最新华师大附中数学复习教学案平面向量数量积的坐标表示
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华师大附中2011届数学复习教学案平面向量数量积的坐标表
示
课题：平面向量数量积的坐标表示
教学目的：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式
⑶能用所学知识解决有关综合问题
教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量«Skip Record If...»与«Skip Record If...»，作«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»，则∠A ＯB＝θ（０≤θ≤π）叫«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量«Skip Record If...»与
«Skip Record If...»，它们的夹角是θ，则数量|«Skip Record If...»||«Skip Record If...»|c osθ叫«Skip Record If...»与«Skip Record If...»的数量积，记作«Skip Record If...»⋅«Skip Record If...»，即有«Skip Record If...»⋅«Skip Record If...» = |«Skip Record If...»||«Skip Record If...»|c osθ，
（０≤θ≤π）.并规定«Skip Record If...»与任何向量的数量积为0
3．向量的数量积的几何意义：
数量积«Skip Record If...»⋅«Skip Record If...»等于«Skip Record If...»的长度与
«Skip Record If...»在«Skip Record If...»方向上投影|«Skip Record If...»|c osθ的乘积
4．两个向量的数量积的性质：
设«Skip Record If...»、«Skip Record If...»为两个非零向量，«Skip Record If...»是与«Skip Record If...»同向的单位向量
1︒«Skip Record If...»⋅«Skip Record If...» = «Skip Record If...»⋅«Skip Record If...»
=|«Skip Record If...»|c osθ；2︒«Skip Record If...»⊥«Skip Record If...»⇔«Skip Record If...»⋅«Skip Record If...» = 0
3︒当«Skip Record If...»与«Skip Record If...»同向时，«Skip Record If...»⋅«Skip Record If...» = |«Skip Record If...»||«Skip Record If...»|；当«Skip Record If...»与
«Skip Record If...»反向时，«Skip Record If...»⋅«Skip Record If...» = -|«Skip Record If...»||«Skip Record If...»|
特别的«Skip Record If...»⋅«Skip Record If...» = |«Skip Record If...»|2或«Skip Record If...»
4︒c osθ =«Skip Record If...»；5︒|«Skip Record If...»⋅«Skip Record If...»| ≤ |«Skip Record If...»||«Skip Record If...»|
5．平面向量数量积的运算律
交换律：«Skip Record If...»⋅«Skip
Record If...» = «Skip Record If...»⋅«Skip
Record If...»
数乘结合律：(«Skip Record If...»«Skip
Record If...»)⋅«Skip Record If...» =«Skip Record If...»(«Skip Record If...»⋅«Skip Record If...») = «Skip Record If...»⋅(«Skip Record If...»«Skip Record If...»)
分配律：(«Skip Record If...» + «Skip Record If...»)⋅«Skip Record If...» = «Skip Record If...»⋅«Skip Record If...» + «Skip Record If...»⋅«Skip Record If...»
二、讲解新课：
⒈平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，试用«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的坐标表示«Skip Record If...»
设«Skip Record If...»是«Skip Record If...»轴上的单位向量，«Skip Record If...»
是«Skip Record If...»轴上的单位向量，那么
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
所以«Skip Record If...»«Skip Record If...»
又«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»
所以«Skip Record If...»«Skip Record If...»
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
即«Skip Record If...»«Skip Record If...»
2.平面内两点间的距离公式
（1）设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»或«Skip Record If...»
（2）如果表示向量«Skip Record If...»的有向线段的起点和终点的坐标分别为
«Skip Record If...»、«Skip Record If...»，那么«Skip Record If...»(平面内两点间的
距离公式)
3.向量垂直的判定
设«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
4.两向量夹角的余弦（«Skip Record If...»）
c o s θ =«Skip Record
If...»222221212
121y x y x y y x x +++=
三、讲解范例：
例1 设«Skip Record If...» = (5, -7)，«Skip Record If...» = (-6, -4)，求«Skip
Record If...»⋅«Skip Record If...»
解：«Skip Record If...» = 5×(-6) + (-7)×(-4) = -30 + 28 = -2