华师大附中2011届数学复习教学案：解斜三角形实习作业

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高三数学一轮复习---解斜三角形(复习)公开课教案

解斜三角形（复习）公开课教案[教学目标]一：巩固对正弦、余弦、面积公式的掌握，并能熟练地运用公式解决问题。

二：培养学生分析、演绎和归纳的能力。

[教学重点]正弦、余弦、面积公式的应用。

[教学难点]选择适当的方法解斜三角形。

[教学过程]一：基本知识回顾：1.1、正弦定理及其变形；正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 是三角形外接圆的半径）变式一：sin 2a A R =、sin 2b B R =、sin 2cC R=变式二：sin :sin :sin A B C ::a b c =1.2、余弦定理及其变形；余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，变式：222cos 2b c a A bc+-=2222cos b a c ac B =+-， 222cos 2a c b B ac+-=2222cos c a b ab C =+-。

222cos 2a b c C ab+-=1.3、面积公式二：例题分析：1、正弦定理（1）在△ABC 中，已知，则 sin B= ( ) （2）在△ABC 中，若a = 2 ,b =030A = , 则B 等于60︒或120︒111sin sin sin 222S ab C bc A ac B===4,303a b A ===︒2、余弦定理（1）在△ABC 中，满足 ,则A ＝ 60°（2）已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为A ．41-B ．41C ．32-D ．32 3、三角形解的个数（1）在△ABC 中，已知 ,这个三角形解的情况是:（ C ）A.一解B.两解C.无解D.不能确定（2）△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6==b a ，那么满足条件的△ABC（）A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定4、判断三角形形状（1）若cCb B a A cos cos sin ==则△ABC 为（） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形（2）关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-CB A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形5、正余弦定理的实际应用（1）有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（） A ．1公里 B ．sin10°公里 C ．cos10°公里 D ．cos20°公里（2）10105/4/o C v v B AB o 某渔船在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后立即测出该渔船在方向角为北偏东45，距离海里的处，渔船沿着方位角为的方向以海里小时的速度向小岛靠拢，我海军艇舰立即以海里小时的速度前去营救。

《9.11认识三角形》作业设计方案-初中数学华东师大版12七年级下册

《认识三角形》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对三角形基本概念的理解，通过实际操作和练习，掌握三角形的分类、性质和特点，提高学生的空间想象能力和几何推理能力。

二、作业内容1. 基础知识练习：（1）三角形的定义及分类：学生需通过练习题，熟悉三角形的定义，并能够根据边长或角度的不同对三角形进行分类。

（2）三角形的基本性质：学生需掌握三角形内角和为180度、三边关系等基本性质。

2. 实践操作题：（1）绘制不同种类的三角形，并标明各边及各角的名称。

（2）利用直尺和圆规，按照给定的边长或角度要求，绘制特定类型的三角形。

3. 拓展提高题：（1）根据三角形的性质，分析并解决与三角形有关的实际问题，如三角形的稳定性在建筑中的应用等。

（2）利用所学知识，探究不同类型三角形的面积计算方法。

三、作业要求1. 基础知识练习：学生需独立完成练习题，并确保答案准确无误。

对于有疑问的题目，可查阅教材或笔记。

2. 实践操作题：学生需认真绘制三角形，确保图形的准确性和规范性。

在绘制过程中，注意培养空间想象能力和几何推理能力。

3. 拓展提高题：学生可结合生活实际，寻找与三角形有关的实际问题，并尝试用所学知识进行分析和解决。

同时，鼓励学生进行小组合作，共同探讨拓展题目的解法。

四、作业评价1. 教师评价：教师需认真批改作业，对学生在基础知识练习中的错误进行指导纠正，并给予适当的鼓励和表扬。

对于实践操作题和拓展提高题，教师需关注学生的思考过程和解题方法，给予针对性的评价和建议。

2. 同学互评：鼓励学生之间进行作业互评，互相学习、互相借鉴。

在互评过程中，学生可就解题思路、方法等方面进行交流和讨论，共同提高。

五、作业反馈1. 教师根据作业批改情况，总结学生在《认识三角形》第一课时学习中存在的共性和个性问题，并在课堂上进行针对性的讲解和指导。

2. 对于优秀作业和进步明显的学生，教师可在课堂上进行表扬和展示，激发学生的学习积极性和自信心。

华师大版初中数学认识三角形导学案

认识三角形导学案学习目标【知识目标】：掌握三角形的定义，并会用字母和符号表示三角形。

掌握三角形的顶点、边、内角、外角等概念。

会按角和边给三角形分类。

【能力目标】：通过认识三角形，发展学生空间观念、推理能力和有条理地表达能力。

【思维目标】：通过观察、想象、推理、交流等活动，培养学生严谨的科学态度和综合思维。

学习重点1、三角形的基本概念2、三角形的分类。

学习难点能根据图形准确找出三角形。

自主学习【自学过程】：学生自学教材72-74页并完成下列填空后互评：1、如图所示的三角形可用符号表示为，读作。

2、点 _、点、点称为三角形的三个顶点。

3、△ABC 的三条边分别为、、。

4、是三角形的内角定义。

图中△ABC 的三个内角为，，。

图15、根据三角形的外角的定义图中∠ 是△ABC 的一个外角。

一个三角形共有个外角。

6、三角形分类有哪两种方法？填一填：（1（2合作探究1、探讨：图1 △ABC 中有多少个内角？多少个外角？与内角∠A 相邻的外角有几个？他们是什么关系？怎样画出△ABC 的外角？2、思考：等腰三角形是等边三角形吗？等边三角形是等腰三角形吗？它们是什么关系？3、辨一辨（对的填“√”，错的填“╳”）：1．三角形中至少有两个锐角.（）2．钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和.（）3．锐角三角形的三个内角都是锐角.（） 4.钝角三角形的三个内角都是钝角.（）5.直角三角形的两个锐角互为余角.（）练习拓展1、完成自学部分填空。

2、在图8.2.4中找出等腰三角形、正三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

3、指出下图中有个三角形。

4．下列三角形分别是什么三角形？（1）已知这个三角形的两个内角分别为35º和55º。

（2）已知这个三角形的两边长分别为6cm 和6cm 。

斜三角形锐角三角形直角三角形图8.2.4 C F（3）已知这个三角形的两个内角分别为80º和50º。

高中数学解斜三角形的应用教案新人教A版必修1

第二十教时教材：解斜三角形的应用目的：要求学生利用数学建模思想，结合正弦定理、余弦定理和解任意三角形的知识解决实践中的有关问题。

过程：一、提出课题：解斜三角形的应用二、例一 (课本P132 例一) 略例二[变题] 假定自动卸货汽车装有一车货物，货物与车箱的底部的滑动摩擦系数为0.3，油泵顶点B 与车箱支点A 之间的距离为1.95米，AB 与水平线之间的夹角为6︒20’，AC 长为1.40米，求货物开始下滑时AC 的长。

解：设车箱倾斜角为θ，货物重量为mgθμμcos mg N f ==当θθμsin cos mg mg ≤即θμtan ≤时货物下滑θμtan = θtan 3.0= '42163.0arctan ==θ'0223'206'4216 =+在△ABC 中: BAC AC AB AC AB BC ∠⋅-+=cos 2222787.10'0223cos 40.195.1240.195.122=⨯⨯⨯-+= 28.3=BC例三 (课本P133 例二) 略例四我舰在敌岛A 南50︒西相距12 nmile 的B 处，发现敌舰正由岛沿北10︒西的方向以10nmileh 的速度航行，问：我舰需要以多大速度，沿什么方向航行才能用功小时追上敌舰？解：在△ABC 中：AB=12 AC=10×2=20 ∠BAC=40︒+80︒=120︒BAC AC AB AC AB BC ∠⋅-+=cos 2222784)21(20122201222=-⨯⨯⨯-+= BC=28即追击速度为14mileh又：∵△ABC 中，由正弦定理：A BCB ACsin sin = ∴1435sin sin ==BC AAC B ∴1435arcsin =B ∴我舰航行方向为北)1435arcsin 50(- 东三、作业：P134 练习 1、2 习题5.10 1—4第（1）课时课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。

数学华东师大版七年级下册三角形的复习

作业设计
作业：课本P79习题练习第3题
板书设计
§9.1认识三角形
一、三角形按角分类
二、三角形按边分类
教学反思
科目
数学
班级
七年级
执课教师
执课时间
课题
9.1认识三角形
课时安排
3课时
总第课时
教学课型
新授课□实（试）验课□复习课□实践课□其他□
教
学
目
标
知识目标：
1、掌握三角形的角平分线、中线、高的概念；
2、会画出任意三角形的角平分线、中线、高；
∵点D是BC边的中点（BD=CD）
∴
（2）三角形中线的性质：
∵AD是△ABC的中线
∴
2、三角形的角平分线：三角形与之间的线段叫三角形的角平分线.
（1）三角形角平分线的判定：
∵∠1=∠2 (已知)
∴( )
（2）三角形角平分线的性质：
∵CE是△ABC的角平分线(已知)
∴( )
3、三角形的高：过三角形顶点作对边的垂线，与
能力目标：
能运用三角形的角平分线、中线、高的定义解决一些简单的问题。
情感、态度和价值观：、
经过观察、分析、操作的过程以及与他人合作交流的过程，发展空间概念。
教学重点
三角形角平分线、中线、高的概念及其画法；
教学难点
钝角三角形高的画法。
教学方法
三勤--四环节
教学准备
课件，多媒体，
教学过程
二次备课
一、定向·诱导
(4)∠BDC是△BCD的什么角?∠BCD是△ACD的外角吗?
(5)请你画出与△BCD的内角∠B相邻的外角。
2.课堂小结：
我们这节课都教学了关于三角形的那些知识？请讲给你的同桌听。

华师大版数学九年级上册《直角三角形斜边中线性质》教学设计

华师大版数学九年级上册《直角三角形斜边中线性质》教学设计一. 教材分析华师大版数学九年级上册《直角三角形斜边中线性质》一课，主要让学生掌握直角三角形斜边上的中线性质，即斜边上的中线等于斜边的一半。

这是为后续学习勾股定理和直角三角形的相关性质奠定基础。

教材通过丰富的图片和生动的语言，引导学生探究直角三角形斜边中线的性质，培养学生的观察能力、推理能力和证明能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了八年级数学的基本知识，对直角三角形有一定的了解。

但学生在学习过程中，可能对斜边中线性质的理解和证明存在一定的困难。

因此，在教学过程中，要关注学生的学习需求，引导学生通过观察、思考、讨论、操作等活动，自主探究斜边中线性质，提高学生的数学素养。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握直角三角形斜边上的中线性质，会运用该性质解决相关问题。

2.过程与方法：培养学生观察、思考、推理、证明的能力，提高学生的数学思维水平。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学的美。

四. 教学重难点1.重点：直角三角形斜边上的中线性质。

2.难点：证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

五. 教学方法1.引导探究法：教师引导学生观察、思考、讨论，让学生自主发现斜边中线性质。

2.演示法：教师利用实物或多媒体演示，帮助学生直观理解斜边中线性质。

3.合作交流法：学生分组讨论，共同完成证明过程，提高学生的团队合作能力。

六. 教学准备1.教具：直角三角形模型、多媒体设备。

2.学具：学生每人一份直角三角形模型。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一组有关直角三角形的图片，引导学生观察并思考：这些直角三角形有什么共同特点？让学生初步感受斜边中线性质。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解和演示，呈现直角三角形斜边中线性质，让学生直观地理解该性质。

同时，教师引导学生尝试用语言描述斜边中线性质，加深学生对知识的理解。

高考第一轮复习数学：54解斜三角形-教案(含习题及答案).

5.4 解斜三角形●知识梳理1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin . 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2=b 2+c 2－2bccosA ； ① b 2=c 2+a 2－2cacosB ； ② c 2=a 2+b 2－2abcosC. ③在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得cosA=bc a c b 2222-+；cosB=ca b a c 2222-+；cosC=abc b a 2222-+.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 特别提示两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.●点击双基1.（2002年上海）在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC ，则△ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形解析：由2cosBsinA=sinC 得acb c a 222-+×a=c ，∴a=b.答案：C2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是A.sinA+cosA=51B.AB ·BC ＞0C.tanA+tanB+tanC ＞0D.b=3，c=33，B=30°解析：由sinA+cosA=51得2sinAcosA=－2524＜0，∴A 为钝角.由·＞0，得·＜0，∴cos 〈，〉＜0.∴B 为钝角. 由tanA+tanB+tanC ＞0，得tan （A+B ）·（1－tanAtanB ）+tanC ＞0.∴tanAtanBtanC ＞0，A 、B 、C 都为锐角.由B b sin =C c sin ，得sinC=23，∴C=3π或3π2.答案：C3.（2004年全国Ⅳ，理11）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于A.231+ B.1+3C.232+ D.2+3解析：∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b=a+c.平方得a 2+c 2=4b 2－2ac.又△ABC 的面积为23，且∠B=30°，故由S △ABC =21acsinB=21acsin30°=41ac=23，得ac=6.∴a 2+c 2=4b 2－12.由余弦定理，得cosB=ac b c a 2222-+=6212422⨯--b b =442-b =23，解得b 2=4+23.又b 为边长，∴b=1+3.答案：B4.已知（a+b+c ）（b+c －a ）=3bc ，则∠A=_______.解析：由已知得（b+c ）2－a 2=3bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc.∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A=3π.答案：3π5.在锐角△ABC 中，边长a=1，b=2，则边长c 的取值范围是_______.解析：若c 是最大边，则cosC ＞0.∴abc b a 2222-+＞0，∴c ＜5.又c ＞b －a=1，∴1＜c ＜5.答案：（1，5） ●典例剖析【例1】 △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b+c ），求证：A=2B.剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.证明：用正弦定理，a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ，代入a 2=b （b+c ）中，得sin 2A=sinB（sinB+sinC ）⇒sin 2A －sin 2B=sinBsinC⇒22cos 1A -－22cos 1B-=sinBsin （A+B ） ⇒21（cos2B －cos2A ）=sinBsin （A+B ） ⇒sin （A+B ）sin （A －B ）=sinBsin （A+B ），因为A 、B 、C 为三角形的三内角，所以sin （A+B ）≠0.所以sin （A －B ）=sinB.所以只能有A －B=B ，即A=2B.评述：利用正弦定理，将思考讨论（1）该题若用余弦定理如何解决?解：利用余弦定理，由a 2=b （b+c ），得cosA=bc a c b 2222-+=bc c b b c b 222）（）（+-+=bb c 2-，cos2B=2cos 2B －1=2（ac b c a 2222-+）2－1=2222c c b b c c b ）（）（++－1=b bc 2-.所以cosA=cos2B.因为A 、B 是△ABC 的内角，所以A=2B. （2）该题根据解：由题设a 2=b （b+c ），得c b a +=ab ①，作出△ABC ，延长CA 到D ，使AD=AB=c ，连结BD.①式表示的即是DC BC =BCAC，所以△BCD∽△ABC.所以∠1=∠D.ABCDab c 21又AB=AD ，可知∠2=∠D ，所以∠1=∠2. 因为∠BAC=∠2+∠D=2∠2=2∠1，所以A=2B.评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是【例2】（2004年全国Ⅱ，17）已知锐角△ABC 中，sin （A+B ）=53，sin （A －B ）=51.（1）求证：tanA=2tanB ；（2）设AB=3，求AB 边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.（1）证明：∵sin （A+B ）=53，sin （A －B ）=51，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B AB A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=2.∴tanA=2tanB.（2）解：2π＜A+B ＜π，∴sin （A+B ）=53.∴tan （A+B ）=－43，即B A B A tan tan 1tan tan -+=－43.将tanA=2tanB 代入上式整理得2tan 2B －4tanB －1=0，解得tanB=262±（负值舍去）.得tanB=262+，∴tanA=2tanB=2+6.设AB 边上的高为CD ，则AB=AD+DB=A CD tan +B CDtan =623+CD .由AB=3得CD=2+6，所以AB 边上的高为2+6.评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力.【例3】（2004年春季北京）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cB b sin 的值.剖析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理.由b 2=ac 可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求cB b sin 的值.解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac.又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc. 在△ABC 中，由余弦定理得cosA=bc a c b 2222-+=bc bc 2=21，∴∠A=60°.在△ABC 中，由正弦定理得sinB=aAb sin ，∵b 2=ac ，∠A=60°，∴ac b c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23. 解法二：在△ABC 中，由面积公式得21bcsinA=21acsinB.∵b 2=ac ，∠A=60°，∴bcsinA=b 2sinB.∴cBb sin =sinA=23.评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.●闯关训练夯实基础1.（2004年浙江，8）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sinA ＞21”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sinA ＜1sinA ＞21；sinA ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°.答案：B2.如图，△ABC 是简易遮阳棚，A 、B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角为A.75°B.60°C.50°D.45°解析：作CE ⊥平面ABD 于E ，则∠CDE 是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE=40°，延长DE 交直线AB 于F ，连结CF ，则∠CFD 是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S △ABD 最大，只需DF 最大.在△CFD 中，︒40sin CF =）（α-︒140sin DF.∴DF=︒-︒⋅40sin 140sin ）（αCF .∵CF 为定值，∴当α=50°时，DF 最大. 答案：C3.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若三角形的面积S=41（a 2+b 2－c 2），则∠C 的度数是_______.解析：由S=41（a 2+b 2－c 2）得21absinC=41·2abcosC.∴tanC=1.∴C=4π.答案：45°4.在△ABC 中，若∠C=60°，则ca bc b a +++=_______. 解析：ca bc b a +++=））（（c a c b bc b ac a +++++22 =222c bc ac ab bc ac b a ++++++. （*）∵∠C=60°，∴a 2+b 2－c 2=2abcosC=ab. ∴a 2+b 2=ab+c 2.代入（*）式得222cbc ac ab bcac b a ++++++=1. 答案：15.在△ABC 中，由已知条件解三角形，其中有两解的是A.b=20，A=45°，C=80°B.a=30，c=28，B=60°C.a=14，b=16，A=45°D.a=12，c=15，A=120°解析：由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得16sin B =14sin A，所以sinB=724.因而B有两值.答案：C 培养能力6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，依次成等比数列，求y=BB B cos sin 2sin 1++的取值范围.解：∵b 2=ac ，∴cosB=ac b c a 2222-+=ac ac c a 222-+=21（c a +a c ）－21≥21.∴0＜B ≤3π，y=B B B cos sin 2sin 1++=B B B B cos sin cos sin 2++）（=sinB+cosB=2sin （B+4π）.∵4π＜B+4π≤12π7，∴22＜sin （B+4π）≤1.故1＜y ≤2. 7.已知△ABC 中，22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）sinB ，外接圆半径为2. （1）求∠C ；（2）求△ABC 面积的最大值.解：（1）由22（sin 2A －sin 2C ）=（a －b ）·sinB 得22（224R a －224R c ）=（a －b ）Rb2. 又∵R=2， ∴a 2－c 2=ab －b 2.∴a 2+b 2－c 2=ab.∴cosC=ab c b a 2222-+=21.又∵0°＜C ＜180°，∴C=60°.（2）S=21absinC=21×23ab=23sinAsinB=23sinAsin （120°－A ）=23sinA （sin120°cosA －cos120°sinA ） =3sinAcosA+3sin 2A=23sin2A －23sin2Acos2A+23=3sin （2A －30°）+23.∴当2A=120°，即A=60°时，S max =233. 8.在△ABC 中，BC=a ，顶点A 在平行于BC 且与BC 相距为a 的直线上滑动，求ACAB的取值范围.解：令AB=kx ，AC=x （k ＞0，x ＞0），则总有sinB=kx a ，sinC=xa（图略），且由正弦定理得sinB=ax sinA ，所以a 2=kx 2·sinBsinC=kx 2sinA ，由余弦定理，可得cosA=222222sin kx A kx x x k -+=21（k+k 1－sinA ），所以k+k 1=sinA+2cosA ≤2221+=5.所以k 2－5k+1≤0，所以215-≤k ≤215+. 所以ACAB的取值范围为［215-，215+］.探究创新9.某城市有一条公路，自西向东经过A 点到市中心O 点后转向东北方向OB ，现要修建一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，现要求市中心O 与AB 的距离为10 km ，问把A 、B 分别设在公路上离中心O 多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.（不要求作近似计算）解：在△AOB 中，设OA=a ，OB=b.因为AO 为正西方向，OB 为东北方向，所以∠AOB=135°.则|AB|2=a 2+b 2－2abcos135°=a 2+b 2+2ab ≥2ab+2ab=（2+2）ab ，当且仅当a=b 时，“=”成立.又O 到AB 的距离为10，设∠OAB=α，则∠OBA=45°－α.所以a=αsin 10，b=）（α-︒45sin 10， ab=αsin 10·）（α-︒45sin 10=）（αα-︒⋅45sin sin 100=）（αααsin 22cos 22sin 100-=）（αα2cos 1422sin 42100--=2452sin 2400-︒+）（α≥22400-，当且仅当α=22°30′时，“=”成立.所以|AB|2≥2222400-+）（=400（2+1）2，当且仅当a=b ，α=22°30′时，“=”成立.所以当a=b=0322sin 10'︒=10）（222+时，|AB|最短，其最短距离为20（2+1），即当AB 分别在OA 、OB 上离O 点10）（222+ km 处，能使|AB|最短，最短距离为20（2－1）. ●思悟小结1.在△ABC 中，∵A+B+C=π，∴sin 2B A +=cos 2C ，cos 2B A +=sin 2C ，tan 2B A +=cot 2C.2.∠A 、∠B 、∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°.3.在非直角三角形中，tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC.4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：①化边为角；②化角为边.并常用正弦（余弦）定理实施边角转化.5.用正（余）弦定理解三角形问题可适当应用向量的数量积求三角形内角与应用向量的模求三角形的边长.6.用向量的数量积求三角形内角时，需明确向量的夹角与三角形内角是相等还是互补. ●教师下载中心教学点睛1.一方面要让学生体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要让学生体会解三角形是重要的测量手段，通过数值计算进一步提高使用计算器的技能技巧和解决实际问题的能力.2.要加大以三角形为背景，以三角恒等变换公式、向量等为工具的小型综合题的训练. 拓展题例【例1】已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，y=cotA+）（C B A A-+cos cos sin 2.（1）若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化?试证明你的结论.（2）求y 的最小值.解：（1）∵y=cotA+[][]）（）（）（C B C B C B -++-+-cos πcos πsin 2=cot A+）（）（）（C B C B C B -++-+cos cos sin 2=cot A+CB CB C B sin sin sin cos cos sin +=cotA+cotB+cotC ，∴任意交换两个角的位置，y 的值不变化. （2）∵cos （B －C ）≤1，∴y ≥cotA+A A cos 1sin 2+=2tan 22tan 12A A-+2tan 2A =21（cot 2A +3tan 2A ）≥2c o t 2t a n 3A A ⋅=3.故当A=B=C=3π时，y min =3.评述：本题的第（1）问是一道结论开放型题，y 的表达式的表面不对称性显示了问题的有趣之处.第（2）问实际上是一道常见题：在△ABC 中，求证：cotA+cotB+cotC ≥3.【例2】在△ABC 中，sinA=CB CB cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状.分析：判断一个三角形的形状，可由三个内角的关系确定，亦可由三边的关系确定.采用后一种方法解答本题，就必须“化角为边”.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a=abcb a ca b ac c b 22222222-++-++，所以b （a 2－b 2）+c （a 2－c 2）=bc （b+c ）.所以（b+c ）a 2=（b 3+c 3）+bc （b+c ）.所以a 2=b 2－bc+c 2+bc.所以a 2=b 2+c 2.所以△ABC 是直角三角形.评述：恒等变形是学好数学的基本功，变形的方向是关键.若考虑三内角的关系，本题可以从已知条件推出cosA=0.。

数学复习解斜三角形教案和学案(尤其适合学生自学)人教版

解：∵S= ABBCsinB= BC= ，∴BC=2．
由余弦定理得AC2=AB2+BC22ABBCcosB=12+4=8 =4，∴AC=2．
例3．在△ABC中，∠A=120º，a=7，b+c=8，求b、c、∠B．
∵a2=b2+c22bccosA=(b+c)22bc(1+cosA)，
∴49=642bc(1 )，解得bc=15．
数学复习解斜三角形教案和学案(尤其适合学生自学)
一、基础知识
1．正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，都等于三角形的外接圆直径．即
=2R．
基本应用
①已知两角和任一边，求其他两边和一角(一解)；
②已知两边和其中一边的对角，求其他两角和一边(一解或两解)．
2．余弦定理
三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
3．常用结论
设△ABC的三边分别为a、b、c，则
①sinC=sin(A+B)，cosC=cos(A+B)
②sin =cos ，cos =sin ；
③∠A、∠B、∠C成等差数列B= ；
④a、b、c成等差数列2b=a+c2sinB=sinA+sinC；
⑤a、b、c成等比数列b2=acsin2B=sinAsinC；
即sin220º+cos280º+ sin20ºcos80º= ．
a2=b2+c22bccosA；b2=c2+a22cacosB；c2=a2+b22abcosC．
基本应用
①已知三边，求三个角(一解)；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角(一解)．

华师大版解直角三角形教案

第19章解直角三角形第1课时§19.1测量【教学目标】本节主要研究如何利用已学知识尤其是相似三角形的相关知识解决生活中某些测量问题。

【教学重点】探究和解决生活中的某些测量问题。

【教学难点】探究解决生活中的某些测量问题的方法。

【教学方法】探究法【教具准备】皮尺、测角仪【教学过程】一．问题引入1．测量操场旗杆有多高？如图19.1.1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以计算出旗杆的高度．图19.1.12．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．二．试一试如图19.1.2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1米．现在请你按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？（请你量一量、算一算。

）实际上，我们利用图19.1.2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及到直角三角形中的边角关系．直角三角形中，三条边有什么关系？它的边与角又有什么关系？这一切都是本章要探究的内容．三．归纳小结：两种测量的方法：方法一：构造可以测量的与原三角形相似的小三角形，利用对应线段成比例的性质计算出所求线段的长；方法二：利用比例尺在纸上画一个与实物三角形相似的小三角形，通过直尺测量出所求线段在纸上的长度，再利用比例尺计算出实际长度。

四．课堂练习1．在一次数学活动课上，老师让同学们到操场测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法。

小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图所示），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A到竹竿顶部E处恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高。

华师大版数学七年级下册《认识三角形》教学设计

华师大版数学七年级下册《认识三角形》教学设计一. 教材分析《认识三角形》是华师大版数学七年级下册的一章内容。

本章主要让学生了解三角形的概念、性质和分类。

通过本章的学习，学生能够掌握三角形的基本知识，为后续学习三角形的相关内容打下基础。

二. 学情分析七年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的认知有一定的基础。

但是，对于三角形的性质和分类，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、讨论等方式，逐步理解和掌握三角形的性质和分类。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生了解三角形的概念、性质和分类，能够识别各种类型的三角形。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、讨论等方式，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：三角形的概念、性质和分类。

2.难点：三角形性质的证明和应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和数学故事，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，培养学生的团队协作能力。

3.实践操作法：引导学生动手操作，通过观察、实验、验证等方式，培养学生的实践能力。

六. 教学准备1.教学素材：准备相关的图片、PPT、学具等教学素材。

2.教学环境：布置好教室，确保教学设施正常运行。

3.学具准备：为学生准备三角形模型、直尺、量角器等学具。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的三角形图片，如自行车的三角架、三角尺等，引导学生回忆起对三角形的认知。

然后提出问题：“你们知道三角形有什么特点吗？”，让学生思考并发表自己的看法。

呈现（10分钟）教师通过PPT展示三角形的定义和性质，如三角形是由三条线段组成的图形，任意两边之和大于第三边等。

同时，教师可以结合数学故事或实例，生动地解释这些性质。

操练（10分钟）教师为学生提供一些实际的三角形模型，让学生通过观察和操作，验证三角形的性质。

数学华东师大版七年级下册三角形的复习

B
D
C
图 9.1-21
1、如图，在△ ABC 中，∠ACB=90°，
A
AC=4cm，BC=3cm，AB=5cm，
作业设计
CD 是 AB 边上的高，求 CD 的长度.
D
C
B
2、在等腰△ ABC 中，AB=AC，一腰上的中线将这个等腰三角
形的周长分这 21 和 12 两部分，求△ ABC 的腰长和底边长？
(3)_____________;
(4)_____________;
2.你在小学阶段教学过哪些三角形？
对于三角形你又了解哪些知识呢？
二、自学·探究
（一）详读教材 P59 内容，完成下列问题：
1. 三角形定义：三角形是由_____不在同一条直线上的_____首尾
顺次连结组成的__________，这三条线段就是三角形的边。
3、思考：由图 1 的实践发现：∠A＋∠B＝ ∠
由此还可得 ACD
A
归纳：由以上证明和思考得：三角形的内角和是
2、由此可知：三角形外角有两条性质：
（1）三角形的一个外角等于
（2）三角形的一个外角大于
三、讨论．解疑
互相讨论学习中的问题。
四、反馈．总结
1. 如图，D 是△ABC 的边 BC 上一点，
三勤--四环节课件，多媒体，
教学过程
二次备课
一、定向·诱导
1、在下列条件中，0°；（2）∠A︰∠B︰∠C=1︰2︰3；
（3）∠A= 90°-∠B；（4）∠A=∠B= 1 ∠C；（5）∠A=2∠B=3∠C. 2
二、自学·探究
详读教材 P75 内容，完成下列问题：
1、三角形的中线：三角形的
与

《9.11认识三角形》作业设计方案-初中数学华东师大版12七年级下册

《认识三角形》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本节课的作业设计，旨在让学生：1. 掌握三角形的定义、分类及基本性质；2. 理解三角形内角和定理及外角定理；3. 学会绘制三角形，并能够根据已知条件判断三角形的类型。

二、作业内容本节课的作业内容主要包括以下几个方面：1. 基础知识点练习：学生需通过教材及课外辅导资料，对三角形的定义、分类、性质等进行复习巩固，并完成相关的填空题和选择题练习。

2. 课堂知识应用：设计一系列有关三角形的问题，让学生运用所学的知识，解决实际问题。

例如，给定三条边长，判断能否构成三角形，如能构成，是何种类型的三角形；已知两个角的度数，求其他角的度数等。

3. 绘图训练：学生需使用直尺、圆规等工具，绘制不同类型的三角形，如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等，并标注相关角度和边长。

4. 拓展延伸：设计一些具有挑战性的问题，如三角形的面积计算、三角形的全等与相似等，激发学生探究数学的兴趣。

三、作业要求1. 独立完成：学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案；2. 认真审题：审清题目要求，明确解题步骤；3. 规范答题：答案要准确、清晰、规范，使用数学语言表述；4. 及时订正：对于错题，学生需及时订正，并找出错误原因；5. 作业上交：按照教师规定的时间和方式上交作业。

四、作业评价教师将对每位学生的作业进行批改和评价，评价标准包括：1. 正确性：答案是否准确无误；2. 规范性：答题步骤是否规范，是否使用数学语言表述；3. 创新性：是否有新颖的解题思路和方法；4. 态度与努力：学生的作业态度是否认真，是否有订正和反思。

五、作业反馈1. 教师将针对学生在作业中出现的错误进行详细讲解，帮助学生掌握正确的解题方法；2. 对于优秀作业，教师将在课堂上进行展示和表扬，激发学生的积极性；3. 教师将根据学生的作业情况，调整教学进度和教学方法，以更好地满足学生的学习需求；4. 学生需根据教师的反馈，及时订正错误，加强练习，巩固所学知识。

高中数学新教材教学中开展实习作业案例

高中数学新教材教学中开展实习作业案例单元概述：在这个单元当中，学生将全面研究、学习解三角形。

教师用制作的演示文稿为学生介绍正弦定理，余弦定理,并引导学生思考，并让他们将自己的想法记录到数学日记中。

学生用数学日记描述现实生活中与三角形相关的问题，并用正余弦定理来描述日常生活中的事件？让学生创建调查计划、收集关于生活中关于三角形的信息,利用实习报告，表达他们的解决方案。

课程标准：给学生思考的空间,营造一个积极思路、探索创新的氛围来介绍数学内容与其他学科、日常生活的联系，利用数学解决一些实际问题，鼓励学生从多种角度寻求解决问题的方法，培养数学的兴趣,发展学生的应用意识和能力,关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成,改善教与学的方式，使学生主动学习,恰当应用现代信息技术提高教学质量.单元计划：情感态度价值观目标：1.通过对三角形边角关系的探究学习，体验数学探究活动的过程，培养探究精神和创新意识；2.在用正弦定理，余弦定理解决一些简单的实际问题的过程中，逐步养成实事求是，扎实严谨的科学态度，学会用数学的思维方式去解决问题认识世界；3.通过实习作业，体会解三角形在测量中的应用，提高应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力；4通过学习和应用，进一步体会数学的科学价值应用价值，进而领会数学的人文价值美学价值不断提高自身的文化素养。

评定成绩:成绩是在过程中评定的，在开始之前，提供各种量规给学生，让他们知道研究的评估标准。

在进行中，有很多评估点可以对学生进行评估，以确认所有人都在研究轨道上。

比如学生写的数学日记，做的演示文稿，写的实习报告，写的博客等等。

当一组学生一起完成时，学生既能得到小组的最后成绩，也能得到个人成绩。

实习背景：前面几节课，学习了解斜三角形的应用举例，具备了一定的解斜三角形的能力，并且了解到解斜三角形知识在生产、生活实际的各个方面的应用在此基础上我们将为应用解斜三角形知识的实习作业作准备工作实习方法：自主探究，分组讨论式我把全班学生分成9个学习小组，要求学生以小组为单位，充分发挥每个人的创造性和合作意识，设计出新颖有趣的实验，验证自己的猜想是否正确。

高中数学第五章第27课时复习六——解斜三角形教师专用教案新人教A版

复习六——解斜三角形目的：巩固对正弦、余弦的掌握，并能较熟练地应用解决具体问题。

过程：一、复习：1︒两个定理 2︒两个定理能解决的问题二、例题：1．证明射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A证一：右边 =a aaac b c a c ab c b a b==-++-+22222222222= 左边证二：右边 = 2Rsin B cos C + 2Rsin C cos B =2Rsin(B +C )=2Rsin A = a = 左边其余两式同2．已知：在△ABC 中，∠A =45︒，AB =6，BC =2，解此三角形。

解一：232226sin sin sin sin sin =⨯==⇒==BC A AB C B AC A BC C AB ∴当∠C = 60︒时, ∠B = 75︒ ∴13sin sin +==A BBC AC ∴当∠C = 120︒时, ∠B = 15︒ ∴13sin sin -==ABBC AC 解二：设AC = b ，由余弦定理： 45cos 62)6(422b b -+=即：02322=+-b b 解得：13±=b再由余弦定理：21cos ±=C ∴∠C = 60︒或120︒, ∠B = 75︒或15︒ 3．在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，判断△ABC 的形状。

解一：由正弦定理：B A BAA A AB B A 2sin 2sin sin sin cosA cosB sin sin cos sin cos sin 22=∴==即： ∴2A = 2B 或 2A = 180︒ - 2B 即：A = B 或 A + B = 90︒ ∴△ABC 为等腰或直角三角形解二：由题设：22222222222222sin cos cos sin ba Rb bc a c b ac b c a R a b a B A B A =⋅-+-+⋅⇒= 化简：b 2(a 2+ c 2- b 2) = a 2(b 2+ c 2- a 2) ∴(a 2-b 2)(a 2+ b 2- c 2)=0 ∴a = b 或 a 2+ b 2= c 2∴△ABC 为等腰或直角三角形4．如图：在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为 15︒，向山顶前进100m 后，又从点B 测得斜度为45︒，假设建筑物高50m ，求此山对于地平面的斜度θ。

第一章《解斜三角形》复习课教案(B必修)

城东蜊市阳光实验学校第一章解斜三角形复习课教案〔B 版必修5〕〔一〕教学目的：〔1〕运用正弦定理、余弦定理，解决一些简单的三角形度量问题。

〔2〕可以纯熟运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

〔3〕培养学生分析问题、解决问题，自主探究的才能。

〔二〕教学重点与难点：重点：〔1〕正弦定理与余弦定理的应用。

〔2〕题目的条件满足什么形式时适宜用正弦、余弦定理解决问题。

难点：〔1〕利用正弦定理求解过程中一解、二解的情况。

〔2〕从实际问题抽象出数学问题。

〔三〕教学过程：观察引入：？让学生观察考虑：在△ABC 中，请给出适当的条件，并根据你给出的条件可以得到什么结论？〔培养学生自主探究和学习的才能〕根据学生所答，教师归纳总结正弦定理，余弦定理公式：C B R Cc B b A a 2sin sin sin ===　〔正弦定理〕正弦定理可以用来解两种类型的三角问题：(1)两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；(2)两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。

Cab b a c B ca a c b Abc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=〔余弦定理〕余弦定理可解以下两种类型的三角形：〔1〕三边；〔2〕两边及夹角.〔四〕例题精讲：让学生自主探究，分析问题，解决问题。

〔可用正、余弦2种方法解决，注意解的个数〕例2如图，当甲船位于A 处时得悉，在其正向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西300，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援？〔角度准确到10〕根据题目要求把实际问题转化成解三角形问题，对应的边长和角度可从条件中获得。

〔五〕课堂练习：1.△ABC 中，∠A=60°,a=,b=4,那么满足条件的△ABC()A 有一个解B 有两个解C 无解D 不能确定2.ABC中，8b=，c=，ABCS =A∠等于〔〕A 30B 60C 30或者者150D 60或者者1203.△ABC中，假设60A =，a=sin sin sina b cA B C+-+-等于〔〕A2B 1 24.ABC中，:1:2A B=，C的平分线CD把三角形面积分成3:2两部分，那么cos A=〔〕A 13B12C34D05.果把直角三角形的三边都增加同样的长度，那么这个新的三角形的形状为〔〕A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D由增加的长度决定参考答案：1．C2。

高中数学第一章解三角形 1.3 实习作业教学设计新人教A版必修5

1.3 实习作业从容说课本节适当安排了一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题解决问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力，增强学生应用数学的意识和数学实践的能力．教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题．教学重点数学模型的建立.教学难点解斜三角形知识在实际中的应用.教具准备测量工具（三角板、测角仪、米尺等）、实习报告三维目标一、知识与技能1.解斜三角形应用;2.测角仪原理;3.数学建模.二、过程与方法1.进一步熟悉解斜三角形知识;2.巩固所学知识,提高分析和解决简单实际问题的能力;3.加强动手操作的能力;4.进一步提高数学语言表达实习过程和实习结果的能力;5.增强数学应用意识.三、情感态度与价值观1.认识数学在生产实际中的作用;2.提高学习数学兴趣,树立建设祖国的远大理想.导入新课师前面几节课，我们一起学习了解斜三角形的应用举例,具备了一定的解斜三角形的能力,并且了解到解斜三角形知识在生产、生活实际的各个方面的应用.这一节,我们将一起动手应用解斜三角形的知识来研究实际问题.推进新课（1）提出问题：问题（一）：测量学校锅炉房的烟囱的高度.问题（二）：如图(1)，怎样测量一水塘两侧A、B两点间的距离?问题（三）：如图(2)，若要测量小河两岸A、B两点间的距离，应怎样测量？(1)(2)（2）分析问题：师问题（一）中的学校锅炉房的烟囱的高度无法用皮尺直接量出，那应该怎么去解决？生根据实际情况，应该采取下列措施：1.根据地形选取测量点;2.测量所需要数据;3.多次重复测量,但改变测量点;4.填写实习报告;5.总结改进方案.实习报告（1）年月日2师对于问题二、问题三中的A 、B 两点都不能直达，无法用皮尺直接量出，如何间接量出？应再取点C ，借助△ABC 来测量计算．在△ABC 中要计算AB 的长，应采集哪些数据？如何采集？生问题二中，先选适当位置C ，用经纬仪器测出角α，再分别量出AC 、BC 的长B 、A ，则可求出A 、B 两点间的距离．生问题三中，可在小河的一侧，如在点B 所在的一侧，选择点C ，为了算出AB 的长，可先测出BC 的长A ，再用经纬仪分别测出α、β的值，那么，根据A 、α、β的值，就可算出AB 的长．生数据运算：问题二计算方法如下：在△ABC 中，已知AC =B ，BC =A ,C =α,则由余弦定理得αcos 222ab b a AB -+= 问题三计算方法如下：在△ABC 中，由正弦定理可得)sin(sin sin βαβ+==a A BC AB ，所以)sin(sin βαβ+=a AB . 实习报告（2）实习报告（3）是对一小河两岸两点实际测量的情况．实习报告（3）课堂小结通过本节实习,要求大家进一步熟悉解斜三角形知识在实际中的应用,在动手实践的过程中提高利用数学知识解决实际问题的能力,并认识数学在生产、生活实际中所发挥的作用,增强学习数学的兴趣. 布置作业完成实习报告板书设计习题详解（课本第28页复习参考题）A 组1. (1)B ≈21°9′,C ≈38°51′,C ≈8.69 c m;(2)B ≈41°49′,C ≈108°11′,C ≈11.4 c m;或B ≈138°11′,C ≈11°49′,C ≈2.46 c m; (3)A ≈11°2′,B ≈38°58′,C ≈28.02 cm; (4)B ≈20°30′,C ≈14°30′,A ≈22.92 c m; (5)A ≈16°20′,C ≈11°40′,B ≈53.41 c m; (6)A =28°57′,B =46°34′,C =104°29′; (7)A =53°35′,B =13°18′,C =113°7′.2.解法一:设海轮在B 处望见小岛在北偏东75°,在C 处望见小岛在北偏东60°,从小岛A 向海轮的航线BD 作垂线,垂线段AD 的长度为x n mile, CD 为y n mile ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒=+︒=,15tan 8,30tan y x y x,415tan 30tan 30tan 15tan 8,815tan 30tan 815tan 30tan =︒-︒︒︒=-︒=︒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=︒=︒x x x y x y x所以,这艘海轮不改变航向继续前进没有触礁的危险.解法二:设海轮在B 处望见小岛在北偏东75°,在C 处望见小岛在北偏东60°,从小岛A 向海轮的航线BD 作垂线AD ,在△ABC中,∠ABC =90°-75°=15°,∠ACB =90°+60°=150°,∠BAC =180°-75°-150°=15°=∠ABC ,所以AC =BC =8 n mile.AD =8×sin30°=4(n mile).所以,这艘海轮不改变航向继续前进没有触礁的危险.3.根据余弦定理AB 2=a 2+b 2-2abco s α,所以αcos 222ab b a AB -+=.ααααcos 2cos cos 22cos 22cos 22222222222ab b a b a ab b a a b ab b a a AB a b AB a B -+-=-+⨯⨯--++=∙∙-+=. 从∠B 的余弦值可以确定它的大小.类似地,可以得到下面的值,从而确定∠A 的大小.ααcos 2cos cos 22ab b a a b A -+-=4.如图,C 、D 是两个观测点,C 到D 的距离是D ,航船在时刻t 1在A 处,以从A 到B 的航向航行,在此时测出∠ACD 和∠CDA ,在时刻t 2,航船航行到B 处,此时,测出∠CDB 和∠BCD .根据正弦定理,在△BCD 中,可以计算出BC 的长,在△ACD 中,可以计算出AC 的长,在△ACB 中,AC 、BC 已经算出,∠ACB =∠ACD -∠BCD ,解△ACB ,求出AB 的长,即航船航行的距离,算出∠CAB ,这样就可以算出航船的航向和速度.5.河流宽度是βαβαsin sin )sin(-h .6.47.7 m.7.如图，A 、B 是已知的两个小岛，航船在时刻t 1在C 处,以从C 到D 的航向航行,测出∠ACD 和∠BCD ,在时刻t 2,航船航行到D 处,根据时间和航船的速度,可以计算出C 到D 的距离D ,在D 处测出∠CDB 和∠CDA ,根据正弦定理,在△BCD 中,可以计算出BD 的长,在△ACD 中,可以计算出AD 的长,在△ABD 中,AD 、BD 已经算出,∠ADB =∠CDB -∠CDA ,根据余弦定理,就可以求出AB 的长,即两个海岛A 、B 之间的距离.B 组1.如图,A 、B 是两个底部不可到达的建筑物的尖顶,在地面某点E 处,测出图中∠A EF 、∠A FE 的大小,以及EF 的距离,利用正弦定理,解△A EF,算出A E,在△B EF 中,测出∠B EF 和∠B FE,利用余弦定理,算出B E ，在△AB E 中,测出∠A E B ,利用余弦定理,算出AB 的长,本题有其他的一些测量方法.2.关于三角形的面积公式,有以下的一些公式:(1)已知一边和边上的高:S=21ah A ,S=21ah B ,S=21ah C ; (2)已知两边及其夹角:S=21ab sin C ,S=21bc sin A ,S=21ca sin B ;(3)已知三边:))()((c p b p a p p S ---=,这里2cb a p ++=;(4)已知两角及两角的共同边:)sin(2sin sin ,)sin(2sin sin ,)sin(2sin sin 222C B CB a S B A B A c S AC A C b S +=+=+=; (5)已知三边和外接圆半径R:RabcS 4=. 3.设三角形三边长分别是n-1,n,n+1,三个角分别是α,π-3α,2α,由正弦定理,,2sin 1sin 1αα+=-n n 所以)1(21cos -+=n n α. 由余弦定理,(n-1)2=(n+1)2+n 2-2×(n+1)×n×co s α, 即(n-1)z=(n+1)2+n 2-2×(n+1)×n×)1(21-+n n .化简,得n 2-5n=0.所以n=0或n=5.n=0不合题意,舍去;n=5,三角形的三边分别是4、5、6,可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍.另解：先考虑三角形所具有的第一个性质:三边是连续的三个自然数.(1)三边的长不可能是1、2、3,这是因为1+2＝3,而三角形任何两边之和大于第三边. (2)如果三边分别是a =2,b =3,c =4,因为874322432cos 222222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A , 32171)87(21cos 22cos 22=-⨯=-=A A ,413224322cos 222222=⨯⨯-+=-+=ab c b a C .在此三角形中,A 是最小角,C 是最大角,但是co s2A ≠co s C , 所以2A ≠C .边长为2、3、4的三角形不满足条件.(3)如果三边分别是A =3,B =4,C =5,此三角形是直角三角形,最大角是90°,最小角不等于45°,此三角形不满足条件.(4)如果三边是a =4,b =5,c =6,此时436524652cos 222222=⨯⨯-+=-+=bc a c b A ,811cos 22cos 2=-=A A ,815426542cos 222222=⨯⨯-+=-+=ab c b a C .因为co s2A =co s C ,而0＜2A ,C ＜π, 所以2A =C .所以,边长为4、5、6的三角形满足条件.(5)当n ＞4,三角形的三边是A =n,B =n+1,C =n+2时,三角形的最小角是A ,最大角是C .,)2(2321)2(25)2)(1(256)2)(1(2)2()1(2cos 2222222++=++=++++=++-+++=-+=n n n n n n n n n n n n bc a c b A .232123)1(2)1)(3()1(232)1(2)2()1(2cos 2222222nn n n n n n n n n n n n n n n ab c b a C -=-=++-=+--=++-++=-+=co s A 随n 的增大而减小,A 随之增大,co s C 随n 的增大而增大,C 随之变小.由于n=4时,有C =2A ,所以n>4时,不可能C ＝2A .综上可知,只有边长分别为4、5、6的三角形满足条件.备课资料备用例题A 、B 两点间有小山和小河,为了求A 、B 两点间的距离,选择一点D ,使AD 可以直接测量且B 、D两点可以通视,再在AD 上选一点C ,使B 、C 两点也可通视,测量下列数据:AC =m,CD =n,∠ADB =α,∠ACB =β,求AB .(1)计算方法如图所示,在△BCD 中,CD =n,∠CDB =α, ∴∠DBC =β-α. 由正弦定理可得)sin(sin sin sin αβα-=∠∠∙=n DBC BDC CD BC ,在△ABC 中,再由余弦定理得AB 2=BC 2+AC 2-2BC ·AC ·CO s∠ACB .其中BC 可求, AC =m,∠ACB =β,故AB 可求. (2)实习报告。

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