第五章.集合总结
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结集合是数学中一个重要的概念,它是由一些确定的事物构成的整体。
在数学中,集合有着丰富的应用和理论基础,下面将从集合的定义、表示、运算等方面进行全面总结。
一、集合的定义集合是指具有某种特定性质的事物的总和。
用大写字母A、B、C等表示集合,小写字母a、b、c等表示集合中的元素。
如果元素x属于集合A,我们用x∈A来表示。
如果元素y不属于集合A,我们用y∉A 来表示。
二、集合的表示1. 列举法:直接列出集合中的元素,用花括号{}括起来。
例如,集合A={1,2,3,4}表示A为包含有元素1、2、3、4的集合。
2. 描述法:通过给出满足某个条件的元素来表示集合。
例如,集合B={x|x是正整数且x<5}表示B为包含小于5的正整数的集合。
三、集合的运算1. 交集:集合A和集合B的交集,表示为A∩B,表示共同属于A和B的元素组成的集合。
2. 并集:集合A和集合B的并集,表示为A∪B,表示A和B中所有元素组成的集合。
3. 差集:集合A和集合B的差集,表示为A-B,表示属于A但不属于B的元素组成的集合。
4. 互斥:如果集合A和集合B没有共同元素,则称A和B互斥。
5. 子集:如果集合A的所有元素都属于集合B,则称A是B的子集,表示为A⊆B。
6. 相等:如果集合A和集合B互为子集,则称A与B相等,表示为A=B。
四、集合的性质1. 空集:不含任何元素的集合称为空集,用符号∅表示。
2. 等价类:将集合中的元素划分为若干等价类,每个类都满足某个特定的条件。
3. 无穷集合:包含无限多个元素的集合,例如自然数集合N、整数集合Z等。
五、集合的应用集合在数学中广泛应用于各个领域,特别是在概率论、统计学和离散数学中有着重要的作用。
在实际生活中,集合也常用于对事物进行分类、归纳和分析。
六、集合的补充除了上述基本的集合概念和运算外,还有一些补充的概念:1. 有限集合:只包含有限个元素的集合。
2. 无限集合:包含无限个元素的集合。
集合知识点总结
集合知识点总结集合是现代数学中的一个重要概念,它在数学的各个领域都有着广泛的应用。
下面就让我们一起来系统地总结一下集合的相关知识点。
一、集合的定义集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体。
这些对象称为集合的元素。
例如,一个班级里的所有学生可以构成一个集合,其中每个学生就是这个集合的元素;自然数的全体也能构成一个集合,每个自然数都是其中的元素。
二、集合的表示方法1、列举法将集合中的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来。
例如,集合 A ={1, 2, 3, 4, 5}。
2、描述法用集合中元素所具有的共同特征来表示集合。
例如,集合 B ={x | x 是大于 5 的整数}。
3、图示法包括韦恩图(Venn Diagram),通过图形直观地表示集合之间的关系。
三、集合中元素的性质1、确定性对于一个给定的集合,其元素必须是确定的。
也就是说,一个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集合,不存在模棱两可的情况。
2、互异性集合中的元素不能重复。
例如,集合{1, 1, 2}是不正确的,应该写成{1, 2}。
3、无序性集合中的元素没有顺序之分。
例如,{1, 2, 3}和{3, 2, 1}表示的是同一个集合。
四、集合的分类1、有限集集合中元素的个数是有限的。
2、无限集集合中元素的个数是无限的。
比如自然数集就是一个无限集。
3、空集不含任何元素的集合,记作∅。
五、常见的数集1、自然数集:N ={0, 1, 2, 3, …}2、正整数集:N+ ={1, 2, 3, …}3、整数集:Z ={…,-2, -1, 0, 1, 2, …}4、有理数集:Q5、实数集:R六、集合间的关系1、子集如果集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素,那么称集合 A 是集合B 的子集,记作 A ⊆ B。
特别地,如果 A 是 B 的子集,但 A 不等于 B,就称 A 是 B 的真子集,记作 A ⊂ B。
例如,集合 A ={1, 2},集合 B ={1, 2, 3},则 A 是 B 的子集。
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结集合是数学中的一个基本概念,广泛应用于各个领域。
本文将对集合的相关概念、运算、性质以及其在实际中的应用进行总结。
一、集合的基本概念1. 集合的定义:集合是由确定的元素组成的整体,没有重复元素,顺序不重要。
2. 元素和集合的关系:元素是集合的组成部分,用于描述集合的特征。
3. 表示方法:- 列举法:将集合的所有元素逐个列举出来。
- 描述法:通过一定的特征或条件来描述集合。
4. 空集和全集:- 空集:不含有任何元素的集合,用符号∅表示。
- 全集:包含所有元素的集合,用符号U表示。
二、集合的运算1. 交集:两个集合中具有相同元素的部分构成的新集合,用符号∩表示。
2. 并集:两个集合的所有元素组成的新集合,用符号∪表示。
3. 差集:一个集合中去掉与另一个集合共有元素后的新集合,用符号-表示。
4. 互补集:在全集中与某个集合没有交集的元素所构成的新集合,用符号A'表示。
5. 笛卡尔积:由两个集合的所有有序对构成的集合,用符号×表示。
三、集合的性质1. 包含关系:集合A包含于集合B,表示为A⊆B,当且仅当A的每个元素都是B的元素。
2. 相等关系:如果两个集合A和B互相包含,即A⊆B且B⊆A,则称A和B相等,表示为A=B。
3. 幂集:一个集合的所有子集所构成的集合,用符号P(A)表示。
4. 交换律、结合律和分配律:集合的交换律、结合律与数的运算性质类似,具有相似的性质。
四、集合的应用1. 概率论与统计学:集合论为概率论和统计学提供了重要的数学基础,通过对事件的集合进行分析与运算。
2. 数据库管理系统:集合运算在数据库查询和数据处理中起着重要的作用,用于筛选、合并和处理数据。
3. 逻辑学与集合论关系:集合论与逻辑学相辅相成,通过集合的运算和逻辑连接词(与、或、非)进行逻辑推理。
4. 集合在数学证明中的应用:集合的性质和运算方式在数学证明中经常被使用,可以简化证明过程。
总结:集合是数学中不可或缺的重要概念,它具有基本的定义、运算和性质。
集合的知识点总结
集合的知识点总结集合知识点总结1. 集合的定义集合是数学中的一个基本概念,它是由具有某种特定性质的事物或对象组成的整体。
这些事物或对象被称为集合的元素。
集合中的元素可以是数字、字母、人、物体等任何事物,但它们必须是明确且无歧义的。
2. 集合的表示集合通常用大写字母表示,如A、B、C等。
集合中的元素则用小写字母表示,如a、b、c等。
集合可以用大括号{}表示,例如A = {a, b, c}表示集合A包含元素a、b、c。
3. 集合的类型- 有限集:元素数量有限的集合。
- 无限集:元素数量无限的集合。
- 空集:不包含任何元素的集合,记作∅。
- 子集:如果集合A的所有元素都是集合B的元素,则A是B的子集,记作A⊆B。
- 真子集:如果集合A是集合B的子集,并且A不等于B,则A是B的真子集,记作A⊂B。
- 并集:两个集合A和B的所有元素组成的集合,记作A∪B。
- 交集:两个集合A和B的公共元素组成的集合,记作A∩B。
- 补集:对于集合A,其在某个全集U中的补集是U中不属于A的元素组成的集合,记作A'或C_U(A)。
4. 集合间的关系- 相等关系:如果集合A和B的元素完全相同,则称A和B相等,记作A = B。
- 包含关系:如果集合A的所有元素都是集合B的元素,但B中可能有A中没有的元素,则称A被B包含,记作A⊆B。
- 真包含关系:如果集合A被B包含,并且A不等于B,则称B真包含A,记作A⊂B。
5. 集合的基本运算- 并集运算:A∪B = {x | x ∈ A 或x ∈ B}- 交集运算:A∩B = {x | x ∈ A 且x ∈ B}- 差集运算:A - B = {x | x ∈ A 且 x ∉ B}- 补集运算:C_U(A) = {x | x ∈ U 且 x ∉ A}6. 集合的特殊记号- 属于符号:∈,表示元素属于某个集合。
- 不属于符号:∉,表示元素不属于某个集合。
- 空集符号:∅,表示没有任何元素的集合。
(完整版)集合知识点点总结
集合概念一:集合有关概念1.集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
2.一般的研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,简称为集。
3.集合的中元素的三个特性:(1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属于。
例:世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……(2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。
例:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合例:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示:{…} 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法:列举法与描述法。
1)列举法:将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}2)描述法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}4、集合的分类:(1)有限集:含有有限个元素的集合(2)无限集:含有无限个元素的集合(3)空集:不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}5、元素与集合的关系:(1)元素在集合里,则元素属于集合,即:a∈A(2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:a A注意:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集 N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集R二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集(1)定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有A⊆(或B⊇A)包含关系,称集合A是集合B的子集。
记作:BA⊆有两种可能(1)A是B的一部分,;注意:B(2)A与B是同一集合。
集合知识点归纳总结
集合知识点归纳总结一、集合的定义与性质1. 集合的基本定义:集合是由一些确定的元素组成的整体。
2. 集合的表示方法:列举法、描述法、集合运算法等。
3. 集合的关系:包含关系、相等关系、互斥关系等。
4. 集合的运算:并集、交集、差集、补集等运算。
二、集合的分类1. 空集与全集:空集是不包含任何元素的集合,全集是指定范围内的所有元素的集合。
2. 子集与真子集:如果一个集合中的所有元素都是另一个集合的元素,则称前者为后者的子集;若两个集合既有子集关系又不相等,则称前者为后者的真子集。
3. 有限集与无限集:元素个数有限的集合称为有限集,元素个数无限的集合称为无限集。
三、集合的运算1. 并集:将两个或多个集合中的所有元素都放在一起,得到的新集合即为并集。
2. 交集:两个集合中共有的元素组成的集合称为交集。
3. 差集:从一个集合中减去另一个集合的元素,得到的新集合称为差集。
4. 补集:相对于某个全集,与该集合不相交的元素组成的集合称为补集。
四、集合的表示与应用1. 集合的表示方法:列举法、描述法、集合运算法等。
2. 集合的应用场景:数学、计算机科学、概率论等领域中都有集合的应用。
3. 集合的问题求解:通过集合的运算和性质,解决实际问题中的集合相关的计算和逻辑推理。
五、集合的常用性质与定理1. 幂集:一个集合的所有子集构成的集合称为幂集。
2. 对称差:两个集合的对称差是指两个集合的并集减去交集。
3. 德摩根定律:集合运算中的德摩根定律包括并集的德摩根定律和交集的德摩根定律。
4. 集合的基数:集合的基数是指集合中元素的个数。
5. 区间表示法:用数轴上的区间来表示集合。
六、集合的应用举例1. 数学中的集合:数学中的各种概念和定理都可以用集合的语言来表达和证明。
2. 数据库中的集合:数据库中的查询、连接和操作都可以用集合的概念来描述和实现。
3. 概率论中的集合:概率论中的事件和样本空间都可以用集合的概念来表示和计算。
(完整版)《集合》知识点总结
《集合》知识点总结一、集合有关概念1.集合的含义一般地,把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集) 2.集合中元素的三个特性:确定性 互异性 无序性3.集合的表示:{}⋅⋅⋅如:{}我校的篮球队员,{}太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋用拉丁字母表示集合:A ={}我校的篮球队员,B ={}1,2,3,4,5 集合的表示方法:列举法与描述法。
列举法:{,}a b ⋅⋅⋅,c,d,描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
{|32}x x ->语言描述法:例:{}不是直角三角形的三角形Venn 图:注:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集) 记作:N正整数集 *N N +或 整数集Z 有理数集Q 实数集R4.集合的分类:有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合空集 不含任何元素的集合 例:2{|5}x x =-二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集 注意:A B ⊆有两种可能(1)A 是B 的一部分;(2)A 与B 是同一集合。
反之,集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ⊆/B 或B ⊇/A 2. “相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)例:设A={x|210x -=} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”① 任何一个集合是它本身的子集. A ⊆A②真子集:如果A ⊆B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集,记作B A ⊆ (或B ⊇/A) ③如果A ⊆B, B ⊆C ,那么 A ⊆C④如果A ⊆B 同时 B ⊆A 那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集,记为∅规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
结论:有n 个元素的集合,含有2n 个子集,12n -个真子集(2)交、并、补集的混合运算①集合交换律 A B B A ⋂=⋂ A B B A ⋃=⋃②集合结合律 ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂ ()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃③集合分配律 ()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃ (3)容斥定理()()()()card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂()()()()()card A B C card A card B card C card A B ⋃⋃=++-⋂()()()card A B card B C card A B C -⋂-⋂+⋂⋂card 表示有限集合A 中元素的个数。
集合部分的知识点总结
集合部分的知识点总结1. 集合的基本概念集合的基本概念包括元素、子集、空集、全集等。
元素:集合中的每一个对象都称为该集合的元素。
在数学中,我们通常用小写字母表示元素,如$a\in A$表示元素$a$属于集合$A$。
子集:若集合$A$中的每一个元素都属于集合$B$,则称$A$是$B$的子集。
表示为$A\subseteq B$。
空集:不包含任何元素的集合称为空集,用符号$\emptyset$表示。
全集:包含所有可能元素的集合称为全集。
在特定的问题中,全集的具体取值可能会有所不同。
2. 集合的运算集合的运算包括并集、交集、补集、差集等。
并集:集合$A$和集合$B$的并集,表示为$A\cup B$,是所有属于$A$或者属于$B$的元素的集合。
交集:集合$A$和集合$B$的交集,表示为$A\cap B$,是所有既属于$A$又属于$B$的元素的集合。
补集:集合$A$相对于全集的补集,表示为$A^c$或$\overline{A}$,是所有属于全集但不属于$A$的元素的集合。
差集:集合$A$和集合$B$的差集,表示为$A-B$或$A\backslash B$,是所有属于$A$但不属于$B$的元素的集合。
并集、交集、补集和差集是集合运算的基本操作,它们在集合论中有着重要的应用。
3. 集合的性质集合具有一些基本的性质,如交换律、结合律、分配律等。
交换律:对于任意两个集合$A$和$B$,$A\cup B=B\cup A$,$A\cap B=B\cap A$。
结合律:对于任意三个集合$A$、$B$、$C$,$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$,$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$。
分配律:对于任意三个集合$A$、$B$、$C$,$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$,$(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)$。
集合知识点归纳总结
【考纲说明】1. 理解集合,子集,补集,交集,并集的概念;2. 了解空集和全集的意义;3. 了解属于,包含,相等关系的意义。
4. 掌握有关术语和符号,并会使用它们表示一些简单的集合。
【趣味链接】 集合论是德国着名数学家康托于19世纪末创立的。
十七世纪,数学中出现了一门新的分支:微积分。
在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果。
其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础。
十九世纪初,许多迫切问题得到解决后,出现了一场重建数学基础的运动。
正是在这场运动中,康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集,这是集合论研究的开端。
到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。
他对集合所下的定义是:把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来,看作一个整体,就称为一个集合,其中各事物称为该集合的元素。
人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日。
一、定义: 1、 表示方法:(1)、列举法:{}1,2,3A = (2)、描述法:{}13,A x x x Z =≤≤∈(3)、V_N 图法 (4)、常见数集:*,,,,()R Q Z N N N +2、 性质:确定性、互异性、无序性3、 元素与集合的关系:属于(不属于)()∈∉4、 集合与集合的关系:包含(真包含)⊆()5、 子集:若B A ⊆,B 叫做A 的子集(1) 子集:2n (2)真子集:21n - (3)非空子集:21n - (4)非空真子集:22n -6、 空集:空集是任何集合的子集;空集是任何非空集合的真子集。
7、 相等集合:若C A ⊆,且A C ⊆,则A=C二、集合运算1、 交集:A B ⋂公共部分2、 并集:A B ⋃全部3、 补集:U C A 全集U 中除去A例题1:已知全集U =R ,集合{}|23A x x =-≤≤,{}|14B x x x =<->或,那么集合()U A C B ⋂等于( )例题2:设全集R U =,集合}31|{},22|{≤≤-=≤≤-=x x B x x A ,则图中阴影部分表示的集合为( )A.}32|{≤≤-x xB.}21|{≤≤-x xC.}20|{≤≤x xD.}21|{≤≤-x x例题3:已知集合A={x |x 2-x -2<0},B={x |-1<x <1},则( )A. ABB. B AC. A=BD. A∩B=例题4:已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为( ) 10.8.6.3.D C B A★随堂训练:1、已知集合M ={x |x 2<4},N ={x |x 2-2x -3<0},则集合M ∩N 等于 .2、已知集合}2|||{)},1lg(|{<=-==x x B x y x A ,则B A I =( )A.)0,2(-B.)2,0(C.)2,1(D.)2,2(-3、设全集U 是实数集R ,}31|{},2|||{<<=≥=x x N x x M ,则图中阴影表示的是( )A.}12|{<<-x xB.}22|{<<-x xC.}21|{<<x xD.}2|{<x x4、 已知集合},log |{},4,2,1{2A x x y y B A ∈===,则B A Y =( )A.}2,1{B.]2,1[C.}4,2,1,0{D.]4,0[★高考真题演练:(2017年文1)已知集合}023|{},2|{>-=<=x x B x x A ,则( ) A.}23|{<=x x B A I B.φ=B A I C.}23|{<=x x B A Y D.R B A =Y (2017年理1)已知集合}13|{},1|{<=<=xx B x x A ,则( ) A.}0|{<=x x B A I B.R B A =Y C.}1|{>=x x B A Y D.φ=B A I(2016年文1)设集合}52|{},7,5,3,1{≤≤==x x B A ,则A B =I ( )(2016年理1)设集合2{|430}A x x x =-+<,{|230}B x x =->,则A B =I ( )(2015年文1)已知集合}14,12,8,6{},,23|{=∈+==B N n n x x A ,则集合B A I 中元素的个数为( )(2014年文1)已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ,则M B =I ( ) (2014年理1)已知集合A={x |2230x x --≥},}22|{<≤-=x x B ,则A B =I ( ) (2013年文1)已知集合{1,2,3,4}A =,2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =I ( ) (2013年理1)已知集合{}022>-=x x x A ,{}55B <<-=x x ,则( )。
集合知识点考点总结
集合知识点考点总结1. 集合的基本概念(1) 集合的定义:集合是由一些确定的对象组成的整体。
这些对象可以是数字、字母、符号或者其他事物。
(2) 元素:组成集合的每个对象都称为集合的元素,通常用小写字母表示。
(3) 无序性:集合中的元素没有顺序之分,即两个相同的集合只有相同的元素组成,元素的排列次序不同,它们之间也是相等的。
(4) 互异性:集合中的元素各不相同,即每个元素在集合中只能出现一次。
(5) 集合的表示方法:集合可以用列举法、描述法和等价关系法表示。
2. 集合的分类(1) 空集:不包含任何元素的集合称为空集,通常用符号∅表示。
(2) 单集:只包含一个元素的集合称为单集。
(3) 有限集和无限集:集合中元素的个数有限的称为有限集,否则称为无限集。
(4) 相等集:具有相同元素的集合称为相等集。
3. 集合的运算(1) 并集:设A和B是两个集合,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A和B的并集,通常用符号∪表示。
(2) 交集:设A和B是两个集合,由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成的集合称为A和B的交集,通常用符号∩表示。
(3) 补集:设U是一个给定的集合,A是U的一个子集,由所有属于U而不属于A的元素组成的集合称为A的补集,通常用符号A'表示。
(4) 差集:设A和B是两个集合,由所有属于集合A而不属于集合B的元素组成的集合称为A和B的差集,通常用符号A-B表示。
4. 集合的运算法则和性质(1) 交换律:对于任意的集合A和B,A∪B = B∪A,A∩B = B∩A。
(2) 结合律:对于任意的集合A、B和C,(A∪B)∪C = A∪(B∪C),(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。
(3) 分配律:对于任意的集合A、B和C,A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C),A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)。
(4) 吸收律:对于任意的集合A和B,A∪(A∩B) = A,A∩(A∪B) = A。
集合的知识点总结框架
集合的知识点总结框架集合是数学中的一个重要概念,它是由一些确定的元素所组成的整体。
集合的研究是数学的基础,它在各个学科中都有广泛的应用。
本文将从集合的定义、运算、关系、分类等角度来介绍集合的知识点。
一、集合的定义集合是由一些确定的元素组成的整体。
可以用大括号{}来表示一个集合,集合中的元素用逗号分隔。
例如,{1, 2, 3, 4}就表示一个由元素1、2、3、4组成的集合。
二、集合的运算1. 并集:两个集合A和B的并集是包含A和B中所有元素的集合,用符号∪表示。
例如,A={1, 2, 3},B={3, 4, 5},则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
2. 交集:两个集合A和B的交集是包含A和B中共有元素的集合,用符号∩表示。
例如,A={1, 2, 3},B={3, 4, 5},则A∩B={3}。
3. 差集:集合A减去集合B是包含A中除去B中元素的集合,用符号\表示。
例如,A={1, 2, 3},B={3, 4, 5},则A\B={1, 2}。
4. 互斥:两个集合A和B的互斥是指A和B没有共有的元素,用符号⊥表示。
如果A∩B=∅,则称A和B互斥。
三、集合的关系1. 包含关系:集合A包含集合B是指A中的所有元素都属于B,用符号⊆表示。
例如,A={1, 2, 3},B={1, 2},则A⊆B。
2. 相等关系:集合A等于集合B是指A包含B且B包含A,用符号=表示。
例如,A={1, 2, 3},B={1, 2, 3},则A=B。
3. 子集关系:集合A是集合B的子集是指A包含于B但A不等于B,用符号⊂表示。
例如,A={1, 2},B={1, 2, 3},则A⊂B。
四、集合的分类1. 有限集:集合中的元素个数是有限的。
例如,A={1, 2, 3, 4}就是一个有限集。
2. 无限集:集合中的元素个数是无限的。
例如,N={1, 2, 3, ...}就是一个无限集。
3. 空集:不包含任何元素的集合称为空集,用符号∅表示。
集合必背知识点总结
集合必背知识点总结一、集合的基本概念集合是指具有某种特定性质的对象的总体,这些对象叫做集合的元素。
在数学中,我们常用大写字母表示集合,用{}表示集合,例如A={a,b,c,d,e}表示由元素a,b,c,d,e组成的集合。
集合中不同元素的个数称为该集合的基数(或基数)。
二、集合的运算1. 并集设A和B是两个集合,所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A和B的并集,记作A∪B。
表示如下:A∪B={x|x∈A或者x∈B}并集的性质:交换律:A∪B=B∪A结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)2. 交集设A和B是两个集合,所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A 和B的交集,记作A∩B。
表示如下:A∩B={x|x∈A并且x∈B}交集的性质:交换律:A∩B=B∩A结合律:A∩(B∩C)=(A∩B)∩C分配律:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)3. 补集设U是一个集合,A是U的一个子集,所有属于U而不属于A的元素组成的集合叫做集合A对于集合U的补集,记作A' 或者Ac4. 差集设A和B是两个集合,所有属于A而不属于B的元素所组成的集合叫做集合A和B的差集,记作A-B。
表示如下:A-B={x|x∈A并且x∉B}三、集合的表示方法1. 列举法直接将集合中的元素一一列举出来,用大括号括起来,中间用逗号隔开。
例如:A={1,2,3,4,5}2. 描述法把确定集合中元素的某种性质加以说明,用x∈U,x满足某种性质P来描述集合,大括号中的元素x都具有性质P。
例如:B={x|x是偶数,x∈Z}四、集合的基本定理1. 并集与交集之间的关系设A,B是集合,那么有如下的基本定理:A∪B = A∪(A∩B)A∩B = A∩(A∪B)2. 对于任意集合A,B和C有如下关系:交换律:A∪B = B∪A,A∩B = B∩A结合律:A∪(B∪C) = (A∪B)∪C,A∩(B∩C) = (A∩B)∩C分配律:A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C),A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)五、集合的应用集合常用于解决排列组合、概率统计等问题,在实际生活中也有广泛的应用。
高一数学一到五章知识点总结
高一数学一到五章知识点总结第一章:集合集合是数学中最基本的概念之一。
在高一的数学学习中,我们首先学习了集合的基本概念和运算。
集合可以由若干个元素组成,用大括号{}表示。
集合中的元素是无序的,且不能重复。
集合之间的运算包括交集、并集、差集和补集。
在实际问题中,我们常常会遇到将不同的对象、事物进行分类或分组的情况,这时候就可以用到集合的概念。
通过集合的运算,我们可以更好地理解和分析问题。
第二章:对称与相似对称与相似是几何学中的重要概念。
在高一的数学学习中,我们学习了平面几何中的对称和相似。
对称是指物体关于某个轴或某个点的形状完全相同,可以实现完全重合。
相似是指物体之间形状相似,但不一定可以完全重合。
对称与相似在生活中无处不在。
例如,自然界中的很多物体都具有对称性,如花的形状、雪花的结构等。
而相似性则体现在事物之间的比例关系,如建筑物的设计、地图的缩放等。
通过对称与相似的分析,我们可以更好地理解事物之间的形态和关系。
第三章:函数与方程函数与方程是高中数学中的重要内容。
在高一的数学学习中,我们学习了函数和方程的基本概念,以及二次函数和一元二次方程的性质和应用。
函数是自变量与因变量之间的关系。
通过函数,我们可以用一个数来确定另一个数。
函数是实现数学建模的基本工具之一,广泛应用于自然科学、社会科学和工程技术等领域。
方程是数学中的基本等式,其中包含着未知数。
通过方程,我们可以求解未知数的取值,解决实际问题。
第四章:数量关系与函数数量关系与函数是数学中的重要内容。
在高一的数学学习中,我们学习了数量关系与函数的基本概念和性质,以及函数的运算和函数图像的性质。
数量关系是指不同数之间的关系。
通过数量关系,我们可以研究数与数之间的关系规律,揭示数学中的一些普遍性质。
函数是数量关系的一种特殊形式,它能够表达变量之间的对应关系。
第五章:概率与统计概率与统计是数学中的重要分支之一。
在高一的数学学习中,我们学习了概率与统计的基本概念和应用。
集合知识点总结归纳
集合知识点总结归纳一、集合的定义集合是指具有某种共同性质的对象的汇聚。
这些对象可以是数字、字母、图形、物体等。
集合用大括号{}表示,其中的对象称为元素。
例如,集合A={1,2,3,4,5},表示A是由数字1、2、3、4、5组成的集合。
在集合中,元素是没有顺序的,且不重复。
集合中没有元素的情况称为空集,记作Φ。
二、集合的运算1. 并集:设A和B是两个集合,A∪B表示A和B的并集,即集合A和B中所有元素的集合。
例如,A={1,2,3},B={3,4,5},则A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集:设A和B是两个集合,A∩B表示A和B的交集,即同时属于A和B的元素的集合。
例如,A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B={2,3}。
3. 差集:设A和B是两个集合,A-B表示A和B的差集,即属于A但不属于B的元素的集合。
例如,A={1,2,3},B={2,3,4},则A-B={1}。
4. 补集:设U为全集,A为U的子集,A的补集记作A'或者~A,表示U中所有属于但不属于A的元素的集合。
5. 笛卡尔积:设A和B是两个集合,A×B表示A和B的笛卡尔积,即由所有形如(a,b)的有序数对组成的集合,其中a∈A,b∈B。
三、特殊集合1. 自然数集合:N={1,2,3,4,5,...}。
2. 整数集合:Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}。
3. 有理数集合:Q={m/n|m,n∈Z,n≠0}。
4. 实数集合:R表示所有实数的集合。
5. 复数集合:C表示所有复数的集合。
四、集合的关系与表示方法1. 包含关系:若集合A中的每个元素都属于集合B,则称A是B的子集,记作A⊆B,或者B的超集,记作B⊇A。
2. 相等关系:若A⊆B且B⊆A,则称A等于B,记作A=B。
3. 元素的属于关系:若某个元素属于某个集合A,记作a∈A,否则记作a∉A。
4. 集合的表示方法:- 列举法:直接列举出集合中的元素。
初中数学第5章知识点总结
初中数学第5章知识点总结第五章:集合一、集合的概念1.集合:集合是指具有共同特性的事物的总体。
2.元素:集合中的每一个事物称为该集合的元素。
3.元素的确定:元素的确定是指一个人或一组人在某种情况下表示出来的一种具体指向特定事物的引导性行为。
4.集合的表示方法:(1)列举法:用大括号将有限个元素列出。
(2)描述法:用条件句描述元素的性质。
5.集合的分类:(1)基本集合:由表示集合的字母表示的,自然地,这就是被称为基本集合。
(2)组合集合:基础上由基本集合组成的集合。
(3)空集合:一个不包含任何元素的集合被称为空集合。
二、集合间的关系1.相等集合:如果两个集合具有完全相同的元素,则这两个集合称为相等集合。
2.子集:如果集合A的所有元素都属于集合B,则称集合A是集合B的子集,记作A⊆B。
3.真子集:若A⊆B,且A≠B,则A是B的真子集。
4.空集合:任何集合的子集。
5.全集合:全集合是指一个集合中所包含的其他集合的集合。
6.交集:集合A和集合B的交集是指同时属于A和B的元素组成的集合。
7.并集:集合A和集合B的并集是指属于A或者属于B的元素组成的集合。
8.差集:集合A与集合B的差集是指属于A而不属于B的元素组成的集合。
9.互斥集合:若A∩B=ϕ,则称A与B是互斥的。
三、集合的运算1.交运算:表示两个集合所共有的元素,记作A∩B。
2.并运算:表示包括A和B的全部元素,记作A∪B。
3.差运算:表示属于A而不属于B的元素组成的集合,记作A-B。
四、集合的应用1.生活中的集合问题例1:如果一个集合A表示所有英语成绩超过80分的学生,一个集合B表示所有物理成绩超过80分的学生,问集合A和B的交集和并集的意义是什么?答:集合A和B的交集是英语和物理成绩都超过80分的学生的集合,而集合A和B的并集是英语或物理成绩有一门科目超过80分的学生的集合。
这两个集合的意义就是帮助我们统计学生的成绩情况和分析学生的学习状况。
2.概率中的集合问题例2:在一个班级里,学生选修了数学、英语和物理三门课程,现在要进行一次抽签活动,抽中数学和英语两门课程的学生,问这个问题可以用集合表示吗?答:可以用集合表示,假设集合A表示选修数学课程的学生,集合B表示选修英语课程的学生,抽中数学和英语两门课程的学生可以用A∩B来表示,即属于A又属于B的学生的集合。
集合的知识点重点总结归纳
集合的知识点重点总结归纳集合的知识点重点总结归纳一、引言集合是数学中最基本的概念之一,它广泛应用于数学、逻辑、计算机科学等领域。
本文将对集合的相关知识点进行总结归纳,旨在帮助读者更深入地理解集合的概念、性质和运算法则。
二、集合的概念1. 集合的定义:集合是由一些确定的、不重复的元素组成的整体。
用大写字母表示集合,用小写字母表示集合中的元素。
2. 元素与集合的关系:若一个元素属于某个集合,我们称它为该集合的元素。
反之,若一个元素不属于某个集合,我们称它为该集合的非元素。
3. 空集与全集:没有元素的集合称为空集,用符号∅表示。
包含所有可能元素的集合称为全集,用符号U表示。
三、集合的表示方法1. 列举法:通过列举集合中的元素来表示集合。
例如,集合A={1, 2, 3}表示A是由元素1、2、3组成的集合。
2. 描述法:通过描述元素的特征来表示集合。
例如,集合B={x | x是正整数}表示B是由所有正整数组成的集合。
四、集合的运算法则1. 并集:对于两个集合A和B,它们的并集是包含A和B中所有元素的集合,用符号∪表示。
即A∪B={x | x∈A或x∈B}。
2. 交集:对于两个集合A和B,它们的交集是包含A和B中共同元素的集合,用符号∩表示。
即A∩B={x | x∈A且x∈B}。
3. 差集:对于两个集合A和B,A中属于而B中不属于的元素构成的集合称为A相对于B的差集,用符号A-B表示。
即A-B={x | x∈A且x∉B}。
4. 互斥集:若两个集合A和B的交集为空集,则称A和B为互斥集。
5. 包含关系:若集合A的所有元素都属于集合B,则称A是B 的子集,用符号A⊆B表示。
若集合A是集合B的子集且A≠B,则称A为B的真子集,用符号A⊂B表示。
6. 补集:对于集合A而言,全集U中不属于A的元素构成的集合称为A的补集,用符号A'表示。
即A'={x | x∈U且x∉A}。
五、集合的性质1. 唯一性:在同一个集合中,每个元素都是独一无二的,不允许重复。
集合的全部知识点总结
集合的全部知识点总结集合是数学中的重要概念,在各个学科领域都有广泛应用。
本文将对集合的相关知识进行总结和概述,分为以下几个方面进行探讨:集合的定义与表示、集合的运算、集合间的关系、集合的性质以及集合的应用。
一、集合的定义与表示集合是由一些特定对象组成的整体,这些对象称为集合的元素。
通常用大写字母表示集合,用小写字母表示集合的元素。
例如,集合A={1,2,3}表示由元素1、2、3组成的集合A。
集合的元素可以是任意类型的对象,如数字、字母、词语等。
集合的表示方法有两种:列举法和描述法。
列举法是将集合的元素一一列举出来,用花括号{}括起来。
描述法是用一句话描述集合的特性,如{ x | x 是整数 }表示所有整数的集合。
二、集合的运算1. 并集:将两个或多个集合中的所有元素合并在一起,构成一个新的集合。
用符号∪表示。
例如,若集合A={1,2},B={2,3},则A∪B={1,2,3}。
2. 交集:将两个或多个集合中共有的元素提取出来,构成一个新的集合。
用符号∩表示。
例如,若集合A={1,2},B={2,3},则A∩B={2}。
3. 差集:从一个集合中删除另一个集合中的元素,构成一个新的集合。
用符号\表示。
例如,若集合A={1,2,3},B={2,3},则A\B={1}。
4. 补集:对于给定全集,集合中未包含的元素构成的集合称为补集。
用符号'表示。
例如,若全集为U,集合A={1,2,3},则A'为全集U中除去集合A的元素构成的集合。
三、集合间的关系在集合论中,集合之间存在以下几种关系:1. 包含关系:若集合A的所有元素都是集合B的元素,则称A是B的子集,用符号A⊆B表示。
2. 真包含关系:若集合A是集合B的子集,并且集合B中存在至少一个元素不属于集合A,则称A是B的真子集,用符号A⊂B表示。
3. 相等关系:若集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,则称A和B相等,用符号A=B表示。
四、集合的性质1. 互不相交性:若两个集合的交集为空集,则称这两个集合互不相交。
集合的总结
集合的总结集合是数学中一个重要的概念,用来描述一组具有共同特征的对象的集合。
在数学中,集合被视为一个整体,其中的对象称为集合的成员或元素。
集合的概念广泛应用于各个数学分支,如集合论、代数、几何等。
首先,集合的基本概念是元素和成员关系。
一个集合由一组元素组成,元素可以是数、字母、符号、其他集合等。
如果一个元素属于某个集合,我们说该元素是该集合的成员。
我们可以用集合的形式表示一个集合,其中将成员用花括号括起来,并用逗号分隔。
例如,{1, 2, 3, 4, 5}表示一个包含了1、2、3、4和5这些元素的集合。
其次,集合之间的关系可以通过运算来描述。
最基本的集合运算有并、交和差。
集合的并运算表示两个或多个集合中所有的元素的集合。
交运算表示两个或多个集合中共有的元素的集合。
差运算表示从一个集合中去掉另一个集合中的元素后的结果。
另外,还可以通过补运算、笛卡尔积等运算来描述不同集合之间的关系和操作。
集合论是研究集合和集合之间关系等概念的数学分支。
在集合论中,集合可以是有限集或无限集。
有限集是包含有限个元素的集合,而无限集是包含无穷个元素的集合。
集合论还研究了集合的性质,如空集、单元素集、空集与非空集之间的关系等。
集合在数学中的应用非常广泛。
在代数中,集合可以用来描述数的属性,如自然数集、整数集、有理数集、实数集、复数集等。
集合还用于描述几何中的点、线、面等。
在概率论中,集合被用来描述随机事件的概率,如样本空间、事件集合等。
此外,集合还有一些重要的性质和定理。
集合的相等性表示两个集合中的元素完全相同,即它们互为子集。
集合的包含关系表示一个集合中的所有元素都属于另一个集合。
集合的基数表示集合中元素的个数,可能是有限的也可能是无限的。
集合的幂集表示集合所有子集的集合。
集合的并集、交集等操作满足交换律、结合律、分配律等运算规律。
总的来说,集合是数学中描述一组具有共同特征的对象的工具。
通过集合,我们可以描述和研究对象之间的关系、运算和性质。
集合知识点总结
集合知识点总结集合是数学中常见的一个概念,也是许多其他数学分支的基础。
本文将对集合的定义、基本操作、集合运算以及一些常见的集合类型进行总结,以帮助读者更好地理解和应用集合概念。
一、集合的定义集合是由一些确定的、互不相同的元素组成的整体。
集合的表示通常使用大写字母表示,元素则用小写字母表示。
例如,集合A = {a, b, c, d} 表示由元素a、b、c、d 组成的集合。
集合中的元素没有顺序之分,而且每个元素只出现一次。
如果一个元素x属于集合A,我们可以写作x ∈ A。
如果元素y不属于集合A,我们可以写作y ∉ A。
二、基本操作1. 并集:如果x是A或B中的元素,则x属于A∪B。
A∪B 表示以原集合A和B中的所有元素构成的新集合。
2. 交集:如果x是A和B中的元素,则x属于A∩B。
A∩B 表示同时属于集合A和集合B的元素组成的新集合。
3. 差集:如果x是A中的元素,但不是B中的元素,则x属于A-B。
A-B 表示在集合A中,但不在集合B中的元素组成的新集合。
4. 补集:对于全集U和集合A,A的补集表示U中不属于A的元素组成的集合。
三、集合运算除了基本操作以外,还有一些常见的集合运算,如幂集、笛卡尔积等。
1. 幂集:幂集是指一个集合的所有子集构成的集合。
记作P(A)。
例如,集合A = {1, 2},那么它的幂集P(A) = { {}, {1}, {2}, {1, 2} }。
2. 笛卡尔积:如果A和B是两个集合,它们的笛卡尔积表示为A×B,它是所有形如(a, b)的有序对构成的集合,其中a属于A,b属于B。
四、常见的集合类型1. 自然数集:N = {0, 1, 2, 3, ...}2. 整数集:Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}3. 有理数集:Q = { p/q | p ∈ Z, q ∈ N, q ≠ 0 }4. 实数集:R = [ -∞, +∞ ]5. 复数集:C = { a + bi | a ∈ R, b ∈ R, i^2 = -1}五、应用举例集合的概念在数学和计算机科学中有着广泛的应用。
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学习总结
一.三大框架
Set:
Set系列中的类都实现了Set接口,该系列中的类均以
Set作为类名的后缀。
Set系列中的容器类,不允许存
储重复的元素。
•Set接口常用实现类:HashSet , TreeSet , LinkedHashSet 例:HashSet hs = new HashSet();
hs.add("Long");
hs.add("Json");
hs.add("min");
System.out.println("hs:"+hs);
for(Object obj:hs){ //for增强遍历
System.out.println(obj);
}
Iterator it = hs.iterator(); //迭代器遍历
while(it.hasNext()){ //判断序列中是否还有元素
Object obj = it.next(); //使用nxt)_方法来获取序列中元素
System.out.println(obj);
}
•HashSet:允许添加null元素,但对于重复的元素,只能添加一个。
不保存元素加入顺序的特征。
List:
List接口继承了Collection接口,它是一个允许存在重
复的有序集合。
List接口的实现类:ArrayList , LinkedList , Vector
例:ArrayList al = new ArrayList();
ArrayList al1 = new ArrayList();
al.add("win");
al.add("Long");
al.add("Json");
al.add("win");
// al.remove("win"); //remove,移除一个win
System.out.println("al"+al);
al1.addAll(al); //把集合al赋给集合al1
al1.add("a"); //往集合al1里加值a
// al1.removeAll(al); //移除集合al
System.out.println("al1:"+al1);
//增强for遍历
for(Object obj : al){
System.out.println(obj);
}
//迭代器遍历
Iterator it = al1.iterator();
while(it.hasNext()){ //判断序列中是否还有元素
Object obj = it.next(); //使用nxt)_方法来获取序列中元素
System.out.println(obj);
}
•ArrayList:允许添加null元素,对于重复的元素,能添加多个。
能保存元素加入顺序的特征。
•注:1.ArrayList 对象是长度可变的对象引用数组,类似于动态数组;
2.继承AbstractList 并实现List 接口
3.随着元素的添加,元素的数目会增加,列表也会随着扩展
1.访问和遍历对象时,它提供更好的性能,但元素做删除或插
入操作时速度较慢
<2>LinkedList:
•LinkedList 类用于创建链表数据结构
•继承AbstractSequentialList 并实现List 接口
•LinkedList使用双向链表实现的容器,插入或删除元素使用LinkedList效率较高
•LinkedList类的构造方法包括LinkedList(),LinkedList(Collection c) 例:LinkedList ll = new LinkedList();
ll.add("Long");
ll.add("Json");
ll.addAll(1,al1); //括号里的1代表着把al1里的数据插入到第2位
ll.addFirst("1");
for(Object obj : ll){
System.out.println(obj);
} }
Vector:
1.Vector提供了实现可增长数组的功能,增加元素,
数组变得更大,删除元素,数组变小。
2.Vector大多操作与ArrayList相同,区别在于Vector是
线程同步的。
3.Vector构造方法Vector(),Vector(int initialCap),Vector
(int initialCap,int inc),Vector (Collection c)
例:Vector v = new Vector();
v.addElement("Json");
v.add(0,"win"); //把win加到第一个位置
v.insertElementAt("honey", 0); //把honey
加到第一个位置区
v.set(1, "won"); //把位于第二位
置的元素改成won
Iterator it1 = v.iterator();
while(it1.hasNext()){
Object obj = it1.next();
System.out.println(obj);
}
Map:
1.Map接口不是Collection接口的继承。
2.Map接口用于维护键/值对(key/value),描述了从不重
复的键到值的映射。
Map中不能有重复的键,常用String
作为Map的键。
3.Map接口的实现类:HashMap,TreeMap,Properties等。
例:HashMap
HashMap hm = new HashMap ();
hm.put("Long", u1);
//hm.put("Json", u2);
hm.put(2, u2);
// hm.put("win", u3);
// hm.put(2, u3);
hm.put(null, u3);
//hm.put("win", u3);
User u = (User)hm.get(2);
//User u = (User)hm.get(null);
System.out.println(u.getUserName();
*:HashMap:允许使用null值和null键,但不保证
映射的顺序,特别是它不保证该顺序是恒久不变的}
泛型、自动装箱与拆箱
例:HashMap<String, User> hm = new HashMap<String, User>();
hm.put("Long", u1);
hm.put("Json", u2);
// hm.put(2, u2);
// hm.put("win", u3);
// hm.put(2, u3);
// hm.put(null, u3);
hm.put("win", u3);
// User u = (User)hm.get(2);
// //User u = (User)hm.get(null);
// System.out.println(u.getUserName());
for(Object obj :hm.keySet()){
System.out.println(hm.get(obj).getUserName());
}
}
注:remove:移除一个元素;
addElement:移除整个集合;
insertElement:插入元素;
set:修改数据;
add:赋值;
addFirst:在首位添加数值;
addAll:集合插入。