最新华师大附中数学复习教学案平面向量数量积的坐标表示

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高一数学教案：平面向量数量积的坐标表示

高一数学教案：平面向量数量积的坐标表示教学目的：⑴要求学生把握平而向量数量积的坐标表示⑵把握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平而内两点间的距离公式.⑶能用所学知识解决有关综合咨询题.教学重点：平而向虽数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.两个非零向量夹角的概念非零向量云与5 ,作OA=a, OB =b ,那么ZA 6>B= 0（ 0 W "W刀）叫N与5的夹角.2.平面向疑数量积（内积）的定义：两个非零向量N与方，它们的夹角是〃，那么数量 |云||方|cos8叫云与5的数量积,记作7",即有&広-\a\\b|cos0»（ow”w“）.并规左6与任何向量的数量积为0・3.向量的数量积的几何意义：数量积厅広等于N的长度与5在厅方向上投影15 |cose的乘枳.4.两个向量的数疑积的性质：设&、厶为两个非零向量，0是与5同向的单位向量.1°^ cl = a e =| a |cos6；2°a丄方 o a b = o3。

当厅与方同向时，a b =|5||^|；当N与方反向时，ci b =-\U\\b |.专门的N-N = | « |2或171=u ■ b—-•4°cos9 = -------- : S Q\ci b | W \a\\h \\a\\b\5.平而向量数量积的运算律交换律：ci b = b . a数乘结合律：(ka) b =X(a b ) = a (kb )分配律:(a + b)•三=a c + b a 二、讲解新课：1 •平面两向量数量积的坐标表示两个非零向M^ = (x p y,). 5 =(吃，比)，试用云和5的坐标表示玄昉・设亍是*轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么 ci = xJ + y }J ‘ b =xj + y 2j因此 a-b= (x,f + yj)(xj + yj) =x }xj 2 + x {yj J + x 2yj-j + y }y 2j 2 又i i =1, 7-7=1, i ・j = j ・i =0 因此万・Z? =x l x 2 + y l y 2这确实是讲：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即运・5 =x x x 2 +y x y 22.平面内两点间的距离公式(1) 设 & = (x,y),那么 \a\2=x 2+y 2 或同=J/+：/.(2) 假如表示向量厅的有向线段的起点和终点的坐标分不为(£,比)・那么 I « 1= J(“一勺)2+(”一儿)2 (平面内两点间的距离公式) 3•向量垂直的判定——设a = (x^ y })» b =(x 2,y 2),那么万丄 Z? O x }x 2 + y {y 2 =0解：a b = 5X(-6)+ (一7)X(-4) = -30+ 28 =-2例2 a{l 9 2), b{2f 3),三(-2,5)・求证：ZXABC 是直角三角形. 证明：I AB =(2-1, 3-2) = (1,1), AC = (-2-1, 5-2) = (一3, 3)4•两向量夹角的余弦(0<6><^)cosQ =ci-b \a\-\b\-y^2+Jij27^12 +J1\^22 + J22三、讲解范例:例 1 设N =(5, -7), b =(一6,-4),求云 5••• A3 AC =1X(-3)+ 1X3 = 0 ••• A3 丄 AC•••△ABC 是直角三角形例3 a =(3, -1), b =(l f 2),求满足丘・N =9与左・5 =-4的向量玄x-a = 9 由解：由 «= ( 1 ,馅)，b= (V3 + 1 , V3 - 1 ) 有刁・5=^/5+1+>/5 ( A /3 — 1 ) = 4 ,|万|=2,| b | = 2 A /2 .又••• 0 W 刀，••• o = -4评述：三角形函数值求角时，应注重角的范畴的确定.例5如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△4BC,使Zb =90。

《平面向量数量积的坐标表示》教案、导学案、课后作业

《6.3.5 平面向量数量积的坐标表示》教案【教材分析】平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。

它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章的重点之一.【教学目标与核心素养】课程目标1．学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算。

理解掌握向量的模、夹角等公式.能根据公式解决两个向量的夹角、垂直等问题.2．经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神.数学学科素养1.数学抽象：数量积的坐标运算；2.逻辑推理：平面向量的夹角公式，模长公式，垂直关系等；3.数学运算：根据向量垂直求参数，根据已知信息求数量积、夹角、模长等；4.数据分析：根据已知信息选取合适方法及公式求数量积；5.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决，体现了事务之间是可以相互转化的.【教学重点和难点】重点：平面向量数量积的坐标表示；难点：向量数量积的坐标表示的应用.【教学过程】一、情景导入前面，我们学习了: 用坐标表示平面向量的加法和减法, 平面向量的数量积是如何定义, 向量的运算律有哪些.那么可以用坐标表示平面向量的数量积吗？如果可以，怎么表示?要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本34-35页，思考并完成以下问题1、平面向量数量积的坐标表示是什么？2、如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、两向量的数量积与两向量垂直的公式（1）已知两个非零向量a =(x 1,x 2), b =(x 2,y 2),怎样用a 与b 的坐标表示数量积a ·b 呢？a ·b =x 1x 2+y 1y 2即：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和（2）a ⊥b <=> a ·b =0<=>x 1x 2+y 1y 2=0 2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式（1）若a =(x,y)，则|a |=x 2＋y 2（2）若A(x 1,x 2),B(x 2,y 2)，则两点A 、B 间的距离为（3）设a , b 都是非零向量，a =(x 1,y 1), b (x 2,y 2), a 与b 的夹角θ，则四、典例分析、举一反三题型一平面向量数量积的坐标运算例1 (1)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2(2)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ―→＝(1，－2)，AD ―→＝(2,1)，则AD ―→·AC ―→＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】(1) C ．(2) A ．【解析】(1)∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.(2)由AC ―→＝AB ―→＋AD ―→＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD ―→·AC ―→＝(2,1)·(3，－,)()(212212y y x x AB -+-=222221212121cos y x y x y y x x +⋅++=θ1)＝5.解题技巧（数量积坐标运算的两条途径）进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．跟踪训练一1、在平面直角坐标系xOy 中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点坐标分别为O (0,0)，B (1,1)，则AB ―→·AC ―→＝________.2．在平行四边形ABCD 中，AC ―→＝(1,2)，BD ―→＝(－3,2)，则AD ―→·AC ―→＝________.【答案】1、1 2、3.【解析】1、如图所示，在正方形OABC 中，A (0,1)，C (1,0)(当然两者位置可互换，不影响最终结果)，则AB ―→＝(1,0)，AC ―→＝(1，－1)，从而AB ―→·AC ―→＝(1,0)·(1，－1)＝1×1＋0×(－1)＝1.2、设AC ，BD 相交于点O ，则AD ―→＝AO ―→＋OD ―→＝12AC ―→＋12BD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1＝(－1,2)．又AC ―→＝(1,2)，∴AD ―→·AC ―→＝(－1,2)·(1,2)＝－1＋4＝3.题型二向量的模的问题例2 (1)设平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，y )，若a ∥b ，则|3a ＋b |等于( ) A. 5 B. 6 C.17D.26(2)已知|a |＝213，b ＝(2，－3)，若a ⊥b ，求a ＋b 的坐标及|a ＋b |. 【答案】（1）A （2）a ＋b ＝(8,1)或a ＋b ＝(－4，－7)，|a ＋b |＝65. 【解析】 (1)∵a ∥b ，∴1×y －2×(－2)＝0，解得y ＝－4，从而3a ＋b ＝(1,2)，|3a ＋b |＝ 5. (2)设a ＝(x ，y )，则由|a |＝213，得x 2＋y 2＝52. ① 由a ⊥b ，解得2x －3y ＝0.②由①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6y ＝－4.∴a ＝(6,4)或a ＝(－6，－4)． ∴a ＋b ＝(8,1)或a ＋b ＝(－4，－7)， ∴|a ＋b |＝65.解题技巧： (求向量模的两种基本策略)(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2. 跟踪训练二1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________． 2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 【答案】1、2＋ 3. 2、8 2.【解析】1、2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ)， |2a －b |＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ)2 ＝4cos 2θ－43cos θ＋3＋4sin 2θ ＝7－43cos θ，当且仅当cos θ＝－1时，|2a －b |取最大值2＋ 3. 2、∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)， ∴a·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a －(a·b )b ＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)， ∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2. 题型三向量的夹角和垂直问题例3 (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120° D．150°(2)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，求c 的坐标．【答案】(1)C. (2) c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫521，－17. 【解析】 (1)∵a ·b ＝－2－8＝－10， ∴得(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152， ∴c ·a ＝－52.设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12.∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.(2)设c 的坐标为(x ，y )，则a ＋c ＝(1＋x,2＋y )． ∵(a ＋c )∥b ，∴(1＋x )×3－2×(2＋y )＝0，即3x －2y ＝1. ① 又a ＋b ＝(3,5)，且(a ＋b )⊥c ，∴3x ＋5y ＝0. ②联立①②，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝1，3x ＋5y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝521，y ＝－17.故c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫521，－17.解题技巧（解决向量夹角问题的方法和注意事项）(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b |a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.跟踪训练三1、已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．【答案】(1)b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)3π4. 【解析】(1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3， ∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．设m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)2·72＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，即m ，n 的夹角为3π4.题型四平面向量的数量积问题例4 已知点A ，B ，C 满足|AB ―→|＝3，|BC ―→|＝4，|CA ―→|＝5，求AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→的值．【答案】-25.【解析】[法一定义法]如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45， ∴AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→ ＝BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A )＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35 ＝－25. [法二坐标法]如图，建立平面直角坐标系，则A (3,0)，B (0,0)，C (0,4)． ∴AB ―→＝(－3,0)，BC ―→＝(0,4)， CA ―→＝(3，－4)．∴AB ―→·BC ―→＝－3×0＋0×4＝0， BC ―→·CA ―→＝0×3＋4×(－4)＝－16， CA ―→·AB ―→＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.∴AB ―→·BC ―→＋BC ―→·CA ―→＋CA ―→·AB ―→＝0－16－9＝－25. 解题技巧（求平面向量数量积常用的三个方法） (1)定义法：利用定义式a ·b ＝|a ||b |cos θ求解； (2)坐标法：利用坐标式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解；(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算．跟踪训练四1、如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．【答案】45.【解析】法一：以O 为坐标原点，OA ，OC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得OD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，OE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故cos ∠DOE ＝OD ―→·OE―→|OD ―→|·|OE ―→|＝1×12＋12×152×52＝45.法二：∵OD ―→＝OA ―→＋AD ―→＝OA ―→＋12OC ―→， OE ―→＝OC ―→＋CE ―→＝OC ―→＋12OA ―→， ∴|OD ―→|＝52，|OE ―→|＝52， OD ―→·OE ―→＝12OA ―→2＋12OC ―→2＝1， ∴cos ∠DOE ＝OD ―→·OE ―→| OD ―→ ||OE ―→|＝45.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本36页练习，36页习题6.3的剩余题.【教学反思】结合本节教材浅显易懂，又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点，兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状，我主要采用“诱思探究教学法”，激发学生的求知欲，积极的鼓励学生的参与，给学生独立思考的空间，最终在教师的指导下去探索发现问题，解决问题。

平面向量数量积的坐标表示教案

平面向量数量积的坐标表示教案
教学目标：
1. 理解平面向量数量积的定义和性质。

2. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法。

3. 能够通过坐标表示计算平面向量数量积。

教学步骤：
一、引入
1. 提问：你们知道什么是平面向量数量积吗？它有什么作用？
2. 引导学生回忆和复习向量的定义和性质。

二、概念讲解
1. 给出平面向量数量积的定义：设有向量a(x₁, y₁)和向量b(x₂, y₂)，则它们的数量积(a·b) = x₁x₂ + y₁y₂。

2. 解释数量积的几何意义：数量积的结果是一个实数，它等于向量a在向量b上的投影的长度乘以向量b的模长。

三、坐标表示及计算方法
1. 说明如何利用向量的坐标表示来计算数量积，即将向量的坐标代入数量积定义的公式进行计算。

2. 给出一个例子，让学生分组演示如何通过坐标表示计算向量数量积。

引导学生思考其中的计算思想和规律。

四、数量积的性质
1. 介绍数量积的一些重要性质，如交换律、分配律、零向量的数量积等。

2. 提出相关练习题，让学生进行思考和讨论。

五、练习与巩固
1. 提供一些练习题，让学生通过坐标表示计算数量积。

2. 布置课后作业，要求学生完成更多的相关练习题，以巩固所学知识。

教学资源与评价方式：
1. 教师提供教学引导和示范。

2. 学生课堂参与和讨论。

3. 学生课后完成的作业和练习题。

教学延伸：
1. 引导学生思考平面向量数量积与向量夹角的关系，并介绍夹角余弦公式。

2. 提供更多复杂的计算题目，让学生进一步巩固和应用所学知识。

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角数学学案009

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【目标要求】1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积表示两个向量的夹角、计算向量的长度，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【热点提示】向量的数量积是高考命题的热点，主要考查数量积的运算、化简、证明，向量平行、垂直的充要条件的应用以及利用向量解决平面几何问题．【知识梳理】1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.3．三个重要公式(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 【课堂互动】平面向量数量积的坐标运算【例1】已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10.(1)求向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )a .练1 已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，－2)，求(3a －b )·(a －2b )．向量的模的问题【例2】已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π2. 求|a ＋b |的最大值．练2 已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( )A.5B.10 C ．5 D ．25向量的垂直问题【例3】已知三点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 的对角线的长度．练3 已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，若λa －2b 与a 垂直，则实数λ等于________．向量的夹角问题【例4】已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．4 如下图所示，已知O 是原点，点A (16,12), 点B (－5,15)，求：(1)|OA →|，|AB →|；(2)∠OAB .【限时训练】1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c 等于( )A ．(－15,12)B ．0C ．－3D ．－112．已知向量a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )，若a ⊥b ，则由x 的值构成的集合是( )A ．{2,3}B ．{－1,6}C ．{2}D ．{6}3．(2010·安徽)设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b4．与a ＝(3,4)垂直的单位向量是( )A ．(45，35) B ．(－45，－35)C ．(45，－35或(－45，35) D ．(45，35)或(－45，－35)5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角是() A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°6．与向量a ＝(72，12)，b ＝(12，－72)的夹角相等，且模为1的向量是( )A ．(45，－35)B ．(45，－35)或(－45，35)C ．(223，－13) D ．(223，－13或(－223，13)。

平面向量数量积的坐标表示》教学设计

平面向量数量积的坐标表示》教学设计本教学设计主要思考以下问题：教材的作用和地位，学生可能遇到的困难，如何根据新课程理念设计教学过程，如何指导学生学法、发挥评价作用、发展学生能力。

向量是近代数学中最重要的概念之一，它具有几何形式和代数形式的“双重身份”，以及一套优良的运算系统，使其成为“重要工具”和“桥梁”。

数量积的坐标表示为解决“形”中的长度、角度等问题带来了方便，有助于理解和掌握数形结合的思想方法，为研究物理等其他学科解决实际问题作准备。

本课的知识目标是掌握数量积和模的坐标，掌握两向量垂直的充要条件和夹角公式。

能力目标是领悟数形结合的思想方法，培养学生自主研究及提出、分析、解决问题的能力。

情感目标是体验探索的乐趣，认识世间事物的联系与转化。

教学重点是数量积坐标表示的推理过程，难点是公式的建立与应用。

学生在知识、认知方法、主体思维和能力方面存在一些弱点。

本课采用建构主义研究理论，以向量为载体，按照“直观感知——操作确认——思辩论证”的认识过程展开。

通过创设良好的问题情境，不断引导学生观察、实验、思考、探索，通过自己的亲身实践，充分发挥学生研究的主动性，培养学生的自主、合作、探索能力。

同时，采用电脑课件的教学手段，加强直观性和启发性，提高课堂效益。

本节课的基调定为自主探索、民主开放、合作交流、师生对话、分层评价。

学法指导方面，重点在于如何让学生“会研究”。

在教师营造的“可探索”环境里，学生积极参与，生动活泼地获取知识，善于观察类比，掌握规律，主动发现，积极探索质疑，从而培养学生观察能力、想象能力、探索思维能力，设计转化、分析问题及解决问题的能力。

同时，紧紧围绕数形结合这条主线，注意前后知识的联系与区别，不断反思建构形成知识网络。

教学基本流程为提供材料、导学诱思、设置情景、复思考、提出问题、类比化归、探索研究、建模应用、学法指导、反思建构、分层评价。

在教学过程中，可以选择恰当的实例，设新情境引入，也可以从复向量加减法的坐标运算开始，或者开门见山直奔主题，提供材料让学生发现问题。

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学设计

选用：
“引导－探究式”教学法”。
课堂基调：
自主探索，民主开放。合作交流，师生对话。
借助：
“多媒体”教学
课堂流程
提供材料设计问题
复习思考提出问题
类比化归解决问题
反思建构操作练习
教学过程
选择恰当的实例。
新
课
从复习向量加减法的坐标运算开始。
导
开门见山，直奔主题。
入提供材料，让学生发现问题。
夹角等知识进行简单的计算和证明。
能力目标：
领悟数形结合的思想方法，培养学生自主学习，提出问题、分析问题、解决问题的能力。
情感目标：
体验探索的乐趣，认识世间万物之间的联系与转化。让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。
重、难点分析
重点：
数量积坐标表示的推导过程。
难点：
公式的建立与应用。
教法分析
可设计：
向量的两个要素：模、夹角随之确定。
求
a
?
b
?∠AOB＝？等。
设计意图：渗透数形结合意识，突出向量的两个要素。
结论
1.
数量积的定义：
a

b

a
b
cos
2．数量积的性质：
（1）
a

b

ab

0
（2）当
a与b同向时，a

b

a
b.
可解。
ab
关键:是如何用坐标表示
a

b

?
设计意图：
突出重点，为后面建立模、夹角公式做铺垫，使学生产生学习数量积坐标表示的积极心理倾向。

(整理)华师大附中届数学复习教学案平面向量数量积的坐标表示.

课题：平面向量数量积的坐标表示教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式⑶能用所学知识解决有关综合问题教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量a 与b ，作＝a ，OB ＝b ，则∠A ＯB ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |c os θ叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |c os θ，（０≤θ≤π）.并规定0 与任何向量的数量积为03．向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |c os θ的乘积4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |c os θ；2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||4︒c os θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 5．平面向量数量积的运算律交换律：a ⋅ b = b ⋅ a数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb)分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c二、讲解新课：⒈平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+=所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i所以b a ⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即b a ⋅2121y y x x +=2.平面内两点间的距离公式（1）设),(y x a = ，则222||y x a += 或22||y x a +=（2）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-= (平面内两点间的距离公式)3.向量垂直的判定设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x4.两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）c o s θ =||||b a b a ⋅⋅ 222221212121y x y x y y x x +++=三、讲解范例：例1 设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ⋅b解：b a ⋅ = 5×(-6) + (-7)×(-4) = -30 + 28 = -2例2 已知a (1, 2)，b (2, 3)，c (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形证明：∵AB =(2-1, 3-2) = (1, 1), AC = (-2-1, 5-2) = (-3, 3)∴⋅AC =1×(-3) + 1×3 = 0 ∴⊥AC∴△ABC 是直角三角形例3 已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x解：设x = (t , s )，由⎩⎨⎧-=+=-⇒-=⋅=⋅429349s t s t b x a x ⎩⎨⎧-==⇒32s t ∴x = (2, -3) 例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?分析：为求a 与b 夹角，需先求b a ⋅及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值.解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝22=⋅⋅ba b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4π 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC ，使∠b = 90︒，求点b 和向量AB 的坐标解：设b 点坐标(x , y )，则= (x , y )，AB = (x -5, y -2) ∵OB ⊥AB ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2 -5x - 2y = 0又∵|OB | = || ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或 ∴b 点坐标)23,27(-或)27,23(；=)27,23(--或)23,27(- 例6 在△ABC 中，=(2, 3)，=(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值解：当a = 90︒时，⋅= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =23-当b = 90︒时，⋅BC = 0，BC =AC -= (1-2, k -3) = (-1, k -3)∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k =311 当C = 90︒时，⋅= 0，∴-1 + k (k -3) = 0 ∴k =2133± 四、课堂练习：1.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２－４b a ⋅＝（）A .23B .57C .63 D.832.已知a (1,2),b (2,3),c (-2,5)，则△a b c 为（）A .直角三角形B .锐角三角形C .钝角三角形 D.不等边三角形3.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（）A .)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(--C .)54,53(-或)53,54(- D.)54,53(-或)54,53(- 4.a =(2,3),b =(-2,4),则(a +b )·(a -b )= .5.已知a (3，2)，b (-1，-1)，若点P (x ,-21)在线段a b 的中垂线上，则x = . 6.已知a (1，0)，b (3，1)，c (2，0)，且a =,b =,则a 与b 的夹角为 .参考答案：1.D 2.A 3.D 4. –7 5.47 6.45° 五、小结两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示六、课后作业：1.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为（）A .13 B.513 C.565 D.652.已知a =(λ，２)，b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）A .λ＞310 B.λ≥310 C.λ＜310 D.λ≤310 3.给定两个向量a =(3,4),b =(2,-1)且(a +x b )⊥(a -b ),则x 等于（）A .23 B.223 C. 323 D. 4234.已知|a |=10,b =(1,2)且a ∥b ,则a 的坐标为 .5.已知a =(1,2),b (1,1),c =b -k a ,若c ⊥a ，则c ＝ .6.已知a =(3,0),b =(k ,5)且a 与b 的夹角为43π，则k 的值为 . 7.已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件x ·a =9与x ·b =-4的向量x .8.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ABC ＝90°，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.9.四边形ABC D 中=AB (6,1), BC =(x ,y )，CD =(-2,-3),(1)若BC ∥，求x 与y 间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有AC ⊥BD ,求x ,y 的值及四边形ABC D 的面积.参考答案：1.C 2.A 3.C 4.（2，２2）或（-2，－２2）5.(51,52-) 6.-5 7.(2,-3) 8.不能(理由略) 9.(1)x +2y =0 (2)⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=1236y x y x 或 S 四边形ABC D =16 七、板书设计（略）八、课后记及备用资料：已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(x a +y b )⊥a ，且｜x a +y b ｜=1.分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.解：由a ＝（3，4），b ＝（4，3），有x a +y b =(3x +4y ,4x +3y )又（x a +y b ）⊥a ⇔(x a +y b )·a ＝０⇔3(3x +4y )+4(4x +3y )=0即25x +24y ＝０ ①又｜x a +y b ｜=1⇔｜x a +y b ｜２＝１⇔（３x +4y ）２＋（４x +3y ）２＝１整理得：25x ２＋48xy +25y ２＝１即x (25x +24y )+24xy +25y ２＝１ ②由①②有24xy +25y ２＝１ ③将①变形代入③可得：y =±75再代回①得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==753524753524y x y x 和。

教案平面向量数量积的坐标表示模夹角

平面向量数量积的坐标表示与模夹角教案章节一：平面向量数量积的定义1.1 向量的概念回顾：向量是有大小和方向的量。

1.2 数量积的定义：两个向量a和b的数量积，记作a·b，是它们的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

1.3 数量积的坐标表示：如果向量a和b在坐标系中表示为a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则它们的数量积可以表示为a·b=x1x2+y1y2。

教案章节二：数量积的性质2.1 数量积的不变性：无论向量的起点如何，向量的数量积保持不变。

2.2 数量积的对称性：向量a和b的数量积等于向量b和a的数量积，即a·b=b·a。

2.3 数量积的交换律：向量a和b的数量积等于它们的相反向量的数量积，即a·b=-b·a。

教案章节三：模长的计算3.1 向量模长的定义：向量a的模长，记作|a|，是向量a的大小，计算公式为|a|=sqrt(x1^2+y1^2)。

3.2 利用数量积计算模长：向量a的模长可以表示为|a|=sqrt(a·a)。

教案章节四：夹角的余弦值4.1 向量夹角的定义：两个非零向量a和b的夹角，记作θ，是它们的数量积与它们的模长的乘积的比值的的反余弦值。

4.2 余弦值的计算公式：cosθ=(a·b)/(|a||b|)。

教案章节五：向量夹角的范围与性质5.1 向量夹角的范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°。

5.2 向量夹角的性质：当向量a和b同向时，它们的夹角为0°，数量积为正值；当向量a和b反向时，它们的夹角为180°，数量积为负值；当向量a和b垂直时，它们的夹角为90°，数量积为0。

教案章节六：数量积的应用6.1 投影向量：向量a在向量b方向上的投影向量可以表示为proj_ba = (a·b/b·b) b。

6.2 向量间的距离：两个向量a和b之间的距离可以表示为|a b| = sqrt((a b)·(a b))。

平面向量的数量积的坐标表示、平移

第二十六教时教材：复习五——平面向量的数量积的坐标表示、平移目的：让学生对平面向量的数量积的理解更深刻，尤其在两个非零向量垂直与平行的充要条件的平行上更熟练。

过程：一、复习：设向量a = (x 1,y 1)，b = (x 2,y 2)，1．数量积的坐标表示：a •b = x 1x 2 + y 1y 2 2．关于距离公式3．二、例题：1．已知|a | = 3，b = (1,2)，且a ∥b ，求a 的坐标。

解：设a = (x ,y ) ∵|a | = 3 ∴322=+y x …①又：∵a ∥b ∴1•y - 2•x = 0 …②解之：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==556553y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=556553y x 即：a = (556,553) 或a = (556,553--) 2．设p = (2,7)，q = (x ,-3)，求x 的取值范围使得：①p 与q 的夹角为钝角 ②p 与q 的夹角为锐角。

解：①p 与q 的夹角为钝角⇔ p •q <0⇔2x -21<0⇔221<x 即x ∈(-∞,221)②p 与q 的夹角为锐角⇔ p •q >02121)3．求证：菱形的对角线互相垂直。

证：设B (b 1,0)，D (d 1,d 2)，则AB = (b 1,0), AD = (d 1,d 2)于是AC =AB +AD = (b 1,0) + (d 1,d 2) = (b 1+d 1,d 2)BD =AD -AB = (d 1 -b 1,d 2)∵AC•BD = (b 1+d 1)(d 1 -b 1) + d 2d 2 = (d 12 + d 22)- b 12= |AD |2 - b 12 = |AB |2 - b 12 = b 12 - b 12 = 01∴AC ⊥BD4．如图：ABCD 是正方形，M 是BC 的中点，将正方形折起使点A 与M 重合，设折痕为EF ，若正方形面积为64，求△AEM 的面积。

平面向量数量积的坐标表示

4
求k的值.
答案：(1)b (3 , 4)或b ( 3 , 4)
55
55
(2)( 2, 2 2)或( 2, 2 2) (3)k 5
提高练习
1、已知OA (3,1)，OB (0,5)，且AC // OB，
BC AB，则点C的坐标为
C(3, 29) 3
2、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、 D(5，8)，则四边形ABCD的形状是矩形.
如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角线垂直等.
5、两向量垂直、平行的坐标表示
a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
a // b(b 0) a b x1 y2 x2 y1 0
a b a b 0 x1x2 y1 y2 0
例4:已知 a 1,2,b 3,2,当k取何值时,
3、已知 a = (1，2)，b = (-3，2)，若k a +2 b 与 2 a - 4b 平行，则k = - 1.
小结：
（1）掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和；
（2）要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度及垂直问题.
a ＝(x1，y1)，b＝ (x2，y2)，则
解：1） ka b k1,2 3,2 k 3,2k 2
a 3b 1,233,2 10,4
当ka b a 3b 0时这两个向量垂直
由k 310 2k 2 4 0 解得k=19
2) 当ka b与a 3b平行时,存在唯一实数, 使ka b a 3b
得 k
1 3
1). k a b 与 a 3b 垂直? 2). k a b 与 a 3b 平行? 平行时它们是同向
还是反向?

2.4.2平面向量数量积的坐标表示黑底 -

a b ( x1i y1 j )( x2i y2 j )
2 2 y j x1 x2i 2 x1 y2i j x2 y1i j y1 1 2 2
x1 x2 y1 y2
a b x1 x2 y1 y2
例1 已知 a 5, b 4, a 与b 的夹角
=120 ，求a b.
解： a b= a b cos 5 4 cos120 10.
例2 a 3, 4 , b 5, 2 , 求a b.
解： a b -3 5 4 2 -7
问题二
已知一个向量的坐标, 能否利用坐标求出该向量的模 ? 2 2 2 1 若 a x , y , 则 a a a x y ,
AB =
x2 x1 + y2 y1 ，
2 2
即两点间的距离公式.Fra bibliotekx2 y2
2
2
.
例4 a 1,1 , b 3,3 , 求a 与 b的夹角 .
解： cos a b a b 1 （-3） +1 3 1 +1 （-3）+3
2 2 2 2
=0，
又因为0 180 ，所以 =90 .
小结
1. 设a x1 , y1 , b x2 , y2 , a与b的夹角为，则
① a b x1 x2 y1 y2
② a⊥b a b=0 x1x2 y1 y2 0
③a
④ cos
x
2 1
y

2 1
a b a b
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 2 y2 2

平面向量数量积的坐标表示

3. 若a (1, 2), b (3, 2),当k为何值时, ka b与a 3b垂直?
.
例2 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，
试判断ABC的形状，并给出证明.
y
C(-2,5) 证明 : AB (2 1,3 2) (1,1)
设两个非零向量
a
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
2 2
3、两向量垂直和平行的坐标表示（1）垂直 a b a b 0
设a x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则（ a b x1 x2 y1 y2 0
（2）平行
设a x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 则（ a// b x1 y2 x2 y1 0
A x
四、逆向及综合运用
例3 （1）已知 a =（4，3），向量 b 是垂直于 a 的单位向量，求 b .
（2）已知 a 10 , b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
3 （3）已知a (3,0), b (k ,5)，且a与b的夹角为， 4 求k的值.
3 4 3 4 答案：（） ( , )或b ( , ). 1b 5 5 5 5 （2）（ 2， 2）或（ 2， 2 2 2 2 2
.
其中 x y 0， x y 0.
三、基本技能的形成与巩固
例1 (1) 已知a (1,2 3 ), b (1,1), 求a b， b ， b的夹角 . a a与

(整理)平面向量数量积的坐标表示

平面向量的数乘运算的坐标运算一、知识精讲1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们的和，即a·b＝x1x2＋y1y2两个向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝02．三个重要公式[小问题·大思维]1．已知向量a＝(x，y)，与向量a共线的单位向量a0的坐标是什么？提示：∵a0＝±a|a|＝±1x2＋y2(x，y)，∴a0＝(－xx2＋y2，－yx2＋y2)或a 0＝(xx 2＋y 2，y x 2＋y 2)．2．向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则向量a 在向量b 方向上的投影怎样用a ，b 的坐标表示？提示：向量a 在向量b 方向上的投影为|a |cos θ(θ为向量a 与b 的夹角)，而cos θ＝a·b |a ||b |， ∴|a |cos θ＝a·b |b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 22＋y 22. 二、典例精析例1、已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,5)，c ＝(2,1)，求：(1)2a ·(b －a )；(2)(a ＋2b )·c .[自主解答] 法一：(1)∵2a ＝2(1,3)＝(2,6)，b －a ＝(2,5)－(1,3)＝(1,2)，∴2a ·(b －a )＝(2,6)·(1,2)＝2×1＋6×2＝14.(2)∵a ＋2b ＝(1,3)＋2(2,5)＝(1,3)＋(4,10)＝(5,13)，∴(a ＋2b )·c ＝(5,13)·(2,1)＝5×2＋13×1＝23.法二：(1)2a ·(b －a )＝2a·b －2a 2＝2(1×2＋3×5)－2(1＋9)＝14.(2)(a ＋2b )·c＝a·c ＋2b·c＝1×2＋3×1＋2(2×2＋5×1)＝23.本例条件中“c ＝(2,1)”若变为“c ＝(2，k )”，且“(a －c )⊥b ”，求k .解：∵a ＝(1,3)，c ＝(2，k )，∴a －c ＝(－1,3－k )，又(a －c )⊥b ，∴－1×2＋(3－k )×5＝0，∴k ＝135. 变式训练若向量a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a·b ＝5，求向量b .例2、平面直角坐标系xOy 中，O 是原点(如图)．已知点A (16,12)、B (－5,15)．(1)求| OA u u r |，|AB u u u r |；(2)求∠OAB .变式练习已知a ，b 为平面向量，a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 的夹角θ的余弦值等于( )A.865 B ．－865 C.1665 D ．－1665 答案：C例3、已知△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，BC 边上的高为AD ，如图，求D 点及AD u u u r 的坐标．变式练习设a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)，求m的值．解：法一：∵a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)，又(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，即(m＋2，m－4)·(m，－m－2)＝0.∴m2＋2m－m2＋2m＋8＝0.∴m＝－2.法二：∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，a2＝b2，则m2＋2m＋10＝2＋m2－2m，解得m＝－2.解题高手已知向量a＝(3，－1)和b＝(1，3)，若a·c＝b·c，试求模为2的向量c 的坐标．三、课后检测一、选择题1．(2012·辽宁高考)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．1解析：由a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )可得a ·b ＝2－x ＝1，故x ＝1.答案：D2．已知点A (－1,0)、B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB u u u r ⊥a ，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：AB u u u r ＝(2,3)，a ＝(2k －1,2)，由AB u u u r ⊥a 得2×(2k －1)＋6＝0，解得k ＝－1.答案：B3．已知向量OA u u u r ＝(2,2)，OB u u u r ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP u u u r ·BP u u u r 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析：设P (x,0)，则AP u u u r ＝(x －2，－2)，BP u u u r ＝(x －4，－1)，∴AP u u u r ·BP u u u r ＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，故当x ＝3时，AP u u u r ·BP u u u r 最小，此时P (3,0)．答案：C4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB u u u r ＝(2,4)，AC u u u r ＝(1,3)，则AD u u u r ·BDu u u r 等于( )A ．6B ．8C ．－8D ．－6解析：如图，AD u u u r ＝BC u u u r ＝AC u u u r －AB u u u r ＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，BD u u u r ＝AD u u u r －AB u u u r ＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)，则AD u u u r ·BD u u u r ＝(－1)×(－3)＋(－1)×(－5)＝8.答案：B二、填空题5．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋xb 与－b 垂直，则实数x 的值为________．解析：∵向量a ＋xb 与－b 垂直，∴(a ＋xb )·(－b )＝－a·b －xb 2＝－2－5x ＝0，∴x ＝－25. 答案：－256．已知A (1,2)，B (3,4)，|n |＝2，则|AB u u u r ·n |的最大值为________．解析：AB u u u r ＝(2,2)，|AB u u u r |＝22，|AB u u u r ·n |≤|AB u u u r ||n |＝4，当且仅当AB u u u r 与n 共线且同向时取等号．答案：47．向量BA u u u r ＝(4，－3)，向量BC u u u r ＝(2，－4)，则△ABC 的形状为________．解析：AC u u u r ＝BC u u u r －BA u u u r ＝(2，－4)－(4，－3)＝(－2，－1)，而AC u u u r ·BC u u u r ＝(－2，－1)·(2，－4)＝0，所以AC u u u r ⊥BC u u u r ，又|AC u u u r |≠|BC u u u r |，所以△ABC 是直角非等腰三角形．答案：直角三角形8．若将向量a ＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转π4得到向量b ，则向量b 的坐标为________．解析：设b ＝(x ，y )，由已知条件得|a |＝|b |，a·b ＝|a ||b |cos 45°.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5，2x ＋y ＝5×5×22，解得⎩⎨⎧ x ＝22，y ＝322，或⎩⎨⎧ x ＝322，y ＝－22. ∵向量a 按逆时针旋转π4后，向量对应的点在第一象限，∴x >0，y >0，∴b ＝⎝⎛⎭⎫22，322. 答案：⎝⎛⎭⎫22，322 三、解答题9．已知在△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD .(1)求证：AB ⊥AC ；(2)求向量AD u u u r ；(3)求证：AD 2＝BD ·CD .解：(1)∵AB u u u r ＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)，AC u u u r ＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)，AB u u u r ·AC u u u r ＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，∴AB ⊥AC . (2) BC u u u r ＝(4,3)－(－1，－2)＝(5,5)．设BD u u u r ＝λBC u u u r ＝(5λ，5λ)则AD u u u r ＝AB u u u r ＋BD u u u r＝(－3，－6)＋(5λ，5λ)＝(5λ－3,5λ－6)，由AD ⊥BC 得5(5λ－3)＋5(5λ－6)＝0，解得λ＝910， ∴AD u u u r ＝(32，－32)． (3)证明：AD 2u u u u r ＝94＋94＝92， |BD u u u r |＝50λ2＝922，|BC u u u r |＝52，|CD u u u r |＝|BC u u u r |－|BD u u u r |＝22. ∴|AD u u u r |2＝|BD u u u r |·|CD u u u r |，即AD 2＝BD ·CD .10．平面内有向量OA u u u r ＝(1,7)，OB u u u r ＝(5,1)，OP u u u r ＝(2,1)，点M 为直线OP 上的一动点． (1)当MA u u u r ·MB u u u r 取最小值时，求OM u u u r 的坐标；(2)在(1)的条件下，求cos ∠AMB 的值．解：(1)设OM u u u r ＝(x ，y )，∵点M 在直线OP 上，∴向量OM u u u r 与OP u u u r 共线，又OP u u u r ＝(2,1)． ∴x ×1－y ×2＝0，即x ＝2y .∴OM u u u r ＝(2y ，y )．又MA u u u r ＝OA u u u r －OM u u u r ，OA u u u r ＝(1,7)， ∴MA u u u r ＝(1－2y,7－y )．同理MB u u u r ＝OB u u u r －OM u u u r ＝(5－2y,1－y )．于是MA u u u r ·MB u u u r ＝(1－2y )(5－2y )＋(7－y )(1－y )＝5y 2－20y ＋12. 可知当y ＝202×5＝2时，MA u u u r ·MB u u u r 有最小值－8，此时OM u u u r ＝(4,2)．(2)当OM u u u r ＝(4,2)，即y ＝2时，有MA u u u r ＝(－3,5)，MB u u u r ＝(1，－1)， |MA u u u r |＝34，|MB u u u r |＝2，MA u u u r ·MB u u u r ＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.cos ∠AMB ＝MA u u u r ·MB u u u r |MA u u u r ||MB u u u r |＝－834×2＝－41717.。

平面向量数量积的坐标表示3

例2:已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(2, 5)，求证：△ABC是直角三角形证明： AB 1,1
BC 4,2
AC 3,3
AB AC 3 3 0
即AB⊥AC， △ABC是直角三角形.
想一想：还有其他解法吗？
AB 2, AC 3 2, BC 2 5
2
2
三、向量垂直和平行的坐标表示:
a x1 , y1 , b x2 , y2 a , b 非零向量

(1)垂直:
a b a b 0 x1x2 y1 y2 0
(2)平行:
a // b b a x y x y
1 2 2
1
四、向量夹角公式的坐标表示:
i i 1 . j j 1 .
A(x1,y1)
i j j i 0 .
B(x2,y2)
b
j
aHale Waihona Puke i 想一想：向量a, b 的坐标是什么？
o
x
a (x , y ) b (x , y )
1 1
2 2
一、平面向量数量积的坐标表示:
a x1 , y1 , b x2 , y2 a , b 非零向量
设a x1 , y1 , b x2 , y2 ,
0 a与b夹角为，
cos a b a .b x1 x2 y1 y2 x y . x y
2 1 2 1 2 2 2 2
例1 : 1 已知a (3,1), b (1,2), a b 5 求a b， a b， a与b的夹角 . a b 5 2 2已知a 2,3, b 2,4,

高中数学必修二 6 3 5 平面向量数量积的坐标表示学案

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示【学习目标】一．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)注意：公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．二．与向量的模、夹角相关的三个重要公式1.向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝.2.两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝.3.向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝.注意：由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.【小试牛刀】思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．()(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.()(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角．()(4)若a·b>0，则a，b的夹角为锐角．()(5)若a·b＝|a||b|，则a，b共线．()【经典例题】题型一数量积的坐标运算点拨：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．例1 已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,5)，求a ·b ，(a ＋b )·(2a －b )．【跟踪训练】1已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )．若a ·b ＝1，则x ＝( ) A ．－1 B ．－12 C.12D ．1题型二平面向量的模点拨：求向量的模的两种方法：1.字母表示下的运算，利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算，若a ＝(x ，y )，则a·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝ x 2＋y2.例2 已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |等于( ) A ．4 2 B ．25 C ．8D ．82【跟踪训练】2 已知点A (0，1)，B (1，－2)，向量AC →＝(4，－1)，则|BC →|＝________．题型三平面向量的夹角和垂直问题点拨：解决向量夹角问题的方法1.先利用平面向量的坐标求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a |，|b |，再由cos θ＝a ·b|a ||b |，求出cos θ，也可由cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.2.由于0≤θ≤π，所以利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.例3 已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．【跟踪训练】3已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，且a与b的夹角为钝角，试求实数λ的取值范围．【当堂达标】1.向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(C)A．－1B．0C．1D．22.已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，则|b|＝()A． 5 B．10 C．5 D．253.已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为π6，则实数m＝()A．23 B.3C．0 D．－34.已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形5.已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.6.已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求：(1)向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)b.【课堂小结】3个公式1.数量积：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.2.模长：若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2＋y2.3.夹角：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，可由cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22直接求出cos θ.由三角函数值cosθ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.【参考答案】【自主学习】对应坐标的乘积之和 x 1x 2＋y 1y 2 x 1x 2＋y 1y 2＝0 x 2＋y 2 √(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21· x 22＋y 22 【小试牛刀】(1) × (2) × (3) × (4) ×(5) √ 【经典例题】例1 解 a ·b ＝1×2＋3×5＝17.∵a ＋b ＝(3,8)，2a ＝(2,6)，∴2a －b ＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)， ∴(a ＋b )·(2a －b )＝3×0＋8×1＝8.【跟踪训练】1 D 解析：(1)a ·b ＝2－x ＝1，解得x ＝1.故选D.例 2 D 解析：易得a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c ＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c |＝√82+(−8)2＝8 2.【跟踪训练】2 13 解析：设C (x ，y )，因为点A (0，1)，向量AC→＝(4，－1)，所以AC →＝(x ，y－1)＝(4，－1)，所以⎩⎨⎧x ＝4，y －1＝－1，解得x ＝4，y ＝0，所以C (4，0)，所以BC→＝(3，2)，|BC →|＝9＋4＝13.例3解 (1)因为a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝（－1）2＋22＝5，设a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝255＝2525.(2)因为a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7，8)，又(a －λb )⊥(2a ＋b )，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝529.【跟踪训练】3 解 ∵a 与b 的夹角为钝角，∴a ·b <0，即(－2，－1)·(λ，1)＝－2λ－1<0，∴λ>－12.又当a 与b 反向时，夹角为180°，即a ·b ＝－|a |·|b |，则2λ＋1＝5·λ2＋1，解得λ＝2.由于a 与b 的夹角为钝角，故应排除a 与b 反向共线的情况，即排除λ＝2，则实数λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)．【当堂达标】1.C 解析：a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.2.C 解析：∵|a ＋b |＝52，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2，∴|b |＝5，故选C ．3.B 解析：因为a ＝(1，3)，b ＝(3，m )．所以|a |＝2，|b |＝9＋m 2，a ·b ＝3＋3m ，又a ，b 的夹角为π6，所以a ·b |a |·|b |＝cos π6，即3＋3m 29＋m 2＝32，所以3＋m ＝9＋m 2，解得m ＝ 3.4.A 解析：选A.由题设知AB→＝(8，－4)，AC →＝(2，4)，BC →＝(－6，8)，所以AB →·AC →＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB→⊥AC →.所以∠BAC ＝90°，故△ABC 是直角三角形．5. 7 解析：因为a ＋b ＝(m －1,3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.6.解 (1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)，∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)．又∵a ·b ＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵a ·c ＝2×2＋(－1)×4＝0，∴(a ·c )b ＝0·b ＝0.。

平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角 (学生版)

. (写出解题过程)
2 4. 若 a 4,3 ， b 5,6 ，则 3 a 4a b 等于(
A. 23 B. 57 C. 63 必改我的错题目号：_____ 我的错题分析及正确解法： ____
我们合作，我们收获！我们讨论，我们提升！
x2 x1
2
y2 y1
2
3.若 a x1 , y1 , b x2 , y2 ，则 a / /b
线
若 a x1 , y1 , b x2 , y2 ，则 a b a x1 , y1 , b x2 , y2
4.两个非零向量
a b 是 a 与 b 的夹角，则 cos a b
第 1 页共 4页我们合作，我们收获！我们讨论，我们提升！第 2页共4页
我们合作，我们收获！我们讨论，我们提升！
【当堂检测】 1. 已知 a 3,4 ， b 5, 2 ，则 a b 等于( A. 23 B. 7 C. 23 D. 7

装
2．课前用 5－10 分钟自学课本 P106-P107，并完成【固学预学】。 3. 课前用 15－20 分钟完成【小组讨论】,由组长组织讨论，书写规范，并做好督促、检查。 4.课堂小组展示讨论 25 分钟，当堂检测 20 分钟，改错、总结 5 分钟。【学习目标】
讨论二：已知 a ( 2, 1), b ( 2, 2) ，判断 a与b 的关系。
【我的收获】 )
2.已知 A(1,0),B(3,1),C(-2,0),且 a BC , b CA ,则 a 与 b 的夹角为___。(写出解题过程)

《平面向量数量积的坐标表示》复习教案与课后作业

6.3 平面向量基本定理及坐标表示《6.3.5 平面向量数量积的坐标表示》复习教案【自主预习】1．平面向量数量积的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.2.设a ＝(x 1，y 1)，则|a |3．两点间的距离公式若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|4．向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. 思考：已知向量a ＝(x ，y )，你知道与a 共线的单位向量的坐标是什么吗？与a 垂直的单位向量的坐标又是什么？[提示] 设与a 共线的单位向量为a 0，则a 0＝±1|a |a ＝±⎝⎛⎭⎪⎫x |a |，y |a |＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫xx 2＋y2，y x 2＋y 2，其中正号、负号分别表示与a 同向和反向．易知b ＝(－y ，x )和a ＝(x ，y )垂直，所以与a 垂直的单位向量b 0的坐标为±⎝ ⎛⎭⎪⎫－yx 2＋y 2，x x 2＋y 2，其中正、负号表示不同的方向．1．若向量a ＝(x,2)，b ＝(－1,3)，a ·b ＝3，则x 等于( ) A ．3 B ．－3 C.53 D ．－53A [a ·b ＝－x ＋6＝3，x ＝3，故选A.]2．已知a ＝(2，－1)，b ＝(2,3)，则a·b ＝________，|a ＋b |＝________. 1 25 [a ·b ＝2×2＋(－1)×3＝1，a ＋b ＝(4,2)，|a ＋b |＝42＋22＝2 5.]3．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，m )，若a ⊥b ，则m ＝______. 23[因为a ⊥b ，所以a ·b ＝1×(－2)＋3m ＝0，解得m ＝23.]4．已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为________． 6365[因为a ·b ＝3×5＋4×12＝63，|a |＝32＋42＝5，|b |＝52＋122＝13，所以a 与b 夹角的余弦值为a·b |a ||b |＝635×13＝6365.]【合作探究】【例的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．(2)已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. ①求a 的坐标；②若c ＝(2，－1)，求a ·(b ·c )及(a·b )·c . [思路探究](1)(2) ①先由a ＝λb 设点a 坐标，再由a·b ＝10求λ. ②依据运算顺序和数量积的坐标公式求值．(1)2 [以A 为坐标原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0,2)，C (2，2)，E (2，1)．可设F (x,2)，因为AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x ＝2，所以x ＝1，所以AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2.](2)[解] ①设a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ＞0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2， ∴a ＝(2,4)．②∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝10， ∴a ·(b·c )＝0·a ＝0，(a·b )·c ＝10(2，－1)＝(20，－10)．数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．1．向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 C [∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)， ∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.]2．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2A [由AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD →·AC →＝(2,1)·(3，－1)＝5.]【例2】 (1)设平面向量a ＝(1,2|2a －b|等于( )A ．4B ．5C ．3 5D ．4 5 (2)若向量a 的始点为A (－2,4)，终点为B (2,1)，求： ①向量a 的模；②与a 平行的单位向量的坐标； ③与a 垂直的单位向量的坐标．[思路探究] 综合应用向量共线、垂直的坐标表示和向量模的坐标表示求解．(1)D [由a ∥b 得y ＋4＝0， ∴y ＝－4，b ＝(－2，－4)，∴2a －b ＝(4,8)，∴|2a －b |＝4 5.故选D.] (2)[解] ①∵a ＝AB →＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)， ∴|a |＝42＋(－3)2＝5.②与a 平行的单位向量是±a |a |＝±15(4，－3)，即坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35或⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35.③设与a 垂直的单位向量为e ＝(m ，n )，则a·e ＝4m －3n ＝0，∴m n ＝34.又∵|e |＝1，∴m 2＋n 2＝1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－35，n ＝－45，∴e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45或e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45.求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2.3．已知平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)． (1)求a －2b 及其模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )·b ，求|c |.[解] (1)a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)，|a －2b |＝72＋32＝58.(2)a ·b ＝(3,5)·(－2,1)＝3×(－2)＋5×1＝－1， ∴c ＝a －(a ·b )·b ＝(3,5)＋(－2,1)＝(1,6)， ∴|c |＝1＋62＝37.[探究问题]1．设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？[提示] cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 2．已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于多少？[提示] 由已知得a －b ＝(1－x,4)． ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝0. ∵a ＝(1,2)，∴1－x ＋8＝0，∴x ＝9.【例3】 (1)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－∞，－2)D ．(－2,2)(2)已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，AD 为BC 边上的高，求|AD →|与点D 的坐标．[思路探究] (1)可利用a ，b 的夹角为锐角⇔⎩⎨⎧a·b>0，a ≠λb求解．(2)设出点D 的坐标，利用BD →与BC →共线，AD →⊥BC →列方程组求解点D 的坐标． (1)B [当a 与b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b>0且a ，b 不同向．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，选B.](2)[解] 设点D 的坐标为(x ，y )，则AD →＝(x －2，y ＋1)，BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)．∵点D 在直线BC 上，即BD →与BC →共线， ∴存在实数λ，使BD →＝λBC →，即(x －3，y －2)＝λ(－6，－3)， ∴⎩⎨⎧x －3＝－6λ，y －2＝－3λ，∴x －3＝2(y －2)，即x －2y ＋1＝0.①又∵AD ⊥BC ，∴AD →·BC →＝0，即(x －2，y ＋1)·(－6，－3)＝0， ∴－6(x －2)－3(y ＋1)＝0，即2x ＋y －3＝0. ②由①②可得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即D 点坐标为(1,1)，AD →＝(－1,2)，∴|AD →|＝(－1)2＋22＝5，综上，|AD →|＝5，D (1,1)．1．将本例(1)中的条件“a ＝(2,1)”改为“a ＝(－2,1)”，“锐角”改为“钝角”，求实数k 的取值范围．[解] 当a 与b 共线时，－2k －1＝0，k ＝－12，此时a 与b 方向相反，夹角为180°，所以要使a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b ＜0，且a 与b 不反向．由a·b ＝－2＋k ＜0得k ＜2. 由a 与b 不反向得k ≠－12，所以k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2.2．将本例(1)中的条件“锐角”改为“π4”，求k 的值．[解] cos π4＝a·b |a ||b |＝2＋k5·1＋k 2，即22＝2＋k 5·1＋k2，整理得3k 2－8k －3＝0，解得k ＝－13或3.1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积． (2)求模．利用|a|＝x 2＋y 2计算两向量的模． (3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求夹角余弦值． (4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．2．涉及非零向量a ，b 垂直问题时，一般借助a⊥b ⇔a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0来解决．1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.【课堂达标训练】 1．判断正误若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (1)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.( )(2)a ·b ＜0⇔a 与b 的夹角为钝角．( ) (3)若a ·b ≠0，则a 与b 不垂直．( )(4)|AB →|表示A ，B 两点之间的距离．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√2．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2B [a ·b ＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，|a |＝32＋(－1)2＝10，|b |＝12＋(－2)2＝5，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22.又0≤θ≤π，∴θ＝π4.] 3．设a ＝(2,4)，b ＝(1,1)，若b ⊥(a ＋m b )，则实数m ＝________. －3 [a ＋m b ＝(2＋m,4＋m )， ∵b ⊥(a ＋m b )，∴(2＋m )×1＋(4＋m )×1＝0，得m ＝－3.]4．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R .(1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. [解] (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5. 综上，|a －b |＝2或2 5.《6.3.5平面向量数量积的坐标表示》课后作业[合格基础练]一、选择题1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3，－4)，则a 在b 上的投影为( ) A. 5 B ．－ 5 C ．1 D ．－1D [向量a ＝(1,2)，b ＝(3，－4)，则a 在b 上的投影为：a ·b |b |＝3－85＝－1，故选D.]2．已知平面向量a ＝(1，m )，b ＝(2,5)，c ＝(m,0)，且(a ＋c )⊥(a －b )，则m ＝( )A ．3＋10B ．3－10C ．3±10D ．－3±10C [∵a ＝(1，m )，b ＝(2,5)，c ＝(m,0)，∴a ＋c ＝(1＋m ，m )，a －b ＝(－1，m －5)，∵(a ＋c )⊥(a －b )，∴－1－m ＋m (m －5)＝m 2－6m －1＝0，解得：m ＝3±10.]3．a ＝(－4,3)，b ＝(5,6)，则3|a |2－4a·b 等于( ) A ．23 B ．57 C ．63 D ．83D [因为|a |2＝(－4)2＋32＝25，a·b ＝(－4)×5＋3×6＝－2，所以3|a |2－4a·b ＝3×25－4×(－2)＝83.]4．设向量a 与b 的夹角为θ，a ＝(2,1)，a ＋3b ＝(5,4)，则sin θ等于( ) A.1010 B.13 C.31010 D.45 A [设b ＝(x ，y )，则a ＋3b ＝(2＋3x,1＋3y )＝(5,4)，所以⎩⎨⎧2＋3x ＝5，1＋3y ＝4，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即b ＝(1,1)，所以cos θ＝a·b |a ||b |＝310，所以sin θ＝1－cos 2θ＝1010.] 5．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(1,2)，向量c 满足(c ＋b )⊥a ，(c －a )∥b ，则c 等于( )A ．(2,1)B ．(1,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12 D ．(0，－1)A [设向量c ＝(x ，y )，则c ＋b ＝(x ＋1，y ＋2)，c －a ＝(x －1，y ＋1)，因为(c ＋b )⊥a ，所以(c ＋b )·a ＝x ＋1－(y ＋2)＝x －y －1＝0，因为(c －a )∥b ，所以x －11＝y ＋12，即2x －y －3＝0.由⎩⎨⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，所以c ＝(2,1)．]二、填空题6．已知向量a ＝(－1，x )，b ＝(x ＋2，x )，若|a ＋b |＝|a －b |，则x ＝________. －1或2 [已知向量a ＝(－1，x )，b ＝(x ＋2，x )，因为|a ＋b |＝|a －b |，两边平方得到a·b＝0，根据向量的坐标运算公式得x2－x－2＝0，解得x＝－1或2.]7．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若k a＋b与a－3b垂直，则k的值为________．19 [k a＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又k a＋b与a－3b垂直，故(k a＋b)·(a－3b)＝0，即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0，得k＝19.]8．如图，在2×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，则向量a＋b，a－b的夹角余弦值是________．－46565[不妨设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(2，－1)，b＝(3,2)，所以a＋b＝(5,1)，a－b＝(－1，－3)，所以(a＋b)·(a－b)＝－5－3＝－8，|a＋b|＝26，|a－b|＝10，所以向量a＋b，a－b的夹角余弦值为－826·10＝－46565.]三、解答题9．已知向量a，b满足|a|＝5，b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b.(1)求向量a的坐标；(2)求向量a与b的夹角．[解](1)设a＝(x，y)，因为|a|＝5，则x2＋y2＝5，①又因为b＝(1，－3)，且(2a＋b)⊥b，2a ＋b ＝2(x ，y )＋(1，－3)＝(2x ＋1,2y －3)，所以(2x ＋1,2y －3)·(1，－3)＝2x ＋1＋(2y －3)×(－3)＝0，即x －3y ＋5＝0，②由①②解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝1，所以a ＝(1,2)或a ＝(－2,1)． (2)设向量a 与b 的夹角为θ，所以cos θ＝a·b |a ||b |＝(1，2)·(1，－3)1＋221＋(－3)2＝－22或cos θ＝a·b|a ||b |＝(－2，1)·(1，－3)1＋221＋(－3)2＝－22，因为0≤θ≤π，所以向量a 与b 的夹角θ＝3π4. 10．在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k的值．[解] ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )， ∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0， ∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0， ∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.综上，k 的值为－23或113或3±132.[等级过关练]1．已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )A ．λ＞1B ．λ＜1C ．λ＜－1D ．λ＜－1或－1＜λ＜1D [由题意可得：a ·b ＝λ－1＜0，解得：λ＜1，且a 与b 的夹角不能为180°，即1λ≠－11，∴λ≠－1，据此可得λ的取值范围是λ＜－1或－1＜λ＜1.]2．已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为( )A ．3B ．5C ．7D ．8B [如图，以D 为原点，DA ，DC 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x ，则A (2,0)，B (1，a )，C (0，a )，D (0,0)，P (0，x )(0≤x ≤a )，则PA →＋3PB →＝(2，－x )＋3(1，a －x )＝(5,3a －4x )，所以|PA →＋3PB →|＝25＋(3a －4x )2≥5.]3．如图所示，已知点A (1,1)，单位圆上半部分上的点B 满足OA →·OB →＝0，则向量OB →的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22 [根据题意可设B (cos θ，sin θ)(0＜θ＜π)，OA →＝(1,1)，OB →＝(cos θ，sin θ)．由OA →·OB →＝0得sin θ＋cos θ＝0，tan θ＝－1，所以θ＝3π4，cos 3π4＝－22，sin 3π4＝22，所以OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22.]4．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上存在一点P 使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是________．(3,0) [设点P 的坐标是(x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，所以AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，当x ＝3时，AP →·BP →取得最小值，故点P 的坐标为(3,0)．] 5．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．[解] (1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， ∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)， ∴⎩⎨⎧x ＋1＝1，y －4＝1，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝5.∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16＞0， |AC →|＝25，|BD →|＝2 5. 设AC →与BD →夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45＞0， ∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。

《平面向量数量积的坐标表示》教学设计、导学案、同步练习

《6.3.5 平面向量数量积的坐标表示》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习平面向量数量积的坐标表示，模、夹角的坐标表示。

前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础。

【教学目标与核心素养】A.掌握平面向量数量积坐标表示及模、夹角的公式。

B.能用公式求向量的数量积、模、夹角；C.掌握两个向量垂直的坐标判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.【教学重点】：平面向量数量积坐标表示及模、夹角公式；【教学难点】：平面向量数量积的应用。

【教学过程】aa或aa=⋅a=明你的猜想.思考4：设是两个非零向量，其夹角为θ，若，那么如何用坐标表示？【答案】例2.例3.用向量方法证明两角差的余弦公式b a ,),(),,(2211y x b y x a ==cos θ222221212121||||cos y x y x y y x x b a b a +++=⋅=θ).1(),4,6( ),75,( o精确到间的夹角、及求设θb a b a b a ⋅--=-=βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-三、达标检测【教学反思】结合本节教材浅显易懂,又有前面平面向量的数量积和向量的坐标表示等知识作铺垫的内容特点,兼顾高一学生已具备一定的数学思维能力和处理向量问题的方法的现状,我主要采用“诱思探究教学法”,其核心是“诱导思维,探索研究”,其教学思想是教师为主导,学生为主体,训练为主线的原则,为此,我通过精心设置的一个个问题,激发学生的求知欲,积极的鼓励学生的参与,给学生独立思考的空间,鼓励学生自主探索,在教师的指导下去探索发现问题,解决问题。