2020高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性学案

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高三数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第3课时函数的奇偶性与周期性精品理北师大版

• (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
• 1．对任意实数x，下列函数中为奇函数的是( )
• A．y＝2x－3
B．y＝－3x3
• C．y＝5xD．y＝来自|x|cos x• 答案： B
2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的
－x2＋2x＋1x＞0， (3)f(x)＝x2＋2x－1x＜0； (4)f(x)＝|x＋43－|－x23.
• 解析： (1)此函数的定义域为R. • ∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)， • ∴f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数． • (2)此函数的定义域为x＞0，由于定义域关于原点不对称， • 故f(x)既不是奇函数也不是偶函数． • (3)函数的定义域为{x|x≠0}关于原点对称， • 当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)， • 当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)， • ∴f(－x)＝f(x)，即函数是奇函数．
2．奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性．
(1)设a＞0，f(x)＝eax＋eax是R上的偶函数，求实数a的值； (2)已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m的取值范围．
1)＝－f(1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵f(－x)＝－x2－x1－1＋12 ＝－x1－2x2x＋12＝x2x2－x 1－12 ＝x2x－1 1＋12 ＝f(x) ∴f(x)是偶函数．

高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性学案文

第三节函数的奇偶性与周期性1.了解函数奇偶性的含义．2．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． 3．会运用函数图象理解和研究函数的性质．知识点一函数的奇偶性f(－x)＝f(x) y 轴 f(－x)＝－f(x) 原点1．(必修①P 39习题1.3B 组第3题改编)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A ．y ＝－x 3，x ∈RB ．y ＝sin x ，x ∈RC ．y ＝x ，x ∈RD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ∈R解析：选项B 在其定义域内是奇函数但不是减函数；选项C 在其定义域内既是奇函数又是增函数；选项D 在其定义域内不是奇函数，是减函数．故选A.答案：A2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13B.13C.12D ．－12解析：∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.答案：B3．(必修①P39A 组第6题改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析：f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2. 答案：A知识点二周期性 1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有__________，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个______的正数，那么这个________就叫做f (x )的最小正周期．答案1．f (x ＋T )＝f (x ) 2.最小最小正数4．判断正误(1)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数．( )(2)函数f (x )为R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (2 014)＝0.( ) 答案：(1)√ (2)√5．(2016·四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f (－52)＋f (1)＝________.解析：因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.又f (x )＝－f (－x )，f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x ＋1)＝－f (1－x )，令x ＝0，得f (1)＝－f (1)，所以f (1)＝0.f (－52)＝f (－2－12)＝f (－12)＝－f (12)＝－2，所以f (－52)＋f (1)＝－2. 答案：－2热点一函数奇偶性的判断【例1】 (1)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos xD ．y ＝e x－e －x(2)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝|x ＋1|－|x －1|； ②f (x )＝9－x 2＋x 2－9； ③f (x )＝1－x2|x ＋2|－2；④f (x )＝(x －1)1＋x1－x，x ∈(－1,1)．【解析】 (1)因为函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y ＝x 为非奇非偶函数，排除A ；因为y ＝|sin x |为偶函数，排除B ；因为y ＝cos x 为偶函数，排除C ；因为y ＝f (x )＝e x －e －x ，f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，所以函数y ＝e x －e －x为奇函数，选D.(2)解：①函数的定义域x ∈(－∞，＋∞)，关于原点对称．因为f (－x )＝|－x ＋1|－|－x －1|＝|x －1|－|x ＋1| ＝－(|x ＋1|－|x －1|)＝－f (x )，所以f (x )＝|x ＋1|－|x －1|是奇函数．②由⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0，x 2－9≥0，得x ＝±3.所以f (x )的定义域为{－3,3}，关于原点对称．又f (3)＋f (－3)＝0，f (3)－f (－3)＝0. 即f (x )＝±f (－x )．所以f (x )既是奇函数，又是偶函数．③由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠0且x ≠－4.故f (x )的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x ＋2>0. 从而有f (x )＝1－x 2x ＋2－2＝1－x2x ，这时有f (－x )＝1－－x2－x ＝－1－x2x＝－f (x )，故f (x )是奇函数．④已知f (x )的定义域为(－1,1)，其定义域关于原点对称．因为f (x )＝(x －1)1＋x1－x ＝－－x＋x ，所以f (－x )＝－＋x－x ＝f (x )．即f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数．【答案】 (1)D(1)下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝2x－12xB ．f (x )＝x 3sin x C ．f (x )＝2cos x ＋1D ．f (x )＝x 2＋2x(2)判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的奇偶性．解析：(1)对于A 选项，函数的定义域为R .f (－x )＝2－x －12－x ＝12x －2x＝－f (x )，故A 正确；对于B 选项，函数的定义域为R ，函数y ＝x 3是奇函数，函数y ＝sin x 是奇函数，该函数为偶函数；对于C 选项，函数定义域为R ，f (－x )＝2cos(－x )＋1＝2cos x ＋1＝f (x )，f (x )为偶函数；对于D 选项，由f (1)＝3，f (－1)＝32，f (1)≠f (－1)，f (1)≠－f (－1)，知该函数为非奇非偶函数，故选A.(2)解：方法1：画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．方法2：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数．答案：(1)A热点二函数周期性及应用【例2】设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝________.【解析】 ∵f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝2.又当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，所以f (0)＝0，f (1)＝1，所以f (0)＝f (2)＝f (4)＝…＝f (2 016)＝0.f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2 015)＝1.故f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝1 008. 【答案】 1 0081．若将“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝－f (x )”，则结论如何？解：∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1] ＝－f (x ＋1)＝f (x )．故函数f (x )的周期为2.由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝1 008. 2．若将“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝1f x”，则结论如何？解：∵f (x ＋1)＝1f x，∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝1fx ＋＝f (x )．故函数f (x )的周期为2.由本例可知，f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝1 008.(1)(2017·晋中模拟)已知f (x )是R 上的奇函数，f (1)＝2，且对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，则f (2 017)＝________.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．解析：(1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又对任意x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，∴当x ＝－3时，有f (3)＝f (－3)＋f (3)＝0，∴f (－3)＝0，f (3)＝0，所以有f (x ＋6)＝f (x )，周期为6.故f (2 017)＝f (1)＝2.(2)因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：(1)2 (2)－10 热点三函数奇偶性的应用考向1 利用奇偶性求值【例3】已知f (x )＝22x ＋1＋sin x ，则f (－4)＋f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)的值是____.【解析】因为f (x )－1＝1－2x1＋2x ＋sin x 是奇函数，所以f (－x )－1＝－[f (x )－1]＝1－f (x )，故f (－x )＋f (x )＝2，且f (0)＝1，所以f (－4)＋f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝[f (－4)＋f (4)]＋[f (－3)＋f (3)]＋[f (－2)＋f (2)]＋[f (－1)＋f (1)]＋f (0)＝2×4＋1＝9.【答案】 9考向2 奇偶性与单调性的结合【例4】 (2017·新疆乌鲁木齐诊断)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23 【解析】 ∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)，∴f (|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，再根据f (x )的单调性，得|2x －1|<13，解得13<x <23，故选A.【答案】 A考向3 奇偶性与周期性的结合【例5】 (2017·内蒙古包头一模)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在[0,2]上为增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4的值为( )A ．8B ．－8C ．0D ．－4【解析】 ∵f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，又由f (x －4)＝－f (x )可得f (x ＋2)＝－f (x ＋6)＝－f (x －2)，因为f (x )是奇函数，所以f (x ＋2)＝－f (x －2)＝f (2－x )，所以f (x )的图象关于x ＝2对称，结合在[0,2]上为增函数，可得函数的大致图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2×(－6)，另两个交点的横坐标之和为2×2，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－8.故选B.【答案】 B(1)(2017·山东青岛一模)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2(2)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x，则下列命题：①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上递减，在(2,3)上递增； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0；④当x ∈(3,4)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.其中正确命题的序号是________．解析：(1)∵f (x ＋1)为偶函数，f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，f (x )＝－f (－x )，f (0)＝0，∴f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2.∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.(2)由已知条件得f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )是以2为周期的周期函数，∴①正确．当－1≤x ≤0时，0≤－x ≤1.f (x )＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x ，函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图象知②正确，③不正确．当3<x <4时，－1<x －4<0，f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3，因此④正确．答案：(1)A (2)①②④1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )是奇函数，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)．对于偶函数的判断以此类推．3．若对于函数f (x )的定义域内任一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x或f (x ＋a )＝－1f x(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是一个周期为2a 的周期函数．。

高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性课件文

D 项，定义域为 R，f(－x)＝x2－sin x，－f(x)＝－x2－sin x，因为 f(－x)≠－f(x)，且 f(－x)≠f(x)，故为非奇非偶函数．
答案：D
(2)(2014·课标全国Ⅰ卷)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x) 是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
第三节函数的奇偶性与周期性
函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝ 3－x2＋ x2－3； (2)f(x)＝lg|（x－1－2|－x22）；
(3)f(x)＝x－2＋x2x＋，x，
x＜0， x＞0.
解：(1)由3x－2－x32≥≥00得 x2＝3，所以 x＝± 3，即函数 f(x)的定义域为{－ 3， 3}，从而 f(x)＝ 3－x2＋ x2－3＝0. 因此 f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)，所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)由1|x－－x22|＞≠02，得，定义域为(－1，0)∪(0，1)． ∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x， ∴f(x)＝lg（1－－xx2）. 又∵f(－x)＝lg[1－（x－x）2]＝－lg（1－－xx2）＝－f(x)，
C．y＝2x＋21x
D．y＝x2＋sin x
解析：A 项，定义域为 R，f(－x)＝－x－sin 2x＝－f(x)，为奇函数，故不符合题意；
B 项，定义域为 R，f(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；
C 项，定义域为 R，f(－x)＝2－x＋21－x＝2x＋21x＝f(x)，为偶函数，故不符合题意；
C．{x|x＜0，或 x＞4} D．{x|0＜x＜4}
解析：(1)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以有 f(0)＝20＋2×0 ＋b＝0，解得 b＝－1，所以当 x≥0 时，f(x)＝2x＋2x－1，所以 f(－ 1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.

新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性课件

1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )
(2)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对
称．( √ )
(3) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条
件．( √ )
(4)若 T 是函数的一个周期，则 nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周
期．( √ )
解析：(1)奇函数只有在原点有定义时才过原点，且 f(0) ＝0，而偶函数不管在原点有无定义，都不一定过原点．
(2)因为 y＝f(x＋a)为偶函数，则 f(x＋a)＝f(－x＋a)＝f(a－ x)，可知 x＝a 为对称轴．
1 2
.
解析：解法 1：因为函数 f(x)＝x3(2x－1 1＋a)为偶函数，所
以 f(－x)＝f(x)，即(－x)3(2－x1－1＋a)＝x3(2x－1 1＋a)，所以 2a＝
－(2－x1－1＋2x－1 1)，所以 2a＝1，解得 a＝12.
解法 2：因为函数 f(x)＝x3(2x－1 1＋a)为偶函数，所以 f(－1)＝f(1)，所以(－1)3×(2－11－1＋a)＝13×(21－1 1＋a)，解得 a＝12，经检验，当 a＝12时，函数 f(x)为偶函数．
时，f(－x)＝－f(x)；当 x>12时，fx＋12＝fx－12，则 f(6)等于( D )
A．－2
B．－1
C．0
D．2
解析：当 x>12时，fx＋12＝fx－12，即周期为 1，则 f(6)＝ f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2.
2．已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，

2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教学案理新人教版

第三节函数的奇偶性与周期性[考纲传真] 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．[常用结论]1．函数奇偶性的三个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．周期性的几个常用结论对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则(1) 若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝a－b.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( )(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．(教材改编)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－xB [A 为奇函数，C ，D 为非奇非偶函数，B 为偶函数，故选B.]3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13 C.12D ．－12B [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]4．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则当x ＜0时，f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x (1＋x ) B ．f (x )＝x (1－x ) C ．f (x )＝－x (1＋x ) D ．f (x )＝x (x －1) B [当x ＜0时，－x ＞0，又x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，故f (－x )＝－x (1－x )．又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x (1－x )，即f (x )＝x (1－x )，故选B.]5．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为________． 0 [∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又f (x ＋4)＝f (x )，∴T ＝4. ∴f (8)＝f (0)＝0.]函数的奇偶性及其应用【例1】 (1)若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. (2)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝3－x 2＋x 2－3； ②f (x )＝－x2|x －2|－2；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2＋x ，x ＞0.(1)－32 [由f (－x )＝f (x )得ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，整理得ln e 3x＋1e －3x ＋1＋2ax ＝0.∵e 3x＋1e －3x ＋1＝e 3x－3x＋e－3x＋1＝e 3x，∴ln e 3x ＋2ax ＝0，∴2ax ＝－3x ，即(2a ＋3)x ＝0对任意x 恒成立，故2a ＋3＝0，所以a ＝－32.](2)[解] ①由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}，从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．②由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2＜0，∴|x －2|－2＝－x ， ∴f (x )＝－x2－x.又∵f (－x )＝lg[1－－x2]x＝－－x 2－x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．③显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数．(1)＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④(2)(2019·湖北重点中学联考)已知函数f (x )＝(e x ＋e －x)ln 1－x 1＋x －1，若f (a )＝1，则f (－a )＝( ) A ．1 B ．－1 C ．3D ．－3(3)若函数f (x )＝x 5＋ax 3＋b sin x ＋2在[－3,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.(1)D (2)D (3)4 [(1)由奇函数的定义，f (－x )＝－f (x )验证， ①f (|－x |)＝f (|x |)，故为偶函数； ②f [－(－x )]＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数； ③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数； ④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数．综上可知②④正确，故选D.(2)令g (x )＝f (x )＋1＝(e x ＋e －x )ln 1－x 1＋x ，则g (－x )＝(e －x ＋e x )ln 1＋x 1－x ＝－(e x ＋e －x)ln1－x 1＋x ＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以f (－a )＝g (－a )－1＝－g (a )－1＝－f (a )－2＝－3，故选D.(3)令g (x )＝x 5＋ax 3＋b sin x ，x ∈[－3,3]，则g (x )为奇函数，f (x )＝g (x )＋2， ∴M ＝f (x )max ＝g (x )max ＋2，m ＝f (x )min ＝g (x )min ＋2，∴M ＋m ＝4.]函数周期性、对称性的应用【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，则f (f (15))的值为________．(1)C (2)22[(1)由f (1＋x )＝f (1－x )可知f (x )＝f (2－x )，又f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (2＋x )，故f (2＋x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f (x )，即函数y ＝f (x )是周期为4的周期函数．又由题意可知f (0)＝0，f (1)＝2，所以f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，f (4)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0. 又50＝12×4＋2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝12×0＋2＋0＝2.故选C.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，可知函数f (x )的最小正周期是4.因为在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，所以f (f (15))＝f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22.] 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能数的周期，则kTk ∈Z 也是函数的周期(2019·泉州检测)奇函数则f (4)＋f (5)＝________.2[∵f(x＋1)为偶函数，f(x)是奇函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2.]函数性质的综合应用►考法1 单调性与奇偶性结合【例3】函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)为减函数，且f(－1)＝1，若f(x－2)≥－1，则x的取值范围是( )A．(－∞，3] B．(－∞，1]C．[3，＋∞) D．[1，＋∞)A[函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是[0，＋∞)上的减函数，故函数f(x)在R上单调递减．又f(－1)＝1，所以f(1)＝－1，因此f(x－2)≥－1⇔f(x－2)≥f(1)⇔x－2≤1⇔x≤3，所以x的取值范围是(－∞，3]，故选A.]►考法2 周期性与奇偶性结合【例4】(1)(2019·四川模拟)设奇函数f(x)的定义域为R，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈[4,6]时f(x)＝2x＋1，则f(x)在区间[－2,0]上的表达式为( )A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝－2－x＋4－1C．f(x)＝2－x＋4＋1 D．f(x)＝2－x＋1(2)(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.(1)B (2)6 [(1)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，∴－x＋4∈[4,6]．又∵当x∈[4,6]时，f(x)＝2x＋1，∴f(－x＋4)＝2－x＋4＋1.又∵f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为T＝4，∴f(－x＋4)＝f(－x)．又∵函数f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2－x＋4＋1，∴当x∈[－2,0]时，f(x)＝－2－x＋4－1.故选B.(2)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)．又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.] ►考法3 奇偶性、周期性、单调性的综合【例5】 (2019·惠州调研)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1＜x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0恒成立；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (7)，b ＝f (11)，c ＝f (2 018)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜aB [由①知函数f (x )在区间[4,8]上为单调递增函数；由②知f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，所以c ＝f (2 018)＝f (252×8＋2)＝f (2)，b ＝f (11)＝f (3)；由③可知函数f (x )的图象关于直线x ＝4对称，所以b ＝f (3)＝f (5)，c ＝f (2)＝f (6)．因为函数f (x )在区间[4,8]上为单调递增函数，所以f (5)＜f (6)＜f (7)，即b ＜c ＜a ，故选B.] 函数单调性与奇偶性结合称性.周期性与奇偶性结合所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解周期性、奇偶性与单调性结合然后利用奇偶性和单调性求解(1)若f (x )在[－1,0]上单调递减，则函数f (x )在[3,5]上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减的函数 D ．先减后增的函数(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (x )＞0的解集为________．(1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＞13或x ＜－13 [(1)已知f (x ＋1)＝－f (x )，则函数周期T ＝2，因为函数f (x )是R 上的偶函数，在[－1,0]上单调递减，所以函数f (x )在[0,1]上单调递增，即函数f (x )在[3,5]上是先减后增的函数．故选D.(2)由已知f (x )在R 上为偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0， ∴f (x )＞0等价于f (|x |)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，又f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴|x |＞13，即x ＞13或x ＜－13.]1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[－1,1] C ．[0,4]D ．[1,3]D [∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)．又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减， ∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.故选D.]2．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数C [A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )， ∴h (x )是奇函数，A 错．B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )， ∴h (x )是偶函数，B 错．C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．]3.(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.12[法一：令x＞0，则－x＜0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．∴f(2)＝2×23－22＝12.法二：f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]4．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.1[∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－x ln(－x＋a＋x2)－x ln(x＋a＋x2)＝0恒成立，∴x ln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a ＝1.]5．(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x 的取值范围是________．(－1,3)[∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.]。

2020版高考数学一轮复习第二章第三节函数的奇偶性及周期性教案文(含解析)

第三节函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f（x)的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝f(x),那么函数f(x）就叫做偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数关于原点对称(1）周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T）＝f(x），那么就称函数f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期．(2）最小正周期如果在周期函数f(x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x)的最小正周期．［小题体验]1．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数,且当x＞0时,f(x)＝x2＋错误!，则f(－1）＝________。

答案：－22．若函数f（x）是周期为5的奇函数,且满足f（1）＝1，f（2)＝2，则f(8）－f（14）＝________。

答案：－13．若函数f（x）＝(a－1)x2＋（a＋1)x＋a2－1是奇函数，则实数a的值是________．解析：由于函数f(x)的定义域为R，又函数f（x）是奇函数，故f（0)＝0，解得a＝1或a＝－1(舍去),经检验a＝1时符合题意．答案：11．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f（x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f（－x）＝－f(x）或f（－x)＝f（x)，而不能说存在x0使f(－x0）＝－f（x0）或f(－x0）＝f(x0)．3．分段函数奇偶性判定时,误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．［小题纠偏］1．已知f(x）＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b＝________。

解析：因为f（x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a］上的偶函数,所以a－1＋2a＝0，所以a＝错误!.又f(－x)＝f（x)，所以b＝0，所以a＋b ＝错误!.答案：错误!2．函数f（x)＝错误!的奇偶性为________．解析：因为x≠0，故f（x）的定义域关于原点对称．当x＞0时，－x＜0，所以f（－x）＝log2x＝f(x）．当x＜0时，－x＞0，所以f（－x）＝log2（－x）＝f（x)．故f（－x)＝f(x)，所以f(x）为偶函数．答案:偶函数错误!错误![题组练透］判断下列函数的奇偶性：(1）f（x）＝1－x2＋x2－1；(2）f(x)＝错误!＋错误!;(3）f（x）＝3x－3－x；（4)f（x)＝错误!；(5)(易错题）f(x）＝错误!解：(1)因为由错误!得x＝±1，所以f（x）的定义域为{－1,1}．又f(1）＋f(－1)＝0，f（1)－f(－1)＝0，即f(x）＝±f(－x)．所以f（x)既是奇函数又是偶函数．（2)因为函数f(x)＝错误!＋错误!的定义域为错误!，不关于坐标原点对称,所以函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．（3）因为f（x)的定义域为R，所以f（－x）＝3－x－3x＝－（3x－3－x）＝－f（x），所以f（x)为奇函数．（4）因为由错误!得－2≤x≤2且x≠0。

高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性课件理

C．{x|x＜0，或 x＞4}
D．{x|0＜x＜4}
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解析：(1)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以有 f(0)＝20＋2×0 ＋b＝0，解得 b＝－1，所以当 x≥0 时，f(x)＝2x＋2x－1，所以 f(－ 1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.
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应用函数奇偶性可解决的三类问题及解题方法 1．求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． 2．求解析式将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于 f(x)的方程(组)，从而得到 f(x)的解析式． 3．求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据 f(x)±f(－x)＝0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
第十九页，共23页。
(2)∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6. ∵当－3≤x＜－1 时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x＜3 时，f(x)＝x， ∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1， f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1， f(6)＝f(0)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，
2．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
第六页，共23页。
(1)(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的
是( )
A．y＝ 1＋x2
B．y＝x＋1x
C．y＝2x＋21x
D．y＝x＋ex
f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x≤3 时，f(x)＝x.则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋

高三理科数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性课件

【变式训练】
已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并且 f(x+2)=-��(1��),当 2≤x≤3 时,f(x)=x,则 f(105.5)=
.
2.5 【解析】由已知,可得 f(x+4)=f[(x+2)+2]=-��(��1+2) = − -��1(1��)=f(x),故函数 f(x)的周期为 4,则
13
【变式训练】
1.判断函数 f(x)=
��
2-2�� 2 + 2��
(�� ≥ (��
<0)0, )的奇偶性.
1.【解析】解法1:f(x)的定义域为R,当x>0时,-x<0,
f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x=f(x). 当x=0时,f(0)=0=f(-0).当x<0时,-x>0,
第三节函数的奇偶性与周期性
1
考纲概述
考查热点
考查频备考指导
次
(1)了解函数奇偶性的含义,并能奇偶性的含义与
运用奇偶性的含义判断一些简单判断
★★★★
函数的奇偶性; (2)掌握奇函数与偶函数的图象对称关系,并能熟练地利用对称
利用周期性含义 ★★
求函数值
函数的奇偶性与周期性在高考中占有重要的地位,在命题时主要是与函数的概念、图象、性质等综合在一起考查.题型以选择题与
性解决函数的综合问题;
函数的奇偶性、对
填空题为主,数形结合是解决此类问题的重要工具.
(3)了解函数周期性的含义,能根称性及周期性的 ★★★★ 据函数的周期性将给定自变量转综合应用

2020版高考数学第2章函数、导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教学案理北师大版

第三节函数的奇偶性与周期性[考纲传真] 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数；图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．2．判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般按照定义严格进行，一般步骤是(1)考察定义域是否关于原点对称；(2)考察表达式f(x)是否与f(x)或－f(x)相等．①若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；②若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；③若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；④若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数．3．函数的周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．[常用结论]1．函数奇偶性的三个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．周期性的几个常用结论对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则(1) 若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则T ＝a －b .[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( ) (2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．( ) (3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( )(4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．(教材改编)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－xB [A 为奇函数，C ，D 为非奇非偶函数，B 为偶函数，故选B.]3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13 C.12D ．－12B [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]4．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则当x ＜0时，f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x (1＋x ) B ．f (x )＝x (1－x ) C ．f (x )＝－x (1＋x ) D ．f (x )＝x (x －1) B [当x ＜0时，－x ＞0，又x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，故f (－x )＝－x (1－x )．又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x (1－x )，即f (x )＝x (1－x )，故选B.]5．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为________． 0 [∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又f (x ＋4)＝f (x )，∴T ＝4. ∴f (8)＝f (0)＝0.]函数的奇偶性及其应用【例1】 (1)若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. (2)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝3－x 2＋x 2－3； ②f (x )＝－x2|x －2|－2；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2＋x ，x ＞0.(1)－32 [由f (－x )＝f (x )得ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，整理得ln e 3x＋1e －3x ＋1＋2ax ＝0.∵e 3x＋1e －3x ＋1＝e 3x－3x＋e－3x＋1＝e 3x，∴ln e 3x ＋2ax ＝0，∴2ax ＝－3x ，即(2a ＋3)x ＝0对任意x 恒成立，故2a ＋3＝0，所以a ＝－32.](2)[解] ①由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}，从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．②由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2＜0，∴|x －2|－2＝－x ， ∴f (x )＝－x2－x.又∵f (－x )＝lg[1－－x2]x＝－－x 2－x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．③显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数．(1)＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④(2)(2019·湖北重点中学联考)已知函数f (x )＝(e x ＋e －x)ln 1－x 1＋x －1，若f (a )＝1，则f (－a )＝( ) A ．1 B ．－1 C ．3D ．－3(3)若函数f (x )＝x 5＋ax 3＋b sin x ＋2在[－3,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.(1)D (2)D (3)4 [(1)由奇函数的定义，f (－x )＝－f (x )验证， ①f (|－x |)＝f (|x |)，故为偶函数；②f [－(－x )]＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数； ③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数； ④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数．综上可知②④正确，故选D.(2)令g (x )＝f (x )＋1＝(e x ＋e －x )ln 1－x 1＋x ，则g (－x )＝(e －x ＋e x )ln 1＋x 1－x ＝－(e x ＋e －x)ln1－x 1＋x ＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以f (－a )＝g (－a )－1＝－g (a )－1＝－f (a )－2＝－3，故选D.(3)令g (x )＝x 5＋ax 3＋b sin x ，x ∈[－3,3]，则g (x )为奇函数，f (x )＝g (x )＋2， ∴M ＝f (x )max ＝g (x )max ＋2，m ＝f (x )min ＝g (x )min ＋2，∴M ＋m ＝4.]函数周期性、对称性的应用【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，则f (f (15))的值为________．(1)C (2)22[(1)由f (1＋x )＝f (1－x )可知f (x )＝f (2－x )，又f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (2＋x )，故f (2＋x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f (x )，即函数y ＝f (x )是周期为4的周期函数．又由题意可知f (0)＝0，f (1)＝2，所以f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，f (4)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0. 又50＝12×4＋2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝4[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝4×0＋2＋0＝2.故选C.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，可知函数f (x )的最小正周期是4.因为在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，所以f (f (15))＝f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22.] 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能数的周期，则kTk ∈也是函数的周期(2019·泉州检测)奇函数则f (4)＋f (5)＝________.2 [∵f (x ＋1)为偶函数，f (x )是奇函数， ∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，f (x )＝－f (－x )，f (0)＝0，∴f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的周期函数，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2， ∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2.] 函数性质的综合应用►考法1 单调性与奇偶性结合【例3】函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )为减函数，且f (－1)＝1，若f (x －2)≥－1，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，1]C ．[3，＋∞)D ．[1，＋∞)A [函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且是[0，＋∞)上的减函数，故函数f (x )在R 上递减．又f (－1)＝1，所以f (1)＝－1，因此f (x －2)≥－1⇔f (x －2)≥f (1)⇔x －2≤1⇔x ≤3，所以x的取值范围是(－∞，3]，故选A.] ►考法2 周期性与奇偶性结合【例4】 (1)(2019·四川模拟)设奇函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈[4,6]时f (x )＝2x＋1，则f (x )在区间[－2,0]上的表达式为( )A ．f (x )＝2x＋1 B ．f (x )＝－2－x ＋4－1C ．f (x )＝2－x ＋4＋1 D ．f (x )＝2－x＋1(2)(2017·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝________. (1)B (2)6 [(1)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]， ∴－x ＋4∈[4,6]．又∵当x ∈[4,6]时，f (x )＝2x＋1， ∴f (－x ＋4)＝2－x ＋4＋1.又∵f (x ＋4)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期为T ＝4， ∴f (－x ＋4)＝f (－x )．又∵函数f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝2－x ＋4＋1，∴当x ∈[－2,0]时，f (x )＝－2－x ＋4－1.故选B.(2)∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)．又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.] ►考法3 奇偶性、周期性、单调性的综合【例5】 (2019·惠州调研)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1＜x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0恒成立；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (7)，b ＝f (11)，c ＝f (2 018)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜aB [由①知函数f (x )在区间[4,8]上为递增函数；由②知f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，所以c ＝f (2 018)＝f (252×8＋2)＝f (2)，b ＝f (11)＝f (3)；由③可知函数f (x )的图像关于直线x ＝4对称，所以b ＝f (3)＝f (5)，c ＝f (2)＝f (6)．因为函数f (x )在区间[4,8]上为递增函数，所以f (5)＜f (6)＜f (7)，即b ＜c ＜a ，故选B.]函数单调性与奇偶性结合称性.周期性与奇偶性结合所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解周期性、奇偶性与单调性结合然后利用奇偶性和单调性求解若f (x )在[－1,0]上递减，则函数f (x )在[3,5]上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减的函数 D ．先减后增的函数(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (x )＞0的解集为________．(1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞13或x ＜－13 [(1)已知f (x ＋1)＝－f (x )，则函数周期T ＝2，因为函数f (x )是R 上的偶函数，在[－1,0]上递减，所以函数f (x )在[0,1]上递增，即函数f (x )在[3,5]上是先减后增的函数．故选D.(2)由已知f (x )在R 上为偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，∴f (x )＞0等价于f (|x |)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，又f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴|x |＞13，即x ＞13或x ＜－13.]1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[－1,1] C ．[0,4]D ．[1,3]D [∵f (x )为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.]2．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数C[A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错误．B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错误．C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错误．]3.(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.12[法一：令x＞0，则－x＜0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．∴f(2)＝2×23－22＝12.法二：f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]4．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.1[∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－x ln(－x＋a＋x2)－x ln(x＋a＋x2)＝0恒成立，∴x ln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.]5．(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．(－1,3)[∵f(x)是偶函数，∴图像关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)递减，则f(x)的大致图像如图所示，由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.]。

2020版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教学案含解析理

第三节函数的奇偶性与周期性[考纲传真] 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x )，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[常用结论]1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)．(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a(a＞0)．(3)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a＞0)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点． ( )(2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( ) (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( ) (4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )(a ＞0)，则f (x )是周期为2a 的周期函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13C.12D ．－12B [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin xD [A 项，定义域为R ，f (－x )＝－x －sin 2x ＝－f (x )，为奇函数，故不符合题意；B 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；C 项，定义域为R ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x＋12x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；D 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－sin x ，－f (x )＝－x 2－sin x ，因为f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，故为非奇非偶函数．]4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2B [∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (8)＝f (0)＝0.]5．(教材改编)已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a ＜b ＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b ，－a ]上有( )A ．最大值4B ．最小值－4C ．最大值－3D ．最小值－3B [法一：根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知，选B.法二：当x ∈[－b ，－a ]时，－x ∈[a ，b ]，由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )，即－3≤－f (x )≤4， ∴－4≤f (x )≤3，即在区间[－b ，－a ]上f (x )min ＝－4，f (x )m ax ＝3，故选B.](对应学生用书第14页)【例1】 (1)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数C [对于A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，A 错．对于B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|·g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错．对于C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )·|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．对于D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．] (2)判断下列函数的奇偶性． ①f (x )＝lgx －1x ＋1；②f (x )＝ln(x 2＋1＋x )； ③f (x )＝1－x 2＋x 2－1；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＞0x 2－x ，x ＜0.[解] ①由x －1x ＋1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．又f (－x )＝lg －x －1－x ＋1＝lg x ＋1x －1＝－lg x －1x ＋1＝－f (x )∴f (x )为奇函数． ②f (x )的定义域为R ，f (－x )＝(ln x 2＋1－x )＝ln1x 2＋1＋x＝－ln(x 2＋1＋x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．③由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， ∴f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．④易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x ＜0时，－x ＞0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇× (1)论错误的是( )A ．|g (x )|是偶函数B ．f (x )g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是偶函数D ．f (x )＋g (x )是奇函数D [f (－x )＝e －x＋e x＝f (x )，f (x )为偶函数．g (－x )＝e －x －e x ＝－g (x )，g (x )为奇函数．|g (－x )|＝|－g (x )|＝|g (x )|，|g (x )|为偶函数，A 正确；f (－x )g (－x )＝f (x )[－g (x )]＝－f (x )g (x )，所以f (x )g (x )为奇函数，B 正确；f (－x )|g (－x )|＝f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是偶函数，C 正确；f (x )＋g (x )＝2e x ，f (－x )＋g (－x )＝2e －x ≠－(f (x )＋g (x ))，且f (－x )＋g (－x )＝2e －x≠f (x )＋g (x )，所以f (x )＋g (x )既不是奇函数也不是偶函数，D 错误，故选D.] (2)判断下列函数的奇偶性 ①f (x )＝ln(e ＋x )＋ln(e －x )； ②f (x )＝2x＋12x －1；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ＜0－x 2＋1，x ＞0.[解] ①由⎩⎪⎨⎪⎧e ＋x ＞0，e －x ＞0，得－e ＜x ＜e ，即函数f (x )的定义域为(－e ，e)，关于原点对称．又f (－x )＝ln(e －x )＋ln(e ＋x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．②由2x－1≠0得x ≠0，即函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．又f (－x )＝2－x＋12－x －1＝1＋2x 1－2x ＝－2x＋12x－1＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．③函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝－f (x )，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2＋1＝－x 2＋1＝－f (x )，综上所述，f (－x )＝－f (x )．因此函数f (x )是奇函数．【例2】 1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________. (3)函数f (x )＝x ＋x ＋ax3为奇函数，则a ＝________.(1)－2 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0－x 2－4x ，x ≤0(3)－1 [(1)由f (a )＝ln(1＋a 2－a )＋1＝4，得ln(1＋a 2－a )＝3，所以f (－a )＝ln(1＋a 2＋a )＋1＝－ln11＋a 2＋a＋1＝－ln(1＋a 2－a )＋1＝－3＋1＝－2.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，－x 2－4x ，x ≤0.(3)由题意得f (－1)＋f (1)＝0，即2(a ＋1)＝0，解得a ＝－1，经检验，a ＝－1时，函数f (x )为奇函数．]求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出求解析式中的参数：xf －x ＝数的恒等式，由多项式恒等列出关于参数的方程或方程组，进而得出参数的值，也可利用特－＝±直接求参数的值画函数图象：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象(1)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋，x ≥0，g x ，x ＜0，则g (f (－8))＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2(2)已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1D ．－2(3)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________.(4)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (1)＝________.(1)A (2)B (3)⎩⎪⎨⎪⎧e－x －1－x ，x ≤0e x －1＋x ，x ＞0 (4)52[(1)因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1.(2)设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0.故选B.(3)当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝e x －1＋x ，又f (－x )＝f (x )，因此f (x )＝ex －1＋x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0e x －1＋x ，x ＞0.(4)由题意知f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1. 所以当x ≤0时，f (x )＝2x＋2x －1，所以f (1)＝－f (－1)＝－[2－1＋2×(－1)－1]＝52.]【例3】 0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值为( ) A.12 B.14 C ．－14D ．－12(2)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f x，则f (2 018)＝( )A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．2＋ 3(3)已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f x，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1.则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值为________．(1)A (2)A (3)1 348 [(1)由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12，故选A. (2)由f (x ＋2)＝1－fx得f (x ＋4)＝f (x )．所以函数f (x )的周期为4，所以f (2 018)＝f (2)．又f (4)＝f (2＋2)＝1－f＝2－3，所以－f (2)＝12－3＝2＋3，即f (2)＝－2－3，故选A.(3)∵f (x ＋2)＝－1f x， ∴f (x ＋4)＝－1fx ＋＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4. 又x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1， ∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f＝－1，f (4)＝－1f＝－13.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2) ＝504⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3－1－13＋1＋3 ＝1 348.] 判断函数周期性的方法f x ＝f xT便可证明函数是周期函数，且周期为f x 定义域内任一自变量的值x ，函数周期性的应用,根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性可将未知区间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上，在解决具体问题时，要注意结论：若kT k ∈也是函数的周期已知定义在上的函数且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－1＜x ≤0，－1，0＜x ≤1，则下列函数值为1的是( )A ．f (2.5)B ．f (f (2.5))C ．f (f (1.5))D ．f (2)(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.(1)D (2)1 010 [(1)由f (x ＋1)＝－f (x )知f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，于是f (x )是以2为周期的周期函数，从而f (2.5)＝f (0.5)＝－1，f (f (2.5))＝f (－1)＝f (1)＝－1，f (f (1.5))＝f (f (－0.5))＝f (1)＝－1，f (2)＝f (0)＝1，故选D.(2)∵f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期T ＝2.又当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，∴f (0)＝0，f (1)＝1，f (0)＋f (1)＝1. ∴f (0)＋f (1)＝f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＝…＝f (2 018)＋f (2 019)＝1， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝1 010.]►考法1 奇偶性与单调性结合【例4】(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]D [∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.]►考法2 奇偶性与周期性结合【例5】(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.6[∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.]►考法3 奇偶性、周期性与单调性结合【例6】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)D[因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．故选D.](1)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 (2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x )f (x ＋2)＝－1，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.(3)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1]上单调递增，设a ＝f (3)，b ＝f (2)，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________．(1)A (2)2.5 (3)a ＞b ＞c [(1)因为f (x )是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，所以|2x －1|＜13，所以13＜x ＜23.(2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1fx ＋＝－1－1f x＝f (x )，故函数f (x )的周期为4.所以f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)，因为2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. 所以f (105.5)＝2.5(3)由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，则f (3)＝f (1)，f (2)＝f (0)，f (2)＝f (2－2)＝f (2－2)，由于0＜2－2＜1，且函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (3)＞f (2)＞f (2)，即a ＞b ＞c .]1．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.12 [法一：令x ＞0，则－x ＜0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．∴f(2)＝2×23－22＝12.法二：f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]2．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.1[∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－x ln(－x＋a＋x2)－x ln(x＋a＋x2)＝0恒成立，∴x ln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.]自我感悟：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。

(新课标)高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2-3函数的奇偶性与周期性课件文新人教A版

[三基自测]
1．(必修1·习题1.3A组改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)
＝x2＋1x，则f(－1)等于(
)
A．－2
B.0
C．1
D.2
答案：A
2．(必修1·第一章复习参考题改编)函数f(x)＝11－＋xx是(
)
A．奇函数
B.偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
答案：D
3．(必修1·第一章复习参考题改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )
A．－13
B.13
1 C.2
D.－12
答案：B
4．(必修1·习题1.3A组改编)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－ 4x，那么不等式f(x＋2)＜5的解集是____________．答案：{x|－7＜x＜3}
第三节函数的奇偶性与周期性
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考情考向分析
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性． 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性.
函数的奇偶性与周期性是高考重要考点，常将奇偶性、周期性与单调性综合在一起交汇命题．题型多以选择题、填空题形式出现，一般为容易题，但有时难度也会很大.
由函数周期性可得 f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋…＋f(12)＝…＝f(2 011)＋f(2 012)＋…＋f(2 016) ＝1，而f(2 017)＝f(6×336＋1)＝f(1)＝1， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝336×1＋1＝337.

【2020】最新高考数学一轮复习：第二篇函数导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性训练理

【选题明细表】知识点、方法题号函数奇偶性的判定1,4函数周期性的应用3,9函数奇偶性的应用2,5,6,7,8,10,12 函数基本性质的综合应用11,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.(20xx·北京××区二模)下列函数中为奇函数的是( D )(A)y=x2+2x (B)y=ln|x|(C)y=()x (D)y=xcos x2.已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)等于( A )(A)-2 (B)0 (C)1 (D)2解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),f(-1)=-f(1),又当x>0时,f(x)=x2+,所以f(1)=12+1=2,所以f(-1)=-2.故选A.3.(20xx·浙江台州一模)若函数y=f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,则f(2 017)等于( B )(A)-2 017 (B) 0 (C)1 (D)2 017解析:因为函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,所以f(1)=f(-1),所以-f(1)=f(-1)=f(1),所以f(1)=f(-1)=0,所以f(2 017)=f(1)=0.故选B.4.(20xx·广东深圳一模)已知f(x)=,g(x)=|x-2|,则下列结论正确的是( D )(A)h1(x)=f(x)+g(x)是偶函数(B)h2(x)=f(x)·g(x)是奇函数(C)h3(x)=是偶函数(D)h4(x)=是奇函数解析:f(x)=,g(x)=|x-2|,A.h1(x)=f(x)+g(x)=+|x-2|=+2-x,x∈[-2,2].h1(-x)=+2+x,不满足函数的奇偶性的定义,是非奇非偶函数.B.h2(x)=f(x)·g(x)=|x-2|=(2-x),x∈[-2,2].h2(-x)=(2+x),不满足奇偶性的定义.C.h3(x)==,x∈[-2,2),不满足函数的奇偶性定义.D.h4(x)==,x∈[-2,0)∪(0,2],函数是奇函数.故选 D.5.(20xx·湖南郴州二模)已知函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=ax(a>0且a≠1),且f(lo4)=-3,则a的值为( A )(A) (B)3 (C)9 (D)解析:因为奇函数f(x)满足f(lo4)=-3,lo4=-2<0,所以f(2)=3,又因为当x>0时,f(x)=ax(a>0且a≠1),所以f(2)=a2=3,解之得a=±(舍负).故选A.6.导学号 38486027(20xx·山东济宁二模)已知函数y=f(x)是R 上的偶函数,当x1,x2∈(0,+∞)时,都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0.设a=ln,b=(ln π)2,c=ln,则( C )(A)f(a)>f(b)>f(c) (B)f(b)>f(a)>f(c)(C)f(c)>f(a)>f(b) (D)f(c)>f(b)>f(a)解析:由已知条件知f(x)在(0,+∞)上是减函数;且f(a)=f(|a|),f(b)=f(|b|),f(c)=f(|c|);|a|=ln π>1,b=(ln π)2>|a|,c=∈(0,|a|),所以f(c)>f(a)>f(b).故选C.7.已知f(x)=lg(+a)是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是( B )(A)(-∞,0) (B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(-∞,0)∪(1,+∞)解析:由f(x)+f(-x)=0,即lg(+a)+lg(+a)=0可得a=-1,所以f(x)=lg.解0<<1可得-1<x<0.故选B.8.函数f(x)在R上为奇函数,且x>0时,f(x)=+1,则当x<0时,f(x)=.解析:令x<0,则-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-(+1),即x<0时,f(x)=-(+1)=--1.答案:--19.若偶函数y=f(x)为R上周期为6的周期函数,且满足f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),则f(-6)等于.解析:因为y=f(x)为偶函数,且f(x)=(x+1)(x-a)(-3≤x≤3),所以f(x)=x2+(1-a)x-a,所以1-a=0,所以a=1.f(x)=(x+1)(x-1)(-3≤x≤3).f(-6)=f(-6+6)=f(0)=-1.答案:-1能力提升(时间:15分钟)10.已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为( A )(A) (B)2 (C) (D)解析:设x>0,则-x<0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+3(-x)+2]=-x2+3x-2.所以在[1,3]上,当x=时,f(x)max=;当x=3时,f(x)min=-2.所以m≥且n≤-2.故m-n≥.故选A.11.导学号38486028(20xx·宁夏中卫一模)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且f(-1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+ f(2 017)的值为( C )(A)1 (B)0 (C)-2 (D)2解析:因为f(2-x)=f(x),所以f[2-(2+x)]=f(2+x),即f(-x)=f(2+x),。

2020版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第3讲函数的奇偶性与周期性教案理(含解析)新人教A版

第3讲函数的奇偶性与周期性基础知识整合1．函数的奇偶性2．函数的周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有□05 f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个□06最小的正数，那么这个□07最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a>0)．3．对称性的三个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．1．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝( )A ．－20B ．20C ．－12D ．12 答案 D解析 f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－8)＋4]＝12.故选D.2．(2019·大连测试)下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1答案 C解析函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．3．(2019·石家庄模拟)已知f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－1,4) B ．(－2,1) C ．(－1,2) D ．(－1,0) 答案 A解析因为函数f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数，所以f (5)＝f (－1)＝f (1)，即2a －3a ＋1<1，化简得(a －4)(a ＋1)<0，解得－1<a <4.故选A. 4．设函数f (x )＝x ＋x ＋ax为奇函数，则a ＝________.答案－1 解析 ∵f (x )＝x ＋x ＋ax为奇函数，∴f (1)＋f (－1)＝0，即＋＋a1＋－1＋－1＋a－1＝0，∴a ＝－1.5．(2018·沈阳模拟)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．答案 (－1,3)解析 ∵f (2)＝0，f (x －1)>0， ∴f (x －1)>f (2)，又∵f (x )是偶函数，∴f (|x －1|)>f (2)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递减，∴|x －1|<2，∴－2<x －1<2， ∴－1<x <3，∴x ∈(－1,3)．6．(2019·合肥质检)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x ，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.答案516解析由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋sin π6＝516.核心考向突破考向一函数奇偶性的判断例1 (1)(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数答案 A解析 ∵函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数．∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数，∴函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数．又∵y ＝3x在R 上是增函数，∴函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数．故选A.(2)如果f (x )是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋f (x ) B ．y ＝xf (x ) C ．y ＝x 2＋f (x ) D ．y ＝x 2f (x )答案 B解析设g (x )＝xf (x )．因为f (－x )＝－f (x )，所以g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )，所以g (－x )＝g (x )，所以B 正确．触类旁通判断函数奇偶性的方法(1)定义法：利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式：f －xf x＝±1(f (x )≠0)判断函数的奇偶性．(2)图象法：利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性．验证法：即判断f x f －x 是否为0.本例中巧设g x ，使问题变得清晰易懂.即时训练 1.(2018·合肥质检)下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－|x |答案 B解析因为y ＝x 3是奇函数，y ＝|x |＋1，y ＝－x 2＋1，y ＝2－|x |均为偶函数，所以A 错误；又因为y ＝－x 2＋1，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在(0，＋∞)上均为减函数，只有y ＝|x |＋1在(0，＋∞)上为增函数，所以C ，D 错误，故选B.2．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数答案 C解析由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于A ，f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )，所以f (x )g (x )是奇函数，故错误；对于B ，|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|·g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|g (x )是偶函数，故错误；对于C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故正确；对于D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故错误．选C.考向二函数的周期性例2 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50 答案 C解析因为f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (1＋x )＝－f (x －1)，所以f (3＋x )＝－f (x ＋1)＝f (x －1)，所以T ＝4，因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)，因为f(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，因为f(2)＝f(－2)＝－f(2)，所以f(2)＝0，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2，选C.(2)(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x ∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.答案 6解析∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.触类旁通函数周期性问题的求解关键是充分利用题目提供的信息，找到函数的周期，利用周期在已知函数关系的范围上进行求解.本例合理利用已知函数关系和函数奇偶性进行适当变形，准确求出周期.即时训练 3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1f x，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2017)＋f(2019)的值为( ) A．0 B．－4 C．－2 D．2答案 A解析当x≥0时，f(x＋2)＝－1f x，所以f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．所以f(－2017)＝f(2017)＝f(1)＝log22＝1，f(2019)＝f(3)＝－1f＝－1，所以f(－2017)＋f(2019)＝0.故选A.4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当x∈[－3，－1)时，f(x)＝－(x＋2)2，当x∈[－1,3)时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝________.答案338解析由题意得f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以数列{f(n)}从第一项起，每连续6项的和为1，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝336×1＋2＝338.考向三函数性质的综合应用角度1 奇偶性的应用例3 (1)(2019·金版创新)已知函数f(x)＝ax3＋bx＋1，若f(2019)＝－1，则f(－2019)的值为( )A．3 B．－1 C．1 D．0答案 A解析设F (x )＝f (x )－1＝ax 3＋bx ，则F (x )为奇函数，所以F (－2019)＝－F (2019)，即f (－2019)－1＝－[f (2019)－1]，所以f (－2019)＝2－f (2019)＝2－(－1)＝3，故选A.(2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x 2－x ，则当x >0时，f (x )＝( ) A ．2x 2－x B ．2x 2＋x C ．－2x 2－x D ．－2x 2＋x答案 C解析当x >0时，－x <0，f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－2x 2－x .故选C.(3)已知函数f (x )＝2×4x－a 2x的图象关于原点对称，g (x )＝ln (e x ＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝( )A ．1B ．－1C ．－12 D.14答案 B解析由题意得f (0)＝0，∴a ＝2.∵g (1)＝g (－1)， ∴ln (e ＋1)－b ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋1＋b ，∴b ＝12，∴log 212＝－1.故选B.触类旁通利用函数的奇偶性可解决的问题(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f x 的方程组，从而得到f x 的解析式.求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据f xf －x ＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程组，进而得出参数的值.即时训练 5.(2019·齐鲁名校模拟)已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54 C.54 D ．3答案 A解析因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.6．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，则g (x )＝( ) A ．e x－e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x) D.12(e x －e －x ) 答案 D解析由f (x )＋g (x )＝e x ①，可得f (－x )＋g (－x )＝e －x.又f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，可得f (x )－g (x )＝e －x②，则两式相减，可得g (x )＝e x －e－x2.选D.7．(2019·海口模拟)设函数f (x )＝x1＋|x |，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是________．答案 (－∞，1)解析因f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数，且x >0时，f (x )＝x 1＋x ＝1－11＋x ，故f (x )单调递增，又f (0)＝0，从而f (x )是R 上的增函数，故f (x )>f (2x －1)⇔x >2x －1，得x <1.角度2 奇偶性与单调性例4 (1)(2019·天津模拟)设奇函数f (x )在[－2,2]上是减函数，且f (2)＝－3，若不等式f (x )<2t ＋1对所有的x ∈[－2,2]都成立，则t 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)∪(1，＋∞)答案 C解析因为奇函数f (x )在[－2,2]上是减函数，且f (2)＝－3，所以在[－2,2]上f (x )max＝f (－2)＝－f (2)＝3，要使不等式f (x )<2t ＋1对所有的x ∈[－2,2]都成立，则2t ＋1>f (x )max ，即2t ＋1>3，解得t >1，故选C.(2)设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12解析因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．所以f (1－m )<f (m )⇔f (|1－m |)<f (|m |)．又当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |>|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2.解得－1≤m <12.故填⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12.触类旁通利用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，实现不等式的等价转化.注意偶函数的性质f x ＝f x 的应用.即时训练 8.(2018·南宁模拟)已知定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[2017，＋∞)且x 1≠x 2，都有[f (x 1)－f (x 2)](x 2－x 1)>0.若函数f (x ＋2017)为偶函数，则( )A ．f (2015)<f (2016)<f (2017)B．f(2016)<f(2015)<f(2017)C．f(2017)<f(2016)<f(2015)D．f(2015)<f(2017)<f(2016)答案 A解析对任意x1，x2∈[2017，＋∞)且x1≠x2，都有[f(x1)－f(x2)](x2－x1)>0，即[f(x1)－f(x2)](x1－x2)<0，所以f(x)在[2017，＋∞)上单调递减，所以f(2017)>f(2018)>f(2019)．因为f(x＋2017)为偶函数，所以f(－x＋2017)＝f(x＋2017)，所以f(－1＋2017)＝f(1＋2017)，f(－2＋2017)＝f(2＋2017)，即f(2016)＝f(2018)，f(2015)＝f(2019)，所以f(2015)<f(2016)<f(2017)．故选A.9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 C解析∵f(x)是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－x2＋2x.作出函数f(x)的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－2<a<1.角度3 奇偶性与周期性例5 (1)(2019·呼伦贝尔统考)已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x－2)，y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，当x∈(0,2)时，f(x)＝log2x2，则下列结论中正确的是( ) A．f(4.5)<f(7)<f(6.5)B．f(7)<f(4.5)<f(6.5)C．f(7)<f(6.5)<f(4.5)D．f(4.5)<f(6.5)<f(7)答案 A解析由题知f(x)是以4为周期的周期函数，其图象的对称轴为x＝2.因为当x∈(0,2)时，f(x)＝log2x2，所以f(x)在区间(0,2)上是增函数．又f(4.5)＝f(0.5)，f(7)＝f(3)＝f(2＋1)＝f(2－1)＝f(1)，f(6.5)＝f(2.5)＝f(2＋0.5)＝f(2－0.5)＝f(1.5)，且0<0.5<1<1.5<2，所以f(0.5)<f(1)<f(1.5)，即f(4.5)<f(7)<f(6.5)．故选A.(2)(2018·广东茂名模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足条件f(1＋x)＝f(1－x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝x，若函数g(x)＝|f(x)|－a e－|x|在区间[－2018,2018]上有4032个零点，则实数a的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(e ，e 3)C ．(e ，e 2)D ．(1，e 3) 答案 B解析 f (x )满足条件f (1＋x )＝f (1－x )且为奇函数，则f (x )的图象关于x ＝1对称，且f (x )＝f (2－x )，f (x )＝－f (－x )，∴－f (－x )＝f (2－x )，即－f (x )＝f (2＋x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期为4.令m (x )＝|f (x )|，n (x )＝a e－|x |，画出m (x )，n (x )的图象如下图，可知m (x )与n (x )为偶函数，且要使m (x )与n (x )的图象有交点，需a >0，由题意知要满足g (x )在区间[－2018，2018]上有4032个零点，只需m (x )与n (x )的图象在[0,4]上有两个交点，则⎩⎪⎨⎪⎧m n ，mn，可得e<a <e 3，故选B.触类旁通利用函数的奇偶性和周期性把所求的函数值转化到已知函数解析式的区间上的函数值，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质.,本例就是将待比较的函数值的自变量全部转化到，上，再比较大小.即时训练 10.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11) 答案 D解析 f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，所以函数的周期T ＝8，又f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0.因为f (x )在[0,2]上是增函数，且f (x )≥0，所以f(x)在[－2,0]上也是增函数，且f(x)≤0，又x∈[2,4]时，f(x)＝－f(x－4)≥0，且f(x)为减函数．同理f(x)在[4,6]上为减函数且f(x)≤0，从而可得y＝f(x)的大致图象如图所示．因为f(－25)＝f(－1)<0，f(11)＝f(3)>0，f(80)＝f(0)＝0.所以f(－25)<f(80)<f(11)．故选D.11．已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1f x，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105.5)＝________.答案 2.5解析由已知，可得f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－1f x ＋＝－1－1f x＝f(x)，故函数f(x)的周期为4.∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5.∴f(105.5)＝2.5.。

高考一轮复习教案二(3)函数的奇偶性、周期性(学生)文科用

模块：二、函数（一）课题： 3、函数的奇偶性、周期性教学目标：掌握函数奇偶性、周期性概念，并能判断一些简单函数的奇偶性；掌握奇偶性、周期性与函数图像的关系．重难点：函数奇偶性、周期性的判定，以及由函数图像研究其性质和由函数性质研究其图像的一般方法．一、知识要点1、函数奇偶性的定义：设函数()()y f x x D =∈，任取x D ∈，若有()()f x f x =-，则称函数()y f x =为偶函数；若()()f x f x =--，则称函数()y x =为奇函数. 2、奇、偶函数的性质（1）函数()f x 是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称；（2）奇函数()f x 的图像关于原点对称，偶函数()g x 的图像关于y 轴对称；（3）在公共定义域内，两奇函数之积（商）为偶函数；两偶函数之积（商）也为偶函数；一奇一偶函数之积（商）为奇函数（取商时分母不可为零）；（4）若()f x 是具有奇偶性的单调函数，则奇函数在正负对称区间上的单调性相同，偶函数在正负对称区间上的单调性相反；（5）若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 既是奇函数又是偶函数的充要条件是()0f x =．3、函数的周期性（1）对于函数()()f x x D ∈，如果存在一个非零常数T ，使得对于()f x 定义域内任意x ，都有()()f x T f x +=，那么这个函数()f x 叫做周期函数，常数T 叫做函数()f x 的周期．（2）对于每一个周期函数来说，它的周期可有无穷多个，对于周期函数()f x ，如果在其所有的周期中存在最小的一个正数，那么这个最小的正数叫做这个函数的最小正周期．二、例题精讲例1、判断函数的奇偶性：（1）()22f x x =+-；（2）()1lg 1x f x x x-=+；（3）()f x =（4）()11312x f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭；（5）()21f x x =-；（6）()2223,0,0,0,23,0x x x f x x x x x ⎧-->⎪==⎨⎪--+<⎩例2、（1）()f x 是R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时，()()31f x x x =-，求x R ∈时()f x 的解析式；（2）设()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且()()()210,1,1f x g x x x x-=≠-+，求()f x 和()g x 的解析式．例3、已知()23g x x =--，()f x 是二次函数，且()()f x g x +为奇函数，当[]1,2x ∈-时，()f x 的最小值为1，求()f x 的表达式．例4、已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足()()4f x f x -=-，且在区间[]0,2上是增函数，则（） A 、()()()251180f f f -<< B 、()()()801125f f f <<- C 、()()()118025f f f <<-D 、()()()258011f f f -<<例5、已知函数()f x 以任意实数,x y 均有()()222x y x y f x f y f f +-⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()00f ≠，且存在非零常数c 使()0f c =．（1）求()0f 的值；（2）讨论函数()f x 的奇偶性；（3）求证：()f x 是周期函数．*例6、已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且()22f x x x =+．（1）求函数()g x 的解析式；（2）解不等式()()1g x f x x ≥--；（3）若()()1h x g x x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围．*例7、对于函数()f x ，若存在实数0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数的不动点．（1）已知函数()()()()2110f x ax b x b a =+++-≠．①若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围； ②在①的条件下，若()y f x =的图像上A B 、两点的横坐标都是函数()f x 的不动点，且A B 、两点关于直线2121y kx a =++对称，求实数b 的最小值；（2）命题“若定义在实数集R 上的奇函数()g x 存在有限个相异的不动点，则不动点的个数是奇数个”是否正确？若正确则加以证明，若不正确请举一反例加以说明．*例8、（1）已知函数()f x 满足：()114f =，()()()4f x f y f x y =++()f x y -(),x y R ∈，则()2010f = ．（2）如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动．设顶点(),P x y 的轨迹方程是()y f x =．则函数()f x 的最小正周期为；()y f x =在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积为．三、课堂练习1、已知对于任意实数x ，函数()f x 满足()()f x f x -=，若方程()0f x =有2013个实数解，则这2013个实数解之和为．2、设()f x 是定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()()3log 1f x x =+，则()2f -= ．3、已知函数()y f x =是奇函数，当0x ≥时，()31xf x =-，设()f x 的反函数是()y g x =，则()8g -= ．4、已知()()f x g x 、的定义域均为R ，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且()()12x f x g x ++=，则()f x = ，()g x = ．5、设函数()f x 的定义域关于原点对称，且适合下列三个条件：①对于定义域内的12x x 、都有()()()()()1212121f x f x f x x f x f x --=+；②存在常数0a >，使()1f a =；③对于()0,2x a ∈，有()0f x >．试求它的一个周期：． 6、设()f x 是定义在R 上的函数，它具有奇偶性，且()()22f x f x +=-，则()f x 的最小正周期是．四、课后作业一、填空题1、若函数()()()2f x x a bx a =++（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为(],4-∞，则该函数的解析式()f x = ．2、若函数()[]323,,y x a x x a b =+++∈的图像关于直线1x =对称，则b = ．3、判断函数的奇偶性：()(12log f x x =+是函数，()()11x x x a g x a -=+()0a >是函数．4、如果函数()23,0,,x x y f x x ->⎧⎪=⎨<⎪⎩是奇函数，则()f x = ．5、写出函数()f x 的一个解析式，使()f x 同时具有下述各性质：①是定义在R 上的偶函数；②最小正周期为6的周期函数；③其图像经过定点()3,2-，则()f x = ．6、设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图像关于直线12x =对称，则()()()()()12345f f f f f ++++= ．二、选择题7、设函数()f x 是定义在R 上的以5为周期的奇函数，若()21f >，()2333a a f a ++=-，则a 的取值范围是（） A 、()(),20,3-∞- B 、()()2,03,-+∞C 、()(),20,-∞-+∞D 、()(),03,-∞+∞8、定义在R 上的函数()f x 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．若将方程()0f x =在闭区间[],T T -上的根的个数记为n ，则n 可能为（） A 、0B 、1C 、3D 、59、设偶函数()f x 对任意x R ∈，都有()()13f x f x +=-，且当[]3,2x ∈--时，()2f x x =，则()113.5f 的值是（）A 、27-B 、27C 、15-D 、15三、解答题 10、设a R ∈，()()2221x x a a f x x R ⋅+-=∈+．（1）确定a 的值，使()f x 为奇函数；（2）当()f x 为奇函数时，对于给定的正实数k ，解关于x 的不等式()121log xf x k-+>．11、已知集合()()()(){}|21,M f x f x f x f x x R =++=+∈，()sin 3xg x π=．（1）判断()g x 与M 的关系，并说明理由；（2）M 中的元素是否都是周期函数，证明你的结论；（3）M 中的元素是否都是奇函数，证明你的结论．12、已知函数()11335x x f x --=，()11335x x g x -+=．（1）证明()f x 是奇函数，并求()f x 的单调区间；（2）分别计算()()()4522f f g -和()()()9533f f g -的值．由此概括出涉及函数()f x 和()g x 的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．。