西南交通大学考研结构力学最新课件位移法中对称性的利用

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结构力学-力法中对称性的利用

对弯矩X1，一对轴力X2和对剪力X3。X1和X2是正
对称的，X3是反对称的。
X2 X1
X3 X1 X2
EI1
对称
轴
EI2
EI2
（a）
图8-17
X3 （b）基本结构
绘出基本结构的各单位弯矩力（图解-18），可以看出 M1图和M2图是正对称的，而M3是反对称的。
X1=1
X2=1
X3=1
M1图
M2图
M3图
+ 1P=0 22Y2+ 2P=0
当对称结构承爱一般非对称荷载时，我们还可以将荷
载分解为正，反对称的两组，将它们分别作用于结构上求解，然后将计算叠加（图8-24）。显然，若取对称的基本结构计算，则在正对称荷载作用下只有正对称的多余未知力，反对称荷载作用下只有反对称的多余未知力。
P
q
P/2 q/2 P/2
P/2
+ q/2
q/2 P/2
图8-24
转到下一节
是这样的例子。为了使副系数为零，可以采取未知力分组
的方法。
AP
BP
（a）
X1
X2 X1
（b）基本体系
（c）
（d）
X2
这就是将原有在对称们置上的两个多个未知力X1和X2分解为新的两组未知力：一组为两个成正对称的未知力Y1，另一驵为两个成反对称的未知力Y2（图8-23a）。新的未知力与原未知力之间具有如下关系：
可知副系数 13 =31=0, 23 =32 =0 于是方程可以简
化为
11X1 12 X 2 1P 0
21X1 22 X 2 2P 0
33 X 3 3P 0

结构力学第五章位移法.ppt

NDA
NDB
2
2
NDC FNDB 2 FNDC 2 FNDA FP
建立力的平衡方程
D Fp
EA(2 2L
2) FP
由方程解得： 2PL
(2 2)EA
位移法方程
把△回代到杆端力的表达式中就可得到各杆的轴力：
FNDB

2FP 2 2
FNDA
FNDC

P 2
发生一个顺时针的转角 A。
A
A EI,L B
由力法求得：
MAB
MBA
M AB

3
EI L
B

3iB
M BA 0
§8-3 杆端力与杆端位移的关系
5、一端固定一端铰结单元，在B端
发生一个向下的位移。
A MAB
EI,L
B
△
由力法求得：
M
AB

3EI L2

3i L

MBA
M BA 0
两端固定单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端
弯矩表达式：
M AB

4i A

2iB

6i
L

M
F AB

M BA

4iB

2i A

6i
L

M
F BA

§8-3 杆端力与杆端位移的关系
一端固定一端铰结单元在荷载、支座位移共同作用下的杆端弯矩表达式：
M AB

3iA
6EI L2
BC

qL2 12
M AB

结构力学课件：第八章《位移法》解析

1
第八章位移法
§8—1 概述 §8—2 等截面直杆的转角位移方程 §8—3 位移法的基本未知量和基本结构 §8—4 位移法的典型方程及计算步骤 §8—5 直接由平衡条件建立位移法基本方程 §8—6 对称性的利用
2
§8—1 概述
力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力法于十九世纪末开始应用，位移法建立于上世纪初。
（2）确定以结构上的哪些位移作为基本未知量。（3）如何求出这些位移。
下面依次讨论这些问题。
返5回
§8—2 等截面直杆的转角位移方程
本节解决第一个问题。
用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨超静定梁。
计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移(线位移、角位
移)时,以及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)。为了应
1.位移法的基本未知量在位移法中，基本未知量是各结点的角位移和线位移。计算时，应首先确定独立的角位移和线位移数目。
(1) 独立角位移数目的确定由于在同一结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，由上节可知，它们不是独立的，可不作为基本未知量。
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常的做法是，在每个刚结点上假想 1
2
3
地加上一个附加刚臂(仅阻止刚结
点转动),同时在有线位移的结点上
加上附加支座链杆(阻止结点移动)。
例如 (见图a) 基本未知量三个。4
5
6
3
4
(a)
1 2
又例如(见图b)
共有四个刚结点，结点线位移数目为二，基本未知量为六个。基本结构如图所示。

结构力学_力法(二)对称性的利用

P P
荷载？还是一般性荷载?
P
对称荷载
l l l
M
l
P
P
P
反对称荷载
l l l l
M
EI=C
EI=C
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称性的概念
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向反对称的荷载。任意荷载均可分解为对称荷载和反对称荷载的叠加，且对称荷载和反对称荷载均为原荷载值的一半。
Strucural Analysis School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称性的概念
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向反对称的荷载。下面这些荷载是对称？反对称
M 1图
M 2图
M 3图
进一步考虑荷载的对称、反对称性
⑴对称荷载作用下 ⑵反对称荷载作用下
P/2
Mp对称
P/2
P/2
Mp反对称
1 p 0 X 1 0 2 p 0 X 2 0
P/2
对称结构在对称荷载作用下，只产生对称的内力、变形和位移，反对称的内力、变形和位移为零。对称结构在反对称荷载作用下，只产生反称的内力、变形和位移，对称的内力、变形和位移为零。

浅谈对称性在结构力学中的应用

结构力学学习心得体会
浅谈对称性在结构力学中的应用
姓名学号
在工程实际问题中，有很多结构都具有对称性。我们对这些结构进行受力分析的时候，常常将结构简化为杆系模型，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。特别是在求解超静定结构问题中，无论力法还是位移法，都是繁杂的。但对于对称结构，利用结构的对称性，可使结构内力计算大为简化。现在本文章就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。
在用力法解决超静定问题时，对于对称的结构，可利用对称性简化计算。简化步骤如下：①选取对称的基本结构。② 将未知力及荷载分组。③取半结构进行计算。对于对称结构承受一般非对称荷载时，利用荷载分组，将荷载分解为正、反对称的两组，并将他们分别作用于结构上求解内力，然后将计算结果叠加。在计算对称结构时，根据对称结构特性，可以选取半个结构计算。
奇数跨对称结构
偶数跨对称结构
结论
正确理解力学概念，充分利用结构的对称性，熟练掌握结构力学计算方法，在结构分析计算中至关重要。在将来的工程设计实践中，我们需充分利用上述结构对称性的计算方法，简化结构计算，可大大节省时间和精力，从而保质保量地完成了上述设计任务。
谢谢大家!姓名学号源自所谓对称结构是指几何形状和支承对某一对称轴对称．且杆件截面和材料性质也对此轴对称。利用结构的对称性可使计算得到简化，这是因为对称结构具有如下特点：在正对称荷载作用下，内力和变形是正对称的；在反对称荷载作用下，内力和变形是反对称的，如下图所示：
对称结构在正对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是正对称的，其反对称的内力（剪力）是反对称的；在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是反对称的，其反对称的内力（剪力）是正对称的。因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。

结构力学位移法PPT_图文

6．校核。
用位移法分析超静定结构时，把只有角位移没有线位移结构，称无侧移结构，如连续梁；又把有线位移的结构，称为有侧移结构。如铰接排架和有侧移刚架等。
位移法应用举例
例题1 试计算图示连续梁，绘弯矩图。各杆EI相同。
22.5
5、依M=M1X1+ M2X2+ MP绘弯矩图
例题2 试计算图示刚架，绘弯矩图。各杆EI相同。 Z1 Z2
(a)
(b )
(c)
1）求qA1,qA1见上图(b) (d
(e)
(f)
(g )
2）求qA2,qA2见图(c) 3）叠加得到
由平衡条件得杆端剪力：见图(g)
等截面直杆的转角位移方程，或典型单元刚度方程。
4）当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元刚度方程
MfAB
MfBA
式中，MfAB、MfBA——为两端固定梁在荷载单独作用下的杆端弯矩(固端弯矩或载常数)
四、一端固定、另一端铰支梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
五、一端固定、另一端定向支承梁的转角位移方程
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B
B' MBA
× ×
表9－1 等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力
28
29
30
31
32
9.3 基本未知量数目的确定
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
§9-5 用位移法分析具有剪力静定杆的刚架

结构力学课件位移法对称性

31Z1 32Z2 33 X 3 3P 0
rij由第 j个附加约束的单位位移引起的第 i个附加约束上的约束反力影响系数（i，j = 1，2）; r13 和 r23 表示单位多余未知力引起的第 1，2 个附加约束上的约束反力影响系数。
3j由第 j个附加约束的单位位移引起的第 3个多余未知力的位移影响
静定结构
超静定结构
仅某一几何不变部分承受一平仅某一几何不变部分承受一平衡力系时，其它部分仍将产生衡力系时，其它部分不受力。内力（由于多余约束要限制其
变形）。
仅基本部分承受荷载时，附属部分不受力。
？
作业（16）
习题集：5-25、26、37、45、51
谢谢!
2010.8
由一端固定、一端铰支梁的形常数可画出各柱子的弯矩图。
启示
2 3 2 5 2
M
3EI 2h2
tl
M 3M 5M
★离对称轴越远的柱子，温度影响越大。 ★结构上通过设置温度缝，减小温度影响。 ★斜撑尽量设置在结构中部，减小斜撑温度应力。
第六章位移法
6.6 位移法与力法的比较
The comparison of the displacement method to force
6.5 支座移动、温度变化作用时的位移法
Effects of support settlement and temperature change
1. 支座移动
例：作M 图，EI=常数。
l
l
l
解: r11Z1+R1C=0
Z1
4i r11 8i
Z1=1 3i
i
M1
2i
3i / 2l
15i / 8l M

西南交通大学考研结构力学最新课件位移法中对称性的利用

7-7 对称性的利用1位移法中对称性的利用关键是半结构的选取（1）对称荷载1Z 2Z 12Z Z =?12Z Z =−1Z 位移法中对称性的利用关键是半结构的选取Z 14在对称轴上的结点B 和A 均无转角及水平线位移，但可发生竖向线位移且两点相等，中央竖杆AB 不发生挠曲。

截取半结构时，可将杆AB 看作刚性杆而保留，并在结点B 、A 分别加上水平链杆支承。

EI =∞偶数跨对称结构1Z 2Z 3Z 结点转角为零（2）反对称荷载在对称轴上的截面C 没有竖向位移，但可有转角和水平位移。

2Z 1Z在对称轴上，柱CD没有轴力和轴向位移,但有弯矩和弯曲变形。

可将中间柱分成两根柱，分柱的抗弯刚度为原柱的一半。

因为忽略轴向变形的影响，C处的竖向支杆可取消。

对称轴上的结点A 和B 均有转角和侧移，但无竖向线位移，中央竖杆AB 发生挠曲变形。

在截取半结构计算时，除了取竖杆AB 刚度之半(EI /2)外，还应在A 处加一竖向链杆支承。

1Z 2Z 3Z 4Z 5Z 6Z81Z 2Z 3Z 最少未知量1Z 2Z M1Z 讨论：M1Z 01111=+P R Z r M M/2M PM1Z 2Z 3Z 2Z 1Z 3Z PM111Z 2Z 2Z 1Z 3Z 2Z 1Z 3Z12列出用位移法并利用对称性计算图示刚架的基本结构及典型方程。

（各杆的EI =常数）a a a a aq qm2a 例取半结构13mq qZ 1q典型方程：01212111=++P R Z r Z r 02222121=++P R Z r Z r Z 1q2Z 2Z典型方程：3434333=++P R Z r Z r r Z r Z R P 43344440++=2Z 1Z取半结构示例16mq qZ1Z117例1利用对称性简化图a 所示的对称结构，取出最简的计算简图、基本体系，并作出M 图。

1111=+P R Z r183511EI r =mkN R P ⋅−=301EIZ 5901=最简的基本体系及M 图PM Z M M +=11例219图示结构，设E I=常数，P=10kN，试画出刚架的M图。

西南交通大学考研结构力学最新课件矩阵位移法的计算坐标转换

i
k (e) 25
=
F2
= Yi
四.坐标变换示例
15
例1 求图示桁架①、②单元结构坐标下的
单元刚度矩阵。各杆 l = 2m， EA = 1.2 ×106 kN
Y
3
4
l
x
2
x
1
1
2
X
l
解： ①单元 θ (1) = 0 ，T 为单位矩阵，因此 16
结构单元刚度矩阵和局部单元刚度矩阵相
同。
⎡ 1 0 −1 0⎤
k(1)
=
(1)
k
=
EA
⎢ ⎢
0
000⎥⎥来自l ⎢−1 0 1 0⎥
⎢ ⎣
0
0
0
0⎥⎦
EA / l = 6 ×105 kN/m
l
⎡ 1 0 −1 0⎤
=
6×105
⎢ ⎢
0
0
0
0⎥⎥ k N / m
⎢−1 0 1 0⎥
⎢ ⎣
0
0
0
0⎥⎦
3
4
x
2
x
1
1
2
l
②单元 θ(2) = 225D EA/ 2l = 2.1213×105 kN/m 17
⎢
⎥
⎢⎣
0
0 1⎥⎦
t 和 T 均是正交矩阵，因此
t −1 = t T T −1 = T T
8
对于平面桁架来说，单元的坐标转换矩阵为
T
(e)
=
⎡t ⎢⎣0
⎡ cosθ sinθ 0
0 t
⎤ ⎥ ⎦
(e) 连= ⎢⎢−续si梁nθ 单co元sθ 需要0 进行⎢⎢⎣ 坐00 标转00 换吗−csoi？snθθ

《结构力学》第八章-位移法

(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。
18
例 8—1 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a
及转角=a/L，试绘其弯矩图。
L
解：基本未知量 Z 1(结点C转角)； C EI
B C Z1
B
基本结构如图示；
2EI
建立位移法典型方程： r11Z1+R1△=0
A Z1
基本结构 A
为计算系数和自由项，作
链为了杆能数简，捷即地为确定原出结结构构的的独独立立线线位
(b)
移位移数数目目(见，可图以b)。
11
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常的做法是，在每个刚结点上假想 1
构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩
或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作
用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡
条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
正。
B
B
B′
X2
X3
M1图
1
M
图
2
7
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1=
X2=
令
称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用
MBA代替X2，上式可写成
MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－
(8—1）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆

结构力学-位移法-PPT(1)

五、解题示例 q
A
øB B øB
l
l
原结构
Z1
q
A
øB B øB
Z1= 14EI/l
CA
B
C
2EI/l 3EI/l
ql2/8M1图 ql2/8
A C
B
C
基本体系 4EI 3EI 7EI r11 l l l
Mp图
r11 Z1 R1 p
R1 P
ql 2 8
0
Z1
R1 p r11
ql2 8
7 EI
φA P
MAB A φA
QAB
q
βAB
EI
l
B ΔAB
B'
QBA
M AB
3
EI l
A
3
EI l2
Δ
M
f AB
M BA 0
QAB
3EI l2
a
b
3EI l3
Δ QAfB
QAB
3EI l2
a
b
3EI l3
Δ QBfA
令：i
EI l
称为“线刚度”、 AB
l
称为“旋转角”，则：
M AB
3i A
R1 r11Z1 r12 Z 2 R1P R2 r21Z1 r22 Z 2 R2P
要使基本结构在荷载和基本未知量共同作用下的受力和原结构受力相同，故本例中R1和R2应该为零
rr1211ZZ11
r12 Z 2 r22 Z 2
R1P R2P
0 0
上式既为二个未知量的位移法典型方程
计算系数和自由项
B øB
(c)
A
Z1= øB
øB

结构力学中对称性利用ppt课件

对称结构选取
半结构的选取
在计算对称结构时，根据对称结构特性，可以选取半个结构计算。选取半结构的原则：
在对称轴的截面或位于对称轴的节点处按原结构的静力和位移条件设置相应的支
撑，使半结构与原结构的内力和力法计算超静定结构时，结构的超静定次数愈高，计算工作量也愈大，而其中大量工作是用于系数和自由项的计算，由于副系数及自由项可能为正也可能为负或零，因此在选取基本结构时，就应选择能使尽可能多的副系数及自由项为零的静定结构作为基本结构(其中副系数可以全部为零，但自由项决不会全部为零)，以达到简化计算的目的。
对称结构的求解：
（1）选取对称的基本结构力法典型方程：
由于正反对称图形的相乘结果为零，故有关副系数为零。力法典型方程简化为两组：即：
典型方程简化为：
正对称及反对称荷载：
正对称部分反对称部分
如果作用于结构的荷载是正对称，如：如果作用于结构的荷载是反对称的：
结论：对称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的，在反对称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的。
工程结构中有很多结构是对称的，利用其对称性可简化计算。
超静定对称结构
所谓的超静定对称结构，就是指：
（1）结构的几何形式和支撑情况对某轴对称。（2）杆件截面和材料性质也对此轴对称。
超静定结构的对称性利用
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
EI
2EI
（a）
对称结构
（b）
（c）
非对称结构
注意：结构的几何形状，支承情况以及杆件的刚度(EI)三者之一有任何一个不满足对称条件时，就不能称之为对称结构。
静定对称结构