第五章.集合总结

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集合的全部知识点总结

集合的全部知识点总结

集合的全部知识点总结集合是数学中一个重要的概念,它是由一些确定的事物构成的整体。

在数学中,集合有着丰富的应用和理论基础,下面将从集合的定义、表示、运算等方面进行全面总结。

一、集合的定义集合是指具有某种特定性质的事物的总和。

用大写字母A、B、C等表示集合,小写字母a、b、c等表示集合中的元素。

如果元素x属于集合A,我们用x∈A来表示。

如果元素y不属于集合A,我们用y∉A 来表示。

二、集合的表示1. 列举法:直接列出集合中的元素,用花括号{}括起来。

例如,集合A={1,2,3,4}表示A为包含有元素1、2、3、4的集合。

2. 描述法:通过给出满足某个条件的元素来表示集合。

例如,集合B={x|x是正整数且x<5}表示B为包含小于5的正整数的集合。

三、集合的运算1. 交集:集合A和集合B的交集,表示为A∩B,表示共同属于A和B的元素组成的集合。

2. 并集:集合A和集合B的并集,表示为A∪B,表示A和B中所有元素组成的集合。

3. 差集:集合A和集合B的差集,表示为A-B,表示属于A但不属于B的元素组成的集合。

4. 互斥:如果集合A和集合B没有共同元素,则称A和B互斥。

5. 子集:如果集合A的所有元素都属于集合B,则称A是B的子集,表示为A⊆B。

6. 相等:如果集合A和集合B互为子集,则称A与B相等,表示为A=B。

四、集合的性质1. 空集:不含任何元素的集合称为空集,用符号∅表示。

2. 等价类:将集合中的元素划分为若干等价类,每个类都满足某个特定的条件。

3. 无穷集合:包含无限多个元素的集合,例如自然数集合N、整数集合Z等。

五、集合的应用集合在数学中广泛应用于各个领域,特别是在概率论、统计学和离散数学中有着重要的作用。

在实际生活中,集合也常用于对事物进行分类、归纳和分析。

六、集合的补充除了上述基本的集合概念和运算外,还有一些补充的概念:1. 有限集合:只包含有限个元素的集合。

2. 无限集合:包含无限个元素的集合。

集合知识点总结

集合知识点总结

集合知识点总结集合是现代数学中的一个重要概念,它在数学的各个领域都有着广泛的应用。

下面就让我们一起来系统地总结一下集合的相关知识点。

一、集合的定义集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体。

这些对象称为集合的元素。

例如,一个班级里的所有学生可以构成一个集合,其中每个学生就是这个集合的元素;自然数的全体也能构成一个集合,每个自然数都是其中的元素。

二、集合的表示方法1、列举法将集合中的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来。

例如,集合 A ={1, 2, 3, 4, 5}。

2、描述法用集合中元素所具有的共同特征来表示集合。

例如,集合 B ={x | x 是大于 5 的整数}。

3、图示法包括韦恩图(Venn Diagram),通过图形直观地表示集合之间的关系。

三、集合中元素的性质1、确定性对于一个给定的集合,其元素必须是确定的。

也就是说,一个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集合,不存在模棱两可的情况。

2、互异性集合中的元素不能重复。

例如,集合{1, 1, 2}是不正确的,应该写成{1, 2}。

3、无序性集合中的元素没有顺序之分。

例如,{1, 2, 3}和{3, 2, 1}表示的是同一个集合。

四、集合的分类1、有限集集合中元素的个数是有限的。

2、无限集集合中元素的个数是无限的。

比如自然数集就是一个无限集。

3、空集不含任何元素的集合,记作∅。

五、常见的数集1、自然数集:N ={0, 1, 2, 3, …}2、正整数集:N+ ={1, 2, 3, …}3、整数集:Z ={…,-2, -1, 0, 1, 2, …}4、有理数集:Q5、实数集:R六、集合间的关系1、子集如果集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素,那么称集合 A 是集合B 的子集,记作 A ⊆ B。

特别地,如果 A 是 B 的子集,但 A 不等于 B,就称 A 是 B 的真子集,记作 A ⊂ B。

例如,集合 A ={1, 2},集合 B ={1, 2, 3},则 A 是 B 的子集。

集合的全部知识点总结

集合的全部知识点总结

集合的全部知识点总结集合是数学中的一个基本概念,广泛应用于各个领域。

本文将对集合的相关概念、运算、性质以及其在实际中的应用进行总结。

一、集合的基本概念1. 集合的定义:集合是由确定的元素组成的整体,没有重复元素,顺序不重要。

2. 元素和集合的关系:元素是集合的组成部分,用于描述集合的特征。

3. 表示方法:- 列举法:将集合的所有元素逐个列举出来。

- 描述法:通过一定的特征或条件来描述集合。

4. 空集和全集:- 空集:不含有任何元素的集合,用符号∅表示。

- 全集:包含所有元素的集合,用符号U表示。

二、集合的运算1. 交集:两个集合中具有相同元素的部分构成的新集合,用符号∩表示。

2. 并集:两个集合的所有元素组成的新集合,用符号∪表示。

3. 差集:一个集合中去掉与另一个集合共有元素后的新集合,用符号-表示。

4. 互补集:在全集中与某个集合没有交集的元素所构成的新集合,用符号A'表示。

5. 笛卡尔积:由两个集合的所有有序对构成的集合,用符号×表示。

三、集合的性质1. 包含关系:集合A包含于集合B,表示为A⊆B,当且仅当A的每个元素都是B的元素。

2. 相等关系:如果两个集合A和B互相包含,即A⊆B且B⊆A,则称A和B相等,表示为A=B。

3. 幂集:一个集合的所有子集所构成的集合,用符号P(A)表示。

4. 交换律、结合律和分配律:集合的交换律、结合律与数的运算性质类似,具有相似的性质。

四、集合的应用1. 概率论与统计学:集合论为概率论和统计学提供了重要的数学基础,通过对事件的集合进行分析与运算。

2. 数据库管理系统:集合运算在数据库查询和数据处理中起着重要的作用,用于筛选、合并和处理数据。

3. 逻辑学与集合论关系:集合论与逻辑学相辅相成,通过集合的运算和逻辑连接词(与、或、非)进行逻辑推理。

4. 集合在数学证明中的应用:集合的性质和运算方式在数学证明中经常被使用,可以简化证明过程。

总结:集合是数学中不可或缺的重要概念,它具有基本的定义、运算和性质。

集合的知识点总结

集合的知识点总结

集合的知识点总结集合知识点总结1. 集合的定义集合是数学中的一个基本概念,它是由具有某种特定性质的事物或对象组成的整体。

这些事物或对象被称为集合的元素。

集合中的元素可以是数字、字母、人、物体等任何事物,但它们必须是明确且无歧义的。

2. 集合的表示集合通常用大写字母表示,如A、B、C等。

集合中的元素则用小写字母表示,如a、b、c等。

集合可以用大括号{}表示,例如A = {a, b, c}表示集合A包含元素a、b、c。

3. 集合的类型- 有限集:元素数量有限的集合。

- 无限集:元素数量无限的集合。

- 空集:不包含任何元素的集合,记作∅。

- 子集:如果集合A的所有元素都是集合B的元素,则A是B的子集,记作A⊆B。

- 真子集:如果集合A是集合B的子集,并且A不等于B,则A是B的真子集,记作A⊂B。

- 并集:两个集合A和B的所有元素组成的集合,记作A∪B。

- 交集:两个集合A和B的公共元素组成的集合,记作A∩B。

- 补集:对于集合A,其在某个全集U中的补集是U中不属于A的元素组成的集合,记作A'或C_U(A)。

4. 集合间的关系- 相等关系:如果集合A和B的元素完全相同,则称A和B相等,记作A = B。

- 包含关系:如果集合A的所有元素都是集合B的元素,但B中可能有A中没有的元素,则称A被B包含,记作A⊆B。

- 真包含关系:如果集合A被B包含,并且A不等于B,则称B真包含A,记作A⊂B。

5. 集合的基本运算- 并集运算:A∪B = {x | x ∈ A 或x ∈ B}- 交集运算:A∩B = {x | x ∈ A 且x ∈ B}- 差集运算:A - B = {x | x ∈ A 且 x ∉ B}- 补集运算:C_U(A) = {x | x ∈ U 且 x ∉ A}6. 集合的特殊记号- 属于符号:∈,表示元素属于某个集合。

- 不属于符号:∉,表示元素不属于某个集合。

- 空集符号:∅,表示没有任何元素的集合。

(完整版)集合知识点点总结

(完整版)集合知识点点总结

集合概念一:集合有关概念1.集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

2.一般的研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,简称为集。

3.集合的中元素的三个特性:(1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属于。

例:世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人……(2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。

例:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合例:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示:{…} 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法:列举法与描述法。

1)列举法:将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}2)描述法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。

{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}4、集合的分类:(1)有限集:含有有限个元素的集合(2)无限集:含有无限个元素的集合(3)空集:不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}5、元素与集合的关系:(1)元素在集合里,则元素属于集合,即:a∈A(2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:a A注意:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集)记作:N正整数集 N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集R二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集(1)定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有A⊆(或B⊇A)包含关系,称集合A是集合B的子集。

记作:BA⊆有两种可能(1)A是B的一部分,;注意:B(2)A与B是同一集合。

集合知识点归纳总结

集合知识点归纳总结

集合知识点归纳总结一、集合的定义与性质1. 集合的基本定义:集合是由一些确定的元素组成的整体。

2. 集合的表示方法:列举法、描述法、集合运算法等。

3. 集合的关系:包含关系、相等关系、互斥关系等。

4. 集合的运算:并集、交集、差集、补集等运算。

二、集合的分类1. 空集与全集:空集是不包含任何元素的集合,全集是指定范围内的所有元素的集合。

2. 子集与真子集:如果一个集合中的所有元素都是另一个集合的元素,则称前者为后者的子集;若两个集合既有子集关系又不相等,则称前者为后者的真子集。

3. 有限集与无限集:元素个数有限的集合称为有限集,元素个数无限的集合称为无限集。

三、集合的运算1. 并集:将两个或多个集合中的所有元素都放在一起,得到的新集合即为并集。

2. 交集:两个集合中共有的元素组成的集合称为交集。

3. 差集:从一个集合中减去另一个集合的元素,得到的新集合称为差集。

4. 补集:相对于某个全集,与该集合不相交的元素组成的集合称为补集。

四、集合的表示与应用1. 集合的表示方法:列举法、描述法、集合运算法等。

2. 集合的应用场景:数学、计算机科学、概率论等领域中都有集合的应用。

3. 集合的问题求解:通过集合的运算和性质,解决实际问题中的集合相关的计算和逻辑推理。

五、集合的常用性质与定理1. 幂集:一个集合的所有子集构成的集合称为幂集。

2. 对称差:两个集合的对称差是指两个集合的并集减去交集。

3. 德摩根定律:集合运算中的德摩根定律包括并集的德摩根定律和交集的德摩根定律。

4. 集合的基数:集合的基数是指集合中元素的个数。

5. 区间表示法:用数轴上的区间来表示集合。

六、集合的应用举例1. 数学中的集合:数学中的各种概念和定理都可以用集合的语言来表达和证明。

2. 数据库中的集合:数据库中的查询、连接和操作都可以用集合的概念来描述和实现。

3. 概率论中的集合:概率论中的事件和样本空间都可以用集合的概念来表示和计算。

(完整版)《集合》知识点总结

(完整版)《集合》知识点总结

《集合》知识点总结一、集合有关概念1.集合的含义一般地,把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集) 2.集合中元素的三个特性:确定性 互异性 无序性3.集合的表示:{}⋅⋅⋅如:{}我校的篮球队员,{}太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋用拉丁字母表示集合:A ={}我校的篮球队员,B ={}1,2,3,4,5 集合的表示方法:列举法与描述法。

列举法:{,}a b ⋅⋅⋅,c,d,描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。

{|32}x x ->语言描述法:例:{}不是直角三角形的三角形Venn 图:注:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集) 记作:N正整数集 *N N +或 整数集Z 有理数集Q 实数集R4.集合的分类:有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合空集 不含任何元素的集合 例:2{|5}x x =-二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集 注意:A B ⊆有两种可能(1)A 是B 的一部分;(2)A 与B 是同一集合。

反之,集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ⊆/B 或B ⊇/A 2. “相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)例:设A={x|210x -=} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”① 任何一个集合是它本身的子集. A ⊆A②真子集:如果A ⊆B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集,记作B A ⊆ (或B ⊇/A) ③如果A ⊆B, B ⊆C ,那么 A ⊆C④如果A ⊆B 同时 B ⊆A 那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集,记为∅规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

结论:有n 个元素的集合,含有2n 个子集,12n -个真子集(2)交、并、补集的混合运算①集合交换律 A B B A ⋂=⋂ A B B A ⋃=⋃②集合结合律 ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂ ()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃③集合分配律 ()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃ (3)容斥定理()()()()card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂()()()()()card A B C card A card B card C card A B ⋃⋃=++-⋂()()()card A B card B C card A B C -⋂-⋂+⋂⋂card 表示有限集合A 中元素的个数。

集合部分的知识点总结

集合部分的知识点总结

集合部分的知识点总结1. 集合的基本概念集合的基本概念包括元素、子集、空集、全集等。

元素:集合中的每一个对象都称为该集合的元素。

在数学中,我们通常用小写字母表示元素,如$a\in A$表示元素$a$属于集合$A$。

子集:若集合$A$中的每一个元素都属于集合$B$,则称$A$是$B$的子集。

表示为$A\subseteq B$。

空集:不包含任何元素的集合称为空集,用符号$\emptyset$表示。

全集:包含所有可能元素的集合称为全集。

在特定的问题中,全集的具体取值可能会有所不同。

2. 集合的运算集合的运算包括并集、交集、补集、差集等。

并集:集合$A$和集合$B$的并集,表示为$A\cup B$,是所有属于$A$或者属于$B$的元素的集合。

交集:集合$A$和集合$B$的交集,表示为$A\cap B$,是所有既属于$A$又属于$B$的元素的集合。

补集:集合$A$相对于全集的补集,表示为$A^c$或$\overline{A}$,是所有属于全集但不属于$A$的元素的集合。

差集:集合$A$和集合$B$的差集,表示为$A-B$或$A\backslash B$,是所有属于$A$但不属于$B$的元素的集合。

并集、交集、补集和差集是集合运算的基本操作,它们在集合论中有着重要的应用。

3. 集合的性质集合具有一些基本的性质,如交换律、结合律、分配律等。

交换律:对于任意两个集合$A$和$B$,$A\cup B=B\cup A$,$A\cap B=B\cap A$。

结合律:对于任意三个集合$A$、$B$、$C$,$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$,$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$。

分配律:对于任意三个集合$A$、$B$、$C$,$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)$,$(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)$。

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学习总结
一.三大框架
Set:
Set系列中的类都实现了Set接口,该系列中的类均以
Set作为类名的后缀。

Set系列中的容器类,不允许存
储重复的元素。

•Set接口常用实现类:HashSet , TreeSet , LinkedHashSet 例:HashSet hs = new HashSet();
hs.add("Long");
hs.add("Json");
hs.add("min");
System.out.println("hs:"+hs);
for(Object obj:hs){ //for增强遍历
System.out.println(obj);
}
Iterator it = hs.iterator(); //迭代器遍历
while(it.hasNext()){ //判断序列中是否还有元素
Object obj = it.next(); //使用nxt)_方法来获取序列中元素
System.out.println(obj);
}
•HashSet:允许添加null元素,但对于重复的元素,只能添加一个。

不保存元素加入顺序的特征。

List:
List接口继承了Collection接口,它是一个允许存在重
复的有序集合。

List接口的实现类:ArrayList , LinkedList , Vector
例:ArrayList al = new ArrayList();
ArrayList al1 = new ArrayList();
al.add("win");
al.add("Long");
al.add("Json");
al.add("win");
// al.remove("win"); //remove,移除一个win
System.out.println("al"+al);
al1.addAll(al); //把集合al赋给集合al1
al1.add("a"); //往集合al1里加值a
// al1.removeAll(al); //移除集合al
System.out.println("al1:"+al1);
//增强for遍历
for(Object obj : al){
System.out.println(obj);
}
//迭代器遍历
Iterator it = al1.iterator();
while(it.hasNext()){ //判断序列中是否还有元素
Object obj = it.next(); //使用nxt)_方法来获取序列中元素
System.out.println(obj);
}
•ArrayList:允许添加null元素,对于重复的元素,能添加多个。

能保存元素加入顺序的特征。

•注:1.ArrayList 对象是长度可变的对象引用数组,类似于动态数组;
2.继承AbstractList 并实现List 接口
3.随着元素的添加,元素的数目会增加,列表也会随着扩展
1.访问和遍历对象时,它提供更好的性能,但元素做删除或插
入操作时速度较慢
<2>LinkedList:
•LinkedList 类用于创建链表数据结构
•继承AbstractSequentialList 并实现List 接口
•LinkedList使用双向链表实现的容器,插入或删除元素使用LinkedList效率较高
•LinkedList类的构造方法包括LinkedList(),LinkedList(Collection c) 例:LinkedList ll = new LinkedList();
ll.add("Long");
ll.add("Json");
ll.addAll(1,al1); //括号里的1代表着把al1里的数据插入到第2位
ll.addFirst("1");
for(Object obj : ll){
System.out.println(obj);
} }
Vector:
1.Vector提供了实现可增长数组的功能,增加元素,
数组变得更大,删除元素,数组变小。

2.Vector大多操作与ArrayList相同,区别在于Vector是
线程同步的。

3.Vector构造方法Vector(),Vector(int initialCap),Vector
(int initialCap,int inc),Vector (Collection c)
例:Vector v = new Vector();
v.addElement("Json");
v.add(0,"win"); //把win加到第一个位置
v.insertElementAt("honey", 0); //把honey
加到第一个位置区
v.set(1, "won"); //把位于第二位
置的元素改成won
Iterator it1 = v.iterator();
while(it1.hasNext()){
Object obj = it1.next();
System.out.println(obj);
}
Map:
1.Map接口不是Collection接口的继承。

2.Map接口用于维护键/值对(key/value),描述了从不重
复的键到值的映射。

Map中不能有重复的键,常用String
作为Map的键。

3.Map接口的实现类:HashMap,TreeMap,Properties等。

例:HashMap
HashMap hm = new HashMap ();
hm.put("Long", u1);
//hm.put("Json", u2);
hm.put(2, u2);
// hm.put("win", u3);
// hm.put(2, u3);
hm.put(null, u3);
//hm.put("win", u3);
User u = (User)hm.get(2);
//User u = (User)hm.get(null);
System.out.println(u.getUserName();
*:HashMap:允许使用null值和null键,但不保证
映射的顺序,特别是它不保证该顺序是恒久不变的}
泛型、自动装箱与拆箱
例:HashMap<String, User> hm = new HashMap<String, User>();
hm.put("Long", u1);
hm.put("Json", u2);
// hm.put(2, u2);
// hm.put("win", u3);
// hm.put(2, u3);
// hm.put(null, u3);
hm.put("win", u3);
// User u = (User)hm.get(2);
// //User u = (User)hm.get(null);
// System.out.println(u.getUserName());
for(Object obj :hm.keySet()){
System.out.println(hm.get(obj).getUserName());
}
}
注:remove:移除一个元素;
addElement:移除整个集合;
insertElement:插入元素;
set:修改数据;
add:赋值;
addFirst:在首位添加数值;
addAll:集合插入。

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