.5．(文)(2012·佛山质检)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5B.72C.92D.132[答案] B[解析] ∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×(－32)＋10×2＝72.(理)(2013·池州一模)数列{a n }的通项公式a n ＝2n ·sin(n π2－π3)＋3n cos n π2，前n 项和为S n ，则S 2013＝( )A ．1007B ．－1007C ．2013D ．－2013[答案] B[解析] a n ＝2n sin(n π2－π3)＋3n cos n π2＝n sin n π2.由函数y ＝sin π2x 的周期是4，且a 1＝1，a 2＝2×0＝0，a 3＝3×(－1)＝－3，a 4＝4×0＝0，归纳可知数列{a n }从第一项开始依次每相邻四项之和是一个常数－2，即a i ＋a i ＋1＋a i ＋2＋a i ＋3＝－2(i ＝4k ＋1，k ∈N )，所以S 2013＝2013－14×(－2)＋2013＝－1007，故选A.6．(文)已知x 与函数f (x )的对应关系如下表所示，数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝f (a n )，则a 2014＝( )A.3 B ．2 C ．[答案] A[解析] ∵a 1＝3，∴a 2＝f (a 1)＝f (3)＝1，∴a 3＝f (a 2)＝f (1)＝2，a 4＝f (a 3)＝f (2)＝3，∴数列{a n }为周期数列，周期T ＝3，∴a 2014＝a 1＝3，故选A.(理)若数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝3，a n ＝a n －1a n －2(n ≥3且n ∈N *)，则a 2014等于( )A ．3B ．2 C.12 D.23[答案] C[解析] a 1＝2，a 2＝3，a 3＝a 2a 1＝32，a 4＝a 3a 2＝12，依次可得a 5＝13，a 6＝23，a 7＝2，a 8＝3，a 9＝32…，可见{a n }是周期为6的周期数列．∴a 2014＝a 4＝12，故选C.[点评] 数列是函数，故可用研究函数的方法加以讨论，由a n ＝a n －1a n －2(n ≥3，n ∈N *)知，a n ＋1＝a na n －1＝a n －1a n －2a n －1＝1a n －2，∴a n ＋3＝1a n (n ∈N *)，∴a n ＋6＝a n ，故{a n }周期为6.二、填空题7．(文)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝sin n π2，则S 2014＝________.[答案] 1[解析] 依题意得，数列{a n }是以4为周期的周期数列，且a 1＝1，a 2＝0，a 3＝－1，a 4＝0，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，注意到2014＝4×503＋2，因此S 2014＝0×503＋a 1＋a 2＝1.(理)(2012·湖北文，17)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：b 2012是数列{a n }中的第________项．[答案] 5030[解析] 由前四组可以推知a n ＝n (n ＋1)2，b 1＝a 4＝10，b 2＝a 5＝15，b 3＝a 9＝45，b 4＝a 10＝55，依次可知，当n ＝4,5,9,10,14,15,19,20,24,25，…时，a n 能被5整除，由此可得，b 2k ＝a 5k (k ∈N *)，∴b 2012＝a 5×1006＝a 5030.8．(文)已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n (n ≥2)，则a 2014＝________.[答案] 12[解析] 由题可知a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，∴此数列是以3为周期的周期数列，∴a 2014＝a 1＝12.(理)在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝________.[答案] 2n ＋1－3[解析] 依题意得，a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，a 1＋3＝4，因此数列{a n ＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，于是有a n ＋3＝4×2n －1＝2n ＋1，则a n ＝2n ＋1－3.9．已知数列2008,2009,1，－2008，－2009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和S 2014等于________．[答案] 2010[解析] 由题意a n ＋1＋a n －1＝a n (n ≥2)，a n ＋a n ＋2＝a n ＋1，两式相加得a n ＋2＝－a n －1， ∴a n ＋3＝－a n ，∴a n ＋6＝a n ，即{a n }是以6为周期的数列．∵2014＝335×6＋4，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，∴a 1＋a 2＋…＋a 2014＝335×0＋a 2011＋a 2012＋a 2013＋a 2014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2010. 三、解答题10．(文)(2013·江西)正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1(n ＋1)a n，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n )(a n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n .(2)a n ＝2n ，b n ＝1(n ＋1)a n ，则b n ＝12n (n ＋1)＝12(1n －1n ＋1)．T n ＝12(1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1)＝12(1－1n ＋1)＝n2(n ＋1).(理)(2013·广州调研)各项都为正数的数列{a n }，满足a 1＝1，a 2n ＋1－a 2n ＝2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a 2n2n }的前n 项和S n .[解析] (1)因为a 2n ＋1－a 2n ＝2，a 21＝1，所以数列{a 2n }是首项为1，公差为2的等差数列．所以a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，因为a n >0，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由(1)知，a n ＝2n －1，所以a 2n2n ＝2n －12n ，于是S n ＝12＋322＋523＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ，①12S n ＝122＋323＋524＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1，② ①－②得，12S n ＝12＋222＋223＋224＋…＋22n －2n －12n ＋1＝12＋2(122＋123＋124＋…＋12n )－2n －12n ＋1 ＝12＋2×14×(1－12n －1)1－12－2n －12n ＋1 ＝32－2n ＋32n ＋1，所以S n ＝3－2n ＋32n .能力拓展提升一、选择题11．下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖的块数为(用含n 的代数式表示)()A ．4nB ．4n ＋1C ．4n －3D ．4n ＋8[答案] D[解析] 第(1)，(2)，(3)个图案黑色瓷砖数依次为3×5－3＝12；4×6－2×4＝16；5×7－3×5＝20，代入选项验证可得答案为D.12．(文)(2012·东城模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 3nn ＋1(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－4成立的最小自然数n 等于( )A ．83B ．82C ．81D ．80[答案] C[解析] ∵a n ＝log 3nn ＋1＝log 3n －log 3(n ＋1)，∵S n ＝log 31－log 32＋log 32－log 33＋…＋log 3n －log 3(n ＋1)＝－log 3(n ＋1)<－4，解得n >34－1＝80.(理)设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，且对任意的n ∈N *，点列{P n (n ，a n )}恒满足P n P n ＋1＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )A ．n (n －43)B ．n (n －34)C ．n (n －23)D ．n (n －12)[答案] A[解析] 设P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)，则P n P n ＋1＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)，即a n ＋1－a n ＝2，所以数列{a n }是以2为公差的等差数列．又a 1＋2a 2＝3，所以a 1＝－13，所以S n ＝n (n －43)，选A.13．(文)由1开始的奇数列，按下列方法分组：(1)，(3,5)，(7,9,11)，…，第n 组有n 个数，则第n 组的首项为( )A ．n 2－nB ．n 2－n ＋1C ．n 2＋nD ．n 2＋n ＋1[答案] B[解析] 前n －1组共有1＋2＋…＋(n －1)＝(n －1)(n －1＋1)2＝n (n －1)2个奇数，故第n 组的首项为2×n (n －1)2＋1＝n 2－n ＋1.[点评] 可直接验证，第2组的首项为3，将n ＝2代入可知A 、C 、D 都不对，故选B. (理)已知整数对按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，……则第2014个数对是( )A ．(3,61)B ．(3,60)C ．(61,3)D ．(61,2)[答案] C[解析] 根据题中规律知，(1,1)为第1项，(1,2)为第2项，(1,3)为第4项，…，整数对和为n ＋1的有n 项，由n (n ＋1)2≤2014得n ≤62，且n ＝63时，n (n ＋1)2＝2016，故第2014个数对是和为64的倒数第3项，即(61,3)．二、填空题14．(文)(2013·北京东城区综合练习)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．已知数列{1x n}为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________.[答案] 20[解析] 由题意，若{a n }为调和数列，则{1a n }为等差数列，∵{1x n}为调和数列，∴数列{x n }为等差数列，由等差数列的性质可知，x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝x 2＋x 19＝…＝x 10＋x 11＝20010＝20.(理)(2013·大连测试)数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.[答案] 3n[解析] a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，把n 换成n －1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n ＋3，两式相减得a n ＝3n .15．(2013·江苏调研)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.[答案] 2n ＋1－2[解析] 由已知a n ＋1－a n ＝2n ，a 1＝2得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…，a n －a n －1＝2n －1，由累加法得a n ＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2n，从而S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.三、解答题16．(文)(2013·河北质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32a n －1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在数列{b n }中，b 1＝5，b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝32a 1－1，所以a 1＝2.∵S n ＝32a n －1，①∴当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－1，②①－②，得a n ＝(32a n －1)－(32a n －1－1)，所以a n ＝3a n －1，又a 1≠0，故a n －1≠0，所以a na n －1＝3，故数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以a n ＝2·3n －1.(2)由(1)知b n ＋1＝b n ＋2·3n －1.当n ≥2时，b n ＝b n －1＋2·3n －2，…b 3＝b 2＋2·31， b 2＝b 1＋2·30，将以上n －1个式子相加并整理，得b n ＝b 1＋2×(3n －2＋…＋31＋30)＝5＋2×1－3n －11－3＝3n －1＋4.当n ＝1时，31－1＋4＝5＝b 1，所以b n ＝3n －1＋4(n ∈N *)．(理)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且3a n ＋1＋2S n ＝3(n 为正整数)． (1)求出数列{a n }的通项公式；(2)若对任意正整数n ，k ≤S n 恒成立，求实数k 的最大值． [解析] (1)∵3a n ＋1＋2S n ＝3，① ∴当n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3，② 由①－②得，3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0.∴a n ＋1a n ＝13(n ≥2)．又∵a 1＝1,3a 2＋2a 1＝3，解得a 2＝13.∴数列{a n }是首项为1，公比q ＝13的等比数列．∴a n ＝a 1q n －1＝⎝⎛⎭⎫13n －1(n 为正整数)． (2)由(1)知，∴S n ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ，由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有 k ≤32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ， ∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝⎛⎭⎫13n 单调递增，当n ＝1时，数列取最小项为23，∴必有k ≤1，即实数k 的最大值为1.考纲要求了解数列的概念，了解数列是自变量为正整数的一类函数．了解数列的几种简单表示方法(列表、图象、通项公式)．补充说明1．求数列的通项公式常见的有以下三种类型 (1)已知数列的前几项，写出一个通项公式．依据数列前几项的特点归纳出通项公式：方法是依据数列的排列规律，求出项与项数的关系．一般步骤是：①定符号，②定分子、分母，③观察前后项的数值特征找规律，④综合写出项与项数的关系．要特别注意以下数列特点： ①自然数列，自然数的平方列． ②奇数列，偶数列．③a n ＝(－1)n ，a n ＝12[1＋(－1)n ]．④a n ＝sin n π2，a n ＝cos n π2.⑤a n ＝k9(10n －1)(k ＝1,2，…，9)．要注意理顺其大小规律如：2，－83，4，－325，…先变化为：42，－83，164，－325，….(2)已知数列的递推关系求其通项公式：一般是采用“归纳—猜想—证明”，有时也通过变形转化为等差、等比数列进行处理．(3)已知数列的前n 项和求通项公式，用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求解． 2．注意数列的两个性质(1)单调性——若a n ＋1>a n ，则{a n }为递增数列；若a n ＋1<a n ，则{a n }为递减数列．(2)周期性——若a n ＋k ＝a n (n ∈N *，k 为非零常数)，则{a n }为周期数列，k 为{a n }的一个周期． 3．数列求和方法 (1)公式法①直接用等差、等比数列的求和公式求． ②了解一些常见的数列的前n 项和． 1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)；1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2；12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)．(2)倒序相加法如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的．(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和可用“乘公比，错位相减”法进行，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的，其一般步骤是：第一步，将数列{c n }写成c n ＝a n ·b n ，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，公比为q . 第二步，写出S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .第三步，乘公比q 得，qS n ＝a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b n ＋1. 第四步，错位相减，用等比数列求和公式求和得(q －1)S n . 第五步，等式两边同除以q －1得S n .第六步，检查解题过程，看求和公式是否用错，符号是否正确，化简有无错误． (4)裂项相消法如果数列的通项可以表达成两项之差，各项随n 的变化而变化，前后项相加可以相互抵消就用裂项相加相消法．(5)分组求和法当一个数列的通项由几个项构成，各个项构成等差或等比数列时，可分为几个数列分别求和再相加．4．函数思想在数列中的应用(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此可用函数的知识，函数的思想方法来解决． (2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数11 列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法．备选习题1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 3＝( )A ．8B ．4C ．2D ．1[答案] A[解析] 由S 1＝2(a 1－1)得a 1＝2；由S 2＝2(a 2－1)得a 2＝4.由S 3＝2(a 3－1)得，a 3＝8.2．如果f (a ＋b )＝f (a )·f (b )(a ，b ∈R )且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2014)f (2013)等于( ) A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014[答案] D[解析] 令a ＝n ，b ＝1，f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，∴f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝2， ∴f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2014)f (2013)＝2×1007＝2014.。

2015年高考数学真题分类汇编：专题(06)数列(理科)及答案

专题六数列1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B .【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题.2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．【考点定位】等差中项和等比中项．【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题．3.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C【解析】先分析四个答案支，A 举一反例1232,1,4a a a ==-=-，120a a +>而230+<a a ，A 错误，B 举同样反例1232,1,4a a a ==-=-，130a a +<，而120+>a a ，B 错误，下面针对C 进行研究，{}n a 是等差数列，若120a a <<，则10,a >设公差为d ，则0d >，数列各项均为正，由于22215111()(2)a a a a d a a d -=+-+22221111220a a d d a a d d =++--=>，则2113a a a >1a ⇒>C.考点定位：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重点是对知识本质的考查.【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和比较法，本题属于基础题，由于前两个选项无法使用公式直接做出判断，因此学生可以利用举反例的方法进行排除，这需要学生不能死套公式，要灵活应对，作差法是比较大小常规方法，对判断第三个选择只很有效.4.【2015高考浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D.140,0a d dS <>【答案】B.【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列的概念等知识点，同时考查了学生的运算求解能力，属于容易题，将1a d ，4dS 表示为只与公差d 有关的表达式，即可求解，在解题过程中要注意等等差数列与等比数列概念以及相关公式的灵活运用.5.【2015高考安徽，理14】已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .【答案】21n-【解析】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或者148,1a a ==，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，即3418a q a ==，所以2q =，因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112n nn n a q S q --===---. 【考点定位】1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式.【名师点睛】对于等差数列与等比数列综合考查的问题，要做到：①熟练掌握等差或等比数列的性质，尤其是m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+（等差数列），m n p q a a a a ⋅=⋅（等比数列）；②注意题目给定的限制条件，如本题中“递增”，说明1q >；③要熟练掌握数列中相关的通项公式，前n 项和公式等.6.【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．【答案】1n-【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得1111n nS S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)nS n n =---=-，所以1n S n =-．【考点定位】等差数列和递推关系．【名师点睛】本题考查数列递推式和等差数列通项公式，要搞清楚项n a 与n S 的关系，从而转化为1n S +与n S 的递推式，并根据等差数列的定义判断1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，属于中档题．7.【2015高考广东，理10】在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += .【答案】10．【解析】因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，345675525a a a a a a ++++==即55a =，所以285210a a a +==，故应填入10．【考点定位】等差数列的性质．【名师点睛】本题主要考查等差数列性质及其简单运算和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记()*,,,m n p q a a a a m n p q N m n p q +=+∈+=+且，()*2,,2m n p a a a m n p N m n p +=∈+=且及其熟练运用．8.【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．【答案】5【解析】设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5．【考点定位】等差中项．【名师点晴】本题主要考查的是等差中项，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“中位数”和“等差数列”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等差中项的概念，即若a ，A ，b 成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项，即2a b A =+．9.【2015江苏高考，11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为【答案】2011【考点定位】数列通项，裂项求和【名师点晴】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，转化为特殊数列求通项．数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.10.【2015江苏高考，20】（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列（1）证明：31242,2,2,2a a a a依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得kn k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明理由.【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在【解析】试题分析（1）根据等比数列定义只需验证每一项与前一项的比值都为同一个不为零的常数即可（2）本题列式简单，变形较难，首先令1dt a =将二元问题转化为一元，再分别求解两个高次方程，利用消最高次的方法得到方程：27+430t t +=，无解，所以不存在（3）同（2）先令1dt a =将二元问题转化为一元，为降次，所以两边取对数，消去n,k 得到关于t 的一元方程4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)0t t t t t t ++-++-++=，从而将方程的解转化为研究函数()4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)g t t t t t t t =++-++-++零点情况，这个函数需要利用二次求导才可确定其在(0,)+∞上无零点试题解析：（1）证明：因为112222n n n na a a d a ++-==（1n =，2，3）是同一个常数，所以12a ，22a ，32a ，42a 依次构成等比数列．（2）令1a d a +=，则1a ，2a ，3a ，4a 分别为a d -，a ，a d +，2a d +（a d >，2a d >-，0d ≠）．假设存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列，则()()34a a d a d =-+，且()()6422a d aa d +=+．令d t a =，则()()3111t t =-+，且()()64112t t +=+（112t -<<，0t ≠），化简得32220t t +-=（*），且21t t =+．将21t t =+代入（*）式，()()21212313410t t t t t t t t +++-=+=++=+=，则14t =-．显然14t =-不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列．（3）假设存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1na ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列，则()()()221112n kn k n a a d a d +++=+，且()()()()32211132n kn kn k a d a d a d +++++=+．分别在两个等式的两边同除以()21n k a +及()221n k a +，并令1d t a =（13t >-，0t ≠），则()()()22121n kn k t t +++=+，且()()()()32211312n kn kn k t t t +++++=+．将上述两个等式两边取对数，得()()()()2ln 122ln 1n k t n k t ++=++，且()()()()()()ln 13ln 1322ln 12n k t n k t n k t +++++=++．化简得()()()()2ln 12ln 12ln 1ln 12k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，且()()()()3ln 13ln 13ln 1ln 13k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．令()()21t t ϕϕ'=，则()()()()212011213t t t t ϕ'=>+++．由()()()()1200000g ϕϕϕ====，()20t ϕ'>，知()2t ϕ，()1t ϕ，()t ϕ，()g t 在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上均单调．故()g t 只有唯一零点0t =，即方程（**）只有唯一解0t =，故假设不成立．所以不存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1na ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列．【考点定位】等差、等比数列的定义及性质，函数与方程【名师点晴】解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．11.【2015高考浙江，理20】已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）（1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）；（2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 试题分析：（1）首先根据递推公式可得12n a ≤，再由递推公式变形可知 211[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，从而得证；（2）由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +≤≤得，11112n na a +≤-≤，从而可得*111()2(1)2n a n N n n +≤≤∈++，即可得证. 试题解析：（1）由题意得，210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，12n a ≤，由11(1)n n n a a a --=- 得1211(1)(1)(1)0n n n a a a a a --=--⋅⋅⋅->，由102n a <≤得， 211[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，即112n n a a +≤≤；（2）由题意得21n n n a a a +=-， ∴11n n S a a +=-①，由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +≤≤得，11112n na a +≤-≤， ∴11112n n n a a +≤-≤，因此*111()2(1)2n a n N n n +≤≤∈++②，由①②得 112(2)2(1)n S n n n ≤≤++. 【考点定位】数列与不等式结合综合题.【名师点睛】本题主要考查了数列的递推公式，不等式的证明等知识点，属于较难题，第一小问易证，利用条件中的递推公式作等价变形，即可得到2111n n n n n na a a a a a +==--，再结合已知条件即可得证，第二小问具有较强的技巧性，首先根据递推公式将n S 转化为只与1+n a 有关的表达式，再结合已知条件得到1+n a 的取值范围即可得证，此次数列自2008年之后作为解答题压轴题重出江湖，算是一个不大不小的冷门（之前浙江各地的模考解答题压轴题基本都是以二次函数为背景的函数综合题），由于数列综合题常与不等式，函数的最值，归纳猜想，分类讨论等数学思想相结合，技巧性比较强，需要平时一定量的训练与积累，在后续复习时应予以关注.12.【2015高考山东，理18】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（I ）13,1,3,1,n n n a n -=⎧=⎨>⎩; （II ）13631243n nn T +=+⨯.所以1113T b ==当1n > 时，()()12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-所以()()01231132313n n T n --=+⨯+⨯++-两式相减，得()()012122333133n nn T n ---=+++--⋅ ()11121313313n n n ----=+--⋅- 1363623nn +=-⨯ 所以13631243n n n T +=+⨯ 经检验，1n = 时也适合，综上可得：13631243n nn T +=+⨯ 【考点定位】1、数列前n 项和n S 与通项n a 的关系；2、特殊数列的求和问题.【名师点睛】本题考查了数列的基本概念与运算，意在考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，思维的严密性和运算的准确性，在利用n S 与通项n a 的关系求n a 的过程中，一定要注意1n = 的情况，错位相减不法虽然思路成熟但也对学生的运算能力提出了较高的要求. 13. 【2015高考安徽，理18】设*n N ∈，n x 是曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）记2221321n n T x x x -=，证明14n T n≥. 【答案】（Ⅰ）1n n x n =+；（Ⅱ）14n T n≥. 【解析】试题分析：（Ⅰ）对题中所给曲线的解析式进行求导，得出曲线221n y x+=+在点(12)，处的切线斜率为22n +.从而可以写出切线方程为2(22)(1)y n x -=+-.令0y =.解得切线与x 轴交点的横坐标1111n nx n n =-=++. （Ⅱ）要证14n T n≥，需考虑通项221n x -，通过适当放缩能够使得每项相消即可证明.思路如下：先表示出22222213211321()()()242n n n T x x x n--==，求出初始条件当1n =时，114T =.当2n ≥时，单独考虑221n x -，并放缩得222222122221(21)(21)1441()2(2)(2)(2)n n n n n n n xn n n n n-------==>==，所以 211211()2234n n T n n ->⨯⨯⨯⨯=，综上可得对任意的*n N ∈，均有14n T n≥. 试题解析：（Ⅰ）解：2221'(1)'(22)n n y x n x ++=+=+，曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线斜率为22n +.从而切线方程为2(22)(1)y n x -=+-.令0y =，解得切线与x 轴交点的横坐标1111n n x n n =-=++. （Ⅱ）证：由题设和（Ⅰ）中的计算结果知22222213211321()()()242n n n T x x x n--==. 当1n =时，114T =.当2n ≥时，因为222222122221(21)(21)1441()2(2)(2)(2)n n n n n n n x n n n n n-------==>==，所以211211()2234n n T n n->⨯⨯⨯⨯=. 综上可得对任意的*n N ∈，均有14n T n≥.【考点定位】1.曲线的切线方程；2.数列的通项公式；3.放缩法证明不等式.【名师点睛】数列是特殊的函数，不等式是深刻认识函数与数列的重要工具，三者的综合是近几年高考命题的新热点，且数列的重心已经偏移到不等式的证明与求解中，而不再是以前的递推求通项，此类问题在2010年、2012年、2013年安徽高考解答题中都曾考过.对于数列问题中求和类（或求积类）不等式证明，如果是通过放缩的方法进行证明的，一般有两种类型：一种是能够直接求和（或求积），再放缩；一种是不能直接求和（或求积），需要放缩后才能求和（或求积），求和（或求积）后再进行放缩.在后一种类型中，一定要注意放缩的尺度，二是要注意从哪一项开始放缩. 14.【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】(I) 1222,2,.n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数,为偶数; (II) 1242n n n S -+=-.(II) 由(I)得22121log 2n n n n a nb a --==，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则012111111232222n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯， 1231111112322222n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯ 两式相减得2311111111*********2222212n n n n n n n n n n S --=+++++-=-=---，整理得1242n n n S -+=-所以数列{}n b 的前n 项和为124,*2n n n N -+-∈. 【考点定位】等差数列定义、等比数列及前n 项和公式、错位相减法求和.【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列定义与性质，求和公式以及错位相减法求和的问题，通过等差数列定义、等比数列性质，分n 为奇偶数讨论求通项公式，并用错位相减法基本思想求和.是中档题.15.【2015高考重庆，理22】在数列{}n a 中，()21113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈（1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式；（2）若()0001,2,1,k N k k λμ+=∈≥=-证明：010011223121k a k k ++<<+++ 【答案】（1）132n n a -=⋅；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由于0,2λμ==-，因此把已知等式具体化得212n n n a a a +=，显然由于13a =，则0n a ≠（否则会得出10a =），从而12n n a a +=，所以{}n a 是等比数列，由其通项公式可得结论；（2）本小题是数列与不等式的综合性问题，数列的递推关系是211010,n n n n a a a a k +++-=可变形为2101n n n a a a k +⎛⎫+= ⎪⎝⎭()N n +∈, 由于00k >，因此11nn a a k <+，于是可得1n n a a +<，即有12130n n a a a a +=>>>>>>，又2222001000011111111n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+===-+?+++，于是有()()00011211k k k a a a a a a ++=+-++-010000102011111111k a k k k k a k a k a ⎛⎫=-⋅+⋅+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭000011112313131k k k k ⎛⎫>+⋅+++⎪+++⎝⎭01231k =++，这里应用了累加求和的思想方法，由这个结论可知2(*)n a n N >∈，因此01k a +=010000102011111111k a k k k k a k a k a ⎛⎫=-⋅+⋅+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭000011112212121k k k k ⎛⎫<+⋅+++⎪+++⎝⎭01221k =++，这样结论得证，本题不等式的证明应用了放缩法.(1)由02λμ==-，,有212,(n N )n n n a a a ++=∈若存在某个0n N +∈，使得0n 0a =，则由上述递推公式易得0n 10a +=，重复上述过程可得10a =，此与13a =矛盾，所以对任意N n +∈,0n a ≠.从而12n na a +=()N n +∈，即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?.求和得()()00011211k k k a a a a a a ++=+-++-01000010200000011111111111112231313131k a k k k k a k a k a k k k k k ⎛⎫=-⋅+⋅+++ ⎪⎪+++⎝⎭⎛⎫>+⋅+++=+ ⎪++++⎝⎭另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>得00110000102011111111k k a a k k k k a k a k a +⎛⎫=-⋅+⋅+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭00000111112221212121k k k k k ⎛⎫<+⋅+++=+ ⎪++++⎝⎭ 综上：010011223121k a k k ++<<+++【考点定位】等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.，考查探究能力和推理论证能力，考查创新意识．【名师点晴】数列是考查考生创新意识与实践精神的最好素材．从近些年的高考试题来看，一些构思精巧、新颖别致、极富思考性和挑战性的数列与方程、函数(包括三角函数)、不等式以及导数等的综合性试题不断涌现，这部分试题往往以压轴题的形式出现，考查综合运用知识的能力，突出知识的融会贯通．数列的问题难度大，往往表现在与递推数列有关，递推含义趋广，不仅有数列前后项的递推，更有关联数列的递推，更甚的是数列间的“复制”式递推；从递推形式上看，既有常规的线性递推，还有分式、三角、分段、积(幂)等形式．在考查通性通法的同时，突出考查思维能力、代数推理能力、分析问题解决问题的能力．本题第（1）小题通过递推式证明数列是等比数列，从而应用等比数列的通项公式求得通项，第（2）小题把数列与不等式结合起来，利用数列的递推式证明数列是单调数列，利用放缩法证明不等式，难度很大．16.【2015高考四川，理16】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}na 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值. 【答案】（1）2n n a =；（2）10.【解析】（1）由已知12n n S a a =-，有1122(1)n n n n n a S S a a n --=-=->，即12(1)n n a a n -=>. 从而21312,4a a a a ==.又因为123,1,a a a +成等差数列，即1322(1)a a a +=+. 所以11142(21)a a a +=+，解得12a =.所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列. 故2n n a =. （2）由（1）得112n n a =.所以2311[1()]1111122112222212n n n nT -=++++==--. 由1|1|1000n T -<，得11|11|21000n --<，即21000n>. 因为9102512100010242=<<=，所以10n ≥. 于是，使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值为10. 【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力.【名师点睛】凡是有n S 与n a 间的关系，都是考虑消去n S 或n a （多数时候是消去n S ，得n a 与1n a -间的递推关系）.在本题中，得到n a 与1n a -间的递推关系式后，便知道这是一个等比数列，利用等比数列的相关公式即可求解.等差数列与等比数列是高考中的必考内容，多属容易题，考生应立足得满分.17.【2015高考湖北，理18】设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n an b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n -+-. 2345113579212222222n n n T -=++++++. ② ①-②可得221111212323222222n n nnn n T --+=++++-=-，故n T 12362n n -+=-. 【考点定位】等差数列、等比数列通项公式，错位相减法求数列的前n 项和.【名师点睛】错位相减法适合于一个由等差数列}{n a 及一个等比数列}{n b 对应项之积组成的数列．考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等．两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的1-n 项是一个等比数列． 18.【2015高考陕西，理21】（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的各项和，其中0x >，n ∈N ，2n ≥．（I ）证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+；（II ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x与()n g x 的大小，并加以证明．【答案】（I ）证明见解析；（II ）当1x =时， ()()n n f x g x =，当1x ≠时，()()n n f x g x <，证明见解析．【解析】试题分析：（I ）先利用零点定理可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点，进而利用n x 是()F n x 的零点可证11122n n n x x +=+；（II ）先设()()()n n h x f x g x =-，再对x 的取值范围进行讨论来判断()h x 与0的大小，进而可得()n f x 和()n g x 的大小．试题解析：（I ）2()()212n n n F x f x x x x =-=++++-，则(1)10,n F n =->1211111112()1220,12222212n nn nF +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x . 又1()120n n F x x nx -'=+++>，故在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点n x . 因为n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n n x x +--=-，故111=+22n n n x x +.(II)解法一：由题设，()()11().2nnn x g x ++=所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <.综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <解法二由题设，()()211()1,(),0.2n n n n n x f x x x x g x x ++=++++=>当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <. 当2n =时, 2221()()(1)0,2f xg x x -=--<所以22()()f x g x <成立. 假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x <. 那么，当+1n k =时，()()111k+1k 11()()()2kk k k k k x f x f x xg x xx+++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=.又()()11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=令()1()11(0)k k k h x kx k x x +=-++>，则()()11()(1)11(1)k k k k h x k k x k k x k k x x --'=+-+=+- 所以当01x <<,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减；当1x >,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h >=，从而()1k+1211()2k k x k x k g x +++++>故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =，不等式也成立. 所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x <.解法三:由已知，记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,1,2,, 1.k n =+则111a b ==，11n n n a b x ++==，所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =. 当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=-- 而2k n ≤≤，所以10k ->，11n k -+≥. 若01x <<，11n k x -+<，()0k m x '<，当1x >，11n k x -+>，()0km x '>，从而()k m x 在(0,1)上递减，()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=，所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =，11n n a b ++=，故()()n n f x g x < 综上所述，当1x =时，()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <.考点：1、等比数列的前n 项和公式；2、零点定理；3、等差数列的前n 项和公式；4、利用导数研究函数的单调性.【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的前n 项和公式、零点定理、等差数列的前n 项和公式和利用导数研究函数的单调性，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”，否则很容易出现错误．证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性．有关函数的不等式，一般是先构造新函数，再求出新函数在定义域范围内的值域即可．19.【2015高考新课标1，理17】n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=43n S +.（Ⅰ）求{n a }的通项公式；（Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和. 【答案】（Ⅰ）21n +（Ⅱ）11646n -+所以n a =21n +；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =1111()(21)(23)22123n n n n =-++++，所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++=1111111[()()()]235572123n n -+-++-++=11646n -+. 【考点定位】数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法【名师点睛】已知数列前n 项和与第n 项关系，求数列通项公式，常用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩将所给条件化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.20.【2015高考广东，理21】数列{}n a 满足()*1212242n n n a a na n N -+++=-∈， (1) 求3a 的值；(2) 求数列{}n a 前n 项和n T ；(3) 令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -⎛⎫=++++⋅⋅⋅+≥ ⎪⎝⎭，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<．【答案】（1）14；（2）1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）见解析．【解析】（1）依题()()312312312132223323244224a a a a a a --++⎛⎫=++-+=---= ⎪⎝⎭， ∴ 314a =；（2）依题当1n >时，()()121211212122144222n n n n n n n n nna a a na a a n a ----++⎛⎫=++-++-=---=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ∴ 112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，又1012412a +=-=也适合此式， ∴ 112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，故1111221212nn n T -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-；（3）依题由1211112n n n a a a b a n n -+++⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭知11b a =，1221122a b a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，1233111323a a b a +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，【考点定位】前n 项和关系求项值及通项公式，等比数列前n 项和，不等式放缩．【名师点睛】本题主要考查前n 项和关系求项值及通项公式，等比数列前n 项和，不等式放缩等，转化与化归思想的应用和运算求解能力，属于高档题，此题（1）（2）问难度不大，但第（3）问难度较大，首先应能求得11111222n n S n -⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，并由11222n --<得到11212n S n ⎛⎫<⨯+++ ⎪⎝⎭，再用构造函数（()()1ln 11f x x x x =+->）结合不等（1ln 1k k k >-）放缩方法或用数学归纳法证明11111ln 23n n++++<+．【2015高考上海，理22】已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N . （1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；（3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2mM∈-. 【答案】（1）65n a n =-（2）详见解析（3）1,02⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】解：（1）由13n n b b +-=，得16n n a a +-=，所以{}n a 是首项为1，公差为6的等差数列，故{}n a 的通项公式为65n a n =-，n *∈N .证明：（2）由()112n n n n a a b b ++-=-，得1122n n n n a b a b ++-=-. 所以{}2n n a b -为常数列，1122n n a b a b -=-，即1122n n a b a b =+-. 因为0n n a a ≥，n *∈N ，所以011112222n n b a b b a b +-≥+-，即0n n b b ≥. 故{}n b 的第0n 项是最大项.解：（3）因为n n b λ=，所以()112n n n n a a λλ++-=-，当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+ ()()()1122222n n n n λλλλλλλ---=-+-+⋅⋅⋅+-+ 2n λλ=-. 当1n =时，1a λ=，符合上式. 所以2n n a λλ=-. 因为0λ>，所以222nn a λλλ=->-，21212n n a λλλ--=-<-.①当1λ<-时，由指数函数的单调性知，{}n a 不存在最大、最小值； ②当1λ=-时，{}n a 的最大值为3，最小值为1-，而()32,21∉--； ③当10λ-<<时，由指数函数的单调性知，{}n a 的最大值222a λλM ==-，最小值1m a λ==，由2222λλλ--<<及10λ-<<，得102λ-<<.综上，λ的取值范围是1,02⎛⎫-⎪⎝⎭. 【考点定位】等差数列，数列单调性【名师点睛】1.等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n＋1－a n＝d(d是常数)⇔{a n}是等差数列．(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列．(4)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{a n}是等差数列．2.数列作为特殊的函数，其单调性的判断与研究也是特别的，只需研究相邻两项之间关系即可.。

高考数学大一轮总复习基本不等式和绝对值不等式高效

【解密高考】2015届高考数学大一轮总复习基本不等式和绝对值不等式高效作业理新人教A版选修4-5时间：45分钟满分：100分班级：________ 姓名：________ 学号：________得分：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“|x－1|＜2成立”是“x(x－3)＜0成立”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：|x－1|＜2⇔－1＜x＜3，x(x－3)＜0⇔0＜x＜3.则(0,3)(－1,3)．答案：B2．设a，b为满足ab＜0的实数，那么( )A．|a＋b|＞|a－b| B．|a＋b|＜|a－b|C．|a－b|＜||a|－|b|| D．|a－b|＜|a|＋|b|解析：∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|.答案：B3．若关于x的不等式|x－2|＋|x－a|≥a在R上恒成立，则a的最大值是( )A．0 B．1C．－1 D．2解析：由于|x－2|＋|x－a|≥|a－2|，∴等价于|a－2|≥a，即a≤1.故实数a的最大值为1.答案：B4．若2－m与|m|－3异号，则m的取值范围是( )A．(－3，＋∞) B．(－3,2)C．(3，＋∞) D．(－3,2)∪(3，＋∞)解析：∵2－m与|m|－3异号，∴(2－m)(|m|－3)＜0，当m≤0时，|m|－3＜0，－m－3＜0，∴－3＜m，即－3＜m≤0；当m ＞0时，(2－m )(m －3)＜0∴(m －2)(m －3)＞0，∴m ＞3或m ＜2.∴0＜m ＜2或m ＞3.综上所述m 的取值范围为－3＜m ＜2或m ＞3.答案：D5．不等式|x －2x |＞x －2x的解集是( ) A ．(0,2) B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) 解析：由|t |＞t 知t ＜0，故x －2x＜0，其解集为0＜x ＜2.故选A. 答案：A 6．“|x －a |＜m 且|y －a |＜m ”是“|x －y |＜2m ”(x ，y ，a ，m ∈R )的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．非充分非必要条件解析：∵|x －y |＝|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |＋|y －a |＜m ＋m ＜2m ，∴|x －a |＜m 且|y －a |＜m 是|x －y |＜2m 的充分条件．取x ＝3，y ＝1，a ＝－2，m ＝2.5，则有|x －y |＝2＜5＝2m .但|x －a |＝5不满足|x －a |＜m ＝2.5，故|x －a |＜m 且|y －a |＜m 不是|x －y |＜2m 的必要条件．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(2013·重庆)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是________．解析：要使不等式无解，则a 必须小于或等于|x －5|＋|x ＋3|的最小值，而|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，则a ≤8，所以实数a 的取值范围是(－∞，8]．答案：(－∞，8]8．若f (x )＝|x －t |＋|5－x |的最小值为3，则实数t 的值是________．解析：由f (x )＝|x －t |＋|5－x |≥|(x －t )＋(5－x )|＝|5－t |，因此|5－t |＝3，解之得t ＝2或8.答案：2或89．(2013·陕西)(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．解析：∵a ＋b ＝1，mn ＝2，∴(am ＋bn )(bm ＋an )＝(a 2＋b 2)mn ＋ab (m 2＋n 2)＝2(a 2＋b 2)＋ab (m 2＋n 2)≥2(a 2＋b 2)＋ab ·2mn ＝2(a ＋b )2＝2.当且仅当m ＝n ＝2时，等号成立．答案：210．(2014·海口调研)已知关于x 的不等式|x ＋a |＋|x －1|＋a <2009(a 是常数)的解是非空集合，则a 的取值范围是________．解析：由绝对值的几何意义可知，|x ＋a |＋|x －1|<2009－a 有解，则2009－a >|1＋a |，即a －2009<a ＋1<2009－a ，解得a <1004.答案：(－∞，1004)三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．(2013·福建)选修4－5：不等式选讲设不等式|x －2|＜a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A . (Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．解：(Ⅰ)因为32∈A ，且12∉A ，所以|32－2|＜a ，且|12－2|≥a ，解得12＜a ≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1. (Ⅱ)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号．所以f (x )的最小值为3.12．(2013·辽宁)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1.(Ⅰ)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(Ⅱ)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．解：(Ⅰ)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5；所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．(Ⅱ)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.13．(2013·课标全国Ⅰ)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(Ⅰ)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(Ⅱ)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．解：(Ⅰ)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －5x ， x ＜12，－x －2， 12≤x ≤1，3x －6， x ＞1.其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(Ⅱ)当x ∈[－a2，12)时，f (x )＝1＋a .不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈[－a 2，12)都成立．故－a 2≥a －2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是(－1，43]．。

【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版)：第六章数列 6-1 Word版含解析

基础达标检测一、选择题1．(文)数列2，5，22，…，则25是该数列的( ) A ．第6项 B ．第7项 C ．第10项 D ．第11项[答案] B[解析] 原数列可写成2，5，8，…， ∵25＝20，∴20＝2＋(n －1)×3， ∴n ＝7.(理)已知数列2，7，10，13，4，…，则27是该数列的( ) A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项 [答案] C[解析] 前5项可写成4，7，10，13，16，故而可归纳通项公式为3n ＋1，故令3n ＋1＝27，∴n ＝9.2．数列1，85，157，249，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n 22n ＋1B ．a n ＝n (n ＋2)n ＋1C ．a n ＝(n ＋1)2－12(n ＋1)D ．a n ＝n (n ＋2)2n ＋1[答案] D[解析] ∵1可以看成33，∴分母为3,5,7,9，即2n ＋1，分子可以看成1×3,2×4,3×5,4×6，故为n (n ＋2)，即a n ＝n (n ＋2)2n ＋1.3．下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1 B ．a n ＝n (n －1)2 C ．a n ＝n (n ＋1)2 D ．a n ＝n (n ＋2)2[答案] C[解析] 从图中可观察星星的构成规律：n ＝1时有1个，排除B 、D ；n ＝3时有6个，排除A.4．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N ＋)，则a 1 000＝( )A ．5B ．－5C ．1D ．－1[答案] D[解析] 由a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N ＋)可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，…，以6为周期，由此可得a 1 000＝a 4＝－1.故选D.5．(文)数列{－2n 2＋29n ＋3}中最大项是( ) A ．107 B ．108 C ．10813 D ．109[答案] B[解析] a n ＝－2n 2＋29n ＋3 ＝－2(n －294)2＋10818， ∵294＝714且n ∈N ＋，∴当n ＝7时，a n 最大，最大值为a 7＝108. 故选B.(理)若数列{a n }(n ∈N ＋)的首项为14，前n 项的和为S n ，点(a n ，a n＋1)在直线x －y －2＝0上，那么下列说法正确的是( ) A ．当且仅当n ＝1时，S n 最小 B ．当且仅当n ＝8时，S n 最大 C ．当且仅当n ＝7或8时，S n 最大 D ．S n 有最小值，无最大值 [答案] C[解析] 由题意得：a n －a n ＋1－2＝0，则a n ＋1－a n ＝－2，所以数列{a n }是以a 1＝14，d ＝－2的等差数列，则S n ＝14n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋15n ，所以当且仅当n ＝7或8时，S n 最大．6．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，那么a 2 015的值是( ) A ．2 012×2 013 B ．2 014×2 015 C ．2 0142 D ．2 013×2 014[答案] B[解析] 解法1：a 1＝0，a 2＝2，a 3＝6，a 4＝12，考虑到所给结论都是相邻或相近两整数乘积的形式，可变形为：a 1＝0×1，a 2＝1×2，a 3＝2×3，a 4＝3×4，猜想a 2 015＝2 014×2 015，故选B. 解法2：a n －a n －1＝2(n －1)， a n －1－a n －2＝2(n －2)， …a 3－a 2＝2×2， a 2－a 1＝2×1.所有等式左右两边分别相加(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1) ＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]． ∴a n －a 1＝2(n －1)(n －1＋1)2＝n (n －1)．∴a n＝n(n－1)．故a2 015＝2 014×2 015.二、填空题7．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－9n，若它的第k项满足5<a k<8，则k的值为________．[答案]8[解析]因为S n＝n2－9n，则S n－1＝(n－1)2－9(n－1)(n≥2)，所以a n＝S n－S n－1＝2n－10.当n＝1时，a1＝S1＝－8满足上式．所以a n＝2n－10(n∈N＋)．由已知5<a k<8，即5<2k－10<8.解得7.5<k<9.又k∈N＋，所以k＝8.8．已知数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＝a n－33a n＋1(n∈N＋)，则a2015＝________.[答案]－ 3[解析]由已知条件可推得a2＝－3，a3＝3，a4＝0，a5＝－3故可知数列{a n}的周期为3，所以a2015＝a2＝－ 3.9．将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910…………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．[答案] n 2－n ＋62[解析] 前n －1行共有正整数1＋2＋…＋(n －1)个，即n 2－n 2个，因此第n 行第3个数是全体正整数中第n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62. 三、解答题10．(文)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N ＋)． (1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求a n 的通项公式及S 10.[解析] (1)由a 1＝S 1＝13(a 1－1)得a 1＝－12. 又a 1＋a 2＝S 2＝13(a 2－1)，解得a 2＝14.同理a 3＝－18 (2)n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12. ∴数列{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．即a n ＝(－12)n，∴S 10＝a 1(1－q 10)1－q＝－3411 024.(理)(2013·江西高考)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n－1)S n －(n 2＋n )＝0.求数列{a n }的通项公式a n .[解析]由S2n－(n2＋n－1)S n－(n2＋n)＝0，得[S n－(n2＋n)](S n＋1)＝0.由于{a n}是正项数列，所以S n>0，S n＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)2＝2n.综上，数列{a n}的通项a n＝2n.能力强化训练一、选择题1．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n＋S m＝S n＋m，且a1＝1，那么a10＝()A．1 B．9C．10 D．55[答案] A[解析]本题主要考查数列的求和公式和赋值法．令m＝n＝1，则S1＋S1＝S2，即a1＋a1＝a1＋a2，所以a2＝a1＝1；令n＝1，m＝2，所以S1＋S2＝S3.即a1＋a1＋a2＝a1＋a2＋a3，则a3＝a1＝a2＝1，…，故a10＝1，故选A.2．已知整数按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是() A．(5,5) B．(5,6)C ．(5,7)D ．(5,8)[答案] C[解析] 按规律分组：第一组(1,1)，第二组(1,2)，(2,1)，第三组(1,3)，(2,2)，(3,1)，则前10组共有10×112＝55个有序实数对．第60项应在第11组中即(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，(11,1)因此第60项为(5,7)．二、填空题3．已知数列{a n }的首项a 1＝13，且满足1a n ＋1＝1a n＋2(n ∈N ＋)，则a 1 007＝________.[答案] 12 015[解析] 由1a n ＋1－1a n＝2知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝3为首项，以2为公差的等差数列，故1a 1 007＝1a 1＋1 006d ＝3＋2 012＝2 015.即a 1 007＝12 015.4．(文)已知a n ＝n －98n －99(n ∈N ＋)，则在数列{a n }的前30项中，最大项和最小项分别是第________项．[答案] 10 9[解析] a n ＝n －98n －99＝n －99＋99－98n －99＝1＋99－98n －99当1≤n ≤9时，99－98n －99<0，a n 递减．当n ≥10时，99－98n －99>0，a n 递减．∴最大项为a 10，最小项为a 9.(理)若数列{n (n ＋4)(23)n}中的最大项是第k 项，则k ＝________. [答案] 4 [解析] 本题考查了求数列中最大项问题，可利用⎩⎨⎧a n ≥a n ＋1a n ≥a n －1来求解；由题意可列不等式组⎩⎨⎧a k ≥a k ＋1a k ≥a k －1，即⎩⎪⎨⎪⎧k (k ＋4)(23)k ≥(k ＋1)(k ＋5)(23)k ＋1k (k ＋4)(23)k ≥(k －1)(k ＋3)(23)k －1，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10k 2－2k －9≤0解之得10≤k ≤1＋10，又∵k ∈N ＋，∴k ＝4. 三、解答题5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求a n . [解析] 由log 2(S n ＋1)＝n ＋1，知S n ＋1＝2n ＋1，∴S n ＝2n ＋1－1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝22－1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ＋1－2n ＝2n .∴a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.6．(文)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n . (1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．[解析] (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，……a n －1＝n n －2a n －2， a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n (n ＋1)2.综上，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.(理)(2013·广东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N ＋.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式.[解析] (1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4；(2)解法1：当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－(n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 22－a 11＝1 故数列{a n n }是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，所以a n n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2.解法2：因为2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，所以2S n n ＝S n ＋1－S n －13n 2－n －23.整理得n ＋2n S n ＝S n ＋1－13(n ＋1)(n ＋2)，所以S n ＋1(n ＋1)(n ＋2)－S n n (n ＋1)＝13，所以数列{S n n (n ＋1)}是首项为S 12，公差为13的等差数列，所以S n n (n ＋1)＝S 12＋13(n －1)＝2n ＋16，所以S n ＝n (n ＋1)(2n ＋1)6，所以S n －1＝(n －1)n (2n －1)6，(n ≥2)．所以a n ＝S n －S n －1＝n 2(n ≥2)．因为a 1＝1符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2(n ∈N ＋)．。

【步步高】2015届高考数学第一轮大复习(基础+思想典型题+题组专练)11.2 古典概型文档专练文

§11.2 古典概型1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)每个基本事件出现的可能性相等．3．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是 1n；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝ m n .4．古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( × )(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( × )(3)从市场上出售的标准为500±5 g 的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型．( × )2．(2013·某某)集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A 、B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( ) A.23B.12C.13D.16 答案 C解析从A 、B 中任意取一个数，共有6种情形，两数和等于4的情形只有(2,2)，(3,1)两种，∴P ＝26＝13.3．一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是( ) A.23B.14C.25D.15 答案 C解析先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率，因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此概率为25.4．(2013·某某)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．答案 23解析甲、乙、丙三人随机地站成一排，共有甲、乙、丙，甲、丙、乙，乙、甲、丙，乙、丙、甲，丙、甲、乙，丙、乙、甲共6种排法，其中甲、乙两人相邻而站共甲、乙、丙，乙、甲、丙，丙、甲、乙，丙、乙、甲4种排法，故P ＝46＝23.5．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加，其和为偶数的概率是________．答案 25解析从6个数中任取2个数的可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，其中和为偶数的情况有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6种，所以所求的概率是25.题型一基本事件与古典概型的判断例1 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？思维启迪判断一个概率模型是否为古典概型的依据是古典概型的“有限性”和“等可能性”．解 (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，，而白球有5个，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111故一次摸球摸到白球的可能性为5，11，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为311显然这三个基本事件出现的可能性不相等，所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．思维升华古典概型需满足两个条件：①对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；②对于所有不同的试验结果而言，它们出现的可能性是相等的．(1)下列问题中是古典概型的是()A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率B．掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率C．在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率D．同时掷两颗骰子，求向上的点数之和是5的概率(2)将一枚硬币抛掷三次共有________种结果．答案(1)D(2)8解析(1)A、B两项中的基本事件的发生不是等可能的；C项中基本事件的个数是无限多个；D项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个．(2)设出现正面为1，反面为0，则共有(1,1,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，(1,0,0)，(0,1,1)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,0,0)8种结果．题型二古典概型的概率例2(2013·某某)某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(2)如下表所示：A B C D E身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82体重指标19.225.118.523.320.9(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．思维启迪计算基本事件总数或计算某一事件包含的基本事件数时，可以用列举的方法，列举时要不重不漏．解(1)从身高低于1.80的4名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6个．设“选到的2人身高都在1.78以下”为事件M ，其包括事件有3个，故P (M )＝36＝12.(2)从小组5名同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共10个．设“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)”为事件N ，且事件N 包括事件有(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )共3个．则P (N )＝310.思维升华求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A 包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．某次会议有6名代表参加，A 、B 两名代表来自甲单位，C 、D 两名代表来自乙单位，E 、F 两名代表来自丙单位，现随机选出两名代表发言，求： (1)代表A 被选中的概率是多少？(2)选出的两名代表中，恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位的概率是多少？解 (1)从这6名代表中随机选出2名，共有15种不同的选法，分别为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )．其中代表A 被选中的选法有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，共5种．故代表A 被选中的概率为515＝13.(2)随机选出的两名代表中，恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位的结果有9种，分别是(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )．所以“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”这一事件的概率为915＝35.题型三古典概型与统计的综合应用例3(2013·某某)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定组别 A B C D E 人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B 组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数6(2)在(1)中，若A ，B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．思维启迪各组抽取人数的比率是相等的，因此，由B 组抽取的比率可求得其它各组抽取的人数．解 (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数36993(2)记从A 组抽到的3个评委为a 1，a 2，a 3，其中a 1，a 2支持1号歌手；从B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率P ＝418＝29.思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率；(3)从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm 之间的概率．解 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400. (2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm 之间的频率f ＝3570＝0.5.故由f 估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率P ＝0.5.(3)样本中身高在180～185 cm 之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.从上述6人中任选2人的树状图为故从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm 之间的可能结果数为9，因此，所求概率P ＝915＝0.6.六审细节更完善典例：(12分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n <m ＋2的概率．(1)基本事件为取两个球↓(两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示) 把取两个球的所有结果列举出来 ↓{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4} ↓两球编号之和不大于4(注意：和不大于4，应为小于4或等于4) ↓{1,2}，{1,3}↓利用古典概型概率公式P ＝26＝13(2)两球分两次取，且有放回↓(两球的编号记录是有次序的，用坐标的形式表示) 基本事件的总数可用列举法表示 ↓(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4) (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4) (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4) (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)↓(注意细节，m 是第一个球的编号，n 是第2个球的编号) n <m ＋2的情况较多，计算复杂 (将复杂问题转化为简单问题)↓计算n ≥m ＋2的概率↓n ≥m ＋2的所有情况为(1,3)，(1,4)，(2,4)↓P 1＝316(注意细节，P 1＝\f(3,16)是n ≥m ＋2的概率，需转化为其对,立事件的概率)n <m ＋2的概率为1－P 1＝1316.规X 解答解 (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有{1,2}，{1,3}两个．因此所求事件的概率P ＝26＝13.[4分] (2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，其一切可能的结果(m ，n )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．[6分]又满足条件n ≥m ＋2的事件为(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个，所以满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316.[10分]故满足条件n <m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316.[12分]温馨提醒 (1)本题在审题时，要特别注意细节，使解题过程更加完善．如第(1)问，注意两球一起取，实质上是不分先后，再如两球编号之和不大于4等；第(2)问，有次序．(2)在列举基本事件空间时，可以利用列举、画树状图等方法，以防遗漏．同时要注意细节，如用列举法，第(1)问应写成{1,2}的形式，表示无序，第(2)问应写成(1,2)的形式，表示有序．(3)本题解答时，存在格式不规X ，思维不流畅的严重问题．如在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件．在第(2)问中，由于不能将事件n <m ＋2的概率转化成n ≥m ＋2的概率，导致数据复杂、易错．所以按要求规X 解答是做好此类题目的基本要求．方法与技巧1．古典概型计算三步曲第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A 是什么，它包含的基本事件有多少个． 2．确定基本事件的方法列举法、列表法、树状图法．失误与防X1．古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是否是等可能的． 2．概率的一般加法公式：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )．公式使用中要注意：(1)公式的作用是求A ∪B 的概率，当A ∩B ＝∅时，A 、B 互斥，此时P (A ∩B )＝0，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )；(2)要计算P (A ∪B )，需要求P (A )、P (B )，更重要的是把握事件A ∩B ，并求其概率；(3)该公式可以看作一个方程，知三可求一．A 组专项基础训练一、选择题1．(2013·课标全国Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )A.12B.13C.14D.16 答案 B解析基本事件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，所以所求概率P ＝26＝13，故选B.2．甲乙两人一起去游泰山，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( ) A.136B.19C.536D.16 答案 D解析最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有6种，所以P ＝636＝16，所以选D.3．(2013·某某)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.23B.25C.35D.910 答案 D解析由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种，其中“甲与乙均未被录用”的所有不同的可能结果只有(丙，丁，戊)这1种，故其对立事件“甲或乙被录用”的可能结果有9种，所求概率P ＝910.4．第12届全运会于2013年在某某举行，运动会期间来自A 大学2名和B 大学4名共计6名大学生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是( ) A.115B.25C.35D.1415 答案 C解析记2名来自A 大学的志愿者为A 1，A 2,4名来自B 大学的志愿者为B 1，B 2，B 3，B 4.从这6名志愿者中选出2名的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，B 4)，(B 2，B 3)，(B 2，B 4)，(B 3，B 4)，共15种．其中至少有一名A 大学志愿者的事件有9种．故所求概率P ＝915＝35.故选C.5．连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( )A.512B.712C.13D.12 答案 A解析 ∵(m ，n )·(－1,1)＝－m ＋n <0，∴m >n .基本事件总共有6×6＝36(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(个)．∴P ＝1536＝512，故选A.二、填空题6．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为________．答案 512解析圆心(2,0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a |a 2＋b 2，当d <2时，直线与圆相交，则有d ＝|2a |a 2＋b 2<2，得b >a ，满足b >a 的，共有15种情况，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为1536＝512.7．从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．答案 34解析从四条线段中任取三条有4种取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能构成三角形的取法有3种：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率为34.8．用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是________．答案1 4解析由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2，若只用一种颜色有111；222.若用两种颜色有122；212；221；211；121；112.所以基本事件共有8种．又相邻颜色各不相同的有2种，故所求概率为14.三、解答题9．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．解(1)由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36种．a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2种：(3,1)、(6,2)，所以事件a⊥b的概率为236＝1 18.(2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10，共有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)6种，其概率为636＝1 6.10．(2013·某某)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品．①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．解(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为610＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种．所以P (B )＝615＝25.B 组专项能力提升1．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( )A.110B.18C.16D.15 答案 D解析如图所示，从正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A 、B ，A 、C ，A 、D ，A 、E ，A 、F ，B 、C ，B 、D ，B 、E ，B 、F ，C 、D ，C 、E ，C 、F ，D 、E ，D 、F ，E 、F ，共15种．若要构成矩形，只要选相对顶点即可，有A 、D ，B 、E ，C 、F ，共3种，故其概率为315＝15.2．将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为m 和n ，则函数y ＝23mx 3－nx ＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是( ) A.12B.23C.34D.56 答案 D解析所有事件有6×6＝36(种)，若满足条件，则y ′＝2mx 2－n ≥0对x ≥1恒成立，又m >0，即(2mx 2－n )min ＝2m －n ，即2m ≥n ，而2m <n 有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种，则2m ≥n 共30种．∴P ＝3036＝56.3．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )A.35B.310C.12D.625 答案 B解析设3个白球分别为a 1，a 2，a 3,2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310.4．袋中装有大小相同的总数为5的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是910，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为________．答案 310解析因为袋中装有大小相同的总数为5的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种情况，没有得到白球的概率为110，设白球个数为x ，则黑球个数为5－x ，那么可知白球有3个，黑球有2个，因此从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为310.5．若集合A ＝{a |a ≤100，a ＝3k ，k ∈N *}，集合B ＝{b |b ≤100，b ＝2k ，k ∈N *}，在A ∪B 中随机地选取一个元素，则所选取的元素恰好在A ∩B 中的概率为________．答案 1667解析易知A ＝{3,6,9，…，99}，B ＝{2,4,6，…，100}，则A ∩B ＝{6,12,18，…，96}，其中有元素16个． A ∪B 中元素共有33＋50－16＝67(个)，∴所求概率为1667.6．一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆． (1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下： 9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解 (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000，则z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意得4001 000＝a5，则a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个．事件E 包含的基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个．故P (E )＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x ＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包含的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34.。

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