《创新设计高考总复习》配套学案：平面向量基本定理及坐标表示

第2讲 平面向量基本定理及坐标表示

[最新考纲]

1．了解平面向量的基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

知 识 梳 理

1．平面向量基本定理

如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.

其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则

a ＋

b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．

②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →

|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示

设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.

辨 析 感 悟

1．对平面向量基本定理的理解

(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．

(×)

(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. (√) (3)(2013·广东卷改编)已知a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有下列四个命题，请判断它们的正误： ①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c .

(√)

②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；(√)

③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μc ； (√) ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc . (×) 2．平面向量的坐标运算

(4)(教材习题改编)已知点A (2,1)，B (－1,3)，则AB →

＝(－3,2)．

(√)

(5)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2

＝y 1

y 2

.

(×)

(6)(2013·湘潭调研改编)已知向量a ＝(4，x )，b ＝(－4,4)，若a ∥b ，则x 的值为－4.

(√)

[感悟·提升]

1．向量坐标与点的坐标的区别 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →

＝(x ，y )．

当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→

的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化．

2．两个防范 一是注意能作为基底的两个向量必须是不共线的，如(1)．二是注意运用两个向量a ，b 共线坐标表示的充要条件应为x 1y 2－x 2y 1＝0，如(5).

考点一 平面向量基本定理的应用

【例1】 如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →

＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.

解 法一 设AB →＝a ，AD →

＝b ， 则a ＝AN →＋NB →＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫

－12b ，①

b ＝AM →＋MD →＝

c ＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－12a .②

将②代入①，得a ＝d ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤

c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，

∴a ＝43d －23c ＝2

3(2d －c )，③

将③代入②，得b ＝c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×2

3(2d －c )＝23(2c －d )． ∴AB →＝23(2d －c )，AD →＝2

3(2c －d )． 法二 设AB →＝a ，AD →

＝b .

因M ，N 分别为CD ，BC 的中点， 所以BN →＝12b ，DM →＝12a ， 因而⎩⎪⎨⎪⎧

c ＝b ＋12a ，

d ＝a ＋1

2b

⇒⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝2

3(2d －c )，b ＝2

3(2c －d )，

即AB →＝23(2d －c )，AD →＝2

3(2c －d )．

规律方法 (1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

【训练1】 在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若A B →

＝λAM →＋μAN →

，则λ＋μ＝( )． A.15 B.25 C.35 D.45

解析 因为AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →

－14AB →－AM →，所以AB →＝85AN →－45AM →，所以λ＋μ＝4

5. 答案 D

考点二 平面向量的坐标运算

【例2】 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →

＝c ，且CM →＝3c ，CN →

＝－2b . (1)求3a ＋b －3c ；

(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →

的坐标．

解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．

(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．

(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)， ∴⎩⎨⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎨⎧

m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →

＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →

＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， ∴M 的坐标为(0,20)．