八年级上 一次函数

一次函数
知识点：
一.常量、变量：
在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量；数值始终不变的量叫做常量。

二、函数的概念：
函数的定义：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
三、函数中自变量取值范围的求法：
（1）用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

（2）用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数。

（3）用寄次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数。

用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数。

（4）若解析式由上述几种形式综合而成，须先求出各部分的取值范围，然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围。

（5）对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义。

四、函数图象的定义：一般的，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么在坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
五、用描点法画函数的图象的一般步骤
1、列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。

）
注意：列表时自变量由小到大，相差一样，有时需对称。

2、描点：（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。

3、连线：（按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来）。

六、函数有三种表示形式：
（1）列表法（2）图像法（3）解析式法
七、正比例函数与一次函数的概念：
一般地，形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数叫做正比例函数.其中k叫做比例系数。

一般地，形如y=kx+b (k,b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数.
当b =0 时,y=kx+b 即为y=kx,所以正比例函数，是一次函数的特例.
八、正比例函数的图象与性质：
（1)图象:正比例函数y= kx (k 是常数，k≠0)) 的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线y= kx 。

(2)性质:当k>0时,直线y= kx经过第三，一象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；当k<0时,直线y= kx经过二,四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小。

九、求函数解析式的方法:
待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法。

1.一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看x为何值时函数y= ax+b的值为0．
2.求ax+b=0(a, b是常数，a≠0)的解，从“形”的角度看，求直线y= ax+b与x 轴交点的横
坐标
3.一次函数与一元一次不等式：
解不等式ax+b＞0(a，b是常数，a≠0) ．从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大
于0．
4.
解不等式ax +b ＞0(a ，b 是常数，a ≠0) ． 从“形”的角度看，求直线y= ax+b 在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围． 十、一次函数与正比例函数的图象与性质
5.一次函数与二元一次方程组：
解方程组 从“数”的角度看，自变量（x ）为何值时两个函数的值相等．并 求出这个函数值
解方程组 从“形”的角度看，确定两直线交点的坐标.
⎪⎩⎪⎨
⎧=-=+
c b a c b a y x y x 2221
11⎪⎩⎪⎨
⎧=-=+c b a c b a y x y x 2
22111
一次函数习题
1.甲乙两个仓库要向A、B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A地需70吨水泥，B地需110吨水泥，两库到A，B两地的路程和运费如下表（表中运费栏“元/（吨、千米）”表示每吨水泥运送1千米所需人民币）
它的图象（草图）.
（2）当甲、乙两库各运往A、B两地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？
2.某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度）与（x—0.4）（元）成反比例，又当x=0.65时，y=0.8.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益=用电量×（实际电价－成本价）]
3. 如图
8，在直标系内，一次函数(0,0)y kx b kb b =+><的图象分别与x 轴、y 轴和直
线4x =相交于A 、B 、C 三点，直线4x =与x 轴交于点D ，四边形OBCD （O 是坐标原点）的面积是10，若点A 的横坐标是1
2
-
，求这个一次函数解析式.
4. 已知一次函数(63)(4),y m x n =++-求： （1）m
为何值时，
y
随
x
的增
大而减小；
（2）,m n 分别为何值时，函数的图象与
y
轴的交点在
x
轴的下方？
（3）,m n 分别为何值时，函数的图象经过原点？
（4）当1,2m n =-=-时，设此一次函数与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，试求A O B
面积。

5. 已知y 与x +2成正比例，且x ＝1时y ＝－6．
(1)求y 与x 之间的函数关系式； (2)若点(a ，2)在函数图象上，求a 的值
6.如图1表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象(分别是正比例函数图象和一次函数图象)．根据图象解答下列问题:
(1)请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)．
(2)轮船和快艇在途中(不包括起点和终点)行驶的速度分别是多少?
(3)问快艇出发多长时间赶上轮船?
7.小明用的练习本可在甲、乙两个商店内买到，•已知两个商店的标价都是每个练习本1元，但甲商店的优惠条件是：购买10•本以上，•从第11•本开始按标价的70%卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始就按标价的85%卖．
（1）小明要买20个练习本，到哪个商店购买较省钱？
（2）写出甲、乙两个商店中，收款y（元）关于购买本数x（本）（x>10）的关系式。

（3）小明现有24元钱，最多可买多少个本子？
8.在“五一黄金周”期间，小明和他的父母坐游船从甲地到乙地观光，在售票大厅看到表（一），爸爸对小明说：“我来考考你，你能知道里程与票价之间有何关系吗？”小明点了点头说：“里程与票价是一次函数关系，具体是……”．
表（一）
表（二）
在游船上，他注意到表（二），思考一下，对爸爸说：“若游船在静水中的速度不变，那么我还能算出它的速度和水流速度．”爸爸说：“你真聪明！”亲爱的同学，你知道小明是如何求出的吗？请你和小明一起求出：
（1）票价y（元）与里程x（千米）的函数关系式；
（2）游船在静水中的速度和水流速度．。